fizik statistike

  • View
    69

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

sfedfdfd

Text of fizik statistike

  • Contents 4.1 Hyrje ................................................................................................................................................. 2

    4.2 Numrat e okupacionit ........................................................................................................................ 5

    4.3 Gazi fotonik ...................................................................................................................................... 6

    4.4 Gazi fononik ...................................................................................................................................... 8

    4.5 Gazet ideale t grimcave reale ........................................................................................................ 10

    Bozonet ................................................................................................................................................... 10

    Fermionet ................................................................................................................................................ 12

    4.6 Elektronet n metale ....................................................................................................................... 13

    4.7 Gazet ideale klasike. Limiti klasik. ................................................................................................. 17

    4.8 Termodinamika e nj gazi ideal t grimcave klasike pa struktur .................................................. 20

    4.9 Ushtrime t zgjidhura ...................................................................................................................... 23

  • Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike

    2

    Kapitulli 4: Sistemet ideale (jo-bashkvepruese)

    4.1 Hyrje

    N kt kapitull do t konsiderojm sistemet m t thjesht q trajtohen nga mekanika statistike. Kto

    sisteme jan t prbra prej grimcave q nuk bashkveprojn me njra-tjetrn; kto modele quhen edhe

    gaze ideale.

    Parimet e mekaniks statistike prshkruajn llogaritjen e funksioneve t shprndarjes si prshembull

    exp E

    ose

    exp E N .

    Kto jan peshat statistike t Boltzmannit shumuar mbi t gjitha fluktuacionet e mundshme, q do t

    thot, t gjitha gjndjet mikroskopike jan lejuar nga kushtet q kontrollojn sistemin. N shum e par,

    t gjitha gjndjet me numr t njjt t grimcave jan konsideruar; ndrsa n t dytn, numri i grimcave

    ndryshon, gjithashtu, dhe potenciali kimik do t llogaris pjesn energjetike si rrjedhoj e ndryshimit t

    grimcave. N qoft se n shum e dyt, ne do t prqndrojm shumn vetm pr ato gjndje me N

    konstante, dhe t barabart me N , ather shuma e dyt sht proporcionale me t parn.

    Kto shuma ose funksione t shprndarjes jan qndrore pr teorin meq propabiliteti pr dika t ndodh

    sht pesha e Boltzmannit shumuar mbi t gjitha fluktuacionet ose mikrogjndjet n prputhje me kt

    ndodhje. Pr shembull, n nj sistem t hapur ku numri i grimcave, N , mund t ndryshoj nga nj gjndje

    n gjndjen tjetr, propabiliteti q t kemi saktsisht N grimca sht

    exp expN NN N

    N

    P E N e E

    ku mbishkrimi ``N n shum tregon q shuma prfshin vetm ato gjndje pr t cilat N N , dhe

    ato gjndje jan shnuar me indeks N .

    N munges t kushtzimeve, fluktuacionet ndodhin spontanisht, dhe kto formula tregojn q mundsia

    e fluktuacioneve spontane sht e drejtuar nga energjetikat e ktyre fluktuacioneve n krahasim me

  • Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike

    3

    energjin termike t Boltzmannit, 1Bk T . Kshtu, T m t mdha lejojn pr fluktuacione m t

    mdha, dhe kur 0T , vetm ato gjndje pr t cilat energjia pr grimc sht e njjt me energjin pr

    grimc n gjndjen baz jan t arritshme.

    Vrojtimi sistematik i t gjitha fluktuacioneve t mundshme sht shpesh nj proes shum i komplikuar

    prshkak t numrit t madh t gjndjeve mikroskopike q mund t konsiderohen, dhe hollsirave t

    lodhshme q nevojiten pr t karakterizuar kto gjndje. Ky kompleksitet sht arsyeja pse mekanika

    statistike sht shikuar shpesh si nj subjekt i vshtir. Si do t vazhdojm n kt libr, ne do t fusim

    nj numr metodash praktike pr t marr fluktuacionet q kan vlera praktike. M t thjeshtat prej tyre

    jan prafrimet faktorizuese q bhen plotsisht t sakta kur sistemi sht prbr prej grimcave q nuk

    bashkveprojn.

    Pr t kuptuar si metoda faktorizuese punon, po supozojm energjin E e cila ndohet n dy pjes:

    1 2n mE E E , ku gjndja varet nga n dhe m , dhe kto indekse m dhe n jan t pavarura nga njra-

    tjetra. Ather funksioni i shprndarjes kanonike,

    1 2exp exp

    E

    n m

    n,m

    Q e

    E E ,

    mund t faktorizohet si

    1 2

    1 2

    exp expn mn m

    Q E E

    Q Q ,

    ku barazimi i dyt paraqet 1

    Q dhe 2

    Q si pesha shumore t Boltzmannit t shoqruara me energjit

    1nE dhe

    2mE , prkatsisht. Duhet t theksohet q kto energji jan t pa korreluara n kuptimin q

  • Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike

    4

    1 2 1 2 1 21

    1 2

    1 2

    ln ln

    n m n m

    n,m

    E E Q E E exp E E

    Q Q

    E E .

    N rastin e prgjithshm kur kemi N grad lirie t pa korreluara, mund t shkruajm

    1 2 N

    Q Q Q Q .

    N qoft se secila prej ktyre gradve t liris sht e t njjtit lloj, formula e msiprme mund t

    thjeshtohet akoma n

    1

    N

    Q Q .

    Ky faktorizim n kt mnyr nnkupton q nevojitet vetm t vizitojm mikrogjndjet pr nj grad lirie

    dhe ather thjesht marrim fuqin e N -t t ktij rezultati. Pr t treguar vshtirsin e ktij thjeshtimi,

    supozojm nj sistem q ka 1000N grad lirie, dhe secila mund t ndodhet n 5 mikrogjndje. Numri i

    prgjithshm i gjndjeve pr t vizituar pr t gjith sistemin sht 10005 , nj numr pamundsisht i

    madh. Por faktorizimi, nnkupton q na nevojiten vetm 5 gjndje, t cilat jan t numrueshme.

    N disa raste, prafrimi i faktorizimit sht i aplikueshm sepse sistemi i prbr prej grimcave jo

    korreluese. Nj shembull sht ai i gazit klasik ideal. Ktu, energjia sht shum e energjive t nj

    grimce, dhe, n qoft se grimcat do t ishin t dallueshme, funksioni i shprndarjes do t ishte thjesht

    Nq , ku q sht shuma e Boltzmannit mbi t gjitha gjndjet e nj grimce t vetme. Pr m tepr, pr

    temperatura t larta pr t cilat modelet klasike jan nj prafrim i mir, numri i gjndjeve t nj grimce t

    vetme sht shum i madh n krahasim me numrin e grimcave. N kt rast, do gjndje e sistemit prej

    N grimcave ndodh !N her, q korrespondon me numrin e mnyrave t zgjedhjes s N gjndjeve t

    ndryshme t sistemit prej nj grimce tek N grimca t padallueshme. Kshtu q, korrekt funksion i

    shprndarjes do t jet

    1

    !

    NQ q .N

  • Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike

    5

    Pa faktorin 1!N , ne do t rrisnim numrin e gjndjeve t dallueshme.

    N raste t tjera, prafrimi i faktorizimit sht i aplikueshm edhe kur grimcat e sistemit jan t

    korreluara. N kt rast, sht e mundur t gjejm disa parametra kollektive q jan t pa korreluar, t

    cilat varen nga koordinatat ose gjndjet e nj numri t madh grupi t grimcave. Nj shembull sht modt

    e lkundjeve t vogla n trupat e ngurt. Kto mod jan quajtur fonone. Nj shembull tjetr sht numri i

    okupacionit pr sistemet e mekaniks kuantike t prbr nga grimca jo-bashkvepruese.

    4.2 Numrat e okupacionit

    Hapi i par n analizn e do modeli prfshin prcaktimin e mikrogjndjeve. Gjndja e nj sistemi

    kuantik mund t prcaktohet nga funksioni valor pr kt gjndje,

    1 2 N, , , . r r r

    Ku sht -t zgjidhja vetjake e ekuacionit t Schrdingerit pr nj sistem me N grimca. N qoft se

    grimcat nuk bashkveprojn, ather funksioni i vals mund t shprehet si nj prodhim i funksioneve

    simetrike t nj grimce t vetme. Shnojm funksionet valore t nj grimve t vetme me

    1 2 jr , r , , r , . Pr nj gjndje t veant, t themi , 1 2 Nr ,r , ,r do t jet nj prodhim

    simetrik i prbr prej 1n grimcash me funksion valor t nj grimce 1 , 2n grimcash me funksion valor t

    nj grimce 2 , dhe kshtu me rradh. Kto numra, 1 2 jn ,n , ,n , jan quajtur numrat e okupacionit e t

    parit, dytit, , j -t, gjndjeve t nj grimce t vetme. N qoft se N grimcat jan t padallueshme,

    ashtu si dhe grimcat kuantike jan, ather nj gjndje, , sht plotsisht e prcaktuar prej bashksis

    s numrave t okupacionit 1 2 jn ,n , ,n , meq do e dhn shtes do t dalloj midis grimcs s jn n

    gjndjen e j -t t nj grimce t vetme.

    Pr shembull, konsiderojm tre grimca (si tregohet n me rrath n figurn e mposhtme) t cilat mund t

    ndodhen n nj prej dy gjndjeve t nj grimce t vetme, dhe .

    State 1 State 2 State 3 State 4

  • Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike

    6

    T gjitha gjndjet e mundshme pr kt sistem prej tre grimcash jan treguar n figurn e msiprme. N

    lidhje me numrat e okupacionit, gjndja 1 ka 0n , 3n ; gjndja 2 ka 1n , 2n ; dhe kshtu me

    rradh. Duhet t dihet q nj numr okupacioni sht nj parametr kollektiv n kuptimin q vlera e tij

    varet nga gjndja e njkohshme e t gjith grimcave.

    Tani mund t shprehim numrin e prgjithshm t grimcave dhe energjin e prgjithshme si funksion t

    numrave t okupacionit. Shnojm me

    1 2 jn ,n , ,n ,

    gjndjen e -t. Ather

    jj

    N n

    numrin e prgjithshm t grimcave n gjndjen e -t. Shnojm me j energjin e gjndjes s j -t t

    nj grimce t vetme. Ather,

    j j

    j

    E n

    sht energjia n gjndjen e -t.

    Grimcat me spin gjysm t plot i nnshtrohen parimit t prjashtimit: 0jn ose 1jn vetm. Kto

    grimca quhen fermione dhe statistika e shoqruar me 0jn ose 1 qhe