Click here to load reader

Osnovi inzenjerske statistike

  • View
    211

  • Download
    26

Embed Size (px)

Text of Osnovi inzenjerske statistike

PREDGOVOR Ovaknjigapredstavljauvodustatistikuinamenjenajepresvegastudentimaprimenjenihi tehnikihnauka,kaoiinenjerima.Pisalismojesaciljemdapomognemozainteresovanom itaocudarazumeipravilnokoristiosnovnestatistikemetodepridonoenjuzakljuakana osnovurapoloiviheksperimentalnihpodataka,kaoidamupruimodobruosnovuzadalje proirivanjeznanjauoblastiprimenjenestatistike.Pritomsmonastojalidateorijskaizlaganja buduonolikostrogakolikoje,shodnopostavljenomcilju,neophodno,alisaminimalnim matematikim aparatom, kojimseinae ovladava u okviru osnovnihkursevaviematematikena tehnikimfakultetima. Dat jeznatanbroj primera, kaoi zadataka za samostalno reavanje, radi provere znanja.Osnovnipojmoviteorijeverovatnoe,neophodnizaizuavanjestatistikedatisuuprvetri glave. Prva glava je osmiljena tako da itaoca upozna sa osnovnim idejama teorije verovatnoeipostupcimaizraunavanja verovatnoa sluajnih dogaaja. Kroz primeresu izloene i osnovne idejeprimene teorije verovatnoe pri analizi pouzdanosti tehnikih sistema. Predmet druge glave susluajneveliineimodelijednodimenzionalnihraspodelaverovatnoa,najeekorieniu praksikaoiuizvoenjimakinetiketeorijeistatistikefizike(caciljemdazainteresavanom itaocu pomogne u razumevanju ovih izvoenja). Bivarijabilne raspodele verovatnoe su izloene utreojglavi,dabiseobezbedilaneophodnaosnovazadubljerazumevanjestatistikeanalize meuzavisnosti sluajnih promenljivih. Uetvrtojglavisuukratkoizloeniosnovnizadacistatistike,ukjuujuielementeopisne (deskriptivne)statistikeiteorijeocenjivanjasrednjevrednostiidisperzije(takasteocene)kao najvanijih parametara neke sluajne promenljive. Intervalne ocene tih parametara su objanjene i diskutovane uestoj glavi.Peta glavaje posveena statistikoj analizi greaka neposrednihi posrednihmerenja ufizici, hemiji i tehnici, koja je najeepredmet posebnih udbenika i prirunika. Definisani su osnovni pojmovikaotosuvrstegreakaprimerenju,ponovljivostipreciznostmernemetodeitd.i izloeni postupci dobijanja reprezentativnog rezultata neposrednih ponovljenihmerenjainjegove greke. Konano, objanjen je ipostupak procenjivanja greaka posrednih merenja. Testiranjestatistikihhipotezakaometodobjektivnogzakljuivanjanaosnovuraspoloivih eksperimentalnihpodataka,predmetjesedmeglave.Uinjenjenapordaseitaocutobolje objasneosnovnipojmoviiideje,formulisanjeistatistikaosnovatesta,neizbenirizicii njihovo procenjivanje. Dat je skroman izbor, najee korienih, parametarskih testova, osmiljen ustvarikao prikaz izloenih principa i metodologije testiranja. Od neparametarskih testovadat je uveni Pirsonov test saglasnosti,kao iza eksperimentatore vrlo koristan, kriterijum odbacivanja sumnjivih merenja. Ispitivanjeznaajnostilinearnemeuzavisnostidvesluajnepromenljive(korelaciona analiza)izloenojeuosmoj,aformulisanjeistatistikaanalizalinearnihempirijskihzavisnosti devetoj glavi. Uposlednjojdesetojglaviizloenesuosnovestatistikekontrolekvalitetasanaglaskomna obrazlaganjupostupakakontrole,naosnovuprincipaimetodaizloenihuetvrtoj,estoji sedmoj glavi. Smatramo da bi se u okviru jednosemestralnog kursa statistike, sa ukupnim nedeljnim fondom od4asa,mogaoobraditiizloenimaterijal,izuzimajuitreu,petuidesetuglavu.Mada,s obzirom na postavljeni glavni cilj, nismo ukljuili primenu statistikog softvera,pretpostavljamo da se pri realizaciji kursa svakako koristi softverska podrka (Excel,Mathcad ili neki od velikog brojastatistikihpaketa),dabisestudentrasteretiomukotrpnihizarazumevanjenevanihraunanja.DugujemovelikuzahvalnostrecenzentimaProf.drDuankiPerii,Prof.drDragoslavu StoiljkoviuiProf.drZvonimiruSuturoviukaoikolegamamrMirjaniBrdaridrAleksandru Takau na veoma korisnim predlozima u toku uobliavanja ovog materijala. RatomirPaunovi i Radovan Omorjan, Tehnoloki fakultet u Novom Sadu 1

1 Elementi teorije verovatnoe Teorija verovatnoe prouava zakonitosti koje vae za sluajne pojave i sluajne eksperimente,tj.pojaveijisetoknemoesasigurnoupredvideti,odnosno eksperimente iji se rezultati ne mogu sa sigurnou predvideti. Razlika izmeu pojave i eksperimenta je ta to pojavu samo pratimo dok eksperiment izvodimo. Primeri sluajnih pojava su:kretanje temperature vazduha u nekom mestu tokom vremena,pojava neispravnih proizvoda u procesu proizvodnje,promena sastava prirodnih sirovina, itd. Primeri sluajnih eksperimenata su:bacanje kocke ili novia, eksperimentikojeizvodimoulaboratorijamaradiprouavanjanekihsluajnih pojava u hemijsko-tehnolokim procesima. Podsluajnimeksperimentomiliopitomuteorijiverovatnoepodrazumevase eksperimentkojisemoeneogranienbrojputaobavitipodistimuslovima,aliiji ishodsenemoesasigurnoupredvideti.Rezultate(ishode)takvogeksperimenta zvaemosluajnimdogaajima.Uzmimopopularanprimersluajnogeksperimenta: bacanjekockesabrojevima16.Nekisluajnidogaajikojimogunastupitiutom sluajnom eksperimentu su recimo: dobijanje parnog broja,pojavljivanje broja manjeg od 5, dobijanje estice. Prvadvadogaajaudatomprimerusemoguostvaritinavienaina.Takoseprvi realizuje ako je rezultat bacanja 2, 4 ili 6, dok se drugi realizuje ako je rezultat 1,2,3 ili 4. Dakle, prvom dogaaju odgovara skup{ } 6 , 4 , 2 , dok drugom moemo da dodelimo skup { } 4 , 3 , 2 , 1 . Za razliku od prva dva dogaaja, trei se moe ostvariti samo na jedan nain i zato ga zovemo elementaran dogaaj i odgovara mu jednolani skup{ } 6 . Prva dva dogaajamoemozvatisloenim.Sloenomdogaajuodgovarajuvielani skupovi 2 ijisuelementipojedinielementarnidogaaji,ijenastupanjepovlaiiliukljuuje ostvarivanjedatog sloenog dogaaja.Uopte,akonekidogaaj(elementaranilisloen)povlairealizacijunekog drugogdogaaja,znaidajeskupelementarnihishoda,kojiodgovaraprvom dogaaju,podskup skupa elementarnih ishoda za drugi dogaaj. Na primer, dogaaj dasebacanjemkockedobije1ili3,komeodgovaraskup{ } 3 , 1 ,povlaiostvarivanje dogaajadasebacanjemkockedobijaneparanrezultat,komeodgovaraskup{ } 5 , 3 , 1 . Veza izmeu skupova je:{ } { } 5 , 3 , 1 3 , 1 . 1.1KLASINA DEFINICIJA VEROVATNOE Skupsvihmoguihelementarnihdogaajazanekieksperimentzvaemoprostor elementarnih dogaaja. Klasinadefinicijaverovatnoejeprimenljivanasluajneeksperimentekodkojihje prostor elementarnih dogaaja konaan, tj. sadri n elementarnih dogaaja i pri tome svakiodnjihimajednakumogunostdanastupi.Tipiniprimerisubacanjekockeili novia bez ikakvih trikova sa ciljem dobijanja eljenog rezultata. Zamislimo dakle neki eksperiment kod koga je podjednako mogue nastupanjebilo kogodukupnonelementarnih dogaaja . Verovatnoa nastupanja nekog dogaaja A jednakajekolinikubrojapovoljnihishoda,m,tj.brojaelementarnihdogaajakoji povlae ostvarenjedogaaja A, i broja svih moguih ishoda n . ( )nmA P = (1.1) Primer 1a Kolika je verovatnoa dobijanja parnog broja pri bacanju kocke? Reenje Elementarni dogaaji koji povlae nastupanjeposmatranog sloenog dogaaja, A su dobijanje 2, 4 ili 6ima ih 3, m = 3.Ukupan broj svih elementarnih dogaaja je ovde 6,n = 6 . Prema formuli: 2163) ( = = A P Primer1bSluajnieksperimentsesastojiuizvlaenjujedneodkuglicaizkesekoja sadri 64 kuglice, od toga: 8 crvenih 15 belih 24 crne 17 narandastih Kolika je verovatnoa dogaaja A - izvlaenje crvene kuglice? 3 Reenje Brojpovoljnihdogaaja,izvlaenjabilokojecrvenekuglice,jednakjebroju crvenih kuglica, m = 8. Ukupan broj moguih ishoda je 64: 81648) ( = = A P Vidimodadogaajimakojiseeejavljajukaoishodeksperimentapripadaivea verovatnoa.Tako,verovatnounekogdogaajamoemodaposmatramokaomeru mogunostidatajdogaajnastupi.Izsamog znaenja bojeva mi n sledi da jen m , to kao posledicu ima: ( ) 1 0 A P Ako je neki dogaaj nemogu, odgovara mu prazan skup elementarnih dogaaja tj. imamom = 0 injegova verovatnoa mogunost da nastupi,jednaka je nuli: P() = 0, gde smosa oznailinemogu dogaaj . Naprotiv,akosvakiodnmoguihishodapovlaiostvarenjenekogdogaaja, kaemo da je on siguran dogaaj, Ei poto jem = n,njegova verovatnoa je jednaka jedinici: P(E) = 1. Da bi se raunala verovatnoa po klasinoj definiciji (1.1), u sloenijim sluajevima, neophodno je poznavanje kombinatorike. 1.2PERMUTACIJE, KOMBINACIJE I VARIJACIJE Kombinatorikasebaviproblemomizdvajanjapodskupovaizkonanihskupovai rasporedom elemenata u njima. Varijacije bez ponavljanja NekajedatskupA={a1,a2,...,an}odnelemenata.Varijacijak-teklasebez ponavljanja od n elemenata je ureeni podskup, odnosno niz od k (1 k n) razliitih elemenata skupa A . Dakle, dve varijacije poto predstavljaju nizove od k elemenata, se meusobno razlikuju, po elementima koje sadre (ako je k < n) ili po njihovom redosledu. Primer 1.2Od cifara 1, 2, 3 i 4 obrazovati sve trocifrene brojeve sa razliitim ciframa. Reenje SkupAje{1,2,3,4}.Traenibrojevi,potoserazlikujumeusobomilipo ciframailiporasporeduistihcifara,predstavljajuvarijacijetreeklaseod4 elementa: 4 123213312412 124214314413 132231321421 134234324423 142241341431 143243342432 Imamo 4 razliita izbora za prvu cifru (1, 2, 3, 4). Za odabranu prvu cifru imamo 3mogunostizaizbordruge(nijedozvoljenoponavljanjecifara),azasvakiod izbora prvei druge cifre, kojih oigledno ukupno ima 3 4 , preostaju dva izbora za poslednju cifru. Dakle, ukupan broj trocifrenih brojeva je24 2 3 4 = . Uopte, moe se dokazati da je broj varijacija klase k od n elemenata jednak: )! (!) 1 )( 2 ( . . . ) 1 (k nnk n k n n n Vnk= + + = (1.2) Permutacije bez ponavljanja Svakimoguirasporedodnrazliitihelemenata nazivamo permutacijom. Dakle, permutacijaustvaripredstavljavarijacijun-teklase.Takoiz(1.2),zan=k,dobijamo broj permutacija bez ponavljanja n elemenata: ! n Pn= (1.3) Primer 1.3Obrazovati sve permutacije elemenata1, 2, 3 . Reenje Trielementajemogueporeatina3!=6razliitihnaina.Tih6permutacija su: 123, 132, 213, 231, 312, 321 Kombinacije Svakipodskupodk(1kn)razliitihelemenataskupaA={a1,a2,...,an} nazivamo kombinacija klase k od n elemenata. Dakle, kao podskupovi (a ne nizovi) dve kombinacijeserazlikujupoizboruelemenatakojesadre,doknjihovredoslednije bitan.Potoodsvakekombinacijemoemodaobrazujemo,promenomredosleda, odnosnopermutovanjemelemenata,k!razliitihvarijacija(Jedn.1.3),tojeuskladusa (1.2), broj kombinacija k-te klase od n elemenata: == =knk n knkVCnk nk)! ( !!!(1.4) 5 Primer1.

Search related