Matemticas 1er. Grado Volumen II

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Libro de Texto RIEB 2013-2014

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    MATEMTICAS I

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    1er Grado Volumen II

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  • Imatemticas1er Grado Volumen II

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  • Matemticas I. Volumen II. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

    AutoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia Garca Pea,Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero,Vernica Rosainz Bonilla

    Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)

    Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega NezMara Padilla Longoria ColaboracinErnesto Manuel Espinosa Asuar

    Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

    Primera edicin, 2006Segunda edicin, 2007Sexta reimpresin, 2013 (ciclo escolar 2013-2014)

    D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

    ISBN: 978-968-01-1191-6 (obra completa)ISBN: 978-968-01-1484-9 (volumen II)

    Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

    Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

    DiseoZona grfica

    DiagramacinBruno Contreras

    IconografaCynthia Valdespino

    IlustracinImanimastudio, Curro Gmez, Gabriela Podest, Cecilia Varela

    FotografaAriel Carlomagno, Pablo Gonzlez de Alba,Pvel Ramrez

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  • ndice

    Mapa-ndice

    Clave de logos

    BLOqUE 3

    secuencia 17 Divisin de nmeros decimales

    secuencia 18 Ecuaciones de primer grado

    secuencia 19 Existencia y unicidad

    secuencia 20 reas y permetros

    secuencia 21 Porcentajes

    secuencia 22 Tablas de frecuencia

    secuencia 23 Grficas de barras y circulares

    secuencia 24 Nociones de probabilidad

    BLOqUE 4

    secuencia 25 Nmeros con signo

    secuencia 26 Raz cuadrada y potencias

    secuencia 27 Relacin funcional

    secuencia 28 Construccin de crculos y circunferencias

    secuencia 29 El nmero Pi

    secuencia 30 El rea de los crculos

    secuencia 31 Relaciones de proporcionalidad

    secuencia 32 Grficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

    BLOqUE 5

    secuencia 33 Cuentas de nmeros con signo

    secuencia 34 reas de figuras planas

    secuencia 35 Juegos equitativos

    secuencia 36 Grficas, tablas y expresiones algebraicas

    secuencia 37 Proporcionalidad inversa

    secuencia 38 Medidas de tendencia central

    Bibliografa

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    ales.

    1 .1

    Ace rtijosa rq u

    e olg ic o

    s

    1 .2

    Otrosiste m

    ad e

    nu m

    e ra cin

    L osn

    me ro sm

    a ya s

    S iste m

    ad e

    nu m

    e ra cinma ya

    1.3

    Elsistemade

    cimal

    2.Fraccion

    esydecim

    alesenlare

    ctanu

    mrica.

    Re

    presen

    tarn

    merosfracciona

    riosyde

    cimalesenlare

    ctanu

    mricaa

    partirde

    distintasin

    form

    acione

    s,an

    alizan

    dola

    sco

    nven

    cion

    esdeesta

    represen

    tacin

    .

    2.1

    Elsaltodealtura

    Elsaltodealtura

    2.2

    Den

    sida

    dyfraccion

    esLare

    ctanu

    mrica:

    Fraccion

    es

    2.3

    Elsaltodelong

    itud

    ylo

    sn

    merosdecim

    ales

    Lare

    ctanu

    mrica:

    Fraccion

    esdecim

    ales

    3.Su

    cesion

    esden

    merosyfigu

    ras.

    Co

    nstruirsucesion

    esden

    merosapartirde

    una

    reglada

    da.

    Determinarexp

    resion

    esgen

    eralesque

    defi

    nenlasreglasdesucesion

    es

    numricasyfigu

    rativas.

    3.1

    Figu

    rasqu

    ecrecen

    Figu

    rasqu

    ecrecen

    Patron

    esysecue

    ncias1

    3.2

    Nm

    erosque

    crecen

    Sucesion

    es3.2Nm

    erosque

    crecen

    (Hoja de

    clcu

    lo)

    Sucesin

    3.3

    Reglasdesucesion

    esPa

    tron

    esysecue

    ncias1

    Patron

    esysecue

    ncias2

    4.Geo

    metra

    yexp

    resion

    esalgeb

    raicas.

    Explicarenleng

    uajenaturalelsignific

    adode

    algun

    asfrmulas

    geom

    tric

    as,interpretan

    dola

    sliteralescom

    on

    merosgen

    eralescon

    losqu

    eesposibleope

    rar.

    4.1

    Frm

    ulasyperm

    etros

    Frm

    ulasyperm

    etros

    Cuad

    rado

    Hexg

    ono

    4.2

    Frm

    ulasyreas

    Rectn

    gulo

    4.2F

    rmulasyreas

    (Hoja de

    clcu

    lo)

    Cuad

    rado

    1

    Cuad

    rado

    5.Simetra

    .

    Construir fig

    urassim

    tric

    asre

    spectoauneje,ana

    lizarlasyexplicitar

    lasprop

    ieda

    desqu

    esecon

    servan

    enfig

    urastalescom

    o:tri

    ngulos

    isscelesyeq

    uilteros,rombo

    s,cu

    adrado

    syrectn

    gulos.

    5.1

    Comosifue

    raunespe

    joSimetra

    depu

    ntos

    5.2

    Pape

    l picad

    oSimetra

    depo

    lgon

    os5.2.Pap

    elpicad

    o

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Pape

    l

    Simtric

    o

    5.3

    Los vitrales

    Vitrales

    5.4

    Algo

    mssob

    resim

    etra

    5.4Algo

    mssob

    resim

    etra

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Aprend

    ido

    6.Prop

    orcion

    alidad

    .

    Iden

    tific

    aryre

    solversitua

    cion

    esdeprop

    orcion

    alidad

    dire

    ctade

    ltipo

    valorfaltante,u

    tilizan

    dodeman

    erafle

    xiblediversosprocedimientos.

    6.1

    Lascantidad

    esdire

    ctam

    entepropo

    rciona

    les

    6.2

    Elvalorunitario

    Escalasymaq

    uetasen

    arqu

    itectura

    6.2Va

    lorun

    itario

    (Hojade

    clcu

    lo)

    Escalas

    6.3

    Lapropo

    rciona

    lidad

    enotrosco

    ntextos

    Varia

    cin

    propo

    rciona

    l1

    7.Re

    parto prop

    orcion

    al.

    Elab

    oraryutilizarprocedimientospararesolverproblem

    asderepa

    rto

    prop

    orcion

    al.

    7.1

    Lakerms

    Repa

    rtoprop

    orcion

    alVa

    riacin

    propo

    rciona

    l2

    7.2

    Mssob

    rere

    partoprop

    orcion

    al

    8.Prob

    lemasdeco

    nteo

    .

    Resolverproblem

    asdeconteoutilizan

    dodiversosrecursosy

    estrategias,

    comotablas,diagram

    asderbo

    lyotrosprocedimientosdeen

    umeracin.

    8.1

    Cu

    ntoscam

    inoshay?

    Map

    ade

    calles

    8.2

    De cu

    ntasform

    as?

    Diagram

    ade

    rbol

    8.3

    Cu

    ntosviajesha

    y?

    Sab

    encu

    ntoscam

    inoshay?

    Diagram

    ade

    rbol

    8.4

    Otroscon

    textos

    Diagram

    ade

    rbol

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Blo

    qu

    e 1

    MAT1 B3 S17.indd 4 8/25/07 3:21:49 PM

  • Blo

    qu

    e 2

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    S

    Vid

    eos

    Int e

    r ac t

    ivo

    sH

    oja

    s d

    e t r

    a ba j

    o

    9 .

    P ro b

    lema sad itiv o

    sc o

    nn

    me ro sfrac cion a

    riosy

    d ec ima le s.

    Re

    solverproblem

    asaditivo

    sco

    nn

    meros

    fraccion

    ariosyde

    cimalesendistintosco

    ntextos.

    9 .1

    E lfe stiv ald

    efi n

    dec u

    rso s

    D n

    d ese

    utiliza n

    fra cc io n

    e s?

    N m

    e ro sfrac cion a

    rios

    9 .1

    E lfe stiv ald

    efi n

    dec u

    rso s(H

    o jad e

    c lc u

    lo)

    9 .2

    Ma rc as a tltic as

    9.3

    Lospreciosde

    lacafetera

    10.Multiplicacin ydivisin

    defraccion

    es.

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nla

    multiplicacinydivisin

    con

    nm

    eros

    fraccion

    ariosen

    distintoscon

    textos.

    10.1D

    eco

    mprasenelm

    ercado

    10.2S

    uperfic

    iesyfraccion

    es

    Multiplicacinde

    fraccione

    s1

    10.3C

    mo sera

    nlasmarcasatlticasen

    el

    espa

    cio?

    Elsistemasolar

    y lafue

    rzade

    graveda

    dMultiplicacinde

    fraccione

    s1

    Multiplicacinde

    fraccione

    s2

    10.4H

    aytelade

    don

    decortar

    10.5Cu

    ntasbo

    tella

    sde

    jugo

    sene

    cesitan?

    11.Multiplicacinde

    nm

    erosdecim

    ales.

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nla

    multiplicacin de

    nm

    erosdecim

    alesen

    distintos co

    ntextos.

    11.1Tresvecesym

    edia

    Msdetres,p

    ero

    men

    osdecu

    atro

    Multip

    licacindenm

    erosdecim

    ales

    Escalas yn

    merosdecim

    ales

    11.2Elpun

    toeselasunto

    reasyn

    merosdecim

    ales

    11.3En d

    ndeseusalam

    ultip

    licacindedecim

    ales?

    12.Med

    iatrizybisectriz.

    Utilizarla

    sprop

    ieda

    desde

    lam

    ediatrizdeun

    segm

    entoyla

    bisectrizdeun

    ng

    ulopa

    ra

    resolverdiversosprob

    lemasgeo

    mtric

    os.

    12.1A

    lam

    ismadistan

    cia

    Med

    iatriz

    12.1A

    lam

    ismadistan

    cia

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Med

    iatrices

    12.2U

    n prob

    lemage

    omtric

    oMitad

    esden

    gulos

    Bisectriz

    12.2U

    nprob

    lemage

    omtric

    o(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Bisectric

    es

    12.3A

    plique

    mosnue

    strosco

    nocimientosde

    med

    iatricesybisectrices

    12.3A

    plique

    mosnue

    strocon

    ocim

    ientode

    med

    iatrices

    ybisectric

    es(G

    eometra

    dinm

    ica)

    13.Po

    lgon

    osre

    gulares.

    Co

    nstruirpo

    lgon

    osre

    gulares

    a pa

    rtirde

    distintasin

    form

    acione

    s.

    13.1Tarjetasde

    felicitacin

    Felicidad

    esPo

    lgon

    osre

    gularesn

    gulocen

    tral

    13.1Tarjetasde

    felicitacin

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    13.2M

    osaico

    sPo

    lgon

    osre

    gularesn

    guloin

    terio

    r13

    .2M

    osaico

    s(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    13.3M

    ssob

    repolgon

    osre

    gulares

    13.3M

    ssob

    repolgon

    osre

    gulares

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    14.F

    rmulasparacalcularel

    reade

    polgon

    os.

    Justificar lasfrm

    ulasparacalcularel

    perm

    etroyel

    reade

    tri

    ngulos,cua

    dril

    teros

    y po

    lgon

    osre

    gulares.

    14.1R

    ompe

    cabe

    zas1

    14.2R

    ompe

    cabe

    zas 2

    14.3D

    esco

    mpo

    sicin

    defig

    uras

    14.3D

    esco

    mpo

    sicin

    defig

    uras(G

    eometra

    dinm

    ica)

    14.4O

    trasformasdejustificarlasfrm

    ulas

    Justificacin

    Frm

    ulasgeo

    mtric

    as14

    .4O

    trasformasdejustificar(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    15.Lacon

    stan

    tedeprop

    orcion

    alidad

    .

    Iden

    tific

    arsitua

    cion

    esdeprop

    orcion

    alidad

    directa en

    diversosco

    ntextos,yresolverlas

    med

    ianteproc

    edim

    ientosm

    sefic

    ientes.

    15.1Lacanc

    hadeb

    sque

    tbol

    Varia

    cin

    propo

    rciona

    l315

    .1Lacanc

    hadeb

    sque

    tbol(H

    ojade

    clcu

    lo)

    15.2M

    apasyescalas

    CentroHistric

    o

    dela

    Ciuda

    dde

    Mxico

    15.3R

    utasytranspo

    rte

    16.Ap

    licacin sucesivadeco

    nstantesdeprop

    orcion

    alidad

    .

    Interpretar elefectode

    laaplicacinsucesivade

    factorescon

    stan

    tesde

    propo

    rciona

    lidad

    endiversos

    contextos.

    16.1M

    icroscop

    iosco

    mpu

    estos

    Microscop

    ioscompu

    estos

    Varia

    cin

    propo

    rciona

    l416

    .1M

    icroscop

    iosco

    mpu

    estos(Hojade

    clcu

    lo)

    16.2E

    scalasyre

    duccione

    sVa

    riacin

    propo

    rciona

    l5

    16.3C

    onsom ranc

    hero

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    Ar c

    hiv

    os

    F ra cc io n

    e s

    Segm

    ento

    Med

    iatrices

    Figu

    ra1

    ngu

    lo1

    Bisectric

    es

    Ejes

    Centros

    Med

    ida

    ngu

    lo2

    ngu

    lo3

    Polg

    ono

    Central

    Hexg

    ono

    Apotem

    aF

    rmulas

    Canc

    ha

    Microscop

    ios

    MAT1 B3 S17.indd 5 8/25/07 3:21:51 PM

  • SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    S

    Vid

    eos

    Int e

    r ac t

    ivo

    sA

    ula

    de

    med

    ios

    Ho

    jas

    de

    t ra b

    a jo

    Ar c

    hiv

    os

    1 7.Divisind e

    n m

    e ro sde cim

    a le s.

    (12

    - 2 1

    )

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nladivisinde

    nm

    erosdecim

    ales

    endistintoscon

    textos.

    1 7.1E

    lme trob

    sE lm

    e trob

    sDiv isi

    nd en m

    e ro sde cim

    a le s

    17.2C

    ambio de

    dinero

    17.3N

    merosdecim

    alesenlacienc

    ia

    18.Ecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    .(2

    2 -

    31)

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nelplanteamientoylare

    solucin

    de

    ecu

    acione

    sde

    prim

    ergrado

    delasform

    asx+a=b;a

    x=b;ax+

    b=c,utilizan

    dola

    sprop

    ieda

    desde

    laig

    ualdad

    ,cua

    ndoa,bycson

    n

    merosnaturalesydecim

    ales.

    18.1A

    repa

    rtirna

    ranjas

    Ecua

    cion

    es1

    18.1A

    repa

    rtirna

    ranjas(Hoja

    declcu

    lo)

    Ecua

    cin

    18.2E

    l paseo

    escolar

    Elterreno

    yelro

    Ecua

    cion

    es2

    18.3R

    esoluc

    in de

    ecu

    acione

    smixtas

    Ecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    19.Existenc

    iayunicida

    d.

    (32

    - 39

    )

    Construirtring

    ulosycua

    dril

    teros.

    An

    alizarla

    sco

    ndicione

    sde

    existen

    ciayun

    icidad

    .

    19.1Existeonoexiste?

    Desigua

    ldad

    tria

    ngular

    19.2Esuno

    oson

    muc

    hos?

    Es un

    oosonmuc

    hos?

    19.2Esun

    oosonmuc

    hos?

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Rombo

    s

    Construc

    cion

    es

    20.reas ype

    rmetros.

    (40

    - 49

    )

    Resolverproblem

    asque

    implique

    ncalcularelp

    erm

    etroyel

    reade

    tring

    ulos,rom

    boidesytrape

    cios,yestab

    lecerrelacion

    esentrelo

    selem

    entosqu

    eseutilizan

    paracalcularel

    reade

    cad

    aun

    ade

    estas

    figuras.

    Re

    alizarcon

    versione

    sde

    med

    idasdesupe

    rficie.

    20.1P

    roblem

    asdeap

    licacin

    20.2R

    elacione

    sim

    portan

    tes

    20.3M

    edidasdesupe

    rficie

    Med

    idasdesupe

    rficie

    21.Po

    rcen

    tajes.

    (50

    - 59

    )

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nelclcu

    lodepo

    rcen

    tajes

    utilizand

    ode

    man

    eraad

    ecua

    dala

    sexpresione

    sfraccion

    ariaso

    decimales.

    21.1M

    xicoen

    elINEG

    IPo

    rcen

    tajes1

    21.2E

    l IVA

    21.2E

    lIVA

    (Hojade

    clcu

    lo)

    IVA

    21.3M

    iscelne

    ade

    porcentajes

    Losmigrantes

    Porcen

    tajes2

    22.Tablasdefrecue

    ncia.

    (60

    - 71

    )

    Interpretaryco

    mun

    icarin

    form

    acinmed

    iantelale

    ctura,descripcin

    yco

    nstruc

    cin

    detablasdefrecue

    nciaabsolutayrelativa.

    22.1Quin

    lleg

    prim

    ero?

    Unreco

    rridopo

    relorig

    en

    dela

    estad

    stica

    22.1

    Quinllegprim

    ero?

    (Hojadeclculo)

    Atletism

    o

    Edad

    es

    22.2Tab

    ladefrecue

    nciare

    lativa

    22.2T

    abladefrecue

    ncia

    relativ

    a(Hojadeclculo)

    Frecue

    ncias

    22.3La tablarepresen

    ta

    22.3Latablarepresen

    ta

    (Hojade

    clcu

    lo)

    Matrc

    ulas

    23.Grfic

    asdeba

    rrasycirc

    ulares.

    (72

    - 83

    )

    Interpretar inform

    acinrepresen

    tada

    engrfi

    casde

    barrasy

    circularesdefrecue

    nciaabsolutayrelativa,p

    rovenien

    tedediarioso

    revistasydeotrasfuen

    tes.

    Co

    mun

    icarin

    form

    acinprov

    enientede

    estud

    iossenc

    illos,elig

    iend

    olaformade

    represen

    tacin

    msade

    cuad

    a.

    23.1Q

    udicen

    lasgrfi

    cas

    23.2G

    rfic

    asdeba

    rras

    23.3G

    rfic

    acircular

    Elra

    ting

    enlatelevisin

    24.Noc

    ione

    s de

    proba

    bilid

    ad.

    (84

    - 10

    1)

    Enum

    erarlo

    spo

    siblesre

    sultad

    osdeun

    aexpe

    rienc

    iaaleatoria.

    Utilizarla

    escalade

    proba

    bilid

    adentre0y1yvincu

    lardiferentes

    form

    asdeexpresarla.

    Establecercu

    ldedo

    somseventosenun

    aexpe

    rienc

    iaaleatoria

    tien

    emayorproba

    bilid

    addeoc

    urrir;justific

    arla

    respue

    sta.

    24.1P

    roba

    bilid

    adfrecu

    encial

    Lanz

    amon

    edas

    24.1P

    roba

    bilid

    adfrecu

    encial

    (Hojade

    clcu

    lo)

    Laruleta

    24.2P

    roba

    bilid

    adclsica

    Bolsaco

    ncanicas

    24.3C

    ompa

    racin

    deprob

    abilida

    desI

    Qu

    esmsproba

    ble?

    24.4C

    ompa

    racin

    deprob

    abilida

    desII

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Blo

    qu

    e 3

    MAT1 B3 S17.indd 6 8/25/07 3:21:53 PM

  • S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    S

    Vid

    eos

    Int e

    r ac t

    ivo

    sA

    ula

    de

    me d

    ios

    Ho

    jas

    de

    t ra b

    a jo

    Ar c

    hiv

    os

    25.Nm

    eroscon

    signo

    .(1

    04 -

    113

    )

    Plan

    tearyre

    solverproblem

    asque

    implique

    nlautilizacin

    denm

    eroscon

    signo

    .

    25.1N

    iveldelm

    ar

    25.2D

    istanc

    iayorden

    Tempe

    raturasam

    bien

    tales

    Tempe

    raturas

    25.3V

    alorabsolutoysimtric

    os

    26.Ra

    zcua

    drad

    aypo

    tenc

    ias.

    (114

    - 1

    25)

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nelclcu

    lodela

    razcua

    drad

    aylapoten

    ciade

    exp

    onen

    tenatural,

    amba

    sde

    nm

    erosnaturalesydecim

    ales.

    26.1C

    uadrosym

    scua

    dros

    26.1C

    uadrosym

    scua

    dros

    (Hojade

    clcu

    lo)

    Cuad

    rado

    2

    26.2C

    lcu

    loderacescua

    drad

    asLosba

    biloniosyla

    raz

    cuad

    rada

    Mtod

    oba

    bilnico

    26.3Cu

    ntos tatarabu

    elos?

    Diagram

    ade

    rbol

    27.Re

    lacin

    fun

    cion

    al.

    (126

    - 1

    39)

    An

    alizarensituacione

    sprob

    lemticasla

    presenc

    iade

    cantidad

    esre

    lacion

    adasyre

    presen

    tarestare

    lacin

    med

    iante un

    atablayun

    aexpresinalge

    braica.

    27.1Laexpa

    nsinde

    luniverso

    Laexp

    ansin

    deluniverso

    27.2Loshusoshorarios

    27.3C

    ocina na

    vide

    a27

    .3.C

    ocinana

    vide

    a

    (Hojade

    clcu

    lo)

    Pavo

    27.4E

    l recibode

    telfon

    o

    28.Co

    nstruc

    cin

    decrculosycirc

    unferenc

    ias.

    (140

    - 1

    49)

    Co

    nstruir crculosq

    uecum

    plan

    con

    dicion

    esdad

    asa

    partir de

    diferen

    tesda

    tos.

    28.1Lascirc

    unferenc

    iasqu

    epa

    sanpo

    rdo

    spu

    ntos

    Lascircun

    ferenc

    iasqu

    epa

    san

    pordo

    spu

    ntos

    28.2C

    uerdasycirc

    unferenc

    ias

    Construc

    cin

    decircun

    ferenc

    ias

    28.3Tres pu

    ntosyuna

    circ

    unferenc

    iaCo

    nstruccin

    decircun

    ferenc

    ias

    conlam

    ediatriz

    28.3Trespu

    ntosyuna

    circun

    ferenc

    ia

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Comun

    idad

    es

    Comun

    idad

    Aplicacin

    29.Elnm

    ero

    Pi.

    (150

    - 1

    57)

    Determinareln

    mero

    com

    olara

    znen

    trela

    long

    itud

    delacirc

    unferenc

    iayeld

    imetro.

    Justificar yusarla

    frmulapa

    raelc

    lcu

    lodela

    long

    itud

    delacirc

    unferenc

    ia.

    29.1Larelacin

    entrecirc

    unferenc

    iaydimetro

    Relacin

    entrecirc

    unferenc

    ia

    y dim

    etro

    Ded

    ndesali

    Pi?

    29.1R

    elacinen

    tre

    circun

    ferenc

    iay

    dim

    etro(G

    eometra

    din

    mica)

    Elnm

    ero

    Pi

    29.2P

    erm

    etrodelcrc

    ulo

    30.Elreade

    loscrculos.

    (158

    - 1

    63)

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    ncalcularel

    reayelp

    erm

    etrodeun

    crc

    ulo.

    30.1

    reade

    lcrc

    ulo

    readelcrc

    ulo

    Clculode

    lreade

    lcrc

    ulo

    deArqumed

    es30

    .1

    rea de

    lcrc

    ulo

    (Geometra

    dinm

    ica)

    Crculos

    Polg

    onos

    readelcrc

    ulo

    30.2

    reasyperm

    etros

    31.Re

    lacion

    esdeprop

    orcion

    alidad

    .(1

    64 -

    171

    )

    Form

    ularla

    exp

    resin

    algeb

    raicaqu

    eco

    rrespo

    ndaa

    lare

    lacin

    entredoscan

    tida

    desqu

    esondirectam

    entepropo

    rciona

    les.

    As

    ociarlossign

    ificado

    sde

    lasvaria

    blesenlaexp

    resin

    y=kxco

    nlas

    cantidad

    esque

    interviene

    nen

    dicha

    relacin

    .

    31.1C

    ambiode

    mon

    eda

    Historia

    delam

    oned

    aVa

    riacin

    propo

    rciona

    l6

    31.2E

    xpresion

    esalgeb

    raicasyre

    lacion

    esde

    prop

    orcion

    alidad

    endistintosco

    ntextos

    32.Grfic

    asasociad

    asasitua

    cion

    esdeprop

    orcion

    alidad

    .(1

    72 -

    181

    )

    Explicarla

    scaractersticasde

    una

    grfic

    aqu

    erepresen

    te

    una relacin

    deprop

    orcion

    alidad

    enelplano

    cartesian

    o.

    32.1G

    rfic

    asysuscaracters

    ticas

    Grfic

    as

    32.2C

    ompa

    racin

    degrfi

    cas

    Varia

    cin

    propo

    rciona

    lygrfic

    as

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Blo

    qu

    e 4

    MAT1 B3 S17.indd 7 8/25/07 3:21:55 PM

  • S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    S

    Vid

    eos

    Int e

    r ac t

    ivo

    sA

    ula

    de

    me d

    ios

    Ho

    jas

    de

    t ra b

    a jo

    Ar c

    hiv

    os

    3 3.C u

    e ntas d e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    .(1

    8 4 -

    19 9

    )

    Utilizarprocedimientosin

    form

    alesyalgortmicosdead

    iciny

    sustraccinde

    nm

    eroscon

    signo

    endiversassitua

    cion

    es.

    3 3.1Lo stomo s

    L os to m

    o sL os to m

    o s1

    33.2Sum

    asden

    meroscon

    signo

    Lostom

    os2

    33.3Restasde

    nm

    eroscon

    signo

    Lostom

    os3

    33.4De todo

    unpo

    co

    34.reas de

    figu

    rasplan

    as.

    (200

    - 2

    03)

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nelclcu

    lodereasde

    diversas

    figurasplana

    s.

    34.1reasdefig

    urasformad

    as

    porrectas

    Geo

    metra

    and

    aluz

    a34

    .1reasdefig

    uras

    form

    adasporre

    ctas

    (Geometra

    dinm

    ica)

    Figu

    ra2

    Figu

    ras

    34.2reasdefig

    urasformad

    as

    porcrculos

    34.2.reasdefig

    uras

    form

    adasporcrculos

    (Geometra

    dinm

    ica)

    Regin

    35.Jueg

    osequ

    itativos.

    (204

    - 2

    17)

    Re

    cono

    cer lasco

    ndicione

    sne

    cesaria

    spa

    raque

    unjueg

    ode

    azarsea

    justo,con

    baseen

    lanoc

    inde

    resultad

    osequ

    iproba

    blesyno

    equiprob

    ables.

    35.1Cu

    leslam

    ejoropc

    in?

    35.2Ruletas

    Laruleta

    35.3Jue

    gos co

    nda

    dos

    35.4Q

    uinielas

    Pron

    stico

    sna

    cion

    ales

    Lanz

    amon

    edas

    36.Grfic

    as, tab

    lasyexpresione

    salge

    braicas.

    (218

    - 2

    23)

    Ca

    lcularvaloresfaltantesapartirde

    variasrepresen

    tacion

    es

    relacion

    ando

    lasqu

    eco

    rrespo

    nden

    ala

    mismasituacin,eid

    entific

    ar

    lasqu

    esonde

    propo

    rciona

    lidad

    dire

    cta.

    36.1G

    rfic

    as,tab

    lasyexpresione

    salge

    braicasasoc

    iada

    saprob

    lemas

    depropo

    rciona

    lidad

    dire

    cta

    Elem

    entos de

    la

    prop

    orcion

    alidad

    dire

    cta

    36.1G

    rfic

    as,tab

    lasy

    expresione

    salgebraicas

    asoc

    iada

    saprob

    lemas

    depropo

    rciona

    lidad

    directa(Hojade

    clculo)

    Aos

    36.2De lagrfic

    aalproblem

    a

    37.Prop

    orcion

    alidad

    inversa.

    (224

    - 2

    31)

    Iden

    tific

    aryre

    solversitua

    cion

    esdeprop

    orcion

    alidad

    inversamed

    iante

    diversosprocedimientos.

    37.1Elag

    ua

    37.2La velocida

    dLaveloc

    idad

    con

    stan

    teVa

    riacin

    propo

    rciona

    linversaygrfi

    cas1

    37.3La hip

    rbola

    Varia

    cin

    propo

    rciona

    linversaygrfi

    cas2

    37.3Lahip

    rbola

    (Hoja de

    clcu

    lo)

    Rectn

    gulos

    Pintores

    38.Med

    idasdetend

    enciacentral.

    (232

    - 2

    39)

    Co

    mpa

    rar elcom

    portam

    ientode

    dosom

    scon

    juntosdeda

    tos

    referid

    osauna

    mismasituacinofen

    men

    oapa

    rtirde

    susm

    edidas

    deten

    denc

    iacen

    tral.

    38.1Promed

    ios

    Prom

    edios

    38.2Qu

    prefie

    renco

    mer?

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Blo

    qu

    e 5

    EJ

    E 1

    :Se

    ntidonu

    mricoype

    nsam

    ientoalge

    braico

    EJ

    E 2

    :Fo

    rma,espacioym

    edida

    EJ

    E 3

    :Man

    ejode

    lain

    form

    acin

    MAT1 B3 S17.indd 8 8/25/07 3:21:56 PM

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    inTEraCTivo

    audioTExTo

    aula dE mEdios

    oTros TExTos

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  • MAT1 B3 S17.indd 10 8/25/07 3:21:59 PM

  • BLOQUE 3

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  • secuencia 17

    12

    EL mEtrOBsPara empezarEnlaCiudaddeMxicohayuntransportellamadometrobs.Esunautobsmslargoquelonormal,quetransitaporunaavenidallamadaInsurgentes.

    Parasubirsealmetrobs seusantarjetas,lascualessepasanporunaparatoquepermiteelacceso.

    Enelaparatosemarcaeldinerodisponibleenlatarjeta,esdecir,elsaldo.Elcostoporviajeenelmetrobsesde$3.50.

    sEsin 1

    Divisin de nmeros decimalesEn esta secuencia resolvers problemas que impliquen la divisin de nmeros decimales en distintos contextos.

    MAT1 B3 S17.indd 12 8/25/07 3:22:07 PM

  • 13

    MATEMTICAS I

    Platiquenconsugrupolosresultadosylamaneraenquellegaronaellos.Siutilizaronoperacionesdiganculesycmolasusaron.

    Manos a la obrai. Hallarelnmerodeviajesquesepuedehacerconciertacantidaddedinero,equiva

    leadividiresacantidadentreelcostodeunviaje.

    Utilicenlosresultadosqueencontraronenelproblemaanteriorycompletenlatabla.

    Divisin Cociente (nmero de viajes) Residuo (lo que sobra)

    24.00 3.50

    37.50 3.50

    75.00 3.50

    115.50 3.50

    Observenquealcalcularelnmerodeviajes,estncalculandocuntasvecescabeelcostodecadaviajeenelsaldo.

    Consideremos lo siguienteEncadacasoanotenparacuntosviajesalcanzaelsaldodelatarjetaycuntosobra.Recuerdenqueelcostodeunviajees$3.50.

    Saldo $24.00

    Nmerodeviajes:

    Sobra:

    Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50

    Nmerodeviajes:

    Sobra:

    Nmerodeviajes:

    Sobra:

    Nmerodeviajes:

    Sobra:

    MAT1 B3 S17.indd 13 8/25/07 3:22:09 PM

  • secuencia 17

    1

    ii. Imaginenahoraunlugardondeelpreciodecadaviajevarayhaycostosmuybajos.Completenlatabla.

    Saldo ($) (dividendo)

    Costo del viaje ($) (divisor) Divisin

    Nmero de viajes (cociente)

    9 4.50 90 4.50

    15 2.50

    4.50 1.50

    4.80 1.20

    9 1.80

    4 0.50

    8.50 0.50

    4 0.25

    5.25 0.25

    4 0.20

    4.30 0.10

    iii.Analicenlatablaanteriorparacontestarlassiguientespreguntas:

    a) Enculescasoselcocienteesmenorqueeldividendo?

    b) Enculescasoselcocienteesmayorqueeldividendo?

    c) Encuentrenqutienenencomnaquellasdivisionesenlasqueelcocienteesmayorqueeldividendoyanotensusobservaciones:

    iV. Anotenelresultadoalquellegaronaldividir

    4 0.50=

    Observenqueesteresultadoequivaleamultiplicar4porunnmero,porculnmero?

    MAT1 B3 S17.indd 14 8/25/07 3:22:10 PM

  • 1

    MATEMTICAS IAlgunasdivisionesentreunnmeroconpuntodecimalpuedencalcularsemsfcilmenteconunamultiplicacin.Completenlasiguientetabla.

    Dividir entre: Es lo mismo que multiplicar por:Ejemplo resuelto

    con divisinEjemplo resuelto

    con multiplicacin

    0.50 2 3 0.5 = 6 3 2 = 60.250.200.100.1250.01

    V. Resuelvanmentalmentelassiguientesdivisiones:

    2 0.5= 1 0.125=

    3 0.01= 4 0.25=

    1.5 0.5= 3 0.1=

    12. 5 2.5= 9 0.2=

    Vi.Platiquenasuscompaeroscmoresolvieronmentalmentealgunadelasoperacionesdelaactividadanterior.Elijanunaoperacinyanotenenelpizarrnvariosprocedimientospararesolverlamentalmente.Comentenculprocedimientoesmejoryporqu.

    Dividir una cantidad entre un nmero equivale a calcular cuntas veces cabe ese nmero en dicha cantidad.

    Algunas divisiones entre nmeros con punto decimal pueden resolverse ms rpida-mente con una multiplicacin, por ejemplo, 10 0.25 puede escribirse como 10 rQ , que como estudiaron en la divisin de fracciones, equivale a multiplicar 10 4 = 40.

    Al dividir una cantidad entre un nmero menor que la unidad, el resultado ser mayor que la cantidad, por ejemplo, 5 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.

    A lo que llegamos

    MAT1 B3 S17.indd 15 8/25/07 3:22:10 PM

  • secuencia 17

    1

    El metrobs

    Veanelvideoyrealicenloqueahsepide.Cuandoterminen,renanseenparejasyjuntoshaganunresumenquesetituleLadivisinconnmerosdecimales.Despusleanelresumenantesugrupo.

    CamBiO dE dinErOPara empezarSevanarepartir$29.60entre4amigos,cuntoletocaacadauno?Enlaprimariaaprendistequeesteproblemaseresuelveconlasiguientedivisin:

    7.40 4 29.60 16 00

    Elresultadoes$7.40.Estasdivisionesseresuelvenigualqueconnmerosenteros,peroalmomentodebajarel6"sesubeelpunto".Sabenporqusehaceas?a)Cuandosedivide29entre4seestndividiendo29enteros,poresoelresultadoes

    entero.

    b)Albajarel6juntoal1yaseestndividiendo16dcimosentre4,poresohayqueponerunpunto,paraindicarqueelresultadocorrespondeadcimos.

    Ahoraaprenderscmoseresuelveunadivisincuandoelpuntodecimalesteneldivisor.

    Consideremos lo siguienteAracelitiene$19.40ylevaadaracadaunodesusamigos$2.50.Paracuntosamigoslealcanzaycuntolesobra?

    Estasituacintambinseresuelveconunadivisin.Encuentrenunamaneradehallarelresultadodelasiguientedivisinqueresuelveelproblema.

    2.5 19.4

    Expliquenasuscompaeroscmoresolvieronladivisinanterioryporqulohicieronas.

    sEsin 2

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  • 1

    MATEMTICAS I

    a) Cmosonlosresultadosentres?

    b) Observenqueeldividendo(8)yeldivisor(4)delaprimeradivisinsemultiplicaronpor10paraobtenerlasegundadivisin(80y40).

    c) Porculnmerosemultiplicarondividendoydivisordelaprimeradivisin

    paraobtenerlaterceradivisin?

    d) Porculnmerosemultiplicarondividendoydivisordelaprimeradivisin

    paraobtenerlacuartadivisin?

    ii. Considerenquesetieneestadivisin

    2.5 20

    Multipliquendividendoydivisorpor10,qudivisinobtienen?Antenlayresulvanla.

    Estadivisinesmssencillaque20 2.5y,porlapropiedadquerecordaronenlaactividadI,sabenqueelresultadodeestadivisineselmismoparaambas.

    Manos a la obrai. Resuelvanlassiguientesdivisiones:

    Al multiplicar un

    nmero con punto

    decimal por 10, se

    recorre el punto un

    lugar a la derecha.

    Recuerden que:

    Si en una divisin se

    multiplica el dividendo

    y el divisor por el

    mismo nmero, el

    resultado de la

    divisin no cambia.

    4 8 40 80

    400 800 4 000 8 000

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  • secuencia 17

    1

    iii.Transformencadadivisinenunacuyodivisornotengapuntodecimalyresulvanla;elijanbienelnmeroporelquetienenquemultiplicarcadauna.

    1.2 48

    0.125 3.5

    0.32 4.5

    iV. Resuelvanladivisindelproblemainicial(19.4 2.5)transformndolaenunadivisinsinpuntoeneldivisor.Comparenesteresultadoconelqueobtuvieronalprincipiodelasesin.

    Comentenlosresultadosquehanobtenidohastaestemomento.Pasenalpizarrnaresolverlas3divisionesdelaactividadIIIyexpliquenporculnmeromultiplicaroneldividendoyeldivisordecadaunayporqu.

    A lo que llegamosPara resolver una divisin con punto decimal en el divisor:

    1. Primero se transforma la divisin en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 1 00, 1 000, ... segn el divisor tenga 1, 2, 3, ... cifras decimales.

    2. Despus se resuelve.

    Por ejemplo, para resolver:

    0.12 2.4 se multiplican por 100 el dividendo y el

    divisor para transformar la divisin en

    12 240

    Y se resuelve: 20 12 240 000El resultado de dividir 240 12 es el mismo que el resultado de dividir 2.4 0.12. Comprubenlo con una calculadora.

    MAT1 B3 S17.indd 18 8/25/07 3:22:12 PM

  • 1

    MATEMTICAS ILo que aprendimos1. Aracelitiene$50.00enmonedasde$0.50yquierehacermontonesde$2.50;Luis

    tiene$500.00enmonedasde$5.00yquierehacermontonesde$25.00.Culdelassiguientesafirmacionesescorrecta?

    a) Araceliharmsmontones.

    b) Luisharmsmontones.

    c) Ambosharnelmismonmerodemontones.

    d) Nopuedecalcularsequinharmsmontones.

    Justificalarespuestaqueelijas.

    2. DonFernandovaarepartir7 delecheenenvasesde0.5 .Cuntosenvasesocupar?

    CompletalatabladetalmaneraqueelnmerodeenvasessiempreseaelmismoquelosqueocupardonFernando.

    Litros a repartir Capacidad de cada envase ( ) Nmero de envases

    14

    1.5

    28

    5

    10

    3. Resuelveladivisin9.2entre2=Inventa5divisionesque,partiendodelosmismosnmerosquelaanterior,tenganigualcociente.

    MAT1 B3 S17.indd 19 8/25/07 3:22:12 PM

  • secuencia 17

    20

    sEsin 3

    La estrellamsbrillanteque vemos en el cielo es

    Sirio,quesevedurantelasnochesdeinvierno.La

    luzdeSiriotarda8.8aosenllegaralaTierra!

    Si la luz viaja a300 000 km/s, qu operacionestendramosquehacerparaconocerladistanciaala

    queestSirio?

    Elanimalmsgrandedelmundoeslaballenaazul,

    llegaamedirhasta33 mdelargo.Elanfibiomsgrande es la salamandra gigante de Japn, con

    1.5mdelargo.LaaraamsgrandeeslaGoliath,puedemedir0.28mde longitud. Cuntas vecesesmslargaunaballenaazulqueunasalamandra

    gigante?

    ,

    Y que una araa

    Goliath?

    Elcrecimientodelasbacteriasamenosde10 oCesmuylento,porellolosalimentosenelrefrige

    rador se conservanms tiempo. La temperatura

    delcongeladorseconservaalrededordelos18 oCbajoceroyenelrefrigeradorpuedeestaralrede

    dor de 4.5 oC. Cul

    esladiferenciaentre

    la temperatura del

    congelador y la del

    refrigerador?

    Ladurezadeunmineralpuedemedirsedeacuerdo

    conlafacilidadpararayarlo.Elmineralmsduro

    eseldiamantey sudurezaesde10. Lamnimadurezade laplata es2.5 y ladel azufre es1.5.Cuntas veces esms duro el diamante que la

    plata?

    Yqueelazufre?

    nmErOs dECimaLEs En La CiEnCiaLo que aprendimosEnestasesinaplicarnvariosde losconocimientosquehanadquiridoa lo largodetodaslassecuenciassobrenmerosconpuntodecimal.Encadacaso,respondanlapreguntaplanteada.

    MAT1 B3 S17.indd 20 8/25/07 3:22:24 PM

  • 21

    MATEMTICAS IAl caminar rpidamente se queman

    0.097calorasporcadakilogramodepesoporminuto.Siunapersonacami

    nando rpidamente quem 6.305calorasenunminuto,cuntopesa?

    Cuntotiempo,aproximadamente,

    tendraquecaminarrpidoesaper

    sona para quemar 500 caloras?

    Comentenconotrosequiposlosresultadosdeestosproblemas.Comparenlosprocedimientosquemuestrenlosdiferentesequiposyelijanaquellosquelesparezcanmsfciles.

    Para saber ms

    SieltiempoquetardanlosplanetasendarlavueltaalSol

    semideenaos,setieneque:Neptunotarda165.4aosyUrano83.7aos.Culesladuracinenaos,mesesydasdel tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?

    Y Urano?

    LaTierra,alviajaralrededordelSol,re

    corre30.5kilmetrosenunsegundo.

    Encuntotiemporecorre1830kil

    metros?

    El cuerpo humano est formado

    porvarioselementos:63%dehi

    drgeno,23.5%deoxgeno,9.5%de carbono, 1.4% de nitrgenoy el resto de otros elementos.

    Culeselporcentajequecorres

    ponde en total a esos otros ele

    mentos?

    Sobre la divisin de nmeros decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicacin y divisin".

    MAT1 B3 S17.indd 21 8/25/07 3:22:34 PM

  • secuencia 18

    22

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el planteamien-to y la resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son nmeros naturales o decimales.

    A RepARtiR nARAnjAsPara empezarEn la primaria resolviste problemas en los que tenas que encontrar la solucin haciendo operaciones aritmticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprenders una nueva manera de resolver problemas: usars expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.

    Consideremos lo siguienteUn comerciante de naranjas quiere saber cuntos kilogramos de naranjas tena al princi-pio del da si vendi 24 kg y al final se qued con 8 kg.a) Cul es el valor desconocido en este problema? Subryenlo:

    Los kilogramos de naranjas que vendi.

    Los kilogramos de naranjas que tena al principio.

    Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.

    b) En el problema hay dos valores que s se conocen, cules son?

    En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un nmero que debe estar en el recuadro azul:

    24 = 8

    c) Cul es el nmero que debe estar en el recuadro azul?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Qu operacin hicieron para encontrar el nmero que va en el recuadro azul?

    b) Cuntos kilogramos tena el comerciante al principio del da?

    sesin 1

    Ecuaciones de primer grado

    MAT1 B3 S18.indd 22 8/25/07 3:22:53 PM

  • 23

    MATEMTICAS IManos a la obrai. Escriban el nmero que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:

    24 = 8

    ii. Hay que encontrar un nmero que, al sumarle 57, d como resultado 124.a) En este problema hay dos nmeros que s se conocen, cules son?

    En la siguiente igualdad, el nmero desconocido del problema es un nmero que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los nmeros conocidos:

    + =

    b) Cul es el nmero que va en el recuadro?

    c) Comprueben la solucin que encontraron:

    En lugar del recuadro morado escriban el nmero que encontraron y hagan las operaciones:

    + = Comparen sus respuestas y comenten:

    Cul es el nmero que al sumarle 57 da como resultado 124?

    iii. Representen con una igualdad el siguiente problema: Cul es el nmero que al su-marle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el nmero desconocido.

    + = a) Cul es el nmero que debe ir en el recuadro rojo?

    b) Qu operacin hicieron para encontrarlo?

    iV. Generalmente, en las matemticas se utilizan letras para representar los valores des-conocidos. Si en el problema anterior:

    Cul es el nmero que al sumarle 110 da como resultado 221?se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad:

    x + 110 = 221

    Esta igualdad es la misma que: + 110 = 221

    slo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo

    MAT1 B3 S18.indd 23 8/25/07 3:22:54 PM

  • secuencia 18

    24

    a) Qu operacin hay que hacer para encontrar el valor de x?

    Compltenla:

    221

    Cunto vale x? x =

    b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:

    + 110 = 221

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosLas igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas en las que hay un valor desconocido o incgnita que generalmente se representa con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

    V. En la ecuacin m 1 = 7, cul es el valor desconocido o incgnita? Subryenlo:

    1 m

    7a) Qu operacin hay que hacer para encontrar el valor de m?

    b) Cunto vale m? m = c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:

    1 = 7

    A lo que llegamosPara resolver la ecuacin x + 110 = 221, en la que se est sumando, se puede hacer una resta: x = 221 110. La solucin de esta ecuacin es x = 111.Para resolver la ecuacin m 1 = 7, en la que se est restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solucin de esta ecuacin es m = 8.Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.

    MAT1 B3 S18.indd 24 8/25/07 3:22:55 PM

  • 25

    MATEMTICAS IVi. El comerciante quiere saber ahora cuntos kilogramos de naranja tena al principio,

    si en esta ocasin vendi primero 13 kg de naranja, despus vendi 11 kg y finalmen-te se qued con 5 kg. a) Cules de las siguientes ecuaciones representan el problema?

    x 13 11 + 5

    x 13 + 11 = 5

    x 24 = 5

    x 13 11 = 5b) Resuelvan la ecuacin, cunto vale x? x =

    Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:a) Cuntos kilogramos de naranja tena el comerciante al principio?

    b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, por qu creen que la solucin de estas dos ecuaciones es la misma?

    Comprueben su solucin sustituyndola en las dos ecuaciones:

    13 11 = 5 24 = 5

    Lo que aprendimos1. Un camin que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Reco-

    ge 21 ms en otro pueblo, deja 56 en una tienda, despus deja 34 en otra tien-da. Al acabar su recorrido se qued con 15 de leche.a) En este problema hay 4 valores conocidos, cules son?

    b) La ecuacin x + 21 56 34 = 15 permite resolver el problema. Resulvanla en sus cuadernos.

    c) Cuntos litros tena el camin al salir del establo?

    d) Comprueben si la solucin que encontraron es correcta.

    2. Para los siguientes problemas plantea una ecuacin y resulvela. Hazlo en tu cuaderno.

    a) Cul es el nmero que al sumarle 27 da como resultado 138?b) Cul es el nmero que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?

    Comprueba tus soluciones.

    MAT1 B3 S18.indd 25 8/25/07 3:22:57 PM

  • secuencia 18

    26

    eL pAseO esCOLARConsideremos lo siguientePara un paseo al que asistirn 280 nios se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobu-ses van a llevar el mismo nmero de nios. Se quiere saber cuntos nios debe llevar cada autobs.

    a) Cul es el valor desconocido en el problema? Subryenlo.

    El nmero de nios que asisten al paseo.

    El nmero de autobuses que se rentan.

    El nmero de nios que van en cada autobs.

    b) Usando la letra y escriban una ecuacin que describa este problema:

    c) Encuentren el valor de y

    Comparen sus ecuaciones y sus resultados.

    Manos a la obraEn esta actividad se usar algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y es lo mismo que 8 por y; el smbolo de la multiplicacin aqu no se pone para no confun-dirlo con la letra x.

    i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subryenla:

    280 y = 8 280 + y = 8 y + 8 = 280 8 y = 280

    a) Cul de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y?

    8 280 8 280 280 8 280 8

    b) Usando la operacin que sealaron encuentren el valor de y.

    y = c) Comprueben su solucin sustituyendo el valor de y en la ecuacin que escogieron.

    Hganlo en sus cuadernos.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cuntos nios debe llevar cada autobs?

    sesin 2

    MAT1 B3 S18.indd 26 8/25/07 3:22:58 PM

  • 27

    MATEMTICAS Iii. Se quiere conocer la edad de Julin y se sabe que la tercera parte de su edad es igual

    a la edad de Diego, que tiene 4 aos. a) Cules de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letra

    J para representar a la edad de Julin.

    J 3 = 4 J 3 = 4 J 4 = 3 e = 4

    b) Cuntos aos tiene Julin?

    c) En sus cuadernos, comprueben su solucin sustituyendo el valor de J en la ecua-cin que escogieron.

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

    a) Cules son las dos ecuaciones que corresponden a este problema?

    b) Qu operacin hicieron para encontrar la edad de Julin?

    c) La edad de Julin que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego?

    iii. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondien-tes y las operaciones con las que se pueden resolver. Compltenla.

    Problema EcuacinOperacin que se hace

    para encontrar la incgnita

    Valor de la incgnita

    Cul es el nmero que al multiplicarlo por 3 da 57?

    Cul es el nmero que al dividirlo entre 6 da 48?

    x 6 = 48

    Cul es el nmero que al multiplicarlo por____ da ____? m 25 = 165 165 25

    Cul es el nmero que al dividirlo entre 7 da 12.5? 12.5 ______ 87.5

    Comparen sus tablas.

    J

    A lo que llegamosEn la ecuacin 2y = 16, el nmero 2 est multiplicando a la incgnita y. Para encontrar el valor de y se puede hacer una divisin: 16 2. La solucin de la ecuacin es y = 8.En la ecuacin s 5 = 6, el nmero 5 est dividiendo a la incgnita s. Para encontrar el valor de s se puede hacer una multiplicacin: 6 5. La solucin de la ecuacin es s = 30.Se dice entonces que la multiplicacin y la divisin son operaciones inversas.

    MAT1 B3 S18.indd 27 8/25/07 3:22:58 PM

  • secuencia 18

    28

    sesin 3

    Lo que aprendimos El terreno y el ro

    El terreno rectangular que se muestra en la figura de la iz-quierda est atravesado por un ro y no es posible medir su ancho. Cmo se puede calcular el ancho si se sabe que el terreno mide de largo 17 m y el rea que ocupa es 238 m2?

    a) Escriban una ecuacin para resolver el problema anterior:

    b) Encuentren el valor de la incgnita.

    c) Comprueben el valor que encontraron para la incgnita.

    ResOLUCin De eCUACiOnes MiXtAsConsideremos lo siguienteJuan pens un nmero. Lo multiplic por 3 y a lo que le sali le rest 5. Al final obtuvo 10.

    a) Escriban una ecuacin para encontrar el nmero que pens Juan.

    Usen la letra x para representarlo.

    b) Cul es el nmero que pens?

    Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten:

    Qu operaciones hicieron para resolver la ecuacin?

    Manos a la obrai. Cul es la incgnita en el problema?

    El resultado de multiplicar por 3. El resultado que obtuvo Juan al final.

    El nmero que pens Juan.

    Juan hizo dos operaciones con el nmero que pens.

    a) Cul fue la primera operacin que hizo?

    b) Cul fue la segunda operacin que hizo?

    17 m

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cunto mide el ancho del terreno?

    MAT1 B3 S18.indd 28 8/25/07 3:23:00 PM

  • 29

    MATEMTICAS Ic) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el nmero que pens Juan,

    cul es?

    3x 5x = 10 3x + 10 = 5 3x 5 = 10

    Comparen sus ecuaciones y soluciones.

    Comenten: la ecuacin 5 x 3 = 10 no corresponde a este problema, por qu?

    ii. En la ecuacin 3x 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x, y despus, al resultado se le resta 5. a) Qu nmero creen que obtuvo Juan al hacer la operacin: 3x?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

    b) En la ecuacin 3x 5 = 10, cul es la operacin que hay que hacer para encon-trar el valor de 3x?

    Completen:

    3x = 10 + =

    c) En la ecuacin 3x = 15, cul es la operacin que hay que hacer para encontrar el valor de x?

    Completen:

    x = 15 = d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el nmero que pen-

    s Juan, sustituyndolo en la ecuacin.

    iii. Ana pens un nmero. Lo dividi entre 4 y despus, a lo que le sali, le sum 6. Al final obtuvo 11.

    a) Cul es la primera operacin que hizo Ana?

    b) Cul es la segunda operacin que hizo Ana?

    c) Escriban una ecuacin para encontrar el nmero que Ana pens. Usen la letra y para representarlo.

    y 4 + = d) Cul es el valor de y?

    y = e) Comprueben la solucin en sus cuadernos.

    Comparen sus ecuaciones y soluciones.

    Comenten: La ecuacin y (2 8) no corresponde al problema, por qu?

    Recuerden que:

    3x es lo mismo que

    3 por x. El smbolo

    de la multiplicacin

    no se pone para no

    confundirlo con la

    letra x.

    MAT1 B3 S18.indd 29 8/25/07 3:23:01 PM

  • secuencia 18

    30

    A lo que llegamos

    iV. En el rectngulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida de la altura ms 1 cm.

    Figura 1

    De las siguientes ecuaciones sealen las que sirven para encontrar la altura.

    a 2 + 7.2 = 1 2 a + 1 = 7.2 (a 2) + 1 = 7.2 a 2 + 1 = 7.2

    Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten:

    a) Cules son las operaciones que se hacen en este problema?

    b) Cules son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema?

    7.2 cm

    a

    Para resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incgnita, como 5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estas ecuaciones es la siguiente:

    Primero. Encontrar el valor de 5x: 5x = 21 1 5x = 20

    Segundo. Encontrar el valor de x: x = 20 5 x = 4En la ecuacin (y 6) 8 = 4 se pone un parntesis para indicar que primero se divide entre 6 y despus se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuacin respetando el orden de las operaciones: Primero. Se encuentra el valor de y 6: y 6 = 4 + 8 y 6 = 12 Segundo. Se encuentra el valor de y: y = 12 6 y = 72

    MAT1 B3 S18.indd 30 8/25/07 3:23:02 PM

  • 31

    MATEMTICAS IEncuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyndolo en la ecuacin.

    Lo que aprendimos1. La mitad del nmero de alumnos que hay en primer ao ms 29 es igual a 44.

    a) Escribe una ecuacin para este problema:

    b) Cuntos alumnos hay en primer ao?

    2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones.

    a) Si pienso un nmero, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al final obtengo 15.8. Cul es el nmero que pens?

    b) Si a la cuarta parte de un nmero le sumo 23.5 obtengo 117.7. Cul es el nmero?

    3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tu cuaderno.

    a) 3x + 0.1 = 10b) (x 2) + 44 = 100c) x + 23 15 = 29.2d) (x 3) + 25 = 46

    4. un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas, puedes consultar a tu maestro o a otros compaeros.

    Eugenio abri una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero no recuerda cunto. Despus de un tiempo esta cantidad inicial se triplic. Eugenio re-tir todo el dinero que tena y gast 150 pesos. El resto lo reparti entre tres amigos, de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Aydale a Eugenio a recordar cunto dinero deposit en el banco.

    a) Escribe una ecuacin que corresponda a este problema.

    b) Resuelve la ecuacin en tu cuaderno.

    c) Cunto dinero deposit Eugenio en el banco?

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

    Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Una ventana a las incgnitas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. Mxico: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincn, 2005.

    MAT1 B3 S18.indd 31 8/25/07 3:23:03 PM

  • secuencia 19

    32

    En esta secuencia construirs tringulos y cuadrilteros, y analizars las condiciones de existencia y unicidad.

    ExistE o no ExistE?Para empezarCuando se pide construir una figura geomtrica con ciertas condiciones, a veces es po-sible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, crees que sea posible trazar un tringulo cuyos lados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; por qu? ste es el tipo de reflexiones que realizars a lo largo de la secuencia. Es importante que hagas tus suposiciones o hiptesis y luego trates de comprobarlas.

    Consideremos lo siguienteRecorten popotes de las siguientes medidas.

    Traten de formar tringulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cor-taron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el tringulo.

    Medida de los popotes para formar el tringulo Es posible formar el tringulo?

    8 cm, 3 cm, 2 cm

    8 cm, 6 cm, 4 cm

    8 cm, 4 cm, 2 cm

    6 cm, 4 cm, 3 cm

    6 cm, 3 cm, 2 cm

    sEsin 1

    Existencia y unicidad

    8 cm6 cm

    2 cm 3 cm 4 cm 5 cm

    MAT1 B3 S19.indd 32 8/25/07 3:23:22 PM

  • 33

    MATEMTICAS Ia) Siempre fue posible construir tringulos con las tres longitudes?

    b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estn en la tabla con las que crean

    que s es posible construir un tringulo . , ,

    c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estn en la tabla con las que crean

    que no es posible construir un tringulo. , ,

    Comenten sus hallazgos y resultados con sus compaeros de grupo. Expliquen cundo creen que dadas tres longitudes es posible construir un tringulo y cundo no es posible.

    Manos a la obrai. Recuerden cmo se construye con regla y comps un tringulo si se conocen las me-

    didas de sus lados.

    Construir un tringulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm.

    Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

    Paso 2. Se abre el comps a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

    Paso 3. Se abre el comps a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

    Paso 4. Se unen los extremos del segmento con el punto donde se cortan los arcos y se obtiene el trin-gulo pedido.

    MAT1 B3 S19.indd 33 8/25/07 3:23:28 PM

  • secuencia 19

    34

    ii. Utilicen sus instrumentos geomtricos para trazar en su cuaderno tringulos cuyos lados midan

    a) 8 cm, 9 cm, 7 cm. b) 9 cm, 5 cm, 6 cm.c) 6 cm, 3 cm, 2 cm.

    iii. Respondan las preguntas:

    a) Pudieron trazar los tres tringulos?

    b) Cul fue imposible trazar?

    c) Si dos lados de un tringulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el tringulo.

    d) Tracen en su cuaderno tringulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm y el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen.

    e) Si se pone la condicin de que la medida del tercer lado sea un nmero entero,

    cuntos tringulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y 3 cm?

    iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazar un tringulo.

    a) Cules son esas medidas?

    b) Tracen el tringulo en su cuaderno y verifiquen su hiptesis; si no se puede trazar, intenten con otras medidas.

    V. Sin hacer trazos, anoten a los tringulos que s pueden trazarse.

    Medida de los lados Existe el tringulo?

    10 cm, 5 cm, 5 cm8 cm, 9 cm, 2 cm

    1 cm, 0.5 cm, 2 cm

    2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm

    4 wQ cm, 3 wQ cm, 9 cm

    Comenten sus respuestas con sus compaeros de grupo, traten de concluir qu condi-cin deben cumplir las tres medidas de los lados de un tringulo.

    MAT1 B3 S19.indd 34 8/25/07 3:23:28 PM

  • 35

    MATEMTICAS I

    Es Uno o son MUCHos?Para empezarEn la leccin anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar tringulos con cier-tas medidas, y a veces no. En esta leccin explorars los cuadrilteros, los recuerdas? Son figuras de cuatro lados.

    Se analizar si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadrilteros.

    Para que el tringulo exista, cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos.

    Por ejemplo, s existe un tringulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque:

    7 es menor que 4 + 5.4 es menor que 7 + 5.5 es menor que 7 + 4.

    sEsin 2

    cuadrado rectngulo

    trapecio

    romboromboide

    A lo que llegamosNo siempre es posible construir un trin-gulo cuando se dan tres medidas de los lados, por ejemplo, no existe un tringulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.

    MAT1 B3 S19.indd 35 8/25/07 3:23:29 PM

  • secuencia 19

    36

    Consideremos lo siguienteRecorten 4 popotes de 6 cm y armen con ellos un rombo; unan los popotes cosindolos con hilo o ponindoles una tachuela.

    Observen que el rombo va cambiando al jalar dos de sus vrtices opuestos.

    a) Cambien el rombo hasta formar un cuadrado.

    b) Cambien el rombo hasta que formen otro cuyos ngulos midan 120 y 60.

    c) Cada vez que jalan los vrtices se forma un rombo diferente al an-

    terior?

    d) Qu es lo que vara en estos rombos?

    e) Si se te pide que traces un rombo cuyos lados midan 6 cm, hay una solucin o varias? . Por qu?

    Comenten y comparen sus respuestas con las de otros compaeros. En particular, men-cionen:

    Cuntos rombos diferentes que midan 6 cm de lado pueden trazar? Qu otro dato es necesario dar para que los rombos que se tracen sean todos iguales

    en forma y tamao?

    6 cm

    MAT1 B3 S19.indd 36 8/25/07 3:23:32 PM

  • 37

    MATEMTICAS IManos a la obrai. Tracen lo que se pide:

    1. Un rectngulo cuya base sea el siguiente segmento:

    Cuntos rectngulos diferentes se pueden trazar?

    2. Un rectngulo cuya altura sea el siguiente segmento:

    Cuntos rectngulos diferentes se pueden trazar?

    3. Un rectngulo cuya base y altura sean los siguientes segmentos:

    a) Cuntos rectngulos diferentes se pueden trazar en la actividad 3?

    b) Cuntas medidas del rectngulo deben darse para que slo pueda trazarse un

    rectngulo?

    MAT1 B3 S19.indd 37 8/25/07 3:23:32 PM

  • secuencia 19

    38

    ii. Utilicen sus instrumentos geomtricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya base mida 8 cm y su altura 5 cm.Comparen sus romboides.

    a) Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?

    b) Son iguales todos los romboides que trazaron?

    c) En qu varan?

    d) Cuntos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm de altura?

    e) Qu otro dato es necesario dar para que slo exista UN romboide con esas carac-

    tersticas?

    f) Tracen un romboide cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ngulo de 45.

    g) Cuntos romboides diferentes se pueden trazar con estas caractersticas?

    iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadrilteros con las ca-ractersticas que se piden en cada caso.

    Caractersticas Existe uno o varios o no existe?

    Un rombo cuyo lado mida 9 cm

    Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

    Un cuadriltero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm

    Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ngulos 130

    Un rombo que tenga dos ngulos opuestos que midan 40 y los otros dos 140

    Un trapecio issceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

    Un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm

    Comparen con otros compaeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas.

    MAT1 B3 S19.indd 38 8/25/07 3:23:32 PM

  • 39

    MATEMTICAS IA lo que llegamosSi se pide que se trace un trapecio issceles cuya base mayor mida 3 cm y su base menor mida 2 cm, puedes observar que existen varias soluciones. Cada trapecio tiene diferente altura, pero cumple con las medidas de las bases.

    En cambio, si se pide un trapecio issceles cuya base mayor mida 5 cm, la base menor 4 cm y la altura 2 cm, todos los trapecios issce-les que se tracen con estas caractersticas sern iguales en forma y tamao.

    Es uno o son muchos?

    Ahora ya sabes que cuando se dan ciertas condiciones para hacer trazos geomtricos, es probable que la figura con esas condiciones no pueda trazarse o, en caso de que s pueda trazarse, es probable que tenga varias respuestas correctas o slo una.

    Para saber ms

    Sobre las propiedades de los tringulos y cuadrilteros consulten:http://matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trianprop [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    MAT1 B3 S19.indd 39 8/25/07 3:23:33 PM

  • secuencia 20

    40

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen calcular el permetro y el rea de tringulos, romboides y trapecios, y establece-rs relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el rea de cada una de estas figuras. Tambin realizars conversiones de medidas de superficie.

    Problemas de aPlicacinPara empezarTanto en la primaria como en las secuencias 4 y 14 has estudiado, conocido y justificado algunas frmulas para calcular permetros y reas. Ahora se trata de que apliques estos conocimientos a la resolucin de problemas. Listo?

    Lo que aprendimos1. Para cada polgono regular midan lo que sea necesario y calculen su rea. Uno de

    ustedes utilice el mtodo de sumar las reas de los tringulos, y el otro la frmula del rea.

    sesin 1

    reas y permetros

    MAT1 B3 S20.indd 40 8/25/07 3:24:19 PM

  • 41

    MATEMTICAS I2. De los siguientes tringulos, elijan el lado que quieran como base y tracen la altura

    correspondiente. Tomen las medidas necesarias y calculen el rea y el permetro.

    rea rea

    Permetro Permetro

    En sus cuadernos tracen un tringulo que tenga la misma rea que el primer tringulo de este ejercicio.

    3. Cul es el rea del siguiente terreno de forma irregular? Tomen las medidas necesa-rias y consideren que la escala es 1:200.

    Recuerden que:

    En el siguiente

    tringulo se ha

    trazado una de sus

    alturas.

    La altura es perpen-

    dicular al lado que

    se elige como base y

    pasa por el vrtice

    opuesto a ese lado.

    MAT1 B3 S20.indd 41 8/25/07 3:24:19 PM

  • secuencia 20

    42

    4. Alejandro va a hacer un papalote en forma de rombo, quiere que las diagonales mi-

    dan 50 cm y 70 cm. Qu superficie estar en contacto con el viento?

    5. Se va a construir la barda de un terreno con las siguientes medidas:

    3 m(hueco para el

    zagun)

    10 m

    8 m

    Los cimientos y los

    castillos le dan

    fuerza a la barda

    para que pueda

    sostener el techo y

    otros pisos.

    Los albailes cobran lo siguiente:

    Metro de cimientos $200

    Metro de castillos $80

    Metro cuadrado de tabique $50

    La barda ser de una altura de 3 m. Cada punto negro indica el lugar donde se pondr un castillo.

    El tabique se cobra parejo, sin descontar el espacio que ocupan los castillos.

    Los cimientos van alrededor de todo el terreno, incluso en la parte del zagun.

    a) Cunto se pagar de mano de obra a los albailes?

    Castillo

    Cimientos

    MAT1 B3 S20.indd 42 8/25/07 3:24:20 PM

  • 43

    MATEMTICAS IComparen todos los procedimientos y resultados con los de otras parejas y, adems, co-menten:

    a) La dificultad de tomar medidas exactas en algunos de los ejercicios anteriores y la manera en que esto se refleja en resultados diferentes, aunque muy cercanos.

    b) La manera en que se trazan y miden las alturas de los tringulos.

    relaciones imPortantesPara empezarEn sesiones anteriores aprendiste a resolver ecuaciones, recuerda que el dato descono-cido se llama incgnita y que puede representarse con una letra. En varias secuencias has estudiado la proporcionalidad y has elaborado tablas de proporcionalidad. Ahora te invitamos a que apliques tus conocimientos de ecuaciones y proporcionalidad para re-solver problemas relacionados con el permetro y el rea de figuras.

    Lo que aprendimos1. Para cada problema deben plantear la ecuacin correspondiente y resolverla.

    a) Doa Lupita us 1.60 m de listn que coloc alrededor de una servilleta cuadrada para las tortillas. Cunto mide de lado la servilleta?

    Resultado:

    b) Cunto mide de largo un corte de tela rectangular de ancho 1.5 m y de 40 m2 de superficie?

    Resultado:

    sesin 2

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  • secuencia 20

    44

    c) Un rectngulo de 28 cm de permetro mide de ancho 6 cm menos que su largo. Cul es su rea?

    Resultado:

    d) Escriban y resuelvan la ecuacin que permite calcular el valor de x, sabiendo que el rea total de la figura es 45 cm2.

    2. En cada caso completen la tabla y determinen si se trata de una relacin de propor-cionalidad directa y justifiquen por qu.

    a) Permetro de un cuadrado.

    Lado del cuadrado (cm) Permetro

    1

    2

    3

    4

    Es una tabla de variacin proporcional?

    Por qu?

    6 cm x

    6 cm

    Ecuacin:

    MAT1 B3 S20.indd 44 8/25/07 3:24:20 PM

  • 45

    MATEMTICAS IEn caso de que s sea de proporcionalidad, cul es la constante de proporcionalidad?

    b) Un rectngulo mantiene una base fija de 4 cm y su altura vara.

    Medida de la altura (cm) rea

    2

    3

    4

    5

    Es una situacin proporcional?

    Por qu?

    En caso de que s sea de proporcionalidad, cul es la constante de proporcionalidad?

    c) Un rombo mantiene la diagonal menor fija de 3 cm y la mayor vara.

    Diagonal mayor (cm) rea

    4

    5

    7

    9

    Es una situacin proporcional?

    Por qu?

    En caso de que s sea de proporcionalidad, cul es la constante de proporcionalidad?

    MAT1 B3 S20.indd 45 8/25/07 3:24:21 PM

  • secuencia 20

    46

    d) rea de un cuadrado.

    Lado (cm) rea

    2

    3

    4

    5

    Es una situacin proporcional?

    Por qu?

    En caso de que s sea de proporcionalidad, cul es la constante de proporcionalidad?

    Comenten sus conclusiones; recuerden que en los casos anteriores deben justificar si son o no proporcionales.

    medidas de suPerficiePara empezarSabas que el estado ms grande de la Repblica Mexicana es Chihuahua? Cul crees que es su rea?

    a) 245 962 m2.b) 245 962 cm2.c) 245 962 km2.

    sesin 3

    MAT1 B3 S20.indd 46 8/25/07 3:24:21 PM

  • 47

    MATEMTICAS IConsideremos lo siguienteEl siguiente es un mapa de Aguascalientes. Calculen aproximadamente su rea conside-rando que cada centmetro equivale a 7.5 kilmetros.

    Describan a sus compaeros de grupo la estrategia que siguieron para resolver el proble-ma. En particular, comenten la unidad de rea ms conveniente para expresar el resulta-do y las posibles razones de las diferencias entre resultados.

    Manos a la obrai. Realicen lo que se pide.

    a) El siguiente es un centmetro cuadrado (1 cm2); imaginen que lo dividen en cua-drados de un milmetro (1 mm) de lado, es decir, en milmetros cuadrados (mm2).

    A cuntos milmetros cuadrados equivale un centmetro cuadrado?

    ESCALA: 1 cm: 7.5 km

    7.5 0 7.5 15km

    MAT1 B3 S20.indd 47 8/25/07 3:24:21 PM

  • secuencia 20

    48

    b) El siguiente es un decmetro cuadrado (dm2). Divdanlo en centmetros cuadrados.

    A cuntos centmetros cuadrados equivale un decmetro cuadrado?

    A cuntos milmetros cuadrados equivale un decmetro cuadrado?

    c) Peguen varias hojas de papel o consigan un pliego de papel grande y tracen y re-corten un metro cuadrado (m2). Luego divdanlo en decmetros cuadrados.

    A cuntos decmetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

    A cuntos centmetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

    A cuntos milmetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

    Comenten y comparen sus resultados con sus compaeros.

    ii. Un hectmetro cuadrado (1 hm2) es el rea de un cuadrado que mide 100 metros de cada lado, tambin se llama hectrea (ha).

    a) Cul es el rea en metros cuadrados de una hectrea?

    MAT1 B3 S20.indd 48 8/25/07 3:24:22 PM

  • 49

    MATEMTICAS Ib) Creen que en el patio de su escuela se pueda trazar una figura plana cuya super-

    ficie mida una hectrea?

    c) Organcense en el grupo para que tracen en el patio una superficie de una hect-rea. Si no se puede en el patio, calculen cunto falta para la hectrea.

    iii. Un kilmetro cuadrado es el rea de un cuadrado que mide 1 km o 1 000 m por lado.

    A cuntas hectreas equivale un kilmetro cuadrado?

    iV. Completen la tabla.

    El rea de: Unidad con la que crees que se debe medir

    Un estado km2

    Una tela

    dm2

    ha

    Para terminar

    Medidas de superficie

    Las unidades de superficie y sus conversiones son muy tiles para la resolucin de algu-nos problemas prcticos relacionados con el clculo de reas de terrenos, extensiones territoriales, etc., de ah la importancia que tiene conocerlas y comprender su uso.

    Para saber msSobre la superficie de los estados consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    El rea se mide en unidades cuadradas, por ejemplo:

    Kilmetros cuadrados (km2)

    Hectreas (ha)

    Metros cuadrados (m2)

    Centmetros cuadrados (cm2)

    Milmetros cuadrados (mm2)

    Algunas equivalencias entre las unidades de rea son:

    1 km2 = 100 ha 1 ha = 10 000 m2 1 m2 = 10 000 cm2

    MAT1 B3 S20.indd 49 8/25/07 3:24:22 PM

  • secuencia 21

    50

    En esta secuencia aprenders a resolver problemas que impliquen el clculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

    Mxico en el ineGiPara empezarLos porcentajes aparecen en distintos contextos de la vida cotidiana, por ejemplo: se usan para calcular descuentos en la compra de artculos, para saber los intereses que cobra un banco por algn prstamo, para presentar datos estadsticos y para muchas otras cosas ms.

    En la secuencia 7 de tu libro de Matemticas I, volumen I conociste algunos datos acerca de la poblacin en Mxico; una de las principales fuentes de informacin la proporciona el INEGI (Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica). Este instituto se encarga de obtener datos por medio de los censos que realiza.

    Conocer algunas caractersticas de la poblacin ayuda a comprender mejor los problemas que tiene el lugar en el que vives.

    Consideremos lo siguienteLa poblacin de la Repblica Mexicana es de aproximadamente 110 000 000 habitantes y tiene una extensin territorial de alrededor de 2 000 000 de kilmetros cuadrados.En los datos del INEGI se encontr que el estado de Chihuahua ocupa 13% del territorio nacional.

    Cul es la extensin territorial (en km2) del estado de Chihuahua?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela dijeron que13% de 2 000 000 es:

    2 000 000 km2 1.3 = 2 600 000 km2

    a) En qu se equivocaron en el equipo de la otra escuela?

    b) Por qu nmero debieron multiplicar en la otra escuela?

    sesin 1

    Porcentajes

    MAT1 B3 S21.indd 50 8/25/07 3:25:18 PM

  • 51

    MATEMTICAS IComparen sus respuestas y comenten:

    Cmo encontraron el nmero por el cual se deben multiplicar los 2 000 000 de kilmetros cuadrados para obtener 13% de stos?

    ii. Completen la siguiente tabla para encontrar la extensin territorial que ocupa el estado de Chihuahua.

    Porcentaje de la extensin territorial

    Extensin territorial (km2)

    100% 2 000 000

    1%

    13%

    Tabla 1

    Comparen sus tablas y comenten:

    a) Por qu nmero hay que dividir los 2 000 000 de kilmetros cuadrados para obtener 1% de la extensin territorial del pas?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar los 2 000 000 de kilmetros cuadrados para obtener 13% de la extensin territorial del pas?

    iii. Completen la siguiente tabla para saber el porcentaje que representan del total de la extensin territorial del pas algunos estados de la Repblica Mexicana.

    Nombre del estado

    Porcentaje que representa del total del territorio nacional

    Territorio que ocupa (km2)

    Aguascalientes 1%

    Tamaulipas 9%

    Oaxaca 5%

    Tabla 2

    MAT1 B3 S21.indd 51 8/25/07 3:25:18 PM

  • secuencia 21

    52

    Luego hagan la siguiente divisin

    Nmero buscado = q q I I p P p P p P p P p P p p =

    Finalmente, escriban el nmero que obtuvieron como una fraccin con denominador 100.

    Nmero buscado = q p p

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosEl porcentaje se puede calcular de varias maneras. Por ejemplo, para calcular 18% de la extensin territorial del pas se pueden hacer las siguientes multiplicaciones:

    2 000 000 km2 q Q p I p = 360 000 km2, o bien 2 000 000 km2 0.18 = 360 000 km2

    Tambin se puede completar la siguiente tabla:

    Porcentaje de la extensin territorial

    Extensin territorial (en km2)

    100 % 2 000 000

    1 % 20 000

    18 % 360 000

    iV. En los datos del INEGI se encontr que el Distrito Federal tiene aproximadamente 8 800 000 habitantes.

    Del total de la poblacin del pas, cul es el porcentaje que representa el Distrito Federal?

    Para encontrar el porcentaje de habitantes que tiene el Distrito Federal respecto del total de la poblacin del pas, pueden usar un diagrama como el siguiente:

    110 000 000 ____________ = 8 800 000 Nmero de habitantes Nmero buscado Nmero de habitantes del pas del Distrito Federal

    q Q p I p

    100

    18

    MAT1 B3 S21.indd 52 8/25/07 3:25:19 PM

  • 53

    MATEMTICAS IA lo que llegamos

    Para saber el porcentaje que representan los 8 800 000 habitantes que hay en el Distrito Federal respecto del total de la poblacin,

    se puede hacer lo siguiente:

    Dividir 8 800 000 entre 110 000 000 q q I I p P p P p P p P p P p p = 0.08 = q I p p

    Entonces 8 800 000 habitantes representan 8% de los 110 000 000 de habitantes que hay en el pas.

    V. Completen la siguiente tabla para saber qu porcentaje representa el nmero de habitantes de los estados que en ella aparecen:

    Nombre del estado

    Nmero de habitantes que tiene

    Porcentaje que representa respecto del total de la poblacin

    Sonora 2 200 000

    Distrito Federal 8 800 000 8%

    Jalisco 6 600 000

    Tabla 3

    el iVAPara empezarEn Mxico se deben pagar impuestos al gobierno por algunos de los servicios y productos que se consumen. Por ejemplo, por el telfono y la gasolina se paga el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que es 15% del valor del producto o servicio. El total a pagar por un producto con IVA es: el precio del producto ms 15% del precio. Completen la siguiente tabla para calcular el total a pagar por algunos productos.

    Producto Precio del producto sin IVA (en pesos)IVA a cobrarse

    (en pesos)Cantidad total a pagar por el producto con IVA

    (en pesos)

    2 100

    500

    15

    45

    Tabla 1

    sesin 2

    MAT1 B3 S21.indd 53 8/25/07 3:25:21 PM

  • secuencia 21

    54

    a) Completen la siguiente tabla para encontrar el precio del taladro:

    Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje

    15% $451%

    100%

    Tabla 2

    Comparen sus resultados y comenten:

    Por qu el 100% del precio del taladro es el precio del taladro?

    b) En su cuaderno hagan una tabla como la anterior para encontrar el precio de la licuadora.

    Cuando se conoce un porcentaje del precio de un producto, se puede encontrar el precio o el 100% usando tablas. Por ejemplo, si se sabe que 17% del precio de una radiograba-dora son $85.00, se completa la siguiente tabla:

    Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje

    17 % $ 85.001 % $ 5.00

    100 % $ 500.00

    Entonces, el precio de la radiograbadora es de $500.00. ste es 100% del precio.

    Consideremos lo siguienteLa ilustracin que se muestra es una copia de un recibo telefnico en la que faltan algunas de las cantidades que se cobraron.

    MAT1 B3 S21.indd 54 8/25/07 3:25:22 PM

  • 55

    MATEMTICAS IEl subtotal del mes es el costo del servicio telefnico. En el recibo telefnico de la ilustracin anterior aparece la cantidad total a pagar, pero no cunto se est pagando de IVA. Respondan las siguientes preguntas:

    a) Cunto dinero se est cobrando por el IVA en el recibo telefnico de la ilustracin?

    b) Cunto es el subtotal del mes?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Un equipo de otra escuela hizo lo siguiente para responder las preguntas anteriores:

    Total a pagar con IVA ($2 300) = subtotal del mes + 15% del subtotal del mes = = 115% del subtotal del mes.

    Luego hicieron la siguiente tabla para encontrar el subtotal del mes y el IVA. Compltenla ustedes:

    Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje (en pesos)

    115% 2 300

    1% 20

    100%

    15%

    Comenten en grupo lo siguiente

    a) Ustedes usaron algn procedimiento parecido?

    b) Es cierto que el total a pagar es igual a 115% del subtotal del mes?

    Verifiquen los resultados de la tabla con los que ustedes obtuvieron.

    ii. Si de larga distancia nacional se est cobrando en total $230.00 incluyendo el IVA, cunto es de larga distancia nacional sin IVA?

    ste es el subtotal del mes

    ste es el IVA que se pag

    MAT1 B3 S21.indd 55 8/25/07 3:25:23 PM

  • secuencia 21

    56

    Producto Precio original del producto (pesos) DescuentoPrecio con el descuento

    (pesos)

    150 10%

    300 255

    22% 330

    sesin 3

    A lo que llegamosComo habrs notado en los problemas de esta sesin, no todos los porcentajes son menores a 100. En la vida diaria encontramos porcen-tajes mayores que 100%. Por ejemplo, cuando se paga un producto o servicio que tiene el impuesto del IVA, en realidad se est pagando el 115% del precio original del producto.

    Lo que aprendimos1. En su cuaderno resuelvan los siguientes problemas.

    a) Pedro compr una chamarra y le cobraron $575.00. Este precio ya tiene el IVA incluido. Cul es el precio de la chamarra sin el IVA?

    b) El precio de un pantaln es de $287.50 ya con el IVA incluido. Cul es el precio del pantaln sin el IVA?

    2. Los productos de la siguiente tabla tienen distintos porcentajes de descuento. Completen la tabla.

    MiscelneA de porcentAjesPara empezarLos migrantes

    Una fuente importante de dinero que ingresa a Mxico son las remesas. Las remesas son el dinero que envan los migrantes mexicanos a sus familiares o amigos y provienen principalmente de los Estados Unidos de Amrica.

    En la secuencia 10, La jaula de oro, del libro de Espaol I, volumen II estudiars algunos de los aspectos de los migrantes mexicanos que viven en los Estados Unidos de Amrica.

    MAT1 B3 S21.indd 56 8/25/07 3:25:25 PM

  • 57

    MATEMTICAS ILo que aprendimos1. Pedro es un migrante mexicano que vive en los Estados Unidos. Quiere mandar dine

    ro a sus familiares y encontr la siguiente informacin en un cartel:

    Existe una gran cantidad de opciones para realizar envos de dinero de Estados Unidos a Mxico. Como el costo y las caractersticas del envo varan segn la empresa que utilices, es muy importante comparar opciones antes de enviar tu dinero.

    Es comn que los envos de dinero se hagan por cantidades fijas de 300 dlares. En la tabla de abajo se compara la cantidad de dinero que entregan en Mxico algunas de las principales empresas al enviar 300 dlares desde Estados Unidos.

    Envos de 300 dlares

    Nombre de la empresaPesos entregados en Mxico por 300 dlares enviados desde EUA

    Northwestern Union 3 299.40

    Cash Gram 3 291.32

    Commission Express 3 290.84

    Cashcheck 3 213.52

    Notas:

    1. La cotizacin de referencia, al 25 de octubre de 2004, es de $11.70, es decir, 1 dlar equivale a $11.70.

    2. Como las condiciones y costos de cada empresa varan, se recomienda consultar directamente con las instituciones de su preferencia.

    3. Los envos estn estandarizados en 300 usd por envo, es decir, hay que enviar exactamente esta cantidad de dinero en cada envo.

    Para calcular cunto le cobra Northwestern Union por el envo, Pedro hizo lo siguiente:

    300 dlares $11.70 = $3 510 $3 510 $3 299.40 = $2 10.60

    Contesten:

    a) Qu porcentaje del dinero enviado cobra esta empresa?

    MAT1 B3 S21.indd 57 8/25/07 3:25:25 PM

  • secuencia 21

    58

    b) Completen la siguiente tabla para determinar el porcentaje del dinero enviado que cobran estas empresas.

    Nombre de la empresa Pesos recibidos por 300 dlares Porcentaje que cobra

    la empresa

    Northwestern Union 3 299.40

    Cash Gram 3 291.32

    Commission Express 3 290.84

    Cash-check 3 213.52

    c) Cul es la empresa que cobra menor porcentaje?

    2. Un productor de pias vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se venden en $4.50 el kilogramo.

    a) Si el kilogramo de pia se hubiera vendido en el super

    mercado al doble de su precio original (es decir, a

    $1.50), en qu porcentaje se habra incrementado el precio del kilogramo de pias?

    b) Si el kilogramo de pia se hubiera vendido en el super

    mercado al triple de su precio original (es decir, a

    $2.25), en qu porcentaje se habra incrementado el precio del kilogramo de pias?

    MAT1 B3 S21.indd 58 8/25/07 3:25:26 PM

  • 59

    MATEMTICAS ICompleten la siguiente tabla para encontrar el porcentaje en que se incrementar el precio de las pias.

    Precio al que el supermercado vende el

    kilogramo de pia

    Porcentaje de incremento en el precio respecto al precio original

    $1.50

    $3.00

    $4.50

    3. Un productor de melones vendi su cosecha al distribuidor en $1.40 el kilogramo. El distribuidor vendi el kilogramo de meln en $350% de su precio original. En cunto se vendi el kilogramo?

    a) Si 11% del precio de un aparato telefnico es $27.50, cul es el precio del aparato telefnico?

    b) Si 25% del precio de un libro es $37.50, cul es el precio del libro?

    Para saber msSobre la poblacin, las extensiones territoriales y algunas otras caractersticas de los estados de la Repblica consulta:http://www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 28 de julio de 2006]. Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    Sobre los envos de dinero de los Estados Unidos de Amrica a la Repblica Mexicana consulta:http://www.condusef.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Informacin sobre otros sectores centros cambiarios. Comisin Nacional para la Proteccin y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros. (Condusef).

    Debes tomar en cuenta la comisin y el tipo de cambio que cada compaa te ofrece; mientras ms elevada sea la comisin y ms bajo el tipo de cambio, menor ser la cantidad de dinero que reciban los beneficiarios.

    MAT1 B3 S21.indd 59 8/25/07 3:25:28 PM

  • secuencia 22

    60

    En esta secuencia interpretarn y comunicarn informacin mediante la lectura, descripcin y construccin de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

    Quin lleg primero? Para empezarUn recorrido por el origen de la estadstica

    Para presentar un nmero pequeo de datos basta con enunciarlos o enumerarlos orde-nadamente. Por ejemplo, las calificaciones de un alumno en los 5 bimestres de Matem-ticas son: 10.0, 9.0, 9.0, 8.0, 8.0.Sin embargo, cuando el nmero de datos es grande, conviene recurrir a una tabla de frecuencias para poder hacer un anlisis ms completo o para tener una idea ms clara de la informacin obtenida.

    Consideremos lo siguienteLos alumnos de primer grado de una escuela secundaria participaron en una competen-cia de atletismo.

    A continuacin se presentan los tiempos, en segundos, que hicieron 30 alumnos en la carrera de 1 000 metros y el grupo al que pertenece cada uno.

    320 (1C) 350 (1B) 330 (1A) 300 (1C) 340 (1B)330 (1A) 340 (1C) 360 (1B) 320 (1A) 330 (1C) 300 (1B) 320 (1A) 350 (1C) 330 (1B) 340 (1C)340 (1B) 330 (1B) 340 (1A) 340 (1C) 320 (1A)320 (1A) 340 (1A) 320 (1C) 360 (1A) 300 (1B)330 (1B) 360 (1C) 340 (1B) 350 (1C) 340 (1A)

    a) Cunto tiempo registr el ganador de la carrera?

    b) Qu diferencia de tiempo hay entre el primero y el ltimo lugar de la carrera?

    c) Cul es el tiempo en el que se registr el mayor nmero de alumnos que termi-

    naron la competencia?

    d) Considerando los resultados por grupo, en cul hubo ms alumnos que termina-

    ron antes de 340 segundos?

    sesin 1

    Tablas de frecuencia

    MAT1 B3 S22.indd 60 8/25/07 3:25:55 PM

  • 61

    MATEMTICAS IComenten qu grupo consideran que tuvo mejor desempeo en la competencia y por qu. Adems, digan cmo organizaron los datos para responder las preguntas.

    A cuntos minutos equivale el tiempo registrado por el primer lugar?

    Manos a la obrai. Una forma de organizar y presentar los resultados de la competencia es mediante

    una tabla de frecuencias. Contesten las siguientes preguntas para construirla.

    a) A qu se refieren los datos que aparecen en el listado anterior?

    b) Cuntos grupos participaron en la competencia?

    c) Cules fueron esos grupos?

    d) Cuntos tiempos diferentes se registraron en la competencia?

    e) Cules fueron esos tiempos?

    f) Completen la siguiente tabla de frecuencias.

    Recuerden que:

    La frecuencia es el

    nmero de veces

    que aparece cada

    valor.

    Tabla de frecuencias del tiempo realizado en la carrera de 1 000 metros por grupo

    Tiempos

    Grupos

    Total1 A 1 B 1 C

    Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia

    300 0

    II 2

    340 Ill 3 9

    350

    3

    MAT1 B3 S22.indd 61 8/25/07 3:25:55 PM

  • secuencia 22

    62

    ii. Usen la informacin que proporciona la tabla para contestar las siguientes preguntas.

    a) Cul fue el mejor tiempo que se registr en el grupo 1 A en la carrera? A cuntos minutos corresponde ese tiempo?

    b) Cuntos alumnos de 1 A hicieron menos de 340 segundos?

    c) Cuntos alumnos de 1 A llegaron a la meta en 330 segundos?

    d) Cuntos del 1 B? Y cuntos del 1 C?e) Considerando los resultados de los tres grupos, cul es el tiempo registrado en

    que ms alumnos llegaron juntos a la meta? Compara ese

    tiempo con el ms frecuente por grupo, en qu caso o casos fue diferente?

    iii. Consideren las siguientes afirmaciones y marquen el cuadro de la V si es verdadera o el de la F si es falsa, a partir de la informacin que proporciona la tabla de fre-cuencias.

    V F

    En el grupo de 1 B hubo ms alumnos que hicieron 330 que 340 segundos.

    Hay ms alumnos de 1 C que de 1 A que hicieron menos de 320 segundos.

    En total, hay ms alumnos que lograron llegar en pri-mer lugar que en ltimo lugar.

    A lo que llegamosUna tabla de frecuencias es una forma de resumir datos. En ella se presentan en orden creciente los valores observados, as como sus respectivas frecuencias.

    El organizar los datos en una tabla de frecuencias permite contar con una visin global e inmediata del comportamiento de la situacin que se analiza.

    Por ejemplo, en la tabla se observa fcilmente cuntos alumnos logra-ron el primer lugar y a qu grupo pertenecen, lo cual no ocurre con el listado de nmeros.

    La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual que el total de los datos considerados, es decir, que la poblacin, en este caso los 30 alumnos que participaron en la competencia.

    MAT1 B3 S22.indd 62 8/25/07 3:25:56 PM

  • 63

    MATEMTICAS ILo que aprendimosLa edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunin son los siguientes:

    38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)

    15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)

    20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)

    23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)

    28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)

    45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)

    33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)

    52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)

    15 (M) 8 (M)

    a) En su cuaderno, organicen los datos en una tabla de frecuencias. Decidan cul informacin va en las columnas y cul en los renglones. Pnganle el ttulo a la tabla y a cada una de las columnas.

    b) Cuntas personas asistieron a la reunin?

    c) Qu hubo ms, hombres o mujeres?

    d) De las personas que asistieron, cul fue la edad ms frecuente?

    e) Cuntas personas del grupo tenan de 20 a 29 aos? Y de ese gru-po de edades, qu hubo ms, hombres o mujeres?

    f) Cuntas personas eran mujeres y tenan menos de 40 aos?

    MAT1 B3 S22.indd 63 8/25/07 3:25:57 PM

  • secuencia 22

    64

    Tabla de frecuencias relaTivasPara empezarEn la sesin anterior construiste la tabla de frecuencias de la siguiente situacin.

    La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunin son las siguientes:

    38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)15 (M) 8 (M)

    Sin embargo, esta informacin se puede presentar de otra manera, en la que las edades se agrupan en intervalos y se dan las frecuencias absoluta y relativa y el porcentaje de cada intervalo.

    Consideremos lo siguienteEn las siguientes tablas faltan algunos datos, realicen los clculos necesarios y completen:

    edad(aos)

    Hombres

    frecuenciafrecuencia relativa

    porcentajefraccin decimal

    0-9 3 s E t 12%

    10-19 4 s R t 16%

    20-29 5 s T t 0.20 20%

    30-39 4 s R t 16%

    40-49 7 sU t 28%

    50-59 1 sQ t 0.04 4%

    60-69 1 sQ t 4%

    Total 25 wW tT 1 100%

    sesin 2

    MAT1 B3 S22.indd 64 8/25/07 3:25:58 PM

  • 65

    MATEMTICAS Iedad

    (aos)

    mujeres

    frecuenciafrecuencia relativa

    porcentajefraccin decimal

    0-9 4

    10-19 16 %

    20-29 6

    30-39

    40-49 s R t 0.16

    50-59 8 %

    60-69 sQ t

    Total 100 %

    a) Cuntas personas son menores de 20 aos?

    b) Qu significa que la frecuencia relativa de hombres entre 20 y 29 aos sea sGt ?

    c) De las mujeres que asistieron a la reunin, qu porcentaje tiene entre 30 y 39

    aos de edad?

    d) Qu porcentaje de hombres y mujeres tiene 50 aos o ms?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Usen la informacin que proporcionan las tablas para contestar

    las siguientes preguntas.

    a) Cuntos intervalos de edades se formaron?

    b) Cuntos hombres hay en la reunin? Y cuntas mujeres?

    c) Cuntos de los hombres que estn en la reunin tienen entre 40 y 49 aos

    de edad?

    d) Qu parte del total de hombres tiene entre 40 y 49 aos de edad?

    e) Uno de los valores de la tabla es sGt , qu representa el nmero 5? Y el 25?

    Recuerden que:

    Si divides la frecuencia entre el

    nmero total de observaciones,

    obtienes la frecuencia relativa.

    MAT1 B3 S22.indd 65 8/25/07 3:25:58 PM

  • secuencia 22

    66

    A lo que llegamosA la fraccin sGt se le llama frecuencia relativa e indica la parte del total de la poblacin que tiene un mismo atributo o caracterstica.

    f) De las mujeres que haba en la reunin, cul es la frecuencia relativa de las que

    tienen entre 30 y 39 aos de edad?

    g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 aos es sFt . Esta frac-cin expresada como decimal es 0.16, qu significa este decimal en esta si-tuacin?

    h) De qu manera expresaran como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?

    i) Cunto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-

    tieron a la reunin?

    j) En dnde hay ms mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 aos o en las 4 mujeres de 40 a 49?

    A lo que llegamosLa frecuencia relativa tambin puede expresarse en forma de nmero decimal y porcentaje.

    ii. Utilicen la informacin que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.

    edad(aos)

    Total hombres y mujeres

    frecuenciafrecuencia relativa

    porcentajefraccin decimal

    0-9

    10-19

    20-29

    30-39

    40-49

    50-59

    60-69

    Total 50 100%

    MAT1 B3 S22.indd 66 8/25/07 3:25:59 PM

  • 67

    MATEMTICAS Ia) Qu porcentaje de personas que tienen entre 30 y 39 aos de edad fueron a la

    reunin?

    b) De las personas de entre 30 y 39 aos de edad que haba en la reunin, son ms

    hombres o ms mujeres? En qu tablas encuentran esta

    informacin?

    c) Cul es la suma de frecuencias relativas de hombres y mujeres que asistieron a la

    reunin?

    d) En total, cuntas personas menores de 20 aos asistieron a la reunin?

    Qu porcentaje representan?

    A lo llegamosCuando se trata de presentar informacin estadstica, las tablas que generalmente se utilizan son de frecuencias relativas con porcentaje. La frecuencia relativa de un valor observado es el cociente entre su frecuencia y el total de observaciones realizadas. El porcentaje de veces que aparece un determinado valor observado se obtiene multi-plicando su frecuencia relativa por 100.La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos u observaciones.

    La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. La suma de los porcentajes es igual a 100.

    Lo que aprendimosCompleta la tabla de frecuencias relativas y de porcentaje para los datos de la carrera de 1 000 metros, presentada en la sesin 1 de esta secuencia.

    Tiempo registrado en segundos Frecuencia

    Frecuencia relativa Porcentaje %Fraccin Decimal

    300 3320 6330 6340 9350 3360 3Total 30

    MAT1 B3 S22.indd 67 8/25/07 3:26:00 PM

  • secuencia 22

    68

    a) A qu tiempo registrado corresponden cada una de las siguientes frecuencias relativas?

    30% 0.3 0.1 e E p

    b) Cul es la frecuencia relativa de alumnos que llegaron a la meta antes de 330 segundos?

    c) Qu porcentaje de alumnos que participaron en la carrera hicieron menos de 320 segundos?

    la Tabla represenTaPara empezarComo habrs observado, en tu clase de Geografa de Mxico y del mundo, es frecuente que se presente informacin en tablas; por ejemplo, en la secuencia 7 cmo es y dn-de est la poblacin?

    sesin 3

    Matrcula en Educacin Bsica por nivel educativo y por sexo en los aos 1992 y 2002

    Ao 1992 2002Nivel educativo y

    sexo Total Porcentaje Total Porcentaje

    Preescolar 2 858 890 100% 3 635 903 100%Hombres 1 439 632 50.35% 1 836 121 51%Mujeres 1 419 258 1 799 782 49%Primaria 14 425 669 100% 14 857 191 100%Hombres 7 429 429 51.50% 7 604 635 51.18%Mujeres 6 996 240 48.50% 7 252 556 48.82%

    Secundaria 4 203 098 100% 5 660 070 100%Hombres 2 152 648 51.22% 2 862 463Mujeres 2 050 450 2 797 607 49.43%

    Fuente: SEP, Estadstica Bsica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdireccin de Anlisis Estadstico y Presupuestal 2003.

    Lo que aprendimos1. La matrcula en educacin bsica se refiere al

    nmero de alumnos inscritos en instituciones educativas de preescolar, primaria y secundaria en un ciclo escolar determinado.

    Analicen la informacin que presenta la siguiente ta-bla y compltenla. Pueden utilizar una calculadora.

    MAT1 B3 S22.indd 68 8/25/07 3:26:01 PM

  • 69

    MATEMTICAS Ia) Qu informacin les muestra la tabla?

    b) A qu aos corresponde la informacin que presenta la tabla?

    c) En el rengln que corresponde al nivel de Preescolar aparece dos veces la expre-

    sin 100%, qu significa en cada caso?

    d) En cul de los tres niveles es mayor la matrcula?

    e) De 1992 a 2002 aument la matrcula en todos los niveles educativos. Cules fueron los incrementos en cada uno de los tres niveles educativos? Escrbelos en tu cuaderno.

    f) En cul de los tres niveles hubo un menor aumento?

    g) Y en cul hubo un mayor aumento?

    2. Con la informacin que presenta la tabla anterior, completen la siguiente tabla para que muestre la matrcula de la educacin bsica por sexo en los aos 1992 y 2002.

    Ao 1992 2002

    Nivel educativo y sexo Total Porcentaje Total Porcentaje

    Educacin Bsica

    Hombres

    Mujeres

    a) Cmo obtienen el total de la matrcula para el ao

    1992?

    b) Y para el ao 2002?

    c) De 1992 a 2002, cul de los porcentajes de matrcula

    aument, el de los hombres o el de las mujeres?

    MAT1 B3 S22.indd 69 8/25/07 3:26:03 PM

  • secuencia 22

    70

    3. En el examen que se aplic en una escuela aprobaron 90 alumnos.

    De acuerdo con esta informacin, slo una de las siguientes afirmaciones es vlida. Mrquenla con una

    El examen se aplic a 100 alumnos.

    La mayora de los alumnos aprob el examen.

    El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.

    El nmero de alumnos reprobados fue 10.

    4. En el examen que se aplic en una escuela la frecuencia relativa de los alumnos apro-bados es q O p Pp .De acuerdo con esta informacin, cules de las siguientes afirmaciones son vlidas? Mrquenlas con

    El examen se aplic a 100 alumnos.

    La mayora de los alumnos aprob el examen.

    El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.

    El nmero de alumnos reprobados fue 10.

    5. Completen la siguiente tabla.

    Intervalo FrecuenciaFrecuencia relativa

    PorcentajeFraccin Decimal

    0-9 y Y p

    10-19 8

    20-29 6

    30-39 8

    40-49 4

    50-59 7

    60-69 3

    70-79 10

    80-89 5

    90-99 5

    Total 60

    MAT1 B3 S22.indd 70 8/25/07 3:26:03 PM

  • 71

    MATEMTICAS Ia) A cul de las siguientes tres situaciones puede corresponder esta tabla? Mrquenla

    con una

    Nmero de saltos que pueden dar en 10 segundos un conjunto de 60 personas.

    Nmero de pulsaciones por minuto que registr un conjunto de personas.

    Nmero de clientes que llegan a una tienda en ciertos intervalos de tiempo.

    De acuerdo con el contexto de la situacin que eligieron, respondan las siguientes preguntas

    b) Qu representa el intervalo 40-49?

    c) Y el valor 10 de la columna de frecuencias?

    d) Tiene sentido el valor 15.5? Por qu?

    e) Qu representa la fraccin hHp de la columna de frecuencia relativa?

    f) Qu significa el nmero 5 de la columna de porcentajes?

    Para saber msSobre informacin que ofrece el INEGI para la utilizacin de tablas de frecuencia consulten: www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    MAT1 B3 S22.indd 71 8/25/07 3:26:04 PM

  • secuencia 23

    72

    En esta secuencia aprenders a interpretar informacin representada en grficas de barras y circulares de frecuencias absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. Tambin vers cmo comunicar informacin proporcionada por estudios sencillos, eligiendo la forma de representacin ms adecuada.

    Qu dicen las grficas Para empezarDos de las maneras ms utilizadas para presentar informacin son la grfica de barras y la grfica circular. Debido a su forma sencilla, resultan muy tiles para representar los datos obtenidos en encuestas y estudios sobre diversos temas.

    Consideremos lo siguienteSegn el XII Censo General de Poblacin y Vivienda, la poblacin de Mxico en el ao 2000 era de 99 722 200 habitantes, de los cuales 1 795 000 presentaban al menos un tipo de discapacidad. Dicho censo consider 5 tipos de discapacidad. La siguiente grfica muestra la cantidad de personas que padecen cada tipo de discapacidad.

    a) Cul de las siguientes preguntas puede contestarse a partir de la informacin que proporciona la grfica? Mrquenla con una

    Cuntos nios padecen la discapacidad motriz?

    Cuntas personas tienen discapacidad auditiva?

    sesin 1

    Grficas de barras y circulares

    Fuente: INEGI, XII Censo General de Poblacin y Vivienda 2000.

    Poblacin de discapacitados en Mxico

    N

    mer

    o d

    e p

    erso

    nas

    d

    isca

    pac

    itad

    as (e

    n m

    iles)

    1000

    800

    600

    400

    200

    0Motriz Visual Lenguaje Auditiva Mental

    Tipo de discapacidad

    MAT1 B3 S23.indd 72 8/25/07 3:26:31 PM

  • 73

    MATEMTICAS Ib) Escriban tres preguntas que se puedan contestar con la informacin que proporciona

    la grfica.

    Pregunta 1:

    Pregunta 2:

    Pregunta 3: Lean al grupo una de las preguntas que escribieron y pidan que se las respondan.

    Manos a la obrai. Observen la grfica anterior y contesten las siguientes preguntas.

    a) Cules son los tipos de discapacidad que reporta el XII Censo General de Pobla-

    cin y Vivienda?

    b) Cul es la discapacidad ms frecuente en Mxico? Y la

    menos frecuente?

    c) Un alumno dice que en Mxico hay 800 personas con discapacidad motriz. Es

    esto cierto? Por qu?

    d) En la grfica hay cuatro tipos de discapacidades con al menos 300 000 personas, cules son?

    e) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la informacin que presenta la grfica de barras.

    Tipo de discapacidad Nmero de personas

    Total

    MAT1 B3 S23.indd 73 8/25/07 3:26:32 PM

  • secuencia 23

    74

    f) El nmero total de personas discapacitadas que obtuvieron en la tabla es igual al

    que seala el INEGI de 1 795 000 personas?

    g) Cul de las siguientes afirmaciones justifica esta situacin? Subryenla.

    Existe un error en los datos que se recolectaron.

    El nmero de personas con discapacidad aumenta conforme a la edad.

    Una persona puede tener ms de un tipo de discapacidad.

    ii. La siguiente grfica muestra, segn el grupo de edad, los porcentajes de personas en Mxico que tienen discapacidad motriz.

    a) Cuntas personas tienen discapacidad motriz en Mxico?

    b) En cules grupos de edad se manifiesta ms esta discapacidad?

    Un alumno plante la siguiente pregunta: Habr la misma cantidad de nios que de jvenes con discapacidad motriz?

    c) Podrn contestar esta pregunta con la informacin que proporciona la grfica?

    Cmo podran saberlo?

    Distribucin de la poblacin con discapacidad motrizpor grupo de edad en porcentaje

    Nios10 %

    Adultos30 %

    Jvenes10 %

    Adultos mayores50 %

    Nmero total de personas con discapacidad motriz: 800 000Fuente: INEGI, XII Censo General de Poblacin y Vivienda 2000.

    MAT1 B3 S23.indd 74 8/25/07 3:26:34 PM

  • 75

    MATEMTICAS Id) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la informacin que presenta

    la grfica circular.

    Grupo de edad Nmero de personas Porcentaje

    Total 800 000 100%

    A lo que llegamosLas grficas de barras y las grficas circulares nos permiten compa-rar la forma en que se distribuyen los atributos o caractersticas en una cierta poblacin o muestra, ya sea que los datos se expresen mediante frecuencias absolutas o relativas.

    En el caso de que los datos de la grfica estn expresados como frecuencias relativas y se conozca el total de la poblacin, como es el caso de la grfica circular anterior, es posible determinar con exacti-tud la frecuencia con que se observa cada uno de los atributos en la poblacin.

    Lo que aprendimosLa siguiente grfica presenta el resultado de una encuesta realizada a un grupo de 200 personas sobre su nivel mximo de estudios.

    Porc

    enta

    je

    Nivel mximo de estudios

    Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura

    50

    40

    30

    20

    10

    0

    MAT1 B3 S23.indd 75 8/25/07 3:26:35 PM

  • secuencia 23

    76

    a) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias a partir de la informacin que proporciona la grfica.

    b) Segn los datos registrados en la grfica, cul de las siguientes afirmaciones es correcta? Subryala con una lnea roja.

    Un total de 10 personas tienen licenciatura como nivel mximo de estudios. De las personas encuestadas 30 tenan, como nivel mximo de estudios, secun-

    daria o bachillerato.

    El 45% de las personas entrevistadas slo terminaron la primaria. Menos de 20% de las personas encuestadas estudiaron hasta bachillerato.

    grficas de barrasPara empezarExisten diversas situaciones en las que se requiere comparar valores, por ejemplo, cuando se trata de definir a un ganador o establecer el valor ms frecuente.

    Consideremos lo siguienteUna agencia de automviles da un bono mensual al vendedor que logre hacer mayores ventas. Para motivar a los vendedores, se les muestra el nmero de autos que llevan vendidos y el monto de sus ventas. En cierto mes se present la siguiente grfica:

    El gerente le dijo a Gustavo que el importe de las ventas de otro vendedor es el doble de las que hizo l.

    a) En qu creen que se basa el gerente para hacer esa afirmacin?

    b) Es correcta? Por qu?

    Comparen sus respuestas.

    sesin 2

    1 200

    800

    400Ricardo Fernando Gustavo Antonio

    Vendedores

    Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembre

    Ven

    tas

    (mile

    s d

    e p

    eso

    s )

    MAT1 B3 S23.indd 76 8/25/07 3:26:35 PM

  • 77

    MATEMTICAS IManos a la obrai. Con la informacin que proporciona la grfica, respondan las siguientes preguntas:

    a) Cul es el importe de las ventas de autos que hizo Gustavo?

    b) Y las de Ricardo?

    c) Cuntas veces ms grande es el importe de las ventas de Ricardo que el importe

    de las ventas de Gustavo?

    d) Cuntas veces ms alta es la barra que representa las ventas de Ricardo que la

    barra que representa las ventas de Gustavo?

    e) Si el importe de las ventas de un quinto vendedor fuera de $200 000, qu cam-bios habra que hacer en la grfica para representarla?

    A lo que llegamosEn una grfica de barras, la altura de cada barra debe ser proporcional a la cantidad que representa.

    Observa que en la grfica anterior esto no ocurre. Para corregirla hay que considerar el eje de las ventas como una recta numrica que va de 0 a un valor mximo adecuado a la situacin, y dividirla en un nmero conveniente de partes iguales.

    ii. Completen la siguiente grfica de modo que incluya la venta del quinto vendedor.

    1 400

    400

    0Ricardo Fernando Gustavo Antonio

    Vendedores

    Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembre

    Ven

    ta

    (mile

    s d

    e p

    eso

    s)

    1 200

    1 000

    800

    600

    200

    Otro vendedor

    MAT1 B3 S23.indd 77 8/25/07 3:26:36 PM

  • secuencia 23

    78

    a) A partir de qu valor empieza la escala que representa el importe de las ventas?

    b) Cul es el mximo valor que est representado en esa escala?

    c) En cuntas partes est dividida? Qu valor representa cada

    parte?

    d) La altura que representa la barra de Ricardo mide el doble de la de Gustavo?

    Cunto debi haber vendido Ricardo para que esto sucediera?

    A lo que llegamosLa grfica de barras o diagrama de barras facilita la comparacin de datos, al interpretar la altura o la longitud de las barras.

    Cmo trazar una grfica de barras:

    Determinen el nmero de barras que necesitarn en el eje x (horizontal) para representar los datos, de acuerdo con el nmero de atributos o cualidades que se observan.

    A partir del origen, definan la escala en el eje y (vertical) considerando los valores mnimo y mximo que se proporcionan. Marquen la escala y anoten las unidades.

    Definan el ancho de las barras y el espacio que se dejar entre ellas. Marquen los anchos y rotulen las barras. Con la escala del eje y como referencia, tracen la altura de las barras.

    Asignen un ttulo a la grfica.

    Lo que aprendimos1. Se le pregunt a un grupo de personas a cul de los siguientes personajes les gustara

    ms haber conocido. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta:

    PersonajeNmero de votos

    Adultos Nios

    Benito Jurez 16 7

    Miguel Hidalgo 22 18

    Emiliano Zapata 24 31

    Francisco I. Madero 9 15

    MAT1 B3 S23.indd 78 8/25/07 3:26:37 PM

  • 79

    MATEMTICAS IUtiliza la informacin que presenta la tabla anterior para completar la siguiente grfica de barras.

    2. En la sesin 2 de la secuencia 22, aprendiste a construir las tablas de frecuencia. Uti-liza la informacin de la tabla que presenta los resultados de la carrera de 1 000 m para construir, en tu cuaderno, la grfica de barras que le corresponde.

    a) Comprala con las que elaboren tus compaeros. Eligieron el mismo tipo de escala?

    Por qu?

    b) Qu ttulo y etiquetas le pusieron?

    3. En la secuencia 10 La jaula de oro, de tu libro de Espaol I, volumen II estudiaste la migracin a los Estados Unidos. Adems, realizaste una encuesta.

    a) Elabora una grfica de barras con los datos que obtuviste en la pregunta: Cul es la actividad que desempean en los Estados Unidos?

    b) Qu escala utilizars?

    20

    N

    mer

    o d

    e vo

    tos

    10

    Benito Jurez Miguel Hidalgo Emiliano Zapata Francisco I. Madero

    Adultos

    MAT1 B3 S23.indd 79 8/25/07 3:26:37 PM

  • secuencia 23

    80

    grfica circularPara empezarDurante el mes de septiembre de 2005, se llev a cabo en Per el Campeonato Mundial Juvenil Sub 17 de la FIFA, y el equipo mexicano result campen. En esta sesin analiza-rs y presentars estadsticamente algunas cifras relacionadas con este tema.

    Consideremos lo siguienteUna revista deportiva present la siguiente informacin sobre los jvenes futbolistas que se preparan para el prximo campeonato mundial Sub 17:

    a) De los 740 jugadores registrados, cuntos son delanteros?

    b) Y cuntos son porteros?

    c) Hay 37 jugadores delanteros zurdos. Si se requiere que en la grfica se distingan los delanteros diestros de los zurdos, qu cambio debe hacerse en la grfica? Con-testen en su cuaderno.

    sesin 3

    Manos a la obrai. Observen la grfica circular anterior y contesten las siguientes preguntas:

    a) Qu informacin proporciona?

    b) Cul es la posicin en la que hay ms jugadores?

    c) Qu fraccin de la grfica representa el porcentaje de defensas?

    d) Cuntos jugadores defensas hay? Qu fraccin representan

    del total de jugadores registrados?

    e) Qu porcentaje representan los delanteros zurdos del total de jugadores registra-

    dos?

    f) Qu porcentaje le correspondera a los delanteros diestros?

    g) Cunto es la suma de los porcentajes de delanteros zurdos y delanteros diestros?

    h) Cmo representaran el porcentaje de delanteros zurdos y el de delanteros dies-

    tros en la grfica?

    Tercera divisinprofesional de futbol.Relacin de menoresnacidos en 1990 o ms, por posiciones, al 7 de octubre de 2005.

    740 jugadoresregistrados.

    Fuente: Revista Futbol Total, 2005.

    Medios 35%

    Delanteros 30%

    Defensas 25%

    Porteros 10%

    Comparen sus respuestas.

    MAT1 B3 S23.indd 80 8/25/07 3:26:39 PM

  • 81

    MATEMTICAS IA lo que llegamosA la grfica circular se le llama tambin de pastel o diagrama de sectores.

    Cmo trazar una grfica circular:

    Deporte favorito Frecuencia

    Basquetbol 10

    Futbol 20

    Natacin 4

    Volibol 6

    Total de alumnos 40

    Se calcula la fraccin que corresponde a cada una de las preferencias por cada depor-te. Por ejemplo, el basquetbol representa rQ Pp , o sea rQ de los votos totales.

    Se multiplica la fraccin por los 360 que corresponden a todo el crculo. Por ejemplo, rQ 360 = 90. sta es la medida del ngulo central que corresponde a la preferencia de basquetbol. Con este ngulo (90) se traza el sector circular que representa la cantidad de personas a las que les gusta practicar el basquetbol.

    As, se obtiene el ngulo para cada uno de los dems datos, como se muestra en la tabla:

    DeporteCantidad de personas

    que lo prefierenFrecuencia relativa

    (fraccin del crculo)ngulo central de:

    Basquetbol 10 rQ Pp = rQ rQ 360 = 90

    Futbol 20 rW Pp = rW rW 360 = 180

    Natacin 4 rFp = qAp qAp 360 = 36

    Volibol 6 rHp = wDp wDp 360 = 54

    Total 40 rR pP = 1 1 360 = 360

    Se traza el crculo y se marcan los ngulos centrales.

    Se nombran las partes de la grfica.

    Se anota el ttulo de la grfica circular.

    Preferencias de deporte que les gusta practicar

    a los alumnos de 1

    Basquetbol 25%

    Futbol 50%Natacin 10%

    Volibol 15%

    MAT1 B3 S23.indd 81 8/25/07 3:26:40 PM

  • secuencia 23

    82

    El rating en la televisin

    La medida que se utiliza para conocer la aceptacin de un programa de televisin por parte de los televidentes se llama rating, y existen diferentes formas de medirlo. Con esta medida las televisoras definen, entre otras cosas, el horario de transmisin de los progra-mas y su duracin.

    Lo que aprendimos1. En la sesin 3 de la secuencia 22, Tablas de frecuencia absoluta y relativa, comple-

    taste la siguiente tabla.

    Matrcula en Educacin Bsica por nivel educativo y por sexo (1992 y 2002)

    Ao 1992 2002

    Nivel educativo Total Porcentaje Total Porcentaje

    Preescolar 2 858 890 3 635 903 Primaria 14 425 669 14 857 191

    Secundaria 4 203 098 5 660 070 Fuente: SEP, Estadstica Bsica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdireccin de Anlisis Estadstico y Presupuestal 2003.

    Balada

    Rock

    Ranchera

    Cumbia

    Clsica

    ii. Se aplic una encuesta a un grupo de alumnos, y con los datos obtenidos se elabor la siguiente grfica.

    a) Qu tipo de msica es el que ms le gusta a los alumnos?

    b) Qu fraccin de la grfica representa?

    c) Expresado en porcentaje, cunto le corresponde?

    d) A qu porcentaje de los alumnos de primero les gusta el rock?

    e) Qu relacin encuentran entre los alumnos a los que les gusta

    escuchar la msica ranchera y a los que les gusta la cumbia?

    f) Qu fraccin de la grfica representa a los que prefieren msi-

    ca clsica, si se sabe que es la mitad de los que prefieren msica

    ranchera?

    a) Anota en la tabla los porcentajes que corresponden a cada ao.

    b) Construye en tu cuaderno las grficas circulares que representan la informacin de la tabla.

    Tipo de msica que prefieren los alumnos de primero.

    MAT1 B3 S23.indd 82 8/25/07 3:26:42 PM

  • 83

    MATEMTICAS I2. En la secuencia 14, La TV Ventana al mundo o caja idiota"?, de su libro de Espaol I,

    volumen II realizaron una encuesta sobre el impacto de la televisin en su familia; posteriormente, registraron los datos que reunieron todos los alumnos del grupo en una tabla. Ahora, en su cuaderno debern utilizar esa informacin para presentarla en grficas de barras o circulares, segn sea conveniente para dar respuesta a las si-guientes preguntas.

    a) Cuntas horas permanece encendido el televisor durante el da?

    b) En qu tipo de grfico es ms conveniente presentar esta informacin?

    c) Qu opinan otros compaeros? Si representaron de manera diferente la informa-cin, anoten por qu.

    3. Una forma de recolectar datos es apli-cando una encuesta.

    a) Utilicen las siguientes preguntas pa-ra encuestar a un grupo de personas (pueden ser sus compaeros de gru-po, todos los estudiantes de su es-cuela o algunas de las personas de su comunidad).

    b) Una vez que hayan recopilado los datos, cada equipo deber presen-tar en una grfica de barras o circu-lar los resultados de una de las pre-guntas de la encuesta. Si hay ms de cuatro equipos en el grupo, no importa que se presenten ms de dos grficas de la misma pregunta. Comprenlas y determinen qu gr-fica es mejor y est ms completa.

    Para saber ms

    Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre informacin para conocer otras estadsticas de los jugadores de futbol, consulten: http://www.terceradivision.com.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    Queremos conocer tus intereses

    Encuesta de entretenimientoContesten marcando una opcin en cada pregunta.

    1 Cul es el tipo de msica que te gusta escuchar?a. gruperab. rockc. cumbiad. clsicae. balada

    2 Cul es el tipo de programa que te gusta ver en la televisin?a. noticiasb. comediasc. caricaturasd. musicalese. concursos

    3 Cul es el deporte que te gusta practicar?a. basquetbolb. futbolc. natacind. volibol

    4 Cul es el tipo de pelcula que te gusta ver?a. suspensob. terrorc. comediad. dramae. infantil

    MAT1 B3 S23.indd 83 8/25/07 3:26:43 PM

  • secuencia 24

    84

    En esta secuencia enumerars los posibles resultados de una expe-riencia aleatoria y utilizars la escala de la probabilidad entre 0 y 1 expresada en forma de fraccin, decimal y porcentaje. Adems, esta-blecers cul de dos o ms eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificarn su respuesta.

    Probabilidad frecuencial Para empezarLa mayora de las personas nos hemos enfrentado a situaciones en las que hay ms de una alternativa y, sin tener preferencia por alguna, hemos dejado que la suerte lo decida. En matemticas, decimos que es una situacin de azar o aleatoria, y aunque no podemos asegurar cul ser su resultado, s podemos determinar los posibles resultados.

    Consideremos lo siguienteSi lanzas 10 veces una moneda al aire, qu crees que suceda? Caern ms guilas o ms

    soles?

    Manos a la obrai. Cada integrante del equipo, por turno, lanza una moneda 10 veces al aire. Registren

    en la siguiente tabla los resultados de los tres integrantes. Tachen a si cae guila y s si cae sol.

    sesin 1

    JugadorNmero de volado Total por

    resultado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Jugador 1A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Jugador 2A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Jugador 3A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Primer juego

    Nociones de probabilidad

    MAT1 B3 S24.indd 84 8/25/07 3:27:00 PM

  • 85

    MATEMTICAS IContesten las siguientes preguntas

    a) Cuntas guilas cayeron por jugador?

    b) Cuntos soles por jugador?

    c) Si vuelven a jugar, creen que obtendrn los mismos resultados?

    d) Realicen el juego dos veces ms y marquen los resultados de cada torneo.

    JugadorNmero de volado Total por

    resultado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Jugador 1A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Jugador 2A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Jugador 3A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    JugadorNmero de volado Total por

    resultado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Jugador 1A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Jugador 2A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    Jugador 3A A A A A A A A A A

    S S S S S S S S S S

    e) De los tres juegos que realizaron, en cul obtuvieron ms guilas?

    f) En cul obtuvieron ms guilas los otros jugadores?

    Segundo juego

    Tercer juego

    MAT1 B3 S24.indd 85 8/25/07 3:27:01 PM

  • secuencia 24

    86

    h) Calculen la probabilidad frecuencial del evento caer sol que obtuvieron en sus primeros 10 lanzamientos.

    P (caer sol en el grupo) = Nmero de veces que cae sol =

    Nmero total de lazamientos 10

    g) Consideren los resultados de los tres jugadores y completen la siguiente tabla.

    Resultados en el equipo Frecuencia

    Frecuenta relativaPorcentaje

    Fraccin Decimal

    Total de lanzamientos 90 o O p P 1 100%

    Caer guila o p

    Caer sol o p

    Recuerdaque:

    Unexperimentoofenmenoesaleato-riosisuocurrenciapresentavariosresultadosposiblesy

    nosepuedeasegurar

    culdeellosseobtendr.

    Al cociente entre el nmero de veces que ocurre el evento y el nmero de veces que se realiz el experimento se le llama probabilidad frecuencial de un evento. Con los resul-tados obtenidos en tu equipo pueden calcular la probabilidad frecuencial de obtener guila o de obtener sol. Se calcula as:P (caer guila en el equipo) = Nmero de veces que cae guila Nmero de lanzamientosP (caer guila en el equipo) se lee: probabilidad de caer guila en el equipo.

    P (caer sol en el equipo) = Nmero de veces que cae sol Nmero de lanzamientos

    ii. Ahora consideren los resultados de todo el grupo.

    a) Calculen la probabilidad frecuencial del evento "caer guila" que se obtuvo en todo el grupo.

    Resultados en el grupo Frecuencia

    Total de lanzamientos

    Caer guila

    Caer sol

    P (caer guila en el grupo) = Nmero de veces que cae guila = Nmero total de lanzamientos

    MAT1 B3 S24.indd 86 8/25/07 3:27:02 PM

  • 87

    MATEMTICAS Ib) Completen la siguiente tabla, escribiendo en forma de fraccin, nmero decimal y

    porcentaje la probabilidad frecuencial de los eventos caer guila en el equipo y "caer guila en el grupo". Comparen estas probabilidades.

    EventoProbabilidad frecuencial

    Fraccin Decimal Porcentaje

    Caer guila en el equipo

    Caer guila en el grupo

    Es mayor la del equipo? Es menor? Es igual?

    c) Creen que si repiten el experimento de lanzar 10 veces una moneda obtendrn la misma probabilidad frecuencial? Por qu?

    A lo que llegamosLa probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algn fenmeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

    La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotar P(A), se obtiene dividiendo el nmero de veces que ocurre el evento entre el nmero total de veces que se realiz el experimento.

    P (A) = Nmero de veces que ocurre el eventoNmero total de veces que se realiza el experimento

    Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un nmero entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fraccin, nmero decimal y porcentaje.

    MAT1 B3 S24.indd 87 8/25/07 3:27:03 PM

  • secuencia 24

    88

    Lo que aprendimos1. La siguiente tabla muestra los resultados que se obtuvieron en un grupo al lanzar

    una moneda. Con estos datos, contesten las siguientes preguntas.

    EventoProbabilidad frecuencial

    Fraccin Decimal Porcentaje

    Caer guila en el grupo eQpIpP = tE 0.60 60 %

    a) En total, cuntos volados se realizaron en el grupo?

    b) En total, cuntas veces cay sol?

    c) De acuerdo con la probabilidad frecuencial del evento caer guila obtenida por el

    grupo, si se realizan 100 volados, en cuntos caer guila?

    Resultados en el equipo

    Evento Conteo FrecuenciaProbabilidad frecuencial

    Fraccin Decimal Porcentaje

    Cae el color azul tp

    Cae el color morado tp

    Cae el color verde tp

    Total 50 tp 100%

    2. Elaboren una ruleta como la que se muestra en el dibujo. Pueden ayudarse con el procedimiento para trazar un hexgono de la segunda sesin de la secuencia 13 Polgonos regulares.

    Cada integrante del equipo, por turnos, hace girar la ruleta. Para ello pueden desdoblar un clip y colocar un extremo en el centro de la ruleta. Anoten en la siguiente tabla en qu color se detiene. Giren la ruleta 50 veces y completen la siguiente tabla.

    MAT1 B3 S24.indd 88 8/25/07 3:27:03 PM

  • 89

    MATEMTICAS IProbabilidad clsicaPara empezarEn la sesin 4 de la secuencia 8, Problemas de conteo, trabajaste con un diagrama de rbol para contar los resultados posibles al lanzar dos dados.

    Consideremos lo siguienteEl siguiente diagrama de rbol muestra todos los resultados posibles que pueden obte-nerse al lanzar dos dados.

    sesin 2

    a) Cuntos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados?

    Dado B Dado A Dado B

    123456

    111111

    1

    Dado A

    123456

    222222

    2

    123456

    123456

    333333

    3

    123455

    444444

    4

    123456

    555555

    5

    666666

    6

    123456

    123456

    123456

    123456

    123456

    123456

    Resultados posibles

    MAT1 B3 S24.indd 89 8/25/07 3:27:04 PM

  • secuencia 24

    90

    b) Si se hace referencia al evento la suma de los puntos obtenidos en el lanzamien-

    to de dos dados, qu suma es ms probable de obtener?

    c) Qu suma tiene menos probabilidades de salir?

    d) Si en un juego con dos dados te ofrecen la siguiente apuesta: Si obtienes de tus dados una suma mayor que 7, ganas; si no, pierdes, te arriesgaras a jugar?

    Por qu? A qu suma le apostaras para

    tener ms seguridad de ganar? A qu suma no le apostaras?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Dos resultados posibles para obtener una suma mayor que 7 son: (2, 6) y (3, 5).

    a) Anoten los resultados favorables que faltan

    b) Cuntos resultados favorables son?

    c) Busquen determinar qu fraccin del total de resultados posibles representan.

    d) Cules son los resultados favorables del evento: obtener una suma igual que 12 al lanzar dos dados?

    e) Cuntos resultados favorables son?

    f) Qu fraccin representan del total de resultados posibles?

    g) Marquen en el siguiente diagrama rectangular los resultados favorables del even-to: obtener una suma igual que 7 al lanzar dos dados.

    Sumas que se obtienen al lanzar dos dados

    6 7 8 9 10 11 12

    5 6 7 8 9 10 11

    4 5 6 7 8 9 10

    3 4 5 6 7 8 9

    2 3 4 5 6 7 8

    1 2 3 4 5 6 7

    1 2 3 4 5 6Caras del dado A

    h) Cuntos resultados favorables son?

    i) Qu fraccin representan del total de resultados posibles?

    Car

    as d

    el d

    ado

    B

    MAT1 B3 S24.indd 90 8/25/07 3:27:05 PM

  • 91

    MATEMTICAS IA lo que llegamosCuando se realiza un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados sencillos posibles recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral.

    Por ejemplo, en el caso de lanzar dos dados, uno azul y otro rojo se lanzan una vez y se anota el nmero de puntos que aparecen en cada uno. El espacio muestral son todos los resultados sencillos posibles que se presentan en forma de diagrama de rbol.

    Si ahora se lanzan dos dados y se obtiene la suma de los puntos que aparecen en cada uno, el espacio muestral es el que se observa en el diagrama rectangular.

    Evento (e)

    Resultados (dado A, dado B)

    Nmero de resultados favorables al evento

    Probabilidad clsica del evento P (e)

    La suma de las caras de dos dados al caer es mayor que 7

    (2, 6), (3, 5) nmero de resultados favorables = eynmero total de resultados posibles

    La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 12

    nmero de resultados favorables = nmero total de resultados posibles

    La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 7

    nmero de resultados favorables = nmero total de resultados posibles

    La suma de las caras de dos dados al caer es menor que 12

    nmero de resultados favorables = nmero total de resultados posibles

    La suma de la cara de dos dados al caer es menor que 7

    nmero de resultados favorables = nmero total de resultados posibles

    j) Marquen en el mismo diagrama rectangular los resultados favorables del evento: obtener una suma menor que 7.

    k) Cuntos resultados favorables son?

    A lo que llegamosSe llama probabilidad clsica de un evento al nmero P(e) que se obtiene por medio del cociente:

    P (e) = Nmero de resultados favorables

    Nmero total de resultados posibles

    ii. Completen la siguiente tabla

    MAT1 B3 S24.indd 91 8/25/07 3:27:06 PM

  • secuencia 24

    92

    a) Consideren la probabilidad de los siguientes eventos:

    Qu evento es ms probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma

    igual que 12 o una igual a 7?

    b) Qu evento es ms probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma

    mayor que 7 o una menor a 7?

    c) Calculen las siguientes probabilidades:

    P (la suma es igual que 1) =

    P (la suma es igual que 6) =

    A qu suma no le apostaran?

    d) Completen la siguiente tabla calculando la probabilidad clsica de cada evento que se pide.

    Evento La suma es igual que 13La suma es un

    nmero parLa suma es igual que 7

    La suma es menor que 13

    Probabilidad clsica

    nmero de resultados favorablesnmero total de resultados posibles

    e) Cuntos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea

    menor que 13?

    f) Cuntos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea

    igual que 13?

    A lo que llegamosPara obtener la probabilidad clsica de un evento no se requiere de la realizacin de experimentos, como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos:

    El de todos los resultados posibles que se pueden dar en una situa-cin de azar, y el de los resultados favorables de un evento de esa situacin:

    P (e)= Nmero de resultados favorables del evento Nmero total de resultados posibles

    MAT1 B3 S24.indd 92 8/25/07 3:27:07 PM

  • 93

    MATEMTICAS I

    Lo que aprendimosEn una urna hay dos canicas blancas y dos negras. Extrae una canica de la urna, anota el color, y devulvela a la urna; de nuevo extrae una canica y anota su color. De esta forma, dos extracciones sucesivas conducen a uno de estos cuatro resultados:

    Cul es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?

    a) Extraer dos canicas negras.

    b) Extraer dos canicas de diferente color.

    c) Extraer dos canicas blancas.

    comParacin de Probabilidades iPara empezarQuesmsprobable?

    La comparacin de probabilidades permite determinar cul es la mejor opcin que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones de azar.

    Consideremos lo siguienteEn una caja hay 10 tarjetas numeradas del 1 al 10.

    Si sacas una tarjeta al azar, cuntos resultados posibles hay?

    Qu probabilidad existe de obtener un nmero par?

    Comparen sus respuestas.

    sesin 3

    A la probabilidad clsica se le llama tambin probabilidad terica.

    Cuando el nmero de resultados favorables de un evento es el mismo que los resultados posibles (espacio muestral), se trata de un evento seguro, y la probabilidad de ese even-to es igual a 1.Cuando el nmero de resultados favorables de un evento es 0, es decir, no hay casos favorables, entonces se trata de un evento imposible y la probabilidad de ese evento es 0.Si el valor de la probabilidad de un evento es un nmero muy cercano a 0, se dice que ese evento es poco probable, pero si el valor de la probabilidad de ese evento es un nmero muy cercano a 1, entonces el evento es muy probable.

    MAT1 B3 S24.indd 93 8/25/07 3:27:08 PM

  • secuencia 24

    94

    Recuerdenque:

    Laprobabilidadpuedeexpresarseen

    formadefraccin,decimalyporcentaje.

    Manos a la obrai. Formen equipos de tres integrantes y coloquen tarjetas de papel numeradas del 1 al

    10 en una caja o bolsa.

    a) Cules son las tarjetas que tienen un nmero par?

    b) Cuntas formas existen de obtener un nmero par?

    c) Cul es la probabilidad clsica de obtener un nmero par?

    P (obtener un nmero par) = resultados favorables de obtener un nmero par resultados posibles al extraer una tarjeta

    ii. Ahora, cada integrante del equipo saca de la caja una tarjeta numerada y anota el resultado en la siguiente tabla. Luego regresa la tarjeta y repite el experimento otro integrante del equipo hasta que cada quien haya hecho 10 extracciones.

    JugadorExtracciones Nmero de veces

    que obtuvieron una tarjeta par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Jugador 1

    Jugador 2

    Jugador 3

    a) En total, cuntas veces obtuvieron una tarjeta con un nmero par?

    b) Cul es la probabilidad frecuencial de este evento?

    c) Comparen la probabilidad clsica de obtener un nmero par y la probabilidad

    frecuencial que obtuvieron al realizar el experimento. Son iguales?

    Cul es mayor?

    MAT1 B3 S24.indd 94 8/25/07 3:27:08 PM

  • 95

    MATEMTICAS Iiii. Renan los resultados que obtuvieron en su equipo con los de los dems equipos y

    completen la tabla.

    Equipo Nmero de veces que se obtuvo una tarjeta con un nmero parNmero total

    de extracciones

    Total

    a) Cul es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un nmero par en

    su equipo?

    b) Cul es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un nmero par en

    su grupo?

    c) Ahora, comparen esta probabilidad con la probabilidad clsica de este evento. Se aproxima la probabilidad frecuencial de este evento a la probabilidad clsica?

    d) Cul de las dos probabilidades frecuenciales, la que obtuvo su equipo o la del

    grupo, es ms cercana a la de la probabilidad clsica?

    iV. Consideren que la urna tiene 20 tarjetas numeradas del 1 al 20 y contesten las si-guientes preguntas.

    a) Cul es la probabilidad clsica de obtener una tarjeta con un nmero mayor que 0?

    b) Cul es la probabilidad clsica de obtener una tarjeta con un nmero mayor que 10?

    c) Cul es la probabilidad clsica de obtener una tarjeta con un nmero par?

    d) Cul es la probabilidad clsica de obtener una tarjeta con un nmero mayor que 20?

    MAT1 B3 S24.indd 95 8/25/07 3:27:09 PM

  • secuencia 24

    96

    e) Se podra dar el caso de que el nmero de resultados favorables sea mayor que el

    nmero de resultados posibles?

    A lo que llegamosLa probabilidad clsica es diferente de la probabilidad frecuencial. Para obtener la probabilidad clsica se consideran las condiciones del experimento. Por ejemplo, en una urna hay veinte tarjetas numeradas del 1 al 20 y se quiere elegir una tarjeta con nmero impar, entonces la probabilidad clsica es wQ ; y la probabilidad frecuencial se calcula a partir de los resultados que se obtienen al efectuar el experimento. En este caso, si se realiz el experimento 100 veces y 38 veces se sac una tarjeta con nmero impar, la probabilidad frecuencial de este evento es:

    P (sacar nmero impar) = qpp = 0.38 = 38%Despus de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial de un evento se parece a la probabilidad clsica.

    Tanto la probabilidad clsica como la frecuencial se pueden expresar utilizando fracciones, decimales y porcentaje.

    Lo que aprendimos 1. Indiquen en cada caso si se trata de probabilidad frecuencial o probabilidad clsica:

    a) Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 7 azules. La probabilidad de sacar una canica roja es qGw .

    b) Se les hace una encuesta a 600 personas para conocer qu bebida prefieren tomar para acompaar su comida; se sabe que 450 prefieren refresco. Se determina que

    la probabilidad del evento es y R p T p P . c) En una feria hay una ruleta como la siguiente:

    La probabilidad de caer en el rea B es

    MAT1 B3 S24.indd 96 8/25/07 3:27:09 PM

  • 97

    MATEMTICAS I2. En un restaurante hay una rockola que tiene 40 diferentes melodas, las cuales estn

    clasificadas y distribuidas equitativamente en cuatro diferentes tipos de msica:

    a) Grupera b) Rock c) Cumbia d) Balada

    a) Calculen la probabilidad clsica de que sea seleccionada una meloda de rock.

    P (rock) = opciones de elegir msica rock

    total de opciones de elegir una meloda

    En la siguiente tabla se muestra la preferencia con la cual se han seleccionado las melodas a partir del tipo de msica al que pertenece.

    Tipo de msica Grupera Rock Cumbia Balada

    Nm. de veces que se toc 15 24 11 30

    Total 80

    b) Cul es la probabilidad frecuencial de seleccionar una meloda de msica grupera?

    P (grupera) = veces que se toc msica grupera nmero total de melodas que se tocaron

    c) Comparen la probabilidad clsica de que sea seleccionada una meloda que perte-nece al gnero de la msica grupera y la probabilidad frecuencial del mismo evento.

    Son iguales? Cul es mayor?

    d) Calculen las probabilidades que se indican:

    Tipo de msica Probabilidad clsica Probabilidad frecuencial

    Cumbia P (cumbia) = P (cumbia) =

    Rock P (rock) = P (rock) =

    Balada P (balada) = P (balada) =

    Grupera P (grupera) = P (grupera) =

    MAT1 B3 S24.indd 97 8/25/07 3:27:11 PM

  • secuencia 24

    98

    sesin 4 comParacin de Probabilidades iiPara empezarCuando has participado en un juego de azar, alguna vez te ha tocado elegir las reglas que rigen el juego? En esta sesin calculars las probabilidades de diversos eventos y distinguirs cul es ms probable que ocurra, cul es menos probable y cules tienen la misma probabilidad de ocurrir.

    Consideremos lo siguientePara realizar el siguiente juego se necesitan 4 bolsas no transparentes, 6 canicas rojas y 6 canicas verdes. Hay que distribuir las canicas en las cuatro bolsas como se indica en la figura.

    El juego se realiza de la siguiente manera: cada integrante elige una de las cuatro bolsas y extrae, sin mirar, una canica; anota el color que sale. Despus regresa la canica a la bolsa y repite hasta tener 20 extracciones. Gana quien haya sacado ms veces una cani-ca roja de la bolsa que eligi. Antes de empezar a jugar contesten:

    Qu creen que sea ms probable, extraer una canica roja de la bolsa 1 o de la bolsa 3?

    Qu bolsas elegiran?

    Por qu?

    Comparen sus respuestas.

    Bolsa 1

    Bolsa 2

    Bolsa 3

    Bolsa 4

    MAT1 B3 S24.indd 98 8/25/07 3:27:11 PM

  • 99

    MATEMTICAS IManos a la obrai. Realicen el juego. Usen el siguiente casillero para anotar la letra r si sale roja y la v si

    sale verde. Repitan el experimento 20 veces para llenar los casilleros. Recuerden, gana quien haya sacado ms veces una canica roja.

    Bolsa nm._____________Resultado en cada extraccin

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

    a) Utilicen la siguiente tabla para registrar los resultados que obtuvieron al realizar este juego.

    Resultados de 20 extracciones en la bolsa ____________

    Color de la canica Frecuencia Nmero de veces que sale una canica Probabilidad frecuencial

    Roja

    (r)P (r) = _____________________

    Verde

    (v)P (v) = _____________________

    b) Analicen los resultados obtenidos por todos los integrantes de su equipo. Quin

    gan?

    c) Qu nmero de bolsa utiliz?

    d) Cul es la probabilidad frecuencial de sacar una canica roja en esa bolsa?

    e) Consideren los resultados del equipo, qu color de canica sali ms veces?

    ii. Renan los resultados del grupo en la siguiente tabla y despus marquen con X si es verdadero (V) o falso (F) en el cuadrito correspondiente.

    MAT1 B3 S24.indd 99 8/25/07 3:27:12 PM

  • secuencia 24

    100

    Total de canicas de color rojo

    Equipo Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 Bolsa 4

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Total de canicas de color rojo

    (Frecuencia)

    Pro

    bab

    ilid

    ad

    frec

    uen

    cial

    de

    saca

    r u

    na

    can

    ica

    roja

    Fraccin

    Decimal

    %

    a) Es ms probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 2.

    b) Es ms probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 4.

    c) Es ms probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 4.

    d) Es ms probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 3.

    e) Es ms probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 3.

    V F

    MAT1 B3 S24.indd 100 8/25/07 3:27:13 PM

  • 101

    MATEMTICAS Iiii. Contesta las siguientes preguntas:

    a) Cul es la probabilidad clsica de sacar una canica roja de cada bolsa?

    Bolsa 1 P (sacar una canica roja) = nmero total de canicas rojas en la bolsa 1 = nmero de canicas en la bolsa 1

    Bolsa 2P (sacar una canica roja) =

    nmero total de canicas rojas en la bolsa 2 =

    nmero de canicas en la bolsa 2

    Bolsa 3P (sacar una canica roja) = nmero total de canicas rojas en la bolsa 3 = nmero de canicas en la bolsa 3

    Bolsa 4P (sacar una canica roja) = nmero total de canicas rojas en la bolsa 4 = nmero de canicas en la bolsa 4

    b) De acuerdo con estos clculos, para ganar el juego, qu bolsa debes elegir?

    c) Por qu?

    d) Pregntale a alguno de tus compaeros qu bolsa eligi.

    e) En qu bolsas existe la misma probabilidad de sacar una canica roja?

    f) Por qu?

    A lo que llegamosLa comparacin de probabilidades permite determinar cul es la mejor opcin que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones. As, por ejemplo, en el juego anterior podemos determinar la probabilidad clsica de sacar una canica roja de cada bolsa y elegir la bolsa que ms nos convenga.

    La probabilidad clsica proporciona una informacin de lo que puede suceder, mientras que la probabilidad frecuencial indica lo que sucedi al realizar el juego.

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre informacin para conocer otros juegos de azar consulta:http://www.acanomas.com/Biblioteca.php [Fecha de consulta: 23 de agosto 2007].

    MAT1 B3 S24.indd 101 8/25/07 3:27:14 PM

  • 102

    secuencia 25

    MAT1 B4 S25.indd 102 8/25/07 3:27:31 PM

  • 103

    MATEMTICAS I

    BLOQUE 4

    MAT1 B4 S25.indd 103 8/25/07 3:27:32 PM

  • 104

    secuencia 25

    En esta secuencia plantears y resolvers problemas que impliquen la utilizacin de nmeros con signo.

    NivEL dEL marPara empezarExisten situaciones donde adems de utilizar los nmeros naturales se requieren otros nmeros, por ejemplo: al calcular los gastos y las ganancias de una tienda, en un term-metro ambiental, en la lnea del tiempo, en metros sobre y bajo el nivel del mar, etctera.

    Consideremos lo siguientePara jugar necesitan organizarse en parejas:

    Todos observen con cuidado la siguiente ilustracin.

    Cada pareja escoge cuatro objetos de los que ah aparecen.

    Cada pareja enva un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicacin de los

    cuatro objetos que eligieron. Pero hay una condicin: en el mensaje NO SE VALE ES-

    CRIBIR PALABRAS NI HACER DIBUJOS O FLECHAS.

    La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cules fueron los obje-

    tos que sus compaeros eligieron. Cuando los hayan encontrado, los anotan en el

    mensaje y lo regresan a la pareja que lo envi.

    Cuando terminen, revisen si la otra pareja interpret correctamente. Si hubo equivo-

    caciones, deben encontrar en dnde estuvo la falla y corregirla.

    Anoten en el pizarrn las distintas maneras que utilizaron para identificar los objetos, decidan cules fueron las ms adecuadas, o aquellas que les gustaron ms, y escriban por qu.

    sEsiN 1

    Nmeros con signo

    MAT1 B4 S25.indd 104 8/25/07 3:27:34 PM

  • 105

    MATEMTICAS I

    80 m

    600 m

    2 m

    700 m

    50 m

    2 m

    80 m50 m

    700 m

    MAT1 B4 S25.indd 105 8/25/07 3:27:36 PM

  • secuencia 25

    106

    Manos a la obrai. En otra telesecundaria, una de las parejas elabor un mensaje que fue correctamente

    interpretado por otra pareja. Fjense cmo hicieron:

    Objetos que elegimos: Creemos que es el:

    700 m Avin

    600 m Nubes

    0 m Barco

    **2 m Pez amarillo

    **50 m Buzo

    a) Utilicen ese mismo sistema y completen la siguiente tabla.

    Ubicacin Dibujo

    Gaviotas

    80 m

    Barco

    2 m

    Peces

    **700 m

    b) El barco est ubicado al nivel del mar. Tambin hay objetos sobre el nivel del mar (como las nubes) y bajo el nivel del mar (como el submarino).

    Cmo represent esta pareja a los objetos que estn ubicados sobre el nivel

    del mar?

    Cmo represent esta pareja a los objetos que estn ubicados bajo el nivel del

    mar?

    A cuntos metros ubicaron el barco?

    Comparen estos mensajes con los mensajes que ustedes elaboraron. Cules le parecen ms claros y por qu?

    Como vieron, hay distintas maneras de comunicar la ubicacin de los objetos, sin embar-go, es posible que algunas personas no sepan qu es lo que se quiere decir en un mensaje. Por ello, en matemticas se representa el nivel del mar con el cero, lo que est sobre el nivel del mar con signo positivo + y lo que est bajo el nivel del mar con signo negativo .

    Pareja que elabor el mensaje.

    Pareja que recibi el mensaje.

    MAT1 B4 S25.indd 106 8/25/07 3:27:37 PM

  • MATEMTICAS I

    107

    II.Completen la siguiente tabla usando los signos + y , segn corresponda:

    Objeto Ubicacin

    Algas marinas a 20 m bajo el nivel del mar 20 m

    Una lancha sobre el nivel del mar

    Un delfn que salta 5 m sobre el nivel del mar

    Un tiburn que nada a 5 m bajo el nivel del mar

    Una roca que sobresale 20 m sobre el nivel del mar + 20 m

    iii. En matemticas se usa la recta numrica para ubicar a los nmeros positivos, nega-tivos y al cero. Primero, determinen el lugar del cero (como lo hicieron en la secuen-cia 2), despus los nmeros con signo + se ubican a la derecha del cero y los nmeros con signo - se ubican a la izquierda del cero.

    Localicen en la siguiente recta numrica los objetos que se mencionan en la tabla del inciso c). Fjense que cada divisin vale 5 unidades.

    A lo que llegamosLos nmeros que has utilizado en esta sesin se llaman: nmeros con signo. Pueden ser positivos o negativos, y para diferenciarlos se representan de la siguiente manera:

    Nmeros positivos: se ubican a la derecha del cero en la recta numri-ca y se escriben anteponindoles un signo +; por ejemplo, el 5 positi-vo se escribe +5. En el caso de los objetos de la ilustracin, los nmeros positivos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra arriba del nivel del mar.

    10 m 0 +15 m

    +1000 +1 200 +1 300

    MAT1 B4 S25.indd 107 8/25/07 3:27:37 PM

  • secuencia 25

    108

    Nmeros negativos: se ubican a la izquierda del cero en la recta numrica y se escriben anteponindoles un signo , por ejemplo, el 7 negativo se escribe 7. En el caso de los objetos de la ilustracin, los nmeros negativos se utilizan para designar a todo lo que se encuen-tra por debajo del nivel del mar.

    El cero se escribe sin signo (no se le pone + ni ). En la ilustracin, todo lo que se encuentra en el nivel del mar se dice que est a 0 metros.

    distaNcia y OrdEN Para empezarTemperaturas ambientales

    Los termmetros ambientales, como el de la ilustracin, miden tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negati-vas. Las temperaturas bajo cero se distinguen porque se escriben anteponindoles el signo .

    En la secuencia 4 La Tierra: un planeta con vida de tu libro de Geografa de Mxico y del mundo, volumen I estudiaste las diversas caractersticas que definen el clima, como la variacin de la temperatura. En el desierto, la variacin de la temperatura determina las condiciones climticas extremas que lo caracterizan: en un mismo da puede haber temperaturas mximas de 40 C y temperaturas mnimas de 2 C. En este caso hay una variacin de 38 C.En contraste, las zonas tropicales tienen variaciones de temperatura muy pequeas: en promedio, las temperaturas mximas pueden ser de 20 C y las mnimas de 10 C. La varia-cin de la temperatura es entonces de 10 C, porque hay 10 grados entre 20 C y 10 C.La variacin de la temperatura es un factor que influye tanto en la conservacin del equilibrio biolgico como en la salud y el bienestar de los seres humanos. Grandes varia-ciones de temperatura pueden ocasionar la extincin de plantas y animales o la prdida de las cosechas en el campo.

    Consideremos lo siguienteEl 4 de noviembre del 2005, el Servicio Meteorolgico Nacional public un aviso de hela-das que se esperaban en distintas ciudades para ese da.

    sEsiN 2

    Ciudad Estado Temperatura mxima (C) Temperatura mnima (C)

    Las Vigas de Ramrez Puebla 26.5 1.0El Saladillo Zacatecas 22.0 -5.0Tepatitln Mxico 23.5 -4.0

    Balcn del Diablo Puebla 26.5 2.5Tabla 1

    +1000 +1 200 +1 3001 500 1 200 100300500

    MAT1 B4 S25.indd 108 8/25/07 3:27:40 PM

  • MATEMTICAS I

    109

    Con estos datos, contesten las siguientes preguntas (si lo necesitan, se pueden auxiliar del termmetro de la derecha):

    a) De cunto se esperaba la variacin de temperatura en Las Vigas de Ramrez?

    b) De cunto se esperaba la variacin de temperatura en Tepatitln?

    c) Cul de las temperaturas mximas que se esperaban en Las Vigas de Ra-

    mrez y Tepatitln es mayor?

    d) Cul de las temperaturas mnimas que se esperaban en Tepatitln y Las

    Vigas de Ramrez es menor?

    Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

    Manos a la obra i. En una escuela obtuvieron los siguientes resultados:

    En el equipo 1 dijeron que la variacin que se esperaba en Tepatitln es de 19.5 C, porque 23.5 4 = 19.5.

    En el equipo 2 utilizaron el termmetro ambiental para localizar las tem-peraturas y dijeron que la variacin es de 27.5 C, porque es el nmero de grados que hay entre ambas temperaturas.

    a) En el termmetro de la derecha ubiquen las temperaturas 23 C y 4 C.

    b) Cuenten los grados que hay de 4 C a 0 C. Hay grados.

    c) Cuenten los grados que hay de 0 C a 23.5 C. Hay grados.

    d) Cuntos grados hay de 4 C hasta 23.5 C?

    e) De cunto es la variacin de temperatura que se esperaba en Tepatitln?

    f) Cul de los dos equipos obtuvo la variacin correcta?

    ii. Usando el mismo termmetro, contesten las siguientes preguntas:

    a) La temperatura mxima de una ciudad es de 18 C y la temperatura m-nima de 2 C. De cunto es la variacin de temperatura en esa ciudad?

    b) La temperatura mnima de otra ciudad es de 8 C. Si se sabe que la va-riacin de temperatura es de 12 C, cul es la temperatura mxima de dicha ciudad?

    MAT1 B4 S25.indd 109 8/25/07 3:27:42 PM

  • secuencia 25

    110

    iii. En otros pases se han registrado las siguientes temperaturas:

    Ciudad Estado Temperatura mxima (C)Temperatura mnima (C)

    Anchorage Alaska (Estados Unidos de Amrica) 6.0 13.0

    Armstrong Ontario (Canad) 1.0 9.0

    a) En el termmetro de la izquierda, localicen las temperaturas mxima y mnima de Anchorage.

    b) Cuntos grados hay de 6 C a 13 C?

    c) De cuntos grados es la variacin de temperatura en Anchorage?

    d) En el mismo termmetro, localicen las temperaturas mxima y mnima de Armstrong.

    e) Cuntos grados hay de 1 C a 9 C?

    f) De cuntos grados es la variacin de temperatura en Armstrong?

    A lo que llegamos La variacin de temperatura es el nmero de grados que hay entre

    ambas temperaturas.

    Por ejemplo, en el termmetro de la izquierda:

    Mxima Mnima Diferencia

    Ajocucar 29.0 2.5 31.5

    La variacin de temperatura tambin la podemos ver como la distancia que hay entre dos nmeros en una recta numrica horizontal.

    Por ejemplo: entre el 4 y el 8 hay una distancia de 12, como lo mues-tra la ilustracin.

    Es decir, la distancia entre dos nmeros es la longitud del segmento que los une.

    4 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

    12

    MAT1 B4 S25.indd 110 8/25/07 3:27:45 PM

  • MATEMTICAS I

    111

    iV. De las temperaturas mnimas de Tepatitln y Las Vigas de Ramrez dos alumnos dicen lo siguiente:

    Dulce dice que Las Vigas de Ramrez tiene la menor temperatura, porque 1 es menor que 4.

    Consuelo dice que Tepatitln tiene la menor temperatura, porque 4 C est abajo de 1C.

    a) Quin creen que tiene la razn?

    b) En el termmetro de la derecha ubiquen las temperaturas 12 C y 2 C.c) Cul de las dos es menor?

    La temperatura 2 C est debajo de 12 C y es la menor de ellas.d) En el mismo termmetro, ubiquen las temperaturas mnimas de Las Vigas de

    Ramrez y Tepatitln.

    e) Cul de las dos temperaturas est debajo de la otra?

    f) Cul de las dos es menor?

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamos Al comparar dos temperaturas en un termmetro, siempre es mayor aquella que est

    ms arriba.

    Por ejemplo:

    a) 22C es mayor que3C. b) 2C es mayor que 10C. c) 5C es mayor que 35C.

    Al comparar dos temperaturas en la recta numrica, siempre es mayor aquella que est ms a la derecha.

    Por ejemplo:

    a) +9 es mayor que +2. b) +5 es mayor que 10. c) 3 es mayor que 15.

    10 0 +9+5+215 3

    MAT1 B4 S25.indd 111 8/25/07 3:27:50 PM

  • secuencia 25

    112

    Lo que aprendimos1. Qu distancia hay entre los siguientes pares de nmeros?

    2. Que distancias hay entre...

    3. Escriban mayor que (>) o menor que (

  • MATEMTICAS I

    113

    A lo que llegamos El valor absoluto de nmeros positivos y negativos siempre es un nmero positivo.

    Por ejemplo: 12.5=12.5y +12.5 =12.5

    Dos nmeros que estn a la misma distancia del cero se llaman nmeros simtricos entre s.

    Por ejemplo: +2 y 2 son nmeros simtricos entre s.

    Manos a la obrai. Sobre el anterior inciso c):

    Pablo dice que el nico nmero cuyo valor absoluto es 5 es el nmero +5 Delia dice que son dos nmeros: el +5 y el 5

    a) Con quin de los dos estn de acuerdo? Por qu?

    b) Cul es la distancia del 5 al cero?, y del +5 al cero?c) Qu nmeros tienen como valor absoluto 5?

    ii. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Qu nmero negativo tiene el mismo valor absoluto que +20?

    b) Qu valor absoluto tienen los nmeros +13 y 13?

    c) Qu nmero positivo tiene el mismo valor absoluto que 9.5?

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gmez. "N-meros enteros" en Una ventana al infinito. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    Luz Mara Marvn. "Nmeros simtricos", "Nmeros con signo", "Mayor o menor?" y El valor absoluto en Representacin numrica. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    iii. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cul es el nmero simtrico del +6?

    b) Cul es el nmero simtrico del 35?

    c) Cul es el nmero simtrico del 13.9?

    d) Cul es el nmero simtrico del +26.1?

    e) El nmero + wQ y el wQ, son simtricos?

    f) Cul es el nmero simtrico del rE ?

    Comparen sus respuestas.

    +20

    2

    2

    2

    MAT1 B4 S25.indd 113 8/25/07 3:27:53 PM

  • 114

    secuencia 26

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el clculo de la raz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de nmeros naturales y decimales.

    Cuadros y ms CuadrosPara empezarEn la secuencia 4 de Matemticas I encontraste la expresin algebraica de la frmula del cuadrado. Si el lado del cuadrado mide , entonces su rea a se calcula con la expresin: a = . En esta sesin, estudiars cmo encontrar la medida del lado del cuadrado a partir de su rea.

    Consideremos lo siguienteCalculen:

    a) Cul es el rea de un cuadrado que tiene lados que miden 2 cm?

    b) Cul es el rea de un cuadrado que tiene lados que miden 3 cm?

    c) Cunto mide el lado de un cuadrado que tiene 16 cm2 de rea?

    d) Cunto mide el lado de un cuadrado que tiene 25 cm2 de rea?

    e) Creen que exista algn cuadrado de 18 cm2 de rea? Cunto medi-ran sus lados?

    Expliquen y comprueben sus respuestas en su cuaderno.

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. En la ilustracin hay un cuadrado blanco

    cuyos lados miden 6 cm; dentro del cua-drado blanco hay un cuadrado azul.

    a) Calculen el rea del cuadrado blanco

    sesin 1

    Raz cuadraday potencias

    MAT1 B4 S26.indd 114 8/25/07 3:28:37 PM

  • 115

    MATEMTICAS ITracen las diagonales del cuadrado azul. Van a obtener cuatro tringulos azules iguales.

    b) Calculen el rea de cada tringulo azul.

    c) Calculen el rea del cuadrado azul.

    d) Cunto miden los lados del cuadrado azul?

    Midan con su regla.

    e) En sus cuadernos, comprueben la medida que obtuvieron para el lado del cuadra-do azul aplicando la frmula del rea: a =

    Qu valor del rea encontraron usando la frmula?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) De los valores del rea que encontraron usando la frmula, cul es el que ms se aproxima a 18 cm2?

    b) Cul es la mejor aproximacin que encontraron para la medida del lado del cuadrado?

    ii. Llenen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida del lado del cuadrado de rea 18 cm2:

    Medida del lado (cm)

    rea (cm2)

    1 1

    2

    3

    16

    5

    36

    4.5

    4.2

    4.3

    4.25

    a) Cul es el valor ms aproximado que encontraron para la medida del lado del

    cuadrado?

    b) Podran encontrar un valor ms aproximado? Cul?

    Comparen sus respuestas.

    Recuerden que:

    El rea de un

    tringulo con

    medida de la altura

    a y medida de la

    base b se calcula:

    A = b a

    2

    MAT1 B4 S26.indd 115 8/25/07 3:28:38 PM

  • 116

    secuencia 26iii. Creen que exista algn cuadrado de 32 cm2 de rea? Cunto medi-

    ran sus lados?

    a) Completen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida de sus lados.

    Medida del lado (cm)

    rea (cm2)

    5 25

    5.5

    5.6

    5.7

    6

    b) La medida del lado de este cuadrado est entre 5.6 cm y 5.7 cm. Con qu valor continuaran la tabla para encontrar un valor que se aproxime ms a la medida del

    lado de este cuadrado?

    c) Hagan la comprobacin. Qu valor del rea encontraron?

    Comparen sus respuestas y hagan la comprobacin.

    A lo que llegamos Para calcular el rea de un cuadrado, conociendo la medida de su

    lado , se multiplica la medida del lado por ella misma:

    En general, cuando se multiplica un nmero por l mismo, por ejemplo y y, se dice que se calcula la segunda potencia o el cuadrado del nmero. Esto se escribe: y2

    Por ejemplo, al calcular 5 5, se dice que se est calculando 5 a la segunda potencia o el cuadrado de 5, y se escribe 52. O sea:

    5 5 = 52 = 25 Al calcular el lado de un cuadrado a partir de su rea se dice que se

    calcula la raz cuadrada del rea. En general, la raz cuadrada de un nmero A es el nmero que multiplicado por l mismo da A.

    Por ejemplo, la raz cuadrada de 16 es 4, porque 4 4 = 16. La raz cuadrada de 16 se escribe: 16

    MAT1 B4 S26.indd 116 8/25/07 3:28:39 PM

  • 117

    MATEMTICAS IiV. Llenen la siguiente tabla:

    Nmero Cuadrado del nmero

    2

    7

    64

    9

    100

    11

    132.25

    12

    169

    196

    15

    240.25

    16

    A partir de la informacin de la tabla anterior, relacionen las dos columnas:

    (a) Cul es el rea del cuadrado cuyos lados miden 13 cm? ( ) 144

    (b) A cunto es igual 240.25? ( ) 225 cm2

    (c) A cunto es igual 122? ( ) 15.5

    (d) Cul es la raz cuadrada de 169? ( ) 15

    (e) Cul es el rea de un cuadrado cuyos lados miden 15 cm? ( ) 169 cm2

    (f) A cunto es igual 225? ( ) 13

    Comparen sus respuestas y hagan las comprobaciones.

    Pueden usar calcula-

    dora para hacer y

    verificar sus clculos.

    A lo que llegamosEl cuadrado de un nmero y la raz cuadrada son operaciones inversas. Esto quiere decir que si a un nmero se le aplica una operacin y despus la otra, se obtendr el nmero original.

    Por ejemplo, el cuadrado del nmero 15 es: 152 = 15 15 = 225Y la raz cuadrada del nmero 225 es: 225 = 15

    MAT1 B4 S26.indd 117 8/25/07 3:28:39 PM

  • 118

    secuencia 26

    Lo que aprendimos1. En tu cuaderno encuentra una aproximacin para la medida del lado de un cuadrado

    de rea 2 cm2.2. Relaciona las dos columnas.

    (a) Cul es el rea del cuadrado cuyos lados miden 10 cm? ( ) 196

    (b) Cul es la raz cuadrada de 196? ( ) 100 cm2

    (c) Cunto es 142? ( ) 11.5

    (d) Cunto es 256? ( ) 16

    (e) Cul es el rea de un cuadrado cuyos lados miden 7 cm? ( ) 49 cm2

    (f) Cunto es 132.25? ( ) 14

    ClCulo de raCes CuadradasPara empezarLos babilonios y la raz cuadrada

    Existen varios mtodos para calcular la raz cuadrada de un nmero. En esta sesin aprendern un mtodo que fue inventado por los antiguos babilonios.

    Para obtener la raz cuadrada de 32 con el mtodo babilnico, se siguen los siguientes pasos:

    sesin 2

    1. Se escogen dos nmeros que multiplicados den 32. Por ejemplo, 8 y 4.

    2. Se construye un rectngulo de rea 32 cm2 y lados 8 cm y 4 cm (rectngulo rojo).

    A partir de ahora se encuentran rectngulos cada vez ms parecidos a un cuadrado de rea 32 cm2 . Vean cmo se hace esto:

    3. Se promedian las medidas de los lados del rectngulo:

    8 cm + 4 cm = 6 cm 2

    4 cm

    8 cm

    MAT1 B4 S26.indd 118 8/25/07 3:28:40 PM

  • 119

    MATEMTICAS I 4. Se construye otro rectngulo (ms parecido a un cua-

    drado) que tenga un lado que mida 6 cm, cunto debe medir el otro lado para que el rea del rectngulo sea 32 cm2? . Con estas medidas se construy el rectngulo azul.

    Observen que:

    El rea de un rectngulo se obtiene multiplicando la me-dida de sus lados. Entonces, si conocen el rea (32 cm2) y la medida de uno de los lados (6 cm) la medida del otro lado (x cm) se puede obtener resolviendo la ecua-cin: 6x = 32

    5. Se vuelven a promediar las medidas de los lados del rec-tngulo:

    6 cm + 5.33 cm = 5.665 cm 26. Se construye otro nuevo rectngulo (rectngulo anaran-

    jado) que tenga un lado que mida 5.665 cm y otro que mida 32 entre 5.665, es decir 5.648 cm.

    Se puede seguir con esta construccin y acercarse cada vez ms al valor exacto de la raz de 32. Por el momento, se deten-dr aqu el proceso para observar que el rectngulo anaranjado es casi un cuadrado. Sus lados miden: 5.665 cm y 5.648 cm.Calculen (pueden usar una calculadora):

    5.6652 =

    5.6482 = Cul de los dos nmeros es una mejor

    aproximacin a 32 ?

    Los lados del rectngulo azul midieron 6 cm y 5.33 cm. Calcu-len (pueden usar calculadora):

    62 =

    5.332 =

    Comenten:

    Qu rectngulo da mejores aproximaciones a 32 , el azul o el anaranjado?

    Recuerden que:

    Para hacer sus clculos pueden

    usar aproximaciones.

    Por ejemplo, al hacer la divisin

    32 6 pueden usar el nmero

    decimal 5.33 o 5.333

    6 cm

    rea 32 cm2

    5.665 cmrea 32 cm2

    X

    x

    MAT1 B4 S26.indd 119 8/25/07 3:28:41 PM

  • 120

    secuencia 26

    Consideremos lo siguienteCon el mtodo babilnico se puede calcular la raz cuadrada de cualquier nmero. Si-guiendo los pasos de este mtodo, calculen la raz cuadrada de 7.3 Pueden usar su calculadora para hacer las operaciones que se indican y una regla para hacer los dibujos de los rectngulos.

    1. Se escogen dos nmeros que multiplicados den 7.3 Hganlo con 1 y 7.3

    2. Dibujen en sus cuadernos un rectngulo de lados 1 cm y 7.3 cm. Ahora van a encontrar rectngulos cada vez ms parecidos a un cuadrado.

    3. Obtengan el promedio de 1 cm y 7.3 cm, cunto es? ste es uno de los lados del nuevo rectngulo.

    4. Cunto mide el otro lado del rectngulo?

    Para encontrar esta medida pueden resolver la ecuacin: 4.15x = 7.3 Dibujen en sus cuadernos un rectngulo que tenga las medidas que acaban de

    encontrar.

    Pueden seguir con el mtodo para encontrar rectngulos cada vez ms parecidos a un cuadrado de rea 7.3 cm2

    5. Obtengan el promedio de 4.15 cm y 1.759 cm, cunto es? ste es uno de los lados del otro rectngulo.

    6. Si saben que 7.3 2.95 es aproximadamente 2.474, cunto mide el otro lado del nuevo rectngulo?

    Dibujen en sus cuadernos un rectngulo que tenga las medidas que acaban de encontrar.

    7. Encuentren el siguiente rectngulo y dibjenlo en sus cuadernos.

    Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del mtodo babilnico. Co-menten:

    Cunto es 7.3 ?

    Manos a la obrai. Calcula por pasos la raz cuadrada de 10 con el mtodo babilnico.

    1. Se escogen dos nmeros cuya diferencia sea la menor posible y cuyo producto sea igual a 10, es decir, el 2 y el 5.

    Observa que:

    Podras escoger el 1 y el 10, pero los lados del rectngulo seran muy distintos: mediran 1 cm y 10 cm. En cambio, si escoges 2 y 5, el rec-tngulo que obtienes se parece ms a un cuadrado.

    2. Se construye un rectngulo de rea 10 cm2 y lados 2 cm y 5 cm (rectngulo morado).

    2 cm

    5 cm

    rea 10 cm2

    MAT1 B4 S26.indd 120 8/25/07 3:28:41 PM

  • 121

    MATEMTICAS I Se construye otro rectngulo de rea 10 cm, pero ms parecido a un

    cuadrado.

    3. Se obtiene el promedio entre 2 y 5, sumando 2 ms 5 y dividiendo entre 2. El promedio es: . ste es uno de los lados del

    nuevo rectngulo (rectngulo azul).

    4. Si sabes que 10 3.5 es aproximadamente 2.86, cunto mide el otro lado del nuevo rectngulo?

    El mtodo se puede continuar para aproximar mejor 10 , encontrando rectngulos de rea 10 cm2 cada vez ms parecidos a un cuadrado. Calcula:

    2.862 = 3.52 =

    Qu nmero usaras para una mejor aproximacin de 10 ?

    Comparen sus aproximaciones. Cul es la mejor?

    Lo que aprendimos1. En tu cuaderno, calcula la raz cuadrada de 18. Obtn 3 rectngulos de rea 18 cm2

    siguiendo los pasos del mtodo babilnico.

    2. Completa la siguiente tabla para calcular la raz cuadrada de nmeros enteros y de-cimales. Si el resultado es un nmero decimal, utiliza slo dos cifras decimales para tus respuestas. Puedes usar una calculadora.

    Nmero Raz cuadrada

    25

    1

    0.1

    0.25

    a) Cul es el rea de un cuadrado cuyo lado tiene 0.1 cm de longitud?

    b) Cul es la longitud del lado de una figura de 0.25 cm2 de rea?

    rea 10 cm2

    MAT1 B4 S26.indd 121 8/25/07 3:28:42 PM

  • 122

    secuencia 26

    Cuntos tatarabuelos?Para empezarUn rbol genealgico es una representacin grfica de la historia familiar de una persona. En un rbol genealgico aparecen los antepasados de cada persona, es decir, sus pa-dres, abuelos, bisabuelos (padres de los abuelos), tatarabuelos (padres de los bisabuelos), etc. Diremos que los padres son la primera generacin de antepasados, que los abuelos son la se-gunda generacin de antepasados, etctera.

    Consideremos lo siguienteEn una familia, los bisabuelos son los paps de los abuelos, y los tatarabuelos son los paps de los bisabuelos. Cuntos tatarabuelos hay en el rbol genealgico de una persona?

    Manos a la obrai. El siguiente rbol genealgico puede servir para encontrar cuntos tatarabuelos

    tiene una persona. Copien el rbol en sus cuadernos y dibujen a los tatarabuelos.

    Cuntos son?

    Bisabuelos

    Abuelos

    Padres

    Persona

    a) Si quieren continuar con el rbol genealgico, cuntos antepasados habra en la

    siguiente rama hacia arriba? Es decir, cuntos antepasados hay en la quinta ge-

    neracin? . Dibjenlos en sus cuadernos.

    b) Cuntos antepasados de la sexta generacin tiene una persona?

    c) Y cuntos antepasados tiene en la sptima generacin?

    d) Cul de las siguientes multiplicaciones les permite encontrar el nmero de ante-pasados de la sptima generacin?

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    Comparen sus respuestas y expliquen cmo las encontraron.

    sesin 3

    MAT1 B4 S26.indd 122 8/25/07 3:28:49 PM

  • 123

    MATEMTICAS Iii. Los descendientes de una persona son sus hijos, nietos, bisnietos, tataranietos, etc.

    Supongan que Rogelio tiene 3 hijos (primera generacin de descendientes) y cada uno de sus hijos tiene a su vez 3 hijos (segunda generacin de descendientes), de los cuales cada uno tiene 3 hijos (tercera generacin de descendientes) y as sucesiva-mente. Es decir, cada miembro de la familia tendr exactamente 3 hijos.

    a) Completen el siguiente diagrama de rbol hasta la tercera generacin de descen-dientes:

    Rogelio

    Hijos (primera generacin)

    Nietos (segunda generacin)

    b) Cuntos descendientes tendr Rogelio en la tercera generacin?

    c) Cuntos descendientes tendr Rogelio en la sexta?

    d) Cul de las siguientes multiplicaciones permite calcular el nmero de descen-

    dientes de la novena generacin?:

    3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

    3 3 3 3 3 3 3 3 3

    e) Si en lugar de tener 3 hijos, cada quien tuviera 5 hijos, cuntos descendientes

    tendra Rogelio en la cuarta generacin?

    f) Y en la octava?

    g) Cul de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el nmero de descen-

    dientes en la duodcima generacin?

    5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

    5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

    MAT1 B4 S26.indd 123 8/25/07 3:28:49 PM

  • 124

    secuencia 26

    Nmeron

    Cuadradon2

    Tercera potencia n3

    Cuarta potencian4

    3 81

    4 64

    10 10 000

    0.25 0.125

    1.5

    144 20 736

    Una potencia es la multiplicacin de un nmero por s mismo varias veces.

    Por ejemplo, en el problema de los rboles genealgicos:

    210 es la multiplicacin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.210 se llama la dcima potencia de 2 y se lee 2 elevado a la 10 o 2 a la 10.

    2 es la base y 10 es el exponente.59 es la multiplicacin 5 5 5 5 5 5 5 5 5.

    59 se llama la novena potencia de 5 y se lee 5 elevado a la 9 o 5 a la 9.5 es la base y 9 es el exponente.

    A lo que llegamos

    A lo que llegamos La raz cbica de 64 es 4, porque 43 = 64. La raz cbica de 64 se

    escribe as: 3 64 En general, la raz cbica de un nmero k es otro nmero que tiene

    tercera potencia igual a k.

    La raz cuarta de 81 es 3, porque 34 = 81. La raz cuarta de 81 se escribe as: 4 81

    En general, la raz cuarta de un nmero k es otro nmero que tiene cuarta potencia igual a k.

    iii. Completen la siguiente tabla de potencias y contesten:

    a) Qu nmero multiplicado 3 veces por l mismo da 27?

    b) Qu nmero tiene tercera potencia

    igual a 1 000?

    c) Qu nmero tiene segunda potencia

    igual a 0.25?

    d) Qu nmero tiene raz cuadrada igual

    a 144?

    e) Qu nmero tiene cuarta potencia

    igual a 256?

    MAT1 B4 S26.indd 124 8/25/07 3:28:50 PM

  • 125

    MATEMTICAS If) Cul es la raz cbica de 1 000?

    g) Cul es la raz cuarta de 10 000?

    h) La raz de 2.25 es 1.5

    Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla de potencias y contesta:

    Nmero n

    Cuadrado n2

    Tercera potencia n3

    Cuarta potencia n4

    0.2 0.0016

    0 0 0

    1

    1.1 1.21 1.4641

    4 8

    11 1 331

    a) Cul es la raz cbica de 0.008?

    b) Cul es la raz cbica de 0?

    c) Cul es la raz cuarta de 1.4641?

    d) Cul es la raz cuarta de 1?

    2. Si la raz cbica de 8 es 2 y la de 27 es 3, encuentra una aproximacin con dos cifras decimales de la raz cbica de 20.

    3. Completa.

    a) En la potencia 76, la base es y el exponente es .b) En la potencia , la base es 8 y el exponente es 13.c) Al escribir 6 6 6 6 como potencia, la base es y el exponente es .

    Para saber msSobre el rbol genealgico consulta:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/historia/histdeltiempo/pasado/famili/p_arbol.htm [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa.

    MAT1 B4 S26.indd 125 8/25/07 3:28:50 PM

  • 126

    secuencia 27

    En esta secuencia analizars en situaciones problemticas la presencia de cantidades relacionadas y representars esta relacin mediante una tabla y una expresin algebraica.

    La Expansin dEL UnivErsoPara empezarLa expansin del Universo.

    Hasta principios del siglo XX los astrnomos pensaron que el Universo haba sido siempre del mismo tamao. Sin embargo, en 1929, el astrnomo Edwin Hubble observ que las galaxias se estn alejando unas de otras. Este descubrimiento confirm una teora de extraordinaria importancia para la ciencia: la teora de la Expansin del Universo.

    A la velocidad con la que una galaxia se aleja de la Tierra se le llama velocidad de alejamiento y, de acuerdo con el descubrimiento de Hubble, las galaxias que estn ms lejos de la Tierra son tambin las que se alejan a mayor velocidad.

    Consideremos lo siguienteUna galaxia que est a 1 megaparsec de distancia se aleja de la Tierra a una velocidad de 50 km/s; otra galaxia que est a 2 megaparsecs se aleja de la Tierra a una velocidad de 100 km/s, y as sucesivamente.

    A partir de esta informacin, contesten las siguientes preguntas:

    a) A qu velocidad se aleja una galaxia que est a 3 megaparsecs de distancia?

    b) A qu velocidad se aleja una galaxia que est a 6 megaparsecs de distancia?

    c) Representen con la letra d la distancia en megaparsecs a la que se encuentra una

    galaxia, y con v a la velocidad de alejamiento, qu expresin algebraica usaran

    para encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia?

    Comparen sus respuestas.

    sEsin 1

    El megaparsec es una

    unidad que se usa

    para medir distancias

    astronmicas.

    1 megaparsec es igual a

    3.082 1018 km que equivale a 3.26 millo-nes de aos luz.

    Relacin funcional

    MAT1 B4 S27.indd 126 8/25/07 3:29:31 PM

  • 127

    MATEMTICAS IManos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar la velocidad con la que se alejan algunas

    galaxias a partir de las distancias a las que se encuentran.

    Distancia (en megaparsecs)

    Velocidad de alejamiento (en km/s)

    1 50

    2 100

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    15

    1000

    25

    1500

    a) Para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por un n

    mero, cul es ese nmero?

    b) Completen la siguiente expresin algebraica para encontrar la velocidad de alejamiento v a partir de la distancia d:

    v = d

    Comparen sus expresiones algebraicas y comenten:

    La velocidad de alejamiento es directamente proporcional a la distancia a la que est la galaxia, cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia?

    ii. Usen la expresin algebraica que encontraron para hacer los siguientes clculos:

    a) Si la distancia es igual a 50 megaparsecs, cul es la velocidad de alejamiento v (en km/s)?

    b) Si d = 600 megaparsecs, cul es la v (en km/s)?

    c) Si d = 100 megaparsecs, cul es la v (en km/s)?

    MAT1 B4 S27.indd 127 8/25/07 3:29:32 PM

  • 128

    secuencia 27

    A lo que llegamosEn la expresin algebraica v = 50d, conocida como Ley de Hubble, la velocidad de alejamiento depende o est en funcin de la distancia. Segn dicha frmula, para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por 50. Se dice entonces que entre la velocidad y la distancia hay una relacin funcional. En este caso, la relacin funcional es una relacin de proporcionalidad.

    iii. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Si la galaxia Centauro se encuentra a 1.31 megaparsecs y la galaxia Andrmeda a 0.7 megaparsecs, cul de las dos se aleja ms rpidamente de la Tierra?

    b) Si una galaxia se aleja a 5 km/s, a qu distancia estar? c) A qu distancia estar una galaxia que se aleja a 1 km/s? d) Cul de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar la distancia (d)

    a partir de la velocidad de alejamiento (v)? Subryenla.

    d = 50v d = 50 v d 50 = v d = v 50

    Comparen sus respuestas. Usen la expresin algebraica para verificarlas.

    A lo que llegamos

    Recuerden que:

    Por convencin,

    v = 50 d

    se escribe

    v = 50d

    En las relaciones funcionales hay cantidades que varan y otras que no varan. En la rela-cin funcional dada por la Ley de Hubble: La distancia d a la que se encuentra cada galaxia vara. La velocidad v con la que se aleja una galaxia vara, dependiendo de la distancia. El nmero 50 por el que se multiplica la distancia para encontrar la velocidad no vara.

    MAT1 B4 S27.indd 128 8/25/07 3:29:36 PM

  • 129

    MATEMTICAS I

    Lo que aprendimos1. Un atleta corre la tercera parte de un kilmetro por minuto.

    a) Completen la siguiente tabla para calcular la distancia que recorre el atleta en diferentes momentos de una carrera.

    Tiempo (en minutos)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    1 eQ

    eW3

    eR5

    2

    10

    11

    60

    b) Si d es la distancia que recorre el atleta y t el tiempo transcurrido, escriban una expresin algebraica para calcular la distancia que recorre el atleta al variar el tiempo.

    c) Utilicen la expresin algebraica para responder las siguientes preguntas:

    Si t = 10 minutos, cunto es d en kilmetros?

    Si t = 12 minutos, cunto es d en kilmetros?

    Si t = 22 minutos, cunto es d en kilmetros? En esta relacin funcional:

    d) Cules son las variables? y

    e) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia a

    partir del tiempo?

    A las cantidades que varan se les llama variables, y a las que no varan se les llama constantes. En este caso: 50 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable v a partir

    de la variable d. tt p es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable d a partir

    de la variable v.

    MAT1 B4 S27.indd 129 8/25/07 3:29:37 PM

  • 130

    secuencia 27

    Hora en Chihuahua Hora en Nueva York

    6 77 889

    10111213141516

    Los hUsos horariosPara empezar

    Debido al movimiento de rotacin de la Tierra, hay diferencias de horario. Esto quiere decir que mientras en un lugar del mundo son las 12 del da, en otro son las 12 de la noche! Por ejemplo, cuando en la ciudad de Nueva York en EEUU son las 7:00 h (7 de la maana), en la ciudad de Chihuahua en Mxico son las 6:00 h (6 de la maana).Para calcular las horas, el planeta Tierra se ha dividido en 24 franjas llamadas husos horarios. A cada uno de los husos horarios le corresponde una hora distinta, de manera que en el planeta hay 24 horas distintas al mismo tiempo. As, cuando en Nueva York son las 00:00 h (12 de la noche) en Chihuahua son las 23:00 h (11 de la noche).

    Es importante notar que es comn decir 24:00 h o 12 de la noche en lugar de 0:00 h. En el momento en que se completan 24 horas de un da se reinicia el conteo a 0:00 h (un minuto despus de las 23 h con 59 min vienen otra vez las 0:00 h), por lo tanto, las 0:00 h y las 24:00 h son dos formas de escribir la misma hora.

    Consideremos lo siguienteComenten el siguiente problema:

    Mara vive en la ciudad de Chihuahua y su pap en la ciudad de Nueva York. Si el pap de Mara trabaja de 7 de la maana (7:00 h) a 3 de la tarde (15:00 h), creen que Mara encontrar a su pap en casa si lo llama a las 6 de la maana (hora de Chihuahua)?

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular la hora en la ciudad de Nueva York a par

    tir de la hora en Chihuaha.

    sEsin 2

    a) Qu hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 15:00 h?

    b) Si el pap de Mara hace una hora cuarenta y cinco minutos en el trayecto del trabajo a su casa, a partir de qu hora (de Chihuahua) puede hablarle Mara para encontrarlo de regreso en casa?

    c) De qu hora a qu hora de Chihuahua, Mara no va a encontrar a su pap? Cuidado: la respuesta no es de 7 de la maana a 3 de la tarde!

    MAT1 B4 S27.indd 130 8/25/07 3:29:39 PM

  • 131

    MATEMTICAS Iii. Llamen x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Nueva York. Si la hora en Chihuahua

    est entre las 00:00 h y las 23:00 h, cul de las siguientes expresiones permite calcular la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua? Subryenla.

    a) x = y + 1 b) y = x 1 c) y = x + 1 d) x = y 1

    Comparen sus expresiones algebraicas.

    iii. Si la hora en Chihuahua est entre 23:00 h y 24:00 h, por ejemplo las 23:30 h, la expresin algebraica y = x + 1 NO permite encontrar la hora en Nueva York (y) a partir de la hora en Chihuahua (x), pues se pasa de las 24:00 h.a) Cuando la hora en Chihuahua est entre las 23:00 h y las 24:00 h, qu clculos hay

    que hacer para obtener la hora en Nueva York a partir de la hora en Chihuahua?

    b) Escriban una expresin que nos permita encontrar la hora de Nueva York (y) a partir de la hora en Chihuahua (x), cuando la hora en Chihuahua est entre las

    23:00 h y las 24:00 h.

    Comparen sus expresiones.

    iV. Para obtener la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua, cuando en Chihuahua pasan de las 23:00 horas, se resta 23 a la hora de Chihuahua. Por ello, la expresin es y = x 23. Usando la expresin algebraica y = x + 1 (o bien, la expresin y = x 23), contesten las siguientes preguntas.

    a) Qu hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 23:45 h?

    b) Qu hora es en Chihuahua si en Nueva York son las 0:30 h?

    c) Qu hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 22:59 h?

    d) Qu hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 0:00 h?

    A lo que llegamosEn la expresin algebraica y = x + 1, la variable y depende o est en funcin de la variable x. Al nmero 1, que siempre hay que sumar a la x para obtener la y, se le llama constante.

    V. Cuando en Los ngeles son las 4:00 h, en Chihuahua son las 6:00 h y en Tokio (la capital de Japn) son las 21:00 h. Completen la siguiente tabla para calcular las horas en Los ngeles y Tokio a partir de la hora en Chihuahua.

    MAT1 B4 S27.indd 131 8/25/07 3:29:40 PM

  • 132

    secuencia 27

    Hora en Los ngeles Hora en Chihuahua Hora en Tokio

    4 6 215 7 22

    89

    10111213141516171819

    a) Qu hora es en Los ngeles cuando son las 20 h en Chihuahua?

    b) Qu hora es en Tokio cuando son las 0 h en Los ngeles?

    c) Escriban una expresin algebraica para encontrar la hora en Los ngeles a partir

    de la hora en Chihuahua, cuando la hora en Chihuahua est entre las 02:00 h y las 24:00 h. Llmenle x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Los ngeles.

    d) Llamen x a la hora en Chihuahua y z a la hora en Tokio. Escriban una expresin

    algebraica para encontrar la hora en Tokio a partir de la hora en Chihuahua en

    cada caso:

    i) Cuando la hora en Chihuahua est entre las 00:00 h y las 9:00 h.

    ii) Cuando la hora en Chihuahua est entre las 09:00 h y las 24:00 h.

    Comparen sus expresiones algebraicas.

    MAT1 B4 S27.indd 132 8/25/07 3:29:44 PM

  • 133

    MATEMTICAS IVi. Contesten las siguientes preguntas, usando las expresiones algebraicas que encontraron.

    a) Si en Chihuahua son las 24:00 h, qu hora es en Los ngeles?

    b) Si en Chihuahua son las 3:00 h, qu hora es en Los ngeles?

    c) Si en Chihuahua son las 9:00 h, qu hora es en Tokio?

    d) Si en Tokio son las 24:00 h, qu hora es en Chihuahua?

    A lo que llegamosEn la expresin algebraica y = x 2, la variable y depende o est en funcin de la variable x. El nmero 2, que siempre hay que restar a la x para obtener la y, es la constante de la relacin funcional.

    Vii. La expresin algebraica z = x + 15 describe una relacin funcional entre la hora en Chihuahua (x) y la hora en Tokio (z).

    a) Cules son las variables en esta relacin funcional?

    b) Cul es la constante en esta relacin funcional?

    Lo que aprendimos1. Luis tiene tres hermanos: Roco, Juan y Fernanda. Completen la siguiente tabla con

    las edades de los hermanos de Luis.

    Edad de Luis

    (aos)Edad de Roco

    (aos)Edad de Juan

    (aos)Edad de Fernanda

    (aos)

    6 10 8 17 11 9 28 12 10 3

    10 12 512 16 1413 15 814 182025 27

    a) Cada integrante del equipo escoja a uno de los hermanos de Luis y escriba en su cuaderno una expresin algebraica para calcular la edad del hermano que escogi a partir de la edad de Luis.

    b) Verifiquen entre todos si las tres expresiones algebraicas (una para cada hermano) son correctas.

    MAT1 B4 S27.indd 133 8/25/07 3:29:45 PM

  • 134

    secuencia 27c) En conjunto, en las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas,

    cules son?

    , , y

    d) Cules son las constantes en estas relaciones funcionales?

    , y

    2. La longitud de la base de un rectngulo es 3 cm ms grande que su altura.

    a) Cunto medir la base si la altura mide 2 cm?

    b) Y si la base midiera 6 cm, cunto medira la altura? c) Encuentra una expresin algebraica para calcular la medida de la altura a partir de

    la medida de la base.

    d) Cules son las variables en esta relacin funcional?

    e) Cul es la constante?

    CoCina navidEa Para empezarExisten muchos problemas prcticos en los que interviene una relacin funcional. En esta sesin abordaremos algunos de ellos.

    Consideremos lo siguienteEn un libro de cocina aparece la siguiente receta para cocinar un pavo:

    a) Cunto tiempo de horneado requiere un pavo de 5 kg?

    b) Cunto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa

    8 kg?

    c) Cunto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa

    6.5 kg?

    d) Escriban una expresin algebraica para calcular el tiempo de horneado de un pavo de cualquier peso.

    Comparen sus expresiones algebraicas.

    sEsin 3

    PAVO AL HORNO

    Envuelva el pavo en papel aluminio;

    hornee el pavo 15 minutos

    por cada kilogramo de pavo y

    sume a esto 90 minutos extras.

    MAT1 B4 S27.indd 134 8/25/07 3:29:46 PM

  • 135

    MATEMTICAS IManos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular el tiempo de horneado que requiere un

    pavo con diferentes pesos:

    Peso del pavo

    (kg)Tiempo de horneado

    (min)

    1 105 2 2.5 3 4 157.5 6 6.5 195 10

    a) En esta relacin funcional hay un nmero por el cual se multiplica cada kilogramo

    de pavo, cul es ese nmero?

    b) Cul es el nmero que hay que sumar siempre para obtener el tiempo total de

    horneado?

    c) Completen la siguiente expresin algebraica para encontrar el tiempo t a partir del peso p:

    t = p +

    ii. Comparen sus expresiones algebraicas y comenten.

    a) Cules son las variables en esta relacin funcional?

    b) Cules son las constantes en esta relacin funcional?

    iii. Usen la expresin algebraica que encontraron para calcular los tiempos de horneado de pavos con los siguientes pesos:

    a) Si el pavo pesa 2.5 kg, cuntos minutos debe hornearse?

    b) Si p = 3.75 kg, cunto vale t (en minutos)?

    c) Si p = 8.4 kg, cunto vale t (en minutos)?

    MAT1 B4 S27.indd 135 8/25/07 3:29:46 PM

  • 136

    secuencia 27iV. Comparen sus respuestas y contesten las siguientes preguntas:

    a) Si un pavo pesa 9 kg y otro pesa 3 kg, cunto tiempo de horneado ms necesita el pavo de 9 kg?

    b) Si un pavo pesa el triple que otro, ser cierto que el tiempo de horneado que

    requiere el ms chico es la tercera parte de lo que requiere el mayor?

    Por qu?

    A lo que llegamosLa expresin algebraica t = 15 p + 90 es una relacin funcional: el valor de la variable t depende del valor de la variable p.La variable p se multiplica por 15 y al resultado se le suma 90. Ambos nmeros, el 15 y el 90, son constantes.

    V. En otra receta se sugiere hornear 16 minutos por cada kilogramo de pavo y agregar 80 minutos extras. Cul de las siguientes expresiones algebraicas permitira encontrar el tiempo total de horneado (t) para cualquier cantidad de kilogramos de pavo (p)?

    t = 80 p +16 t = 16 p + 80

    a) Cules son las variables en esta relacin funcional? y

    b) Cules son las constantes? y

    Lo que aprendimosx y

    11.525

    1011.620

    76

    Recuerden que:

    Se acostumbra

    suprimir el smbolo

    (por) para no confun-

    dirlo con la x (equis).

    En la expresin algebraica y = 3 x + 1

    a) Cules son las variables?

    y

    b) Cules son las constantes?

    y

    c) Completen la tabla de la derecha usando la

    expresin algebraica:

    MAT1 B4 S27.indd 136 8/25/07 3:29:47 PM

  • 137

    MATEMTICAS IEL rECibo dE tELfonoPara empezarEn esta sesin continuars con el estudio de las relaciones funcionales. Estudiars un problema prctico: el costo mensual del servicio telefnico. El costo del servicio telefnico depende de la renta fija y de la cantidad de llamadas que se realicen en el mes.

    Consideremos lo siguienteLa renta mensual del servicio telefnico es de $167.00. Esta renta incluye 100 llamadas. Por ejemplo, si en el recibo aparecen 125 llamadas realizadas, se paga: la renta mensual ms el costo de las 25 llamadas adicionales. El costo de cada llamada adicional es de $1.50.

    a) Cul es el costo mensual del servicio si se hacen 125 llamadas?

    b) Completen la siguiente tabla para calcular el costo mensual del servicio telefnico a partir del nmero de llamadas.

    Total de llamadas realizadas Costo mensual (en pesos)

    100 o menos 167

    101 168.50

    110

    119

    120

    121

    125

    150

    168

    175

    180

    c) Cul es el mayor nmero de llamadas que se pueden hacer con $200.00?

    Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

    Qu operaciones hicieron para encontrar los costos a partir del nmero de llamadas?

    sEsion 4

    MAT1 B4 S27.indd 137 8/25/07 3:29:48 PM

  • 138

    secuencia 27

    Manos a la obra i. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Si slo se pagan $167.00 (la renta mensual), cuntas llamadas se han hecho?

    b) Cunto hay que pagar de costo mensual por 1 llamada adicional? .

    c) Cunto hay que pagar por 2 llamadas adicionales? .

    d) Si se hacen 181 llamadas en total, cuntas llamadas adicionales se han hecho?

    Cunto hay que pagar de costo mensual? .

    ii. Con cul de las siguientes expresiones algebraicas se puede calcular el costo mensual del servicio telefnico cuando se hacen ms de 100 llamadas? En estas expresiones se usa la letra x para representar el total de llamadas y la letra y para representar el costo mensual del servicio telefnico.

    y = 1.50 x + 167 y = 167 x + 1.50 y = 1.50 (x 100) + 167

    a) Comparen las expresiones algebraicas que escogieron y comenten por qu creen que son correctas.

    b) Con la expresin que escogieron calculen el costo mensual del telfono, si en el recibo estuvieran registrados los siguientes nmeros totales de llamadas:

    x = 100, y =

    x = 121, y =

    x = 125, y =

    x = 175, y =

    x = 200, y =

    x = 250, y =

    c) Comparen sus resultados con los que obtuvieron en la tabla, y comenten:

    Si el nmero de llamadas aumenta al doble, tambin aumentar al doble el costo mensual?

    El parntesis de la expresin

    y = 1.50 (x 100) + 167

    indica que primero hay que

    restar 100 al nmero x y,

    despus, multiplicar el

    resultado por 1.50

    MAT1 B4 S27.indd 138 8/25/07 3:29:48 PM

  • 139

    MATEMTICAS Iiii. El costo mensual del telfono depende del nmero total de llamadas que se realizan.

    sta es una relacin funcional. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cules son las variables?

    b) En esta relacin funcional hay tres constantes, cules son?

    Lo que aprendimosUn beb naci pesando 3 kg. Durante su primer ao de vida su peso aument 0.5 kg cada mes.Completa la siguiente tabla para calcular el peso del beb.

    Edad del beb (meses)

    Peso del beb (kilogramos)

    Al nacer 3123456 67 6.58 79 7.5

    a) Si se representa con la letra y el peso del beb y con x la edad del beb (en meses), escribe una expresin algebraica para calcular el peso del beb durante su pri

    mer ao de vida.

    b) Utiliza la expresin algebraica para calcular el peso del beb a partir de las siguientes edades:

    x = 7 (meses), y = kilogramosx = 8 (meses), y = kilogramosx = 9 (meses), y = kilogramosx = 12 (meses), y = kilogramos

    Para saber msSobre la expansin del Universo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Con-cepcin Ruiz y Sergio de Rgules. Crnicas algebraicas. Mxico: SEP/ Santillana, Li-bros del Rincn, 2002, pp. 44-45.

    Tambin puedes consultar: http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/01/html/sec_11.html [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    MAT1 B4 S27.indd 139 8/25/07 3:29:49 PM

  • 140

    secuencia 28

    sesin 1

    B

    A

    Construccin de crculos y circunferencias

    En esta secuencia construirs crculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.

    Las circunferencias que pasan

    por dos puntosPara empezarUna circunferencia est formada por todos los puntos que estn a la misma distancia, llamada radio, de un punto fijo llamado centro.

    Consideremos lo siguienteTracen dos circunferencias que cumplan la siguiente condicin: pasar por los dos puntos siguientes.

    Escriban en su cuaderno cmo encontraron los puntos que utilizaron como centro de cada circunferencia.

    Comenten en grupo sus procedimientos.

    Radio

    MAT1 B4 S28.indd 140 8/25/07 3:30:24 PM

  • I141

    MATEMTICAS

    Manos a la obra i. Rosa consider los dos puntos de la siguiente manera:

    Tom como centro el punto B y traz la circunferencia tomando como radio la distancia del punto A al punto B.

    Por qu esta circunferencia no cumple la condicin pedida?

    ii. Para hallar las dos circunferencias, Guillermo hizo lo siguiente. Para la primera circunferencia:

    Traz el segmento que une los dos puntos, obtuvo el punto medio del AB (punto C) y traz la circunferencia tomando como radio la distancia del punto C al punto A.

    Comenten en equipo, por qu esta circunferencia s cumple la condicin pedida?

    Para hallar el centro de la segunda circunferencia, Guillermo tom un punto C muy cerca de C.

    a) Midan la distancia del punto A al punto C:

    b) Midan la distancia del punto B al punto C:

    Comenten en equipo, por qu el punto C no es el centro de la circunferencia?

    B

    A

    B

    A

    C

    C,

    MAT1 B4 S28.indd 141 8/25/07 3:30:24 PM

  • 142

    secuencia 28iii. A continuacin se explica una manera de trazar las circunferencias que pasan por A y B.

    Tracen primero el segmento que une los puntos A y B:

    a) En la secuencia 12 estudiaron cmo trazar la mediatriz de un segmento. Tracen la mediatriz del AB.

    b) Ubiquen un punto sobre la mediatriz, llmenlo D.

    c) Midan lo siguiente:

    Distancia del punto A al punto D.

    Distancia del punto B al punto D.

    d) Tracen una circunferencia con centro en D y que pase por A y por B.

    e) Ubiquen otros dos puntos sobre la mediatriz (llmenlos E, F) y tracen las circunferencias con esos puntos como centro, y que pasen por A y por B.

    f) En las dos circunferencias que acaban de trazar midan las siguientes distancias:

    Distancia de A a E . Distancia de B a E.

    Distancia de A a F. Distancia de B a F.

    g) Tomen otro punto sobre la mediatriz, cmo son las distancias de ese punto a los

    puntos A y B?

    Comenten en grupo la siguiente pregunta:

    Habr algn otro punto de la mediatriz del AB que no sea centro de una circunferencia que pase por A y por B?

    iV. En la siguiente circunferencia que pasa por los puntos A y B est marcado su centro (punto E).

    a) Tracen el AB y su mediatriz.

    b) Cmo son las distancias del punto E al punto A y del punto E al punto B?

    Recuerden que: El

    conjunto de puntos

    que equidistan de los

    extremos de un

    segmento forma una

    recta llamada

    mediatriz del segmento.

    B

    A

    B

    A

    E

    MAT1 B4 S28.indd 142 8/25/07 3:30:25 PM

  • 143

    MATEMTICAS I Como el punto E equidista de los puntos A y B, entonces est sobre la mediatriz

    del AB.

    c) Observen que al trazar la mediatriz del AB, el centro est sobre dicha mediatriz.

    d) Cuntas circunferencias pasan por los puntos A y B?

    A lo que llegamosCada punto de la mediatriz de un segmento CD es el centro de una circunferencia que pasa por C y D, y cada circunferencia que pasa por C y D tiene su centro sobre la mediatriz del segmento CD.

    Vean el video Las circunferencias que pasan por dos puntos y al trmino del mismo escriban en su cuaderno, con sus propias palabras, cuntas circunferencias se pueden trazar que pasen por dos puntos dados: C y D.

    cuerdas y circunferenciasPara empezarLos segmentos de recta que unen a dos puntos de una circunferencia se llaman cuerdas. En la ilustracin 1 los puntos A y B estn unidos por la cuerda AB.

    El dimetro de una circunferencia es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

    sesin 2

    Recuerden que: Si

    un punto cual-

    quiera equidista

    de los extremos del

    segmento, enton-

    ces pertenece a la

    mediatriz del segmento.

    B

    ACuerda AB

    Dimetro

    Mediatriz

    C

    D

    Conjunto de puntos que son centros de las

    circunferencias que pasan por C y por D.

    MAT1 B4 S28.indd 143 8/25/07 3:30:25 PM

  • 144

    secuencia 28

    Consideremos lo siguienteUna maquiladora de latas de refresco debe colocar la lengeta exactamente en el centro de la tapa. En el dibujo se muestra una tapa sin la lengeta, las lneas sirven de gua para poner la lengeta y son dos cuerdas de la circunferencia.

    Encuentren el punto de la tapa donde debe colocarse el remache de la lengeta.

    Manos a la obra

    i. Veamos dos procedimientos:

    Procedimiento 1 En el equipo 1 unieron los extremos de las cuerdas y tomaron como centro de la

    tapa el punto de interseccin C. Dijeron que el remache de la lengeta debera colocarse en el punto C.

    B

    E

    A

    D

    C

    MAT1 B4 S28.indd 144 8/25/07 3:30:26 PM

  • 145

    MATEMTICAS IProcedimiento 2

    En el equipo 2 trazaron las mediatrices de la cuerdas y dicen que el punto de interseccin de las mediatrices es donde debe ponerse el remache de la lengeta.

    a) Cunto miden las distancias del punto C a los extremos de cada cuerda? Mdanlas y completen:

    Distancia de C a A. Distancia de C a B.

    Distancia de C a D. Distancia de C a E.

    b) Cunto miden las distancias del punto C a los extremos de cada cuerda?

    Completen:

    Distancia de C a A. Distancia de C a B.

    Distancia de C a D. Distancia de C a E.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Por qu el punto C no es el centro de la circunferencia?

    Por qu el punto de interseccin C de las dos mediatrices s es el centro de la circunferencia?

    ii. En las siguientes circunferencias:

    a) Encuentren su centro.

    Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3

    B

    E

    A

    D

    C

    MAT1 B4 S28.indd 145 8/25/07 3:30:26 PM

  • 146

    secuencia 28b) Encuentren su centro.

    c) En la circunferencia 5 la cuerda dada es un dimetro, cmo obtuvieron su centro?

    d) En las circunferencias 4 y 6, las mediatrices de las cuerdas se intersectan en un punto, son la misma recta o son rectas paralelas?

    e) La mediatriz que trazaron corta a la circunferencia 4 en dos puntos, llmenlos A y B; obtengan el punto medio de la cuerda AB y llmenlo D.

    f) Cmo son las distancias del punto D a cada extremo de la cuerda AB? Mdanlas y completen:

    Distancia de D a A. Distancia de D a B.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Por qu la cuerda AB es un dimetro de la circunferencia 4?

    Por qu el punto D es el centro de la circunferencia 4?

    Con este procedimiento podrn encontrar el centro de la circunferencia 6? Hganlo.

    A lo que llegamosPara encontrar el centro de las circunferencias:

    Circunferencia 4 Circunferencia 5

    a) Dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de interseccin de las mediatri-ces trazadas es el centro de la circunferencia.

    CMediatrices

    Cuerdas

    CMediatrices

    Cuerdas

    Centro

    Mediatriz

    Cuerda

    Cuerda

    Dimetro

    b) Dadas dos paralelas, se traza la media-triz a una de las cuerdas, se identifica el dimetro que est sobre la mediatriz, se obtiene el punto medio del dimetro, el cual es el centro de la circunferencia.

    MAT1 B4 S28.indd 146 8/25/07 3:30:27 PM

  • 147

    MATEMTICAS Itres puntos y una circunferenciaPara empezarEn la primera sesin de esta secuencia estudiaste cmo trazar circunferencias que pasen por dos puntos dados. En la segunda sesin estudiaron cmo obtener el centro de una circunferencia dadas dos cuerdas. En esta sesin aprenders cmo trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente ilustracin indica los lugares en que se ubican las comunidades de Pochitln, Mipachn y Sisijn.

    Se quiere construir un centro de salud que est a la misma distancia de todas ellas. Encuentren el sitio donde se debera construir ese centro de salud.

    Manos a la obra i. A continuacin se explica una manera de encontrar un punto que equidiste de los

    tres pueblos.

    a) En el siguiente dibujo los pueblos se representan con puntos. Ya se traz la mediatriz del MP. La distancia del punto M al punto C (cualquier punto de la mediatriz) es la misma que la distancia del punto P al mismo punto C.

    b) Tracen la mediatriz de MS y PS.

    c) Localicen el punto de interseccin de las mediatrices y llmenlo D. Midan la distancia de D a cada uno de los pueblos:

    Distancia de D a M.

    Distancia de D a P.

    Distancia de D a S.

    pachitln

    Mipachn sisijn

    sesin 3

    p

    M s

    2 cm

    2 cm

    Recuerden que:

    El conjunto de puntos que

    equidistan de los extremos d

    e

    un segmento forman una rec

    ta

    llamada mediatriz del segmen

    to.

    MAT1 B4 S28.indd 147 8/25/07 3:30:31 PM

  • 148

    secuencia 28Comparen sus resultados y comenten:

    a) Es conveniente construir el centro de salud en el punto D?

    b) Para encontrar un punto que equidiste de los puntos M, P y S ser necesario trazar las tres mediatrices o ser suficiente con trazar dos de ellas?

    En el siguiente dibujo tracen dos de las tres mediatrices

    a) Llamen F al punto de interseccin de las dos mediatrices.

    b) Cules son las distancias del punto F a los puntos A, B y C?

    Distancia de F a A.

    Distancia de F a B.

    Distancia de F a C.

    ii. En la siguiente ilustracin se muestran los lugares en donde se ubican otras tres comunidades: D, E y F. Encuentren un punto que est a la misma distancia de los tres pueblos.

    a) Unan los puntos mediante segmentos.

    b) Tracen las mediatrices de los segmentos.

    c) Encuentren la interseccin de las mediatrices.

    Comenten:

    a) Estos tres puntos estn en una misma recta, por qu creen que no se intersectan las mediatrices de los segmentos que los unen?

    b) En qu lugar creen que sera ms conveniente construir un centro de salud?

    Cuando tres puntos estn en una misma recta se dice que son colineales.

    a c

    d e f

    B

    MAT1 B4 S28.indd 148 8/25/07 3:30:33 PM

  • 149

    MATEMTICAS Iiii. En sus cuadernos dibujen tres puntos, los que quieran, pero que no sean colineales.

    Tracen una circunferencia que pase por los tres puntos que dibujaron.

    Comparen los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron. Comenten:

    Dados tres puntos, se podr siempre trazar una circunferencia que pase por ellos?

    A lo que llegamos Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferen-

    cia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de interseccin de las mediatrices de MP, PS y MS.

    Cuando los tres puntos son colineales (estn sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.

    Lo que aprendimos1. En los siguientes casos, tracen una circunferencia que pase por los tres puntos.

    2. En cules de los tres casos pudieron trazar una circunferencia?

    Por qu?

    A

    B

    C

    Caso 1

    D

    E

    FCaso 2 Caso 3

    G

    H

    I

    Para saber msSobre crculo y circunferencia consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.Hernndez, Carlos. La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rin-cn, 2002.

    MAT1 B4 S28.indd 149 8/25/07 3:30:35 PM

  • 150

    secuencia 291

    23

    45

    67

    89

    1011

    1213

    1415

    1617

    1819

    200

    En esta secuencia determinars el nmero pi como la razn entre la longitud de la circunferencia y el dimetro. Justificars y usars la frmula para el clculo de la longitud de la circunferencia.

    La reLacin entre circunferencia y dimetroPara empezarEl dimetro de un crculo es una cuerda que pasa por su centro.

    Consideremos lo siguientei. En una hoja blanca tracen cinco crculos de distintos tamaos.

    a) Recorten los crculos. En cada crculo dibujen una flecha del centro a uno de los puntos de la orilla del crculo, como se muestra en el dibujo.

    b) Coloquen uno de los crculos sobre la regla graduada de esta pgina, haciendo coincidir la punta de la flecha con el cero de la regla.

    c) Midan el permetro del crculo rodndolo sobre la regla. Marquen cuando el crculo d una vuelta completa.

    d) Midan los permetros de los otros cuatro crculos.

    sesin 1

    Dimetro

    Recuerden que:

    El permetro del

    crculo es igual

    a la longitud de la

    circunferencia.

    0 1

    El nmero Pi

    MAT1 B4 S29.indd 150 8/25/07 3:30:53 PM

  • I151

    MATEMTICASe) Completen la siguiente tabla:

    Permetro del crculo (cm)

    Dimetro del crculo (cm) Permetro entre dimetro

    Comenten:

    De acuerdo con la tabla que llenaron, cuntas veces cabe la medida del dimetro en la medida del permetro de cada uno de los crculos que recortaron?

    A lo que llegamosEl nmero que se obtiene al dividir el permetro de un crculo entre la longitud de su dimetro siempre es el mismo, se llama pi y se simboliza

    con la letra griega . Una aproximacin a ese nmero es 3.1416

    Vean el video Relacin entre circunferencia y dimetro, y al trmino del mismo mi-dan cinco objetos circulares que encuentren en su saln, su dimetro y su permetro (ya sea con un hilo o bien rodndolos sobre una regla). Verifiquen lo mostrado en el video.

    ii. Usando una calculadora, completen la siguiente tabla:

    Dimetro del crculo (cm)

    Permetro del crculo (cm) Permetro entre dimetro

    10 3.1416

    6.2832 3.1416

    5 3.1416

    12.5664 3.1416

    20 3.1416

    18.8496 3.1416

    MAT1 B4 S29.indd 151 8/25/07 3:30:54 PM

  • 152

    secuencia 29Comenten en grupo cmo completaron la tabla.

    Lo que aprendimosiii. En la mayora de los triciclos, la rueda delantera es ms grande que las dos traseras.

    En un triciclo, el dimetro de la rueda delantera mide 30 cm y la rueda trasera mide la mitad del dimetro de la rueda delantera. Para simplificar sus clculos, usen 3.14 como valor aproximado de .

    a) Completen la siguiente tabla:

    Rueda Dimetro del crculo (cm)Permetro del crculo

    (cm)Permetro entre

    dimetro

    Delantera 30 3.14

    Trasera 3.14

    b) Cuntas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que el triciclo

    avance 94 m? c) Cuntas vueltas completas tienen que dar las ruedas traseras para que el triciclo

    avance 94 m?

    MAT1 B4 S29.indd 152 8/25/07 3:30:54 PM

  • I153

    MATEMTICAS

    Permetro deL crcuLoPara empezarEn esta sesin veremos cmo calcular el permetro del crculo, o sea la longitud de la circunferencia, mediante una frmula.

    Consideremos lo siguientea) Completen en la tabla 1 las medidas del dimetro y del permetro de algunos

    crculos.

    Dimetro (cm) Permetro (cm)

    4 12.56

    8

    12 37.69

    3

    314

    15

    1

    50

    Tabla 1

    b) Cunto aumenta el permetro de un crculo cuando el dimetro aumenta al

    triple?

    c) Cunto disminuye el dimetro de un crculo cuando el permetro disminuye a la

    mitad?

    d) La tabla 1 es una tabla de proporcionalidad, cul es la constante de proporcio-

    nalidad?

    sesin 2

    Para simplificar

    los clculos

    pueden utilizar

    3.14 como valor aproximado de

    .

    MAT1 B4 S29.indd 153 8/25/07 3:30:55 PM

  • 154

    secuencia 29e) Encuentren una frmula para obtener el permetro de un crculo.

    Comparen sus tablas y sus frmulas. Comenten cmo llenaron la tabla y cmo obtuvie-ron sus frmulas.

    Manos a la obrai. En otra escuela, dos equipos propusieron las siguientes frmulas para obtener el pe-

    rmetro de un crculo.

    En el equipo 1 dicen que la frmula es: Permetro = 3.14 Dimetro

    En el equipo 2 dicen que la frmula es:

    Permetro = dimetro por la constante de proporcionalidad

    Comenten:

    a) Estn de acuerdo con alguna de las dos frmulas?, por qu?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad a la que se refiere el equipo 2?

    c) Los equipos 1 y 2 obtuvieron los mismos resultados en la tabla 1, por qu?d) Entre todos obtengan una frmula para calcular el permetro de un crculo.

    A lo que llegamosEl dimetro es directamente proporcional al permetro del crculo, es decir, en la misma proporcin en que aumenta o disminuye el dime-tro, aumenta o disminuye el permetro del crculo. La constante de proporcionalidad es el nmero . Una aproximacin de este nmero es 3.14

    ii. Utilicen la frmula que encontraron para completar la siguiente tabla:

    Dimetro (cm)

    Permetro (cm)

    1

    2.5

    25

    50

    Para simplificar

    los clculos

    pueden utilizar

    3.14 como valor aproximado de

    .

    El valor aproximado

    de que utiliz el

    equipo 2 fue 3.14

    MAT1 B4 S29.indd 154 8/25/07 3:30:56 PM

  • I155

    MATEMTICAS

    A lo que llegamos El permetro de un crculo se calcula multiplicando la medida de su

    dimetro por el nmero .

    Por ejemplo: para calcular el permetro de un crculo de dimetro 3.2 cm y tomando 3.1416 como valor aproximado de , entonces

    Es decir, podemos obtener el permetro de cualquier crculo con la frmula:

    Permetro = por dimetro

    Si se llama P al permetro y d al dimetro, entonces puede escribirse:

    P = d o P = d

    Lo que aprendimos1. Midan la longitud de los dimetros y obtengan los permetros de los siguientes crculos:

    Permetro = 3.2 cm 3.1416 = 10.05 cm

    3.2 cm

    MAT1 B4 S29.indd 155 8/25/07 3:30:56 PM

  • 156

    secuencia 292. Se tienen cuatro bicicletas: una de adulto rodada 28, una de nio rodada 14, una de

    montaa rodada 24 y una infantil rodada 12. La rodada significa la medida en pul-gadas del dimetro de las ruedas; es decir, que las ruedas de una bicicleta rodada 28 tienen un dimetro de 71.12 cm.

    a) Completen la siguiente tabla:

    Bicicleta Rodada Dimetro del crculo (cm)Permetro del crculo

    (cm)Nmero de

    vueltas en 100 m

    Adulto 28 71.12

    Nio 14

    Montaa 24

    Infantil 12

    b) Cuntas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta

    de adulto avance 100 m? c) Cuntas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta

    de nio avance 100 m? d) Cuntas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta

    de montaa avance 100? Y cuntas vueltas tiene que dar la infantil?

    Recuerden que:

    1 pulgada equivale aproximadament

    e

    a 2.54 cm.

    Para simplificar

    los clculos

    pueden utilizar

    3.14 como valor aproximado de

    .

    MAT1 B4 S29.indd 156 8/25/07 3:30:57 PM

  • I157

    MATEMTICAS3. En el quiosco de una plaza se va a construir un barandal para que puedan jugar los

    nios. El quiosco es de forma circular y su radio mide 2 m. El barandal se desea poner en distintos niveles, como se muestra en la imagen. Cada metro de barandal cuesta $150.00 a) Cunto costar el primer nivel del barandal?

    b) Cuntos niveles se pueden pagar con $9 500.00?c) Al final del trabajo se pagaron $7 539.84, cuntos

    niveles se pusieron?

    d) Todos los niveles estn a la misma distancia uno del otro, cunto costar poner un barandal del doble de altura que el del inciso c)?

    Para saber msConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Pea, Jos Antonio. De dnde sale el famoso nmero ?, en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    Marvn, Luz Mara. Nmeros de cuento y de pelcula, en Representacin numrica. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    Hernndez, Carlos. "Permetro del crculo", en La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    Sobre el nmero consulten:

    http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta 23 de agosto de 2007].Ruta: Secundaria Cuadratura del crculo (dar clic en el dibujo de un crculo y un cuadrado) Avanzar tres pginas y llegar a "Definicin de "

    Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora, UNAM.

    Para simplificar los clculos

    pueden utilizar 3.14 como

    valor aproximado de .

    MAT1 B4 S29.indd 157 8/25/07 3:31:00 PM

  • 158

    secuencia 30

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen calcular el rea y el permetro de un crculo.

    rea del crculoPara empezarEn la secuencia 14 de Matemticas I, vieste que el rea de un tringulo se obtiene mul-tiplicando la base del tringulo por su altura y el resultado se divide entre 2. El rea de un paralelogramo se calcula multiplicando su base por su altura.

    En la vida cotidiana se encuentran diversos objetos circulares, de los cuales a menudo se necesita calcular su rea, por ejemplo: la superficie de una mesa para hacerle un mantel, la superficie del asiento de una silla para tapizarla, el rea de un piso para saber la can-tidad de losetas necesarias para cubrirlo, entre otras cosas.

    Consideremos lo siguienteEn pareja, planeen una estrategia para calcular el rea del siguiente crculo y llvenla a

    cabo. Cul es el rea del crculo?

    Comenten con otros equipos su procedimiento y resultado.

    sesin 1

    3 cm

    El rea de los crculos

    MAT1B4S30.indd158 8/25/073:31:41PM

  • I159

    MATEMTICAS

    Manos a la obrai. En una escuela encontraron el rea de las siguientes maneras:

    Procedimiento 1. Un equipo recort el crculo en 18 partes y las coloc como se mues-tra a continuacin.

    Observaron que la figura se parece a un paralelogramo?

    Supongan que esta figura es un paralelogramo y contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto mide su altura?

    b) Cunto mide su base?

    Observen que la altura del paralelogramo es aproximadamente igual a la medida del radio del crculo y que su base es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de la circunferencia.

    c) Cul es el rea aproximada del paralelogramo?

    Procedimiento 2. Otro equipo not que, si haca polgonos regulares inscritos en una circunferencia, entre ms lados tuviera el polgono ms se pareca al crculo.

    MAT1B4S30.indd159 8/25/073:31:41PM

  • 160

    secuencia 30Con ayuda del profesor, comenten con sus compaeros:

    a) Qu pasa con el permetro del polgono y el permetro de la circunferencia cuando aumenta el nmero de lados del polgono regular?

    b) Qu pasa con la apotema del polgono regular y el radio de la circunferencia cuando aumenta el nmero de lados del polgono regular?

    c) Cul es la frmula para calcular el rea de un polgono regular?

    d) Cul es la frmula para calcular el permetro del crculo?

    e) Calcula el rea del crculo usando la discusin anterior. El rea del crculo es:

    Recuerda que: Apotema se le llama a la altura de los tringulos iguales en los que se

    divide un polgono regular.

    Observaste que el rea de un crculo puede ser aproximada con la frmula del rea de un polgono regular.

    rea de un polgono regular = permetro apotema

    2Como el permetro del crculo es por dimetro y la apotema, cuando el nmero de lados aumenta, coincide con el radio, entonces:

    rea de un crculo = dimetro radio

    2Y como el dimetro es 2 veces el radio: rea de un crculo =

    2 radio radio 2Simplificando: rea del crculo = radio radioSi se llama A al rea y r al radio, entonces puede escribirse: A = r2

    Vean el video rea del crculo y, al trmino del mismo, en su cuaderno dibujen un crculo cuyo dimetro mida 15 cm y realicen el procedimiento mostrado en el video.

    A lo que llegamos

    3 cm

    3.6 cm 3.4 cm

    5 cm

    Apotema

    MAT1B4S30.indd160 8/25/073:31:42PM

  • I161

    MATEMTICAS

    Lo que aprendimos: En sus cuadernos obtengan el rea del vidrio que cubre las siguientes brjulas.

    reas y permetros Para empezarAhora ya sabes calcular el rea y el permetro de un crculo. En esta sesin tendrs la oportunidad de aplicar estos conocimientos en la resolucin de problemas diversos.

    Consideremos lo siguienteEl vidrio para una mesa cuadrada de un metro por lado cuesta $300. El vidrio para una mesa circular cuesta $150.00 Cul es la medida aproximada del radio de la mesa circular si los costos son proporcio-

    nales a la cantidad de vidrio, sin importar si el vidrio es rectangular o circular?

    Pueden usar calculadora.

    Comparen sus procedimientos y resultados con sus compaeros.

    Manos a la obrai. Completen los siguientes procedimientos cuando haga falta y discutan con su pareja

    cul es el correcto.

    Procedimiento 1.

    Como $150 es la mitad de $300, entonces la mesa circular tiene por radio la mitad de 1 m, es decir, wQ m.

    Cul es el rea de la mesa cuadrada?

    Cul es el rea de una mesa circular cuyo radio mide wQ m?

    Compara las reas de ambas mesas.

    Consideras correcto este resultado?

    Por qu?

    sesin 2

    Recuerden que:

    Un valor

    aproximado de

    es 3.14

    MAT1B4S30.indd161 8/25/073:31:44PM

  • 162

    secuencia 30

    Procedimiento 2. Calculamos en centmetros cuadrados el rea de la mesa cuadrada, esto es:

    cm x cm = cm 2

    Como el vidrio para la mesa redonda cost la mitad, entonces el rea de la mesa redon-da es la mitad del rea de la mesa cuadrada, es decir:

    rea de la mesa circular = rea mesa cuadrada= cm 2 2Como el rea de un crculo se calcula con la frmula:

    buscamos, con ayuda de la calculadora, un nmero que multiplicado por s mismo y despus por 3.14 nos d el rea de la mesa circular. Ese nmero es: Cul es el rea, en centmetros cuadrados, de una mesa circular cuyo radio tiene

    esta ltima medida? Compara las reas de ambas mesas.

    Consideras correcto este resultado?

    Por qu?

    Comparen y comenten sus respuestas con sus compaeros de grupo.

    ii. La siguiente figura es un disco compacto. Las reas anaranjada y blanca se llaman coronas circulares.

    5.95cm

    1.9cm 0.75cm

    MAT1B4S30.indd162 8/25/073:31:44PM

  • I163

    MATEMTICASa) El rea de la corona circular anaranjada, que es la parte del disco compacto donde

    se graba la informacin, mide:

    b) El rea de la corona circular blanca, que es la proteccin del disco compacto, mide:

    c) En su cuaderno escriban cmo obtuvieron el rea de ambas coronas circulares.

    Comparen en grupo los procedimientos de cada equipo y escriban en sus cuadernos un procedimiento general para obtener el rea de una corona circular.

    Lo que aprendimos1. Cunto medir, aproximadamente, el radio de una ventana circular si el rea del vi-

    drio mide 2827.44 cm2? 2. Cunto medir el dimetro de un carrete, como el de la ilustracin, si su permetro es

    igual a 11 cm? 3. Obtengan el rea de la corona circular azul.

    4. Calculen el rea de la parte sombreada de co-lor verde. El punto verde es el centro del cr-culo verde y el punto negro es el centro del crculo blanco.

    5. Calcula el rea de la parte sombreada en color gris de la siguiente figura. El punto negro es el centro de los crculos.

    Para saber msSobre el rea del crculo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernndez, Carlos. La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.Sobre el rea del crculo consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta 23 de agosto de 2007]. RUTA: Secundaria Cuadratura del crculo dar clic en el dibujo de un crculo y un cuadrado.Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora, UNAM.

    1.9cm1.3cm

    0.6cm

    1.25cm0.9cm

    2.5cm

    0.9cm

    MAT1B4S30.indd163 8/25/073:31:45PM

  • 164

    secuencia 31

    En esta secuencia aprenders a formular la expresin algebraica que corresponde a la relacin entre dos cantidades que son directamente proporcionales. Tambin aprenders a asociar los significados de las variables en la expresin y = kx, con las cantidades que intervienen en dicha relacin.

    Cambio de monedaPara empezarHistoria de la moneda

    Los orgenes de la moneda como forma de pago se remontan al siglo VII antes de Cristo, en la antigua Grecia. La moneda surge como una necesidad de superar las formas de intercambio como el trueque. Para ello, haba que darle cierto valor a algo tan pequeo como un simple trozo de metal. La solucin fue fabricar la moneda con metales precio-sos como el oro y la plata.

    Las monedas registran acontecimientos que ocurrieron hace miles de aos y hechos que slo se conocen a travs de ellas.

    Existen algunos emperadores romanos de los que se conoci su existencia por aparecer en las monedas que ellos mismos mandaron acuar.

    En la secuencia 21 de su libro de Matemticas I, volumen II resolviste problemas de conversiones o de tipo de cambio del dlar respecto del peso: un dlar equivale a $11.70.1 El tipo de cambio entre la moneda de un pas y la de otro es la cantidad de dinero que se recibe por la unidad en el otro tipo de moneda. En la actualidad hay ne-gocios que se dedican a cambiar monedas de un pas por monedas de otro. Estos nego-cios se llaman casas de cambio.

    En esta sesin aprenders a realizar conversiones entre la moneda de Mxico y las mo-nedas de distintos pases.

    sesin 1

    1 Tipo de cambio vigente al 24 de noviembre de 2005.

    Relaciones de proporcionalidad

    MAT1B4S31.indd164 8/25/073:33:27PM

  • I165

    MATEMTICAS

    Consideremos lo siguienteLa tabla 1 muestra algunas conversiones que se hicieron en una casa de cambio con monedas de distintos pases respecto del peso mexicano.

    Pas Nombre de la moneda Cantidad en la moneda correspondienteCantidad recibida en

    pesos mexicanos

    Estados Unidos de Amrica Dlar estadounidense 10 117

    Espaa Peseta espaola 100 7.48

    Inglaterra Libra esterlina 200 3666

    Japn Yen japons 200 17.8

    Guatemala Quetzal guatemalteco 150 210

    Tabla 1

    Vicente fue de viaje a los Estados Unidos de Amrica y a Guatemala. A su regreso, cambi las monedas que le sobraron: 13 dlares estadounidenses y 8 quetzales guatemaltecos.

    Contesten las siguientes preguntas:

    a) Qu cantidad en pesos recibi Vicente por los 8 quetzales guatemaltecos?

    b) Qu cantidad en pesos recibi Vicente por los 13 dlares estadounidenses?

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar la cantidad en pesos que equivale a 8

    quetzales guatemaltecos.

    Cantidad de quetzales guatemaltecos

    Cantidad recibida en pesos mexicanos

    150 210

    50

    5

    1

    8

    Tabla 2

    MAT1B4S31.indd165 8/25/073:33:30PM

  • 166

    secuencia 31Los quetzales guatemaltecos y los pesos son cantidades directamente proporcionales,

    cul es la constante de proporcionalidad que permite multiplicar cualquier cantidad de

    quetzales guatemaltecos y encontrar su equivalente en pesos?

    ii. Un equipo de otra escuela hizo la siguiente observacin:

    Si llamamos x a la cantidad de quetzales guatemaltecos que se van a cambiar y lla-mamos y a la cantidad de pesos que se obtienen por el cambio, la siguiente expresin algebraica permite obtener la cantidad y de pesos:

    y = 1.4x Comenten:

    a) Estn de acuerdo con la expresin algebraica que encontraron en el otro grupo?

    b) Con esta expresin encuentren cuntos pesos obtienen si cambian 8 quetzales. Obtuvieron el mismo resultado que al llenar la tabla?

    iii. Llamen x a la cantidad de dlares que se van a cambiar y llamen y a la cantidad de pesos que se obtiene por el cambio. Cules de las siguientes expresiones algebraicas permiten obtener y a partir de x?

    y = x 11.70x = y 11.70y = x x = y y = 11.70x x = 11.70y

    Comparen las expresiones que escogieron.

    iV. Completen la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corres-ponden a las distintas situaciones de proporcionalidad de la tabla 1.

    Relacin proporcionalidad Expresin algebraica

    Cambio de dlar estadounidense (x) a pesos (y) y = 11.70x

    Cambio de quetzales guatemaltecos (x) a pesos (y) y = 1.4x

    Cambio de libra esterlina (x) a pesos (y)

    Cambio de peseta espaola (x) a pesos (y)

    Cambio de yen japons (x) a pesos (y)

    Tabla 3

    MAT1B4S31.indd166 8/25/073:33:33PM

  • I167

    MATEMTICAS

    A lo que llegamosA las relaciones de proporcionalidad directa les corresponden expre-siones algebraicas que permiten encontrar las cantidades multiplican-do su correspondiente por la constante de proporcionalidad.

    Por ejemplo, si la cantidad de dlares estadounidenses que se van a cambiar se representa como x, y la cantidad de pesos que se obtienen se representa como y, entonces la expresin algebraica

    y = 11.70x permite saber la cantidad de pesos (y) que se obtienes al cambiar cierta cantidad de dlares (x). La constante de proporcionalidad en este caso es: 11.70 pesos por cada dlar.Esta expresin es llamada la expresin algebraica que corresponde a la relacin de proporcionalidad directa.

    Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla para encontrar las cantidades de pesos que se obtienen

    al cambiar distintas cantidades de dlares canadienses.

    Cantidad de dlares canadienses Cantidad recibida en pesos mexicanos

    20 178

    10

    1

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite calcular la cantidad de

    pesos obtenidos al cambiar dlares canadienses?

    b) Cul es la expresin algebraica para calcular la cantidad de pesos obtenidos al

    cambiar dlares canadienses?

    MAT1B4S31.indd167 8/25/073:33:33PM

  • 168

    secuencia 31

    expresiones algebraiCas y relaCiones de proporCionalidad en distintos ContextosPara empezarEn esta sesin continuars estudiando las expresiones algebraicas correspondientes a las situaciones de proporcionalidad.

    En la secuencia 16 de tu libro de Matemticas I, volumen I estudiaste la aplicacin su-cesiva de constantes de proporcionalidad en el clculo de amplificaciones de imgenes con los microscopios pticos compuestos.

    Consideremos lo siguiente

    sesin 2

    Tamao real (micras)

    Tamao obtenido con la primera lente

    (micras)

    Tamao final (micras)

    Bacteria 1 3 45Espermatozoide

    humano 8

    Cloroplasto 11

    Glbulo rojo 12

    Glbulo blanco 200

    Tabla 1

    En esta tabla hay varias relaciones de proporcionalidad. En sus cuadernos escriban la expresin algebraica que permite:

    a) Pasar del tamao real del objeto al tamao final.

    b) Pasar del tamao real al tamao obtenido con la primera lente.

    c) Pasar del tamao obtenido con la primera lente al tamao obtenido con la segun-da lente.

    En el laboratorio de Ciencias hay algunos microscopios compuestos. Uno de ellos tiene una lente en el objetivo que aumen-ta 15 veces el tamao de los objetos. Ade-ms, tiene una lente en el ocular que au-menta 10 veces. Llenen la siguiente tabla para encontrar el tamao con el que se vern las imgenes usando este microscopio.

    MAT1B4S31.indd168 8/25/073:33:35PM

  • I169

    MATEMTICAS

    Manos a la obrai. En el siguiente diagrama se llama x al tamao real, y al tamao obtenido con la pri-

    mera lente y w al tamao final visto en el microscopio. Compltenlo:

    Comparen las frmulas que obtuvieron en el diagrama y comenten cmo las obtuvieron.

    A lo que llegamosCuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad se obtienen varias relaciones de proporcionalidad. Para cada una de estas relaciones se puede encontrar una expresin algebraica.

    Por ejemplo, en un microscopio con lentes de 20 y 30 veces de aumen-to, si se llama x al tamao real, y al tamao obtenido con la primera lente y w al tamao final, se pueden obtener: La expresin que permite pasar del tamao real al tamao obteni-

    do con la primera lente: y = 20x La expresin que permite pasar del tamao obtenido con la prime-

    ra lente al tamao obtenido con la segunda lente: w = 30y

    La expresin que permite pasar directamente del tamao real al tamao final:

    w = 600xLa constante de proporcionalidad de la ltima expresin se obtiene al multiplicar las constantes dadas por los aumentos de las lentes.

    Expresin algebraica para pasar del tamao real al tamao

    obtenido con la primera lente

    y = 15x

    Expresin algebraica para pasar del tamao obtenido con la primera lente al tamao

    final

    ____________

    Expresin algebraica para pasar del tamao real al tamao final

    _____________

    Tamao obtenido con la primera lente:

    Tamao real: Tamao final:

    MAT1B4S31.indd169 8/25/073:33:35PM

  • 170

    secuencia 31ii. En la secuencia 15 de su libro de Matemticas i aprendieron que el rendimiento de

    un automvil es el nmero de km recorridos por cada litro de gasolina.

    Si el rendimiento de un automvil es de 18 km por litro de gasolina,a) Cuntos km recorrer ese automvil con 2 de gasolina?

    b) Y con 5 litros de gasolina? c) Cul es la expresin algebraica que permite calcular la distancia recorrida para

    cualquier cantidad de litros de gasolina?

    Completen la siguiente tabla para saber cuntos litros de gasolina consume el automvil en las distintas rutas indicadas en la tabla.

    Ruta Distancia recorrida (km)Consumo de gasolina

    ( )

    Morelia Guanajuato 162

    Ciudad Victoria Monterrey 288

    Ciudad de Mxico Guadalajara 576

    Aguascalientes Campeche 1818

    Tabla 2

    d) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de

    gasolina a partir de la distancia que se recorre?

    e) Cul es la expresin algebraica que corresponde a esta situacin de proporciona-

    lidad?

    A lo que llegamosEn la relacin de proporcionalidad del rendimiento de gasolina encon-traron dos expresiones algebraicas: La que permite calcular los kilmetros que se pueden recorrer con

    cierta cantidad de litros de gasolina. La que permite calcular la cantidad de gasolina necesaria para

    recorrer cierta cantidad de kilmetros.

    MAT1B4S31.indd170 8/25/073:33:38PM

  • I171

    MATEMTICAS

    Lo que aprendimosUn microscopio tiene una lente en el objetivo que aumenta 30 veces el tamao de los objetos y una lente en el ocular que aumenta 20 veces. 1. Encuentra:

    a) La expresin algebraica que permite pasar del tamao real de un objeto a su ta-

    mao final.

    b) La expresin algebraica que permite pasar del tamao real a su tamao obtenido

    con la primera lente.

    c) La expresin algebraica que permite pasar del tamao obtenido con la primera

    lente al tamao obtenido con la segunda lente.

    2. Hay una clula que con este microscopio se ve de 3 milmetros de tamao, cunto

    mide realmente?

    Encuentra la expresin algebraica que permite encontrar el tamao real de un objeto

    si se sabe el tamao final con el que se ve.

    Para saber msSobre el tipo de cambio entre monedas de distintos pases consulta: http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    Recuerden que:

    Un nmero y su

    recproco multipli-

    cados dan 1. Por ejemplo:

    6 yQ = 1

    y = 18x

    Cantidad de litros de gasolina

    Kilmetros recorridos

    x = a Q i y

    El siguiente diagrama muestra la relacin que existe entre estas dos expresiones:

    En este caso, las constantes de proporcionalidad son nmeros recprocos, es decir, la constante de proporcionalidad de la segunda expresin es el recproco de la constante de proporcionalidad de la primera.

    MAT1B4S31.indd171 8/25/073:33:39PM

  • 172

    secuencia 32

    En esta secuencia aprenders a explicar las caractersticas de una grfica que represente una relacin de proporcionalidad en el plano cartesiano.

    Grficas y sus caractersticasPara empezarGrficas

    Mediante el uso de las grficas se pueden interpretar y explicar situaciones diversas, por ejemplo:

    El crecimiento de la poblacin en determinada regin del pas en un tiempo dado.

    La variacin del peso de un beb a lo largo de cierto tiempo.

    El ndice de natalidad en un pas a travs del tiempo.

    En la secuencia 7 cmo es y dnde est la poblacin? de su libro de Geografa de Mxico y del mundo, volumen I estudiaron la distribucin de la poblacin en Mxico. La siguiente es una grfica que muestra el crecimiento de la poblacin de nuestro pas en los ltimos 8 aos.

    sesin 1

    Grficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

    104

    103

    102

    101

    100

    99

    98

    97

    96

    95

    1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

    Crecimiento de la poblacin en los ltimos 8 aos

    A = (2004, 104)

    Mill

    on

    es d

    e h

    abit

    ante

    s

    Aos

    MAT1B4S32.indd172 8/25/073:35:02PM

  • I173

    MATEMTICASPara localizar e interpretar los puntos de una grfica se hace uso de sus coordenadas. Las coordenadas del punto a son (2004,104), esto quiere decir que en el ao 2004 haba 104 millones de habitantes. En la primera coordenada del punto, llamada abscisa, van los aos, y en la segunda coordenada del punto, llamada ordenada, el nmero de habitantes que hubo en ese ao. El punto a tiene como abscisa a 2004 y como ordenada a 104.De acuerdo con la informacin de la grfica, respondan lo siguiente:

    a) En qu ao haba 102millones de habitantes?

    b) En qu ao haba 95 millones de habitantes?

    c) Localicen el punto que tiene ordenada 96. Cul es su abscisa?

    A qu ao corresponde este punto? Cuntos mi-

    llones de habitantes hubo en ese ao?

    d) Completen la siguiente tabla para establecer el nmero de habitantes que hubo en los aos que se indican.

    Ao Nmero de habitantes (en millones)

    1997

    1998

    1999

    2000

    2001

    2002

    2003

    2004 104

    Comenten:

    Cmo se vera la grfica si de un ao a otro la poblacin no hubiera crecido?

    Consideremos lo siguienteA continuacin van a construir las grficas de dos situaciones que han es-tudiado en este libro.

    En la secuencia 27 de su libro de Matemticas I, Volumen II analizaron que el peso de un beb durante el primer ao de vida aumenta aproxi-madamente 0.5kg por mes. Elaboraron una tabla en la que se muestra cmo va cambiando el peso de un beb mes con mes, hasta cumplido un ao de edad, considerando que el beb al nacer pes 3 kg. a) En sus cuadernos copien la tabla que completaron en la secuencia 27.

    b) Con los datos de la tabla terminen la siguiente grfica:

    MAT1B4S32.indd173 8/25/073:35:05PM

  • 174

    secuencia 32

    c) En qu mes el beb pes 7.2 kg?

    d) En qu mes el beb pes 3.6 kg?

    Las compaas fabricantes de automviles hacen pruebas de velocidad a sus autos para verificar sus motores, frenos y sistemas de suspensin. Entre otras cosas, deben verificar que las velocidades a las que pueden viajar se mantengan constantes duran-te recorridos largos.

    En la secuencia 6 de su libro de Matemticas I, volumen I hicieron una tabla de la velocidad promedio de un automvil. Supongan que, viajando en carretera, un auto-mvil va a 120 km por hora en promedio.a) Completen la siguiente tabla para encontrar las distancias recorridas.

    Tiempo de viaje (en horas) Kilmetros recorridos

    1

    2

    3 wQ

    4 tQ

    5 eQ

    6

    Crecimiento del beb durante sus primeros 6 meses

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    7.57

    6.56

    5.55

    4.54

    3.53

    2.52

    1.51

    0.5

    Kilo

    gr a

    mo

    s

    Meses

    MAT1B4S32.indd174 8/25/073:35:05PM

  • I175

    MATEMTICASb) Con los datos de la tabla anterior, completen la siguiente grfica.

    c) Cunto tiempo tarda en recorrer el automvil 20 km?

    d) Cunto tiempo tarda en recorrer el automvil 40 km?

    Respondan:

    Cul de las dos grficas que acaban de construir, la del peso del beb y la de la velocidad

    promedio del automvil, corresponde a una situacin de proporcionalidad?

    Comparen sus respuestas y sus grficas.

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto pes el beb a los dos meses de nacido?

    b) Cunto pes a los cuatro meses?

    c) A los 6 meses el beb pes 6 km. Cunto pes a los 12 meses?

    6

    5eQ

    4tQ

    3wQ

    2

    1

    0 120 240 420 504 640 720Distancia (en kilmetros)

    Tiem

    po

    (en

    ho

    ras)

    (120,1)

    (240,2)

    MAT1B4S32.indd175 8/25/073:35:06PM

  • 176

    secuencia 32ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el nmero de kilmetros recorridos en

    las distintas fracciones de tiempo que se indican:

    Tiempo de viaje (hs) Kilmetros recorridos

    1

    wQ

    eQ

    rQ

    tQ

    yQ

    Comenten:

    a) En qu fraccin de tiempo se recorren 20 km?, a cuntos minutos es equivalen-te esta fraccin de tiempo?

    b) Hay un tiempo para el cual el automvil recorre 0 km?c) Cuntos kilmetros se recorren en cero minutos?

    A lo que llegamos Las grficas son de mucha utilidad para representar diversas situa-

    ciones que se quieran estudiar. Por ejemplo, la grfica de la veloci-dad constante del automvil es una grfica de proporcionalidad directa, porque la distancia recorrida por el automvil y el tiempo que tarda en recorrerla son cantidades directamente proporcionales.

    En las situaciones de proporcionalidad el punto (0,0) es parte de la grfica (en 0 horas se recorren 0 km). Esto siempre sucede en las grficas que representan relaciones de proporcionalidad.

    MAT1B4S32.indd176 8/25/073:35:06PM

  • I177

    MATEMTICAS

    Lo que aprendimos1. En la secuencia 31 de su libro de Matemticas I encontraron que la expresin algebraica.

    y = 11.70x Permite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantida-des de dlares (x).

    En su cuaderno hagan la grfica que corresponde a esta situacin de proporcionalidad y contesten:

    a) Si x = 0, cunto vale la y?

    b) Si x = 10, cunto vale y?

    c) Si x = 30, cunto vale y?

    comparacin de GrficasPara empezarEn la secuencia 6 del libro de Matemticas I, volumen I estudiaste las propiedades de las cantidades directamente proporcionales y aprendiste que la cantidad de pintura es pro-porcional a su precio.

    Consideremos lo siguienteCompleten la tabla 1 para determinar los costos de varias cantidades de pintura azul y, en su cuaderno, hagan una grfica correspondiente.

    Cantidad de pintura azul (ml)

    Costo de la pintura ($)

    500 50

    100

    800

    200

    0

    400

    1000

    Tabla 1

    a) Qu cantidad de pintura se compra con $5?

    b) Qu cantidad de pintura se compra con $3?

    sesin 2

    MAT1B4S32.indd177 8/25/073:35:07PM

  • 178

    secuencia 32

    Manos a la obra i. En un equipo de otra escuela hicieron lo siguiente para construir la grfica asociada

    a la tabla 1.

    Primero determinaron dos puntos a graficar.

    a = (500ml, $50)B = (100ml, $10)Luego localizaron los puntos a y B en el plano cartesiano. Finalmente, dijeron que como la grfica era de proporcionalidad, entonces bastaba unir el punto a con el punto B y prolongar la recta que une a estos puntos y as obtener la grfica asociada a la tabla 1.

    En el siguiente espacio hagan el procedimiento que hizo el equipo de la otra escuela.

    A = (500 ml, $50) B = (100 ml, $10) C = (800 ml, $ ) D = (200 ml, $ )

    E = (0 ml, $ ) F = (400ml, $ ) G = (1000 ml, $ )

    Tabla 2

    Comenten:

    Estn de acuerdo con el procedimiento que hicieron en la otra escuela? Por qu?

    Con los datos de la tabla 1 completen los siguientes datos para determinar algunos pun-tos ms que pertenecen a la grfica.

    90858075706560555045403530252015105

    10510095

    100 200 300 400 500 600 700 800 900

    A = (500ml, $50)

    Prec

    i o d

    e l a

    pi n

    tura

    azu

    l ($)

    Cantidad de la pintura azul (ml)

    MAT1B4S32.indd178 8/25/073:35:08PM

  • I179

    MATEMTICASEn la grfica que completaron anteriormente localicen y dibujen los puntos de la tabla 2.

    Cules de los puntos que dibujaron pertenecen a la grfica?

    ii. Completen las siguientes tablas, en las que vienen los precios de algunas cantidades de pintura amarilla y pintura verde.

    Cantidad de pintura amarilla

    (ml)

    Costo de la pintura

    ($)

    Cantidad de pintura verde

    (ml)

    Costo de la pintura

    ($)

    500 60 500 65100 100800 800200 2000 0

    400 400

    Tabla 3 y 4

    En el siguiente espacio hagan la grfica asociada a las cantidades de pintura amarilla y su precio.

    90858075706560555045403530252015105

    10510095

    100 200 300 400 500 600 700 800 900

    A = (500ml, $60)

    Prec

    io d

    e la

    pin

    tura

    am

    arill

    a ($

    )

    Cantidad de la pintura amarilla (ml)

    MAT1B4S32.indd179 8/25/073:35:09PM

  • 180

    secuencia 32En el siguiente espacio hagan la grfica asociada a las cantidades de pintura verde y su precio.

    iii. En el siguiente espacio dibujen las grficas correspondientes a la tabla 1, la tabla 3 y la tabla 4 (usen el color azul para la 1, el amarillo para la 3 y el verde claro para la 4).

    90858075706560555045403530252015105

    10510095

    100 200 300 400 500 600 700 800 900

    A = (500ml, $65)

    Prec

    io d

    e la

    pin

    tura

    ver

    de

    ($)

    Cantidad de la pintura verde (ml)

    90858075706560555045403530252015105

    10510095

    100 200 300 400 500 600 700 800 900

    Prec

    io d

    e la

    pin

    tura

    ($)

    Cantidad de la pintura (ml)

    MAT1B4S32.indd180 8/25/073:35:12PM

  • I181

    MATEMTICASiV. Comenten lo siguiente:

    a) El litro de pintura verde cuesta ms que el litro de pintura azul. Cmo se refleja esto en la grfica que completaron anteriormente?

    b) El costo del litro de pintura verde es mayor que el costo de pintura amarilla. Cmo se refleja esto en la grfica que completaron anteriormente?

    A lo que llegamosUna situacin en la que estn involucradas cantidades directamente proporcionales (por ejemplo, la cantidad de pintura azul y su costo) tiene asociada una grfica con dos caractersticas particulares:

    Son puntos que estn sobre una lnea recta.

    Pasan por el origen, es decir, por el punto (0,0).De la comparacin de grficas puede obtenerse informacin sobre la relacin de proporcionalidad. Por ejemplo, la grfica de la pintura azul se encuentra entre la de la pintura verde claro y el eje horizontal. La interpretacin de este hecho es que la pintura verde claro es ms cara que la pintura azul, pues 500 ml de pintura verde claro cuestan $65, mientras que 500 ml de pintura azul cuestan $50.

    Lo que aprendimosEn la secuencia 31 de su libro de Matemticas I encontraron que la expresin algebraica

    y = 8.9x permite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantida-des de dlares canadienses (x).1. En sus cuadernos grafiquen esta situacin de proporcionalidad y contesta:

    a) Si y = 0, cunto vale x?b) Cules puntos de la grfica estn sobre una lnea recta?

    2. Comparen la grfica anterior con la grfica correspondiente a la expresin y = 11.70 x, que permite encontrar la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar dlares ame-ricanos.

    a) Cul de las dos grficas queda entre el eje horizontal y la otra grfica? Cmo interpretan esto?

    Comparen sus respuestas.

    Para saber ms

    Sobre el crecimiento de la poblacin en el pas consulten:http://www.cideiber.com/infopaises/Mexico/Mexico-02-01.html[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    MAT1B4S32.indd181 8/25/073:35:12PM

  • secuencia 33

    182

    MAT1 B5 S33.indd 182 8/25/07 3:37:31 PM

  • IMATEMTICAS

    183

    BLOQUE 5

    MAT1 B5 S33.indd 183 8/25/07 3:37:33 PM

  • secuencia 33

    184

    En esta secuencia utilizars procedimientos informales y algortmicos de adicin y sustraccin de nmeros con signo en diversas situaciones.

    LOs tOmOs Para empezarLos tomos

    Una de las inquietudes ms antiguas del hombre ha sido la de conocer de qu tipo de sustancias estn hechas las cosas. Si bien se necesitaron muchos aos de estudio para responder esta pregunta, ahora se sabe que toda sustancia est hecha de materia, que a su vez est formada por tomos. Asimismo, los tomos estn compuestos por varios tipos de partculas, entre las que destacan las siguientes tres:

    Los neutrones. No tienen carga elctrica o su carga es nula, y forman parte del ncleo del tomo. La carga de un neutrn es 0.Los protones. Tienen carga elctrica positiva y, junto con los neutrones, constituyen el ncleo del tomo. La carga de un protn es +1.Los electrones. Tienen carga elctrica negativa y giran alrededor del ncleo del tomo. La carga de un electrn es 1.

    La carga total de un tomo depende del nmero de protones (cargas positivas) y de electrones (cargas negativas) que lo componen. Al juntar un protn y un electrn se obtiene una carga 0, ya que la carga positiva del protn se cancela con la carga negati-va del electrn. As, la carga total de un tomo es el nmero de protones o electrones que resultan despus de haber hecho todas las cancelaciones posibles.

    sEsin 1

    +1

    +1+1

    +1

    +1

    +1+1 0

    0

    0

    00

    00

    0-1

    Neutrones

    ProtonesElectrones

    Cuentas de nmeros con signo

    MAT1 B5 S33.indd 184 8/25/07 3:37:35 PM

  • IMATEMTICAS

    185

    Por ejemplo, los tomos A y B de la siguiente figura son distintos, pero ambos tienen carga total +1:

    TOMO A TOMO B

    Protones

    Electrones

    Consideremos lo siguiente Completen la siguiente tabla para calcular la carga total de distintos tomos:

    tomo Partculas Carga total

    A +2

    B

    C

    D

    I

    E

    F

    G

    H

    Comparen sus tablas y comenten:

    Aparte de los tomos con carga +2 que aparecen en la tabla, habr otros tomos que tengan carga +2? Dibjenlos.

    MAT1 B5 S33.indd 185 8/25/07 3:37:37 PM

  • secuencia 33

    186

    Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela dijeron que los tomos A, B, I y H tienen carga total +2.Explicaron lo siguiente:

    La carga total del tomo A se puede obtener cancelando los pares protn-electrn que tiene:

    + 2

    Cancelen los pares protn-electrn en los tomos B, I y H y verifiquen si tienen carga total +2.

    Comenten: Tienen carga total +2 los tomos A, B, I y H?

    a) En la tabla hay dos tomos con carga total 1, cules son? y

    Verifiquen las cargas cancelando pares protn-electrn.

    b) En la tabla, cules tomos tienen carga 0?

    ii. El tomo F tiene carga total 3. Dibujen dos tomos ms con carga 3.

    Comparen sus tomos y comenten:

    a) Cuntos tomos distintos, pero con carga 3, encontraron en el grupo?, cuntos protones y cuntos electrones tienen?

    b) En todos los tomos que encontraron hay ms cargas negativas que positivas; cun-tas cargas negativas ms hay que cargas positivas en cada tomo?

    A lo que llegamosUn tomo tiene:

    Carga positiva, si tiene ms protones que electrones.

    Carga negativa, si tiene ms electrones que protones.

    La carga total de un tomo es independiente del nmero de cargas 0 (neutrones) que tenga, ya que no aportan a la carga total.

    MAT1 B5 S33.indd 186 8/25/07 3:37:38 PM

  • MATEMTICAS I

    187

    iii. Completen con los protones o electrones necesarios para que los siguientes tomos tengan carga total 0.

    TOMO A TOMO B

    a) Cuntos protones tiene el tomo A? Y cuntos electro-

    nes debe tener para que tenga carga total 0?

    b) Cuntos electrones tiene el tomo B? Y cuntos protones

    debe tener para que tenga carga total 0?

    c) Si un tomo tiene carga total 0 y se sabe que tiene 25 protones, cuntos electrones tiene?

    A lo que llegamosUn tomo tiene carga 0 si tiene el mismo nmero de protones que de electrones, ya que la carga positiva de cada protn se anula con la carga negativa de cada electrn.

    iV. El valor absoluto de la carga de un tomo es el nmero total de cargas que tiene, es decir, es el nmero de protones o electrones que quedan despus de cancelar las parejas protn-electrn.

    a) Encuentren el valor absoluto de las cargas de los siguientes tomos:

    Partculas del tomo Carga total Valor absoluto de la carga total

    MAT1 B5 S33.indd 187 8/25/07 3:37:39 PM

  • secuencia 33

    188

    b) Dibujen en cada uno de los rectngulos un tomo que tenga el valor absoluto de la carga que se indica.

    Partculas del tomoValor absoluto

    de la carga total

    4

    7

    0

    Comparen sus tomos.

    Lo que aprendimos1. Completa con los protones o electrones necesarios para que la carga de los tomos

    siguientes sea +3.

    En todos los tomos que encontraste hay ms cargas positivas que negativas, cuntas

    cargas positivas ms hay?

    MAT1 B5 S33.indd 188 8/25/07 3:37:39 PM

  • MATEMTICAS I

    189

    2. Encuentra cuatro tomos distintos en los que la carga sea 2.

    a) En todos los tomos que encontraste hay ms cargas negativas que positivas,

    cuntas cargas negativas ms hay?

    b) Cul es el valor absoluto de la carga de estos tomos?

    sUmas dE nmErOs cOn signOPara empezarEl proceso mediante el cual se agregan o se quitan cargas de un tomo se llama ioniza-cin. En esta sesin agregars protones y electrones a algunos tomos y aprenders a encontrar la carga final mediante la suma de nmeros con signo.

    Consideremos lo siguiente a) Cul es la carga final de un tomo que tiene originalmente carga total +3 y se le

    agregan 2 electrones? Pueden usar crculos azules y anaranjados para representar las partculas del tomo.

    b) Esta ionizacin se puede representar mediante una suma de nmeros con signo:

    Se agregan partculas

    (+3) + (2)

    Carga original Carga de los del tomo 2 electronesCul es el resultado de esta suma?

    (+3) + (2) = Comparen sus respuestas y comenten:

    Cuntos tomos distintos con carga +3 dibujaron en el grupo para hacer la suma?

    sEsin 2

    MAT1 B5 S33.indd 189 8/25/07 3:37:40 PM

  • secuencia 33

    190

    + =

    + =

    + =

    Comparen sus tablas. Comenten:

    Cambia el valor de la suma (+3) + (2) si cambia el nmero de protones y electrones del tomo de carga +3?

    ii. En sus cuadernos, representen la siguiente ionizacin usando crculos azules y ana-ranjados para las cargas:

    A un tomo que tiene originalmente carga total +5 se le agregan 8 electrones, cul es la carga que tiene finalmente este tomo?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Cuntos tomos distintos con carga +5 dibujaron en el grupo para hacer la suma?b) Cambia el valor de la suma (+5) + (8) si cambia el nmero de pares protn-elec-

    trn del tomo de carga +5?

    iii. Hagan las siguientes sumas de nmeros con signo. Pueden representar las cargas usando crculos azules y anaranjados.

    a) (9) + (+1) = b) (+4) + (2) =

    c) (5) + (9) = d) (6) + (+6) =

    e) (+3) + (+2) = f) (+8) + (8) =

    g) (+25) + (33) = h) (-24) + (17) =

    Manos a la obrai. En la siguiente tabla se han dibujado distintos tomos con carga +3. Usando estos

    tomos encuentren la carga final cuando se le agregan 2 electrones.

    (+3) + (2) =

    MAT1 B5 S33.indd 190 8/25/07 3:37:41 PM

  • MATEMTICAS I

    191

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo hicieron la suma (+25) + (33)?, dibujaron todas las partculas?

    A lo que llegamosLas cargas simtricas o nmeros simtricos tienen el mismo valor absoluto y estn a la misma distancia del cero en la recta numrica. Por ejemplo: +6 y 6 son simtricos. Estos nmeros al sumarse dan cero, es decir: (6) + (+6) = (+6) + (6) = 0

    iV. La suma (+100) + (123) representa la siguiente ionizacin: a un tomo de carga +100 se le agregan 123 electrones. Cmo haran la suma sin dibujar las partculas?

    A continuacin se presenta una manera de hacerlo:

    a) Un tomo con carga total +100 tiene ms protones que electrones, cuntos protones ms tiene?

    b) Al hacer la ionizacin, estos 100 protones del tomo se cancelan con 100 de los electrones que se le agregan. Cuntos electrones quedan?

    c) Cunto es (+100) + (123)?

    V. Resuelvan las siguientes sumas de nmeros con signo. No usen dibujos.

    Comenten sus resultados y sus procedimientos.

    A lo que llegamos Para sumar dos nmeros del mismo signo se pueden sumar los valores absolutos

    de los nmeros y el signo del resultado es el signo de los nmeros que se suman.

    Por ejemplo, para sumar +3 con +2:se suma +3 con +2 : +3 + +2 = 3 + 2 = 5 y el signo del resultado es "+": (+3) + (+2) = +5Para sumar 5 con 9:se suma 5 con 9 : 5 + 9 = 5 + 9 = 14y el signo del resultado es "": (5) + (9) = 14

    a) (+105) + (+10) = b) (110) + (150) =

    c) (230) + (+525) = d) (+125) + (125)=

    MAT1 B5 S33.indd 191 8/25/07 3:37:42 PM

  • secuencia 33

    192

    Vi. Los tomos no son tiles para representar nmeros decimales ni fraccionarios, porque los electrones y los protones slo tienen cargas 1 y +1. Sin embargo, para sumar nmeros decimales y nmeros fraccionarios con signo se pueden usar las dos reglas que acaban de aprender.

    Hagan las siguientes sumas usando las reglas anteriores:

    a) (1.3) + (1.7) = Recuerden que 1.3 = 1.3 y que 1.7 = 1.7

    b) Contesten las siguientes preguntas:

    Cunto es + rQ ? Cunto es rE ? Encuentren la siguiente diferencia:

    rE rQ = Hagan la siguiente suma de nmeros con signo:

    + rQ + rE =

    c) (20.5) + (+10.5) =

    Comparen sus resultados y procedimientos. Comenten:

    En una telesecundaria dijeron que sumar 1.3 y 1.7 es como si a un tomo de carga total 1.3 se agregara una partcula de carga 1.7. Estn de acuerdo con esta afirma-cin?, cmo dibujaran estas partculas?

    Para sumar dos nmeros de signos distintos se puede encontrar la diferencia de los valores absolutos de los nmeros y el signo del resultado es el signo del nmero de mayor valor absoluto.

    Por ejemplo, para sumar +3 con 2:se encuentra la diferencia de +3 y 2

    ; es decir, +3 2 = 3 2 = 1

    y el signo del resultado es "+": (+3) + (2) = +1Para sumar 9 con +1:se encuentra la diferencia de 9 y +1 ; es decir, 9 +1 = 9 1 = 8y el signo del resultado es "": (9) + (+1) = 8

    MAT1 B5 S33.indd 192 8/25/07 3:37:42 PM

  • MATEMTICAS I

    193

    Lo que aprendimos1. Realiza las siguientes operaciones:

    a) (10) + (+101) =

    b) (31)+ (+15) =

    c) (1.6) + (1.3) =

    d) + rQ + rQ =

    2. Encuentra los simtricos de los siguientes nmeros:

    a) El simtrico de rQ es b) El simtrico de +35 es

    c) El simtrico de 7.3 es

    d) El simtrico de 10 es

    3. La carga total de un tomo se puede calcular mediante sumas de nmeros con signo.

    El siguiente tomo tiene 3 electrones, 2 protones y 2 electrones.

    Su carga total se puede calcular con la siguiente suma de nmeros con signo:

    (3) + (+2) + (2)

    Carga de 3 Carga de 2 Carga de 2 electrones protones electrones

    Cul es el resultado de esta suma?

    (3) + (+2) + (2) =

    MAT1 B5 S33.indd 193 8/25/07 3:37:43 PM

  • secuencia 33

    194

    rEstas dE nmErOs cOn signOPara empezarEn esta sesin continuars estudiando las operaciones de nmeros con signo. Ahora realizarn ionizaciones quitando protones y electrones a algunos tomos. Aprenders a encontrar la carga final mediante la resta de nmeros con signo.

    Consideremos lo siguienteA un tomo que tena originalmente carga total -2 se le quitaron 5 protones, cul es la carga que tiene ahora este tomo?

    Esta ionizacin se puede representar mediante la siguiente resta de nmeros con signo:

    Se quitan partculas

    (2) (+5)

    Carga original Carga de los 5 del tomo protones

    Cul es el resultado de esta resta de nmeros con signo?

    (2) (+5) =

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Cuntos tomos distintos con carga 2 dibujaron en el grupo para hacer esta resta?

    b) Se le pueden quitar 5 protones a un tomo de carga 2?

    Manos a la obrai. El siguiente tomo tiene 2 electrones, 5 protones y 5 electrones.

    Su carga total es 2 y se puede calcular con la siguiente suma de nmeros con signo:

    (2) + (+5) + (5)

    Carga de 2 Carga de 5 Carga de 5 electrones protones electrones

    sEsin 3

    MAT1 B5 S33.indd 194 8/25/07 3:37:44 PM

  • MATEMTICAS I

    195

    a) Cul es el resultado de esta suma?

    b) Qutenle 5 protones a este tomo, cul es su carga final?

    c) Encuentren el resultado de las siguientes operaciones:

    (2) + (+5) + (-5) (+5) =

    Se quitan partculas

    (2) (+5) =

    Se quitan partculas

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    La suma (+5)+(5) = 0, ser cierto que (2)+(+5)+ (-5)(+5) = (2)(+5)?

    ii. Los siguientes tomos tienen carga 1:

    tomo A (1) + (4) + (+4) tomo B (1)

    tomo C (1) + (+1)+(1) tomo D (1) + (5) + (+5)

    a) Algunos de estos tomos se pueden usar para quitar 4 protones, cules son? y

    b) Quiten 4 protones de los tomos que escogieron. Cul es la carga de los tomos?

    c) Encuentren el resultado de las siguientes operaciones:

    (1) + (5) + (+5) (+4) =

    (1) + (-4) + (+4) (+4) =

    d) Cunto es (1) (+4)? (1) (+4) =

    MAT1 B5 S33.indd 195 8/25/07 3:37:44 PM

  • secuencia 33

    196

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    Es lo mismo (1) + (5) + (+5) (+4) que (1) + (4) + (+4) (+4)?

    iii. Hay que hacer la resta: (+46) (18). Cul de las siguientes operaciones usaran para hacerla?

    (+46) + (+18) (+18) (-18)

    (+46) + (46) + (+46) (18)

    (+46) + (18) + (+18) (18)

    Hagan la resta.

    (+46) (18) =

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    En una escuela dijeron que al poner 18 electrones y quitar 18 electrones se cancelan. Para calcular (+46) (-18) escribieron lo siguiente:(+46) + (-18) + (+18) (-18) = (+46) + (+18)

    Es cierto que (+46) (-18) = (+46) + (+18)?

    iV. Hay que hacer la resta: (-10) (-12). Contesten las siguientes preguntas para hacerla:

    a) Cuntos electrones tendran que quitarle al tomo?

    b) Cul de las siguientes operaciones les sirve para hacer esta resta?

    (-10) + (-10) + (+10) (-12)

    (-10) + (-12) + (+12) (-12)

    c) Completen los clculos:

    (-10) (-12) = (-10) + + (-12) =

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    Es cierto que (-10) (-12) = (-10) + (+12)?

    MAT1 B5 S33.indd 196 8/25/07 3:37:45 PM

  • MATEMTICAS I

    197

    A lo que llegamosPara hacer restas de nmeros con signo se puede sumar el simtrico:

    Si A y B son dos nmeros con signo, entonces, A B = A + (simtrico de B)

    Ejemplos:

    Simtrico de +5

    (+2) (+5) = (+2) + (5) = 3

    Simtrico de 5

    (3) (5) = (3) + (+5) = +2

    V. Usen la regla anterior para hacer las siguientes restas:

    a) Hay que hacer la resta + eQ rQ . Contesten las siguientes preguntas para ayudarse:

    Cul es el simtrico de rQ ?

    Cunto es + eQ + + rQ ?

    Hagan la resta:

    + eQ rQ = + eQ + + rQ =

    b) Hay que hacer la resta (20.5) (+10.5). Contesten las siguientes preguntas para ayudarse:

    Cul es el simtrico de +10.5?

    Cunto es (20.5) + (10.5)?

    Hagan la resta:

    (20.5) (+10.5) = (20.5) + (10.5) =

    Recuerden que: Para hacer sumas de nmeros del mismo signo se suman los valores absolutos de los nmeros y el signo del resultado es el signo de los nmeros.

    MAT1 B5 S33.indd 197 8/25/07 3:37:46 PM

  • secuencia 33

    198

    Lo que aprendimosResuelve las siguientes operaciones

    a) (10) (30)= b) (+120) (17) =

    c) (6) (9) = d) (5.4) (+10)=

    e) (+3.6) (1.3)= f) + eR wQ

    =

    dE tOdO Un pOcOPara empezarLas operaciones de nmeros con signo pueden usarse para resolver problemas que apa-recen en distintos contextos de la vida cotidiana: en las prdidas y ganancias de una tienda, los goles a favor y en contra obtenidos en un torneo de futbol, etctera.

    En esta sesin usars sumas y restas de nmeros con signo para resolver este tipo de problemas.

    Lo que aprendimos1. En la siguiente tabla se registran los goles a favor y en contra de varios equipos que

    participan en un torneo de futbol. La diferencia de goles de cada equipo se obtiene al hacer la resta: goles a favor menos goles en contra. Completen la tabla.

    Equipo Goles a favor Goles en contra Diferencia de goles

    Gatos 5 2 3

    Pandas 6 3

    Lobos 0 2

    Coyotes 4 4

    Correcaminos 3 3

    Perros 3 1

    Osos 6 1

    Conejos 1 1

    Mapaches 3 0

    sEsin 4

    MAT1 B5 S33.indd 198 8/25/07 3:37:46 PM

  • MATEMTICAS I

    199

    2. La siguiente tabla reporta el balance de una tienda a lo largo de 7 meses de trabajo. El saldo por mes es la diferencia entre las ganancias y los gastos.

    Completen la tabla:

    Balance de una tienda de abarrotes

    Ganancias($)

    Gastos($)

    Saldo($))

    Enero 10 000.25 9 328.15 +672.10

    Febrero 9 235.36 9 875.95 640.59

    Marzo 12 568.12 10 139.00

    Abril 1 765.00 5 328.90

    Mayo 10 525.30 +2 545.50

    Junio 8 328.00 328.00

    Julio 6 728.00 4 216.00

    3. Resuelvan las siguientes operaciones con nmeros negativos y positivos:

    a) (8) + (30) =

    b) (+101) (17) + (17) =

    c) (21) + (5) (10) =

    d) (13) (8) (7) = 4. Resuelvan las siguientes operaciones:

    a) (1.25) + (+7.43) =

    b) (+ 6.7) (2.1) =

    c) (+ rQ ) ( wQ ) =

    d) ( eQ ) (+ tI ) =

    Para saber msSobre las operaciones con nmeros positivos y negativos consulta:http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/op_basicas.html Ruta: entrar al acceso directo operaciones con nmeros positivos y negativos.[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. CONEVyT (Consejo Nacional de Educacin para la Vida y el Trabajo).

    MAT1 B5 S33.indd 199 8/25/07 3:37:49 PM

  • secuencia 34

    200

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el clculo de reas en diversas figuras planas.

    reas de figuras formadas por rectasPara empezarA lo largo del curso has estudiado y trabajado con frmulas para calcular distintas reas; en esta secuencia resolvers problemas de clculo de reas de figuras formadas por rectas, crculos y semicrculos y aplicars lo que aprendiste en algunas secuencias de geometra.

    Geometra andaluza

    Los rabes hicieron uso de las matemticas para construir casas y edificios. Hermosos ejemplos son la Alhambra y el Alczar en Andaluca, donde muchos de los pisos y paredes estn hechos a partir de diseos geomtricos.

    Lo que aprendimos1. En la figura 1 est sealada una parte de un piso que aparece en la Alhambra. Los

    lados de las baldosas cuadradas miden 1 m y los lados de las baldosas rectangulares (azules, rojas y grises) miden 1 m por 50 cm.

    Figura 1

    sesin 1

    reas de figuras planas

    MAT1 B5 S34.indd 200 8/25/07 3:38:11 PM

  • IMATEMTICAS

    201

    Tomando en cuenta slo la parte del piso que est dentro de la lnea negra, contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto mide el rea de esta parte del piso?

    b) Cunto mide el rea de la regin cubierta por las baldosas grises (tanto cuadradas como rectangulares)?

    c) Cuntas veces ms grande es el rea de la regin azul que el rea de la roja?

    d) Comenten sus resultados y comprenlos.

    2. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto mide el rea del tringulo completo?

    b) Cunto mide el rea de la regin azul?

    c) Cunto mide el rea de la regin gris?

    Comparen sus soluciones y comenten:

    Cmo calcularon el rea de las dos regiones?

    3. Midan lo que sea necesario en la figura 3 y contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto mide el rea de la regin azul?

    b) Cunto mide el rea de la regin blanca?

    c) Escriban en sus cuadernos los procedimientos que utilizaron para calcular las reas de la regin azul y de la regin blanca.

    Comenten sus procedimientos.

    Figura 2

    Figura 3

    MAT1 B5 S34.indd 201 8/25/07 3:38:11 PM

  • secuencia 34

    202

    reas de figuras formadas por crcuLosLo que aprendimos1. Midan lo que sea necesario y contesten las siguientes preguntas:

    a) Qu figuras geomtricas aparecen en la figura 1?

    b) Cul es el rea de la regin azul?

    c) Tracen los ejes de simetra de la figura 1.

    Comenten sus procedimientos y contesten:

    a) Cuntos ejes de simetra tiene la figura 1?

    b) Cmo creen que se construy esta figura? Cpienla en sus cuadernos.

    2. Midan lo que sea necesario y copien la siguiente figura en su cuaderno.

    a) Cunto mide el rea de la regin roja?

    b) Tracen los ejes de simetra de la figura roja.

    Comparen sus respuestas y comenten los procedimientos que utilizaron para copiar la figura.

    sesion 2

    Figura 1

    Figura 2

    MAT1 B5 S34.indd 202 8/25/07 3:38:11 PM

  • IMATEMTICAS

    203

    3. Midan lo que sea necesario y contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto mide el rea de la regin roja?

    b) Tracen los ejes de simetra de la figura.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Los procedimientos que utilizaron para calcular el rea de la regin roja.

    b) Cmo se construy esta figura. Cpienla en sus cuadernos.

    4. Midan lo que sea necesario y copien la figura 4 en sus cuadernos:

    a) Cunto mide el rea de la figura amarilla?

    b) Tracen sus ejes de simetra.

    Comparen sus respuestas y comenten:

    a) Los procedimientos que utilizaron para calcular el rea de la regin amarilla.

    b) Cmo encontraron los ejes de simetra de la figura?

    Para saber ms

    Sobre diseos geomtricos en pisos consulten:http://www.interactiva.metem.unam.mxRuta: Geometra Teselados.[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Sobre problemas de clculo de reas sombreadas consulten:Calendario matemtico infantil 2005-2006. Un reto diario.

    Figura 3

    Figura 4

    MAT1 B5 S34.indd 203 8/25/07 3:38:12 PM

  • secuencia 35

    204

    sesin 1

    En esta secuencia reconocers las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la nocin de resultados equipro-bables y no equiprobables.

    Cul es la mejor opCin? Para empezarEntre las personas hay muchos malentendidos alrededor del concepto de probabilidad. Prueba de ello es el gran nmero de negocios surgidos en los ltimos aos que prometen riquezas enormes a la vuelta de la esquina. Tal es el caso de las loteras y las quinielas.

    Consideremos lo siguienteConstruyan una ruleta como se muestra a continuacin.

    Realicen el siguiente juego:

    Cada uno de los cuatro jugadores deber elegir un nmero del 1 al 4. Van a girar la ruleta 30 veces. En cada turno se anota un punto el alumno que tiene

    el mismo nmero que el resultado de la ruleta.

    El ganador del juego es el alumno que tenga ms puntos.

    a) Antes de empezar el juego, crees que vas a ganar?

    b) Por qu?

    c) En la siguiente tabla, marquen con una X los resultados de cada turno y el total de puntos que cada jugador obtuvo al girar 30 veces la ruleta.

    Ruleta 1

    Juegos equitativos

    MAT1B5S35.indd204 8/25/073:39:25PM

  • IMATEMTICAS

    205

    Jugador Turnos Total

    de puntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

    Jugador 1

    Jugador 2

    Jugador 3

    Jugador 4

    d) Qu nmero fue el ganador?

    e) Cul crees que es la razn por la cual gan?

    f) Si vuelven a jugar, crees que gane el mismo nmero?

    Por qu s o por qu no?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obra1. Ahora van a jugar utilizando la ruleta 2.

    Las reglas del juego siguen siendo las mismas que en el juego anterior.

    a) Registren los resultados en la tabla.

    b) Hay algn jugador o nmero que tenga mayor posibilidad de salir ganador?

    c) Qu nmero fue el ganador?

    d) De acuerdo con los resultados registrados en la tabla, cul es la probabilidad

    frecuencial del nmero ganador?

    Ruleta 2

    Jugador Turnos Total

    de puntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

    Jugador 1

    Jugador 2

    Jugador 3

    Jugador 4

    MAT1B5S35.indd205 8/25/073:39:26PM

  • secuencia 35

    206

    ii. Se utiliza la ruleta 3 para realizar el juego y las reglas no cambian.

    a) Quin creen que gane?

    b) Hay algn jugador que tenga ms posibilidades

    de ganar?

    Por qu?

    d) De acuerdo con los resultados registrados en la tabla, cul es la probabilidad de

    que caiga 3? e) Y de que caiga 2?

    f) De acuerdo con los resultados obtenidos en cada juego, consideran que hay alguna ruleta que favorece a un jugador? Por qu?

    iii. Van a comparar los tres juegos. Para ello es necesario calcular las siguientes probabi-lidades clsicas.

    Evento Probabilidad en la ruleta 1Probabilidad en la

    ruleta 2Probabilidad en la

    ruleta 3Caer 1

    Caer 2

    Caer 3

    Caer 4

    Ruleta 3

    Jugador Turnos Total

    de puntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

    Jugador 1

    Jugador 2

    Jugador 3

    Jugador 4

    c) Registren los resultados en la siguiente tabla.

    MAT1B5S35.indd206 8/25/073:39:27PM

  • IMATEMTICAS

    207

    a) De acuerdo con las probabilidades clsicas obtenidas, qu juego no fue justo o

    equitativo?

    b) Qu juego es justo?

    c) Qu juegos son equivalentes? Por qu?

    A lo que llegamos

    Antes de iniciar el juego responde, qu ruleta creen que gane?

    Despus de realizar el juego, creen que si vuelven a jugar, ganar la misma ruleta? Por qu?

    Comparen sus respuestas.

    Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer:

    Si en cada turno o partida todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar.

    Si las probabilidades de todos los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el nmero con menor probabilidad se le d un mayor premio para compensar.

    Reglas del juego que no favorezcan a ninguno de los jugadores.

    ruletasPara empezarEn esta sesin aprenders a identificar qu elementos (ruletas, dados, etc.) cambiar en el juego para que sea justo.

    Consideremos lo siguienteVan a jugar a la ruleta. Cada alumno elige la ruleta con la que desea jugar y la hace girar 5 veces. Gana el jugador que ms veces haya obtenido el nmero 1.

    sesin 2

    Ruleta A Ruleta B Ruleta C

    MAT1B5S35.indd207 8/25/073:39:28PM

  • secuencia 35

    208

    Manos a la obrai. Anoten los resultados en la tabla y contesten las siguientes preguntas.

    Jugador de la ruleta

    Puntos en cada ronda Total de puntos (nmero total de veces

    que cay 1)1 2 3 4 5

    A

    B

    C

    a) Quin gan?

    b) Cul es la probabilidad frecuencial de caer 1 en cada ruleta?

    c) Si realizaran el juego una vez ms, quin crees que gane ahora?

    d) De acuerdo con los resultados de todos los equipos del grupo, cul es la ruleta

    que ms veces gan?

    ii. Analicen la situacin anterior contestando las siguientes preguntas.

    a) Comparen la ruleta a con la ruleta B, con cul se tiene ms oportunidades de

    ganar? Por qu?

    b) Y entre las ruletas B y c?

    c) Cul es la probabilidad clsica o terica de obtener 1 en la ruleta a?

    d) En la ruleta B, cul es la probabilidad clsica de obtener 1?

    e) Finalmente, cul es la probabilidad clsica de obtener 1 en la ruleta c?

    f) De acuerdo con la probabilidad de obtener 1 en cada ruleta, consideras que el juego es justo? Por qu?

    Como ves, el juego con las ruletas no es justo porque la probabilidad de obtener 1 en la ruleta a es menor que en las otras dos ruletas.

    MAT1B5S35.indd208 8/25/073:39:29PM

  • IMATEMTICAS

    209

    iii. Si quieren que el juego sea justo utilizando tres ruletas, tendran que cambiar la ru-leta A.

    a) Cmo tendran que rotular o etiquetar la nueva ruleta para realizar el juego? Utilicen el dibujo para representar la nueva ruleta.

    Ruleta D

    b) Cmo la etiquetaron otros compaeros?

    c) Son diferentes? En qu son diferentes?

    d) En qu son iguales?

    e) Cul es la probabilidad clsica de obtener 1 en cada ruleta?

    Tu ruleta Ruleta de otro compaero

    f) En tu grupo, alguien etiquet la ruleta de diferente manera que las de tu equipo?

    Anoten cmo lo hizo

    A lo que llegamosPara poder determinar si el juego es justo, no es suficiente considerar los resultados obtenidos en las rondas. Como habrs observado, en algunos equipos gan una ruleta y en otros otra. En este caso, para determinar si un juego es justo se requiere calcular la probabilidad clsica o terica del evento que interviene en el juego.

    MAT1B5S35.indd209 8/25/073:39:29PM

  • secuencia 35

    210

    juegos Con dados Para empezarEn esta sesin realizars juegos con dados de formas diferentes y aprenders a distinguir cundo un juego es justo y cundo no.

    Consideremos lo siguienteUn dado comn tiene seis caras cuadradas; pero hay otros con cuatro caras triangulares.

    Van a necesitar dos dados, uno con seis caras y otro con cuatro. Si no los tienen, utilicen los siguientes desarrollos planos para armarlos. Cpienlos en cartoncillo y armen uno cada quien.

    sesin 3

    Dado A

    Lance cada quien el dado que arm. Cuando alguno obtenga el nmero 3, avanza una casilla. El juego termina cuando alguno de los jugadores llega primero a la meta. Con

    cul dado crees que se obtenga primero el nmero 3?

    Si en vez de avanzar cuando se obtiene el nmero 3 lo hacen cuando se obtiene un n-mero impar, alguno de los dados tiene ms posibilidades de ganar que otro? Por qu?

    Comparen sus respuestas.

    Dado B

    Dado A

    MAT1B5S35.indd210 8/25/073:39:30PM

  • IMATEMTICAS

    211

    Manos a la obrai. Realicen el primer juego. Lance cada quien su dado. Cuando alguno obtenga el n-

    mero 3, avanza una casilla.

    INICIO

    Dado A META

    Dado B

    a) Quin creen que gane?

    b) Despus de veinte lanzamientos, qu jugador ha avanzado ms casilleros?

    c) Cules son los resultados posibles al lanzar el dado cbico?

    d) Y del dado tetradrico?

    e) Cul es la probabilidad de obtener un 3 en el dado cbico?

    f) Y en el dado tetradrico?

    ii. Realicen el juego. Lance cada quien su dado, pero ahora avancen cada vez que cae un nmero impar.

    INICIO

    Dado A META

    Dado B

    a) Quin creen que gane ahora?

    b) Despus de 10 lanzamientos, qu jugador ha avanzado ms casilleros? c) Expliquen qu sucede si en vez de avanzar cuando cae 3, se avanza cuando cae un

    nmero impar.

    d) Cul es la probabilidad del evento caer un nmero impar en el dado cbico?

    e) Y cul es la probabilidad del evento caer un nmero impar en el dado tetradrico?

    MAT1B5S35.indd211 8/25/073:39:30PM

  • secuencia 35

    212

    A lo que llegamosComo ves, en este juego los eventos caer un nmero impar y caer 3 en cada dado son las reglas principales con las cuales se realiza cada juego.

    iii. Cada quien escriba un evento para que al jugar con el dado tetradrico siempre sea

    posible avanzar.

    a) Con ese evento, calcula la probabilidad de avanzar una casilla con cada dado:

    Dado cbico Dado tetradrico

    b) Intercambien sus eventos. Escribe el evento de tu compaero.

    c) Qu probabilidad tiene de ocurrir el evento de tu compaero con cada dado?

    Dado cbico Dado tetradrico

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Con los eventos que propusieron, siempre avanza el dado tetradrico?

    En cada caso, qu sucede con el dado cbico?

    Existir algn otro evento diferente en el cual siempre avance el dado cbico?

    iV. Escriban un evento para que con ambos dados se tenga la misma probabilidad de

    avanzar.

    a) Con ese evento, calcula la probabilidad de avanzar una casilla con cada dado:

    Dado cbico Dado tetradrico

    b) Intercambia tu evento con el de un compaero. Escribe el evento de tu compaero.

    c) Qu probabilidad tiene de ocurrir el evento de tu compaero con cada dado?

    Dado cbico Dado tetradrico

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosExisten juegos de azar en los que las reglas con las cuales se realiza dan mayor ventaja a un resultado que a otro. Esto sucede cuando la regla del juego corresponde a un evento que tiene mayor probabili-dad de suceder que otro.

    MAT1B5S35.indd212 8/25/073:39:31PM

  • IMATEMTICAS

    213

    QuinielasPara empezarEn esta sesin analizars las condiciones de algunos juegos de azar y de-terminars el premio del juego para que cada participante tenga la misma oportunidad de ganar.

    Pronsticos nacionales

    Para ganar el premio mayor en una quiniela de futbol, es necesario que aciertes a los resultados de 14 partidos de futbol soccer. Estos partidos pueden ser de la primera divisin, de la primera A o internacionales.

    El objetivo es tratar de obtener el mayor nmero de aciertos, ya que, ade-ms del premio mayor, existen otros inferiores. El resultado de cada en-cuentro es el que se obtiene en los 90 minutos de juego regular. La quinie-la sencilla cuesta $10.00 y slo se puede marcar una opcin de resultado por encuentro: LOcaL, eMPaTe O VisiTanTe.

    Existen quinielas dobles y triples, pero sus costos son diferentes.

    Consideremos lo siguienteUn grupo de 20 amigos organiz una quiniela formada con los dos partidos de ida de semifinal del campeonato de apertura 2005 del futbol de primera divisin:

    Cada participante debe pagar $15.00 y slo se puede marcar una opcin de resultado por encuentro: LOcaL, eMPaTe O VisiTanTe.

    a) El ganador de la quiniela es el que acierte al resulta-

    do de los dos partidos. Cul es la probabilidad de

    acertar en estos resultados?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas.

    a) De acuerdo con los resultados que se pueden dar en el encuentro de futbol

    Toluca-Pachuca, qu probabilidad hay de que el resultado sea empate?

    b) Y de que gan el visitante?

    c) Cada integrante del equipo debe llenar una quiniela sencilla. Al compararlas,

    marcaron los mismos resultados?

    Por qu?

    d) Cuntas formas diferentes de llenar la quiniela sencilla hay?

    sesin 4

    fuTbOl dE PrIMErA dIvIsINsEMIfINAl CAMPEONATO dE APErTurA 2005

    partidos de ida

    TIgrEs MONTErrEy

    TOluCA PAChuCA

    lOCAl EMPATE vIsITANTE

    MAT1B5S35.indd213 8/25/073:39:32PM

  • secuencia 35

    214

    sesin 3 e) Completen el siguiente diagrama de rbol para encontrarlas.

    Posibles resultados de los partidos de ida de la semifinal 2005 TOLUCA-PACHUCA TIGRES-MONTERREY RESULTADOS

    LOCAL LOCAL LOCAL

    LOCAL EMPATE LOCAL EMPATE

    VISITANTE

    LOCAL EMPATE LOCAL

    EMPATE

    VISITANTE

    LOCAL

    EMPATE VISITANTE

    Recuerden que:

    La probabilidad clsica de un evento se obtiene dividiendo

    el nmero de los resultados favorables del evento entre el

    nmero total de resultados posibles que se pueden dar en

    la situacin de azar:

    nmero de resultados favorables del eventoP(evento)=

    nmero total de resultados posibles

    fuTbOl dE PrIMErA dIvIsINCuArTOs dE fINAl

    CAMPEONATO dE APErTurA 2005

    partidos de ida

    TIgrEs AMrICA

    TOluCA Cruz Azul

    MONTErrEy TECOs

    lOCAl EMPATE vIsITANTE

    f) Con base en este conteo, cul es la

    probabilidad de tener la quiniela gana-

    dora?

    ii. Consideren que en vez de jugarse dos partidos en la quiniela, aparecen tres:

    a) Cada integrante del equipo deber llenar una qui-

    niela sencilla. Al compararlas, marcaron los mis-

    mos resultados?

    Por qu creen que sucedi?

    b) Cuntas formas diferentes de llenar la quiniela

    hay?

    MAT1B5S35.indd214 8/25/073:39:33PM

  • IMATEMTICAS

    215

    c) Completen el siguiente arreglo rectangular para encontrarlas.

    PArTIdOs

    r

    E

    s

    u

    l

    T

    A

    d

    O

    s

    TIgrEs-AMrICA TOluCA-Cruz Azul MONTErrEy-TECOs

    LOCAL LOCAL

    LOCAL LOCAL

    VISITANTE

    EMPATE LOCAL

    LOCAL

    EMPATE VISITANTE

    LOCAL EMPATE

    LOCAL VISITANTE

    LOCAL LOCAL

    EMPATE LOCAL

    VISITANTE

    EMPATE

    EMPATE

    EMPATE

    EMPATE LOCAL

    EMPATE

    VISITANTE VISITANTE

    VISITANTE LOCAL

    VISITANTE EMPATE

    LOCAL

    VISITANTE LOCAL

    EMPATE

    VISITANTE VISITANTE

    VISITANTE

    d) Con base en este conteo, cul es la probabilidad de tener la quiniela ganadora?

    iii. Comparen sus resultados con los dems equipos completando la siguiente tabla.

    Total de resultados que puede haber en 1 partido

    de futbol

    Total de resultados que puede haber en dos partidos de futbol

    Total de resultados que puede haber en tres partidos de futbol

    Probabilidad de acertar el resultado del partido

    Probabilidad de acertar a los resultados de los

    dos partidos

    Probabilidad de acertar a los resultados de los

    tres partidos

    MAT1B5S35.indd215 8/25/073:39:34PM

  • secuencia 35

    216

    a) Qu relacin hay entre el nmero de partidos que se juegan y el nmero de re-

    sultados que se pueden obtener?

    b) En qu caso es menor la probabilidad de acertar a los resultados: cuando es un

    solo partido, cuando son dos o cuando son tres?

    iV. Si los resultados de los tres partidos fueron:

    Partido resultado

    Tigres-Amrica Local

    Toluca-Cruz Azul Visitante

    Monterrey-Tecos Empate

    Y una persona fall slo en el resultado del partido Toluca-Cruz Azul,

    a) De cuntas formas diferentes pudo haber llenado su quiniela?

    b) Si con esos resultados gana el segundo lugar, cuntas formas diferentes de ob-

    tener el segundo lugar hay?

    c) Cal es la probabilidad de obtener el segundo lugar?

    Un alumno propuso repartir el premio de $300.00 de la siguiente manera:Primer lugar: $150.00Segundo lugar: $150.00

    Y explic: si el monto es de$300.00, lo divido en dos partes, es decir, $150.00 para cada ganador, porque en cada caso hay slo una forma de acertar.

    d) Consideran que esta forma de repartir los premios es justa?

    Por qu?

    e) Escriban una forma de repartir los premios que crean justa y comntenla a su

    compaero, no olviden explicar por qu la consideran justa.

    f) Las siguientes son algunas propuestas de repartir los premios al primero y segundo lugar en acertar a los resultados de tres partidos. Escriban una razn para aceptar o rechazar cada propuesta.

    Premio Acepta rechaza Justificacin

    Primer lugar: $200Segundo lugar: $100Primer lugar: $175Segundo lugar: $125

    MAT1B5S35.indd216 8/25/073:39:34PM

  • IMATEMTICAS

    217

    A lo que llegamosEn un juego de azar, si la probabilidad de un evento es mayor que la de otro, es justo asignar un mayor premio al evento de mayor proba-bilidad.

    lo que aprendimos1. Al lanzar dos monedas, dos posibles resultados son:

    moneda 1 moneda 2 guila guila y moneda 1 moneda 2 guila sol

    Van a necesitar dos monedas no trucadas.

    Realicen el siguiente juego. Lance cada quien las dos monedas consecutivamente. Si te caen dos guilas, ganas 1 punto. En otro caso gana 1 punto tu compaero. El juego ter-mina cuando alguno de los jugadores logra 5 puntos.

    a) Qu otros resultados pueden ocurrir al lanzar dos monedas consecutivamente?

    b) Quin ha obtenido ms puntos?

    c) Completen el cuadro con los resultados de tu juego. Escriban en cada casilla el

    nmero de veces que ha ocurrido ese resultado.

    d) Comparen sus resultados con los resultados que obtuvo su compaero.

    e) Cmo podran modificar el juego para que sea justo?

    Para saber msConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos. Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2001.

    Sobre los diferentes juegos de lotera y quinielas que ofrecen la Lotera Nacional y Pronsticos Deportivos, as como de la funcin social que desarrollan consulten:

    http://www.esmas.com./pronosticos [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    http://www.loterianacional.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    Moneda 2guila

    (A)Sol (S)

    Moneda

    1

    guila

    (A)

    Sol

    (S)

    MAT1B5S35.indd217 8/25/073:39:36PM

  • secuencia 36

    218

    En esta secuencia aprenders a calcular valores faltantes a partir de varias representaciones (grficas, tabulares y algebraicas), relacionando las representaciones que corresponden a la misma situacin e identi-ficando aquellas que son de proporcionalidad directa.

    Grficas, tablas y expresiones alGebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directaPara empezarElementos de la proporcionalidad directa

    Como han aprendido en las secuencias 31 y 32 de su libro de Matemticas I, volumen II los problemas en los cuales estn involucradas cantidades directamente proporcionales tienen los siguientes tres elementos que se deben tomar en cuenta para su resolucin La tabla. La expresin algebraica. La grfica.

    A lo largo de esta secuencia estudiarn cmo usar estos 3 elementos de distintas formas para resolver problemas de cantidades directamente proporcionales.

    Consideremos lo siguienteConsideren la expresin algebraica:

    y = 2xCul o cules de las siguientes relaciones tienen asociada la expresin algebraica anterior? Justifiquen sus respuestas.

    a) El tipo de cambio de francos franceses a pesos mexicanos, si por cada franco francs se obtienen dos pesos mexicanos.

    b) Las edades de Juan y Laura si se sabe que cuando Juan cumpla 16 aos, tendr dos veces la cantidad de aos que tendr Laura.

    c) El costo de cierto nmero de llamadas si cada llamada cuesta dos pesos.

    sesin 1

    Recuerden que: El tipo de cambio de francos franceses a pesos mexicanos es la

    cantidad de pesos mexicanos que se obtienen al cambiar un

    franco francs.

    Grficas, tablas y expresiones algebraicas

    MAT1B5S36.indd218 8/25/073:40:43PM

  • IMATEMTICAS

    219

    d) El tipo de cambio de pesos uruguayos a pesos mexicanos, si por cada dos pesos uruguayos se obtiene un peso mexicano.

    Manos a la obra i. Encuentren la expresin algebraica que permite calcular la cantidad de pesos que se

    obtienen al cambiar determinada cantidad de francos, es decir, el tipo de cambio de francos a pesos (situacin del inciso a).

    Representen con la letra x la cantidad de francos que se van a cambiar y con la letra y la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar los francos.

    Encuentren la expresin algebraica asociada al aumento de las edades de Juan y Laura. Representen con la letra u la cantidad de aos que tiene Laura y con la letra v la cantidad de aos que tiene Juan (situacin del inciso b).

    Comparen sus expresiones y comenten cmo las encontraron.

    ii. Completen las siguientes tablas para establecer cul de las dos relaciones anteriores es de proporcionalidad directa.

    x (cantidad de

    francos)

    y (cantidad de pesos

    mexicanos)

    u (edad de Juan)

    v (edad de Laura)

    0 16 81 2 135 118 10

    12 915 8

    Tabla 1 Tabla 2

    Cul de las tablas anteriores es de proporcionalidad directa?

    iii. Con la informacin de las tablas anteriores completen las siguientes grficas.

    Recuerden que: Dos cantidades estn en propor-cin directa si al aumentar una (al doble, triple, etc.), o al disminuir (a la mitad, la tercera parte, etc.), la otra aumenta (al doble, triple, etc.), o disminuye (a la mitad, tercera parte, etctera).

    Can

    tid

    ad d

    e p

    eso

    s

    Cantidad de francos

    y

    x0 1 2 3 4 5 6

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    7 8 9 10 11 12 13 14 15Edad de Juan

    Edad

    de

    Lau

    ra

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10v

    16u

    151413121110987654321

    MAT1B5S36.indd219 8/25/073:40:44PM

  • secuencia 36

    220

    iV. En sus cuadernos encuentren las expresiones, hagan las tablas y las grficas correspondientes a las relaciones de los incisos c) y d) para determinar si las situaciones tienen asociada la expresin algebraica del inicio de la sesin.

    A lo que llegamosPara determinar si una relacin es de proporcionalidad directa se puede hacer lo siguiente:

    A partir de la relacin, construir una tabla para encontrar algunos valores y determinar si esta tabla es de proporcionalidad directa.

    A partir de la tabla, construir la grfica y determinar si los puntos estn en una lnea recta que pasa por el origen.

    Encontrar la expresin algebraica asociada a la situacin y determi-nar si es de la forma y = kx, donde k es la constante de proporcio-nalidad.

    Puede suceder que distintas situaciones proporcionales tengan la misma expresin algebraica asociada. Por ejemplo, dos de las relaciones de proporcionalidad de esta secuencia son distintas, pero tienen asociada la misma expresin algebraica: y = 2x

    Lo que aprendimos1. Considera la siguiente expresin algebraica:

    y = 3x

    Cul o cules de las siguientes relaciones tienen asociada la expresin algebraica anterior? Justifica tu respuesta.

    a) Las ganancias en trminos de la cantidad de dinero invertido, si se sabe que por cada dos pesos invertidos se ganan tres pesos.

    b) Las velocidades de dos automviles si uno va al triple de velocidad que el otro.

    c) Una mquina produce una lata cada tres segundos. Cuntas latas producir en x segundos?

    de la Grfica al problema Para empezarEn la secuencia 32 del libro de Matemticas I graficaste relaciones de proporcionalidad directa. Recuerda que en el plano cartesiano, los puntos de una grfica se localizan con coordenadas, como (a, B). A la primera coordenada a se le llama abscisa, y a la segunda coordenada B se le llama ordenada.

    Por ejemplo, el punto (1, 5) tiene como abscisa 1 y como ordenada 5.Completa la siguiente tabla, donde se pide encontrar las abscisas y las ordenadas de varios puntos del plano cartesiano.

    sesin 2

    MAT1B5S36.indd220 8/25/073:40:45PM

  • IMATEMTICAS

    221

    Punto en el plano cartesiano

    Abscisa del punto

    Ordenada del punto

    (1, q Q t ) 1 q Q t

    ( wQ , 7)

    ( rE , Q t U )

    ( Q r W , wQ )

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica representa una relacin de proporcionalidad directa:

    Cul o cules de las siguientes relaciones pueden asociarse con la representacin de esta grfica? Justifiquen su respuesta.

    a) La relacin entre las edades de Hctor y su hija Diana, si se sabe que ahora Hctor tiene 50aos y su hija 20 aos.

    b) La relacin entre la altura y la cantidad de libros, si se sabe que 20 libros alcanzan una altura de 50 cm.

    c) El costo de distintas cantidades de caramelos. Una bolsa con 50 caramelos cuesta $20.

    Manos a la obrai. Respondan las siguientes preguntas para encontrar cules de las tres situaciones corres

    ponde la grfica anterior.

    a) Qu edad tena Hctor cuando Diana naci? (se considera que Diana tiene 0 aos

    al nacer).

    50

    40

    30

    20

    10

    10 20

    (20,50)

    MAT1B5S36.indd221 8/25/073:40:46PM

  • secuencia 36

    222

    Completen la siguiente tabla para determinar algunas de las edades de Diana a partir de la edad de Hctor:

    Edad de Hctor Edad de Diana

    50 20603058

    Tabla 1

    Encuentren la expresin algebraica asociada a esta relacin. Representen con la letra x la edad de Hctor y con la letra y la edad de Diana.

    b) De qu grosor es cada libro?

    Completen la siguiente tabla

    Nmero de libros Altura que tienen apilados (cm)

    20 501028

    Tabla 2

    Encuentren la expresin algebraica asociada a esta relacin. Representen con la letra x el nmero de libros y con la letra y la altura.

    c) Cuntos caramelos compr scar si pag 8 pesos? Completen la siguiente tabla para determinar el nmero de caramelos que se

    compran con distintas cantidades de dinero:

    Precio (en pesos) Nmero de caramelos

    20 501028

    Tabla 3

    Encuentren la expresin algebraica asociada a esta relacin. Representen con la letra x la cantidad en pesos y con letra y el nmero de caramelos que compran.

    MAT1B5S36.indd222 8/25/073:40:46PM

  • IMATEMTICAS

    223

    A lo que llegamosPuede suceder que distintas relaciones de proporcionalidad directa tengan asociada la misma grfica. Por ejemplo, al graficar las relaciones de proporcionalidad de los incisos b) y c) se obtienen puntos que estn sobre la misma lnea recta.

    Adems, si las relaciones de proporcionalidad tienen asociada la misma grfica, enton-ces tienen asociadas las mismas expresiones algebraicas.

    1. A continuacin se presentan dos relaciones de proporcionalidad directa:

    El tipo de cambio de pesos a quetzales guatemaltecos. Recuerda que 5 pesos mexicanos equivalen a 10quetzales guatemaltecos.

    El tipo de cambio de pesos a francos. Recuerda que 10 pesos mexicanos equivalen a 5 francos franceses.

    2. Encuentra las expresiones algebraicas asociadas a las relaciones de proporcionalidad anteriores. Compara tus grficas y tus expresiones con un compaero.

    Para saber msSobre el tipo de cambio entre monedas de distintos pases consulta: http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

    151413121110987654321

    0301 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

    Lo que aprendimosEncuentra cul de las siguientes relaciones de proporcionalidad tiene asociada la siguiente grfica:

    MAT1B5S36.indd223 8/25/073:40:47PM

  • secuencia 37

    224

    En esta secuencia aprenders a identificar y resolver relaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

    El aguaPara empezarEl agua es un lquido esencial para la vida en nuestro planeta. Aunque la Tierra est constituida por 75% de agua, menos de 1% se puede usar para el consumo humano. Como te podrs dar cuenta, es muy importante cuidar del agua, ya que sin ella la vida no sera posible.

    Consideremos lo siguienteSe tiene almacenada agua en 8 tambos de 300 litros de capacidad cada uno. Hay que pasar el agua a tambos de otra capacidad.

    a) Si se quisiera pasar toda el agua a 4 tambos de igual tamao, cuntos litros de ca-pacidad debera tener cada tambo?

    b) Si se quisiera pasar toda el agua a 12 tambos de igual tamao, cuntos litros de capacidad debera tener cada tambo?

    Manos a la obrai. En otra escuela hicieron el mismo problema y encontraron dos procedimientos para

    calcular la capacidad de cada tambo si se quiere almacenar toda el agua en 12 tambos. En el equipo 1 hicieron el siguiente diagrama:

    8 tambos 300 Entre 2 + + Entre 2 4 tambos 150

    12 tambos 450

    Dijeron que para almacenar toda el agua en 12 tambos cada tambo debera tener capa-cidad de 450 litros.

    sEsin 1

    Proporcionalidad inversa

    MAT1 B5 S37.indd 224 8/25/07 3:41:08 PM

  • IMATEMTICAS

    225

    En el equipo 2 hicieron la siguiente tabla:

    x (Nmero de tambos)

    y (Capacidad de cada tambo en litros)

    8 300

    4 600

    12 200

    Dijeron que para almacenar toda el agua en 12 tambos, cada tambo debera tener capa-cidad de 200 litros.

    Comenten:

    a) Cuntos litros de agua hay almacenados en 8 tambos de 300 litros cada uno?b) Cuntos litros de agua se almacenan con la solucin dada por el equipo 1?c) Cuntos litros de agua se almacenan con la solucin dada por el equipo 2?

    ii. Completen la siguiente tabla para calcular la capacidad que debe de tener cada tam-bo para almacenar 2 400 litros de agua.

    x (Nmero de tambos)

    y (Capacidad de cada tambo en litros)

    8 300

    4

    2

    1

    3

    12

    iii. Respondan las siguientes preguntas:

    a) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros de agua en 10 tambos, qu capacidad de-bera tener cada tambo?

    b) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros en un solo tambo, qu capacidad debera tener?

    c) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros en 32 tambos, qu capacidad debera tener cada tambo?

    Entre 2Por 3

    Por 2Entre 3

    MAT1 B5 S37.indd 225 8/25/07 3:41:09 PM

  • secuencia 37

    226

    Comenten:

    a) Si se divide entre 2 la capacidad de cada tambo, qu sucede con el nmero de tam-bos necesarios para almacenar los 2 400 litros de agua?

    b) Si se multiplica por 5 la capacidad de cada tambo, qu sucede con el nmero de tambos necesarios para almacenar los 2 400 litros de agua?

    c) Qu pasa con la capacidad de cada tambo cuando el nmero de tambos aumenta al doble?, y si el nmero de tambos disminuye a la cuarta parte?

    A lo que llegamosDos cantidades son inversamente proporcionales si al aumentar una al doble la otra disminuye a la mitad, al aumentar al triple la otra disminuye a la tercera parte, y as sucesivamente.

    Por ejemplo, en el problema de esta sesin el nmero de tambos que se emplean para almacenar el agua y la capacidad que tiene cada uno de los tambos son cantidades inversamente proporcionales.

    Lo que aprendimos1. En una escuela se va a organizar una excursin y van a contratar un autobs que

    tiene 60 asientos. El autobs les cobra $1 800.00 por el viaje.

    a) Si el autobs se llena, cunto debe pagar cada pasajero por el viaje?

    b) Si solamente van 20 alumnos a la excursin, cunto debe pagar cada pasajero?

    c) Si solamente van 15 alumnos a la excursin, cunto debe pagar cada pasajero?

    d) Cules son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?

    la vElocidadPara empezarLa velocidad constante

    En las secuencias 6 y 31 del libro de Matemticas I estudiaste problemas relacionados con la velocidad de un automvil en trminos de la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerse. En est sesin continuaremos con el estudio de problemas de velo-cidad.

    sEsin 2

    MAT1 B5 S37.indd 226 8/25/07 3:41:10 PM

  • IMATEMTICAS

    227

    Consideremos lo siguientePara ir de la Ciudad de Mxico a la ciudad de Veracruz se hacen 6 horas viajando en automvil a una velocidad promedio de 70 kilmetros por hora.Respondan las siguientes preguntas:

    a) Si se hubiera hecho el viaje de la Ciudad de Mxico a la ciudad de Veracruz en 12 horas, a qu promedio de velocidad se habra viajado?

    b) Si se quisiera hacer el viaje de la Ciudad de Mxico a la ciudad de Veracruz en un tiempo de 3 horas, a qu promedio de velocidad debera viajarse?

    c) Si se quisiera hacer el viaje de la Ciudad de Mxico a la ciudad de Veracruz en un tiempo de 5 horas, a qu promedio de velocidad debera viajarse?

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular la velocidad prome-

    dio para viajar de la Ciudad de Mxico a la ciudad de Veracruz en distintos periodos de tiempo.

    El tiempo de viaje est representado por x en la tabla y la velo-cidad promedio durante el viaje est representada por la letra y en la tabla.

    x (en horas)

    y (en kilmetros por hora)

    6 70

    12 35

    9

    3

    1

    5

    ii. En un equipo de otra escuela hicieron la siguiente observacin al llenar la tabla an-terior:

    6 70 = 420

    12 35 = 420

    Y dijeron:

    Cuando multiplicamos los nmeros de un rengln el resultado siempre es 420.

    MAT1 B5 S37.indd 227 8/25/07 3:41:11 PM

  • secuencia 37

    228

    Multipliquen los nmeros de cada rengln: el nmero de horas por la velocidad. Anoten sus resultados al lado de la tabla.

    Comparen sus resultados y comenten:

    a) Coinciden los productos de su tabla con los resultados que obtuvieron en la otra escuela?

    b) Estn de acuerdo con la observacin que hicieron en la otra escuela?

    Contesten:

    a) Cuntos kilmetros hay que recorrer para ir de la Ciudad de Mxico a la ciudad de

    Veracruz?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar 5 para obtener 420?

    c) Por qu nmero hay que multiplicar 9 para obtener 420?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Hay algn nmero por el cual se multipliquen los datos de la primera columna para obtener los datos de la segunda columna?, cul?

    A lo que llegamosEn las situaciones que involucran cantidades inversamente proporcio-nales hay siempre un valor constante. Esta constante resulta de multi-plicar las cantidades que son inversamente proporcionales. A este nmero se le llama constante de proporcionalidad inversa.

    Por ejemplo, en el problema anterior, 420 es la constante de propor-cionalidad inversa, porque 6 70 = 420.

    iii. Si x es el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de Mxico a la ciudad de Veracruz y si y es la velocidad promedio, encuentren una expresin algebraica para calcular la velocidad a partir del tiempo:

    y =

    En el pizarrn anoten sus expresiones algebraicas y comenten cmo las obtuvieron.

    iV. Usando la expresin algebraica que obtuvieron respondan lo siguiente:

    a) A qu velocidad ira el automvil si recorriera en 2 horas la distancia entre la Ciudad de Mxico y la ciudad de Veracruz?

    b) A qu velocidad ira el automvil si recorriera en 7 horas la distancia entre la Ciudad de Mxico y la ciudad de Veracruz?

    Recuerden que: En las tablas de proporciona-lidad directa al multiplicar los datos de la primera columna por la constante de proporcio-nalidad se obtenan los datos de la segunda columna.

    MAT1 B5 S37.indd 228 8/25/07 3:41:11 PM

  • IMATEMTICAS

    229

    Lo que aprendimos1. En tu cuaderno encuentra la constante de proporcionalidad inversa y la expresin

    algebraica de los problemas de la sesin 1 de esta secuencia.2. Si 2 campesinos tardan 3 das en sembrar un terreno:

    a) Cuntos das tardaran en sembrar el mismo terreno 6 campesinos?

    b) Si el terreno se sembr en 6 das, cuntos campesinos lo sembraron?

    la hiprbolaPara empezarEn la secuencia 13 de tu libro de Matemticas I, volumen I y en primaria estudiaste el rea y el permetro de diferentes figuras geomtricas. En esta sesin resolvers ms pro-blemas relacionados con el rea de los rectngulos.

    Consideremos lo siguienteSe sabe que un rectngulo tiene un rea de 24 cm2 y que su base mide 6 cm de longitud.

    a) Cunto mide su altura?

    Supongan que el rea del rectngulo se mantiene constante, es decir, que el rea del rectngulo siempre es de 24 cm2. Contesten las siguientes preguntas:

    b) Si la base del rectngulo midiera 12 cm de longitud, cuntos centmetros medira su altura?

    c) Si la base del rectngulo midiera 8 cm de longitud, cuntos centmetros medira su altura?

    d) Cules son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?

    e) Cul es la constante de proporcionalidad inversa?

    f) Encuentren la expresin algebraica asociada a este problema.

    A lo que llegamosLa expresin algebraica asociada a este problema de proporcionalidad inversa es:

    xy = 420En este caso la letra x representa el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de Mxi-co a la ciudad de Veracruz, la letra y representa la velocidad promedio y 420 correspon-de a la distancia que hay entre la Ciudad de Mxico y la ciudad de Veracruz.La expresin algebraica que permite obtener y es:

    y = 420 x

    sEsin 3

    MAT1 B5 S37.indd 229 8/25/07 3:41:12 PM

  • secuencia 37

    230

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar un lado del rectngulo cuando el otro

    lado del rectngulo vara. Representen con x la medida de la base y con y la medida de la altura del rectngulo.

    x (en centmetros)

    y (en centmetros)

    Constante de proporcionalidad inversa

    6 4 242

    812

    14

    0.5

    ii. Cul de las siguientes expresiones algebraicas corresponde a esta situacin de pro-porcionalidad inversa? Subryenla.

    a) 24x = y b) x + y = 24c) 24y = xd) xy = 24

    iii. Con los datos de la tabla 1 hagan la grfica correspondiente:

    iV. Comparen sus expresiones algebraicas y sus grficas. Comenten:

    a) Puede medir 0 cm de longitud la base de este rectngulo? Recuerden que su rea es 24 cm2.

    b) Los puntos de esta grfica estn sobre una recta? Tomen tres puntos y traten de unirlos mediante una misma lnea recta.

    c) Cules son las diferencias entre una grfica de proporcionalidad directa y una grfica de proporcionalidad inversa?

    65.5

    54.5

    43.5

    32.5

    21.5

    10.5

    0 2 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 486 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

    (6, 4)

    MAT1 B5 S37.indd 230 8/25/07 3:41:13 PM

  • IMATEMTICAS

    231

    A lo que llegamosLos problemas en los cuales estn involucradas cantidades inversa-mente proporcionales tienen asociadas grficas que se llaman hiprbolas.

    Por ejemplo, la siguiente grfica es la hiprbola que corresponde a la expresin algebraica xy = 12

    Observa que las hiprbolas no son lneas rectas ni pasan por el origen.

    Lo que aprendimos1. Dos pintores tardan 50 horas en pintar la parte exterior de un edificio.a) Completa la siguiente tabla para determinar cunto tiempo tardan en pintar la mis-

    ma parte exterior del edificio distintos nmeros de pintores.

    x (nmero de pintores)

    y (horas que tardan en pintar

    el edificio)

    Constante de proporcionalidad inversa

    2 5045

    101

    b) Con los datos de la tabla 2, en tu cuaderno encuentra la expresin algebraica corres-pondiente y construye la grfica.

    Para saber msSobre la importancia que tiene el agua y sobre su escasez y cuidado consulta: Agua, publicado por el peridico La Jornada en 2005.

    121110

    987654321

    0 1 2 4 6 8 10 123 5 7 9 11

    MAT1 B5 S37.indd 231 8/25/07 3:41:14 PM

  • secuencia 38

    232

    En esta secuencia aprenders a comparar el comportamiento de 2 o ms conjuntos de datos referidos a una misma situacin o fenmeno a partir de sus medidas de tendencia central.

    PromediosPara empezarPromedios

    Seguramente ya tienes una idea sobre el promedio y lo has utilizado en ms de una ocasin. Cuntas veces has preguntado a tus maestros cul es el promedio de tus cali-ficaciones?

    El promedio tambin es muy usado en las conversaciones cotidianas. Se habla de que los hombres y las mquinas trabajan a una velocidad promedio, o que los jugadores de di-versos deportes comparan sus promedios de puntuacin. Sin embargo, adems del pro-medio, existen otros valores estadsticos, como la moda y la mediana, y juntos forman las medidas de tendencia central.

    Consideremos lo siguientePara llegar a la escuela, Jess puede utilizar cualquiera de dos lneas de autobuses. l llega a la parada a las 7:00 de la maana. Para saber el tiempo que esper cada da, lo fue registrando durante dos semanas.

    La siguiente tabla muestra la lnea del autobs en que viaj y el tiempo que tuvo que esperar en los ltimos 10 das.

    Da 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    Lnea del autobs B A A B A A B B A B

    Tiempo de espera (minutos) 10 4 10 6 4 6 9 2 8 6

    Qu tiempo creen que Jess tenga que esperar al autobs el da 11?

    sesin 1

    Medidas de tendencia central

    MAT1 B5 S38.indd 232 8/25/07 3:41:40 PM

  • IMATEMTICAS

    233

    Comenten cmo determinaran ese tiempo de espera, es decir, cmo utilizaran los datos que aparecen en la tabla para determinar el tiempo que deber esperar el autobs.

    Manos a la obrai. Observen la tabla anterior y contesten las siguientes preguntas.

    a) Cul fue el tiempo mnimo que esper a que pasara un autobs?

    b) Y el tiempo mximo?

    c) De los 10 tiempos de espera que registr, cul fue el que ms veces se repiti?

    d) Cul es el tiempo promedio que tuvo que esperar a que pasara un autobs?

    e) Alguno de los 10 tiempos registrados por Jess es igual al tiempo de espera pro-medio?

    A lo que llegamosEl valor que ms veces se repite en un conjunto de datos se llama moda. Es decir, es el que tiene mayor frecuencia absoluta.

    Al promedio tambin se le llama media aritmtica, y se obtiene sumando todos los valores y dividiendo la suma entre el nmero total de valores.

    Por ejemplo, si los valores son 4, 4, 3, 7, 8 y 4, la media o promedio se calcula de la siguiente manera:

    Media = 4 + 4 + 3 + 7 + 8 + 4 = 30 = 5 6 6

    La moda es 4, porque es el valor con mayor frecuencia absoluta.

    ii. Consideren ahora los tiempos que tardaron en pasar los autobuses de una y otra lnea para completar la siguiente tabla.

    Lnea A Lnea B

    Mnimo tiempo de espera Mnimo tiempo de espera

    Mximo tiempo de espera

    Mximo tiempo de espera

    Tiempo de espera ms frecuente

    (moda)

    Tiempo de espera ms frecuente

    (moda)

    Tiempo de espera promedio (media)

    Tiempo de espera promedio (media)

    MAT1 B5 S38.indd 233 8/25/07 3:41:42 PM

  • secuencia 38

    234

    Observen que los valores anotados en la tabla resumen la informacin sobre la situacin que se est estudiando. Utilicen esta informacin para contestar las siguientes preguntas.

    a) Considerando a los autobuses de la lnea A, cul es la diferencia entre los tiempos

    mximo y mnimo de espera?

    b) Considerando a los autobuses de la lnea B, cul es la diferencia entre los tiempos

    mximo y mnimo de espera?

    c) Cul es la lnea que tiene el menor tiempo de espera promedio?

    d) Qu valor de la tabla puede considerarse como el ms adecuado para representar

    el tiempo que tarda en pasar un autobs?

    e) En cul de las dos lneas le conviene ms viajar a Jess?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

    A lo que llegamosLa moda y la media son dos medidas que representan el comporta-miento de un conjunto de datos. Estas medidas son ms tiles cuando el conjunto de valores es muy grande.

    Lo que aprendimos1. En otro horario, Pedro toma un autobs de las lneas A o B y sus tiempos de espera en

    minutos fueron los siguientes: 9, 4, 6, 5, 6, 15, 6, 6, 6, 6.

    a) Cul es la moda de este conjunto de datos?

    b) Cul es la media?

    c) En esta situacin, cul de las dos medidas, la moda o la media, es ms adecuada

    considerar para representar el tiempo que tarda en pasar un autobs?

    Por qu?

    2. En la secuencia 14, La TV: Ventana al mundo o "caja idiota"?, de su libro de Espaol I, volumen II realizaron una encuesta en la que una de las preguntas era: Cuntas horas permanece encendido el televisor de tu casa durante el da?

    a) Utilicen esa informacin para calcular el tiempo promedio que permanece encen-

    dida la televisin en los hogares de todo tu grupo.

    MAT1 B5 S38.indd 234 8/25/07 3:41:44 PM

  • IMATEMTICAS

    235

    b) En esa misma encuesta se pregunta por el tipo de programas que ven. Cul es el

    tipo de programa que ms ven en el grupo?

    c) De acuerdo con los resultados de la encuesta, cuntas personas lo ven?

    Qu Prefieren comer?Para empezarDiariamente, los medios de comunicacin proporcionan informacin en la cual se utiliza el concepto de promedio. Por ejemplo, cuando analizan el comportamiento de: bolsa de valores, precios, produccin, empleo y otros indicadores econmicos.

    Sin embargo, existen situaciones en las que este dato no es el ms representativo. Por ejemplo, en una empresa con 1 000 empleados, cada uno gana $ 5 000 y el dueo gana $10 000 000. Si se calcula el promedio del ingreso mensual, resulta que es casi $15 000! Esto dara una idea completamente falsa de los ingresos mensuales que hay en esa em-presa, ya que ninguno de los 1 000 empleados tiene un ingreso igual o parecido al pro-medio. Sera ms representativo, en este caso, dejar al dueo fuera del grupo o utilizar otro valor representativo.

    Consideremos lo siguienteEn una telesecundaria se tomaron los datos que muestra la siguiente grfica.

    sesin 2

    0 2 4 6 8 10 12

    Tipo de comida que consumen alumnos de una telesecundaria por grado, en la cooperativa escolar

    Tacos

    Empanadas

    Quesadillas

    Tortas

    Hot dogs

    Nmero de alumnos

    Primero

    Segundo

    Tercero

    MAT1 B5 S38.indd 235 8/25/07 3:41:45 PM

  • secuencia 38

    236

    Con esta informacin, los responsables de la cooperativa pueden conocer cuntos kilos de tortillas y piezas de bolillo deben comprar al da.

    En general, qu tipos de alimentos consumen ms los alumnos de esta telesecundaria?

    Comparen y comenten sus respuestas.

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas.

    a) Cuntos tipos de comida diferente hay?

    b) Cuntos alumnos de primer grado consumen tacos?

    c) Cul alimento consumen ms los alumnos de segundo grado?

    d) Y los de tercero? e) Cuntos alumnos de segundo grado consumen alimentos en la cooperativa?

    f) Y en tercero?

    g) Cuntos alumnos en total consumen alimentos en la cooperativa?

    h) Considerando la cantidad de alumnos que consumen tortas, cuntos bolillos se

    deben comprar al da?

    ii. Completen la siguiente tabla con los datos que proporciona la grfica de barras.

    Tipo de comidaConsumo por grado

    TotalPrimero Segundo Tercero

    Tacos

    Empanadas

    Quesadillas

    Tortas

    Hot dogs

    a) Qu tipo de comida piden ms los alumnos de la telesecundaria?

    MAT1 B5 S38.indd 236 8/25/07 3:41:48 PM

  • IMATEMTICAS

    237

    b) Cuntas tortas en promedio se consumen por grado?

    c) Cuntas quesadillas en promedio se consumen por grado?

    d) Cuntas empanadas consumen los alumnos de segundo grado?

    e) Cuntas empanadas en promedio se consumen por grado?

    A lo que llegamos Puede ocurrir que el valor que representa la media de un conjunto de datos no sea uno de los valores de ese conjunto.

    Por otra parte, es muy comn que el valor de la media de un conjunto de valores enteros sea un decimal.

    Por ejemplo, en el caso del consumo de hot dogs, la media por grado es 5.6

    iii. En la misma telesecundaria se les pregunt a los 27 alumnos de primer grado la can-tidad de dinero que gastaron en la cooperativa. La siguiente tabla muestra los resul-tados.

    Cantidad de dinero que gastan en la cooperativa los alumnos de primer grado

    Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Pesos $ 10 10 100 10 10 5 0 0 100

    Alumno 10 11 12 13 14 15 16 17 18

    Pesos $ 0 0 10 0 15 12 100 5 10

    Alumno 19 20 21 22 23 24 25 26 27

    Pesos $ 15 0 0 5 100 10 10 2 15

    a) Cul es la cantidad de dinero que con ms frecuencia gastan los alumnos de primer grado?

    b) Cul es la diferencia entre la cantidad mxima de dinero que gastan los alumnos y la cantidad mnima?

    c) En la siguiente tabla, ordena de mayor a menor la cantidad de dinero que gastan los alumnos de primer grado.

    MAT1 B5 S38.indd 237 8/25/07 3:41:50 PM

  • secuencia 38

    238

    d) Cul es el dato que qued al centro de la tabla?

    e) Completen la siguiente tabla sobre lo que gastan los alumnos de primer grado.

    Moda

    Media

    Mediana

    f) Cul es la medida que representa mejor la cantidad de dinero que gastan los

    alumnos de primero?

    g) Por qu lo consideran as?

    A lo que llegamosLa media, la moda y la mediana son medidas de tendencia central, de las cuales la ms conocida es la media. Sin embargo, debe conside-rarse que los valores extremos la afectan muy fcilmente. Cuando en un conjunto de valores se da este caso, es conveniente considerar si la moda o la mediana son medidas que representan mejor a ese conjunto.

    Lo que aprendimos1. Una competencia consta de tres etapas. Juan ha jugado dos de las tres etapas.

    Resultados de Juan Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa

    Puntos 62 53

    Para ganar la competencia, Juan debe tener un promedio de 60 puntos.

    Cuntos puntos necesita ganar en la tercera etapa?

    Recuerden que:

    La mediana corresponde al

    valor que se encuentra en el

    centro del conjunto de datos

    despus de ordenarlos de

    menor a mayor.

    MAT1 B5 S38.indd 238 8/25/07 3:41:51 PM

  • IMATEMTICAS

    239

    2. En una nueva competencia Juan tiene de promedio 30 puntos. En la primera etapa obtuvo 26 puntos, y en la ltima logr 20 puntos ms que en la primera etapa.

    a) Cuntos puntos obtuvo en la segunda etapa?

    b) Completen la siguiente tabla.

    Resultados de Juan Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa

    Puntos 26

    Promedio 30

    3. Ahora estn jugando Juan y Mara. Ambos tienen el mismo promedio, pero en la pri-mera y tercera etapa obtuvieron puntuaciones diferentes. Cules fueron las puntua-ciones de Juan? Completen la tabla.

    Jugador Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa

    Juan 26 50

    Mara 50 55

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Caludia Gmez. Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santi-llana, Libros del Rincn, 2003.

    Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Post Kij, Kjardan. Esa condenada mala suerte. Mxico: SEP/Editorial Motino, Libros de Rincn, 2001.

    Bosch, Carlos y Caludia Gmez. (2003). Una ventana a la incertidumbre. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT1 B5 S38.indd 239 8/25/07 3:41:53 PM

  • MATEMTICAS I

    Revisores acadmicos externosDavid Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseo Aguirre, Gonzalo Zubieta Badillo

    Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano PinedaEmilio Domnguez BravoDeyanira Monroy ZarinVernica Rosainz Bonilla

    ensayos d idct icos en telesecundar iasTelesecundaria 15 de Septiembre, El Zapote, Puente de Ixtla, MorelosMarisol Marn Vzquez

    Telesecundaria Cuauhnhuac, Pueblo Viejo, Temixco, MorelosMara de Lourdes Bello Salgado

    Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers (D. Bellos, E. F. Harding, S. Wood y I. Monk, Trds.), Nueva York: John Wiley and Sons, 2000. (Trabajo original publicado en 1981).

    Ifrah, G. Historia universal de las cifras. Edicin especial para las bibliotecas de las escuelas Normales y Centros de Maestros. Mxico, SEP, 2000.

    Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica. (23 agosto 2003)

    SEP. Fichero. Actividades didcticas. Matemticas. Educacin Se-cundaria, Mxico, 2000. Libro para el maestro. Matemticas. Educacin secundaria,

    Mxico, 2000.

    SEP-ILCE. Matemticas con la hoja electrnica de clculo, Ense-anza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educacin secundaria, Mxico, 2000. Geometra dinmica, Enseanza de las Matemticas con Tec-

    nologa (Emat). Educacin secundaria, Mxico, 2000. (2002). Biologa, Enseanza de las Ciencias a travs de Mode-

    los Matemticos (Ecamm). Educacin secundaria, Mxico.Taham, Malba. El hombre que calculaba, Mxico: Noriega Editores,

    2005.

    matemticas I Volumen I ISe imprimi por encargo de la Comisin Nacional de Libros de Texto Gratuitos,

    en los talleres de ,

    El tiraje fue de ejemplares, ms sobrantes de reposicin.

    MAT1 B5 S38.indd 240 8/25/07 3:41:55 PM

    el mes de de 200 .

    MAT B3 S17 sepMAT B3 S18 sepMAT B3 S19 sepMAT B3 S20 sepMAT B3 S21 sepMAT B3 S22 sepMAT B3 S23 sepMAT B3 S24 sepMAT B4 S25 sepMAT B4 S26 sepMAT B4 S27 sepMAT B4 S28 sepMAT B4 S29 sepMAT B4 S30 sepMAT B4 S31 sepMAT B4 S32 sepMAT B5 S33 sepMAT B5 S34 sepMAT B5 S35 sepMAT B5 S36 sepMAT B5 S37 sepMAT B5 S38 sep