Matemticas 2o. Grado Volumen II

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Libro de Texto RIEB 2013-2014

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  • II

    II2d

    o G

    rado

    Vo

    lum

    en II

    matemticaS2do Grado Volumen II

    mat

    em

    tica

    S

    SUSTITU

    IR

    MAT2 LA Vol2 portada.indd 1 9/3/07 3:25:37 PM

  • matemticas II2do Grado Volumen II

    MAT2 B3 S18.indd 1 9/10/07 3:36:24 PM

  • Matemticas II. Volumen II fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

    AutoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce,Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia Garca Pea,Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero,Jess Rodrguez Viorato

    Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

    Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

    Primera edicin, 2007Sexta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

    D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

    ISBN 978-970-790-951-9 (obra completa)ISBN 978-968-01-1456-6 (volumen II)

    Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

    Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

    DiseoZona Grfica

    DiagramacinBruno Contreras, Erandi Alvarado,Vctor M. Vilchis Enrquez

    IconografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

    IlustracinGustavo Crdenas, Curro Gmez, Gabriela Podest, Vctor Sandoval

    FotografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

    LPA-MATE-2-V2-LEGAL-13-14.indd 2 15/05/12 13:38

  • ndice

    Mapa-ndice

    Clave de logos

    BLOqUE 3

    secuencia 18 Sucesiones de nmeros con signo

    secuencia 19 Ecuaciones de primer grado

    secuencia 20 Relacin funcional

    secuencia 21 Los polgonos y sus ngulos internos

    secuencia 22 Mosaicos y recubrimientos

    secuencia 23 Las caractersticas de la lnea recta

    BLOqUE 4

    secuencia 24 Potencias y notacin cientfica

    secuencia 25 Tringulos congruentes

    secuencia 26 Puntos y rectas notables del tringulo

    secuencia 27 Eventos independientes

    secuencia 28 Grficas de lnea

    secuencia 29 Grficas formadas por rectas

    BLOqUE 5

    secuencia 30 Sistemas de ecuaciones

    secuencia 31 Traslacin, rotacin y simetra central

    secuencia 32 Eventos mutuamente excluyentes

    secuencia 33 Representacin grfica de sistemas de ecuaciones

    Bibliografa

    Recortables

    4

    9

    10

    12

    24

    40

    60

    70

    82

    100

    102

    122

    132

    150

    168

    184

    194

    196

    214

    230

    244

    258

    259

    MAT2 B3 S18.indd 3 9/10/07 3:36:27 PM

  • 4Blo

    qu

    e 1

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    1.Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    .

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nmultiplicacione

    sy

    division

    esden

    meroscon

    signo

    .

    1.1

    Losn

    meroscon

    signo

    Losn

    meroscon

    signo

    Muc

    hasman

    erasdeha

    cerlom

    ismo1y2(Log

    o)

    Cm

    o restam

    osnm

    eroscon

    signo

    ?(Calcu

    lado

    ra)

    1 .2

    Mu ltip lica cion e

    s d e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    Mu ltip lica cinyd iv isi n

    den

    me ro sco n

    sign o

    1 .3

    M sm

    u ltip lica cion e

    sd e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    1.4

    Lare

    glade

    lossign

    os1

    Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    1.5

    Lare

    glade

    lossign

    os2

    Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    2.Prob

    lemasaditivo

    sco

    nexpresione

    salge

    braicas.

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nadicin

    ysustraccin

    de

    expresione

    salge

    braicas.

    2.1

    Losga

    lline

    ros

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    Rectn

    gulosde

    diferen

    testama

    os(L

    ogo)

    2.2

    A med

    irco

    ntorno

    sSu

    maco

    npo

    linom

    ios(Calcu

    lado

    ra)

    2.3

    Latab

    lanum

    rica

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    2.4

    Cuad

    rado

    s mg

    icosynm

    eroscon

    secu

    tivo

    sLam

    agiadelosch

    inos

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    3.Expresione

    s alge

    braicasymod

    elosgeo

    mtric

    os.

    Re

    cono

    ceryob

    tene

    rexpresione

    salge

    braicaseq

    uivalentesa

    partirde

    lempleo

    demod

    elosgeo

    mtric

    os.

    3.1

    Expresione

    seq

    uivalentes

    Mod

    elosgeo

    mtric

    osdeexpresione

    salge

    braicas

    3.2

    Msexp

    resion

    esequ

    ivalen

    tes

    Msexp

    resion

    esequ

    ivalen

    tes

    Mod

    elosgeo

    mtric

    osdeexpresione

    salge

    braicas

    4.n

    gulos.

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nreco

    nocer,estimar

    y med

    irn

    gulos,utilizand

    oelgrado

    com

    oun

    idad

    demed

    ida.

    4.1

    Med

    idasden

    gulos

    Elgrado

    com

    oun

    idad

    demed

    ida

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    Clasificacin

    den

    gulos(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    4.2

    ngu

    los internosdetring

    ulos

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    Sumade

    losn

    gulosinterio

    resde

    untring

    ulo

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    4.3

    Ded

    uccin

    demed

    idasden

    gulos

    5.Re

    ctasyng

    ulos.

    Determinarm

    ediantecon

    struccione

    slaspo

    sicion

    esre

    lativas

    dedosre

    ctasenelplano

    yelabo

    rarde

    finicione

    sde

    rectas

    paralelas,pe

    rpen

    dicu

    laresyob

    licua

    s.

    Establecerre

    lacion

    esentrelo

    sn

    gulosqu

    eseforman

    al

    cortarsedosre

    ctasenelplano

    ,recon

    ocerng

    ulosopu

    estos

    porelvrticeyady

    acen

    tes.

    5.1

    Rectasque

    nosecortan

    Rectasyng

    ulos

    Trazode

    una

    paralela(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    5.2

    Rectasque

    seco

    rtan

    Rectasyng

    ulos

    Posicion

    esdedo

    srectasque

    seco

    rtan

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    5.3

    Relacion

    esentreng

    ulos

    Parejasde

    rectas

    Rectasyng

    ulos

    ngu

    losform

    adosporla

    interseccin

    dedo

    srectas

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    6.n

    gulos en

    trepa

    ralelas.

    Establecerla

    srelacion

    esentrelo

    sn

    gulosqu

    eseforman

    en

    tredo

    srectasparalelascortada

    spo

    run

    atran

    sversal.

    Justificar lasrelacion

    esentrela

    smed

    idasdelosn

    gulos

    interio

    resde

    lostring

    ulosyparalelog

    ramos.

    6.1

    ngu

    losco

    rrespo

    ndientes

    ngu

    losypa

    ralelas

    Paralelasysecante(Log

    o)

    6.2

    ngu

    los alternosin

    ternos

    Relacion

    esdelosn

    gulosen

    trepa

    ralelas

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    6.3

    Los n

    gulosen

    lospa

    ralelogram

    osyeneltri

    ngulo

    Relacion

    esim

    portan

    tes

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    7.Lare

    lacin

    inversade

    una

    relacin

    deprop

    orcion

    alidad

    directa.

    Determinarelfactorinversoda

    dauna

    relacin

    de

    prop

    orcion

    alidad

    yelfactorde

    propo

    rciona

    lidad

    fracciona

    rio.

    7.1

    Elpesoen

    otrosplane

    tas

    Elpesoen

    otrosplane

    tas

    Cu

    ntope

    sosie

    stoy

    enSa

    turno?(C

    alcu

    lado

    ra)

    7.2

    Europa

    yPlutn

    7.3

    Prob

    lemas

    Factoresdeprop

    orcion

    alidad

    Prop

    orcion

    alidad

    con

    Log

    o

    8.Prop

    orcion

    alidad

    mltiple.

    Elab

    oraryutilizarprocedimientospararesolverproblem

    asde

    prop

    orcion

    alidad

    mltiple.

    8.1

    Elvolum

    enLaprop

    orcion

    alidad

    mltiple

    Prop

    orcion

    alidad

    mltiple

    8.2

    Laexcursin

    8.3

    Msproblem

    as

    9.Prob

    lemasdeco

    nteo

    .

    Anticipa

    r resultad

    osenprob

    lemasdeco

    nteo

    ,con

    baseen

    la

    iden

    tific

    acinde

    regu

    larid

    ades.V

    erificarlosresultad

    os

    med

    iantearreglosre

    ctan

    gulares,diag

    ramasderbo

    luotros

    recu

    rsos.

    9.1

    Cm

    ono

    sestacion

    amos?

    Decu

    ntasform

    as?

    Diagram

    ade

    rbol

    9.2

    Lacasade

    cultura

    9.3

    Repa

    rto de

    dulces

    Diagram

    ade

    rbol

    Anticipa

    r resultad

    osenprob

    lemasdeco

    nteo

    10.P

    olgon

    osdefrecue

    ncias.

    Interpretarycom

    unicarin

    form

    acinmed

    iantepolgon

    osde

    frecue

    ncia.

    10.1Re

    zago

    edu

    cativo

    ygrfic

    as

    10.2An

    emiaenlapob

    lacin

    infantilmexican

    aPo

    lgon

    osdefrecue

    nciasen

    losrepo

    rtesdeinvestigacin

    10.3Q

    ugrfic

    autilizar?

    Polg

    onode

    frecu

    encias

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B3 S18.indd 4 9/10/07 3:36:28 PM

  • 5Blo

    qu

    e 2

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    11.

    Laje

    rarquade

    lasop

    eracione

    s.

    Utilizarla

    jerarquade

    lasop

    eracione

    sylospa

    rntesis

    sifue

    ranecesario,enprob

    lemasyclcu

    los.

    11.1Elc

    oncu

    rsode

    latele

    Elcon

    cursode

    latele

    Jerarquade

    lasop

    eracione

    s

    yusode

    parn

    tesis

    Aprend

    eacalcularcon

    Log

    o(Log

    o)

    11.2M

    sre

    glas

    Construc

    cin

    deprog

    ramasVII(Calcu

    lado

    ra)

    12.Multiplicacin ydivisin

    depo

    linom

    ios.

    Re

    solverproblem

    asm

    ultiplicativosque

    implique

    nel

    usode

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas.

    12.1Lo

    sbloq

    uesalge

    braico

    sLosbloq

    uesalge

    braico

    sMultiplicacinydivisin

    deexpresione

    salge

    braicas

    12.2Acub

    rirre

    ctn

    gulos

    Multiplicacinydivisin

    deexpresione

    salge

    braicas

    12.3C

    unto midelabase?

    13.Cu

    bos, prismasypir

    mides.

    Describir lascaractersticasde

    cub

    os,p

    rismasy

    pirmides.C

    onstruirde

    sarrollosplan

    osdecu

    bos,

    prismasypir

    midesre

    ctos.A

    nticipardiferen

    tesvistas

    deuncu

    erpo

    geo

    mtric

    o.

    13.1Desarrolla

    tuim

    aginacin

    Lageo

    metra

    atualrede

    dor

    Cub

    os,p

    rismasypir

    mides

    13.2M

    sdesarrollo

    splan

    osCub

    os,p

    rismasypir

    mides

    13.3El c

    uerpoesco

    ndido

    13.4Patrone

    syregu

    larid

    ades

    13.5Diferen

    tes pu

    ntosdevista

    Construc

    cion

    escon

    cub

    os

    14.Vo

    lumen

    deprismasypir

    mides.

    Justificarlasfrm

    ulasparacalcularelv

    olum

    ende

    cubo

    s,pris

    masypir

    midesre

    ctos.

    14.1La

    scajas

    Volumen

    decu

    bos,prismasypir

    mides

    14.2M

    svolm

    enesdeprismas

    Volumen

    decu

    bos,prismasypir

    mides

    14.3Arrozy

    volum

    enUna

    sfrm

    ulasseob

    tien

    endeotras

    Estimacinyclculode

    volm

    enes

    15.Ap

    licacin de

    volm

    enes.

    Estimarycalcu

    larelvolum

    endecu

    bos,prismasy

    pirmidesre

    ctos.

    Ca

    lculardatosdesco

    nocido

    s,da

    dosotrosrelacion

    ados

    conlasfrm

    ulasdelclcu

    lodevo

    lumen

    .

    Establecerre

    lacion

    esdevaria

    cin

    entrediferen

    tes

    med

    idasdeprismasypir

    mides.

    Re

    alizarcon

    versione

    sde

    med

    idasdevo

    lumen

    yde

    capa

    cida

    dyan

    alizarla

    relacin

    entreella

    s.

    15.1Eld

    ecm

    etrocb

    ico

    Estimacinyclculode

    volm

    enes

    15.2Cap

    acidad

    esyvolm

    enes

    Prob

    lemasprcticos

    15.3Variacion

    esEstimacinyclculode

    volm

    enes

    16.Co

    mpa

    racin

    desituacione

    sde

    propo

    rciona

    lidad

    .

    Resolverproblem

    asdeco

    mpa

    racin

    derazone

    s,co

    nba

    seenlanoc

    inde

    equ

    ivalen

    cia.

    16.1Elren

    dimientoco

    nstante

    Compa

    racin

    derazone

    s

    16.2La

    con

    centracin

    depintura

    Compa

    racin

    deco

    cien

    tes

    Compa

    racin

    derazone

    s

    17.Med

    idasdetend

    enciacentral.

    Interpretarycalcularlasm

    edidasdetend

    encia

    centralde

    unco

    njun

    todeda

    tosag

    rupa

    dos,

    consideran

    dodeman

    eraespe

    cialla

    sprop

    ieda

    desde

    lam

    ediaarit

    mtica.

    17.1Elp

    romed

    iodelgrupo

    enelexamen

    1

    17.2Elp

    romed

    iodelgrupo

    enelexamen

    2M

    edidasdetend

    enciacentral

    17.3La

    s calora

    squ

    eco

    nsum

    enlo

    sjvene

    sEstadsticas,a

    limen

    tosyotrassituacione

    sM

    edidasdetend

    enciacentral

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B3 S18.indd 5 9/10/07 3:36:30 PM

  • 6Blo

    qu

    e 3

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    1 8.S u

    c esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    [1

    2 -2 3

    ]

    C on stru irsuc esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    apa rtird e

    un a

    reglada

    da.O

    bten

    erla

    reglaqu

    ege

    nerauna

    suc

    esinde

    n

    meroscon

    signo

    .

    1 8.1 C

    u le

    slare

    g la ?

    S uc esio n

    e sden

    me ro s

    S uc esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    De sc ripc i n

    dep ro g

    rama s(C

    a lc u

    lad o

    ra)

    1 8.2N m

    e ro squ e

    crec en

    S uc esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    18.3De mayoram

    enor

    Sucesion

    esgeo

    mtric

    ascon

    Log

    o

    19.Ecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    [2

    4-39

    ]

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nelplanteamientoyla

    resolucin

    deecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    delaforma:

    ax +

    bx

    + c

    = dx

    + e

    x +

    fyco

    npa

    rntesisenun

    ooen

    am

    bosmiembrosdelaecu

    acin,utilizan

    docoe

    ficientes

    enterosofraccion

    arios,po

    sitivo

    sone

    gativo

    s.

    19.1Pien

    saunn

    mero

    Ecua

    cion

    es(2

    )(Hojade

    clcu

    lo)

    19.2Elm

    odelode

    labalan

    zaLabalan

    zaRe

    solucin

    deecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    Nm

    erosperdido

    s(Calcu

    lado

    ra)

    19.3Msall

    delm

    odelode

    laba

    lanz

    a

    19.4Miscelne

    ade

    problem

    as

    20.Re

    lacin

    fun

    cion

    al

    [40-

    59]

    Re

    cono

    ceren

    situa

    cion

    esproblem

    ticasasociad

    asa

    fen

    men

    osdelafsica,la

    biologa,la

    eco

    nomayotras

    disciplin

    as,lapresen

    ciade

    can

    tida

    desqu

    evara

    nun

    aen

    func

    inde

    laotrayrepresen

    tarestare

    lacin

    med

    ianteun

    atablaoun

    aexpresinalge

    braicadelaforma:y

    = a

    x +

    b.

    Construir, interpretaryutilizargrfi

    casde

    relacion

    esline

    ales

    asoc

    iada

    sadiversosfen

    men

    os.

    20.1Lacolade

    lastortillas

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    20.2Cm

    o ha

    blan

    portelfon

    o!Va

    riacin

    line

    a(2)(Hojade

    clcu

    lo)

    20.3Eltaxi

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    Grfic

    asdefunc

    ione

    s(Log

    o)

    20.4Elre

    sorte

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    Grado

    sFahren

    heitocen

    tgrad

    os?

    (Calcu

    lado

    ra)

    20.5Elplanpe

    rfecto

    Loscelulares

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    21.Los po

    lgon

    osysusng

    ulosin

    ternos

    [60-

    69]

    Estableceruna

    frmulaqu

    epe

    rmitacalcularla

    sum

    ade

    los

    ngu

    losinterio

    resde

    cua

    lquierpolgon

    o.

    21.1Tring

    ulosenpo

    lgon

    osTriang

    ulacione

    ssimplesdelos

    polg

    onoscon

    vexo

    sn

    gulos interio

    resde

    unpo

    lgon

    o

    21.2U

    nafrmulapa

    rala

    sum

    ade

    los

    ngu

    losinternos

    ngu

    losinterio

    resde

    unpo

    lgon

    oMed

    icinde

    perm

    etrosyn

    gulos

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    22.Mosaico

    s yrecu

    brim

    ientos

    [70-

    81]

    Co

    nocerlascaractersticasde

    lospo

    lgon

    osque

    permiten

    cu

    brirelplano

    yre

    alizarre

    cubrim

    ientosdelplano

    .

    22.1Re

    cubrim

    ientosdelplano

    Que

    noqu

    edena

    dasincub

    rirCu

    brim

    ientosdelplano

    Recu

    brim

    ientode

    lplano

    con

    polgon

    os

    regu

    lares(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    22.2Losre

    cubrim

    ientoscon

    polgon

    os

    irreg

    ulares

    Cubrim

    ientosdelplano

    22.3Algu

    nas co

    mbina

    cion

    esCu

    brim

    ientosdelplano

    23.Las caractersticasde

    lalne

    arecta

    [82-

    99]

    An

    ticipa

    r elcom

    portam

    ientode

    grfic

    asline

    alesdelaforma

    y =

    mx

    + b,cua

    ndosem

    odificaelv

    alorde

    bmientraselvalor

    dem

    perman

    ececo

    nstante.

    An

    alizarelc

    ompo

    rtam

    ientode

    grfic

    asline

    alesdelaforma

    y =

    mx

    + b,cua

    ndocambiaelvalorde

    m,m

    ientraselvalor

    debperman

    ececo

    nstante.

    23.1Pend

    ienteyprop

    orcion

    alidad

    Rectasque

    crecen(C

    alcu

    lado

    ra)

    Qu

    grfic

    asc

    recenm

    srp

    ido?

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.2Las pe

    ndientesneg

    ativas

    Ecua

    cin

    delare

    ctay=

    mx

    + b

    Grfic

    asque

    de

    crecen

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.3Laorden

    adaalorig

    enRe

    ctasparalelas

    Ecua

    cin

    delare

    cta

    y =

    mx

    + b

    Analizan

    dogrfic

    asderectas

    (Hoja de

    clcu

    lo)

    Unpu

    ntoim

    portan

    teenun

    arecta

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.4Miscelne

    a de

    problem

    asyalgoms

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B3 S18.indd 6 9/10/07 3:36:31 PM

  • 7S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

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    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    24.Po

    tenc

    iasyno

    tacin

    cientfica

    [102

    -121

    ]

    Elab

    orar,u

    tilizaryju

    stificarproc

    edim

    ientosparacalcular

    prod

    uctosyco

    cien

    tesde

    poten

    ciasenteraspositivasdela

    mismaba

    seypoten

    ciasdeun

    apo

    tenc

    ia.

    Interpretarelsignific

    adode

    elevarun

    nm

    erona

    turala

    una

    po

    tenc

    iadeexpo

    nentene

    gativo

    .

    Utilizarla

    notacincien

    tfic

    apa

    rare

    alizarclcu

    losen

    losqu

    einterviene

    ncantidad

    esm

    uygrand

    esom

    uypeq

    uea

    s.

    24.1Prod

    uctodepo

    tenc

    ias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesI(Calcu

    lado

    ra)

    24.2Po

    tenc

    ias de

    poten

    cias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    24.3Co

    cien

    tes de

    poten

    cias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesIII(Ca

    lculad

    ora)

    24.4Expo

    nentesneg

    ativos

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesIIyIV

    (Calcu

    lado

    ra)

    24.5Notacin cien

    tfic

    aNm

    erosm

    uygrand

    es

    y muy

    peq

    ueo

    sPo

    tenc

    iasyexpo

    nentes

    25.Tring

    uloscon

    grue

    ntes

    [122

    -131

    ]

    Determinarlo

    scriteriosde

    con

    grue

    nciadetring

    ulosapartir

    decon

    struccione

    sco

    ninform

    acinde

    term

    inad

    a.

    25.1Tresla

    dosigua

    les

    Figu

    rasco

    ngruen

    tes

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    25.2Un n

    guloydosla

    dosco

    rrespo

    ndientesig

    uales

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    25.3Un lado

    ydosng

    uloscorrespon

    dien

    tesigua

    les

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    26.Pu

    ntosyre

    ctasnotab

    lesde

    ltri

    ngulo

    [132

    -149

    ]

    Explorarla

    sprop

    ieda

    desde

    lasalturas,med

    iana

    s,med

    iatrices

    ybisectric

    esenun

    tri

    ngulo.

    26.1Med

    iatrices

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    26.2Alturas

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    26.3Med

    iana

    sRe

    ctasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    Bisectriz

    ,altura,m

    ediana

    ym

    ediatrizdeun

    tring

    ulocu

    alqu

    iera(G

    eometra

    dinm

    ica)

    26.4Bisectric

    esPu

    ntosyre

    ctasnotab

    lesde

    ltring

    ulo

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    Trazarelinc

    rculode

    untring

    ulo

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    27.Even

    tos inde

    pend

    ientes

    [150

    -167

    ]

    Disting

    uirendiversassitua

    cion

    esdeazareventosque

    son

    inde

    pend

    ientes.

    Determinarla

    formaen

    que

    sepu

    edecalcularlaprob

    abilida

    dde

    ocu

    rren

    ciade

    dosom

    seventosin

    depe

    ndientes.

    27.1C

    ulessonloseven

    tosinde

    pend

    ientes?

    Cu

    ndodo

    seven

    tosson

    inde

    pend

    ientes?

    Diagram

    ade

    rbol

    27.2Dosom

    seventosin

    depe

    ndientes

    Diagram

    ade

    rbol

    27.3Even

    tos inde

    pend

    ientesydep

    endien

    tes

    Diagram

    ade

    rbol

    Prob

    abilida

    d.Eventosin

    depe

    ndientes

    Frecue

    nciayproba

    bilid

    adcon

    Log

    o

    28.Grfic

    asdeln

    ea

    [168

    -183

    ]

    Interpretaryutilizardo

    somsgrfic

    asdeln

    eaque

    represen

    tancaractersticasdistintasdeun

    fen

    men

    oo

    situacinpa

    raten

    erin

    form

    acinmscom

    pletayen

    sucaso

    tomardecisione

    s.

    28.1Turis

    mo,empleo

    sygrfi

    casde

    lne

    aElturismo:una

    ocu

    pacin

    interesante

    Grfic

    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    28.2Sab

    escu

    ntaspersona

    svisitanelestad

    oen

    qu

    evives?

    Grfic

    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    28.3C

    untosextranjerosnosvisitaron

    ?

    29.Grfic

    asformad

    asporre

    ctas

    [184

    -193

    ]

    Interpretaryelab

    orargrfic

    asformad

    asporseg

    men

    tosde

    rectaqu

    emod

    elan

    situa

    cion

    esre

    lacion

    adascon

    mov

    imiento,

    llena

    doderecipien

    tes,etctera.

    29.1Albe

    rcasparach

    icosygrand

    esLlen

    adode

    recipien

    tes

    Grfic

    asformad

    asporseg

    men

    tos

    dere

    cta

    29.2De aq

    uparaallydeallparaac

    29.3Ca

    mino alaescue

    laGrfic

    asformad

    asporseg

    men

    tos

    dere

    cta

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Blo

    qu

    e 4

    MAT2 B3 S18.indd 7 9/10/07 3:36:33 PM

  • 8Blo

    qu

    e 5

    EJ

    E 1

    :Se

    ntidonu

    mricoype

    nsam

    ientoalge

    braico

    EJ

    E 2

    :Fo

    rma,espacioym

    edida

    EJ

    E 3

    :Man

    ejode

    lain

    form

    acin

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    30.Sistem

    asdeecua

    cion

    es

    [196

    -213

    ]

    Represen

    tarco

    nliteraleslo

    svaloresde

    scon

    ocidosdeun

    prob

    lemayusarlaspa

    raplantearyresolverunsistem

    ade

    ecua

    cion

    escon

    coe

    ficientesenteros.

    30.1Lasvacasylosch

    ivos

    DeDiofantoalsigloXXI

    Sistem

    asdeecua

    cion

    es

    30.2Laeda

    dde

    Don

    Matias

    Sistem

    asdeecua

    cion

    es

    30.3Co

    mprasenelm

    ercado

    30.4Laig

    ualacin

    30.5Loqu

    eap

    rend

    imosdesistem

    asdeecua

    cion

    es

    31.Traslacin

    , rotacinysimetra

    cen

    tral

    [214

    -229

    ]

    Determinarla

    sprop

    ieda

    desde

    laro

    tacin

    ydelatraslacinde

    fig

    uras.C

    onstruiryreco

    nocerdiseo

    squ

    eco

    mbina

    nla

    simetra

    axialycen

    tral,larotacin

    yla

    traslacinde

    figu

    ras.

    31.1H

    aciadn

    dem

    emue

    vo?

    Conc

    eptodetraslacin

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    31.2Ro

    tacion

    esCo

    ncep

    toderotacin

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Molinosyre

    hiletes1y2(Log

    o)

    31.3Simetra

    cen

    tral

    Mov

    imientosenelplano

    Usodelasim

    etra

    cen

    tral(G

    eometra

    dinm

    ica)

    31.4Algo

    mssob

    resim

    etra

    s,rotacion

    esy

    traslacion

    esMov

    imientosenelplano

    32.Even

    tos mutua

    men

    teexcluyentes

    [230

    -243

    ]

    Disting

    uir en

    diversassituacione

    sde

    azareven

    tosqu

    eson

    mutua

    men

    teexcluyentes.

    Determinarla

    formaen

    que

    sepu

    edecalcularla

    proba

    bilid

    ad

    deocu

    rren

    cia.

    32.1C

    und

    odo

    seven

    tossonmutua

    men

    te

    excluy

    entes?

    Cu

    ndodo

    seven

    tosson

    mutua

    men

    teexcluyentes?

    Prob

    abilida

    d.Eventosm

    utua

    men

    te

    excluy

    entes

    32.2Clcu

    lodelaproba

    bilid

    addeeven

    tos

    mutua

    men

    teexcluyentesynoexcluy

    entes

    32.3Msproblem

    asdeprob

    abilida

    dProb

    abilida

    d.Eventosm

    utua

    men

    te

    excluy

    entes

    Azaryproba

    bilid

    adcon

    Log

    o

    33.Re

    presen

    tacin

    grfic

    ade

    sistem

    asdeecua

    cion

    es

    [244

    -257

    ]

    Represen

    tar grfi

    camen

    teunsistem

    ade

    ecu

    acione

    slin

    eales

    conco

    eficien

    tesen

    teroseinterpretarlain

    terseccin

    desus

    grfi

    casco

    molasoluc

    inde

    lsistema.

    33.1Laferiagan

    adera

    Solucin

    deun

    sistemade

    ecu

    acione

    sco

    mointerseccin

    derectas

    33.2D

    nde

    estlasoluc

    in?

    Mov

    imientorectilne

    oun

    iforme

    Solucin

    deun

    sistemade

    ecu

    acione

    sco

    mointerseccin

    derectas

    Sistem

    asdedo

    secua

    cion

    es

    (Hojade

    clcu

    lo)

    33.3So

    lucion

    esm

    ltiples

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B3 S18.indd 8 9/10/07 3:36:34 PM

  • Clave de logos

    Trabajo individual

    En parEjas

    En Equipos

    Todo El grupo

    ConExin Con oTras asignaTuras

    glosario

    ConsulTa oTros maTErialEs

    Cd dE rECursos

    siTios dE inTErnET

    biblioTECas EsColarEs y dE aula

    vidEo

    programa inTEgrador EdusaT

    inTEraCTivo

    audioTExTo

    aula dE mEdios

    oTros TExTos

    9

    MAT2 B3 S18.indd 9 9/10/07 3:36:35 PM

  • 45

    90

    135

    y= 4.500

    x= -8.000

    y= -7.000

    4x - 5y = 32x + 10y = 29

    45

    90

    135

    y= 4.500

    x= -8.000

    y= -7.000

    4x - 5y = 32x + 10y = 29

    MAT2 B3 S18.indd 10 9/10/07 3:36:36 PM

  • 45

    90

    135

    y= 4.500

    x= -8.000

    y= -7.000

    4x - 5y = 32x + 10y = 29

    45

    90

    135

    y= 4.500

    x= -8.000

    y= -7.000

    4x - 5y = 32x + 10y = 29

    BLOQUE 3

    MAT2 B3 S18.indd 11 9/10/07 3:36:38 PM

  • 12

    secuencia 18

    En esta secuencia construirs sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla dada y obtendrs la regla que genera una sucesin de nmeros con signo.

    CUL ES LA REGLA?Para empezarSucesiones de nmeros

    Enlasecuencia3detulibroMatemticas i, volumen i trabajasteconsucesionesdefigurasyconsucesionesdenmeros.Enestasecuencia,continuarsestudiandolassu-cesionesdenmerosylasreglasquepermitenobtenercadaunodesustrminos.

    Consideremos lo siguienteCompletalostrminosquefaltanenlasiguientesucesindenmeros:

    5, 2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, ,

    a) Escribeunareglaparaobtenercadaunodelostrminosdelasucesin.

    b) Culeseltrminoqueestenellugar30?

    c) Qulugarocupaelnmero121 enestasucesin?

    Comparensusrespuestas.Comentencmohicieronparaencontrarlaregla.

    Manos a la obrai. Sealaculesdelassiguientessucesionessepuedenobtenerutilizandolareglasu-

    mar tres al trmino anterior.

    15, 11, 7, 3, 1, 5,

    3, 6, 9, 12, 15, 18,

    4, 1, 2, 5, 8, 11,

    8, 3, 2, 7, 12, 17,

    7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,

    14, 6, 2, 10, 18, 26,

    12, 9, 6, 3, 0, 3,

    SESin 1

    Sucesiones de nmeros con signo

    MAT2 B3 S18.indd 12 9/10/07 3:36:41 PM

  • 13

    IIMATEMTICASii. Respondelaspreguntas:

    a) Conlareglasumar cinco al trmino anterior,podemosobtenermuchassucesio-

    nesounasolasucesin?

    b) Encuentraunasucesinqueseobtengaconestaregla.

    c) Unareglamsprecisaparaobtenerlasucesinqueescribisteessumar cinco al

    trmino anterior y el primer trmino es

    d) Porqucreesqueestareglaseamsprecisa?

    Comparensusrespuestasycomenten:ladiferencia entre dos trminos consecuti-vos deunasucesinseobtienealrestarauntrminoeltrminoanterior.Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelassucesionesqueencontraronenelincisob)? .Obtengantressucesionesenlasqueladiferenciaentredostrminosconsecutivossea7.

    iii.Completaloquefaltaenlassiguientesexpresionesyrespondelaspreguntas:

    a) Unareglaparaobtenerlasucesin5, 11, 17, 23, 29, 35, es sumar seis al tr-

    mino anterior y el primer trmino es

    b) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    c) Una regla para obtener la sucesin 12, 10, 8, 6, 4, 2, es sumar

    al trmino anterior y el primer trmino es

    d) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    e) Escribelasucesinqueseobtieneconlareglasumar cinco al trmino anterior y

    el primer trmino es14:

    f) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdeesasucesin?

    A lo que llegamos

    En las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es constante, cada trmino se obtiene sumando una misma cantidad al trmino anterior.

    La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino. Por ejemplo:

    En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17,

    MAT2 B3 S18.indd 13 9/10/07 3:36:42 PM

  • 14

    secuencia 18La diferencia entre dos trminos consecutivos se calcula al restar a un trmino el trmi-no anterior, por ejemplo: 7 2 = 5.

    La regla verbal es: sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 8.Si no se indica cul es el primer trmino, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-do la misma regla.

    iV.Unareglaparaobtenerlasucesin5, 2, 1, 4, 7, 10, (eslamismaqueestenel

    apartadoConsideremos lo siguiente)es sumar al trmino anterior y el

    primer trmino es

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    b) Completalasiguientetablaconalgunosdelostrminosdelasucesin.

    Lugar del trmino Trmino de la sucesin

    1 5

    2 2

    3 1

    4 4

    5 7

    10

    15

    20

    30

    40

    c) Parapasardeltrminoenellugar30altrminoenellugar40,seavanza10lu-

    gares.Cuntocambiaelvalordeltrmino?

    d) Culeseltrminoqueestenellugar50?

    e) Culeseltrminoqueestenellugar100?

    Comparensusrespuestasycomentencmohicieronparaencontrartodoslostrminos.

    MAT2 B3 S18.indd 14 9/10/07 3:36:44 PM

  • 15

    IIMATEMTICASLo que aprendimosRespondelaspreguntasparalasiguientesucesin:

    23, 16, 9, 2, 5, 12,19, ...

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    b) Culeslareglaverbalquenospermiteobtenercadaunodelostrminosdelasuce-sin?

    nMEROS QUE CRECEnPara empezarEnlasesinanteriorencontrastelareglaverbalparaunasucesindenmerosconsignodiciendocuntohayquesumaracadatrminoparaobtenerelsiguienteyculeselprimertrmino.Enestasesinobtendrslareglaalgebraicautilizandoellugarqueocu-pacadatrmino.

    Paralasiguientesucesindenmeros:

    2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    b) Sealenconculesdelassiguientesreglaspodemosobtenerlostrminosdelasucesin.Lanindicaellugardeltrmino.

    2n + 4.

    Sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es2.

    4n + 2.

    4n 2.

    c) Comentensialgunasdelasreglasanterioressonequivalentes.

    Consideremos lo siguienteCompletalasiguientetablaparaencontrarlostrminosqueseindicanencadasucesin:

    Lugar del trmino

    Reglas algebraicas

    3n 3n + 1 3n 7 3n 10 3n 161

    2

    3

    4

    10

    100

    115

    Recuerden que:

    La diferencia entre dos trminos

    consecutivos se calcula al restar

    a un trmino el trmino anterior.

    Cuando hay varias reglas para

    obtener la misma sucesin de

    nmeros, se dice que son reglas

    equivalentes.

    SESin 2

    MAT2 B3 S18.indd 15 9/10/07 3:36:45 PM

  • 16

    secuencia 18a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosencadaunadeestassucesiones?

    b) Paralasucesin5, 2, 1, 4, 7, Culeslareglaalgebraicaquenospermiteen-

    contrareltrminoqueestenellugarn ?

    c) Apareceenestasucesinelnmero278?

    Comparensusrespuestasycomentencmohicieronparaencontrarlaregla.

    Manos a la obrai. Respondelaspreguntassobrelasucesinqueseobtieneconlaregla3n 7.

    a) Unareglaequivalenteparaobtenerestasucesines sumar al trmino

    anterior y el primer trmino es

    b) Culeseltrminoqueestenellugar40?

    c) Culdelasdosreglasutilizasteparaencontraresetrmino?

    d) Culeseltrminoqueestenellugar48?

    ii. Respondelaspreguntassobrelasucesin1, 4, 7, 10, 13, 16,

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdeestasucesin?

    b) Observalasdossucesiones

    3, 6, 9, 12, 15, 18,

    1, 4, 7, 10, 13, 16,

    Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin (3, 6, 9, 12,

    15, 18, )?

    c) Subrayalaoperacinquedebemoshacerparapasardecadatrminoenlaprime-rasucesinasucorrespondientetrminoenlasegundasucesin:

    Restar2

    Sumar2

    d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin1, 4, 7, 10, 13, 16, ?

    MAT2 B3 S18.indd 16 9/10/07 3:36:48 PM

  • 17

    IIMATEMTICASiii.Observaeldiagramayrespondelaspreguntas.

    5, 10, 15, 20, 25, 30,

    6, 11, 16, 21, 26, 31,

    a) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlaprimerasucesin?

    b) Culeslaoperacinquedebemoshacerparapasardecadatrminoenlaprime-

    rasucesinasucorrespondientetrminoenlasegundasucesin?

    c) Cules la reglaalgebraicaparaobtener la sucesin6,11,16,21,26,31,?

    d) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin 15, 10, 5, 0, 5, 10,?

    Comparensusrespuestas.Comentencmohicieronparaencontrarlasreglasalgebraicasyencuentrenlareglaverbalylareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin11, 6, 1, 4, 9, 14,

    A lo que llegamosEn las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecu-tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-do el lugar del trmino por la diferencia de los trminos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada.

    Por ejemplo:

    En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , la diferencia es de 5.

    Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente trmino en la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , debemos restar 13.

    Entonces la regla para obtener la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, es 5n 13.

    MAT2 B3 S18.indd 17 9/10/07 3:36:51 PM

  • 18

    secuencia 18iV.Paralasucesinqueseobtieneconlaregla5n 8:

    a) Culeseltrminoqueestenellugar100?

    b) Elnmero500estenlasucesin?

    c) Elnmero497estenlasucesin?

    d) Culeseltrminoqueestenellugar30?

    e) Enquelugardetrminoestelnmero132?

    Comparensusrespuestas.

    Lo que aprendimos1. Encuentra losprimeros10 trminosde las sucesionesque seobtienencon las si-

    guientesreglas:

    a) Sumar8al trmino anterior y el primer trmino es19

    b) 7n 25

    c) 2n 4.5

    2. Respondelaspreguntasparalasucesin23, 16, 9, 2, 5, 12,19,

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    b) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin?

    c) Lareglaverbalparaobtenerestasucesinessumar al trmino an-

    terior y el primer trmino es

    d) Culeseltrminoqueocupaellugar78?

    e) Enqulugardetrminoestelnmero201?

    3. Respondealaspreguntassobrelasiguientesucesin:

    2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5,

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    b) Expresalareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin.

    c) Culeseltrminoqueocupaellugar25enlasucesin?

    d) Culeseltrminoqueocupaellugar278?

    e) Qulugarocupaelnmero101.5enestasucesin?

    MAT2 B3 S18.indd 18 9/10/07 3:36:51 PM

  • 19

    IIMATEMTICAS4. Enlacolumnadelaizquierdasepresentanlosprimerostrminosdealgunassucesio-

    nesyenlacolumnadeladerecha,algunasreglas.Relacionaambascolumnas.

    Trminos de la sucesin Reglas

    ( )10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4,

    ( )7, 3, 1, 5, 9, 13, 17, 21,

    ( )13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22,

    ( )11, 7 3, 1, 5, 9, 13, 17,

    ( )11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24,

    ( )8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,

    (a) 5n 13

    (b) 2n 12

    (c) 4n 15

    (d) 2n 8

    (e) 4n 7

    (f) 5n 16

    (g) 4n 11

    (h) 5n 18

    (i) 2n 10

    DE MAYOR A MEnORPara empezarEnlasesinanterior,encontrastereglasparasucesionesenlasquelostrminosibanau-mentando.Ahoratrabajarsconsucesionesenlasquelostrminosvandisminuyendo.

    Encuentren losprimeros10 trminosde lasucesinqueseobtienecon laregla4n.

    Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    Consideremos lo siguienteCompletalasiguientesucesindenmeros:

    6, 2, , , 10, , 18, 22, , , ,

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin?

    b) Escribeunareglaparaencontrareltrminoenellugarn.

    Comparensusrespuestas.Comentencmohicieronparaencontrarlareglayladiferen-ciaentredostrminosconsecutivos.

    SESin 3

    MAT2 B3 S18.indd 19 9/10/07 3:36:52 PM

  • 20

    secuencia 18

    Manos a la obrai. Sealaconculesdelassiguientesreglaspodemosobtenercadaunodelostrminos

    delasucesin.

    Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6.

    Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6.

    4n 2

    4n + 10

    4n + 2

    Sumar ( 4) al trmino anterior y el primer trmino es 6.

    ii. Respondelaspreguntas:

    a) Enlasucesin7, 3, 1, 5, 9, lostrminosvanaumentandoodisminuyendo?

    b) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdeestasucesin?

    c) Enlasucesin14, 10, 6, 2, 2, lostrminosvanaumentandoodisminuyendo?

    d) Una regla verbal para obtener esta ltima sucesin es restar al

    trmino anterior y el primer trmino es

    e) La sucesin tambin la podemos obtener con la regla sumar al

    trmino anterior y el primer trmino es

    f) Paracalcularladiferenciaentredostrminosconsecutivos,hazlarestadelsegun-

    dotrminomenoselprimertrmino: =

    iii.Encuentralosprimerosdieztrminosdelassucesionesqueseobtienenconlasreglasindicadas.

    Lugar del trmino

    Regla algebraica

    4n + 6 4n 2 4n 51 (4) 1 + 6 = (4) 1 2 = (4) 1 5 =

    2 (4) 2 + 6 = (4) 2 2 = (4) 2 5 =

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Recuerda que:

    Las multiplicaciones

    y divisiones se

    hacen antes que las

    sumas y restas.

    MAT2 B3 S18.indd 20 9/10/07 3:36:54 PM

  • 21

    IIMATEMTICASa) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdeestassucesiones?

    b) Enestassucesiones,lostrminosvanaumentandoodisminuyendo?

    Comparensusrespuestas.

    iV.Respondelaspreguntassobrelasucesin7, 3, 1, 5, 9, 13,

    a) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosdeestasucesin?

    b) Enlareglaalgebraicaparaobtenercadaunodelostrminosdelasucesin,debe-

    mosmultiplicarlanpor

    c) Observalasdossucesiones:

    4, 8, 12, 16, 20, 24,

    7, 3, 1, 5, 9, 13,

    Culeslaoperacinquedebemoshacerparapasardecadatrminoenlaprime-

    rasucesinasucorrespondientetrminoenlasegundasucesin?

    d) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin7, 3, 1, 5, 9, 13, ?

    Comparen sus respuestas. Encuentren la reglaalgebraicaparaobtener la sucesin11, 15, 19, 23, 27, 31,

    A lo que llegamosPara las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es una constante:

    Si la constante es positiva, los trminos van aumentando.

    Si la constante es negativa, los trminos van disminuyendo.

    En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del trmino por la diferencia de los trminos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada.

    Por ejemplo:En la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ., la diferencia es de 3.

    Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 3n, a su correspondiente trmino en la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, , debemos sumar 1.

    Entonces la regla para obtener la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, es 3n + 1.

    MAT2 B3 S18.indd 21 9/10/07 3:36:57 PM

  • 22

    secuencia 18V. Respondelaspreguntas.

    a) Encuentra losprimeros10 trminosde la sucesinque seobtienecon la reglasumar (6) al trmino anterior y el primer trmino es 23.

    b) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin?

    c) Culessonlosprimeros10trminosdelasucesinqueseobtieneconlaregla

    5n + 12?

    d) Sonequivalenteslasreglas6n + 23y 23 6n?Explicaturespuesta:

    Comparensusrespuestas.Comentensisonequivalenteslasreglas7 nyn + 7.

    Lo que aprendimos1. Respondelaspreguntas.

    a) Enlasucesin12, 7, 2, 3, 8, 13, lostrminosvanaumentandoodisminu-

    yendo?

    b) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosenlasucesin?

    c) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin?

    d) Otrareglaparaobtenerlasucesinessumar al trmino anterior y

    el primer trmino es

    e) Enlasucesin5, 10, 15, 20, 25, 30, lostrminosvanaumentandoo

    disminuyendo?

    f) Culesladiferenciaentredostrminosconsecutivosenlasucesin?

    g) Culeslareglaalgebraicaparaobtenerlasucesin?

    h) Otrareglaparaobtenerlasucesinessumar al trmino anterior y

    el primer trmino es

    2. Encuentralosprimeros10trminosdelasucesinqueseobtieneconlareglan 18.Indicaladiferenciaentredostrminosconsecutivosdelasucesin.

    MAT2 B3 S18.indd 22 9/10/07 3:36:57 PM

  • 23

    IIMATEMTICAS3. Encuentraunareglaparalassiguientessucesiones:

    a) Queelsegundotrminosea7yelcuartotrminosea19.

    b) Queeltercertrminosea1yelsextotrminosea14.

    4. Enlacolumnadelaizquierdasepresentanalgunasreglasalgebraicasyenlacolum-nadeladerecha,algunasreglasverbales.Relacionalascolumnasconlasreglasequi-valentes.

    Regla algebraicas Reglas verbales

    ( )4n 12

    ( )4n 8

    ( )7n + 10

    ( )7n 10

    ( )4n 12

    ( )7n 4

    (a)Sumar (7) al trmino anterior y el primer trmino es 10

    (b)Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 12

    (c)Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 3

    (d)Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 16

    (e)Sumar (7) al trmino anterior y el primer trmino es 3

    (f)Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es3

    (g) Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 8

    (h) Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 12

    5. Paraconocermssucesionesdenmerosconsignopuedenverelprogramasucesio-nes de nmeros con signo.

    Para saber ms

    Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. El piropo matemtico, de los nmeros a las estrellas. Mxico: SEP/Edi-torial Lectorum, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre las sucesiones de nmeros con signo consulta:http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_Hcs_2/sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_aritmeticas.htm[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    Explora las actividades del interactivo Sucesiones geomtricas con Logo.

    MAT2 B3 S18.indd 23 9/10/07 3:36:58 PM

  • 24

    secuencia 19

    Ecuaciones de primer grado

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el plantea-miento y resolucin de ecuaciones con una incgnita.

    Piensa un nmeroPara empezar El jugador A piensa un nmero y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro

    entrada. Despus realiza las operaciones indicadas y le dice a B el nmero que obtu-vo en el cuadro salida.

    Entrada

    Smale 12

    Salida

    Multiplcalo por 10

    Diagrama 1

    El jugador B tiene que encontrar el nmero que el jugador A escribi en la entrada y decrselo.

    Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.

    Consideremos lo siguienteLos nmeros de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama anterior. Escriban los nmeros de entrada correspondientes.

    Nombre Entrada Salida

    Brenda 53 542

    Sal 69 702

    Jess 824.5

    Ral 4

    Comparen sus respuestas y expliquen cmo las obtuvieron.

    sesin 1

    MAT2 B3 S19.indd 24 9/10/07 12:29:11 PM

  • 25

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Consideren que el nmero de salida es 72. Escriban los nmeros que deben ir en el

    crculo azul y en el cuadro rojo.

    72

    Entrada

    Smale 12

    Salida

    Multiplcalo por 10

    Diagrama 2

    a) Qu operacin hicieron con el nmero 72 para encontrar el nmero que va en el

    crculo azul?

    b) Qu operacin hicieron con el nmero del crculo azul para encontrar el nmero

    del cuadro de entrada?

    c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para encontrar los nmeros faltantes.

    824.5

    Entrada Salida

    Diagrama 3

    ii. Completen el siguiente diagrama.

    8

    Entrada Salida

    Smale 12Multiplcalo por 10

    MAT2 B3 S19.indd 25 9/10/07 12:29:12 PM

  • 26

    secuencia 19iii. Consideren la siguiente adivinanza:

    Pens un nmero. Lo llam p, le rest 5, el resultado lo divid entre 4y obtuve 2.75.

    a) Cul de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?

    Diagrama 1 p 2.75

    Rstale 5Divdelo entre 4

    Smale 5Multiplcalo por 4

    Diagrama 2 p 2.75

    Divdelo entre 4Rstale 5

    Multiplcalo por 4Smale 5

    Diagrama 3 p 2.75

    Smale 5Multiplcalo por 4

    Rstale 5Divdelo entre 4

    b) Cul de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subryenla.

    p4

    + 5 = 2.75

    p 54

    = 2.75

    (p 5) 4 = 2.75

    c) Cul es el valor de p ?

    Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.

    Recuerden que:

    Una ecuacin es una igualdad donde hay

    un valor desconocido llamado incgnita.

    Resolver la ecuacin significa encontrar el

    valor de la incgnita.

    MAT2 B3 S19.indd 26 9/10/07 12:29:13 PM

  • 27

    IIMATEMTICAS

    A lo que llegamosLa ecuacin 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las operaciones de la siguiente manera.

    Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe:

    10y+12=4 y 10y+12=4

    +1210

    10y

    10y=412

    10y=8

    y 10y+12=4

    +1210

    10y

    12

    y=(8)10

    y=0.8

    y 10y+12=4

    +1210

    10y

    1210

    iV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuacin 6x + 22 = 4.

    Cul es el valor de x? x = x 4

    Sumar 22Multiplcalo por 6

    6x

    Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada rengln de la tabla escriban la ecuacin correspondiente considerando que x es el nmero de entrada. Resuelvan la ecuacin y verifiquen si es el resultado que haban obtenido.

    MAT2 B3 S19.indd 27 9/10/07 12:29:14 PM

  • 28

    secuencia 19

    Lo que aprendimos1. Planteen y resuelvan la ecuacin que corresponde al siguiente diagrama:

    a) Ecuacin:

    b) Cul es el valor de p ? p =

    2. Resuelvan la ecuacin 7x+18=31. Verifiquen las soluciones.

    eL moDeLo De La BaLanZaPara empezarLa balanza

    El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es nece-sario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre el equilibrio.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente balanza est en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.

    =

    Figura 1

    Cunto pesa cada anillo?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo encontraron el valor de cada anillo.

    sesin 2

    p 34.5

    Rstale 5Divdelo entre 4

    MAT2 B3 S19.indd 28 9/10/07 12:29:15 PM

  • 29

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Cules de las siguientes acciones mantendran la balanza en equilibrio? Subryenlas.

    Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho.

    Quitar 1 anillo de ambos lados.

    Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.

    Quitar el mismo nmero de pesas de 1 gramo en ambos lados.

    Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.

    Comparen sus respuestas y comenten porqu creen que mantienen el equilibrio de la balanza.

    ii. A continuacin se presenta una nueva situacin con la balanza, completa lo que se te pide para hallar el peso de estos otros anillos.

    a) Cuntas pesas de 1 gramo se pueden qui-

    tar de cada lado sin que la balanza pierda el

    equilibrio?

    b) Ahora, cuntos anillos del mismo peso pue-

    den quitarse de cada lado sin que se altere el

    equilibrio de la balanza?

    Despus de quitar las pesas de 1 gramo y los ani-llos del mismo peso,

    c) cuntos anillos quedan del lado izquierdo de

    la balanza?

    d) Cuntas pesas de 1 gramo quedan del lado derecho?

    e) Si dos anillos pesan 28 gramos, cuntos gra-

    mos pesa cada anillo?

    MAT2 B3 S19.indd 29 9/10/07 12:29:17 PM

  • 30

    secuencia 19Comparen sus respuestas. Verifquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la ba-lanza. Despus lean con ayuda de su profesor la siguiente informacin.

    A lo que llegamosPara encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera que siempre se mantenga el equilibrio.

    En la siguiente balanza se tiene representada la ecuacin:

    6x + 3 = 2x + 15

    Donde x representa el peso de un cubo.

    Para encontrar x se pueden quitar de ambos lados 3 pesas de 1 gramo.

    6x + 3 3= 2x + 1536x = 2x + 12

    Despus, se pueden quitar de ambos lados 2cubos.

    6x 2x = 2x + 122x4x = 12

    Al final, el peso de se puede encontrar dividiendo las 12 pesas de 1 gramo entre 4.

    x=124=3

    Cada cubo pesa 3gramos.

    MAT2 B3 S19.indd 30 9/10/07 12:29:19 PM

  • 31

    IIMATEMTICASResolvamos otro ejemplo, la ecuacin 4x +75=13x +3.Primero se puede restar 3 de ambos lados:

    4x + 753 = 13x + 33 4x + 72 = 13x

    Despus, se puede restar 4x de ambos lados:

    4x + 724x = 13x 4x 72 = 9x

    Finalmente el valor de la incgnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.

    x=729=8

    iii. El mtodo de la balanza tambin se puede usar con nmeros decimales y fracciona-rios, por ejemplo, la ecuacin:

    3.2x+9=5.7x+1.5

    a) Qu nmero pueden restar en ambos lados de la ecuacin para eliminar uno de

    los trminos numricos? Escriban cmo queda la ecuacin:

    b) Cul expresin con la letra x pueden restar en ambos lados de la ecuacin ante-

    rior para que slo quede un trmino numrico y un trmino con la incgnita x ?

    Escriban cmo queda la ecuacin:

    c) Cul es el valor de x?

    Comparen sus respuestas con las de otros compaeros, observen cmo pueden restar trminos en diferente orden pero, si lo hacen correctamente, todos llegan al mismo resultado.

    Lo que aprendimosResuelve las siguientes ecuaciones utilizando el mtodo de la balanza:

    a) 4x+3=2x+5

    b) 3x+1=x+5

    c) x+10=5x+2

    d) 32 x+1=x+2

    MAT2 B3 S19.indd 31 9/10/07 12:29:21 PM

  • 32

    secuencia 19

    ms aLL DeL moDeLo De La BaLanZa Para empezarEn la sesin anterior resolviste algunas ecuaciones mediante el modelo de la balanza. En esta sesin resolvers ecuaciones con coeficientes negativos, con parntesis y con deno-minadores.

    Consideremos lo siguienteDurante un juego de adivinaza de nmeros, Luis y Ana pensaron un mismo nmero, hi-cieron diferentes operaciones y al final obtuvieron el mismo resultado.

    Luis pens un nmero, lo multiplic por 3 y al resultado obtenido le sum 5.

    Ana pens el mismo nmero que Luis, lo multiplic por 2, al producto obtenido le rest 3 y obtuvo el mismo resultado final que Luis.

    Hicieron un diagrama y les qued de la siguiente manera.

    Entrada

    +5

    Salida

    3

    32

    a) Qu ecuacin puede plantearse para encontrar el valor de x?

    b) Cul fue el nmero que pensaron Luis y Ana?

    Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

    Manos a la obrai. Relaciona los diagramas siguientes de la columna derecha con su correspondiente

    ecuacin en la columna izquierda.

    sesin 3

    MAT2 B3 S19.indd 32 9/10/07 12:29:21 PM

  • 33

    IIMATEMTICAS( ) (3x )(2)=5x3

    ( ) 3x+2x=53

    ( ) 3x+2=5x3

    ( ) 3x+5=2x3

    Entrada

    +5

    Salida

    3

    32

    Diagrama A

    Entrada

    2

    Salida

    3

    35

    Diagrama B

    Entrada

    +2

    Salida

    3

    35

    Diagrama C

    ii. El mtodo de la balanza se puede utilizar para resolver la ecuacin:

    3x+5=2x3

    Para eso hay que realizar siempre las mismas operaciones en ambos lados de la ecua-cin de manera que se conserve la igualdad. Contesta lo que se te pide.

    a) Resta 5 en ambos lados de la ecuacin 3x+5 =2x3

    b) Reduce los trminos semejantes: =

    MAT2 B3 S19.indd 33 9/10/07 12:29:22 PM

  • 34

    secuencia 19c) Qu te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede slo x?

    Si lo haces, cmo queda la ecuacin?

    d) Cul es el nmero que pensaron Luis y Ana?

    Comparen sus soluciones. Verifquenlas sustituyendo el valor de x en el diagrama de Ana y Luis.

    A lo que llegamosPara solucionar cualquier ecuacin usando el modelo de la balanza hay que conservar la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuacin.

    Por ejemplo, al resolver la ecuacin: 3x+5=6+(2x )

    Para eliminar el trmino +5 se resta 5en ambos lados de la igualdad.

    3x+55=6+ (2x ) 5

    Se reducen los trminos semejantes 3x=1+(2x )

    Para eliminar el trmino 2xse suma 2x en ambos lados de la igualdad.

    3x+2x=1+(2x)+2x

    Se reducen los trminos semejantes 5x =1

    Finalmente, se divide 1 entre 5 para encontrar el valor de x.

    x= 15

    iii. No siempre se puede usar de manera inmediata el modelo de la balanza para resol-ver ecuaciones. En ocasiones hay que hacer operaciones antes de comenzar a elimi-nar trminos.

    Por ejemplo, para resolver la ecuacin

    5(2x3)=6x+14

    a) Primero se puede hacer la multiplicacin que indica el parntesis. Completa:

    5(2x3)=6x+14

    =6x+14

    MAT2 B3 S19.indd 34 9/10/07 12:29:23 PM

  • 35

    IIMATEMTICASb) Encuentra el valor de x y verifcalo.

    x =

    iV. Para resolver la ecuacin:

    y45

    =y+13

    a) Se pueden aplicar los productos cruzados para eliminar los denominadores.

    y45

    =y+13

    =3(y4)=5(y+1)

    b) Realiza las multiplicaciones indicadas y encuentra el valor de y . Verifcalo.

    y =

    Comparen sus soluciones.

    Lo que aprendimos1. Juan pens un nmero y lo introdujo en la entrada del siguiente diagrama compues-

    to. Por ambas rutas obtuvo el mismo resultado.

    Entrada

    7

    Salida

    1

    3+6

    Recuerda que:

    Si 2 fracciones son equivalentes, entonces

    sus productos cruzados son iguales.

    AB

    = CD

    entonces

    AD = BC

    MAT2 B3 S19.indd 35 9/10/07 12:29:24 PM

  • 36

    secuencia 19a) Cul es la ecuacin que hay que resolver?

    b) Qu nmero fue el que pens Juan?

    2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

    a) 3(x+4)=5x36

    b) r+65

    =r45

    c) z64

    =z+49

    misCeLnea De ProBLemasLo que aprendimosResuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolucin de una ecuacin.

    1. El hexgono rojo y el rectngulo azul tienen igual permetro. Contesta lo que se te pide para encontrar el permetro de cada figura.

    a 2x1 B

    c

    De

    x

    FaB = De

    Bc = cD = eF = Fa

    2x+4.5

    x

    sesin 4

    MAT2 B3 S19.indd 36 9/10/07 12:29:25 PM

  • 37

    IIMATEMTICASa) Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del hexgono?

    b) Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del rectngulo?

    c) Cul es la ecuacin que hay que resolver para encontrar el valor de x?

    d) Resuelve la ecuacin anterior en tu cuaderno. Cul es el valor de x?

    e) Cul es el permetro del rectngulo?

    f) Cul es el permetro del hexgono?

    2. Para cultivar y mantener una hectrea de jitomate se invierte en planta, fertilizante, fumigante y agua de riego cinco veces lo que se invierte en mano de obra. El costo total por hectrea es $80 000.00.

    Ecuacin:

    Cunto dinero cuesta la mano de obra para cultivar y atender 3.5 hectreas de jito-mate?

    3. Un avin que vuela a una velocidad de 1 040 kilmetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y est volando a 640 kilmetros por hora. Cunto tardar el primer avin en alcanzar al segundo?

    Ecuacin:

    4. La edad actual de Jos es 38 de la de su hermano, y dentro de 4 aos tendr 12 de la

    que entonces tenga su hermano. Cul es la edad actual del hermano?

    Ecuacin:

    5. Una cancha de volibol se encuentra dentro de una cancha de basquetbol. El largo de la cancha de volibol es el doble de su ancho.

    2x

    x

    MAT2 B3 S19.indd 37 9/10/07 12:29:25 PM

  • 38

    secuencia 19Las medidas de ambas canchas se relacionan como sigue:

    El largo de la cancha de basquetbol es 10 metros mayor que el largo de la cancha de volibol.

    El ancho de la cancha de basquetbol es 6 metros, mayor que el ancho de la cancha de volibol.

    El rea de la cancha de basquetbol es 258 m2 mayor que el rea de la cancha de volibol.

    Contesta lo que se te pide para encontrar cules son las medidas de cada cancha.

    La letra x representa la medida del ancho de la cancha de volibol.

    a) Cmo se representa la medida del largo de la cancha de volibol?

    b) Cmo se representa el rea de la cancha de volibol?

    c) Cmo se representa la medida del ancho de la cancha de basquetbol?

    d ) Cmo se representa la medida del largo de la cancha de basquetbol?

    e) Cmo se representa el rea de la cancha de basquetbol?

    f) Qu ecuacin representa la relacin El rea de la cancha de basquetbol es 258 m2

    mayor que el rea de la cancha de volibol?. Compltala y resulvela.

    Pista: el trmino 22 se elimina en ambos lados de la igualdad.

    (2x+10)(x+6)=258+

    g) Completa la tabla siguiente para verificar tu solucin.

    Cancha Largo Ancho rea

    Volibol

    Basquetbol

    6. Para conocer ms sobre la solucin de ecuaciones pueden ver el programa ecuacio-nes de primer grado en la vida cotidiana.

    MAT2 B3 S19.indd 38 9/10/07 12:29:26 PM

  • 39

    IIMATEMTICASPara saber ms

    Sobrelaresolucindeproblemasmedianteelplanteamientoysolucindeecuacio-nesconsultaenlasBibliotecasEscolaresydeAula:

    Ruiz,ConcepcinySergiodeRgules.Algebraegipciaybabilnica,ElepitafiodeDiofanto, La damamisteriosa, en Crnicas algebraicas.Mxico: SEP/Santillana,LibrosdelRincn,2003.

    BoschCarlosyClaudiaGmez.Labalanzaylasecuaciones,Resolucindeecuacio-nes lineales en Una ventana a las incgnitas.Mxico: SEP/Santillana, Libros delRincn,2003.

    Hernndez,Carlos.EcuacionesdeprimergradoenMatemticasydeportes.Mxico:SEP/Santillana,LibrosdelRincn,2003.

    Tahan,Malba.Elhombrequecalculaba.Mxico:SEP/EditorialLimusa,LibrosdelRin-cn,2005,pp.97,125-128,180,183.

    Sobreresolucindeecuacionesdeprimergradoconsulta:http://descartes.cnice.mecd.esRuta:Aplicaciones lgebra Ecuacionesysistemasdeecuaciones Resolverecuacionesde1ry2grado Resolucindeecuacionessencillas;oResolucindeecuacionesdeprimergrado.[Fechadeconsulta:24deagostode2007].ProyectoDescartes,MinisteriodeEducacinyCiencia,Espaa.

    MAT2 B3 S19.indd 39 9/10/07 12:29:26 PM

  • 40

    secuencia 20

    En el mundo y en el Universo nos podemos encontrar con un sinfn de fenmenos donde una cantidad depende de otra: el costo de unos tomates y su peso; lo que tarda una piedra en caer y su altura; la fuerza de atraccin entre planetas y su distancia; etctera.

    A estas relaciones, se les conoce como relaciones funcionales. Y para entenderlas, el ser humano ha inventado las expresiones algebraicas y las grficas.

    LA COLA DE LAS TORTILLASPara empezarEn tu libro de Matemticas i, volumen ii hiciste las grficas de situaciones de proporcio-nalidad directa e inversa. Aprendiste que el plano cartesiano tiene dos ejes: el eje de las abscisas y de las ordenadas, y que cada punto del plano tiene dos coordenadas.

    En esta sesin estudiars algunas grficas donde los ejes no estn graduados; no te pre-ocupes, no es necesario graduar ni medir las longitudes. Slo observa con cuidado cmo estn acomodados los datos.

    Consideremos lo siguienteUn lunes por la tarde, en la tortillera El Rosario, se hizo una larga cola para comprar las tortillas. Haba personas de diferentes estaturas y edades como se puede ver en la ima-gen de abajo.

    SESIn 1

    Relacin funcional

    Jorge Lola Jess Alma Luis Valentina

    MAT2 B3 S20.indd 40 9/10/07 12:32:19 PM

  • 41

    IIMATEMTICASEn el siguiente plano cartesiano se han representado con un punto la estatura y edad de cada persona.

    E da d

    Estatura

    F

    D

    a

    c

    B

    e

    Anoten en cada punto de la grfica el nombre de la persona, segn corresponda.

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Ana y Beto llegaron a formarse en la cola despus. En el siguiente plano cartesiano se

    han dibujado los puntos que les corresponden.

    Edad

    Estatura

    ana

    Beto

    a) Quin tiene mayor estatura, Ana o Beto?

    b) Quin tiene mayor edad?

    MAT2 B3 S20.indd 41 9/10/07 12:32:20 PM

  • 42

    secuencia 20Comparen sus respuestas y comenten:

    Cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cules falsas (F)?

    Entre ms alta sea una persona, ms arriba est el punto que la representa.

    Entre ms edad tenga una persona, ms arriba est el punto que la representa.

    Si dos puntos estn en la misma lnea horizontal, las personas representadas por estos puntos tienen la misma edad.

    Si dos puntos estn en la misma lnea vertical, las personas representadas por estos puntos tienen la misma edad.

    ii. De las personas que estaban formadas en la cola, antes de que llegaran Ana y Beto:

    a) Quienes son las ms altas?

    b) En cules puntos deben de estar sus nombres?

    c) Qu nombre debe estar en el punto B?

    d) Qu nombre debe ir en el punto E?

    A lo que llegamosLas coordenadas de puntos en el plano cartesiano permiten comparar los datos que se presentan en l.

    Por ejemplo, en la grfica de la derecha se puede ver que:

    Patricia y Mauro tienen la misma edad, pues estn sobre la misma lnea hori-zontal y son los de mayor edad, pues estn hasta arriba.

    Jos y Guillermo tienen la misma estatu-ra, pues estn en la misma lnea vertical.

    El ms alto es Mauro, pues es el que est ms a la derecha.

    Las siguientes reglas permiten comparar las coordenadas de puntos en el plano:

    Entre ms a la derecha est un punto, ms grande ser el valor de su abscisa.

    Entre ms arriba est un punto, ms grande ser el valor de su ordenada.

    Edad

    Estatura

    Patricia Mauro

    Jos

    Brenda Guillermo

    MAT2 B3 S20.indd 42 9/10/07 12:32:21 PM

  • 43

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Observen las figuras geomtricas de la izquierda y escriban el nombre de la figura que

    corresponde en cada punto del plano de la derecha.

    Trapecio Cuadrado Rectngulo Tringulo

    Base

    Alt

    ura

    2. Dibujen en sus cuadernos cuatro rectngulos distintos con permetro 20 cm. Anoten la base y la altura de cada uno en la tabla. Para cada rectngulo localicen en el plano el punto correspondiente.

    Alt

    ura

    Base

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

    RectnguloMedida

    de la base (cm)

    Medida de altura

    (cm)

    a

    B

    c

    D

    MAT2 B3 S20.indd 43 9/10/07 12:32:22 PM

  • 44

    secuencia 20

    CMO HABLAn POR TELFOnO!Para empezar En Mxico y en el mundo, las compaas telefnicas tienen diferentes tarifas. Por ejemplo, una compaa mexicana decidi no cobrar renta mensual y slo cobrar por las llamadas realizadas. La forma de cobrar cambia de acuerdo con los siguientes tipos de llamadas:

    1. Llamadas locales. Son las llamadas hechas entre nmeros telefnicos dentro de la misma ciudad. Se cobran por llamada, no importa cuntos minutos dure.

    2. Llamadas de larga distancia. Son las llamadas hechas entre nmeros ubicados en diferentes lugares de Mxico o en el Mundo. Se cobran por minuto y el costo por minuto depende de la ciudad o el pas al que se hable. Un slo minuto es ms caro que el costo de toda una llamada local.

    Consideremos lo siguienteEn la casa de Jess contrataron el servicio telefnico con la compaa arriba menciona-da. Jess vive con sus padres y sus tres hermanos: Jos, Ivn y Luis. Durante el mes de diciembre, cada miembro de la familia hizo una sola llamada telefnica y apunt el cos-to y la duracin. Por rdenes del pap cada uno redonde la duracin de la llamada al minuto entero siguiente, por ejemplo:

    Si la llamada dur 3 minutos y 18 segundos, apuntaron que la duracin fue de 4 mi-nutos, para los dos tipos de llamadas: locales o de larga distancia.

    Con los datos anotados se obtuvo la siguiente grfica contesten las siguientes preguntas:

    SESIn 2

    a) Un miembro de la familia hizo una llamada

    local, quin fue?

    b) Uno de los miembros de la familia hizo una

    llamada que tuvo el mismo costo que la llama-

    da de Jos, quin la hizo?

    c) Quin pag el mayor costo por minuto?

    d) Tres miembros de la familia hicieron llamadas

    que tenan el mismo precio por minuto, quie-

    nes crees que fueron? ,

    y

    Comparen sus respuestas.

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    Luis

    Jess

    Madre

    Ivn

    Padre Jos

    Grfica 1

    MAT2 B3 S20.indd 44 9/10/07 12:32:23 PM

  • 45

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas:

    a) En una ocasin, en casa de Jess, alguien anot que una llamada cost $15 y dur

    5 minutos, cunto cost cada minuto de esta llamada?

    b) Si otra llamada cost lo mismo por cada minuto que la anterior y dur 10 minu-

    tos, cunto se debi pagar por esta llamada?

    c) Y si la llamada hubiera durado 8 minutos, cunto se debera pagar?

    d) Completen la siguiente tabla usando este costo por minuto y dibujen la grfica correspondiente.

    Duracin de la llamada (en minutos)

    Costo de la llamada

    (en pesos)

    1

    2

    3

    4

    5 15

    6

    7

    8

    9

    10

    ii. En otra ocasin, en casa de Jess, se hicieron tres llamadas de larga distancia donde el costo por minuto fue el mismo.

    Cul de las siguientes grficas se obtuvo con esos datos?

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s) 30

    28

    26

    24

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    a) b) c) d)

    MAT2 B3 S20.indd 45 9/10/07 12:32:24 PM

  • 46

    secuencia 20Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Cmo decidieron cul de las grficas era la correcta?

    b) Regresen a la grfica del apartado Consideremos lo siguiente y contesten:

    Cules puntos estn sobre una recta que pasa por el origen?

    A lo que llegamosEl costo de una llamada de larga distancia y su duracin son cantidades directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es el costo por minuto.

    La grfica de costo y duracin de varias llamadas que costa-ron lo mismo por minuto son puntos que estn en una lnea recta que pasa por el origen.

    iii. En el mes de diciembre, falt apuntar una llamada hecha por el vecino Guillermo, quin habl a la misma ciudad que la madre pero dur hablando lo mismo que Ivn. Dibujen el punto faltante en la grfica.

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    Luis

    Jess

    Madre

    Ivn

    Padre Jos

    Lo que aprendimos A continuacin se presenta una grfica que relaciona el costo y peso de la compra de unas verduras: jitomate, limn, cebolla, pepino y aguacate. Por cada verdura, se grafic el peso comprado (en kilogramos) y el costo correspondiente a la cantidad comprada (en pesos).

    Duracin (minutos)

    Co

    sto

    (p

    eso

    s)

    MAT2 B3 S20.indd 46 9/10/07 12:32:25 PM

  • 47

    IIMATEMTICAS

    Peso (kg)

    Co

    sto

    ($)

    Pepino

    Limn

    Jitomate

    AguacateCebolla

    a) De las verduras, cul cost ms por kilogramo?

    b) Hay dos verduras para las cuales el costo por kilogramo fue el mismo, cules fueron?

    y

    EL TAXIConsideremos lo siguienteUn taxi cobra por su servicio $10 ms $2 por cada kilmetro recorrido. Observa las si-guientes grficas y decide cul de ellas representa esta situacin.

    Distancia (kilmetros)

    Co

    bro

    (p

    eso

    s) 30

    28

    26

    24

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    Distancia (kilmetros)

    Co

    bro

    (p

    eso

    s) 30

    28

    26

    24

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    SESIn 3

    a) b)

    MAT2 B3 S20.indd 47 9/10/07 12:32:26 PM

  • 48

    secuencia 20

    Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para decidir cul grfica es la correcta.

    Manos a la obrai. Contesten lo siguiente:

    a) Si el taxi recorre 2 km, cunto cobrar?

    b) Si el taxi recorre 10 km, cunto cobrar?

    c) Escriban una expresin que sirva para formular la cantidad que cobra el taxista (y) a partir del nmero de kilmetros recorridos (x).

    y =

    ii. Usen la expresin que acaban de formular para completar la siguiente tabla.

    x Nmero de kilmetros

    y Cantidad a cobrar en pesos

    2

    4

    6

    8

    10

    Distancia (kilmetros)

    Co

    bro

    (p

    eso

    s) 30

    28

    26

    24

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    Distancia (kilmetros)

    Co

    bro

    (p

    eso

    s) 30

    28

    26

    24

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    c) d)

    MAT2 B3 S20.indd 48 9/10/07 12:32:26 PM

  • 49

    IIMATEMTICASiii. Localicen los valores de la tabla en el siguiente plano cartesiano

    x (kilmetros)

    y (

    pes

    os) 30

    28

    26

    24

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    Comparen sus respuestas y comenten,

    a) Los puntos que localizaron, estn sobre la grfica que haban elegido?

    b) Estn en alguna de las otras grficas?

    A lo que llegamosAl igual que en el caso del taxi, a menudo encontramos cantidades relacionadas en las que su grfica asociada son puntos sobre un lnea recta. A este tipo de relaciones se les conoce como relaciones lineales.

    Las relaciones de proporcionalidad tambin son relaciones lineales, pues su grfica es una lnea recta.

    Las relaciones de proporcionalidad tienen nombre propio pues satis-facen ms propiedades que las relaciones lineales. Por ejemplo, no toda grfica de una relacin lineal pasa por el origen, pero como ya se vio, las asociadas a relaciones de proporcionalidad siempre pasan por el origen.

    iV. Si un pasajero se sube al taxi y slo tiene $32, cuntos kilmetros puede viajar?

    MAT2 B3 S20.indd 49 9/10/07 12:32:27 PM

  • 50

    secuencia 20V. Se ha decidido llenar un tinaco con capacidad de 1 000 litros de agua. El tinaco,

    actualmente contiene 100 litros de agua. Se ha abierto una llave que arroja en el tinaco 10 litros de agua cada minuto.

    a) Si ha pasado 1 minuto desde que se abri la llave, cunta agua habr en el tina-

    co? Y si han pasado 2 minutos?

    Y si han pasado 10 minutos?

    b) Escriban una expresin que relacione y (la cantidad de agua en el tinaco) con x (los minutos que lleva abierta la llave).

    y =

    c) Dibujen la grfica de la relacin que obtuvieron.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    En qu valor interseca la grfica al eje y?

    A lo que llegamos

    600

    400

    300

    200

    100

    5 10 15 20 25 30 35 400x

    y

    y

    x(0, b )

    Al valor dnde la grfica de una relacin lineal interseca al eje y se le conoce como ordenada al origen.

    En la siguiente figura, la letra b representa la ordenada al origen.

    MAT2 B3 S20.indd 50 9/10/07 12:32:28 PM

  • 51

    IIMATEMTICASLo que aprendimosEn una ocasin se decidi llenar una cisterna con una llave que arrojaba cierta cantidad de litros de agua cada minuto. Cuando se empez a llenar el tinaco, ste tena 100 litros de agua. Despus de 10 minutos de haber abierto la llave, el tinaco tena 180 litros de agua.

    a) Cuntos litros arroj la llave en 10 minutos?

    b) Cuntos litros habr arrojado en 5 minutos?

    c) Cuntos litros arroja la llave cada minuto?

    d) Despus de 11 minutos de haber abierto la llave, cuntos litros de agua habr en el

    tinaco?

    e) Escribe una expresin que relacione y (la cantidad de litros de agua que hay en el tinaco) con x (el nmero de minutos que han pasado desde que se abri la llave).

    y =

    EL RESORTEConsideremos lo siguienteAl colgar diferentes pesos sobre un resorte ste cambia su tamao, entre mayor sea el peso que se le cuelgue ms se alarga.

    En un laboratorio escolar se colgaron varios pesos a un resorte que mide 8 cm en reposo. Se registraron los cambios de longitud en cada caso y con ello se obtuvo la siguiente tabla.

    Peso Longitud

    1 kg 10 cm

    2 kg 12 cm

    3 kg 14 cm

    4 kg 16 cm

    Cul crees que ser la longitud del resorte si se le cuelgan 5 kg?

    Cul crees que ser la longitud del resorte si se le cuelgan 8 kg?

    Y si se le cuelgan 3.5 kg?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo calcularon las longitudes?

    Si se le colgara una pesa de 6.2 kg, cul ser la longitud del resorte?

    Cmo podran decidir cul ser la medida del resorte al colgarle cualquier otro peso?

    SESIn 4

    Longitud

    Peso

    MAT2 B3 S20.indd 51 9/10/07 12:32:29 PM

  • 52

    secuencia 20

    Manos a la obrai. Llamemos longitud de aumento a la cantidad de centmetros que aument la longi-

    tud del resorte al colgarle un peso. Calculen la longitud de aumento para cada peso indicado en la tabla y despus contesten lo que se pide.

    Peso (kg)

    Longitud de aumento

    (cm)

    1

    2

    3

    4

    a) Observen que esta tabla es de proporcionalidad, cul es la constante

    de proporcionalidad?

    b) Llamemos x al nmero de kilogramos colgados y llamemos y a la longitud de aumento. Escriban una expresin que sirva para calcular y a partir de x.

    y =

    c) Al colgar 5 kg, cul es la longitud de aumento?

    d) Y al colgar 6.2 kg, cul ser la longitud de aumento?

    e) Para el caso anterior, cul ser la longitud del resorte?

    Comparen sus respuestas y comenten: Es posible calcular la longitud de aumento para cualquier peso que se quiera? Cmo?

    Una vez que se tiene la longitud de aumento, se podr calcular la longitud del resorte? Cmo?

    ii. Encuentren una expresin que sirva para calcular la longitud y que tendr el resorte al colgarle x kilogramos.

    y =

    iii. Usen la expresin anterior para calcular la longitud del resorte para los diferentes pesos indicados en la tabla.

    Peso x 0 1 2 5 6 6.2 7.6

    Longitud y

    Comparen sus respuestas y grafiquen la relacin para ver si es lineal.

    Encuentra la ordenada al origen.

    Recuerden que:

    Una relacin es lineal si su grfica es una lnea recta.

    Longitud de

    aumento

    MAT2 B3 S20.indd 52 9/10/07 12:32:31 PM

  • 53

    IIMATEMTICASA lo que llegamosComo en el caso del resorte, con frecuencia es til calcular la expresin que relaciona dos cantidades x y y . Si esta relacin es lineal, es posible encontrar la expresin al calcular la ordenada al origen (en el ejemplo, cuando no hay peso colgado al resorte) y el incremento de y cuando x cambia de cero a uno (por ejemplo, lo que aumenta el resorte al colgar un kilogramo). Una vez encontrados estos nmeros, la expresin se puede escribir as:

    y = (incremento al aumentar uno) x + (ordenada al origen)

    Comnmente esto se escribe como y = mx + b.

    Lo que aprendimos1. Para medir la temperatura se usan dos unidades distintas: los grados Celsius y los

    grados Fahrenheit. La relacin que permite pasar de una unidad a la otra es lineal. La siguiente figura muestra la grfica de dicha relacin.

    0

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    5 10 15

    Fah

    ren

    hei

    t

    Celsius

    x

    y

    MAT2 B3 S20.indd 53 9/10/07 12:32:32 PM

  • 54

    secuencia 20a) Cuando la temperatura es de 0 C, cul es la temperatura en grados Fahrenheit?

    (Es decir, cul es la ordenada al origen?)

    b) Cuando la temperatura es de 5 C, cul es la temperatura en grados Fahrenheit?

    c) Cuando la temperatura es de 10 C, cul es la temperatura en grados Fahrenheit?

    d) Cuando la temperatura cambia de 0 C a 5 C , cuntos grados Fahrenheit au-

    ment?

    e) Decidan cul de las siguientes cantidades fue el aumento de temperatura, si la

    temperatura cambi de 0 C a 1 C.

    A) 1 .7 F B) 2 F C) 1.8 F D) 1.9 F

    f) Escriban una expresin que relacione y (la temperatura medida en grados Fahren-

    heit) con x (la temperatura medida en grados Celsius). y =

    2. La longitud de los metales se modifica al ser sometidos a cambios de temperatura. La siguiente tabla muestra cmo vara la longitud de una barra de hierro al someterla a distintas temperaturas.

    Temperatura (c) 0 10 20 30 40

    Longitud de la barra de hierro (m) 10 10.012 10.024 10.036 10.048

    Si x es la temperatura y y la longitud de la barra de hierro, cul es la expresin que

    permite encontrar y a partir de x? y =

    MAT2 B3 S20.indd 54 9/10/07 12:32:32 PM

  • 55

    IIMATEMTICASEL PLAn PERFECTOConsideremos lo siguienteLos celulares

    Las compaas de telfonos celulares Mexcel, Tele-cel e iLcel tienen las siguientes tari-fas:

    Mexcel: $100 de renta mensual ms $1.00 el minuto.

    Tele-cel: $60 de renta mensual ms $2.00 el minuto.

    iLcel: no cobra renta pero las llamadas cuestan $5 el minuto.

    Completen la siguiente tabla para saber cunto cobra cada compaa por hablar x mi-nutos durante un mes.

    x (minutos)

    Mexcel cobra (en pesos)

    Tele-cel cobra (en pesos)

    ILcel cobra (en pesos)

    10

    30

    60

    a) Si una persona habla 15 minutos en un mes, qu compaa le cobrar menos?

    b) Si una persona habla 30 minutos en un mes, qu compaa le cobrar menos?

    c) Si una persona habla 60 minutos en un mes, qu compaa le cobrar menos?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Si una persona habla entre 25 y 35 minutos al mes, con cul compaa le saldr ms barato?

    Para qu cantidades de minutos al mes es ms barato hablar por Tele-cel?

    SESIn 5

    MAT2 B3 S20.indd 55 9/10/07 12:32:33 PM

  • 56

    secuencia 20

    Manos a la obrai. Usen la letra x para representar la duracin de la llamada (en minutos) y la letra y

    para representar el costo de la llamada (en pesos) correspondiente. Si una persona habl x minutos en un mes:

    a) Cul es la expresin que representa lo que le cobrar Mexcel?

    y =

    b) Cul es la expresin que representa lo que le cobrar Tele-cel?

    y =

    c) Cul es la expresin que representa lo que le cobrar iLcel?

    y =

    ii. Completen la siguiente tabla con las expresiones que encontraron:

    x (minutos)

    Mexcel cobra (en pesos)

    Tele-cel cobra (en pesos)

    ILcel cobra (en pesos)

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    iii. Ayudndose de los valores en la tabla, dibujen las grficas de las tres relaciones en el siguiente plano cartesiano. Pinten de diferentes colores las grficas, por ejemplo: rosa para Mexcel, azul para Tele-cel y verde para iLcel.

    MAT2 B3 S20.indd 56 9/10/07 12:32:33 PM

  • 57

    IIMATEMTICAS

    Observen sus grficas y contesten:

    a) Cuando la duracin est entre 0 min y 20 min, cul de las tres grficas est ms abajo?

    b) Cuando la duracin est entre 20 min y 40 min, cul de las tres grficas est ms abajo?

    c) Cundo est la grfica de Mexcel ms abajo que las otras?

    iV. Ayudndose de las grficas que construyeron, completen las siguientes frases de ma-nera que sean correctas.

    a) Si una persona acumula minutos en llamadas durante un mes, no

    importa si contrata el servicio con Tele-cel o iLcel, ambas le cobrarn lo mismo.

    b) Si una persona acumula entre cero y minutos en llamadas durante un

    mes, le conviene ms contratar el servicio de iLcel, pero si excede esos limtes, le

    conviene ms Tele-cel.

    300

    250

    200

    150

    100

    50

    10 20 30 40 50 60

    Co

    sto

    Duracin

    x

    y

    MAT2 B3 S20.indd 57 9/10/07 12:32:34 PM

  • 58

    secuencia 20c) Si una persona acumula entre y minutos en lla-

    madas al mes le conviene ms contratar el servicio de Tele-cel.

    d) Si una persona acumula ms de minutos en llamadas al mes le

    conviene ms contratar el servicio de Mexcel.

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosPara comparar dos o ms relaciones lineales, puede ser til construir sus grficas en el mismo plano cartesiano.

    Por ejemplo, las grficas de las relaciones lineales y = 4x + 1 y y = 2x + 5 se han dibujado en el siguiente plano cartesiano.

    15

    10

    5

    5 10 15

    Eje

    y

    Eje x

    De esta grfica se puede ver que: el valor de la expresin y = 4x + 1 es menor que el de la expresin y = 2x + 5 cuando x toma valores menores a 2 (pues la grfica roja est por debajo), y los papeles se invierten cuando x toma valores mayores que 2.

    MAT2 B3 S20.indd 58 9/10/07 12:32:35 PM

  • 59

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. En una escuela telesecundaria quieren rentar un autobs para realizar una excursin.

    Se contactaron 3 compaas de autobuses las cuales proporcionaron la siguiente in-formacin:

    compaa a: cobra $1 500 ms $20 por cada kilmetro recorrido.

    compaa B: cobra $2 000 ms $15 por cada kilmetro recorrido.

    compaa c: cobra $3 000 ms $10 por cada kilmetro recorrido.

    Calcula las expresiones que relacionan el cobro con el nmero de kilmetros recorridos-para cada compaa.

    En cul intervalo es ms barato contratar a la compaa B? Entre km y

    km.

    2. Para conocer ms sobre la construccin de grficas de fenmenos de ecuaciones pue-den ver el programa Relaciones funcionales, expresiones algebraicas y grficas.

    Para saber ms

    Sobre relaciones lineales en problemas consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/analisis/familias_funciones/Funciones_lineales.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa.

    MAT2 B3 S20.indd 59 9/10/07 12:32:36 PM

  • 60

    secuencia 21

    sesin 1

    Los polgonos y sus ngulos internos

    En esta secuencia determinars una frmula para calcular la suma de los ngulos internos de un polgono.

    TRinGULOs en POLGOnOsPara empezarUn polgono es una figura geomtrica cerrada y plana formada por lados rectos. Como los siguientes:

    La palabra polgono viene de las palabras griegas poli que significa muchos y gonos que significa ngulos.

    Un polgono es convexo si cada uno de sus ngulos internos mide menos de 180 y sus lados no se cruzan.

    Observen los siguientes pentgonos y comenten: Cules son convexos y cules no?

    Consideremos lo siguientea) Para cada uno de los siguientes polgonos convexos, tomen uno de los vrtices y,

    desde ese vrtice, tracen todas las diagonales del polgono.

    R s T V

    MAT2 B3 S21.indd 60 9/10/07 12:33:33 PM

  • 61

    IIMATEMTICAS

    Cuadriltero Hexgono

    Octgono Dodecgono

    El procedimiento anterior es una manera de dividir un polgono convexo en tringulos. Comparen sus trazos y comenten en cuntos tringulos qued dividido cada polgono.

    b) Completen la tabla con el nmero de lados de cada polgono y el nmero de tringu-los en los que qued dividido.

    Polgono Nmero de lados Nmero de tringulos

    Cuadriltero

    Hexgono

    Octgono

    Dodecgono

    c) Qu relacin hay entre el nmero de lados de cada polgono y el nmero de trin-

    gulos en los que qued dividido?

    d) En cuntos tringulos quedar dividido un enegono?

    e) En cuntos tringulos quedar dividido un polgono de n lados?

    Comparen y comenten sus respuestas.

    MAT2 B3 S21.indd 61 9/10/07 12:33:33 PM

  • 62

    secuencia 21

    Manos a la obrai. En los siguientes enegonos se trazaron diagonales para dividirlos en tringulos.

    a) En cul de los enegonos se utiliz el procedimiento descrito en el apartado

    Consideremos lo siguiente para dividirlo en tringulos?

    Comparen sus respuestas.

    ii. Las figuras muestran la divisin de un heptgono en tringulos trazando sus diago-nales desde un vrtice.

    a) Completen el siguiente texto.

    En la figura 1 la diagonal PB dividi al heptgono en un tringulo y en un hexgono.

    En la figura 2 la diagonal PC dividi al hexgono en un y en un pentgono.

    En la figura 3 la diagonal PD dividi al pentgono en un tringulo y un

    En la figura 4 la diagonal PE dividi al en dos tringulos.

    b) Cuntas diagonales se pueden trazar desde el punto P?

    c) Observen que por cada diagonal que se traza se forma un tringulo y la ltima diagonal forma dos tringulos En cuntos tringulos qued dividido el hept-gono?

    Enegono 1 Enegono 2 Enegono 3

    Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

    P

    aB

    c

    D

    e F

    P

    aB

    c

    D

    e F

    P

    aB

    c

    D

    e F

    P

    aB

    c

    D

    e F

    MAT2 B3 S21.indd 62 9/10/07 12:33:34 PM

  • 63

    IIMATEMTICASComparen sus respuestas y comenten:

    a) Si se trazan desde un vrtice las diagonales de un polgono de 10 lados, cuntas diagonales se obtienen?

    b) En cuntos tringulos quedar dividido?

    iii. Completen la siguiente tabla.

    Polgono Nmero de lados del polgono

    Nmero de diagonales desde

    uno de sus vrtices

    Nmero de tringulos en los

    que qued dividido

    Tringulo 3 0 1Cuadriltero 4Pentgono 5Hexgono 6Heptgono 7Octgono 8Enegono 9Decgono 10Endecgono 11Dodecgono 12Icosgono 20

    Polgono de n lados n

    Comparen sus resultados.

    A lo que llegamosEl nmero de tringulos en los que se puede dividir un polgono convexo es igual al nmero de lados del polgono menos dos. Por ejemplo, un polgono convexo de 15 lados se puede dividir en 13 tringulos.

    iV. Las siguientes figuras muestran los pasos de la divisin de un pentgono en tringu-los trazando las diagonales desde el vrtice C.

    B

    a

    e

    D

    c

    B

    a

    e

    D

    c

    B

    a

    e

    D

    c

    MAT2 B3 S21.indd 63 9/10/07 12:33:35 PM

  • 64

    secuencia 21Observen que esta divisin del pentgono tiene las siguientes caractersticas:

    (1) Los vrtices de los tringulos son vrtices del pentgono.

    (2) Juntando todos los ngulos de todos los tringulos se obtienen todos los ngulos del pentgono.

    a) Cules de las siguientes divisiones en tringulos del endecgono cumplen con las caractersticas (1) y (2)?

    b) Verifiquen que estas caractersticas se cumplen para las divisiones que realizaron en los polgonos del apartado Consideremos lo siguiente.

    Cules son triangulaciones simples? y

    Comparen sus respuestas.

    Triangulaciones simples de los polgonos convexos

    Divisin 1 Divisin 2 Divisin 3

    Dodecgono Octgono Endecgono

    Un polgono convexo se puede dividir en tringulos cuyos vrtices sean vrtices del polgono y tales que la suma de las medidas de sus ngulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ngulos internos del polgono. A esta forma de dividir un polgono en tringulos le llamaremos triangulacin simple del polgono.

    Lo que aprendimos1. Observa las siguientes triangulaciones de polgonos.

    MAT2 B3 S21.indd 64 9/10/07 12:33:35 PM

  • 65

    IIMATEMTICASa) Tacha la que no sea una triangulacin simple.

    b) Cul de las triangulaciones simples se obtuvo trazando las diagonales desde un

    mismo vrtice?

    2. En cuntos tringulos se pueden dividir cada uno de los siguientes polgonos con

    una triangulacin simple? . Haz las triangulaciones correspondientes.

    3. Haz una triangulacin simple del siguiente hexgono, pero que no se obtenga trazan-do las diagonales desde un mismo vrtice.

    UnA FRMULA PARA LA sUMA De LOs nGULOs inTeRnOsEn la secuencia 4de tu libro de Matemticas ii, volumen i, aprendiste que la suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180.

    sesin 2

    MAT2 B3 S21.indd 65 9/10/07 12:33:36 PM

  • 66

    secuencia 21

    Consideremos lo siguienteContesten las siguientes preguntas sobre los ngulos internos de distintos polgonos convexos

    Polgono Nmero de lados del polgono

    Nmero de tringulos en los

    que qued dividido

    Suma de los ngulos internos del

    polgono

    Tringulo 3Cuadriltero 4Pentgono 5Hexgono 6Heptgono 7Octgono 8Enegono 9Decgono 10Endecgono 11Dodecgono 12Icosgono 20

    Escriban una expresin que sirva para calcular la suma de las medidas de los ngulos

    internos de un polgono convexo de n lados.

    Comparen sus respuestas. Si es necesario verifquenlas haciendo triangulaciones simples

    de los polgonos convexos.

    Manos a la obrai. Triangulen de forma simple los siguientes pentgonos.

    a) En cuntos tringulos quedaron divididos cada uno de los pentgonos?

    Y

    Z

    V

    W X

    u

    QT

    s R

    P

    O

    n

    M

    MAT2 B3 S21.indd 66 9/10/07 12:33:36 PM

  • 67

    IIMATEMTICASb) Por qu la siguiente expresin no sirve para calcular la suma de las medidas de

    los ngulos internos de los pentgonos?

    5(180)

    ii. Dibujen un dodecgono convexo y trianglenlo de forma simple.

    iii. Completen la siguiente expresin para calcular la suma de las medidas de los ngulos internos del dodecgono convexo que dibujaron.

    (180)=

    Comparen sus respuestas y comenten:

    La suma de las medidas de los ngulos internos de un cuadriltero convexo no puede

    ser igual a 420. Estn de acuerdo con esta afirmacin? Por qu?

    MAT2 B3 S21.indd 67 9/10/07 12:33:37 PM

  • 68

    secuencia 21

    A lo que llegamosLa suma de los ngulos internos de un polgono convexo de n lados se puede calcular con la expresin:

    (n 2) 180

    Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas utilizando la frmula (n 2) 180.

    iV. Contesten las siguientes preguntas

    a) Si la suma de los ngulos internos de un polgono es 1260, cuntos lados tiene

    el polgono?

    b) Es posible que la suma de los ngulos internos de un polgono sea 1130?

    Justifiquen sus respuestas.

    Comparen y comenten sus respuestas.

    Lo que aprendimos1. Se sabe que la suma de los ngulos internos de un polgono es igual a 900. Elijan los

    polgonos a los cuales se hace referencia.

    MAT2 B3 S21.indd 68 9/10/07 12:33:37 PM

  • 69

    IIMATEMTICAS2. Determinen la suma de los ngulos internos de un polgono de 235 lados.

    3. La suma de los ngulos internos de un polgono es de 2700, cuntos lados tiene el

    polgono?

    4. Para conocer ms sobre los ngulos internos de polgonos y las triangulaciones sim-ples pueden ver el programa Los polgonos y sus ngulos internos.

    Para saber ms

    Sobre los polgonos y sus ngulos, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Nombres de los polgonos en Una ventana a las formas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    De la Pea, Jos Antonio. Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT2 B3 S21.indd 69 9/10/07 12:33:38 PM

  • 70

    secuencia 22

    sesin 1

    Mosaicos y recubrimientos

    En esta secuencia conocers las caractersticas de algunos polgonos que permiten cubrir el plano.

    RecubRimientos del planoPara empezarQue no quede nada sin cubrir

    La reproduccin de figuras geomtricas se ha utilizado para cubrir superficies planas creando hermosos diseos que adornan casas, pirmides, templos y tumbas. Tambin es comn ver estos recubrimientos en telas, pinturas, tapetes y otros accesorios.

    Es posible que estos recubrimientos hayan sido copiados de la reproduccin de figuras en las bellezas naturales ya que en la naturaleza se pueden encontrar muchos patrones de este tipo.

    Las figuras que se pueden reproducir una y otra vez para cubrir cualquier superficie plana sin que se encimen ni dejen huecos, para formar diseos como los anteriores son figuras que sirven para cubrir el plano.

    Comenten la pregunta

    En alguno de los diseos, las figuras se enciman o dejan huecos?; en cules?

    MAT2 B3 S22.indd 70 9/10/07 12:34:38 PM

  • 71

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteRecorten los polgonos regulares del anexo Recortables 1. Polgonos regulares. Reproduz-can cada polgono en su cuaderno, como se muestra en la siguiente ilustracin, y traten de construir algunos diseos cuidando que los polgonos no se encimen y no dejen huecos.

    a) Cules de los polgonos regulares que recortaron sirven para cubrir el plano?

    b) Creen que haya otros polgonos regulares que sirvan para cubrir el plano?

    Cules?

    Comparen y comenten sus respuestas.

    Manos a la obrai. Utilicen el pentgono regular que recortaron y reprodzcanlo de tal manera que los

    pentgonos compartan el vrtice F, que no se encimen y que compartan un lado con el pentgono vecino.

    F

    MAT2 B3 S22.indd 71 9/10/07 12:34:53 PM

  • 72

    secuencia 22a) Cuntos pentgonos que cumplan con las condiciones pedidas se pueden colocar?

    b) Cunto mide cada uno de los ngulos internos del pentgono regular?

    c) Cunto suman las medidas de los ngulos internos de los pentgonos que estn

    alrededor del vrtice F?

    d) Cunto mide el ngulo que falta por cubrir para rodear el vrtice F?

    Comparen sus respuestas y comenten, sucede lo mismo con cualquier vrtice de los pentgonos regulares? Por qu?

    ii. Utilicen el hexgono regular que recortaron y reprodzcanlo de tal manera que los hexgonos compartan el punto e como vrtice, que no se encimen y que no dejen huecos.

    a) Cuntos hexgonos regulares que cumplan con las condiciones pedidas lograron

    colocar?

    b) Cunto mide cada uno de los ngulos internos del hexgono regular?

    c) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto e como vr-

    tice?

    Comparen sus respuestas y comenten, si elijen cualquier otro vrtice de los hexgonos regulares que reprodujeron, y realizan la misma actividad, suceder lo mismo que con el vrtice e? Por qu?

    e

    MAT2 B3 S22.indd 72 9/10/07 12:34:54 PM

  • 73

    IIMATEMTICASiii. Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los polgonos regulares que recortaron.

    Traten de colocarlos de manera que no se encimen y que no dejen huecos.

    a) Completen la siguiente tabla:

    Nmero de lados del polgono regular

    Medida de cada uno de los ngulos internos del

    polgono regular

    Resultado de dividir 360 entre la medida de un ngulo interno del

    polgono regular

    El polgono regular sirve para cubrir

    el plano?

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    b) Para cules polgonos regulares el resultado de dividir 360 entre la medida de un

    ngulo interno es un nmero entero?

    c) Coinciden los polgonos que sirven para cubrir el plano con los polgonos que dan

    un nmero entero en est divisin?

    Justifiquen su respuesta.

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosDe los polgonos regulares, slo el tringulo, el cuadrado y el hexgono sirven para cubrir el plano, pues es posible acomodar los ngulos de estas figuras alrededor de cada vrtice para que formen un ngulo de 360. Para estos polgonos, el resultado de la divisin de 360 entre la medida de uno de sus ngulos internos es un nmero entero.

    Los ngulos internos de los dems polgonos regulares no se pueden colocar de tal manera que formen un ngulo de 360. Pues el resultado de la divisin de 360 entre la medida de uno de sus ngulos internos no es un nmero entero.

    MAT2 B3 S22.indd 73 9/10/07 12:34:55 PM

  • 74

    secuencia 22

    Lo que aprendimos1. Elije un polgono regular y recubre una hoja de papel blanca; colorea de distintas

    formas cada polgono para que construyas diferentes diseos y monta junto con tus compaeros una exposicin con lo que obtengas. Por ejemplo, los siguientes diseos se construyeron a partir de recubrir el plano con tringulos equilteros y lo que los hace diferentes es la coloracin.

    los RecubRimientos con polgonos iRRegulaResPara empezarCada uno de los siguientes diseos se construy reproduciendo un mismo polgono.

    sesin 2

    En cada diseo las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y se pueden repro-ducir en cualquier direccin tanto como se quiera hacer crecer el diseo. se dice que estas figuras sirven para recubrir el plano.

    Comenten qu polgono se utiliza para construir cada uno de los diseos.

    Diseo 1 Diseo 2

    Diseo 1 Diseo 2 Diseo 3 Diseo 4

    MAT2 B3 S22.indd 74 9/10/07 12:34:56 PM

  • 75

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteUno de los siguientes polgonos irregulares no sirve para cubrir el plano.

    Tringulo A Cuadriltero B Hexgono C

    Tringulo D Cuadriltero E

    a) Cul polgono es el que no sirve para cubrir el plano? Por qu?

    Comparen sus respuestas y recorten los polgonos irregulares del anexo Recortables 2. Polgonos irregulares. Verifiquen cul de ellos no sirve para recubrir el plano.

    Manos a la obrai. Las siguientes ilustraciones muestran

    dos formas de acomodar las reproduc-ciones del cuadriltero e. Reproduz-can cada uno de los diseos en una hoja y continenlos sin dejar huecos y sin encimar.

    Diseo 1

    E

    MAT2 B3 S22.indd 75 9/10/07 12:34:57 PM

  • 76

    secuencia 22a) Con cul de los dos diseos lograron

    colocar el mayor nmero de cuadri-lteros sin dejar huecos ni encimar?

    b) Con cul de los diseos podran se-guir colocando cuadrilteros sin que se encimen y sin que dejen huecos?

    c) En cada uno de los diseos sobre-pongan un cuadriltero en los mar-cados con la letra E. Si desplazan y giran el cuadriltero sin levantarlo, en cul de los diseos pueden llevar el cudriltero E a uno de sus vecinos? Diseo 2

    Comparen sus respuestas.

    ii. El siguiente diseo se hizo reproduciendo el tringulo a.

    1

    234

    5

    6

    R

    E

    MAT2 B3 S22.indd 76 9/10/07 12:34:57 PM

  • 77

    IIMATEMTICASa) En los tringulos 2, 3, 4, 5 y 6, marquen de rosa todos los ngulos iguales al n-

    gulo rosa del tringulo 1; de la misma forma marquen los que son azules y los que son verdes.

    b) Cuntos ngulos rosas comparten el vrtice R?

    c) Cuntos ngulos azules comparten el vrtice R?

    d) Cuntos ngulos verdes comparten el punto R?

    e) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto R como vr-

    tice?

    f) Elijan otro vrtice, llmenlo s y marquen los ngulos que lo comparten, cunto

    suman las medidas de los ngulos que comparten el vrtice s?

    Comparen sus respuestas.

    iii. Con el mismo tringulo A se construy el siguiente recubrimiento; comenten por qu no es posible completarlo sin dejar huecos y sin que los tringulos se encimen.

    a) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto P como vrti-

    ce y que son ngulos internos de los tringulos?

    b) Cunto mide el ngulo que falta por cubrir?

    P

    MAT2 B3 S22.indd 77 9/10/07 12:34:57 PM

  • 78

    secuencia 22

    a

    B

    c

    a

    B

    c

    Todos los tringulos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimarse.

    Por ejemplo, para recubrir con el tringulo ABC se puede girar el tringulo de manera que el vrtice A coincida con el vrtice C; despus, girarlo de manera que el vrtice B coincida con el vrtice C. Los tres ngu-los forman un ngulo de 180. Esto se debe a que en todo tringulo las medidas de sus ngulos internos suman 180.

    Repitiendo este proceso se completa un ngulo de 360 alrededor del vrtice C.

    El tringulo ABC se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana.

    c) Es posible colocar otro tringulo morado para terminar de rodear el punto P sin

    que se encime con los otros tringulos? Por qu?

    A lo que llegamos

    iV. El siguiente recubrimiento se construy con el cuadriltero B. Marquen de rojo, rosa, caf y azul los ngulos que comparten el vrtice T.

    12

    3

    4

    5T

    MAT2 B3 S22.indd 78 9/10/07 12:34:59 PM

  • 79

    IIMATEMTICASa) Cuntos cuadrilteros comparten el punto T como vrtice?

    b) Cuntos ngulos de cada color comparten el punto T como vrtice?

    c) Elijan otro vrtice de cualquiera de los cuadrilteros, cuntos ngulos de cada

    color comparten ese vrtice?

    A lo que llegamosTodos los cuadrilteros convexos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimar-se. En la figura el cuadriltero ABCD se gira de manera que el vrtice D coincida con el vrtice C. Despus se gira de manera que el vrtice B coincida con el vrtice C. Y Despus se gira de manera que el vrtice A coincida con el vrtice C. Los cuatro ngulos del cuadri-ltero forman un ngulo de 360.

    a

    B

    D

    c

    a

    B

    D

    c

    a

    B

    D

    Esto se debe a que las medidas de sus ngulos internos suman 360.

    El cuadriltero ABCD se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana.

    V. Dibujen y recorten un cuadriltero irregular en cartulina, marquen los puntos medios de sus lados y reprodzcanlo en una hoja blanca como se muestra en las fotos.

    Comparen sus reproducciones y comenten: Creen que este mtodo funcione para formar recubrimientos de cualquier superficie plana con cualquier cuadriltero?, El mtodo funcionar con tringulos?

    MAT2 B3 S22.indd 79 9/10/07 12:35:24 PM

  • 80

    secuencia 22Vi. Pinten un punto en su cuaderno y llmenlo Q. Reproduzcan el hexgono c alrededor

    del punto Q, sin que se encimen y sin que dejen huecos.

    a) Cuntos hexgonos comparten el punto Q como vrtice?

    b) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto Q como vr-

    tice?

    Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y revisen sus respuestas.

    Lo que aprendimos1. Traza un paralelogramo. Este paralelogramo servir para recubrir el plano?

    Justifica tu respuesta.

    2. Un crculo sirve para recubrir el plano? Justifica tu respuesta.

    3. Crea tus propios diseos de recubrimientos del plano y arma con tus compaeros una exposicin en tu saln. Pueden hacer un concurso y votar por el que ms les guste.

    algunas combinacionesPara empezarAlgunos polgonos regulares que no sirven para recubrir el plano se pueden combinar con otros polgonos para cubrir el plano sin que se encimen ni dejen huecos.

    En cada diseo las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y los diseos pue-den seguir creciendo tanto como se quiera. Estas combinaciones de figuras sirven para recubrir el plano.

    sesin 3

    Diseo 1 Diseo 2

    MAT2 B3 S22.indd 80 9/10/07 12:35:24 PM

  • 81

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Anota en el siguiente pentgono las medidas de sus ngulos

    internos.

    El pentgono anterior sirve para recubrir el plano?

    Justifica tu respuesta.

    2. En el siguiente diseo se estn combinando dos figuras, un heptgono regular y un octgono irregular, cunto miden los ngulos internos del octgono irregular?

    3. Con qu polgono puedes combinar el octgono regular para construir un diseo que recubra el plano? Construye un diseo en una hoja blanca y compralo con los de tus compaeros.

    4. Para conocer ms ejemplos de polgonos que permiten cubrir el plano pueden ver el programa Mosaicos y recubrimientos.

    Para saber msSobre recubrimientos de superficies planas, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. La miel de los hexgonos y Recubrimiento en Una ventana a las formas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Para crear recubrimientos consulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx/teselados/html/tesela.html[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de la Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

    Explora las actividades Mosaicos y creacin del interactivo Cubrimientos del plano.

    MAT2 B3 S22.indd 81 9/10/07 12:35:25 PM

  • 82

    secuencia 23

    sesin 1

    Las caractersticas de la lnea recta

    En esta secuencia estudiars el comportamiento de grficas lineales de la forma y = mx + b, al modificar los valores de m y de b.

    Pendiente y ProPorcionalidadPara empezarComo viste en la secuencia 32 de tu libro de Matemticas i, volumen ii, la grfica aso-ciada a una expresin de la forma y = kx est formada por puntos localizados sobre una lnea recta que pasa por el origen.

    Consideremos lo siguienteEn un estado de la Repblica Mexicana se realiz una competencia de caminata. Se to-maron los registros de tres de los competidores y se grafic la distancia recorrida y el tiempo que cada competidor tard en recorrerla.

    La competencia tuvo un recorrido total de 60 kilmetros y los competidores fueron siempre a velocidad constante.

    Tiempo en horas

    Dis

    tan

    cia

    en k

    ilm

    etro

    s

    60

    55

    50

    45

    40

    35

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

    Competidor A

    Competidor B

    Competidor C

    x

    y(6,60)

    (15,60)

    (10,60)

    MAT2 B3 S23.indd 82 9/10/07 12:37:40 PM

  • 83

    IIMATEMTICASa) En qu lugar llegaron los competidores y en cuanto tiempo termin cada uno la caminata?

    Competidor A lugar Competidor A horas

    Competidor B lugar Competidor B horas

    Competidor C lugar Competidor C horas

    b) Qu velocidad alcanz el competidor que gan la competencia?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    En una telesecundaria dijeron que el competidor B lleg en primer lugar porque el seg-

    mento de recta rojo es el ms largo, estn de acuerdo? Justifiquen su respuesta.

    Manos a la obrai. Con ayuda de la grfica anterior completen las siguientes tablas para

    encontrar las velocidades a las que fueron los competidores A, B y C.

    Tiempo (horas)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Tiempo (horas)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    60 60

    1 1

    Tabla del competidor A Tabla del competidor B

    a) Qu velocidad alcanz el competidor A?

    b) Qu velocidad alcanz el competidor B?

    c) Qu velocidad alcanz el competidor C?

    d) Cul de las siguientes expresiones algebraicas permite en-

    contrar la distancia recorrida y por el competidor A en el tiem-po x? Subryenla.

    y = 6x

    y = 60x

    y = x

    e) Cul es la expresin algebraica que permite encontrar la dis-

    tancia recorrida y por el competidor B en el tiempo x?

    f) Cul es la expresin algebraica que permite encontrar la distancia recorrida y por el competidor C en el tiempo x?

    Comparen sus respuestas.

    Recuerden que:

    Si la velocidad es constante,

    entonces la distancia y el

    tiempo son cantidades directa-

    mente proporcionales y la

    constante de proporcionalidad

    es la velocidad.

    Recuerden que:

    La expresin algebraica asociada a

    una relacin de proporcionalidad

    directa es de la forma

    y = kx

    donde k es la constante de propor-

    cionalidad.

    Tiempo (horas)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    60

    1

    Tabla del competidor C

    MAT2 B3 S23.indd 83 9/10/07 12:37:41 PM

  • 84

    secuencia 23

    ii. Con su transportador midan cada uno de los ngulos que forma cada una de las rectas

    respecto al eje x.

    a) ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

    A =

    b) ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

    B =

    c) ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

    C =

    Comparen sus respuestas y comenten:

    El competidor D no pudo participar en la caminata porque estaba lesionado. En el si-guiente plano cartesiano se presenta la recta correspondiente a registros obtenidos por el competidor D en una caminata anterior.

    Para medir el ngulo de inclinacin de una lnea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:1. Se coloca el centro del transportador en el origen

    (punto (0,0)).2. Contamos los grados en el transportador desde la parte

    derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.

    3. El nmero en que la recta cruza el transportador es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje x.

    Por ejemplo, en la figura 1, la recta la recta y = x tiene un ngulo de inclinacin de 45 respecto al eje x.

    Tiempo en horas

    Dis

    tan

    cia

    en k

    ilm

    etro

    s

    60

    55

    50

    45

    40

    35

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

    Competidor D

    x

    y(12,60)

    45

    Recta y = x

    Figura 1

    MAT2 B3 S23.indd 84 9/10/07 12:37:43 PM

  • 85

    IIMATEMTICASa) Cul es el ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspondiente al com-

    petidor D?

    b) En qu lugar habra quedado el competidor D?

    c) Si la recta correspondiente a un competidor E tiene un ngulo de inclinacin respec-

    to al eje x de 45 y la recta correspondiente a un competidor F tiene una ngulo de

    inclinacin respecto al eje x de 50. Cul de los dos competidores lleg primero?

    Cul de los competidores fue a mayor velocidad?

    Usen el plano anterior para graficar y verificar sus respuestas.

    A lo que llegamosLas grficas que representan expresiones de la forma y = kx son lneas rectas que pasan por el origen. En estas expresiones, el nmero k es llamado pendiente de la recta.

    Entre mayor sea la pendiente, mayor es el ngulo de inclinacin que tiene la recta res-pecto al eje x y viceversa entre mayor sea el ngulo de inclinacin de una recta respecto al eje x, mayor es la pendiente de la recta.Por ejemplo, si la grfica de un competidor G tiene pendiente 8 y la grfica de otro com-petidor H tiene pendiente 4, entonces es mayor el ngulo de inclinacin de la recta aso-ciada al competidor G que el ngulo de inclinacin de la recta asociada al competidor H.

    Las grficas correspondientes seran las siguientes:

    Esto significa que el competidor G fue a mayor velocidad que el competidor H, es decir, si la pendiente de la recta que representa la velocidad constante de un competidor es mayor que la de otro competidor entonces el de pendiente mayor va a mayor velocidad.

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

    Grfica de la recta G:y = 8xGrfica de la recta H:y = 4x

    83

    76

    x

    y

    MAT2 B3 S23.indd 85 9/10/07 12:37:44 PM

  • 86

    secuencia 23iii. Contesten lo siguiente.

    a) Cul de las rectas correspondientes a las expresiones y = 1 2

    x y y = 1 4

    x tiene mayor ngulo de inclinacin respecto al eje x ?

    b) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y

    que tengan ngulos de inclinacin respecto al eje x menores que el ngulo de inclinacin de la recta y = 10x, pero mayores que el ngulo de inclinacin res-pecto al eje x de la recta y = 3x: y

    c) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y que

    tengan menor ngulo de inclinacin respecto al eje x que el ngulo de inclinacin de la recta correspondiente a y = 2x: y

    Comparen sus respuestas. Verifquenlas graficando las rectas en el siguiente plano carte-

    siano y midiendo sus ngulos de inclinacin.

    Lo que aprendimosDe las grficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas:

    y = 5x

    y = 2.5x

    y = 1 3x

    a) Cul de las expresiones algebraicas tiene una grfica asociada con mayor ngulo

    de inclinacin respecto al eje x?

    b) Cul de las expresiones algebraicas tiene una grfica asociada con menor ngulo

    de inclinacin respecto al eje x?

    c) En tu cuaderno elabora las tablas y dibuja las grficas correspondientes para veri-

    ficar tus respuestas.

    20

    15

    10

    5

    5 10 15 20 x

    y

    MAT2 B3 S23.indd 86 9/10/07 12:37:45 PM

  • 87

    IIMATEMTICASlas Pendientes negativasConsideremos lo siguienteEn el siguiente plano cartesiano estn graficadas las rectas L y s.

    Los puntos a'=(2,4),B'=(4,8) pertenecen a la recta s y los puntos a=(2,4),B=(4,8) pertenecen a la recta L.

    Encuentren las expresiones algebraicas que corresponden a estas rectas.

    Recta L: y =

    Recta s: y =

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. A partir de la grfica anterior completen las siguientes tablas para encontrar las co-

    ordenadas de algunos puntos de las rectas L y s.

    Recta S Recta L

    Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada

    4 8 4 8

    2 2

    0 0 0 0

    1 1

    2 2

    4 8 4 8

    sesin 2

    Recta L

    Recta S

    11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    a

    B

    a'

    B'

    x

    y

    MAT2 B3 S23.indd 87 9/10/07 12:37:46 PM

  • 88

    secuencia 23a) Para los puntos de la recta s, por qu nmero hay que multiplicar las abscisas

    para obtener las ordenadas?

    b) Para los puntos de la recta L, por qu nmero hay que multiplicar las abscisas

    para obtener las ordenadas?

    c) Relaciona las columnas.

    ( ) Expresin algebraica de la recta L A) y = 2x + 1

    ( ) Expresin algebraica de la recta s B) y = 2x

    C) y = 2x

    Comparen sus respuestas.

    ii. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las grficas de cuatro lneas rectas que pasan por el origen.

    a) De las siguientes ecuaciones, cul le corresponde a cada una de las rectas? Rela-cionen las columnas.

    ( ) Recta roja. A. y = x

    ( ) Recta azul. B. y = x

    ( ) Recta verde. C. y = 2x

    ( ) Recta naranja. D. y = 3x

    E. y = 3x

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    x

    y

    MAT2 B3 S23.indd 88 9/10/07 12:37:46 PM

  • 89

    IIMATEMTICASPara medir el ngulo de inclinacin (mayor a 90) de una lnea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)).

    2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.

    3. El nmero en que la recta cruza el transportador es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje x.

    Por ejemplo, en la figura 2, la recta la recta y = 4x tiene un ngulo de inclinacin de 104 respecto al eje x.

    Figura 2

    Recta y = 4x

    104

    iii. Midan el ngulo que forma cada una de las rectas con el eje x.

    ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta roja:

    ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta azul:

    ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta verde:

    ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta morada:

    Comparen sus resultados y comenten:

    a) Los ngulos de la inclinacin respecto al eje x de las rectas que tienen pendien-

    te positiva son mayores o menores que 90?

    b) Los ngulos de la inclinacin respecto al eje x de las rectas que tienen pendien-

    te negativa son mayores o menores que 90?

    MAT2 B3 S23.indd 89 9/10/07 12:37:49 PM

  • 90

    secuencia 23

    iV. Encuentren las expresiones algebraicas de otras rectas que pasen por el origen y que tengan las caractersticas que se piden:

    a) Una recta que tenga un ngulo de inclinacin respecto al eje x mayor que 90.

    y =

    b) Una recta que tenga un ngulo de inclinacin respecto al eje x menor que 90.

    y =

    Lo que aprendimosDe las siguientes grficas contesta:

    Recta y = xRecta y = 4x

    8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    x

    y

    76

    135

    A lo que llegamosEn las expresiones de la forma y = kx el nmero k es llamado pendiente de la recta.

    Las rectas con pendiente positiva tienen ngulos de inclinacin respecto al eje x menores que 90.

    Las rectas con pendiente negativa tienen ngulos de inclinacin respecto al eje x mayores que 90.

    Por ejemplo, la recta y = x tiene ngulo de inclinacin respecto al eje x de135, mien-tras que la recta y = 4x tiene ngulo de inclinacin respecto al eje x de 76.

    MAT2 B3 S23.indd 90 9/10/07 12:37:49 PM

  • 91

    IIMATEMTICAS

    a) Cules rectas tienen pendientes positivas?

    b) Cules rectas tienen pendientes negativas?

    c) Cules rectas tienen un ngulo de inclinacin con el eje x mayor que 90?

    c) Cules rectas tienen un ngulo de inclinacin con el eje x menor que 90?

    Usa tu transportador para verificar sus resultados.

    la ordenada al origenPara empezarEn la secuencia 20 de este libro de Matemticas ii, volumen ii aprendiste que la grfica que corresponde a una expresin algebraica de la forma y = mx + b es una lnea recta. Al nmero representado por la letra b se le llama ordenada al origen y corresponde al punto en el cual la recta corta al eje y.

    Consideremos lo siguienteEn el siguiente plano cartesiano grafiquen las siguientes expresiones. Usen colores dis-tintos para cada recta.

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    x

    y

    sesin 3

    MAT2 B3 S23.indd 91 9/10/07 12:37:50 PM

  • 92

    secuencia 23

    a) La recta R interseca a la recta s? Si su repuesta

    fue s en qu punto se intersecan?

    Si su respuesta fue no por qu creen que no se intersecan?

    b) La recta R interseca a la recta T? Si su repuesta

    fue s en qu punto se intersecan?

    Si su respuesta fue no por qu creen que no se intersecan?

    c) Qu recta interseca a la recta u?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Con cul de las siguientes afirmaciones estn de acuerdo?

    Las rectas R y s no se intersecan porque la recta R pasa por el origen

    y la recta s no pasa por el origen.

    Como las rectas R y s no son paralelas entonces s se intersecan.

    Recta R y = 2xRecta s y = 3x 6Recta T y = 2x + 4Recta u y = 2x 6

    Recuerden que:

    Dos rectas se intersecan

    cuando hay un punto que

    pertenece a ambas. A ese

    punto se le llama el punto

    de interseccin de las

    rectas.

    Recuerden que:

    Las rectas que son parale-

    las nunca se intersecan.

    y

    x 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    16

    15

    14

    13

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    MAT2 B3 S23.indd 92 9/10/07 12:37:51 PM

  • 93

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar algunos puntos de las rectas R, s y T.

    Recta R: y = 2x Recta s: y = 3x 6 Recta T: y = 2x + 4 Recta u: y = 2x 6abscisa Ordenada abscisa Ordenada abscisa Ordenada abscisa Ordenada

    0 0 0 0

    1 1 3 1 6 1

    4 4 4 4

    6 6 6 6

    ii. Con su transportador midan los ngulos de inclinacin con respecto al eje X de las rectas R, s, T y u.

    a) ngulo de inclinacin de la recta R:

    b) ngulo de inclinacin de la recta s:

    c) ngulo de inclinacin de la recta T:

    d) ngulo de inclinacin de la recta u:

    e) Cules de estas rectas son paralelas?

    f) Cules no son paralelas?

    Comparen sus tablas y decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

    Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

    Las rectas paralelas tienen distinto ngulo de inclinacin respecto al eje x

    Para medir el ngulo de inclinacin respecto al eje x de una lnea recta que no pasa por el origen se hace lo siguiente:1. Se coloca el centro del transportador en el punto en el que la

    recta corta el eje x y el extremo derecho del transportador (el que marca los 0) sobre el eje x. Si la recta no corta al eje x se prolonga la recta hasta que corte dicho eje.

    2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.

    3. El nmero en que la recta cruza el transportador es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje x.

    Por ejemplo, en la figura 3, la recta y = 4x + 2 tiene un ngulo de inclinacin de 76 respecto al eje x.

    76

    Recta y = 4x + 2

    2

    Figura 3

    MAT2 B3 S23.indd 93 9/10/07 12:37:53 PM

  • 94

    secuencia 23iii. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las grficas de cuatro rectas.

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    x

    y

    Recta y = -2x + 4Recta y = -2xRecta y = 3xRecta y = 3x + 8

    a) Midan los ngulos de inclinacin de cada una de las rectas con respecto al eje x y completen la siguiente tabla.

    Recta Pendiente Ordenada al origen ngulo de inclinaciny = 2x + 4 184

    y = 2x 2

    y = 3x

    y = 3x + 8 8

    b) Contesten las siguientes preguntas a partir de la informacin de la tabla anterior.

    Cul recta es paralela a la recta y = 2x?

    Cul recta tiene la misma pendiente que la recta y = 2x?

    Qu rectas tienen distinto ngulo de inclinacin que la recta y = 2x? y

    Qu rectas tienen distinta pendiente que la recta y = 2x? y

    MAT2 B3 S23.indd 94 9/10/07 12:37:54 PM

  • 95

    IIMATEMTICASComparen sus resultados y comenten:

    a) Se interseca la recta y = 2x con la recta y = 2x + 1?, por qu?

    b) Con cules rectas se interseca la recta y = 2x?

    A lo que llegamosRectas paralelas

    Dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas paralelas, es decir, no se intersecan.

    Por ejemplo, las rectas y = 4x , y = 4x + 7 as como y = 4x 8 son paralelas. Todas ellas tienen la misma pendiente: 4, es decir, el mismo ngulo de inclinacin respecto al eje x : 76.

    -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    -1

    -2

    -3

    -4

    -5

    -6

    -7

    -8

    -9

    -10

    x

    y

    Recta y = 4xRecta y = 4x + 7Recta y = 4x 8

    76 76 76

    MAT2 B3 S23.indd 95 9/10/07 12:37:55 PM

  • 96

    secuencia 23iV. Realicen las siguientes actividades.

    a) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que sean paralelas a la recta y = 2 3x:

    y = x + 4

    y = 2 3 x

    y = x

    b) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que intersequen a la recta

    y = 2 3 x:

    y = x + 4

    y = x

    Lo que aprendimos1. Las grficas de las siguientes expresiones algebraicas son lneas rectas.

    Recta R Recta S Recta T Recta U Recta V

    y = 1 2 x + 4 y = 2x y = 1 2 x y = 2x + 1 y = x + 4

    a) Qu recta es paralela a la recta y = x + 4?

    b) Qu recta es paralela a la recta y = 2x + 1?

    Dibuja en tu cuaderno las grficas de las expresiones anteriores para verificar tus resul-tados.

    2. Encuentra dos expresiones cuyas grficas sean rectas paralelas a la grfica de la recta y = 1 2x.

    Recta 1 y =

    Recta 2 y =

    MAT2 B3 S23.indd 96 9/10/07 12:37:56 PM

  • 97

    IIMATEMTICASMiscelnea de ProbleMas y algo MsLo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas, las pendientes

    y las ordenadas al origen de algunas lneas rectas.

    Recta expresin Pendiente Ordenada al origen

    a y = x + 2

    B y = x + 2 -1

    c y = x + 2 2

    D y = 3x + 2

    e y = 1 2 x + 2

    Grafica estas rectas usando colores distintos para cada una.

    y

    x

    sesin 4

    10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    MAT2 B3 S23.indd 97 9/10/07 12:37:57 PM

  • 98

    secuencia 23a) Estas rectas se intersecan en un mismo punto, cules son las coordenadas de este

    punto? ( , ).

    b) Encuentra otras dos rectas distintas que se intersequen en el mismo punto. Escribe

    sus expresiones correspondientes:

    Recta F y =

    Recta G y =

    c) Cul de las rectas anteriores tiene el menor ngulo de inclinacin respecto al

    eje x ?

    d) Cul de las rectas anteriores tiene el mayor ngulo de inclinacin respecto al

    eje x?

    Verifica midiendo estos dos ngulos de inclinacin.

    2. En el siguiente plano cartesiano se graficaron cinco rectas incompletas.

    y

    x

    Recta R

    Recta S

    Recta T

    Recta U

    Recta V

    MAT2 B3 S23.indd 98 9/10/07 12:37:57 PM

  • 99

    IIMATEMTICASa) Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas de cada

    una de las lneas rectas anteriores.

    Recta R Recta s Recta T Recta u Recta V

    expresin y = y = y = y = y =

    Ordenada al origen

    Pendiente

    b) Encuentra los ngulos de inclinacin respecto al eje x de cada una de las rectas y completa la siguiente tabla.

    Recta R Recta s Recta T Recta u Recta V

    ngulo de inclinacin

    c) Qu rectas son paralelas a la recta T?

    3. Para conocer ms sobre la pendiente y la ordenada al origen de las lneas rectas pue-den ver el programa Las caractersticas de la lnea recta.

    Para saber ms

    Sobre las rectas y puntos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Pea, Jos Antonio. Rectas y puntos en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/ Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre las rectas paralelas y algunas ilusiones pticas consulta: http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].

    MAT2 B3 S23.indd 99 9/10/07 12:37:58 PM

  • 100

    6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6669=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9999=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999 6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6

    66

    9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999

    6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6669=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9999=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999 6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6

    66

    9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999

    MAT2 B4 S24.indd 100 9/10/07 12:39:35 PM

  • 6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6669=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9999=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999 6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6

    66

    9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999

    101

    6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6669=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9999=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999 6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6

    66

    9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x999

    BLOQUE 4

    MAT2 B4 S24.indd 101 9/10/07 12:39:38 PM

  • 102

    secuencia 24

    En esta secuencia vas a conocer las leyes de los exponentes y vas a utilizar la notacin cientfica para resolver problemas.

    PRODUCTO DE POTENCIASPara empezarEn la secuencia 26 de tu libro Matemticas i, volumen ii estudiaste que una potencia es la multiplicacin de un nmero por s mismo varias veces. Por ejemplo: 7 7 7 7 7 es la quinta potencia de 7, se escribe 75 y se lee como 7 elevado a la 5 o simplemen-te 7 a la 5. El 7 es la base y el 5 es el exponente.

    La segunda potencia de un nmero tambin se llama el cuadrado del nmero o el n-mero elevado al cuadrado, y la tercera potencia de un nmero tambin se dice el cubo del nmero o el nmero elevado al cubo.

    En esta sesin hars productos de potencias con la misma base.

    Consideremos lo siguienteCalculen los resultados de los siguientes productos y respondan las preguntas.

    a) 2 2 2 2 =

    b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, cul es el exponente?

    2 2 2 2 = 2

    c) 23 24 = =

    d) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, cul es el exponente?

    23 24 = 2

    e) 25 21 = = = 2

    f) 2 = 256

    Comparen sus respuestas. Comenten como hicieron para encontrar los exponentes.

    SESIN 1

    Potencias y notacin cientfica

    MAT2 B4 S24.indd 102 9/10/07 12:39:40 PM

  • 103

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Escriban cada una de las potencias como multiplicaciones y respondan las preguntas.

    a) 23 22 =

    23 22

    b) Cuntos 2 se estn multiplicando en total?

    c) 21 26 =

    21 26

    d) Cuntos 2 se estn multiplicando en total?

    e) 27 23 =

    f) Cuntos 2 se estn multiplicando en total?

    ii. Completen la siguiente tabla de multiplicacin de potencias de base 2. Escriban todos los resultados utilizando una potencia de esa misma base.

    21 22 23 24 25

    21 26

    22 23

    23 26

    24

    25

    El resultado del producto de dos potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de esa misma base, cmo podemos encontrar el exponente del resultado?

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) La multiplicacin 32 34 se puede expresar como una potencia de 3, cul es el ex-

    ponente de esta potencia?

    b) La multiplicacin 47 45 se puede expresar como una potencia de 4, cul es el ex-

    ponente de esta potencia?

    c) La multiplicacin (2a )(2b ) se puede expresar como una potencia de 2, cul es el ex-

    ponente de esta potencia?

    MAT2 B4 S24.indd 103 9/10/07 12:39:41 PM

  • 104

    secuencia 24

    A lo que llegamosEn un producto de potencias de la misma base el resultado es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes

    (a n )(a m ) = a n+m

    Por ejemplo:

    27 210 = 27+10 = 217

    iii. Expresen como potencia de la misma base el resultado de los siguientes productos de potencias:

    a) 28 24 = b) 52 59 =

    c) 75 712 = d) (3a )(3b ) =

    e) (n 3 )(n 2 ) = f) (m a )(m b ) =

    Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas

    ( ) 3 3 3 3 3

    ( ) 23 24

    ( ) 26

    ( ) 23 + 24

    (a) 14

    (b) 64

    (c) 53

    (d) 24

    (e) 47

    (f) 35

    (g) 48

    (h) 27

    (i) 12

    2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

    a) 36 33 = b) 52 56 = c) 210 25 =

    d) 81 87 = e) (7 7 7) (7 7) = f) (63) (6 6 6) =

    g) 213 21 = h) 45 42 46 = i) 31 312 37 =

    MAT2 B4 S24.indd 104 9/10/07 12:39:42 PM

  • 105

    IIMATEMTICASPOTENCIAS DE POTENCIASPara empezarEn la sesin anterior realizaste productos de potencias de la misma base. En esta sesin hars potencias de potencias.

    Consideremos lo siguienteCalcula el resultado de las siguientes potencias de potencia. Todos los resultados se pue-den expresar como una potencia, encuentra cul es.

    OperacinExpresa el resultado como una potencia de la misma base

    (22)3 = = 2

    (24)2 = = 2

    (52)2 = = 5

    (33)2 = = 3

    (23)3 = = 2

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar el exponente con el que expresaron el resultado.

    Manos a la obrai. Responde las preguntas.

    a) Seala cul de los tres procedimientos siguientes es correcto para encontrar el resultado de (23)3.

    (23)3 = (6)3 = 216.

    (23)3 = (2)6 = 64.

    (23)3 = (8)3 = 512.

    b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, cul es el exponente?

    SESIN 2

    MAT2 B4 S24.indd 105 9/10/07 12:39:42 PM

  • 106

    secuencia 24c) Explica dnde est el error en los dos procedimientos que no sealaste.

    ii. Responde las preguntas.

    a) Expresa las siguientes multiplicaciones como una potencia de potencia:

    23 23 23 23 = (23)

    64 64 64 64 64 64 64 = (64)

    b) Desarrolla la siguiente potencia de potencia:

    (32)5 =

    32 32 32 32 32

    c) Cuntos 3 se estn multiplicando en total?

    d) Desarrolla (53)2

    (53)2 =

    53 53

    e) Cuntos 5 se estn multiplicando en total?

    Comparen sus respuestas. Comenten: la potencia de potencia (53)4 se puede expresar como una potencia de base 5, cul es el exponente?

    iii. Expresa como potencia el resultado de las siguientes potencias de potencias:

    a) (32)7 = b) (56)3 =

    c) (27)1 = d) (n 4)8 =

    e) (2a )b = f) (m a )b =

    El resultado de una potencia de potencia, se puede expresar como otra potencia de esa misma base, cmo podemos encontrar el exponente del resultado?

    MAT2 B4 S24.indd 106 9/10/07 12:39:43 PM

  • 107

    IIMATEMTICASA lo que llegamosEn una potencia de potencia, el resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

    (a n )m = a nm

    Por ejemplo:

    (85)3 = 85 3 = 815

    Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas

    ( ) 52 53

    ( ) 52 + 53

    ( ) (52)3

    (a) 30

    (b) 56

    (c) 255

    (d) 150

    (e) 55

    (f) 25

    (g) 256

    2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia:

    a) (36)1 = b) (51)4 =

    c) (210)5 = d) (42)6 =

    e) (34)2 = f) (27)5 =

    g) ((23)2)4 = h) ((32)5)7 =

    MAT2 B4 S24.indd 107 9/10/07 12:39:44 PM

  • 108

    secuencia 24

    COCIENTES DE POTENCIASPara empezarEn las sesiones anteriores realizaste productos de potencias de la misma base y potencias de potencias. En esta sesin hars cocientes de potencias de la misma base.

    Consideremos lo siguienteEncuentra el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base y ex-prsalo utilizando una potencia:

    Operacin Expresa el resultado como una potencia de la misma base

    25

    22 = 32

    4 = = 2

    34

    32 = = 3

    2

    2 = 2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2 = = 2

    24

    27 = 16

    128 = =

    1

    2

    3

    3 =

    3 33 3 3 3

    = = 1

    3

    22

    28 = = 1

    2

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar el resultado de cada cociente y cmo encontraron los exponentes que faltaban.

    Manos a la obrai. Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprsalo

    como una potencia de la misma base.

    a) 26

    22 = 64

    4 = = 2

    b) 34

    33 = =

    c) 27

    23 = =

    Recuerda que:

    Para simplificar una fraccin, se

    divide por el mismo nmero al

    numerador y al denominador.

    Por ejemplo:

    624

    = =

    14

    6

    6

    Entonces 624

    y 14 son equivalentes.

    SESIN 3

    MAT2 B4 S24.indd 108 9/10/07 12:39:46 PM

  • 109

    IIMATEMTICASd) 3

    2

    33 = 9

    27 = =

    1

    3

    e) 23

    26 = =

    f) 32

    37 = =

    ii. En un cociente de potencias, se puede expresar cada potencia como una multiplica-cin y, para simplificar, se separan los factores:

    26

    22 = 2 2 2 2 2 2

    2 2 = 2

    2 2

    2 2 2 2 2

    a) Cul es el resultado de 22

    ?

    b) Completa las operaciones con el resultado de 22

    :

    26

    22 = 2

    2 2

    2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 =

    c) El resultado lo podemos expresar como una potencia de 2:

    26

    22 = 2

    d) En el siguiente cociente de potencias, completa los resultados para simplificar los factores:

    23

    25 = 2 2 2

    2 2 2 2 2 = 2

    2 2

    2 2

    2 1

    2 1

    2 = 1

    2 1

    2 =

    e) Expresa el resultado utilizando una potencia de 2:

    23

    25 =

    1

    2

    f) Completa las operaciones y encuentra el resultado:

    2

    2 = 2 2 2 2 2

    2 2 2 2 2 =

    g) 27

    27 =

    iii. Expresa el resultado de los siguientes cocientes utilizando una potencia de la misma base.

    a) 29

    24 =

    MAT2 B4 S24.indd 109 9/10/07 12:39:47 PM

  • 110

    secuencia 24

    b) 38

    31 =

    c) 54

    58 =

    d) 48

    414 =

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) Cul es la relacin entre los exponentes del cociente y el exponente del resultado?

    b) Cul es el resultado de 59

    59?

    A lo que llegamos

    En un cociente de potencias de la misma base, cuando el exponente en el numerador es mayor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.

    En general, si n > m.

    a n a m=a

    nm

    Por ejemplo:

    613

    65 = 6135 = 68

    Cuando el exponente en el numerador es menor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a una fraccin con numerador igual a uno y con denominador igual a una potencia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.

    En general, si n < m.a n a m =

    1a mn

    Por ejemplo: 7

    4 7 12 =

    17124 =

    178

    Si los dos exponentes son iguales, el resultado es igual a uno.

    En general, a

    n a n = 1

    Por ejemplo:96 96 = 1

    MAT2 B4 S24.indd 110 9/10/07 12:39:49 PM

  • 111

    IIMATEMTICASLo que aprendimosExpresa el resultado de los siguientes cocientes de potencias. Utiliza una potencia de la misma base.

    a) 39

    34 = b) 5

    12

    53 =

    c) 28

    21 = d) 4

    3

    43 =

    e) 62

    69 = f) 3

    6

    311 =

    g) 211

    211 = h) 8

    10

    821 =

    i) m 18

    m 9 = j) a

    7

    a 15

    EXPONENTES NEGATIVOSPara empezarEn la sesin anterior encontraste el resultado de cocientes de potencias. En esta sesin trabajars con exponentes negativos.

    Consideremos lo siguienteCompleten los resultados y respondan las preguntas:

    26 25 24 23 22 21 20 21 22 23 24 25 26 27

    4 2 12 1

    4

    a) Entre cunto se divide para pasar del resultado de 24 al resultado de 23?

    b) Entre cunto se divide para pasar del resultado de 22 al resultado de 21?

    c) Entre cunto se divide para pasar del resultado de 21 al resultado de 22?

    d) Entre cunto se divide para pasar del resultado de 22 al resultado de 23?

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar el resultado de 20 y de las potencias con exponente negativo.

    SESIN 4

    MAT2 B4 S24.indd 111 9/10/07 12:39:50 PM

  • 112

    secuencia 24

    Manos a la obrai. Entre dos potencias consecutivas, como las de la tabla, siempre se hace la misma

    operacin para pasar de una potencia a la siguiente. Completen los resultados.

    a) 1

    8 =

    1

    2 = 23

    b) 1

    16 =

    1

    2 = 2

    c) 1

    32 =

    1

    2 = 2

    d) 1

    64 =

    1

    2 = 2

    ii. Completen lo que falta en la tabla y respondan las preguntas:

    33 32 31 32 33 34

    1 13

    a) Los resultados de 132 y de 3

    2, son iguales o son diferentes?

    b) Cunto es el resultado de 30?

    iii. Encuentren los resultados de las siguientes potencias. Exprsalos sin utilizar otra potencia.

    a) 50 =

    b) 52 =

    c) 54 =

    Comparen sus respuestas. Hagan una tabla como las anteriores para verificar sus resultados.

    A lo que llegamos

    Una potencia con exponente negativo es igual a una fraccin cuyo numerador es uno y cuyo denominador es una potencia de la misma base con exponente igual al valor abso-luto del exponente negativo. Si n > 0

    a -n = 1a nUna potencia con exponente cero es igual a uno.

    a 0 = 1

    MAT2 B4 S24.indd 112 9/10/07 12:39:52 PM

  • 113

    IIMATEMTICASiV. Encuentren los exponentes que faltan.

    a) 72

    76 =

    1

    7 = 7 b) 8

    815 =

    1

    810 = 8

    c) 26

    2 =

    1

    2 = 218 d) a

    1

    a 5 =

    1

    a = a

    e) 38

    38 = 1 = 3 f) 4

    46 = 1 = 4

    g) 610

    610 = 6 h) 5

    3

    50 = 5

    A lo que llegamosEn cualquier cociente de potencias de la misma base, el resultado es igual a una poten-cia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general

    a n a m = a

    n-m

    Por ejemplo:

    815 89 = 8

    15-9 = 86

    67 612 = 6

    7-12 = 6-5

    54 54 = 5

    4-4 = 50 = 1

    V. Expresen el resultado de cada cociente utilizando una potencia de la misma base.

    a) 511

    516 = 5 b) 7

    8

    719 = 7

    c) a 4

    a 6 = a d) b

    15

    b 27 = b

    e) 211

    224 = 2 f) 2

    4

    211 = 2

    MAT2 B4 S24.indd 113 9/10/07 12:39:54 PM

  • 114

    secuencia 24

    Lo que aprendimos1. Encuentra el resultado de las siguientes potencias. Exprsalos sin utilizar otra potencia.

    a) 34 = b) 28 =

    c) 21 = d) 92 =

    e) 52 = f) 30 =

    g) 150 = h) 41 =

    2. Relaciona las columnas de manera que los resultados sean los mismos

    ( ) 22

    23 (a) 32

    ( ) 35

    37 (b) 38

    ( ) 33

    39 (c) 24

    ( ) 27

    27 (d) 21

    ( ) 24

    28 (e) 36

    ( ) 32

    310 (f) 20

    ( ) 27

    29 (g) 22

    3. Calcula las siguientes potencias de diez, utiliza nmeros decimales cuando sea necesario.

    104 103 102 101 100

    101 102 103 104 105 106

    MAT2 B4 S24.indd 114 9/10/07 12:39:55 PM

  • 115

    IIMATEMTICASNOTACIN CIENTFICAPara empezarNmeros muy grandes y muy pequeos

    Cul es la masa del Sol? Cul es el tamao de un tomo? Para manipular y hacer ope-raciones con cantidades muy grandes o muy pequeas se utiliza la notacin cientfica.

    Respondan las preguntas.

    a) Cuntos ceros hay despus del 1 en 104?

    b) Cuntos ceros hay despus del 1 en 1029?

    c) Cuntas cifras hay despus del punto decimal en 106?

    d) Cuntas cifras hay despus del punto decimal en 1042?

    Consideremos lo siguienteLas cantidades muy grandes o muy pequeas las podemos expresar utilizando po-tencias de 10. Completa la siguiente tabla.

    MedidaMedida expresada

    utilizando una potencia de diez

    Distancia media de la Tierra a la Luna

    km 3.8 105 km

    Distancia media de la Tierra al Sol

    150 000 000 km 1.5 km

    Ao luz (distancia que recorre la luz en un ao)

    9 500 000 000 000 km 1012 km

    Tamao de un bacteria 0.005 mm 103 mm

    Tamao de un virus mm 1.8 105 mm

    Tamao de un tomo 0.0000000001 mm mm

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo son los nmeros que multiplican a las potencias de 10 en la tabla.

    Recuerda que:

    Al multiplicar nmeros decimales, una manera de saber dnde colocar el punto decimal es sumando el nmero de cifras que hay a la derecha del punto decimal en el primer factor y en el segundo factor, y en el resultado poner esa cantidad de cifras decimales. Por ejemplo: 1.2 0.7 = 0.84, ya que 12 7 = 84 y hay dos cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.

    Cuando hagan falta lugares para poner el punto en el lugar adecuado se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo: 2.841 0.00005 = 0.00014205, ya que 2 841 5 = 14 205 y hay ocho cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.

    SESIN 5

    MAT2 B4 S24.indd 115 9/10/07 12:39:56 PM

  • 116

    secuencia 24

    Manos a la obrai. Realiza las multiplicaciones.

    5.153 100 =

    5.153 101 =

    5.153 102 =

    5.153 103 =

    5.153 104 =

    5.153 1010 =

    5.153 1015 =

    5.153 1020 =

    Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una

    potencia de 10 con exponente positivo:

    ii. Realiza las multiplicaciones.

    7.25 101 = 7.25 0.1 = 0.725

    7.25 102 = 7.25 0.01 =

    MAT2 B4 S24.indd 116 9/10/07 12:39:56 PM

  • 117

    IIMATEMTICAS7.25 103 =

    7.25 104 =

    7.25 105 =

    7.25 106 =

    7.25 1010 =

    7.25 1015 =

    7.25 1022 =

    7.25 1030 =

    Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una

    potencia de 10 con exponente negativo:

    iii. Realiza las siguientes multiplicaciones. Utiliza las reglas que escribiste.

    a) 1.9164 107 =

    b) 4.4 1018 =

    c) 2.57 108 =

    d) 9.23 1021 =

    Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrn una regla para multiplicar nmeros cuando uno de los factores es una potencia de 10.

    MAT2 B4 S24.indd 117 9/10/07 12:39:57 PM

  • 118

    secuencia 24

    A lo que llegamos

    La notacin cientfica es una convencin para expresar cantidades muy grandes o muy pequeas.

    Un nmero est en notacin cientfica cuando se expresa de la forma

    a 10n

    Donde a es un nmero mayor que 1 y menor que 10 y n es un nmero entero.Por ejemplo, los siguientes nmeros estn en notacin cientfica:

    1.76 1015

    4.034 108

    Cuando multiplicamos un nmero por una potencia de 10 con exponente positivo, el punto se recorre hacia la derecha tantos lugares como el valor del exponente. Si es nece-sario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:

    1.76 1015 = 1 760 000 000 000 000

    El punto se recorre hacia la derecha 15 lugares

    Cuando multiplicamos un nmero por una potencia de 10 con exponente negativo, el punto se recorre hacia la izquierda tantos lugares como el valor absoluto del exponente: Si es necesario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:

    4.034 108 = 0.00000004034

    El punto se recorre hacia la izquierda 8 lugares

    iV. Responde las preguntas

    a) La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Sea-la cul de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notacin cientfica.

    525 106 km. 5.25 109 km.

    5.25 108 km. 525 108 km.

    MAT2 B4 S24.indd 118 9/10/07 12:39:58 PM

  • 119

    IIMATEMTICASb) Una clula mide aproximadamente 0.0003 mm. Seala cul de las siguientes ex-

    presiones es igual a esta cantidad en notacin cientfica.

    3 103 mm.

    0.3 103 mm.

    0.3 104 mm.

    3 104 mm.

    V. Relaciona las columnas para que cada nmero quede expresado en notacin cientfica:

    ( ) 56 712 000 000 000 000 (a) 6.1 1011

    ( ) 0. 0000000000061 (b) 3.88 1022

    ( ) 388 000 000 000 000 000 000 000 (c) 8.54 1020

    ( ) 0. 0000000000000000000854 (d) 5.6712 1015

    (e) 3.88 1023

    (f) 8.54 1019

    (g) 5.6712 1017

    (h) 6.1 1013

    (i) 8.54 1021

    (j) 6.1 1012

    (k) 5.6712 1016

    (l) 3.88 1024

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B4 S24.indd 119 9/10/07 12:40:00 PM

  • 120

    secuencia 24

    Lo que aprendimos1. Expresa en notacin cientfica los siguientes nmeros.

    a) 1 200 000 = b) 73 000 000 000 000 =

    c) 37 850 000 = d) 0.0000009 =

    e) 0.000000000828 = f) 0.003371 =

    2. Seala con una cules de los siguientes nmeros estn en notacin cientfica.

    ( ) 5.65 1023 ( ) 5 650 000 ( ) 56.5 10234

    ( ) 17 1011 ( ) 1.7 1016 ( ) 0.0000000000017

    ( ) 325.435 105 ( ) 0.65 1034 ( ) 0.003 108

    3. Completa la siguiente tabla.

    Medida Medida expresada en notacin cientfica

    Masa de la Tierra 5.974 1024 kg

    Masa del Sol 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg 1.9891 kg

    Vida media de un mun (partcula similar a un electrn)

    0.0000022 s 106 s

    Masa de un protn 1.6 1027 kg

    4. Expresa en notacin cientfica el resultado de las siguientes multiplicaciones:

    a) (4 105) (3 108) =

    b) (1.3 104) (7 106) =

    c) (8 104) (6 103) =

    d) (5 108) (2.1 102) =

    5. Para conocer ms sobre el clculo con exponentes y potencias pueden ver el programa Leyes de los exponentes y notacin cientfica.

    MAT2 B4 S24.indd 120 9/10/07 12:40:00 PM

  • 121

    IIMATEMTICASPara saber ms

    ConsultaenlasBibliotecasEscolaresydeAula:Bosch,CarlosyClaudiaGmez.Potencias,chismesycadenas,Unidadesastron-micasymicroscpicas,NumerotesyUnnmeromuygrandeenUnaventanaalinfinito.Mxico:SEP/Santillana,LibrosdelRincn,2003.

    TondaMazn,Juan.PotenciasdediezyNotacincientficaenLamedicinysusunidades.Mxico:SEP/Santillana,LibrosdelRincn,2003.

    MAT2 B4 S24.indd 121 9/10/07 12:40:00 PM

  • 122

    secuencia 25

    En esta secuencia estudiars los criterios de congruencia de tringulos.

    tres lados igualesPara empezarFiguras congruentes

    En geometra, a las figuras que son iguales se les llama figuras congruentes. Una forma de verificar la congruencia entre dos o ms figuras geomtricas es sobreponindolas y ver que coincidan.

    Lo anterior significa que dos polgonos son congruentes si se puede hacer corresponder los lados y los ngulos de uno con los lados y los ngulos del otro, de manera que:

    a) Cada lado de uno de los polgonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polgono, y

    b) Cada ngulo interno de uno de los polgonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polgono.

    Consideremos lo siguienteConstruyan y recorten dos tringulos cuyos lados midan lo mismo que los siguientes segmentos:

    sesin 1

    Tringulos congruentes

    MAT2 B4 S25.indd 122 9/10/07 12:40:34 PM

  • 123

    IIMATEMTICAS

    a) Pudieron construir un tringulo cuyos lados midan lo mismo que los tres segmentos

    dados? Por qu?

    b) Los tringulos que construyeron son congruentes o son diferentes?

    c) Cmo son las medidas de los lados de uno de los tringulos respecto a las medidas

    de los lados del otro tringulo?

    d) Cmo son las medidas de los ngulos de uno de los tringulos respecto a las medidas

    de los ngulos del otro tringulo?

    e) Creen que se pueda construir un tringulo con la misma medida de lados y que sea

    diferente a los que construyeron?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. En la siguiente figura, el segmento AB mide 7 cm y el radio de la circunferencia con

    centro en A mide 5 cm. Elijan tres puntos de la circunferencia que no sean colineales con A y B, y dentenlos como C1, C2 y C3, respectivamente.

    Recuerden que:

    Tres puntos son colineales si

    pertenecen a una misma recta.

    a B

    Recuerden que:Un tringulo se puede denotar por las letras asignadas a sus tres vrtices. As el tringulo

    O

    PQ

    se denota como el tringulo OPQ.

    MAT2 B4 S25.indd 123 9/10/07 12:40:34 PM

  • 124

    secuencia 25a) Tracen el tringulo ABC1, cunto mide el lado BC1?

    b) Tracen el tringulo ABC2, cunto mide el lado BC2?

    c) Tracen el tringulo ABC3, cunto mide el lado BC3?

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) Cmo son los tringulos entre s: congruentes o distintos?

    b) Pueden construir ms tringulos que tengan un lado de 7 cm de largo y otro de 5 cm y que sean diferentes entre s? Constryanlos.

    ii. En la siguiente figura el segmento O1O2 mide lo mismo que el segmento MN. El radio del crculo con centro O1 mide lo mismo que el segmento SP. Y el radio del crculo con centro en O2 mide lo mismo que el segmento QR.

    M

    n

    sP

    Q R

    O1 O2

    Figura 1

    Construyan dos tringulos cuyos lados midan lo mismo que de los segmentos MN, OP y QR. Usen al segmento O1,O2 como uno de los lados.

    a) Lograron elegir dos puntos que cumplieran con las condiciones pedidas? Justifiquen su respuesta

    b) Midan los ngulos internos de los tringulos que construyeron y contesten, cmo

    son entre s las medidas de los dos tringulos?

    Comparen sus respuestas. Midan los ngulos de los tringulos y verifiquen sus respuestas. Comenten: podrn construir algn tringulo cuyos lados midan lo mismo que los segmentos MN, OP y QR pero las medidas de sus ngulos distintos sean distintas a las de los tringulos que construyeron?

    A lo que llegamosDadas las medidas de los tres lados, todos los tringulos que se pueden construir con esas medidas son congruentes entre s.

    Si se toman solamente las medidas de dos lados, se puede construir muchos tringulos diferentes entre s que tengan dos lados con esas longitudes.

    MAT2 B4 S25.indd 124 9/10/07 12:40:35 PM

  • 125

    IIMATEMTICASiii. Las medidas de los lados del tringulo ABC son iguales a las medidas de los lados del

    tringulo DEF.

    Marquen del mismo color las parejas de lados que tienen la misma medida.

    Marquen del mismo color las parejas de ngulos iguales.

    a

    Bc

    D

    e

    F

    a) Son congruentes los tringulos ABC y DEF?

    Completen las siguientes afirmaciones para que sean verdaderas:

    b) El lado AB es el correspondiente del lado

    c) El lado BC es el correspondiente del lado

    d) El lado CA es el correspondiente del lado

    e) El ngulo ABC es el correspondiente del ngulo

    f) El ngulo BCA es el correspondiente del ngulo

    g) El ngulo CAB es el correspondiente del ngulo

    A lo que llegamosPara que dos tringulos sean congruentes es suficiente que las medi-das de los tres lados de un tringulo sean iguales a las medidas de los tres lados correspondientes de otro tringulo.

    ste es un criterio de congruencia de tringulos que se denota por LLL.

    MAT2 B4 S25.indd 125 9/10/07 12:40:36 PM

  • 126

    secuencia 25

    Lo que aprendimosJustifica si en cada figura los tringulos resaltados son congruentes entre s.

    Paralelogramo Pentgono regular Papalote Heptgono irregular

    un ngulo y dos lados correspondientes igualesPara empezarEn la sesin anterior aprendiste el criterio de congruencia LLL: dos tringulos son con-gruentes si las medidas de los tres lados de uno son iguales a las medidas de los tres lados correspondientes del otro. Para denotar que dos tringulos son congruentes se utiliza el smbolo . Y se escribe: OAB OCD. Y se lee: el tringulo OAB es congruente con el tringulo OCD.

    Consideremos lo siguienteConstruyan dos tringulos de tal manera que dos lados de cada tringulo midan lo mis-mo que los segmentos dados y que el ngulo formado por esos dos lados mida 45.

    R s

    u V

    a) Los tringulos que construyeron son congruentes o son diferentes?

    b) Creen que se pueda construir un tringulo distinto a los que constuyeron de tal manera que dos de sus lados midan lo mismo que los segmentos dados y que el n-gulo formado por esos lados mida lo mismo que el ngulo dado? Justifiquen su respuesta

    Comparen y comenten sus respuestas.

    sesin 2

    MAT2 B4 S25.indd 126 9/10/07 12:40:37 PM

  • 127

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Anoten las medidas de los lados y ngulos de los siguientes tringulos.

    Tringulo 1 Tringulo 2 Tringulo 3 Tringulo 4

    a) Cules tringulos son congruentes entre s?

    b) Qu tienen en comn los cuatro tringulos?

    A lo que llegamosSi dos lados de un tringulo miden lo mismo que sus correspondien-tes dos lados de otro tringulo, no podemos garantizar que los trin-gulos sean congruentes.

    ii. Los siguientes tringulos tienen un lado que mide 7 cm, otro lado de 4 cm y un n-gulo de 45. En cada tringulo marquen de rojo el lado que mide 7 cm, de negro el que mide 4 cm y de azul el ngulo de 45.

    a) Cunto mide el tercer lado en cada tringulo?

    b) Hay alguna pareja de tringulos congruentes? Cul?

    c) El tringulo A es congruente con el tringulo C? Justifica

    tu respuesta

    Tringulo A

    Tringulo BTringulo C

    MAT2 B4 S25.indd 127 9/10/07 12:40:37 PM

  • 128

    secuencia 25

    A lo que llegamosSi dos tringulos tienen dos lados correspondientes con la misma medida y un ngulo igual, no necesariamente son congruentes.

    iii. El siguiente tringulo tiene un lado de 5 cm, otro lado de 3 cm y el ngulo formado por esos dos lados mide 45.

    a) Marquen los lados que miden 5 cm y 3 cm y el ngulo entre ellos.

    b) Cunto mide su tercer lado?

    c) Cunto miden sus otros dos ngulos? y

    d) Los tringulos que construyeron en el apartado Consideremos lo

    siguiente son congruentes con ste?

    A lo que llegamosSi dos tringulos tienen dos lados correspondientes iguales y el ngu-lo entre ellos es igual al ngulo entre los correspondientes, entonces los tringulos son congruentes.

    ste es un segundo criterio de congruencia de tringulos que se deno-ta por LAL.

    Lo que aprendimosConstruyan un tringulo issceles y tracen la bisectriz de uno de sus ngulos.

    a) En cuntos tringulos qued dividido el tringulo issceles?

    b) Cmo son esos tringulos entre s?

    Justifiquen su respuesta

    c) Pasar lo mismo si trazan cualquiera de las otras dos bisectrices? Por

    qu?

    MAT2 B4 S25.indd 128 9/10/07 12:40:38 PM

  • 129

    IIMATEMTICASun lado y dos ngulos correspondientes igualesPara empezarEn las primeras dos sesiones aprendiste dos criterios para garantizar la congruencia de trin-gulos. En el primero, LLL, basta con garantizar la igualdad de las medidas de los tres lados de un tringulo con las medidas de sus correspondientes lados en el otro tringulo. En el segundo, LaL, es suficiente garantizar la igualdad entre dos lados de un tringulo y el n-gulo que forman entre ellos y sus correspondientes lados y ngulo que forman entre ellos.

    Comenten: creen que existan ms criterios de congruencia de tringulos?

    Consideremos lo siguienteLean las siguientes afirmaciones y escriban si son falsas o verdaderas.

    a) Si dos ngulos de un tringulo son iguales a sus correspondientes de otro tringulo,

    entonces los tringulos son congruentes.

    b) Si los tres ngulos de un tringulo miden lo mismo que los tres ngulos de otro trin-

    gulo, entonces los tringulos son congruentes.

    c) Si dos ngulos de un tringulo y el lado comprendido entre ellos miden lo mismo que sus correspondientes en otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes.

    Comparen y justifiquen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Cada uno de los integrantes del equipo construya un tringulo de tal manera que dos

    de sus ngulos midan 60 y 90, respectivamente. Comparen los tringulos que cons-truyeron y contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto mide el tercer ngulo en cada uno de los tringulos que trazaron?

    b) Cunto miden los lados en cada uno de los tringulos que trazaron?

    Comparen sus respuestas. Comenten: pueden construir ms tringulos que cumplan con las condiciones pedidas y que sean diferentes a los que ya tienen? Por qu?

    sesin 3

    MAT2 B4 S25.indd 129 9/10/07 12:40:39 PM

  • 130

    secuencia 25

    En un tringulo, el lado

    comn a dos ngulos

    es el lado que forma

    parte de los dos ngulos.

    ii. En cada tringulo, anoten las medidas de los ngulos internos y de los lados.

    a) Las medidas de los ngulos internos

    del tringulo A1B1C1 son iguales a las

    medidas de los ngulos internos del

    tringulo A2B2C2 ? y son

    iguales a las medidas de los ngulos in-

    ternos del tringulo A3B3C3 ?

    b) Cunto miden los lados A1C1 , A2B2 ,

    B3C3?

    c) Son congruentes los tringulos entre

    s? Justifiquen su respuesta

    A lo que llegamos

    a1 B1

    c1

    a2 B2

    c2

    a3 B3

    c3

    Si dos tringulos tienen dos ngulos correspondientes iguales y el lado comn a los ngulos mide lo mismo en ambos tringulos, entonces podemos asegurar que los tringu-los son congruentes. ste es el tercer criterio de congruencia de tringulos que se denota por ALA. Y no es necesario probar la igualdad del tercer ngulo y de los otros dos lados.

    Si dos tringulos tienen dos ngulos correspondientes iguales, no se puede garantizar que sean congruentes.

    Si dos tringulos tienen sus tres ngulos correspondientes iguales, no se puede garan-tizar que sean congruentes.

    iii. Cada integrante del equipo construya un tringulo de manera que dos de sus ngulos midan 70 y 40, respectivamente, y que el lado comn a los dos ngulos mida 5 cm.

    a) Cmo son entre si los tringulos que construyeron, congruentes o

    diferentes?

    b) Pueden construir dos tringulos diferentes y que cumplan con las

    condiciones pedidas?

    c) Cunto mide el tercer ngulo en cada uno de los tringulos que

    trazaron?

    Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas.

    A lo que llegamos

    MAT2 B4 S25.indd 130 9/10/07 12:40:40 PM

  • 131

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. De los siguientes tringulos, encierra el que sea congruente con el tringulo verde.

    100

    50

    2 cm

    100

    50

    2 cm2 cm50

    100 100

    50

    2 cm

    a

    B c

    sR

    Recuerda que:

    La bisectriz de un ngulo es una

    recta que divide al ngulo en dos

    ngulos iguales.

    2. En el siguiente tringulo issceles se trazaron las bisectrices de los ngulos iguales ABC y ACB respectivamente.

    Son congruentes los tringulos ABS y ACR?

    Justifica tu respuesta.

    3. Para conocer algunas aplicaciones de la congruencia de tringulos en la solucin de problemas pueden ver el programa La congruencia en los polgonos.

    Para saber ms

    Sobre congruencia de tringulos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

    Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. Aire de familia en Crnicas geomtricas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    2 cm50

    90

    MAT2 B4 S25.indd 131 9/10/07 12:40:41 PM

  • 132

    secuencia 26

    En esta secuencia explorars las propiedades de las mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en un tringulo.

    MediatricesPara empezarEn la secuencia 12 de tu libro Matemticas i, volumen i, aprendiste que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Los puntos que estn sobre la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.

    Utiliza regla y comps para trazar la mediatriz del siguiente segmento sin medirlo.

    Consideremos lo siguienteTraza una circunferencia que pase por los tres vrtices del tringulo.

    sesin 1

    Puntos y rectas notables del tringulo

    MAT2 B4 S26.indd 132 9/10/07 12:41:08 PM

  • 133

    IIMATEMTICASComparen sus trazos y comenten las estrategias que utilizaron para trazar la circunfe-rencia.

    Manos a la obrai. En el siguiente tringulo se trazaron las mediatrices de los lados FD y De . El punto Q

    es la interseccin de estas mediatrices.

    D

    F e

    Q

    a) Cmo son entre s las distancias del punto D al Q y el punto F al Q?

    b) Cmo son entre s las distancias del punto D al Q y el punto e al Q?

    Justifiquen sus respuestas.

    c) Consideran que la mediatriz del lado Fe pasar por el punto Q?

    Por qu?

    Las tres mediatrices de un tringulo pasan por un mismo punto. Ese punto se llama circuncentro del tringulo.

    MAT2 B4 S26.indd 133 9/10/07 12:41:08 PM

  • 134

    secuencia 26ii. Tracen en cada uno de los siguientes tringulos sus mediatrices:

    a) Completen con S o NO la siguiente tabla:

    Tipo de tringuloEl circuncentro

    queda dentro del tringulo

    El circuncentro queda fuera del tringulo

    El circuncentro queda en un lado

    del tringulo

    Las mediatrices pasan por los vrtices del tringulo

    Obtusngulo

    Acutngulo

    Equingulo

    Rectngulo

    Comparen y comenten sus respuestas.

    a

    B

    c

    Obtusngulo

    L

    M

    n

    Acutngulo

    Q

    O

    P

    Equingulo

    R

    sT

    Rectngulo

    MAT2 B4 S26.indd 134 9/10/07 12:41:09 PM

  • 135

    IIMATEMTICASiii. En el tringulo aBc tracen un crculo que tenga como centro el punto P y como radio

    la distancia que hay del punto P al vrtice a.

    a

    B

    c

    P

    ste crculo pasa tambin por B y por c, a qu creen que se deba?

    Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados.

    A lo que llegamosEl circuncentro de un tringulo equidista de sus vrtices y es el centro del crculo que pasa por sus tres vrtices. A este crculo se llama circuncrculo del tringulo.

    El circuncentro de un tringulo puede quedar dentro del tringulo, en l o fuera de l, segn que ste sea acutn-gulo, rectngulo u obtusngulo.

    F

    G

    eCircuncrculo

    Circuncentro

    Mediatriz

    O

    Mediatriz

    Mediatriz

    MAT2 B4 S26.indd 135 9/10/07 12:41:09 PM

  • 136

    secuencia 26

    Lo que aprendimos1. Traza dos tringulos que tengan el mismo circuncentro.

    2. Traza las mediatrices de un tringulo acutngulo y las mediatrices de un tringulo

    obtusngulo. Los circuncentros quedan dentro o fuera de los tringulos?

    3. Traza el circuncrculo de un tringulo rectngulo. En qu parte del tringulo qued

    ubicado el circuncentro?

    alturasPara empezarUna altura en un tringulo es el segmento perpendicular trazado desde un vrtice al lado opuesto o a la prolongacin de ste.

    90

    Consideremos lo siguienteEn el patio de la escuela se quiere pintar una mariposa como la que se muestra en el dibujo.

    7 cm

    5 cm

    3 cm

    sesin 2

    MAT2 B4 S26.indd 136 9/10/07 12:41:10 PM

  • 137

    IIMATEMTICASPara saber cuntos litros de pintura se tienen que comprar hay que calcular el rea de las alas de la mariposa. Aydales a calcular el rea de las alas.

    a) El rea de una de las alas de la mariposa es

    b) El rea de las alas de la mariposa es

    Comenten los procedimientos que utilizaron para calcular el rea de las alas de la mariposa.

    Manos a la obrai. La siguiente ilustracin muestra una de las alas de la mariposa. Tracen su altura to-

    mando el lado V1V3 como base.

    V1

    V3 V2

    a) Pudieron trazar la altura? Cmo lo hicieron?

    b) Si toman el lado V2V3 como base, se puede trazar su altura?

    Cmo lo haran?

    Comparen sus respuestas y comenten por qu el segmento aD no es altura del trin-gulo aBc.

    B

    D

    c

    a

    MAT2 B4 S26.indd 137 9/10/07 12:41:11 PM

  • 138

    secuencia 26ii. En los siguientes tringulos se trazaron las rectas determinadas por dos de sus alturas.

    Tracen la recta determinada por la tercera altura en cada tringulo.

    Tringuloobtusngulo

    O

    P Q

    H'

    e

    D

    F

    H

    Tringuloacutngulo

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) La recta determinada por la altura desde el vrtice Q pasa por el punto H?

    b) La recta determinada por la altura desde el vrtice F pasa por el punto H?

    iii. Tracen las tres alturas del tringulo UVW.

    V

    u W

    Cul es el punto por el que pasan las tres rectas determinadas por las alturas del

    tringulo?

    Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y calculen el rea de un ala de la mariposa tomando como base uno de los lados del tringulo.

    MAT2 B4 S26.indd 138 9/10/07 12:41:12 PM

  • 139

    IIMATEMTICASA lo que llegamosUn tringulo tienen tres alturas, una por cada lado.

    Las tres rectas determinadas por las alturas de un tringulo pasan por un mismo punto. A ese punto se le llama ortocentro del tringulo. En un tringulo obtusngulo, el orto-centro queda fuera del tringulo; en un tringulo acutngulo, el ortocentro queda dentro del tringulo y en un tringulo rectngulo, el ortocentro es uno de sus vrtices.

    Lo que aprendimos1. En el diagrama se muestran los tringulos: ac1B, ac3B, ac4B y ac6B. Cul de ellos

    tiene mayor rea? Por qu?

    c1

    a B

    c3 c4 c6

    2. Encierra el tringulo en el que la recta trazada sea una de las tres alturas del tringulo.

    MAT2 B4 S26.indd 139 9/10/07 12:41:12 PM

  • 140

    secuencia 263. Localiza el ortocentro de los siguientes tringulos.

    MedianasPara empezarUn malabarista realiza un acto de equilibrio con platos circulares. Usa tres varillas para equilibrar los tres pla-tos por el centro. Y camina por una cuerda tensa.

    Consideremos lo siguienteUn malabarista realiza con mucho xito un espectculo de equilibrio con platos circulares. Ahora ha decidido mostrar a su pblico algo diferente. Pidi a un alfarero fabricar platos triangulares. El alfarero trabaj en el pedido y le present al malabarista los siguientes modelos:

    sesin 3

    Modelo E Modelo IModelo A

    Modelo R

    Modelo O

    MAT2 B4 S26.indd 140 9/10/07 12:41:15 PM

  • 141

    IIMATEMTICASCuando el malabarista vio los platos le dijo al alfarero que slo uno de ellos servira para su espectculo de equilibrio. El alfarero le contest que todos los platos le serviran.

    Recorten los tringulos del anexo Recortables 3. Platos triangulares, elijan uno y tra-ten de equilibrarlo sobre la punta de un lpiz. Contesten:

    Con quin estn de acuerdo, con el malabarista o con el alfarero?

    Por qu?

    Comparen y justifiquen sus respuestas.

    Manos a la obrai. En los siguientes tringulos tomen como base los lados Ts y Bc, respectivamente.

    Midan y tracen lo que consideren necesario en cada tringulo y completen la siguien-te tabla.

    R

    T D s

    a

    B M c

    Cunto mide?Tringulo verde Tringulo morado

    Tringulo RTD Tringulo RDS Tringulo ABM Tringulo AMC

    Base

    Altura

    rea

    A partir de la tabla contesten las siguientes preguntas.

    a) Cmo son entre s las reas de los tringulos RTD y RDs?

    c) Cmo son entre s las reas de los tringulos aBM y aMc?

    c) Cul de las dos rectas dividi al tringulo correspondiente en dos tringulos de

    igual rea, la determinada por R y D o la determinada por a y M?

    MAT2 B4 S26.indd 141 9/10/07 12:41:16 PM

  • 142

    secuencia 26Comparen sus respuestas y comenten: pueden trazar otras rectas que dividan a cada tringulo en dos tringulos de igual rea?

    En un tringulo, a los segmentos que van de un vrtice al punto me-dio del lado opuesto se les llama medianas del tringulo. Una media-na divide al tringulo en dos tringulos de igual rea.

    ii. Tracen la mediana que falta en los siguientes tringulos:

    a) La mediana que trazaron en el tringulo rosa pasa por el punto X?

    b) La mediana que trazaron en el tringulo azul pasa por el punto Y?

    c) La mediana que trazaron en el tringulo verde pasa por el punto Z?

    Las tres medianas de un tringulo se cortan en un punto; a ese punto se le llama baricentro o centro de gravedad.

    M

    n

    X

    O

    Y

    Q

    P

    D

    F

    e

    Z

    MAT2 B4 S26.indd 142 9/10/07 12:41:17 PM

  • 143

    IIMATEMTICASiii. Tracen las medianas del siguiente tringulo y llamen G al punto en el que se cortan.

    D

    F

    e

    a) Cunto mide el rea de cada uno de los 6 tringulos en los que qued dividido el

    tringulo DeF?

    A lo que llegamosLas medianas de un tringulo lo dividen en 6 tringulos que tienen la misma rea. Por esto el tringulo se equilibra cuando coincide el baricentro con la punta del lpiz. Esta caracterstica le da al baricen-tro el nombre de gravicentro o centro de masa.

    Retomen el ejercicio del apartado Consideremos lo siguiente. Determinen los baricentros de los tringulos que recortaron (anexo Recortables 3. Platos triangulares) y equili-bren los tringulos por el baricentro.

    Lo que aprendimos1. Traza las medianas de los siguientes tringulos:

    2. Dibuja dos tringulos que tengan el mismo baricentro.

    MAT2 B4 S26.indd 143 9/10/07 12:41:18 PM

  • 144

    secuencia 26

    BisectricesPara empezarRespondan y comenten las siguientes preguntas:

    a) Qu es un ngulo?

    b) Qu es la bisectriz de un ngulo?

    Los puntos de la bisectriz de un ngulo equidistan de los lados del ngulo.

    M

    n

    L

    P

    P es un punto de la bisectriz del ngulo LMn. Comprueben que P est a la misma dis-tancia del lado LM que del lado Mn.

    Consideremos lo siguienteEncuentren un punto que est a la misma distancia de los tres lados del tringulo.

    a

    c

    B

    Marquen con rojo el punto que encontraron.

    Comenten los procedimientos que siguieron para encontrar al punto.

    sesin 4

    Recuerden que:

    La distancia de un punto a una

    recta se mide por el segmento

    perpendicular que va del punto

    a la recta.

    MAT2 B4 S26.indd 144 9/10/07 12:41:18 PM

  • 145

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Tracen las mediatrices y las medianas del siguiente tringulo.

    a

    c

    B

    a) El punto determinado por las mediatrices del tringulo equidista de sus lados?

    b) El punto determinado por las medianas del tringulo equidista de sus lados?

    ii. En los siguientes tringulos se trazaron las bisectrices de dos de sus ngulos y los puntos en los que esas bisectrices se cortan. Tracen en cada tringulo la bisectriz del tercer ngulo.

    a) b)

    G e

    F

    O

    M

    L n

    P

    MAT2 B4 S26.indd 145 9/10/07 12:41:19 PM

  • 146

    secuencia 26

    c) d)

    W X

    Y

    R

    a

    B c

    Q

    a) La bisectriz del ngulo GFe pasa por el punto O?

    b) La bisectriz del ngulo LnM pasa por el punto P?

    c) La bisectriz del ngulo XWY pasa por el punto R?

    d) La bisectriz del ngulo Bac pasa por el punto Q?

    iii. En el siguiente tringulo se trazaron dos de sus bisectrices, el punto i y las perpendi-culares del punto i a los lados del tringulo.

    a e c

    D

    F

    B

    i

    Respondan con falso o verdadero a los siguientes enunciados:

    a) El punto i equidista de los lados ac y aB.

    b) El punto i equidista de los lados ca y cB.

    c) La distancia iF es mayor que la distancia iD.

    d) Tracen la semirrecta Bi, esta semirrecta es la bisectriz del ngulo cBa.

    Comenten y justifiquen sus respuestas.

    MAT2 B4 S26.indd 146 9/10/07 12:41:20 PM

  • 147

    IIMATEMTICASiV. En el siguiente tringulo se trazaron sus tres bisectrices y las perpendiculares del

    punto i a los lados del tringulo.

    a

    e

    cD

    B

    F

    i

    Tracen un crculo con centro en i y radio ie.

    Comparen sus trazos y comenten:

    a) El crculo pasa tambin por los puntos D y F?

    b) El crculo toca al lado Bc en un punto distinto a D?

    c) El crculo toca al lado ca en un punto distinto a e?

    d) El crculo toca al lado aB en un punto distinto a F?

    Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los tringulos de la actividad II.

    Al crculo que est dentro del tringulo y que slo toca a sus tres lados en tres puntos, uno por cada lado, se le llama incrculo o crculo inscrito en el tringulo.

    Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus trazos.

    A lo que llegamosLos tringulos tienen tres bisectrices, una por cada uno de sus ngulos internos.

    Las tres bisectrices de un tringulo se cortan en un punto que equidista de los tres lados del tringulo. A ese punto se le llama incentro ya que es el centro de un crculo inscrito en el tringulo. B D c

    e

    a

    FIncrculo

    Incentro

    i

    Bisectriz

    Bisectriz

    Bisectriz

    MAT2 B4 S26.indd 147 9/10/07 12:41:21 PM

  • 148

    secuencia 26

    Lo que aprendimosPuntos y rectas notables del tringulo

    Ahora conoces las propiedades de mediatrices, alturas, medianas y bisectrices en el tringulo. Explica cmo cambian las posiciones de sus puntos de interseccin depen-diendo en qu tringulos sean trazados.

    1. Dibuja las bisectrices de un tringulo issceles.

    2. Dibuja el incrculo de un tringulo equiltero.

    3. Dibuja las bisectrices de un tringulo rectngulo.

    4. Dibuja el incrculo de un tringulo obtusngulo.

    5. En los siguientes tringulos determina cules son las rectas notables que se trazaron.

    MAT2 B4 S26.indd 148 9/10/07 12:41:21 PM

  • 149

    IIMATEMTICAS6. En los siguientes tringulos traza todas sus rectas notables y remarca sus puntos notables.

    7. Para conocer algunas aplicaciones de las propiedades de los puntos y las rectas notables de los tringulos en la solucin de problemas pueden ver el programa Puntos y rectas en el tringulo.

    Para saber ms

    Sobre los puntos y rectas notables del tringulo, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

    Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. La recta de Euler en Crnicas geomtricas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT2 B4 S26.indd 149 9/10/07 12:41:21 PM

  • 150

    secuencia 27

    En est secuencia aprenders a distinguir cuando dos o ms eventos son independientes en una situacin de azar.

    CULES SON LOS EVENTOS INDEPENDIENTES?Para empezarCundo dos eventos son independientes?

    Tal vez cuando juegas a lanzar un dado y cae varias veces seguidas un mismo valor, por ejemplo el nmero 6, has escuchado decir a alguna persona que si lanzas de nuevo el dado, lo ms probable es que caiga cualquier otro nmero entre 1 y 5. Otros dirn que volver a caer 6. Ser cierto esto? Acaso el dado tiene memoria y recuerda el ltimo resultado?

    Consideremos lo siguienteSi se realiza el experimento:

    Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y observar la figura y el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

    a) Cules de los siguientes resultados corresponden al experimento anterior? Mr-quenlos con una .

    SESIN 1

    Eventos independientes

    b) Cuntos resultados posibles hay en este experimento?

    MAT2 B4 S27.indd 150 9/10/07 12:41:45 PM

  • 151

    IIMATEMTICASc) Qu tienen en comn los siguientes pares de resultados que se obtienen al lanzar

    la moneda y el dado? Antenlo sobre la lnea de la derecha.

    y

    y

    Al lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, tres eventos que se pueden observar son:

    A: en la moneda cae guila.

    B: en el dado cae 1.

    C: en la moneda cae guila y en el dado cae 1.

    a) Si al realizar una vez el experimento en la moneda cae guila y en el dado cae 2,

    a cul de los tres eventos es favorable este resultado?

    b) Cul es un resultado favorable al even-

    to B?

    c) Cuntos resultados son favorables al

    evento C: en la moneda cae guila y en

    el dado cae 1?

    d) Cul es la probabilidad del evento C?

    e) En el experimento de lanzar al mismo tiempo la moneda y el dado, consideran que

    si en la moneda cae guila afecta el resultado que cae en el dado. Por qu?

    Manos a la obrai. Completen el siguiente diagrama de rbol que corresponde a todos los resultados

    posibles del experimento: lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo.

    Recuerden que:

    Para obtener la probabilidad clsica de un event

    o

    se requiere conocer el nmero total de resultad

    os

    posibles que se pueden obtener en el experimento

    y el nmero de resultados favorables del evento.

    P(e) = nmero de resultados favo

    rables del evento

    nmero total de resultados posibles

    MAT2 B4 S27.indd 151 9/10/07 12:41:49 PM

  • 152

    secuencia 27

    a) En total para este experimento, cuntos resultados posi-

    bles hay?

    b) En cuntos de esos resultados posibles en la moneda cae

    guila? Marqunlos con color rojo en el diagrama

    c) En este experimento, cul es la probabilidad del evento

    A: en la moneda cae guila?

    P(A) = nmero de resultados favorables del evento nmero total de resultados posibles

    =

    Recuerden que: Todos los resultados sencillos posibles de un experimento forman el espacio muestral o espacio de resultados y se puede presentar en forma de diagrama de rbol o arreglo rectangular.

    Cuando se considera alguno o algunos de los resultados posibles se define un evento.Por ejemplo, si se lanza un dado en el que todas sus caras tienen la misma probabilidad de caer y se observa el nmero que cae en la cara superior, dos eventos que se pueden definir son: cae 4 y cae un nmero par.

    Los resultados favorables de cada evento, respectivamente, son: {4} y {2,4,6}.Cuando se combinan dos eventos como los anteriores, al nuevo evento se le llama evento compuesto. Por ejemplo, el evento: cae 4 y es un nmero par.

    Moneda Dado

    guila

    Sol

    guila, 1

    Sol, 1

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    d) En cuntos de los resultados posibles en el dado cae 1? Mrquenlos con color

    azul en el diagrama

    e) Cul es la probabilidad del evento B: en el dado cae 1?

    P(B) = nmero de resultados favorables del evento nmero total de resultados posibles

    =

    f) En cuntos de los resultados posibles la moneda cae en guila y el dado en 1, es

    decir, caen guila y 1, al mismo tiempo?

    Resultados posibles

    Lanzar una moneda y

    un dado al mismo tiempo

    MAT2 B4 S27.indd 152 9/10/07 12:41:50 PM

  • 153

    IIMATEMTICASg) Cul es la probabilidad del evento C: en la moneda cae guila y en el dado cae 1?

    P(C) =

    h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: en la moneda cae guila y en el dado cae 1.

    P(A) P(B)= =

    i) Comparen el valor de la probabilidad del evento C: en la moneda cae guila y en el dado cae 1 con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior. Son iguales o diferentes?

    P(en la moneda cae guila y en el dado cae 1) P(en la moneda cae guila)

    P(en el dado cae 1) = P(C) P(A) P(B)

    A lo que llegamosSe dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos no afecta al valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultneamente es igual al producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

    Comparen sus resultados.

    De acuerdo con lo que leyeron en el apartado A lo que llegamos, son independientes los

    eventos: en la moneda cae guila y en el dado cae 1?

    ii. Nuevamente, consideren el experimento:

    Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, y. observar la figura y el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

    Tambin, utilicen el diagrama de rbol que completaron en la actividad anterior y contesten las siguientes preguntas:

    Uno de los eventos que se puede considerar al realizar el experimento, es: en la mo-neda no cae guila.

    a) Cules son todos los resultados favorables a este evento?

    b) Qu tienen en comn todos esos resultados que anotaron?

    c) Cul es la probabilidad del evento: en la moneda no cae guila?

    P(en la moneda no cae guila) = nmero de resultados favorables del evento nmero total de resultados posibles

    =

    MAT2 B4 S27.indd 153 9/10/07 12:41:51 PM

  • 154

    secuencia 27d) Si renen los resultados favorables de los eventos: en la moneda cae guila y en

    la moneda no cae guila, en total, cuntos resultados tienen?

    e) Sumen las probabilidades de los eventos: en la moneda cae guila y en la mo-

    neda no cae guila.

    P(en la moneda cae guila) + P(en la moneda no cae guila)= + =

    Otro evento que tambin pueden observar al realizar el experimento, es

    en el dado cae un nmero diferente de 1

    f) Cules y cuntos son todos los resultados favorables a este evento?

    g) Cul es la probabilidad del evento: en el dado cae un nmero diferente de 1?

    P(en el dado cae un nmero diferente de 1) = nmero de resultados favorables del evento nmero total de resultados posibles

    =

    h) Si renen los resultados favorables de los eventos: en el dado cae 1 y en el dado

    cae un nmero diferente de 1, en total, cuntos resultados tienen?

    i) Sumen las probabilidades de los eventos: en el dado cae 1 y en el dado cae un

    nmero diferente de 1.

    P(en el dado cae 1) + P(en el dado cae un nmero diferente de 1)= + =

    A lo que llegamosEn el caso del experimento:

    Lanzar al mismo tiempo una moneda y un dado y observar la figura y el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.Se dice que el evento en el dado cae un nmero diferente de 1 es complemento del evento en el dado cae 1, porque todos los resul-tados favorables del primer evento son diferentes a los resultados favorables del segundo evento y al reunirlos forman el espacio mues-tral del experimento.

    Por ejemplo: Al realizar una prueba, fracaso es el complemento del evento xito; en el lanzamiento de una moneda, caer guila es el complemento de caer sol; en 10 lanzamientos de una moneda, al menos una guila es el complemento de ninguna guila.

    Todo evento tiene un evento complementario y la suma de sus proba-bilidades es igual a 1.

    MAT2 B4 S27.indd 154 9/10/07 12:41:51 PM

  • 155

    IIMATEMTICASiii. En la actividad I del apartado Manos a la obra de esta sesin, dos eventos que se

    observaron fueron:

    En la moneda cae guila y en el dado cae 1.

    Y encontraron que son eventos independientes.

    En la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesin, trabajaron con los complementos de estos dos eventos:

    En la moneda no cae guila y en el dado no cae 1.

    a) Creen que estos nuevos eventos son independientes?

    Por qu?

    El evento en la moneda no cae guila es equivalente a en la moneda cae sol y el even-

    to en el dado no cae 1 es equivalente a en el dado cae un nmero diferente que 1.

    b) Cul es el producto de la probabilidad del evento: en la moneda cae sol y del

    evento: en el dado cae un nmero diferente de 1?

    P(en la moneda cae sol) P(en el dado cae nmero diferente de 1) = =

    c) Comparen la probabilidad del evento en la moneda cae sol y en el dado cae un nmero diferente de 1 con el producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso b).

    P(en la moneda cae sol y en el dado cae un nmero diferente de 1) P(en la moneda cae sol)

    P(en el dado cae un nmero diferente de 1)

    Son iguales o diferentes?

    d) Son independientes los eventos: en la moneda cae sol y en el dado cae un

    nmero diferente de 1?

    Lo que aprendimos1. Considera el experimento y el diagrama de rbol que completaste en la sesin 1 de

    esta secuencia para contestar las siguientes preguntas.

    experimento: Lanzar una moneda y un dado, al mismo tiempo, observar la figura y

    el nmero de las caras superiores que caen en la moneda y en el dado.

    Si ahora consideras los eventos:

    En la moneda cae sol.

    En el dado cae 1.

    En la moneda cae sol y en el dado cae 1.

    MAT2 B4 S27.indd 155 9/10/07 12:41:52 PM

  • 156

    secuencia 27

    SESIN 2

    a) Son independientes los eventos: en la moneda cae sol y en el dado cae 1?

    Por qu?

    Si los eventos a considerar son:

    En la moneda cae guila.

    En el dado cae un nmero diferente de 1.

    b) Son independientes los eventos: en la moneda cae guila y en el dado cae un

    nmero diferente de 1? Por qu?

    DOS O mS EVENTOS INDEPENDIENTESConsideremos lo siguienteRealicen el siguiente experimento y contesten las preguntas que se plantean.

    Lancen al mismo tiempo dos monedas al aire y observen el resultado.

    Anoten el resultado que obtuvieron en el siguiente recuadro:

    Moneda 1 Moneda 2

    Comparen sus resultados con sus compaeros.

    a) Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron:

    Moneda 1 Moneda 2

    Si definimos los eventos:

    A: Cae sol en la primera moneda.

    B: Cae sol en la segunda moneda.

    C: Cae sol en ambas monedas.

    Recuerden que:

    En el experimento de lanzar dos

    monedas al aire y observar el

    resultado, se estn considerando

    dos monedas en las que sus caras

    tienen la misma probabilidad de

    ocurrir, es decir, son equiprobables

    .

    En general, cuando en un

    experimento de azar ocurre lo

    anterior, se dice que las monedas

    son no trucadas o legales.

    MAT2 B4 S27.indd 156 9/10/07 12:41:53 PM

  • 157

    IIMATEMTICASb) Consideran que si cae sol en la primera moneda, este resultado afecta la ocurren-

    cia o no ocurrencia del resultado de la segunda moneda?

    Por qu?

    Manos a la obrai. Completen el siguiente diagrama de rbol con los resultados diferentes que pueden

    obtenerse al lanzar dos monedas al aire.

    a) En total, cuntos resultados posibles hay?

    b) Si en la primera moneda cae sol, qu resultados pue-

    den caer en la segunda moneda?

    c) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae

    sol en la primera moneda?

    d) Si en la segunda moneda cae guila, qu resultados

    pueden caer en la primera moneda?

    e) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae

    sol en la segunda moneda?

    f) Cul es la probabilidad del evento: caer sol en la primera moneda?

    P(caer sol en la primera moneda) =

    g) Cul es la probabilidad de caer sol en la segunda moneda?

    P(caer sol en la segunda moneda) =

    guilaA

    12

    SolS

    Lanzar dos monedas

    guilaA

    12

    guilaA

    (A,A)

    Moneda 1 Moneda 2 Resultados posibles

    Recuerden que:

    Dos eventos son independientes si

    la

    ocurrencia de uno de los eventos no

    afecta al valor de la probabilidad d

    e

    ocurrencia del otro. Por lo que la

    probabilidad de que los dos evento

    s

    ocurran simultneamente es igual

    al

    producto de la probabilidad de un

    evento por la del otro.

    MAT2 B4 S27.indd 157 9/10/07 12:41:53 PM

  • 158

    secuencia 27h) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae sol en la primera moneda

    y sol en la segunda moneda, es decir, cae sol en ambas monedas?

    i) Cul es la probabilidad del evento: cae sol en ambas monedas?

    P(cae sol en ambas monedas) =

    j) Multipliquen las probabilidades de los eventos: cae sol en la primera moneda y

    cae sol en la segunda moneda.

    P(cae sol en la primera moneda) P(cae sol en la segunda moneda) =

    =

    k) Comparen la probabilidad del evento: cae sol en ambas monedas con el produc-

    to de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso anterior.

    Son iguales o diferentes?

    Son independientes los eventos: cae sol en la primera moneda y cae sol en la

    segunda moneda?

    ii. Ahora, realicen el siguiente experimento:

    Lancen una moneda dos veces al aire y observen la sucesin de guila y sol que ob-

    tienen.

    a) Anoten el resultado que obtuvieron al realizar el experimento en el siguiente recuadro:

    Primer lanzamiento Segundo lanzamiento

    b) Comparen sus resultados con sus compaeros.

    Escriban en la siguiente tabla los resultados diferentes que obtuvieron en su grupo.

    Primer lanzamiento Segundo lanzamiento

    MAT2 B4 S27.indd 158 9/10/07 12:41:54 PM

  • 159

    IIMATEMTICASc) Completen el siguiente diagrama de rbol con los resultados diferentes que pue-

    den obtenerse al lanzar una moneda dos veces al aire.

    Recuerden que:

    Una potencia es una

    multiplicacin de un

    nmero por s mismo

    varias veces.

    Primer Lanzamiento Segundo Lanzamiento Resultados posibles

    guilaA

    12

    SolS

    Lanzar una moneda dos

    veces

    guilaA

    12

    guilaA

    (A,A)

    d) Comparen los resultados posibles que obtuvieron en el diagrama de rbol de este

    experimento con los resultados posibles del experimento de las dos monedas que

    realizaron en el apartado Manos a la obra. Son iguales o diferentes?

    e) Al lanzar una moneda dos veces al aire. Cul es la probabilidad del evento: "caer

    sol en el primer lanzamiento"?

    P(cae sol en el primer lanzamiento) =

    f) Cul es la probabilidad del evento: "caer sol en el segundo lanzamiento"?

    P(cae sol en el segundo lanzamiento) =

    g) Cul es la probabilidad del evento: "caer sol en ambos lanzamientos"?

    P(caer sol en ambos lanzamientos) =

    h) Multipliquen las probabilidades de los eventos: cae sol en el primer lanzamiento

    y cae sol en el segunda lanzamiento.

    P(cae sol en el primer lanzamiento) P(cae sol en el segundo lanzamiento) = =

    i) Comparen la probabilidad del evento: cae sol en ambos lanzamientos con el

    producto de las probabilidades de los dos eventos que obtuvieron en el inciso

    anterior. Son iguales o diferentes?

    MAT2 B4 S27.indd 159 9/10/07 12:41:54 PM

  • 160

    secuencia 27Son independientes los eventos: cae sol en el primer lanzamiento y cae sol en

    el segundo lanzamiento?

    iii. Se lanzan tres monedas (no trucadas) al mismo tiempo y se observa la sucesin de

    guilas y soles que caen.

    a) Cuntas veces tienes que lanzar una moneda para realizar un experimento equi-

    valente a lanzar tres monedas al mismo tiempo?

    b) En tu cuaderno, elabora el diagrama de rbol con los resultados diferentes que se

    obtienen al lanzar tres monedas al aire. En total, cuntos resultados posibles di-

    ferentes hay?

    c) Si en la segunda moneda cae guila, qu resultados pueden caer en la tercera

    moneda?

    Y cules en la primera?

    d) Si en la tercera moneda cae sol, qu resultados pueden caer en la segunda mo-

    neda?

    Y cules en la primera?

    e) Cuntos resultados favorables hay para el evento: cae sol en las tres monedas?

    f) Cul es la probabilidad del evento: cae sol en las tres monedas?

    g) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

    P(cae sol en la primera moneda) =

    P(cae guila en la segunda moneda) =

    P(cae sol en la tercera moneda) =

    h) Multiplica las probabilidades de los 3 eventos que calculaste en el inciso anterior.

    P(cae sol en la primera moneda) P(cae sol en la segunda moneda) P(cae sol en la tercera moneda) =

    =

    i) Compara la probabilidad del evento: cae sol en las tres monedas con el producto

    de las probabilidades de los tres eventos que obtuviste en el inciso anterior. Son

    iguales o diferentes?

    MAT2 B4 S27.indd 160 9/10/07 12:41:55 PM

  • 161

    IIMATEMTICASj) Son independientes los eventos: cae sol en la primera moneda, cae sol en la

    segunda moneda y cae sol en la tercera moneda?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Si se lanzan las tres monedas al mismo tiempo, cul es la probabilidad de caer

    sol en la primera moneda, guila en la segunda y sol en la tercera?

    b) Si se lanzan tres monedas, los eventos: cae sol en la primera moneda, cae gui-

    la en la segunda moneda y cae sol en la tercera moneda, son independientes?

    Por qu?

    A lo que llegamosCuando un mismo experimento se repite dos o ms veces, y los even-tos que se observan tienen probabilidades iguales y son independien-tes, entonces el producto de las probabilidades es una potencia.

    Lo que aprendimos1. Se lanza una moneda (no trucada) cinco veces consecutivamente, cul de las si-

    guientes sucesiones es ms posible que resulte? (A = guila y S = sol)

    a) SSSAA

    b) ASSAS

    c) ASAAA

    d) SASAS

    e) Las cuatro sucesiones son igual de posibles.

    Por qu crees que sucede eso?

    2. Se lanzan dos dados (no trucados) de seis caras cada uno, al mismo tiempo. Comple-ta el siguiente arreglo rectangular con los resultados diferentes que pueden obtener-se al lanzar dos dados.

    MAT2 B4 S27.indd 161 9/10/07 12:41:56 PM

  • 162

    secuencia 27

    Segundo dado

    1 2 3 4 5 6

    Prim

    er d

    ado

    1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

    2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6

    3 3,1 3,4 3,5 3,6

    4 4,1 4,4 4,5 4,6

    5 5,1 5,5 5,6

    6 6,1 6,2

    a) En total, cuntos resultados posibles hay?

    b) Cul es la probabilidad del evento: obtener un seis en el primer dado?

    P(obtener un seis en el primer dado) =

    c) Cul es la probabilidad del evento: obtener un seis en el segundo dado?

    P(obtener un seis en el segundo dado) =

    d) Cul es la probabilidad del evento: obtener seis en ambos dados al lanzarlos al

    mismo tiempo?

    e) Al lanzar dos dados, los eventos, obtener un seis en el primer dado y obtener un

    seis en el segundo dado, son independientes? Por qu?

    EVENTOS INDEPENDIENTES y DEPENDIENTESConsideremos lo siguienteUn profesor tiene una bolsa con cinco plumas iguales, dos de las cuales ya no pintan. Saca una pluma al azar y se la presta a un alumno; luego ste la regresa a la bolsa. Mo-mentos despus, otro alumno tambin le pide una pluma, luego la regresa a la bolsa.

    Cules son los resultados posibles en esta situacin?

    SESIN 3

    MAT2 B4 S27.indd 162 9/10/07 12:41:56 PM

  • 163

    IIMATEMTICASSituacin A

    Si se consideran los eventos:

    En la primera extraccin al azar la pluma no pinta.

    En la segunda extraccin al azar la pluma no pinta.

    En la primera y en la segunda extraccin al azar las plumas no pintan.

    Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos.

    a) En la primera extraccin al azar la pluma no pinta.

    b) En la segunda extraccin al azar la pluma no pinta.

    c) En la primera y en la segunda extraccin al azar las plumas no pintan.

    d) Los eventos: en la primera extraccin al azar la pluma no pinta y en la segunda

    extraccin al azar la pluma no pinta, son independientes?

    Situacin B

    Si ahora al realizar la primera extraccin, el profesor no regresa la pluma a la bolsa.

    e) Cules son los resultados posibles que hay?

    f) Cul es la probabilidad del evento en la primera extraccin la pluma no pinta?

    g) Cul es la probabilidad del evento en la segunda extraccin la pluma no pinta?

    h) Y cul es la probabilidad del evento en la primera y en la segunda extraccin las

    plumas no pintan?

    i) Si en la primera extraccin al azar, la pluma no pinta y no se regresa a la bolsa,

    afecta la probabilidad de que en la segunda extraccin la pluma que se saque ya

    no sirva? Por qu?

    Manos a la obrai. En su cuaderno, elaboren el diagrama de rbol para la situacin A, como muestra en

    la siguiente figura, y utilicenlo para contestar las siguientes preguntas.

    MAT2 B4 S27.indd 163 9/10/07 12:41:57 PM

  • 164

    secuencia 27

    a) En la situacin A, cuntos resultados posibles diferentes hay?

    b) En cuntos de esos resultados posibles en la primera extraccin la pluma no pin-

    ta?

    c) En la situacin A, cul es la probabilidad del evento: en la primera extraccin la

    pluma no pinta?

    d) En cuntos resultados en la segunda extraccin la pluma no pinta?

    Primera extraccin Segunda extraccin Resultados posibles

    Extraer de una bolsa dos plumas regresando la primera pluma que

    se extrae

    No pinta la pluma

    No pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    No pinta la pluma

    No pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    No pinta la pluma

    No pinta la pluma

    No pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    (No pinta, no pinta)

    (S pinta, no pinta)

    MAT2 B4 S27.indd 164 9/10/07 12:41:57 PM

  • 165

    IIMATEMTICASCul es la probabilidad de ese evento?

    e) Cul es la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extraccin las plumas no pintan?

    f) Comparen la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extraccin las

    plumas no pintan con el producto de la probabilidad del evento: "en la primera

    extraccin al azar, la pluma no pinta" y la probabilidad del evento: "en la segunda

    extraccin al azar, la pluma no pinta". Son iguales o diferentes?

    g) En la situacin A, los eventos "en la primera extraccin al azar la pluma no pinta"

    y "en la segunda extraccin al azar la pluma no pinta", son independientes esos

    eventos?

    ii. Ahora, completen el siguiente diagrama de rbol que corresponde a la situacin B cuando no se regresa la pluma en la primera extraccin.

    Primera extraccin Segunda extraccin Resultados posibles

    No pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    (S pinta, no pinta)No pinta la pluma

    S pinta la plumaExtraer de una bolsa

    dos plumas sin regresar la primera pluma que

    se extrae

    No pinta la pluma

    No pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    S pinta la pluma

    (No pinta, no pinta)

    MAT2 B4 S27.indd 165 9/10/07 12:41:58 PM

  • 166

    secuencia 27a) En cuntos de estos resultados posibles en la primera extraccin al azar la pluma

    no pinta?

    b) En la situacin B, cul es la probabilidad del evento: en la primera extraccin al

    azar la pluma no pinta?

    c) En cuntos de los resultados posibles en la segunda extraccin la pluma no pinta?

    d) Cul es la probabilidad del evento: en la segunda extraccin la pluma no pinta?

    e) En cuntos resultados posibles en ambas extracciones las plumas no pintan?

    f) Cul es la probabilidad del evento: en la primera y en la segunda extraccin las

    plumas no pintan?

    g) En esta nueva situacin, en la que no se regresa la primera pluma que se extrae,

    los eventos: en la primera extraccin la pluma no pinta y en la segunda extrac-

    cin la pluma no pinta, son independientes?

    Por qu?

    iii. En una caja hay 2 chicles de sabor menta y 2 de sabor canela, se saca sin ver un

    chicle, se anota su sabor y luego, se regresa. Otra vez se saca un chicle y se anota su

    sabor.

    Los eventos que se observan son:

    El primer chicle que se saca es de sabor canela.

    El segundo chicle que se saca es de sabor menta.

    El primer chicle que se saca es sabor canela y el segundo chicles es de sabor menta.

    a) Cul es la probabilidad del evento: el primer chicle que se saca es sabor canela y

    el segundo es de sabor menta?

    b) Son independientes los dos primeros eventos? Por qu?

    Si al sacar el primer chicle, no lo regresan a la caja y sacan otro chicle.

    c) Cul es la probabilidad de que el primer chicle que se saca es de sabor canela?

    MAT2 B4 S27.indd 166 9/10/07 12:41:58 PM

  • 167

    IIMATEMTICASd) Cul es la probabilidad de que el segundo chicle que se saca es de sabor menta?

    e) Cul es la probabilidad del evento: el primer chicle que se saca es de sabor ca-

    nela y el segundo es de sabor menta?

    f) En este experimento, son independientes los dos primeros eventos?

    Por qu?

    A lo que llegamosSe dice que dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno de los eventos afecta el valor de la probabilidad de ocurrencia del otro. Por lo que, la probabilidad de que los dos eventos ocurran simultneamente es diferente que el producto de la probabilidad de un evento por la del otro.

    Lo que aprendimos1. Escribe en la lnea de la derecha si los eventos son independientes o dependientes en

    cada inciso, y justifica tu respuesta.

    a) Se lanzan un par de dados de seis caras. Los eventos son: nmero par en el primer

    dado y nmero impar en el segundo dado.

    b) Se escogen dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas azu-

    les, con reemplazo. Los eventos son: la primera canica es roja y la segunda ca-

    nica es azul.

    2. Para conocer ms ejemplos de situaciones de azar y eventos dependientes e indepen-dientes pueden ver el programa Probabilidad y eventos independientes.

    Para saber ms

    Sobre otros ejemplos de problemas de eventos independientes, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. El azar y el tringulo de Pascal en Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. Mxico: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincn, 2001.

    Explora las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos independientes y Frecuencia y probabilidad con Logo.

    MAT2 B4 S27.indd 167 9/10/07 12:41:59 PM

  • 168

    secuencia 28

    En esta secuencia aprenders a interpretar y utilizar grficas de lnea que representan caractersticas de un fenmeno para obtener infor-macin y tomar decisiones.

    TURISMO, EMPLEOS Y GRFICAS DE LNEAPara empezarEl turismo: una ocupacin interesante

    Mxico ofrece al mundo una diversidad de atractivos tursticos: playas, zonas arqueol-gicas, eventos recreativos y culturales, etc. La Secretara de Turismo pone a disposicin de todos informacin sobre las cifras de dinero que se recauda mensualmente por la actividad turstica y el nmero de empleos que se generan.

    Por ejemplo, en el ao 2005, cerca de dos millones de personas tuvieron un empleo re-lacionado directamente con la atencin al turismo nacional e internacional.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica presenta la variacin que se dio en el nmero de empleos relaciona-dos con la actividad turstica en nuestro pas en el ao 2005.

    SESIN 1

    Grficas de lnea

    Nmero de empleos relacionados con el turismo en el ao 2005

    Meses

    N

    mer

    o d

    e em

    ple

    os

    (en

    mile

    s)

    1840

    1830

    1820

    1810

    1800

    1790

    1780

    1770

    1760

    ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

    MAT2 B4 S28.indd 168 9/10/07 12:42:30 PM

  • 169

    IIMATEMTICASa) Cuntos empleos gener el turismo en enero de 2005?

    Y en febrero?

    b) Cunto disminuy el nmero de empleos de abril a mayo de 2005?

    c) En qu par de meses consecutivos se dio el mayor aumento en el nmero de

    empleos?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Observen la grfica y contesten las siguientes preguntas:

    a) Qu datos estn representados en el eje horizontal?

    Y en el eje vertical?

    b) Cul es el valor mnimo que se representa en el eje vertical?

    Y cul es el valor mximo?

    c) Cul es la escala utilizada en ese eje?

    d) En qu mes se generaron 1820000empleos relacionados con el turismo?

    e) Cul es el mes en que se dio el mayor nmero de empleos?

    La grfica anterior se llama grfica de lnea y muestra que, durante el ao 2005, hubo tres periodos de incrementos en el nmero de empleos relacionados con el turismo; el primero fue del mes de enero al mes de abril.

    f) Cules fueron los otros periodos que tuvieron incrementos en el nmero de em-

    pleos?

    g) Cul fue el mayor incremento que se dio en el nmero de empleos relacionados

    con el turismo?

    h) Durante el ao 2005, cuntos decrementos en el nmero de empleos relaciona-

    dos con el turismo se dieron?

    i) Hubo algn periodo en el que no cambiara el nmero de empleos relacionados

    con el turismo?

    MAT2 B4 S28.indd 169 9/10/07 12:42:31 PM

  • 170

    secuencia 28Cuntos meses abarc ese periodo?

    j) Cul fue el nmero de empleos que se mantuvo constante?

    ii. Completa el siguiente texto eligiendo la respuesta correcta en cada caso:

    Comparen sus respuestas con sus compaeros.

    A lo que llegamosUna grfica de lnea presenta los cambios o variaciones que se dan en una situacin o fenmeno a travs del tiempo. Por esta razn, en el eje horizontal se representan las unidades de tiempo (que pueden ser aos, meses, das, horas, etctera). En el eje vertical se representa el intervalo en el que vara el fenmeno durante el tiempo en que se analiza.

    En general, el cero debe representarse siempre que sea posible sobre el eje vertical, pero si no lo fuera, conviene hacer un corte en el eje vertical.

    iii. La siguiente tabla presenta la variacin que se dio en el nmero de empleos genera-dos por la actividad turstica en nuestro pas en el ao 2004.

    La grfica de lnea muestra la variacin en el nmero de empleos generados por el

    turismo en el ao que inici con un aumento en los primeros 2005/2000

    cuatro meses de a empleos, en el mes de 1765/1765000 1785/1785000

    mayo a 1 780 000, en aument disminuy / aument junio / julio

    empleos y permaneci constante durante los meses de 200/20000 junio / julio

    a (1 805 000 empleos); posteriormente, aument hasta agosto / septiembre

    registrar el nmero de empleos en el mes de noviembre, menor / mayor

    y finaliz en el mes de diciembre con empleos. 1825/1825000

    MAT2 B4 S28.indd 170 9/10/07 12:42:32 PM

  • 171

    IIMATEMTICASempleos generados por el turismo en el ao 2004

    Mes nmero de empleos

    Enero 1700000

    Febrero 1705000

    Marzo 1720000

    Abril 1725000

    Mayo 1730000

    Junio 1740000

    Julio 1745000

    Agosto 1750000

    Septiembre 1755000

    Octubre 1765000

    Noviembre 1780000

    Diciembre 1770000

    a) Ahora grafica el nmero de empleos que gener la actividad turstica cada mes.

    MAT2 B4 S28.indd 171 9/10/07 12:42:32 PM

  • 172

    secuencia 28Comparen sus respuestas.

    a) Utilizaron la misma escala en el eje vertical?

    b) Cules fueron los valores mnimos que utilizaron en el eje vertical?

    c) Y cules fueron los valores mximos?

    Lo que aprendimosDurante una semana se registr la cantidad de dinero que diariamente se obtuvo en las ventas de una panadera; as qued:

    Lunes, $2600; martes, $ 1200, mircoles, $3400; jueves, $2100; viernes, $5300; sbado, $5100; domingo, $4950.

    a) En tu cuaderno traza una grfica de lnea que represente las ventas que se tuvie-ron en la panadera.

    b) Describe en tu cuaderno en qu das se obtuvieron las mejores ventas, cundo hubo decrementos y cmo disminuyeron las ventas.

    c) Comparen sus respuestas. A partir de qu valor rotularon el eje vertical?

    SABES CUNTAS PERSONAS VISITAN EL ESTADO EN QUE VIVES?Para empezarEn la sesin anterior aprendiste a elaborar grficas de lnea y, particularmente, te ente-raste de cuntos empleos relacionados con el turismo se generaron en el ao 2005 en Mxico. Otros aspectos relacionados con el turismo que tambin se pueden presentar a travs de una grfica de lnea son: el nmero de turistas que visitaron un determinado estado durante el ao, ciudades con playa, sitios arqueolgicos, etctera.

    Posiblemente el lugar donde t vives es un sitio turstico, quiz es una ciudad que tiene playa, o tal vez, es una ciudad colonial. Tambin puede suceder que vivas cerca de un lugar muy visitado. Cmo podras investigar cuntas personas visitan tu estado? Cules son los sitios tursticos que hay en tu poblacin? Cules conoces? Conoces algunas personas que tengan un trabajo relacionado con la actividad turstica? Si pudieras pro-mover el lugar donde vives, qu informacin recopilaras para hacerlo?

    Consideremos lo siguienteLas siguientes grficas de lnea presentan informacin sobre el nmero de habitaciones que se han ocupado por turistas nacionales que visitaron los estados de Guerrero y Quin-tana Roo, en el periodo comprendido entre los aos 2000 y 2005.

    SESIN 2

    MAT2 B4 S28.indd 172 9/10/07 12:42:33 PM

  • 173

    IIMATEMTICAS

    a) Si se quiere construir un hotel en alguno de estos dos estados y se consideran

    como referencia la informacin que presentan las grficas de lnea, en cul de los

    dos estados recomendaran que lo construyeran?

    Por qu?

    b) Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Utilicen la informacin que presentan las grficas de lnea para contestar las siguien-

    tes preguntas.

    a) En Guerrero, cuntas habitaciones estuvieron ocupadas por turistas en el ao

    2001?

    b) Cul fue el nmero mximo de habitaciones ocupadas?

    c) En qu ao sucedi?

    d) En Quintana Roo, en qu ao se ocuparon 2500000habitaciones?

    Aos

    N

    mer

    o d

    e h

    abit

    acio

    nes

    ocu

    pad

    as

    (en

    mile

    s)

    2000 2001 2002 2003 2004 2005

    3400

    3300

    3200

    3100

    3000

    2900

    2800

    2700

    2600

    2500

    2400

    2300

    2200

    2100

    2000

    Nmero de habitaciones ocupadas por visitantes nacionales

    Quintana Roo

    Guerrero

    MAT2 B4 S28.indd 173 9/10/07 12:42:33 PM

  • 174

    secuencia 28e) Cul fue el nmero mximo de habitaciones ocupadas?

    f) En que ao sucedi?

    g) Fue el mismo que en el caso de Guerrero?

    h) En general, cul de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, tuvo ms habita-

    ciones ocupadas por turistas nacionales en el periodo de 2004-2005?

    i) En qu ao estos dos estados tuvieron el mismo nmero de habitaciones ocupa-

    das?

    j) Cuntas habitaciones estuvieron ocupadas?

    k) Describan cul ha sido el comportamiento en el nmero de habitaciones ocupadas

    por el turismo nacional en el estado de Guerrero.

    l) Y cul ha sido el del estado de Quintana Roo?

    m) De la siguiente lista, marquen con una X los aspectos que consideran tambin sera necesario analizar para tomar una mejor decisin sobre en cul de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, es ms conveniente construir un hotel.

    ( ) nmero de hoteles en servicio;

    ( ) nmero de habitaciones por hotel en servicio;

    ( ) nmero de turistas extranjeros;

    ( ) nmero de turistas nacionales;

    ( ) tipos de transporte;

    ( ) zonas tursticas que existen (playas, zonas arqueolgicas, ciudades, etc.);

    ( ) nmero de habitantes;

    ( ) actividades culturales y recreativas (festivales, ferias, etc);

    ( ) seguridad y vigilancia.

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B4 S28.indd 174 9/10/07 12:42:34 PM

  • 175

    IIMATEMTICASA lo que llegamosEn un mismo plano se pueden mostrar dos o ms grficas de lnea que corresponden a conjuntos de datos sobre el mismo aspecto de un fenmeno o situacin para comparar la variacin que existe entre ellos durante un determinado tiempo.

    ii. La siguiente grfica muestra informacin sobre el turismo extranjero que visita los estados de Guerrero y Quintana Roo de 2000 al 2005.

    a) Cuntas habitaciones fueron ocupadas por turistas extranjeros en el estado de

    Guerrero durante el ao 2001?

    b) Y cuntas habitaciones fueron ocupadas en el estado de Quintana Roo?

    c) En cual de los dos estados, Guerrero o Quintana Roo, el nmero de habitaciones

    ocupadas por extranjeros ha disminuido a travs de los seis aos?

    d) En general, cul de los dos estados es ms visitado por el turismo internacional?

    Nmero de habitaciones ocupadas por extranjeros

    Aos

    N

    mer

    o d

    e h

    abit

    acio

    nes

    ocu

    pad

    as

    (en

    mile

    s)

    2000 2001 2002 2003 2004 2005

    14000

    13000

    12000

    11000

    10000

    9000

    8000

    7000

    6000

    5000

    4000

    3000

    2000

    1000

    0

    Quintana Roo

    Guerrero

    MAT2 B4 S28.indd 175 9/10/07 12:42:34 PM

  • 176

    secuencia 28e) En el caso de ese estado, cul ha sido el aumento que ha tenido el nmero de

    habitaciones ocupadas en el ao 2005 con respecto a las que se ocuparon en el

    ao 2000?

    f) Utilicen las grficas de esta sesin para describir la forma en que vara el nmero

    de habitaciones ocupadas por turistas nacionales o por turistas extranjeros en

    Quintana Roo.

    iii. A continuacin construye dos grficas de lnea para representar el nmero total de habitaciones ocupadas por turistas nacionales que visitaron el estado de Guerrero y el nmero total de habitaciones ocupadas por turistas extranjeros en ese estado du-rante el periodo de 2000 a 2005.

    a) Qu escala es ms conveniente que utilices?

    Por qu?

    b) Cul de los dos tipos de turistas, extranjero o nacional, tiene mayor nmero de

    habitaciones ocupadas por turistas durante estos aos?

    c) En qu par de aos consecutivos se tiene el mayor descenso en el nmero de

    habitaciones ocupadas?

    Extranjeros

    Nacional

    MAT2 B4 S28.indd 176 9/10/07 12:42:35 PM

  • 177

    IIMATEMTICASLo que aprendimosLa siguiente tabla muestra la informacin sobre el turismo nacional e internacional que visit las zonas arqueolgicas de nuestro pas.

    Nmero de visitantes en zonas arqueolgicas de Mxico (en miles)

    Ao Nacionales Extranjeros Total

    2000 6270 3200 9470

    2001 6510 2640 9150

    2002 7140 2650 9790

    2003 7380 2850 10230

    2004 7240 3130 10370

    2005 6650 2930 9580

    a) En el mismo eje de coordenadas, representa las tres grficas de lnea que corres-ponden a la informacin que presenta la tabla (turismo nacional, extranjero y

    total).

    MAT2 B4 S28.indd 177 9/10/07 12:42:35 PM

  • 178

    secuencia 28b) En qu ao se present el mayor nmero de visitantes nacionales en estas zonas?

    Y de visitantes extranjeros?

    c) En total, en qu ao se present el mayor nmero de visitantes a estas zonas?

    d) Segn la grfica, cul de las siguientes frases representa el comportamiento que

    ha tenido el turismo (nacional, extranjero y total) que visita las zonas arqueolgi-

    cas de Mxico? Mrcalas con una .

    Del ao 2000 al ao 2003, el nmero total de turistas que visitaban las zonas arqueolgicas aumentaba; sin embargo, a partir del ao 2004 ha descendi-do.

    En el ao 2003, se present el mayor nmero de turistas nacionales que visi-taron las zonas arqueolgicas.

    En el ao 2000, 3200 turistas extranjeros visitaron las zonas arqueolgicas, lo que representa el mayor nmero de visitantes extranjeros en el periodo de 2000 a 2005.

    En el ao 2005, aument el turismo extranjero en las zonas arqueolgicas en Mxico.

    CUNTOS EXTRANJEROS NOS VISITARON?Consideremos lo siguienteLas grficas de lnea de la siguiente pgina presentan informacin sobre el nmero de visitantes extranjeros que estuvieron en nuestro pas en el ao 2005 y las cantidades de dinero que gastaron.

    a) Qu relacin encuentran entre estas cantidades: nmero de visitantes y dinero

    que gastaron?

    b) Corresponde el nmero mximo de visitantes con la cantidad mayor de dinero

    que gastaron?

    c) Una persona est interesada en abrir una tienda de artesanas; de acuerdo con la

    informacin que presentan las grficas, cundo le convendra abrirla, en enero,

    marzo o diciembre?

    Por qu?

    d) Consideran qu sera suficiente esta informacin para que decida cundo le con-

    viene abrir su tienda?

    SESIN 3

    MAT2 B4 S28.indd 178 9/10/07 12:42:36 PM

  • 179

    IIMATEMTICASN

    m

    ero

    de

    turi

    stas

    (e

    n m

    iles)

    Visitantes extranjeros en Mxico en el ao 2005

    2400

    2350

    2300

    2250

    2200

    2150

    2100

    2050

    2000

    1950

    1900

    1850

    1800

    1750

    1700

    1650

    1600

    1550

    1500

    1450

    1400

    ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

    Meses

    Gastos de visitantes extranjeros en Mxico en el ao 2005

    Can

    tid

    ad d

    e d

    la

    res

    (en

    mill

    on

    es)

    1400

    1350

    1300

    1250

    1200

    1150

    1100

    1050

    1000

    950

    900

    850

    800

    750

    700

    650

    600

    ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

    Meses

    MAT2 B4 S28.indd 179 9/10/07 12:42:36 PM

  • 180

    secuencia 28

    Manos a la obrai. Utilicen los datos que presentan las grficas y contesten las siguientes preguntas:

    a) Cuntos extranjeros visitaron nuestro pas en enero de 2005?

    b) Cunto dinero se recaud en ese mes?

    c) En qu mes de ese ao dejaron ms dinero al pas los turistas?

    d) Con la informacin que proporciona la primera grfica de l-

    nea podemos saber cuntos visitantes tuvimos el 12 de agosto

    de 2005?

    Por qu?

    e) Es correcto decir que en julio de 2005 hubo 2150 visitantes extranjeros y que

    gastaron 1050 dlares?

    Por qu?

    f) De enero a febrero se tuvo un aumento de 18000 visitantes. En qu par de me-

    ses consecutivos se dio el mayor aumento de visitantes?

    g) En qu par de meses se dio la mayor disminucin de visitantes?

    A lo que llegamosDos o ms aspectos de una misma situacin o un mismo fenmeno se pueden analizar mediante dos o ms grficas de lnea en dos planos diferentes debido a que en el eje vertical se utiliza la escala y rtulos adecuados a cada aspecto.

    Recuerden que:

    Una grfica de lnea presenta los

    cambios o variaciones que se dan

    en una situacin o fenmeno a

    travs del tiempo. Por esta razn,

    en el eje horizontal se representan

    las unidades de tiempo (que

    pueden ser aos, meses, das,

    horas, etc.). En el eje vertical se

    anota el rango con que vara el

    fenmeno en el perodo de tiempo

    en que se analiza.

    MAT2 B4 S28.indd 180 9/10/07 12:42:37 PM

  • 181

    IIMATEMTICAS

    Lo que aprendimos1. Para conocer las variaciones en el nmero de extranjeros, se consideran los resultados

    obtenidos en los aos 2004 y 2005. Las siguientes grficas de lnea presentan esa informacin.

    ii. De acuerdo con la informacin que presentan las grficas, completen el siguiente prrafo:

    Durante el ao de 2005, el nmero de visitantes extranjeros en nuestro pas fue de

    turistas y gastaron

    de dlares; sin embargo, la cantidad de

    dinero que gastaron los visitantes extranjeros en Mxico fue

    de dlares y se registr en el mes de .

    N

    mer

    o d

    e tu

    rist

    as

    (en

    mile

    s)

    2450

    2400

    2350

    2300

    2250

    2200

    2150

    2100

    2050

    2000

    1950

    1900

    1850

    1800

    1750

    1700

    1650

    1600

    1550

    1500

    1450

    1400

    1350

    1300

    ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic

    Meses

    Visitantes extranjeros en Mxico en los aos 2004 y 2005

    Ao 2004

    Ao 2005

    MAT2 B4 S28.indd 181 9/10/07 12:42:38 PM

  • 182

    secuencia 28a) Cuntos extranjeros visitaron nuestro pas en enero de 2004? Y en enero de

    2005?

    b) En qu mes de 2005 tuvimos ms visitantes extranjeros? Y de 2004?

    c) La tendencia de las variaciones en el nmero de turistas que visitaron nuestro pas

    en el ao 2004, se mantiene en el 2005?

    d) Considerando esta informacin y la que muestra la grfica de lnea del gasto que

    hicieron los turistas, en qu mes ser ms conveniente abrir la tienda de arte-

    sanas, en marzo o diciembre?

    2. La esperanza de vida al nacer se refiere al nmero de aos que en promedio se espera viva un recin nacido, considerando que a lo largo de su vida estar expuesto a dife-rentes riesgos. En el ao de 1930 en Mxico, la esperanza de vida para una mujer era de 35 aos, mientras que para los hombres era de 33 aos, lo que significa una dife-rencia de 2 aos. Para el ao 2000, la esperanza de vida para una mujer era de 77 aos y para el hombre, de 72 aos.

    a) Las siguientes grficas de lnea resentan est informacin; en su cuaderno, elabo-ren una tabla que corresponda con est informacin.

    Fuente: INEGI. Censo General de Poblacin, 2000.

    Esperanza de vida al nacer por sexo en Mxico

    Dcadas

    A

    os

    de

    vid

    a

    1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

    90

    80

    70

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    0

    Mujeres

    Hombres

    MAT2 B4 S28.indd 182 9/10/07 12:42:38 PM

  • 183

    IIMATEMTICASb) Cul era la esperanza de vida para las mujeres en los aos de 1950 y 1980?

    c) En general, cul ha sido el comportamiento en cuanto a la esperanza de vida de

    mujeres y hombres en Mxico a travs de los aos?

    d) Se ha incrementado o se ha reducido?

    e) Entre qu aos present el mayor incremento?

    3. Para ampliar lo que saben sobre el uso de las grficas de lnea en la representacin de distintos fenmenos pueden ver el programa anlisis de datos en grficas de lnea.

    Para saber ms

    Sobre la variacin en el nmero de turistas extranjeros y nacionales, los empleos relacionados con el turismo, la cantidad de vuelos y pasajeros consulten:http://www.sectur.gob.mxRuta: Estadsticas del Sector-DataTur Publicaciones y documentos Resultados de la actividad Turstica Seleccionar el reporte ms actual del ao 2007.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Secretara de turismo.

    MAT2 B4 S28.indd 183 9/10/07 12:42:38 PM

  • 184

    secuencia 29

    En esta secuencia aprenders a interpretar y elaborar grficas forma-das por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento y llenado de recipientes.

    ALBERCAS PARA CHICOS Y GRANDESPara empezarEn la comunidad del Rosario se ha instalado una nueva alberca que tiene dos niveles de profundidad; uno para los nios y otro para los adultos. La profundidad de la alberca en la seccin para nios es de 1 m y corresponde a una tercera parte de la superficie de la alberca. La seccin para adultos corresponde a las otras dos terceras partes y tiene 2 m de profundidad.

    SESIN 1

    Grficas formadas por rectas

    Consideremos lo siguienteSe ha abierto la llave para llenar de agua la alberca de la Comunidad del Rosario. Esta llave arroja siempre la misma cantidad de agua por minuto. Conforme avanza el tiempo la altura que alcanza el nivel del agua va aumentando.

    2 m

    23

    13

    1 m

    Nivel

    1 m

    MAT2 B4 S29.indd 184 9/10/07 12:43:07 PM

  • 185

    IIMATEMTICASDe las siguientes grficas, cul representa la variacin del nivel del agua con respecto al tiempo transcurrido?

    Tiempo

    Niv

    el

    TiempoN

    ivel

    Tiempo

    Niv

    el

    Tiempo

    Niv

    el

    a) b) c) d)

    Comparen sus respuestas y comenten cmo le hicieron para decidir cul grfica era la correcta.

    Manos a la obrai. Observen las siguientes dos albercas. Tienen la misma profundidad, pero una es ms

    pequea que la otra. Las dos son llenadas con una llave que arroja la misma cantidad de agua por minuto.

    Alberca 1 Alberca 2

    a) Cul de las dos albercas tarda ms tiempo en llenarse?

    b) En cul de ellas el nivel de agua sube ms rpido?

    c) Cul de las siguientes grficas corresponde a esta situacin?

    Tiempo

    Niv

    el

    Alberca 1 Alberca 2

    Tiempo

    Niv

    el

    Alberca 2 Alberca 1

    Tiempo

    Niv

    el

    Alberca 2 Alberca 1

    Tiempo

    Niv

    el

    Alberca 2 Alberca 1

    a) b) c) d)

    MAT2 B4 S29.indd 185 9/10/07 12:43:08 PM

  • 186

    secuencia 29d) Comparen sus respuestas y comenten cmo le hicieron para decidir cul grfica

    era la correcta.

    ii. Observen la alberca que construyeron en la Comunidad del Rosario. Podemos dividir-la en dos partes: antes de un metro de profundidad (parte 1) y despus de un metro de profundidad (parte 2).

    a) Qu parte tiene ms espacio?

    b) Cuando el nivel del agua cambia de la parte 1 a la parte

    2, la rapidez con la que sube el agua, aumenta, disminu-

    ye o se queda igual?

    iii. Observen la siguiente cisterna. Se est llenando con una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las dos grficas de la derecha, cul representa la variacin del nivel del agua con respecto al tiempo?

    Por qu?

    Tiempo

    Niv

    el

    Tiempo

    Niv

    el

    a) b)

    A lo que llegamos Llenado de recipientes

    Con frecuencia encontramos fenmenos donde la grfica asociada a dos cantidades que varan resulta ser la unin de dos o ms segmentos de recta. Por ejemplo, el llenado de una alberca o una cisterna que tiene diferentes formas y distintos niveles de profundidad. A las grficas que se forman por segmentos de recta se les conoce como lineales por pedazos.

    Cuando se estudia una grfica lineal por pedazos hay que tomar en cuenta las pendientes de los segmentos. Por ejemplo, en la siguiente grfica, la pendiente del primer segmento es mayor que la del segundo. Es decir, la ordenada aumenta ms rpido en el primer segmento que en el segundo.

    Abscisa

    Ord

    enad

    a

    Parte 1

    Parte 2

    MAT2 B4 S29.indd 186 9/10/07 12:43:10 PM

  • 187

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Observen la peculiar cisterna que aparece en la figura de abajo, su tamao cambia en

    tres niveles de profundidad. La cisterna est siendo llenada por una llave que arroja la misma cantidad de agua cada minuto. De las grficas que aparecen ms abajo, cul representa la variacin del nivel del agua con respecto al tiempo? Por qu?

    Tiempo

    Niv

    el

    Tiempo

    Niv

    el

    Tiempo

    Niv

    el

    TiempoN

    ivel

    a) b) c) d)

    2. Comparen sus respuestas y decidan cul de las grficas anteriores corresponde al llenado de la siguiente cisterna.

    MAT2 B4 S29.indd 187 9/10/07 12:43:11 PM

  • 188

    secuencia 29

    DE AQU PARA ALL Y DE ALL PARA ACConsideremos lo siguienteUn autobs realiza un viaje redondo de la ciudad de Mxico a Guanajuato. La siguiente grfica muestra la distancia a la que se encontraba el autobs de la Ciudad de Mxico durante todo el trayecto de ida y vuelta.

    Tiempo (horas)

    500

    450

    400

    350

    300

    250

    200

    150

    100

    50

    Dis

    tan

    cia

    (kil

    met

    ros)

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    Grfica 1

    El siguiente texto es narrado por el conductor del autobs; en l, el conductor nos pla-tica sus experiencias en el viaje Mxico-Guanajuato. Lanlo y completen los espacios marcados haciendo uso de la grfica.

    SESIN 2

    Esa maana llegu a la central de autobuses una hora antes de mi salida, lo cul me permiti comer un rico desayuno en la cafetera de la central. Se acerc la hora de la salida y gustosamente me sub a la unidad que me tocara conducir para ese viaje. Los pasajeros llegaron a tiempo para cargar su equipaje, por lo que me fue posible salir sin demoras.

    Como el trfico en la carretera estaba tranquilo, aceler un poco ms de lo programado. Tal vez por ello, a las horas de viaje, la unidad empez hacer un ruido y me vi forzado a detenerme. Algunos pasajeros se molestaron, les ped que tuvieran paciencia. Baj de la unidad y me puse a revi-sar el motor: lo bueno que en el curso de ingreso me ensearon algunas cosas de mecnica y pude reparar el motor en ms o menos . Tom de nuevo la carretera y decid irme ms despacio para asegurar que no volviera a suceder lo mismo. Con todo y la demora, el viaje de ida dur en total

    horas.

    Una vez en Guanajuato, met la unidad al taller de la empresa. La dejaron muy bien! La tuvieron jus-to a tiempo para mi prxima salida de regreso a la ciudad de Mxico. En las horas que estuve en Guanajuato, aprovech para comer y hablarle a mi familia. El regreso no tuvo problemas, el viaje dur lo normal, horas.

    Con esta experiencia aprend que no es bueno llevar la unidad a km/h, pues puede llegar a descomponerse.

    MAT2 B4 S29.indd 188 9/10/07 12:43:11 PM

  • 189

    IIMATEMTICASComparen sus respuestas y comenten.

    Cmo hicieron para completar el texto?

    Despus de reparar el motor, el chofer redujo la velocidad, a qu velocidad creen que iba?

    Manos a la obrai. Sobre la siguiente grfica, se han marcado con letras algunos de sus puntos.

    Tiempo (horas)

    500

    450

    400

    350

    300

    250

    200

    150

    100

    50

    Dis

    tan

    cia

    (kil

    met

    ros)

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    a

    Bc

    D e

    F

    Cada uno de los siguientes enunciados se refiere a diferentes puntos sobre la grfica. Escriban en el espacio marcado, el nombre del punto al que se refiere cada enunciado.

    a) Sale el autobs de la ciudad de Guanajuato.

    b) Regresa el autobs a la ciudad de Mxico.

    c) Se escucha un ruido y se detiene el autobs.

    d) Se repara el motor y el autobs contina su trayecto.

    e) Sale el autobs de la ciudad de Mxico.

    f) Llega el autobs a la central de Guanajuato.

    ii. Observen la grfica y contesten las siguientes preguntas:

    a) Desde que sali de Mxico hasta el momento de descomponerse, cul fue la dis-

    tancia que recorri el autobs? en cunto tiempo recorri esa

    distancia? qu velocidad llevaba?

    b) Desde que se repar el motor hasta que lleg a Guanajuato, cul fue la distancia

    que recorri el autobs? en cunto tiempo recorri esa dis-

    tancia? qu velocidad llevaba en ese tramo?

    Comparen sus respuestas y comenten la siguiente informacin.

    MAT2 B4 S29.indd 189 9/10/07 12:43:12 PM

  • 190

    secuencia 29

    A lo que llegamosCuando una grfica de distancia con respecto al tiempo resulta ser una grfica lineal por pedazos, los distintos segmentos representan periodos de velocidad constante y los picos representan cambios de velocidad.

    iii. Calculen las distintas velocidades representadas por cada uno de los segmentos en la grfica 1.

    Lo que aprendimosLa siguiente grfica es lineal por pedazos y corresponde a la relacin entre tiempo y distancia de alguna de las siguientes dos situaciones.

    Lee con cuidado las dos situaciones y decide a cul de ellas corresponde la grfica. Seala con una .

    Un automvil sube a una meseta, llega a la parte plana, contina avanzando y despus desciende. Se grafica la distancia recorrida por el automvil res-pecto al tiempo.

    Un nio va de su casa a la escuela, se queda ah un tiempo y regresa a su casa. Se grafica la distancia a la que el nio est de su casa respecto al tiempo.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) En algn momento ocurre que, conforme el tiempo pasa, la distancia recorrida por el automvil aumenta?

    b) En algn momento ocurre que la distancia recorrida disminuye?

    c) Ocurre que, conforme pasa el tiempo, la distancia recorrida se queda igual?

    d) En algn momento la distancia a la que se encuentra el nio de su casa aumenta o disminuye?

    e) Cmo se debe ver esto en la grfica?

    CAMINO A LA ESCUELAPara empezarCruz es un nio muy estudioso, cada da camina dos kilmetros para ir a la escuela. En su camino, Cruz tiene que subir y bajar un pequeo cerro, el cerro de Santa Fe, como se muestra en la figura.

    SESIN 3

    Tiempo

    Dis

    tan

    cia

    MAT2 B4 S29.indd 190 9/10/07 12:43:13 PM

  • 191

    IIMATEMTICAS

    Consideremos lo siguienteCruz camina a una velocidad de 1.5 m/s cuando el terreno es plano, 0.5 m/s cuando es de subida y 3 m/s cuando es de bajada.

    Grafiquen la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiempo.

    Tiempo en segundos

    2 000

    1 800

    1 600

    1 400

    1 200

    1 000

    800

    600

    400

    200

    Dis

    tan

    cia

    en m

    etro

    s

    100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cuntos segundos tarda Cruz en caminar los primeros 600 m?

    b) Cuntos segundos tarda en caminar los 200 m de subida al cerro de Santa Fe?

    600 m600 m

    200 m 600 m EscuelaCasa

    MAT2 B4 S29.indd 191 9/10/07 12:43:16 PM

  • 192

    secuencia 29c) Cuntos segundos tarda en los 600 m de bajada?

    d) Cuntos segundos tarda en recorrer los primeros 800 m de su casa a la escuela?

    e) Cuntos segundos tarda en recorrer los primeros 1 400 m?

    f) Cuntos segundos tarda Cruz en llegar a la escuela desde su casa?

    g) A cuntos minutos equivale?

    ii. Completen la siguiente tabla para determinar algunos puntos de la grfica que repre-senta el recorrido de Cruz.

    Tiempo x (en segundos)

    Distancia y (en metros) Punto (x, y )

    200 A = (200, )

    600 B = ( , 600)

    600 C = (600 , )

    800 D = ( , 800)

    1 000 E = (1 000, )

    1 200 F = (1 200, )

    1 400 G = (1 400, )

    iii. Tracen (o ubiquen) los puntos cuyas coordenadas acaban de calcular, en el plano cartesiano del principio.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Cmo hicieron para llenar la tabla?

    b) Todos los puntos quedaron sobre la grfica que hicieron al principio?

    iV. Contesten las siguientes preguntas.

    a) Cul es la velocidad de Cruz en los primeros 600 m?

    Denotemos con la letra y la distancia (en metros) que Cruz lleva recorrida y con x el tiempo (en segundos). Escribe una expresin que relacione x con y cuando Cruz aun no llega al cerro Santa Fe.

    y =

    Es esta relacin lineal? Cmo se ve su grfica?

    MAT2 B4 S29.indd 192 9/10/07 12:43:17 PM

  • 193

    IIMATEMTICASb) Cul es la velocidad a la que camina Cruz cuando recorre los 200 m de subida al

    cerro?

    En el intervalo de tiempo que tarda en subir, cmo es la grfica?

    c) La grfica que construyeron para describir el camino de Cruz a la escuela, debe ser lineal por pedazos? Por qu?

    A lo que llegamosSi un fenmeno relaciona dos cantidades de tal manera que su comportamiento es lineal por pedazos, se puede hacer su grfica encontrando slo algunos puntos clave:

    1. Los puntos que representan el inicio y el fin del fenmeno. Por ejemplo, el punto O = (0,0) es el punto que representa el momento cuando Cruz no ha salido de su casa (inicio), y el punto G = (1 400, 2 000) representa el momento en que Cruz llega a la escuela (fin).

    2. Los puntos donde cambia la pendiente. Por ejemplo, los momentos en que Cruz cambi su velocidad (antes de subir al cerro, en la cima del cerro y cuan-do baj del cerro).

    Una vez que se calculan las coordenadas de esos puntos, se puede dibujar la grfica localizndolos en el plano y luego unindolos con segmentos de recta. Por ejemplo, si O = (0,0), P = (2,3), Q = (4,5) y R = (8,4) son los puntos de inicio, fin y cambio de pendiente de un fenmeno, entonces la grfica de ste es:

    Lo que aprendimos1. En tu cuaderno, haz la grfica de la distancia recorrida por Cruz con respecto al tiem-

    po, cuando ste camina de regreso a su casa.

    2. Para conocer ms ejemplos de fenmenos que se representan con grficas formadas por segmentos de recta pueden ver el programa interpretacin de grficas forma-das por segmentos.

    Para saber ms

    Sobre grficas, consulta:

    http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/interpretacion_de_graficas/Graficas.htm[Fecha de consulta: 15 de junio de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa.

    y

    xO

    P

    QR

    MAT2 B4 S29.indd 193 9/10/07 12:43:18 PM

  • MAT2 B5 S30.indd 194 9/10/07 12:44:00 PM

  • 195

    BLOQUE 5

    MAT2 B5 S30.indd 195 9/10/07 12:44:08 PM

  • 196

    secuencia 30

    En esta secuencia representars con letras los valores desconocidos de un problema y las usars para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

    LAS VACAS Y LOS CHIVOSPara empezarDe Diofanto al siglo XXI

    El matemtico de Alejandra vivi en el siglo III. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental que permitio el desarrollo del lgebra y por primera vez en la historia de las matemticas griegas present de una forma rigurosa el estudio de las ecuaciones de primer y segundo grado, as como de los sistemas de ecuaciones. Por estos hechos se le conoce como el padre del lgebra.

    Consideremos lo siguiente Don Matas se dedica a la crianza de vacas y chivos. Ral le pregunta a su padre: Pap cuntas vacas y chivos tenemos?.

    El padre le dice:

    Te voy a dar dos pistas para que en-cuentres cuntos chivos y cuntas vacas tenemos.

    Primera pista: en total tenemos 68 anima-les entre chivos y vacas.

    Segunda pista: el nmero de chivos es el triple que el nmero de vacas.

    Cuntos animales de cada tipo tiene don Matas?

    Chivos:

    Vacas:

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    SESIn 1

    Sistemas de ecuaciones

    MAT2 B5 S30.indd 196 9/10/07 12:44:13 PM

  • 197

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Para saber cuntos animales de cada tipo tiene don Matas, se requiere que las pare-

    jas de nmeros (nmero de chivos y nmero de vacas) cumplan con la primera pista: En total tenemos 68 animales entre chivos y vacas.

    a) Completen la Tabla 1 para mostrar algunas parejas de nmeros que cumplan con la primera pista: Consideren que:

    x representa el nmero de chivos.

    y representa el nmero de vacas.

    Nmero de chivos: x Nmero de vacas: y Pareja (x, y)

    34 (34, )

    35

    40

    18

    17

    60

    Tabla 1

    b) Cul es la ecuacin que representa a la primera pista?

    ii. Ahora encuentren otras parejas de nmeros que cumplan con la segunda pista dada por don Matas: el nmero de chivos es el triple que el nmero de vacas. Completen la siguiente tabla.

    Nmero de chivos: x Nmero de vacas: y Pareja (x, y)

    30

    33

    12

    39

    20

    15

    51

    Tabla 2

    a) Cul es la ecuacin que representa la segunda pista?

    b) Cul pareja cumple con las dos pistas?

    MAT2 B5 S30.indd 197 9/10/07 12:44:14 PM

  • 198

    secuencia 30Comparen sus respuestas y comenten:

    Adems de la pareja que encontraron, existir otra pareja que cumpla con las dos pistas que dio don Matas a su hijo Ral?, cul?

    iii. Representen en el plano siguiente las parejas que obtuvieron en la Tabla 1 y las pare-jas que obtuvieron en la Tabla 2.

    Con un color unan los puntos que graficaron para la Tabla 1.

    Con un color distinto unan los puntos que graficaron para la Tabla 2.

    Nmero de chivos

    Grfica 1

    N

    mer

    o d

    e va

    cas

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    10 20 30 40 50 600x

    y

    Qu punto pertenece a las dos rectas que trazaron? ( , )

    Comparen sus respuestas y comenten porqu el punto de interseccin de las rectas que trazaron proporciona el nmero de chivos y vacas que tiene don Matas.

    MAT2 B5 S30.indd 198 9/10/07 12:44:15 PM

  • 199

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara resolver un problema que involucre dos incgnitas y dos ecuacio-nes, hay que buscar dos valores que satisfagan las dos ecuaciones al mismo tiempo.

    Si se grafican las ecuaciones, el punto de interseccin de las grficas corresponde a la solucin del problema.

    Por ejemplo, si las ecuaciones de un problema son:

    Ecuacin 1: x + y = 40 Ecuacin 2: y = 3x

    Al graficar las ecuaciones se obtienen las siguientes rectas:

    El punto de interseccin de las rectas corresponde a la solucin del problema x = 10 y y = 30. Estos valores satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones.

    40

    35

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    5 10 15 20 25 30 35 400

    y = 3x

    (10, 30)

    x + y = 40

    x

    y

    MAT2 B5 S30.indd 199 9/10/07 12:44:16 PM

  • 200

    secuencia 30

    Lo que aprendimosa) Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son

    duraznos. Cuntas peras y cuntos duraznos puede haber en la bolsa?

    b) Si adems sabemos que hay once peras ms que duraznos, cuntas peras y cuntos duraznos hay en la bolsa?

    LA EDAD DE DOn MATASPara empezarEn la sesin anterior aprendiste a plantear y resolver problemas con dos valores desco-nocidos por medio de dos ecuaciones. Para ello usaste procedimientos aritmticos y grficos. En esta sesin plantears y resolvers sistemas de ecuaciones por el mtodo algebraico de sustitucin.

    Consideremos lo siguienteLa edad de don Matas es igual a cuatro veces la edad de Ral. La suma de sus edades es 70 aos.

    Cuntos aos tiene don Matas?

    Cul es la edad de Ral?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. Para saber la edad de don Matas y su hijo consideren lo siguiente:

    x representa la edad de don Matas;

    y representa la edad de Ral.

    a) Completen la ecuacin que representa el enunciado: La edad de don Matas es igual a cuatro veces la edad de Ral.

    Ecuacin 1: x =

    b) Completen la ecuacin que representa el enunciado: La suma de sus edades es 70 aos.

    Ecuacin 2: = 70

    c) Cul sistema de ecuaciones corresponde a esta situacin?

    x = y + 4 y = 4x x = 4y

    x + y = 70 x = 70 y x + y = 70

    Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

    SESIn 2

    MAT2 B5 S30.indd 200 9/10/07 12:44:17 PM

  • 201

    IIMATEMTICASd) Por qu x = 40 , y = 30 no es una solucin del sistema que seleccionaron aunque

    40 + 30 = 70?

    e) Por qu x = 40, y = 10 no es solucin del sistema, aunque 40 = 4(10)?

    ii. a) Con dos colores distintos, grafiquen las rectas que corresponden a las dos ecuaciones del problema. Pueden hacer tablas para encontrar las parejas de puntos que necesi-ten.

    b) En qu punto se intersecan las rectas que trazaron? ( , )

    Comparen sus respuestas y comenten porqu el punto de interseccin de las rectas que trazaron proporciona la solucin al problema de las edades de don Matas y Ral.

    Ed

    ad d

    e R

    al e

    n a

    o

    s

    Edad de don Matas en aos

    70

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    10 20 30 40 50 60 700 x

    y

    MAT2 B5 S30.indd 201 9/10/07 12:44:17 PM

  • 202

    secuencia 30iii. A continuacin se presenta otra manera de resolver el problema de las edades: el m-

    todo de sustitucin algebraica. Realicen las actividades y contesten lo que se pide.

    a) La ecuacin 1 se puede escribir como: x = 4y. Esta ecuacin indica que el valor de x es igual a 4 veces el valor de y .

    En la Ecuacin 2, sustituyan x por 4y y resuelvan la ecuacin que se obtiene des-pus de esta sustitucin.

    Ecuacin 2: x + y = 70

    Sustitucin ( ) + y = 70

    b) Como resultado de la sustitucin obtuvieron una ecuacin de una incgnita.

    Resulvanla y encuentren el valor de y. y =

    Encuentren el valor de x. x =

    c) Para comprobar los valores que encontraron, sustituyan en las ecuaciones 1 y 2 los valores de x y de y que encontraron.

    E1: x + y = 70 E2: x = 4y

    ( ) + ( ) = 70 ( ) = 4( )

    = 70 56 =

    d) Son verdaderas ambas igualdades que obtuvieron? Por qu razn?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Una vez que encontraron el valor de y , cmo encontraron el valor de x?

    iV. En un sistema, no siempre se encuentra despejada una de las incgnitas, por ejemplo:

    E1: x + y = 55

    E2: y + 2 = 2x

    En este caso, para aplicar el mtodo de sustitucin es necesario despejar primero una incgnita en una de las ecuaciones.

    a) Cul incgnita despejaran? de cul ecuacin la despejaran?

    b) Despejen la incgnita que escogieron y solucionen el sistema por sustitucin.

    x =

    y =

    MAT2 B5 S30.indd 202 9/10/07 12:44:19 PM

  • 203

    IIMATEMTICASc) Comprueben sustituyendo los valores de x y y en las ecuaciones 1 y 2.

    Comparen sus respuestas y comenten: en qu se fijaron para elegir la incgnita que con-viene despejar?

    A lo que llegamosUna manera de resolver un sistema de ecuaciones es por el mtodo de sustitucin que, como su nombre lo indica, consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y sustituir el resultado en la otra ecuacin.

    Por ejemplo, para resolver por sustitucin el sistema:

    E1: x + y = 95 E2: y = 3x 5Se hace lo siguiente:

    1. Se sustituye la incgnita y por 3x 5 en la Ecuacin 1.

    E1: x + y = 95 x + (3x 5) = 95

    2. Se resuelve la ecuacin obtenida. 4x 5 = 95 4x = 95 + 5 4x = 100 x = 25

    3. Para encontrar el valor de y, se sustituye el valor de x en cualquiera de las ecuaciones. Si se sustituye en la ecuacin 2, queda:

    E2: y = 3x 5 y = 3(25) 5 y = 75 5 y = 70

    4. Se comprueba las solucin sustituyendo los valores encontrados de x y de y en las dos ecuaciones.

    E1: x + y = 95 (25) + (70) = 95

    95 = 95

    E2: y = 3x 5 (70) = 3(25) 5

    70 = 75 5

    70 = 70

    MAT2 B5 S30.indd 203 9/10/07 12:44:20 PM

  • 204

    secuencia 30

    Lo que aprendimos1. Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones.

    Hoy fue el cumpleaos de Mnica, la hija mayor de don Matas. Un invitado a la fies-ta le pregunta al pap.

    Cuntos aos cumple la muchacha compadre?

    Para ocultar la edad de su hija don Matas le contest.

    Las edades de mi hija y su servidor suman 72 aos. Pero su edad es dos sptimos de la ma.

    a) Cuantos aos tiene la hija de don Matas?

    b) Cuntos aos tiene don Matas?

    2. Resuelve por el mtodo de sustitucin los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a) E1: 2x 8y = 2 b) E1: 2m + n = 4

    E2: x = 4y E2: m 2n = 7

    COMPRAS En EL MERCADOPara empezarEn esta sesin aplicars el mtodo de suma o resta para resolver un sistema de ecuaciones.

    Consideremos lo siguiente Don Matas fue al mercado a vender gallinas y conejos. Doa Lupe le compr 5 gallinas y 3 conejos y pag por ellos $425.00. Don Agustn le compr 3 gallinas y 3 conejos y pag $309.00.

    SESIn 3

    MAT2 B5 S30.indd 204 9/10/07 12:44:25 PM

  • 205

    IIMATEMTICASContesten lo que se les pide a continuacin para plantear y resolver este problema me-diante un sistema de ecuaciones. Usen la letra x para representar el precio de una gallina y la letra y para el precio de un conejo.

    a) Completen la ecuacin que representa lo que compr Doa Lupe:

    E1: = 425

    b) Completen la ecuacin que representa lo que compr Agustn:

    E2: = 309

    Resuelvan el sistema de ecuaciones y contesten:

    c) Cul es el precio de cada gallina? $

    d) Cul es el precio de cada conejo? $

    Verifiquen sus soluciones.

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. Cul de los siguientes sistemas corresponde al problema anterior?

    E1: x + y = 425 E1: 8xy = 425 E1: 5x + 3y = 425

    E2: x + y = 309 E2: 6xy = 309 E2: 3x + 3y = 309

    Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

    Comparen el sistema que seleccionaron y comenten porqu lo escogieron.

    ii. Cuando en ambas ecuaciones de un sistema una incgnita tiene el mismo coeficiente, conviene aplicar el mtodo de suma o resta para eliminarla y simplificar el sistema. Contesten lo que se les pide para aplicar este mtodo.

    a) En el sistema correspondiente al problema de las gallinas y los conejos, cul in-

    cgnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones? ;

    qu coeficiente tiene?

    b) Resten las ecuaciones 1 y 2 para eliminar a la incgnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecua-ciones. Completen.

    E1: + = 425

    E2: + = 309

    + = 116

    MAT2 B5 S30.indd 205 9/10/07 12:44:26 PM

  • 206

    secuencia 30c) Encuentren el valor de x en la ecuacin que obtuvieron. x =

    d) Encuentren el valor de y. y =

    e) Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y comprueben si los valores que encontraron para x y para y satisfacen las condiciones del problema planteado.

    Gastos de doa Lupe Gastos de don Agustn

    5 gallinas de $ cada una = $ 3 gallinas de $ cada una = $

    3 conejos de $ cada una = $ 3 conejos de $ cada uno = $

    Total $ Total $

    Comparen sus respuestas.

    iii. Cuando en ambas ecuaciones los coeficientes de una misma incgnita slo difieren en el signo, tambin conviene aplicar el mtodo de suma o resta. Por ejemplo, para resolver el sistema:

    E1: 5x + 3y = 425

    E2: 3x 3y = 39

    conviene sumar las dos ecuaciones para eliminar los trminos + 3y y 3y y simpli-ficar el sistema.

    a) Sumen las ecuaciones 1 y 2. Completen.

    E1: 5x + 3y = 425

    E2: 3x 3y = 39

    + =

    +

    b) Encuentren el valor de x en la ecuacin que obtuvieron. x =

    c) Encuentren el valor de y. y =

    d) Verifiquen su solucin sustituyendo en ambas ecuaciones los valores de x y de y que encontraron.

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B5 S30.indd 206 9/10/07 12:44:27 PM

  • 207

    IIMATEMTICASA lo que llegamosCuando en las dos ecuaciones de un sistema los coeficientes de una misma incgnita son iguales o slo difieren en el signo, conviene aplicar el mtodo de suma o resta.

    Por ejemplo, para resolver el siguiente sistema.

    E1: 5x + 2y = 70 Se suman uno a uno los trminos de las dos ecuaciones

    E2: 3x 2y = 14 y se cancelan los trminos que tienen y.

    8x + 0y = 56

    8x = 56 Se resuelve la ecuacin obtenida

    x = 7 y se encuentra el valor de x.

    E1: 5x + 2y = 70 En cualquiera de las ecuaciones, se sustituye el valor

    5(7) + 2y = 70 obtenido para x, se resuelve la ecuacin resultante

    2y = 70 5(7) y se encuentra el valor de y.

    2y = 35

    y = 17.5

    La solucin se verifica sustituyendo los valores de x y de y en ambas ecuaciones.

    Lo que aprendimos1. Plantea y resuelve en tu cuaderno un sistema de ecuaciones para solucionar el pro-

    blema siguiente:

    Too y Paty compraron en una tienda cuadernos y lpices. Todos los cuadernos y l-pices que se compraron son iguales entre s.

    Por 3 cuadernos y 2 lpices, Paty pag $54.

    Por 5 cuadernos y 4 lpices, Too pag $92.

    a) Cul es el precio de cada cuaderno? $

    b) Cul es el precio de cada lpiz? $

    2. Resuelve por el mtodo de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a) E1: 2x 8y = 8 b) E1: 4m + 3n = 1

    E2: 3x 8y = 10 E2: 6m 6n = 5

    MAT2 B5 S30.indd 207 9/10/07 12:44:28 PM

  • 208

    secuencia 30

    LA IGUALACInPara empezarEn esta sesin utilizars el mtodo de igualacin para resolver un sistema de ecuaciones.

    Consideremos lo siguienteEncuentra la solucin del siguiente sistema de ecuaciones:

    E1: y = 4x + 13

    E2: 2x 3 = y

    x = , y =

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones cuando la misma incgnita est

    despejada en las dos ecuaciones consiste en aplicar el mtodo de igualacin. Para eso hay que igualar las dos expresiones algebraicas que son equivalentes a la incgnita despejada.

    a) Qu ecuacin se obtiene al igualar las dos expresiones algebraicas equivalentes a la incgnita y?

    E1: y = 4x + 13

    E2: 2x 3 = y

    =

    Resuelvan la ecuacin que obtuvieron.

    b) Cul es el valor de x? , cul es el valor de y?

    c) Verifiquen sus soluciones sustituyendo los valores que encontraron en las dos ecuaciones originales.

    Comparen sus soluciones.

    ii. Encuentren el sistema de ecuaciones que corresponda al problema siguiente:

    Doa Lupe fue a comprar queso. Por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pag $300.00. Si un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra, cunto vale una pieza de cada tipo de queso?

    Usen las letras x y y para representar las incgnitas del problema.

    x: precio de un queso de vaca.

    y: precio de un queso de cabra.

    SESIn 4

    MAT2 B5 S30.indd 208 9/10/07 12:44:29 PM

  • 209

    IIMATEMTICASa) Qu ecuacin representa el enunciado: por 2 quesos de vaca y 3 quesos de

    cabra pag $300.00?

    E1:

    b) Qu ecuacin representa el enunciado: un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra?

    E2:

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    A lo que llegamosCuando en un sistema la misma incgnita est despejada en las dos ecuaciones, conviene aplicar el mtodo de igualacin. Para eso hay que igualar las expresiones algebraicas dadas en el despeje.

    Por ejemplo, para resolver por igualacin el sistema:

    E1: x = 75 3y2

    E2: x = 25 + y

    1. Se igualan las expresiones obteni-das mediante el despeje para la incgnita x.

    75 3y

    2 = 25 + y

    2. Se resuelve la ecuacin para obtener el valor de y.

    75 3y = 2 (25 + y ) 75 3y = 50 + 2y 75 50 = 2y + 3y 25 = 5y 5 = y

    3. Para encontrar el valor de x, se sustituye el valor de y en cual-quiera de las ecuaciones. Por ejemplo, sustituyendo en la ecua-cin 2 queda:

    x y = 25 x (5) = 25 x = 25 + 5 x = 30

    4. Se comprueba las solucin sustituyendo los valores encontrados de x y de y en las dos ecuaciones.

    MAT2 B5 S30.indd 209 9/10/07 12:44:30 PM

  • 210

    secuencia 30iii. Algunas veces, antes de aplicar el mtodo igualacin hay que despejar alguna de las

    incgnitas. Realicen las siguientes actividades para resolver por igualacin el sistema:

    E1: 2x + 3y = 300

    E2: x = y 30

    a) Cul de las siguientes ecuaciones se obtiene al despejar la incgnita x de la ecua-cin 1? Subryenla.

    x = (300 3y ) 2

    x = 150 3y

    x = 300 3y2

    b) Igualen las expresiones que obtuvieron para la incgnita x. Completen la ecuacin.

    = y 30

    Resuelvan la ecuacin que se obtiene.

    c) Cunto vale x?

    d) Cunto vale y?

    e) Comprueben sus soluciones sustituyendo en las dos ecuaciones originales los valo-res que encontraron.

    Comparen sus respuestas y comenten cmo resolveran un sistema de ecuaciones por el mtodo de igualacin, cuando no est despejada ninguna incgnita en las ecua-ciones.

    Lo que aprendimosResuelve por el mtodo de igualacin los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a)E1: c = 10 b2

    E2: c = 6 + b2

    b)E1: m = 7n 48

    E2: m = 3n + 66

    c)E1: r = 3s 14

    E2: 6r 6s = 5

    MAT2 B5 S30.indd 210 9/10/07 12:44:31 PM

  • 211

    IIMATEMTICASLO QUE APREnDIMOS DE SISTEMAS DE ECUACIOnES1. Selecciona el mtodo por el que resolveras cada uno de los siguientes sistemas de

    ecuaciones y escribe la razn por la que lo haras.

    Sistema de ecuaciones

    Mtodo (sustitucin, suma o resta, igualacin)

    Razn por la que seleccionas el mtodo

    a + b = 20

    a b = 5

    c = 3d + 5

    3c + 2d = 59

    m = 2 + n

    m = 4 + 3n

    3x + 2y = 22

    5x + 2y = 30

    r = 3s 14r + 3s = 20

    Comparen sus respuestas y comenten en qu circunstancias conviene usar cada mtodo para resolver un sistema de ecuaciones.

    2. Plantea un sistema de ecuaciones para cada uno de los siguientes problemas y resul-velo por el mtodo que consideres apropiado.

    a) La suma de dos nmeros es 72. Si el triple de uno de los nmeros menos el otro

    nmero es 16, cules son esos nmeros?

    E1:

    E2:

    SESIn 5

    MAT2 B5 S30.indd 211 9/10/07 12:44:31 PM

  • 212

    secuencia 30b) El permetro del tringulo es 14.4 cm y el del rectngulo es 23.6 cm, cunto

    valen x y z?

    4x

    z

    3x

    z +1

    z x

    E1:

    E2:

    x = , z =

    c) Un padre y su hijo ganan $15 000.00 al mes. Cunto gana cada uno si el padre percibe $3 600.00 ms que el hijo?

    E1:

    E2:

    El padre gana: al mes.

    El hijo gana: al mes.

    d) En un rectngulo el largo excede por 1.2 cm al doble del ancho; adems, el largo mide 4.3 cm ms que el ancho. Cules son las dimensiones del rectngulo?

    E1:

    E2:

    Ancho: cm.

    Largo: cm.

    x

    2x + 1.2

    x + 4.3

    MAT2 B5 S30.indd 212 9/10/07 12:44:32 PM

  • 213

    IIMATEMTICASe) El maestro Juan compr 12 balones, unos de ftbol y otros de bsquetbol; los de

    ftbol valen $95.00 y los de bsquet $120.00, cuntos balones compr para cada deporte si en total pag $1 265.00?

    E1:

    E2:

    Balones de bsquetbol que se compraron:

    Balones de ftbol que se compraron:

    Comparen sus respuestas y los procedimientos que utilizaron en cada problema. Comen-ten por qu seleccionaron cierto mtodo de resolucin en cada sistema de ecuaciones.

    3. Para conocer ms ejemplos de la solucin de problemas mediante sistemas de ecua-ciones pueden ver el programa Resolucin de sistemas de ecuaciones.

    Para saber ms

    Sobre resolucin de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/RUTA 1: Aplicaciones lgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolucin de sistemas de ecuaciones Mtodo de Sustitucin.RUTA 2: Aplicaciones lgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolucin de sistemas de ecuaciones Mtodo de Reduccin. [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa.

    MAT2 B5 S30.indd 213 9/10/07 12:44:32 PM

  • 214

    secuencia 31

    En esta secuencia determinars las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras. Construirs y reconocers diseos que combinan la simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de figuras.

    HACIA DNDE ME MUEVO?Para empezarEn la secuencia 5 de tu libro Matemticas i, volumen i construiste figuras simtricas con respecto a un eje. Estudiaste que un punto es simtrico a otro con respecto a una recta si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a ella. Cuando se traza el simtrico de una figura con respecto a un eje, se conservan las longitudes y los ngulos de la figura original.

    Traza el simtrico del tringulo con respecto a la recta m. Utiliza tus instrumentos geomtricos

    sEsIN 1

    Traslacin, rotacin y simetra central

    m

    MAT2 B5 S31.indd 214 9/10/07 12:47:23 PM

  • 215

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteEl siguiente dibujo est incompleto. Debe haber 6 figuras iguales. Planeen y lleven a cabo una manera de terminarlo. Utilicen sus instrumentos geomtricos.

    Comparen sus respuestas. Comenten con los otros equipos el procedimiento que emplea-ron para terminar el dibujo.

    Manos a la obrai. Este dibujo est mal terminado. Explica por qu.

    MAT2 B5 S31.indd 215 9/10/07 12:47:24 PM

  • 216

    secuencia 31ii. Responde las preguntas.

    B

    a

    c

    D

    F

    e

    a) Encuentra el vrtice que corresponde al vrtice a y el que corresponde al vrtice B en la otra figura, nmbralos a y B, respectivamente. Usa tu regla para unir a con a y B con B, al hacerlo obtienes los segmentos aa y BB . Anota en la figu-ra la distancia entre a y a y entre B y B.

    b) Si prolongamos los segmentos aa y BB , las rectas que se obtienen son parale-

    las o perpendiculares?

    c) Encuentra los vrtices correspondientes a los vrtices c, D, e, y F. Nmbralos c', D', e', y F', respectivamente. Anota en la figura la distancia entre c y c, entre D y D, e y e, y entre F y F.

    d) Cul es el lado correspondiente al lado aB?

    e) Cul es el lado correspondiente al lado cD?

    f) Si prolongamos el lado aB y su correspondiente lado en la otra figura, cmo son,

    entre s, las rectas que se obtienen?

    g) Si prolongamos el lado cD y su correspondiente lado en la otra figura, cmo son,

    entre s, las rectas que se obtienen?

    MAT2 B5 S31.indd 216 9/10/07 12:47:24 PM

  • 217

    IIMATEMTICASiii. El siguiente dibujo cambi un poco. Encuentra los vrtices correspondientes a los

    vrtices G y H. Nmbralos G y H, respectivamente.

    G

    H

    a) Anota en la figura la distancia entre G y G y entre H y H.

    b) Traza los segmentos GG y HH . Si las prolongamos, las rectas que se obtienen

    son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?

    c) Cul es el lado correspondiente al lado GH?

    d) Si prolongamos el lado GH y su correspondiente lado en la otra figura, las rectas

    que se obtienen son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosUna figura es una traslacin de otra si los segmentos que unen dos puntos de la figura con sus correspon-dientes puntos en la otra, tienen la misma medida y son paralelos entres s o son la misma recta.

    Al prolongar dos lados correspondientes en las figuras se obtiene la misma recta o se obtienen rectas paralelas entre s

    5 cm

    5 cm

    4 cm

    MAT2 B5 S31.indd 217 9/10/07 12:47:25 PM

  • 218

    secuencia 31iV. Dibuja una traslacin de la siguiente figura utilizando tus instrumentos geomtricos;

    el vrtice A debe ser el correspondiente al vrtice A. Escribe el procedimiento que seguiste para trazarla.

    a

    a'

    Procedimiento:

    Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrn un procedimiento para trasladar figuras utilizando los instrumentos geomtricos. Comenten cmo son los lados y los ngulos de la figura trasladada con respecto a la figura original.

    A lo que llegamosAl trasladar una figura se conserva la medida de los lados y de los ngulos de la figura original.

    MAT2 B5 S31.indd 218 9/10/07 12:47:26 PM

  • 219

    IIMATEMTICASROTACIONEsPara empezarLa rueda es uno de los inventos ms impor-tantes para la humanidad. Piensen en todo lo que se ha transportado con la ayuda de las ruedas. Actualmente muchos transportes (bi-cis, triciclos, motos, automviles, camiones, autobuses, metro, aviones) utilizan llantas para trasladarse. En esta sesin vamos a estu-diar las rotaciones.

    Consideremos lo siguienteEn la siguiente llanta hay una figura dibujada.

    Al girar la llanta en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la figura se va a mover. Traza sobre la llanta la nueva posicin de la figura al hacer un giro de 80.

    La figura que dibujaste no es una traslacin de la figura original. Explica por qu

    De cunto debe de ser el giro para que la figura vuelva a estar en la misma posicin?

    Comparen sus respuestas. Comenten en qu posicin queda la figura si se hace un giro de 90, de 180 y de 270, en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

    sEsIN 2

    MAT2 B5 S31.indd 219 9/10/07 12:47:29 PM

  • 220

    secuencia 31

    Manos a la obrai. Al girar la llanta la figura qued en la siguiente posicin.

    Escoge dos vrtices, a y B, en una de las figuras. Encuentra los vrtices correspon-dientes, a y B, en la otra figura. El centro de la llanta nmbralo como punto c.

    Usa tu regla para unir a con a y B con B, al hacerlo obtienes los segmentos aa y BB . Responde las preguntas.

    a) Encuentra las mediatrices de los segmentos aa y BB . Prolngalas hasta que se

    crucen. En dnde se cruzan?

    b) Mide el ngulo aca y el ngulo BcB. Son iguales o son distintos?

    c) Cunto mide el ngulo del giro que se realiz?

    d) Los segmentos ac y ac . Miden lo mismo o distinto?

    e) Los segmentos Bc y Bc . Miden lo mismo o distinto?

    f) Los lados correspondientes y los ngulos correspondientes en las figuras, son

    iguales o son distintos?

    MAT2 B5 S31.indd 220 9/10/07 12:47:30 PM

  • 221

    IIMATEMTICASii. Los siguientes tringulos se obtuvieron al realizar un giro. Encuentra los vrtices co-

    rrespondientes a los vrtices a y B, nmbralos a y B en el otro tringulo. Encuentra el punto c sobre el que se hizo el giro. Calcula de cunto es el ngulo de giro.

    a

    B

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar de cunto fue el giro que se realiz y respondan: cmo son entre s los lados correspondientes y los ngulos correspondientes en los dos tringulos?

    A lo que llegamosCuando giramos una figura sobre un punto estamos haciendo una rota-cin. El punto se llama centro de rotacin. La medida de cunto giramos es el ngulo de rotacin. Si la rotacin se hace en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ngulo de rotacin es positivo. Si se hace en el sentido de las manecillas del reloj, el ngulo de rotacin es negativo.

    Al hacer una rotacin con un ngulo de rotacin de 360, volvemos a la posicin de la figura original.

    Cuando una figura se obtiene rotando otra, los vrtices correspondientes equidistan del centro de rotacin y se conserva la medida de los lados y de los ngulos de la figura original.

    MAT2 B5 S31.indd 221 9/10/07 12:47:31 PM

  • 222

    secuencia 31iii. En ocasiones, el centro de rotacin est dentro de la figura que se va a rotar. Dibuja

    la posicin de cada figura despus de hacer la rotacin indicada. En cada caso el centro de rotacin est indicado con un punto rojo.

    Angulo de rotacin 90 Angulo de rotacin 210

    a) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ngulo de rotacin positivo, que al rotar con un ngulo de 90. Cul es ese ngulo?

    b) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ngulo de rotacin negativo, que al rotar con un ngulo de 210. Cul es ese ngulo?

    iV. Copia las siguientes figuras en una hoja (es un tringulo equiltero, un cuadrado y un rectngulo), recrtalas y utiliza un lpiz o una pluma para fijar el centro de rotacin dentro de la figura. Encuentra el centro de rotacin de manera que se vuelva a la posicin inicial al rotar la figura con un ngulo de rotacin que mida entre 360 y 360. Para cada fi-gura indica la medida de todos los ngulos de rotacin con los que se vuelve a la posicin inicial (considera los ngulos de rotacin positivos y los negativos).

    Comparen sus respuestas. Comenten si un tringulo issceles o un rombo pueden ser rotados con un ngulo de rotacin que mida entre -360 y 360, de manera que vuelvan a su posicin inicial.

    MAT2 B5 S31.indd 222 9/10/07 12:47:34 PM

  • 223

    IIMATEMTICAS

    sIMETRA CENTRALPara empezarMovimientos en el plano

    Ya conoces tres movimientos en el plano: la simetra con respecto a un eje, la traslacin y la rotacin. En esta sesin conocers un caso especial de la rotacin: la simetra central.

    Consideremos lo siguienteUtiliza tus instrumentos geomtricos para trazar la figura que se obtiene al rotar la si-guiente figura, con centro en C y ngulo de rotacin de 180.

    c

    Comparen sus figuras. Comenten qu procedimiento utilizaron para realizar la rotacin.

    sEsIN 3

    A lo que llegamosPara rotar un polgono con respecto a un punto C y con un ngulo de rotacin r :

    1. Por cada vrtice se traza la recta que une el vrtice con el punto C.

    2. Utilizando la recta que trazaste, se traza un ngulo igual al ngulo r . La recta debe ser uno de los lados del ngulo y el punto C debe ser el vrtice del ngulo. Si el ngulo es positivo se traza el lado que falta en sentido contrario a las manecillas del reloj, si el ngulo es negativo se traza en el sentido de las manecillas del reloj.

    3. Sobre el nuevo lado del ngulo se traslada la distancia entre el vrtice del polgono y el punto C.

    4. Se unen los vrtices encontrados para formar el polgono rotado.

    MAT2 B5 S31.indd 223 9/10/07 12:47:35 PM

  • 224

    secuencia 31

    Manos a la obrai. Las siguientes figuras se obtuvieron al rotar la figura de la izquierda con un ngulo

    de rotacin de 180 y centro en c. Encuentra los vrtices correspondientes a los vr-tices a y B, nmbralos a y B. Une a con a y B con B.

    c

    B

    a

    ii. Responde las preguntas.

    a) Por dnde pasa el segmento aa?

    b) Cul es la distancia entre a y c?

    c) Cul es la distancia entre a y c?

    d) Por dnde pasa el segmento BB?

    e) Cul es la distancia entre B y c?

    f) Cul es la distancia entre B y c?

    g) Escoge otro vrtice y su correspondiente vrtice en la otra figura. nelos y escribe en el dibujo la distancia de cada uno de los dos vrtices al centro.

    h) Los lados correspondientes y los ngulos correspondientes en las figuras, son

    iguales o son distintos?

    MAT2 B5 S31.indd 224 9/10/07 12:47:36 PM

  • 225

    IIMATEMTICASA lo que llegamosA una rotacin sobre un centro C con un ngulo de 180, se le llama una simetra central o simetra con respecto al punto C. Cuando dos puntos A y A son simtricos con respecto al punto C, A y A equidistan de C y los tres puntos son colineales.

    A C A

    iii. Traza el simtrico del tringulo PQR con respecto al punto c.

    c

    P

    Q

    R

    a) Cules puntos localizaste para trazar el tringulo simtrico?

    b) Escoge un punto en el tringulo PQR, que no sea uno de sus vrtices, y localiza su simtrico con respecto al punto c.

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo son los lados y los ngulos de la figura sim-trica con respecto a la figura original.

    MAT2 B5 S31.indd 225 9/10/07 12:47:36 PM

  • 226

    secuencia 31

    Para construir un polgono simtrico a otro con respecto a un punto:

    1. Por cada vrtice se traza la recta que pasa por el centro de simetra.

    2. Sobre cada recta que se traz se toma la distancia de cada vrtice al centro de sime-tra y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta correspondiente.

    3. Se unen los vrtices encontrados para formar el polgono.

    Es decir, se traza el simtrico de cada vrtice con respecto al centro de simetra y se unen todos los vrtices simtricos

    Una figura simtrica a otra con respecto a un punto conserva la medida de los lados y de los ngulos de la figura original.

    A lo que llegamos

    iV. Traza el simtrico del tringulo aBc con respecto a la recta y , obtendrs el tringulo aBc. Luego traza el simtrico del tringulo aBc con respecto a la recta x, obten-drs el trangulo aBc. Qu movimiento habra que hacer para pasar directamen-te aBc a aBc?

    a

    c

    B

    y

    x

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B5 S31.indd 226 9/10/07 12:47:37 PM

  • 227

    IIMATEMTICASALGO Ms sOBRE sIMETRAs, ROTACIONEs Y TRAsLACIONEsLo que aprendimos1. Copia la siguiente figura. Haz una traslacin y una rotacin. Indica la distancia que

    trasladaste la figura y el ngulo de rotacin que utilizaste.

    2. Con respecto al tringulo rojo, ilumina de azul los tringulos que sean una traslacin, de amarillo los que sean una rotacin y de verde los que sean simtricos con respecto a un eje.

    sEsIN 4

    MAT2 B5 S31.indd 227 9/10/07 12:47:38 PM

  • 228

    secuencia 313. Traza el simtrico del tringulo aBc con respecto a la recta m, obtendrs el tringu-

    lo aBc. Luego traza el simtrico del tringulo aBc con respecto a la recta n y obtendrs el trangulo aBc. Qu movimiento habra que hacer para pasar direc-tamente aBc a aBc?

    a

    m

    c

    B

    n

    4. Encuentra el simtrico del tringulo aBc con respecto a la recta s. Se obtiene el tringulo aBc. Luego encuentra el simtrico de aBc con respecto a la recta t. Qu movimiento habra que hacer para pasar directamente del tringulo aBc al tercer tringulo que obtuviste?

    5. Para conocer ms propiedades de las rotaciones, traslaciones y simetras del plano pueden ver el programa Rotacin y traslacin de figuras.

    a

    B

    c

    s

    t

    MAT2 B5 S31.indd 228 9/10/07 12:47:38 PM

  • 229

    IIMATEMTICASPara saber ms

    Sobre movimientos en el plano consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Una ventana a las formas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Tambin puedes consultar:http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Movimientos_en_el_plano/index_movi.htmRuta 1: ndice TraslacionesRuta 2: ndice GirosRuta 3: ndice Simetras[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa.

    Explora las actividades del interactivo Movimientos en el plano.

    MAT2 B5 S31.indd 229 9/10/07 12:47:38 PM

  • 230

    secuencia 32

    En esta secuencia aprenders a distinguir en diversas situaciones de azar cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o cuando no son mutuamente excluyentes y determinars la forma en que se calcula su probabilidad de ocurrencia.

    Cundo dos eventos son mutuamente exCluyentes?Para empezarCundo dos eventos son mutuamente excluyentes?

    En la secuencia 27 de tu libro de Matemticas ii, volumen ii, realizaste experimentos aleatorios con monedas y dados para estudiar cundo dos o ms eventos son indepen-dientes; en esta sesin realizaremos algunos experimentos y veremos algunas situaciones para distinguir cundo dos eventos son mutuamente excluyentes.

    sesin 1

    Eventos mutuamente excluyentes

    Material

    Dos bolsas de plstico oscuras.

    Una hoja blanca.

    Corten la hoja en 12 partes iguales; nume-ren los papelitos del 1 al 6, de modo que haya dos papelitos con el nmero 1, dos con el 2, etc. Coloquen en una bolsa un juego de papelitos numerados del 1 al 6 y en la otra los otros 6 papelitos. Marquen una de las bolsas con el nmero I y la otra con el II.

    Ahora, el experimento que van a realizar con-siste en sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, y luego los regresan a las bolsas que les corresponden.

    MAT2 B5 S32.indd 230 9/10/07 12:48:06 PM

  • 231

    IIMATEMTICASNmero de extraccin Bolsa I Bolsa II

    Nmero de extraccin Bolsa I Bolsa II

    1 6

    2 7

    3 8

    4 9

    5 10

    Eventos mutuamente excluyentes

    Recuerden que:

    Un experimento aleatorio es todo proceso que produce un resultado u observacin

    que est fuera de control y que depende del azar.

    Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamamos

    espacio muestral, espacio de eventos o conjunto de resultados. Por ejemplo, al

    realizar el experimento de lanzar un dado (no trucado), obtenemos el siguiente

    espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    Como el espacio muestral es un conjunto, podemos formar subconjuntos de l que

    llamamos eventos. Por ejemplo, el evento A es obtener un nmero par al lanzar un

    dado; los resultados favorables son: {2,4,6}.

    En este experimento aleatorio, cuntos y cules son todos los resultados posibles que

    creen que hay?

    Consideremos lo siguienteTres eventos que pueden ocurrir al realizar el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada, bolsa anotar los nmeros que salen y regresarlos a las bolsas son:

    a: "Los dos papelitos muestran el mismo nmero".

    B: "La suma de los nmeros de los dos papelitos es 7".

    c: "La suma de los nmeros de los dos papelitos es 10".

    a) Si sacan de la bolsa I el papelito que tiene el nmero 4, y de la bolsa II el papelito

    con el nmero 3, es decir, sacan 4 y 3, a cul de los tres eventos es favorable este

    resultado?

    b) Cul es un resultado favorable al evento C?

    MAT2 B5 S32.indd 231 9/10/07 12:48:08 PM

  • 232

    secuencia 32c) Si ocurre que la suma de los nmeros en los dos papelitos es 7, es posible que la

    suma de esos nmeros tambin sea 10? Si es as, escriban un ejemplo.

    d) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo nmero, puede ocurrir, al mis-

    mo tiempo, que la suma de los nmeros de los dos papelitos sea 10?

    Si es as, escriban un ejemplo.

    e) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo nmero, puede ocurrir que la

    suma de esos nmeros sea 7? Si es as, escriban un ejemplo.

    Comparen sus respuestas con las de sus compaeros.

    Manos a la obrai. Utilicen los resultados que obtuvieron al realizar 10 veces el experimento de sacar

    dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, para completar la siguiente tabla y contestar las preguntas de los incisos.

    a: "los dos papelitos muestra el mismo

    nmero".

    B: "la suma de los nmeros de los dos

    papelitos es 7".

    c: "la suma de los nmeros de los dos

    papelitos es 10".

    a) De los resultados que obtuvieron, alguno es favorable al evento A?

    Al evento B? Y al evento C?

    b) Qu otros resultados creen que podran obtener que fueran favorables al evento

    A?

    c) Qu otros resultados creen que podran obtener que fueran favorables al evento

    B?

    Y al evento C?

    Comparen sus respuestas con las de sus compaeros.

    MAT2 B5 S32.indd 232 9/10/07 12:48:08 PM

  • 233

    IIMATEMTICASii. En el siguiente arreglo rectangular se muestran todos los resultados posibles que

    pueden ocurrir al sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los nmeros y regresarlos. Marquen con color azul los resultados favorables al evento a: "los dos papelitos muestran el mismo nmero"; con color rojo, los resultados favorables al evento B: "la suma de los nmeros de los dos papelitos es 7" y con color verde, los del evento c: "la suma de los nmeros de los dos papelitos es 10".

    Bolsa ii

    Bols

    a i

    1 2 3 4 5 6

    1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

    2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

    3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

    4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

    5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

    6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

    Consideren el arreglo rectangular anterior para responder las siguientes preguntas.

    a) En total, cuntos resultados posibles hay para este experimento?

    b) Cuntos resultados favorables tiene el evento A?

    c) Cuntos resultados favorables tiene el evento B?

    Y el evento C?

    Si se consideran todos los resultados favorables del evento A y del evento B, es decir, todos los resultados que estn marcados de color azul o de color rojo, se podra definir un nuevo evento los dos papelitos muestran el mismo nmero o la suma de los nmeros de los papelitos es 7.

    d) Cules resultados son favorables a los dos papelitos muestran el mismo nmero o la suma de los nmeros de los dos papelitos es 7? Escrbanlos en el siguiente recuadro:

    Resultados favorables al evento a o al evento B

    MAT2 B5 S32.indd 233 9/10/07 12:48:09 PM

  • 234

    secuencia 32e) Hay algn resultado que est marcado de color azul y de color rojo a la vez, es

    decir, los dos papelitos muestran el mismo nmero y la suma de los nmeros de

    los dos papelitos es 7 al mismo tiempo?

    Cul o cules?

    f) Cuntos resultados favorables diferentes hay para el evento los dos papelitos

    muestran el mismo nmero o la suma de los nmeros es 7? (Cuenten una sola vez

    los resultados que se comparten).

    g) Sumen el nmero de resultados favorables del evento A y los del evento B, cul

    es la suma?

    h) Si comparan el nmero de resultados favorables al evento: los dos papelitos

    muestran el mismo nmero o la suma de los nmeros de los dos papelitos es 7,

    con la suma de los resultados favorables del evento A y los del evento B, es igual

    o diferente el nmero de resultados favorables?

    iii. Si se realiza el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los nmeros que salen y regresarlos a las bolsas otro evento que puede considerarse es los dos papelitos muestran el mismo nmero o la suma de los nmeros de los dos papelitos es 10.

    a) Ahora, cules son los resultados favorables a este nuevo evento?

    Resultados favorables al evento a o al evento c

    b) Hay algn resultado favorable que se repita, es decir, el resultado es favorable al

    evento A y al evento C? Cul o cules?

    c) Cuntos resultados favorables diferentes hay (cuenten una sola vez los resulta-

    dos que se repiten)?

    d) Sumen el nmero de resultados favorables del evento A y el del evento C. Cun-

    to vale la suma?

    e) Es igual o diferente el nmero de resultados favorables del evento: los dos pa-

    pelitos muestran el mismo nmero o la suma de los nmeros de los dos papelitos

    es 10 con el valor de la suma de los resultados favorables del evento A y los del

    evento C?

    MAT2 B5 S32.indd 234 9/10/07 12:48:10 PM

  • 235

    IIMATEMTICASA lo que llegamosSe dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si los resulta-dos favorables que se obtienen para cada evento son distintos, es decir, si ocurre uno de los eventos imposibilita la ocurrencia del otro.

    Por ejemplo, se lanza un dado (no trucado) y se observa el nmero de la cara superior que cae. Dos eventos que pueden ocurrir son:

    A: cae nmero par.

    B: cae nmero impar.

    Los resultados favorables de cada evento son:

    A = {2,4,6}

    B = {1,3,5}

    Como todos los resultados son distintos, los eventos son mutuamente excluyentes.

    Esto significa que, si se lanza un dado y ocurre que cae nmero par, es imposible que ese nmero sea impar al mismo tiempo.

    En cambio, si se define un tercer evento, C cae un mltiplo de 3, sus resultados favorables son: {3,6}.

    El evento A cae nmero par y el evento C cae mltiplo de 3 no son mutuamente excluyentes porque el nmero 6 es un resultado favorable comn a ambos eventos.

    iV. Determinen si cada una de las parejas de eventos siguientes son o no eventos mutua-mente excluyentes:

    a) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: cada papelito muestra el mismo n-

    mero y la suma de los nmeros en los dos papelitos es 7.

    b) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: cada papelito muestra el mismo n-

    mero y la suma de los nmeros en los dos papelitos es 10.

    c) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: la suma de los nmeros en los dos

    papelitos es 7 y la suma de los nmeros en los dos papelitos es 10.

    MAT2 B5 S32.indd 235 9/10/07 12:48:11 PM

  • 236

    secuencia 32

    sesin 2

    Lo que aprendimos1. Define dos eventos diferentes a los que analizaste anteriormente; identifcalos

    como:

    Evento D:

    Evento e:

    a) En tu cuaderno, determina los resultados favorables a cada evento.

    b) Rene los resultados favorables del evento D y los del evento E, cuntos resulta-

    dos favorables tienen en comn?

    Son los eventos D y E mutuamente excluyentes?

    c) Si unes los resultados favorables del evento A y los del evento D, cuntos resul-

    tados tienen en comn?

    Son los eventos A y D mutuamente excluyentes?

    d) Si unes los eventos B y E, cuntos resultados tienen en comn?

    Son los eventos B y E mutuamente excluyentes?

    Compara tus respuestas con las de tus compaeros. Escribe en tu cuaderno los eventos mutuamente excluyentes que sean diferentes a los que t anotaste.

    ClCulo de la PRoBaBilidad de eventos mutuamente exCluyentes y no exCluyentesPara empezarEn la sesin anterior aprendiste a distinguir cundo dos eventos son mutuamente exclu-yentes o no son mutuamente excluyentes; en esta sesin aprenders a calcular la proba-bilidad de que ocurra cualquiera de los dos eventos.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra el nmero de personas que laboran en una fbrica. Compltenla.

    Tiempo completo

    Medio tiempo

    Total por sexo

    Mujeres 60 20

    Hombres 80 40

    Total por turno

    MAT2 B5 S32.indd 236 9/10/07 12:48:11 PM

  • 237

    IIMATEMTICAS

    Si se selecciona al azar a un trabajador de la fbrica, sean los siguientes eventos:

    a: "trabaja tiempo completo".

    B: "es hombre".

    c: "trabaja medio tiempo y es mujer".

    a) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, puede ocurrir que

    sea hombre al mismo tiempo?

    Son mutuamente excluyentes los eventos a y B?

    b) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, puede ocurrir que

    tambin trabaje medio tiempo?

    c) Cul es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar sea hombre?

    d) Cul es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo

    completo?

    e) Cul es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar tra-

    baje medio tiempo y sea mujer?

    f) Cul creen que es la probabilidad de que el trabajador seleccionado

    trabaje tiempo completo o que trabaje medio tiempo y sea mujer?

    Comparen sus respuestas con las de sus compaeros y comenten cmo obtuvieron las

    probabilidades en los incisos c) al f).

    Manos a la obrai. Utilicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:

    a) Cuntas personas trabajan tiempo completo?

    Y cuntas personas trabajan medio tiempo?

    Recuerden que:

    La probabilidad es un

    nmero mayor o igual

    que cero y menor o

    igual que 1.

    MAT2 B5 S32.indd 237 9/10/07 12:48:12 PM

  • 238

    secuencia 32b) Cuntos trabajadores son mujeres?

    c) Cuntas personas trabajan medio tiempo y son mujeres?

    d) En la tabla, qu representa el nmero 40?

    e) En total, cuntos trabajadores hay en la fbrica?

    f) Cul o cules de las siguientes parejas de eventos son mutuamente excluyentes?

    Mrquenlas con una .

    Se selecciona a un trabajador al azar de la fbrica: la persona seleccionada

    trabaja tiempo completo o el trabajador seleccionado es mujer.

    Se selecciona a un trabajador al azar de la fbrica: la persona seleccionada

    trabaja tiempo completo o el trabajador seleccionado trabaja medio tiem-

    po y es mujer.

    Se selecciona a un trabajador al azar de la fbrica: la persona seleccionada

    es hombre o el trabajador seleccionado trabaja medio tiempo y es mujer.

    Comparen sus respuestas con las de sus compaeros y comenten cmo determinaron que

    eventos son mutuamente excluyentes.

    ii. Completen el siguiente arreglo rectangular con las probabilidades que corresponden a cada evento, observen los ejemplos:

    Tiempo completo Medio tiempo Total por sexo

    Mujeres 20

    200 = 10 100

    = 1 10

    Hombres80

    200 =

    Total por turno

    200 200=1

    a) Si se selecciona al azar a un trabajador, cul es la probabilidad de que trabaje tiempo completo?

    P(trabaja tiempo completo) = P(a) =

    Recuerden que:

    Si dos eventos son

    mutuamente exclu-

    yentes significa que si

    ocurre uno no puede

    ocurrir el otro y no

    tienen resultados

    favorables en comn.

    MAT2 B5 S32.indd 238 9/10/07 12:48:13 PM

  • 239

    IIMATEMTICASb) Cul es la probabilidad del evento c?

    P(trabaja medio tiempo y es mujer) = P(c) =

    c) Si se selecciona al azar a un trabajador, cul es la probabilidad de que trabaje

    tiempo completo y trabaje medio tiempo y sea mujer, es decir, ocurre el evento

    (a y c)?

    P(trabaja tiempo completo y trabaja medio tiempo y es mujer) = P(a y c) =

    d) Cul es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo

    completo o trabaje medio tiempo y sea mujer? (No consideren el nmero de tra-

    bajadores que cumple con ambos eventos a la vez).

    P(trabaja tiempo completo o trabaja medio tiempo y es mujer) =

    e) Comparen el valor de la probabilidad que obtuvieron en el inciso d) con la suma

    de las probabilidades de los incisos a) y b), son iguales o diferentes?

    Si son diferentes, cul es la diferencia?

    iii. Nuevamente, utilicen los valores de la probabilidad que obtuvieron en la tabla de la actividad II del apartado Manos a la obra para contestar las siguientes preguntas.

    a) Cuntas son las personas que trabajan tiempo completo y son hombres a la vez?

    b) Cul es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo

    completo y sea hombre?

    P(trabaja tiempo completo y sea hombre) = P(a y B) =

    c) Cuntas son las personas que trabajan tiempo completo o son hombres? (No

    consideren el nmero de trabajadores que cumple con ambos eventos a la vez)

    d) Cul es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo

    completo o sea hombre?

    P(trabaja tiempo completo o sea hombre) = P(a o B) =

    e) Comparen el valor de la probabilidad que obtuvieron en el inciso d) con la suma

    de la probabilidad del evento "trabaja tiempo completo" y la probabilidad del

    evento "es hombre", son iguales o diferentes?

    Si son diferentes, cul es la diferencia?

    f) Comparen esa diferencia con la probabilidad del evento (a y B) obtenida en el

    inciso b), son iguales o diferentes? Por qu consideran que se

    obtiene esa diferencia?

    MAT2 B5 S32.indd 239 9/10/07 12:48:13 PM

  • 240

    secuencia 32

    A lo que llegamosCuando dos eventos son definidos en un espacio muestral y son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos se obtiene sumando las probabilidades de cada evento. Esto se expresa de la siguiente manera:

    P(A o B)= P(A) + P(B)

    Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro se obtiene sumando las probabilidades de cada evento menos la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo. Lo cual se expresa de la siguiente manera:

    P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)

    Esta regla recibe el nombre de regla de la suma o de la adicin.

    El caso especial de esta regla es cuando los eventos son mutuamente excluyentes porque entre los eventos no hay resultados favorables que se compartan por lo que no hay doble cuenta de resultados.

    ms PRoBlemas de PRoBaBilidadLo que aprendimos1. Realiza una encuesta con tus compaeros de grupo. Pregntales:

    Viven en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra su escuela?

    Anota tambin el sexo de cada uno y completa la siguiente tabla.

    alumnos del grupo:

    Vive en la misma localidad Total

    S No

    Mujeres

    Hombres

    Total

    sesin 3

    MAT2 B5 S32.indd 240 9/10/07 12:48:14 PM

  • 241

    IIMATEMTICASSi se selecciona al azar a un alumno de tu grupo, y se definen los siguientes eventos:

    a: "vive en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra la escuela".

    B: "es mujer".

    c: "no vive en la misma localidad (o colonia) en que se encuentra la escuela".

    a) Si se selecciona al azar a un alumno que vive en la misma localidad en que se

    encuentra la escuela, puede ocurrir que sea mujer al mismo tiempo?

    b) Si se selecciona al azar a un alumno que vive en la misma localidad en que se

    encuentra la escuela, puede ocurrir que tambin no viva en la misma localidad

    en que se encuentra la escuela?

    c) De acuerdo con los datos que anotaron en la tabla, cul o cules de las siguientes

    parejas de eventos son mutuamente excluyentes? Mrquenlas con una .

    Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela o el alumno seleccionado es mujer.

    Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela o no vive en la misma localidad en que se en-cuentra la escuela.

    Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: es hombre o vive en la misma localidad en que se encuentra la escuela.

    Se selecciona al azar a un alumno de tu grupo: es hombre o es mujer.

    d) Cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar sea hombre?

    e) Cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar no viva en la misma

    localidad en que se encuentra la escuela?

    f) Cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar viva en la misma

    localidad en que se encuentra la escuela o no viva en la misma localidad en que

    se encuentra la escuela y sea mujer?

    g) Cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar viva en la misma

    localidad en que se encuentra la escuela o sea mujer?

    En la secuencia 9 de tu libro Matemticas ii, volumen i resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de rbol y enumeraciones y otras tcnicas de conteo. Uno de los problemas que trabajaste en esa secuencia se presentan a continuacin.

    MAT2 B5 S32.indd 241 9/10/07 12:48:15 PM

  • 242

    secuencia 322. Con los dgitos 2, 4, 8, 5 queremos formar nmeros de tres cifras, en cada nmero no

    se puede repetir ninguno de los dgitos. En total, cuntos nmeros podemos formar? Hagan una lista con todos los nmeros, observen los ejemplos.

    2 4 5 4 2 5 5 2 4 8 2 4

    2 4 8

    2 5 4

    2 5 8

    2 8 4

    2 8 5

    Si un nmero de 3 dgitos se escoge de forma aleatoria de todos los nmeros que pueden formarse del conjunto de dgitos anterior (2, 4, 5, y 8), y si se definen los si-guientes eventos:

    a: "el primero de los 3 dgitos es 5".

    B: "el nmero es mltiplo de 5".

    c: "el nmero es mayor que 800".

    D: "el nmero es mltiplo de 4".

    a) Cuntos son los resultados favorables al evento a?

    b) Cules son los resultados favorables al evento B?

    Cuntos son los resultados favorables de ese evento?

    c) Cuntos son los resultados favorables al evento c?

    d) Cules son los resultados favorables al evento D?

    Cuntos son los resultados favorables de ese evento?

    e) Cules de los siguientes eventos son mutuamente excluyentes? Marquen con una .

    Se escoge un nmero de 3 dgitos de forma aleatoria de todos los nmeros que pueden formarse del conjunto de dgitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: el nmero es mltiplo de 5 o el nmero es mayor que 800.

    Se escoge un nmero de 3 dgitos de forma aleatoria de todos los nmeros que pueden formarse del conjunto de dgitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: el primero de los 3 dgitos es 5 o el nmero es mltiplo de 5.

    MAT2 B5 S32.indd 242 9/10/07 12:48:15 PM

  • 243

    IIMATEMTICAS Se escoge un nmero de 3 dgitos de forma aleatoria de todos los nmeros

    que pueden formarse del conjunto de dgitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: el nmero es mltiplo de 5 o el nmero es mltiplo de 4.

    Se escoge un nmero de 3 dgitos de forma aleatoria de todos los nmeros que pueden formarse del conjunto de dgitos de 2, 4, 5, y 8 sin repetir: el nmero es mayor que 800 o el nmero es mltiplo de 4.

    f) Cul es la probabilidad del evento (a o B)?

    g) Cul es la probabilidad del evento (B o c)?

    h) Cul es la probabilidad del evento (B o D)?

    i) Cul es la probabilidad del evento (c o D)?

    3. Para conocer ms situaciones de azar en los que se calcula la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes pueden ver el programa Probabilidad y eventos mutua-mente excluyentes.

    Para saber ms

    Sobre otros ejemplos de problemas de eventos mutuamente excluyentes, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Juego sucio, en Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. Mxico: SEP/Editorial Motino, Libros del Rincn, 2001.

    Exploren las actividades de los interactivos Probabilidad. Eventos mutuamente exclu-yentes y Azar y probabilidad con Logo.

    MAT2 B5 S32.indd 243 9/10/07 12:48:15 PM

  • 244

    secuencia 33

    En esta secuencia representars grficamente un sistema de ecuacio-nes lineales y estudiars la relacin entre la interseccin de las grfi-cas y la solucin del sistema.

    LA FERIA GANADERAPara empezarEn la secuencia 30 aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones por diferentes mtodos algebraicos. En esta sesin estudiars la relacin entre la solucin de un sistema y la in-terseccin de las rectas que corresponden a las ecuaciones del sistema.

    Consideremos lo siguienteDon Matas va de Toluca a Morelia para asistir a la feria ganadera que se celebrar en la capital del estado de Michoacn. Va en un camin de pasajeros que viaja a velocidad constante de 60 km/h.

    A don Matas se le olvidaron unos papeles para la compra de vacas. Uno de sus trabaja-dores va a intentar alcanzarlo en motocicleta, sale cuando don Matas ya va en el kil-metro 30 de la carretera. La motocicleta viaja a 80 km/h.

    sEsIN 1

    Representacin grfica de sistemas de ecuaciones

    En qu kilmetro de la carretera Toluca Morelia, el motociclista alcanzar al camin?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Toluca

    Atlacomulco

    Maravato

    Morelia

    km 30

    MAT2 B5 S33.indd 244 9/10/07 12:48:36 PM

  • 245

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Para resolver este problema, es til usar lgebra. Usen las letras d y t para represen-

    tar:

    d, la distancia recorrida en kilmetros,

    t, el tiempo en horas, tomado a partir de que el motociclista sale de Toluca.

    Contesten las siguientes preguntas para encontrar las expresiones algebraicas que permiten encontrar la distancia recorrida d a partir del tiempo t, tanto para el camin como para la motocicleta.

    a) La motocicleta va a 80 km/h, cuntos kilmetros habr recorrido en una hora?

    b) Cuntos kilmetros habr recorrido en 2 horas?

    c) Cuntos kilmetros recorrer en t horas?

    d) Cuando la motocicleta sali de Toluca el camin ya haba recorrido 30 km. En

    qu kilmetro estaba el camin una hora despus de que sali el motociclista?

    e) En qu kilmetro estaba el camin 2 horas despus de que sali el motociclista?

    f) En qu kilmetro estaba t horas despus de que sali el motociclista?

    Comparen sus respuestas y comenten: porqu la expresin d = 60t no permite en-contrar la distancia d recorrida por el camin despus de t horas de que la motoci-cleta sali de Toluca?

    ii. Grafiquen las expresiones algebraicas que encontraron, para eso, realicen lo que se les pide a continuacin.

    a) Completen las siguientes tablas usando las expresiones de la distancia d y el tiem-po t que para el camin y la motocicleta.

    Camin Motocicleta

    Expresin: d = Expresin: d =

    t d Punto (t , d ) t d Punto (t , d )

    0 30 (0,30) 0 0 (0,0)

    1 80

    2 2

    2 12 2 34

    MAT2 B5 S33.indd 245 9/10/07 12:48:37 PM

  • 246

    secuencia 33b) En el siguiente plano cartesiano grafiquen las expresiones para el camin y la

    motocicleta.

    Tiempo en horas

    Dis

    tan

    cia

    reco

    rrid

    a d

    esd

    e To

    luca

    d

    t

    240

    220

    200

    160

    120

    80

    40

    0 1 2 3

    Contesten las siguientes preguntas.

    c) Aproximadamente en qu kilmetro de la carretera Toluca - Morelia el motoci-

    clista alcanzar a don Matas?

    d) Aproximadamente en cunto tiempo lo alcanzar?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Para ubicar con precisin la distancia donde don Matas es alcanzado por el motociclista, es recomendable resolver el sistema de ecuaciones mediante algn mtodo algebraico.

    a) Qu mtodo escogeran para resolver este sistema?

    b) Por qu razn lo escogeran?

    iii. Apliquen el mtodo que escogieron y resuelvan el sistema.

    a) Cul es el valor de la incgnita t ? t =

    b) Cul es el valor de la incgnita d? d =

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) En qu tiempo alcanzar el motociclista a don Matas?

    b) En qu kilmetro de la carretera Toluca Morelia el motociclista alcanza a don Matas?

    c) Los valores de d y t obtenidos mediante el mtodo que eligieron son iguales o son prximos a los estimados mediante la representacin grfica de las ecuaciones?

    MAT2 B5 S33.indd 246 9/10/07 12:48:38 PM

  • 247

    IIMATEMTICASA lo que llegamosLa representacin grfica de un sistema de ecuaciones permite encon-trar la solucin del sistema al encontrar las coordenadas del punto de interseccin de las rectas correspondientes a las ecuaciones.

    Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

    d = 60td = 40t + 30

    tiene la siguiente representacin grfica:

    d

    t

    240

    200

    160

    120

    80

    40

    1 1.5 2 3

    Punto de interseccin

    d = 60t

    d = 40t + 30

    90

    0

    Para encontrar con precisin la solucin se puede usar un mtodo algebraico.

    Lo que aprendimos1. Si en el problema toman como momento inicial cuando sali el camin, contesta lo

    siguiente:

    a) El camin va 60 km/h, cuntos kilmetros habr recorrido en 1 hora?

    b) Cuntos kilmetros habr recorrido en 2 horas?

    c) Cuntos kilmetros recorrer en t horas?

    d) Despus de que el camin sali de Toluca, cunto tiempo pas para que saliera la

    motocicleta? (Recuerda que: el camin ya haba recorrido 30 km).

    MAT2 B5 S33.indd 247 9/10/07 12:48:39 PM

  • 248

    secuencia 33e) En qu kilmetro estaba la motocicleta media hora despus de que sali el ca-

    min?

    f) En qu kilmetro estaba el motociclista 1 hora despus de que sali el camin?

    g) En qu kilmetro estaba el motociclista 11 2 hora despus de que sali el camin?

    h) En qu kilmetro estaba el motociclista t horas despus de que sali el camin?

    i) Encuentra el sistema de ecuaciones y grafcalo.

    j) Compara esta solucin con la que obtuviste antes, son iguales o distintas? Por qu?

    2. Ricardo, un hijo de don Matas, tambin trata de alcanzarlo, slo que cuando l sale de Toluca, su pap le lleva una ventaja de 50 km. Ricardo viaja en su automvil a 80 km/h.

    a) Encuentra el sistema de ecuaciones que corresponde a este problema.

    Sistema de ecuaciones (recuerda que el camin donde viaja don Matas va a 60 km/h)

    E1: (ecuacin que corresponde a don Matas).

    E2: (ecuacin que corresponde a Ricardo).

    b) Para representar grficamente el sistema anterior, completa las tablas para deter-minar las coordenadas de algunos puntos de las rectas que corresponden a cada ecuacin.

    Camin Automvil

    Ecuacin 1: d = 60t + 50 Expresin: d =

    t d Punto (t , d) t d Punto (t , d)

    0 50 (0,50) 0 0 (0,0)

    110 120

    2 2

    2 34 2 34

    MAT2 B5 S33.indd 248 9/10/07 12:48:40 PM

  • 249

    IIMATEMTICASc) Representa grficamente el sistema de ecuaciones.

    Tiempo en horas

    Dis

    tan

    cia

    reco

    rrid

    a d

    esd

    e To

    luca

    d

    t

    240

    220

    200

    160

    120

    80

    40

    0 1 2 3

    De acuerdo a la grfica que elaboraste estima:

    d) En qu kilmetro Ricardo alcanza a su pap?

    e) Cunto tiempo tardar en lograrlo?

    f) Resuelve el sistema de ecuaciones que se forma al igualar el lado derecho de las ecuaciones E1 y E2.

    80t = 60t + 50

    t =

    g) Si sustituyes el valor de t en cualquiera de las ecuaciones E1 o E2 y haces las ope-raciones indicadas, qu valor obtienes para d?

    d=

    DNDE EsT LA sOLUCIN?Para empezarEn la sesin 1 de esta secuencia aprendiste a resolver sistemas mediante la represen-tacin grfica de las ecuaciones, qu significa si al graficar las dos ecuaciones de un sistema obtienes dos rectas paralelas?, cul es el resultado de este sistema? Estas preguntas podrs contestarlas al terminar de estudiar esta leccin.

    sEsIN 2

    MAT2 B5 S33.indd 249 9/10/07 12:48:41 PM

  • 250

    secuencia 33

    Consideremos lo siguienteResuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:

    y = 3x + 2

    y = 3x

    x = , y =

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Qu mtodo de solucin usaron para resolver el sistema?

    b) Tiene solucin el sistema?

    c) Si tiene solucin, cul es?

    d) Si no tiene solucin, por qu creen que no tenga?

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de nmeros que cum-

    plan con las ecuaciones. Despus, grafiquen los puntos que obtengan.

    Recta 1: y = 3x + 2 Recta 2: y = 3x x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)

    1 1

    0 0

    1 1

    2 2

    y

    x

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    2

    4

    10 8 6 4 2 2 4 6 8 100

    MAT2 B5 S33.indd 250 9/10/07 12:48:41 PM

  • 251

    IIMATEMTICASContesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto es la ordenada al origen de la recta 1?

    b) Cunto es la ordenada al origen de la recta 2?

    c) Cunto es la pendiente de la recta 1?

    d) Cunto es la pendiente de la recta 2?

    Comparen sus respuestas y comenten: existir algn punto comn a las dos rectas? Cul?

    ii. Resuelvan el siguiente problema:

    Hallar dos nmeros tales que tres veces el segundo menos seis veces el primero, den nueve como resultado; y que, al mismo tiempo, doce veces el primero menos seis veces el segundo, den dieciocho como resultado.

    Los nmeros son: y

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) Qu mtodo usaron para encontrar los nmeros?

    b) Creen que se puedan encontrar los dos nmeros que se piden en el problema?

    iii. Contesten lo que se les pide:

    a) Si se usa la letra x para representar al primer nmero y la letra y para representar al segundo nmero, cul de las siguientes parejas de ecuaciones corresponde al problema? Subryenla.

    Ecuacin 1: Ecuacin 2:

    3x 6y = 9 12x 6y = 18

    Ecuacin 1: Ecuacin 2:

    3xy = 9 6xy = 18

    Ecuacin 1: Ecuacin 2:

    3y 6x = 9 12x 6y = 18

    b) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas parejas de nmeros que cumplan con las ecuaciones que escogieron. Despus, grafiquen los puntos que obtengan.

    Recta 1: Recta 2:

    x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)

    1 1

    0 0

    1 1

    4 4

    Recuerda que:

    Si la ecuacin de la recta es de la

    forma y = mx + b, la pendiente

    de la recta corresponde al

    nmero m y la ordenada al

    origen corresponde al nmero b.

    Adems, la ordenada al origen

    de una recta es la ordenada del

    punto de interseccin de la recta

    con el eje Y.

    MAT2 B5 S33.indd 251 9/10/07 12:48:42 PM

  • 252

    secuencia 33

    Contesten las siguientes preguntas.

    a) Cunto es la ordenada al origen de la recta 1?

    b) Cunto es la ordenada al origen de la recta 2?

    c) Cunto mide el ngulo de inclinacin de la recta 1?

    d) Cunto mide el ngulo de inclinacin de la recta 2?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Existir algn punto comn a las dos rectas? Cul?

    b) Tiene solucin el sistema?, porqu?

    A lo que llegamosMovimiento rectilneo uniforme

    Dado un sistema de ecuaciones puede tener o no solucin.

    Tiene solucin cuando las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema se intersecan. El punto de interseccin es la solucin del sistema.

    No tiene solucin cundo las rectas asociadas a las ecuaciones del sistema no se intersecan, es decir, cuando son rectas paralelas.

    y

    x

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    2

    4

    10 8 6 4 2 2 4 6 8 100

    MAT2 B5 S33.indd 252 9/10/07 12:48:43 PM

  • 253

    IIMATEMTICASLo que aprendimosResuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de ecuaciones y represntalo en el plano cartesiano.

    E1: y = 3x + 5

    E2: y = 6x + 22

    sEsIN 3sOLUCIONEs MLTIPLEsPara empezarEn las sesiones anteriores solucionaste sistemas de ecuaciones lineales con dos incgni-tas mediante su representacin grfica. Aprendiste que hay sistemas de ecuaciones que tienen una solucin (el punto de interseccin de las rectas) y sistemas que no tienen solucin. Habr sistemas que tengan ms de una solucin? Con lo que aprendas en esta sesin podrs contestar esta pregunta.

    Consideremos lo siguienteResuelvan el siguiente sistema de ecuaciones:

    e1: 2x + y = 16

    e2: y = 48 6x3

    La solucin del sistema es: x = , y =

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Tiene solucin el sistema?

    b) Cuntas soluciones distintas encontraron?

    y

    x

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    2

    4

    10 8 6 4 2 2 4 6 8 100

    MAT2 B5 S33.indd 253 9/10/07 12:48:43 PM

  • 254

    secuencia 33

    Manos a la obrai. Completen las siguientes tablas para encontrar algunas parejas de nmeros que cum-

    plan con las ecuaciones que escogieron. Despus, grafiquen los puntos que obtengan.

    Recta 1: 2x + y = 16 Recta 2: y = 48 6x3

    x y Punto (x , y) x y Punto (x , y)

    4 1

    0 2

    4 0

    8 1

    16 8

    y

    x

    24

    20

    16

    12

    8

    4

    4

    8

    12

    16

    20 16 12 8 4 4 8 12 16 200

    MAT2 B5 S33.indd 254 9/10/07 12:48:44 PM

  • 255

    IIMATEMTICASHabr algn punto de la recta 1 que no pertenezca a la recta 2?

    Cul? Argumenten su respuesta

    Comparen sus respuestas.

    ii. Simplifiquen las expresiones de las rectas hasta obtener ecuaciones de la forma y = mx + b.

    a) Recta 1: y =

    b) Recta 2: y =

    b) Cunto es la ordenada al origen de la recta 1?

    c) Cunto es la ordenada al origen de la recta 2?

    d) Cunto es la pendiente de la recta 1?

    e) Cunto es la pendiente de la recta 2?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Cuntos puntos comparten las rectas 1 y 2?

    b) Cuntas soluciones tiene un sistema cuando la recta que corresponde a una ecuacin es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuacin?

    A lo que llegamosEn un sistema de ecuaciones, cuando la recta que corresponde a una ecuacin es la misma que la recta que corresponde a la otra ecuacin, entonces cualquier punto que pertenezca a las rectas es solucin del sistema.

    MAT2 B5 S33.indd 255 9/10/07 12:48:45 PM

  • 256

    secuencia 33

    Lo que aprendimos1. Observa la siguiente grfica y de acuerdo con ello contesta las preguntas.

    a) Cul de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solucin? Encirralo en una curva.

    e1: y = 2x 4 e1: y = 2x 4 e1: y = 4x 12

    e2: y = 4x + 16 e2: y = 4x 12 e2: y = 4x + 16

    b) De los tres sistemas de ecuaciones anteriores escribe el que tiene la solucin

    x = 43 , y = 203

    E1:

    E2:

    c) Encuentra la solucin del sistema:

    E1: y = - 2x 4

    E2: y = 4x + 16

    x = , y =

    y

    x

    24

    20

    16

    12

    8

    4

    4

    8

    12

    16

    20 16 12 8 4 4 8 12 16 20

    y = 4x 12

    y = 4x + 16

    y = -2x 4

    MAT2 B5 S33.indd 256 9/10/07 12:48:46 PM

  • 257

    IIMATEMTICAS2. Para conocer ms sobre cuntas soluciones que puede tener un sistema de ecuacio-

    nes pueden ver el programa Resolucin grfica de sistemas de ecuaciones.

    Para saber ms

    Sobre la representacin grafica de sistemas de ecuaciones en la resolucin de proble-mas consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch Carlos y Claudia Gmez. Derechito, Sistemas de ecuaciones lineales en Una ventana a las incgnitas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Hernndez, Carlos. Ecuaciones simultneas, Velocidad, Casos posibles en Mate-mticas y deportes. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre resolucin grfica de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta:http://descartes.cnice.mecd.esRUTA: Aplicaciones lgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolucin grfica de sistemas de ecuaciones.[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa.

    MAT2 B5 S33.indd 257 9/10/07 12:48:46 PM

  • 258

    Bibliografa

    Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica. 23 agosto 2003.

    SEP. Fichero. Actividades didcticas. Matemticas. Educacin Se-cundaria, Mxico, 2000. Libro para el maestro. Matemticas. Educacin Secundaria,

    Mxico, 2000. 20 agosto 2007.

    SEP-ILCE. Matemticas con la hoja electrnica de clculo, Ense-anza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educacin Secundaria, Mxico, 2000. Geometra dinmica, Enseanza de las Matemticas con Tec-

    nologa (Emat). Educacin Secundaria, Mxico, 2000. Biologa, Enseanza de las Ciencias a travs de Modelos Ma-

    temticos (Ecamm). Educacin Secundaria, Mxico, 2000.

    Revisores acadmicos externosDavid Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseo Aguirre, Carolyn Kieran

    Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano PinedaEmilio Domnguez BravoDeyanira Monroy Zarin

    Fotografa en telesecundariasTelesecundaria Centro Histrico. Distrito Federal.Telesecundaria Sor Juana Ins de la Cruz. Estado de Mxico.

    Bibliografa

    MAT2 B5 S33.indd 258 9/10/07 12:48:49 PM

  • IIMATEMTICAS

    259

    Recortables

    1. POLGONOs REGULAREs

    anexo

    MAT2 B5 S33.indd 259 9/10/07 12:48:51 PM

  • MAT2 B5 S33.indd 260 9/10/07 12:48:51 PM

  • IIMATEMTICAS

    261

    2. POLGONOs IRREGULAREs

    MAT2 B5 S33.indd 261 9/10/07 12:48:51 PM

  • MAT2 B5 S33.indd 262 9/10/07 12:48:51 PM

  • IIMATEMTICAS

    263

    Modelo O

    Modelo R

    Modelo E Modelo I Modelo A

    3. PLATOs TRIANGULAREs

    Modelo O

    Modelo R

    Modelo E Modelo I Modelo A

    MAT2 B5 S33.indd 263 9/10/07 12:48:52 PM

  • MAT2 B5 S33.indd 264 9/10/07 12:48:52 PM

    MAT2 B3 S18MAT2 B3 S19MAT2 B3 S20MAT2 B3 S21MAT2 B3 S22MAT2 B3 S23MAT2 B4 S24MAT2 B4 S25MAT2 B4 S26MAT2 B4 S27MAT2 B4 S28MAT2 B4 S29MAT2 B5 S30MAT2 B5 S31MAT2 B5 S32MAT2 B5 S33