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MA1003 C´ alculo III Tema 03: Integrales m´ ultiples Parte 02: Cambios de variables en integrales dobles y aplicaciones Profesor Jes´ us S´ anchez Guevara U.C.R. I Semestre 2020 Jes´ us S´ anchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P02 cambio de variables I Semestre 2020 1 / 18

MA1003 C alculo III Tema 03: Integrales multiples … · 2 Coordenadas polares y elipticas. 3 Aplicaciones de integrales dobles. Introducci on >Cu al es la importancia de las integrales

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MA1003 Calculo IIITema 03: Integrales multiples

Parte 02: Cambios de variables en integrales dobles y aplicaciones

Profesor Jesus Sanchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P02 cambio de variables I Semestre 2020 1 / 18

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En esta clase

1 Cambio de variables en integrales dobles.

2 Coordenadas polares y elipticas.

3 Aplicaciones de integrales dobles.

Introduccion

¿Cual es la importancia de las integrales dobles?

1 Son herramientas para resolver problemasde aplicacion complejos.

2 Exponen la nocion de integral en un marcomas general.

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P02 cambio de variables I Semestre 2020 2 / 18

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Ejemplo

Calcule el area de una elipse con semiejes a y b.

Se transforman las dimensiones para ver a laelipse como un cırculo de radio 1 al hacer elcambio de variables u “ x{a y v “ y{b:

Area “

ij

x2

a2 `y2

b2 ď1

dxdy

ij

u2`v2ď1

abdudv

“ ab

ij

u2`v2ď1

1dudv “ abπ

En este caso vea que el cambio de variablefunciona como en Calculo I:

dx “ adu

dy “ adv

ñdxdy “ abdudv

o ¿Como se procede con un cambio devariables mas general?

R/ Hay que encontrar el factor de proporcionentre las areas (de cuadrados infinitesimales) deambos sistemas coordenados:

1 dxdy (ejes coordenados x y y a sustituir) y

2 dudv (nuevo sistema de ejes u y v).

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Ejemplo

Si se hace el cambio de coordenadas"

u “ 3x ´ 2yv “ x ` y

¿Cual es la relacion entre las areas dxdy ydudv?

Un cuadrado de area 1 en el sistema xy estadeterminado por ~e1 “ p1, 0q y ~e2 “ p0, 1q. Larelacion entre las coordenadas en el sistema xyy el sistema uv esta dada por la multiplicacionde matrices:

ˆ

uv

˙

ˆ

3 ´21 1

˙ˆ

xy

˙

Ası el cuadrado de lados ~e1 y ~e2 es enviado alparalelogramo de lados ~r1 “ p3, 1q y ~r2 “ p1, 1q.El area de este paralelogramo es

det

ˆ

3 ´21 1

˙

“ 5

por lo tanto 5dxdy “ dudv . O en otras palabras5dA es igual dA1 (diferencial de area del nuevosistema).

De esta formať

fdxdy “ť

f 15dudv .

En general: Si u “ upx , yq y v “ vpx , yq:

"

du “ uxdx ` uydydv “ vxdx ` vydy

ñ

ˆ

dudv

˙

ˆ

ux uyvx vy

˙ˆ

dxdy

˙

Ası un cuadrado infinitesimal de lados pdx , 0q yp0, dyq es transformado en un paralelogramoinfinitesimal con lados puxdx , vxdxq ypuydy , vydyq, cuya area es:

dudv “ det

ˆ

uxdx uydyvxdx vydy

˙

“ |uxvy´vxuy |dxdy

(el area es el valor absoluto del determinante)

dudv “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bpu, vq

Bpx , yq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dxdy “ |J|dxdy

El termino dentro del valor absoluto es elJacobiano del cambio de variable.o Calcular esto para los dos ejemplos anteriores.

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Propiedad

Si se hace el cambio de variable"

u “ upx , yqv “ vpx , yq

Entonces,

dudv “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bpu, vq

Bpx , yq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dxdy “ |Jpu, vq|dxdy

o, dxdy “1

|Jpu, vq|dudv

Propiedad

Si se hace el cambio de variable"

x “ xpu, vqy “ ypu, vq

Entonces,

dxdy “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bpx , yq

Bpu, vq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dxdy “ |Jpx , yq|dxdy

o Recuerde que Jpu, vq “ 1{Jpx , yq.

Ejemplo

En cada caso calcule el Jacobiano.

1 Cambio de variables lineal

"

u “ a1x ` b1yv “ a2x ` b2y

2 Cambio hiperbolas-rectas

"

u “ xyv “ y{x

3 Cambio de variables lineal

"

x “ α1u ` β1vy “ α2u ` β2v

4 Cambio parabolas-parabolas

#

x “u

v2

y “ u ´ 2v2

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1)

"

u “ a1x ` b1yv “ a2x ` b2y

Jpu, vq “Bpu, vq

Bpx , yq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a1 b1

a2 b2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ a1b2 ´ a2b1

ñ dxdy “1

|Jpu, vq|dudv “

1

|a1b2 ´ a2b1|dudv

2)

"

u “ xyv “ y{x

Jpu, vq “Bpu, vq

Bpx , yq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

y x´

yx2

1y

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 1`y

x“ 1` v

ñ dxdy “1

|Jpu, vq|dudv “

1

|1` v |dudv

Nota: Para eliminar el valor absoluto hay quedividir la region de integracion segun v ą ´1(|1` v | “ 1` v) o v ă ´1(|1` v | “ ´p1` vq).

3)

"

x “ α1u ` β1vy “ α2u ` β2v

Jpx , yq “Bpx , yq

Bpu, vq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

α1 β1

α2 β2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ α1β2 ´ α2β1

ñ dxdy “|Jpx , yq|dudv “ |α1β2 ´ α2β1|dudv

4)

#

x “u

v2

y “ u ´ 2v2

Jpx , yq “Bpx , yq

Bpu, vq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1v2

´2uv3

1 ´4v

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“´4

v`

2u

v3

ñ dxdy “|Jpx , yq|dudv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´4

v`

2u

v3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dudv

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Proceso de cambio de variables

Se quiere calcular

ij

R

f px , yqdxdy

mediante el cambio de variable:"

u “ upx , yqv “ vpx , yq

1 Se calcula el jacobiano del cambio y sereemplaza dxdy “ 1

|Jpu,vq|dudv .

2 Se expresa f px , yq en las nuevas variables uy v , usando manipulaciones adecuadas.

3 Se reemplaza R por la nueva region deintegracion R˚ en el plano uv . Explicarmas adelante el significado de este paso.

Finalmente,

ij

R

f px , yqdxdy “

ij

F pu, vq

|Jpu, vq|dudv

Proceso de cambio de variables

Se quiere calcular

ij

R

f px , yqdxdy

mediante el cambio de variable:"

x “ xpu, vqy “ ypu, vq

1 Se calcula el jacobiano del cambio y sereemplaza dxdy “ |Jpx , yq|dudv .

2 Se expresa f px , yq en las nuevas variables uy v , usando manipulaciones adecuadas.

3 Se reemplaza R por la nueva region deintegracion R˚ en el plano uv . Explicarmas adelante el significado de este paso.

Finalmente,

ij

R

f px , yqdxdy “

ij

f pxpu, vq, ypu, vqq|Jpx , yq|dudv

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Manipulacion de un region

Cuando estamos calculando una integral doblecon un cambio de variables:

"

u “ upx , yqv “ vpx , yq

o

"

x “ xpu, vqy “ ypu, vq

la region de integracion R en el plano xy seconvierte en una nueva region R˚ en el planouv .

R˚ se puede determinar con el siguienteproceso:

1 Se identifican las curvas que determinanlos bordes de R en el plano xy .

2 Se expresan las ecuaciones de estas curvasen las nuevas variables u y v , con lasmanipulaciones adecuadas.

3 En el plano uv , la nueva region deintegracion R˚ es la que tiene como bordea las curvas del paso anterior.

Ejemplo

Determine R˚ en el plano uv , luego de aplicara R el cambio de variables dado.

1 La region R en el primer cuadrantelimitada por las hiperbolas xy “ 1, xy “ 2y las rectas x

y“ 2, x

y“ 1

2. Con el cambio

u “ xy y v “ x{y .

2 La region R del plano limitada por lasrectas 2x ` y “ 1, 2x ` y “ ´1 y lasrectas y ´ 3x “ 6, y ´ 3x “ ´6. Con elcambio u “ 2x ` y y v “ y ´ 3x .

Geogebra: x*y=1 x*y=2 x/y=1 x/y=1/2

2x+y=1 2x+y=-1 y-3x=6 y-3x=-6

En el plano uv :

1 R˚ es el rectangulo r1, 2s ˆ r 12, 2s.

2 R˚ es el rectangulo r´1, 1s ˆ r´6, 6s.

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Ejemplo

Sea R la region limitada por las curvasy “ x2 ` 1, y “ x2 ` 3, xy “ 1, xy “ 3. Utiliceun cambio de variables para calcular:

ij

R

xypy ` 2x2qdxdy

Geogebra: y-x^2=1 y-x^2=3 xy=1 xy=3

1 Usamos el cambio de variable

"

u “ y ´ x2

v “ xy

Jpu, vq “Bpu, vq

Bpx , yq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´2x 1y x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´py ` 2x2q

ñ dxdy “1

|Jpu, vq|dudv “

1

py ` 2x2qdudv

2

f px , yqdxdy “xypy ` 2x2qdxdy

“xypy ` 2x2q1

py ` 2x2qdudv

“xydudv

“vdudv

3 Como R la region limitada por las curvasy ´ x2 “ 1, y ´ x2 “ 3, xy “ 1, xy “ 3.Entonces R˚ en el plano uv esta limitadapor las curvas:

u “ 1 u “ 3 v “ 1 v “ 3

Es decir R˚ “ r1, 3s ˆ r1, 3s

4 Finalmente se calcula la integral:

ij

R

xypy ` 2x2qdxdy “

ij

r1,3sˆr1,3s

vdudv

ż 3

1

ż 3

1vdudv

ż 3

12vdv “ 8

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Ejemplo

Sea R la region del primer cuadrante limitadapor las curvas y “ x2, y “ 2x2, x “ y2,x “ 4y2. Utilice un cambio de variablesadecuado para calcular

AreapRq “

ij

R

1dxdy

Geogebra: y=x^2 y=2x^2 x=y^2 x=4y^2

1 Usamos el cambio de variable

$

&

%

u “y

x2

v “x

y2

Jpu, vq “Bpu, vq

Bpx , yq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´2y

x3

1

x2

1

y2

´2x

y3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“3

x2y2

“3

u2v2

ñ dxdy “1

|Jpu, vq|dudv “

1

3{u2v2dudv “

u2v2

3dudv

2 Como R la region limitada por las curvasy{x2 “ 1, y{x2 “ 2, x{y2 “ 1, x{y2 “ 4.Entonces R˚ en el plano uv esta limitadapor las curvas:

u “ 1 u “ 2 v “ 1 v “ 4

Es decir R˚ “ r1, 2s ˆ r1, 4s

3 Finalmente se calcula la integral:

ij

R

1dxdy “

ij

r1,2sˆr1,4s

u2v2

3dudv

ż 2

1

ż 4

1

u2v2

3dvdu

“49

3

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Otros cambios de variables

1 Coordenadas polares

"

x “ r cospθqy “ r sinpθq

Jpx , yq “Bpx , yq

Bpr , θq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

cospθq ´r sinpθqsinpθq r cospθq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ r

ñ dxdy “|Jpx , yq|drdθ “ rdrdθ

Es recomendable cuando la region deintegracion tiene simetrıas circularesalrededor del origen.

2 Coordenadas elıpticas

"

x “ ar cospθqy “ br sinpθq

Jpx , yq “Bpx , yq

Bpr , θq“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a cospθq ´ar sinpθqb sinpθq br cospθq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ abr

ñ dxdy “|Jpx , yq|drdθ “ abrdrdθ

Es recomendable cuando la region deintegracion tiene simetrıas elıpticas conrespecto a la elipse centrada en el origenx2{a2 ` y2{b2 “ 1

Ejemplo

Calcule el area de un disco D de radio a.

Para facilitar los calculos se supone D centradoen p0, 0q y se aplica el cambio a coordenadaspolares: x “ r cospθq, y “ r sinpθq.

AreapDq “

ij

D

1dA “

ij

rdrdθ “

ż 2π

0

ż a

0rdrdθ

ż 2π

0

a2

2dθ “ πa2

Nota: en este caso la region D en el plano xy :

D “ tpx , yq : x2 ` y2 ď 1u

pasa a ser la region D˚ en el plano rθ:

D˚ “ tpr , θq : 0 ď r ď a y 0 ď θ ď 2πu “ r0, asˆr0, 2πs

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Ejemplo

Calcule el area de un segmento S circular deangulo α en un cırculo de radio a.

AreapSq “

ij

S

1dA “

ij

rdrdθ “

ż α

0

ż a

0rdrdθ

ż α

0

a2

2dθ “

a2α

2

Ejemplo

Calcule el area de la region R entre dos cırculosconcentricos de radio b y de radio a.

AreapRq “

ij

R

1dA “

ij

rdrdθ “

ż 2π

0

ż a

brdrdθ

ż 2π

0

a2 ´ b2

2dθ “ πpa2 ´ b2q

Ejemplo

Sea D el area encerrada entre f pxq “?

4´ x2,gpxq “

?1´ x2 y los ejes x` y y`. Calcule

ť

D fdA, donde f px , yq “ 1{a

x2 ` y2.

y “ f pxq “?

4´ x2 ñ x2 ` y2 “ 4 ñ r “ 2.y “ gpxq “

?1´ x2 ñ x2 ` y2 “ 1 ñ r “ 1.

x` ñ θ “ 0 y y` ñ θ “ π{2.ñ D˚ “ r1, 2s ˆ r0, π{2sf px , yqdxdt ñ f pr cospθq, r sinpθqqrdrdθ“ 1

rrdrdθ “ drdθ

ij

D

fdA “

ij

drdθ “

ż π{2

0

ż 2

1drdθ “

π

2

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Ejemplo

Expresar en coordenadas polaresť

D fdA donde

D “ tpx , yq : px ´ aq2 ` y2 ď a2u

Geogebra: (x-3)^2+y^2= 3^2

El borde la region esta dado por:

px ´ aq2 ` y2 “ a2 ñx2 ´ 2ax ` a2 ` y2 “ a2

ñr2 ´ 2ar cospθq “ 0

ñr “ 2a cospθq

La variacion de los angulos es: ´π2ď θ ď π

2

oExplicar en pizarra la region D˚.

ij

D

fdA “

ij

f pr cospθq, r sinpθqqrdrdθ

ż π{2

´π{2

ż 2a cospθq

0f pr cospθq, r sinpθqqrdrdθ

Ejemplo

Expresar en coordenadas polaresť

D 1dA donde

D es el area dentro de px ´ aq2 ` y2 “ a2 yfuera de x2 ` y2 “ a2.

Geogebra: (x-3)^2+y^2=3^2 x^2+y^2=3^2

px ´ aq2 ` y2 “ a2 ñ r “ 2a cospθqx2 ` y2 “ a2 ñ r “ aLos cırculos se intersecan ena “ 2a cospθq ñ cospθq “ 1{2 ñ θ “ ˘π

3

oExplicar en pizarra la region D˚.

ij

D

1dA “

ij

rdrdθ

ż π{3

´π{3

ż 2a cospθq

ardrdθ

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Ejemplo

Expresar en coordenadas polaresť

D 1dA dondeD es el area de interseccion depx ´ aq2 ` y2 “ a2 y x2 ` y2 “ a2.

Estos son los mismos cırculos del ejemploanterior. Hacer dibujo. D˚ se divide entoncesen tres regiones:

1 D˚1 “tpr , θq : ´π

2ď θ ď ´π

3y 0 ď r ď

2a cospθqu

2 D˚2 “tpr , θq : ´π

3ď θ ď π

3y 0 ď r ď au

3 D˚3 “tpr , θq : π

3ď θ ď π

2y 0 ď r ď 2a cospθqu

ij

D

1dA “

ij

D˚1

rdrdθ `

ij

D˚2

rdrdθ `

ij

D˚3

rdrdθ

ż ´π{3

´π{2

ż 2a cospθq

0rdrdθ `

ż π{3

´π{3

ż a

0rdrdθ

`

ż π{2

π{3

ż 2a cospθq

0rdrdθ

Ejemplo

Use un cambio de coordenadas elıpticas para

calcularť

D

b

4´ x2

a2 ´y2

b2 dA, donde D es el

area entre las elipses x2

a2 `y2

b2 “ 1 y

x2

4a2 `y2

4b2 “ 1.

Se hace el cambio x “ ar cospθq, y “ br sinpθq.Se sabe que en tal caso dA “ abrdrdθ.

f px , yq “b

4´ x2

a2 ´y2

b2 ñ f pr , θq “?

4´ r2.

x2

a2 `y2

b2 “ 1 ñ r “ 1. x2

4a2 `y2

4b2 “ 1 ñ r “ 2.

La variacion del angulo serıa 0 ď θ ď 2π.

ij

D

fdA “

ij

a

4´ r2abrdrdθ

“ab

ż 2π

0

ż 2

1

a

4´ r2rdrdθ

“2abπ

ż 2

1

a

4´ r2rdr

“abπ

ż 3

0

?udu “ 2abπ

?3

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Aplicaciones de integrales dobles

Calculo de areas

Si R es una region del plano, entonces:

AreapRq “

ij

R

1dxdy

Calculo de volumenes

Si S es el solido limitado por la region R delplano xy y la superficie z “ f px , yq, entonces

VolumenpSq “

ij

R

f px , yqdxdy

Nota: Si z “ f px , yq “ 1, entonces

numericamente, VolumenpSq “ AreapRq.

Valor promedio

Si f definida sobre una region R del plano,entonces su valor promedio esta dado por:

f “

ť

R f px , yqdxdy

AreapRq

Masa de un objeto plano

Sea R una lamina plana con densidadδ “ δpx , yq “ lım∆AÑ0

∆m∆A

(masa por unidadde area). Si el material es uniforme δ serıaconstante. Ası, la masa de R es:

MasapRq “

ij

R

δpx , yqdxdy

El centro de masa de R o centroide, tienecoordenadas px , yq dadas por:

x “1

MasapRq

ij

R

xδpx , yqdxdy

y “1

MasapRq

ij

R

yδpx , yqdxdy

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P02 cambio de variables I Semestre 2020 15 / 18

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o La masa de un objeto indica que tan difıcil esempujarlo o darle un movimiento de traslacion.El momento de inercia indica que tan difıcil esrotarlo o darle un movimiento rotacional conrespecto a un eje. (Hacer un dibujo)Se calcula la energıa cinetica de un objeto demasa m a una distancia r del origen, con unavelocidad angular w “ dθ{dt. Ası la velocidades v “ rw y se tiene:

Energıa cinetica “1

2mv2 “

1

2mprwq2

“1

2pmr2qw2

El momento de inercia es el factor I0 “ mr2. Sise tiene una masa pequena ∆m su momento deinercia es I0p∆mq “ ∆mr2 “ δ∆Ar2. Por lotanto,

Momento de inercia

El momento de inercia de una placa plana R es,

I0pRq “

ij

R

r2δdA

Ası, Energıa cinetica rotacional “ 12I0pRqw2.

Momento de inercia, otro eje

Con respecto a otros ejes el momento de inerciaserıa,

I0pRq “

ij

R

pdistancia al ejeq2δdA

Con respecto al eje x :

I0pRq “

ij

R

y2δdA

Con respecto al eje y :

I0pRq “

ij

R

x2δdA

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Ejemplo

Calcule I0 para un disco de radio a y densidadδ “ 1, primero cuando se gira sobre su centro yluego cuando se gira en un punto de sucircunferencia.

(1) I0 “

ij

D

r2dA “

ż 2π

0

ż a

0r3drdθ

“2π

ż a

0r3dr “

πa4

2

Para el segundo caso se toma D como la regionpx ´ aq2 ` y2 ď a2

(2) I0 “

ij

D

r2dA “

ż π{2

´π{2

ż 2a cospθq

0r3drdθ

ż π{2

´π{2

p2a cospθqq4

4dθ “ 4a4

ż π{2

´π{2cos4pθqdθ

“3πa4

2

Nota: Para girar el disco desde su borde se usatres veces mas energıa que desde su centro.

Se uso la integral

ż

cos4pθqdθ “3

8θ`

1

4sinp2θq `

1

32sinp4θq ` C

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