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INTEGRALES MULTIPLES Integrales dobles sobre rectàngulos Propiedades Càlculo Teorema de Fubini Cambio de variable La transformaciòn a coordenadas polares Aplicaciones de las integrales dobles ROSA N. LLANOS VARGAS. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS. - PowerPoint PPT Presentation
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INTEGRALES MULTIPLES
1. Integrales dobles sobre rectàngulos2. Propiedades3. Càlculo4. Teorema de Fubini5. Cambio de variable6. La transformaciòn a coordenadas polares7. Aplicaciones de las integrales dobles
ROSA N. LLANOS VARGAS
INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS
||P||= máx { diagonales de , i = }Sea ( . Consideremos el prisma que tiene por base el rectángulo y altura f ( ; entonces el volumen del prisma será
(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ¿¿
𝑓 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗¿¿
La suma de Riemann sobre R, es
Si ||P||0 , entonces el volumen del sólido es
Definición . Si la función f es continua sobre un rectángulo R, la integral doble de f sobre R ,es
Si el límite existe. R se llama dominio de integración
En general si D es una región acotada del plano y si f es una funcióncontinua sobre D, entonces la integral doble existe y su valor es el del límite (1).
Teorema. Si f es una función continua sobre la región acotada D del Plano, entonces f es integrable sobre D.
Definición. El volumen del sólido debajo de la superficie S: z = f(x , y)Cuya base es el conjunto acotado D es,
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Si f y g son funciones integrables sobre la región acotada D Linealidad
Monotonía:4. Si f(x,y) g(x , y ) sobre D entonces
Aditividad5. Si D = son acotados, entonces
6. Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces
7. Teorema del valor medio .- Si f : es continua entonces en el punto , tenemos:
donde A(D) es el área de la región D
CÁLCULO DE LAS INTEGRALES DOBLES
INTEGRALES ITERADAS. 1. Si D = [ a , b] x [ c , d ] un rectángulo sobre el cual la función f es continua manteniendo fija la variable x , la función depende de y, e integrando con respecto a y , se tiene
llamada integral iterada de f
Además
=
TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el rectángulo R= [a , b]x[c, d]Entonces
2. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ a, b ] , f es una función continua sobre R.
X
Y
3. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ c , d ] , f es una función continua sobre R.
NOTA- si f(x , y ) = g ( x ) h ( y ) , sobre R= [ a, b ]x [ c ,d ] entonces
CAMBIO DE VARIABLE
Si f es una función continua definida sobre la región acotada S de en R y si
T es una transformación continua definida sobre una región acotada D de
en S; tales que existe T f D S (u, v ) ( x , y) z
T: , f ( x , y ) = f ( x ( u, v) , y ( u ,v ))
De donde,
El determinante de la matriz jacobiana , denotado por |J(u,v)|, es
Entonces
dA = dxdy = |J(u,v)|dudv
De allí que
LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES
T: =
De allí que
Esta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece en el integrando o en los límites de integración.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
Si f : D es continua sobre la región acotada D.
3. Area de la superficie S : z = f (x,y) ,limitada por la curva C. C es la frontera S. D es la región limitada por la proyección de C sobre el plano XY.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
4. Masa. Si R es la región del plano ocupada por una lámina cuya densidad en cada punto P(x,y) es Entonces la masa de la lámina es:
5. Centro de masa .
Ejemplos. Dibujar la región de integración y calcular la s integrales dobles siguientes:
1)
En esta integral x varía entre 0 e y , mientras y varía entre 0 y 4π ; es decir 0≤x ≤ y 0≤ y ≤ 4π Y = 4π
x = y Luego, 0 X = -4π
Cambiando el orden de la integración: 0≤x ≤ 4π , x ≤ y ≤ 4π = =
= - ( x – senx ) = - 4
II. Si
a) Graficar la región D b) Calcular como una sola integral
III: Efectuar un cambio de variable para calcular
Sea la transformación T: y
J(u,v) = 2 X+2Y=4
Por otro lado, transformando D, b) x= 0 , y
0 4 xV = -u , u = -2y , luego u ∈ [-4, 0 ]
b) y = 0 , x∈ [0 , 4 ] , entonces v= u , u = x luego u∈ [0, 4 ] Vc) x + 2y = 4 4
Pero 0 ≤ x≤4 , y , x= = v=- u v = u
Entonces 0 ≤ 0 U
= 4(1-cos1)
INTEGRALES TRIPLES SOBRE RECTÁNGULOS
Si f : R IR es una función continua sobre R ⇾ siguiendo el método del cálculo integral, luego de definir una partición sobre cada uno de los intervalos [ a , b ], [ c , d ] , [ u , v ] en m, n y l subintervalos, respectiva-mente, entonces R queda dividido en mnl pequeños paralelepípedos de la forma
B ijk = [ xi-1 , xi ]x[yj-1 , yj ]x[zk-1 , zk ]
Cuyo volumen es Δijk V= Δi x Δj y Δk z
INTEGRAL TRIPLE
INTEGRAL TRIPLE
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales
Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:
donde Q = .
y se llaman «solapamientos»
dV
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA
EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS
Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f es integrable, entonces
1. Si R :
La región de integración R ,es proyectada
Sobre el plano XY.
∭𝑅
❑
𝑓 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )𝑑𝑉=∫𝑎
𝑏 ( ∫∅ 1 (𝑥 )
∅ 2 (𝑥 )
( ∫𝛾1 (𝑥 ,𝑦)
𝛾2 (𝑥 ,𝑦)
𝑓 (𝑥 , 𝑦 ,𝑧 )𝑑𝑧)𝑑𝑦 )𝑑𝑥
REGIONES DE INTEGRACIÓN
𝐎𝐓𝐑𝐀𝐒𝐑𝐄𝐆𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒𝐃𝐄𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
X= f(y,z)Y=f(x,z)
Ejemplo 1
Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces
y =
x
y
y
x
-2
∫0
1
∫0
𝑦
∫0
1− 𝑦2
𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral
00 x y0 z 1 -
Ejemplo 2
TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES
Si suponemos que la región de integración es de la primera forma Q: a
Cambio de Variable
,y)
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
rcos
rsen
COORDENADAS CILINDRICAS
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
Coordenadas Esféricas
X=
F(, , )
CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS
z = 1 -
y + z = 2 , x = 4 -
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA
Cambio de Variable
,y)
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
rcos
rsen
COORDENADAS CILINDRICAS
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
Coordenadas Esféricas
X=
F(, , )
z = 1 -
y + z = 2 , x = 4 -