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1 UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CATEDRA: CALCULO III PROFESOR: PEDRO COLINA EJERCICIOS INTEGRALES MULTIPLES CONDICIONES GENERALES. FECHA ÚLTIMA DE ENTREGA LUNES 04 FEBRERO 2013. ENTRE LAS HORAS DE 7.20am Y 11.30am. NO SE ACEPTARA NI EN HORA NI EN FECHA POSTERIOR POR NINGUN MOTIVO. TOME TODAS LAS PREVISIONES DEL CASO. NO SERA CONSIDERADA PARA LA NOTA DEL RECUPERATIVO SI ES QUE LO HUBIERA, UNICAMENTE PARA EL PARCIAL. LES ENVIO UN LISTADO POR CADA SECCION, VERAN EL NUMERO QUE LES CORRESPONDE EN ESE LISTADO Y ENTONCES RESOLVERAN LOS EJERCICIOS CUYOS NUMEROS CORRESPONDAN CON EL NUMERO DEL ALUMNO EN SU LISTA. Por ejemplo, si en la sección 001, el alumno Descartes Hermágoras aparece como numero SEIS en la lista, el deberá resolver: de la parte A el ejercicio número 6, de la parte B el ejercicio número 6 y de la parte C el ejercicio número 6. Otro ejemplo, si en la sección 008, el alumno Sierralta Javier parece como número 27 en la lista, el deberá resolver: de la parte A el ejercicio número 27, de la parte B el ejercicio número 27 y de la parte C el ejercicio número 27. PARA LA NOTA DEL TERCER PARCIAL LA ACTIVIDAD TENDRA UN PESO DE 3 PUNTOS DE LA NOTA DE ESTE CORTE. CADA EJERCICIO PUEDE VALER HASTA UN PUNTO.

Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

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UNIVERSIDAD DEL ZULIAFACULTAD DE INGENIERIADEPARTAMENTO DE MATEMATICASCATEDRA: CALCULO IIIPROFESOR: PEDRO COLINA

EJERCICIOS INTEGRALES MULTIPLES

CONDICIONES GENERALES.

FECHA ÚLTIMA DE ENTREGA LUNES 04 FEBRERO 2013. ENTRE LAS HORAS DE 7.20am Y 11.30am. NO SE ACEPTARA NI EN HORA NI EN FECHA POSTERIOR POR

NINGUN MOTIVO. TOME TODAS LAS PREVISIONES DEL CASO.

NO SERA CONSIDERADA PARA LA NOTA DEL RECUPERATIVO SI ES QUE LO HUBIERA, UNICAMENTE PARA EL PARCIAL.

LES ENVIO UN LISTADO POR CADA SECCION, VERAN EL NUMERO QUE LES CORRESPONDE EN ESE LISTADO Y ENTONCES RESOLVERAN LOS EJERCICIOS CUYOS NUMEROS CORRESPONDAN CON EL NUMERO DEL ALUMNO EN SU LISTA. Por ejemplo, si en la sección 001, el alumno Descartes Hermágoras aparece como numero SEIS en la lista, el deberá resolver: de la parte A el ejercicio número 6, de la parte B el ejercicio número 6 y de la parte C el ejercicio número 6. Otro ejemplo, si en la sección 008, el alumno Sierralta Javier parece como número 27 en la lista, el deberá resolver: de la parte A el ejercicio número 27, de la parte B el ejercicio número 27 y de la parte C el ejercicio número 27.

PARA LA NOTA DEL TERCER PARCIALLA ACTIVIDAD TENDRA UN PESO DE 3 PUNTOS DE LA NOTA DE ESTE CORTE. CADA EJERCICIO PUEDE VALER HASTA UN PUNTO.

Condiciones básicas: La actividad es individual. Consta de TRES ejercicios a entregar: uno de la parte A, uno de la parte B y otro de la parte C. Se podrá entregar el hoja de examen, deben realizar la gráfica correspondiente en aquellos casos que

lo amerite, debe estar limpio, ordenado y siguiendo la secuencia. SE EVALUARA: Enunciado del ejercicio, graficas tipo bosquejo PERO que sea representativa de

las curvas o superficies; identificación de cada una de las curvas, superficies ejes, orden y explicación de lo que se hace durante el desarrollo del mismo; tanto las operaciones algebraicas, resultados, propiedades aplicadas, etc, deben estar a la vista, nada tipo directo, las explicaciones a que haya lugar y por supuesto la conclusión de cada ejercicio. Cada parte tiene una puntuación: por ejemplo:

Page 2: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

2

Enunciado: 0.10 pto Graficas: 0.3 pto Desarrollo: 0.50 pto (limpieza, orden, secuencia, explicación, comentarios respectivos además

los errores restan punto a las partes) Conclusión: 0.10pto

DEBERA ESTAR ESCRITO A BOLIGRAFO, NUNCA A LAPIZ, NO SE ACEPTARA, NO SE MOLESTE QUE NO LO ACEPTARE A LAPIZ. EXCEPTO LAS GRAFICAS.

La gráfica, si es necesaria, puede hacerla en papel milimetrado y pegarla a la hoja donde aparece resuelto el ejercicio, esta si puede estar a lápiz, debe indicar los ejes del plano, la ecuación de las curvas o superficies graficadas y la región de estudio considerada.

El alumno que no entregue la actividad, perderá todos los puntos correspondientes a esta parte de la evaluación, NO SE RECUPERARÁ ESTA ACTIVIDAD. ESTA ACTIVIDAD SOLO SE ACEPTARA EN LA FECHA CORRESPONDIENTE ARRIBA INDICADA O SE PUEDE ENTREGAR EN UNA FECHA PREVIA A LA FIJADA.

Cada ejercicio correctamente realizado tendrá un peso correspondiente a un punto en la evaluación. Realícelo con calma para que no cometa errores y tenga que hacer correcciones, ya que estas restan

puntos al trabajo. Como es un trabajo para el ALUMNO y son muchos alumnos, EL PROFESOR NO LOS

ASESORARA, son ejercicios que pueden ser evaluados en la prueba parcial.

Page 3: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

3

A) EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS TIPO TAREA INTEGRALES MULTIPLES.EJERCICIOS GRUPO A

En los siguientes ejercicios use integrales MÚLTIPLES para determinar el volumen del sólido dado:

1) El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico y2+64 z2=4 y el

plano y=x .

2) El volumen del sólido acotado por el cilindro y=x2+2 , y los planos: y=4 , z=0,3 y=4 z

3) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por la esfera x2+ y2+ z2=32

y abajo por el

plano z=0 y lateralmente por el cilindro x2+ y2=4

4) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por el plano z= y , por abajo por el plano xy y lateralmente por el cilindro circular recto que tiene radio 4 y cuyo eje es el eje z.

5) Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z=xy , por encima del plano xy y dentro del

cilindro x2+ y2=2 x recto que tiene.

6) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo acotado por arriba por z=12−2x2−2 y2, y

abajo por z=x2+ y 2

7) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo dentro de 4=x2+ y2

, fuera de 1=x2+ y2

bajo z=12−2x2−2 y2, y arriba de z=0 .

8) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: x2+ y2=4 que

resulta, x2+z2=4

9) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: z2+ y2=4 que

resulta, x2+z2=4

10) Calcule el área del cilindro x2+z2=4

que esta dentro del cilindro x2+ y2=4 .

11) Encuentre el volumen del sólido de la región entre el cilindro z= y2

, el plano xy que está

limitada por los planos: x=0 , x=1 , y=1 , y=−1 .12) Encuentre el volumen del sólido de la región del primer octante limitada por los planos x+z=1 , y+2 z=2 .

13) Determine el volumen del sólido en el primer octante, limitado por los planos coordenados, el

plano y+z=2 , y el cilindro x=4− y2.

14) Hallar el volumen de la cuña cortada por el cilindro x2+ y2=1 , y por los planos z=− y , z=0 .

15) Encuentre el volumen del sólido formado por el tetraedro en el primer octante limitado por los

planos coordenados y el plano x+ y

2+ z

3=1

.16) Determine el volumen de la región sólida en el primer octante limitada por los planos

coordenados, el plano y=1−x , la superficie z=cos (πx 2) , para 0≤x≤1 .

17) Determine el volumen del sólido que resulta de la intersección de los cilindros: x2+ y2=1 ,

x2+z2=1 .18) Determine el volumen del sólido que esta por encima del plano xy que resulta de la intersección

de los cilindros: x2+ y2=1 , x

2+z2=1 .

Page 4: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

4

19) Determine el volumen del sólido en el primer octante que resulta de la intersección de los

cilindros: x2+ y2=1 , x

2+z2=1 .20) Encuentre el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos

coordenados y la superficie z=4−x2− y .21) Halle el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos

coordenados, el plano x+ y=4 , y el cilindro y2+4 z2=16

22) Encuentre el volumen de la región sólida cortada por el cilindro x2+z2=4 , el plano z=0 y el

plano x+z=3 .23) Calcule el volumen del sólido encerrado por las graficas de las ecuaciones dadas:

y=0 , z=0 , y=x , z=x , x=0 , x=5

24) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: y=1−x2,

z=1− x2, en el primer octante.

25) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z= 1

1+ y2,

x=0 , x=2 , y≥0 .

26) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z= 1

1+x2+ y2,

z=0 , y=0 , x=0 , y=−x

2+1

27) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: 9− y=x2,

z2=9− y , ubicado en el primer octante.

Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

28)∫0

a

∫0

√a2− y2

ydxdy

29)∫0

a

∫0

√a2−x2

xdxdy

30)∫0

3

∫0

√32−x2

( x2+ y2)3

2 dydx

31)∫0

2

∫0

√8− y2

√x2+ y2 dxdy

32)∫0

2

∫0

√2 x− x2

( xy )dydx

33)∫0

4

∫0

√4 y− y2

(x2)dxdy

Use la integración doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido acotado por las gráficas de las funciones.

Page 5: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

5

34) z=xy , x2+ y2=1 , en el primer octante.

35) z=x2+ y 2+1 , z=0 , z=x

2+ y 2+1

36) z=√ x2+ y2, z=0 , x

2+ y2=25

37) z=ln (x2+ y2) , z=0 , 1≤x2+ y2≤4

38) Interior al hemisferio z=√16−x2− y2 y al cilindro x

2+ y2−4 x=0

39) Interior al hemisferio z=√16−x2− y2 y exterior al cilindro x

2+ y2=1

40) Determine el valor a de modo que el volumen interior del hemisferio z=√16−x2− y2 y

exterior al cilindro , sea la mitad del volumen del hemisferio.

EJERCICIOS GRUPO B

1) Interior al hemisferio z=√16−x2− y2 y exterior al cilindro

2) Determine el valor a de modo que el volumen interior del hemisferio z=√16−x2− y2 y

exterior al cilindro , sea la mitad del volumen del hemisferio.

3) Encuentre el volumen del sólido encerrado por el cono z=√ x2+ y2, entre los planos z=1 y

z=2 .

4) Halle el volumen del sólido de la región limitada por el plano z=0 , lateralmente por el cilindro

x2+ y2=1 y arriba por el paraboloide z=x2+ y 2

.

5) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el paraboloide z=x2+ y 2

,

lateralmente por el cilindro x2+ y2=1 y arriba por el paraboloide z=x

2+ y 2+1 .

6) Encuentre el volumen del sólido cortado del cilindro de pared gruesa 1≤x2+ y2≤2 por los

conos z=±√x2+ y2.

7) Determine el volumen de la región que se encuentra dentro de la esfera, y fuera del cilindro

x2+ y2=1 .

8) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro x2+ y2=4 y los planos

z=0 , y+z=4 .

AREA DE SUPERFICIE

9) Calcule el área del cilindro x2+z2=4

que esta dentro del cilindro x2+ y2=4 .

10) Determinar el valor del diámetro que ha de tener una perforación vertical por el centro del sólido

acotado por las gráficas de las ecuaciones: z=25 e−( x2+ y2 )/4

, z=0 , x2+ y2=16 , de tal manera

que se elimine la décima parte del volumen del sólido.

11) La parte del plano 3 x+4 y+6 z=12 , que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices (0,0 ); (2,0 ) ; (2,1 ) ; (0,1 ) .

12) La parte del plano 3 x+2 y+6 z=12 acotada por los planos x=0 , y=0 , y por 3 x+2 y=12 .

Page 6: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

6

13) La parte de la superficie z=√4− y2, en el primer octante, que esta directamente arriba de la

circunferencia x2+ y2=4 en el plano xy.

14) La parte del paraboloide z=x2+ y 2

recortada por el plano z=4 .

15) La parte del paraboloide z=x2+ y 2

recortada por el plano .

16) La parte del paraboloide z=x2+ y 2

recortada por el plano .

17) La parte de la superficie z= x

2

4+4

, cortada por los planos x=0 , x=1 , y=0 , y por y=2 .

18) La parte de z=9−x2− y2, por arriba del plano z=5

19) Porción del plano z=24−3 x−2 y ubicado en el primer cuadrante.

20) Porción del paraboloide z=16−x2− y2 ubicado en el primer cuadrante.

21) Porción de la esfera x2+ y2+ z2=25 ubicado en el interior del cilindro x

2+ y2=9 .

22) Porción del cono z=√ x2+ y2 en el interior del cilindro x

2+ y2=1 .

23) La parte de la función f ( x , y )=2 y+x2que se encuentra la región dado por la región triangular

dada por los puntos: (0,0), (1,0), (1,1).

24) La parte de la función f ( x , y )=2x+ y2que se encuentra la región dado por la región triangular

dada por los puntos: (0,0), (2,0), (2,2).

25) La parte de la función f ( x , y )=4−x2− y2que se encuentra la región R dada por

R={( x , y ) :0≤f ( x , y ) }

Resuelva lo pedido encada caso

26) Use integración doble para hallar el volumen del solido encerrado entre el plano y el cono

z=√ x2+ y2

27) Use integración doble para hallar el volumen del solido acotado superiormente por el cono

, dentro del cilindro y sobre el plano xy.

28) Use integrales dobles para determinar el volumen del sólido ubicado en el primer octante,

formado por el plano y por los planos xy, xz, yz.

29) Usar la integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido acotado por las

graficas dadas: el paraboloide , el plano , el cilindro .

30) Calcule el volumen del sólido del primer octante acotado por el cilindro , y el plano . Use integrales dobles o triples.

31) Determine el volumen del solido formado por el tetraedro (pirámide) en el primer octante,

limitado por el plano y por los planos coordenados principales: x=0, y=0, z=0.

2z

22 yxz 422 yx

2 2x y z

122 yxz 0z 422 yx

122 yxxz

424 zyx

Page 7: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

7

32) Determine el volumen del solido formado por el tetraedro (pirámide) en el primer octante,

limitado por el plano y por los planos coordenados principales: x=0, y=0, z=0.

33) Calcule el volumen del sólido del primer octante acotado por el cilindro , y el plano . Es una especie de cuña semi circular.

34) Use integración doble para hallar el volumen del solido encerrado entre el plano y el cono

z=√ x2+ y2

35) Use integrales dobles para determinar el volumen del sólido ubicado en el primer octante,

formado por el plano y por los planos xy, xz, yz.

36) Determine el volumen del sólido acotado lateralmente por el cilindro ,

superiormente por el plano e inferiormente por el plano .Calcule el

volumen del sólido limitado por el cilindro , por el paraboloide , y por el plano xy

37) Determine el volumen del sólido formada por la intersección de los cilindros: , y el

cilindro Halle el volumen del sólido de la región limitada arriba por el paraboloide

, abajo por el plano xy, situada fuera del cilindro .

38) Halle el volumen del sólido de la región limitada arriba por el paraboloide , abajo

por el plano xy, situada fuera del cilindro .

EJERCICIOS GRUPO C

1) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada arriba por , abajo por

, lateralmente por el cilindro .

2) Encuentre el volumen del sólido cortado del cilindro de pared gruesa y de los

conos .

3) Encuentre el volumen del sólido que resulta de la intersección de los y

4) Use integrales dobles para determinar el volumen del solido formado por el tetraedro (pirámide)

en el primer octante, limitado por el plano y por los planos coordenados

principales: .

5) Encuentre el volumen del sólido formado por el tetraedro en el primer octante limitado por los

planos coordenados y el plano .

424 zyx

xz

922 yx

1233 zyx 0zyyx 222 zyx 222

422 zx

422 yx229 yxz 122 yx

122 yx

122 yxz22 yxz 122 yx

21 22 yx

22 yxz

122 yz 122 xz

424 zyx

0,0,0 zyx

12 3

y zx

Page 8: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

8

6) En el siguiente ejercicio use integración triple en coordenadas cilíndricas o esféricas para hallar el volumen

del sólido, limitado por arriba por la esfera y por debajo por el paraboloide

7) Use integración múltiple para hallar el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro:

y por los planos: y por

8) Calcule el volumen del sólido encerrado por las graficas de las ecuaciones dadas:

, en el primer octante.

9) Encuentre el volumen del solido encerrado por el cono , y entre los planosz=1 y z=2

10) Calcule el área del cilindro x2+z2=4

que esta dentro del cilindro x2+ y2=4 .

Calculo de masas

11)Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola , y por la

recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados

12) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola , y

por la recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

13) Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse y por la parábola

, si la densidad es

14)Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse y por la parábola , si

la densidad es .

15)En el siguiente ejercicio use la integración doble para hallar la masa y el centro de masa de la lámina dada por

las siguientes condiciones: , y para la densidad .

16)El área de la región del primer cuadrante limitada por la parábola 26 xxy , y la recta yx , es de

125/6 unidades cuadradas. Encuentre el centroide de la región.

17)Hallar la masa y el centro de masa de la lámina acotada por las graficas de las ecuaciones dadas a

continuación: , para la densidad

18) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola , y

por la recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

19) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas , y

por siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

2222 zyx 22 yxz

2 2 4x y y

0z 4z y

0, 0, , , 0, 5y z y x z x x x

22 yxz

2y x

2 0x y 2 2y x

2y x4y 2xy

2 24 12x y 24x y

2 24 12x y 24x y

5x

0,16 2 xyx kx

2y x

Page 9: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

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20) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas

, y por siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

21)Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola , y por la

recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados

22) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola , y

por la recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

23) Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse y por la parábola

, si la densidad es

24)Determine la masa de la placa de la región acotada por la elipse y por la parábola , si

la densidad es .

25)En el siguiente ejercicio use la integración doble para hallar la masa y el centro de masa de la lámina dada por

las siguientes condiciones: , y para la densidad .

26)El área de la región del primer cuadrante limitada por la parábola 26 xxy , y la recta yx , es de

125/6 unidades cuadradas. Encuentre el centroide de la región.

27)Hallar la masa y el centro de masa de la lámina acotada por las graficas de las ecuaciones dadas a

continuación: , para la densidad

28) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por la parábola , y

por la recta siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

29) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas , y

por siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

30) Determine la masa de la lámina que tiene la forma de la región acotada por las parábolas

, y por siendo la densidad superficial en cualquier punto y se mide en kilogramos por metros cuadrados.

31) Calcule el área del cilindro x2+z2=4

que esta dentro del cilindro x2+ y2=4 .

32) Determinar área del cilindro que esta dentro del cilindro

33) La parte del plano 3 x+4 y+6 z=12 , que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices (0,0 ); (2,0 ) ; (2,1 ) ; (0,1 ) .

34) La parte del plano 3 x+2 y+6 z=12 acotada por los planos x=0 , y=0 , y por 3 x+2 y=12 .

2y x

2 0x y 2 2y x

2y x4y 2xy

2 24 12x y 24x y

2 24 12x y 24x y

5x

0,16 2 xyx kx

2y x

Page 10: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

10

35) La parte de la superficie z=√4− y2, en el primer octante, que esta directamente arriba de la

circunferencia x2+ y2=4 en el plano xy.

Calculo de área de superficie36) La parte del paraboloide z=x

2+ y 2recortada por el plano .

37) La parte de la superficie z= x

2

4+4

, cortada por los planos x=0 , x=1 , y=0 , y por y=2 .

38) La parte de z=9−x2− y2, por arriba del plano z=5

39) La parte del paraboloide z=x2+ y 2

recortada por el plano z=4 .

40) Porción del plano z=24−3 x−2 y ubicado en el primer cuadrante.

POR SI ACASO TIENEN TIEMPO LIBRE.COSA QUE DUDO.

Page 11: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

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UNIVERSIDAD DEL ZULIAFACULTAD DE INGENIERIADEPARTAMENTO DE MATEMATICASCATEDRA: CALCULO IIIPROFESOR: PEDRO COLINA

EJERCICIOS INTEGRALES MULTIPLES

B) INTEGRALES DOBLES.

En los siguientes ejercicios determine el área de la superficie:

1) La parte del plano 3 x+4 y+6 z=12 , que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices (0,0 ); (2,0 ) ; (2,1 ) ; (0,1 ) .

2) La parte del plano 3 x+2 y+6 z=12 acotada por los planos x=0 , y=0 , y por 3 x+2 y=12 .

3) La parte de la superficie z=√4− y2, en el primer octante, que esta directamente arriba de la

circunferencia x2+ y2=4 en el plano xy.

4) La parte del paraboloide z=x2+ y 2

recortada por el plano z=4 .

5) La parte de la superficie z= x

2

4+4

, cortada por los planos x=0 , x=1 , y=0 , y por y=2 .

6) La parte de la esfera x2+ y2+ z2=a2

, dentro del cilindro elíptico b2 x2+a2 y2=a2b2

, donde 0¿¿

7) La parte del cilindro x2+ y2=ay , dentro de la esfera x

2+ y2+ z2=a2, a¿0¿ . Sugerencia:

proyecte al plano yz para obtener la región de integración.

8) La superficie del sólido dado por la intersección de los dos cilindros sólidos x2+z2≤a2

y por

x2+ y2≤a2, sugerencia: tal vez necesite la fórmula de integración:

∫ (1+sin (ϑ ) )−1dθ=− tan ( (π−2θ )/4 )9) La parte de z=9−x2− y2

, por arriba del plano z=5

10) Demuestre que el área de la superficie G formada al cortar el hemisferio x2+ y2+ z2=a2

, para

z≥0 por los planosz=h1 ,y por z=h20≤h1≤h2≤a , es A (G )=2 πa (h2−h1 ) .11) Considere la parte de la esfera x

2+ y2+ z2=a2

con z≥0 entre los planosz=h1 ,y por z=h2

(0≤h1≤h2≤a ), determine el valor de h tal que el plano z=h corte a la mitad el área de la superficie.

12) Demuestre que el casquete polar de una esfera de radio a, determinado mediante el ángulo

esférico Ø tiene área: A (G )=2 πa2 (1−cos (φ ))

C) INTEGRALES TRIPLES.

En los siguientes ejercicios use integrales triples para determinar el volumen del sólido dado:

13) El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico y2+64 z2=4 y el

plano y=x .

14) El volumen del sólido acotado por el cilindro y=x2+2 , y los planos: y=4 , z=0,3 y=4 z

Page 12: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

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15) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por la esfera x2+ y2+ z2=32

y abajo por el

plano z=0 y lateralmente por el cilindro x2+ y2=4

16) Calcule el volumen del sólido acotado por arriba por el plano z= y , por abajo por el plano xy y lateralmente por el cilindro circular recto que tiene radio 4 y cuyo eje es el eje z.

17) Calcule el volumen del sólido bajo la superficie z=xy , por encima del plano xy y dentro del

cilindro x2+ y2=2 x recto que tiene.

18) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo acotado por arriba por z=12−2x2−2 y2, y

abajo por z=x2+ y 2

19) Obtenga el centro de masa del sólido homogéneo dentro de 4=x2+ y2

, fuera de 1=x2+ y2

bajo z=12−2x2−2 y2, y arriba de z=0 .

20) Dos cilindros de radio a, se intersecan de modo que sus ejes se cortan formando un ángulo recto, calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección.

21) Dos cilindros de radio a, se intersecan de modo que sus ejes se cortan formando un ángulo recto, calcule el área de la parte de uno cortada por el otro.

22) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: x2+ y2=4 que

resulta, x2+z2=4

23) Calcule el volumen del sólido que resulta de esa intersección de los cilindros: z2+ y2=4 que

resulta, x2+z2=4

24) Calcule el área del cilindro x2+z2=4

que esta dentro del cilindro x2+ y2=4 .

En los siguientes ejercicios use integrales triples para hallar lo pedido:

25) Encuentre el volumen del sólido de la región entre el cilindro z= y2

, el plano xy que está

limitada por los planos: x=0 , x=1 , y=1 , y=−1 .26) Encuentre el volumen del sólido de la región del primer octante limitada por los planos x+z=1 , y+2 z=2 .

27) Determine el volumen del sólido en el primer octante, limitado por los planos coordenados, el

plano y+z=2 , y el cilindro x=4− y2.

28) Hallar el volumen de la cuña cortada por el cilindro x2+ y2=1 , y por los planos z=− y , z=0 .

29) Encuentre el volumen del sólido formado por el tetraedro en el primer octante limitado por los

planos coordenados y el plano x+ y

2+ z

3=1

.30) Determine el volumen de la región sólida en el primer octante limitada por los planos

coordenados, el plano y=1−x , la superficie z=cos (πx 2) , para 0≤x≤1 .

31) Determine el volumen del sólido que resulta de la intersección de los cilindros: x2+ y2=1 ,

x2+z2=1 .32) Determine el volumen del sólido que esta por encima del plano xy que resulta de la intersección

de los cilindros: x2+ y2=1 , x

2+z2=1 .33) Determine el volumen del sólido en el primer octante que resulta de la intersección de los

cilindros: x2+ y2=1 , x

2+z2=1 .

Page 13: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

13

34) Encuentre el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos

coordenados y la superficie z=4−x2− y .35) Halle el volumen del sólido de la región en el primer octante limitado por los planos

coordenados, el plano x+ y=4 , y el cilindro y2+4 z2=16

36) Encuentre el volumen de la región sólida cortada por el cilindro x2+z2=4 , el plano z=0 y el

plano x+z=3 .

En los siguientes ejercicios use coordenadas esféricas para determinar lo pedido

37) Hallar el centro de masa de un hemisferio sólido de radio a, si la densidad es proporcional a la distancia del centro de la esfera.

38) Hallar el centro de masa de un hemisferio sólido de radio a, si la densidad es proporcional a la distancia del eje de simetría.

39) Calcule el volumen del sólido dentro de la esfera x2+ y2+ z2=16 , fuera del cono

z=√ x2+ y2, y por arriba del plano xy.

40) Determine el volumen del sólido dentro de las esferas ρ=2√2 cos (φ ) y ρ=2 .

D) INTEGRALES DOBLES. CALCULO DE VOLUMENES Usar integrales dobles o triples para determinar el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas.

41) Calcule el volumen del sólido encerrado por las graficas de las ecuaciones dadas: y=0 , z=0 , y=x , z=x , x=0 , x=5

42) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: y=1−x2,

z=1− x2, en el primer octante.

43) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z= 1

1+ y2,

x=0 , x=2 , y≥0 .

44) Halle el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: z= 1

1+x2+ y2,

z=0 , y=0 , x=0 , y=−x

2+1

45) Calcule el volumen del sólido acotado por las graficas de las ecuaciones dadas: 9− y=x2,

z2=9− y , ubicado en el primer octante.

Calcular las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

46)∫0

a

∫0

√a2− y2

ydxdy

47)∫0

a

∫0

√a2−x2

xdxdy

Page 14: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

14

48)∫0

3

∫0

√32−x2

( x2+ y2)3

2 dydx

49)∫0

2

∫0

√8− y2

√x2+ y2 dxdy

50)∫0

2

∫0

√2 x− x2

( xy )dydx

51)∫0

4

∫0

√4 y− y2

(x2)dxdy

Use la integración doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido acotado por las gráficas de las funciones.

52) z=xy , x2+ y2=1 , en el primer octante.

53) z=x2+ y 2+1 , z=0 , z=x

2+ y 2+1

54) z=√ x2+ y2, z=0 , x

2+ y2=25

55) z=ln (x2+ y2) , z=0 , 1≤x2+ y2≤4

56) Interior al hemisferio z=√16−x2− y2 y al cilindro x

2+ y2−4 x=0

57) Interior al hemisferio z=√16−x2− y2 y exterior al cilindro x

2+ y2=1

58) Determine el valor a de modo que el volumen interior del hemisferio z=√16−x2− y2 y

exterior al cilindro x2+ y2=a2

, sea la mitad del volumen del hemisferio.59) Determinar el valor del diámetro que ha de tener una perforación vertical por el centro del sólido

acotado por las gráficas de las ecuaciones: z=25 e−( x2+ y2 )/4

, z=0 , x2+ y2=16 , de tal manera

que se elimine la décima parte del volumen del sólido.

En los siguientes ejercicios use la integración doble para hallar la masa y el centro de masa de la lámina cuya densidad se especifica.

60) El rectángulo de vértices: (0,0), (a,0), (0,b), (a,b) para las densidades: (a) ρ=k , (b) ρ=ky , (c)

ρ=kx , (d) ρ=kxy , (e) ρ=k (x2+ y2 )

61) El triángulo de vértices: (0,0), (a,0), (0,a), para las densidades: (a) ρ=k , (b) ρ=k (x2+ y2 )

62) y=√a2−x2 , y=0 para la densidad ρ=k (a− y ) y

63) 0≤x ,0≤ y , x2+ y2=a2

, para la densidad ρ=k (x2+ y2 )

64) y=√x , y=0 , x=4 , para la densidad ρ=kxy

En los siguientes ejercicios hallar el área de la superficie de la lámina:

65) Porción del plano z=24−3 x−2 y ubicado en el primer cuadrante.

66) Porción del paraboloide z=16−x2− y2 ubicado en el primer cuadrante.

Page 15: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

15

67) Porción de la esfera x2+ y2+ z2=25 ubicado en el interior del cilindro x

2+ y2=9 .

68) Porción del cono z=√ x2+ y2 en el interior del cilindro x

2+ y2=1 .

69) La parte de la función f ( x , y )=2 y+x2que se encuentra la región dado por la región triangular

dada por los puntos: (0,0), (1,0), (1,1).

70) La parte de la función f ( x , y )=2x+ y2que se encuentra la región dado por la región triangular

dada por los puntos: (0,0), (2,0), (2,2).

71) La parte de la función f ( x , y )=4−x2− y2que se encuentra la región R dada por

R={( x , y ) :0≤ f ( x , y ) }72) La parte de la función f ( x , y )=x

2+ y2que se encuentra la región R dada por

R={( x , y ) :0≤f ( x , y )≤16 }73) La parte de la función f ( x , y )=4−x2− y2

que se encuentra la región R dada por R={( x , y ) :0≤x≤1,0≤ y≤1 }

En los siguientes ejercicios use integrales triples en coordenadas esféricas para hallar lo pedido (similares)

74) El volumen del sólido comprendido por las esferas: x2+ y2+ z2=a2

y x2+ y2+ z2=b2

,

donde b¿a¿ , e interior al cono x2+ y2=z2

75) El volumen del sólido comprendido por las esferas: x2+ y2+ z2=1 y x

2+ y2+ z2=4 , e

interior al cono x2+ y2=z2

76) El volumen del sólido comprendido por las esferas: x2+ y2+ z2=4 y x

2+ y2+ z2=9 , e

interior al cono x2+ y2=z2

.

77) Hallar la masa de la esfera x2+ y2+ z2=a2

con densidad ρ proporcional a la distancia de un punto al origen.

78) Hallar la masa de la esfera x2+ y2+ z2=a2

con densidad ρ proporcional a la distancia de un punto al eje z.

79) Hallar la masa de la esfera x2+ y2+ z2=4 con densidad ρ proporcional a la distancia de un

punto al origen.

80) Hallar la masa de la esfera x2+ y2+ z2=9 con densidad ρ proporcional a la distancia de un

punto al eje z.81) Determine el centro de masa del sólido de densidad uniforme del hemisferio de radio r.82) Determine el centro de masa del sólido de densidad uniforme comprendido entre dos hemisferios

concéntricos de radios r y R, con r<R del hemisferio

En los siguientes ejercicios use integrales triples para hallar lo pedido (

83) Encuentre el centro de masas de una placa delgada de densidad ρ=3 limitada por las rectas

x=0 , y=x , y la parábola y=2−x2 en el primer cuadrante.

84) Encuentre el momento de inercia respecto a los ejes coordenados de una placa delgada de

densidad constante ρ limitada por las rectas x=3 , y=3 en el primer cuadrante.

Page 16: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

16

85) Encuentre el centroide de la región en el primer cuadrante limitada por el eje x, la parábola

y2=2x , y la recta x+ y=4 .

86) Encuentre el centroide de la región triangular cortada del primer cuadrante x+ y=3 .

87) Encuentre el centroide de la región semi circular limitada por el eje x y la curva y=√1− x2.

88) El área de la región del primer cuadrante limitada por la parábola y=6x−x2, y la recta y=x ,

es de 125/6 unidades cuadradas. Encuentre el centroide.

89) Encuentre el centroide de la región cortada del primer cuadrante por el circulo x2+ y2=a2

.90) Encuentre el momento de inercia respecto al eje x de una placa delgada de densidad constante

ρ=1 limitada por el círculo x

2+ y2=4 .

91) Encuentre el momento de inercia respecto al eje y de una lámina delgada de densidad constante

ρ=1 limitada por la curva

y=sen2 ( x )x2

y el intervalo π≤x≤2π del eje x.

92) Encuentre el centroide de la región entre el eje x y el arco y=sen ( x ) en el intervalo 0≤x≤π .93) Encuentre el momento de inercia respecto al eje x de una lámina delgada de densidad ρ=x+ y ,

limitada por la parábola x= y− y2, y por la recta x+ y=0 .

94) Encuentre la masa de la placa delgada que ocupa la región mas pequeña cortada por la elipse

x2+4 y2=12 por la parábola x=4 y2, si la densidad δ (x , y )=5 x .

95) Encuentre el centro de masa de la placa triangular delgada limitada por el eje y y las rectas y=x , y=2−x , si la densidad δ (x , y )=6 x+6 y+3 .

En los siguientes ejercicios use integrales triples en coordenadas cilíndricas o esféricas para hallar lo pedido.

96) Encuentre el volumen de la porción de la esfera sólida de radio ρ≤a , que se encuentra entre los

conos φ=π

3 y φ=2π

3 .

97) Encuentre el volumen de la región cortada de la esfera sólida de radio ρ≤a por los medios

planos θ=0 y θ=π

6en el primer octante.

98) Determine el volumen de la región más pequeña cortada de la esfera sólida de radio ρ≤2 por el plano z=1 .

99) Encuentre el volumen del sólido encerrado por el cono z=√ x2+ y2, entre los planos z=1 y

z=2 .

100) Halle el volumen del sólido de la región limitada por el plano z=0 , lateralmente por el

cilindro x2+ y2=1 y arriba por el paraboloide z=x

2+ y 2.

101) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el paraboloide z=x2+ y 2

,

lateralmente por el cilindro x2+ y2=1 y arriba por el paraboloide z=x

2+ y 2+1 .

102) Encuentre el volumen del sólido cortado del cilindro de pared gruesa 1≤x2+ y2≤2 por los

conos z=±√x2+ y2.

103) Determine el volumen de la región que se encuentra dentro de la esfera, y fuera del cilindro

x2+ y2=1 .

Page 17: Ejercicios Integrales Multiples Para Los Alumnos Enero 2013

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104) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro x2+ y2=4 y los planos

z=0 , y+z=4 .

105) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada por el cilindro x2+ y2=4 y los planos

z=0 , x+ y+z=4 .106) Encuentre el volumen del sólido de la región limitada arriba por el paraboloide

z=5−x2− y2, y abajo por el paraboloide z=4 x2+4 y2

.

107) Halle el volumen del sólido de la región limitada, arriba por el paraboloide z=9−x2− y2,

abajo por el plano xy, y situada fuera del cilindro x2+ y2=1 .

108) Encuentre el volumen del sólido de la región cortada del cilindro x2+ y2≤1 por la esfera

x2+ y2+ z2=4

109) Determine el volumen de la región sólida limitada arriba por la esfera x2+ y2+ z2=2 y

abajo por el paraboloide z=x2+ y 2

.