Matemticas 3er. Grado Volumen I

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Libro de Texto RIEB 2013-2014

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  • 3er G

    rado

    Vo

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    SUSTITU

    IR

    matemticaS3er Grado Volumen I

    III

    III

    mat

    em

    tica

    S

    MAT3 LA Vol1 portada.indd 1 5/26/08 2:53:32 PM

  • 3er Grado Volumen I

    IIImatemticas

    MAT3 B1 S01.indd 1 6/20/08 4:56:47 PM

  • Matemticas III. Volumen I fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

    AutoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato

    Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)

    Revisores acadmicos externosDavid Francisco Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseo Aguirre

    Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

    Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano Pineda, Emilio Domnguez Bravo,Deyanira Monroy Zarin

    Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

    Primera edicin, 2008Quinta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

    D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

    ISBN 978-968-01-1703-1 (obra completa)ISBN 978-968-01-1704-8 (volumen I)

    Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

    Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

    DiseoZona Grca

    DiagramacinBruno Contreras, Vctor Vilchis

    IconografaCynthia Valdespino

    IlustracinCurro Gmez, Vctor Eduardo Sandoval, Gabriela Podest, Juan Pablo Romo

    FotografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

    LPA-MATE-3-V1-LEGAL-12-13.indd 2 12/06/12 14:00

  • ndice

    Mapa-ndice

    Clave de logos

    BLOqUE 1

    secuencia 1 Productos notables y factorizacin

    secuencia 2 Tringulos congruentes y cuadrilteros

    secuencia 3 Entre rectas y circunferencias

    secuencia 4 ngulos en una circunferencia

    secuencia 5 Problemas con curvas

    secuencia 6 La razn de cambio

    secuencia 7 Diseo de experimentos y estudios estadsticos

    BLOqUE 2

    secuencia 8 Ecuaciones no lineales

    secuencia 9 Resolucin de ecuaciones por factorizacin

    secuencia 10 Figuras semejantes

    secuencia 11 Semejanza de tringulos

    secuencia 12 ndices

    secuencia 13 Simulacin

    Bibliografa

    Anexo 1

    Anexo 2

    4

    9

    10

    12

    32

    40

    48

    58

    62

    74

    88

    90

    100

    112

    118

    128

    144

    156

    157

    159

    MAT3 B1 S01.indd 3 6/20/08 4:56:49 PM

  • 4Blo

    qu

    e 1

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SPr

    og

    ram

    asIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    1.

    Prod

    uctosno

    tablesyfactoriz

    acin.

    [12-

    31]

    Efectuarosim

    plificarclculoscon

    exp

    resion

    esalgeb

    raicastales

    como:(x

    + a

    )2;(

    x +

    a)(

    x +

    b);(x

    + a

    )(x

    a).Factoriz

    arexp

    resion

    es

    alge

    braicastalescomo:x

    2 +

    2ax

    + a 2

    ;ax 2

    + b

    x;x

    2 +

    bx +

    c ;x

    2 +

    a 2.

    1.1

    Aform

    arcua

    drad

    osProg

    rama1

    1.2

    Elcua

    drad

    ode

    una

    diferen

    cia

    Interactivo

    1.3

    Ladiferen

    ciade

    doscua

    drad

    os

    1.4

    Aform

    arre

    ctn

    gulos

    Prog

    rama2

    1.5

    Uncasoespeciald

    efactorizacin

    2.

    Tring

    uloscon

    grue

    ntesycua

    dril

    teros.

    [32-

    39]

    Ap

    licarlo

    scriteriosde

    con

    grue

    nciadetring

    ulosenlaju

    stificacin

    de

    propied

    adesdeloscu

    adrilteros.

    2.1

    Lado

    sop

    uestosig

    uales

    Ladiago

    nald

    eun

    paralelog

    ramo

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    2.2

    Puntosm

    edios

    Prog

    rama3

    Interactivo

    Cmoverifi

    carlacon

    grue

    nciadelasfig

    uras

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    3.

    Entrerectasycirc

    unferenc

    ias.

    [40-

    47]

    Determinarm

    edianteco

    nstruc

    cion

    esla

    spo

    sicion

    esre

    lativa

    sen

    tre

    rectasyuna

    circ

    unferenc

    iayentrecirc

    unferenc

    ias.

    Ca

    racterizarla

    rectasecanteylatan

    genteaun

    acircun

    ferenc

    ia.

    3.1

    Puntosenco

    mn

    3.2

    Trazosdetang

    entes

    Prog

    rama4

    Interactivo

    Tang

    entes

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    3.3

    Entrecircun

    ferenc

    ias

    Interactivo

    3.4

    Algu

    nosprob

    lemas

    Prog

    rama5

    4.

    ngu

    losen

    una

    circ

    unferenc

    ia.

    [48-

    57]

    Determinarla

    relacin

    entreunn

    guloin

    scrit

    oyun

    ng

    ulocentral

    deuna

    circ

    unferenc

    ia,sia

    mbo

    sab

    arcanelm

    ismoarco

    .

    4.1

    Dosng

    ulosdeun

    acircun

    ferenc

    ian

    gulosinscrit

    osenun

    acircun

    ferenc

    ia

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    4.2

    Relacion

    esam

    edias

    4.3

    Prob

    emosque

    uno

    delosn

    gulosesla

    mitad

    delotro

    Prog

    rama6

    Interactivo

    4.4

    Prob

    lemasdemed

    ida

    Prog

    rama7

    5.

    Prob

    lemascon

    curva

    s.[5

    8-61

    ]

    Calcularla

    med

    idade

    ng

    ulosin

    scrit

    osycen

    trales,a

    scom

    ode

    arco

    s,elreade

    sectorescircularesydelacoron

    a.

    5.1

    Slouna

    parte

    Prog

    rama8

    Interactivo

    5.2

    Loque

    resta

    5.3

    Detodo

    unpo

    co

    6.

    Lara

    znde

    cam

    bio.

    [62-

    73]

    An

    alizarla

    raz

    nde

    cam

    biode

    unproc

    esoofen

    men

    oqu

    ese

    mod

    elaco

    nun

    afunc

    inlin

    ealy

    relacion

    arlacon

    lain

    clinacino

    pend

    ientede

    lare

    ctaqu

    elore

    presen

    ta.

    6.1

    Elin

    crem

    ento

    Sab

    esque

    esun

    araz

    n?

    (Hojade

    clcu

    lo)

    6.2

    Pend

    ienteyraz

    nde

    cam

    bio

    Prog

    rama9

    Interactivo

    6.3

    Algu

    nasrazo

    nesde

    cam

    bioim

    portan

    tes

    Prog

    rama10

    7.

    Dise

    ode

    exp

    erim

    entosyestudiosestad

    stico

    s.[7

    4-87

    ]

    Dise

    arunestudiooexpe

    rimen

    toapartirde

    datosobten

    idosde

    diversasfue

    ntesyelegirlaformade

    organ

    izacinyrepresen

    tacin

    tabu

    larogrfi

    cam

    sade

    cuad

    apa

    rapresentarla

    inform

    acin.

    7.1

    Dise

    ode

    unestudioestadstico.

    Qu

    materiategu

    stams?

    Prog

    rama11

    Interactivo

    7.2

    Unjueg

    ode

    letras.O

    troestudioestadstico

    7.3

    Qu

    can

    tida

    dde

    agu

    aco

    nsum

    en

    diariamen

    telo

    salum

    nosde

    tercergrad

    o?Prog

    rama12

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT3 B1 S01.indd 4 6/20/08 4:56:50 PM

  • 5Blo

    qu

    e 2

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SPr

    og

    ram

    asIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    8.

    Ecua

    cion

    esnolin

    eales.

    [90-

    99]

    Utilizarecu

    acione

    sno

    line

    alesparamod

    elarsitua

    cion

    esyre

    solverlas

    utilizand

    oproc

    edim

    ientospersona

    lesuop

    eracione

    sinversas.

    8.1

    Elnm

    erosecreto

    Prog

    rama13

    Ecua

    cion

    escon

    msdeun

    asolucin

    I(Calcu

    lado

    ra)

    8.2

    Cubo

    s,cu

    adrado

    syaristas

    8.3

    Men

    de

    problem

    asProg

    rama14

    Interactivo

    9.

    Resolucin

    deecua

    cion

    esporfactoriz

    acin.

    [100

    -111

    ]

    Utilizar ecu

    acione

    scu

    adrticaspa

    ram

    odelarsitua

    cion

    esyre

    solverlas

    usan

    dola

    factoriz

    acin.

    9.1

    Cu

    ntomiden

    loslado

    s?Prog

    rama15

    9.2

    Losfactoresdecero

    Interactivo

    9.3

    Elado

    rno

    Prog

    rama16

    9.4

    Apliq

    uemoslo

    apren

    dido

    10.Figu

    rassemejan

    tes.

    [112

    - 1

    17]

    Co

    nstruirfig

    urassem

    ejan

    tesyco

    mpa

    rarlasmed

    idasdelosn

    gulosy

    delo

    slado

    s.

    10.1U

    nco

    raz

    nmuy

    especial

    Prog

    rama17

    Interactivo

    10.2A

    plicacione

    sde

    lasem

    ejan

    zaProg

    rama18

    Interactivo

    11.Se

    mejan

    zadetring

    ulos.

    [118

    - 12

    7]

    Determinarlo

    scriteriosde

    sem

    ejan

    zadetring

    ulos.

    Ap

    licarlo

    scriteriosde

    sem

    ejan

    zadetring

    ulosenelan

    lisisde

    diferentespropied

    adesdelospo

    lgon

    os.

    Ap

    licarla

    sem

    ejan

    zadetring

    ulosenelclcu

    lodedistan

    ciaso

    alturasinaccesibles.

    11.1E

    xplorand

    olasem

    ejan

    zadetring

    ulos

    Prog

    rama19

    11.2C

    riteriosde

    sem

    ejan

    zadetring

    ulosI

    Idea

    detring

    ulossem

    ejan

    tes

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    11.3C

    riteriosde

    sem

    ejan

    zadetring

    ulosII

    11.4C

    lcu

    lodedistan

    cias

    Prog

    rama20

    Interactivo

    12.nd

    ices.

    [128

    -143

    ]

    Interpretaryutilizarndicespa

    raexp

    licarelc

    ompo

    rtam

    ientode

    diversassitua

    cion

    es.

    12.1E

    lnd

    iceNaciona

    ldePreciosal

    Consum

    idor

    Prog

    rama21

    12.2nd

    icesenlaescue

    la

    12.3

    Quin

    eselpeloteromsvalioso?

    Prog

    rama22

    12.4M

    ssob

    ren

    dices

    Interactivo

    13.S

    imulacin.

    [144

    -15

    5]

    Utilizar la

    sim

    ulacinpa

    rare

    solversitua

    cion

    esproba

    bilsticas.

    13.1S

    imulacin

    Prog

    rama23

    13.2 A

    plican

    dola

    sim

    ulacin

    13.3S

    imulacinytiroslib

    res

    Prog

    rama24

    Interactivo

    Simulacin co

    n elm

    odelode

    urna(1)

    (Hojade

    clcu

    lo)

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT3 B1 S01.indd 5 6/20/08 4:56:51 PM

  • 6Blo

    qu

    e 3

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SPr

    og

    ram

    asIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    14.Re

    lacion

    esfun

    cion

    alesenotrasdisciplin

    as.

    Re

    cono

    ceren

    diferen

    tessituacione

    syfen

    men

    osdelafsica,la

    biologa,

    laeco

    nomayotrasdisciplinas,lapresen

    ciade

    can

    tida

    desqu

    eva

    ranun

    aen

    fun

    cin

    delaotrayrepresen

    tarlare

    glaqu

    emod

    elaestavariacin

    med

    ianteun

    atablaoun

    aexpresinalge

    braica.

    14.1E

    lreade

    laim

    agen

    Prog

    rama25

    Interactivo

    14.2E

    l corrald

    elosco

    nejos

    14.3E

    lmed

    iolitrode

    lech

    eProg

    rama26

    15.Re

    solucin

    deecua

    cion

    escua

    drticasporla

    frmulage

    neral.

    Utilizarecu

    acione

    scu

    adrticaspa

    ram

    odelarsitua

    cion

    esyre

    solverlas

    usan

    dola

    frmulage

    neral.

    15.1Lafrm

    ulage

    neral

    Prog

    rama27

    15.2E

    lbeisbolista

    Interactivo

    15.3C

    untassoluc

    ione

    stien

    eun

    aecua

    cin

    Prog

    rama28

    15.4L

    araz

    ndo

    rada

    16.Teorem

    ade

    Tales.

    Determinarelteo

    remade

    Talesm

    edianteco

    nstruc

    cion

    escon

    seg

    men

    tos.

    Aplic

    arelteo

    remade

    Talesendiversosproblem

    asgeo

    mtric

    os.

    16.1L

    acu

    lpaesdelaspa

    ralelas

    Prog

    rama29

    Interactivo

    Teorem

    ade

    Tales(G

    eometra

    dinm

    ica)

    16.2P

    ropo

    rciona

    lidad

    vspa

    ralelismo

    Prog

    rama30

    Recproc

    ode

    lteo

    remade

    Tales

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    16.3A

    hestelteo

    remade

    Tales

    17.Figu

    rasho

    motticas.

    Determinarlo

    sresultad

    osdeun

    aho

    moteciacua

    ndolara

    znesig

    ual,

    men

    orom

    ayorque

    1oque

    1.

    Determinarla

    sprop

    ieda

    desqu

    epe

    rman

    ecen

    inva

    riantesala

    plicaruna

    ho

    moteciaauna

    figu

    ra.

    Co

    mprob

    arque

    una

    com

    posicin

    deho

    moteciasco

    nelm

    ismocentroes

    igua

    lalp

    rodu

    ctode

    lasrazo

    nes.

    17.1E

    specialm

    entesem

    ejan

    tes

    Prog

    rama31

    Interactivo

    Lahom

    oteciacom

    oap

    licacinde

    lteorem

    ade

    Tales(G

    eometra

    dinm

    ica)

    17.2D

    epen

    dedelara

    zn

    Prog

    rama32

    18.Grfic

    asderelacion

    es.

    Interpretar,co

    nstruiryutilizargrfi

    casde

    relacion

    esfun

    cion

    alesno

    linea

    lespa

    ram

    odelardiversassituacione

    sofen

    men

    os.

    18.1P

    lano

    inclinad

    oProg

    rama33

    Interactivo

    18.2L

    a leyde

    Boy

    leProg

    rama34

    18.3L

    acaja

    19.Algu

    nascaractersticasde

    grfic

    asnolin

    eales.

    Establecerla

    relacin

    que

    existeen

    trelaformaylaposicinde

    lacurva

    de

    fun

    cion

    esnolin

    ealesylosva

    loresde

    lasliteralesdelasexpresione

    salge

    braicasqu

    ede

    finen

    aestasfun

    cion

    es.

    19.1Ab

    iertasym

    sabiertas!

    Prog

    rama35

    Interactivo

    Func

    ione

    scu

    adrticas

    (Hojade

    clcu

    lo)

    19.2Pa

    raarribaypa

    raaba

    jo!

    Interactivo

    19.3L

    asdesplazad

    asInteractivo

    19.4Ah

    lesvan

    una

    sc

    bicas!

    Prog

    rama36

    Interactivo

    19.5Ah

    lesvan

    una

    ship

    rbolas!

    Interactivo

    19.6E

    fectosespeciales

    Interactivo

    20.Grfic

    asporped

    azos.

    Interpretaryelab

    orargrfic

    asformad

    asporseccion

    esre

    ctasycurva

    squ

    emod

    elan

    situa

    cion

    esdemov

    imiento,llen

    adode

    recipien

    tes,etctera.

    20.1L

    asalbercas

    Prog

    rama37

    Interactivo

    20.2D

    iversosprob

    lemas

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT3 B1 S01.indd 6 6/20/08 4:56:51 PM

  • 7Blo

    qu

    e 4

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SPr

    og

    ram

    asIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    21.Diferen

    ciasensucesion

    es.

    Determinaruna

    exp

    resin

    gen

    eralcua

    drticapa

    radefi

    nirelen

    simo

    trm

    inoen

    suc

    esione

    snu

    mricasyfigu

    rativa

    sutilizand

    oelm

    tod

    ode

    diferen

    cias.

    21.1N

    merosfigu

    rado

    sProg

    rama38

    Interactivo

    21.2L

    asdiferen

    ciasenexpresione

    salge

    braicas

    21.3E

    lmtod

    ode

    diferen

    cias

    Prog

    rama39

    21.4A

    plique

    moslo

    apren

    dido

    22.Teorem

    ade

    Pitg

    oras.

    Ap

    licarelteo

    remade

    Pitg

    orasenlare

    solucin

    deprob

    lemas.

    22.1

    Qu

    eselteo

    remade

    Pitg

    oras?

    Prog

    rama40

    Interactivo

    Teorem

    a de

    Pitg

    oras

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    22.2A

    plicacione

    sde

    lteo

    remade

    Pitg

    orasI

    Prog

    rama41

    22.3A

    plicacione

    sde

    lteo

    remade

    Pitg

    orasII

    23.Ra

    zone

    strigon

    omtric

    as.

    Re

    cono

    ceryde

    term

    inarla

    srazo

    nestrigon

    omtric

    asenfamiliasde

    tring

    ulosre

    ctn

    gulossemejan

    tes,co

    moco

    cien

    tesen

    trelasmed

    idas

    delo

    slado

    s.

    Calcularm

    edidasdelado

    syde

    ng

    ulosdetring

    ulosre

    ctn

    gulosa

    partirde

    losva

    loresde

    razo

    nestrigon

    omtric

    as.

    Re

    solverproblem

    assen

    cillo

    s,en

    diversosm

    bitos,utilizand

    olasrazo

    -ne

    strigon

    omtric

    as.

    23.1L

    aco

    mpe

    tenc

    iaProg

    rama42

    Interactivo

    ngu

    lodeelevacinyde

    presin

    (Hojade

    clcu

    lo)

    23.2C

    osen

    osysen

    os

    23.33

    0,4

    5y60

    Prog

    rama43

    23.4A

    resolverproblem

    asInteractivo

    24.La exp

    onen

    cialyla

    line

    al.

    Interpretaryco

    mpa

    rarlasrepresen

    tacion

    esgrfic

    asdecrecim

    iento

    aritmticoolin

    ealy

    geo

    mtric

    ooexpo

    nenc

    iald

    ediversas

    situacione

    s.

    24.1C

    recimientode

    pob

    lacion

    esProg

    rama44

    Interactivo

    24.2Interscom

    puesto

    24.3G

    rfic

    ade

    laexp

    onen

    cial

    Prog

    rama45

    24.4L

    ade

    preciacin

    delasco

    sas

    25.Re

    presen

    tacin

    delain

    form

    acin.

    An

    alizarla

    relacin

    entredatosdedistintanaturaleza,peroreferid

    os

    aun

    mismofen

    men

    ooestudioqu

    esepresentaen

    represen

    tacion

    es

    diferentes,p

    araprod

    ucirnu

    evainform

    acin.

    25.1M

    ucho

    sda

    tos

    Prog

    rama46

    Interactivo

    25.2D

    e im

    portan

    ciasocial

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT3 B1 S01.indd 7 6/20/08 4:56:52 PM

  • 8Blo

    qu

    e 5

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SPr

    og

    ram

    asIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    26.Ecua

    cion

    esysistemasdeecua

    cion

    es.

    Dad

    oun

    problem

    a,determinarla

    ecu

    acinlin

    eal,cu

    adrticao

    sistem

    ade

    ecu

    acione

    sco

    nqu

    esepue

    dere

    solver,y

    viceversa,

    prop

    oneruna

    situa

    cin

    que

    semod

    eleco

    nun

    ade

    esasrepresen

    ta-

    cion

    es.

    26.1L

    osdiscpu

    losde

    Pitg

    oras

    Prog

    rama47

    26.2E

    cuacione

    syge

    ometra

    Interactivo

    27.Co

    nosycilin

    dros.

    An

    ticipa

    rlascaractersticasde

    loscu

    erpo

    squ

    esegen

    eran

    alg

    iraro

    traslada

    rfig

    uras.

    Co

    nstruirde

    sarrollosplan

    osdeco

    nosycilin

    drosre

    ctos.

    An

    ticipa

    ryreco

    nocerlasseccione

    squ

    eseobtiene

    nalre

    alizarcortes

    aun

    cilind

    rooaunco

    nore

    cto.

    An

    ticipa

    ryreco

    nocerlasseccione

    squ

    eseobtiene

    nalre

    alizarcortes

    aun

    cilind

    rooaunco

    nore

    cto.

    Determinarla

    variacin

    que

    seda

    enelra

    diode

    losdiversoscrc

    ulos

    queseobtiene

    nalhacercortespa

    ralelosen

    una

    esferaco

    nore

    cto.

    27.1S

    lidosderevo

    lucin

    Prog

    rama48

    27.2C

    ilind

    ros

    Prog

    rama49

    27.3C

    onos

    Interactivo

    27.4S

    eccion

    esdeco

    rte

    28.Vo

    lumen

    delcon

    oyde

    lcilind

    ro.

    Co

    nstruirlasfrm

    ulasparacalcularelv

    olum

    endecilin

    drosycon

    os.

    28.1T

    inacosdeag

    uaProg

    rama50

    Interactivo

    28.2C

    onosdepa

    pel

    Prog

    rama51

    29.Estimarvolm

    enes.

    Estimarycalcu

    larelvolum

    endecilin

    drosycon

    os.C

    alcu

    larda

    tos

    descon

    ocidosdad

    osotrosre

    lacion

    adoscon

    lasfrm

    ulasdelclcu

    lo

    devolum

    en.

    29.1P

    roblem

    asprcticos

    Prog

    rama52

    Interactivo

    30.Grfic

    acaja-b

    razo

    .

    Interpretar,elab

    oraryutilizargrfic

    asdecajabrazosdeun

    con

    junto

    dedatosparaan

    alizarsudistrib

    ucinapa

    rtirde

    lam

    ediana

    odela

    med

    iadedo

    somspob

    lacion

    es.

    30.1Interpretacinde

    datos

    Prog

    rama53

    Interactivo

    30.2C

    onstruccinde

    lagrfic

    acaja-b

    razo

    s

    30.3C

    ompa

    racin

    deda

    tosmed

    iantelagrfic

    ade

    caja-brazos

    Prog

    rama54

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    EJ

    E 1

    :Se

    ntidonu

    mricoype

    nsam

    ientoalge

    braico

    EJ

    E 2

    :Fo

    rma,espacioym

    edida

    EJ

    E 3

    :Man

    ejode

    lain

    form

    acin

    MAT3 B1 S01.indd 8 6/20/08 4:56:53 PM

  • Clave de logos

    Trabajo individual

    En parEjas

    En Equipos

    Todo El grupo

    ConExin Con oTras asignaTuras

    glosario

    ConsulTa oTros maTErialEs

    Cd dE rECursos

    siTios dE inTErnET

    biblioTECas EsColarEs y dE aula

    programa dE TElEvisin

    inTEraCTivo

    audioTExTo

    aula dE mEdios

    oTros TExTos

    9

    MAT3 B1 S01.indd 9 6/20/08 4:56:54 PM

  • 10

    MAT3 B1 S01.indd 10 6/20/08 4:56:59 PM

  • 11

    BLOQUE 1

    MAT3 B1 S01.indd 11 6/20/08 4:57:03 PM

  • 12

    secuencia 1

    En esta secuencia descubrirs procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.

    A FORMAR CUADRADOSPara empezarLosbloquesalgebraicossonunaherramientaquepermiterepresentaroperacionesconexpresionesalgebraicas.Enlasecuencia12deMatemticas ii,volumenIlosusasteparamultiplicarpolinomios;ahora,teayudarnaencontrar,demanerasimplificada,elresul-tadodeelevaralcuadradounbinomio.

    RecortalosBloques algebraicosdelanexo1Recortablesypgalosencartn.

    Conbloquesdereasx 2,x y1formacuadradosdediferentetamaoeidentificalaex-presinalgebraicaquecorrespondealamedidadesusladoscomosemuestraenlasdosfigurassiguientes.

    SESin 1

    Productos notables y factorizacin

    x + 1

    x 1

    a = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1

    x + 2

    x 2

    a = x 2 + 2x + 2x + 4 = x 2 + 4x + 4

    Encuentraeltrinomioquerepresentaelreadelosdoscuadradossiguientes.

    MAT3 B1 S01.indd 12 6/20/08 4:57:05 PM

  • 13

    IIIMATEMTICAS

    Consideremos lo siguienteEnlasiguientetablaaparecenbinomiosquerepresentanlasmedidadelladodediferen-tescuadrados,ascomolostrinomiosquecorrespondenasusrespectivasreas.

    a) Examinalosdosprimerosejemplosycompletalasiguientetabla.

    Binomio Trinomio

    x + 1 (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1

    x + 2 (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4

    x + 3 (x + 3)2 =

    x + 4 (x + 4)2 =

    x + 6 (x + 6)2 =

    x + 10 (x +10)2 =

    b) Subrayaeltrinomioquerepresentaelreadeuncuadradocuyoladomidex + 100.

    x 2 + 100x + 10 000 x 2 + 10 000 x 2 + 200x + 10 000

    Comparensussoluciones.Comentencmoobtuvieronlostrinomiosquesonresultadodeelevarlosbinomiosalcuadrado.

    x + 4

    x 4

    a =

    =

    x + 6

    x 6

    a =

    =

    MAT3 B1 S01.indd 13 6/20/08 4:57:06 PM

  • 14

    secuencia 1

    Manos a la obrai. Lafigura1muestrauncuadradoquemidedeladox + 5.

    x + 5

    x + 5

    Figura 1

    a) Cuntosbloquesdereax 2seutilizaronparaformar

    elcuadrado?

    b) Cuntosdereax?

    c) Cuntosderea1?

    d) Delassiguientesexpresiones,subrayenlasquerepre-sentanelreadelcuadrado.

    x + 5

    x 2 + 5x + 5x +25

    x 2 + 25

    x 2 + 10x +25

    e) Verifiquensilasexpresionesquesubrayaronseobtie-nenalelevaralcuadradoelbinomiox + 5.Paraeso,completen lamultiplicacin (x + 5) (x + 5) y luegosumenlostrminossemejantesparaobteneruntrino-mio.

    (x + 5)2 = (x + 5) (x + 5)

    =

    =

    Recuerden que:

    Para multiplicar dos binomios se multiplica

    cada trmino de un binomio por todos

    los trminos del otro y luego se suman los

    trminos que son semejantes.

    (x + 7) (x + 7) = x 2 + 7x + 7x + 49

    = x 2 + 14x + 49

    Comparensussolucionesycomentenculdelossiguientesprocedimientosusaranparahacerdemanerasimplificadalamultiplicacin(x + 8) (x + 8),sinnecesidaddehacerunamultiplicacintrminoportrmino.

    Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)yelcuadradodelsegundotrmino(64).

    Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)mselproduc-todelosdostrminos(8x )mselcuadradodelsegundotrmino(64).

    Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)mseldobledelproductodelosdostrminos(16x )mselcuadradodelsegundotrmino(64).

    Verifiquensusreglashaciendolamultiplicacin(x + 8) (x + 8).

    MAT3 B1 S01.indd 14 6/20/08 4:57:07 PM

  • 15

    MATEMTICAS IIIii. Elevenal cuadradoel binomio (2x + 3) ymultipliquen trminopor trminopara

    obtenercuatroproductosparcialescomoloindicanlaslneas.Luegosumenlostr-minossemejanteshastaobteneruntrinomio.

    4x 2

    (2x + 3) (2x + 3) = 4x 2 + 6x + + =

    + Trinomio cuadrado perfecto

    6x 12x

    a) Qurelacinhayentreeltrmino4x 2deltrinomioyeltrmino2xdelbinomio?

    b) Qurelacinhayentreel9deltrinomioyel3delbinomio?

    c) Cuntasvecesapareceelproductoparcial6xenlamultiplicacin?

    d) Qutrminosdelbinomiosemultiplicaronparaobtenerlo?

    e) Qurelacinhayentreeltrmino12xdeltrinomioyelproductodelosdostr-

    minosdelbinomio?

    Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenereltrinomioqueresultaalefectuarlaoperacin(3x + 2)2,sinnecesidaddehacerunamultiplicacintrminoportrmino.

    A lo que llegamosLa expresin que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

    El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

    (3x + 5)2 = 9x 2 + 30x + 25

    El primer trmino del binomio se eleva al cuadrado

    El segundo trmino del binomio se eleva al cuadrado

    Se multiplican ambos trminos (3x ) (5) = 15x

    Se duplica el producto

    (2) (15x) = 30x

    MAT3 B1 S01.indd 15 6/20/08 4:57:08 PM

  • 16

    secuencia 1

    Lo que aprendimosEscribeelbinomioalcuadradooeltrinomiocuadradoperfectoquefaltaencadaren-glndelasiguientetabla.

    Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto

    (x + 9)2

    (3x + 1)2

    x 2 + 24x + 144

    (2m + 5)2

    4x 2 + 36x + 81

    EL CUADRADO DE UnA DiFEREnCiAConsideremos lo siguienteDelcuadradodelafigura2serecortaronalgunasparteshastaquequedotrocuadradomspequeo,comosemuestraenlafigura3.

    x

    x

    x 2 x

    x

    1

    1

    Figura 2 Figura 3

    a) Culeslamedidadelladodelcuadradoazuldelafigura3?

    b) Laexpresinalgebraicaquerepresentaelreadelcuadradoazules:

    Comparensussoluciones.

    SESin 2

    MAT3 B1 S01.indd 16 6/20/08 4:57:09 PM

  • 17

    MATEMTICAS IIIManos a la obrai. AnayRicardodecidieronusaralgunosbloquesalgebraicosparacompletarelreadel

    cuadradoazuldelafigura3.

    Ricardosediocuentadequeconunbloquedereaxyotrodereax 1podacompletarelcuadradodeladox .

    Figura 4

    x

    x1

    1

    x

    1rea = x

    x

    1rea = x 1

    Despusdecompletarelcuadradodeladox,expresqueelreadelcuadradoazuldelafigura3era:x 2 x (x 1).

    Ana,porsuparte,ustresbloquesparacubrirelcuadradodeladox;despusexpre-selreadelcuadradoazulcomox 2 2(x 1) 1.

    a) Usenlosbloquesalgebraicosdeladerecha(dereasx 1y1)paracompletarelcuadradodeladox comocreanquelohizoAna;luegotracencadabloquesobrelafigura5eilumnenlosdeacuerdoasucolor.

    11

    1

    x

    x1

    1 rea = x 1

    rea = x 1

    Figura 5

    MAT3 B1 S01.indd 17 6/20/08 4:57:10 PM

  • 18

    secuencia 1b) Completenlaigualdadysimplifiquenambasexpresioneshastaobteneruntrinomio.

    ProcedimientodeAna:

    A = (x 1)2 = x 2 2(x 1) 1 = =

    ProcedimientodeRicardo:

    A = (x 1)2 = x 2 x (x 1) = =

    Lostrinomiosqueobtuvieronenambosprocedimientosdebenseriguales.Sinore-sultaronas,revisensusoperacionesycorrjanlashastaobtenerelmismotrinomiocuadradoperfecto.

    c) Otramaneradeobtenerelreadelcuadradoazuldelafigura3consisteenelevaralcuadradoelbinomiox 1.Hganloynoolvidenreducirlostrminossemejantes.

    x 2

    (x 1)2 = (x 1) (x 1) = x 2 x + =

    + Trinomio cuadrado perfecto

    x 2x

    ii. Otenganelresultadode(y a )2,paraverificarsialelevaralcuadradocualquierbi-nomioquerepresentaunadiferenciaseobtieneuntrinomiocuadradoperfecto.Noolvidensumarlostrminossemejantes.

    y 2

    (y a )2 = (y a) (y a) = y 2 ay + =

    ay 2ay

    Obtuvieronuntrinomiocuadradoperfecto?

    Comparensussolucionesycomentencmosepuedeobtenereltrinomiocuadradoperfectoquecorrespondealcuadradodeunadiferencia,sinseguirelprocedimientodelaactividadii.

    MAT3 B1 S01.indd 18 6/20/08 4:57:11 PM

  • 19

    MATEMTICAS IIIA lo que llegamosAl elevar al cuadrado una diferencia tambin se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los trminos del binomio tiene signo menos.

    El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

    (x b )2 = x 2 2bx + b 2

    x se eleva al cuadrado b se eleva al cuadrado

    El producto de (x ) y (b) se duplica

    Terecomendamostomarencuentalosdosaspectossiguientes:

    a) Elcuadradodeunadiferenciapuedeexpresarsecomoelcuadradodeunasuma.Porejemplo:

    (x 12)2 = [x + ( 12)]2 = x 2 + 2(x) (12) + (12)2

    = x 2 24x + 144

    b) Hayexpresionesqueparecentrinomioscuadradosperfectosperonoloson,porejemplo:x2 2x + 9.

    Comotienedostrminosquesoncuadrados:x 2y9,podrasuponersequeeltrinomioesresultadodedesarrollar(x 3)2,sinembargo(x 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x 2 6x + 9.

    Lo que aprendimos1. Encuentraelcuadradode lossiguientesnmerosaplicando la reglaparaelevaral

    cuadradounbinomio,talcomosemuestraenlosdosejemplos.

    1032 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 (100) (3) + 22 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609

    4992 = (500 1)2 = 5002 + 2 (500) (1) + 12 = 250 000 1 000 + 1 = 249 001

    a) 192 = (20 1)2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

    b) 512 = (50 + 1)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

    Recuerda que:

    El producto de un nmero negativo

    elevado al cuadrado es positivo.

    (12)2 = (12) (12) = + 144

    MAT3 B1 S01.indd 19 6/20/08 4:57:12 PM

  • 20

    secuencia 1

    c) 1052 = (100 + 5)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

    d) 1982 = (200 2)2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

    e) 9992 = ( )2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =

    2. Escribeelbinomioalcuadradooeltrinomioquefaltaencadarengln.Tencuidado,hayuntrinomioquenoescuadradoperfecto!Elevaalcuadradolosbinomiosqueobtengaspara verificar si correspondenal trinomiopresentado en la columna iz-quierdadelatabla.

    Binomio al cuadrado Trinomio

    (x 7)2

    (2x + 1)2

    x2 24x + 144

    (x + 12)2

    x2 14x + 9

    x2 + 3x + 2.25

    (x + 12 )2

    4x2 2x + 14

    a) Escribeeltrinomiodelatablaquenoescuadradoperfecto:

    b) Porqunoesuntrinomiocuadradoperfecto?

    LA DiFEREnCiA DE DOS CUADRADOSPara empezarDosbinomiosqueslodifierenenelsignodeunodesustrminossellamanbinomios conjugados,porejemplox + 3eselbinomioconjugadodex 3;2x + 6eselbinomioconjugado2x + 6.

    Consideremos lo siguienteAuncuadradodereax2selehacortadoenunadesusesquinasuncuadradodereaa2enunadesusesquinas,talcomosemuestraenlafigura6.

    Lafigura6secortporlalneapunteadarojayconlasdospiezasseformelrectngu-lodelafigura7.

    SESin 3

    MAT3 B1 S01.indd 20 6/20/08 4:57:13 PM

  • 21

    MATEMTICAS III

    a) Culeselreadelasuperficieazuldelafigura6?

    b) Qubinomiostienesquemultiplicarparaobtenerelreadelrectnguloformadoporlasdospiezasenlafigura7?

    rea = ( ) ( )

    c) Realizalamultiplicacintrminoportrminoysumalostrminossemejantesparaobtenerelreadelafigura7.

    ( ) ( ) =

    =

    Comparensussoluciones.

    Manos a la obrai. Calquenenunahojalafigura6,cortenporlalneapunteadayformenelrectngulo

    delafigura7.

    a) Culeslaexpresinalgebraicaquerepresentalamedidadelabasedelrectngu-

    loazuldelafigura7?

    b) Cul es la expresin algebraica que representa la medida de su altura?

    c) Expresenladiferenciadeloscuadradosx 2ya 2comoelproductodedosbinomiosconjugados.

    x 2 a 2 = ( ) ( )

    d) Factoricen16 9x 2comounadiferenciadecuadrados.

    16 9x 2 = ( ) ( )

    x a

    x

    a

    aa 2

    Figura 6

    x

    Figura 7

    a

    MAT3 B1 S01.indd 21 6/20/08 4:57:14 PM

  • 22

    secuencia 1ii. Realicenlassiguientesmultiplicacionestrminoportrminoyverifiquensidespus

    desumarlostrminossemejantesobtienenunadiferenciadecuadrados.

    4x 2

    a) (2x + 3) (2x 3) = 4x 2 6x + =

    6x

    b) (2x + 3) (2x + 3) = =

    c) (2x 3) (2x 3) = =

    d) (2x + 3) (2x 3) = =

    e) Enqucasosseobtuvounadiferenciadecuadrados?

    f) Enqucasosno?

    Comentencomo,apartirdeunadiferenciadecuadrados,podranidentificarlosbi-nomiosconjugadosquelaproducenalsermultiplicados.

    A lo que llegamosEl producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.

    (x + y ) (x y ) = x 2 y 2Binomios conjugados Diferencia de cuadrados

    La factorizacin de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados.

    Larelacinanteriorpuedeaplicarseparamultiplicarparejasdenmeros,.Paraello,tie-nenquepresentarloscomosifueranbinomiosconjugados.Ejemplos:

    (102) (98) = (100 + 2) (100 2) = 10 000 4 = 9 996

    (47) (53) = (50 - 3) (50 + 3) = 2 500 9 = 2 491

    MAT3 B1 S01.indd 22 6/20/08 4:57:15 PM

  • 23

    MATEMTICAS IIILo que aprendimos1. Realizalassiguientesmultiplicaciones.Expresacadaparejadefactorescomobino-

    miosconjugadossyobtnelproductomedianteunadiferenciadecuadrados.

    a) (21) (19) = = =

    b) (32) (28) = = =

    c) (97) (103) = = =

    d) (1 002) (998) = = =

    2. Completalasiguientetablaescribiendoparacadaparejadebinomiosconjugadossurespectivadiferenciadecuadradosyviceversa.

    Binomios conjugados Diferencia de cuadrados

    (x + 8) (x 8)

    (2x + 3) (2x 3)

    x 2 100

    4x 2 25

    (3x + 2y ) (3x + 2y )

    A FORMAR RECTnGULOSPara empezari. Enlafigura8semuestraunrectnguloformadoconlosbloquesalgebraicos.

    Figura 8

    x + 1

    x + 8

    SESin 4

    MAT3 B1 S01.indd 23 6/20/08 4:57:15 PM

  • 24

    secuencia 1a) Cuntosbloquesdereax 2seutilizaron?

    b) Cuntosdereax ?

    c) Cuntosderea1?

    d) Culessurea?

    ii. Conlosbloquesalgebraicosapropiadosx 2,x y1reproducelasfiguras9,10y11detalmaneraquetenganelreaindicada.Trazaencadacasolosbloquesqueutilizasteparaformarlayescribelamedidadesubaseydesualtura.

    Figura 10 Figura 11

    rea = x 2 + 9x +18 rea = x 2 + 9x + 20

    Figura 9

    rea = x 2 + 9x +14

    MAT3 B1 S01.indd 24 6/20/08 4:57:16 PM

  • 25

    MATEMTICAS IIIConsideremos lo siguienteCompletalatablasiguiente.

    Primer factor (Medida de la base)

    Segundo factor (Medida de la altura)

    Producto (rea del rectngulo)

    x + 8 x + 1

    x + 7 x + 2

    x2 + 9x + 18

    x + 5 x + 4

    x + 3 x + 2

    x 2 + 5x + 4

    a) Qureglasiguesparaencontrarelproductosiconoceslosdosfactores?

    b) Siconoceselproducto,cmoobtieneslosfactores?

    Comparensussoluciones.

    Manos a la obrai. Enlafigura12,conbloquesalgebraicosseformunrectngulodebasex + 5yaltu-

    rax + 2.

    a) Observen lafigura12y,sinhacer lamultiplicacin

    trmino por trmino, encuentren el producto de

    (x + 5) (x + 2) =

    b) Cmoloobtuvieron?

    x + 5

    x + 2

    Figura 12

    Los binomios (x + 5) y (x + 2) tienen un trmino

    comn que es x. Estos binomios se llaman

    binomios de trmino comn.

    5 y 2 son los trminos NO comunes.

    MAT3 B1 S01.indd 25 6/20/08 4:57:17 PM

  • 26

    secuencia 1c) Ahorarealicenlamultiplicacintrminoportrmino.

    x 2

    (x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =

    +

    2x 7x

    d) Quoperacinhacenparaobtenereltrminox 2?

    e) Quoperacinhacencon los trminos5 y2de losbinomiosparaobtenerel

    coeficientedeltrmino7xdelproducto?

    f) Quoperacinhacencon5y2paraobtenereltrmino10?

    g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.

    (x + 6) (x + 3) = x 2 + x +

    Comparensussolucionesydiscutancmoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontrminocomn.

    A lo que llegamosPara obtener el producto de dos binomios con trmino comn se puede hacer lo siguiente:

    (x + 4) (x + 3) = x 2 + 7x + 12

    1. El trmino comn x se eleva al cuadrado.2. Se suman los trminos no comunes: 4 + 3 = 7; el resultado 7 se multiplica por x.3. Se multiplican los trminos no comunes: (4) (3) = 12

    ii. Apliquenlareglaanteriorparaobtenerelproductode(x + 5) (x 2):

    a) Cuntoobtienenalsumar(+5) + (2)?

    b) Cuntoobtienenalmultiplicar(+5) + (2)?

    c) Escribanelproductosinrealizarlamultiplicacintrminoportrmino

    (x + 5) (x 2) =

    MAT3 B1 S01.indd 26 6/20/08 4:57:18 PM

  • 27

    MATEMTICAS IIIc) Ahorarealicenlamultiplicacintrminoportrmino.

    x 2

    (x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =

    +

    2x 7x

    d) Quoperacinhacenparaobtenereltrminox 2?

    e) Quoperacinhacencon los trminos5 y2de losbinomiosparaobtenerel

    coeficientedeltrmino7xdelproducto?

    f) Quoperacinhacencon5y2paraobtenereltrmino10?

    g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.

    (x + 6) (x + 3) = x 2 + x +

    Comparensussolucionesydiscutancmoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontrminocomn.

    A lo que llegamos

    d) Ahoramultipliquentrminoportrminoparaverificarelresultadoanterior.

    x 2

    (x + 5) (x 2) = x 2 2x + =

    2x

    e) Sonigualeslosproductosobtenidosenlosincisosc)yd)?

    Comparen sus soluciones, discutan y verifiquen si la regla funciona par cualquiermultiplicacindebinomioscontrminocomn.

    iii.Almultiplicardosbinomioscontrminocomnseobtuvo:

    ( ) ( ) = y 2 + 10y + 16

    a) Culeseltrminocomn?

    b) Qunmerossemultiplicaronparaobtener16?

    c) Cuntodebensumaresosnmeros?

    d) Escribanenlosparntesislosfactoresquecorrespondanaltrinomioy 2 + 10y + 16.

    e) Multipliquenensucuadernolosbinomiostrminoportrminoparaverificarelresultadoanterior.

    Comparensussolucionesycomentenquoperacionestienenquerealizarparaencontrareltrminocomnylostrminosnocomunesdelosbinomios.

    A lo que llegamosPara factorizar el trinomio x 2 + 5x + 4, se puede hacer lo siguiente:1. Se obtiene el trmino comn; en este caso es x, porque (x ) (x ) = x 2

    x 2 + 5x + 4 = (x + ) (x + )2. Se buscan parejas de nmeros enteros que multiplicados den 4.

    (2) (2) = 4 (2) (2) = 4 (4) (1) = 4 (4) (1) = 4

    3. Se selecciona la pareja de nmeros que sumada d el coeficiente del trmino 5x; en este caso, se seleccionan 4 y 1 porque 4 + 1 = 5.

    Por lo tanto:

    x 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1)

    MAT3 B1 S01.indd 27 6/20/08 4:57:19 PM

  • 28

    secuencia 1

    Lo que aprendimos1. Aplicaelproductodelosbinomioscontrminocomnencadamultiplicacin.

    a) (23) (25) = (20 + 3) (20 + 5) = 400 + (8) (20) + 15 =

    b) (105) (98) = (100 + 5) (100 - 2) =

    c) (48) (49) =

    2. Completalatabla.

    Binomios con trmino comn Trinomio de segundo grado

    (x + 8) (x + 2)

    x 2 + 9x + 18

    x 2 3x 10

    x 2 + 3x + 2

    x 2 3x + 2

    (x + a) (x + b)

    Un CASO ESPECiAL DE FACTORiZACinConsideremos lo siguiente

    Figura 13

    Altura

    Base

    6x

    2x 2

    Nosiempreocurrequeelreadeunrec-tngulo corresponda a un trinomio. Porejemplo,enlafigura13serepresentaunrectnguloderea2x 2 + 6x.

    a) Culeslamedidadelabase?

    b) Culeslamedidadelaaltura?

    Comparensusrespuestas.

    SESin 5

    MAT3 B1 S01.indd 28 6/20/08 4:57:20 PM

  • 29

    MATEMTICAS IIIManos a la obrai. Sobrelafigura13,tracendosbloquesdereax 2yseisdereax.Despus,completen

    latablasiguiente:

    Rectngulo rea (Base) (Altura)

    Azul 2x 2 (2x ) ( )

    Rojo 6x (2x ) ( )

    Completo 2x 2 + 6x (2x ) ( )

    Comoelfactor2xapareceenlastresmultiplicacionesdelaltimacolumna,esunfactorcomndelostrminos2x 2y6x.

    Sonigualeslasexpresionesquerepresentanlasmedidasdelasalturasdelosrectn-

    gulosazulyrojo?

    Estasexpresionessellamanfactores no comunesdelostrminos2x 2y6x.

    Comparensusrespuestasycomenten:

    a) Quotrosfactorescomunespuedentenerlostrminos2x 2y 6x ?

    b) Puedenformarserectngulosdiferentesaldefigura13,condosbloquesdereax 2yseisdereax ?Dibjenlosenelpizarrnyexpresensurea2x 2 + 6xpormediodedosfactores.

    A lo que llegamosPara factorizar un binomio tal como 4x 2 + 20x se puede hacer lo siguiente:

    1. Se factoriza cada trmino del bino-mio de manera que el factor comn contenga la literal y el mximo valor posible del coeficiente:

    4x 2 = (4x ) (x )

    20x = (4x ) (5)

    2. Se expresa la factorizacin: 4x 2 + 20x = (4x ) (x + 5)

    MAT3 B1 S01.indd 29 6/20/08 4:57:21 PM

  • 30

    secuencia 1ii. Apliquenlareglaanteriorparafactorizar14x 2y 21x y 2

    14x 2y = (7x y ) ( )

    21x y 2 = (7x y ) ( )

    14x y 2 21x y 2 = (7x y ) ( )

    Comparensussoluciones,discutanyverifiquensilareglafuncionaparafactorizarcualquiertipodepolinomios.

    Lo que aprendimos1. Expresalossiguientespolinomioscomoelproductodedosfactores.

    a) x 2 18x + 81 = ( ) ( )

    b) x 2 + 20x + 100 = ( ) ( )

    c) x 2 400 = ( ) ( )

    d) x 2 + 8x 20 = ( ) ( )

    e) 4x 2 + 8x = ( ) ( )

    f) x 2 + 11x + 24 = ( ) ( )

    g) x 2 + 10x + 24 = ( ) ( )

    h) x 2 + 14x + 24 = ( ) ( )

    i) x 2 + 2x 24 = ( ) ( )

    j) 9x 2 36x = ( ) ( )

    2. Factorizandopodraestablecerseunareglatilparacalcularelproductodeciertosnmeros;examinalassiguientesmultiplicacionesytratadeencontrarlarelacinen-trelosfactoresinvolucradosyelresultado.Sepuedeestablecerunareglageneral?

    (12) (18) = 216 (23) (27) = 621 (31) (39) = 1 209 (54) (56) = 3 024

    a) Qurelacinmatemticaencuentrasentrelascifrasdelasunidadesdelosfac-

    tores?

    b) Cmoobtieneselnmeroformadoporlasdoscifrasdeladerechadelproducto?

    MAT3 B1 S01.indd 30 6/20/08 4:57:22 PM

  • 31

    MATEMTICAS IIIc) Cmoobtieneselnmeroformadoporlasdemscifrasdelaizquierdadelpro-

    ducto?

    d) Siyadescubristelaregla,calculamentalmenteelresultadodecadaoperacin.

    (13) (17) = (43) (47) = (61) (69) =

    (74) (76) = (88) (82) = (191) (199) =

    Para saber msSobre productos notables y factorizacin, consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta1: lgebra Una embarrada de lgebra Binomio al cuadradoRuta1: lgebra Una embarrada de lgebra Diferencia de cuadrados[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

    MAT3 B1 S01.indd 31 6/20/08 4:57:22 PM

  • 32

    secuencia 2

    En esta secuencia aplicars criterios de congruencia para la justifica-cin de propiedades sobre los cuadrilteros.

    lados opuestos igualesPara empezarA lo largo de la historia se han hecho afirmaciones matemticas que por mucho tiempo se creyeron ciertas, luego fueron reconocidas como errneas. Para evitarlo, los matem-ticos exigieron que las afirmaciones matemticas tuvieran una prueba rigurosa, es decir, una justificacin que no deje lugar a dudas.

    En esta sesin conocers una de estas justificaciones rigurosas en la geometra.

    Consideremos lo siguienteObserven los siguientes cuadrilteros, escojan cules tienen sus lados opuestos iguales.

    sesin 1

    Tringulos congruentes y cuadrilteros

    MAT3 B1 S02.indd 32 6/20/08 4:57:45 PM

  • 33

    IIIMATEMTICASDe las siguientes propiedades, cul tienen en comn los cuadrilteros que eligieron?

    a) Sus cuatro lados son iguales.

    b) Cualesquiera de sus lados opuestos son paralelos.

    c) Sus cuatro ngulos son iguales.

    d) Sus diagonales son perpendiculares.

    Dibujen dos cuadrilteros que satisfagan la propiedad que eligieron anteriormente y verifiquen si cualesquiera de sus lados opuestos son iguales.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Qu diferencia hay entre que un cuadriltero sea paralelogramo y que tenga sus pares de lados opuestos paralelos?

    Ser cierta la siguiente afirmacin? Todos los paralelogramos tienen sus pares de lados opuestos iguales.

    Manos a la obrai. Realicen la siguiente actividad.

    Tringulos congruentes y cuadrilteros

    Paso 1. Dibujen en un papel un paralelogramo y re-crtenlo.

    Paso 2. Despus tracen una diagonal y anoten los nom-bres a los vrtices del paralelogramo tal como se muestra.

    Paso 3. Recorten los dos tringulos por la diagonal. Paso 4. Pongan un tringulo encima del otro hasta que parezcan uno solo.

    MAT3 B1 S02.indd 33 6/20/08 4:58:10 PM

  • 34

    secuencia 2a) Qu lado qued sobrepuesto con el lado aB?

    b) Qu lado qued sobrepuesto con el lado BD?

    c) Qu lado qued sobrepuesto con el lado Da?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Son congruentes aBD y cDB?

    ii. Resuelvan las siguientes actividades para justificar que los tringulos aBD y cDB son congruentes.

    a) De los ngulos marcados en la figura, cules son alternos internos? (Por lo tanto iguales).

    = y =

    b) De los siguientes criterios de congruencia, cul usaran para justificar que los tringulos aBD y cDB son congruentes? Justifiquen su respuesta.

    i) LLL (lado, lado, lado) ii) LAL (lado, ngulo, lado) iii) ALA (ngulo, lado, ngulo)

    c) Algunas de las siguientes afirmaciones son consecuencia de que los tringulos aBD y cDB son congruentes, cules son?

    i) Los tres lados del aBD son iguales y respectivamente los del cBD.

    ii) Los lados del aBD son iguales a los correspondientes del cDB.

    iii) BD es igual al lado cB .

    iv) aD es igual al lado Bc.

    v) aB es igual al lado cB .

    a) De los ngulos marcados en la figura, cules son alternos internos? (Por lo tanto

    Recuerden que:

    Los ngulos alternos internos

    entre paralelas son iguales.

    1 = 2

    12

    a D

    cB

    x

    a y

    cz

    w

    Recuerden que:

    Dos tringulos son congruentes si se pueden hacer corresponder sus lados y ngulos de tal manera que lados y ngulos correspon-dientes midan lo mismo.

    MAT3 B1 S02.indd 34 6/20/08 4:58:11 PM

  • 35

    MATEMTICAS IIIiii. Expliquen cmo a partir de que los tringulos aBD y cBD son congruentes se puede

    afirmar que los lados opuestos del paralelogramo son iguales.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Adems de los paralelogramos, habr otros cuadrilteros con lados opuestos son iguales?

    A lo que llegamosLos lados opuestos de un paralelogramo son iguales, pues si se traza una de sus diagonales, se obtienen dos tringulos congruentes.

    Lo que aprendimosLa siguiente figura tiene marcados con diferentes letras algunos de los ngulos que en ella aparecen. Usa las etiquetas de esta figura para completar la justificacin a la si-guiente afirmacin:

    En un paralelogramo, ngulos opuestos son iguales.

    a

    bc

    de

    fg

    h

    m

    no

    p i

    jk

    l

    Justificacin:

    Los ngulos a y son opuestos en el paralelogramo. Para justificar que son iguales, observemos que a es igual a pues son ngulos correspondientes (respecto a las dos paralelas horizonta-les y la transversal de la izquierda, ver figura). Luego es igual a k pues son ngulos alternos internos (respecto a las dos paralelas no horizontales y la transversal definida por la base del parale-logramo, ver figura). Lo cual muestra que los ngulos opuestos y k son iguales pues ambos son iguales a .

    De manera similar se puede justificar que los otros ngulos opuestos y son iguales.

    Comparen sus respuestas.

    MAT3 B1 S02.indd 35 6/20/08 4:58:12 PM

  • 36

    secuencia 2

    puntos MediosPara empezarEn geometra existen muchos cuadrilteros y se clasifican en varios tipos, tales como cuadrados, rectngulos y paralelogramos. Estos tipos no son excluyentes, es decir, un mismo cuadriltero puede ser de dos o ms tipos. Por ejemplo, un cuadrado es a la vez un rectngulo, un trapecio y un paralelogramo.

    Describe a qu tipos pertenecen cada uno de los siguientes cuadrilteros:

    Consideremos lo siguienteLos siguientes pares de segmentos se intersecan en su punto medio. Unan los extremos de los segmentos, para formar cuadrilteros, y despus contesten lo que se les pide.

    Cules de los siguientes tipos de cuadriltero aparecieron? Mrquenlos con una .

    Cuadrado Rectngulo Trapecio Paralelogramo Rombo

    sesin 2

    MAT3 B1 S02.indd 36 6/20/08 4:58:13 PM

  • 37

    MATEMTICAS IIILos cuatro cuadrilteros que se formaron son todos de un mismo tipo. Cul es? Mr-quenlo con una .

    Cuadrado Rectngulo Trapecio Paralelogramo Rombo

    Cada uno dibuje otro par de rectas que se intersequen en su punto medio. Unan los ex-tremos de los segmentos para formar un cuadriltero y decidan si ste es del mismo tipo que el que marcaron en la pregunta anterior.

    Comparen sus respuestas y comenten si siempre se formar un paralelogramo al unir los extremos de dos segmentos que se intersequen por su punto medio.

    Manos a la obrai. En el segmento con extremos a y c se ha mar-

    cado el punto medio M con rojo. Dibuja otro segmento cuyo punto medio coincida con el punto M y etiqueta sus extremos con las letras B y D. Despus traza los segmentos aB, Bc, cD y Da.

    a) Agrupa los segmentos aM, BM, cM y DM en parejas de segmentos iguales y jus-tifica por qu son iguales.

    = . Justificacin:

    y

    = . Justificacin:

    b) Agrupa los ngulos aMB, BMc, cMD y DMa en parejas de ngulos iguales y justifica por qu son iguales.

    = . Justificacin:

    y

    = . Justificacin:

    ii. De los siguientes criterios de congruencia, cul usaras para justificar que los trin-gulos aMB y cMD son congruentes?

    i) LLL ii) LAL iii) ALA

    Explica por qu los otros dos criterios no funcionan:

    a

    M

    c

    MAT3 B1 S02.indd 37 6/20/08 4:58:13 PM

  • 38

    secuencia 2iii. Como los tringulos aMB y cMD son congruentes, se pueden escribir algunas igual-

    dades de lados y ngulos. Relaciona las siguientes dos columnas uniendo con una l-nea los elementos que tienen la misma magnitud.

    aM

    MB

    Ba

    aMB

    MBa

    BaM

    cM

    Dc

    MDc

    DcM

    MD

    cMD

    iV. De las igualdades anteriores, cul crees que te sirva para argumentar que los seg-mentos aB y cD son paralelos?

    =

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo podran argumentar que los lados aD y Bc son paralelos?

    A lo que llegamosSi un cuadriltero satisface que sus diagonales se intersecan en su punto medio, entonces este cuadriltero debe ser un paralelogramo. Para justificar esta propiedad de manera formal se pueden emplear los criterios de congruencia.

    Lo que aprendimosElige algunos de los textos que estn en el recuadro de razones para completar la justi-ficacin del siguiente hecho geomtrico.

    Sean M y N los puntos medios de los lados aB y cD del paralelogramo aBcD, respecti-vamente. Entonces, se satisface que los tringulos MBc y nDa son congruentes.

    B

    M

    c

    D

    n

    a

    MAT3 B1 S02.indd 38 6/20/08 4:58:14 PM

  • 39

    MATEMTICAS IIIRazones

    En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.

    En un paralelogramo los ngulos opuestos son iguales.

    En un paralelogramo los ngulos adyacentes son complementarios.

    Son la mitad de lados iguales.

    Es un paralelogramo.

    ngulos alternos internos entre paralelas son iguales.

    Son congruentes por el criterio de lado, ngulo, lado.

    Son congruentes por el criterio de lado, lado, lado.

    Son congruentes por el criterio de ngulo, lado, ngulo.

    Justificacin

    Afirmacin Razn

    aB = cD

    MB = nD

    Bc = aD

    aBc = cDa

    MBc es congruente con nDa

    Para saber msSobre la justificacin de los hechos geomtricos en la historia, consulta:Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. "Geometra prctica y geometra deductiva" en Crnicas geomtricas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT3 B1 S02.indd 39 6/20/08 4:58:15 PM

  • 40

    secuencia 3

    Entre rectas y circunferenciasEn esta secuencia identificars las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y entre circunferencias. Conocers algunas propiedades de las rectas secante y tangente de una circunferencia.

    Puntos en comnPara empezari. LacircunferenciadecentroOmide2cmderadio.Trazalasrectasquesepiden.

    a) Unarectaequenointersequealacircunferencia.

    b) Unarectasqueintersequealacircunferenciaendospuntos.

    c) Unarectatqueintersequealacircunferenciaenslounpunto.

    d) Unarectadquepaseporelcentrodelacircunferencia.

    Comparensustrazosyverifiquensicumplenconlascondicionepedidas.

    ii. Midelasdistanciasdecadaunadelasrectasalcentrodelacircunferencia.

    a) Paraculdelasrectasladistanciaescero?

    b) Paraculdelasrectasladistanciaes2cm?

    c) Paraculdelasrectasladistanciaesmayorque2cm?

    d) Paraculdelasrectasladistanciaesmenorque2cm?

    Comparenyjustifiquensusrespuestas.

    sesin 1

    Recuerda que:

    La distancia de un punto a una

    recta es la medida de la

    longitud del segmento perpen-

    dicular del punto a la recta.

    O

    MAT3 B1 S03.indd 40 6/20/08 4:58:33 PM

  • 41

    IIIMATEMTICAS

    tRAZos De tAnGentesConsideremos lo siguienteTracenunarectaperpendicularalsegmentoOTporelpuntoT.

    O

    T

    Larectaquetrazaronesexterior,tangenteosecantealacircunferencia?

    Justifiquensurespuesta.

    Comparensusrespuestas.

    A lo que llegamosEn el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla.

    Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia. La distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.

    Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.

    Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.

    sesin 2

    MAT3 B1 S03.indd 41 6/20/08 4:58:34 PM

  • 42

    secuencia 3

    Manos a la obrai. TrazaunarectasecantealacircunferenciaquepaseporelpuntoT yquenopaseporO.

    O

    T

    a) Llamasalotropuntoenelque la secantecortea lacircunferenciayune los

    puntos para formar el tringulo OTs. Este tringulo es issceles, por qu?

    b) MarcaconrojolosngulosigualesdeltringuloOTs,losngulosquemarcaste

    miden90?

    c) LarectasecantequetrazasteesperpendicularaOT? .Porqu?

    d) Trazaotras rectassecantesa lacircunferenciaporT. Algunade las rectasque

    trazasteesperpendicularaOT?

    e) CreesquesepuedatrazarunarectasecanteporelpuntoTdemaneraqueforme

    unngulode90conOT?

    Justificaturespuesta

    ii. TrazaunarectaexterioralacircunferenciaquepaseporelpuntoT.

    O

    T

    Pudistetrazarlarecta? .Porqu?

    e) CreesRecuerda que:

    La suma de las medi-

    das de los ngulos

    internos de un trin-

    gulo suman 180.

    MAT3 B1 S03.indd 42 6/20/08 4:58:35 PM

  • 43

    MATEMTICAS IIIiii.Enlacircunferenciasetrazaroncuatrorectastangentes.

    O

    T1T4

    T2

    T3

    TrazalosradiosOT1,OT2 ,OT3 yOT4 .Midecontutransportadorelnguloqueformacadatangenteconelradioporelpuntodetangencia.

    a) CuntomidenlosngulosformadosporlarectatangenteenT1yelradioOT1?

    b) CuntomidenlosngulosformadosporlarectatangenteenT2yelradioOT2?

    c) CuntomidenlosngulosformadosporlarectatangenteenT3yelradioOT3?

    d) CuntomidenlosngulosformadosporlarectatangenteenT4yelradioOT4?

    Estapropiedadqueobservasteconestasrectastangentessecumpleparacualquierrectatangente.

    Comparensusrespuestas.RegresenalapartadoConsideremos lo siguienteyverifi-quensurespuestaysujustificacin.

    A lo que llegamosSea T un punto sobre una circunferencia de centro O. La recta perpendicular al radio OT por el punto T es la recta tangente a la circunferencia por el punto T.

    T

    O

    MAT3 B1 S03.indd 43 6/20/08 4:58:35 PM

  • 44

    secuencia 3

    Lo que aprendimos1. EnlacircunferenciasetrazlasecanteTP.

    LarectasecantesefijaenelpuntoTysegirademaneraqueelpuntodecortePsevayaacercandoaT.

    OP

    TP

    P PP

    a) QupasaconlarectasecantecuandoelpuntoPcoincideconelpuntoT?

    Justificaturespuesta.

    b) Qupasaconlamedidadelnguloentreelradioylarectasecante?

    2. TrazaunarectatangentealacircunferenciaporelpuntoM.

    O

    M

    Describetuprocedimiento.

    Justificaquelarectaqueobtuvisteconeseprocedimientoesunarectatangente.

    MAT3 B1 S03.indd 44 6/20/08 4:58:36 PM

  • 45

    MATEMTICAS III3. Trazauncuadradoqueinscribaalcrculodado.Esdecir,quecadaunodesuslados

    seaunarectatangentedelacircunferencia.

    Sielradiodelcrculomide2cm,cuntomideelladodelcuadrado?

    entRe ciRcunFeRenciAsPara empezari. Enlasiguientesucesindeimgenes,lacircunferenciapequeasevaacercandoala

    circunferenciagrande.

    a) Observalasposicionessucesivasqueadquierenlasdoscircunferencias.

    b) Delossiguientesnombres,elijeelquecorrespondaacadaunadelasposicionesdelascircunferenciasyantaloenelrecuadro.

    1 Circunferencias tangentes externas

    3 Circunferencias secantes

    5 Circunferencias ajenas externas

    2 Circunferencias ajenas internas

    4 Circunferencias concntricas

    6 Circunferencias tangentes internas

    Comparensusrespuestas.

    sesin 3

    MAT3 B1 S03.indd 45 6/20/08 4:58:36 PM

  • 46

    secuencia 3ii. Contestalassiguientespreguntas.

    a) Cuntospuntosencomntienendoscircunferenciasconcntricas?

    b) Cuntospuntosencomntienendoscircunferenciasajenas?

    c) Cuntospuntosencomntienendoscircunferenciastangentes?

    d) Cuntospuntosencomntienendoscircunferenciassecantes?

    Comparensusrespuestasycomenten:

    Qudiferenciahayentrecircunferenciasajenasexternasycircunferenciasajenasinternas?Qudiferenciahayentrecircunferenciastangentesexternasycircunfe-renciastangentesinternas?

    A lo que llegamosDos circunferencias pueden ser:

    Ajenas, cuando no tienen puntos en comn. Estas circunferencias pueden ser externas o internas. Un caso particular de stas son las circunferencias concntricas cuya caracterstica es que tienen el mismo centro.

    Tangentes, cuando tienen un solo punto en comn. Estas circunferen-cias pueden ser externas o internas.

    Secantes, cuando tienen dos puntos en comn.

    AlGunos PRoblemAsLo que aprendimosResuelvelosproblemasdeestasesinsinutilizartransportador.

    1. LacircunferenciadecentroOestinscritaenunhexgonoregular.T1yT2sonpuntosdetangencia.

    a) Cuntomidenlosngulosinternosdeunhexgonoregular?

    b) Cuntomidenlosngulosformadosporunatangenteyelradiotrazado

    alpuntodetangencia?

    c) Cuntosumanlosngulosinternosdeuncuadriltero?

    d) Cuntomide T1O T2?

    sesin 4

    O

    T1

    T2

    MAT3 B1 S03.indd 46 6/20/08 4:58:37 PM

  • 47

    MATEMTICAS III2. LascircunferenciasconcentrosO1yO2tienenradios

    igualesycadaunapasaporelcentrodelaotra.Larectam es tangente en T a la circunferencia concentroO1yessecantealacircunferenciaconcentroenO2.Adems,lospuntosO1,O2yPsoncolineales.

    QutipodetringuloeselPO1T?

    CuntomideelnguloTO1P?

    Cuntomide TPO2?

    Justificaturespuesta.

    3. Seanc1yc2circunferenciasconcentrosO1yO2,respectivamente,tangentesenT.Trazalarectatangentealacircunferenciac1porTylatangenteac2porT.

    Tomaencuentaqueenlascircunferenciastangentessecumplequelarectadetermi-nadaporloscentrospasaporelpuntodetangenciadelascircunferencias.

    Qutienenencomnlasrectastangentesquetrazaste?

    Justificaturespuesta.

    Ahorasabesqueunarectayunacircunferenciapuedentenerdistintasposicionesentres.Ademsconocistealgunaspropiedadesquepermitenresolverdiversosproblemas.

    Para saber msSobre la construccin de una recta tangente a una circunferencia y de circunferen-cias tangentes, consulta:http://www.educacionplastica.net/tangen.htmRuta 1: Construccin paso a pasoRuta 2: Ejercicios para practicar la construccin[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].

    O1

    T

    PO2

    m

    120

    MAT3 B1 S03.indd 47 6/20/08 4:58:38 PM

  • 48

    secuencia 4

    En esta secuencia determinars la relacin entre un ngulo inscrito y un ngulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

    DOS NGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIAPara empezari. Un ngulo en una circunferencia se clasifica segn su vrtice est sobre la circunfe-

    rencia o coincida con el centro de la circunferencia. En el primer caso, se trata de ngulos inscritos; en el segundo, de ngulos centrales.

    Anota en cada ngulo ngulo central o ngulo inscrito segun corresponda.

    Comparen sus respuestas.

    SESIN 1

    ngulos en una circunferencia

    MAT3 B1 S04.indd 48 6/20/08 4:58:57 PM

  • 49

    IIIMATEMTICASii. Dibuja los ngulos que se piden o explica por qu no es posible dibujarlos.

    a) Un ngulo central tal que uno de sus lados sea una tangente.

    b) Un ngulo inscrito tal que uno de sus lados sea un dimetro.

    c) Un ngulo central que mida 90.

    d) Un ngulo inscrito tal que su vrtice est fuera de la circunferencia.

    Comparen sus dibujos y verifiquen que cumplen con las condiciones pedidas.

    ngulos en una circunferencia

    MAT3 B1 S04.indd 49 6/20/08 4:58:58 PM

  • 50

    secuencia 4

    RELACIONES A MEDIASPara empezarLos lados de cualquier ngulo en una circunferencia, inscrito o central, determinan un arco en la circunferencia. En estas circunferencias el arco determinado por los ngulos dados est marcado con morado. Se dice que los arcos son subtendidos por los ngulos que los determinan.

    OB

    c

    a

    Q

    P

    s

    R

    El arco c es subtendido por el aOB; el arco s es subtendido por el PQR.

    En cada circunferencia marquen con azul el arco que subtienden los ngulos centrales y con rosa el arco que subtienden los ngulos inscritos.

    SESIN 2

    Figura 1 Figura 2 Figura 3

    Figura 4 Figura 5

    En qu circunferencias se cumple que el ngulo central subtiende el mismo arco que el

    ngulo inscrito?

    MAT3 B1 S04.indd 50 6/20/08 4:58:58 PM

  • 51

    MATEMTICAS IIIConsideremos lo siguienteMidan con su transportador los ngulos centrales y los ngulos inscritos y anoten los datos obtenidos.

    Figura 6 Figura 7

    Figura 8 Figura 9

    Figura 10 Figura 11

    a) En cules de estas figuras se cumple que la medida del ngulo inscrito es la mitad de

    la medida del ngulo central? , y

    b) Segn los ngulos anteriores, qu condicin cumplen el ngulo inscrito y el central para que la medida del primero sea la mitad de la medida del segundo?

    Comparen sus respuestas.

    MAT3 B1 S04.indd 51 6/20/08 4:58:59 PM

  • 52

    secuencia 4

    Manos a la obrai. Marquen los arcos subtendidos por los ngulos inscrito y central en cada uno de las

    figuras del apartado Consideremos lo siguiente.

    a) En cules de las figuras los ngulos inscrito y central subtienden el mismo arco?

    b) En cada una de las figuras que anotaron en el inciso anterior, qu relacin encuen-

    tran entre las medidas de los ngulos inscritos y centrales?

    ii. En la siguiente circunferencia se dibuj un ngulo central de 84. Dibujen dos ngu-los inscritos que subtiendan el mismo arco que el ngulo central dado.

    a) Con su transportador, midan los ngulos inscritos que dibujaron. Cunto miden?

    b) Qu relacin hay entre la medida de cada ngulo inscrito dibujado y la medida

    del ngulo dado?

    c) Creen que se cumpla la misma relacin para cualquier otro ngulo inscrito que

    subtienda el mismo arco que el ngulo central dado?

    Comparen sus respuestas. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifi-quen sus respuestas.

    MAT3 B1 S04.indd 52 6/20/08 4:59:00 PM

  • 53

    MATEMTICAS IIIA lo que llegamosA partir de los ejemplos trabajados, se puede suponer que un ngulo inscrito y uno central cumplen con la siguiente relacin: cuando el ngulo inscrito y el ngulo central subtienden el mismo arco, la medi-da del primero es la mitad de la medida del segundo.

    iii. Tracen en la circunferencia un ngulo inscrito de tal manera que sus lados pasen por los extremos del dimetro aB.

    B

    aO

    a) El aOB es central o inscrito? Por qu?

    b) Cunto mide el aOB?

    c) Cunto mide el ngulo inscrito que trazaron?

    Tracen tres ngulos inscritos de manera que sus lados pasen por los puntos a y B, y que los vrtices no coincidan con a o con B.

    d) Los ngulos que trazaron miden lo mismo? . Cunto miden?

    e) Ser posible trazar un ngulo inscrito que sus lados pasen por los extremos del dimetro y que su medida sea menor que 90?

    Justifiquen sus respuestas.

    Comparen y comenten sus respuestas.

    MAT3 B1 S04.indd 53 6/20/08 4:59:00 PM

  • 54

    secuencia 4

    SESIN 3 pRObEMOS qUE UNO DE LOS NGULOS ES LA MItAD DEL OtROPara empezarEn la sesin 2 se afirm que cuando un ngulo inscrito y uno central subienden el mismo arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo, a partir de comprobar que la relacin se cumpla en varios ejemplos. Sin embargo, aunque la relacin se cumple en los ejemplos vistos no se puede garantizar que se cumpla siempre. En esta sesin probars que esta relacin se cumple para cualquier pareja de ngulos central e inscrito que subtiendan el mismo arco.

    Un ngulo inscrito y un ngulo central que subtienden el mismo arco pueden correspon-der a tres casos diferentes:

    OV B

    a

    Ou

    c

    D

    O

    W

    e

    F

    Caso I Caso II Caso III

    Comenten en qu se distingue cada caso.

    Manos a la obrai. caso i. Observa que VB , adems de ser un lado del ngulo inscrito, es un dimetro

    de la circunferencia. Otra caracterstica es que el lado OB est sobre el lado VB.

    Elije una de las opciones para completar el siguiente texto y justifica tu eleccin.

    El BOa es un ngulo . El BVa es un ngulo . (central / inscrito) (central / inscrito)

    El VOa es porque (issceles / equiltero)

    de ah que los ngulos y sean iguales.

    aOV + BOa = porque (90 / 180)

    aOV + OVa + VaO = porque (180 / 360)

    Comparando las dos igualdades anteriores se observa que BOa = ( aOV + OVa / OVa + VaO)

    ya que aOV + BOa = aOV + OVa + VaO porque .

    De esta igualdad se obtiene que el BOa es del BVa. (el doble / la mitad)

    Lo que se puede escribir como: La medida del ngulo central BOa es el doble de la

    medida del ngulo BVa.

    OV B

    a

    Caso I

    MAT3 B1 S04.indd 54 6/20/08 4:59:02 PM

  • 55

    MATEMTICAS IIIComparen sus respuestas y comenten:

    Para completar el texto fue importante tomar en cuenta que uno de los lados del ngulo inscrito es tambin dimetro de la circunferencia y que un lado del ngulo central tambin est sobre el dimetro? Por qu?

    ii. caso ii. Se observa que ninguno de los lados del ngulo inscrito es di-metro de la circunferencia, por esta razn se debe dar una justificacin de que en este caso tambin se cumple la relacin entre las medidas de los ngulos inscrito y central que subtienden el mismo arco.

    Traza el dimetro determinado por Ou y denota el otro extremo del di-metro con X.

    a) El dimetro uX dividi a los ngulos dados en dos ngulos cada uno. Expresa cada ngulo sealado como suma de los ngulos que for-maste al trazar uX.

    DOc =

    Duc =

    b) Observa que al trazar el dimetro uX de la pareja de ngulos del caso II, se forma-ron dos parejas de ngulos como la del caso I. Utiliza el resultado obtenido en el caso I para responder:

    Qu relacin hay entre las medidas de los ngulos Xuc y XOc?

    Qu relacin hay entre las medidas de los ngulos DuX y DOX?

    c) Utiliza tus respuestas al inciso anterior y formula una justificacin de que la me-

    dida del Duc es la mitad de la medida del DOc?

    Comparen sus justificaciones.

    iii. Da una justificacin de que para el caso iii tambin se cumple la rela-cin entre las medidas de un ngulo inscrito y uno central que subtien-den el mismo arco.

    Traza el dimetro determinado por WO y denota el otro extremo del di-metro con Y. Al trazar WY, se identifican dos nuevas parejas de ngulos que, cada una, satisface el caso I

    a) La primera pareja consta de los ngulos FWY y FOY, la segunda de los ngulos eWY y eOY.

    Expresa cada ngulo original como la diferencia de dos de los nuevos.

    FWe =

    FOe =

    Ou

    c

    D

    Caso II

    O

    W

    e

    F

    Caso III

    MAT3 B1 S04.indd 55 6/20/08 4:59:03 PM

  • 56

    secuencia 4b) Utiliza el resultado obtenido del caso I para responder:

    Qu relacin hay entre las medidas de los ngulos FWY y FOY?

    Qu relacin hay entre las medidas de eWY y eOY?

    c) Da una justificacin de que la medida del FWe es la mitad de la medida del FOe.

    Comparen sus justificaciones.

    A lo que llegamos

    SESIN 4

    Cualquier pareja de ngulos inscrito y central cae en alguno de los casos examinados, as que la justificacin que se mostr en esta sesin garantiza que la relacin la medida de un ngulo inscrito es la mitad de la medida del ngulo central que subtiende el mismo arco, se cumple siempre que los ngulos inscrito y central subtiendan el mismo arco.

    pRObLEMAS DE MEDIDALo que aprendimos1. Sin utilizar transportador dibujen en cada circunferencia un ngulo inscrito de ma-

    nera que su medida sea la mitad de la medida del ngulo central dado.

    MAT3 B1 S04.indd 56 6/20/08 4:59:03 PM

  • 57

    MATEMTICAS III2. Dibujen una semicircunferencia y llamen a sus extremos c y D. Elijan un punto P

    sobre la semicircunferencia que no pertenezca al dimetro.

    El cDP es un tringulo rectngulo? Por qu?

    3. Sin usar transportador, determinen y anoten la medida de cada uno de los ngulos marcados en rojo.

    60

    240 30

    Comparen y justifiquen sus respuestas.

    4. En la circunferencia se trazaron ngulos inscritos que subtienden el mismo arco que un ngulo central de 50.

    a) Cunto miden los ngulos inscritos?

    b) Qu relacin hay entre las medidas de los ngulos

    inscritos que subtienden el mismo arco?

    Comparen y justifiquen sus respuestas.

    La relacin entre un ngulo inscrito y un ngulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco, permite resolver mltiples problemas.

    Para saber msSobre ngulos en una circunferencia, consulten:http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/capaz_d3/index.htmlRuta 1: ngulos centralesRuta 2: ngulos inscritos[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Descartes. Ministerio de Eduacin y Ciencia. Espaa.

    MAT3 B1 S04.indd 57 6/20/08 4:59:04 PM

  • 58

    secuencia 5

    En esta secuencia determinars la medida de ngulos inscritos y cen-trales, as como de arcos, de rea de sectores circulares y de coronas.

    Slo una partePara empezarRelacionen cada figura con su nombre.

    1. ngulo central

    2. Sector circular

    3. Corona

    4. ngulo inscrito

    5. Arco

    Recuerden que para calcular el rea y el permetro de un crculo se utiliza el nmero (Pi). Para realizar clculos pueden tomar una aproximacin a dos decimales para el valor de , por ejemplo 3.14.

    Lo que aprendimos1. En el siguiente esquema se muestra una forma de trazar con exactitud una recta

    tangente a la circunferencia de centro O desde el punto P. La recta tangente est determinada por el segmento PT.

    O O' P

    Paso 2

    O O' P

    T

    Paso 3

    O P

    Paso 1

    a) Describe el procedimiento para trazar la recta PT.

    b) Justifica que la recta determinada por PT es tangente a la circunferencia.

    SeSin 1

    Problemas con curvas

    MAT3 B1 S05.indd 58 6/20/08 4:59:23 PM

  • 59

    IIIMATEMTICAS2. En el esquema siguiente el lado del cuadrado mide 3 cm. El punto P se mueve man-

    teniendo una distancia de 2 cm con respecto al vrtice a.

    a

    P

    a) Qu figura determina el punto P?

    b) Cunto mide el permetro de dicha figura?

    c) Toma en cuenta slo la parte de la figura que es externa al cuadrado, cunto

    mide el rea de esa parte de la figura?

    d) Considera un hexgono regular de 2 m de lado en lugar de un cuadrado, cunto

    medira el rea de la figura que determina el punto P fuera del hexgono?

    3. En el siguiente dibujo el hexgono regular mide de lado 2 cm y de apotema 1.73 cm. Reprodcelo en tu cuaderno.

    a) Cunto mide el permetro de la flor?

    b) Cunto mide el rea de la flor?

    Problemas con curvas

    Recuerda que:Un hexgono regular se puede dividir en 6 tringulos equilteros congruentes.

    MAT3 B1 S05.indd 59 6/20/08 4:59:24 PM

  • 60

    secuencia 54. En el tringulo equiltero aBc de lado 6 cm se trazaron tres arcos

    con centro en sus vrtices y radio la mitad de su lado, como se muestra en la figura. La altura del tringulo mide 5.19 cm.

    a) Cunto mide el permetro de la regin determinada por los

    tres arcos?

    b) Cunto mide el rea del tringulo aBc?

    c) Cunto mide el rea del sector circular BTR?

    d) Cunto mide el rea de la regin determinada por los tres

    arcos?

    lo Que reStaLo que aprendimos1. Dibuja dos circunferencias concntricas cuyos radios midan 1 cm y 3 cm respectiva-

    mente.

    a) Cunto mide el rea que encierra la circunferencia de radio

    1 cm?

    b) Cunto mide el rea que encierra la circunferencia de radio

    3 cm?

    c) Cunto mide el rea de la regin comprendida entre las dos

    circunferencias?

    2. En el siguiente dibujo se muestra el esquema de una fuente y sus dimensiones.

    a) Cunto mide el rea de la cara lateral de la fuente?

    b) Cunto mide el rea de la cara superior de la fuente?

    SeSin 2

    B R c

    s

    a

    T

    1.5 m

    2 m3 m

    MAT3 B1 S05.indd 60 6/20/08 4:59:24 PM

  • 61

    MATEMTICAS IIIDe toDo un poCoLo que aprendimos1. Calcula el rea de la figura anaranjada.

    60 cm

    40 cm

    10 cm

    2. Un perro est atado a una cadena que le permite un alcance mximo de 2 m. La ca-dena est unida a una argolla que se desplaza en una barra en forma de L, cuyos segmentos miden 2 m y 4 m.

    a) Dibuja la barra en la que se desplaza la argolla; puedes utilizar una escala de me-tros a centmetros. Dibuja el contorno de la regin en la que puede desplazarse el perro.

    b) Cul es el rea de la regin en la que puede desplazarse el perro?

    Para saber msSobre el clculo de reas y permetros de figuras formadas por arcos y rectas, consulta, en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Hernndez Garcadiego, Carlos. reas de sectores circulares en La geometraen el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    SeSin 3

    MAT3 B1 S05.indd 61 6/20/08 4:59:24 PM

  • 62

    secuencia 6

    En esta secuencia estudiars las razones de cambio de dos conjuntos de cantidades que estn en una relacin de proporcionalidad directa.

    EL INCREMENTOPara empezarEn primero y segundo grado has representado de diferentes maneras las relaciones fun-cionales: una tabla, una expresin algebraica, una grfica o, incluso, un enunciado; cada una de estas representaciones da diferente informacin.

    Por ejemplo, en la secuencia 20 de tu libro de Matemticas ii, volumen II, aprendiste que la grfica de la expresin y = 3x + 2 es una lnea recta con pendiente igual a 3. En esta secuencia continuars el estudio de la pendiente de una recta.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica describe la relacin entre la distancia recorrida y la cantidad de gasolina consumida por tres automvi-les. El consumo de gasolina de cada auto-mvil es constante.

    sEsIN 1

    La razn de cambio

    180

    160

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    20

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    Dis

    tan

    cia

    (en

    kil

    met

    ros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Automvil A Automvil B Automvil C

    x

    y

    Recuerda que:

    El rendimiento de un automvil

    es la cantidad de kilmetros que

    recorre con un litro de gasolina.

    Si el rendimiento de un automvil

    es constante, la distancia recorrida

    y la cantidad de gasolina que se

    consume son cantidades directa-

    mente proporcionales.

    MAT3 B1 S06.indd 62 6/20/08 4:59:46 PM

  • 63

    IIIMATEMTICASDe acuerdo con la informacin de la grfica:

    a) Cuntos kilmetros recorre el automvil C con 13 de gasolina?

    b) Si el automvil C recorriera 204 km, cuntos litros de gasolina consumira?

    c) Cuntos kilmetros recorre el automvil A con un litro de gasolina?

    d) Qu distancia recorre cada automvil con tres litros de gasolina?

    Automvil A: Automvil B: Automvil C:

    Comparen sus respuestas, contesten y comenten:

    a) Por cada litro de gasolina que consume cada automvil, cuntos kilmetros recorre?

    Automvil A: Automvil B: Automvil C:

    b) Qu automvil tuvo un mejor rendimiento?

    Manos a la obrai. Responde lo que se te pide a ontinuacin.

    a) Completa las siguientes tablas para encontrar la distancia recorrida por el auto-mvil A y por el automvil C a partir de la cantidad de gasolina consumida.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    5 100 5 60

    6 6

    7 7

    8 8

    9 9

    10 200 10 120

    Automvil A Automvil C

    b) Completa la siguiente tabla considerando las distancias recorridas del quinto litro al dcimo litro de gasolina consumida:

    Distancia recorrida

    Cantidad de gasolina consumida

    Cociente de la cantidad de kilmetros recorridos entre la cantidad de gasolina consumida

    Automvil A

    Automvil C

    MAT3 B1 S06.indd 63 6/20/08 4:59:47 PM

  • 64

    secuencia 6c) Completa la siguiente tabla considerando las distancias recorridas del quinto litro

    al sptimo litro de gasolina consumida:

    Distancia recorrida

    Cantidad de gasolina consumida

    Cociente de la cantidad de kilmetros recorridos entre la cantidad de gasolina consumida

    Automvil A

    Automvil C

    Comparen sus respuestas y contesten:

    a) Cmo son los cocientes que encontraron en las tablas anteriores para el automvil

    A, distintos o iguales?

    b) Cmo son los cocientes que encontraron en las tablas anteriores para el automvil

    C, distintos o iguales?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia recorri-

    da por el automvil A, a partir de la cantidad de gasolina que consumi?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia recorri-

    da por el automvil C, a partir de la cantidad de gasolina que consumi?

    A lo que llegamosCuando dos conjuntos de cantidades estn relacionadas entre s, se puede estudiar el cambio o incremento de una cantidad respecto al cambio o incremento de la otra.

    En este caso, la distancia recorrida est relacionada de manera directamente proporcio-nal a la cantidad de gasolina consumida. Los incrementos de estas cantidades se pueden comparar. Por ejemplo, para el automvil B, un incremento de 60 km recorridos corres-ponde a un incremento de 12 de gasolina consumidos.

    Al cociente que se obtiene al dividir el incremento de un cantidad entre el incremento correspondiente a la otra se le llama razn de cambio.

    En el ejemplo, la razn de cambio entre la distancia recorrida (60 km) y la cantidad de gasolina consumida (12 ) es: 6012 = 5, que resulta ser el rendimiento del automvil B.

    Incremento en el consumo de gasolina

    12

    Incremento en la distancia recorrida

    60km

    4 20km

    16 80km

    MAT3 B1 S06.indd 64 6/20/08 4:59:48 PM

  • 65

    MATEMTICAS IIIii. Una barra de acero se calienta en un horno de alta temperatura. La siguiente grfica

    muestra los resultados de variacin de la temperatura de la barra respecto al tiempo de calentamiento.

    800

    700

    600

    500

    400

    300

    200

    100

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Tem

    per

    atu

    ra (

    en g

    rad

    os

    cen

    tg

    rad

    os)

    Tiempo (en horas)

    x

    y

    a) Con la informacin de la grfica anterior completa la siguiente tabla:

    Incremento del tiempo (en horas)

    Incremento en la temperatura

    (en C)

    Razn de cambio de la temperatura

    entre el tiempo

    De la primera a la cuarta hora 3 450

    De la primera a la tercera hora 150

    De la primera a la segunda hora 1

    De la segunda a la tercera hora 150

    De la tercera a la cuarta hora 1

    b) Cmo son las razones de cambio de la tabla anterior, iguales o diferentes?

    Explica por qu.

    c) Qu temperatura tena la barra de acero cuando se introdujo al horno?

    d) Cul ser la temperatura de la barra de acero en la sptima hora?

    Comparen sus resultados y contesten:

    Cul es el incremento de la temperatura de la barra en cada hora?

    MAT3 B1 S06.indd 65 6/20/08 4:59:49 PM

  • 66

    secuencia 6

    A lo que llegamosCuando la grfica asociada a la relacin entre dos conjuntos de canti-dades son puntos que estn sobre una lnea recta, la razn de cambio es constante.

    En el problema anterior, la razn de cambio de la temperatura en cada hora es 150, sin importar el intervalo de tiempo en que se calcu-len los incrementos.

    PENDIENTE Y RAZN DE CAMBIOPara empezarEn la secuencia 2 cmo se mueven las cosas? de tu libro de ciencias ii, aprendiste que, en general, la rapidez y la velocidad proporcionan distintas informaciones sobre el movimiento de un objeto. Sin embargo, cuando el objeto se mueve en una lnea recta y

    lo hace en un slo sentido, la rapidez y la magnitud de la velocidad coinciden.

    En esta sesin estudiars el movimiento de dos automviles al ir sobre una lnea recta en un mismo sentido. A lo largo de la sesin, nos referiremos al cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla como velocidad.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica muestra las posiciones en las que, en determinados tiempos, se encon-traban dos automviles. Cada automvil mantuvo una velocidad constante. Adems, salie-ron de lugares diferentes.

    sEsIN 2

    150

    140

    130

    120

    110

    100

    90

    80

    70

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    Dis

    tan

    cia

    (en

    kil

    met

    ros)

    Tiempo (en horas)

    Automvil A Automvil B

    x

    y

    conexin con ciencias iisecuencia 2: cmo se mueven las cosas?

    MAT3 B1 S06.indd 66 6/20/08 4:59:49 PM

  • 67

    MATEMTICAS IIIDe la segunda hora a la sptima hora:

    a) Para el automvil A, cul es la razn de cambio de la distancia recorrida entre

    el tiempo?

    b) A que velocidad fue el automvil A?

    c) Para el automvil B, cul es la razn de cambio de la distancia recorrida entre

    el tiempo?

    d) A que velocidad fue el automvil B?

    e) Qu automvil fue a mayor velocidad?

    Comparen sus resultados y comenten cmo los obtuvieron.

    Manos a la obrai. Responde lo que se te pide a continuacin.

    a) Completa las siguientes tablas para encontrar las posiciones de los automviles en los instantes indicados de tiempo.

    Automvil A Automvil B

    Tiempo transcurrido (en horas)

    Distancia a la que se encuentra el automvil

    (en kilmetros)

    Tiempo transcurrido (en horas)

    Distancia a la que se encuentra el automvil

    (en kilmetros)

    1 40 1 90

    2 2

    3 3

    4 4

    5 5

    b) Con la informacin de la tabla del automvil A, completa la siguiente tabla para encontrar la razn de cambio de la distancia recorrida entre el tiempo.

    Incremento del tiempo (en horas)

    Incremento de la distancia recorrida

    (en kilmetros)

    Razn de cambio del automvil A

    (distancia-tiempo)

    De la segunda a la tercera hora 1

    De la segunda a la cuarta hora 2

    De la tercera a la cuarta hora

    Automvil A

    Recuerda que:Cuando un automvil va a velocidad constante, la grfica asociada a la relacin distancia-tiempo es una lnea recta.

    MAT3 B1 S06.indd 67 6/20/08 4:59:50 PM

  • 68

    secuencia 6c) A qu velocidad va el automvil A?

    d) En qu kilmetro inici su recorrido el automvil A?

    e) Si y es la distancia recorrida por el automvil A en el tiempo x, cul la expresin algebraica que permite calcular y a partir de x? Subryala.

    y = 30x

    y = 30x + 10

    y = 30x + 70

    f) Con la informacin de la tabla del automvil B, completa la siguiente tabla para encontrar la razn de cambio de la distancia recorrida entre el tiempo.

    Incremento del tiempo (en horas)

    Incremento de la distancia recorrida

    (en kilmetros)

    Razn de cambio del automvil B

    (distancia-tiempo)

    De la primera a la segunda hora 1

    De la primera a la tercera hora

    De la primera a la cuarta hora 3

    Automvil B

    g) A qu velocidad va el automvil B?

    h) En qu kilmetro inicio su recorrido el automvil B?

    i) Si y es la distancia recorrida por el automvil B en el tiempo x, cul es la expre-sin algebraica que permite calcular y a partir de x? Subryala.

    y = 20x

    y = 20x + 10

    y = 20x + 70

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Cmo se comparan la pendiente de la recta y la razn de cambio (distancia-tiempo) asociadas al automvil A?

    b) Cmo se comparan la pendiente de la recta y la razn de cambio (distancia-tiempo) asociadas al automvil B?

    Recuerda que:

    La pendiente de una recta

    y = mx + b

    es el nmero m.

    MAT3 B1 S06.indd 68 6/20/08 4:59:51 PM

  • 69

    MATEMTICAS IIIA lo que llegamosCuando la relacin entre dos cantidades tenga por grfica una lnea recta, la razn de cambio es igual a la pendiente de la recta.

    Por ejemplo, si un automvil E va a velocidad constante de40 km/h y parte del kilme-tro 15de la carretera, entonces la expresin algebraica asociada a la distancia que recorre el automvil a partir del tiempo es y = 40x + 15; la pendiente de esta recta es 40 y la razn de cambio (distancia-tiempo) es tambin 40.

    ii. a) Si un automvil C se desplaza a mayor velocidad que el automvil A, cmo es la razn de cambio del automvil C respecto a la del automvil A, mayor o menor?

    b) Si la razn de cambio de un automvil D es mayor que del automvil B, qu au-

    tomvil se desplaza a mayor velocidad?

    Lo que aprendimosLa siguiente grfica muestra el costo del servicio telefnico de dos compaas.

    300

    280

    260

    240

    220

    200

    180

    160

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    20

    10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

    Co

    sto

    (en

    pes

    os)

    Nmero de llamadas

    y

    x

    Costo del servicio telefnico

    Compaa A Compaa B

    MAT3 B1 S06.indd 69 6/20/08 4:59:52 PM

  • 70

    secuencia 6a) Cul es la razn de cambio (aumento en el costo por llamada) en la compaa A?

    b) Cul es la pendiente de la recta asociada a la compaa A?

    c) Cul es la razn de cambio (aumento en el costo por llamada) en la compaa B?

    d) Cul es la pendiente de la recta asociada a la compaa B?

    e) Por qu el costo de las 100 primeras llamadas telefnicas es el mismo en las dos

    compaas?

    f) Cul de las dos compaas tiene una tarifa ms econmica si se hacen menos de 100

    llamadas? y si se hacen ms de 100?

    ALGUNAs RAZONEs DE CAMBIO IMPORTANTEsLo que aprendimos1. La siguiente grfica muestra los cambios en el precio de un artculo durante los pri-

    meros meses del ao.

    2 400

    2 200

    2 000

    1 800

    1 600

    1 400

    1 200

    1 000

    800

    600

    400

    200

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Prec

    io (

    en p

    eso

    s)

    Tiempo (en meses)

    y

    x

    Variacin del precio de un artculo

    sEsIN 3

    MAT3 B1 S06.indd 70 6/20/08 4:59:52 PM

  • 71

    MATEMTICAS IIIa) Suponiendo que el aumento en el precio del artculo es el mismo cada mes, com-

    pleta la siguiente tabla.

    Incremento del tiempo (en meses)

    Incremento del precio (en pesos)

    Cociente del incremento del precio entre el tiempo

    Del primero al tercer mes

    Del primero al cuarto mes

    Del tercero al sexto mes

    Del primero al segundo mes

    Del segundo al tercer mes

    Del tercero al cuarto mes

    b) Cmo son los cocientes de la tabla anterior, iguales o diferentes?

    Explica por qu sucede as

    c) Si el primer mes corresponde a enero, cul es el precio del artculo en marzo?

    d) Si el incremento fue el mismo cada mes, cul ser el precio del artculo en diciembre?

    Comparen sus resultados y contesten:

    Cul es el incremento mensual del precio del artculo?

    2. La siguiente grfica muestra la relacin entre la velocidad de un automvil y el tiempo que transcurre hasta estar en alto total.

    200

    180

    160

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    20

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Vel

    oci

    dad

    (km

    /h)

    Tiempo (en segundos)

    y

    x

    a) Cul es la ordenada al origen de la recta anterior?

    Recuerda que:

    La ordenada al origen de una recta

    es la ordenada del punto en que la

    recta interseca al eje y.

    Recuerda que:

    La pendiente de una lnea recta puede ser un nmero con signo positivo o negativo y que la razn de cambio es igual a la pendiente de la recta.

    MAT3 B1 S06.indd 71 6/20/08 4:59:53 PM

  • 72

    secuencia 6b) Si y es la velocidad del automvil en el tiempo x, cul es la expresin algebraica

    asociada a esta situacin? Subryala.

    y = 180x

    y = 20x + 160

    y = 180x + 20

    c) Completa la siguiente tabla para verificar que la expresin algebraica que elegiste es la correcta.

    Tiempo (en segundos)

    x

    Distancia (en metros)

    y

    1 140

    2

    3

    4

    5

    d) A medida que va transcurriendo el tiempo, la velocidad del automvil aumenta o

    disminuye?

    e) Cmo es la pendiente de la recta anterior, positiva o negativa?

    f) Cul es la razn de cambio (velocidad-tiempo) del problema anterior?

    La razn de cambio puede ser un nmero con signo positivo o negativo.

    3. La siguiente grfica muestra el costo de un viaje en dos taxis en dos ciudades distintas.

    100

    90

    80

    70

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Prec

    io (

    en p

    eso

    s)

    Distancia (en kilmetros)

    y

    x

    Taxi A Taxi B

    MAT3 B1 S06.indd 72 6/20/08 4:59:54 PM

  • 73

    MATEMTICAS IIIa) Cul es el costo en el taxi A por cada kilmetro recorrido?

    b) Cul es la razn de cambio del taxi A?

    c) Cul es el costo en el taxi B por cada kilmetro recorrido?

    d) Cul es la razn de cambio (precio-distancia) del taxi B?

    e) Qu taxi cobr ms?

    f) Por qu cobr ms un taxi que otro?

    g) Cmo se refleja lo anterior respecto a la razn de cambio (precio-distancia) de

    cada taxi?

    Para saber msSobre la pendiente de una recta como razn de cambio, consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Funcion_afin/index.htmRuta: ndice caractersticas[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    MAT3 B1 S06.indd 73 6/20/08 4:59:54 PM

  • 74

    secuencia 7

    En esta secuencia aprenders que, para obtener informacin confiable en un experimento o estudio estadstico, es conveniente reflexionar sobre los procedimientos y herramientas que se utilizaran para recopi-lar, organizar y representar los datos que se obtengan en cada etapa que conforma al experimento o estudio en cuestion.

    DISEO DE UN ESTUDIO ESTADSTICO QU MATERIA TE GUSTA MS?Para empezarLos estudios estadsticos nos permiten investigar sobre diversas situaciones o fenmenos.

    Por medio de un estudio estadstico adecuado, lo mismo podemos conocer los efectos que provoca una determinada sustancia en los seres vivos, que el comportamiento del mercado ante un determinado producto o servicio as como, conocer las preferencias de un determinado grupo o sector.

    Una fase importante del estudio, dado que es el inicio, es determinar cul es la pregunta o el problema que se quiere estudiar y la manera en que se obtendrn los datos.

    Consideremos lo siguienteLee cuidadosamente las preguntas que aparecen en las siguientes encuestas y contstalas:

    Encuesta A Encuesta B

    Asignatura o materia que te gusta ms y por qu Asignatura o materia que te resulta ms fcil. Anota tu ltima calificacin en esa materia

    Asignatura o materia que te gusta menos y por qu Asignatura o materia que te resulta ms difcil. Anota tu ltima calificacin en esa materia

    SESIN 1

    Diseo de experimentos y estudios estadsticos

    MAT3 B1 S07.indd 74 6/20/08 5:00:21 PM

  • 75

    IIIMATEMTICASa) Cul de las encuestas anteriores utilizaras para obtener datos con los que puedas

    analizar los siguientes temas? Anota A o B en cada tema para indicar que es la encuesta A o la encuesta B, segn consideres.

    Temas

    Nivel de aprovechamiento y desempeo de los estudiantes.

    Intereses e inquietudes de los estudiantes en su escuela.

    Hbitos de estudio de los estudiantes de secundaria.

    Preferencia acerca de las materias que cursan los estudiantes.

    Encuesta A

    Encuesta B

    Justifica tu respuesta.

    b) De acuerdo con lo que anotaste en el inciso anterior, si se pretende estudiar los intereses e inquietudes de los estudiantes, ser suficiente con los datos que se

    obtengan de las dos preguntas de la encuesta que elegiste? Por qu?

    c) Qu tipo de respuestas se pueden obtener al realizar la encuesta B? Anota algu-

    nos ejemplos de posibles respuestas.

    d) Si se quiere recopilar datos para investigar sobre los hbitos de estudio de los estudiantes de secundaria, qu otras preguntas consideras sera necesario incluir

    en la encuesta?

    Por qu es importante hacer las preguntas que sugieres?

    e) Si el tema que se pretende estudiar comprende intereses e inquietudes de los es-

    tudiantes. Cules esperas que sean los de tus compaeros?

    Comparen sus respuestas.

    Diseo de experimentos y estudios estadsticos

    MAT3 B1 S07.indd 75 6/20/08 5:00:22 PM

  • 76

    secuencia 7

    b) Las siguientes grficas fueron elaboradas por diferentes alumnos para mostrar los datos que obtuvieron al aplicar la encuesta B. Cul grfica muestra adecuada-mente los datos que pudieron obtenerse al aplicar dicha encuesta? Marquen con una en el recuadro correspondiente y justifiquen su respuesta.

    La materia que ms me gusta: educacin fsica

    Porque Frecuencia Porcentaje

    hacemos ejercicio 2 33

    salimos a jugar 3 50

    no hacen examen 1 16

    Asignatura: matemticas

    CalificacinMs fcil Ms difcil

    Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia

    5 I 1 I I I 3

    6 I I 2 I I I I I 5

    7 I 1 I I 2

    8 I I 2 0

    9 I I I 3 I 1

    10 I I I I 4 I I 2

    Manos a la obrai. En un grupo realizaron las dos encuestas anteriores; los datos que obtuvieron los

    organizaron en tablas y presentaron en grficas.

    a) Cul de las siguientes tablas corresponde a datos que se pudieron obtener al aplicar la encuesta A? Marquen con una y justifiquen su respuesta.

    Recuerden que:

    En general, los datos que

    se obtienen en un estudio

    o experimento pueden ser

    de dos tipos, cualitativos

    (por ejemplo, el color de

    cabello, ojos o piel) o

    cuantitativos (por ejemplo,

    la edad, el peso y la estatura de una persona).

    En ambos casos se pueden

    organizar en tablas de

    frecuencia absoluta, relativa o porcentaje.

    Cuando el conjunto de

    datos es cuantitativo y

    grande se puede organizar

    en tablas de datos agrupa-

    dos en intervalos.

    Recuerden que:

    Una grfica de barras se utiliza para presentar y comparar frecuencias con que ocurre una cualidad o atributo.

    Una grfica circular sirve para comparar qu fraccin de un todo es cada parte.

    Un histograma presenta datos agrupados en intervalos; cuando stos son iguales, la altura de cada barra indica su frecuencia.

    Un polgono de frecuencias tambin muestra la frecuencia absoluta, relativa o porcentaje de datos agrupados.

    Una grfica de lnea presenta las variaciones en el tiempo.

    MAT3 B1 S07.indd 76 6/20/08 5:00:22 PM

  • 77

    MATEMTICAS III

    c) De acuerdo con la grfica que consideran muestra correctamente los resultados de la encuesta B, cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Sealen con una V en el recuadro.

    La segunda materia ms difcil para los alumnos es matemticas.

    La materia ms fcil es educacin fsica.

    Ningn alumno consider que la materia de lengua extranjera es ms fcil.

    La materia que ms alumnos eligen como la ms fcil es tecnologa.

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    Espa

    ol

    Mat

    emt

    icas

    Cien

    cias

    Hist

    oria

    Form

    aci

    n C

    vica

    y

    tica

    Leng

    ua E

    xtra

    njer

    a

    Educ

    aci

    n F

    sica

    Tecn

    olog

    a

    Arte

    s

    Resultados de la encuesta

    Materia que resulta ms dificil Materia que resulta ms fcil

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    Espa

    ol

    Mat

    emt

    icas

    Cien

    cias

    Hist

    oria

    Form

    aci

    n C

    vica

    y

    tica

    Leng

    ua E

    xtra

    njer

    a

    Educ

    aci

    n F

    sica

    Tecn

    olog

    a

    Arte

    s

    Resultados de la encuesta

    Materia que resulta ms dificil Materia que resulta ms fcil

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    Resultados de la encuesta

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Asignatura

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    Materia que resulta ms dificil Materia que resulta ms fcil

    Resultados de la encuestaEspaol 10%

    Matemticas 17%

    Ciencias 10%

    Historia 7%

    Formacin Cvica y tica 7%

    Lengua Extranjera

    13%

    Educacin Fsica 19%

    Tecnologa 10%

    Artes 7%

    MAT3 B1 S07.indd 77 6/20/08 5:00:23 PM

  • 78

    secuencia 7ii. Organcense en equipos y cada uno seleccione una de las dos encuestas que aparecen

    en el apartado Consideremos lo siguiente. Pidan a todos sus compaeros que les con-testen.

    a) Clasifiquen las respuestas que obtuvieron para cada pregunta y registren sus re-sultados en una tabla; para ello debern acordar cules y cuntas columnas y renglones deber tener, as como cules son los encabezados y ttulos adecuados. Utilicen el siguiente espacio para elaborarla.

    b) Qu tipo de grfica es la que mejor describe los datos que registraron en la tabla? Cules son los ejes y qu escala utilizarn? Cul es el ttulo ms apropiado? Trcenla en el siguiente espacio.

    MAT3 B1 S07.indd 78 6/20/08 5:00:24 PM

  • 79

    MATEMTICAS III

    A lo que llegamosLa realizacin de un estudio considera diferentes fases.

    Fase 1: definicin del estudio o experimento. Qu es lo que se quiere investigar y analizar? Qu se espera encontrar?

    Fase 2: obtencin de datos. Cmo se obtendrn los datos para analizar? A quines se les preguntar? Qu tipo de pregunta es ms conveniente hacer?

    Una manera de obtener datos para realizar un estudio estadstico es por medio de la aplicacin de una encuesta.

    Fase 3: organizacin y anlisis de los datos. Qu tipo de datos se obtendrn? Cmo es conveniente ordenar y clasificar los datos? Qu tipo de tabla o grfica es conveniente para mostrar y analizar los datos obtenidos?

    Fase 4 : presentacin de conclusiones o reportes. Cules son los resultados que se obtuvieron al realizar el anlisis? Los resultados obtenidos, afirman o contradicen lo que se esperaba encontrar?

    Cuando se quiere estudiar una situacin o fenmeno en una poblacin muy grande, slo se encuesta a una parte de ella; a ese subgrupo se le llama muestra. Si as se hiciera habra que buscar que la muestra conserve las mismas caractersticas de la poblacin.

    UN JUEGO DE LETRAS. OTRO ESTUDIO ESTADSTICOConsideremos lo siguienteEn las diferentes lenguas que se hablan en el mundo prevalece ms el uso de unas letras que otras.

    Saben qu letras se utilizan con mayor frecuencia en el idioma espaol? Creen que son las mismas que las que se utilizan ms en ingls? Y en una lengua indgena, por ejemplo, el zapoteco, qu letras sern las que con mayor frecuencia se utilizan?

    Manos a la obrai. Reunidos en equipos, lean los siguientes tres textos y despus cada equipo seleccione

    uno de ellos para realizar lo que se pide en los incisos.

    SESIN 2

    c) Escriban una conclusin sobre los resultados obtenidos en su encuesta y presn-

    tenla a su grupo.

    MAT3 B1 S07.indd 79 6/20/08 5:00:25 PM

  • 80

    secuencia 7

    Didxa guca zti guida gudo beereChona bichi cabe chupa la nu xpan ne tab guidxa la napa cabe ti beer n cabe xhimodo goo cabe lame ne n cabe laquizudid cati nda guidxa bi ti dx bti c lame m chind c lame xuqui rab c be guidxa tulaguindi xcanda ti bacaanda o m xicar ngue goo l m Gulu cabe beer que xuqui ne guta guxii c be n cabe chchite cabe guidxa guddi ti xigab m nixiaxi c be biaza guidxa gudo beer que ne guta guxi bira guelazti dz viaza cabe ne guidxic be guidxa na luugol que n l gunie xcand guyaa ran duxhi bcb ztob que n la cabi l m ze que gunda l manga zt gamixha l na gudzxa n l c bi la t ma xeetu que l sacaza ma qu zab gueta tu yende c xha bere ne guda hu ca la biana chupnda dixta guini p got.

    Cuento escrito por: Joaqun Martnez Mendoza, 11 aos, Juchitn de Zaragoza, Oaxaca. Tomado del libro Las narraciones de nias y nios indge-nas. Vol. II. Mxico: SEP, Libros del Rincn, 2001.

    The Canterville GhostMr Hiram B. Otis was a rich American from New York. He had come to live and work in England, but he did not want to live in London. He did not want live in the city. He wanted to live in the countryside outside London. Canterville Chase was a large and very old house near London. Lord Canterville, the owner, wanted to sell it. So Mr Hiram B. Otis visited Lord Canterville.I do not live in Canterville Chase, Lord Canterville said to Mr Otis. I do not want to live there. The house has a ghost-The Canterville Ghost.I come from Ameica, said Mr Otis. America is a modern country. I dont believe in ghosts. Have you seen this Canterville Ghost?No, said Lord Canterville, but I have heard it at night.I dont believe in ghosts, Mr Otis said again. No one has found a ghost. No one has put a ghost in a museum. And you havent seen this ghost either.But several members of my family have seen it, said Lord Canterville. My aunt saw the ghost. She was so frig-htened that she was ill for the rest of her life. Also, the servants have seen it so they will not stay in the house at night. Only the housekeeper, Mrs Umney, lives in Caterville Chase. Mrs Umney lives there alone.I want to buy the house, said Mr Otis. Ill buy the ghost as well. Will you sell Canterville Chase? Will you sell the ghost?Yes, I will, said Lord Canterville. But, please remember, I told you about the ghost before you bought the house.

    Tomado de Wilde, Oscar, The Canterville Ghost and Other Stories/Oscar Wilde; Stephen Colbourn; ilus. Annabel Large. Mxico: SEP/Macmillan, 2002.

    Cuento del tonto que comi polloHaba una vez tres hermanos, el mayor y el segundo estaban bien y el tercero era un tonto, tenan un pollo pero siempre que hablaban de matar el pollo decan que no le iban a dar ningn pedazo al tonto por tonto, lleg el da que mataron al pollo y los hermanos que estaban bien ya tenan un plan para no darle nada al tonto, lo pre-pararon y lo dejaron listo para meterlo al horno y llamaron al tonto y ya reunidos los tres le dijeron al tonto, el que suee un bonito sueo se come el pollo, bueno dijo el tonto; metieron el pollo dentro del horno y se fueron a dormir, pas un buen rato y cuando los dos hermanos ya estaban bien dormidos, el tonto se levant y fue a la cocina y se comi el pollo, termin y se fue a dormir. Al otro da temprano se levantaron y el mayor dijo: vamos a hablar del sueo que tuvimos anoche, yo voy a empezar, dijo, pues yo anoche fui a la Gloria y vi al Seor, s dijo el otro hermano, yo vi cuando te ibas volando, me agarr de la manga de tu camisa y nos fuimos los dos, s con-test el tonto, yo vi cuando se iban y como pens que ya no iban a regresar fui a la cocina y me com el pollo, slo quedaron dos huesitos para que chupen.

    Cuento escrito por: Joaqun Martnez Mendoza, 11 aos, Juchitn de Zaragoza, Oaxaca. Tomado del libro Las narraciones de nias y nios indge-nas. Vol. II. Mxico: SEP, Libros del Rincn, 2001.

    Texto i

    Texto ii

    Texto iii

    MAT3 B1 S07.indd 80 6/20/08 5:00:29 PM

  • 81

    MATEMTICAS IIIa) Despus de haber ledo los tres textos, qu letras suponen que se utilizan ms en

    cada una de estas lenguas?

    b) De acuerdo al texto que eligieron, en la siguiente tabla, anoten el nmero de veces que aparece cada letra.

    A-a B-b C-c Ch-ch D-d E-e F-f G-g H-h I-i

    J-j K-k L-l Ll-ll M-m N-n - O-o P-p Q-q

    R-r Rr-rr S-s T-t U-u V-v W-w X-x Y-y Z-z

    c) En el texto que eligieron, cul es la letra que ms veces aparece?

    d) Esa letra es vocal o consonante?

    e) Cules fueron las 10 letras ms utilizadas en el texto que eligieron?

    f) En qu porcentaje (respecto del total de letras del texto) se utiliza cada una de

    estas 10 letras?

    g) En el siguiente espacio, tracen una grfica en la que se muestren las 10 letras con mayor frecuencia. Qu tipo de grfica es ms apropiada para mostrar estos datos?

    MAT3 B1 S07.indd 81 6/20/08 5:00:29 PM

  • 82

    secuencia 7ii. Muestren y comparen las grficas que construyeron en los equipo y contesten las

    siguientes preguntas:

    a) Del texto en espaol, cul es la letra que ms se utiliza y en qu porcentaje?

    b) Del texto en ingls, cul es la letra que ms se utiliza y en qu porcentaje?

    c) Del texto en zapoteco, cul es la letra que ms se utiliza y en qu porcentaje?

    d) Si comparamos los resultados, en qu texto se utilizan ms las vocales?

    y cul es la vocal que ms se utiliza?

    e) Cul es la consonante que ms se utiliza en los tres textos?

    f) Se confirm la suposicin que hicieron en cuanto a las letras que se utilizan ms

    en cada lengua?

    g) Creen que la informacin obtenida de los tres textos es suficiente para afirmar que si se toma un fragmento de cualquier otro texto escrito en espaol, ingls o

    zapoteco, la letra que ms veces aparece es la misma? Por qu?

    iii. Ahora prueben la afirmacin que hicieron para el caso de espaol. Cada equipo de-ber seleccionar un fragmento de mximo 10 renglones de alguno de los siguientes textos que se indican.

    Texto cientfico, por ejemplo, de su libro de ciencias.

    Novela, por ejemplo, de algn ttulo de la Biblioteca del Aula.

    Poesa, por ejemplo, de su libro de espaol.

    Texto tcnico, por ejemplo, de algn manual o instructivo.

    a) En la siguiente tabla, anoten el nmero de veces que aparece cada letra de acuer-do al texto que eligieron.

    A-a B-b C-c Ch-ch D-d E-e F-f G-g H-h I-i

    J-j K-k L-l Ll-ll M-m N-n - O-o P-p Q-q

    R-r Rr-rr S-s T-t U-u V-v W-w X-x Y-y Z-z

    MAT3 B1 S07.indd 82 6/20/08 5:00:30 PM

  • 83

    MATEMTICAS IIIb) Las letras ms utilizadas en el texto que eligieron son las mismas que las ms

    utilizadas en el primer texto en espaol (texto I: Cuento del tonto que comi

    pollo)?

    c) Si su respuesta es no, anoten las 10 letras que ms se utilizan en este ltimo texto.

    d) Tracen una grfica en la que sea posible comparar las frecuencias de las 5 letras ms utilizadas en cada texto.

    e) La letra que tiene la mayor frecuencia en uno y otro texto es la misma?

    f) Comparen sus grficas con las grficas de los otros equipos y describan qu suce-de, si las 5 letras con mayor frecuencia son las mismas o no.

    g) De acuerdo con los resultados obtenidos en todas las grficas, cul es la letra que

    ms se utiliza?

    h) Con base en los resultados que obtuvieron, consideran que podra afirmarse que

    esa letra es la que ms se utiliza en espaol? Por qu?

    MAT3 B1 S07.indd 83 6/20/08 5:00:30 PM

  • 84

    secuencia 7

    QU CANTIDAD DE AGUA CONSUMEN DIARIAMENTE LOS ALUMNOS DE TERCER GRADO?Para empezarEl agua que proviene de los alimentos que comemos y de los lquidos que bebemos cons-tituye casi la totalidad del agua diaria que utiliza nuestro organismo. En general, se re-comienda consumir 2 de agua diariamente.

    Internacional Life Sciences Institute (ILSI) es una organizacin cientfica no lucrativa que promueve el entendimiento y solucin de problemas de inters comn en las reas de nutricin, toxicologa, alimentos y seguridad ambiental. En 2004, el ILSI de Mxico, A.C. public el documento titulado Hidratacin: lquidos para la vida, en el que se presen-tan recomendaciones actuales para el consumo de agua, con especificaciones de acuerdo con la edad y el sexo.

    Consideremos lo siguienteConoces qu cantidad de agua consumes diariamente? Es la cantidad recomendada? Y tus compaeros saben si estn consumiendo una cantidad de agua adecuada? Qui-nes consumen ms agua, los varones o las mujeres del grupo? Cmo podras recopilar informacin para conocer qu cantidad de agua ests consumiendo?

    Manos a la obrai. Discutan las siguientes preguntas:

    a) Cmo podran averiguar la cantidad de agua que consumen sus compaeros de clase? Es decir, ser suficiente con preguntar cuntos vasos con agua toman al da?

    Por qu?

    b) Qu unidad de capacidad ser conveniente utilizar para registrar los datos que

    obtengan de las respuestas de los compaeros?

    c) Si alguien consume un refresco de 375 ml, est consumiendo agua?

    d) Comes consom o sopa aguada diariamente?

    e) Cmo medirn la cantidad de agua que se consume en una sopa aguada o con-

    som?

    En el documento "Hidratacin: lquidos para la vida" se incluye el contenido de agua de algunos alimentos y bebidas que se consideran son de consumo habitual. Esta informacin se encuentra en el anexo 2 ingestin de agua a partir de ali-mentos y bebidas consumidos frecuentemente, consltenla y acuerden una ma-nera en que podran utilizarla para determinar, aproximadamente, la cantidad de agua que consumen diariamente.

    SESIN 3

    MAT3 B1 S07.indd 84 6/20/08 5:00:31 PM

  • 85

    MATEMTICAS III Antenlo en las siguientes lneas.

    f) Una vez que decidan la forma en que recopilarn los datos, ser conveniente organizarlos y clasificarlos, qu tipo de tabla es ms conveniente utilizar para

    mostrar los resultados de cada pregunta que realicen? Y,

    qu tipo de grfica es ms conveniente utilizar?

    g) Cul es el consumo promedio (media) diario de agua a travs de los alimentos

    entre tus compaeros?

    h) Cul es el consumo diario de agua ms frecuente (moda) entre tus compaeros?

    i) Una vez que han obtenido los valores del consumo promedio y del consumo diario ms frecuente de agua de los alumnos de su grupo, se confirma la suposicin que hicieron en cuanto si la cantidad promedio de agua que consumen es la adecua-

    da?

    j) Escriban en sus cuadernos sus conclusiones sobre los resultados que obtuvieron en este estudio sobre el consumo diario de agua entre tus compaeros. Debern in-cluir las tablas o grficas que elaboraron para mostrar sus resultados.

    ii. En el documento "Hidratacin: lquidos para la vida", tambin, se incluye la siguiente tabla que muestra las recomendaciones para consumo de agua diario de varones y mujeres de 4 a 18 aos.

    Consumo de agua total diario(ml/da)

    Sexo/edad Media

    Ambos de 4 a 8 aos 1779

    Varones de 9 a 13 aos 2535

    Mujeres de 9 a 13 aos 2240

    Varones de 14 a 18 aos 3400

    Mujeres de 14 a 18 aos 2498Fuente: FNB 2004

    a) Reorganicen los resultados que obtuvieron clasificando por separado las respues-tas que dieron los varones y las mujeres, cul es el consumo promedio (media)

    diario de agua entre los varones del grupo?

    Y cul es el consumo promedio (media) diarios de agua entre las mujeres del

    grupo?

    MAT3 B1 S07.indd 85 6/20/08 5:00:31 PM

  • 86

    secuencia 7b) Comparen los resultados obtenidos en el inciso anterior con los que se muestran

    en la tabla. En el caso de los varones, cul consumo es mayor, el que muestra la

    tabla para varones de 14 a 18 aos o el de los compaeros de grupo?

    c) Y al comparar la media de los varones de 9 a 13 aos con la media de tus compa-

    eros, cul es mayor?

    d) En el caso de las mujeres, qu ocurre? Anoten los comentarios en sus cuadernos.

    e) Con los resultados que obtuvieron, se confirm lo respondido a las preguntas del

    apartado Consideremos lo siguiente?

    Lo que aprendimosi. Seleccionen una de las siguientes preguntas para investigar, o bien realicen el estudio

    sobre algn otro asunto que el grupo considere ms interesante.

    Cul es el grado de ansiedad de las personas?

    Cul es la estatura de los estudiantes de tu escuela?

    Cules son las aptitudes de los adolescentes?

    Cules son los alimentos que consumen los adolescentes en la comida?

    Otra problemtica:

    a) Determinen qu grupo o poblacin deber ser considerado para realizar el estudio.

    b) Elaboren la encuesta que utilizarn para recopilar los datos en su cuaderno. Re-cuerden que es importante reflexionar sobre el tipo de preguntas que se plantea-rn y las posibles respuestas que se obtendrn.

    c) Apliquen la encuesta y clasifiquen las respuestas obtenidas. Qu tipo de repre-sentacin grfica o tabular utilizarn? Por qu?

    d) Escriban las conclusiones que obtengan y presntenlas a todos sus compaeros.

    MAT3 B1 S07.indd 86 6/20/08 5:00:32 PM

  • 87

    MATEMTICAS IIIii. Seleccionen uno de los siguientes experimentos y realcenlo con los compaeros.

    Averiguar:

    El tiempo de duracin de una vela de cera lquida y el de una vela normal.

    El nmero de cerillos de madera defectuosos en una caja que contiene 100 ce-rillos.

    a) Cuntos ensayos o extracciones realizarn?

    b) Qu tipo de tabla utilizarn para registrar los datos o resultados que obtengan?

    c) Qu tipo de representacin grfica utilizarn? Por qu?

    d) Qu tipo de medida de tendencia central se podra utilizar para resumir los resul-

    tados del experimento?

    e) Escriban en su cuaderno las conclusiones que obtengan y presntenlas a todos sus compaeros.

    Para saber msSobre cmo elaborar una encuesta, consulten:http://www.encuestafacil.com[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Elijan el icono Disea y paso a paso podrn elaborar una encuesta.

    Sobre algunos estudios estadsticos, consulten:http://matematicas.mty.itesm.mx/uneest/home.htm[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Ruta: Servicios Ratings de Radio en Monterrey (Presentacin en Power Point), Contenido del ReporteTecnolgico de Monterrey.

    MAT3 B1 S07.indd 87 6/20/08 5:00:32 PM

  • 88

    MAT3 B2 S08.indd 88 6/20/08 5:00:53 PM

  • 89

    BLOQUE 2

    MAT3 B2 S08.indd 89 6/20/08 5:00:56 PM

  • 90

    secuencia 8

    En esta secuencia resolvers problemas mediante el planteamiento y solucin de ecuaciones de segundo o tercer grado.

    EL NMERO SECRETOPara empezarEn Matemticas i y ii aprendiste a resolver problemas y ecuaciones lineales con una incgnita y con dos. Algunas de esas ecuaciones tienen slo una solucin, por ejemplo: 2x + 3 = 8. Otras tienen una infinidad de soluciones, tal como: x + y = 10.

    En esta secuencia estudiars algunos problemas que pueden resolverse con ecuaciones que tienen dos soluciones, una solucin o ninguna solucin.

    Consideremos lo siguienteResuelve el acertijo:

    Pens un nmero y lo elev al cuadrado. Al resultado lo multipliqu por 4 y al final ob-

    tuve 100. Si no pens en el 5, de qu nmero se trata?

    Manos a la obrai. Comparen sus soluciones y verifquenlas usando el siguiente diagrama:

    Entrada

    Se eleva al cuadrado Se multiplica por 4100

    Salida

    a) Qu nmero podra ir en el crculo azul? Hay otro?

    b) En el cuadrado rojo pueden ir dos nmeros, encuntrenlos.

    Comenten:

    c) Existe algn nmero negativo que elevado al cuadrado d 25?

    Cul?

    d) Por qu al elevar al cuadrado cualquier nmero (positivo o negativo) el resultado

    es siempre un nmero positivo?

    SESiN 1

    Ecuaciones no lineales

    MAT3 B2 S08.indd 90 6/20/08 5:00:58 PM

  • 91

    MATEMTICAS IIIii. El producto de dos nmeros enteros consecutivos es 552. Cules son esos nmeros?

    y

    Comparen sus soluciones y verifquenlas. Comenten:

    a) Para resolver este tipo de problemas es necesario, frecuentemente, encontrar la ecuacin primero la ecuacin correspondiente. Si se representa con la letra x el nmero menor de los dos, cul de las siguientes ecuaciones corresponde al pro-blema anterior?

    (x ) (x ) = 552

    (x ) (552) = y

    x (x + 1) = 552

    (x ) (x ) + 1 = 552

    x 2 + 1 = 552

    b) Hay una pareja de nmeros enteros negativos consecutivos cuyo producto es igual a 552. Completen la siguiente tabla para encontrarla.

    x x + 1 x (x + 1)23 22 (23) (22) =

    25

    c) Cules son los nmeros enteros negativos consecutivos que multiplicados dan 552?

    y

    A lo que llegamos

    Ecuaciones no lineales

    Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en la cual hay un trmino que tiene la incgni-ta elevada al cuadrado. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cuadrticas:

    2x 2 = 18 x 2 + 3x 2 = 0 x (x + 3) = 9

    Trmino cuadrtico

    Trmino cuadrtico

    Producto que da un trmino cuadrtico

    Las ecuaciones cuadrticas pueden tener dos soluciones. Por ejemplo: 2x 2 = 18, tiene dos soluciones: +3 y 3, porque al sustituir estos valores en la ecuacin y efectuar las operaciones se obtiene 18.

    Ecuacin: 2x 2 = 18 Para x = +3: 2 (+3)2 = 2 (+9) = 18 Para x = -3: 2 (3)2 = 2 (+9) = 18

    Recuerden que:(23) + 1 = 22

    (25) + 1 = 24

    MAT3 B2 S08.indd 91 6/20/08 5:00:59 PM

  • 92

    secuencia 8iii. Se tiene el siguiente acertijo: a tres veces el cuadrado de un nmero se le sum 8.

    Como resultado se obtuvo 83.

    Si el nmero se representa con la letra x, cul de las siguientes es la ecuacin que corresponde al acertijo? Subryala.

    (3 + x )2 + 8 = 83

    3x 2 + 8 = 83

    (3) (x 2) (8) = 83

    La ecuacin que corresponde al acertijo tiene dos posibles soluciones.

    a) Encuentra las dos soluciones de la ecuacin que subrayaste: y

    b) Verifica las soluciones realizando con cada una de ellas las operaciones que se in-dican en el acertijo.

    Lo que aprendimosResuelve los siguientes problemas. Verifica las soluciones que obtengas.

    1. El cuadrado de un nmero ms 3 es igual a 84.

    El nmero puede ser o

    2. Pedro pens un nmero, lo elev al cuadrado, al resultado le sum 5 y obtuvo 1.

    a) Por qu crees que Pedro se equivoc al hacer alguna de las dos operaciones?

    b) Si Pedro pens en el 2, cunto debi obtener de resultado?

    c) Si Pedro pens en el +2, cunto debi obtener de resultado?

    d) Hay algn nmero que elevado al cuadrado sea igual a 4? Cul?

    3. El largo de un terreno rectangular mide el doble del ancho. El terreno tiene 162 m2 de rea.

    a) Encuentra una ecuacin que exprese el problema anterior. Usa la letra x para re-

    presentar al ancho.

    b) Cunto mide de ancho?

    c) Cunto mide de largo?

    MAT3 B2 S08.indd 92 6/20/08 5:01:00 PM

  • 93

    MATEMTICAS IIICUBOS, CUADRADOS Y ARiSTASPara empezarEn un prisma los segmentos donde se unen dos caras se llaman aristas.

    Cuntas aristas tiene el prisma

    cuadrangular de la derecha?

    Un cubo es un prisma cuadrangular especial. Tie-ne 6 caras y todas son cuadrados congruentes.

    Adems, sabes que el volumen de un cubo cuya arista mide x es:

    V = (x) (x) (x) = x 3

    Consideremos lo siguienteCunto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 216 cm3?

    Arista

    V = 216 cm3

    x

    Comparen sus soluciones y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. Revisa los procedimientos que siguieron algunos alumnos para resolver el problema.

    PROceDiMienTO 1.

    Arturo plante la siguiente ecuacin: x 3 = 216.

    Luego, dividi 216 entre 3 y escribi: x = 2163

    .

    Finalmente encontr que la arista mide 72 cm.

    SESiN 2

    Aristas

    MAT3 B2 S08.indd 93 6/20/08 5:01:00 PM

  • 94

    secuencia 8PROceDiMienTO 2.

    Rosa hizo la siguiente tabla:

    Medida de la arista (cm)

    Volumen (cm3)

    2 23 = 8

    10 103 = 1000

    5 53 = 125

    8 83 = 512

    Rosa dijo que la arista deba medir entre 5 cm y 8 cm.

    PROceDiMienTO 3.

    Lupe plante la ecuacin: x 3 = 216 y us un diagrama para resolverla:

    Se eleva al cubo

    Se encuentra la raz cbica

    216

    Lupe dice la solucin es la raz cbica de 216, pero que no sabe calcularla.

    Con cul de los tres procedimientos ests de acuerdo?

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) Cul creen que sea la medida que encontr Rosa al continuar con su procedi-

    miento?

    b) Cunto es la raz cbica de 216?

    ii. Contesta lo que se te pide a continuacin

    a) Relaciona las columnas.

    ( ) Pens un nmero y le rest 19 elevado al cubo. El resultado es igual a 8. De qu nmero se trata?

    ( ) Pens un nmero y lo elev al cubo. Al resultado le rest 19 y al final obtuve 8. De qu nmero se trata?

    ( ) Pens un nmero y le rest 19. Al resultado lo elev al cubo y al final obtuve 8. De qu nmero se trata?

    (A) x 3 19 = 83

    (B) x 193 = 8

    (C) x 3 19 = 8

    (D) (x 19)3 = 8

    MAT3 B2 S08.indd 94 6/20/08 5:01:01 PM

  • 95

    MATEMTICAS IIIb) Soluciona las ecuaciones que seleccionaste.

    c) Verifica tus soluciones sustituyendo los valores en la siguiente tabla. Si lo consi-deras necesario, usa tu calculadora.

    x 3 19 = 83 x 193 = 8 x 3 19 = 8 (x 19)3 = 8

    ( )3 19 = 83 ( ) 193 = 8 ( )3 19 = 8 ( 19)3 = 8

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

    iii. Plantea una ecuacin para resolver el siguiente acertijo. Usa x para representar el nmero buscado.

    Pens un nmero. Le sum 5 y al resultado lo elev al cubo. Al final obtuve 27. Cul es el nmero que pens?

    a) Ecuacin:

    b) Soluciona la ecuacin que planteaste. Verifica tu solucin sustituyendo el valor que encontraste.

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

    A lo que llegamosUna ecuacin cbica es una ecuacin en la cual hay un trmino que tiene la incgnita elevada al cubo. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cbicas:

    2x 3 = 128 x 3 + 6x 2 = 16 (x + 3)3 = (x + 3) (x + 3) (x + 3) = 8

    Trmino cbico

    Trmino cbico Producto que da un trmino cbico

    Para resolver la ecuacin 2x 3 = 128 podemos usar las operaciones inversas: 2x 3 = 128

    x 3 = 128 2 x 3 = 64

    x = 3 64

    x = 4

    MAT3 B2 S08.indd 95 6/20/08 5:01:02 PM

  • 96

    secuencia 8

    Lo que aprendimosResuelve los siguientes problemas.

    1. A un nmero le resto 15, el resultado lo elevo al cubo y obtengo 8. De qu nmero se trata?

    Ecuacin:

    Solucin:

    2. El rea total de las seis caras de un cubo es 60 cm2.

    Arista

    Cara

    x

    a) Si la medida de una arista se representa con x, cul de las siguientes ecuaciones permite encontrar la medida de la arista? Subryala.

    x 3 = 60

    x 2 = 60

    6x 2 = 60

    6x = 60

    b) Cunto mide de rea, una cara del cubo?

    c) Cunto mide la arista del cubo? x =

    (Usa la calculadora para encontrar la solucin.)

    d) Cunto mide de volumen el cubo?

    MAT3 B2 S08.indd 96 6/20/08 5:01:02 PM

  • 97

    MATEMTICAS IIIMEN DE PROBLEMASResuelve los siguientes problemas. Usa la calculadora para realizar las operaciones cuan-do lo consideres necesario.

    1. A un hojalatero le encargaron hacer un recipiente en forma de prisma cuadrangular de 3 dm de altura que tenga un volumen de 48 dm3.

    Para construir el recipiente usar una lmina de metal de forma cuadrada (figura A), luego cortar cuadrados en las esquinas y, finalmente, doblar los bordes para formar el recipiente.

    Contesta las siguientes preguntas para encontrar las me-didas de los lados de la lmina

    a) Qu forma geomtrica tiene la base del prisma?

    b) La medida en decmetros del lado de la lmina es y. Subraya la expresin que representa la medida, en decmetros, de un lado de la base del prisma?

    y

    y 6

    y 3

    c) Qu expresin corresponde al rea de la base del

    prisma?

    d) Subraya la ecuacin que hay que resolver para en-contrar la medida de un lado de la lmina metlica.

    4(y 6)2 = 48

    6(y 6)2 = 48

    3(y 6)2 = 48

    3(y 3)2 = 48

    SESiN 3

    Recuerda que:

    La frmula para calcular el volumen

    de un prisma es:

    rea de la base altura = volumen.

    y

    y

    Figura A

    3 dm

    3 dm

    V = 48 dm3

    3 dm

    MAT3 B2 S08.indd 97 6/20/08 5:01:03 PM

  • 98

    secuencia 8e) Hay dos nmeros que solucionan la ecuacin que corresponde al problema. En-

    cuntralos.

    y 1 = , y 2 =

    f) Cunto tiene que medir el lado de la lmina metlica?

    2. El parque de una colonia est ubicado en un terreno cuadrado. El estacionamiento ocupa una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado y el resto es el jardn con un rea de 14 400 m2.

    a) Plantea una ecuacin que permita encontrar cunto mide el lado x de todo el terreno.

    b) Cules son las dos soluciones de la ecuacin que encontraste?

    y

    c) Cunto mide el lado del terreno del parque?

    3. El cubo de un nmero ms el mismo nmero es igual a 38. De qu nmero se trata?

    a) Encuentra una ecuacin que permita encontrar el nmero. Usa n para representarlo.

    Ecuacin:

    b) Usa la calculadora y la tabla de la izquierda para encontrar la solucin de la ecuacin

    c) Entre qu nmeros enteros est la solucin

    de la ecuacin?

    d) Qu nmero con una cifra decimal estar

    ms cerca de la solucin?

    e) Qu nmero con dos cifras decimales estar

    ms cerca de la solucin?

    n n 3 n 3 + n1 1 2

    2 8 10

    3 27 30

    4 64 68

    x

    x

    50 m

    50 m

    MAT3 B2 S08.indd 98 6/20/08 5:01:04 PM

  • 99

    MATEMTICAS III4. Inventa un problema que se resuelva con la ecuacin x

    2

    5 = 125. Encuentra las dos soluciones de la ecuacin y determina cul de ellas es adems solucin del problema.

    Presenten los problemas que inventaron. Comenten por qu algunas soluciones de la ecuacin se descartan como solucin del problema.

    Inventen dos problemas para cada ecuacin, resulvanlas y determinen cules solu-ciones son aceptables para cada problema.

    a) 6a 2 = 37.5

    b) 3n 2 n = 102

    Para saber msSobre ecuaciones cuadrticas, consulten:http://www.emathematics.net/es/ecsegundogrado.php?a=1&tipo=numeroRuta: Ecuacin de segundo grado Resolucin cuando b=0[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].

    MAT3 B2 S08.indd 99 6/20/08 5:01:04 PM

  • 100

    secuencia 9

    En esta secuencia resolvers problemas y ecuaciones cuadrticas mediante factorizacin.

    CUNTO MIDEN LOS LADOS?Para empezarEn la secuencia 1 trabajaron con bloques alge-braicos de rea x 2, x y 1.

    En esta sesin trabajaremos con bloques de rea z 2, z y de 1 cm2, como se muestra en la figura 1.

    Consideremos lo siguienteCon bloques como los anteriores se ha formado un rectngulo cuya rea se representa por el tri-nomio z 2 + 5z + 6, como se muestra en la figura 2.

    a) Cul es la expresin algebraica que corres-ponde a la base de este rectngulo?

    b) Cul es la expresin algebraica que corres-ponde a la altura de este rectngulo?

    Si se sabe, adems, que el rea del rectngulo es 42 cm2:

    SESIN 1

    Resolucin de ecuaciones por factorizacin

    Figura 2

    z

    z

    1

    rea = z 2z

    z

    1 cm21

    1

    rea = z

    z

    1

    Figura 1

    MAT3 B2 S09.indd 100 6/20/08 5:01:21 PM

  • 101

    MATEMTICAS IIIc) Completen la ecuacin que tienes que resolver para encontrar el valor de z , sin rea-

    lizar medicin alguna.

    Ecuacin: = 42

    d) La ecuacin que escribiste debe tener dos soluciones, cul de ellas no resuelve el

    problema?

    e) Cuntos centmetros mide z ?

    Comparen sus soluciones y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. En la secuencia 1 estudiaste cmo factorizar trinomios. Contesta las siguientes pre-

    guntas para factorizar z 2 + 5z + 6:

    a) Encuentra algunas parejas de nmeros enteros que multiplicados den 6 como re-

    sultado: y , y

    b) Cul de esas parejas de nmeros da 5 al sumarse? y

    c) Cules son las dos expresiones algebraicas que multiplicadas dan z 2 + 5z + 6? Completa.

    (z + ) (z + ) = z 2 + 5z + 6

    Comparen y verifiquen sus soluciones haciendo las multiplicaciones respectivas.

    Comenten:

    a) Cunto tiene que valer z para que el rea del rectngulo sea igual a 42 cm2?

    z =

    b) Hay un valor negativo de z que es solucin de la ecuacin (z + 3) (z + 2) = 42. Encuntrenlo completando la siguiente tabla.

    z z + 3 z + 2 (z + 3) (z + 2)1 2 1 2

    3 0 1 0

    7 4 5 20

    z =

    c) Resuelve el problema este valor de z? Por qu?

    MAT3 B2 S09.indd 101 6/20/08 5:01:21 PM

  • 102

    secuencia 9ii. La figura 3 es una reduccin, el rea del rectngulo original era de 54 cm2. Cunto

    medan su base y su altura?

    A = y 2 + 3yy

    Base

    Figura 3

    a) Cul es la expresin algebraica que corresponde a la base de este rectngulo?

    Para encontrar la longitud original del lado y, sin necesidad de medir, tienes que resolver la ecuacin:

    y 2 + 3y = 54

    b) Completa la factorizacin del binomio y 2 + 3y , de la ecua-cin anterior.

    (y ) ( ) = 54

    c) Existen dos parejas de nmeros enteros que multiplicados dan 54 y que uno de ellos es tres unidades mayor que el otro. Completa las parejas escribiendo en pri-mer lugar el nmero menor.

    ( ) ( ) = 54 ( ) ( ) = 54

    d) Cules son las soluciones de la ecuacin y 2 + 3y = 54?

    y 1 = y 2 =

    e) Cuntos centmetros mide la altura del rectngulo?

    f) Cuntos centmetros mide su base?

    Comparen sus respuestas, verifiquen sus soluciones de la ecuacin y comenten:

    Cul solucin de la ecuacin no resuelve el problema?

    c) Existen dos parejas de nmeros enteros que multiplicados dan

    Recuerda que:

    Para factorizar el binomio x 2 + 6x

    se busca el factor comn de ambos

    trminos:

    x 2 + 6x = x (x + 6)

    Factor comn

    MAT3 B2 S09.indd 102 6/20/08 5:01:22 PM

  • 103

    MATEMTICAS III

    Lo que aprendimos1. Soluciona las siguientes ecuaciones mediante factorizacin. Comprueba tus solucio-

    nes sustituyndolas en la ecuacin y efectuando las operaciones.

    a) x 2 2x = 8 Comprobacin:

    x 1 = x 2 =

    b) x 2 4x + 4 = 81 Comprobacin:

    x 1 = x 2 =

    A lo que llegamosUna forma de resolver ecuaciones cuadrticas consiste en factorizar las expresiones algebraicas. Por ejemplo, la ecuacin:

    x 2 + 7x + 10 = 18se puede resolver factorizando el trinomio x 2 + 7x + 10; la ecuacin queda as:

    (x + 5) (x + 2) = 18Una manera de resolver esta ecuacin factorizada consiste en buscar parejas de nme-ros que multiplicados den 18 y que uno de ellos sea tres unidades menor que el otro.

    En este caso, hay dos parejas de nmeros que cumplen estas dos condiciones:

    (3) (6) = 18 y (6) (3) = 18

    Entonces, se tiene que: (x + 2) (x + 5) = 18 (3) (6) = 18

    de donde x = 1, porque x + 2 = 1 + 2 = 3 y, x + 5 = 1 + 5 = 6Adems se tiene que: (x + 2) (x + 5) = 18 (6) (3) = 18

    de donde x = 8, porque x + 2 = 8 + 2 = 6 y, x + 5 = 8 + 5 = 3

    MAT3 B2 S09.indd 103 6/20/08 5:01:24 PM

  • 104

    secuencia 92. Resuelve los siguientes problemas. Plantea y resuelve una ecuacin cuadrtica para

    cada uno de ellos.

    a) El rea de un rectngulo est dada por la expresin algebraica x 2 6x + 8. Ade-ms, tambin se sabe que el rea es igual a 15 cm. Cunto miden los lados del rectngulo?

    Ecuacin:

    Largo: Ancho:

    b) El rea de un rectngulo est dada por la expresin algebraica x 2 + 9x + 18. Ade-ms, tambin se sabe que el rea es igual a 40 m2. Cunto miden los lados del rectngulo?

    Ecuacin:

    Largo: Ancho:

    LOS FACTORES DE CEROPara empezarEncuentren distintas parejas de nmeros que den cero al multiplicarse.

    = 0 = 0

    = 0 = 0

    = 0 = 0

    = 0 = 0

    Habr alguna pareja de nmeros DISTINTOS DE CERO que den cero al multiplicarse?

    Cul?

    Lean y comenten la siguiente informacin.

    si el producto de dos nmeros es igual a cero, al menos uno de los dos tiene que ser igual a cero.

    SESIN 2

    MAT3 B2 S09.indd 104 6/20/08 5:01:24 PM

  • 105

    MATEMTICAS IIIHay dos nmeros que solucionan la siguiente ecuacin:

    (x 6) (x 2) = 0

    a) Cunto tiene que valer x para que x 6 sea igual a 0? x =

    b) Cunto tiene que valer x para que x 2 sea igual a 0? x =

    Comparen sus respuestas. Verifquenlas sustituyendo sus valores en la ecuacin original.

    Consideremos lo siguientePlantea y resuelve una ecuacin para encontrar los nmeros que cumplan la siguiente condicin:

    Al elevar el nmero al cuadrado y restarle 8 se obtiene el mismo resultado que al multi-plicar el nmero por 2.

    Ecuacin:

    Nmeros que solucionan la ecuacin:

    Comparen y verifiquen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Con relacin al problema anterior, contesta las siguientes preguntas.

    a) Si el nmero que se busca se representa con la letra x, cul de las siguientes ex-presiones corresponde al enunciado: Elevar el nmero al cuadrado y restarle 8? Subryala.

    (x 8)2

    x 2 8

    x 2 (8)

    b) Cul de las siguientes ecuaciones corresponde al problema? Subryala.

    (x 8)2 = 2x

    x 2 8 = 2x

    8x 2 = 2x

    Comparen sus respuestas.

    MAT3 B2 S09.indd 105 6/20/08 5:01:25 PM

  • 106

    secuencia 9ii. Revisa los procedimientos que siguieron algunos alumnos para resolver la ecuacin

    que corresponde. Contesta lo que se pregunta respecto a cada procedimiento.

    PROceDiMienTO 1

    Arturo factoriz la ecuacin de la siguiente manera:

    x 2 8 = 2x

    (x 2) (x 4) = 2x

    Y dijo que los nmeros 2 y 4 cumplan la condicin del problema.

    a) Ests de acuerdo con la factorizacin que hizo Arturo? Por qu?

    b) Para verificar la factorizacin que encontr Arturo, realiza la multiplicacin de los factores:

    (x 2) (x 4) =

    PROceDiMienTO 2

    Lupe dijo que no poda factorizar la ecuacin como estaba. Rest 2x de ambos lados de la ecuacin y obtuvo lo siguiente:

    x 2 8 = 2x

    x 2 2x 8 = 2x 2x

    x 2 2x 8 = 0

    c) Cul de las siguientes es factorizacin de x 2 2x 8? Subryala.

    x 2 2x 8 = (x 2) (x 4)

    x 2 2x 8 = (x + 2) (x 4)

    x 2 2x 8 = (x 2) (x + 4)

    d) En la ecuacin x 2 2x 8 = 0, sustituye el trinomio por su factorizacin y resuel-ve la ecuacin que resulte.

    x 2 2x 8 = 0

    ( ) ( ) = 0

    x 1 = , x 2 =

    Comparen y verifiquen sus respuestas sustituyendo en la ecuacin original. Comenten: cules son los nmeros que cumplen la condicin del problema?

    Lupe dijo que no poda factorizar la ecuacin como estaba. Rest de ambos lados de la ecuacin y obtuvo lo siguiente:

    c)

    Recuerda que:

    Para factorizar un trinomio

    como x 2 + 5x 24, hay que

    buscar dos nmeros que multipli-

    cados den 24 y sumados den +5.

    (+8) (3) = 24

    (+8) + (3) = +5

    x 2 + 5x 24 = (x + 8) (x 3)

    MAT3 B2 S09.indd 106 6/20/08 5:01:26 PM

  • 107

    MATEMTICAS III

    iii. Resuelve las siguientes ecuaciones. Cuando sea necesario, iguala a cero y factoriza.

    a) x 2 + 10x + 21 = 0

    b) z 2 = 6z 9

    c) y 2 6 = y

    Lo que aprendimos1. Resuelve las siguientes ecuaciones factorizando. Cuando sea conveniente, transforma

    la ecuacin de manera que est igualada a cero.

    a) x 2 10x + 25 = 0

    b) 12z 36 = z 2

    c) y 2 + 7y = 18

    2. Resuelve el siguiente problema mediante una ecuacin.

    Qu nmero elevado al cuadrado es igual a tres veces el mismo nmero?

    Ecuacin:

    El nmero es: o

    A lo que llegamosUna ecuacin cuadrtica factorizada e igualada a cero se resuelve al encontrar los nme-ros que hacen valer cero a los factores. Por ejemplo, la ecuacin cuadrtica factorizada:

    (x 7) (x + 11) = 0se soluciona al encontrar los valores de x que hacen valer cero a los factores, es decir: x 7 = 0 y x + 11 = 0de donde se obtiene: x 1 = 7 y x 2 = 11Entonces 7 y 11 son soluciones porque al sustituirlos en la ecuacin y efectuar las operaciones, se obtiene 0.

    Sustituyendo 7: (7 7) (7 + 11) = (0) (18) = 0

    Sustituyendo 11: (11 7) ( 11 + 11) = (18) (0) = 0

    MAT3 B2 S09.indd 107 6/20/08 5:01:27 PM

  • 108

    secuencia 9

    SESIN 3 EL ADORNOPara empezarUna ecuacin cuadrtica est en su forma general cuando un lado de la igualdad es 0 y en el otro lado se han efectuado todas las operaciones indicadas y los trminos ya no pueden reducirse. Ejemplos de ecuaciones cuadrticas en su forma general son:

    x 2 6x 7 = 0

    x 2 6x = 0

    Establezcan la forma general de la ecuacin 2x 2 + 6(x + 1) 3x = 6:

    = 0

    En esta sesin resolvern problemas planteando las formas generales de las ecuaciones correspondientes.

    Consideremos lo siguienteLuis adorn el borde de un dibujo como se muestra en la figura 4. El rea cubierta por el adorno es de 252 cm2.

    a) Cul de las siguientes ecuaciones corresponde a este problema? Subryala.

    4x 2 + 36x = 252

    4x 2 + 36 = 252

    4x 2 + 72x = 252

    4x 2 + 72 = 252

    b) Cuntos centmetros mide el ancho del adorno?

    Comparen sus soluciones y comenten cmo encon-traron el valor de x.

    Manos a la obrai. A continuacin se presenta una forma de resolver la ecuacin correspondiente al

    problema del adorno. Efecta las siguientes actividades:

    a) Establece la forma general de la ecuacin.

    = 0

    20 cm

    Figura 4

    x

    16 cm

    x

    MAT3 B2 S09.indd 108 6/20/08 5:01:28 PM

  • 109

    MATEMTICAS IIIb) Todos los trminos de esta ecuacin se pueden dividir entre el mismo nmero: 4.

    Simplifica la ecuacin dividiendo entre 4.

    = 0

    c) Factoriza la ecuacin.

    ( )( ) = 0

    d) Encuentra los valores de x que hacen cero los factores:

    = 0 y = 0

    e) Las soluciones de la ecuacin son:

    x 1 = y x 2 =

    f) Cul de las dos soluciones de la ecuacin no puede ser la medida del lado de un

    cuadrado rojo de la figura 4? Por qu?

    Comparen y verifiquen sus respuestas.

    A lo que llegamosPara resolver una ecuacin cuadrtica usando la factorizacin es conveniente pasarla primero a su forma general.

    Por ejemplo, la ecuacin x 2 3x 5 = 35 se puede resolver de la siguiente manera: Se pasa la ecuacin a su forma general: x 2 3x 40 = 0 Se factoriza: (x 8) (x + 5) = 0 Se encuentran los valores de x que

    hacen cero los factores: x 1 = 8, x 2 = 5 Se verifican las soluciones sustituyendo en la ecuacin original:

    Para x 1= 8: (8)2 3(8) 5 = 64 24 5 = 35 Para x 2 = 5: (5)2 3(5) 5 = 25 + 15 5 = 35

    ii. Resuelve y verifica en tu cuaderno las siguientes ecuaciones. Usa el procedimiento de factorizacin.

    a) x 2 + 3x = 10

    b) 3x 2 = 6x

    Comparen y verifiquen sus respuestas.

    MAT3 B2 S09.indd 109 6/20/08 5:01:29 PM

  • 110

    secuencia 9

    Lo que aprendimos1. La expresin y 2 + 2y + 2 representa el rea de la figura 5.

    a) Plantea una ecuacin para encontrar el valor de y si el rea de toda la figura es de 26 cm2.

    Ecuacin: = 26

    b) Para resolver la ecuacin que planteaste, primero psa-la a su forma general:

    Forma general: = 0

    c) Resuelve la ecuacin mediante factorizacin:

    ( ) ( ) = 0

    y 1 = y 2 =

    d) Verifica los valores que encontraste sustituyendo en la ecuacin original.

    e) Cuntos centmetros mide el lado del cuadrado morado de la figura 4?

    2. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones. Usa el procedimiento de factori-zacin.

    a) x 2 = 5x

    b) 3x 2 + 5x = 2x 2 + 7x

    c) 2x 2 + 6(x + 1) 3x = 6

    APLIQUEMOS LO APRENDIDOLo que aprendimos1. Plantea una ecuacin para modelar los siguientes problemas y aplica la factorizacin

    para resolverla.

    a) Cuntos metros mide el largo del terreno que se muestra en la figura 6?

    Ecuacin:

    El largo del terreno mide : m

    SESIN 4

    2

    y

    Figura 5

    y

    1

    x

    x + 8

    a = 48 m2

    Figura 6

    MAT3 B2 S09.indd 110 6/20/08 5:01:30 PM

  • 111

    MATEMTICAS IIIb) Un nmero elevado al cuadrado menos cinco veces el nmero es igual a 14. De

    qu nmero se trata?

    Ecuacin:

    2. Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones. Usa el procedimiento de factorizacin.

    a) 3x 2 15x = 0 b) x 2 + 4x = 7x

    c) x 2 6x + 9 = 0 d) x 2 3x = 10

    3. Completa la siguiente tabla.

    Soluciones de la ecuacin Ecuacin factorizada Ecuacin en su forma general

    x 1 = 0 x 2 = 5 x (x 5) = 0 x 2 5x = 0

    x 1 = 0 x 2 = 2

    x 1 = 2 x 2 = 3 (x 2) (x + 3) = 0 x 2 + x 6 = 0

    x 1 = 1 x 2 = 4

    x 1 = 5 x 2 = 5

    x 1 = 4 x 2 = 4

    x 2 100 = 0

    4. Escribe un problema que se resuelva con las siguientes ecuaciones. En cada caso, re-suelve y comprueba resultados.

    a) 2x 2 = 8x

    b) x 2 + 4x = 28

    Para saber msSobre ecuaciones cuadrticas o de segundo grado, consulta:http://www.emathematics.net/esRuta: 3 E.S.O. Ecuacin de segundo grado problemas[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].

    MAT3 B2 S09.indd 111 6/20/08 5:01:30 PM

  • 112

    secuencia 10

    En esta secuencia aprenders cules son las condiciones que deben tener dos figuras para que se diga que son semejantes.

    UN CORAZN MUY ESPECIALPara empezarMarca con los dibujos que no estn a escala respecto al siguiente:

    En qu te fijaste para elegir los dibujos que tachaste?

    SESIN 1

    Figuras semejantes

    Consideremos lo siguienteUsen sus instrumentos geomtricos para trazar en hojas blancas tamao carta las piezas de este rompecabezas; tendrn que hacerlo a escala y de manera que la parte que mide 2 cm deber medir 11 cm. Se deben repartir las piezas para que cada integrante del equipo haga slo una o dos.

    a) Cuando todos hayan terminado la o las piezas que le tocaron, armen con ellas el corazn.

    b) Si el corazn no se puede armar, revisen cada una de las piezas y vean si realmente estn hechas a escala respecto a las del dibujo del rompecabezas; si no, corrijan lo que sea nece-sario hasta que puedan armar el corazn.

    Comenten con su grupo cmo trazaron el rompe-cabezas y las dificultades que tuvieron al hacerlo.

    2 cm

    MAT3 B2 S10.indd 112 6/20/08 5:01:48 PM

  • 113

    MATEMTICAS IIIManos a la obrai. La siguiente es una de las piezas del rompecabezas:

    D c

    a B

    Con sus instrumentos geomtricos tomen las medidas necesarias para realizar lo que se pide.

    a) Cul de los siguientes trapecios est hecho a escala respecto al anterior? Identifi-quen, en el trapecio a escala, los vrtices correspondientes a a, B, c, D y antenles a, B, c y D respectivamente.

    b) En qu se fijaron para elegir el trapecio hecho a escala?

    Comparen sus respuestas con las de sus compaeros.

    c) Midan los segmentos y luego calculen las siguientes razones o cocientes:

    aBa'B' =

    BcB'c' =

    cDc'D' =

    DaD'a' =

    d) Cmo son entre s los cocientes: iguales o diferentes?

    Qu significa esto?

    e) Anoten la medida de los ngulos interiores:

    a = B = c = D =

    a= B = c = D =

    Si los lados que forman el ngulo A, son correspondientes a los lados que forman el ngulo A, entonces podemos decir que el ngulo A es el correspondiente del ngulo A.

    Consideren que, debido a la impreci-sin de los instru-mentos de medicin, las medidas pueden variar ligeramente.

    Consideren que,

    Recuerden que:

    En estas figuras, el lado AB es el corres-pondiente del lado AB; el lado BC es el correspondiente del lado BC; etctera.

    MAT3 B2 S10.indd 113 6/20/08 5:01:49 PM

  • 114

    secuencia 10f) Cul es el ngulo correspondiente al B? , de c?

    y al D?

    g) Cmo son entre s los ngulos correspondientes de ambas figuras?

    ii. Este trapecio es otra de las piezas del rompecabezas:

    M

    n P

    Q

    Con sus instrumentos geomtricos tomen las medidas necesarias para realizar lo que se pide.

    a) Cul de los siguientes trapecios est hecho a escala del anterior? Identifiquen, en el trapecio a escala, los vrtices correspondientes a M, n, P, Q y antenles M, n, Q y P respectivamente.

    b) En la actividad i encontraron que los lados correspondientes de dos figuras a es-cala son proporcionales; verifiquen que el trapecio que eligieron cumple esta con-dicin.

    c) Midan los ngulos internos del trapecio MnPQ y verifiquen que son iguales a sus correspondientes ngulos internos en el trapecio MnPQ.

    iii. Comparen sus respuestas con las de otros compaeros. Lean y comenten con ayuda de su profesor la siguiente informacin y resuelvan lo planteado en la actividad.

    A lo que llegamosEn matemticas, cuando dos polgonos estn hechos a escala se dice que son polgonos semejantes. Los polgonos semejantes cumplen con dos condiciones:

    a) Las medidas de los lados de uno de los polgonos son proporciona-les a las medidas de los lados del otro.

    b) Sus ngulos correspondientes son iguales.

    MAT3 B2 S10.indd 114 6/20/08 5:01:51 PM

  • 115

    MATEMTICAS III

    iV. Verifiquen que las figuras que hicieron para el rompecabezas son semejantes a las del dibujo del apartado Consideremos lo siguiente, es decir, para cada una verifiquen que sus lados son proporcionales y sus ngulos son iguales.

    a) Cul es la razn de semejanza del rompecabezas que trazaron con respecto al dibujo?

    b) Cul es la razn de semejanza del dibujo con respecto al rompecabezas?

    APLICACIONES dE LA SEMEJANZALo que aprendimos1. Cada uno del equipo recorte en cartulina un tringulo cuyos ngulos midan 30, 40

    y 110; puede ser del tamao que deseen.

    a) Son semejantes los tringulos que construyeron?

    b) Argumenten su respuesta:

    c) Midan los lados del tringulo que construyeron y los lados del tringulo que haya construido otro integrante del equipo; cul es la razn de semejanza entre estos

    dos tringulos?

    2. Todos los rectngulos tienen sus ngulos iguales a 90. Basta esta condicin para

    afirmar que todos los rectngulos son semejantes?

    Argumenten su respuesta:

    SESIN 2

    Por ejemplo, el polgono PQRS es semejante al polgono ABCD:

    Bc

    Da

    Q

    P

    Rs

    a) Las medidas de los lados del polgono ABCD son proporcionales a las medidas de los lados del polgono PQRS.

    ABPQ

    = BCQR

    = CDRS

    = DASP

    = 2

    El nmero 2 es la razn de semejanza del polgono mayor con respecto al menor.

    b) Los ngulos correspondientes son iguales:

    A = P B = Q C = R D = S

    MAT3 B2 S10.indd 115 6/20/08 5:01:52 PM

  • 116

    secuencia 103. Consideren los siguientes rombos:

    a) Sus lados guardan la misma razn de semejanza?

    b) Son semejantes los rombos?

    c) Argumenten sus respuestas:

    4. Tracen en su cuaderno un polgono semejante al siguiente:

    5. Cul es la razn de semejanza del polgono menor con respecto al mayor?

    MAT3 B2 S10.indd 116 6/20/08 5:01:52 PM

  • 117

    MATEMTICAS III6. Tracen cinco rectngulos semejantes al rectn-

    gulo rojo, siempre con el lado ms largo sobre el eje x y el ms corto sobre el eje y , y con uno de sus vrtices en el origen.

    a) Marquen en todos los rectngulos el vrtice opuesto al origen, todos estos vrtices de-ben estar alineados; si no es as corrjanlos.

    b) Tracen la lnea que pasa por todos los vrti-ces que marcaron.

    c) Cul es la ecuacin de esa lnea recta?

    d) A partir del resultado anterior anoten una manera para determinar si dos rectngulos son o no son semejantes.

    7. Completen la siguiente tabla; en el caso de las afirmaciones falsas, den un ejemplo para demostrar su falsedad.

    Afirmacin Es falso o verdadero? Ejemplo

    Todos los tringulos issceles son semejantes

    Todos los tringulos equilteros son semejantes

    Todos los cuadrados son semejantes

    Todas las figuras que son congruen-tes tambin son semejantes

    Todas las figuras que son semejantes tambin son congruentes

    Comparen con otros equipos los resultados que obtuvieron en los ejercicios anteriores y la manera en que lo determinaron.

    La semejanza de figuras geomtricas tiene muchas aplicaciones, por ejemplo, las foto-grafas, los planos de una casa, los mapas, las maquetas, las sombras que produce el sol o alguna fuente de luz

    Para saber msConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Hernndez Garcadiego, Carlos. Figuras semejantes, Dibujo a escala y figuras semejantes en La geome-tra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    15

    14

    13

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x

    y

    MAT3 B2 S10.indd 117 6/20/08 5:01:53 PM

  • 118

    secuencia 11

    En esta secuencia aprenders los criterios de semejanza de tringulos y aplicars la semejanza de tringulos para calcular distancias inaccesibles.

    EXPLORANDO LA SEMEJANZA DE TRINGULOSPara empezarEn la secuencia 10 aprendiste que para que dos polgonos sean semejantes deben reunir dos condiciones. Antalas:

    Mide los lados de las figuras.

    Las medidas de los lados de la figura B son proporcionales a los de

    la figura A? Cmo lo sabes?

    Son semejantes estas dos figuras? Por qu?

    Cunto miden los ngulos de estos rectngulos?

    Son semejantes estos dos rectngulos? Por qu?

    Habrs notado que cada pareja de figuras cumple slo una de las condiciones que escri-biste, pero no cumple la otra y, por eso, no son semejantes.

    SESIN 1

    Semejanza de tringulos

    Figura A Figura B

    Figura C Figura D

    MAT3 B2 S11.indd 118 6/20/08 5:02:10 PM

  • 119

    MATEMTICAS IIIConsideremos lo siguienteDiscutan y marquen con una en cules de los siguientes casos se obtienen necesaria-mente dos tringulos que son semejantes.

    caso 1. En un tringulo, uno de sus lados mide 6 cm y uno de sus ngulos 60; en el otro tringulo, el lado y el ngulo correspondientes miden 3 cm y 60, respectivamente.

    caso 3. Los tres ngulos de los dos tringulos miden 30, 60 y 90, y no se sabe nada de las medidas de los lados.

    caso 5. Dos lados de un tringulo miden 4 cm y 6 cm, y dos lados del otro tringulo miden 8 cm y 12 cm.

    caso 2. Los lados de un tringulo miden 4 cm, 6 cm y 7 cm; los lados del otro tringulo miden 8 cm, 12 cm y 14 cm, y no se sabe nada de las medidas de los ngulos.

    caso 4. Dos lados de un tringulo miden 4 cm y 6 cm, y el ngulo comprendido entre ellos mide 77. En el segundo tringulo los lados correspondientes miden 8 y 12 cm, y el ngulo entre ellos mide 77.

    caso 6. Los dos tringulos tienen un ngulo igual a 60.

    Organcense al interior del equipo para trazar en sus cuadernos los tringulos con las condiciones indicadas en cada uno de los incisos anteriores y verifiquen sus respuestas. En caso de que estn equivocadas, corrijan lo que sea necesario.

    Comparen sus respuestas y argumentos con sus compaeros de grupo e identifiquen los tres casos en que los tringulos son semejantes.

    MAT3 B2 S11.indd 119 6/20/08 5:02:11 PM

  • 120

    secuencia 11

    CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS IPara empezarEn Matemticas ii aprendiste tres criterios de congruencia de tringulos, antalos.

    En el caso de la semejanza, existirn criterios de semejanza de tringulos?; si piensas que s, da al menos un ejemplo.

    Consideremos lo siguienteAnoten a los que crean que son criterios para establecer que dos tringulos son siem-pre semejantes. Recuerden que para ser un criterio la o las condiciones deben garantizar que los tringulos siempre son semejantes.

    Dos tringulos son semejantes si:

    Es un criterio de semejanza de

    tringulos?Hagan un dibujo para ejemplificar su respuesta

    Tienen igual uno de sus ngulos

    Sus lados corres-pondientes son proporcionales

    Sus ngulos correspondientes son iguales

    Dos lados corres-pondientes son proporcionales

    Comparen sus respuestas y argumentos con sus compaeros de grupo.

    SESIN 2

    MAT3 B2 S11.indd 120 6/20/08 5:02:11 PM

  • 121

    MATEMTICAS IIIManos a la obraEn cada actividad pueden repartirse entre los miembros del equipo los trazos que se piden.

    i. Se han empezado a trazar dos tringulos. El ngulo entre dos de sus lados mide 50.

    50 50

    a) Terminen de trazar los tringulos.

    b) Son semejantes?

    c) Argumenten su respuesta:

    ii. Tracen en su cuaderno dos tringulos cuyos lados midan:

    4 cm, 6 cm y 8 cm, para el tringulo A

    2 cm, 3 cm y 4 cm, para el tringulo B

    a) Los lados del tringulo A son proporcionales a los del tringulo B?

    Argumenten su respuesta:

    b) Midan los ngulos de los dos tringulos. Qu notan?

    c) Son semejantes los dos tringulos?

    Argumenten su respuesta:

    d) Construyan un tringulo cuyos lados sean proporcionales a los de los tringulos A y B. Midan sus lados. Podrn construir un tringulo cuyos lados sean proporcio-nales a los lados de los tringulos A y B, y cuyos ngulos sean diferentes a los de estos tringulos?

    MAT3 B2 S11.indd 121 6/20/08 5:02:11 PM

  • 122

    secuencia 11iii. En cada caso se tienen dos lados de un tringulo que no se ha terminado de trazar:

    3 cm

    4 cm

    6 cm

    8 cm

    a) Las dos medidas que se dan de un tringulo son proporcionales a las del otro?

    b) Terminen de trazar los tringulos. Son semejantes? Argumenten su

    respuesta:

    iV. Tracen en su cuaderno dos tringulos A y B, de diferente tamao pero cuyos ngulos midan 30, 60 y 90.

    a) Midan sus lados, son proporcionales los lados correspondientes?

    Argumenten su respuesta:

    b) Son semejantes los dos tringulos?

    Cmo lo saben?

    c) Construyan un tringulo C, cuyos ngulos midan 30, 60 y 90. Midan los lados, son proporcionales a los de los tringulos A y B?

    d) Podrn construir un tringulo cuyos ngulos midan 30, 60 y 90, y cuyos lados

    no sean proporcionales a los de los tringulos A y B?

    Comparen sus respuestas y argumentos con sus compaeros de grupo.

    MAT3 B2 S11.indd 122 6/20/08 5:02:12 PM

  • 123

    MATEMTICAS IIIA lo que llegamosEn la secuencia 10 aprendieron que para que dos polgonos sean seme-jantes deben tener:

    Los lados correspondientes proporcionales.

    Los ngulos correspondientes iguales.

    En el caso de los tringulos, los criterios de semejanza permiten fijarnos en menos datos para estar seguros de que los tringulos son semejantes.

    Basta que se cumpla slo una de las siguientes condiciones:

    Sus lados correspondientes son proporcionales,

    o bien:

    Sus ngulos correspondientes son iguales.

    CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS IIConsideremos lo siguienteAnoten al que crean que es otro criterio para establecer que dos tringulos son seme-jantes y argumenten su respuesta. Recuerden que para ser un criterio vlido las condi-ciones deben garantizar que los tringulos son semejantes.

    Dos tringulos son semejantes si:

    Es un criterio de semejanza de

    tringulos?

    Argumenten sus respuestas. Pueden hacer dibujos si lo consideran necesario o dar un ejemplo cuando crean que no es criterio.

    Tienen igual uno de sus ngulos y uno de sus lados.

    Tienen un ngulo igual comprendido entre dos lados que son proporcionales a sus correspondientes en el otro tringulo.

    Comparen sus respuestas y argumentos con sus compaeros de grupo.

    SESIN 3

    MAT3 B2 S11.indd 123 6/20/08 5:02:13 PM

  • 124

    secuencia 11

    Manos a la obraCada uno haga lo siguiente en su libro sin ver lo que hace su compaero:

    i. Consideren que el segmento abajo trazado es uno de los lados de un tringulo. Ter-minen de trazar el tringulo de tal manera que contenga un par de lados que formen un ngulo de 120.

    Cuando hayan terminado comparen los tringulos trazados por todos.

    a) Son semejantes?

    b) Argumenten su respuesta:

    c) Dos tringulos tienen un lado igual y un ngulo igual, creen que necesariamente

    son semejantes? ; cmo lo saben?

    ii. Tracen en su cuaderno tres tringulos con las medidas indicadas:

    Un lado de 4 cm, otro de 6 cm y el ngulo comprendido entre ellos de 60.

    Un lado de 8 cm, otro de 12 cm y el ngulo comprendido entre ellos de 60.

    a) Midan el tercer lado en cada tringulo. Los lados de uno de los tringulos son

    proporcionales a los lados del otro tringulo?

    Argumenten su respuesta:

    b) Midan los ngulos de los dos tringulos. Qu notan?

    c) Son semejantes los dos tringulos?

    Argumenten su respuesta:

    d) Construyan un tringulo con un ngulo de 60 comprendido entre dos lados que sean proporcionales a 4 cm y 6 cm, el tringulo construido es semejante a los anteriores?; podrn construir un tringulo con estas condiciones (un ngulo igual comprendido entre dos lados que sean proporcionales a sus correspondien-tes en el otro tringulo) que no sea semejante a los anteriores?

    MAT3 B2 S11.indd 124 6/20/08 5:02:13 PM

  • 125

    MATEMTICAS IIIA lo que llegamosOtro criterio de semejanza de tringulos es el siguiente:

    Dos tringulos son semejantes si tienen un ngulo igual comprendido entre dos lados que son proporcionales a sus correspondientes en el otro tringulo.

    Observen que, nuevamente, tampoco es necesario conocer todos los datos del tringulo para afirmar que son semejantes.

    En el recuadro se enunci el tercer criterio de semejanza de tringulos que, junto con los dos que estudiaron en la sesin 2, son los tres criterios de semejanza de tringulos. Ha-gan un resumen en su cuaderno de los tres criterios e ilstrenlo con tringulos semejan-tes que cumplan las condiciones dadas en cada uno.

    CLCULO DE DISTANCIASLo que aprendimosUna de las aplicaciones ms tiles de la semejanza de tringulos es la de medir distancias inaccesibles a la medicin directa.

    Resuelvan los siguientes problemas.

    1. Los tringulos son semejantes, cunto vale x?

    2 cm

    2.2 cm

    3 cm

    x

    2. En la siguiente figura, si el segmento Bc es paralelo al segmento Bc, en-tonces los tringulos aBc y aBc son semejantes. Cul criterio de semejan-

    za garantiza esto?

    Pista:

    Recuerden las

    relaciones entre

    los ngulos

    entre paralelas

    B

    c

    c'

    B'

    a'

    SESIN 4

    MAT3 B2 S11.indd 125 6/20/08 5:02:14 PM

  • 126

    secuencia 113. En la siguiente figura, el segmento Bc es paralelo al segmento Bc, cunto vale x?

    4.25 cm

    B

    cc'

    B'

    a'x

    4.20 cm

    7.20 cm

    4. Una abuelita que mide 1.55 m lleva un bastn de 1 m. Si el bastn proyecta una sombra de 0.80 m, cunto mide la

    sombra de la abuelita?

    6. Hagan lo siguiente:

    a) Consigan una vara (palo, bastn, etc.); midan su longitud.

    b) En algn momento que haya sol, salgan al patio, pongan la vara perpendicular al piso y midan la sombra que proyecta.

    c) Elijan un objeto alto cuya altura deseen calcular: un rbol, el asta bandera, el alto de la canasta de basquetbol, etctera.

    d) Midan la sombra que proyecta ese objeto.

    e) Con esos datos calculen la altura del objeto.

    5. Juan est junto al asta bandera de su escuela, mide las sombras y se da cuenta de que la sombra del asta es 72 la de l. Si l mide 1.60 m, cul es la altura del asta?

    m lleva un bastn de 1 m. Si el m, cunto mide la

    MAT3 B2 S11.indd 126 6/20/08 5:02:19 PM

  • 127

    MATEMTICAS III7. Consideren el siguiente dibujo en el que los segmentos eF

    y cB son perpendiculares a la orilla del ro y el segmento cD es paralelo al segmento BF.

    a) Son semejantes los tringulos aBc y cDe?

    Argumenten su respuesta:

    b) Cunto mide de ancho el ro?

    8. En la siguiente figura consideren que aB ae y De ae . A qu distancia se encuentra la isla

    de la orilla?

    9. Se tienen dos tringulos aBc y HKM y se sabe que a = H y que B = K.

    a) El tercer ngulo tambin es igual?

    b) Cmo lo saben?

    c) Los dos tringulos son semejantes?

    d) Cmo lo saben?

    10. Se traza la altura correspondiente al lado mayor de un tringulo rectngulo: observen que se forman dos tringulos dentro del tringulo original.

    a) Son semejantes los dos tringulos que se forman?

    Argumenten su respuesta:

    b) Alguno de estos tringulos, es semejante al tringulo original?

    Argumenten su respuesta:

    Para saber msSobre la semejanza de tringulos, consulten:http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/semejanza_aplicaciones/triangulos_semejantes.htm[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    a

    c

    e

    D

    FB13 37

    5

    40045

    ?

    75

    a

    B

    D

    ec

    MAT3 B2 S11.indd 127 6/20/08 5:02:20 PM

  • 128

    secuencia 12

    En esta secuencia aprenders a interpretar y utilizar ndices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.

    El ndicE nacional dE prEcios al consumidorPara empezarCmo han variado los precios de los alimentos, la ropa, los zapatos y el transporte, du-rante el ao? Con frecuencia esta informacin la encontramos en la seccin financiera de los peridicos y en los noticieros. La presentan generalmente mediante porcentajes, a los que se les llama ndices de precios.

    Consideremos lo siguientePara contestar las preguntas y completar la tabla de los incisos, lean el siguiente artcu-lo publicado el 23 de febrero de 2007 en un peridico de circulacin nacional, con los datos del aumento del precio de la tortilla y su repercusin en el ndice Nacional de Precios al Consumidor en la primera quincena de ese mes.

    sEsin 1

    ndices

    roberto gonzlez amador

    El alza en el precio de alimentos y de algunos bienes ofrecidos por el sector pblico dispararon la inflacin en la primera quincena de febrero, report este jueves el Banco de Mxico (BdeM). Aunque ha perdido relevancia en la discusin pblica durante los ltimos das, la varia-cin en el costo de la tortilla sigue afectando el compor-tamiento inflacionario, segn el organismo.

    El ndice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), indi-cador que mide la inflacin, repunt en la primera quince-na de este mes 0.14 por ciento, el doble del nivel registrado en el mismo periodo de 2006. Segn el reporte, el precio de la tortilla ha mostrado un comportamiento del todo inestable en los ltimos das. En la quincena re-portada, la inflacin promedio de la tortilla fue de 16.1 por ciento, una variacin anual que fue superior en 114 veces a la reportada por el INPC.

    El promedio general es slo una muestra de lo ocurri-do en diferentes regiones del pas. El banco central repor-t que en la primera quincena de febrero la variacin del

    precio de la tortilla de maz en Torren, Coahuila, fue de 29.84 por ciento, 13.7 puntos arriba del promedio nacio-nal. La segunda variacin ms alta ocurri en Cuernavaca, Morelos, con 28.35 por ciento; y la tercera en Jacona, Mi-choacn, con 26.15.

    En cambio, en varias localidades la variacin de precio en la quincena fue inferior al promedio nacional. Fue el caso de Tepic, Nayarit, con un incremento en el periodo de 2.4 por ciento; Ciudad Jimnez, Chihuahua, con 3.22 por ciento; y Tijuana, Baja California, con 3.35 por ciento.

    Adems de la medicin del INPC, el banco central hace otros ejercicios para determinar el comportamiento de los precios. Es el caso del ndice subyacente, que se obtiene eliminando del clculo del INPC los bienes y servicios cuyos precios son ms voltiles, lo que permite una aproxima-cin a las tendencias de mediano plazo de la inflacin.

    En la primera quincena de este mes el ndice subya-cente se increment 0.23 por ciento, arriba del 0.21 por ciento en el mismo periodo de 2006. Mientras, el ndice no subyacente, donde se incorporan los precios ms vo-ltiles, disminuy en la quincena 0.03 por ciento, cuando

    El aumento del precio de la tortilla sigue afectando la inflacin: Banco de Mxico

    MAT3 B2 S12.indd 128 6/20/08 5:02:40 PM

  • 129

    MATEMTICAS III

    a) De acuerdo con el artculo anterior, qu es lo que mide el ndice Nacional de Precios

    al Consumidor (INPC)?

    b) Cul fue el valor del repunte del INPC durante la primera quincena de febrero 2007?

    c) Y cul fue el valor del repunte del INPC en ese mismo periodo pero en el ao 2006?

    d) Completen la siguiente tabla con la informacin de la variacin del precio de la tor-tilla que aparece en el artculo.

    Variacin del precio de la tortilla durante la primera quincena de febrero de 2007

    (en porcentaje)

    Torren, Coahuila

    Cuernavaca, Morelos

    Jacona, Michoacn

    Tepic, Nayarit

    Ciudad Jimnez, Chihuahua

    Tijuana, Baja California

    e) Supongan que el precio promedio del kilogramo de tortilla, durante la primera quin-cena de febrero, fue de $8.50, cunto cost el precio del kilogramo de tortilla en

    Torren en ese mismo periodo?

    f) Cules son los diferentes ndices a que hace referencia el artculo?

    g) Anoten una en cada caso si la afirmacin es verdadera o falsa:

    El INPC puede utilizarse para mostrar la variacin en el precio de algunos productos como el de la tortilla. (V) (F)

    El aumento de la inflacin durante la primera quincena de febrero de 2007 fue del doble con respecto a febrero de 2006. (V) (F)

    La principal causa del aumento en el valor de la inflacin en ese periodo se atribuye a la variacin en el precio de la tortilla. (V) (F)

    en el periodo comparable del ao anterior lo haba hecho 0.22 por ciento.

    Esta menor disminucin fue lo que explic la mayor parte del repunte de la inflacin general. Particularmen-

    te obedeci a menores reducciones que las observadas en 2006 en algunos precios administrados (que provee el sector pblico) y frutas y verduras.

    Fuente: Roberto Gonzlez Amador. El aumento del precio de la tortilla sigue afectando la inflacin: Banco de Mxico, La Jornada, 23 de febrero de 2007, [recuperado el 2 de abril de 2008 de http://www.jornada.unam.mx/2007/02/23/index.php?section=economia&article=022n2eco].

    MAT3 B2 S12.indd 129 6/20/08 5:02:41 PM

  • 130

    secuencia 12

    Manos a la obrai. A continuacin se presenta otra noticia relacionada con el INPC que apareci el 20 de

    septiembre de 2007; lanla y respondan las siguientes preguntas.

    roberto gonzlez amador

    En apenas nueve meses y medio de la actual administra-cin federal, el precio promedio de los productos que integran la canasta bsica de consumo registr un incre-mento de 34.17 por ciento, 7.5 veces el aumento a los salarios concedido a los trabajadores en enero de 2007, segn reportes oficiales.

    Se trata de un alza de precios que comenz con la tortilla al comienzo del ao, continu esta semana con el alza al pan blanco, y que tender a mantenerse en cuan-to comience el ajuste al costo final de la gasolina, que ya fue autorizado en el Congreso y cobrar vigencia en cuanto sea publicado por el Ejecutivo en el Diario Oficial de la Federacin.

    Desde diciembre de 2006, el precio de los 43 produc-tos que integran la canasta bsica de consumo (INPC) ha subido en proporciones que superan con creces al repun-te de la inflacin general, que oficialmente es de 4.2 por ciento anual, con excepcin del de la cebolla, que ha dis-minuido.

    Esto ha ocurrido en un entorno en que el costo de la gasolina se ha elevado, de diciembre de 2006 a la fecha, en un promedio de 3.5 por ciento para ambos tipos de combustibles que ofrece Petrleos Mexicanos: Magna y Premium, segn datos de la propia empresa.

    Organizaciones de consumidores y representantes de la oposicin poltica al gobierno denunciaron en la lti-ma semana que el incremento al precio de la gasolina desatara una escalada de precios, como tradicionalmen-te ocurre en el pas cuando se mueve la cotizacin del energtico.

    La legislacin aprobada la semana pasada en la C-mara de Diputados por los partidos Accin Nacional y Revolucionario Institucional establece que, en cuanto entre en vigor el nuevo impuesto, el precio se elevar dos centavos por mes durante un ao y medio. Es decir, 36 centavos desde el valor actual. El Banco de Mxico estim que la aplicacin gradual del impuesto al consu-mo de gasolina tendr un impacto mnimo en el Indice

    Nacional de Precios al Consumidor, indicador que mide el comportamiento de la inflacin.

    Aun antes de que el efecto del nuevo precio de la gasolina se comience a expresar en la lista de precios de los productos de mayor consumo, las variaciones ocurri-das en los ltimos meses ya han superado con creces el aumento otorgado a los salarios.

    En enero, el salario mnimo general tuvo un incre-mento de 4.1 por ciento. A mediados de este ao, segn el Banco de Mxico, el incremento promedio en los sala-rios contractuales era de 4.26 por ciento y de 4.75 por ciento en el caso del aumento de los emolumentos en el sector manufacturero.

    El incremento en las percepciones representa una fraccin del alza registrada en el precio de los bienes de consumo bsico, aun antes de que se comience a regis-trar el impacto de las gasolinas. Aunque los promotores del nuevo impuesto aseguran que no debe tener un im-pacto inflacionario, en comercios han comenzado a ob-servarse algunas variaciones.

    Desde diciembre de 2006 y hasta el 15 de septiembre pasado, el precio promedio de la canasta bsica se elev en 34.17 por ciento, mientras el costo promedio de los alimentos considerados en ese universo repunt 36.01 por ciento, estableci una medicin de la Procuradura Federal del Consumidor y de la Secretara de Economa.

    Algunos ejemplos son: en diciembre de 2006 el pre-cio de un kilogramo de harina de trigo era de 5.25 pesos, que creci la semana pasada a 10.50 pesos, un alza de 100 por ciento; el pan de caja en presentacin de 680 gramos elev su costo, en el mismo periodo, de 13.90 a 19.7 pesos, esto es, 41.6 por ciento. Ambos movimientos son consistentes con el alza en el precio internacional del trigo.

    Fuente: Roberto Gonzlez Amador. En 9 meses el actual gobierno encareci 34.17% los bsicos, La Jornada, 20 de septiembre de 2007, [recuperado el 2 de abril de 2008 de http://www.jornada.unam.mx/2007/09/20/index.php?section=economia&article=033n1eco].

    Antes de que entre en vigor el impuesto a la gasolina ya aumentaron alimentos, luz y otros

    En 9 meses el actual gobierno encareci 34.17% los bsicosSignifica 7.5 veces el aumento a los salarios

    Desde diciembre la gasolina subi 3.5%

    a) Segn la noticia del peridico, cuntos son los productos que se consideran par-

    te de la canasta bsica?

    b) De diciembre de 2006 a la fecha en que se publica el artculo, cul es el repunte

    de la inflacin general?

    MAT3 B2 S12.indd 130 6/20/08 5:02:43 PM

  • 131

    MATEMTICAS IIIc) Y cul es el aumento promedio que ha tenido la gasolina en ese mismo periodo?

    d) Por qu creen que organizaciones de consumidores consideran que afectara el

    aumento del precio de la gasolina al INPC?

    e) Completen la siguiente tabla:

    Productos Presentacin del producto

    Precio del producto en $Precio del producto en la primera quince-

    na de septiembre de 2007 comparado con diciembre de 2006

    Diciembre 2006

    15 septiembre 2007 Porcentaje Variacin

    Tortilla* (kg) 6.00 8.50 141.6 41.6

    Harina

    Pan de caja

    *Datos que corresponden a la Ciudad de Mxico. Fuente: Sistema Nacional de Informacin e Integracin de Mercados (SNIIM). Secretara de Economa.

    f) Supongan que nicamente los tres productos de la tabla se consideran para cal-cular el ndice Nacional de Precios al Consumidor, cul sera el porcentaje prome-

    dio del precio de estos tres productos?

    Y cul sera la variacin promedio del precio de los tres productos?

    g) Cul de los tres productos de la tabla tuvo un aumento mayor en su precio (ex-presado en porcentaje) que el porcentaje promedio de diciembre de 2006 al 15 de

    septiembre de 2007?

    A lo que llegamosEl porcentaje promedio del precio de esos tres productos es un ndice y se puede utilizar como referencia para observar cul ha sido su variacin de diciembre de 2006 al 15 de septiembre de 2007.

    ii. Ahora a la tabla anterior agreguen la informacin acerca de la gasolina.

    a) Qu dato anotaran en la columna de presentacin del producto?

    b) Cul sera el INPC considerando estos cuatro productos?

    c) Supongan que a partir de la informacin anterior tienen que elaborar una nota pe-riodstica. Redacten una frase que pudiera servir como encabezado para esa nota.

    MAT3 B2 S12.indd 131 6/20/08 5:02:44 PM

  • 132

    secuencia 12

    ndicEs En la EscuElaPara empezarLos ndices no slo se utilizan en la economa y las finanzas. Tambin se usan en muchas otras reas, por ejemplo, en la educativa, para describir el comportamiento de diversos fenmenos. Algunos ejemplos son el ndice de reprobacin, de desercin (alumnos que no concluyen sus estudios) y de eficiencia terminal (alumnos que concluyen sus estudios en tiempo y forma). Estos ndices son los ms representativos en relacin con el xito o fracaso escolar.

    Consideremos lo siguienteA partir del ciclo escolar 1993-1994, la educacin secundaria es parte de la educacin bsica en Mxico, es decir, es obligatoria. La siguiente tabla muestra el nmero de alum-nos que ingresaron a secundaria (matrcula) en el ciclo escolar 1993-1994; tomamos como referencia este dato para comparar la matrcula del ciclo 2000-2001 y obtener su variacin. Continen considerando la matrcula del ciclo escolar 1993-1994 como refe-rente para comparar los otros ciclos escolares y completen la tabla.

    Matrcula escolar en educacin secundaria Tabla 1

    Ciclo escolar Matrcula (en miles de alumnos) PorcentajeVariacin de la matrcula

    en porcentaje

    1993-1994 4340 100.00 0

    2000-2001 5 350 123.27 23.27

    2001-2002 5 480

    2002-2003 5 660

    2003-2004 5 780

    2004-2005 5 894

    Fuente: SEP. Estadsticas Bsicas del Sistema Educativo Nacional

    sEsin 2

    A lo que llegamosEl ndice es un nmero, que puede estar en forma de porcentaje, mediante el cual se resume o expresa un conjunto de valores que corresponde a diversos elementos que intervienen en una situacin y, tambin, se utiliza para establecer comparaciones dentro de esa situacin. Un ejemplo de este tipo de ndice es el ndice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) que es un indicador econmico; su finalidad es medir a travs del tiempo la variacin de los precios de un conjunto de bienes y servicios representativos del consumo de los hogares mexicanos. El INPC es el indicador oficial de la inflacin en Mxico.

    MAT3 B2 S12.indd 132 6/20/08 5:02:45 PM

  • 133

    MATEMTICAS IIICul es el porcentaje en que aument la matrcula del ciclo escolar 2004-2005 con

    respecto de la matrcula del ciclo escolar 1993-1994?

    Si utilizan la informacin del ciclo escolar 2004-2005, cuntos alumnos se espera que

    estuvieran inscritos en el ciclo 2005-2006? Por qu?

    Manos a la obrai. Utilicen los datos de la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas. Pueden

    usar calculadora para realizar las operaciones.

    a) En el ciclo escolar 1993-1994, cul fue la matrcula de alumnos?

    b) Completen la siguiente tabla para conocer la variacin que ha tenido la matrcula de alumnos de secundaria en los ciclos escolares a partir del ciclo escolar 1993-1994.

    Tabla 2

    Ciclo escolar

    Matrcula(en miles de alumnos)

    Diferencia = matrcula matrcula en el ciclo 1993-1994

    % de diferencia = (diferencia /matrcula en el ciclo 1993-1994) 100

    1993-1994 4340 0 0

    2000-2001 5350 1010 (10104340)100=23.27

    2001-2002 5480

    2002-2003 5660

    2003-2004 5780

    2004-2005 5894

    c) Observen en la tabla que el ciclo escolar 1993-1994 muestra un valor de 0. Qu

    representa este valor?

    d) Comparen el porcentaje de diferencia que obtuvieron para el ciclo escolar 2000-2001

    con el de la columna Variacin de la matrcula en porcentaje de la tabla 1 del

    apartado Consideremos lo siguiente, son iguales o diferentes?

    Por qu?

    e) De acuerdo con los resultados que obtuvieron, completen la siguiente conclusin:

    Desde el ciclo escolar 1993-1994 hasta el ciclo escolar 2003-2004, la matrcula de

    alumnos ha , segn se observa el porcentaje fue

    con una variacin de

    En el ciclo escolar 2004-2005, el porcentaje fue de con respecto al

    ciclo escolar 1993-1994. La variacin fue de

    MAT3 B2 S12.indd 133 6/20/08 5:02:45 PM

  • 134

    secuencia 12ii. Si ahora consideran como referente la matrcula del ciclo escolar 2003-2004, es decir,

    el nmero de alumnos inscritos en educacin secundaria 10 aos despus de ser obli-gatoria, qu porcentaje representan los nmeros de alumnos que se han inscrito en los dems ciclos escolares? Antenlos en la siguiente tabla:

    Ciclo escolar Matrcula (en miles de alumnos) Porcentaje Variacin

    1993-1994 4340

    2000-2001 5350

    2001-2002 5480

    2002-2003 5660

    2003-2004 5780 100.0 0.0

    2004-2005 5894 101.9 1.9

    a) Observen en la tabla que el ciclo base o de referencia muestra un porcentaje de 100.

    Por qu?

    b) En el ciclo escolar 2004-2005 se muestra un porcentaje de 101.9, qu significa

    ese valor? Y qu significa el valor de 1.9?

    c) En algn ciclo escolar el porcentaje es menor que 100? Por qu?

    d) De acuerdo con la matrcula del ciclo escolar 2003-2004, qu porcentaje repre-senta el nmero de alumnos que se inscribieron en el ciclo escolar 1993-1994?

    A lo que llegamosCuando se comparan dos cantidades del mismo tipo pero medidas en distintos lugares, momentos o circunstancias, se obtiene un ndice simple. Para calcular el valor de un ndice simple se divide el valor que se quiere comparar entre un valor que se toma como referencia, llamado base. Si el ndice simple se quiere expresar en forma de porcentaje, ese cociente se multiplica por 100.

    MAT3 B2 S12.indd 134 6/20/08 5:02:46 PM

  • 135

    MATEMTICAS IIIiii. La siguiente tabla muestra el nmero de alumnos reprobados en secundaria en el ci-

    clo escolar 2003-2004 en algunos estados del pas, encuentren el ndice de reproba-cin en cada estado.

    EstadoAlumnos

    reprobados (en miles)

    Matrcula (en miles

    de alumnos)

    ndice de reprobacin

    (en %)

    Aguascalientes 6.5 62

    Coahuila 10.3 135

    Chiapas 14.2 249

    Guerrero 16.9 181

    Hidalgo 9.0 155

    Nayarit 2.4 56

    Yucatn 16.7 102

    Nacional 555 5780 9.6

    a) Escriban cmo se podra comparar el nmero de alumnos reprobados con respec-

    to a la matrcula de alumnos, en cada caso.

    b) En qu estado fue mayor el porcentaje de reprobacin?

    c) Coincide con el estado que tiene el mayor nmero de alumnos reprobados?

    Por qu?

    d) Con respecto al porcentaje de reprobacin nacional, cules estados tienen un

    porcentaje mayor a ste?

    Entre otros fines, se utiliza esta informacin para valorar la necesidad de reforzar los contenidos educativos y programas complementarios para disminuir estos ndices.

    MAT3 B2 S12.indd 135 6/20/08 5:02:47 PM

  • 136

    secuencia 12

    sEsin 3 Quin Es El pElotEro ms valioso?Para empezarEl beisbol es un deporte que se juega con una bola dura y un bat entre dos equipos de nueve jugadores cada uno. Un partido de beisbol se divide en nueve periodos de juego, cada uno de los cuales se llama entrada o inning. El equipo que anote ms carreras a lo largo de las nueve entradas gana el partido. El juego comienza cuando un jugador lla-mado lanzador o pitcher, lanza la bola hacia el bateador del equipo contrario quien intenta batear (golpear con el bat) la bola hacia el interior del terreno de juego. Los ju-gadores anotan carreras bateando la bola y corriendo alrededor de una serie de 4 bases, antes de que les elimine algn jugador de campo del equipo contrario. Si un bateador alcanza una base bateando una bola de forma que los jugadores del equipo contrario no consigan atraparla con xito, el jugador ha conseguido un hit, y el corredor intenta avanzar, sin que le eliminen, el mayor nmero de bases posible. El hit con el que el ba-teador consigue alcanzar la segunda base se llama doble; con el que alcanza la tercera, se llama triple. Si un jugador al batear la bola sale volando por encima de la zona de juego y cae fuera de los lmites es un cuadrangular o homerun.

    Las entradas estn divididas en dos mitades, llamadas principio y final de entrada. Du-rante el principio de una entrada, un equipo batea mientras el otro est en el campo. Cuando el equipo que batea tenga tres jugadores eliminados, los dos equipos intercam-bian sus papeles y comienza el final de una entrada. Si el resultado permanece empatado al final de nueve entradas, los dos equipos continan jugando hasta que, al final de una o ms entradas suplementarias, uno de los dos anote ms carreras que el otro.

    En el caso del beisbol, como en muchos otros, hay situaciones que se miden a partir de va-rios ndices, cada uno de los cuales determina un aspecto diferente de la situacin. Por ejemplo, para medir el rendimiento de un jugador de beisbol se necesita conocer la frecuen-cia, calidad y oportunidad de los hits que conecta. Para conocer ms sobre este deporte puedes consultar la pgina de internet que se seala en el apartado Para saber ms.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra los resultados obtenidos por tres jugadores de beisbol.

    Tabla 1

    JugadorNmero

    de turnos al bat

    Nmero de hits Nmero de bases

    alcanzadas

    Nmero de carreras empujadasSencillos Dobles Triples

    Cuadrangulares (homeruns)

    A 500 100 30 10 10 230 30

    B 500 120 20 10 190 35

    C 250 30 20 20 150 30

    Cul de los tres jugadores consideran que tiene mejor desempeo como beisbolista?

    Justifiquen sus respuestas.

    MAT3 B2 S12.indd 136 6/20/08 5:02:47 PM

  • 137

    MATEMTICAS IIIManos a la obrai. A la frecuencia relativa con que pega de hit un jugador se le llama promedio de bateo

    (PB) y es la razn entre el nmero de hits (sencillos, dobles, triples y cuadrangulares) y el nmero de turnos al bat. En la siguiente tabla calculen el promedio de bateo de cada uno de los tres jugadores (se acostumbra utilizar tres cifras decimales para este promedio, por ejemplo, 0.270).

    Tabla 2

    JugadorNmero

    de turnos al bat

    Nmero de hits Promedio de bateo (Nmero total de hits /

    Nmero de turnos al bat)Sencillos Dobles TriplesCuadrangulares

    (homeruns) Total

    A 500 100 30 10 10

    B 500 120 20 10

    C 250 30 20 20

    a) Para tener un mejor promedio de bateo, influye el tipo de hit que se pegue?

    Por qu?

    b) De acuerdo con la distribucin del tipo de hits que ha dado cada beisbolista, cul

    jugador consideran que es mejor?

    c) Cul jugador tiene mejor promedio de bateo?

    ii. El promedio de porcentaje de bateo efectivo (en ingls slugging) es el nmero de bases alcanzadas por un bateador entre sus turnos al bat. En la siguiente tabla calcu-len el promedio de bateo efectivo para los tres jugadores.

    Tabla 3

    JugadorNmero

    de turnos al bat

    Nmero de bases

    alcanzadas

    Promedio de bateo efectivo (nmero de bases alcanzadas / nmero de turnos al bat)

    A 500 230 [(1001)+(302)+(103)+(104)]/500=

    B 500 190

    C 250 150

    a) Cul es el jugador que tiene mejor promedio de bateo efectivo?

    b) El jugador que tiene mejor promedio de bateo efectivo tambin tiene el mejor

    promedio de bateo (PB)?

    c) Expliquen por qu puede ocurrir esta situacin

    MAT3 B2 S12.indd 137 6/20/08 5:02:48 PM

  • 138

    secuencia 12iii. En el beisbol, con mucha frecuencia, al final de cada entrada (turno a batear de cada

    equipo), quedan corredores en alguna o algunas de las bases, indicacin de que no todos los hits se convierten en anotaciones o carreras. Por lo que es muy valorado aquel beisbolista que es capaz de pegar de hit teniendo jugadores en alguna base con posibilidades de anotar una carrera. La oportunidad de un hit se mide con el ndice de carreras empujadas, el cual se obtiene dividiendo el nmero de carreras empujadas por el jugador entre el nmero de hits que conect. Completen la tabla 4 y calculen el ndice de carreras empujadas.

    Tabla 4

    Jugador Nmero de hits

    Nmero de carreras empujadas

    ndice de carreras empujadas (nmero de carreras empujadas / nmero de hits)

    A 150 30

    B 150 35

    C 70 30

    a) Cul es el jugador que tiene mejor ndice de carreras empujadas?

    b) El jugador que tiene mejor promedio de bateo efectivo y mejor promedio de bateo

    tambin tiene el mejor ndice de carreras empujadas? Expliquen

    por qu ocurre esta situacin

    iV. Completa la tabla 5 concentrando los indicadores de cada jugador que obtuvieron en las tablas anteriores.

    Tabla 5

    Jugador Promedio de bateo

    Promedio de bateo efectivo

    ndice de carreras empujadas

    A

    B

    C

    a) De acuerdo con los resultados, quin tiene el mximo promedio de bateo?

    b) Quin tiene el mximo promedio de bateo efectivo?

    c) Si se consideran los tres porcentajes de cada jugador, cul jugador de beisbol

    consideran que es ms valioso?

    Justifiquen su respuestas.

    MAT3 B2 S12.indd 138 6/20/08 5:02:49 PM

  • 139

    MATEMTICAS IIIA lo que llegamosExisten muchas formas de construir un ndice; desde mtodos muy sencillos, hasta aquellos que pueden combinar varios ndices agregados. Los ndices simples son los ms utilizados debido a su sencillez. Para crearlos nicamente

    es necesario comparar el valor de la variable estudiada contra el valor que se utilizar como referencia o base.

    En otras ocasiones es necesario crear un ndice que incluya un conjunto de productos. Para construir este tipo de ndices es necesario conocer tanto el valor como la cantidad de cada producto. Su desventaja es que cuando se incluyen productos con distintas unidades de medida o existen grandes diferencias entre los valores de los productos, el valor del ndice se afecta.

    Existen situaciones en las que un solo ndice puede ser til para valorar una parte de la situacin, pero es insuficiente para valorar la situacin en toda su complejidad.Por ejemplo, en el caso del beisbol se tienen tres ndices, el porcentaje de bateo, porcen-taje de bateo efectivo y el porcentaje de carreras empujadas. Sin embargo, aun tomados en conjunto, si se quiere comparar la capacidad ofensiva total de un jugador, se requiere considerar otros resultados como, por ejemplo, su habilidad de robar bases.Otro ejemplo, los cambios del costo de la vida en un determinado tiempo se miden en parte por el ndice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), pero sin duda tambin influyen otras cuestiones como los salarios, la posibilidad de acceder a salud y educa-cin de manera gratuita, etctera.

    Uno de los deportes en que Mxico ha tenido importantes representaciones es el de los clavados. Para determinar el ganador de una competencia de clavados, un conjunto de 8 jueces califican, por rondas, elementos objetivos y subjetivos de cada clavado.

    ms sobrE ndicEs1. Solicita al profesor o director que te proporcione la informacin sobre las estadsticas

    del ciclo anterior; completa con ella la siguiente tabla:

    Grado Inscripcin *

    Bajas Altas **

    Existencia = Inscripcin bajas + altas

    Porcentaje de desercin *** = (Inscripcin existencia / inscripcin) 100

    Primero

    Segundo

    Tercero

    Total

    * Inscripcin: alumnos inscritos antes del 30 de septiembre.** Altas: alumnos inscritos despus del 30 de septiembre.*** Desercin: alumnos que no concluyen sus estudios.

    sEsin 4

    MAT3 B2 S12.indd 139 6/20/08 5:02:49 PM

  • 140

    secuencia 12a) En qu grado o grados la existencia fue menor a la inscripcin?

    b) Considera como base los resultados totales, en algn grado el porcentaje de de-

    sercin fue mayor al del total?

    c) Qu significa esta situacin?

    2. La siguiente grfica corresponde al porcentaje de desercin en secundaria por estado en el ciclo escolar 2003-2004.

    Porcentaje de desercin nacional

    Fuente: SEP, estimaciones a partir de las Estadsticas Bsicas del Sistema Educativo Nacional.

    14.0

    13.5

    13.0

    12.5

    12.0

    11.5

    11.0

    10.5

    10.0

    9.5

    9.0

    8.5

    8.0

    7.5

    7.0

    6.5

    6.0

    5.5

    5.0

    4.5

    4.0

    3.5

    3.0

    2.5

    2.0

    1.5

    1.0

    0.5

    0.0

    Desercin en secundaria por entidad federativa, 2003-2004

    AGS

    BC BCS

    CAM

    P

    COAH CO

    L

    CHIS

    CHIH DF

    DGO

    GTO

    GRO

    HGO

    JAL

    MEX

    MIC

    H

    MO

    R

    NAY N

    L

    OAX PU

    E

    QRO Q

    R

    SLP

    SIN

    SON

    TAB

    TAM

    PS

    TLAX VE

    R

    YUC

    ZAC

    Entidades

    Porc

    enta

    je

    a) Cul es el estado con mayor porcentaje de desercin escolar?

    b) Y cul es el estado con menor porcentaje de desercin?

    c) Cul es el porcentaje de desercin nacional en secundaria?

    d) Con respecto al porcentaje de desercin nacional, cuntos estados estn por arri-

    ba de l?

    e) Cuntos estados estn por debajo de l?

    MAT3 B2 S12.indd 140 6/20/08 5:02:50 PM

  • 141

    MATEMTICAS III3. La siguiente grfica muestra el ndice de reprobacin total del nivel secundaria y el

    ndice de reprobacin entre cada grado de ese nivel (se llama intracurricular).

    30

    29

    28

    27

    26

    25

    24

    23

    22

    21

    20

    19

    18

    17

    16

    15

    14

    13

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    2

    2

    1

    0

    Reprobacin en secundaria por entidad federativa, 2003-2004AG

    S

    BC BCS

    CAM

    P

    COAH CO

    L

    CHIS

    CHIH DF

    DGO

    GTO

    GRO

    HGO

    JAL

    MEX

    MIC

    H

    MO

    R

    NAY N

    L

    OAX PU

    E

    QRO Q

    R

    SLP

    SIN

    SON

    TAB

    TAM

    PS

    TLAX VE

    R

    YUC

    ZAC

    Entidades

    Porc

    enta

    je

    Fuente: SEP, estimaciones a partir de las Estadsticas Bsicas del Sistema Educativo Nacional.

    Intracurricular Total

    a) Cunto ms aument la reprobacin intracurricular con respecto a la reproba-

    cin total en Aguascalientes?

    b) En qu entidad o estado la reprobacin intracurricular fue mayor?

    c) El estado con mayor reprobacin total es el mismo que tiene mayor reprobacin

    intracurricular?

    d) Qu estado tiene la menor reprobacin intracurricular?

    4. Consideren los valores de los ndices de desercin, de reprobacin nacional y de repro-bacin intracurricular de los problemas 2 y 3 para contestar las siguientes preguntas:

    a) Cul consideran que es el estado que tiene mayores problemas en estos aspectos?

    Por qu?

    MAT3 B2 S12.indd 141 6/20/08 5:02:51 PM

  • 142

    secuencia 12b) Nuevamente, utilicen la informacin de los problemas 2 y 3. Comparen ese estado

    con respecto a la valores de los indicadores a nivel nacional, escriban una conclu-sin y presntenla a su grupo.

    c) Observen los indicadores que corresponden al estado en que viven. Con respecto a los indicadores nacionales, cmo se encuentran los indicadores de su estado, son superiores o inferiores? Describan cul es la situacin de los indicadores de su es-tado con respecto a los otros estados y a nivel nacional, y presntenla a su grupo.

    5. El ndice de Desarrollo Social (IDS) permite identificar contrastes y marcadas desigual-dades entre los habitantes de una entidad, municipio o localidad. Se forma al consi-derar aspectos de educacin, salud, trabajo y vivienda. Este ndice se clasifica en cinco categoras:

    Categora Valor del ndice

    Muy alto 0.875-1.0

    Alto 0.750-0.874

    Medio 0.625-0.749

    Bajo 0.500-0.624

    Muy bajo Menos de 0.5

    La siguiente grfica muestra el ndice de desarrollo social por grupo de edad.

    ndices de desarrollo social por grupo de edad, 2000

    0-5 6-14 15-24 25-44 45-59 60ms

    Grupo de edad

    ndi

    ce d

    e de

    sarr

    ollo

    soc

    ial

    Fuente: Estimacin del Consejo Nacional de Poblacin con bases en el XII Censo de Poblacin y Vivienda, 2000.

    1.000

    0.900

    0.800

    0.700

    0.600

    0.500

    0.400

    0.300

    0.200

    0.100

    0

    a) Cul grupo de edad tiene el mayor ndice de desarrollo social?

    En qu categora se encuentra?

    b) Cul es el ndice de desarrollo social de la poblacin entre 6 y 14 aos?

    En que categora se encuentra?

    c) Cul es el menor ndice de desarrollo social?

    MAT3 B2 S12.indd 142 6/20/08 5:02:52 PM

  • 143

    MATEMTICAS IIId) Cul es el grupo de edad a que corresponde ese ndice?

    e) En qu categora se encuentran? Por qu crees que este grupo

    de edad tiene menor ndice de desarrollo social?

    6. Vayan a una tienda cerca de su casa o escuela. Obtengan el precio y la presentacin de cuatro productos que consideren bsicos (por ejemplo: arroz, frjol, harina, aceite) u otros productos que el equipo decida. Anoten la fecha y regresen en un mes a pre-guntar por la misma informacin.

    a) Qu problemas tuvieron para recolectar dicha informacin?

    b) Ha cambiado el precio de esos productos?

    c) Utilicen un ndice para expresar dichos cambios y escriban una conclusin.

    Para saber msSobre ndices en la educacin bsica, consulten:http://sieeb.basica.sep.gob.mxRuta 1: Estadstica por servicio de la Educacin Bsica SecundariaSeleccionar segn su inters el ciclo escolar, modalidad, nivel y sostenimiento. Ruta 2: Reportes interactivos estadstica de la educacin bsica. Seleccionar segn su inters el ciclo escolar, nivel educativo, modalidad, Sostenimiento y entidad federal.[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Sistema de Informacin de Estadstica de la Educacin Bsica. SEP.

    Sobre cmo se juega el beisbol, consulten:http://www.ibaf.tv/es/index.php?option=com_content&task=view&id=22&itemid=45[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Federacin Internacional de Beisbol.

    Sobre el ndice nacional de precios al consumidor, consulten:http://www.banxico.org.mx/inpc[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Ruta 1: INPC Definicin Importancia Papel del Banxico.Ruta 2: Elaboracin INPC Medicin Proceso Identificacin Obtencin Clculo INPC.Ruta 3: Cambio de base Base de comparacin Importancia.

    Sobre el ndice de desarrollo social, consulten:http://www.conapo.gob.mx/publicaciones/desarrollo/001.pdf[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Consejo Nacional de Poblacin.

    MAT3 B2 S12.indd 143 6/20/08 5:02:52 PM

  • 144

    secuencia 13

    En esta secuencia aprenders a resolver situaciones en las que inter-viene el azar mediante un proceso denominado simulacin, que con-siste en disear, para una situacin aleatoria real, una segunda situa-cin aleatoria cuyos eventos tengan la misma probabilidad de ocurrir que en la primera, con la ventaja de que en esta segunda situacin podemos observar, calcular y utilizar los resultados para obtener informacin de la situacin original.

    SIMULACINManos a la obrai. Unacompaaquevendepaquetesdecerealesbuscaincrementarsusventasofre-

    ciendoanimalesdeplstico,unoporcadapaquete.Sontresanimalesdiferentes(ele-fantes,leonesyjirafas)ysedistribuyendemanerauniformeenlascajasdecerealdeesacompaa.Sihoycompraraunacajadecerealdeesacompaa,culsera laprobabilidaddequemetoqueunelefante?

    Unaopcinseracomprarmuchascajasdecerealconbaseenlasfigurasdeanimalesquesalganyrealizarelclculo.Otra,mseconmicaconsisteenutilizaralgunodelossiguientesmaterialesyrealizarconellosunasimulacindeculanimaldeplsti-copodrasalirenunadeesascajasdecereal.

    1 2

    a) Completenlassiguientestablas:

    SeSIN 1

    Simulacin

    MAT3 B2 S13.indd 144 6/20/08 5:03:15 PM

  • 145

    MATEMTICAS III

    ii. Ahoracadaequiposeleccioneeldadoolaurnaconcanicas,yensucuadernoanotenlosresultadosenunatablacomolasiguiente.Realicenelexperimento50veces.

    Nmero de ensayo

    Resultados

    En la simulacin con el material

    que seleccionaron

    En la situacin aleatoria

    a) De acuerdo con los resultados que obtuvieron,cul fue el resultado quems veces apareci?

    b) Segn losresultadosdeesteexperimentodesi-mulacin,culeslaprobabilidadfrecuencialdequemetoqueunacajadecerealconunelefante?

    Material: Dado

    Resultados posibles que pueden obtenerse al lanzar un dado

    Cules de los resultados posibles de lanzar un dado representaran que el animal de plstico que sali de la caja de cereal era un elefante?

    Cules corresponderan a una jirafa?

    Cules corresponderan a un len?

    Material: Urna de canicas

    Resultados posibles que pueden obtenerse al extraer una canica

    Entre una extraccin y otra, ser necesario regresar la canica a la caja? Por qu?

    Cules de los resultados posibles de extraer una canica representaran que el animal de plstico que sali de la caja de cereal era un elefante?

    Cules corresponderan a una jirafa?

    Cules corresponderan a un len?

    Recuerden que:

    La probabilidad frecuencial es un valor obtenido de la experiencia de algn fenmeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen. La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotar P(A), se obtiene dividiendo el nmero de veces que ocurre el evento entre el nmero total de veces que se realiz el experimento.

    P(A) =

    Nmero de veces que ocurre el evento

    Nmero de veces que se realiza el experimento

    MAT3 B2 S13.indd 145 6/20/08 5:03:15 PM

  • 146

    secuencia 13iii.Considerenlascondicionesdelproblemaoriginal:

    Unacajadecerealpuedecontenerunelefantedeplsticoounlenounajirafa.

    a) Silaempresadistribuydemanerauniformeesosanimalesdeplsticoenlasca-jas, cules laprobabilidadclsicadequeal comprarunacajadecereal, sta

    contengaunelefantedeplstico?

    b) Apartirdelosresultadosdelasimulacinconeldado,culeslaprobabilidadfrecuencialdequeelanimaldeplsticoquemetoqueenlacajadecerealseaun

    elefante?

    c) Y si se consideran los resultados de la simulacin con la urna de canicas?

    d) Culdeestosvaloresdelasprobabilidadesfrecuenciales(incisosbyc)esms

    cercanoalvalordelaprobabilidadclsica(incisoa)?

    Recuerden que:

    Para obtener la probabilidad clsica de un evento no se requiere de

    la realizacin de experimentos, como en la probabilidad frecuencial,

    sino de conocer dos datos:

    El nmero de todos los resultados posibles que se pueden dar en

    una situacin de azar.

    El nmero de resultados favorables de un evento de esa situacin.

    Se llama probabilidad clsica de un evento al nmero P(e) que se

    obtiene por medio del cociente:

    P(e) = Nmero de resultados favorables del event

    o

    Nmero total de resultados posibles

    A lo que llegamosLa simulacin consiste en disear, para una situacin aleatoria real (problema), una situacin aleatoria cuyos eventos tienen la misma probabilidad clsica de ocurrir que los de la primera situacin, con la ventaja de que en la simulacin podemos observar los resultados y calcular los valores de la probabilidad frecuencial y utilizarlos para obtener informacin sobre el problema. Para poder realizar una simu-lacin es posible utilizar algn material u objeto manipulable como urnas, dados, monedas, ruletas, tabla de nmeros aleatorios, etctera.

    MAT3 B2 S13.indd 146 6/20/08 5:03:16 PM

  • 147

    MATEMTICAS IIILo que aprendimos1. Enunhospital,dosbebsestnapuntodenacer.Sequieresaberculeslaprobabi-

    lidaddelossiguienteseventos:

    A: Los dos recin nacidos son nias.

    B: Los dos recin nacidos son nios.

    C: Un recin nacido es nia y el otro nio.

    a) b)

    a) Quresultadodelamonedaasociarasalnacimientodeunvarn? Y

    aldeunania?

    b) Deacuerdoconloanteriorquinterpretacindarasalhechodequeallanzarlas

    dosmonedasunacayeraguilaylaotrasol?

    c) Qu resultadosde laurnade canicas representaran al nacimientodeun varn?

    Yaldeunania?

    d) Cuntascanicasesconvenientetomarencadaextraccin?

    e) Entreunaextraccinyotra,sernecesarioregresarlascanicasalaurna?

    Porqu?

    APLICANDO LA SIMULACINPara empezarElcontroldecalidaddeproductosesunejemplodelasreasenquelasimulacinresul-tadegranayuda.

    SeSIN 2

    MAT3 B2 S13.indd 147 6/20/08 5:03:21 PM

  • 148

    secuencia 13

    Consideremos lo siguienteCon36kgdevidriolquidosefabrican36botellas.Enelvidriolquidohay36impurezasrepartidasdemaneraaleatoria.

    a) Creenquecadabotellatendrunaimpureza?

    b) Creenquehayabotellassinningunaimpurezaybotellasconmsdeunaimpureza?

    c) Creenquehayamsbotellasconunaimpurezaomscondosimpurezas?

    Comentensusrespuestasconsuscompaeros.

    Manos a la obrai. Sepuedesimularlasituacinanteriorcondosdadosdistinguibles,porejemplo,uno

    azulyunorojo.

    Los36resultadosposiblesquehayallanzarlosdosdadosrepresentanlas36botellas.Enlasiguientecuadrculasemuestranesos36resultadosposibles,cadaunodeloscualesrepresentaunabotelladelproblemaplanteado.Porejemplo, lacelda(3, 4)representaalabotella16.

    Dado B

    1 2 3 4 5 6

    Dad

    o A

    1Resultado posible

    1, 1Botella

    1

    Resultado posible1, 2

    Botella2

    Resultado posible1, 3

    Botella3

    Resultado posible1, 4

    Botella4

    Resultado posible1, 5

    Botella5

    Resultado posible1, 6

    Botella6

    2Resultado posible

    2, 1Botella

    7

    3

    Resultado posible3, 4

    Botella16

    4

    Resultado posible4, 3

    Botella21

    5Resultado posible

    5, 6Botella

    30

    6Resultado posible

    6, 5Botella

    31

    Deestemodo:

    Siallanzarlosdosdadoselresultadoes,porejemplo,(3, 4),seanotaunpuntoenesacelda,loquerepresentaquelabotella21contieneunaimpureza.

    MAT3 B2 S13.indd 148 6/20/08 5:03:22 PM

  • 149

    MATEMTICAS III Puedeocurrirqueunmismoresultado(tiro)seobtenga(osalga)msdeunavez,

    comosemuestraenlacuadriculaenlaquelacelda(3, 4)tienedospuntos,loquerepresentaquelabotella16contiene2impurezas.

    Esdecir,endosocasiones,enlosdadosazulyrojohancado3y4respectivamente.

    Lancenlosdados36vecesparadeterminardequmaneraestndistribuidaslasimpurezasenlasbotellas.

    Registrensusresultadosenlasiguientecuadricula.

    Dado B

    1 2 3 4 5 6

    Dad

    o A

    1Resultado posible

    1, 1Botella

    1

    Resultado posible1, 2

    Botella2

    Resultado posible1, 3

    Botella3

    Resultado posible1, 4

    Botella4

    Resultado posible1, 5

    Botella5

    Resultado posible1, 6

    Botella6

    2Resultado posible

    2, 1Botella

    7

    3Resultado posible

    3, 4Botella

    16

    4Resultado posible

    4, 3Botella

    21

    5Resultado posible

    5, 6Botella

    30

    6Resultado posible

    6, 5Botella

    31

    a) Cuntasceldasnotienenpunto?

    b) Lasceldasquenotienenningnpuntomarcadoindicanqueesabotella:

    Tieneunaimpureza.

    Tienedosimpurezas.

    Notieneimpureza.

    Tienemsdetresimpurezas.

    c) Cuntasceldastienensolamenteunpunto?

    d) Esposiblequeenunabotellaseencuentrenmsde5impurezas?

    Porqu?

    e) Segnlosresultadosqueobtuvieron,loscualessimulanunarevisinde36bote-

    llas,creesque,sirealizasotravezlasimulacin,seranlosmismos?

    Porqu?

    MAT3 B2 S13.indd 149 6/20/08 5:03:23 PM

  • 150

    secuencia 13ii. Completenlasiguientetablaydespuscontestenlaspreguntas:

    a) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeunabotellanotengaimpurezas?

    b) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeunabotellatengasolamenteunaimpureza?

    c) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeunabotellatengamsdetresimpurezas?

    d) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeunabotellatengaentreunaydosimpurezas?

    e) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeunabotellatengaalmenosdosimpurezas?

    Losvaloresdelasprobabilidadesfrecuencialesqueobtuvieronensuequipoalsimularlasituacinpuedeninterpretarsecomolosresultadosdelarevisindeunamuestrade36botellas.Detalmodoquesienelgruposeformaron10equiposycadaunoreali-zlasimulacin,entoncespodradecirsequehay10muestrasdiferentesdelproblemaplanteado.

    iii.Completenlasiguientetablaconlosvaloresdelaprobabilidadfrecuencialqueencadaequiposeobtuvoycalculenelpromediodeesasprobabilidades.Despusdehacerlo,contestenlassiguientespreguntas.

    Probabilidad frecuencial de:

    Valores de la probabilidad frecuencial por equipoPromedioEquipo

    1Equipo

    2Equipo

    3Equipo

    4Equipo

    5Equipo

    6Equipo

    7Equipo

    8Equipo

    9Equipo

    10

    Botellas sin impurezas

    Botellas con una impureza

    Botellas con dos impurezas

    Botellas con tres impurezas

    Botellas con ms de tres impurezas

    Al realizar la simulacin

    Lo que representa en el problema planteado

    Total de celdas sin punto

    Total de botellas sin impurezas

    Total de celdas con un punto

    Total de botellas con una impureza

    Total de celdas con dos puntos

    Total de botellas con dos impurezas

    Total de celdas con tres puntos

    Total de botellas con tres impurezas

    Total de celdas con ms de tres puntos

    Total de botellas con ms de tres impurezas

    MAT3 B2 S13.indd 150 6/20/08 5:03:23 PM

  • 151

    MATEMTICAS IIIa) Latablaanteriormuestralaprobabilidadfrecuencialpromediodecincoeventos

    quepuedenocurriralrevisarvarioslotesdebotellas.Culdeesoscincoeventos

    esmsprobablequeocurra? Porqu?

    b) Suponganquenohaydadospararealizarlasimulacinanterior,culdelossi-guientesexperimentosrealizaranparasimularlasituacinoriginal?Mrquenloconuna .

    Unabolsacondocepapelitosnumeradosdel1al6,detalmaneraqueha-brdospapelitosdecadanmero;seextraeunpardepapelitos,seanotanlosnmerosyseregresan.

    Dosbolsascadaunaconseispapelitosnumeradosdel1al6;seextraeunpapelitodecadabolsa,seanotaelnmeroyseregresan.

    Docepapelitosenunabolsanumeradosdel1al12;seextraeunpapelito,seanotaelnmeroyseregresa.

    Dosbolsascadaunaconseispapelitosnumeradosdel1al6;seextraeunpapelitodecadabolsa,seanotaelnmeroynoseregresan.

    c) Segnlosresultadosqueobtuvieron,alreunirlosdecadaequipo,creenquesi

    realizanotravezlasimulacinseranlosmismos? Porqu?

    SIMULACIN Y TIROS LIBReSConsideremos lo siguienteUnjugadordebasquetbolvaalanzartrestiroslibres.Laestadsticaindicanquelapro-babilidaddequeencesteuntiroes0.5.Losresultadosentreuntiroyotrosonindepen-dientes.

    Culeslaprobabilidaddequeeljugadorencesteen20intentostrestiroslibresseguidos?

    Sepuederesponderestapreguntahaciendounasimulacin:

    Deunacajaquecontienediezpapelitosiguales,numeradosdel0al9,seextraeunpa-pelito,seregistraelnmeroobtenidoyseregresaalacaja.Serepiteesteproceso20ve-ces.Elresultadodecadaextraccinrepresentaunaciertoounfallodeltirolibre.

    Observenlasiguientetablaconlosresultadosde20extracciones,querepresentanlosresultadosde20tiroslibres.

    Resultados

    Nmero del papelito que extrae 1 9 2 2 3 9 5 0 3 4 0 5 7 5 6 2 8 7 1 3

    Resultado del tiro libre

    A = acierto F = falloA F A A A F F A A A A F F F F A F F A A

    Serie de tres tiros libres acertados

    a) Qunmerosseutilizaronparaindicarqueeltirolibrefueencestado?

    SESIN 3

    MAT3 B2 S13.indd 151 6/20/08 5:03:24 PM

  • 152

    secuencia 13b) Yparasealarqueeltirosefall?

    c) Laprimeraseriedetrestirosseguidoses:

    A F A A A F F A A A A F F F F A F F A A

    Primera serie de tiros libres seguidos

    Lasegundaseriedetrestirosseguidoses:

    A F A A A F F A A A A F F F F A F F A A

    Segunda serie de tiros libres seguidos

    Laterceraseriedetrestirosseguidoses:

    A F A A A F F A A A A F F F F A F F A A

    Tercera serie de tiros libres seguidos

    Cuntasseriesdetrestirosseguidosseobtendranentotal?

    d) Cuntasseriesdetrestirosseguidosseransihubieransidocincotiros?

    Yenseistiros?

    e) Yen10tiros?

    f) Yen20tiros?

    g) Deacuerdoconlasimulacinde20tirosqueserealiz,cuntasseriesdetrestiros

    libreshaacertadoeljugador? Cuntalosenlaprimeratabla.

    h) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeen20tiroseljugadorencestetrestiros

    libresseguidos?

    Comparensusrespuestasconlasdeotrasparejasdecompaeros

    Manos a la obrai. Realicenlasimulacinanterior.Ensucuaderno,debernelaborarunatablacomola

    anterioryanotarlosresultadosde200tiroslibres.Luego,contestenlassiguientespreguntas:

    a) Deacuerdoconlasimulacinquerealizaron,cuntasseriesdetrestiroslibres

    hayen200tiros?

    MAT3 B2 S13.indd 152 6/20/08 5:03:25 PM

  • 153

    MATEMTICAS IIIb) Cuntasseriesdetrestiroslibresseguidoshaacertadoeljugador?

    c) Deacuerdoalosresultadosobtenidosensusimulacinculeslaprobabilidad

    frecuencialdeque,en200intentos,eljugadoranotetrestiroslibresdemanera

    consecutiva?

    d) Siconsideramosqueeljugadortieneunaprobabilidaddeanotarde0.5encada

    tiro,culeslaprobabilidadclsicadequeaciertelostrestiros?

    e) Comparen sus respuestas. Qu tan cercana es la probabilidad frecuencial que

    obtuvieron en el inciso c) con respecto a la probabilidad clsica del inciso d)?

    f) DequotramanerasepodrasimularlasituacinquesepresentaenelapartadoConsideremos lo siguiente?

    Enlamayoradelosexperimentosdesimulacin,paraobtenerresultadosconfiablessenecesitarealizarunnmerograndederepeticiones.

    ii. Realicenlossiguientesdosexperimentos.Losresultadosqueobtenganlosutilizarnenlasiguienteactividad.

    a) Deunaurnaquecontienecuatrocanicasdecoloresdiferentes,comolaquesemuestraaladerecha,seextraeunacanica:

    Observensucoloryanotenenlaslneaselnmeroquelecorrespondealcolorquesacaste,deacuerdoconelcdigoquesepresentaenlasiguientetabla.

    Color de la canica Nmero que anotas

    Rojo 1

    Azul 2

    Verde 3

    Amarillo 4

    Luego,regresenlacanicaalaurnayrealicenotraextraccin.

    Repitanelprocesohastacompletar50extracciones.

    b) Lancenundado50veces.

    Anotencadanmeroquecaeenlassiguientesceldas.

    Resultados

    MAT3 B2 S13.indd 153 6/20/08 5:03:28 PM

  • 154

    secuencia 13iii.Imaginenque,enlugardeutilizarlos10papelitosparasimularellanzamientodel

    tirolibre,utilizanlosresultadosqueobtuvieronconlaurnadecanicasyeldadoenlaactividadanterior.

    a) Cmoutilizaranlosnmerosobtenidosenlaurnaparasealarelresultadode

    lostrestiroslibres?

    b) Enelcasodelalistaobtenidaconeldado,cundoserepresentaraunaciertoy

    cundounfallo?

    c) Elijanunadelasdoslistas.Deacuerdoconlasimulacinquerealizaron,cuntas

    seriesdetrestiroslibreshaconseguidoeljugador?

    d) Cuntasseriesdetrestiroslibreshaacertadoeljugador?

    e) Culeslaprobabilidadquetieneeljugadordeanotartrestiroslibresseguidosen

    20intentos?

    A lo que llegamosCuando un conjunto de nmeros se genera al azar, se llama conjunto de nmeros aleato-rios. Esos conjuntos pueden estar formados por los dgitos (por ejemplo, cuando usamos los 10 papelitos); por los nmeros del 1 al 4 (con las canicas de colores) y con los nme-ros del 1 al 6 (con el dado).

    Lo que aprendimos1. Silaprobabilidaddeencesteoanotacindeljugadordebasquetbolesde0.7:

    a) Qunmerosenlospapelitosutilizarasparaindicarqueeltirolibreesencestado?

    b) Qunmerosutilizarasparasealarquesefalleltiro?

    c) Deacuerdoconlasimulacinqueserealiz,culesseranlosnuevosresultadosdelasanotaciones?Completalatabla.

    Resultados

    Nmero del papelito que extrae 1 9 2 2 3 9 5 0 3 4 0 5 7 5 6 2 8 7 1 3

    Resultado del tiro libre

    A = acierto F = fallo

    Serie de tres tiros libres acertados

    MAT3 B2 S13.indd 154 6/20/08 5:03:29 PM

  • 155

    MATEMTICAS IIId) Cuntasseriesdetrestiroslibreshaacertadoeljugador? Cuntalos

    enlatablaanterior.

    e) Culeslaprobabilidadfrecuencialdequeeljugadorencestetrestiroslibresse-

    guidos?

    f) Siconsideramosqueeljugadortieneunaprobabilidaddeanotarde0.7encadatiroyqueson lanzamientos independientes,cules laprobabilidadclsicade

    queanotelostrestiros?

    g) Comparaestaprobabilidadclsicaconlaprobabilidadfrecuencialdequeeljuga-doranotelostrestiros.Porcuntoseaproximalaprobabilidadcalculadaenel

    incisoe)alaprobabilidadclsica?

    2. Imaginaquerespondesaunexamendediezpreguntasconfalsooverdadero,perosloconoceslasrespuestasdecincopreguntas.

    a) Cmosimularasestasituacin?Escrbelaentucuaderno.

    b) Culeslaprobabilidaddeaprobarelexamensirespondesalazarlasotrascinco

    preguntas?

    Para saber msSobre cmo se realiza una simulacin en el experimento de Buffon al encontrar una manera para aproximar el valor de pi (), consulta:http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].

    MAT3 B2 S13.indd 155 6/20/08 5:03:29 PM

  • 156

    Bibliografa

    matemticas I I Ise imprimi por encargo de la Comisin Nacional de Libros de Texto Gratuitos,

    en los talleres de , el mes de de 2008.

    El tiraje fue de ejemplares.

    Gonzlez,Roberto.Elaumentodelpreciodelatortillasigueafec-tandolainflacin:BancodeMxico.La Jornada,23defebrerode2007[recuperadoel2deabrilde2008dehttp://www.jorna-da.unam.mx/2007/02/23/index.php?section=economia&article=022n2eco].

    -En9meseselactualgobiernoencareci34.17%losbsicos.La Jornada,20deseptiembrede2007[recuperadoel2deabrilde2008dehttp://www.jornada.unam.mx/2007/09/20/index.php?section=economia&article=033n1eco].

    Grandjean,AnnySheilaCampbell.Hidratacin: lquidos para la vida.Mxico:ILSIdeMxico,A.C.,2006[recuperadoel16deabrilde2008dehttp://www.nutrinfo.com/pagina/e-books/hidrat.pdf].

    Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica, 23agosto2003[recuperadoel3deabrilde2008dehttp://www.inegi.gob.mx].

    SEP.Fichero. Actividades didcticas. Matemticas. Educacin Se-cundaria.Mxico,2000.

    - Libro para el maestro. Matemticas. Educacin Secundaria.Mxico,2000.

    -24septiembre2007[recuperadoel3deabrilde2008dehttp://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/index.htm].

    SEP/ILCE.Matemticas con la hoja electrnica de clculo.Ense-anza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educacin Secundaria.Mxico,2000.

    -Geometra dinmica. Enseanza de las Matemticas con Tecno-loga (Emat). Educacin Secundaria.Mxico,2000.

    -Biologa. Enseanza de las Ciencias a travs de Modelos Mate-mticos (Ecamm). Educacin Secundaria.Mxico,2000.

    MAT3 B2 S13.indd 156 6/20/08 5:03:30 PM

  • 157

    MATEMTICAS III

    BLOqUeS ALgeBRAICOS

    anexo 1

    Recortables

    1

    x

    x 2

    x 1

    x 2

    x 2

    x 2

    1

    x 1

    x 1

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

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  • MAT3 B2 S13.indd 158 6/20/08 5:03:31 PM

  • 159

    MATEMTICAS IIIanexo 2Ingestin de agua a partir de alimentos y bebidas consumidos frecuentemente

    BEBIDAS NO ALCOHLICASAgua, t preparado, caf preparado, refrescos de dieta, t enlatado/embotellado, bebidas deportivas, limonada, jugo vegetal.

    90% a 100%

    Leche (descremada, 1%, 2%; entera; chocolate), refrescos (regular), jugo de frutas, bebidas de frutas.

    85% a 90%

    SOPAConsom, cebolla francesa, carne y vegetales, de verduras, jitomate, crema de hongos (elaborada con agua).

    90% a 95%

    Pasta con pollo, concentrado de verduras, sopas concentradas, jitomate, crema de hongos (elaborada con leche).

    80% a 90%

    FRUTAS Y VERDURASFresa, meln, toronja, uva, durazno, pera, naranja, manzana, pepino, lechuga, apio, jitomate, calabaza, brcoli, cebolla, zanahoria

    80% a 85%

    Pltano, papa, maz 70% a 75%

    LCTEOS Queso cottage y yogur 75% a 80%

    Pudn, malteada, licuado con huevo 70% a 75%

    Helado 50% a 60%

    Queso 40% a 50%

    Fuente: Grandjean, Ann y Sheila Campbell. Hidratacin: lquidos para la vida. Mxico: ILSI de Mxico, A.C., 2006 [recuperado el 2 de abril de 2008 de http://www.ilsi-mexico.org/publicaciones].

    CEREALESCereales preparados 85% a 90%

    Arroz y pasta 65% a 80%

    Pan, bagels, bsquets 30% a 45%

    Cereales para desayunar, listos para comer

    2% a 5%

    CARNE, PESCADO, HUEVOSPescados y mariscos 70% a 80%

    Huevos (revueltos, fritos), omelette, sustituto de huevo

    65% a 80%

    Res, pollo, cordero, cerdo, pavo, ternera 45% a 65%

    Cecina, tocino 15% a 30%

    PLATILLOS COMBINADOSEstofado, pasta con carne, cacerolas (con y sin carne), tacos, enchiladas, macarrn con queso

    60% a 80%

    Pizza 50% a 60%

    BEBIDAS QUE SUSTITUYEN COMIDASTodas las bebidas para prdida de peso, aumentar msculos y reemplazar comidas

    70% a 85%

    SEMILLAS Y NUECES 1% a 5%

    SALSASSalsas 50% a 85%

    Aderezos (salsa, base crema agria, frijol) 70% a 90%

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    MAT3 B1 S01MAT3 B2 S08