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analisis
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INTEGRAL MULTIPLE
CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO II
DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA
ESTUDIANTES:
CHUQUIRUNA CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ ANTONY SOLANO VARGAS DIEGO RENATO
CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 1: Resolver:
∫−1
0
∫0
1
(x3 y3+3 x y2)dydx
Solución:
1) IID=∫−1
0
∫0
1
(x3 y3+3 x y2)dydx
2) Región de integración:
3) IID=
∫−1
0
∫0
1
(x3 y3+3 x y2)dydx=−9/16
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 1
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 2: Resolver
∫0
1
∫0
1xy
√ x2+ y2+1dydx
Solucion
1) IID =∫0
1
∫0
1xy
√ x2+ y2+1dydx
2) Región de integración:
3) IID =∫0
1
∫0
1xy
√ x2+ y2+1dydx
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 2
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 3: Resolver
∫0
1
∫−√1− x2
√1−x2
3 ydydx
Solución
1) IID =∫0
1
∫−√1− x2
√1−x2
3 ydydx
2) Región de integración:
3) IID =∫0
1
∫−√1− x2
√1−x2
3 ydydx
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 3
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 4:
A: Resolver
∬R
❑
1/ xdA
Solución
1) IID=∬R
❑
1/ xdA
2) Región de integración: R={(x , y) / y2≤x ≤ y4∧1< y<℮ }
3) IID=∬R
❑
1/ xdA ,dA=dxdy
II D=∫1
ϵ
∫y2
y4
1/ x dxdy
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 4
integraL multiple Ing. Civil
B: Resolver
∬R
❑
x2 y √1−x3− y3dA
Solución
1) IID=∬R
❑
x2 y √1−x3− y3dA2) Región de integración:R={(x , y) /x ≥0 , y ≥0∧ x3+ y3≤1 }
3) IID=∬R
❑
x2 y √1−x3− y3dA ,dA=dxdy
II D=∫0
1
∫0
3√1− y3
x2y √1−x3− y3dxdy
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 5
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 5. Hallar el volumen del solido que esta debajo de la superficie f ( x , y )=x2+ y2 y sobre el rectangulo R=[-2,2] x [-3,3]
SOLUCION
I. Gráfico del Sólido:
S: f ( x , y )=x2+ y2
Sea z=f (x , y )→z=x2+ y2 Paraboloide de revolución o circular
Si: x=0→z= y2 Si: y=0→z=x2 Si: z=0→x=0∧ y=0Si: z=k→ x2+ y2=k
II. Volumen: V
dV=z dydx→dV=∬R
❑
zdydx
R={( x , y )/−2≤x ≤2∧−3≤ y≤3 }
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 7
integraL multiple Ing. Civil
V=∫−3
3
∫−2
2
x2+ y2dxdy V=∫−3
323
3+2 y2+ 2
3
3+2 y2dy
V=∫−3
3
¿¿
V=¿ ¿
V=104 unid3
PROBLEMA 6. Calcular el volumen delimitado por las superficies:
z=1− x2∧ Cilindro parabolico
y=z∧ Plano
x=0∧ Plano YZ
z=0∧ Plano XY
y=5 Plano paralelo a XZ
SOLUCION
I. GRAFICO DEL SÓLIDO:
dV=(5− y )dz dx
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 8
integraL multiple Ing. Civil
II. Volumen del sólido: V
dV=(5− y )dz dx→V=∬R
❑
(5− y )dz dx
V=∫0
1
∫0
1− x2
(5−z )dzdx
V=∫0
1
[5 z− z22 ]0
z
dx
V=5 [x− x33 ]0
1
−12∫01
(1+x4−2x2 )dx
V=5 ( 23 )−12 [1+ 15−23 ]V= 46
15unid3
PROBLEMA 7: Hallar el área de la región plana limitada por la recta y=x−1 y la parábola y2=2 x+6.
SOLUCIÓN
1) Gráfica de la región R
L : y=x−1C : y2=2x−6
x=12y2−3 (Parábola de eje horizontal y vértice v=(−3,0) )
L∩C : y+1= y2
2−3
y=−2∧ y=4
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 9
integraL multiple Ing. Civil
R={(x , y)/ y2
2−3≤x ≤ y+1∧−2≤ y≤4 }
2) Área de la región R.
A(R)=∬R
❑
dA=∫−2
4
∫y2
2−3
y+1
dx .dy
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 10
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 8: Hallar el área de la región plana limitada por las gráficas de las funciones y=x3−2x y=6x−x3
SOLUCIÓN
1) Gráfica de la región R.
C1 : y=x3−2 x=x (x2−2 )=x (x−√2)(x+√2)
y '=3 x2−2=0
3(x2−23)=0
3(x−√ 23 )(x+√ 23 )=0
+ _ +
−√ 23 √ 23 (Existe máximo) (Existe mínimo)
C2 : y=6 x−x3=−x (x2−6 )=−x (x−√6)(x+√6)
y '=6−3 x2=0 - 3(x2−2)=0
−3(x−√2)(x+√2)=0
_ + _
−√2 √2 (Existe máximo) (Existe mínimo)
C1∩C2 : x3−2 x=6 x−x3
2 x3−8 x=0
x=−2,0,2
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 12
integraL multiple Ing. Civil
R={(x , y) /≤ x≤2∧ x3−2 x≤ y ≤6 x−x3 }
2) Área de la región R: A(R)
A(R)=2.∬R
❑
dA=2.∫−2
4
∫x3−2 x
6x− x3
dy .dx
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 13
integraL multiple Ing. Civil
PROBLEMA 9: Evaluar la integral ∬ xydA en la región R descrita a continuación.
SOLUCIÓN
1)
IID=∬R1
❑
xydA+∬R2
❑
xydA+∬R3
❑
xydA
IID=∫−1
0
∫−1
1+ x2
xydydx+∫0
1
∫√ x
1+ x2
xydydx+∫−1
0
∫0
y2
xydxdy
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 15