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integrales multiples

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  • 1. Integracin MltipleMOISES VILLENA5 5.1 INTEGRALES DOBLES 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4DEFINICIN. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD TEOREMA FUBINI INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 5.1.5 PROPIEDADES 5.1.6 CLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN 5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES 5.1.8 VOLMENES CON INTEGRALES DOBLES 5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CILNDRICAS. 5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES) 5.1.11 REA DE UNA SUPERFICIE5.2 INTEGRALES TRIPLES OBJETIVOS: Calcular Integrales Dobles. Invertir el orden de integracin. Calcular Volmenes. Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. Calcular reas de una Superficie.149

2. Integracin MltipleMOISES VILLENA5.1 INTEGRALES DOBLES 5.1.1 DEFINICIN La integral definida para funciones de una variable se la defini de la siguiente manera: b a n f ( x ) dx = lm f xi xi n i =1 ( )La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el rea bajo la curvay = f ( x) en un intervalo [ a, b ] .Si quisiramos obtener una Integral definida para una funcin de dos variables; primero deberamos suponer que ahora la regin de integracin sera de la forma denotamos como[ a, b] [ c, d ] , es decir un rectngulo deR 2 , la cual laR. yd Rc abR , de dimensiones no necesariamenteHaciendo particiones de la regin iguales: ymd ym 1xy R y m xi yiyjy2y2y1c yy1 x10x2xna x0150x1x2xixn 1b x nx 3. Integracin MltipleMOISES VILLENALa ij sima particin tendr forma rectangular. Ahora cabe referirse al rea de esta particin, que estara dada por:Aij = xi y jPodemos definir una funcin de dos variablesR , que para la ij sima particin sera:(z = f ( x, y )en la regin)f xi , y j xi y j Bien, veamos ahora su significado geomtrico. Observe la grfica siguiente:z(zi = f xi , y jz = f ( x, y )dcyaxi b)(x , y ) y jijxEl punto( x , y ) , representa cualquier punto del ij simo rectngulo. iEl volumen deljij simoparaleleppedo, denotmoslo comodado por:(Vij , estara)Vij = f xi , y j xi y j . Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendramos que hacer una suma de volmenes de una cantidad infinita de paralelepdedos, es decir:V = lim f ( x , y ) x y mn m j =1nijiji =1151 4. Integracin MltipleMOISES VILLENADe aqu surge la definicin de Integral dobleSea f una funcin de dos variables definida en la regin plana R = [ a, b ] [ c, d ] = {( x, y ) / a x b c y d } Al f ( x , y ) x y mlimn m j =1nijijselei =1denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera: dbca f ( x, y)dxdy Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en R . Por el momento no vamos a seguir con la interpretacin geomtrica de la Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cmo evaluarla. En la definicin se dice que si el lmite existe la funcin es integrable, pero surge la interrogante cundo ser que el lmite exista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema.5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Sea f una funcin de dos variable definida en la regin plana R = [ a, b ] [ c, d ] = {( x, y ) / a x b c y d } Si f est acotada en R y si f es continua en R a excepcin de un nmero finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R . Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la funcin es continua ser integrable. 152 5. Integracin MltipleMOISES VILLENABien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble.5.1.3 TEOREMA FUBINI Sea f una funcin de dos variable definida en la regin plana R = [ a, b ] [ c, d ] = {( x, y ) / a x b c y d } . Si f es continua en R , entonces: d b f ( x, y )dA = f ( x, y ) dx dy R c a b d = f ( x, y ) dy dx a c Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales Iteradas. Ejemplo 1Calcular2xy 2 dydx10SOLUCIN: Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir: 12 2 xy dy dx = 1 01 0 3 x y 3 dx = 1 31=1 23 ( 1)3 dx x x 3 3 011 8 3 x + 3 x dx = 0Aqu pudimos haber integrado con respecto ay , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo.3 xdx = 3x2 21= 03 20x , y luego con respecto a153 6. Integracin MltipleMOISES VILLENAHasta el momento hemos trabajado con regiones de integracin rectangulares, pero en las mayoras de las ocasiones se presentarn otros tipos de regiones.5.1.4INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALESEl teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una regin plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera:Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:Cuya rea, denotada comodA , est dada por:dA = dxdy = dydx Entonces, igual como lo habamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la regin plana R tiene la forma:f ( x, y )dAREsta integral doble puede ser calculada de dos maneras:PRIMERO haciendo un barrido vertical154 7. Integracin MltipleMOISES VILLENAx =b y= f ( x) f ( x, y )dy dx y= g ( x) x=aSEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontaly=d x= f ( y) f ( x, y )dx dy x=g ( y) y =cSi f ( x, y ) = 1 , la integral doble representa el rea de la regin R , es decir:A= dA RLa regin anterior es llamada una regin simple- xy , sin embargo pueden existir regiones simple- x , slo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical. yy = f ( x)R dydx y = g ( x) axb155 8. Integracin MltipleMOISES VILLENAComo tambin pueden existir regiones simple- y , slo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal. y dRx = g ( y)dydxx = f ( y)c xEjemplo 1 1Calcularx 0160 xy 3 dydxx2SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 1 x 4 160 xy 3dy dx = 160 x y 4 0 0 x2 1= 0[40 x3Calculary 0y 2 e xy dxdy0SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:156x2 dx = ]1( )4 40 x(x2 )4 dx 40 x x 01 x4 x10 = 10 4 = 6 40 x 9 dx = 40 40 4 10 0Ejemplo 2 1x 9. Integracin MltipleMOISES VILLENA1 y 2 xy y e dx dy = 0 1 0 0 xy y2 e y 1y1=dy = 0 [ye] ye(0 ) y dyyy01 ye y 2 y dy = 01y2ye dy 01ydy02 02 e y = e 1 e 0 = e 1 = 2 2 2 2 2 2 2 0 y21222Ejemplo 3 1Calcular1e y dxdy1 y0SOLUCIN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 1 1 1 e y dx dy = e y dx dy = 1 y 0 1 y 0 11y1 ydy01=[e x] 1e y (1 (1 y ))dy =0ye y dy0La ltima integral, se la realiza POR PARTES: 1u v yy e dy = y e yu dv0v du y(e dy = ye y e y)1 0= (e e ) (0 1) = 1En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los lmites de integracin, por tanto no haba ms que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la regin de integracin porque los lmites no estn definidos. Ejemplo 1 CalcularxdA donde R es la regin limitada por y = 2 x y y = x 2RSOLUCIN: Primero identificamos la reginR:157 10. Integracin MltipleMOISES VILLENANote que es una regin simple-, la calcularemos de las dos formas. PRIMER MTODO: Haciendo primero un barrido vertical. 22xLa integral doble con lmites ser:0xdydxx2Calculando la integral, resulta: 2 2x xdy dx = x2 02[xy]=02=22x dx x2[x(2 x) x(x )]dx 20(2 x2) x 3 x 4 16 4 = x3 dx = 2 4 = 3 4 3 3 0SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal.4La integral doble con lmites ser: 0Calculando la integral doble, resulta:158yy 2xdxdy 11. Integracin MltipleMOISES VILLENA4 y 0y 2 xdx dy = 4 0 x2 2 y y 24 dy = 0 ( y)22 y 2 22 dy = 4 y y2 dy 2 8 04 y 2 y3 = 4 8 = 4 = 4 24 3 3 0Ejemplo 2Calcular RLa reginRy = x y = 1 dA donde R : x SOLUCIN: x = 2 y = 0 es:1Aqu es mejor hacer un barrido vertical primero: 0dydx +0Calculando las integrales dobles, tenemos: 1 1 x 2 x dy dx + dy dx = 0 0 1 0 2x 001y 0 x dx12 xdx +0=dydx2x y 0 dx +1=x 1112x 21 dx x11 2+ ln x 1 01 = + ln 2 2159 12. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 3 Calcular y = x3 2 en el primer cuadrante. 12 x 2e y dA donde R : y = x RSOLUCIN: La regin R es:Aqu es mejor primero un barrido horizontal Por qu? Observe qu ocurre si hacemos primero un barrido vertical? Planteando la integral doble con lmites y calculndola, tenemos: 13y 01212 x e dxdy = 2 yy12e3x3 3y2ydy y01=2 4e y ( y)330 1= y 3 dy 1y24 ye dy 024 y 3 e y dy0Haciendo cambio de variable t = y 2 . De aqu tenemos: dt = 2 ydy Reemplazando y resolviendo: 1 01y24 ye dy 013 y24 y e dy =1tdt 4 ye 2y 01 et dt 20= 2et dt 4 y 3et 2y 01=21 0[tet dt0 2 te et t]1 0= 2e 2 2[0 ( 1)] = 2e 4160 13. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 4 Calcular(2 x + 1)dARdondeR es el tringulo que tiene por vrtices los puntos(1,0) , (0,1) y (1,0)SOLUCIN: La regin R es:No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinacin de las ecuaciones de las y 2 y1 (x x 1 ) . rectas se las puede obtener empleando la formula y y 1 = x 2 x1 Aqu tambin es mejor primero un barrido horizontal: 1 1 y 01(2 x + 1)dxdy =y 1(x2+x)1 y y 1dy01= [(1 y)20 1= [(][]+ (1 y ) ( y 1)2 + ( y 1) dy]y 1)2 + 1 y ( y 1)2 y + 1 dy0 1=[2 2 y ]dy0(= 2y y2)1 01 1 y (2 x + 1)dxdy = 10y 1161 14. Integracin MltipleMOISES VILLENA5.1. 5 PROPIEDADES Sean f y g funciones de dos variables continuas en una regin R , entonces: kdA = k dA ; k 2. ( f g )dA = fdA gdA 3. dA = dA + dA donde R = R R 1.RRRRR1RR12R25.1.6 CLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LMITES DE INTEGRACIN Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales. Ejemplo 1 eCalcularln x 1xydydx0SOLUCIN:Primero se debe identificar la regin de integracin. En este caso, la integral doble est dada primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que interpretar la integral doble de la siguiente manera: x =ey = ln x x =1xydydxy =0 y = ln x Por tanto, la regin es R : y = 0 , es decir: x = e 162 15. Integracin MltipleMOISES VILLENAInvirtiendo los lmites de integracin hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir: 1e 01xydxdy =ey1ex2 y 2dy = ey0=2 02e y 2 21 0( ) e2 e y y 2 2 22 dy = e 2 1 011 ydy 2ye 2 y dy011 e 1e y 2 2 2 2 0 2y2ye2 e2 e2 1 = + 4 4 8 8 e2 1 = 8 8Ejemplo 2 20Invierta el orden de integracin para4 x 20 f ( x, y)dydxSOLUCIN: x=2Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos:y = 4 x 2 x =0f ( x, y )dydx . Se ha hechoy =0primero un barrido vertical y = 4 x2 Entonces la regin de integracin es R : x = 0 y = 0 Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 44 y 0f ( x, y )dxdy0163 16. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 3 y +11Invierta el orden de integracin para f ( x, y)dxdy 1 y +1SOLUCIN: x = y +1y =1Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: y = 1f ( x, y )dxdy . Se hax = y +1hecho primero un barrido vertical y = x2 1 Entonces la regin de integracin es R : y = 1 Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 21 2f ( x, y )dydxx 2 1Ejemplo 4 4Invierta el orden de integracin para16x 2f ( x, y )dydxxSOLUCIN: x=4Interpretando los lmites de integracin dados, tenemos: x=2un barrido vertical primeroy = x 16 Entonces la regin de integracin es R : y = x x = 2 Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:164y =16y=xxf ( x, y )dydx Se ha hecho 17. Integracin MltipleMOISES VILLENA4 216yf ( x, y )dxdy +2y 4f ( x, y )dxdy2Ejercicios propuestos 5.1 y11.Calcular 0e x + y dxdy02.x Emplee una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por x + 3. y 2 = 2x 2 Emplee una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por: y = x 5 4.Calcular: R5.Calculary2 + 9 = 0 y2 9 = 0y = x dA donde R es la regin limitada por y = 2 x2 xy = 1 y2y = x2 12 x dA donde R es la regin limitada por y = 2x R26.Calcular4y cos ydydx0 x2 1 1 27.Calcular 0 ye x dxdy 2228.Invierta el orden de integracin:x 1 f ( x, y )dydx +1 3+ xINVERTIR el orden de integracin y EVALUAR. f ( x, y )dydx2 3+ x19.3+ x3x 002ydydx +2 x 2 1ydydx0165 18. Integracin MltipleMOISES VILLENA10. Calcular:212 x 2 e y dA , donde R es la regin del primer cuadrante limitada pory = x3yRy=x 2 x311. Representar la regin de integracin para:8 8f (x, y) dy dx+1 x (f x, y) dy dxe invertir el2 xorden de integracin.5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES Sea f una funcin continua en las variables x y y . El valor Medio de f en una regin plana R est dado por:Valor Medio = f ( x, y)dA R dA REjemplo Encuentre el valor medio de la funcin f ( x, y ) = x 1 + y 3 y = 2 sobre la regin limitada por y = x x = 0 SOLUCIN: La regin de integracin es:Empleando la frmula, tenemos:166 19. Integracin MltipleMOISES VILLENA =R x 1 + y3 dxdyf ( x, y)dAValor Medio =y2dAR00y20dxdy02yx2 dy 2 01 + y3=02( x ) 0 dy y021 2=y 2 1 + y3 dy02ydy021 (1 + y ) 2 3 2 2 3=y2 232021 ( 27 1) =6 2013 = 6Ejercicios Propuestos 5.2 1.Calcule el valor medio de la funcin f ( x, y ) = e x y limitada por12 en la regin del primer cuadrantey = x2 x = 0 y = 1 2.Para una compaa concreta, la funcin de produccin de Cobb-Douglas es f ( x, y ) = 100 x 0,6 y 0,4 . Estimar el nivel medio de produccin, si el nmero de unidades de trabajo vara entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325.3.Hallar el valor medio dey = 2 x,y = 3 x,f ( x, y ) = x + 2 y + 4 sobre la regin limitada por las rectasy=0 x2x = 0 x = 2 sobre la regin y = x y = 2 4.Encuentre el valor medio de la funcin f ( x, y ) = e5.Encuentre el valor medio de la funcin6.Hallar el valor medio de f (x, y) = 2xy en la regin limitada porf ( x, y ) =y2 ( xy + 1) 20 y 1 , sobre la regin R = 0 < x yy= x2yy=x167 20. Integracin MltipleMOISES VILLENA5.1.8 VOLMENES CON INTEGRALES DOBLES Ya definimos el volumen bajo una superficie. Ejemplo Hallar el volumen del slido limitado por el planox y z + + = 1 y el plano xy en a b cel primer octante. SOLUCIN: Haciendo un dibujo zc x y z = c 1 a bh ybdAaxEl volumen del elemento diferencial sera dV = hdA = zdAPor tanto el volumen total est dado por : V= x y c 1 dA a bRDonde la regin R sera: yb x y = b 1 axaEscogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedara:168 21. Integracin MltipleMOISES VILLENAaV= x b 1 a 0 x y c 1 dydx a b0Evaluando: aV= x b 1 a 0a x y c 1 dydx = c a b0 0 x x b 1 2 b 1 1 x y a y a dx a 2b 0 0 a=c x 2 b2 x 2 b 1 1 dx a 2b a 0a=c2b x 1 dx 2 a03 a x 1 bc a = 2 1 3 a0 a=3 abc x 1 6 a 0abc [1 0] 6 abc V= 6 =Ahora consideremos un slido limitado por superficies. Por ejemplo: zz = f ( x, y )z = g ( x, y ) yRx169 22. Integracin MltipleMOISES VILLENAEn el grfico, el volumen del slido limitado por las superficies est dado por:V= f ( x, y ) g ( x, y )dA RR , es la regin plana que tiene por proyeccin la superficie en el plano xy . Ejemplo Hallar el volumen del slido limitado por z = 4 x 2 2 y 2 y el plano z = 2 SOLUCIN: Haciendo un dibujozz = 4 x2 2 y 2h2dAz=2 yR En este casoV= hdA =R( 4 x 2 2 y 2 ) ( 2 ) dA RPara ponerle los lmites de integracin identificamos la regin R , en este caso sera la curva de z = 4 x2 2 y2interseccin de z = 2proyectada en el plano xy .Igualando y simplificando:4 x2 2 y 2 = 2 x2 + 2 y2 = 2 x2 y 2 + =1 2 1 Entonces la regin sera:yy= 12 x2 2x 01702 23. Integracin MltipleMOISES VILLENA Entonces 2V =42 x 2 2 02(2 x2 y3 2 ( 2 x ) y 2 3 0 2 y )dydx = 4 202 x 2 2dy02=4 2 2 ( 2 x 2 ) 2 x 2 2 x 3 2 2 3 dx 02=43 3 2 2 2 2 ( 2 x ) 2 ( 2 x ) dx 3 3 2 2 ( )02=43 1 1 2 2 ( 2 x ) dx 2 3 202=8 3 2(2 x ) 232dx0La ltima integral se la realiza por sustitucin trigonomtrica. Haciendo x =2 sent entonces dx = 2 cos t dt y los lmites seran 2V=8 3 2(2 x ) 232dx =8 3 20x = 0 t = 0 x = 2 t = 2 2( 2 2sen t ) 2322 cos t dt0=8 3 22232( cos ) 2322 cos t dt08 = 3( 2)23cos 4 t dt0()8 = 2 2 32 1 + cos 2t dt 2 20=16 2 32(1 + 2 cos 2t + cos 2t ) dt 240 2 2 4 2 2 2 sen2t 1 + cos 4t = + t0 + dt 3 2 0 2 0 2 sen 4t 4 2 1 +0+ t 02 + = 8 0 3 2 2 =4 2 + 3 2 4 =4 2 3 3 4 V= 2171 24. Integracin MltipleMOISES VILLENALa evaluacin de la integral doble puede resultar un asunto tedioso, sin embargo si la regin de integracin es simple- , podemos hacer uso de coordenadas cilndricas.5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CILNDRICAS. Suponga que la regin de integracin es simple- , la integral doble f ( x, y )dApuede ser expresada de la forma:R f ( r cos , rsen )dA RDefinamos eldA en coordenadas cilndricas. Observe la figura:r = f ( )dsdr2En este casodA = dsdr1perods = rdentoncesdA = rdrdFinalmente la integral doble en coordenadas polares quedar de la forma: f ( r, )rdrd REjemplo 1 Hallar el volumen del slido limitado por z = x 2 + y 2 y el plano z = 9 . SOLUCIN:172 25. Integracin MltipleMOISES VILLENAHaciendo un dibujo de las superficies, e identificando el slidoz z =99hz = x2 + y2x2 + y 2 = 9yx La regin de integracin sera:r =3Por tanto el volumen estar dado por V =9 ( x 2 + y 2 ) dA RCambiando a cilndricas 2V=3( 09 r 2 ) rdrd0Evaluando 2V= 0233 ( 9 r ) rdrd = 200( 9r r ) drd 302=3 r2 r4 9 d 2 4 002= 81 81 d 2 4081 2 4 0 81 V = u3 2 =173 26. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 2 Encuentre el volumen de la regin limitada por las superficies x 2 + y 2 + z 2 = 4 y x 2 + ( y 1) = 1 . 2SOLUCIN: Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el slidozx2 + y2 + z 2 = 4x 2 + ( y 1) = 1 2yxCalcularemos el volumen de la porcin superior, ya que el slido es simtrico y lo multiplicaremos por dos.V =24 x 2 y 2 dARLa regin de integracin es:x 2 + ( y 1) = 1 22 r = 2 sen 1174 27. Integracin MltipleMOISES VILLENA Cambiando a coordenadas cilndricas.V =24 x 2 y 2 dA = 2R2 sen 0=24 r 2 rdrd02 (4 r ) 3 2232 sen 2d 00=2 3 8 4 4sen 2 3 2 d ) ( 0=2 3(8 8cos ) d 30 2 2 = 8d cos cos d 3 0 0 2 2 = 8 0 (1 sen ) cos d 3 0 2 = 8 3 cos d +0 0 sen cos d 22 sen3 8 sen 0 + 3 3 2 = [8 0 + 0] 3 16 V= 3 = 0 =Ejercicios Propuestos 5.3 1.Usando integrales dobles determine el volumen del slido limitado por : a) b)z= x +yc)x + y = 2z ;d) 2.z = 5x 2 ; z = 3 x 2 ; y = 4 ; y el plano xz.z = x + y +1; z = 0 ; x + y = 422z=x +y 2;222 6y, z = 022Resp. 8 2Resp.x + y z =1;22222.Resp. 5 2Resp. 3Resp. 12Encontrar el volumen de la porcin de la esfera x + y + z 2z= 1 3.222= 1 situada entre los planos 6Calcular el volumen del slido que est en el interior de la esfera x + y + z 2arriba del paraboloide x + y 22=z.Resp.22= 2z ; y7 6175 28. Integracin MltipleMOISES VILLENA4.Hallar el volumen del slido que est en el interior a y 2 + z 2 = 2 ; y exterior ax2 y2 z2 = 2 5.Calcule el volumen del slido interseccin de los cilindros x + y 22=1 y y2 + z2 =1Parece ser que la evaluacin de las integrales dobles pueden resultar difciles de realizar, el hecho utilizar coordenadas cilndricas nos permite pensar que en ocasiones ser posible emplear diversas transformaciones que har nuestro trabajo ms plausible.5.1.10CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES)Supongamos que se tiene la siguiente transformacin x = x ( u, v ) y = y ( u, v ) Aplicndola a la integral doble f ( x, y )dA, quedara de la formaR f ( x (u, v ) , y (u, v ))dA RDonde R ser una nueva regin de integracin en el plano el dA ser el correspondiente. Determinemos en nuevouvpor tantodA . Observe la figura:vy ( x ( u, v + v ) ; y ( u , v + v ) )( u, v + v )RQRP ( x, y )( x ( u, v ) ; y ( u, v ) )( x ( u + u , v ) ; y ( u + u , v ) )x176( u, v )( u + u , v )u 29. Integracin MltipleMOISES VILLENAHaciendo un anlisis vectorial:P = ( x ( u + u , v ) x ( u , v ) ; y ( u + u , v ) y ( u , v ) ) Q = ( x ( u , v + v ) x ( u , v ) ; y ( u , v + v ) y ( u , v ) )PDividiendo y multiplicando al vectorparauy tomando lmite:x ( u + u , v ) x ( u , v ) y ( u + u , v ) y ( u , v ) x y P = lim ; lim u = ; du u 0 u u u 0 u u QDividiendo y multiplicando al vectorparavy tomando lmite:x ( u , v + v ) x ( u , v ) y ( u , v + v ) y ( u , v ) x y Q = lim ; lim v = ; dv v 0 v 0 v v v v El rea de la regin R est dada por:dA = P Q El producto cruz ser:i x PQ = du u x dv vx y u du 0 = x u y v dv 0 v jky u dudv k y vAl determinante menor resultante se lo denomina JACOBIANO y se lo denota por:x ( x, y ) u = ( u , v ) x v Por tanto:PQ = FinalmentedA =y u y v ( x, y ) dudv k ( u, v ) ( x, y ) ( u, v )dudv177 30. Integracin MltipleMOISES VILLENA5.1.10.1 TEOREMA.Sean R y R regiones de los planos xy y uv . Suponga que se tiene una transformacin biyectiva tal que x = x ( u , v ) y y = y ( u , v ) mediante la cual la regin R es imagen de R. Si f es continua en R y x e y tienen derivadas parciales ( x, y ) continuas en R y en no nula en R, ( u, v ) entonces:f ( x, y )dA =Rf ( x ( u, v ) , y ( u, v ) )R ( x, y ) ( u, v )dudvEl cambio a coordenadas cilndricas es un ejemplo de una transformacin, aqu tenemos que: x = r cos y = rsen Entonces: Rf ( x, y )dA =f ( r cos , rsen ) ( x, y ) drd ( r , )RCalculemos el Jacobianox y sen cos ( x, y ) r r = = = r cos 2 + rsen 2 = r rsen r cos ( r , ) x y Por tanto se demuestra lo que antes habamos presentado como un resultado geomtrico: f ( x, y )dA = f ( r cos , rsen )rdrd R178R 31. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 1 10Calcular2xx x = u (1 v ) dydx empleando el siguiente cambio de variable y = uv SOLUCIN: Primero identificamos la regin R . y =2 x dy dx , por tanto y= x x =1En la integral dada, se tiene: x=0x =1y = 2xRy=xCambiando de variable, la integral tomara la forma:dydx =R ( x, y ) ( u, v )dudvRDonde para el Jacobiano tenemos: ( x, y ) ( u, v )=xuyuxvyv=1 v v uu= u uv + uv = uY para la regin R , tenemos: 1. En y = x , reemplazando se tiene: y=x uv = u (1 v ) uv = u uv u 2uv = 0 u (1 2v ) = 0 u = 0 v =1 22. En y = 2 x , reemplazando se tiene: y = 2x uv = 2u (1 v ) uv = 2u 2uv 2u 3uv = 0 u ( 2 3v ) = 0 u = 0 v =2 3179 32. Integracin MltipleMOISES VILLENA 3. En x = 1 , reemplazando se tiene: x =1 u (1 v ) = 1 u uv = 1 uv = u 1 v = 1 1 uPor lo tanto R , sera:v=2 3u=01 v= 2Obteniendo la nueva integral y evalundola: dydx =R2 ( x, y ) dudv = ( u, v )1R2=02u2 21 1vdv 02 21 = 2ududv3 11 1v33 11(1 v )1 (1 v ) 2 ( 2 + 1)( 1) 2=dv2 2+1=21 1 2 (1 v )12132321 1 1 = 2 (1 2 ) (1 1 ) 3 2 1 [3 2] 2 1 = 2 =180R v = 11 u 33. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 2 Empleando transformaciones adecuadas, hallar el rea de la regin limitada por: x 2 y = 4 x 2 y = 0 x + y = 4 x + y = 1 SOLUCIN: La regin de integracin sera:y 3 2x 2y = 01 0 -7-6-5-4-3-2-10 -112x + y =1x+ y=4Rx 34567x 2y = 4-2 -3u = x 2 y v = x + yPodemos utilizar la siguiente transformacin: u = 4 u = 0 Las trayectorias se transforman a: v = 4 v = 1 La nueva regin de integracin sera:v=4 u=0Ru=4v =1Entonces:A= dA =R ( x, y ) ( u, v )dudvRHallemos el Jacobiano181 34. Integracin MltipleMOISES VILLENA Note que como u = u ( x, y ) y v = v ( x, y ) Podemos decir que: ( x, y ) ( u, v ) ( x, y )Entonces:= ( u, v )=1 ( u, v ) ( x, y )1 1 1 1 = = = ( u , v ) u x vx 1 1 3 ( x, y ) u y v y 2 1Finalmente:A= ( x, y ) ( u, v )4dudv =R4 11 1 4 4 1 dudv = v 1 u 0 = ( 4 1) 4 = 4 3 3 30Ejemplo 3 Calcularyxe y + x dA donde R es el paralelogramo con vrtices ( 0,1) , ( 0, 2 ) , (1, 0 ) yR( 2, 0 ) . SOLUCIN: Primero identificamos la regin R , ubicando los puntos en el plano y encontrando las ecuaciones de las rectas que definen al paralelogramox=0( 0,2 )( 0,1)x+ y =2Rx + y =1(1,0 )( 2,0 ) y=0u = y x por qu? v = y + xEscogemos la transformacin: Para obtener la regin R , aplicamos la transformacin a cada recta que limita la regin R , Vamos a necesitar la transformacin inversa: Sumando la primera ecuacin a la segunda:182 35. Integracin MltipleMOISES VILLENA u = y x v = y + x y=u + v = 2y1 2(u + v )Multiplicando por (-1) a la primera ecuacin y luego sumando: u = y + x v= y+xu = y x ( 1) x = 1 (v u ) 2 2x vu = v = y + x La ecuacin x + y = 1 , es obvio que se transforma en v = 1 .porqu?La ecuacin x + y = 2 , se transforma en v = 2Para la ecuacin y = 0 , tenemos:Para la ecuacin x = 0 , tenemos:1 2(u + v ) = 01 2(v u ) = 0v = u v=uv = 1 v = 2 Por tanto la regin R , estara limitada por v = u v = u v=2 v=uv = uv =1Escogemos primero un barrido horizontal, por tanto:yxe y + x dA =uv ( x, y ) ( u, v )dudvRREl Jacobiano sera:e ( x, y ) ( u, v )=1 1 1 1 = = = ( u , v ) u x vx 1 1 2 ( x, y ) u y v y 1 1Reemplazando, poniendo lmites y calculando:183 36. Integracin MltipleMOISES VILLENA2euv ( x, y ) ( u, v )dudv =Rv 21 2uv1 dudv 2v1=e ( ue 1 v1vvdv v2=1 2v e e1 ) dv1(e e ) v = 122 221( e e ) ( 4 1) = 4 3( e e ) = 114Ejercicios propuestos 5.4 1.Calcular1 dxdy , donde R es la regin comprendida entre las curvas y = 2 x , x2Ry = x , x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4 en el primer cuadrante.2.Calcularx 2 dA siendo R la regin del primer cuadrante limitada por la hiprbola:Rxy = 16 ; y las rectas: y = x ; y = 0 ; x = 8 .3.Calcular( y + 2 x )( 2R xy = 1 xy = 2 en y x 2 dA , donde R es la regin limitada por 2 y = x y = x2 1 )el primer cuadrante. 4.Calcular1x2 y2 x2 y 2 + = 1 usando la siguiente 2 dA ; siendo R la elipse a2 b a2 b2Rx = r cos transformacin: a . y = r sen b 5.Calcular (x 2 + y 2 ) dA donde R es la regin limitada por las curvas: x 2 y 2 = 1 ;Rx 2 y 2 = 9 ; xy = 2 ; xy = 4 . Utilizando la transformacin:184u = x 2 y 2 v = 2 xy 37. Integracin MltipleMOISES VILLENA6.Calcular(x2+ y 2 ) dA ; siendo R el tringulo con vrtices; (0,0); (4,0); (4,4),Rx = u . y = uvusando la siguiente transformacin: 7.Calcular (x y )( x + 4 y )dA; siendo R el paralelogramo con vrtices; (0,0);R(1,1); (5,0); (4,-1). 8.Evaluar( x y)2cos 2 ( x + y )dA ; R es la regin acotada por el cuadrado conRu = x y v = x + yvrtices (0,1); (1,2); (2,1); (1,0). Utilizando la transformacin 9.Empleando un cambio de variable adecuado evale( x y)2sen 2 ( x + y )dxdy ,Ddonde D es el paralelogramo con vrtices en ( ,0 ) , ( 2 , ) , ( , 2 ) , ( 0, ) .(1,0 ) , ( 0,1) , (1, 2 ) , ( 2,1) tiene una ) ( x y ) gr cm . Determine la masa de la10. Una lmina cuadrada definida por los vrtices densidad variable dada por f ( x, y ) = ( x y 2lmina.Resp.4 322gr.5.1.11 REA DE UNA SUPERFICIE. Si tuvisemos una superficie con ecuacinz = f ( x, y ) ,y quisiramoshallar el valor del rea de una porcin R de la superficie, podemos actuar con la misma metodologa con la que hemos resuelto nuestros problemas hasta el momento; es decir, particionar la regin R y luego sumar dando lugar a una integral. Observe la grfica: zz = f ( x, y ) Ry RxRdSyRdA x185 38. Integracin MltipleMOISES VILLENALlamemosS , al valor del rea de la porcin R dSS=de la superficie, entonces:Rxy obteniendo R a R2 .El asunto sera ahora proyectar la superficie al plano reginR. Podemos pensar en una transformacin deDenotando comoRla funcin vectorial para la superficie, tenemos:R = ( x, y , f ( x , y ) )Los vectores de derivadas parciales con respecto a respecto ala3y ( R x ), seran:R x = (1,0, f x )yx (Rx )y conR y = ( 0,1, f y )Entonces:dS = R x R y dA Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud:i j Rx Ry = 1 0 0 1k f x = ( f x , f y ,1) fyR x R y = 1 + f x2 + f y2 Finalmente:S=dS =R1 + f x 2 + f y 2 dARSi la ecuacin de la superficie est dada en FORMA IMPLCITA, es decirF ( x, y, z ) = 0 . La formula anterior se transforma a: S= R186Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 FzdADemustrela! 39. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjemplo 1 Demuestre que el rea de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 es 4 a 2 . SOLUCIN: Trabajaremos con la porcin superior de la esfera y el resultado del rea multiplicado por 2 por ser simtrica.zz = a2 x2 y 2ya a x La regin R en este caso sera:yax2 + y 2 = a2xaEl rea estara dada por S = 2Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 FzdARReemplazando: S =2Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 Fz dA = 2R( 2x)2+ ( 2 y ) + (2z ) 22z2dAR=24x2 + 4 y2 + 4z 2 dA 2zR=22 x2 + y2 + z 2 dA 2zR=2x2 + y2 + z 2 dA zR187 40. Integracin MltipleMOISES VILLENAReemplazando por la ecuacin de la superficie z =S =2a2 x2 y 2 x2 + y2 + z 2 dA = 2 zRa2 a x2 y2 2dAR= 2a1 a2 x2 y2dARCambiando a polares:S = 2a21 a x y 222dA = 2aR 02= 2aa (a 21 a r2 2rdrd02 r2 )1a 2d2 002= 2a( a 0 ) d0= 2a 22 0= 4 a 2Ejemplo 2 Encuentre el rea de la regin de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 limitada por el cilindrox 2 + y 2 3x = 0 . Soluci.on: Haciendo un dibujozz = 9 x2 y 2y 3 3x La regin R en este caso sera:188 41. Integracin MltipleMOISES VILLENAyr = 3cos3xEl rea estara dada por S = 2Fx 2 + Fy 2 + Fz 2dAFzRReemplazando:S =2Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 Fz ( 2x)dA = 2R2+ ( 2 y ) + ( 2z ) 222zdAR=24 x2 + 4 y 2 + 4 z 2 dA 2zR=22 x2 + y 2 + z 2 dA 2zR=2x2 + y2 + z 2 dA zRReemplazando por la ecuacin de la superficie z = 9 x y 2S =2 x2 + y 2 + z 2 dA = 2 zR92dA9 x2 y 2R=619 x2 y 2dARCambiando a polares: S =61 9 x2 y 23cos dA = 6R0=61 9 r2rdrd0(9 r ) 2 213cos 2d200=6( 3 3sen ) d0= 6 ( 3 + 3cos ) 0= 6 ( 3 + 3 ( 1 1) ) S = 6 ( 3 6 ) u 2189 42. Integracin MltipleMOISES VILLENAPuede ocurrir que no sea posible proyectar la superficie en el plano xy y que si se la pueda proyectar en el plano xz o en el plano yz , en tales casos tenemos: Proyectando en el plano xz . Si la ecuacin de la superficie est dada pory = f ( x, z )dS = 1 + f x 2 + f z 2 dxdz O en forma implcita, siFx 2 + Fy 2 + Fz 2dS = F ( x, y , z ) = 0 FyProyectando en el planoentonces;dxdzyz .Si la ecuacin de la superficie est dada porx = f ( y, z )dS = 1 + f y 2 + f z 2 dydz O en forma implcita siF ( x, y, z ) = 0 , entonces:Fx 2 + Fy 2 + Fz 2dS =FxdydzEjemplo Demuestre que el rea lateral del cilindro, que se muestra es 2 ah .zhS : x2 + y2 = a2 R yaxSOLUCIN: Proyectando en el plano zy190 43. Integracin MltipleMOISES VILLENAS=Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 Fxhdydz = 4a 0Rh=4(2x)+ ( 2 y ) + 02 22xdydz0a 022a 2 a2 y2dydz0ay h = 4a arcsen ( z )0 a 0 = 4a ( arcsen1 arcsen0 ) h = 4a h 2 = 2 ah5.1.11.1 SUPERFICIES PARAMETRIZADAS. Si para una superficie estn dadas sus ecuaciones paramtricas: x = x ( u, v ) S : y = y ( u, v ) z = z ( u, v ) Que definen su vector posicin:R ( u, v ) = ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) ) Entonces el diferencial de superficie est dado por:dS = R u R v dudv Ejemplo. Hallar el rea de la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . SOLUCIN: Empleando las ecuaciones paramtricas para la esfera: x = a sen cos S : y = a sen sen z = a cos ;0 ;0 2El vector posicin para los puntos de la esfera sera:R ( , ) = ( a sen cos , a sen sen , a cos )Las derivadas parciales seran:R = ( a cos cos , a cos sen , a sen ) R = ( a sen sen , a sen cos , 0 )El producto cruz y su magnitud:191 44. Integracin MltipleMOISES VILLENAi R R = a cos cos j a cos sen a sen senk a sena sen cos 0= ( a sen cos , a sen sen , a sen cos cos 2 + a 2 sen cos sen 2 ) 22222R R = a 4 sen 4 cos 2 + a 4 sen 4 sen 2 + ( a 2 sen cos cos 2 + a 2 sen cos sen 2 ) = a 4 sen 4 ( cos 2 + sen 2 ) + a 4 sen 2 cos 2 ( cos 2 + sen 2 )2= a 4 sen 4 + a 4 sen 2 cos 2 = a 4 sen 2 ( sen 2 + cos 2 ) R R = a 2 sen El rea de la esfera estara dado por: 2S= 02a 2 sen d d = a 2 ( cos ) 0 ( ) 0 = a 2 (1 + 1)( 2 ) = 4 a 20Ejercicios propuestos 5.5 1.Calcular el rea de la superficie de la parte del paraboloide x 2 + y 2 = z que queda dentro2.13 13 1 6 Encontrar el rea de la superficie del plano y + z = 4 limitado por el cilindro z = x 2 , y el de la esfera x + y + z 2plano y = 0 . 3.2Resp.= 4z2Resp.()32 2 3Encontrar el rea de la parte de la superficie esfrica x + y + z 2planos z =1y z=22= 1 situada entre los1224.Calcular el rea de la porcin de la superficie z = xy limitada por el cilindro x + y5.Calcular el rea de la porcin de la esfera x + y + z2222=a22=4interior al cilindrox + y = ay ; siendo a>o 26.1922 x = r cos Calcular el rea de la superficie dada por: y = 2r cos z = 0 r 1, 0 22 45. Integracin MltipleMOISES VILLENA5.2 INTEGRALES TRIPLES 5.2.1 DEFINICIN Para definir una integral para una funcin de tres variables, anlogamente a integrales dobles, deberamos pensar que nuestra regin de integracin se extendera a la forma [ a, b ] [c, d ] [ e, g ] ; es decir, ahora se tendra un 3paraleleppedo, una regin de, la cual se la denota comoQ:kg Qedcyb a xSi hacemos particiones deQ , la ijk -sima particin tendra la forma: zk y jY su volumen sera:Vijk = xi y j zk .Una funcin de tres variables particin sera de la formaw = f ( x, y , z )(x , y ,z ) ijkdefinida enQ , para estaf ( x , y , z ) xi y j zk iDondexijkrepresenta un punto cualquiera de laijk -simaparticin.193 46. Integracin MltipleMOISES VILLENAPara todo es decir:Q,habra que considerar una cantidad infinita de particiones, llimmn m k =1 l nj =1f ( x , y , z ) xi y j zk ikji =1De aqu surge la definicin de integrales triplesSea f una funcin de tres variables definida en una regin de 3 , Q = [ a, b ] [ c, d ] [ e, g ] = {( x, y, z ) / a x b c y d e z g }Al lim lmn m k =1 l nj =1f ( x , y , z ) xi y j zk se ijki =1le denomina la Integral Triple de f en Q y se la denota de la siguiente manera: gdbeca f ( x, y, z)dxdydz Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en Q . Sif ( x, y, z ) = 1 , sera el volumen de la regin Q. En esta seccin nosocuparemos de calcular volmenes con integrales triples para familiarizarnos con su planteo y con su evaluacin; en otra seccin calcularemos otras integrales triples y adems con alternativas de evaluacin. El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales tambin, porque al igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales iteradas. Y es ms, si tuvisemos regiones generales tambin el teorema de Fubini es aplicable. Ejemplo 1 1 Encontrar el volumen de la regin acotada por z = x 2 + 3 y 2 y z = 12 x 2 . 3 Solucin Haciendo un dibujo194 47. Integracin MltipleMOISES VILLENAz1 z = 12 x 2 3z = x2 + 3 y 2yx La integral triple para el volumen sera: 3 12 1 x dz dA = 2 2 x +3 y 2V= R=3 12 1 x z x2 + 3 y 2 dA 2R ( ( 12 1 x 2 ) ( x 2 + 3 y 2 ) dA 3 R=4 12 3 x 2 3 y 2 )dARPara definir la regin R , determinemos la curva de interseccin entre las superficies: z = x2 + 3 y 2 1 2 z = 12 x 3 Igualando, tenemos:1 x 2 + 3 y 2 = 12 x 2 3 4 2 x + 3 y 2 = 12 3 x2 y 2 + =1 9 4195 48. Integracin MltipleMOISES VILLENAyx2 y 2 + =1 9 42y=+ 36 4 x 2 330xPoniendo lmites, tenemos:V=3(12 4 3x 2 3 y 2 )dA = 4 0R3=4 0 3=4+ 36 4 x 2 3 0(12 4 3x 2 3 y 2 ) dydx036 4 x 2 3 3 ( 36 4 x 2 ) y y 3 dx 3 3 0 3 3 36 4 x 2 2 2 ) ( 36 4 x ) 2 dx ( 9 27 3=43 2 ( 36 4 x2 ) 2 dx 270Empleando sustitucin trigonomtrica:x 0 t 0 x = 3sent entonces dx = 3cos t dt y x 3 t 2 reeemplazando196 49. Integracin MltipleMOISES VILLENA 3V=42 (36 4 (3sent ) )2 8 ( 36 4 x2 ) 2 dx = 27 27 32032( 3cos tdt )0=8 272( 6 cos t ) ( 3cos tdt ) 3016 = 32(cos 4 t ) dt016 = 32 1 + cos 2t dt 2 2016 = 3(1 + 2 cos 2t + cos 2t ) dt2240 2 2 2 (1 + cos 4t ) 4 = dt + 2 cos 2tdt + dt 3 2 0 0 0 =4 sen 2t 1 sen4t 2 t + 2 2 + 2 t + 8 3 0=4 3 3 2 2 V = u3Ejemplo 2 Empleando integrales triples para calcular el volumen de la esfera que tiene por ecuacin x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Solucin: Haciendo un grficozz = a2 x2 y2 Q dzdydxy aaz=0x 197 50. Integracin MltipleMOISES VILLENAEl volumen del paraleleppedo diferencial sera: dV = dzdA (altura por rea de la base), ser mejor plantearlo de esta forma para que el dA sea planteado igual que en integrales dobles. El volumen total sera:V=dzdAQTrabajando con la porcin superior de la esfera, haciendo un barrido vertical, el lmite inferior para z sera la ecuacin del plano z = 0 y el lmite superior sera la ecuacin de la esferaz = a 2 x 2 y 2 , entonces: V =2 22 Rz =a x02 y dz dA = 2 a 2 x 2 y 2 dARlos dems lmites se los obtiene observando la proyeccin de la superficie en el plano xyyax2 + y2 = a2xaPasando a polares y evaluando la integral:V =22a x y dA = 2 222 0R2=2aa 2 r 2 rdrd02 2 2 (a r ) 3 23a203 2 = ( a 2 ) 2 0 3 4 3 = a 30 2 0Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse laboriosa en su evaluacin; por tanto, aqu tambin es posible utilizar trasformaciones.198 51. Integracin MltipleMOISES VILLENA5.2.2 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFRICAS Recordemos que las transformaciones en coordenadas esfricas son: x = sen cos y = sen sen z = cos Anlogamente a integrales dobles, ahora una integral triple en condiciones especiales puede ser expresada de la siguiente forma:f ( x, y, z )dV =Qf ( , , )Q ( x, y , z ) ( , , )d d d Hallemos el Jacobiano: x = x ( , , ) x ( x, y , z )y y yz z zsen cos = sen sen cos cos sen sen sen cos cos sencos 0 sen= cos 2 sen cos sen 2 2 sen cos cos 2 sen sen 2 cos 2 + sen 2 sen 2 = 2 sen cos 2 sen 2 + cos 2 2 sen3 sen 2 + cos 2 = 2 sen cos 2 2 sen3 = 2 sen cos 2 + sen 2 = 2 senPor tanto: ( x, y , z ) ( , , )= 2 senEjemplo 1 Calcular el volumen de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 empleando coordenadas esfricas. Solucin:La ecuacin de la esfera en coordenadas esfricas es = a199 52. Integracin MltipleMOISES VILLENAz =a yxEl volumen estara dado por: 2V=a 00 2 sen d d d0Evaluando 2V= 002a sen d d d = 20 03 3asen d d 002=a3 3( cos ) 0 d02=a3 3(1 + 1) d02a 3 = 3 4 a 3 = 32 0Ejemplo 2 Hallar el volumen de la porcin del cono z 2 = x 2 + y 2 , limitada superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Solucin: Haciendo un dibujo:200 53. Integracin MltipleMOISES VILLENAz =a= 4yxLa integral para el volumen sera: 2V=4a 00 2 sen d d d0Evaluando 2V=4 002a sen d d d = 204 03 3asen d d 002=a3 3( cos ) 0 4 d02=a3 3 0 2 1 d 2 2 2 a = 1 3 2 0 3 2 a 2 = 1 3 2 3201 54. Integracin MltipleMOISES VILLENAEjercicios Propuestos5.61.Determine el volumen del slido limitado en su parte superior por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 y en su parte inferior por el cono x 2 + y 2 = 2 z 2 ; considere z 0 .2.Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro x + y3.hiperboloide x + y z = a Calcular el volumen del slido limitado por los tres planos coordenados, la superficie22222= a 2 y el2z = x 2 + y 2 ;y el plano x + y = 1 Calcular el volumen del slido limitado por la esfera x + y + z 24.z2 = x2 + y2;22= a 2 y el conoz05.Calcular el volumen del slido limitado superiormente por la esfera x + y + z6.e inferiormente por el cono x + y = z . Resp. 8 Calcular el volumen del slido limitado por las superficies:22x 2 + y 2 = 2z ; 7.222= 4z2x 2 + y 2 z 2 = 1 ;yz=0Utilizando una transformacin adecuada, hallar el volumen del cuerpo limitado por elx2 y2 z2 + + =2 9 4 25elipsoidey el conox2 y2 z2 + =0 9 4 25Sea un campo escalar f ( x, y , z ) definido sobre una regin Q R 3 , se define el valor8.medio de f por: f med = f (x, y, z )dV , donde V(Q) es el volumen de Q.1 V (Q )QEncontrar el valor medio de f ( x, y, z ) = xyz sobre el cubo de lado "L" que se encuentra en el primer octante con vrtice en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenadosMiscelneos 1.Califique como verdaderas o falsas lasa siguientes proposiciones: ea)ln x 1f ( x, y )dydx = ln x11e1 x 20f ( x, y )dxdy +1 1ey0ef ( x, y )dxdye y1 x 2b)c)El valor promedio de la funcin f ( x, y ) = xy en la regin [ 0,1] [1,3] es igual a 1.12e)2.1f ( x, y )dydx = 21 x+ 3 y )dydxf ( x, y )dxdy02 y 121 + 1 y 2f ( x, y ) dydx = 2(xx 102 x1f ( x, y ) dxdy +12 y 0f ( x, y ) dxdy1 yEmpleando integrales dobles, calcular el rea de la regin limitada por: 2 a) y = 10 x + 25b) x + y 2202 11 ( x 1) 0+ 3 y )dydx = 20 02x 11d)(x2;y 2 = 6 x + 9= 2x ; x 2 + y 2 = 4x ;y=x; y=0 55. Integracin MltipleMOISES VILLENA3.Calcule la integrales doble sobre la regin Ry 1 + x2,R y=0 R = y = x x=4 2 44.Calcularx sen x dx dy0 y2 2 25.Calcularx 1 + y 3 dydx0 xydonde R es la regin limitada por y = x 2 , y = x , x = 1 , x = 2 .6.Evaluar7.Suponga que el tringulo R con vrtices (0,0) , (0,10) y (10,0) representa la regin situada dentro del lmite de cierta regin de la provincia de Manab. Despus de una tormenta de invierno, la x y 1 profundidad del agua en el punto (x, y) de R era f ( x, y) = 500 e 100e 50 cm. Suponiendoe x dARque x e y se miden en centmetros HALLE una expresin para establecer la profundidad media del agua en la regin.8.Para las integrales dadas, calcular el valor de la integral, dibujar la regin de integracin, cambiar el orden de integracin y calcular el valor de la nueva integral. 2 (x y + y )dxdy 1a)10 1 y 2aab)adxdz a2 x20 z3 (y + y )dydx 1c)x0 x 1+ cos x 2d)y0 ln 81Evaluar sen xdydx0e)9.0 ln yex+ ydxdyxdA ; si R es un tringulo con vrtices los puntos (2,3) ; (7,2) ; (4,5).R10. CalcularxydA donde D es la regin comprendida entre la elipse x 2 + 2 y 2 = 1 y laDcircunferencia x + y 211. Calcular xydA2= 1 en el primer cuadrante.donde D es el cuadrado con vrtices (0,0); (1,1); (2,0); (1,-1).D12. Evaluarx y cos dA ; donde R es el rectngulo [0,2]x[-1,0]. 4 R203 56. Integracin MltipleMOISES VILLENA13. Calcular(x2+ 2 y 2 ) dA ; R es la regin acotada por las grficas xy = 1 ; xy = 2 ;Ry = x ; y = 2 x . Utilizando la transformacin:u v y=vx=14. Encuentre el rea de la superficie del paraboloide hiperblico z = y 2 x 2 comprendida entre los cilindros x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4 . 15. Determine el volumen del slido comprendido entre las esferas S1 : x 2 + ( y 1) + z 2 = 4 y 2S 2 : x 2 + ( y + 1) + z 2 = 4 . 2Resp. 103 16. Determine el rea de la superficie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 que se encuentra en elinterior del cilindro x 2 + y 2 = a 2 . Considere z 0204