fizik statistike

Contents 4.1 Hyrje ................................................................................................................................................. 2

4.2 Numrat e okupacionit ........................................................................................................................ 5

4.3 Gazi fotonik ...................................................................................................................................... 6

4.4 Gazi fononik ...................................................................................................................................... 8

4.5 Gazet ideale t grimcave reale ........................................................................................................ 10

Bozonet ................................................................................................................................................... 10

Fermionet ................................................................................................................................................ 12

4.6 Elektronet n metale ....................................................................................................................... 13

4.7 Gazet ideale klasike. Limiti klasik. ................................................................................................. 17

4.8 Termodinamika e nj gazi ideal t grimcave klasike pa struktur .................................................. 20

4.9 Ushtrime t zgjidhura ...................................................................................................................... 23

Hiqmet Kamberaj Fizika Statistike

2

Kapitulli 4: Sistemet ideale (jo-bashkvepruese)

4.1 Hyrje

N kt kapitull do t konsiderojm sistemet m t thjesht q trajtohen nga mekanika statistike. Kto

sisteme jan t prbra prej grimcave q nuk bashkveprojn me njra-tjetrn; kto modele quhen edhe

gaze ideale.

Parimet e mekaniks statistike prshkruajn llogaritjen e funksioneve t shprndarjes si prshembull

exp E

ose

exp E N .

Kto jan peshat statistike t Boltzmannit shumuar mbi t gjitha fluktuacionet e mundshme, q do t

thot, t gjitha gjndjet mikroskopike jan lejuar nga kushtet q kontrollojn sistemin. N shum e par,

t gjitha gjndjet me numr t njjt t grimcave jan konsideruar; ndrsa n t dytn, numri i grimcave

ndryshon, gjithashtu, dhe potenciali kimik do t llogaris pjesn energjetike si rrjedhoj e ndryshimit t

grimcave. N qoft se n shum e dyt, ne do t prqndrojm shumn vetm pr ato gjndje me N

konstante, dhe t barabart me N , ather shuma e dyt sht proporcionale me t parn.

Kto shuma ose funksione t shprndarjes jan qndrore pr teorin meq propabiliteti pr dika t ndodh

sht pesha e Boltzmannit shumuar mbi t gjitha fluktuacionet ose mikrogjndjet n prputhje me kt

ndodhje. Pr shembull, n nj sistem t hapur ku numri i grimcave, N , mund t ndryshoj nga nj gjndje

n gjndjen tjetr, propabiliteti q t kemi saktsisht N grimca sht

exp expN NN N

N

P E N e E

ku mbishkrimi ``N n shum tregon q shuma prfshin vetm ato gjndje pr t cilat N N , dhe

ato gjndje jan shnuar me indeks N .

N munges t kushtzimeve, fluktuacionet ndodhin spontanisht, dhe kto formula tregojn q mundsia

e fluktuacioneve spontane sht e drejtuar nga energjetikat e ktyre fluktuacioneve n krahasim me


3

energjin termike t Boltzmannit, 1Bk T . Kshtu, T m t mdha lejojn pr fluktuacione m t

mdha, dhe kur 0T , vetm ato gjndje pr t cilat energjia pr grimc sht e njjt me energjin pr

grimc n gjndjen baz jan t arritshme.

Vrojtimi sistematik i t gjitha fluktuacioneve t mundshme sht shpesh nj proes shum i komplikuar

prshkak t numrit t madh t gjndjeve mikroskopike q mund t konsiderohen, dhe hollsirave t

lodhshme q nevojiten pr t karakterizuar kto gjndje. Ky kompleksitet sht arsyeja pse mekanika

statistike sht shikuar shpesh si nj subjekt i vshtir. Si do t vazhdojm n kt libr, ne do t fusim

nj numr metodash praktike pr t marr fluktuacionet q kan vlera praktike. M t thjeshtat prej tyre

jan prafrimet faktorizuese q bhen plotsisht t sakta kur sistemi sht prbr prej grimcave q nuk

bashkveprojn.

Pr t kuptuar si metoda faktorizuese punon, po supozojm energjin E e cila ndohet n dy pjes:

1 2n mE E E , ku gjndja varet nga n dhe m , dhe kto indekse m dhe n jan t pavarura nga njra-

tjetra. Ather funksioni i shprndarjes kanonike,

1 2exp exp

E

n m

n,m

Q e

E E ,

mund t faktorizohet si

1 2

1 2

exp expn mn m

Q E E

Q Q ,

ku barazimi i dyt paraqet 1

Q dhe 2

Q si pesha shumore t Boltzmannit t shoqruara me energjit

1nE dhe

2mE , prkatsisht. Duhet t theksohet q kto energji jan t pa korreluara n kuptimin q


4

1 2 1 2 1 21

1 2

1 2

ln ln

n m n m

n,m

E E Q E E exp E E

Q Q

E E .

N rastin e prgjithshm kur kemi N grad lirie t pa korreluara, mund t shkruajm

1 2 N

Q Q Q Q .

N qoft se secila prej ktyre gradve t liris sht e t njjtit lloj, formula e msiprme mund t

thjeshtohet akoma n

1

N

Q Q .

Ky faktorizim n kt mnyr nnkupton q nevojitet vetm t vizitojm mikrogjndjet pr nj grad lirie

dhe ather thjesht marrim fuqin e N -t t ktij rezultati. Pr t treguar vshtirsin e ktij thjeshtimi,

supozojm nj sistem q ka 1000N grad lirie, dhe secila mund t ndodhet n 5 mikrogjndje. Numri i

prgjithshm i gjndjeve pr t vizituar pr t gjith sistemin sht 10005 , nj numr pamundsisht i

madh. Por faktorizimi, nnkupton q na nevojiten vetm 5 gjndje, t cilat jan t numrueshme.

N disa raste, prafrimi i faktorizimit sht i aplikueshm sepse sistemi i prbr prej grimcave jo

korreluese. Nj shembull sht ai i gazit klasik ideal. Ktu, energjia sht shum e energjive t nj

grimce, dhe, n qoft se grimcat do t ishin t dallueshme, funksioni i shprndarjes do t ishte thjesht

Nq , ku q sht shuma e Boltzmannit mbi t gjitha gjndjet e nj grimce t vetme. Pr m tepr, pr

temperatura t larta pr t cilat modelet klasike jan nj prafrim i mir, numri i gjndjeve t nj grimce t

vetme sht shum i madh n krahasim me numrin e grimcave. N kt rast, do gjndje e sistemit prej

N grimcave ndodh !N her, q korrespondon me numrin e mnyrave t zgjedhjes s N gjndjeve t

ndryshme t sistemit prej nj grimce tek N grimca t padallueshme. Kshtu q, korrekt funksion i

shprndarjes do t jet

1

!

NQ q .N


5

Pa faktorin 1!N , ne do t rrisnim numrin e gjndjeve t dallueshme.

N raste t tjera, prafrimi i faktorizimit sht i aplikueshm edhe kur grimcat e sistemit jan t

korreluara. N kt rast, sht e mundur t gjejm disa parametra kollektive q jan t pa korreluar, t

cilat varen nga koordinatat ose gjndjet e nj numri t madh grupi t grimcave. Nj shembull sht modt

e lkundjeve t vogla n trupat e ngurt. Kto mod jan quajtur fonone. Nj shembull tjetr sht numri i

okupacionit pr sistemet e mekaniks kuantike t prbr nga grimca jo-bashkvepruese.

4.2 Numrat e okupacionit

Hapi i par n analizn e do modeli prfshin prcaktimin e mikrogjndjeve. Gjndja e nj sistemi

kuantik mund t prcaktohet nga funksioni valor pr kt gjndje,

1 2 N, , , . r r r

Ku sht -t zgjidhja vetjake e ekuacionit t Schrdingerit pr nj sistem me N grimca. N qoft se

grimcat nuk bashkveprojn, ather funksioni i vals mund t shprehet si nj prodhim i funksioneve

simetrike t nj grimce t vetme. Shnojm funksionet valore t nj grimve t vetme me

1 2 jr , r , , r , . Pr nj gjndje t veant, t themi , 1 2 Nr ,r , ,r do t jet nj prodhim

simetrik i prbr prej 1n grimcash me funksion valor t nj grimce 1 , 2n grimcash me funksion valor t

nj grimce 2 , dhe kshtu me rradh. Kto numra, 1 2 jn ,n , ,n , jan quajtur numrat e okupacionit e t

parit, dytit, , j -t, gjndjeve t nj grimce t vetme. N qoft se N grimcat jan t padallueshme,

ashtu si dhe grimcat kuantike jan, ather nj gjndje, , sht plotsisht e prcaktuar prej bashksis

s numrave t okupacionit 1 2 jn ,n , ,n , meq do e dhn shtes do t dalloj midis grimcs s jn n

gjndjen e j -t t nj grimce t vetme.

Pr shembull, konsiderojm tre grimca (si tregohet n me rrath n figurn e mposhtme) t cilat mund t

ndodhen n nj prej dy gjndjeve t nj grimce t vetme, dhe .

State 1 State 2 State 3 State 4


6

T gjitha gjndjet e mundshme pr kt sistem prej tre grimcash jan treguar n figurn e msiprme. N

lidhje me numrat e okupacionit, gjndja 1 ka 0n , 3n ; gjndja 2 ka 1n , 2n ; dhe kshtu me

rradh. Duhet t dihet q nj numr okupacioni sht nj parametr kollektiv n kuptimin q vlera e tij

varet nga gjndja e njkohshme e t gjith grimcave.

Tani mund t shprehim numrin e prgjithshm t grimcave dhe energjin e prgjithshme si funksion t

numrave t okupacionit. Shnojm me

1 2 jn ,n , ,n ,

gjndjen e -t. Ather

jj

N n

numrin e prgjithshm t grimcave n gjndjen e -t. Shnojm me j energjin e gjndjes s j -t t

nj grimce t vetme. Ather,

j j

j

E n

sht energjia n gjndjen e -t.

Grimcat me spin gjysm t plot i nnshtrohen parimit t prjashtimit: 0jn ose 1jn vetm. Kto

grimca quhen fermione dhe statistika e shoqruar me 0jn ose 1 qhet statistika e Fermi-Dirac-ut.

Grimcat me spin t plot i nnshtrohen statistiks s Bose-Einstein-it: 0 1 2 3jn , , , , . Kto grimca quhen

bozone.

4.3 Gazi fotonik

Si nj shembull i prdorimit t numrave t okupacionit, konsiderojm gazin fotonik, q sht nj fush

elektromagnetike n ekuilibr termik me kontenierin. Ne duam q t prshkruajm vetit termodinamike

t ktij sistemi. Nga teoria kuantike e fushs elektromagnetike, sht gjetur q Hamiltoniani mund t

shkruhet si nj shum termash, ku secili ka formn e nj Hamiltoni t nj oshillatori harmonik me nj

frekuenc t caktuar.Energjia e oshillatorit harmonik sht n (niveli zero i energjis sht neglizhuar),

ku 0 1 2n , , , . Kshtu, ne kemi mbetur tek koncepti i fotoneve me energji . Nj gjndje e fushs s


7

lir elektromagnetike sht specifikuar nga numri n pr t secilin prej oshillatorve, dhe n mund t

mendohet si nj numr i fotoneve n nj gjndje me energji t nj grimce t vetme .

Fotonet i nnshtrohen statistiks s Boze-Einsteinit: 0 1 2n , , , . Kshtu q, funksioni i shprndarjes

kanonike sht

1

01 2

nj j

EA j

n ,n , ,n ,j

e Q e e

Ku kemi prdorur paraqitjen e E sipas numrit t okupacionit, dhe kemi shnuar j j . Meq faktort

eksponencial n pozicionet e pavarura, ne marrim

0

n j j

nj j

Q e .

Shprehja n kllapa sht nj seri geometrike, kshtu q

1

gazifotonik

1 jj

Q .

e

Prej ksaj formule, ne mund t marrim t gjitha vetit q duam meq AQ e . Nj madhsi q sht me

rndsi t veant sht vlera mesatare e numrit t okupacionit t gjndjes s j -t, jn . N ansamblin

kanonik

1 1

1 2

1 1

1 2

ln

n n j jEjj

n ,n ,j E

n n j j

j n ,n ,

j

n en e

nQe

e

Q

Q.


8

Duke zvndsuar formuln pr Q ne marrim

ln 1

1

1 1

jj

j j

j

j j

n e

e

e e

e cila njihet si shprndarja e Planckut.

4.4 Gazi fononik

Si nj shembull tjetr, konsiderojm gazin fononik, modd normale t nj trupi t ngurt n temperatura t

ulta. Pr nj rrjet mjaftueshmrisht t ftoht, atomet qndtrojn afr pozicionit t tyre t ekuilibrit. Si

rezultat, energjia potenciale e nj sistemi t till mund t zbrthehet sipas fuqive t zhvendosjes s

koordinatave prej pozicionit t tyre t ekuilibrit. Pr shum aplikime, sht nj prafrim i mir t ndalesh

vetn n termat kuadradik, q quhet edhe prafrimi harmonik

0 0

0

1

1

2

N

i j i ji j

i, j , x,y,z

U U s s s s k ,

ku is sht vlera e koordinats karteziane t -t pr grimcn e i -t, 0is sht vlera koresponduese e

ekuilibrit, i jk sht nj konstante force, dhe 0U sht vlera m e vogl e energjis potenciale (niveli

zero i energjis). Duhet t kiher parasysh nj munges e nj termi linear n kt formul; ky term nuk

sht atje sepse derivati i par i energjis sht zero n minimum.

Konsiderojm pasojat e faktit q n prafrimin harmonik, Hamiltoniani sht nj funksion kuadratik I t

gjitha koordinatave. sht e vrtet q koordinata t ndryshme jan bashkuar s bashku nprmjet

DN DN matric t konstanteve t forcs, ku D shnon dimensionin, dhe DN numrin e prgjithshm t

koordinatave. Por meq elementet e matrics s konstanteve t forcs, i jk , jan simetrike, nj teorem e

algjebrs lineare mund t zbatohet, e cila thot q mund t zbrthejm funksionin kuadratik duke gjetur

nj bashksi t koordinatave normale ose modve normale. do mod normale e nj sistemi

harmoniksht nj koordinat q oshillon me nj frekuenc t caktuar dhe e pavarur nga t gjitha modd e

tjera. Atje jan DN koordinata t tilla pr do Hamilton harmonik. Secila mod sht nj kombinim linear


9

i t bashksis origjinale t koordinatave, is ; dhe kur ne adoptojm modd normale si koordinatatt

tona, Hamiltoni i prgjithshm mund t shkruhet si nj shum e DN Hamiltonve nj dimensional t

pavarur kuadratik. Pr t prcaktuar modd normale t nj sistemi harmonik t veant, ne duhet t

diagonalizojm nj matrix DN DN .

Ktu ne do t supozojm q forma kuadratike mund t diagonalizohet. Kshtu, duke adoptuar prafrimin

harmonik, ne dim q Hamiltoniani mund t shprehet si

1

DN

,

ku me kemi shnuar Hamiltonianin e oshillatorit harmonik me frekuenc themelore . Edhe

njher, kujtojm q energjia vetjake e nj oshillatori harmonik me frekuenc sht

1

0 1 22

n , n , , , .

Kshtu q, ne po fusim tani kuptimin e nj fononi. Po shnojm me n numrin e fononeve n gjndjen me

energji . Ather energjia e nj gjndje e rrjets merr formn e mposhtme

01

DN

E n E ,

ku

0 01

1

2

DN

E U .

Pr thjeshtsi, po e marrim 0U si nivelin zero t energjis. Ather funksioni kanonik i shprndarjes pr

rrjetn bhet

01 2

1exp

2n ,n ,

Q ,N ,V n .

Meq eksponencialet mund t faktorizohen n nj prodhim t termave t pavarur, shprehja e msiprme

mund t shkruhet si


10

1

1exp

2

DN

n

Q ,N ,V n .

Shuma sipas n sht kryer duke prdorur formuln pr progresionin gjeometrik,

0

1

1

n

n

q .q

Duke konsiderurar q expq , marrim

2

1

2

1 1

1

exp 2 exp 21

DN/ n

n

DN DN/

Q ,N ,V e e

e.

/ /e

Prej ktej

1

ln ln exp 2 exp 2DN

Q / / .

Shuma sipas gjndjeve fononike mund t ndahet duke futur g d si numrin e gjndjeve fononike

me frekuenc midis dhe d . Ather

0

ln exp 2 exp 2A d g / / .

Kjo formul sht pika fillestare e analizs s termodinamiks s rrjetave harmonike.

4.5 Gazet ideale t grimcave reale

Bozonet

Po marrim nj sistem prej N grimcash q i nnshtrohen statistiks s Bose-Einstein-it dhe q nuk

bashkveprojn midis tyre. Nj mnyr pr t llogaritur madhsit termodinamike t nj sistemi t till,

sht t llogarisim funksionin e shprndarjes kanonike, expQ E . Ndryshe nga gazet fotonike

ose fononike q jan t prbra nga grimca pa mas, sistemet q ne po konsiderojm prej tani e n


11

vazhdim jan t prbra nga grimca q nuk mund t krijohen apo zhduken. Kshtu q, nse ne duam t

prdorim modelin e okupacionit t gjndjeve, kur kryejm shumimin pr t llogaritur funksionin e

shprndarjes kanonike, ne duhet t kufizojm shumn n ato gjndje n t cilat numri i prgjithshm i

grimcave sht i fiksuar n N :

1 2

exp j jn ,n , j

n Njj

Q n .

Ktu, j tregon energjin e grimcs s izoluar t gjndjes s j -t. Kufizimi n shumimin n ekuacion

krijon nj problem kombinatorial i cili mund t zgjidhet; por zgjidhja e sakt nuk sht dhe aq e thjesht.

Duke marr n konsiderat mekanikn statistike n ansamblin e madh kanonik, megjithat, kufizimi n

shum nuk shfaqet m.

N ansamblin e madh kanonik, funksioni i shprndarjes sht

E NpVe e ,

ku me shnohet nj gjndje me N grimca dhe energji E . N lidhje me numrat e okupacionit

1 2

exp j jn ,n , ,n , jj

n .

Duke faktorizuar termat eksponencial, marrim

0

1

1

nj jpV

jnj jj

e e

e

Ku formula e progresionit gjeometrik sht prdorur. Prej ktej,

ln ln 1j

j

pV e .

Numri mesatar i okupacionit sht


12

1 ln

E Nj

jj j

n e

n .

Duke prdorur kt formul me pr gazin ideal t Bozes, ne marrim

1

1

jj

n .

e

Duhet t vrehet singulariteti pr j , pr t ciln jn nuk konvergjon; d.m.th. nj numr

makroskopik i grimcave q prfundon n nj grimc t vetme. Ky fenomen njihet si kondensimi i Bozes,

dhe kondensimi sht menduar t jet nj mekanizm pr mbi rrjedhjen,

Prsrisim q fotonet dhe fononet jan bozone n kuptimin q do numr mund t ekzistoj n t njjtn

gjndje t nj grimce t vetme. Kshtu sipas formuls q ne sapo nxorrm, potenciali kimik i nj fononi

n nj gaz ideal fononik sht zero. N mnyr t ngjashme, potenciali kimik i nj fotoni n nj gaz ideal

fotonik sht zero.

Fermionet

Tani po konsiderojm nj gaz ideal t grimcave reale t Fermit. Edhe njher sht akoma edhe m e

thjesht t punojm me ansamblin e madh kanonik, dhe n kt ansambl, funksion i shprndarjes sht

1

01 2

exp j jn ,n , j

n .

Ktu ne kemi shnuar q pr fermionet, 0jn ose 1, vetm. Si sht gjithmon dhe rasti pr grimcat q

nuk bashkveprojn, eksponenciali mund t faktorizohet dhe ne marrim

1

0

1nj j j

nj jj

e e ,

ku formula e progresionit gjeometrik sht prdorur. Prej ktej,

ln ln 1j

j

pV e .


13

Edhe njher, numri mesatar i okupacionit sht dhn nga

jj

lnn

:

1

1 1

j

jj j

en .

e e

Informacioni mbi korrelacionet midis grimcave t ndryshme mund t prshkruhet me mesataren

i jn n . Pr t qn m specifik, po konsiderojm nj sistem t grimcave fermionike identike, ku jn

sht ose zero ose one, dhe in sht probabiliteti q nj grimc sht n gjndjen e i -t t nj grimce t

izoluar. N mnyr t ngjashme, i jn n sht probabiliteti i prbashkt q nj grimc sht n gjndjen i

dhe nj grimc n j , dhe ij i j i ijg n n n sht probabiliteti i prbashkt q nj grimc sht n

gjndjen i dhe nj tjetr grimc sht n gjndjen j .

4.6 Elektronet n metale

Si nj illustrim, tani po konsiderojm vetit termike t elektroneve prcjells n metale. Pr nj prafrim

t mir, ne mund t modelojm kt elektrone si nj gaz ideal i fermioneve sepse n densitete t larta,

energjia potenciale e bashkveprimit midis fermioneve identik sht shpesh e nj rndsie t vogl.

Arsyeja sht q meq nuk ekzistojn dy grimca identike dhe prandaj fermionet e padallueshme mund t

ndodhen n t njjtn gjndje, nj sistem me densitet t lart do t mbush mundsisht shum nivele

energjie t nj grimce t vetme. Energjia m e vogl e gjndjeve t pa okupuara do t ket nj energji

kinetike shum her se Bk T , dhe jan ngacmimet n kto gjndje q krijojn fluktuacionet e shoqruara

me vetit e termodinamike t vrojtuara n temperatura t fundme. Prandaj, kur densiteti i nj sistemi t

fermioneve prej shum grimcave sht mjaftueshmrisht i lart, energjit e bashkveprimeve midis

grimcave bhet i paprfillshm.

Si do ta shikojm pas pak, elektronet prcjells n shumicn e metaleve knaqin kriterin e densitetit t

lart. Nse ne supozojm se elektronet prcjells jan nj gaz ideal, numri mesatar i elektroneve q

ndodhen n gjndjen e j -t t nj grimce t vetme sht

j jn F ,

ku F sht funksioni i Fermit


14

1

1F ,

e

dhe j sht energjia e gjndjes s j -t t nj grimce t vetme:

2 2 2j k / m ,

ku me m kemi shnuar masn e lektronit, dhe me k vektorin valor, i cili kuantizohet si m posht

0 1 2x y z n n n / L, n , , , , k x y z

ku 3L V sht volumi i materialit q mban elektronet. Kto jan elektrone n nj kuti. Duhet t shnohet

gjithashtu q indeksi i gjndjes j duhet t specifikoj numrat kuantik, xn , yn , dhe zn . Pr m tepr, j

duhet t specifikoj gjithashtu spinin e gjndjes (lart ose posht) t elektronit. Meq jjN n , ne

kemi

0

2N d F ,

ku faktori 2 llogarit degjenerimin e dy gjndjeve t mundshme t spinit, dhe d sht numri I

gjndjeve t nj grimce t vetme pa struktur me energji midis dhe d . N mnyr t ngjashme,

0 0 0

3

0

30

3

2

2

2

2

2

2

x y z

x y z

x y z

N dn dn dn F k

dk dk dk / / L F k

Vdk dk dk F k

Vd F k ,

k


15

ku kemi shnuar q pr volume mjaftueshmrisht t mdha, spektri i vektorve valor sht i vazhdueshm

kshtu q nj integrim sht i mjaftueshm, dhe barazimi i fundit thjesht fut nj shnim m t

prmbledhur pr integrimin sipas t gjith hapsirs s k -ve.

Pr t vazhduar, po konsiderojm formn e funksionit t Fermit. Pr 0T ,

0

0

1

0

,F

,

ku 0 sht potenciali kimik i gazit elektronik ideal n 0T , q sht quajtur shpesh si energjia e

Fermit. Impusi i Fermit, Fp , sht prkufizuar si

2 2 2

02 2

F Fp k .m m

Kshtu, n 0T , ne mund t kryejm integralin sipas F pr t marr N :

3 34

2 23

FN V / k .

Nj metal tipik, Cu, ka nj densitet mase prej 39g/cm . Duke supozuar q secili atom jep nj elektron tek

gazi elektroni prcjells, ne marrim nga ky densitet

o0 80 000 KB/ k ,

i cili provon q edhe n temperaturn e dhoms, prafrimi i gazi ideal sht i sakt.

Figure 1: Funksioni i Fermit.


16

Figure 1 paraqet nj skic t funksionit t Fermit pr temperatura shum m t ulta se 0 / kB (pr

shembull, temperatura e dhoms). Derivati i tij sht nj funksion delta, si sht paraqitur n Figure 2.

Figure 2: Derivati i funksionit t Fermit.

Ne mund vrejm kt sjellje kur llogarisim vetit termodinamike. Pr shembull,

0

0

2

j j

j

E n

d F

d dF / d ,

Ku n barazimin e fundit, ne integruam me pjes dhe termi kufitar sht zero, dhe futm

0

2dx x x.

Meq dF / d sht shum i lokalizuar afr 0 dhe sht funksion i rregullt, ne mund t

prfitojm nse zbrthejm rreth 0 dhe marrim

0

0 00

2 41 2

1 m mm

m

B

d dFE d

m! dd

C k T C O T .


17

Ku 1C dhe 2C jan dy konstante. Kshtu, ne marrim q pr nj prcjells metalik n temperatura t ulta

kapaciteti I nxehtsis sht funksion linear i temperaturs; d.m.th.

vC T

Ky parashikim sht tashm provuar nga shum t dhna eksperimentale.

Ne e kemi komentuar q ne kemi neglizhuar bashkveprimet midis elektroneve. Ne kemi gjithashtu

neglizhuar bashkveprimet midis atomeve t rrjets dhe elektroneve. Q do t thot, ne kemi neglizhuar

bashkveprimet midis elektroneve dhe fononeve. sht arritur q kto bashkveprime jan prgjegjse

pr fenomenin e mbi prcjellshmris n metale.

4.7 Gazet ideale klasike. Limiti klasik.

Tani po konsiderojm far ndodh me sjelljen statistike t gazeve ideale t mekaniks kuantike kur i

afrohemi temperaturave t larta. Ky sht n fakt limit klasik. Numri i grimcave sht dhn nga

jjN n . Numri mesatar i grimcave jepet

1

1j

j

j j

N n e ,

Ku n barazimin e fundit, shenja (+) sht pr statistikn e Fermi-Dirakut, dhe shenja (-) pr at t Boze-

Einsteinit. Densiteti mesatar N / V sht densiteti termodinamik. Kur temperatura sht e lart dhe

densiteti sht i ult, akoma dhe m shum gjndje t nj grimce t vetme mund t arrihen n krahasim

me numrin e grimcave. Kshtu q relacioni jjN n nnkupton q pr rastin e konsideruar, do

jn duhet t jet e vogl; d.m.th., 1jn .Ky kusht kombinuar me shprdarjen e Fermi-Dirakut dhe

Boze-Einsteinit nnkupton

1j

e .

(a)

Mund t shihet leht se nse ky ekuacion sht i vrtet pr t gjitha j , ather 1 kur 0 dhe

0 . Ky rast limit korrespondon me limitin e gazit ideal klasik.

Duke u nisur nga dy mosbarazimet e msiprme, ne mund t shkruajm


18

j

jn e

(b)

n limitin klasik. Potenciali kimik, , sht prcaktuar prej kushtit

j j

j

j j j

N n e e e ,

ose

j

j

Ne .

e

(c)

Si rrjedhim, duke kombinuar ekuacionet e msiprme, (a), (b) dhe (c), ne marrim

j

ji

i

en N

e

i cili sht nj form tashm familjare e faktorit klasik t Boltzmannit. Kjo mund edhe t shihet leht duke

u nisur nga fakti q jn jep numrin mesatar t grimcave n gjndjen e j -t t nj grimce t vetme,

ather jn / N sht probabiliteti pr t gjetur grimcn n gjndjen e j -t t nj grimce t vetme, i cili

sht

j j

ne .

N

Tani, po llogarisim funksionin kanonik t shprndarjes n limitin klasik. Ky funksion sht i lidhur me

energjin e lir t Helmholtzit sipas

lnA Q,

Ndrsa funksioni i madh kanonik i shprndarjes sht lidhur me pV sipas

lnpV .

Dim gjithashtu q A E TS , dhe energjia e lir e Gibbsit sht G N E pV TS . Duke

prdorur kto relacione, ne marrim


19

ln lnQ N ,V ,T N .

Duke zvndsuar funksionet e shprndarjes s madhe kanonike pr fermionet ose bozonet ideale ky

ekuacion jep

ln ln 1 jj

Q N ,V ,T N e ,

Ku shenja (+) sht grimcat e Fermit dhe ajo (-) pr Bozonet. Duke prdorur mosbarazimin (a) dhe

zbrthimin e ln 1 x x , ekuacioni i msiprm mund t shkruhet

ln jj

Q N ,V ,T N e .

Duke zvndsuar (c) n kt formul, ne marrim

lnQ N ,V ,T N N .

Akoma, logaritmi i (c) jep

ln ln j

j

N e

Si rrjedhim

ln ln ln j

j

Q N N N N e

ku kemi zvndsuar N me N . Tani, prdorim prafrimin e Stirlingut ln ! lnN N N N (i cili sht i

sakt vetm n limitin termodinamik, N ) dhe marrim

1

!

N

j

j

Q eN

n limitin klasik. Faktori 1 !/ N reflekton faktin q grimcat jan t padallueshme. Kjo sht mbetja e

vetme e statistiks kuantike n limitin klasik.


20

Kjo formul pr funksion e shprndarjes s gazit ideal klasik mund t nxirret edhe n nj mnyr tjetr

alternative q nuk prdor analizn e msiprme t fermioneve dhe bozoneve. N veanti, po konsiderojm

nj ansambl prej N grimcash t padallueshme dhe t pakorreluara. Duhet t theksohet se n limitn

kuantik, edhe kur grimcat nuk bashkveprojn, padallueshmria nnkutpn korrelacion prshkak t

krkess q funksioni valor sht simetrik. Nse ne po e neglizhojm pr momentin padallueshmrin,

funksioni i shprndarjes sht nj funksion shprndarje i nj grimce t vetme, q , ngritur n fuqi t N -t,

Nq . Si edhe e theksuam n komentet e hyrjes n kt kapitull, ky rezultat mbi llogarit gjndjet. Arsyeja

sht q atja jan !N mnyra t ndryshme pr t prcaktuar t njjtn bashksi t gjndjeve t dallueshme

t nj grimce t vetme pr N grimca. Por do mnyr sht ekuivalente meq grimcat jan t

padallueshme. Si rrjedhim, rezultati duhet t jet !Nq / N , i cili korrigjon mbi llogaritjen.

4.8 Termodinamika e nj gazi ideal t grimcave klasike pa struktur

Tani po konsiderojm nj sistem t prbr prej grimcave pa struktur t brendshme me mas m n nj

volum V , dhe po prdorim rezultatin e limitit klasik. Energjia sht shkak vetm i lvizjes drejtvizore t

qendrs s mass. Energjia e nj grimce t vetme mund t shprehet si

2 2

2k x y z

k , n n n .

m L

k x y z

Ku 1 3/ x y zL V ,n ,n ,n , dhe kto t fundit marrin vlera nga 1 deri , k sht niveli i energjis s

grimcs n nj boks tre dimensional. Funksioni klasik i shprndarjes sht

2 21

1exp 2

!

N

n ,n ,nx y z

Q N ,V ,T k / m .N

N limitin klasik, sht shum i vogl, dhe n limitin termodinamik L sht shum i madh. Kshtu q,

deferenca midis termave t njpasnjshm n shum sht i vogl, dhe shuma mund t merret siaps nj

integrali:


21

x x x

y y y

z z z

L Ln k dk ,

L Ln k dk ,

L Ln k dk ,

dhe

3

30 0 0

x y z

n ,n ,nx y z

Ldk dk dk .

Kshtu q,

2 2 2 2 2 2

30 0 0

2 2 2 2

3

exp 2 exp 2

exp 22

x y z x y z

n ,n ,nx y z

x y z x y z

Vk / m dk dk dk k k k / m

Vdk dk dk k k k / m

Duke prcaktuar p k , marrim

2 2

3

1

2

N

p / mVQ d eN !

p

Ku x y zd dp dp dpp . Integrali mund t llogaritet n disa mnyra, dhe rezultati sht

3 2

3

2

!

N /NA

N

V me Q N ,V ,T .

N h

Energjia e brendshme, E , dhe shtypja, p , jan prcaktuar n mnyr t zakonshme:

ln 3 3

2 2

ln

B

V

B

Q NE Nk T ,

Q Np ose pV Nk T .

V V


22

Eksperimentalisht, ekuacioni i gjndjes pr nj gaz klasik ideal sht pV nRT ku R shtV konstantja e

gazeve dhe n numri i moleve. Rezultati tjetr thot q BpV Nk T . N kt mnyr, konstantja

160 1 35805 10Bk R / N .

erg/grad., ku 0N sht numri i Avogadros.


23

4.9 Ushtrime t zgjidhura

Ushtrimi 4.1: Pr gazin fotonik nxirr nj formul pr funksionin e korrelacionit i jn n ku

i i in n n .

Ushtrimi 4.2: Prdor formuln pr jn pr t treguar q densiteti i energjis s nj gazi fotonik sht

4T , ku sht nj konstante, 2 4 3 315Bk / c .

Ushtrimi 4.3: Duke supozuar se vetm nj nivel i fononit sht populluar n mnyr t konsiderueshme

0g ,

dhe prcakto sjelljen pr temperatura t ulta t nj harmoniku t ngurt. Kjo njihet edhe si modeli i

Einshteinit.

Ushtrimi 4.4: Duke supozuar se vetm modd e frekuencave t vogla t nj rrjete jan thjesht val

planare t tilla q

2 10 0

00

D DND / ,g

,

sht nj prafrim i mir. Prcakto sjelljen pr temperatura t ulta t nj harmoniku t ngurt. Kjo njihet

edhe si modeli i Debye-it, dhe frekuenca kufitare 0 quhet frekuenca e Debye-it.

Ushtrimi 4.5: Nxirr q probabiliteti i prbashkt q nj grimc sht n gjndjen i dhe nj tjetr grimc

sht n gjndjen j jepet

ij i j i ijg n n n .

Ushtrimi 4.6: Pr nj gaz ideal t fermioneve identike, prcakto ijg si nj funksion t in .

Ushtrimi 4.7: Prdor serin e Euler-Maclaurin-it pr t provuar q gabimet q bhen duke marr shumat

diskrete sipas n si integrale jan t paprfillshme pr vlera t mdha t V .


24

Ushtrimi 4.8: Nxirr q

0

0 00

2 41 2

1 m mm

m

B

d dFE d

m! dd

C k T C O T .

Duke u nisur nga fakti q dhe 0 jan pothuaj se t barabarta pr temperatura t vogla.

Documents

fizik statistike