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MA1003 C alculo III Tema 03: Integrales multiples...MA1003 C alculo III Tema 03: Integrales multiples Parte 01: Integrales dobles Profesor Jesus S anchez Guevara U.C.R. I Semestre

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  • MA1003 Cálculo IIITema 03: Integrales múltiples

    Parte 01: Integrales dobles

    Profesor Jesús Sánchez Guevara

    U.C.R.

    I Semestre 2020

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 1 / 19

  • En esta clase

    1 Definición de integral doble.

    2 Integración sobre rectángulos.

    3 Regiones horizontalmente simples.

    4 Regiones verticalmente simples.

    5 Integración sobre regiones generales.

    6 Cambio de orden de integración.

    Introducción

    ¿Qué es una integral doble?

    1 Es una extensión al plano de lainterpretación geométrica de las integralesde una variable.

    2 Se pueden calcular expresándolas entérminos de integrales de una varible.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 2 / 19

  • Nota

    En cálculo I, se tiene que

    ż b

    af pxq

    es el área debajo del gráfico de y “ f pxq sobreel intervalo ra, bs.

    En el caso de integrales dobles, tiene que

    ij

    R

    f px , yqdA

    es el volúmen debajo del gráfico z “ f px , yqsobre la región del plano R.

    o Hacer un dibujo.

    Para calcular aproximar este volúmen, se puedecortar R en pequeñas piezas ∆Ai , y se toma lasuma

    ÿ

    f pxi , yi q∆Ai

    El ĺımite de estas sumas cuando el tamaño delas piezas tiende a cero, da

    ť

    R f px , yqdA

    o ¿Cómo se calcula una integral doble?R/ Por iteración de integrales de una variable.El volúmen se puede cortar por planos paralelosal plano xz, y al sumar tenemos:

    volúmen “ż ymax

    ymin

    Spyqdy

    El volúmen de cada trozo es Spyqdy y Spyq esel área bajo la curva

    ş

    f px , yqdx .

    Note que también se pudo haber empezado porcortes paralelos la plano yz. Explicar.

    El resultado de este proceso se va a estudiarprimero para tres tipos de regiones especiales:

    1 Rectángulos con lados paralelos a los ejes.

    2 Regiones verticalmente simples.

    3 Regiones horizontalmente simples.

    Aśı, cuando se quiere integrar sobre una regióncualquiera, la técnica será buscar dividirla enregiones no sobrepuestas de estos tipos.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 3 / 19

  • Nota: R “ ra, bs ˆ rc, ds representa elrectángulo de R2 con esquinas pa, cq, pa, dq,pb, cq y pb, dq. Hacer un dibujo.

    Teorema de Fubini

    Si f px , yq continua sobre R “ ra, bs ˆ rc, ds,entonces

    ij

    R

    f px , yqdA “ż b

    a

    ż d

    cf px , yqdydx

    “ż d

    c

    ż b

    af px , yqdxdy

    Propiedad

    Si f px , yq “ gpxq ¨ hpyq, entoncesż d

    c

    ż b

    af px , yqdxdy “

    ż d

    c

    ż b

    agpxq ¨ hpyqdxdy

    “ˆż b

    agpxqdx

    ˙ˆż d

    chpyqdy

    ˙

    Nota: En general, no necesariamente es fácilcambiar el orden de integración de dxdy a dydx

    Ejemplo

    Sea R “ r1, 3s ˆ r4, 6s y f px , yq “ x2y . Calculeť

    R fdA usando el orden dydx y luego el ordendxdy .

    1 Orden dydx :

    ij

    R

    fdA “ij

    r1,3sˆr4,6s

    x2ydydx “ż 3

    1

    ż 6

    4x2ydydx

    “ż 3

    1

    ˆż 6

    4x2ydy

    ˙

    dx “ż 3

    1x2

    ˆż 6

    4ydy

    ˙

    dx

    “ż 3

    1x2

    ˜

    y2

    2

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    6

    4

    ¸

    dx “ 10ż 3

    1x2dx “

    260

    3

    2 Orden dxdy :

    ij

    R

    fdA “ż 6

    4

    ż 3

    1x2ydxdy “

    ż 6

    4

    ˜

    yx3

    3

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    3

    1

    ¸

    dy

    “ż 6

    4

    26

    3ydx “

    26y2

    6

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    6

    4

    “260

    3

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 4 / 19

  • Ejemplo

    Sea R “ ra, bs ˆ rc, ds y f px , yq “ 1. Calculeť

    R fdA.

    ij

    R

    fdA “ij

    ra,bsˆrc,ds

    1dydx “ż b

    a

    ż d

    c1dydx

    “ż b

    apd ´ cqdx “ pd ´ cqpb ´ aq

    “Área de R

    Ejemplo

    Sea R “ r0, πs ˆ r0, π2s y

    f px , yq “ cospxq cospyq. Calculeť

    R fdA.

    ij

    r0,πsˆr0,π2s

    cospxq cospyqdydx “ż π

    0

    ż π2

    0cospxq cospyqdydx

    “ż π

    0cospxqdx ¨

    ż π2

    0cospyqdy “0

    Ejemplo

    Sea R “ ra, bs ˆ ra, bs y f px , yq “ hpxqhpyq,donde h satisface

    şba hpxqdx “ 1. Calculeť

    R fdA.

    ij

    R

    fdA “ij

    ra,bsˆra,bs

    hpxqhpyqdydx

    “ż b

    a

    ż b

    ahpxqhpyqdydx

    “ż b

    ahpxqdx ¨

    ż b

    ahpyqdy

    “ˆż b

    ahpxqdx

    ˙2

    “ 1

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 5 / 19

  • Definición

    Una región R del plano se llama verticalmentesimple si es de la forma:

    R “ tpx , yq : a ď x ď b y gpxq ď y ď hpxqu

    Es decir, R es el área sobre un intervalo entredos curvas.

    o Hacer un dibujo.

    Propiedad

    Si R es verticalmente simple,

    R “ tpx , yq : a ď x ď b y gpxq ď y ď hpxqu ,

    entonces:

    ij

    R

    f px , yqdA “ż b

    a

    ż hpxq

    gpxqf px , yqdydx

    o Nota: Aśı, verticalmente simple está asociadaa resolver una integral doble con el orden dydx .

    Ejemplo

    La región R limitada por una elipse de la forma

    px ´ hq2

    a2`py ´ lq2

    b2“ 1

    se puede ver como v.s.

    Se despeja y :

    ñpy ´ lq2

    b2“ 1´

    px ´ hq2

    a2

    ñpy ´ lq2 “ b2ˆ

    1´px ´ hq2

    a2

    ˙

    ñy “ l ˘ b

    d

    1´px ´ hq2

    a2

    Los valores extremos de x se obtienen haciendoy “ l , aśı x “ h ˘ a. Por lo tanto:

    R “tpx , yq : h ´ a ď x ď h ` a y

    l ´ b

    d

    1´px ´ hq2

    a2ď y ď l ` b

    d

    1´px ´ hq2

    a2

    ,

    .

    -

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 6 / 19

  • Ejemplo

    Sea R el semićırculo en el primer cuadrante decentro p3, 0q y radio 3. Si f px , yq “ y calculeť

    R fdA.

    La ecuación del ćırculo es px ´ 3q2 ` y2 “ 32.Se expresa R como verticalmente simple:

    R “tpx , yq : 0 ď x ď 6 y

    0 ď y ď 3

    d

    1´px ´ 3q2

    32

    ,

    .

    -

    Se calcula la integral:

    ij

    R

    fdA “ż 6

    0

    ż 3

    c

    1´ px´3q2

    32

    0ydydx

    “9

    2

    ż 6

    0

    ˆ

    1´px ´ 3q2

    32

    ˙

    dx

    “9

    2

    ˆ

    x ´px ´ 3q3

    33

    ˙ ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    6

    0

    “ 18

    Ejemplo

    Explique porquéť

    R xdA “ 0 cuando R es laelipse x

    2

    a2` y

    2

    b2“ 1, sin hacer el cálculo de la

    integral.

    o Se debe a que el volúmen bajo z “ x essimétrico, en partes iguales, una mitad esnegativa y la otra positiva. Hacer el dibujo.

    Ejemplo

    Calcule el área A entre las gráficas def pxq “ x2 y gpxq “ x3, cuando x P r0, 1s.

    Si x P r0, 1s, entonces x3 ď x2, por lo tanto Aes el área de la región:

    R “tpx , yq : 0 ď x ď 1 y x3 ď y ď x2(

    A “ż 1

    0

    ż x2

    x31dydx “

    ż 1

    0px2 ´ x3qdydx

    “1

    1

    4“

    1

    12

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 7 / 19

  • Definición

    Una región R del plano se llamahorizontalmente simple si es de la forma:

    R “ tpx , yq : c ď y ď d y spyq ď x ď tpyqu

    Es decir, R es el área sobre un intervalo entredos curvas.

    o Explicar gráficas del tipo x “ gpyq.

    Propiedad

    Si R es horizontalmente simple,

    R “ tpx , yq : c ď y ď d y spyq ď x ď tpyqu

    entonces:

    ij

    R

    f px , yqdA “ż d

    c

    ż tpyq

    spyqf px , yqdxdy

    o Nota: Aśı, horizontalmente simple estáasociada a resolver una integral doble con elorden dxdy .

    Ejemplo

    La región R limitada por una elipse de la forma

    px ´ hq2

    a2`py ´ lq2

    b2“ 1

    se puede ver como h.s.

    Se despeja x :

    ñpx ´ hq2

    a2“ 1´

    py ´ lq2

    b2

    ñpx ´ hq2 “ a2ˆ

    1´py ´ lq2

    b2

    ˙

    ñx “ h ˘ a

    d

    1´py ´ lq2

    b2

    Los valores extremos de y se obtienen haciendox “ h, aśı y “ l ˘ b. Por lo tanto:

    R “tpx , yq : l ´ b ď y ď l ` b y

    h ´ a

    d

    1´py ´ lq2

    b2ď x ď h ` a

    d

    1´py ´ lq2

    b2

    ,

    .

    -

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 8 / 19

  • Ejemplo

    Plantee la integral de una función f px , yq sobrela región R entre los brazos de la hipérbolax2 ´ y2 “ 1, dentro del cuadrado de centrop0, 1q y lado 2.

    Geogebra: x^2-y^2=1

    R es una región h.s., la variación de las y estádeterminada por los extremos del cuadrado:1´ 2 “ ´1 ď y ď 3 “ 1` 2.Para la variación de las x , se despeja x dex2 ´ y2 “ 1, para obtener las ecuaciones de losbrazos de la hipérbola, x “ ˘

    a

    1` y2.Finalmente,

    ij

    R

    fdA “ż 3

    ´1

    ż

    ?1`y2

    ´?

    1`y2f px , yqdxdy

    Ejemplo

    Exprese como una integral doble el área A entreel eje y y la gráfica de y “ cospxq, cuandox P r0, πs.

    o Hacer el dibujo.

    La integral se hace interpretanto la región comoh.s. Cuando x P r0, πs entonces y vaŕıa desde 1hasta ´1. Y al despejar x de y “ cospxqtenemos que x “ arc cospyq. Por lo tanto:

    A “ij

    R

    1dA “ż 1

    ´1

    ż arc cospyq

    01dxdy

    “ż 1

    ´1arc cospyqdy

    “´

    y arc cospyq ´a

    1´ y2¯

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    1

    ´1

    “ arc cosp1q ` arc cosp´1q“π

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 9 / 19

  • Para analizar integrales dobles sobre regiones(acotadas) más generales, tenemos:

    Propiedades

    1 Los rectángulos R “ ra, bs ˆ rc, ds sonregiones vertical y horizontalmente simples.

    2

    ij

    R

    pαf px , yq ` βgpx , yqqdA

    “αij

    R

    f px , yqdA` βij

    R

    gpx , yqdA

    3 Si R “ R1Ť

    R2, donde R1 y R2 sonregiones del plano que a lo más, solocomparten bordes, entonces:

    ij

    R

    f px , yqdA “ij

    R1Ť

    R2

    f px , yqdA

    “ij

    R1

    f px , yqdA`ij

    R2

    f px , yqdA

    Proceso para calcular una integral doble

    Se quiere calcular

    ij

    R

    f px , yqdA

    1 Estudie la región R y determine si esvertical u horizontalmente simple.

    2 Si R está en alguna de estas categoŕıas,calcule la integral iterada resultante segúnla propiedad respectiva.

    3 Si R no es v.s ni h.s., entonces1 Si se quiere resolver usando el orden dxdy ,

    divida R en regiones v.s, y calcule la sumade integrales iteradas respectivas.

    2 Si se quiere resolver usando el orden dydx ,divida R en regiones h.s, y calcule la sumade integrales iteradas respectivas.

    Nota: Aunque depende de la región R y lafunción a integrar f , a veces, calcular la integralcon un orden es más ventajoso que con el otro.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 10 / 19

  • Ejemplo

    Calculeť

    D ex`ydA donde

    D “

    px , yq P R2{|x | ` |y | ď 1(

    o Se divide D en dos regiones v.s. D1 y D2.Hacer el proceso de descripción en la pizarra.

    ij

    D

    ex`ydA

    “ij

    D1

    ex`ydA`ij

    D2

    ex`ydA

    “ż 0

    ´1

    ż x`1

    ´x´1ex`ydydx `

    ż 1

    0

    ż ´x`1

    x´1ex`ydydx

    “ż 0

    ´1pe2x`1 ´ e´1qdx `

    ż 1

    0pe ´ e2x´1qdx

    “pe2x`1

    2´ e´1xq

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    0

    ´1` pex ´

    e2x´1

    2qˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    1

    0

    “e

    2´ p

    e´1

    2` e´1q ` e ´

    e

    2`

    e´1

    2“ e ´ e´1

    Ejemplo

    Considere R la región del plano obtenida aldesprender del disco x2 ` y2 ď 4, el discopx ´ 1q2 ` y2 ď 1. Usando regiones h.s. planteela integral

    ť

    R f px , yqdA.

    o R se divide en 4 regiones h.s. Explicar enpizarra. Y la integral queda de la siguientemanera:

    ij

    R

    f px , yqdA “ż ´1

    ´2

    ż

    ?4´y2

    ´?

    4´y2f px , yqdxdy

    `ż 1

    ´1

    ż 1´?

    1´y2

    ´?

    4´y2f px , yqdxdy

    `ż 1

    ´1

    ż

    ?4´y2

    1`?

    1´y2f px , yqdxdy

    `ż 2

    1

    ż

    ?4´y2

    ´?

    4´y2f px , yqdxdy

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 11 / 19

  • Ejemplo

    Divida la región P (hacer en pizarra) enregiones verticalmente simples y plantee laintegral

    ť

    R fdA.

    1 Se dibuja la región P.

    2 Se trazan ĺınea verticales para identificarlas regiones v.s. en que se divide.

    3

    P “ R1ď

    R2ď

    ¨ ¨ ¨ď

    Rn

    4

    ij

    R

    fdA “ij

    R1

    fdydx`ij

    R2

    fdydx`¨ ¨ ¨`ij

    Rn

    fdydx

    Ejemplo

    Calcule la integral

    I “ż π{2

    ´π{2

    ż π{2

    ´π{2sin |x ` y |dydx

    Para calcularla se analiza cuando x ` y espositiva o negativa en el rectángulor´π{2, π{2s ˆ r´π{2, π{2s.La región se divide en dos v.s.

    Wolfram Alpha:

    int_{-pi/2}^{pi/2}int_{-pi/2}^{pi/2}

    sin|x+y|dydx

    Resultado: 2π

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 12 / 19

  • oComo x ` y ě 0 ô y ě ´x , tenemos:

    R1 “ tpx , yq : ´π{2 ď x ď π{2, y ´ π{2 ď y ď ´xu

    En R1, x ` y ď 0, entoncessin |x ` y | “ ´ sinpx ` yq.

    R2 “ tpx , yq : ´π{2 ď x ď π{2, y ´ x ď y ď π{2u

    En R2, x ` y ě 0, entoncessin |x ` y | “ sinpx ` yq.

    Como r´π{2, π{2s ˆ r´π{2, π{2s “ R1Ť

    R2 :

    I “ż π{2

    ´π{2

    ż π{2

    ´π{2sin |x ` y |dydx

    “ij

    R1

    sin |x ` y |dydx `ij

    R2

    sin |x ` y |dydx

    “´ij

    R1

    sinpx ` yqdydx `ij

    R2

    sinpx ` yqdydx

    I “ ´ż π{2

    ´π{2

    ż ´x

    ´π{2sinpx ` yqdydx

    `ż π{2

    ´π{2

    ż π{2

    ´xsinpx ` yqdydx

    “ ´ż π{2

    ´π{2´ cospx ` yq

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ´x

    ´π{2dx

    `ż π{2

    ´π{2´ cospx ` yq

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    π{2

    ´xdx

    “ ´ż π{2

    ´π{2p´1` cospx ´ π{2qqdx

    `ż π{2

    ´π{2p´ cospx ` π{2q ` 1qdx

    “2π

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 13 / 19

  • Ejemplo

    Calcule la integral

    I “ż π

    0

    ż π

    0| cospx ` yq|dydx

    Para calcularla se analiza cuando cospx ` yq espositivo o negativo en el cuadrador0, πs ˆ r0, πs. La región se divide en cuatro v.s.

    Wolfram Alpha:

    int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}

    |cos(x+y)|dydx

    Resultado: 2π

    Cuando px , yq P r0, πs ˆ r0, πs, 0 ď x ` y ď 2π.La función coseno, es negativa en r0, 2πscuando se evalúa entre π{2 y 3π{2, entonces:

    1 cospx ` yq ď 0 ô

    π{2 ď x ` y ď 3π{2

    2 cospx ` yq ě 0 ô

    0 ď x ` y ď π{2 y ď 3π{2 ď x ` y ď π

    Esto nos da cuatro regiones v.s y tenemos:

    I “ż π{2

    0

    ż ´x`π{2

    0cospx ` yqdydx

    `ż π{2

    0

    ż π

    ´x`π{2´ cospx ` yqdydx

    `ż π

    π{2

    ż ´x`3π{2

    0´ cospx ` yqdydx

    `ż π

    π{2

    ż π

    ´x`3π{2cospx ` yqdydx

    “ż π{2

    01´ sinpxqdx

    `ż π{2

    0´ sinpx ` πq ` 1dx

    `ż π

    π{21` sinpxqdx

    `ż π

    π{2sinpx ` πq ` 1dx

    “2π

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 14 / 19

  • Ejemplo

    Evaluar la integral doble

    I “ż

    0

    ż

    xsinpy2qdydx

    o Es ese estado I no se puede calcular. Se debede reinterpretar la región de integración R comoh.s. Hacer dibujo.

    ñR “

    px , yq : 0 ď y ď?π, y 0 ď x ď yu

    ñI “ż

    0

    ż y

    0sinpy2qdxdy “

    ż

    0y sinpy2qdy

    “´ cos y2

    2

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    0

    “ 1

    Nota: Este proceso se le llama cambio de ordende integración.

    Ejemplo

    Considere la integral

    I “ż 1

    0

    ż 1

    yex

    2dxdy

    Dibuje la región de integración, reinterprételacomo v.s. y calcule la integral.

    o En la integral I la región está como h.s.Hacer un dibujo.

    R “ tpx , yq : 0 ď y ď 1, y y ď x ď 1u

    Al reescribir la región como v.s. obtenemos:(Explicar)

    ñR “ tpx , yq : 0 ď x ď 1, y 0 ď y ď xu

    ñI “ż 1

    0

    ż x

    0ex

    2dydx “

    ż 1

    0xex

    2dx “

    ex2

    2

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    ˇ

    1

    0

    “e ´ 1

    2

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 15 / 19

  • Cambio de orden de integración

    Se quiere cambiar el orden de integración dedydx a dxdy :

    ż a2

    a1

    ż g2pxq

    g1pxqf px , yqdydx `

    ż b2

    b1

    ż h2pxq

    h1pxqf px , yqdydx

    1 Se estudia la región sobre la cual se estáintegrando f , en este caso f se estáintegrando sobre una región R formada pordos regiones R1, R2 v.s.:

    R1 “tpx , yq : a1 ď x ď a2 yg1pxq ď y ď g2pxqu

    R2 “tpx , yq : b1 ď x ď b2 yh1pxq ď y ď h2pxqu

    2 Se divide R “ R1Ť

    R2 en regiones h.s y secalcula la suma de integrales iteradasrespectivas.

    Cambio de orden de integración

    Se quiere cambiar el orden de integración dedxdy a dydx :

    ż c2

    c1

    ż t2pyq

    t1pyqf px , yqdxdy `

    ż d2

    d1

    ż s2pyq

    s1pyqf px , yqdxdy

    1 Se estudia la región sobre la cual se estáintegrando f , en este caso f se estáintegrando sobre una región R formada pordos regiones R1, R2 h.s.:

    R1 “tpx , yq : c1 ď y ď c2 yt1pyq ď x ď t2pyqu

    R2 “tpx , yq : d1 ď y ď d2 ys1pyq ď x ď s2pyqu

    2 Se divide R “ R1Ť

    R2 en regiones v.s y secalcula la suma de integrales iteradasrespectivas.

    Nota: En ambos casos, se procede de formasimilar si R estuviera formada por más regiones.

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 16 / 19

  • Ejercicio

    Cambie el orden de integración de

    I “ż π

    0

    ż 4`sinpxq

    3´ 12π2px´π

    2q2f px , yqdydx

    La región de integración R es el área sobre elintevalo r0, πs entre las gráficas de:

    1 La parábola concava hacia abajo de vérticepπ{2, 3q:

    py ´ 3q “ ´12

    π2px ´

    π

    2q2

    2 La función trigonométrica:

    y “ 4` sinpxq

    o Hacer el dibujo.

    Para cambiar el orden de integración a dxdy haydividir R en regiones horizontalmente simples.En este caso R está formada por 4 de ellas.

    1 Se despeja x :

    py ´ 3q “ ´12

    π2px ´

    π

    2q2

    ñx “π

    d

    π2

    12p3´ yq

    2 Se despeja x :

    y “ 4` sinpxqñx “ arcsinpy ´ 4qy x “ π ´ arcsinpy ´ 4q

    I “ż 3

    0

    ż π2´b

    π2

    12p3´yq

    0f px , yqdxdy

    `ż 3

    0

    ż π

    π2`b

    π2

    12p3´yq

    f px , yqdxdy

    `ż 4

    3

    ż π

    0f px , yqdxdy

    `ż 5

    4

    ż π´arcsinpy´4q

    arcsinpy´4qf px , yqdxdy

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 17 / 19

  • Ejercicio

    Cambie el orden de integración de

    I “ż 4

    0

    ż ´?

    4´y

    ´b

    8´y2

    f px , yqdxdy

    `ż 8

    4

    ż

    b

    8´y2

    ´b

    8´y2

    f px , yqdxdy

    `ż 4

    0

    ż

    b

    8´y2

    ?4´y

    f px , yqdxdy

    La región de integración está dada por la uniónde tres regiones h.s., las cuales está limitadaspor las parábolas:

    1 x “ ˘b

    8´y2ñ py ´ 8q “ ´2x2

    Vértice en p0, 8q y cóncava hacia abajo.2 x “ ˘

    ?4´ y ñ py ´ 4q “ ´x2

    Vértice en p0, 4q y cóncava hacia abajo.

    o Hacer el dibujo.

    Finalmente, como la región entera es v.s.entonces:

    I “ż 2

    ´2

    ż 8´2x2

    4´x2f px , yqdydx

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 18 / 19

  • F I N

    Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 19 / 19