Maestro. Matemticas 2o. Grado Volumen I

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Libro de Texto RIEB 2013-2014

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  • Libro para el maestro

    matemticas II2do Grado Volumen I

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  • Matemticas II. Libro para el maestro. Volumen I fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

    AutorasAna Laura Barriendos Rodrguez, Diana Violeta Solares Pineda

    Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

    ColaboracinAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Ernesto Manuel EspinosaAsuar, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia LpezEscudero, Jess Rodrguez Viorato

    Colaboracin (actividades tecnolgicas)Deyanira Monroy Zarin

    Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

    Primera edicin, 2007Sexta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

    D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

    ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa)ISBN 978-970-790-966-3 (volumen I)

    Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

    Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

    DiseoZona Grfica

    DiagramacinBruno Contreras, Vctor M. Vilchis Enrquez

    IconografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

    IlustracinGustavo Crdenas, Curro Gmez, Carlos Lara,Gabriela Podest

    FotografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

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  • Introduccin al modelo pedaggico renovadoLa enseanza y aprendizaje de las Matemticas en el modelo renovado de TelesecundariaLa tecnologa en el modelo renovado de TelesecundariaC I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

    1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidasPistas didcticas

    Mapa-ndiceClave de logos

    BLOqUE 1secuencia 1 Multiplicacin y divisin de nmeros con signosecuencia 2 Problemas aditivos con expresiones algebraicassecuencia 3 Expresiones algebraicas y modelos geomtricossecuencia 4 ngulossecuencia 5 Rectas y ngulossecuencia 6 ngulos entre paralelassecuencia 7 La relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directasecuencia 8 Proporcionalidad mltiplesecuencia 9 Problemas de conteosecuencia 10 Polgonos de frecuencias

    BLOqUE 2secuencia 11 La jerarqua de las operacionessecuencia 12 Multiplicacin y divisin de polinomiossecuencia 13 Cubos, prismas y pirmidessecuencia 14 Volumen de prismas y pirmidessecuencia 15 Aplicacin de volumenessecuencia 16 Comparacin de situaciones de proporcionalidadsecuencia 17 Medidas de tendencia central

    Examen bloque 1Examen bloque 2Bibliografa

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    ndice

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    Presentacin La trayectoria de la Telesecundaria no ha sido ajena al avance de las tecnologas de la informacin y la comunicacin y a las enormes posibilidades que dichas tecnologas han abierto para la educacin. La renovacin del modelo pedaggico ofrece, en esta tradicin innovadora, la posibilidad de trabajar de manera flexible con la introduccin del video, adems de enriquecer la interaccin en el aula al incluir los recursos informticos, materiales en audio, as como materiales impresos diversos y renovados, de acuerdo con las necesidades de un sistema educativo que prepara a sus alumnos para producir y utilizar diferentes tipos de conocimientos y herramientas conceptuales, analticas y culturales, para operar de modo competente en un medio complejo y dinmico.

    La renovacin del modelo pedaggico de la Telesecundaria insiste en que el alumno encuentre mltiples oportunidades y maneras para expresar lo que sabe y acercarse a lo que no sabe; situaciones en las que pueda desplegar sus ideas y conocer las de los dems. Para lograr esto, las actividades propuestas requieren la colaboracin entre los participantes, la consulta a diferentes fuentes y la participacin en situaciones de aprendizaje variadas, as como usos diversos de la lectura y la escritura, el desarrollo de un pensamiento lgico-matemtico, la comprensin del mundo natural y social, la formacin en valores ticos y ciudadanos y la creatividad.

    Con base en lo anterior, se introducen nuevos materiales y actividades de aprendizaje que fomenten la consulta de varias fuentes, la discusin, la comparacin de textos, la integracin de diferentes formas de representacin (imagen, sonido, grficos, texto, mapas, entre otros), y el uso de herramientas digitales para la exploracin y la verificacin de conjeturas.

    La relevancia de los contenidos escolares para la vida de los alumnos de Telesecundaria y la necesidad de crear situaciones de aprendizaje en las que la experiencia y el conocimiento de los alumnos son relevantes y tiles para participar en la clase, constituyen desde luego el principal punto de partida de la renovacin.

    Introduccin al modelo pedaggico renovado

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    La organizacin pedaggica en el aulaEn la nueva propuesta pedaggica para Telesecundaria, la actividad en el aula se organiza en secuencias de aprendizaje que duran entre una y dos semanas; las secuencias abarcan un cierto nmero de sesiones, dependiendo de la asignatura. Cada secuencia se articula en torno a la realizacin de un proyecto, la resolucin de una o varias situaciones problemticas o el anlisis de un estudio de caso, que ponen en juego el tratamiento de varios contenidos de los Programas de estudio 2006 para la educacin secundaria, y al menos uno de sus mbitos o ejes transversales. El trabajo por proyectos, estudios de caso o la resolucin de situaciones problemticas permiten combinar el desarrollo de competencias con la atencin a algunas necesidades de los adolescentes, tanto en el contexto personal como en el social/comunitario.

    El cambio de sesiones diarias a secuencias de una o dos semanas permite disponer del tiempo necesario para el trabajo alrededor de las situaciones problemticas, proyectos temticos, o estudios de caso, cuya realizacin exige la elaboracin de productos y la discusin de los mismos ante el grupo. Otra de las razones de esta modificacin tiene que ver con la necesidad de ampliar el tiempo para profundizar en la comprensin, la reflexin y la elaboracin de conceptos y nociones, lo cual permite ofrecer mayores oportunidades para el aprendizaje.

    Se pretende que las secuencias de aprendizaje cumplan con los siguientes propsitos educativos:

    1. Centrarse en el aprendizaje ms que en la enseanza, y en el alumno ms que en la disciplina.

    Proporcionar acceso a fuentes de informacin y recursos variados, impresos y tecnolgicos, as como a diferentes formas de representacin de ideas, situaciones y conceptos.

    Presentar los contenidos de manera lgica y darle prioridad al tratamiento a profundidad sobre el extensivo.

    Centrar el tratamiento temtico en el desarrollo de nociones, habilidades y actitudes para la comprensin de conceptos centrales.

    Utilizar, como referencia, los conocimientos e intereses de los alumnos.

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    2. Promover la interaccin en el aula y propiciar la participacin reflexiva y colaborativa entre los alumnos.

    Ampliar las prcticas lectoras y de escritura.

    Contener actividades que permitan a los alumnos dar explicaciones ordenadas, formular argumentos lgicos, hacer interpretaciones fundamentadas y realizar anlisis abstractos.

    3. Presentar un proceso de evaluacin que constituya una herramienta que oriente las decisiones del docente y de los alumnos.

    Responder a una demanda social e interinstitucional de certificar los conocimientos curriculares previstos por asignacin de calificaciones.

    Reconocer los diferentes modos de representacin en que se pueden expresar los procesos de produccin de conocimiento y el lugar propicio para su evaluacin.

    4. Establecer estrategias claras de vinculacin con la comunidad.

    Incorporar el enfoque intercultural en los contenidos, discurso y diseo.

    El papel del docente en el modelo renovadoEl modelo pedaggico renovado de Telesecundaria busca ampliar las prcticas de los docentes para que puedan:

    Fomentar discusiones en el aula que impliquen razonamientos complejos.

    Llevar a cabo actividades de aprendizaje que promuevan la discusin, el planteamiento de preguntas autnticas y la bsqueda de respuestas, el anlisis y solucin de problemas, la elaboracin de productos culturales.

    Integrar las participaciones de los alumnos para concluir, cuestionar y construir andamiajes, a fin de que stos transiten hacia entendimientos ms profundos.

    Trabajar con una multiplicidad de materiales didcticos (impresos, digitales, de audio y video), utilizndolos de tal modo que tengan relevancia y sean significativos para el aprendizaje.

    Reconocer los avances y aprendizajes de sus alumnos, as como los aspectos que requieren mayor reflexin.

    Es necesario concebir la transformacin de la prctica docente en la Telesecundaria como un proceso paulatino, que permita a los docentes reconocer y recuperar logros alcanzados y aprender de los errores cometidos. Para apoyar al maestro, los nuevos materiales didcticos

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    aportan elementos que favorecen un proceso gradual de mejora continua, en el cual se articulen materiales educativos, actividades y formas de participacin novedosas de los maestros y los alumnos.

    La evaluacin en el modelo renovadoDesde el modelo pedaggico renovado se propone considerar que la evaluacin es parte del proceso didctico y que significa para los estudiantes una toma de conciencia de lo que han aprendido y, para los docentes, una interpretacin de las implicaciones de la enseanza de esos aprendizajes.

    A la hora de reflexionar sobre la evaluacin, se aplican los mismos interrogantes que a la hora de pensar las actividades de aprendizaje y su valor en la construccin del conocimiento. En el modelo renovado planteamos que la evaluacin tiene que ver ms con la produccin de conocimientos que con la reproduccin de ellos, y por lo tanto requiere actividades que promuevan la revisin crtica de lo aprendido y de las actividades realizadas.

    La evaluacin, planteada desde esta perspectiva, favorece en los alumnos el mejoramiento de sus producciones y proporciona a los docentes la oportunidad de mejorar su prctica y crecimiento profesional. En el modelo renovado de Telesecundaria, en trminos generales se propone:

    1. La evaluacin del aprendizaje a partir de los diferentes modos de representacin y expresin del conocimiento (ensayos, elaboracin de proyectos, anlisis de fuentes, resolucin de casos, entre otras).

    2. La incorporacin de opciones de evaluacin inspirados en pruebas estandarizadas a las que los alumnos tienen necesariamente que enfrentarse a lo largo de su vida escolar.

    3. La evaluacin del desempeo de los alumnos en su participacin en la solucin de problemas, la elaboracin de proyectos, la utilizacin del pensamiento de nivel superior, el despliegue de estrategias de razonamiento en situaciones reales, las prcticas sociales del lenguaje y los productos alcanzados.

    4. La evaluacin entre pares: esto permite a los estudiantes, ver, juzgar y aprender del trabajo de los dems, basndose en los criterios definidos. La definicin de criterios puede centrar la discusin durante la clase y el anlisis del trabajo realizado por el grupo. Cuando se logra que los estudiantes participen en el establecimiento de los criterios a partir de los aprendizajes esperados, les es ms fcil comprender los aspectos importantes de un producto.

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    Para el caso de la evaluacin de desempeo se requiere cubrir ciertos criterios que la conviertan en una herramienta eficaz: tener un propsito claro, identificar los aspectos observables, crear un ambiente propicio para realizar la evaluacin, emitir un juicio o calificacin que describa el desempeo. Se trata de formular criterios significativos, importantes y que los alumnos comprendan.

    Dadas las caractersticas anteriores, este tipo de evaluacin consume mucho tiempo. Por ello, en una primera etapa los materiales renovados proponen los lugares especficos para evaluar, as como los criterios apegados a los aprendizajes esperados establecidos en los Programas de estudio 2006. Se espera que, con el tiempo, los maestros puedan conocer gradualmente las exigencias de este tipo de evaluaciones de tal manera que establezcan el momento para realizarla, los criterios para efectuarla y que stos puedan establecerse conjuntamente con sus alumnos.

    Se pretende que el profesor se familiarice con la idea de conceder mayor valor a los tipos ms importantes de desempeo (proyectos, portafolio, etctera) que a los cuestionarios cortos, las pruebas objetivas o a las tareas escolares, pues los primeros ofrecen una visin ms completa e integrada del aprendizaje. Las orientaciones especficas van dirigidas a que los mtodos con que se valoren los diversos tipos de informacin evaluativa sean los ms sencillos posible y su descripcin concreta est expuesta en los documentos particulares de cada rea acadmica.

    Caractersticas de los nuevos materialesUn aspecto clave de la renovacin pedaggica para la Telesecundaria es la disponibilidad de diversos materiales en el aula.

    Los nuevos materiales impresos incluyen llamados a diversos tipos de recursos: libros de consulta, libros temticos de difusin cientfica y cultural, literatura, incluidos en las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula; material audiovisual en video y programas transmitidos por la red satelital Edusat y actividades para realizar en la computadora con capacidad de despliegue o de ejecucin. Algunos de estos materiales se integrarn de manera gradual para llevar a cabo las actividades propuestas por el modelo renovado.

    En el material de base o libro para el alumno se hacen invitaciones especficas para el uso de varios recursos, y se crean tiempos curriculares para la lectura, la consulta y el trabajo con estos materiales.

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    Materiales impresosLibro para el alumno Funciona como texto articulador de recursos mltiples, impresos, audiovi-suales e informticos. Integra, en dos volmenes por asignatura, la informacin bsica y las actividades de aprendizaje.

    El libro para el alumno cuenta con un mapa de contenidos, el cual se concibe como una herramienta que permite ver el panorama global del curso y de sus partes, las secuencias de aprendizaje con los temas y el uso de otros recursos involucrados, audiovisuales e informticos, as como los aspectos que cada asignatura considera relevantes.

    Adems de las secuencias de aprendizaje vinculadas con los contenidos programticos, se proponen sesiones al final de cada bimestre, destinadas a la integracin de los conocimientos y a la evaluacin de los aprendiza-jes. De la misma manera, se incluye una sesin introductoria que ayudar al docente y alumnos a conocer sus materiales y las formas de trabajo sugeridas para el curso.

    Con base en lo planteado en los Programas de estudio 2006, las asignatu-ras constan de cinco bloques o bimestres integrados por un nmero variado de temas y subtemas. La distribucin de los contenidos en cinco bloques por curso tiene la intencin de apoyar a los docentes en el reporte de los avances de los logros de aprendizaje de los alumnos. El modelo pedaggico renovado retoma esta organizacin como eje articula-dor de toda la programacin.

    La estructura general de las secuencias es la misma para todas las asigna-turas, si bien se introducen subttulos de acuerdo con las necesidades especficas de cada una de ellas. Las etapas generales y las especficas, as como su descripcin se incluyen en las introducciones de cada volumen.

    El trabajo en cada secuencia considera diferentes formas de organizacin entre los alumnos, as como actividades que pueden realizarse en versio-nes para lpiz y papel o mediante la tecnologa, con el nfasis en su uso como herramienta para la enseanza (despliegue en aula) o bien con nfasis en su uso como herramienta para el aprendizaje (aula de medios).

    Las indicaciones sobre el tipo de actividades que pueden ser realizadas con el apoyo de recursos audiovisuales, informticos u otros impresos, as como las formas de organizacin para el trabajo, estn claramente indicadas a lo largo de las secuencias de aprendizaje mediante logotipos alusivos, cuya equivalencia puede ser consultada en la clave de logos de la pgina 45.

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    Libro para el maestroEl libro para el maestro reproduce, en formato reducido, las secuencias del libro para el alumno, con orientaciones didcticas concretas ligadas a la secuencia, adems de ofrecer recursos y formas alternativas de abordar los contenidos.

    Este material incorpora la familiarizacin del docente con el modelo pedaggico renovado, la propuesta de uso de la tecnologa, la presentacin general del curso y sus propsitos, junto con la descripcin general de las secuencias. Tambin proporciona criterios de uso para los materiales impresos y tecnolgicos y propuestas de evaluacin.

    El apartado titulado Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria, proporciona recomendaciones didcticas generales y pistas didcticas concretas que el docente puede desplegar para el trabajo en el aula.

    Cada secuencia da inicio con un texto breve, el cual incluye informacin general como un resumen, los propsitos de la secuencia, qu se espera lograr y el enfoque. Un recuadro proporciona informacin referente a las sesiones en que se divide la secuencia, los temas que se abordarn, las destrezas y las actitudes por desarrollar, los productos esperados, los recursos por utilizar, la relacin con otras asignaturas o secuencias, en resumen, la informacin que cada asignatura considere relevante para que el profesor pueda planear su trabajo y tener un panorama general de la secuencia.

    Las sugerencias y orientaciones especficas por sesiones y actividades o grupos de actividades principian con un breve texto sobre la intencin didctica de las mismas y el tiempo estimado para realizarlas.

    Asimismo, se incorporan las respuestas a las actividades planteadas diferenciando, cuando sea aplicable, las respuestas esperadas y el tratamiento didctico de los errores, de las respuestas modelo y de las libres; se incluyen ideas para el maestro sobre qu aspectos o criterios debe considerar, en qu debe hacer nfasis, cmo orientar a los alumnos, etctera.

    Otros recursos impresos En los materiales de base para cada una de las asignaturas se consider el uso de otros libros. Los impresos aprovechan las colecciones de las Bibliotecas Escolares y de Aula.

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    Materiales audiovisualesLa utilizacin de las Tecnologas de la Informacin y de la Comunicacin (TIC), en el modelo renovado para Telesecundaria, considera la actualizacin y el replanteamiento del uso de la televisin. Los nuevos materiales audiovisuales consideran diversos elementos como audiotextos, videos para un uso flexible y diverso, de corta duracin, as como material para ser transmitido va satlite. La insercin de estos recursos depende del diseo didctico de cada asignatura y secuencia.

    En el apartado La tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria se describen las caractersticas generales y los usos del material audiovisual.

    Materiales informticosSon materiales para el despliegue en el aula de representaciones dinmi-cas, interactivas y ejecutables de situaciones, fenmenos y conceptos, que permitan retroalimentar el tratamiento de temas concretos, la realizacin de actividades y generar dinmicas diversas para las intervenciones de los alumnos.

    De igual manera se aprovechan las experiencias que dan cuenta de la insercin de las TIC en el aula, entre las que destacan el proyecto de Enseanza de las Matemticas y de la Fsica con Tecnologa (EMAT-EFIT), el proyecto de Enseanza de la Ciencia por medio de Modelos Matemticos (ECAMM), el proyecto de Enseanza de las Ciencias con Tecnologa (ECIT), y Enciclomedia, como herramienta para la vinculacin y el despliegue de recursos.

    La forma como se articula cada uno de estos recursos en las secuencias de aprendizaje se aborda en la propuesta concreta de cada asignatura y en el apartado La tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria.

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    El enfoque con el cual se disearon los nuevos materiales para Telesecundaria considera que la resolucin de problemas es la estrategia que permite a los alumnos apropiarse de los conocimientos matemticos.

    Aunque la resolucin de problemas ha estado presente en diversas posturas y prcticas de enseanza, se le han otorgado diferentes significados. Desde el enfoque, en los nuevos materiales para Telesecundaria se asume que resolver problemas sirve para aprender cuando los conocimientos se ponen en juego y solucionan alguna situacin. Con ese propsito, en el libro para el alumno se plantean situaciones problemticas.

    Una situacin problemtica es aquella que representa un reto para el alumno, es decir, que implica una solucin que no es tan sencilla como para que resulte obvia, ni tan difcil que a sus ojos parezca imposible de resolver. Una situacin problemtica puede tomar muchas formas: un enunciado, una construccin geomtrica, una actividad puramente numrica, etctera.

    El alumno echa mano de sus conocimientos previos para enfrentar el reto que le plantea la situacin problemtica y producir una solucin. En este primer acercamiento quiz no resuelva correctamente el problema o siga procedimientos no convencionales. El maestro debe ser consciente de que lo importante es que el alumno obtenga al menos una solucin. Despus, el trabajo matemtico que se desarrolla en las sesiones procura acercar al alumno a una (o varias) soluciones correctas, econmicas y en muchos casos, convencionales. En buena medida, el desafo para el estudiante est en reestructurar algo que ya sabe, modificndolo o amplindolo para enfrentar el problema nuevo que le presenta la situacin problemtica.

    Por ello, en este enfoque es fundamental permitir a los alumnos entrar en accin con la situacin problemtica antes de darles la clase y explicarles paso a paso lo que tienen que hacer; aun cuando pueda parecer que cometen muchos errores, que les toma mucho tiempo o que llegan a conclusiones equivocadas.

    Lo anterior no quiere decir que el maestro ya no deba ensear frmulas, definiciones o algoritmos; tampoco significa que no deba dar explicaciones o aclarar dudas. La diferencia est en el momento en el que introduce esos aspectos: en lugar de tomarlos como punto de partida, se pretende que se

    La enseanza y el aprendizaje de las Matemticas en Telesecundaria

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    aborden una vez que los alumnos hayan enfrentado la situacin problemtica; es decir, primero ellos utilizan sus conocimientos previos para resolver el problema y luego el docente va orientando el trabajo matemtico hasta formalizar los nuevos conocimientos (por ejemplo, definiendo algn concepto o dndole nombre a un procedimiento). La ejercitacin de una tcnica de resolucin y la aplicacin de lo aprendido siguen siendo necesarias, por lo que es conveniente dar espacios para ello.

    En la perspectiva que ahora se propone, hay que considerar tambin que los conocimientos matemticos que se ensean no estn acabados, pues se trata de nociones que se van enriqueciendo. Por ejemplo, en la primaria los alumnos saben que 3 478 es mayor que 976 porque su experiencia les dice que los nmeros con ms cifras son mayores; pero si los nmeros son 0.6 y 0.325, la comparacin a partir de la cantidad de cifras ya no es un conocimiento que pueda funcionar de la misma manera.

    Por otra parte, se reconoce la importancia de la interaccin entre los alumnos para el logro de los propsitos de aprendizaje, no slo porque pueden apoyarse entre s para comprender el planteamiento de un problema o intercambiar estrategias de solucin, sino tambin porque se reconoce que el aprendizaje se produce en un medio social determinado; por eso es condicin indispensable que existan mecanismos de comunicacin oral, grfica o escrita, que permitan transmitir informacin al otro y construir significados matemticos compartidos.

    El papel del docente en el modelo renovadoDesde la perspectiva que orienta el diseo de estos materiales, tanto los alumnos como los docentes se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemtico y una revisin sobre lo que significa ensear y aprender matemticas. Los estudiantes aprenden matemticas resolviendo problemas que implican la modificacin de sus conocimientos previos, y el maestro se encarga de organizar las condiciones para que este aprendizaje tenga lugar. No se trata slo de buscar las explicaciones ms sencillas y amenas para dar la clase o de limitarse a plantear las instrucciones iniciales, sino de analizar

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    y proponer problemas adecuados para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de tcnicas y razonamientos cada vez ms eficaces.

    El maestro debe ocuparse de los siguientes aspectos:

    seleccionar y proponer problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos apliquen lo que saben y avancen en el uso de tcnicas y razonamientos ms eficaces;

    organizar al grupo para que los alumnos trabajen en equipos, en parejas o individualmente; fomentar la comunicacin de procedimientos y resultados obtenidos en el grupo;

    identificar cmo interpretan los alumnos esos problemas, considerando que los resultados diferentes no son necesariamente incorrectos, sino que corresponden a una interpretacin distinta del problema;

    asegurarse que los alumnos aprendan las nociones o procedimientos que se establecen en los propsitos de aprendizaje.

    Organizacin didcticaEn el curso de Matemticas para primer grado, los contenidos se trabajan a lo largo de 32 secuencias de aprendizaje organizadas en 5 bloques, uno por bimestre. En cada secuencia se aborda un contenido del programa de matemticas en varias sesiones (de 2 a 5, dependiendo de la amplitud del contenido que se trate).

    La propuesta curricular actual considera una clase diaria de 50 minutos. En total, son 200 clases durante todo el ciclo escolar. En el libro para el alumno de Matemticas para Telesecundaria hay 123 sesiones, por lo que el maestro dispone de 77 sesiones que puede utilizar a su criterio para repasar temas, continuar trabajando sesiones que se hayan prolongado, realizar actividades de evaluacin, etctera.

    Los nuevos materiales educativosEl modelo pedaggico renovado de Telesecundaria considera el diseo de nuevos materiales educativos: libro para el alumno, libro para el maestro, materiales informticos e impresos complementarios. El propsito de todos ellos es promover la adquisicin de los conocimientos descritos tanto en la propuesta curricular actual como en el modelo pedaggico de Telesecundaria, y articular la utilizacin de los mltiples recursos impresos e informticos.

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    Libro para el alumnoEst conformado por dos volmenes. La estructura y la organizacin de cada una de las sesiones que conforman una secuencia tienen la finalidad de favorecer procesos de enseanza y aprendizaje acordes a los planteamientos del enfoque: la resolucin de problemas como detonadora de la bsqueda de soluciones y la utilizacin de conocimientos previos; la comunicacin y argumentacin de resultados, as como de los procedimientos de resolucin; el anlisis y la reflexin en torno a las nociones y los procedimientos matemticos que resuelven el problema; y la formalizacin de los conocimientos matemticos que los alumnos deben aprender. Con el propsito de que desarrollen actividades acordes a cada uno de esos aspectos, cada sesin se compone, en general, de los apartados que se mencionan a continuacin:

    Para empezarIntroduccin del tema o presentacin de un contexto determinado; se procura retomar las experiencias y conocimientos previos de los alumnos.

    Consideremos lo siguientePlanteamiento de una situacin problemtica en torno a la cual se organizan la mayor parte de las actividades de la sesin.

    Manos a la obra

    Actividades articuladas alrededor del propsito de aprendizaje establecido y orientadas al anlisis de los procedimientos o nociones que se pretenden formalizar.

    A lo que llegamosInformacin y actividades centradas en la formalizacin y la socializacin del conocimiento matemtico.

    Lo que aprendimos

    Incluye tanto la ejercitacin de tcnicas como la valoracin individual y colectiva de lo aprendido.

    Para saber msSugerencias de vnculos con materiales impresos o computacionales (Internet, multimedia, etc.) que amplan la informacin y las aplicaciones de los temas tratados en cada secuencia.

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    Es necesario aclarar que la estructura de las sesiones no es rgida; hay unas en las cuales se parte de una situacin problemtica y otras que son un repaso de sesiones anteriores.

    En cada una de las sesiones se sugieren diferentes formas de organizar el trabajo de los alumnos (individual, en parejas o en equipos, y trabajo grupal). La importancia de alternar estas formas de trabajo se basa en el reconocimiento de que es posible aprender conocimientos matemticos participando en actividades que son compartidas con otros.

    Las sesiones tambin consideran la utilizacin de recursos multimedia en distintos momentos, dependiendo del propsito especfico de cada secuencia. Se proponen los siguientes recursos tecnolgicos, cuyo uso depender de la infraestructura con la que cuente la escuela:

    Recursos tecnolgicos para matemticas

    Programas integradores

    Se transmiten uno por semana a travs de la red satelital Edusat; su propsito es ampliar la informacin y diversificar los contextos desarrollados en cada una de las secuencias. Su uso y el momento en que se presentan son optativos. La programacin y los contenidos de estos videos pueden consultarse en la Revista Edusat. Se sealan tanto en el libro para el alumno como en el libro del maestro.

    Videos de consulta

    Se indican en el impreso con el icono de una cmara de video; su propsito es contextualizar, ejemplificar y formalizar el contenido que se aborda en la secuencia.

    interactivos

    Se indican en el impreso con el icono de un ratn; se utilizan en el saln de clases. Su propsito es desarrollar ideas intuitivas sobre los contenidos, verificar respuestas y validar hiptesis y conjeturas de los alumnos.

    trabajo en el aula de medios

    Trabajo en hojas de clculo, geometra dinmica, calculadora y Logo. Permiten llevar a cabo el trabajo colaborativo en entornos tecnolgicos. Promueven en los alumnos el desarrollo del pensamiento lgico y el anlisis de datos mediante la resolucin de problemas. Se trabajan en el Aula de Medios.

    Libro para el maestroEl libro para el maestro tambin consta de dos volmenes, y en l se reproducen, en formato reducido, las sesiones que conforman el conjunto de las secuencias del libro para el alumno. Su propsito es ofrecerle orientaciones didcticas para abordar los contenidos de enseanza, desarrollar en los alumnos los conocimientos y habilidades esperados y evaluar el aprendizaje.

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  • 1L ib ro para e l maest ro

    Para cada una de las secuencias, usted encontrar:

    Una descripcin general y los propsitos de la secuencia y de cada sesin.

    Recomendaciones para la organizacin del grupo.

    Informacin respecto a los posibles procedimientos, dificultades y errores de los alumnos ante un problema matemtico concreto y sugerencias de cmo usted puede intervenir.

    Soluciones correctas a los problemas y preguntas que se le plantean al alumno.

    Explicaciones de conceptos matemticos que pueden ayudarle en el desarrollo de la clase.

    Orientaciones para propiciar el intercambio de idas entre los alumnos y la confrontacin de distintos procedimientos y soluciones.

    Actividades para recuperar lo aprendido y formalizar los conocimientos matemticos esperados.

    Formas alternativas de abordar los contenidos, desarrollar conocimien-tos y habilidades y evaluar el aprendizaje.

    Estas orientaciones y sugerencias didcticas aparecen junto a las actividades especficas de cada secuencia de aprendizaje.

    El libro para el maestro no pretende ser un documento normativo de su trabajo, sino un recurso que puede enriquecer sus experiencias, saberes y estilos de enseanza para que los alumnos y sus aprendizajes constituyan, realmente, el centro de la organizacin del trabajo en el aula.

    Los recursos tecnolgicos en la enseanza y el aprendizaje de las MatemticasEn el modelo de Telesecundaria que ha estado operando, los programas de televisin han desempeado un papel central en las actividades de enseanza y de aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, pues adems de ser una fuente de informacin para alumnos y docentes, otro de sus propsitos ha sido tambin provocar intercambios de experiencias y puntos de vista entre el docente y los alumnos.

    Si bien el modelo se ha visto enriquecido con las experiencias y las innovaciones que los docentes introducen en sus prcticas, la forma en que est diseado limita las posibilidades de dialogar y profundizar en el tratamiento de los contenidos matemticos.

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  • 1 L ib ro para e l maest ro

    El modelo renovado para la Telesecundaria, adems de ampliar y diversificar el tipo de recursos tecnolgicos (materiales audiovisuales, material informtico para el trabajo con una computadora por saln de clases y hojas de trabajo para el Aula de Medios), sugiere un uso de los recursos tecnolgicos acorde con las concepciones de aprendizaje y de enseanza que se promueven en el enfoque: su propsito es apoyar la realizacin de actividades centradas en la exploracin de los problemas, la argumentacin y comunicacin de los posibles procedimientos de resolucin, as como estimular las diversas formas de colaboracin en el saln de clases: entre el alumno y el recurso tecnolgico, entre los alumnos al trabajar en equipos, y entre el grupo y el docente.

    La evaluacinTradicionalmente, la evaluacin se usa para medir lo que los alumnos saben respecto de algn conocimiento y, a partir de esa medicin, se asigna una calificacin. En el modelo que ahora se propone, la evaluacin tiene, adems, el objetivo de identificar los logros y las dificultades en los procesos de enseanza y aprendizaje, hacindolos evidentes a los docentes y alumnos, con la finalidad de que se tomen decisiones oportunas para mejorar la eficiencia de esos procesos.

    Para ello, se proponen dos recursos de evaluacin: la integracin de un portafolios del alumno y un examen escrito bimestral. Estos instrumentos pretenden apoyar el trabajo de evaluacin, por lo que son susceptibles de ser adaptados a las condiciones especficas del grupo de alumnos y complementados con otras prcticas validadas por la experiencia docente.

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  • 1L ib ro para e l maest ro

    El portafolios del alumno Consiste en armar una carpeta para cada alumno en la que el maestro rena algunos ejercicios. Tiene dos funciones principales: por una parte, proporcionarle informacin sobre el grado de avance del alumno de manera constante y sin tener que esperar a que acabe el bimestre y aplique el examen. Esto permite al docente estar en posicin de tomar decisiones efectivas y a tiempo cuando considere que hay aspectos que los estudiantes no han comprendido o han comprendido dbilmente. Por otra parte, los ejercicios del portafolios pueden convertirse en un insumo ms para asignar a los alumnos la calificacin bimestral.

    En cada secuencia, el maestro encontrar sugerencias de ejercicios para integrar al portafolios, qu aspectos son importantes en ellos y recomendaciones en caso de que los alumnos tengan dificultades.

    El examen bimestralEn el libro para el maestro se presenta, al final, una coleccin de problemas con sus soluciones para seleccionar algunos de ellos y elaborar un examen escrito. Se recomienda darle un valor que no sea superior al 50% de la calificacin final.

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  • 20 L ib ro para e l maest ro

    La tecnologa en el modelo renovado de TelesecundariaEl papel innovador de la Telesecundaria se reafirma en la propuesta del modelo renovado, que ofrece al maestro la posibilidad de trabajar con una gama de medios ms amplia que incluye, adems de los materiales impresos y de televisin, recursos informti-cos. La inclusin del uso de la computadora, materiales en audio, programas de televisin transmitidos por la red satelital Edusat y videos de consulta, junto con la coleccin de las Bibliotecas Escolares y de Aula, tienen la finalidad de actualizar y diversificar los materiales educativos disponibles para crear en el aula situaciones de aprendizaje dinmicas, mltiples y variadas. Estos recursos se articulan a travs del libro para el alumno: es decir, en ste apare-cen llamadas para hacer uso de los diferentes recursos y, en puntos especficos del libro para el maestro, indicaciones sobre cmo y cundo utilizar, entre otros, el video, los materiales infor-mticos, la televisin y los audiotextos

    Los recursos tecnolgicos utilizados en el modelo renovado son de dos tipos:

    1. Despliegue de material interactivo1 y multimedia en pantalla grande, que permite distintos tipos de actividades:

    SESIonES ExPoSITorIaS y DE DISCUSIn

    presentacin de temas, contenidos, mapas conceptuales o procedimientos por parte del profesor, con apoyo visual y acceso a fuentes de informacin complementarias;

    presentacin de producciones de los alumnos (realizadas en aula de medios),y

    bsqueda de informacin en fuentes digitales previamente seleccionadas.

    aCTIvIDaDES y DISCUSIonES CoLECTIvaS

    realizacin de actividades en grupo, con participaciones individuales o por equipos pasan-do al pizarrn, como por ejemplo: resolucin de problemas, realizacin de experimentos virtuales, verificacin de respuestas, validacin de hiptesis y conjeturas, anlisis de textos, videos, datos e informacin en general;

    realizacin de actividades de produccin de los alumnos, individual o por equipos, como por ejemplo: bsqueda y presentacin de informacin, registro de datos, elaboracin de repor-tes, produccin de textos y otros materiales, y

    bsqueda de informacin en fuentes digitales previamente seleccionadas.

    1Actividades preparadas para realizarse en computadora.

    AulA de Medios

    interActivo

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  • 21L ib ro para e l maest ro

    En la asignatura Matemticas II se puede mencionar el siguiente ejemplo de uso de un material interactivo; el ejemplo remite a una parte especfica del interactivo pero, si se considera oportuno, se puede explorar el resto para trabajar otra escena de acuerdo con las condiciones del grupo, ya que en el interactivo se desarrolla todo el tema abordado en la secuencia.

    En el bloque 1, secuencia 3, sesin 1, Expresiones algebraicas y modelos geomtricos, se le solicita al alumno que, a partir del material interactivo, obtenga diferentes expresiones alge-braicas equivalentes para calcular el rea de un rectngulo, como se muestra en la pgina 47.

    m A T E m T I C A S I I

    47

    IIMATEMTICASEn esta secuencia encontrars distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el rea de un rectngulo. Para simplificar los clculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centmetros.

    Consideremos lo siguienteDe las siguientes expresiones, cules representan el rea del rectngulo enmarcado en rojo?

    4

    a 2

    a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2)

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo saben cules son correctas y cules no?

    Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas.

    a) Cul es la medida de la altura del rectngulo enmarcado en rojo?

    altura =

    b) Escriban una expresin que sirva para calcular la medida de la base de este rec-tngulo.

    base =

    c) Qu expresin resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base?

    altura base =

    Recuerda que:Para indicar que un nmero multiplica a una expresin se usan los parntesis:

    5(b + 3) = 5(b + 3)

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  • 22 L ib ro para e l maest ro

    L A T E C N O L O G A E N E L m O D E L O R E N O V A D O D E T E L E S E C U N D A R I A

    2. Programas de televisin por Edusat y videos de consulta con las siguientes caractersticas:

    ProGraMaS InTEGraDorES

    Estos programas son transmitidos por la red satelital Edusat, con horarios que permiten un uso flexible para apoyar los contenidos revisados durante una semana. Se encuentran indicados en el libro para el maestro, de tal manera que tenga la posibilidad de elegir cundo verlos. Se debe consultar la cartelera Edusat para conocer los horarios de transmisin y repeticiones a lo largo de cada semana.

    Estos programas permiten la:

    presentacin de temas desde una perspectiva integradora de los contenidos estudiados en la semana;

    ejemplificacin de conceptos a partir de contextos socioculturales cercanos a las experien-cias de los alumnos;

    presentacin de contextos socioculturales lejanos a las experiencias de los jvenes para que puedan conocer diversas formas de vida, e

    integracin de informacin proveniente de diversas fuentes.

    ProGraMaS DE ExTEnSIn aCaDMICa

    Estos programas apoyan algunos contenidos temticos a travs de pelculas y documentales, y se transmiten por la red satelital Edusat. Se debe consultar la cartelera para conocer los horarios de transmisin.

    Este tipo de programas:

    fomentan el sentido crtico, con la finalidad de desarrollar una visin ms amplia del mundo;

    renen diversos contenidos de las reas de conocimiento en algn programa, pelcula o documental, y

    ofrecen un espacio de recreacin entre los jvenes para apoyar los contenidos.

    vIDEoS DE ConSULTa

    Estos materiales permiten trabajar contenidos especficos indicados en el libro para el alumno y en el libro para el maestro. El maestro tiene la posibilidad de elegir cundo y cmo verlos en cada tema o sesin.

    Estos videos permiten la:

    interactividad en el aula a partir de un contenido especfico;

    demostracin de distintas maneras de colaborar en actividades dentro y fuera del aula;

    posibilidad de desplegar conocimientos y dudas, y

    capacidad de plantear y examinar hiptesis y conjeturas, a partir de diversos ejemplos o actividades problematizadoras.

    video

    ProgrAMA integrAdor edusAt

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  • 23L ib ro para e l maest ro

    m A T E m T I C A S I I

    Adems, los videos de consulta tienen una o ms de las siguientes funciones:

    ejemplificar distintas aplicaciones de un concepto en diversos contextos y permiten obser-var estas aplicaciones en situaciones concretas de la vida diaria;

    plantear un problema o situacin en particular que permita abordar el contenido de un tema desde una perspectiva crtica que, a su vez, promueva la formulacin de preguntas autnticas y la bsqueda de respuestas dentro y fuera del aula;

    abordar aspectos especficos de un tema, dando informacin puntual y formalizadora, que ayude al entendimiento profundo de un concepto o nocin;

    promover la reflexin colectiva mediante el dilogo y la comunicacin en el aula a partir del anlisis de diversas problemticas, as como de diferentes opciones de solucin;

    contextualizar diversos contenidos que proporcionen elementos para entender el entorno que existe alrededor de un tema, y

    demostrar procesos o procedimientos que permitan acceder a un conocimiento inductivo-deductivo.

    En la asignatura Matemticas II se puede mencionar el siguiente ejemplo de uso de un video de consulta:

    En el bloque 1, secuencia 6, sesin 3, ngulos entre paralelas, el alumno puede, a partir del video Relaciones importantes (en el que se resumen las relaciones de medida entre los ngulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal), reforzar los conceptos vistos a lo largo de la secuencia a partir de la presentacin dinmica de los resultados.

    91

    IIMATEMTICAS9. Cunto mide el ngulo formado por la escalera y la pared?

    Relaciones importantes

    Las relaciones de los ngulos entre paralelas y la de los tringulos y paralelogramos te permiten resolver mltiples problemas.

    A lo que llegamosLos ngulos interiores de un tringulo siempre suman 180.En un paralelogramo:

    Los ngulos opuestos son iguales.

    Los ngulos consecutivos suman 180.Los cuatro ngulos interiores suman 360.

    Para saber msSobre animaciones que representan la suma de los ngulos interiores de un tringu-lo consulta:http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&subRuta: Tringulos, prismas y pirmides ngulos en el tringulo[Fecha de consulta: 22 de febrero de 2007]

    Resuelve el problema 2.1 de la pgina de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 22 de febrero de 2007]

    50

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  • MAT2 B1 PREL maestro.indd 24 6/2/07 11:02:02 PM

  • Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria

    1 3 452

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  • 2 L ib ro para e l maest ro

    C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

    aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:

    Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema.

    Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos sern lectores fluidos, otros sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los proyectos de Ciencias, debido a que stos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del ao escolar.

    Crear un ambiente de confianza1

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  • 2L ib ro para e l maest ro

    Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar informacin y tomar sugerencias.

    Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn contenido conceptual.

    Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo.

    Cmo hacer una lluvia de ideas

    Cmo coordinar la discusin de

    un dilema moral

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  • 2 L ib ro para e l maest ro

    Es importante usar diferentes prcticas acadmicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseanza en el aula:

    Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para comprenderlos mejor.

    Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con la participacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones, qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.

    Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti-tuye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.

    Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias.

    Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir.

    Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente

    C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

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  • 2L ib ro para e l maest ro

    Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudar a escuchar cmo se oye (y cmo se entienden) sus escritos. Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.

    Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.

    Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.

    Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico.

    Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior. En matemticas, por ejemplo, el carcter de formal o acabado del procedimiento de solucin de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicati-vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operacin es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conoci-miento matemtico est en cons-truccin permanente.

    Cmo apoyar la elaboracin de resmenes

    Cmo introducir otros recursos

    Para hacer uso del diccionario

    Cmo leerun mapa

    Cmo concluirun dilogo o actividad

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  • 30 L ib ro para e l maest ro

    El dilogo e interaccin entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:

    Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con s o no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems, dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral.

    Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse dilogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartida de conocimientos.

    Fomentar la interaccin en el aula

    C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

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  • 31L ib ro para e l maest ro

    Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeos grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas.

    Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos, realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de informacin, analista, etctera).

    Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.

    Cmo llevar a cabo un debate

    Cmo conducir una revisin grupal de textos

    Cmo conducir un dilogo grupal

    Cmo coordinar la discusin de

    un dilema moral

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  • 32 L ib ro para e l maest ro

    Una parte fundamental de la educacin secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparacin de las clases y

    Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos.

    Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede

    Utilizar recursos mltiples

    C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

    4

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  • 33L ib ro para e l maest ro

    fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar informacin en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de alguna actividad experimental.

    Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas

    Cmo introducir otros recursos

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  • 3 L ib ro para e l maest ro

    Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y constante. Por ejemplo, se puede:

    Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc.

    Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:

    Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas

    C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

    tratar de inferir el significado del texto.

    Buscarlo en el diccionario.

    Preguntar al maestro o a un compaero.

    saltarla y seguir leyendo.

    Qu hacer cuando no sabes Qu significa una palabra?

    5

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  • 3L ib ro para e l maest ro

    Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la consulta continua.

    Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podr seleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a su estilo y sus intereses.

    Cmo organizar la bitcora del grupo

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  • 3 L ib ro para e l maest ro

    Pistas didcticas

    Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas Cuando se utilizan textos o imgenes que aparecen en distintos medios, se cita

    su procedencia, usando alguno de los siguientes cdigos:

    Libro: apellido del autor, nombre del autor, ttulo, lugar de edicin, editorial y ao de publicacin. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar tambin las palabras o pginas consultadas.

    Revista o peridico: ttulo, nmero, lugar y fecha de publicacin, pginas consultadas.

    Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisin y canal.

    Cmo conducir una revisin grupal de textos individuales Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los

    textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresio-nes que puedan ser mejoradas.

    Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si est de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrn y despus en su cuaderno.

    Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo.

    En cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan.

    Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

    Cmo conducir un dilogo grupal Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn,

    para recuperarlas en la discusin o conclusiones.

    Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas.

    Para avanzar en el dilogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: Juan dijo tal cosa, pero Mara piensa esta otra, qu otras observaciones se podran hacer?

    Cierre cada punto y d pie al siguiente inciso. Por ejemplo: Ya vimos las caractersticas comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado.

    En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano.

    Seale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 36 6/2/07 11:03:11 PM

  • 37L ib ro para e l maest ro

    Cmo hacer una lluvia de ideas Planteeunapreguntaabiertarelacionadaconunaactividad,texto,imagenosituacin(Qu

    pasarasi?Cmopodramos?Porqucreenqueestoocurreas?Qulessugiereesto?).

    Permitaypromuevaquelosalumnosdensuopinin,anoteideasysugerenciasyplanteendudas.

    Conformelosalumnosvanparticipando,apunteenelpizarrn,demaneraabreviada,suscomentariosyaportaciones.Tambinpuedeanotarsusideasenunprocesadordepalabrasyproyectarlasenlapantalla.

    Cuandolosalumnoshanterminadodeparticipar,reviseconelloslalistaybusquendiferentesformasdeorganizarsusideas(juntartodaslassimilares,ordenarlascronolgicamente,agruparlasporcontenido,etctera).

    Resumaconelgrupolasprincipalesaportaciones.

    Retomelasparticipacionescuandoseapertinenterelacionarlasconotrasintervenciones.

    Cmo concluir un dilogo o una actividad Haciaelfinaldeldilogoodeunaactividad,resumaloscomentariosdetodoslos

    participantes.

    Sealelasprincipalessemejanzasydiferenciasenlasaportaciones.Recurdelealgrupocmoseplantearonycmoseresolvieron.

    Ayudealosalumnosadefinirlasconclusiones,inferenciasyacuerdosprincipalesdelaactividadydesusreflexiones.

    Permitaalosalumnosexpresarsusdudasycontestarlasentreellos.

    Anoteenelpizarrnlasideasyconclusionesmsimportantes.

    Cmo organizar la bitcora del grupo Labitcoraesunaactividadcompartidaportodoslosmiembrosdelgrupo.Sebusca

    escribirdaadalavidadelgrupoescolar.Esunaactividadlibredeescrituraenelsentidodequecadaalumnopuedeelegirquaspectodeldacomentarycmocomentarlo.No se trata de corregirlosinodecompartirlasdiferentesperspecti-vasacercadeloseventoscentralesdelaconvivenciaenelaula.

    Cadadaunalumnodiferentesehaceresponsabledeescribir,dibujar,insertarfotografas,etctera.

    Esunaactividadquelosalumnospuedenrealizarenunprocesadordepalabras.

    Sicuentaconconectividad,sepuedecrearunblog(bitcoraelectrnica)delgrupoquesedespliegueenInternet.Enlapginawww.blogspot.comseexplicacmohacerlo.

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 37 6/7/07 2:09:16 PM

  • 3 L ib ro para e l maest ro

    Cmo coordinar la discusin de un dilema moral Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que

    los comentarios se harn ms adelante.

    Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntndoles, por qu es un dilema?, cul es el tema central?, qu habr pensado el personaje en cuestin?

    Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria.

    Explique previamente dos reglas bsicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura.

    A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: Cul es el mejor argumento a favor de X postura y por qu? Habra otros argumentos?, cules?

    Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y ms satisfactorias al dilema.

    Cmo introducir otros recursos Explore y lea con anticipacin los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con

    el grupo.

    Presente el material (libro, revista, artculo de peridico, mapa, imagen, etctera) al grupo, comentando qu tipo de material es, el autor o artista, el ao.

    Lea o mustrelo al grupo.

    Converse con los alumnos acerca de la relacin de este material con el trabajo que se est desarrollando. Propicie la reflexin sobre la relacin del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja.

    Invtelos a revisar el material y conocerlo ms a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que estn abordando en el curso.

    Cmo llevar a cabo un debate Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y

    de secretario, explicndoles en qu consiste su labor.

    Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cul o cules son los puntos o aspectos que se estn confrontando.

    El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema.

    El secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos que aportan.

    Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas.

    Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participan-tes cules son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones.

    Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 38 6/2/07 11:03:20 PM

  • 3L ib ro para e l maest ro

    Cmo leer un mapa Pida a los alumnos que identifiquen el ttulo del mapa para saber qu tipo de informacin

    representa. Si se trata de un mapa histrico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cundo data y si representa hechos o procesos del pasado.

    Revise con los alumnos las referencias o simbologa.

    Seale claramente cul es la escala empleada en el mapa.

    Revise con el grupo la simbologa utilizada y su explicacin.

    Comente con el grupo la informacin que se puede obtener a partir del mapa o relacionndolo con otras informaciones previas.

    Interprete la orientacin a partir de leer la rosa de los vientos.

    Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivos Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmen-

    tos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.

    Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrn y luego en su cuaderno.

    Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo.

    En cada ocasin, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

    Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Elija el texto que se va a resumir y lalo con el grupo.

    Solicite participaciones a partir de las preguntas: cul consideran que es la idea principal de cada prrafo?, cules sern las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrn o con el procesador de textos y despus proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas.

    A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrn cmo retomar la idea principal de cada prrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario tcnico y ejemplos del texto.

    De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.

    Para hacer uso del diccionario Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden.

    Bsquenlas en el diccionario en orden alfabtico.

    Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. Tambin pueden hacer uso de sinnimos.

    Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente.

    Si an quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 39 6/2/07 11:03:23 PM

  • 0

    Bloque1

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    1.Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    .[1

    2-29

    ]

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nmultiplicacione

    sy

    division

    esden

    meroscon

    signo

    .

    1.1

    Losn

    meroscon

    signo

    Losn

    meroscon

    signo

    Muc

    hasman

    erasdeha

    cerlom

    ismo1y2(Log

    o)

    Cm

    o restam

    osnm

    eroscon

    signo

    ?(Calcu

    lado

    ra)

    1 .2

    Mu ltip lica cion e

    s d e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    Mu ltip lica cinyd iv isi n

    den

    me ro sco n

    sign o

    1 .3

    M sm

    u ltip lica cion e

    sd e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    1.4

    Lare

    glade

    lossign

    os1

    Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    1.5

    Lare

    glade

    lossign

    os2

    Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    2.Prob

    lemasaditivo

    sco

    nexpresione

    salge

    braicas.

    [30-

    45]

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nadicin

    ysustraccin

    de

    expresione

    salge

    braicas.

    2.1

    Losga

    lline

    ros

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    Rectn

    gulos(Log

    o)

    Rectn

    gulosde

    diferen

    testama

    os(L

    ogo)

    2.2

    A med

    irco

    ntorno

    sSu

    maco

    npo

    linom

    ios(Calcu

    lado

    ra)

    2.3

    Latab

    lanum

    rica

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    2.4

    Cuad

    rado

    s mg

    icosynm

    eroscon

    secu

    tivo

    sLam

    agiadelosch

    inos

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    3.Ex

    presione

    s alge

    braicasymod

    elosgeo

    mtric

    os.

    [46-

    55]

    Re

    cono

    ceryob

    tene

    rexpresione

    salge

    braicaseq

    uivalentesa

    partirde

    lempleo

    demod

    elosgeo

    mtric

    os.

    3.1

    Expresione

    seq

    uivalentes

    Mod

    elosgeo

    mtric

    osdeexpresione

    salge

    braicas

    3.2

    Msexp

    resion

    esequ

    ivalen

    tes

    Msexp

    resion

    esequ

    ivalen

    tes

    Mod

    elosgeo

    mtric

    osdeexpresione

    salge

    braicas

    4.n

    gulos.

    [56-

    69]

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nreco

    nocer,estimar

    y med

    irn

    gulos,utilizand

    oelgrado

    com

    oun

    idad

    demed

    ida.

    4.1

    Med

    idasden

    gulos

    Elgrado

    com

    oun

    idad

    demed

    ida

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    Clasificacin

    den

    gulos(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    4.2

    ngu

    los internosdetring

    ulos

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    Sumade

    losn

    gulosinterio

    resde

    untring

    ulo(Geo

    metra

    din

    mica)

    4.3

    Ded

    uccin

    demed

    idasden

    gulos

    5.Re

    ctasyng

    ulos.

    [70-

    81]

    Determinarm

    ediantecon

    struccione

    slaspo

    sicion

    esre

    lativas

    dedosre

    ctasenelplano

    yelabo

    rarde

    finicione

    sde

    rectas

    paralelas,pe

    rpen

    dicu

    laresyob

    licua

    s.

    Establecerre

    lacion

    esentrelo

    sn

    gulosqu

    eseforman

    al

    cortarsedosre

    ctasenelplano

    ,recon

    ocerng

    ulosopu

    estos

    porelvrticeyady

    acen

    tes.

    5.1

    Rectasque

    nosecortan

    Rectasperpe

    ndicularesyparalelas

    Trazode

    una

    paralela(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    5.2

    Rectasque

    seco

    rtan

    Rectasperpe

    ndicularesyparalelas

    Posicion

    esre

    lativasde

    lasrectasenelplano

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    5.3

    Relacion

    esentreng

    ulos

    Parejasde

    rectas

    Rectasperpe

    ndicularesyparalelas

    ngu

    losform

    adosporla

    interseccin

    dedo

    srectas

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    ngu

    los op

    uestosporelv

    rtice

    6.n

    gulos en

    trepa

    ralelas.

    [82-

    91]

    Establecerla

    srelacion

    esentrelo

    sn

    gulosqu

    eseforman

    en

    tredo

    srectasparalelascortada

    spo

    run

    atran

    sversal.

    Justificar lasrelacion

    esentrela

    smed

    idasdelosn

    gulos

    interio

    resde

    lostring

    ulosyparalelog

    ramos.

    6.1

    ngu

    losco

    rrespo

    ndientes

    ngu

    losen

    trepa

    ralelas

    Paralelasysecantes(L

    ogo)

    6.2

    ngu

    los alternosin

    ternos

    Relacion

    esdelosn

    gulosen

    trepa

    ralelas

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    6.3

    Los n

    gulosen

    lospa

    ralelogram

    osyeneltri

    ngulo

    Relacion

    esim

    portan

    tes

    ngu

    losinterio

    resde

    ltri

    nguloyde

    lparalelog

    ramo

    Cu

    ntosuman

    ?(Log

    o)

    7.Lare

    lacin

    inversade

    una

    relacin

    deprop

    orcion

    alidad

    directa.

    [92-

    103]

    Determinarelfactorinversoda

    dauna

    relacin

    de

    prop

    orcion

    alidad

    yelfactorde

    propo

    rciona

    lidad

    fracciona

    rio.

    7.1

    Elpesoen

    otrosplane

    tas

    Elpesoen

    otrosplane

    tas

    Cu

    ntope

    sosie

    stoy

    enSa

    turno?(C

    alcu

    lado

    ra)

    7.2

    Europa

    yPlutn

    7.3

    Prob

    lemas

    Factoresdeprop

    orcion

    alidad

    Prop

    orcion

    alidad

    con

    Log

    o

    8.Prop

    orcion

    alidad

    mltiple.

    [104

    -117

    ]

    Elab

    oraryutilizarprocedimientospararesolverproblem

    asde

    prop

    orcion

    alidad

    mltiple.

    8.1

    Elvolum

    enLaprop

    orcion

    alidad

    mltiple

    Prop

    orcion

    alidad

    mltiple

    8.2

    Laexcursin

    8.3

    Msproblem

    as

    9.Prob

    lemasdeco

    nteo

    .[1

    18-1

    31]

    An

    ticipa

    r resultad

    osenprob

    lemasdeco

    nteo

    ,con

    baseen

    la

    iden

    tific

    acinde

    regu

    larid

    ades.V

    erificarlosresultad

    os

    med

    iantearreglosre

    ctan

    gulares,diag

    ramasderbo

    luotros

    recu

    rsos.

    9.1

    Cm

    ono

    sestacion

    amos?

    Decu

    ntasform

    as?

    Diagram

    ade

    rbol

    9.2

    Lacasade

    cultura

    9.3

    Repa

    rto de

    dulces

    Diagram

    ade

    rbol

    Anticipa

    r resultad

    osenprob

    lemasdeco

    nteo

    10.P

    olgon

    osdefrecue

    ncias.

    [132

    -147

    ]

    Interpretar ycom

    unicarin

    form

    acinmed

    iantepolgon

    osde

    frecue

    ncia.

    10.1Re

    zago

    edu

    cativo

    ygrfic

    as

    10.2An

    emiaenlapob

    lacin

    infantilmexican

    aPo

    lgon

    osdefrecue

    nciasen

    losrepo

    rtesdeinvestigacin

    10.3Q

    ugrfic

    autilizar?

    Polg

    onode

    frecu

    encias

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    L ib ro de l maest ro

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 40 6/2/07 11:03:25 PM

  • 1

    Bloque2

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    11.

    Laje

    rarquade

    lasop

    eracione

    s.[1

    50-1

    59]

    Utilizarla

    jerarquade

    lasop

    eracione

    sylospa

    rntesis

    sifue

    ranecesario,e

    nprob

    lemasyclcu

    los.

    11.1Elc

    oncu

    rsode

    latele

    Elcon

    cursode

    latele

    Jerarquade

    lasop

    eracione

    s

    yusode

    parn

    tesis

    Aprend

    eacalcularcon

    Log

    o(Log

    o)

    11.2M

    sre

    glas

    Construc

    cin

    den

    merossoloco

    ncua

    tro

    cuatros(C

    alcu

    lado

    ra)

    Construc

    cin

    deprog

    ramasVII(Calcu

    lado

    ra)

    12.Multiplicacin ydivisin

    depo

    linom

    ios.

    [160

    -175

    ]

    Resolverproblem

    asm

    ultiplicativosque

    implique

    nel

    usode

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas.

    12.1Lo

    sbloq

    uesalge

    braico

    sLosbloq

    uesalge

    braico

    sMultiplicacinydivisin

    deexpresione

    salge

    braicas

    12.2Acub

    rirre

    ctn

    gulos

    Multiplicacinydivisin

    deexpresione

    salge

    braicas

    12.3C

    unto midelabase?

    13.Cu

    bos, prismasypir

    mides.

    [176

    -187

    ]

    Describirlascaractersticasde

    cub

    os,p

    rismasy

    pirmides.C

    onstruirde

    sarrollosplan

    osdecu

    bos,

    prismasypir

    midesre

    ctos.A

    nticipardiferen

    tesvistas

    deuncu

    erpo

    geo

    mtric

    o.

    13.1Desarrolla

    tuim

    aginacin

    Lageo

    metra

    atualrede

    dor

    Cub

    os,p

    rismasypir

    mides

    13.2M

    sdesarrollo

    splan

    osCub

    os,p

    rismasypir

    mides

    13.3El c

    uerpoesco

    ndido

    13.4Patrone

    syregu

    larid

    ades

    13.5Diferen

    tes pu

    ntosdevista

    Cub

    os,p

    rismasypir

    mides

    14.Vo

    lumen

    deprismasypir

    mides.

    [188

    -199

    ]

    Justificarlasfrm

    ulasparacalcularelv

    olum

    ende

    cubo

    s,pris

    masypir

    midesre

    ctos.

    14.1La

    scajas

    Volumen

    decu

    bos,prismasypir

    mides

    14.2M

    svolm

    enesdeprismas

    14.3Arrozy

    volum

    enUna

    sfrm

    ulasseob

    tien

    endeotras

    Volumen

    decu

    bos,prismasypir

    mides

    15.Ap

    licacin de

    volm

    enes.

    [200

    -207

    ]

    Estimarycalcu

    larelvolum

    endecu

    bos,prismasy

    pirmidesre

    ctos.

    Ca

    lculardatosdesco

    nocido

    s,da

    dosotrosrelacion

    ados

    conlasfrm

    ulasdelclcu

    lodevo

    lumen

    .

    Establecerre

    lacion

    esdevaria

    cin

    entrediferen

    tes

    med

    idasdeprismasypir

    mides.

    Re

    alizarcon

    versione

    sde

    med

    idasdevo

    lumen

    yde

    capa

    cida

    dyan

    alizarla

    relacin

    entreella

    s.

    15.1Eld

    ecm

    etrocb

    ico

    Estimacinyclculode

    volm

    enes

    15.2Cap

    acidad

    esyvolm

    enes

    Prob

    lemasprcticos

    15.3Variacion

    es

    16.Co

    mpa

    racin

    desituacione

    sde

    prop

    orcion

    alidad

    .[2

    08-2

    15]

    Re

    solverproblem

    asdeco

    mpa

    racin

    derazone

    s,co

    nba

    seenlanoc

    inde

    equ

    ivalen

    cia.

    16.1Elren

    dimientoco

    nstante

    Compa

    racin

    derazone

    s

    16.2La

    con

    centracin

    depintura

    Compa

    racin

    deco

    cien

    tes

    Compa

    racin

    derazone

    s

    17.Med

    idasdetend

    enciacentral.

    [216

    -235

    ]

    Interpretarycalcularlasm

    edidasdetend

    encia

    centralde

    unco

    njun

    todeda

    tosag

    rupa

    dos,

    consideran

    dodeman

    eraespe

    cialla

    sprop

    ieda

    desde

    lam

    ediaarit

    mtica.

    17.1Elp

    romed

    iodelgrupo

    enelexa

    men

    1

    17.2El p

    romed

    iodelgrupo

    enelexa

    men

    2M

    edidasdetend

    enciacentral

    17.3La

    s calora

    squ

    eco

    nsum

    enlo

    sjvene

    sEstadsticas,a

    limen

    tosyotrassituacione

    sM

    edidasdetend

    enciacentral

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    L ib ro de l maest ro

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 41 6/2/07 11:03:26 PM

  • 2

    Bloque3

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    1 8.S u

    c esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    Co

    nstruirsucesion

    esden

    meroscon

    signo

    apartirde

    una

    reglada

    da.O

    bten

    erla

    reglaqu

    ege

    nerauna

    suc

    esinde

    n

    meroscon

    signo

    .

    1 8.1 C

    u le

    slare

    g la ?

    S uc esio n

    e sden

    me ro s

    S uc esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    De sc ripc i n

    dep ro g

    rama s(C

    a lc u

    lad o

    ra)

    18.2Nm

    erosque

    crecen

    Sucesion

    esden

    meroscon

    signo

    18.3De mayoram

    enor

    Sucesion

    esyre

    cursividad

    con

    Log

    o

    Sucesion

    esgeo

    mtric

    ascon

    Log

    o

    19.Ecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nelplantea

    mientoyla

    resolucin

    deecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    delaforma:

    ax +

    bx

    + c

    = dx

    + e

    x +

    fyco

    npa

    rntesisenun

    ooen

    am

    bosmiembrosdelaecu

    acin,utilizan

    docoe

    ficientes

    enterosofraccion

    arios,po

    sitivo

    sone

    gativo

    s.

    19.1Pien

    saunn

    mero

    Ecua

    cion

    es(3

    )(Hojade

    clcu

    lo)

    19.2Elm

    odelode

    labalan

    zaLabalan

    zaRe

    solucin

    deecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    Nm

    erosperdido

    s(Calcu

    lado

    ra)

    19.3Msall

    delabalan

    za

    19.4Miscelne

    ade

    problem

    as

    20.Re

    lacin

    fun

    cion

    al

    Reco

    noceren

    situa

    cion

    esproblem

    ticasasociad

    asa

    fen

    men

    osdelafsica,la

    biologa,la

    eco

    nomayotras

    disciplin

    as,lapresen

    ciade

    can

    tida

    desqu

    evara

    nun

    aen

    func

    inde

    laotrayrepresen

    tarestare

    lacin

    med

    ianteun

    atablaoun

    aexpresinalge

    braicadelaforma:y

    = a

    x +

    b.

    Construir, interpretaryutilizargrfi

    casde

    relacion

    esline

    ales

    asoc

    iada

    sadiversosfen

    men

    os.

    20.1Lacolade

    lastortillas

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    20.2Cm

    o ha

    blan

    portelfon

    o!Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    Varia

    cin

    line

    a(2)(Hojade

    clcu

    lo)

    20.3Eltax

    iDescripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    Grfic

    asdefunc

    ione

    s(Log

    o)

    20.4Elre

    sorte

    Grado

    sFarenh

    eitocentgrado

    s?

    (Calcu

    lado

    ra)

    20.5Elplanpe

    rfecto

    Loscelulares

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    21.Los po

    lgon

    osysusng

    ulosin

    ternos

    Estableceruna

    frmulaqu

    epe

    rmitacalcularla

    sum

    ade

    los

    ngu

    losinterio

    resde

    cua

    lquierpolgon

    o.

    21.1Tring

    ulosenpo

    lgon

    osTriang

    ulacin

    ngu

    losinterio

    resde

    unpo

    lgon

    o

    21.2Lasum

    ade

    ng

    ulosin

    ternos

    ngu

    losinterio

    resde

    unpo

    lgon

    oMed

    icinde

    perm

    etros,rea

    syn

    gulos

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    22.Mosaico

    s yrecu

    brim

    ientos

    Co

    nocerlascaractersticasde

    lospo

    lgon

    osque

    permiten

    cu

    brirelplano

    yre

    alizarre

    cubrim

    ientosdelplano

    .

    22.1Re

    cubrim

    ientosdelplano

    Enmosaicado

    sCu

    brim

    ientosdelplano

    22.2Los mosaico

    sylospo

    lgon

    osre

    gulares

    Cubrim

    ientosdelplano

    Recu

    brim

    ientode

    lplano

    con

    polgon

    os

    regu

    lares(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    23.Las caractersticasde

    lalne

    arecta

    An

    ticipa

    relcom

    portam

    ientode

    grfic

    asline

    alesdelaforma

    y =

    mx

    + b,cua

    ndosem

    odificaelv

    alordebmientraselvalor

    dem

    perman

    ececo

    nstante.

    An

    alizarelc

    ompo

    rtam

    ientode

    grfic

    asline

    alesdelaforma

    y =

    mx

    + b,cua

    ndocambiaelvalordem,m

    ientraselvalor

    debp

    erman

    ececo

    nstante.

    23.1Pe

    ndienteyprop

    orcion

    alidad

    Ecua

    cin

    delare

    ctay=

    ax +

    b

    Rectasque

    crecen(C

    alcu

    lado

    ra)

    Qu

    grfic

    ascrecenmsrp

    ido?

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.2Las pe

    ndientesneg

    ativas

    Ecua

    cin

    delare

    ctay=

    ax +

    bGrfic

    asque

    de

    crecen

    (Calcu

    lado

    ra)

    Mssob

    regrfic

    asque

    de

    crecen

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.3Laorden

    adaalorig

    enLaorden

    adaalorig

    enEcua

    cin

    delare

    cta

    y =

    ax +

    bAn

    alizan

    dogrfic

    asderectas

    (Hoja de

    clcu

    lo)

    Unpu

    ntoim

    portan

    teenun

    arecta

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.3Miscelne

    a de

    problem

    asyalgoms

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    L ib ro de l maest ro

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 42 6/2/07 11:03:28 PM

  • 3

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    24.Po

    tenc

    iasyno

    tacin

    cientfica

    Elab

    orar,u

    tilizaryju

    stificarproc

    edim

    ientosparacalcular

    prod

    uctosyco

    cien

    tesde

    poten

    ciasenteraspositivasdela

    mismaba

    seypoten

    ciasdeun

    apo

    tenc

    ia.

    Interpretarelsignific

    adode

    elevarun

    nm

    erona

    turala

    una

    po

    tenc

    iadeexpo

    nentene

    gativo

    .

    Utilizarla

    notacincien

    tfic

    apa

    rare

    alizarclcu

    losen

    losqu

    einterviene

    ncantidad

    esm

    uygrand

    esom

    uypeq

    uea

    s.

    24.1Prod

    uctodepo

    tenc

    ias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesI(Calcu

    lado

    ra)

    24.2Po

    tenc

    ias de

    poten

    cias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesIII(Ca

    lculad

    ora)

    24.3Co

    cien

    tes de

    poten

    cias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesIIyIV

    (Calcu

    lado

    ra)

    24.4Ex

    pone

    ntesneg

    ativos

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    24.5Notacin cien

    tfic

    aNm

    erosm

    uygrand

    es

    y muy

    peq

    ueo

    s

    25.Tring

    uloscon

    grue

    ntes

    Determinarlo

    scriteriosde

    con

    grue

    nciadetring

    ulosapartir

    decon

    struccione

    sco

    ninform

    acinde

    term

    inad

    a.

    25.1Tresla

    dosigua

    les

    Figu

    rasco

    ngruen

    tes

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    25.2Un n

    guloydosla

    dosco

    rrespo

    ndientesig

    uales

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    25.3Un lado

    ydosng

    uloscorrespon

    dien

    tesigua

    les

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    Figu

    rasdirectaoinversam

    entecon

    grue

    ntes

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    26.Pu

    ntosyre

    ctasnotab

    lesde

    ltri

    ngulo

    Ex

    plorarla

    sprop

    ieda

    desde

    lasalturas,med

    iana

    s,med

    iatrices

    ybisectric

    esenun

    tri

    ngulo.

    26.1Med

    iatrices

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    Bisectriz

    ,altura,m

    ediana

    ym

    ediatrizdeun

    tring

    ulocu

    alqu

    iera(G

    eometra

    dinm

    ica)

    26.2Alturas

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    26.3Med

    iana

    sRe

    ctasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    26.4Bisectric

    esRe

    ctasnotab

    lesde

    ltri

    ngulo

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    Trazarelinc

    rculode

    untring

    ulo

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    27.Even

    tos inde

    pend

    ientes

    Disting

    uirendiversassitua

    cion

    esdeazareventosque

    son

    inde

    pend

    ientes.

    Determinarla

    formaen

    que

    sepu

    edecalcularlaprob

    abilida

    dde

    ocu

    rren

    ciade

    dosom

    seventosin

    depe

    ndientes.

    27.1C

    ulessonloseven

    tosinde

    pend

    ientes?

    Cu

    ndodo

    seven

    tosson

    inde

    pend

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    Prob

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    d.Eventosin

    depe

    ndientes

    27.2Dosom

    seventosin

    depe

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    Prob

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    27.3Even

    tos inde

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    Log

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    28.Grfic

    asdeln

    ea

    Interpretaryutilizardo

    somsgrfic

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    represen

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    raten

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    form

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    sucaso

    tomardecisione

    s.

    28.1Turis

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    ygrfic

    asdeln

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    ocu

    pacin

    interesante

    Grfic

    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    28.2Sab

    escu

    ntaspersona

    svisitanelestad

    oen

    qu

    evives?

    Grfic

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    eaenlaestad

    stica

    28.3C

    untosextranjerosnosvisitaron

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    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    29.Grfic

    asformad

    asporre

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    orargrfic

    asformad

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    men

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    cion

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    llena

    doderecipien

    tes,etctera.

    29.1Albe

    rcasparach

    icosygrand

    esLlen

    adode

    recipien

    tes

    29.2Ca

    mino alaescue

    laGrfic

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    asporseg

    men

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    cta

    EV

    AL

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    CI

    N

    Bloque4

    L ib ro de l maest ro

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 43 6/2/07 11:03:29 PM

  • Bloque5

    EJ

    E 1

    :Se

    ntidonu

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    ade

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    escon

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    acione

    slin

    eales

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    eficien

    tesen

    teroseinterpretarlain

    terseccin

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    grfi

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    molasoluc

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    3 0.1L agran ja

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    30.2Co

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    30.3So

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    asdeecua

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    esSistem

    asdedo

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    cion

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    31.Traslacin

    , rotacinysimetra

    cen

    tral

    Determinarla

    sprop

    ieda

    desde

    laro

    tacin

    ydelatraslacinde

    fig

    uras.C

    onstruiryreco

    nocerdiseo

    squ

    eco

    mbina

    nla

    simetra

    axialycen

    tral,larotacin

    yla

    traslacinde

    figu

    ras.

    31.1H

    aciadn

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    Mov

    imientosenelplano

    Conc

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    (Geo

    metra

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    ica)

    31.2Ro

    tacion

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    imientosenelplano

    Conc

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    (Geo

    metra

    dinm

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    Molinosyre

    hiletes1y2(Log

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    31.3Simetra

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    imientosenelplano

    Mov

    imientosenelplano

    Usodelasim

    etra

    cen

    tral(G

    eometra

    dinm

    ica)

    31.4Algo

    mssob

    resim

    etra

    s,rotacion

    esy

    traslacion

    es

    32.Even

    tos mutua

    men

    teexcluyentes

    Disting

    uiren

    diversassituacione

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    mutua

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    Determinarla

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    deocu

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    32.1C

    ulessonloseven

    tosmutua

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    32.2Dosom

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    Prob

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    d.Eventosm

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    excluy

    entes

    32.3Msproblem

    asdeprob

    abilida

    dAz

    aryproba

    bilid

    adcon

    Log

    o

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    L ib ro de l maest ro

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 44 6/2/07 11:03:30 PM

  • 45

    Clave de logos

    Trabajo individual

    En parEjas

    En Equipos

    Todo El grupo

    ConExin Con oTras asignaTuras

    glosario

    ConsulTa oTros maTErialEs

    Cd dE rECursos

    siTios dE inTErnET

    biblioTECas EsColarEs y dE aula

    vidEo

    programa inTEgrador EdusaT

    inTEraCTivo

    audioTExTo

    aula dE mEdios

    oTros TExTos

    L ib ro de l maest ro

    MAT2 B1 PREL maestro.indd 45 6/7/07 12:09:16 PM

  • MAT2 B1 S01 maestro.indd 46 6/2/07 11:06:59 PM

  • BLOQUE 1

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 47 6/2/07 11:07:02 PM

  • 48 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas de multiplicacin y divisin de nmeros con signo.

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de nmeros con signo.

    En esta sesin se hace un repaso de lo que se estudi en las secuencias 25 y 33 del libro Matemt icas I. La secuencia va a servir tambin como repaso de las operaciones y de las tablas de multiplicar.

    Organizacin del grupo. Se sugiere resolver la sesin en parejas.

    Descripcin del video. El video es de introduccin, por lo cual puede ser observado antes de iniciar con la sesin. En l se hace un breve recorrido histrico para conocer quines y cundo utilizaron por primera vez los nmeros negativos, y se proveen los distintos contextos que provocaron su uso a lo largo de la historia. Se complementa la informacin sobre los distintos conjuntos de nmeros, en particular de los naturales y los enteros.

    Sugerencia didctica. En el libro de primero muchas veces se escribieron los nmeros positivos anteponindoles el signo +. Comente con los alumnos que en esta secuencia no se har as.

    12

    secuencia 1

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

    LOS NMEROS CON SIGNOPara empezarLos nmeros con signo

    En las secuencias 25 y 33 de tu libro Matemticas i Volumen ii resolviste problemas enlos que utilizaste sumas y restas de nmeros con signo. En esta sesin recordars cmohacer esas operaciones.

    Los nmeros con signo son los nmeros positivos y los nmeros negativos. El cero notiene signo.

    Los nmeros positivos se ubican a la derecha del cero en la recta numrica. Puedenaparecer con el signo + o sin l. Cuando llevan el signo + es porque se desea resaltar queson positivos. Por ejemplo: +3, +16, +7.9, +10.35, + 25 , +

    373 .

    Los nmeros negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numrica y siemprese escriben anteponindoles el signo . Por ejemplo: 7, 1, 4.1, 12.73, 83 ,

    815 .

    SESIN 1

    Multiplicacin y divisin de nmeros con signo

    01 +1612.73 815+7.9 +10.354.17

    + 25

    +3

    + 37383

    Eje

    Sentido numrico y pensamiento algebraico.

    Tema

    Significado y uso de las operaciones.

    Antecedentes

    En primer grado los alumnos ubicaron nmeros con signo en la recta numrica e hicieron operaciones de suma y resta con ellos. En esta secuencia aprendern a multiplicarlos y a dividirlos.

    Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1Los nmeros con signo Resolver problemas que implican efectuar sumas y restas de nmeros con signo.

    Aula de medios Video

    Los nmeros con signo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    12Multiplicaciones de nmeros con signo Resolver multiplicaciones de un nmero entero positivo por un nmero negativo, de la forma 5 (3).

    Interactivo

    3Ms multiplicaciones de nmeros con signo Resolver multiplicaciones de un nmero negativo por un nmero positivo, de la forma (7) 4.

    4La regla de los signos 1 Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar.

    Interactivo

    5La regla de los signos 2 Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir.

    Interactivo

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 48 6/2/07 11:07:08 PM

  • 49L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Comente esta informa-cin con los alumnos. Es frecuente que confundan el signo del nmero con el de la operacin, as que conviene que lo repasen y que aclaren dudas.

    Sugerencia didctica. Al final de la sesin haga una puesta en comn para que se revisen los resultados.

    Respuesta. Subi 17 C. Puede sugerir a los alumnos que utilicen el termmetro para efectuar la operacin o verificar su resultado.

    13

    IIMATEMTICASCuando se hacen operaciones de nmeros con signo, los nmeros se escriben entreparntesis para no confundir los signos de los nmeros con los signos de la operacin.Por ejemplo:

    (4) + (+5) (15).

    Se puede escribir 5 en vez de +5 y entonces no son necesarios los parntises:

    (4) + 5 (15).

    Lo que aprendimos1. Una sustancia qumica que est a una temperatura de 5 C se calienta en un meche-

    ro hasta que alcanza una temperatura de 12 C.

    Cuntos grados subi la temperatura de la sustancia?

    2. En una tienda de abarrotes se realiz el balance bimestral de todo un ao. Se indica-ron las ganancias con nmeros negros y las prdidas con nmeros rojos. El saldopara un periodo se calcula sumando las ganancias y restando las prdidas:

    Ene-Feb Mar-Abr May-Jun Jul-Ago Sept-Oct Nov-Dic

    Balancebimestral 960.60 773.50 1 755.75 441.80 2 997.25 4 647.00

    a) Respondan sin hacer la cuenta, el saldo anual fue positivo o negativo?

    b) De cunto fue el saldo anual en la tienda?

    c) En otra tienda, el saldo anual fue de $9550.60. En el bimestre enero-febrero tu-vieron prdidas por $845.25.

    Cul fue el saldo en esta tienda de marzo a diciembre?

    3. Escriban mayor que (>) o menor que (

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 49 6/2/07 11:07:10 PM

  • 50 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. En el libro de primero no se hicieron ejercicios en los que hubiera que sumar ms de dos nmeros con signo, por ello puede ser til que ponga un par de ejemplos en el pizarrn en los que se utilice el mtodo de sumar por separado los positivos y los negativos, de esta manera se convierte en una suma de nmeros con distinto signo. Sin embargo, aclare a los alumnos que tambin pueden decidir realizar las sumas una por una en cualquier orden.

    14

    secuencia 14. Escriban el simtrico o el valor absoluto de los siguientes

    nmeros con signo, segn corresponda:

    a) El simtrico de 29.3 es

    b) El simtrico de ( 197 ) esc) |25.1| =

    d) | 213| =

    5. Resuelvan las siguientes sumas:

    a) (8) + (15) =

    b) 24 + (24) =

    c) (31) + 48 =

    d) 59 + (81) =

    e) 4.3 + (8.7) =

    f) ( 12 ) + 79 =

    6. Resuelvan las siguientes restas:

    a) (31) 14 =

    b) 46 (10) =

    c) (2) (65) =

    d) (52) (19) =

    e) (15.7) (17.9) =

    f) ( 74 ) ( 13 ) =

    7. Resuelvan las siguientes sumas:

    a) (10) + 17 + (15) =

    b) 28 + (4) + 11 =

    c) (10) + (21) + 86 =

    d) (47) + (12) + (33) =

    e) 14 + (25) + (39) + 32 =

    f) (10) + (33) + (38) + (9) =

    Recuerden que:

    Para hacer restas de nmeros con

    signo se puede sumar el simtrico:

    (2) 5 = (2) + (5) = 7.

    (3) (5) = (3) + 5 = 2.

    Recuerden que:

    Para realizar una suma de varios nmeros con signo podemos sumar primero todos los nmeros positivos, despus todos los nmeros negativos y por ltimo sumar los resultados. Por ejemplo:

    (18) + 31 + (24) = 31 + (42) = 11.

    (15) + 11 + (8) + 28 = 39 + (23) = 16.

    Recuerden que:

    Para sumar dos nmeros del

    mismo signo se pueden

    sumar los valores absolutos

    de los nmeros, y el signo del

    resultado es el signo de los

    nmeros que se suman.

    Para sumar dos nmeros de

    signos distintos, se puede

    encontrar la diferencia de

    los valores absolutos de los

    nmeros, y el signo del

    resultado es el signo del

    nmero de mayor valor

    absoluto.

    Recuerden que:

    Los nmeros simtricos son los que estn a la misma distancia del cero.

    El valor absoluto de un nmero siempre es un nmero positivo, se representta utilizando dos barras verticales.

    197

    25.1213

    8

    35

    55

    92

    18

    90

    23

    0

    17

    22

    4.4

    45

    46 + 10 = 56

    ( 2) + 65 = 63

    ( 52) + 19 = -33

    ( 15.7) + 17.9 = 2.2

    29.3

    ( 918 ) + 1418 = 518

    ( 2112 ) + 412 = 712

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 50 6/2/07 11:07:13 PM

  • 51L ib ro para e l maest ro

    15

    IIMATEMTICAS8. El municipio de Temsachic, localizado en el noroeste del estado de Chihuahua, es

    uno de los municipios con las temperaturas ms bajas del pas. En el ao 2006, en esalocalidad se registraron las siguientes temperaturas mnimas promedio por mes (engrados centgrados):

    Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic

    Temperaturamnima promedio 7 2 0 2 5 12 13 14 10 4 3 6

    a) Dibujen una recta numrica y coloquen en ella todas las temperaturas.

    b) Con los datos mensuales del cuadro, calculen el promedio anual de la temperatura

    mnima.

    9. El faro de Alejandra es una de las siete maravillas delmundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto, mandconstruirlo en el ao 291 antes de nuestra era, en laisla de Faro. Consista en una torre de 134 metros dealtura; en su parte superior, una hoguera permanen-te marcaba la posicin de la ciudad a los navegantes.

    a) La construccin del faro tard 12 aos en com-pletarse. En qu ao se termin de construir?

    b) Ptolomeo I tena 76 aos cuando mand cons-truir el faro, en qu ao naci?

    c) El sucesor de Ptolomeo I fue su hijo, Ptolomeo II,quien se convirti en rey en el ao 285 antes denuestra era, a la edad de 24 aos. Se sabe quePtolomeo II naci cuando su madre tena 31 aos.

    En qu ao naci la madre?

    Respuestas.

    a) Observe que al dibujar la recta los alumnos siten al cero, y que todas las unidades midan lo mismo.

    b) Al sumar las temperaturas promedio registradas se obtiene 42. El promedio anual de la temperatura mnima son 3.5 C (porque 42 12 = 3.5).

    Respuestas.

    a) En el ao 279 antes de nuestra era, porque ( 291) + 12 = 279.

    b) Naci en el ao 367 antes de nuestra era, porque (291) 76 = 367.

    c) La madre de Ptolomeo II naci en el ao 340 antes de nuestra era. Para responder esta pregunta es necesario averiguar primero en qu ao naci Ptolomeo II. Hay que restar su edad en ese momento al ao en que se convirti en rey, es decir, (285) 24 = 309. Despus, para averiguar en qu ao naci su madre, hay que restar (309) 31 = 340.

    Posibles dificultades. Quiz muchos alumnos consideren que la respuesta a la pregunta a) es el ao 303. Sugirales que siten los aos en una lnea de tiempo para que vean que la cuenta se hace de distinta manera cuando se trata de los aos antes de nuestra era.

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 51 6/2/07 11:07:16 PM

  • 52 L ib ro para e l maest ro

    16

    secuencia 1

    MULTIPLICACIONES DE NMEROS CON SIGNOPara empezarLos nmeros tienen su origen en la necesidad de contar y de medir. Los primeros nme-ros que fueron utilizados son los llamados nmeros naturales:

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

    Al conjunto formado por los nmeros naturales, los simtricos de los nmeros naturalesy el cero, se le llama conjunto de los nmeros enteros:

    , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4

    Consideremos lo siguienteLas siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 4 y del 6. Completa losresultados:

    4 6 = 24 6 6 = 36

    4 5 = 20 6 5 = 30

    4 4 = 16 6 4 = 24

    4 3 = 6 3 =

    4 2 = 6 2 =

    4 1 = 6 1 =

    4 0 = 0 6 0 =

    4 (1) = 6 (1) =

    4 (2) = 6 (2) =

    4 (3) = 6 (3) =

    4 (4) = 6 (4) = 24

    4 (5) = 6 (5) =

    4 (6) = 6 (6) =

    4 (7) = 6 (7) =

    Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que siguieron para llenarlas tablas.

    SESIN 2

    Propsito de la sesin. Resolver multiplicacio-nes de un nmero entero positivo por un nmero negativo, de la forma 5 (3).

    Organizacin del grupo. Se propone resolver la sesin individualmente y hacer comentarios grupales.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos puedan seguir el patrn de las multiplicaciones con positivos para responder las de los negativos. Se les da la pista en el resultado de 6 (4) para que puedan confirmar o rectificar sus resultados.

    Es importante que usted no anticipe la regla de la multiplicacin de un positivo por un negativo, deje que los alumnos encuentren los resultados de la manera que crean conveniente.

    Posibles procedimientos. Una posible respuesta es que continen las tablas hacia los positivos: 4 (1) = 4, 4 (2) = 8, etctera. Aunque se les da la pista de 6 (4) = 24, alguno podra pensar que es un error.

    Un procedimiento correcto es ver que los resultados van disminuyendo de 4 en 4 en la primera tabla, y de 6 en 6 en la segunda tabla, de esta manera pueden completar los resultados.

    3

    12 18

    8 12

    4 6

    0

    4 6

    8 12

    12 18

    16

    20 30

    24 36

    28 42

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 52 6/2/07 11:07:18 PM

  • 53L ib ro para e l maest ro

    17

    IIMATEMTICASManos a la obraI. Observa las tablas y responde las preguntas:

    a) Cunto se resta para pasar del resultado de 4 5 al resultado de 4 4?

    b) Cunto se resta para pasar del resultado de 4 1 al resultado de 4 0?

    c) Para pasar del resultado de 4 0 al resultado de 4 (1), se resta lo mismo.

    Cunto es 4 (1)?

    d) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 4, siempre se resta lo mismo.

    Cunto es 4 (5)?

    e) Cunto se resta entre dos renglones consecutivos de la tabla del 6?

    f) Cunto es 6 (2)?

    g) Cunto es 6 (5)?

    Comparen sus respuestas.

    II. Multiplicar 4 2 es lo mismo que sumar cuatro veces 2:

    4 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

    Se suma cuatro veces 2.

    Expresa cada multiplicacin como sumas:

    a) 5 3 = =

    Se suma veces 3.

    b) 4 0 = 0 + 0 + 0 + 0 =

    Se suma veces 0.

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta del patrn que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo (de 4 en 4 en la primera tabla y de 6 en 6 en la segunda).

    Si hay dificultades, escriba en el pizarrn las restas correspondientes. Por ejemplo:

    0 4 =

    (4) 4 =

    (8) 4 =

    0 6 =

    (6) 6 =

    Respuestas.

    a) Se resta 4.

    b) Se resta 4.

    c) Se hace la resta 0 4 = 4.

    d) -20. Se sigue restando 4 cada vez.

    e) Se resta 6.

    f) 12.

    g) 30.

    Propsito del interactivo. Interpretar las multiplicaciones de nmeros con signo como sumas.

    Sugerencias didcticas. Permita que los alumnos modifiquen los factores presentados en el interactivo para que recuerden que la multiplicacin se puede interpretar como una suma repetida. Puede comenzar con los dos factores positivos y despus ir cambiando el signo del segundo factor para mostrar que la idea de la suma repetida tambin sirve cuando se multiplican nmeros con signo. Pida a los alumnos que relacionen los nmeros que se estn multiplicando con el resultado, llame su atencin hacia los signos.

    Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen modificando los nmeros a multiplicar (stos se pueden modificar aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de acuerdo con las necesidades de sus alumnos).

    Recuerde que puede explorar el resto del interactivo por si alguna actividad anterior o posterior le sirve para reafirmar algunos conceptos con sus estudiantes, esto no necesariamente deber ser delante del grupo, puede explorar previamente el interactivo y seleccionar, si lo considera oportuno, algunas otras actividades.

    Propsito de la actividad. Se quiere que los alumnos recuerden que una multiplicacin puede verse como una suma repetida, y que esta idea sirve tambin para cuando se multiplica un entero positivo por un nmero negativo.

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 53 6/2/07 11:07:21 PM

  • 54 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pida a algunos alumnos que opinen al respecto. Y que comenten si estn de acuerdo o no en que no es necesario hacer todas las sumas repetidas.

    Si es necesario, recuerden cmo se hacen las multiplicaciones con fracciones.

    Se esperara que despus de la discusin resolvieran las multiplicaciones del nmero IV sin tener que hacer las sumas repetidas.

    18

    secuencia 1iii.Cuando en una multiplicacin el primer factor es un nmero entero positivo y el

    segundo factor es un nmero negativo, tambin se hace una suma repetida, porejemplo:

    2 (5) = (5) + (5) = 10.

    Se suma dos veces 5.

    O tambin:

    4 (3.7) = (3.7) + (3.7) + (3.7) + (3.7) = 14.8.

    Se suma cuatro veces 3.7.

    Expresa las siguientes multiplicaciones como sumas repetidas y encuentra el resultado:

    a) 3 (8) = ( ) + ( ) + ( ) =

    b) (11) = (11) + (11) + (11) + (11) =

    c) 5 = (2) + (2) + (2) + (2) + (2) =

    d) 4 (1.2) = (1.2) + (1.2) + (1.2) + (1.2) =

    e) 6 ( 43 ) = ( 43 ) + ( 43 ) + ( 43 ) + ( 43 ) + ( 43 ) + ( 43 ) =

    f) 6 (7) =

    g) 3 = = 36.

    Comparen sus respuestas y comenten: en otro grupo encontraron el resultado de 6 (7)diciendo que 6 7 = 42 y que, entonces, 6 (7) = 42. Estn de acuerdo coneste procedimiento? Cmo usaran este procedimiento para encontrar el resultado de4 (1.2) y de 6 ( 43 )?

    iV.Realiza las siguientes multiplicaciones:

    a) 8 (10) =

    b) 12 (4) =

    c) 7 (5.8) =

    d) 10 ( 17 ) =

    8 8 8 24

    (-4) 44

    (2) 10

    4.8

    243

    42

    (12) (12) + (12) + (12)

    80

    48

    40.6

    107

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 54 6/2/07 11:07:23 PM

  • 55L ib ro para e l maest ro

    19

    IIMATEMTICASA lo que llegamosCuando en una multiplicacin el primer factor es un nmero entero positivo y el segundo factor es un nmero negativo, se suma varias veces el nmero negativo.

    Por ejemplo:

    5 (4) = (4) + (4) + (4) + (4) + (4) = 20.

    Se suma cinco veces 4

    3 (6.4) = (6.4) + (6.4) + (6.4) = 19.2.

    Se suma tres veces 6.4

    4 ( 73 ) = ( 73 ) + ( 73 ) + ( 73 ) + ( 73 ) = ( 283 ) .

    Se suma cuatro veces 73 .

    En general, para encontrar el resultado de una multiplicacin de este tipo se multiplican los valores absolutos de los nmeros y al resultado se le antepone el signo . Por ejemplo:

    6 (3) = 18 Se hace la multiplicacin 6 3 = 18, se le antepone el signo , y el resultado es 18.

    10 (8.32) = 83.2 Se hace la multiplicacin 10 8.32 = 83.2, se le antepone el signo , y el resultado es 83.2.

    Lo que aprendimos1. Completa la expresin de cada una de las siguientes multiplicaciones como una suma

    y encuentra el resultado.

    a) 4 = + + + = 32.

    b) 8 0 = =

    c) 3 (7) = =

    d) 9 (1) = =

    e) (2) = (2) + (2) + (2) + (2) + (2) + (2) + (2) =

    f) 4 = = 12.

    Sugerencia didctica. Si no queda tiempo en la clase, deje esta actividad de tarea.

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a estas actividades y revselas para ver si han comprendido. Si lo considera necesario, repasen la informacin de A lo que llegamos.

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que copien esta informacin en sus cuadernos. Dgales que pongan algunos ejemplos de multiplicaciones con dos factores de signos distintos en las que empleen nmeros enteros, decimales y fracciones.

    8 8 8 8 8

    0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0

    (7) + (7) + (7) 21

    (1)+(1)+(1)+(1)+(1)+(1)+(1)+(1)+(1) 9

    7 14

    (3) (3) + (3) + (3) + (3)

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 55 6/2/07 11:07:31 PM

  • 56 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Resolver multiplicacio-nes de un nmero negativo por un nmero positivo, de la forma (7) 4.

    Organizacin del grupo. Esta sesin tambin se resuelve de manera individual.

    Propsito de la actividad. Se presentan nuevamente dos tablas, pero ahora en la segunda hay nmeros negativos como primer factor. Se espera que los alumnos resuelvan la primera tabla utilizando lo que aprendieron en la sesin anterior, y que resuelvan la segunda encontrando un patrn en los resultados (va disminuyendo de 8 en 8) y viendo que dichos resultados coinciden rengln a rengln con los de la primera tabla (propiedad conmutativa, aunque no se maneja con ese nombre).

    Permita que los alumnos saquen sus propias conclusiones sin anticiparles la regla de los signos ni la conmutatividad.

    320

    secuencia 1g) 5 (10.4) = =

    h) 6 ( 25 ) = =

    2. Realiza las siguientes multiplicaciones:

    5 (8) = 8 (7) = 2 0 = 3 (9) =

    11 0 = 2 (13) = 14 (3) = 10 0 =

    6 (4.8) = 8 (2.25) = 7 ( 34 ) = 4 ( 113 ) =

    MS MULTIPLICACIONES DE NMEROS CON SIGNOPara empezarEn esta sesin vas a continuar haciendo multiplicaciones de nmeros negativos con positivos.

    Consideremos lo siguienteLas siguientes tablas son parte de las tablas de multiplicar del 8. Encuentra los resultados:

    8 6 = 6 8 =

    8 5 = 5 8 =

    8 4 = 4 8 =

    8 3 = 3 8 =

    8 2 = 2 8 =

    8 1 = 1 8 =

    8 0 = 0 8 =

    8 (1) = (1) 8 =

    8 (2) = (2) 8 =

    8 (3) = (3) 8 =

    8 (4) = (4) 8 =

    8 (5) = (5) 8 =

    8 (6) = (6) 8 =

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo van cambiando los resultados en las tablas.

    SESIN 3

    (-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4)+(-10.4) 52

    ( 25 )+( 25 )+( 25 )+( 25 )+( 25 )+( 25 ) ( 125 )

    40 56 0 27

    0 26 42 0

    28.8 18 214 443

    48 48

    40 40

    32 32

    24 24

    16 16

    8 8

    0 0

    8 8

    16 16

    24 24

    32 32

    40 40

    48 48

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 56 6/2/07 11:07:34 PM

  • 57L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta del patrn que aparece en las tablas: los resultados siempre van disminuyendo.

    Si hay dificultades, escriba en el pizarrn las restas correspondientes. Por ejemplo:

    0 8 =

    (8) 8 =

    (16) 8 =

    Respuestas.

    a) Se resta 8.

    b) Se resta 8.

    c) 8.

    d) 40.

    e) Los resultados son iguales.

    1

    21

    IIMATEMTICASManos a la obraI. Observa las tablas y responde las preguntas:

    a) En la tabla de la izquierda, de arriba hacia abajo, los resultados aumentan o dis-

    minuyen?

    b) Cunto se resta para pasar del resultado de 4 8 al resultado de 3 8?

    c) Cunto se resta para pasar del resultado de 2 8 al resultado de 1 8?

    d) Para pasar del resultado de 0 8 al resultado de (1) 8, se resta lo mismo.

    Cunto es (1) 8?

    e) Entre dos renglones consecutivos de la tabla del 8, siempre se resta lo mismo.

    Cunto es (5) 8?

    f) Cmo son los resultados en cada rengln de las dos tablas? Son iguales o son

    distintos?

    Comparen sus respuestas. Comenten: si 8 (9) = 72, cunto es (9) 8?

    II. Completa los siguientes resultados:

    10 5 = 50 5 10 = 50

    10 4 = 40 4 10 = 40

    10 3 = 30 3 10 = 30

    10 2 = 20 2 10 = 20

    10 1 = 10 1 10 = 10

    10 0 = 0 0 10 = 0

    10 (1) = (1) 10 =

    10 (2) = (2) 10 =

    10 (3) = (3) 10 =

    10 (4) = (4) 10 =

    10 (5) = (5) 10 =

    a) En las tablas, los resultados aumentan o disminuyen?

    b) Los resultados, en cada rengln de ambas tablas, son iguales o son diferentes?

    10 10

    20 20

    30 30

    40 40

    50 50

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 57 6/2/07 11:07:36 PM

  • 58 L ib ro para e l maest ro

    22

    secuencia 1

    Comparen sus respuestas. Comenten cul es el signo del resultado cuando multiplicamosun nmero negativo con uno positivo.

    A lo que llegamosCuando en una multiplicacin el primer factor es un nmero negativoy el segundo factor es un nmero entero positivo, se multiplican los valores absolutos de los nmeros y al resultado se le antepone el signo . Por ejemplo:

    (8) 2 = 16 Se hace la multiplicacin 8 2 = 16, se le antepone el signo , y el resultado es 16.

    iV.Cuando se multiplica un nmero entero positivo por una fraccin o un nmero deci-mal negativo, se hace lo mismo: se multiplican los valores absolutos de los nmerosy al resultado se le antepone el signo . Realiza las siguientes multiplicaciones:

    iii.Encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones:

    a) 7 (4) =

    c) 11 (9) =

    e) 5 (12) =

    g) 4 (27) =

    i) 15 (4) =

    k) 10 (16) =

    b) (4) 7 =

    d) (9) 11 =

    f) (12) 5 =

    h) (27) 4 =

    j) (2) 18 =

    l) (14) 13 =

    a) 3 (4.1) =

    c) ( 45 ) 3 =

    b) (9.47) 10 =

    d) 5 ( 107 ) =

    Comparen sus respuestas.

    Sugerencia didctica. Comente a los alumnos que en las sesiones 2 y 3 han trabajado la multiplicacin de un nmero positivo por uno negativo, y que el resultado es igual si el primer factor es positivo y el segundo negativo, o al revs, si el primero es negativo y el segundo positivo.

    3 (8) = 24

    (8) 3 = -24

    28

    99

    60

    108

    60

    160

    28

    99

    60

    108

    36

    182

    12.3

    507 125

    19.47

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 58 6/2/07 11:07:41 PM

  • 59L ib ro para e l maest ro

    23

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Realiza las siguientes multiplicaciones:

    0 5 = 7 x (1) = 3 (16) =

    (1) 14 = (7) 11 = 1 (4) =

    (17) 7 = 16 (12) = (3.5) 4 =

    8 (6.2) = ( 29 ) 6 = 8 ( 134 ) =

    LA REGLA DE LOS SIGNOS 1Para empezarCuando se multiplican nmeros con signo se utiliza la regla de los signos. En esta sesinvas a conocer y a utilizar esta regla.

    Consideremos lo siguienteEncuentra los resultados que hacen falta en la siguiente tabla y antalos.

    4 3 2 1 0 1 2 3 4

    4 16 12 8 4 0 4 8 12 16

    3 12 9 6 3 0 3 6 9 12

    2 8 6 4 2 0 2 4 6 8

    1 4 3 2 1 0 1 2 3 4

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 0

    2 0

    3 0

    4 0

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo van cambiando los resultados en cada ren-gln y en cada columna.

    SESIN 4

    Propsito de la sesin. Identificar y utilizar la regla de los signos para multiplicar.

    Organizacin del grupo. Los alumnos trabajan de manera individual y comentan sus resultados con los dems.

    0

    14

    119

    49.6

    7

    77

    192

    129

    48

    4

    14

    1044

    4 3 2 1 1 2 3 4

    8 6 4 2 2 4 6 8

    12 9 6 3 3 6 9 12

    16 12 8 4 4 8 12 16

    Propsito de la actividad. Al llenar esta tabla se pretende que los alumnos utilicen lo que aprendieron en las dos sesiones anteriores para que continen encontrando los patrones. De esta manera podrn concluir que un nmero negativo multiplicado por un nmero negativo da como resultado un nmero positivo. Es importante que no les anticipe cul es el resultado de multiplicar un nmero negativo por un nmero negativo.

    3

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 59 6/2/07 11:07:44 PM

  • 60 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Se quiere que los alumnos se den cuenta del patrn que aparece en las tablas: los resultados en unas columnas/renglones siempre aumentan o siempre disminuyen.

    Si ve que hay dificultades escriba en el pizarrn las sumas:

    (12) + 3 = 9

    (9) + 3 = 6

    (6) + 3 = 3

    (3) + 3 = 0

    0 + 3 = 3

    Respuestas.

    a) Se suma 3.

    b) Se suma 3.

    c) 3.

    d) 6.

    Respuestas.

    a) Se suma 1.

    b) Se resta 1.

    c) Se resta 2.

    d) Se suma 4.

    e) Es positivo.

    24

    secuencia 1

    Manos a la obrai. Observa las tablas y responde las preguntas:

    a) Cunto se suma para pasar del resultado de 4 (3) al resultado de 3 (3)?

    b) Cunto se suma para pasar del resultado de 1 (3) al resultado de 0 (3)?

    c) Entre dos resultados consecutivos de la tabla del (3) siempre se suma lo mismo.

    Cunto es (1) (3)?

    d) Cunto es (2) (3)?

    ii. Responde las siguientes preguntas:

    a) En la tabla del (1), para pasar de un resultado al siguiente se suma o se resta?

    . Cunto se suma o cunto se resta?

    b) En la tabla del 1, para pasar de un resultado al siguiente se suma o se resta?

    . Cunto se suma o cunto se resta?

    c) En la tabla del 2, cunto se suma o cunto se resta para pasar de un resultado al

    siguiente?

    d) En la tabla del (4), cunto se suma o cunto se resta para pasar de un resultado

    al siguiente?

    e) Cul es el signo del resultado de multiplicar dos nmeros negativos?

    Comparen sus respuestas. Comenten cul es el resultado de multiplicar (3) (7).

    iii.Realiza las siguientes multiplicaciones:

    a) 7 (2) =

    c) (3) (6) =

    e) 3 (15) =

    b) (12) 4 =

    d) (9) 2 =

    f) (17) (4) =

    14

    18

    45

    48

    18

    68

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 60 6/2/07 11:07:46 PM

  • 61L ib ro para e l maest ro

    25

    IIMATEMTICASIV.Completa las afirmaciones con positivo o negativo:

    a) Cuando multiplicamos un nmero positivo por uno negativo el resultado es

    b) Cuando multiplicamos un nmero negativo por unoel resultado es positivo.

    c) Cuando multiplicamos un nmero por uno positivoel resultado es positivo.

    d) Cuando multiplicamos un nmero negativo por unoel resultado es negativo.

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosPara multiplicar nmeros con signo se multiplican los valores absolutos de los nmeros y luego se determina el signo del resultado utilizando la regla de los signos:

    cuando multiplicamos

    Positivo por positivo el resultado es positivo.

    Positivo por negativo el resultado es negativo.

    Negativo por positivo el resultado es negativo.

    Negativo por negativo el resultado es positivo.

    Por ejemplo, para multiplicar (4) 11, primero se hace la multiplicacin:4 11 = 44,

    y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces,

    (4) 11 = 44.

    V. Cuando se multiplican fracciones o nmeros decimales con signo, tambin se utilizala regla de los signos. Realiza las siguientes multiplicaciones:

    a) (5) 8.4 =

    c) (5.8) (3.6) =

    e) ( 17 ) ( 149 ) =

    b) (10.35) (4) =

    d) 411 (3) =

    f) 125 ( 12 ) =

    Respuestas.

    a) Negativo.

    b) Negativo.

    c) Positivo.

    d) Positivo.

    Sugerencia didctica. Copie esta informacin en una cartulina y pguela en el saln.

    42 41.4

    20.88 1211

    1463 = 29

    1210 =

    65

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 61 6/2/07 11:07:53 PM

  • 62 L ib ro para e l maest ro

    Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Si los alumnos tienen dificultades repasen la informacin de los apartados A lo que llegamos de las ltimas tres sesiones.

    Propsito del interactivo. Resolver multiplica-ciones de nmeros con signo.

    Sugerencias didcticas. Si desea realizar ms ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los nmeros a multiplicar. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las tablas y antes de presionar el botn Verificar pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo, que ellos mismos expliquen por qu. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos.

    Propsito de la sesin. Identificar y utilizar la regla de los signos para dividir.

    Organizacin del grupo. En esta sesin hay trabajo tanto individual como de parejas. Los comentarios sobre las respuestas y procedimientos son con todo el grupo.

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos utilicen la regla de los signos para saber cul es el signo del resultado de una multiplicacin o el de uno de los factores. En algunos casos es necesario dividir.

    Si observa los alumnos que cometen errores aritmticos en las divisiones no los corrija, es mejor pedirles que ellos realicen, al final, todas las multiplicaciones para verificar los resultados.

    3

    26

    secuencia 1

    Lo que aprendimos 1. Realiza las siguientes multiplicaciones:

    (8) 0 = 1 (15) = 0 (4) =

    (17) 1 = (3) 13 = (12) (8) =

    (16) 2 = (13) (15) = 7 (1.3) =

    (2.5) 4.1 = ( 12 ) ( 18 ) = 4 ( 218 ) =

    LA REGLA DE LOS SIGNOS 2Para empezarLa regla de los signos tambin se utiliza para hacer divisiones entre dos nmeros consigno.

    Consideremos lo siguienteCompleten los datos y los resultados que faltan en las siguientes multiplicaciones:

    7 4 12

    2 14 8 24

    4 16

    35

    56

    52

    105

    216

    Comparen sus respuestas. Comenten qu hicieron para encontrar el signo de los nmerosque faltaban.

    Manos a la obrai. Respondan las siguientes preguntas:

    a) Un nmero multiplicado por 17 da como resultado 204, cul es la operacin que

    se puede hacer para encontrar ese nmero?

    SESIN 5

    0 15 0

    17 39 96

    32 195 9.1

    10.25 116 848

    28 48 5 20 60 8 32 96 13 91 156 15 60 180 18 126 72

    Posibles dificultades. Quiz en los incisos g) e i) los alumnos no escriban los parntesis. Recurdeles lo que se vio en la sesin 1, en el apartado Para empezar : los parntesis se utilizan para no confundir el signo del nmero con los signos de la operacin.

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos extiendan a los nmeros negativos lo que ya saben hacer con las multiplicaciones y divisiones de nmeros positivos. Se extiende la regla de los signos a la divisiones para que se siga cumpliendo la regla de los signos en las multiplicaciones.

    Respuestas.

    a) Se divide 204 entre 17.

    b) Es 12.

    c) 12 17 = 204.

    d) La divisin es 184 (8).

    e) 23.

    f) 23 (8) = 184.

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 62 6/2/07 11:07:56 PM

  • 63L ib ro para e l maest ro

    27

    IIMATEMTICASb) Cul es el nmero que buscamos?

    c) Esto es cierto porque: 17 = 204.

    d) Para encontrar el nmero que multiplicado por 8 da como resultado 184, cul

    es la operacin que se puede hacer?

    e) Cul es el nmero que buscamos?

    f) Esto es cierto porque: (8) = 184.

    II. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas. Compltenla:

    Problema Divisin que se hace para encontrar el nmero Verificacin

    Cul es el nmero que al multiplicarlopor 3 da 78? (78) 3 = 3 = 78

    Cul es el nmero que al multiplicarlopor 9 da 171?

    Cul es el nmero que al multiplicarlo

    por da ? (75) (25) = = 75

    a) Cul es el signo del resultado de dividir un nmero negativo entre uno positivo?

    b) Cul es el signo del resultado de dividir un nmero positivo entre uno negativo?

    c) Cul es el signo del resultado de dividir un nmero negativo entre uno negativo?

    III.Encuentren el resultado de las siguientes divisiones:

    a) 12 (6) =

    c) (44) (4) =

    e) (16) (8) =

    b) (18) 6 =

    d) (20) 5 =

    f) 28 (28) =

    Comparen sus respuestas. Comenten qu hicieron para encontrar el signo de los resul-tados.

    Respuestas.

    a) Negativo.

    b) Negativo.

    c) Positivo.

    26 26

    171 (9) = 19 (19) (9) = 171

    25 75 3 3 (25)

    3

    2 3

    11 4

    2 1

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 63 6/2/07 11:07:58 PM

  • 64 L ib ro para e l maest ro

    Integrar al portafolios. Seleccione una de las actividades de este apartado y pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas.

    Sugerencia didctica. Utilicen la calculadora de la computadora para verificar los resultados de estas operaciones. Hay que dar un clic en Inicio, luego ir a Programas, y en Accesorios encontrarn la calculadora. Tambin pueden hacerlo con cualquier calculadora que haya en el saln.

    Es importante que los alumnos aprendan a distinguir entre las teclas de operadores (+ ) y la de cambio de signo (+/). Para realizar la operacin 6 (5.3) hay que oprimir:

    [ 6 ] [] [ 5.3 ] [ +/ ] [ = ]

    D a los alumnos un tiempo para explorar cmo funciona la calculadora y posteriormente pida a algunos que expliquen paso por paso las teclas que hay que oprimir para obtener el resultado correcto en la operacin 16 (5) , por ejemplo.

    Proponga otras sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

    28

    secuencia 1

    A lo que llegamosPara hacer divisiones entre nmeros con signo se dividen los valores absolutos de los nmeros y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos:

    Cuando dividimos,

    Positivo entre positivo el resultado es positivo.

    Positivo entre negativo el resultado es negativo.

    Negativo entre positivo el resultado es negativo.

    Negativo entre negativo el resultado es positivo.

    Por ejemplo, para dividir (110) (5), primero se hace la divisin: 110 5 = 22,y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positivo. Entonces,

    (110) (5) = 22.

    iV.Cuando se dividen fracciones o nmeros decimales con signo, tambin se utiliza laregla de los signos. Realicen las siguientes operaciones:

    a) (7.4) 2 =

    c) (10) ( 114 ) =

    e) ( 83 ) ( 74 ) =

    b) (15.5) (5) =

    d) ( 23 ) 7 =

    f) 23 ( 13 ) =

    Lo que aprendimos1. Realiza las siguientes operaciones:

    (9) 0 = (1) 17 = 1 (29) = 0 (24) =

    (2) 7 = 6 (8) = (7) 3 = 11 (4) =

    12 (1) = (9) (5) = (15) (1) = (10) (13) =

    44 (11) = (48) (2) = (56) 8 = (18) (4) =

    (35) 8 = 16 (5) = (29) (4) = (71) (10) =

    6 (5.3) = (3) x 2.4 = (3.75) (5) = (34.2) (9) =

    Sugerencia didctica. Copie esta informacin en una cartulina y pguela en el saln.

    3.7 3.1

    4011 2

    21

    3221 63 = 2

    Sugerencia didctica. Puede ser til recordar cmo se hacen las divisiones con fracciones.

    0 17 29 0

    14 48 21 44

    12 45 15 130

    4 24 7 4.5

    4.375 3.2 7.25 7.1

    31.8 7.2 0.75 3.8

    Propsito del interactivo. Practicar las reglas para multiplicar y dividir nmeros con signo.

    Sugerencias didcticas. Si desea realizar ms ejercicios con los alumnos, el interactivo presenta aleatoriamente los nmeros a multiplicar o dividir. Una forma de utilizar el interactivo es formando equipos para resolver las actividades propuestas y antes de presionar el botn Verificar, pregunte a los alumnos si las respuestas son correctas, en caso de no serlo que ellos mismos expliquen por qu. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos.

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 64 6/2/07 11:08:05 PM

  • 65L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) Es 13.72 C porque la suma de las tempera-turas mnimas es 68.6 C y 68.6 5 = 13.72.

    b) Es 6.84 C porque la suma de las temperaturas mnimas es 34.2 C y (34.2) 5 = -6.84.

    c) Del da 25 / XII / 06 es 1 C porque 8 + (10) = 2 y 2 2 = 1.

    Del da 26 / XII / 06 es 4 C porque 17.4 + (9.4) = 8 y 8 2 = 4.

    Del da 27 / XII / 06 es 5.7 C porque 20.2 + (8.8) = 11.4 y 11.4 2 = 5.7.

    Del da 28 / XII / 06 es 8 C porque 16 + 0 = 16 y 16 2 = 8.

    Del da 29 / XII / 06 es 0.5 C porque 7 + (6) = 1 y 1 2 = 0.5.

    29

    IIMATEMTICAS(3) ( 16 ) = ( 132 ) 5 = 78 (4) = (12) ( 27 ) =

    (7.4) 5.1 = (2.7) (10.5) = ( 65 ) ( 95 ) = ( 17 ) 13 =

    86 ( 92 ) = (11) ( 103 ) = 23 ( 58 ) = ( 14 ) ( 103 ) =

    2. Del 25 al 29 de diciembre de 2006 se registraron las siguientes temperaturas en Te-msachic, Chihuahua:

    25 26 27 28 29

    Temperatura mxima 8 17.4 20.2 16 7

    Temperatura mnima 10 9.4 8.8 0 6

    a) Encuentra el promedio de las temperaturas mximas en esos das.

    b) Encuentra el promedio de las temperaturas mnimas en esos das.

    c) Encuentra la temperatura promedio de cada da (el promedio calculado entre la

    temperatura mxima y la mnima de ese da).

    3. Coloca los nmeros que faltan para que todas las operaciones sean correctas:

    =

    4 = 2

    = = =

    3 = 12

    Para saber msSobre los nmeros enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Nmeros enteros, Suma y resta de nmeros enteros y Multiplicacin y divisin de enteros, en Una ventana al infinito. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre los nmeros con signo:Marvn, Luz Mara. Nmeros con signo, Mayor o menor?, El valor absoluto y Reglas para operar con negativos, en Representacin numrica. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    Sobre los egipcios consulta:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/faro/home.htmRuta: Men Sobre hroes, tumbas y sabios El peridico Egipcio[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa.

    36 652

    732

    842 =42

    37.74 28.35 5425 137

    7212 = 6 3310

    1615

    340

    24 1 24

    8

    4

    MAT2 B1 S01 maestro.indd 65 6/2/07 11:08:08 PM

  • 66 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Mostrar casos en los que se resuelvan problemas aditivos con expresiones algebraicas.

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen la suma de monomios.

    Organizacin del grupo. En esta sesin se sugiere que los alumnos trabajen de manera individual y que haya momentos de intercambio grupal.

    Sugerencia didctica. Si lo considera necesario, pase a algunos alumnos al pizarrn a que dibujen rectngulos que cumplan dicha condicin.

    Posibles respuestas. Puede haber distintas respuestas correctas, como 6a, 3a + 3a, a + 2a + a + 2a.

    Es importante que lo comenten y que los alumnos tengan claro que todas las respuestas correctas son expresiones equivalentes a 6a.

    1

    30

    secuencia 2

    En esta secuencia resolvers problemas de adicin y sustraccin de expresiones algebraicas.

    LOS GALLINEROSConsideremos lo siguienteDon Lencho es un granjero que desea construir un gallinero de forma rectangular. El tcnico avcola de la regin le ha recomendado que el largo del gallinero mida el doble que su ancho.

    Para determinar las dimensiones del gallinero, don Lencho tiene una gran cantidad de posibilidades que respeten la recomendacin anterior.

    SESIN 1

    Problemas aditivos con expresiones algebraicas

    a

    Si el nmero de metros que tiene el ancho se representa con la letra a, escribe una expresin algebraica que represente el pe-rmetro del gallinero.

    Permetro =

    Comparen sus expresiones algebraicas. Comenten:

    Cul es el permetro del gallinero si el ancho mide 1 metro?

    Eje

    Sentido numrico y pensamiento algebraico.

    Tema

    Significado y uso de las operaciones.

    Antecedentes

    En primero de secundaria los alumnos aprendieron a usar incgnitas como nmeros generales y a resolver problemas aditivos con nmeros enteros. En esta secuencia aprendern a sumar y restar monomios y binomios.

    Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen adicin y sustraccin de expresiones algebraicas.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1Los gallineros Resolver problemas que impliquen la suma de monomios.

    Interactivo Aula de medios

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    2

    2A medir contornos Resolver problemas que impliquen la suma de binomios.

    Aula de medios

    3

    La tabla numrica Resolver problemas que impliquen la suma o resta de monomios con coeficientes positivos y negativos.

    Interactivo

    4Cuadrados mgicos y nmeros consecutivos Resolver problemas con nmeros consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas.

    Video La magia de los chinos

    Interactivo

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 66 6/2/07 11:10:11 PM

  • 67L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Ejemplificar el uso de expresiones algebraicas.

    Que los alumnos se familiaricen con el uso de expresiones algebraicas.

    Sugerencias didcticas. Esta parte del interactivo presenta la traduccin de enunciados en expresiones algebraicas; puede ocuparse para mostrar a los alumnos ms ejemplos de cmo representar algebraicamente un problema. Conviene realizar las dos actividades ya que en la primera slo se trabaja aritmticamente y en la segunda se hace la representacin algebraica de los procedimientos realizados.

    31

    IIMATEMTICASManos a la obraI. Completa la siguiente tabla para ayudar a don Lencho a decidir el tamao del gallinero.

    Medida en metros del ancho

    Medida en metros del largo

    Operaciones que se realizan para calcular el permetro del gallinero

    Permetro del gallinero en metros

    1 2 6

    1 12

    2 4 12

    3

    8

    4.5 27

    48

    a

    Comparen sus tablas. Si es necesario, verifiquen sus respuestas dibujando en su cuaderno los rectngulos correspondientes (utilicen una escala de 1cm = 1m). Comenten:

    a) Qu operacin hicieron para obtener la medida del largo del gallinero cuando arepresenta la medida del ancho en metros?

    b) Qu operaciones hicieron para obtener el permetro del gallinero cuando a repre-senta la medida del ancho en metros?

    II. Contesta lo siguiente:

    a) En las siguientes expresiones algebraicas la letra a representa el nmero de metros que tiene el ancho del gallinero. Subraya las expresiones que, al sumarse, permiten obtener el permetro. Cuidado, puede haber ms de una que sea correcta!

    a + a + a

    a + a + 2a + 2a

    a + a + a + a + a + a

    3a + 3a

    Recuerda que:

    Para evitar confundir el sig

    no (por)

    de la multiplicacin con la l

    iteral x,

    el signo por no se escribe

    .

    Por lo mismo:

    3a = 3 veces a = a + a + a

    3 9

    6 18

    4 24

    9

    8 16

    2 a 6a

    Respuestas. Con excepcin de la primera, las dems expresiones representan la medida del permetro.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 67 6/2/07 11:10:14 PM

  • 68 L ib ro para e l maest ro

    3

    Propsito del interactivo. Identificar las partes que forman un trmino.

    Introducir el concepto de trminos semejantes.

    Sugerencias didcticas. El interactivo es una animacin que presenta trminos semejantes a un trmino dado, el cual se puede modificar. Pida a los alumnos que obseven qu es lo que se mantiene constante y lo qu es que cambia al presentarles los trminos semejantes al trmino dado. Puede pedir a los alumnos que modifiquen el trmino para validar sus conjeturas respecto de qu es un trmino semejante a otro.

    32

    secuencia 2b) El resultado de la suma a + a es 2a, o sea, 2 veces a. Completa el siguiente esque-

    ma para encontrar el resultado de la suma a + a + 2a + 2a.

    a + a + 2a + 2a =

    a + a + ( a + a) + (a + a)

    c) Cuntas veces aparece a en la expresin a + a + (a + a) + (a + a)?

    Comenten las soluciones que obtuvieron.

    A lo que llegamosEn una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman trminos. Por ejemplo, a y 2a son trminos de la suma a + a + 2a + 2aLos trminos tienen coeficiente, literales y exponentes.

    El trmino 2a tiene:Coeficiente: 2 Literal: a

    Exponente: 1

    El trmino a tiene:Coeficiente: 1 Literal: a

    Exponente: 1

    El trmino 3a 2 tiene:Coeficiente: 3 Literal: a

    Exponente: 2

    A los trminos que tienen la misma literal con igual exponente como a, 3a, 2a, 1.5a, se les llama trminos semejantes.

    Los trminos numricos son semejantes entre s. Por ejemplo, 8 y 5 son trminos semejantes.

    3a 2 y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque no tienen el mismo exponente.

    Sugerencia didctica. Comente con los alumnos que mientras a representa una unidad lineal (para medir longitudes), a 2 representa una unidad de superficie (para medir reas) y a 3 es una unidad cbica (para medir volumen).

    Tambin puede preguntar a los alumnos si 2a y a 2 representan lo mismo o no, y si es el caso, en qu son distintas. Pdales algn ejemplo en el que se utilicen una u otra.

    Sugerencia didctica. Haga ver a los alumnos que un trmino puede tener varias literales con sus respectivos exponentes, por ejemplo en 3a 2b 3 el coeficiente es 3 y hay dos variables a cuyo exponente es 2 y b cuyo exponente es 3.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 68 6/2/07 11:10:22 PM

  • 69L ib ro para e l maest ro

    3

    Respuestas. Al rectngulo le corresponde la expresin 8x y al trapecio la expresin 6.5x.

    33

    IIMATEMTICASIII. Un hijo de don Lencho le present a su pap otros diseos para construir el gallinero.

    Une con una lnea cada figura con la expresin de la derecha que representa su permetro.

    Comparen las soluciones que obtuvieron. Comenten:

    Cmo sumar trminos semejantes cuando los coeficientes son decimales?

    A lo que llegamosPara sumar trminos semejantes se suman los coeficientes y se con-serva la parte literal. Por ejemplo:

    5.2x + 7.3x = 12.5x

    5.2 + 7.3 = 12.5

    IV. El permetro del tringulo ABC es 13x.

    Cul es la medida del lado BC?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Qu operacin hicieron para encontrar la medida del lado BC?

    3x

    1.5x

    x

    2x

    x

    6.5x

    4.5x

    6x

    8x

    2x

    3x

    4x

    C

    AB

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 69 6/2/07 11:10:26 PM

  • 70 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Lo que se plantea aqu tiene la intencin de que los alumnos exploren la solucin de problemas que involucran una resta de expresiones algebraicas utilizando algunos de sus conocimientos geomtricos.

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas y procedimientos a cualquiera de las actividades del apartado Lo que aprendimos y gurdela en el portafolios.

    Si tienen dificultades analice a qu se deben, ya que pueden estar relacionadas con algunos conocimientos geomtricos, o bien con la suma de expresiones algebraicas. Si ocurre esto ltimo, revisen nuevamente la informacin de A lo que llegamos y propngales otras sumas y restas de expresiones algebraicas.

    Respuesta. El largo del rectngulo se obtiene sumando 15x + 3x = 18x ; por lo tanto, el permetro del rectngulo es 66x (permetro = 15x + 15x + 18x +18x = 66x).

    Posibles dificultades. A algunos alumnos puede serles difcil esta actividad porque no saben cunto vale x ni tienen manera de averiguarlo. Si esto ocurre dgales que x puede ser cualquier medida, pero que el problema puede resolverse aunque sta no se conozca, lo importante es que cumplan con la condicin de que el largo sea 3x mayor que el ancho.

    Una vez que hayan hecho el dibujo pdales que lo comparen con el de otros compaeros. Si no hubo errores, todos los rectngulos sern proporcionales.

    34

    secuencia 2

    A lo que llegamosPara restar trminos semejantes se restan los coeficientes y se conser-va la parte literal. Por ejemplo:

    7x 4x = 3x

    7 4 = 3

    Lo que aprendimos1. El ancho de un rectngulo es 15x, y el largo tiene la medida del ancho ms 3x. Dibu-

    ja en tu cuaderno el rectngulo con la medida de sus lados y escribe la expresin que corresponde a su permetro.

    2. Escribe la expresin del permetro para cada uno de los siguientes polgonos regulares.

    2x 1.2z 2.4y

    P = P = P =

    3. Encuentra el valor faltante en cada una de las figuras siguientes.

    a) b)

    El permetro del tringulo issceles es 5y. Cunto mide cada uno de los lados

    iguales?

    El permetro del rectngulo es 8y. Cunto mide de largo?

    y

    y

    12x 3.6z 12y

    Posibles dificultades. Si los alumnos no saben cmo hallar las medidas faltantes de los lados del tringulo issceles recurdeles que esa figura tiene dos lados iguales y uno desigual; por lo tanto, si el desigual mide y, cada uno de los otros debe medir 2y.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 70 6/2/07 11:10:30 PM

  • 71L ib ro para e l maest ro

    35

    IIMATEMTICASA MEDIR CONTORNOS Para empezarSon binomios expresiones algebraicas con dos trminos como las siguientes:

    x + 3

    x + z

    y 532x 2 + 7

    Consideremos lo siguienteEn el siguiente rectngulo se han determinado las medidas de la base y la altura.

    Largo = 2x

    An

    cho

    = x

    + 2

    a) Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del rectngulo?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo obtuvieron el permetro del rectngulo?

    Manos a la obraI. Cules de las siguientes expresiones permiten encontrar el permetro del

    rectngulo anterior? Subryenlas.

    x + 2 + 2x

    2x + 2x + (x +2) + (x + 2)

    2x + (x +2) + 2x +(x + 2)

    (3x + 2) + (3x + 2)

    SESIN 2

    Recuerden que:

    Dos trminos son semejant

    es

    cuando:

    1) tienen la misma parte

    literal, como 3w y 2w.

    2) son trminos numricos

    ,

    como -2, 8.

    Propsito de la sesin. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma de binomios.

    Organizacin del grupo. En esta sesin se propone que el alumno trabaje de manera individual y en parejas, y que las discusiones sean grupales.

    Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos en qu es distinto un monomio de un binomio y pdales que escriban ejemplos en el pizarrn.

    Respuestas.

    a) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones correctas, como:

    P = 2x + (x + 2) + 2x + (x + 2)

    P = 4x + (x + 2) + (x + 2)

    P = 2x + x + 2 + 2x + x + 2

    P = 6x + 4

    P = 6x + 2 + 2

    P = x + x + x + x + x + x + 2 + 2

    Pida a los alumnos que escriban en el pizarrn todas las expresiones distintas que hayan encontrado y comenten cules son correctas, es decir, cules son equivalentes.

    Respuestas. Con excepcin de la primera, las dems expresiones representan el permetro del rectngulo.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 71 6/2/07 11:10:32 PM

  • 72 L ib ro para e l maest ro

    3

    Respuesta. La expresin es 8x + 2.

    3

    Respuestas.

    a) 2x, 2x, x, x .

    b) La expresin quedara 6x + 4.

    c) 2x + (x + 2) + 2x + (x + 2) = 6x + 4

    (3x + 2) + (3x + 2) = 6x + 4

    Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos por qu las expresiones obtenidas dan como resultado el mismo binomio (6x + 4). Pueden dar una variedad de respuestas, como porque todas representan el permetro del rectngulo, porque todas son iguales, porque dan lo mismo, etctera, lo importante es que se aseguren de que, efectivamente, las expresiones que escribieron son equivalentes a 6x + 4.

    36

    secuencia 2Comparen sus respuestas y comenten: por qu las expresiones que sealaron represen-tan lo mismo (el permetro del rectngulo)?

    ii. En la sesin anterior aprendieron a sumar trminos semejantes: sumar los coeficien-tes y conservar la parte literal. Cmo sumaran los trminos semejantes de las ex-presiones anteriores? Contesten las siguientes preguntas.

    a) Para hacer la suma 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) se suman los trminos semejantes. Completen:

    2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) = +

    2x + 2x + x + x = 2 + 2 =

    b) Suma los trminos semejantes de las siguientes expresiones:

    2x + (x +2) + 2x +(x + 2) = +

    x + 2 + 2x = +

    (3x + 2) + (3x + 2) = +

    Comparen sus resultados.

    iii. Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del siguiente rectngulo?

    x + 2

    3x 1

    Comparen las soluciones que obtuvieron. Sumen los trminos semejantes y verifiquen si obtienen el mismo resultado.

    El parntesis en (x + 2) se

    usa para indicar que x + 2

    es la medida de un lado de

    l

    rectngulo y el parntesis s

    e

    puede quitar.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 72 6/2/07 11:10:34 PM

  • 73L ib ro para e l maest ro

    37

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara sumar binomios se suman los trminos que son semejantes.

    (2x + 3) + (x 2) = 3x + 1

    2x + x = 3x 3 2 = 1

    Lo que aprendimos 1. La altura de un rectngulo es x, y la base es 5 unidades mayor que la altura. Dibuja

    en tu cuaderno el rectngulo con la medida de sus lados y escribe la expresin que corresponde a su permetro. No te olvides de sumar los trminos semejantes.

    P =

    2. Escribe la expresin que corresponde al permetro de cada polgono. No te olvides de sumar los trminos semejantes.

    a) b)

    Permetro: Permetro:

    3. El permetro del rectngulo de la derecha es10y + 6.

    Cul es la medida del largo?

    2r

    r + 1 r + 1

    r

    r + 2

    r + 2

    r r

    r r

    2y + 1

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a cualquiera de las dos actividades del apartado Lo que aprendimos.

    Sugerencia didctica. Si el tiempo es insuficiente deje como tarea las actividades de este apartado.

    Respuestas.

    1. El permetro es 4x + 10, porque la altura mide x y la base x + 5.

    2. El permetro del trapecio es 5r + 2 y el del hexgono es 6r + 4.

    3. El largo mide 3y + 2.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 73 6/2/07 11:10:39 PM

  • 74 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen la suma o la resta de monomios con coeficientes positivos y negativos.

    Organizacin del grupo. Al igual que en la sesin anterior, se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, individualmente y en grupo.

    38

    secuencia 2

    Recuerden que:

    Para restar nmeros enteros, a

    l minuendo

    se le suma el simtrico del su

    straendo:

    A - B = A + (simtrico de B)

    A - B = A + (-B)

    SESIN 3 LA TABLA NUMRICAPara empezarEn la columna x de la siguiente tabla se encuentran algunos nmeros enteros.

    Los nmeros de las columnas: 2x, 3x, 3x, 0x, y x se obtuvieron al multiplicar el coefi-ciente de cada expresin algebraica por el valor de x que est en su mismo rengln.

    x 2x 3x 3x 0x -x 3x x 3x + (x)

    5 25=10 35=15 35=15 05=0 15=5 15 5 =10 15 + (5) = 10

    4 8 12 12 0 4 8 8

    3 6 9 9 0 3 6 6

    2 4 6 6 0 2 4

    1 2 3 3 0 1 2

    0 0 0 0 0 0 0 0

    1 2x(1) = 2 3x(1) = 3 (3)(1)=+3 0(-1)=0 (1)(1)=+1 (3) (1)=(3) +(+1)=2

    (3) +(+1)=2

    2 4 6 6 0 2 4

    3 6 9 9 0 3 6 6

    4 8 12 12 0 4 8

    5 10 15 15 0 5 10

    Tabla 1

    Recuerda que:

    x = 1 por x

    Completen la tabla y coementen:

    Por qu 3x x equivale a restar el valor de x a 3x?

    Por qu el valor de 3x + (x) equivale a sumar el valor de x a 3x ?

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 74 6/2/07 11:10:41 PM

  • 75L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 2x

    b) 2x

    Sugerencia didctica. En este punto pida a los alumnos que hagan las correcciones de los errores que hubieran podido cometer en las actividades anteriores y aclare dudas. Tambin puede:

    escribir la tabla en el pizarrn para que los alumnos la vayan llenando;

    hacerles preguntas como:

    En qu columna estn los mltiplos de 2?

    Los mltiplos de 2 son mltiplos de 2?

    En qu se parecen y en qu son diferentes los nmeros de las columnas 3x y 3x?

    plantearles problemas como si se suma el doble de un nmero con su triple cul es el resultado? Ser el quntuplo de dicho nmero, es decir, 2x + 3x = 5x. Esto ser importante posteriormente porque le permitir al alumno hacer generalizaciones.

    Sugerencia didctica. Los comentarios de los alumnos pueden ser diversos, dependiendo de lo que cada uno haya descubierto.

    Para casos como 2x (x) es importante recordar que una sustraccin con nmeros enteros puede realizarse como una adicin, cambindole el signo al sustraendo.

    (6) (4) = (6) + (+4) = 2

    (6) (+4) = (6) + (4) = 10

    39

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteLas expresiones algebraicas del rengln superior de las primeras seis columnas son:x, 2x, 3x, 3x, 0x, y x.

    a) Cul de ellas es el resultado de la resta 3x x?

    b) Cul es el resultado de la suma 3x + (x)?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo hicieron las operaciones?

    Manos a la obraI. Observen la tabla 1 y contesten:

    a) Qu columnas tienen los mismos nmeros que la columna 3x + (x)?

    Si se agregaran la columna 2x + (3x ) y la columna 2x + (x ):

    b) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    2x + (3x )?

    c) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    2x + (x )?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Por qu creen que la columna 3x + (x ) tiene los mismos resultados que la columna 2x?

    A lo que llegamosPara sumar trminos semejantes con coeficientes que son nmeros con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:

    6x + (8x ) = 2x

    6 + (8) = 6 8 = 2

    Propsito del interactivo. Practicar la suma de trminos semejantes.

    Sugerencias didcticas. El interactivo presenta aleatoriamente ejercicios de suma de trminos semejantes. Puede ocupar la actividad para evaluar lo aprendido por sus alumnos. Pdales que expliquen sus resultados, esto le orientar sobre cuales podran ser las dificultades que tienen.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 75 6/2/07 11:10:45 PM

  • 76 L ib ro para e l maest ro

    40

    secuencia 2ii. Agregen a la tabla 1 la columna 2x (x ) y escriban los nmeros que deben ir en

    cada rengln.

    a) Qu columna tiene los mismos nmeros que la columna 2x (x )?

    b) Cul es el resultado de la operacin 2x (x )?

    Si se agregaran la columna x (x ) y la columna x (3x ):

    c) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    x (x )?

    d) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    x (3x )?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo encontraron el resultado de las restas anteriores.

    A lo que llegamosPara restar trminos semejantes con coeficientes negativos, se restan los coeficientes y se conserva la parte literal.

    2x (5x ) = 3x

    2 (5) = 2 + (+5) = +3

    iii. Apliquen las dos reglas anteriores para encontrar el resultado de las operaciones:

    a) 4x + (x ) =

    b) 2x x =

    c) x (x ) =

    Comparen sus respuestas.

    iV. Completen las siguientes operaciones sumando o restando trminos semejantes.

    a) x = 0x = 0

    b) x + = 2x

    c) 2x + = 0x = 0

    d) 3x = 2x

    e) x = 5x

    Recuerden que:

    El coeficiente de -x es -1

    Respuestas.

    a) [4 + (1)]x = 3x

    b) (2 1)x = x

    c) [1 (1)] x = (1 + 1)x = 2x

    Respuestas.

    x x = 0x = 0

    x + (3x) = 2x

    2x + (2x) = 0x = 0

    3x (x) = 2x

    x (6x) = 7x

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 76 6/2/07 11:10:50 PM

  • 77L ib ro para e l maest ro

    Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad y valore si han aprendido a sumar monomios o es conveniente hacer un repaso.

    Respuestas.

    a) 2x 12.5

    b) Los alumnos pueden escribir distintas expresiones, como

    2(2x 12.5) + 2x

    2x 12.5 + 2x 12.5 + x + x

    Aunque son correctas, pdales que efecten las operaciones que han aprendido en estas sesiones para llegar a 6x 25.

    c) Si la barda que rodea al terreno mide 197 metros, el permetro puede expresarse como 6x 25 = 197; haciendo las operaciones necesarias se tiene que el ancho mide 37 metros y el largo 61.5 metros.

    Sugerencia didctica. Si los alumnos lograron llegar a la expresin 6x 25 pero no saben de qu manera continuar resolviendo el problema, plantee las siguientes preguntas:

    Qu nmero al restarle 25 es igual a 197?

    Y posteriormente:

    Qu nmero multiplicado por 6 da como resultado 222?

    Tambin puede pedirles que revisen la secuencia 18 del libro de primer grado, en la que hay actividades que pueden servirles.41

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Para cada operacin de la izquierda escoge su resultado de las expresiones que apa-

    recen en la columna de la derecha.

    Operaciones Resultados posibles

    a) 5x + (3x) = 2x

    b) 5x (3x) = 8x

    c) 5x (+3x) = 2x

    d) 5x + (3x) = +8x

    e) 3x (5x) =

    2. El largo de un terreno rectangular mide 12.5 metros menos que el doble del ancho. La barda que lo rodea mide 197 metros. Si el ancho mide x metros:

    Largo

    An

    cho

    = x

    a) Qu expresin algebraica corresponde a la medida del largo?

    b) Qu expresin corresponde al permetro?

    c) Cuntos metros mide cada lado del terreno?

    Ancho : metros Largo: metros

    3. Un comerciante vendi cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendi 20 kg ms que el lunes y el mircoles le faltaron 5 kg para vender el triple de lo que vendi el lunes. Si en los tres das vendi en total 167.5 kg de aguacate:

    a) Qu cantidad de esta fruta vendi cada da?

    Lunes: kg Martes: kg Mircoles: kg

    b) Qu da vendi un poco ms de 50 kg de aguacate?

    c) Qu da vendi 86.5 kg?

    Respuestas.

    a) Lo que vendi el lunes puede expresarse como x, lo que vendi el martes x + 20 y lo que vendi el mircoles 3x 5.

    Se obtiene la expresin

    x + (x + 20) + (3x 5) = 167.5

    5x + 15 = 167.5

    b) El martes (el lunes vendi 30.5 kilos, el martes 50.5 y el mircoles 86.5).

    Sugerencia didctica. Al igual que en el problema anterior, puede ayudar a los alumnos plantendoles las siguientes preguntas:

    Qu nmero al sumarle 15 da como resultado 167.5?

    Y posteriormente:

    Qu nmero multiplicado por 5 da como resultado 152.5?

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 77 6/2/07 11:10:52 PM

  • 78 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Que los alumnos resuelvan problemas con nmeros consecutivos que impliquen la suma de expresiones algebraicas.

    Organizacin del grupo. Se recomienda que los alumnos resuelvan la sesin individualmente y que los comentarios sobre las actividades realizadas sean grupales.

    Descripcin del video. El video hace una pequea descripcin de los cuadrados mgicos y sus principales caractersticas. Se hace un recorrido histrico sobre el uso de los cuadrados mgicos por distintas culturas, principalmente por parte de los chinos. Se hacen referencias a las cualidades extraordinarias que les dieron estas culturas y la razn por la cual se les llaman mgicos.

    Sugerencia didctica. Para fomentar el anlisis de un cuadrado mgico se puede proponer a los alumnos que encuentren relaciones matemticas entre los nmeros que los forman, preguntndoles:

    Qu nmero est en el centro del cuadrado?

    Cunto suman los dos nmeros que estn en los extremos de una misma diagonal?

    Cunto suman los dos nmeros que estn en los extremos del rengln central?

    Cunto suman los dos nmeros que estn en los extremos de la columna central?

    Cunto suman los 9 nmeros del cuadrado?

    La suma anterior tiene alguna relacin con el nmero de la casilla del centro del cuadrado?

    Cuntas veces tienes que sumar el nmero del centro para encontrar lo que suman los tres nmeros de cada rengln, columna o diagonal?

    Para seguir reflexionando sobre los cuadrados mgicos puede preguntarles:

    Qu relacin encuentran entre el nmero de la casilla central y la suma de los tres nmeros de cada columna, rengln o diagonal?

    Qu relacin encuentran entre el nmero de la casilla central y la suma de los nueve nmeros del cuadrado?

    Si los nmeros de una columna suman 60 qu nmero estar en la casilla del centro del cuadrado?, cunto suman los nueve nmeros que lo forman?

    42

    secuencia 2

    CUADRADOS MGICOS Y NMEROS CONSECUTIVOSPara empezarLa magia de los chinos

    El origen de los cuadrados mgicos es incierto, aunque sabemos que antiguas civilizaciones los conocieron. Se piensa que su origen se da hace cerca de 400 aos en la antigua China.

    En el siguiente cuadrado mgico, las sumas de los tres nmeros de cada rengln, de cada columna y de cada diagonal dan como resultado el mismo nmero.

    En total hay ocho sumas. Comprueba que todas dan el mismo nmero como resultado.

    Lo que aprendimos1. Los nmeros consecutivos: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1 y 2 se pueden acomodar en un

    cuadrado mgico para que sus renglones, columnas y diagonales sumen el mismo nmero. Completa el cuadrado mgico usando los nmeros que se proporcionan.

    Nmeros faltantes: 6, 5, 4, 3 y 2

    1

    2

    0 1

    13 6 11

    8 10 12

    9 14 7

    SESIN 4

    3 4

    +2 6

    5

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 78 6/2/07 11:10:54 PM

  • 79L ib ro para e l maest ro

    43

    IIMATEMTICAS2. Para el siguiente cuadrado mgico los nueve nmeros consecutivos estn representa-

    dos por las expresiones algebraicas: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7,n + 8.

    Acomoda las expresiones faltantes de manera que los renglones, columnas o diago-nales sumen lo mismo.

    Expresiones que falta colocar: n+2, n+3, n+5, n+6 y n+7.

    Haz las siguientes sumas para verificar si los renglones, columnas o diagonales suman lo mismo. No te olvides de sumar los trminos semejantes.

    a) Rengln superior: n + ( ) + ( ) =

    b) Rengln central: (n + 4) + ( ) + ( ) =

    c) Rengln inferior: (n + 8) + (n + 1) + ( ) =

    d) Columna izquierda: =

    e) Columna central: n + (n + 4) + (n + 8) =

    f) Columna derecha: (n + 1) + ( ) + ( ) =

    g) Diagonal de izquierda a derecha ( ) + (n + 4) + (n + 1) =

    h) Diagonal de derecha a izquierda ( ) + (n + 4) + ( ) =

    n

    n + 4

    n + 8 n + 1

    n+7 n+5

    n+2 n+6

    n+3

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 79 6/2/07 11:10:56 PM

  • 80 L ib ro para e l maest ro

    44

    secuencia 23. Realiza las siguientes sumas:

    a) 1 + 2 + 3 =

    b) 2 + 3 + 4 =

    c) 15 + 16 + 17 =

    d) n + (n+1) + (n+2) =

    e) Por qu la suma de tres nmeros consecutivos es un mltiplo de 3?

    4. Realiza las siguientes sumas:

    a) 1 + 2 + 3 + 4=

    b) 10 + 11+ 12 + 13 =

    c) 45 + 46 + 47 + 48 =

    d) 100 + 101 + 102 + 103 =

    e) n + (n+1) + (n+2) + (n +3) =

    f) Ser cierto que la suma de cuatro nmeros consecutivos es un mltiplo de 4?

    Justifica tu respuesta

    5. La suma de cinco nmeros consecutivos es un mltiplo de 5. Realiza la siguiente suma para comprobarlo.

    n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) =

    Por qu 5n + 10 es mltiplo de 5?

    6. La suma de nueve nmeros consecutivos de un cuadrado mgico es un mltiplo de 9.

    a) Realiza la siguiente suma para comprobarlo.

    n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7) + (n+8) =

    b) Por qu el resultado de la suma anterior es un mltiplo de 9?

    Recuerda que:

    Los mltiplos de3 se obtienen al

    multiplicar los nmeros enteros po

    r 3.

    Son mltiplos de 3:

    , 9, 6, 3, 0,3, 6, 9, 12, Posibles respuestas. Los alumnos pueden

    responder cosas como porque se puede obtener sumando tres veces el nmero de enmedio, o porque es tres veces el nmero inicial y se le suman tres.

    Sugerencia didctica. La suma de cuatro nmeros consecutivos no es mltiplo de 4, pero dles tiempo a los alumnos para averiguarlo y pdales ejemplos que justifiquen su conclusin (por ejemplo, que el resultado de sumar 1+ 2 + 3 + 4 no es mltiplo de 4).

    Podran incluso llegar a una respuesta generalizada:

    n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6, donde 4n es mltiplo de 4 pero 6 no lo es.

    La suma de n nmeros consecutivos es mltiplo de n siempre y cuando n sea nmero impar mayor que 1.

    La suma de dos mltiplos de un nmero tambin es mltiplo de ese nmero. Por ejemplo, 15 y 75 son mltiplos de 15, la suma 15 + 75 = 90 tambin es mltiplo de 15.

    Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones.

    Recuerde que. Si se tienen nueve nmeros consecutivos, el nmero del centro ser el promedio de ellos, por lo que la suma se puede obtener multiplicando por 9 el nmero del centro. Por ejemplo, en la suma 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11+ 12 + 13 + 14, el nmero del centro es 10 y la suma es 9 10 = 90.

    Sugerencia didctica. Se puede aprovechar esta actividad para destacar maneras creativas de sumar nmeros consecutivos. Por ejemplo:

    6 + 14 = 20

    7 + 13 = 20

    8 + 12 = 20

    9 + 11 = 10

    6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 4 x 20 + 10 = 80 + 10 = 90.

    Respuestas.

    a) 9n + 36.

    b) Porque al sumar dos mltiplos de 9 se obtiene otro mltiplo de 9 + 36, o bien, porque 9n y 36 son mltiplos de 9.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 80 6/2/07 11:10:59 PM

  • 81L ib ro para e l maest ro

    45

    IIMATEMTICASPara saber ms

    Sobre resolucin de cuadrados mgicos consulta:http://interactiva.matem.unam.mx Ruta: Secundaria Juegos aritmticos Un cuadrado mgico.[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de la Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

    Explora las actividades del interactivo Suma y resta de expresiones algebraicas. Propsito del interactivo. Mostrar una forma de sumar expresiones algebraicas.

    Sugerencias didcticas. En esta parte del interactivo se pretende que el alumno ponga en prctica sus habilidades para agrupar y sumar trminos semejantes en la suma de expresiones algebraicas.

    MAT2 B1 S02 maestro.indd 81 6/2/07 11:11:02 PM

  • 82 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Obtener equivalencias algebraicas entre expresiones lineales, empleando al rectngulo como modelo geomtrico.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que se organicen momentos de intercambio grupal.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo de situaciones en las que utilizaron expresiones algebraicas durante el primer grado de la secundaria. A partir de la expresin algebraica que se propone para el clculo del rea de un mismo rectngulo, los alumnos tratarn de obtener expresiones equivalentes.

    Sugerencia didctica. Dedique a esta actividad slo el tiempo necesario para que los alumnos recuerden cmo se obtiene el rea de cualquier rectngulo (base por altura) y cmo se puede expresar algebraicamente el rea de un rectngulo que mide 4 de altura y b de base. Enfatice que en este momento no van a expresar las unidades de medida.

    Eje

    Sentido numrico y pensamiento algebraico.

    Tema

    Significado y uso de las operaciones.

    Antecedentes

    Durante el primer grado de la educacin secundaria los alumnos aprendieron a identificar expresiones algebraicas equivalen-tes en el contexto del clculo de reas y permetros de figuras. En esta secuencia trabajarn con expresiones algebraicas ms complejas que las de primer grado, pues implican operaciones combinadas y el uso de parntesis. Se espera que los alumnos logren reconocer y obtener ese tipo de expresiones a travs de la resolucin de problemas en los que se utilizan modelos geomtricos.

    Propsitos de la secuencia Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo

    de modelos geomtricos.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1Expresiones equivalentes A partir del rectngulo como modelo geomtrico, obtener expresiones algebraicas equivalentes.

    Interactivo

    2

    Ms expresiones equivalentes A partir de una expresin algebraica obtener otros equivalentes apoyndose en el rectngulo como modelo geomtrico.

    Video Ms expresiones equivalentes

    Interactivo

    46

    secuencia 3

    En esta secuencia reconocers y obtendrs expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geomtricos

    EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn primer ao aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el rea de dis-tintas figuras geomtricas. Por ejemplo, para un rectngulo de altura a y base b obtuvis-te la expresin ab.

    De igual manera, la expresin 4b representa el rea de un rectngulo que mide 4 unidades de altura (a=4) y b unidades de base.

    Los siguientes rectngulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El rea de cada uno se puede calcular usando la expresin 4b. Calcula las reas usando esta expresin.

    SESIN 1

    Expresiones algebraicas y modelos geomtricos

    Recuerda que:

    ab = ab

    4b = 4b

    4

    b

    4 cm

    b = 2 cm

    rea =

    4 cm

    b = 3 cm

    rea =

    4 cm

    b = 6 cm

    rea =

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  • 83L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el rea de un rectngulo.

    Sugerencias didcticas. Con el interactivo se pueden resolver las actividades I y II del libro del alumno. La primera parte ayuda a que los alumnos obtengan el rea de un rectngulo como la suma de dos expresiones. La segunda actividad ayuda a mostrar que el rea del rectngulo se puede obtener utilizando diferentes expresiones. En la tercera actividad usted puede modificar el nivel de dificultad de las expresiones propuestas para obtener el rea del rectngulo. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios que se les presentan en el interactivo.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos descubran que hay varias expresiones que sirven para calcular el rea de un rectngulo.

    Sugerencia didctica. Antes de que los alumnos respondan la pregunta, revise con ellos la informacin que se presenta en el recuadro: es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de los parntesis para expresar una multiplicacin; comnteles que aun cuando la utilizacin del signo es correcta, como se muestra en el mismo recuadro, lo mejor es utilizar slo los parntesis para evitar confusiones.

    Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos.

    Posibles errores. Es probable que los alumnos identifiquen nicamente las expresiones 4(a + 2) y 4a + 8 y que no consideren la del inciso c). Tambin puede suceder que algunos alumnos opinen que la expresin 4a + 2 es correcta. Si esto sucede, permtales que en este momento contesten lo que ellos consideren, ms adelante tendrn la oportunidad de revisar sus respuestas y de corregir, si es necesario.

    3

    Sugerencia didctica. Anote las expresiones algebraicas en el pizarrn y pregunte al grupo cules consideraron correctas y cules no. Es muy probable que haya respuestas distintas, por lo que conviene que anime a los alumnos a que expresen por qu consideran que alguna expresin es correcta o no. Usted puede registrar algunas de sus ideas en el pizarrn para, posteriormente, volver a ellas y que los alumnos vean si estuvieron en lo correcto o si es necesario que corrijan algunas de sus respues-tas. No es necesario que en este momento todos lleguen a la respuesta correcta, podrn hacerlo ms adelante.

    47

    IIMATEMTICASEn esta secuencia encontrars distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el rea de un rectngulo. Para simplificar los clculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centmetros.

    Consideremos lo siguienteDe las siguientes expresiones, cules representan el rea del rectngulo enmarcado en rojo?

    4

    a 2

    a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2)

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo saben cules son correctas y cules no?

    Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas.

    a) Cul es la medida de la altura del rectngulo enmarcado en rojo?

    altura =

    b) Escriban una expresin que represente la medida de la base de este rectngulo.

    base =

    c) Qu expresin resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base?

    altura base =

    Recuerden que:Para indicar que un nmero multiplica a una expresin se usan los parntesis: 5(b + 3) = 5(b + 3)

    4

    a + 2

    4(a + 2)

    Propsito de la actividad. Las actividades I y II dan elementos que permiten establecer que las expresiones 4(a + 2) y 4a + 8 s permiten calcular el rea del rectngulo. Aquellos alumnos que ya las haban identificado podrn constatar sus respuestas, y lo que no, tendrn oportunidad de corregirlas.

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  • 84 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Que los alumnos reconozcan la expresin 2(a + 2) + 2(a + 2) como una expresin algebraica que s permite calcular el rea del rectngulo.

    48

    secuencia 3ii. Realicen lo siguiente.

    a) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo verde oscuro:

    b) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo verde claro:

    c) Observen que el rea del rectngulo enmarcado en rojo es la suma del rea del rectngulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresin que represen-te el rea del rectngulo enmarcado en rojo a partir del rea de los rectngulos verde claro y verde oscuro:

    Comparen sus respuestas.

    iii. En la siguiente figura, la superficie del rectngulo enmarcado en rojo se dividi con una lnea horizontal.

    2

    a + 2

    2

    a) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo gris oscuro:

    b) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo gris claro:

    c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresin que represente el rea del rectngulo enmarcado en rojo:

    2(a + 2)

    2(a + 2)

    2(a + 2) + 2(a + 2)

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  • 85L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Que los alumnos ejerciten la sustitucin de valores en una expresin algebraica.

    Propsito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el rea de un rectngulo.

    Sugerencias didcticas. Permita que los alumnos exploren las diferentes formas en que se pueden dividir los rectngulos. Pdales que escriban las expresiones con las que se determinara el rea del rectngulo. Si es necesario recurdeles que para obtener el rea del rectngulo original hay que sumar el rea de todos los rectngulos en los que se dividi.

    Posibles dificultades. Probablemente algunos alumnos no sepan cmo usar las dos expresio-nes (de los incisos a y b) para calcular el rea del rectngulo enmarcado en rojo (inciso c). Anime primero a los alumnos para que comenten cmo resolvieron el inciso c); es probable que algunos hayan escrito (a + 2) 2 + (a + 2) 2, dgales que esta expresin es la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2) , pero que es mejor no utilizar el signo para evitar confusiones.

    Si an hay dificultades, puede decirles que la suma de las reas de los rectngulos gris oscuro y gris claro es igual al rea del rectngulo enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto con los alumnos la informacin del recuadro y pdales que regresen al apartado Consideremos lo siguiente para que revisen sus respuestas, y en caso de que sea necesario, las corrijan.

    49

    IIMATEMTICASIV. Dividan el rectngulo de abajo y usen esa divisin para encontrar otra expresin al-

    gebraica que represente su rea.

    a + 2

    4

    rea =

    Comparen sus respuestas y comenten la siguiente informacin.

    Existen varias expresiones algebraicas que representan el rea de un rectngulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2)representan su rea.

    V. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto vale la expresin 4(a + 2), si a = 3?

    b) Cunto vale la expresin 4a + 8, si a = 3?

    c) Cunto vale la expresin 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3?

    VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8y 2(a + 2)+2(a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna.

    a 4(a + 2) 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2)

    4 4(4+2)=4(6)=24

    4.5 4(4.5)+8=18+8=26

    5

    5.5

    6 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32

    4(4) + 8 = 16 + 8 = 24 2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) = 12 + 12 = 24

    4(4.5 + 2) = 4(11) = 44 2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)= 13 +13 = 26

    4(5 + 2) = 4(7) = 28 4(5) + 8 = 20 + 8 = 28 2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) =

    14 + 14 = 28

    4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30 2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)= 15 + 15 = 304(6 + 2) = 4(8) = 32 4(6) + 8 = 24 + 8 = 32

    Sugerencia didctica. Para mayor rapidez pida a las parejas que se organicen y que se dividan las columnas, pero que hagan los clculos paso a paso como en los ejemplos. Antes de que empiecen, usted puede revisar con todo el grupo alguno de los ejemplos ya resueltos, haga nfasis en que primero se resuelve la operacin que est indicada entre parntesis. Mientras los alumnos terminan, usted puede reproducir la tabla en el pizarrn para que posteriormente puedan compararse los resultados.

    MAT2 B1 S03 maestro.indd 85 6/2/07 11:11:42 PM

  • 86 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pida a algunos alumnos que completen la tabla en el pizarrn, escribiendo nicamente el resultado; en caso de que haya diferencias en algn resultado, pida al alumno que lo registr que escriba el desarrollo completo de las cuentas, para que el grupo pueda identificar si hubo algn error o no.

    Para el valor de 163.25, una vez que los alumnos hayan expresado su hiptesis, pdales que la verifiquen sustituyendo el valor de a en cada una de las expresiones. Para que esto sea ms rpido, unos alumnos pueden usar la primera expresin, otros la segunda y otros la tercera, y despus comparan sus resultados.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos constaten que la expresin 4a + 2 no sirve para calcular el rea del rectngulo, pues el valor que se obtiene con ella no coincide con el de todas las dems.

    Sugerencia didctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para responder a esta pregunta, invtelos a comparar los resultados que se obtienen con esta expresin, con los que se obtuvieron en la otra tabla con las dems expresiones. Una vez que se hayan dado cuenta de que es errnea, pdales que regresen al problema inicial y que revisen si la haban elegido como correcta o no. Tambin puede recuperar alguna de las ideas que los alumnos expresaron en el problema inicial respecto a si esta expresin era correcta o no.

    50

    secuencia 3Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten:

    Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan?

    Por ejemplo, coincidirn para a = 163.25?

    A lo que llegamosLas expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el rea del mismo rectngulo, por lo que se puede escribir:

    4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.

    Vi. Completen la siguiente tabla.

    a 4a + 2

    4

    4.5 4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20

    5

    5.5

    6

    La expresin 4a + 2 no representa el rea de un rectngulo de lados que miden 4 y

    (a + 2), por qu?

    Lo que aprendimos1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectngulo, con distintas divisiones de su

    superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresin algebraica que repre-sente su rea a partir de la divisin que se propone.

    b + 2

    3

    Expresin: 3(b+2)

    Sugerencia didctica. Comente al grupo que cuando se multiplica por 1 no es necesario escribirlo, por ejemplo, 1 b se escribe nicamente b. Esto debe considerarse particular-mente para el tercer caso.

    Una vez que los alumnos hayan concluido, pdales que elijan un valor para b y que lo sustituyan en las expresiones que elaboraron, para verificar que efectivamente obtienen el mismo resultado en todas ellas.

    MAT2 B1 S03 maestro.indd 86 6/2/07 11:11:46 PM

  • 87L ib ro para e l maest ro

    51

    IIMATEMTICAS

    2. Encuentren dos expresiones equivalentes que repre-sentan el rea del rectngulo gris oscuro a partir de la figura que se propone.

    Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algn otro valor que elijan.

    Expresin 1 Expresin 2

    c

    3

    3.5

    4

    4.5

    3. Dividan la figura de la derecha en rectngulos de me-nor rea y encuentren dos expresiones equivalentes que representen el rea de la figura completa.

    2

    b + 2

    1

    Expresin:

    b 2

    3

    Expresin:

    =

    Expresin 1 Expresin 2 c

    3

    2

    =

    a + 2

    a

    Incorporar al portafolios. Algunos alumnos podran creer que deben calcular el rea del rectngulo enmarcado en rojo. Aclreles que se trata del rectngulo gris oscuro; asmismo, si lo considera necesario, puede orientarlos sealando que (c2) representa la medida de la base del rectngulo gris oscuro.

    3c6 3c(23) 3(c2)

    a(a + 2) a 2 + 2a

    Sugerencia didctica: Si los alumnos tienen dificultades, usted puede sugerirles dividir la figura usando una lnea horizontal.

    Una vez que hayan escrito las expresiones, recurdeles que para simplificar la notacin se acostumbra escribir a 2 en lugar de a a.

    2(b + 2) + (b + 2)3b + 6 3b + 3(2)

    MAT2 B1 S03 maestro.indd 87 6/2/07 11:11:48 PM

  • 88 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Que los alumnos logren encontrar una expresin equivalente a la expresin 3(x+2).

    Respuesta.

    Propsito de la sesin. Obtener expresiones algebraicas equivalentes a otra usando el modelo geomtrico del rectngulo.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva individualmente.

    Propsito de la actividad: Introducir al alumno a las dificultades que tiene la obtencin de expresiones equivalentes.

    Posibles dificultades. Algunos alumnos podran requerir de la representacin del rectngulo para comprender mejor las expresiones equivalentes. Si es as, sugirales que intenten dibujar un rectngulo que les ayude.

    Sugerencia didctica. Pida a algunas parejas que presenten al grupo las expresiones equivalentes que escribieron. En caso de que algunos alumnos no estn de acuerdo con algunas de las respuestas, invtelos a que den sus argumentos. Si no logran identificar o corregir sus respuestas, en las siguientes actividades tendrn la oportunidad de hacerlo.

    52

    secuencia 3

    MS EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn la sesin 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un rectngulo. En esta sesin aprenders a obtener expresiones equivalentes a partir de otra dada.

    Consideremos lo siguientePara cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresin equivalente.

    a) 3(x+2) = b) 2(2x + 4) =

    Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrarlas.

    Manos a la obrai. Dibujen un rectngulo cuya rea se represente con la expresin 3(x+2)

    SESIN 2

    Dividan la superficie del rectngulo anterior en varios rectngulos pequeos. Encuentren las expresiones que corresponden al rea de cada uno de los rectngulos pequeos y antenlas:

    3(x+2) =

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo dividieron la superficie del rectngulo grande y cmo encontraron el rea de cada uno de los rectngulos pequeos.

    Expresin Rectngulo

    3(x+2)

    3x+6

    3

    x 2

    Propsito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el rea de un rectngulo.

    MAT2 B1 S03 maestro.indd 88 6/2/07 11:11:50 PM

  • 89L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Si los alumnos presentan dificultades para resolver, pdales que primero intenten estimar las medidas de los segmentos marcados usando expresiones algebraicas.

    53

    IIMATEMTICASII. Dibujen un rectngulo cuya rea se represente con la expresin 2(2x + 4), divdanlo

    en rectngulos ms pequeos y encuentren sus reas.

    Expresin Rectngulo

    2(2x + 4)

    2(2x + 4) =

    Comparen sus respuestas y comenten: son equivalentes las expresiones que obtuvieron? Por qu?

    III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresin equivalente a x 2 + 2x.

    x 2 2x

    x 2 + 2x =

    Posibles dificultades. Esta es la primera vez que se estudia una expresin con coeficiente distinto de 1 en la literal, los alumnos no conocen un rectngulo que sirva para ello, sin embargo se espera que puedan lograrlo apoyndose en su experiencia adquirida con la expresin 3(x + 2).

    Respuesta.

    x(x+2)

    x

    2x

    2

    x x 4

    4x + 8

    MAT2 B1 S03 maestro.indd 89 6/2/07 11:11:52 PM

  • 90 L ib ro para e l maest ro

    Descripcin del video. El video formaliza los conceptos vistos a lo largo de la secuencia en relacin con las expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geomtricos. Se utilizan los recursos visuales para mostrar las equivalencias algebraica y geomtricamente. Por tal razn se recomienda su uso al final de la secuencia.

    54

    secuencia 3

    A lo que llegamosMs expresiones equivalentes

    Cuando se quiere encontrar una expresin equivalente a otra dada, puede ser til cons-truir un rectngulo cuya rea se represente con la expresin. Por ejemplo, para la expre-sin dada 3(2x + 1) se puede construir un rectngulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base:

    x x 1

    1

    1

    1

    Dividiendo este rectngulo en piezas de menor rea se puede ver que la expresin 6x+3tambin sirve para calcular su rea, y por lo tanto es equivalente a la expresin 3(2x+1).

    Lo que aprendimos1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresin equivalente a

    sta.

    a) 3(2x+3) = b) x(2x+4) =

    2. Para cada uno de los siguientes rectngulos anota las medidas de sus lados en los es-pacios marcados, y despus usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes que representen su rea.

    a)

    5a 15

    = 5a+15 5(a+3)

    5

    3a

    6x+9 2x 2+4x

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  • 91L ib ro para e l maest ro

    Incorporar al portafolios. Si lo considera necesario, sugiera a los alumnos calcular el rea de cada pieza y luego sumar todas las reas.

    55

    IIMATEMTICASb)

    a 2 4a

    =

    3. Aydate de la siguiente figura para encontrar una expresin equivalente a la expresin

    (b + 1)(b + 2) =

    b 1

    b

    1

    1

    Para saber msSobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geomtricosconsulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx Ruta: lgebra Una embarrada de lgebra Binomio al cuadrado[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora(PUEMAC), UNAM.

    a 2+4a a(a+4)

    a

    4a

    b 2+3b+2

    MAT2 B1 S03 maestro.indd 91 6/2/07 11:11:57 PM

  • 92 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posicin relativa de dos rectas en el plano y los ngulos que se forman.

    Propsito de la sesin. Identificar a los ngulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ngulos.Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente y que se organicen momentos para comentarios grupales.

    Descripcin del video. Se hace un repaso histrico de la medicin de ngulos y el uso del sistema sexagesimal. Se pone nfasis en la asociacin que tiene la medicin de los ngulos con la medicin del tiempo. Se dan hiptesis de por qu la circunferencia est dividida en 360 grados.

    Sugerencia didctica. Comente con los estudiantes las caractersticas de cada uno de los ngulos mostrados. Por ejemplo, cules son los lados en cada uno?, cul es la direccin del giro?, cul es el ngulo es mayor? cul es el ngulo menor?

    Posibles dificultades. Para resolver el problema, los alumnos necesariamente tienen que utilizar el transportador. Pueden presentar dificultades o errores como los siguientes:

    Colocar el transportador en posicin incorrecta.

    Confundir el sentido del giro y tomar medidas que no corresponden (sobre todo con los transportadores semicirculares).

    Otra dificultad puede ser interpretar mal las instrucciones. Usted puede ayudarlos a compren-derlas preguntando: alguien ha entendido de qu se trata el problema? Cul es el punto de partida? Hacia qu direccin debe mirar la persona en el punto de partida? Y luego hacia adnde gira?, etctera. Debe tener cuidado en no mostrarles en este momento la solucin, sino nicamente ayudarlos en caso de que tengan dudas con algunas instrucciones. Lo interesante ser ver cmo colocan el transportador, cmo miden los ngulos y el resultado que obtienen finalmente.

    56

    secuencia 4

    En esta secuencia determinars la medida de ngulos usando tu transportador, y deducirs algunas medidas sin usarlo.

    MEDIDAS DE NGULOSPara empezar El grado como unidad de medida

    La regularidad de los fenmenos naturales y astronmicos interes a hombres de todos los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilnica, estimaron la duracin del ao en 360 das. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra, dividieron en 360 partes la trayectoria en la que vean moverse al Sol, haciendo corres-ponder a cada parte un da y una noche. Es probable que de esta divisin se derive la divisin de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.

    Los siguientes son algunos ngulos que encontrars frecuentemente en tus secuencias de geometra. Observa sus medidas y sus nombres.

    ngulos

    SESIN 1

    90

    180

    270

    360

    ngulo recto ngulo llano ngulo entrante

    Son los ngulos que miden ms de 180

    y menos de 360

    ngulo perigonal

    Consideremos lo siguienteEn el bal de su pap, Jaime encontr un viejo pergamino en el que se indica cmo y dnde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al te-soro estaban claras, pero una mancha de agua borr el mapa. Sigue las indicaciones y aydale a Jaime a reproducir el mapa. Supn que un paso es igual a un centmetro.

    EjeForma, espacio y medida.

    TemaFormas geomtricas.

    Antecedentes

    Desde la escuela primaria los alumnos han trabajado con ngulos: los identifican, los miden mediante diversos recursos, y los usan como criterio para caracterizar determinadas figuras. En el primer grado de la secundaria los ngulos fueron un auxiliar importante para el estudio de ciertas nociones, como la simetra y la bisectriz, as como para la caracterizacin de los polgonos regulares. En este grado se pretende que los alumnos formalicen sus conocimientos y que a partir de ellos, elaboren deducciones sencillas que les permitan resolver situaciones en las que tienen que calcular la medida de un ngulo. As mismo, se promueve la habilidad para medir ngulos utilizando el transportador.

    Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ngulos,

    utilizando el grado como unidad de medida.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    Medidas de ngulos Identificar a los ngulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ngulos.

    Video El grado como unidad de medida

    Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    3

    2

    ngulos internos de tringulos Descubrir propiedades de los tringulos a partir de la medicin de ngulos. Deducir medidas de ngulos.

    Interactivo

    3

    Deduccin de medidas de ngulos Deducir la medida de ngulos a partir de las caractersticas y propiedades de las figuras. Hacer generalizaciones sobre medidas de ngulos a partir de casos particulares.

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 92 6/2/07 11:12:37 PM

  • 93L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

    Sugerencias didcticas. El interactivo presenta un transportador que por su tamao y fcil manejo puede ayudar a mostrar la manera correcta de medir los ngulos a todo el grupo. Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrn a medir los ngulos presentados en el interactivo.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos reflexionen sobre el uso del transportador para medir ngulos.

    Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el transportador est mal colocado.

    57

    IIMATEMTICAS

    Comparen sus mapas y comenten cmo hicieron para reconstruirlos.

    Manos a la obra I. Encierra con un crculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de ma-

    nera correcta para medir el ngulo.

    Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ah encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60 al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y sintate viendo al oeste. Gira 150 al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre est enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas.

    1

    4

    2 3

    5

    3

    60

    150

    estaca 1

    4estaca 2

    cofre

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 93 6/2/07 11:12:41 PM

  • 94 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos argumenten por qu consideran que unas respuestas son correctas y otras incorrec-tas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado una de las errneas; invtelos a comentar las dificultades que tuvieron al utilizar el transpor-tador en el problema inicial.

    Respuesta. La medicin no es correcta, pues se est haciendo una lectura errnea en el transportador.

    Respuestas. De izquierda a derecha, el primer ngulo no mide 60, y la longitud del lado debera ser de 3 cm; el segundo ngulo s cumple con las indicaciones; en el tercero el giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto ngulo el punto de partida est mal orientado, pues tendra que estar dirigido hacia el este, no al oeste.

    3

    Sugerencia didctica. Es probable que algunos alumnos hayan cometido errores similares a los que se presentan, por ello es importante que expresen sus argumentos sobre cul ngulo cumple con las condiciones establecidas, de esa manera ser posible que quienes hayan tenido errores o dudas, puedan corregirlos.

    Sugerencia didctica. Cercirese de que todos los alumnos tengan clara la forma correcta de medir ngulos usando el transportador. Para ello, dibuje un ngulo en el pizarrn y, si cuenta con un juego de geometra grande, pida a un alumno que pase a mostrar cmo se mide; tambin pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier ngulo que ellos tracen.

    58

    secuencia 4

    monolito

    estaca 1

    monolito

    estaca 1

    monolito

    estaca 1

    monolito

    estaca 1

    Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del trans-portador en las ilustraciones. Comenten en la ilustracin de abajo se est midiendo de manera correcta el ngulo?

    ii. Cul de los siguientes ngulos cumple con las indicaciones del mapa para determi-nar el lugar de la primera estaca?

    Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ngulos. Veri-fiquen sus mapas. Si es necesario, hganlos otra vez.

    A lo que llegamosAl medir un ngulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vrtice del ngulo. La marca que corresponde a 0 debe coincidir con un lado del ngulo.

    115115

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  • 95L ib ro para e l maest ro

    Respuesta. Otra forma es midiendo el complemento de 360 del ngulo que se quiere medir.

    Propsito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

    Sugerencias didcticas. Pida a los alumnos que pasen al pizarrn a medir los diferentes ngulos que presenta el interactivo.

    Sugerencia didctica. Generalmente los estudiantes cuentan con transportadores de 180, por lo que es importante apoyarlos para medir un ngulo cuya medida es mayor que 180.

    59

    IIMATEMTICASIII. A continuacin se presenta una forma de medir ngulos mayores de 180.

    D

    E

    F

    Prolonga uno de los lados del ngulo marcado de forma que la prolongacin lo divi-da en dos ngulos.

    a) Cunto mide cada uno de los ngulos que se formaron? y

    b) Cunto mide el ngulo marcado originalmente?

    Comparen sus respuestas y comenten: habr alguna otra manera de medir un ngulo mayor que 180? Cul?

    IV. Recuerda que un ngulo est formado por dos semirrectas que tienen el mismo pun-to inicial. A las semirrectas se les llama lados del ngulo. Al punto inicial se le llama vrtice.

    ladovrtice

    lado

    180 100

    280

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 95 6/2/07 11:12:48 PM

  • 96 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos para que expliciten que la longitud de los lados de un ngulo no influye en la medida de ste.

    60

    secuencia 4Anota en los cuadritos los nmeros del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los si-guientes ngulos.

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) En qu se fijaron para comparar los ngulos?

    b) Cunto mide cada uno de los ngulos?

    A lo que llegamosLa medida de un ngulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ngulo azul y el ngulo verde miden 100.

    1 4 2

    5 3

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 96 6/2/07 11:12:52 PM

  • 97L ib ro para e l maest ro

    Respuesta. El estudiante que est en medio de todos los dems.

    61

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vrtice.

    Construye los ngulos que se piden, utiliza tu transportador.

    2. Usa tu transportador y determina cunto miden los ngulos marcados.

    3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para observarla mientras escuchaban la explicacin del gua. Las figuras muestran la for-ma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica quin tiene el mayor ngulo.

    Cul de todos tiene el mayor ngulo para ver la pintura completa?

    E

    120

    Q

    210

    R

    70

    Incorporar al portafolios. Considere el primero y el segundo problema para el portafolios. Para el primer problema hay dos posibilidades correctas para cada ngulo, de acuerdo con la direccin que los alumnos decidan darle al giro.

    En caso de que los alumnos muestren errores en la resolucin de estos problemas, revise con ellos nuevamente la forma correcta en que se miden los ngulos usando el transportador (apartado A lo que llegamos), y pdales que midan y construyan ngulos de manera similar a las actividades de este apartado.

    Respuestas. El ngulo morado mide 150 y el azul 100.

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 97 6/2/07 11:12:54 PM

  • 98 L ib ro para e l maest ro

    Propsitos de la sesin. Descubrir propiedades de los tringulos a partir de la medicin de ngulos. Deducir medidas de ngulos.

    Organizacin del grupo. Los alumnos pueden resolver individualmente y comparar sus respuestas con todo el grupo.

    Sugerencia didctica. Antes de que los alumnos traten de construir los tringulos, pdales que intenten anticipar una respuesta. Es posible que la mayora piense que las tres opciones pueden ser las medidas de los ngulos de un tringulo, pues es probable que no sepan o que no recuerden que la suma de los ngulos internos de un tringulo debe ser de 180. En caso de que algn alumno s utilice ese conocimiento para poder anticipar en qu caso s es posible construir un tringulo, invtelo a que comente al grupo sus argumentos. En este momento evite decir quin tiene la razn, invtelos a que construyan los tringulos para que verifiquen sus respuestas.

    Respuesta. La terna del inciso c) es la que funciona para construir el tringulo.

    62

    secuencia 4

    NGULOS INTERNOS DE TRINGULOSPara empezarUn ngulo se puede representar por medio de una letra mayscula asignada a su vrtice. Por ejemplo, el siguiente ngulo se puede representar como D.

    D

    Consideremos lo siguienteCules de las siguientes ternas son las medidas de los ngulos internos de un tringulo? Construye el tringulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados.

    a) 30, 60, 70

    a B

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    b) 50, 70, 120

    a B

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    SESIN 2

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 98 6/2/07 11:12:56 PM

  • 99L ib ro para e l maest ro

    63

    IIMATEMTICASc) 50, 60, 70

    A B

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    Comparen sus respuestas y comenten cmo construyeron sus tringulos.

    Manos a la obraI. La siguiente figura muestra una construccin incompleta en la que se intenta cons-

    truir el tringulo con la terna de medidas 30, 60 y 70 y con el segmento NM como uno de sus lados. Completa la construccin.

    a) Con tu transportador mide el tercer ngulo interno de este tringulo.

    Cunto mide?

    b) Cunto suman las medidas de los ngulos internos de este tringulo?

    Comparen sus respuestas.

    II. En la siguiente figura se intenta construir un trin-gulo con la terna 50, 70 y 120 como medidas de sus ngulos internos y con el segmento QRcomo uno de sus lados. Completa la construccin.

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    N M

    7030

    Q R

    120

    Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medidas de los ngulos internos son caractersticas importantes para determinar la posibilidad de que un tringulo exista o no. Gradualmente irn identificando que la suma de los ngulos internos de un tringulo debe ser de 180.

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 99 6/2/07 11:12:58 PM

  • 100 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Es posible que los alumnos obtengan respuestas cercanas a 180, usted puede aprovechar para que los alumnos reflexionen sobre la posibilidad de que haya errores cada vez que hacemos mediciones, y que esos errores son aceptables siempre y cuando las diferencias sean mnimas.

    Sugerencia didctica. Aproveche la diversidad de tringulos que los alumnos construyeron para que concluyan que en todos los tringulos la suma de las medidas de sus ngulos internos es igual a 180. Es recomendable trabajar con ellos esta conjetura antes de leer el apartado A lo que llegamos.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos observen el ngulo que se forma al juntar los tres ngulos internos de un tringulo, para que con ello se pueda mostrar que la suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180.

    64

    secuencia 4Comparen sus construcciones y comenten:

    a) Si el ngulo en el vrtice Q mide 50, cunto mide el tercer ngulo interno?

    b) Se puede construir un tringulo con dos ngulos internos que midan 70 y 120?Por qu?

    iii. Dibuja un tringulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ngulos internos de un color distinto. Corta el tringulo en tres partes de manera que en cada parte quede uno de los ngulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vrtices en un punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes y que no dejen huecos entre ellas.

    Cunto mide el ngulo que se obtiene al pegar los tres ngulos del tringulo que dibujaste?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Creen que si dibujan otro tringulo, la medida del ngulo formado al pegar sus tres ngulos internos sea la misma? Por qu?

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  • 101L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Practicar el uso del transportador, comprobar que la suma de los ngulos interiores de los tringulos es 180.

    Deducir las medidas de los ngulos interiores de otros tringulos.

    Sugerencias didcticas. Pida a algunos alumnos que midan los ngulos interiores de los tringulos presentados en el interactivo, mientras los dems llenan la tabla que se muestra. Se pretende que los alumnos concluyan que la suma de los ngulos interiores del tringulo es 180. Con esta informacin pida a los alumnos que llenen las tablas que se presentan en el interactivo.

    65

    IIMATEMTICASIV. Mide los ngulos internos de los siguientes tringulos. Anota las medidas en la tabla.

    P

    Q

    R

    X

    WY

    A

    C

    B

    Tringulo ngulo ngulo ngulo

    Suma de las medidas de los

    tres ngulos internos

    ABC A=

    WXY W=

    PQR

    HIJ J=

    A lo que llegamosLa suma de las medidas de los ngulos internos de cualquier tringulo es igual a 180.

    H

    I

    J

    Posibles errores. Es probable que los nmeros que anoten en la quinta columna no sean exactamente 180, pues son posibles algunos errores en la medicin.

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 101 6/2/07 11:13:04 PM

  • 102 L ib ro para e l maest ro

    66

    secuencia 4

    Lo que aprendimos1. Los tringulos equilateros tienen sus tres ngulos internos iguales. Sin usar transportador, contesta la pregunta.

    Cunto mide cada uno de los ngulos internos de

    cualquier tringulo equiltero?

    DEDUccIN DE MEDIDAS DE NGULOSPara empezarSabas que en todos los tringulos issceles dos de sus ngulos internos son iguales?

    Verifica esta propiedad en los siguientes trin-gulos issceles y pinta del mismo color los n-gulos que sean iguales.

    SESIN 3

    Recuerda que:

    Se llaman tringulos issceles

    los tringulos que tienen

    dos lados iguales.

    A continuacin se presentan varios problemas sobre medidas de ngulos.

    Recuerda que:

    Se llaman tringulos

    equilteros aquellos

    que tienen sus tres

    lados iguales.

    Sugerencia didctica. A partir de los resultados obtenidos anteriormente, comente con los alumnos cmo pueden deducir la medida de los ngulos internos de un tringulo equiltero (la medida es de 60).

    Propsitos de la sesin. Deducir la medida de ngulos a partir de las caractersticas y propiedades de las figuras.

    Hacer generalizaciones sobre medidas de ngulos, a partir de casos particulares.

    Organizacin del grupo. Los alumnos pueden resolver de manera individual y comparar sus resultados con todo el grupo.

    Sugerencia didctica. El tringulo rojo es un tringulo equiltero; comente con los alumnos que el tringulo equiltero cumple con la propiedad de los tringulos issceles, pues dos de sus ngulos son iguales. Los tringulos equilteros son de la familia de los issceles.

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 102 6/2/07 11:13:06 PM

  • 103L ib ro para e l maest ro

    67

    IIMATEMTICASLo que aprendimosOtra forma de representar ngulos es con tres letras maysculas, una para el vrtice y dos para un punto de cada lado del ngulo. As, el ngulo

    S

    R

    T

    se representar como TSR. Observen que la letra correspondiente al vrtice se coloca en medio de las otras dos.

    1. El pentgono regular est inscrito en un crculo de centro O y radio OA.

    O

    AB

    C

    Sin utilizar instrumentos de medicin responde: cunto mide ABC?

    Comparen y comenten sus respuestas.

    Responde las siguientes preguntas.

    a) Cunto mide el ngulo central del pentgono?

    b) Qu tipo de tringulo es OAB?

    c) Cunto miden OAB y OBA?

    d) OBA = OBC por qu?

    Respuesta. 180

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 103 6/2/07 11:13:12 PM

  • 104 L ib ro para e l maest ro

    Incorporar al portafolios. Elija el problema 3 o el 4 para la evaluacin. Aclare a los alumnos que no deben utilizar el transportador para resolver los siguientes problemas, pues pueden hallar el valor de los ngulos estableciendo relaciones entre las caractersticas de las figuras y los conocimientos que han elaborado durante esta sesin.

    Respuestas.

    Hexgono: El ngulo mide 120. El hexgono puede dividirse en 6 tringulos. La medida del ngulo central, y de los otros ngulos, es de 60 por tratarse de tringulos equilteros.

    Pentgono: El ngulo mide 150, pues se forma con la suma de los 90 del ngulo del rectngulo y los 60 del tringulo.

    Sugerencia didctica. Es importante que estos ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de medicin.

    68

    secuencia 42. En los siguientes tringulos issceles se marc la medida del ngulo formado por los

    lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ngulos faltantes y antalas en el tringulo correspondiente.

    3. Determina el valor de los ngulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que utilizaste para determinar el valor de cada uno.

    Hexgono regularPentgono formado

    por un rectngulo y un tringulo equiltero

    54 80 67.5 33.5 40

    113

    72

    100

    45

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 104 6/2/07 11:13:14 PM

  • 105L ib ro para e l maest ro

    69

    IIMATEMTICAS4. Sin utilizar instrumentos de medicin, determina la medida de los ngulos marcados

    con rojo en las ilustraciones.

    50

    T

    S

    RN

    M O

    RST = MNO =

    Para saber msSobre ngulos y cmo interactuar con ellos consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htmRuta 1: El transportador de ngulosRuta 2: ngulos complementarios y suplementarios[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    Respuesta. Mide 130. En caso de que algn alumno ponga una medida menor, es probable que considere, de manera errnea, que como la representacin del ngulo rojo es menor que la del ngulo gris, entonces el ngulo debe ser ms pequeo. En ese caso, aclare a los alumnos que ese no es un buen criterio para comparar ngulos, en cambio, hay informacin pertinente en la que pueden apoyarse para determinar la medida del ngulo, en este caso, la medida del otro ngulo: 18050=130.

    MAT2 B1 S04 maestro.indd 105 6/2/07 11:13:16 PM

  • 106 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posicin relativa de dos rectas en el plano y los ngulos que se forman.

    Propsito de la sesin. Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y comps y poder definirlas correctamente.

    Organizacin del grupo. Se sugiere trabajar en parejas todas las actividades de la sesin, y llevar a cabo intercambios de respuestas y comentarios con todo el grupo.

    Materiales. Instrumentos geomtricos: regla, escuadras, transportador y comps.

    Propsito de la actividad. El estudio de las rectas paralelas inicia en tercer grado de educacin primaria, en donde una forma de trazar rectas paralelas es el doblado de papel. Utilizar nuevamente ese recurso es una manera familiar y tangible de abordar el estudio de una nocin que ser ampliada y enriquecida en el transcurso de esta secuencia.

    Posible dificultad. No saber medir adecuada-mente la distancia entre un punto y una recta, por lo que es importante que les recomiende leer con atencin la nota del Recuerden que. Esta idea la practicaron en primer grado (al medir la distancia de puntos simtricos al eje de simetra y al medir alguna de las alturas de un tringulo). Se espera que la escala no represente una dificultad.

    Posibles procedimientos:Marcar los puntos al tanteo, aproximando los 2 centmetros.Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin conservar la perpendicularidad. Pueden darse cuenta del error al tratar de trazar una recta, pues los puntos no quedarn alineados.Marcar los puntos usando la escuadra para medir los 2 cm de cada punto a la recta.Para los alumnos que tienen una idea clara de que las paralelas son rectas que conservan la misma distancia entre s, es probable que tracen la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este procedimiento es el ptimo.

    70

    secuencia 5

    Cmo se llaman las rectas que no se cortan?, y las que s se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ngulos, cmo se relacionan sus medidas?

    Este tipo de preguntas son las que podrs contestar cuando termines de estudiar esta secuencia.

    Rectas que no se coRtanPara empezarDesde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos, lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Despus pega la hoja en tu cuaderno.

    sesin 1

    Rectas y ngulos

    Recuerden que:

    La distancia de un punto a una

    recta se mide sobre la perpendicula

    r

    del punto a la recta.

    Observen:

    Consideren que la recta roja representa una carretera y que 1 cm representa 1 km. La casa de Lety est situada a 2 km de la carretera del lado donde est el punto azul, seala con puntos cinco lugares donde podra estar la casa de Lety.

    Consideremos lo siguiente

    EjeForma, espacio y medida.

    TemaFormas geomtricas.

    Antecedentes

    Los alumnos han trabajado con las nociones de ngulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde la escuela primaria y en el primer grado de la secundaria. En ese ltimo grado trazaron perpendiculares y paralelas y midieron ngulos para resolver situaciones relacionadas con las nociones de simetra, mediatriz y bisectriz, as como para construir diversas figuras geomtricas. Se espera que en el segundo grado, adems de reconocer esos tipos de rectas y las clases de ngulos, identifiquen y describan sus propiedades, establezcan relaciones entre ellos y elaboren argumentos para validar tales propiedades y relaciones; asimismo, que sean capaces de aplicar esas nociones para resolver ciertos problemas.

    Propsitos de la secuencia Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar

    definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ngulos opuestos por el vrtice y adyacentes.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    Rectas que no se cortan Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y comps y poder definirlas correctamente.

    Interactivo Aula de medio

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    3

    2

    Rectas que se cortan Profundizar en el estudio de las rectas perpendicu-lares al aprender a trazarlas con regla y comps, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

    Interactivo

    3

    Relaciones entre ngulos Identificar y definir a los ngulos opuestos por el vrtice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ngulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

    Video Parejas de rectas

    Interactivo

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 106 6/2/07 11:14:18 PM

  • 107L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Definir objetos geomtricos y comunicar a otros sus propieda-des es una habilidad que tiene que ver con la adquisicin y el desarrollo de un lenguaje matemtico. Con esta actividad es posible identificar el grado de comprensin que tienen del objeto que estn definiendo; al mismo tiempo, los alumnos tienen la oportunidad de expresar por escrito una idea. No se espera que los alumnos den una respuesta totalmente correcta o completa. Algunas respuestas podran ser: Son dos lneas rectas que no se juntan, Rectas que no se cortan, Rectas que estn a la misma distancia.

    2

    Sugerencia didctica. Si el tiempo se lo permite, pida a los alumnos que primero comparen en parejas, para que tengan la oportunidad de corregir o enriquecer su definicin. Posteriormente, pida a cada pareja que escriba en el pizarrn su definicin para que el grupo las analice. Para orientar la confronta-cin grupal, es importante que destaque:

    Las diferencias ms relevantes entre las definiciones formuladas por los alumnos.

    La idea de que todos los puntos de la recta paralela a la recta roja equidistan de ella.

    Si los alumnos consideran que alguna definicin es incorrecta, invtelos a que den sus argumen-tos; puede ayudarles planteando un contraejem-plo para que despus ellos tambin lo hagan. Esto es un buen inicio de la argumentacin y sienta las bases para que, poco a poco, los alumnos desarrollen el pensamiento deductivo que ocuparn posteriormente en las demostra-ciones geomtricas.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos consideren la posibilidad de que dos rectas (representadas por segmentos) que aparente-mente son paralelas, s llegan a cortarse al prolongar los segmentos (como sucede en los casos 2 y 4). Es decir, no basta con que vean que los dos segmentos no se cortan, deben considerar si sus prolongaciones tampoco lo harn. El propsito de hacerlo sobre una cuadrcula tiene que ver con la idea de que rectas con igual pendiente son paralelas (esto lo estudiarn en el bloque 3 y en tercer grado lo retomarn al estudiar la pendiente como razn de cambio). Recuerde a los alumnos que las rectas se pueden prolongar en ambos sentidos.

    71

    IIMATEMTICASSi localizaron bien los cinco puntos podrn unirlos con una lnea recta, tracen esa lnea recta.

    a) Cmo son entre s la recta roja y la que acaban de trazar?

    b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas.

    y

    c) Escriban una definicin para rectas paralelas.

    Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compaeros y, entre todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta tra-ten de dar un ejemplo de por qu la consideran incorrecta.

    Manos a la obraI. En cada caso marquen con si las rectas representadas son paralelas.

    II. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P.

    1 2 3

    4 5 6

    P

    Propsito de la actividad. Que los alumnos describan los pasos que se siguieron para trazar una paralela que pasa por el punto P a partir del anlisis de la construccin ya realizada.

    Es importante que los alumnos practiquen continuamente trazos geomtricos porque con ello profundizan en el estudio de las caractersticas y propiedades geomtricas de las figuras. Por otra parte, adems de desarrollar su habilidad para interpretar instrucciones, tambin es importante que aprendan a describir los pasos de una construccin, con la finalidad de que sean competentes para comunicar ideas matemticas.

    Sugerencia didctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo ms clara posible.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 107 6/2/07 11:14:20 PM

  • 108 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Explorar paso a paso la construccin de una recta paralela a otra que pase por un punto dado.

    Explorar las caractersticas de las rectas paralelas.

    Sugerencias didcticas. Puede ocupar el interactivo para verificar los pasos propuestos por los alumnos. Adems, al mover algunos de los elementos de la construccin los alumnos pueden explorar y generalizar caractersticas de las rectas paralelas.

    En la actividad III del libro del alumno el interactivo podra servir para que los alumnos exploren cules de las definiciones de rectas paralelas son correctas, o para mostrar contraejemplos en los que no se cumpla alguna de las caractersticas dadas.

    3Propsito de la actividad. Aun cuando los alumnos han trabajado desde la primaria con las rectas paralelas, en esta actividad se espera que sean capaces de expresar, por s mismos, lo que entienden de esa nocin. Recuerde que es importante que argumenten sus respuestas y que sean capaces de expresar contrajemplos de las definiciones que consideran incorrectas.

    Respuestas: Los incisos b) y c) son los correctos.

    Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos en la elaboracin de argumentos con preguntas y con ideas que les permitan identificar errores. Por ejemplo, es probable que algunos alumnos elijan el inciso d), este error puede ser resultado de identificar a los lados opuestos de los paralelogramos como rectas paralelas, por lo que se han creado la imagen de que las paralelas son del mismo tamao; en este caso es importante comentar con ellos lo siguiente:

    La rectas no tienen medida porque se pueden prolongar, en ambos sentidos, todo lo que deseemos.

    Aun cuando los segmentos paralelos s tienen medida, sta no tiene por qu ser del mismo tamao; por ejemplo, en un trapecio la pareja de lados paralelos siempre tiene medidas diferentes.

    2Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus alumnos. Pida que comparen esta definicin con la que ellos escribieron en el inciso c) del Consideremos lo siguiente, y que agreguen o corrijan a su definicin lo que crean necesario.

    72

    secuencia 5La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y com-ps, se traz una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra.

    Analicen la figura y

    a) Reprodzcanla en su cuaderno.

    b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

    iii. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrec-tas, busquen un ejemplo para mostrar por qu lo son.

    a) Son rectas horizontales.

    b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre s.

    c) Son rectas que no se cortan.

    d) Son rectas que tienen la misma medida.

    A lo que llegamos

    Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.

    Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.

    P

    Oc

    P'

    O'c'

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 108 6/2/07 11:14:25 PM

  • 109L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. La solucin de este problema requiere saber un hecho importante: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre s. La forma en que se construyen paralelas con doblado de papel se basa en ese conocimiento. Si nota que los alumnos tienen dificultades, invtelos a que analicen la secuencia de doblado de papel que hicieron al inicio de esta sesin. Tambin puede ayudarlos pidiendo que observen los bordes de la hoja de su libro, que vean que los lados opuestos son paralelos y los contiguos son perpendiculares, y que pueden aprovechar esta perpendicularidad para obtener paralelas (el transportador sirve para trazar los ngulos de 90 ).

    Sugerencia didctica. Al igual que en el problema inicial, en ste ya se establece un punto por donde debe pasar la recta. Dado que no se especifica qu instrumentos geomtricos deben emplear, los alumnos tienen al menos tres opciones para hacer el trazo: usando dos escuadras, la regla y el transportador o la regla y el comps, siguiendo el procedimiento ilustrado en el apartado Manos a la obra.

    Propsito de la sesin: Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y comps, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesin y hagan una confrontacin grupal.

    Materiales. Instrumentos geomtricos.

    73

    IIMATEMTICAS

    sesin 2

    Lo que aprendimos1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando slo regla y transportador. Cuan-

    do lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no estn de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al inicio de la sesin, te ayudar a resolver este problema).

    2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta H que pase por el punto M.

    ReCTAs QUe se CORTAnPara empezarTambin las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el do-blado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca las rectas perpendiculares y despus pega la hoja en tu cuaderno.

    M

    H

    H

    M

    Propsito de la actividad. En la primaria los alumnos iniciaron el estudio de las rectas perpendiculares tambin usando el doblado de papel. En esta actividad se recupera ese procedimiento como punto de partida para despus arribar a un procedimiento ms formal.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 109 6/2/07 11:14:28 PM

  • 110 L ib ro para e l maest ro

    Posibles procedimientos. Aun cuando no se menciona el uso de instrumentos geomtricos, hgales notar que trazar una recta no puede hacerse a mano alzada, es decir, sin ningn instrumento; es importante que al menos usen la regla. Posiblemente los alumnos relacionen las rectas perpendiculares con la igualdad de los cuatro ngulos y traten de trazarlas. Una forma de hacerlo, aunque difcil, es al tanteo, utilizando nicamente la regla. Otras formas de hacerlo con instrumentos geomtricos, son:

    Usando las dos escuadras (lo hicieron en primer grado).

    Con el transportador y la regla.

    Para el segundo caso (ngulos que no son todos iguales), es suficiente la utilizacin de la regla.

    Sugerencia didctica. Al igual que en la comparacin de respuestas de la sesin 1, es importante que invite a los alumnos a dar argumentos y contraejemplos para los casos en que consideren que una definicin es incorrecta. Usted puede apoyarlos enfatizando el hecho de que si los cuatro ngulos deben medir lo mismo, la medida ser de 90, es decir, deben ser cuatro ngulos rectos.

    74

    secuencia 5

    Consideremos lo siguienteEn el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ngulos iguales y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ngulos que no sean todos iguales.

    a) Cunto mide cada uno de los ngulos del primer recuadro?

    b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos

    rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que

    representen rectas perpendiculares.

    c) Escriban una definicin para rectas perpendiculares.

    d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman

    oblicuas. Escriban una definicin para rectas oblicuas.

    Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las de sus compaeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qu lo es.

    Manos a la obrai. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas.

    1 2 3

    4 5 6

    perpendiculares oblicuas oblicuas

    perpendiculares perpendiculares oblicuas

    Posibles procedimientos. Para determinar si las rectas son perpendiculares, es importante que los alumnos identifiquen si los ngulos que forman las rectas son de 90. Para ello, es probable que recurran a procedimientos empricos, como usar el transportador para medir los ngulos o la escuadra para ver si los ngulos son rectos; tambin es posible que se apoyen en deducciones lgicas; por ejemplo, en el caso nmero 4 pueden observar que al prolongar las rectas stas coincidirn con los lados de un cuadrado que, como ya saben, sus ngulos son rectos.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 110 6/2/07 11:14:30 PM

  • 111L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Mostrar paso a paso la construccin de una recta perpendicular a otra que pase por un punto dado.

    Sugerencias didcticas. El interactivo, a diferencia del impreso, muestra paso a paso los trazos realizados para obtener las rectas perpendiculares; puede mostrarlo a los alumnos y que ellos vayan escribiendo qu es lo que observan, posteriormente pueden mover los elementos que conforman la construccin para explorar que si efectivamente las indicaciones que escribieron se cumplen siempre o en qu casos no.

    En la actividad III del libro del alumno el interactivo parmite a los alumnos explorar cules de las definiciones de rectas perpendicu-lares son correctas, tambin permite mostrar contraejemplos en los que no se cumple alguna de las caractersticas dadas.

    Propsito de la actividad. Al igual que en el trazo de una paralela a una recta, en esta actividad se pretende que dado el punto de partida y el resultado final, los alumnos puedan reconstruir y comunicar los pasos que se siguieron para trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto sobre ella.

    Sugerencia didctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo ms clara posible.

    75

    IIMATEMTICASII. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta

    dada.

    La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y comps.

    Analicen la figura y

    a) Reprodzcanla en su cuaderno.

    b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

    III. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qu las consideran in-correctas.

    Rectas perpendiculares:a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal

    b) Son rectas que se cortan formando ngulos rectos

    c) Son rectas que no se cortan

    d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ngulos iguales

    Rectas oblicuas:

    a) Son rectas que se cortan formando ngulos iguales

    b) Son rectas que se cortan formando dos ngulos agudos y dos obtusos

    c) Son rectas que se cortan formando ngulos que no son rectos

    d) Son rectas que no se cortan

    O PO'

    P

    Respuestas. Las definiciones correctas para el caso de las rectas perpendiculares son los incisos b) y d); y para el caso de las oblicuas son los incisos b) y c).

    Sugerencia didctica. Insista en la importancia de que los alumnos den argumentos convincen-tes y que en lo posible den contraejemplos para aquellas definiciones que consideren incorrectas. Por ejemplo, la definicin errnea de rectas perpendiculares que seala que una siempre es vertical y la otra siempre horizontal, puede ser discutida tomando como contraejemplo el caso nmero 5 del apartado Manos a la obra, actividad I.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 111 6/2/07 11:14:32 PM

  • 112 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Los alumnos podrn resolver fcilmente este ejercicio a partir de la consideracin de que las perpendiculares forman ngulos de 90 : pueden trazar una recta y luego ayudarse del transportador para trazar la otra recta en un ngulo de 90. Pdale a algn alumno que muestren en el pizarrn la manera en que lo hizo.

    Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver cada uno de estos ejercicios, permita que los alumnos exploren diferentes posibilida-des. Una forma sencilla de resolverlos es trazar rectas perpendiculares, a partir de ah se puede trazar tanto el cuadrado como el rectngulo de distintas maneras:

    Para el cuadrado, trazar un crculo con centro donde se cortan las rectas, y despus unir los cuatro puntos en los que la circunferencia corta a las perpendiculares, para obtener los lados del cuadrado.

    Tambin pueden trazar un lado del cuadrado de la medida elegida y en los extremos de ese segmento trazan dos segmentos perpendiculares de la misma medida, luego trazan el cuarto lado para cerrar el cuadrado. El rectngulo lo pueden hacer igual, cuidando que el primer segmento que tracen sea de medida diferente a las dos perpendiculares de los extremos.

    Para cumplir con la condicin de que los lados de las figuras no sean paralelos a la hoja del cuaderno, es importante que las rectas perpendiculares se tracen en una posicin distinta a aquella en la que una recta es horizontal y la otra vertical.

    Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos. Puede pedirles que la copien en sus cuadernos y que ilustren ambas definiciones con representaciones diversas.

    76

    secuencia 5

    A lo que llegamosSi dos rectas que se cortan forman ngulos de 90, entonces se lla-man rectas perpendiculares; si se cortan formando ngulos que no son de 90, se llaman rectas oblicuas.Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p q.Para indicar que un ngulo mide 90, es decir, que es recto, se coloca en el ngulo una marca como la roja.

    Lo que aprendimos1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando slo regla y transpor-

    tador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si en alguno no estn de acuerdo argumenten sus razones.

    2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geom-tricos.

    a) Un cuadrado de cualquier tamao cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

    b) Un rectngulo de cualquier tamao cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

    3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

    P

    r

    r

    P

    Posibles procedimientos. Como no se indica qu instrumentos geomtricos deben utilizar, los alumnos pueden recurrir tanto a las escuadras, la regla y el transportador, como slo a la regla y el comps. Los trazos que se piden en este ejercicio no son sencillos, si nota que sus alumnos tienen problemas puede ayudarlos dndoles algunas pistas.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 112 6/2/07 11:14:38 PM

  • 113L ib ro para e l maest ro

    77

    IIMATEMTICASReLACiOnes enTRe nGULOsPara empezarUne dos palitos o lpices con una liga, como se muestra en la foto, y maniplalos para formar ngulos.

    Cuntos ngulos se forman? ,

    son todos diferentes? ,

    hay algunos que sean iguales entre s? .

    Coloca los palitos de tal manera que todos los ngulos sean iguales. Cuando los colocas

    de esta manera cunto mide cada ngulo?

    Consideremos lo siguienteSin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigen y anoten la medida de cada uno de los tres ngulos a, b y c.

    a 60

    b c

    a 90

    b c

    a 115

    b c

    sesin 3

    Propsito de la sesin. Identificar y definir los ngulos opuestos por el vrtice y los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ngulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan individualmente.

    Materiales. Un par de lpices, una liga y el transportador que se propone en esta sesin.

    Propsito de la actividad. La manipulacin de lpices unidos por una liga permite a los alumnos experimentar distintas posibilidades de formacin de ngulos cuando dos rectas se cortan.

    Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos no usen el transportador, pues esa restriccin favorece que recurran a otros conocimientos que les permitan relacionar la medida del ngulo dado y los ngulos a, b , c.

    Posibles procedimientos. Los alumnos pueden apoyarse tanto en su percepcin visual como en sus conocimientos previos para hacer estimacio-nes y para establecer distintas relaciones entre los ngulos, por ejemplo:

    Apoyndose en la percepcin visual, es posible identificar que el ngulo b es igual al ngulo del que se conoce la medida; y en el caso de las perpendiculares es sencillo visualizar la igualdad de los ngulos (los alumnos aprendieron en la sesin 2 que las rectas perpendiculares forman ngulos de 90 ).

    Pueden determinar las medidas recurriendo a alguna de las siguientes relaciones: el ngulo del que se conoce la medida forma, junto con el ngulo a (o el c), un ngulo de 180, de la misma manera que el ngulo b y el ngulo c (o el a). A partir de ah se puede restar a 180 la medida del ngulo conocido para obtener la del otro ngulo. La otra posibilidad es que, sabiendo que los cuatro ngulos suman 360, y que el ngulo dado y su opuesto miden lo mismo, sumen esas dos medidas y resten esa suma a 360, y luego dividan el resultado entre 2 para obtener el valor de los ngulos a y c (porque a y c son iguales).

    En caso de que no obtengan todos los resultados correctos, en la confrontacin tendrn la oportunidad de verificar sus respuestas usando un transportador.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 113 6/2/07 11:14:41 PM

  • 114 L ib ro para e l maest ro

    2

    Sugerencia didctica. Antes de llevar a cabo la comparacin grupal, puede pedir a los alumnos que primero comparen entre parejas, para que todos tengan la oportunidad de intercambiar sus respuestas y puntos de vista. En la comparacin grupal, en caso de que an haya diferencias, invtelos a que argumenten sus respuestas antes de recurrir a la medicin de ngulos. Finalmente, pdales que verifiquen utilizando el transportador.

    Propsito de la actividad. La elaboracin de definiciones y de argumentos respecto de la validez o no de una definicin, es una habilidad que se desarrolla gradualmente en los alumnos, por ello es importante que tengan la oportuni-dad de expresar sus propias ideas aun cuando stas sean incompletas o incorrectas.

    Sugerencia didctica. En caso de que algunos alumnos quieran consultar un diccionario u otra fuente para investigar estas definiciones, invtelos a que primero traten de enunciar la definicin y que despus la comparen y la complementen con lo que dice el diccionario.

    3Sugerencia didctica. Es importante que invite a los alumnos a argumentar sus puntos de vista acerca de las diferentes definiciones que surjan en el grupo. Recuerde que la elaboracin de argumentos es una parte fundamental del conocimiento matemtico, adems de que prepara a los alumnos para las demostraciones formales que tendrn que hacer en grados posteriores.

    78

    secuencia 5Comparen sus resultados. Slo hasta que todos estn de acuerdo podrn utilizar el trans-portador y medir los ngulos, para verificar sus respuestas. Comenten:

    a) Cmo pudieron calcular la medida de los ngulos?

    b) Cul es la relacin entre los ngulos a y c de cada pareja de rectas?

    c) Cul es la relacin entre los ngulos a y b de cada pareja de rectas?

    Manos a la obrai. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide.

    Los ngulos a y b son ngulos opuestos por el vrtice Los ngulos c y d son ngulos adyacentes

    Escriban una definicin para:

    ngulos opuestos por el vrtice

    ngulos adyacentes

    Comparen las definiciones que escribieron para ngulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes.

    Si alguna definicin les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qu lo consi-deran as; por ejemplo, si algn equipo define a los ngulos opuestos por el vrtice como ngulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ngulos de un tringulo equi-ltero son iguales, pero no son opuestos por el vrtice.

    a

    b

    a ba

    b

    a

    b

    d

    c dc

    dc

    c d

    Sugerencia didctica. Si algunos alumnos definen a los ngulos opuestos por el vrtice como ngulos que son iguales, usted puede precisar que realmente no estn dando una definicin de ngulos opuestos, sino una propiedad, pues hay ngulos que son iguales pero que no estn opuestos por el vrtice.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 114 6/2/07 11:14:43 PM

  • 115L ib ro para e l maest ro

    79

    IIMATEMTICASII. Realicen lo que se indica.

    360

    15

    30

    45

    607590105

    120

    135

    150

    165

    180

    345195

    330210

    315225

    300240285255270

    Recorten una tira de papel de 10 cm de largo por 12 cm de ancho; a lo largo de ella y pasan-do por la mitad, tracen una lnea recta. Dibujen un punto en el centro de la tira.

    Coloquen la tira en el transportador como se muestra en el dibujo, de tal manera que puedan girarla.

    Giren la tira de modo que el ngulo 1 mida 30. Aydense del transportador para obtener las medidas de los ngulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se muestra adelante, en el rengln del ngulo de 30. Repitan lo mismo con las otras medidas que se indican en la tabla para el ngulo 1.

    Propsito del interactivo. Explorar las propiedades de los ngulos formados por dos rectas.

    Sugerencias didcticas. En el interactivo se puede trabajar con otras medidas de los ngulos, lo cual ayudara a mostrar contraejem-plos o para que los alumnos generalicen las caractersticas de los ngulos opuestos por el vrtice y de los ngulos adyacentes. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que les permitan a los alumnos validar sus hiptesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qu casos son ciertas y en qu casos no. Se pueden adecuar los ejemplos de acuerdo a las necesidades de los alumnos aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 115 6/2/07 11:14:47 PM

  • 116 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Si lo considera necesario, organice una puesta en comn para que los alumnos comenten sus hallazgos acerca de las relaciones entre los ngulos. Lean y comenten en grupo la informacin del apartado A lo que llegamos; para ello, puede apoyarse en el pizarrn para trazar ah dos rectas que se cortan e ir sealando los ngulos opuestos por el vrtice y los ngulos adyacentes que suman 180. Enfatice en el hecho de que stos ltimos son un caso especial, pues existen ngulos adyacentes que pueden sumar ms o menos de 180 (en la tabla de la actividad I del Manos a la obra hay un par de ejemplos).

    Descripcin del video. En el video se muestran de manera visual y dinmica las posiciones relativas de dos rectas en el plano, el trazo de rectas paralelas y perpendiculares y las relaciones que hay entre los ngulos cuando las dos rectas se cortan. Este video se puede utilizar al final de la secuencia para reafirmar lo visto a lo largo de sta.

    80

    secuencia 5

    a) Qu relacin encuentran entre las medidas de los ngulos 1 y 3?

    b) Y entre las medidas de los ngulos 2 y 4?

    c) Entre las medidas de los ngulos 1 y 2?

    d) Y entre las medidas de los ngulos 3 y 4?

    e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar.

    A lo que llegamosCuando dos rectas se cortan se forman cuatro ngulos.

    Los ngulos a y c son opuestos por el vrtice, observa que tienen el mismo vrtice y los lados de uno son prolongacin de los lados del otro. Los ngulos a y b suman 180 y, adems, son ngulos adyacen-tes, observen que tienen en comn el vrtice y un lado.

    Parejas de rectas

    Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar ngulos rectos o ngulos no rectos.

    ngulo 1 ngulo 2 ngulo 3 ngulo 4

    30

    45

    75

    90

    130

    145

    bac

    d

    150 30 150

    135 45 135

    105 75 105

    90 90 90

    50 130 50

    35 145 35

    Son iguales

    Son iguales

    Suman 180

    Suman 180

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 116 6/2/07 11:14:51 PM

  • 117L ib ro para e l maest ro

    81

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Plantea una ecuacin y encuentra el valor de los cuatro ngulos de la siguiente figura.

    2. Si la suma de las medidas de dos ngulos adyacentes es 180, y uno de ellos mide el

    doble del otro, cunto mide cada uno?

    3. Anota las medidas de los otros tres ngulos que forman las diagonales.

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Rectas y puntos, en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre las ilusiones pticas que se refieren a objetos geomtricos, en particular a l-neas paralelas consulta:http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.phphttp://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    x

    x + 20

    50

    Incorporar al portafolios. Para los problemas 1 y 2, el propsito es que los alumnos integren sus conocimientos algebraicos y los geomtricos para resolver una situacin determinada, y para el problema 3, que acudan a las relaciones ya estudiadas entre dos rectas que se cortan y los ngulos que se forman. Por ello es importante que los alumnos no utilicen el transportador para resolver y, en lo posible, tampoco para verificar, pues tienen otros elementos que les permiten revisar sus respuestas y elaborar argumentos para validarlas.

    Respuesta: La ecuacin que se debe plantear es: x + x + 20 = 180. Al despejar x se tiene el valor de uno de los ngulos y, sumando 20 a ese valor, se obtiene la medida del otro ngulo.

    Respuesta. Este problema puede resolverse haciendo estimaciones y probando con distintas medidas hasta obtener la correcta, o bien, planteando la siguiente ecuacin: x + 2x = 180. Deben constatar que efectivamente uno de los ngulos mida el doble del otro.

    Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver estableciendo las siguientes relaciones:

    La medida del ngulo opuesto al de 50 es tambin de 50, por ser opuestos por el vrtice.

    El ngulo adyacente al de 50 se obtiene restando 180 menos 50; la medida de ese ngulo es de 130.

    MAT2 B1 S05 maestro.indd 117 6/2/07 11:14:53 PM

  • 118 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Mostrar los tipos de ngulos que se generan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

    Propsito de la sesin. Identificar la igualdad de los ngulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

    Organizacin de grupo. Se recomienda que los alumnos trabajen en parejas y que se organicen momentos para el intercambio grupal.

    Materiales. Una hoja delgada de papel y tijeras.

    Propsito de la actividad. Introducir el trmino secante o transversal, el cual habr de utilizarse a lo largo de la secuencia.

    Sugerencia didctica. En varias actividades de esta sesin se presentan a los alumnos paralelas cortadas por una secante en distintas posiciones, es decir: paralelas horizontales, paralelas verticales y en diagonal, para que los alumnos no fijen la nocin de rectas paralelas a una sola representa-cin. Si lo considera conveniente, puede trazar en el pizarrn varios sistemas de dos paralelas y una transversal para que los alumnos identifiquen tanto las paralelas como la transversal.

    Posibles procedimientos. Para resolver este problema los alumnos cuentan con algunos antecedentes: saben que dos ngulos opuestos por el vrtice son iguales y que cuando dos rectas se cortan los ngulos adyacentes suman 180, esto har que sea relativamente sencillo calcular el valor de los tres ngulos que estn junto con el ngulo de 135. Despus se enfrentarn a la dificultad de encontrar el valor de los otros cuatro ngulos, pues hasta ahora no se ha estudiado la relacin entre stos y los ngulos que ya determinaron. Apoyndose en la percepcin visual, los alumnos podran identificar que los dos conjuntos de ngulos son iguales. Otro procedimiento es el de calcar algunos ngulos y sobreponerlos en otros para determinar si son iguales.

    82

    secuencia 6

    En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ngulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirs explorando ambos temas: ngu-los entre paralelas. Tambin trabajars con los ngulos interiores de tringulos y paralelogramos.

    NGULOS CORRESPONDIENTESPara empezarConsidera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2

    Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de transversal o secante.

    Consideremos lo siguienteSin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ngulos marcados con rojo.

    Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argumenten sus respuestas para convencer a sus compaeros.

    SESIN 1

    ngulos entre paralelas

    t

    r2

    r1

    r2r1

    135

    r1 II r2

    EjeForma, espacio y medida.

    TemaFormas geomtricas.

    Antecedentes

    En la secuencia 4 los alumnos aprendieron diferentes definiciones de ngulos y elaboraron deducciones sencillas para calcular la medida de un ngulo. En la secuencia 5, establecieron relaciones entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y aprendieron a reconocer ngulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes. En esta secuencia los alumnos trabajarn con los ngulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante: aprendern a establecer relaciones de igualdad entre ellos, a justificar esa igualdad mediante la elaboracin de argumentos y a nombrar los tipos de ngulos que resultan.

    Propsitos de la secuencia Establecer las relaciones de los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas

    cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de tringulos y paralelogramos.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    ngulos correspondientes Identificar la igualdad de los ngulos correspondien-tes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

    Aula de medios Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    4

    2

    ngulos alternos internos Identificar la igualdad de los ngulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

    Aula de medios

    3

    Los ngulos en los paralelogramos y en el tringulo Explorar las relaciones entre los ngulos interiores de un tringulo y los ngulos interiores de un paralelogramo.

    Aula de medios Video

    Relaciones importantes Interactivo

    135

    45135

    13545

    4545

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 118 6/2/07 11:15:20 PM

  • 119L ib ro para e l maest ro

    83

    IIMATEMTICASManos a la obraI. Realicen la siguiente actividad.

    1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de pre-ferencia transparente) dos rectas paralelas y una transversal, y numeren los ngulos de la siguiente manera:

    2. Marquen una lnea punteada como la que se muestra en el dibujo:

    12

    3 4

    56

    7 8

    12

    3 4

    56

    7 8

    3. Corten la hoja por la lnea punteada. 4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ngulo 1 coincida exactamente con el ngulo 5.

    Ahora tienen el ngulo 5 sobre el ngulo 1.

    Los ngulos 1 y 5 se llaman ngulos correspondientes.

    a) Cul es el ngulo correspondiente del 2? , y del 3? y del 4?

    b) Cmo son entre s las medidas de los ngulos correspondientes?

    c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal los ngulos correspondientes son iguales.

    Propsito del interactivo. Explorar las caractersticas de los ngulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal.

    Sugerencias didcticas. Al mover las rectas paralelas o la transversal se representan una infinidad de rectas paralelas y transversales, lo cual permite mostrar a los alumnos que los ngulos correspondientes son iguales no slo para el caso que ellos trazaron. Adems se pueden girar las rectas, para que los alumnos observen y comprueben que las caractersticas de los ngulos se mantienen independientemen-te de la posicin de las rectas, siempre y cuando stas sigan siendo paralelas.

    Las relaciones entre los ngulos se pueden explorar de dos maneras con el interactivo, una es moviendo los ngulos, para superponerlos, y otra es midindolos con el transportador. Al mover los ngulos, ya sea sobre la misma paralela o hacia la otra, los alumnos pueden explorar cules ngulos miden lo mismo, con la finalidad de que puedan generalizar las relaciones existentes entre los ngulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos comprueben, mediante la superposicin de figuras, que los ngulos correspondientes son iguales. Asegrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad.

    6 7 8

    iguales

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 119 6/2/07 11:15:23 PM

  • 120 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Es importante que recuerde a sus alumnos que el smbolo se refiere a la medida del ngulo, mientras que el smbolo se refiere al ngulo. As, a, se lee ngulo a, mientras que a, se lee la medida del ngulo a. Organice un momento breve de comparacin de respuestas. Invite a los alumnos a que argumenten sus afirmaciones.

    Respuestas. Deben subrayarse las afirmaciones a, c y d.

    Propsito de la actividad. El desarrollo de un pensamiento deductivo es uno de los propsitos de las matemticas, por ello, con esta actividad se propicia la elaboracin de razonamientos deductivos sencillos a partir de casos particulares.

    3Sugerencia didctica. Es probable que los alumnos no tengan la necesidad de demostrar algo que les resulta obvio, y por ello mismo tengan dificultades para elaborar argumentos. En caso de que lo considere necesario, aydelos a completar las afirmaciones.

    Sugerencia didctica. Asegrese de que sus alumnos revisen las respuestas que dieron al problema inicial.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos consideren que incluso rectas que no son paralelas, cuando son cortadas por una secante tambin forman ngulos correspondientes, pero en tal caso, esos ngulos no son iguales.

    Recuerde que. Dos rectas que son cortadas por una transversal son paralelas si y slo si forman ngulos correspondientes iguales.

    84

    secuencia 6ii. Subrayen las afirmaciones verdaderas.

    a) 2 = 6 porque son ngulos correspondientes.

    b) 1 = 5 porque son ngulos opuestos por el vrtice.

    c) 5 = 7 porque son ngulos opuestos por el vrtice.

    d) 5 + 6 = 180 porque son ngulos adyacentes que se forman

    cuando dos rectas se cortan.

    iii. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que a = 50 y que se trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

    iV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ngulos correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.

    V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal.

    a) En este caso tambin se dice que el ngulo 1 es correspondiente del ngulo 5,

    y el 2 del 6, cul es el correspondiente del 3? ,

    y del 4?

    b) Comparen las medidas de los ngulos correspondientes cuando las rectas no son paralelas.

    a = e porque

    Entonces, el e mide

    e + f = 180 porque

    Por lo tanto, f =

    gea

    fb

    c

    hd

    123 4

    567 8

    Recuerden que:

    a se lee ngulo a

    a se lee la medida del ngulo a

    son correspondientes

    50

    son adyacentes que se forman

    cuando dos rectas se cortan

    130

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 120 6/2/07 11:15:26 PM

  • 121L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Lea junto con los alumnos esta informacin, y comntela. Usted puede pedirles que comparen lo que aqu se afirma con los casos que ellos resolvieron en las actividades III y V.

    Incorporar al portafolios. Antes de que los alumnos resuelvan, asigne al primero y al segundo caso una letra a cada uno de los ngulos, para que posteriormente puedan comparar sus resultados. Si identifica que en esos dos casos los alumnos tienen dificultades para determinar las medidas, repase con ellos la identificacin de ngulos adyacentes, de ngulos opuestos por el vrtice (apartado A lo que llegamos de la sesin 3, secuencia 5), y de ngulos correspondiente (A lo que llegamos de esta sesin).

    En el tercer caso se pretende vincular este tema de geometra con el tema de ecuaciones; la ecuacin que debe plantearse es x + 3x = 180, al despejar x se obtiene x = 45, por lo que un ngulo mide 45 y el otro 135.

    Tambin es probable que algunos alumnos lo resuelvan por ensayo y error: si logran identificar que un ngulo es el triple del otro (3x) y ambos suman 180, pueden empezar a buscar parejas de nmeros que cumplan esa relacin. Este procedimiento tambin es vlido.

    Propsito de la sesin. Identificar la igualdad de los ngulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesin organizados en parejas.85

    IIMATEMTICASCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ngulos corres-pondientes iguales.

    El 1 es correspondiente al 2 , por lo tanto 1 = 2.

    Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ngulos corres-pondientes tienen diferente medida.

    SESIN 2

    A lo que llegamos

    Lo que aprendimosEncuentra el valor de los ngulos que faltan en cada caso.

    NGULOS ALTERNOS INTERNOSPara empezarCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ngulos.

    1

    2

    103

    80

    3xx

    Observa que los ngulos 2, 3, 6 y 7 estn dentro de las paralelas.

    Estos ngulos se llaman internos.

    Qu ngulos quedan fuera de las paralelas?

    Cmo crees que se llaman estos ngulos?

    1 23 4

    5 67 8

    Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen a los ngulos que estn dentro de las paralelas como internos, y a los que estn fuera como externos. Si algunos nombran a estos ltimos exteriores, puede decirles que aunque su respuesta es correcta, se acostumbra llamarlos externos.

    1, 4, 5, 8

    externos

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 121 6/2/07 11:15:29 PM

  • 122 L ib ro para e l maest ro

    2Sugerencia didctica. El antecedente directo de esta actividad es la actividad III de la sesin anterior, en la que completaron un razonamiento para determinar la medida de un ngulo. En este caso ya no se les ofrecen afirmaciones para que las completen, sino que ellos tendrn que escribir, con sus propias palabras, el razonamien-to deductivo que establece la igualdad entre los ngulos a y h. Para ello es importante que usted enfatice la indicacin de que deben convencer a alguien respecto de la igualdad de los ngulos que se proponen.

    Posibles dificultades. Aun cuando los alumnos podran disponer de las distintas formas de resolver apoyndose en las relaciones entre ngulos que han estudiado (opuestos por el vrtice, adyacentes suplementarios y correspon-dientes), podran tener dificultades como las siguientes:

    a) No recordar las relaciones que se han estudiado, o recordar algunas de ellas sin poder hacer todos los vnculos necesarios para resolver este caso.

    b) No poder elaborar una secuencia lgica de razonamientos, esto es, formular afirmaciones que no se deducen de otras. Por ejemplo: Los ngulos a y f son iguales porque son opuestos por el vrtice, y los ngulos c y h tambin son iguales porque son opuestos por el vrtice, entonces el ngulo a es igual al ngulo h.

    c) Establecer un razonamiento correcto pero no poder expresarlo por escrito.

    Usted puede sugerirles que revisen la actividad III de la sesin anterior y, principalmente, que platiquen primero en cada pareja sus ideas, y cuando uno de ellos logre convencer al otro, entonces que traten de redactar esas ideas.

    86

    secuencia 6

    Consideremos lo siguienteSin medir los ngulos, cmo podran convencer a alguien de que a = h? Anoten sus argumentos.

    Comparen sus argumentos con los del resto del grupo, observen que hay diferentes maneras de llegar al mismo resultado.

    Manos a la obrai. Lean la siguiente informacin:

    a) Si dos ngulos estn de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y dentro de las paralelas, se llaman alternos internos.Por ejemplo, los ngulos 2 y 7 son alternos internos.

    Hay otra pareja de ngulos alternos internos, cul es?

    b) Si dos ngulos estn de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos.Por ejemplo, los angulos 1 y 8 son alternos externos.

    Hay otra pareja de ngulos alternos externos, cul es?

    c) En la figura del apartado Consideremos lo siguiente identifiquen ngulos alternos internos o alternos externos y verifiquen que miden lo mismo.

    ii. Con respecto a la figura del apartado Consideremos lo siguiente subrayen las afirmaciones que son verdaderas.

    a) c = f porque son ngulos alternos internos.

    b) a = c porque son ngulos correspondientes.

    c) e = d porque son ngulos alternos externos.

    d) a = h porque son ngulos opuestos por el vrtice.

    gea

    fb c

    hd

    1 23 4

    5 67 8

    Sugerencia didctica. Asegrese de que los alumnos efectivamente hagan esta actividad, pues por un lado les ayudar a precisar las nociones de ngulos alternos internos y alternos externos, y por el otro, podrn constatar las relaciones de igualdad que aqu se establecen. Esta actividad no requiere de mucho tiempo, pues ellos ya obtuvieron las medidas de esos ngulos, slo tienen que compararlas.

    Sugerencia didctica. Dado que hay distintas formas de argumentar correctamente la igualdad de esos ngulos, es conveniente que usted prepare diferentes razonamientos que puedan enriquecer los que surjan en el grupo. Un razonamiento posible es:

    Los ngulos a y f son iguales por ser opuestos por el vrtice.

    Los ngulos f y h son iguales por ser correspondientes.

    Si el ngulo a es igual al ngulo f, y si el ngulo f es igual al ngulo h, entonces los ngulos a y h tambin son iguales entre s.

    6 y 3

    5 y 4

    Respuestas. Incisos a, b y c.

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 122 6/2/07 11:15:31 PM

  • 123L ib ro para e l maest ro

    Respuesta. Siguiendo el razonamiento anterior: los ngulos a y e son iguales por ser correspon-dientes; los ngulos e y h son iguales por ser opuestos por el vrtice, entonces los ngulos a y h son iguales.

    Sugerencia didctica. Los alumnos pueden elegir los ngulos a y h o los ngulos b y f para hacer esta actividad, pero conviene que lo hagan con a y h porque pueden usar despus su escrito para verificar lo que respondieron en el problema inicial, como se pide en la siguiente actividad.

    Sugerencia didctica. Es importante que usted formalice que los ngulos a y h son alternos externos y que por lo tanto son iguales. Puede pedir que identifiquen la otra pareja de ngulos alternos externos y, si consideran que tambin son iguales, pdales que den sus argumentos.

    Tambin pueden regresar a la actividad II del Manos a la obra y corregir sus respuestas, en caso necesario.

    87

    IIMATEMTICASIII. En la siguiente figura, los ngulos d y g son alternos internos entre dos paralelas cor

    tadas por una transversal. Completen el razonamiento para justificar que los ngulos alternos internos siempre son iguales.

    d = f porque

    f = g porque

    Entonces, como los dos ngulos, el d y el g son iguales

    al f, podemos decir que

    IV. Escriban en su cuaderno un razonamiento parecido para justificar que dos ngulos alternos externos son iguales.

    V. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revisen los argumentos que dieron para justificar la igualdad de los ngulos a y h.

    A lo que llegamosCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ngulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo.

    El 1 es alterno externo del 7 , por lo tanto 1 = 7.

    El 4 es alterno interno del 6 , por lo tanto 4 = 6.

    g

    ea

    fb ch

    d

    12

    3 4

    567 8

    son correspondientes

    son opuestos por el vrtice

    los ngulos d y g son iguales

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 123 6/2/07 11:15:37 PM

  • 124 L ib ro para e l maest ro

    Respuesta. Cuando las rectas que son cortadas por una secante no son paralelas, tambin se pueden identificar ngulos alternos internos y alternos externos, pero no hay ninguna relacin de igualdad entre sus medidas.

    Propsito de la sesin. Explorar las relaciones entre los ngulos interiores de un tringulo y los ngulos interiores de un paralelogramo.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente.

    Propsito de la actividad. Que exploren las relaciones entre los ngulos interiores de paralelogramos. En esta actividad lo harn de manera intuitiva, para un caso particular, y en la siguiente actividad aplicarn sus conocimientos sobre paralelas para el caso general.

    Propsitos del interactivo. Explorar las relaciones entre los ngulos interiores del paralelogramo.

    Sugerencias didcticas. Usando el transporta-dor, los alumnos pueden tomar las medidas de los ngulos opuestos o de los adyacentes, y modificar el paralelogramo. Esto les permitir explorar varios paralelogramos y generalizar sus caractersticas.

    Puede ocupar el interactivo al final de la actividad para que los alumnos comprueben las conjeturas a las que llegaron. En caso de que stas se limiten slo a algunos casos, moviendo uno de los vrtices se modificar el paralelogra-mo y usted podr, mostrar contraejemplos que permitan a los alumnos acotar cada vez ms sus respuestas. 88

    secuencia 6

    Lo que aprendimos1. Investiguen si hay o no alguna relacin entre los ngulos alternos internos y alternos

    externos cuando las dos rectas que corta la transversal no son paralelas.

    LOS NGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS Y EN EL TRINGULOPara empezarLas relaciones entre las parejas de ngulos que se forman cuando dos rectas son cortadas por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de las figuras.

    Lo que aprendimos1. Considera la figura de la derecha y anota las medidas que faltan.

    1 = 5 =

    2 = 6 =

    3 = 7 =

    4 = 45 8 =

    2. Considera los siguientes paralelogramos.

    a) En el romboide se ha marcado una pareja de ngulos opuestos. Cada cuadriltero tiene dos parejas de ngulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color, cada pareja de ngulos opuestos en cada paralelogramo.

    SESIN 3

    1 2 3 45 6 7 8

    135 45

    45 135

    135 45

    135

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 124 6/2/07 11:15:39 PM

  • 125L ib ro para e l maest ro

    89

    IIMATEMTICASb) Subraya la afirmacin verdadera

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo tienen diferente medida.

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo suman 180.

    3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ngulos consecutivos.

    a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ngulos consecutivos.

    b) Cul es la relacin entre las medidas de los ngulos consecutivos de un paralelo

    gramo?

    4. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo.

    a) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ngulo 1 es igual al ngulo 3.

    1 = 5 porque

    3 = 5 porque

    Si ambos ngulos, el 1 y el 3, son iguales al 5, entonces: =

    b) Escribe en tu cuaderno un razonamiento para demostrar que el ngulo 2 es igual al ngulo 4.

    r1 II r2t1 II t2

    12

    3 4

    ea

    bc d

    r25

    t1

    r1

    t2

    Propsito de la actividad. Se espera que los alumnos identifiquen la igualdad de los ngulos opuestos de un paralelogramo.

    Sugerencia didctica. Si lo considera necesario, invite a los alumnos a que midan con el transportador (se trata de una validacin emprica), o que recuerden algunas de las caractersticas que ya conocen de estas figuras; por ejemplo, en el caso del rectngulo y el cuadrado saben que todos sus ngulos son rectos, por lo tanto los ngulos opuestos son iguales. Invtelos tambin a que traten de identificar qu relacin hay entre los lados de los paralelogramos con la cuadrcula en la que estn dibujados.

    Respuesta. Slo la segunda afirmacin es verdadera.

    Posibles dificultades. Es muy probable que los alumnos anoten relaciones falsas o que slo se aplican para algunos paralelogramos. Por ejemplo, si dicen que los ngulos consecutivos son iguales, esto es vlido para el cuadrado y el rectngulo, pero no para el rombo y el romboide. O bien, podran afirmar que los ngulos consecu-tivos son uno agudo y el otro obtuso, pero el cuadrado y el rectngulo son un contraejemplo. Es importante que los invite a argumentar cualquiera de las relaciones que establezcan.

    Posibles dificultades. Para los ngulos 1 y 5 se consideran las paralelas r 1 y r 2 con la transversal t 2, por lo tanto son correspondien-tes. Para los ngulos 3 y 5 se consideran las paralelas t 1 y t 2 con la transversal r 2, por lo que son alternos internos. Es posible que algunos alumnos tengan dificultades para identificar qu paralelas con qu transversal estn en juego. Si lo considera necesario, resuelva esta actividad con todo el grupo.

    Sugerencia didctica. Puede orientarlos dicindoles que elaboren un razonamiento similar al anterior.

    son correspondientes

    son alternos internos

    1 3

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 125 6/2/07 11:15:41 PM

  • 126 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. En la confrontacin de resultados es importante que formalice dos propiedades de los paralelogramos:

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

    Los ngulos consecutivos de un paralelogra-mo suman 180.

    Esto lo trabajaron con casos particulares en los ejercicios 2 y 3, y en los ejercicios 4 y 5 trabajaron el caso general con pequeas demostraciones.

    Propsito del interactivo. Mostrar otra forma de comprobar que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180.

    Sugerencias didcticas. Usando el transporta-dor los alumnos pueden obtener las medidas de los ngulos interiores del tringulo, despus modificarlo y verificar que para cualquier tringulo la suma de sus ngulos interiores es siempre 180. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que le permitan a los estudiantes validar sus hiptesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qu casos son ciertas y en qu casos no. Se pueden modificar los ejemplos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos.

    Propsito de la actividad. Las demostraciones no son sencillas para los alumnos y muchas veces no comprenden por qu tienen que demostrar, para un caso general, algo que ya saben. En la secuencia 4 los alumnos exploraron empricamente la propiedad de que los ngulos interiores de un tringulo suman 180. En este ejercicio se pretende que lo hagan para qualquier tringulo.

    90

    secuencia 65. Responde a las preguntas, se refieren a la figura anterior.

    a) Considera la transversal t 1 y las rectas paralelas r 1 y r 2, cunto suman las medi

    das de los ngulos 2 y 3?

    b) Justifica tu respuesta

    6. Revisa tus conjeturas de los ejercicios 2 y 3 y verifica si corresponden a los resultados hallados en los ejercicios 4 y 5.

    7. En la secuencia 4 exploraste la relacin de los ngulos interiores de un tringulo,

    cunto suman los tres ngulos interiores de un tringulo?

    8. Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se forman dos tringulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la suma de los ngulos interiores del tringulo aBc es 180.

    d + b+ e = 180 porque forman un ngulo de 180.

    d = a porque

    e = c porque

    Si sustituimos d y e por sus iguales, que son a y c , entonces la suma queda

    + + = 180

    e

    a

    b

    c

    d

    B

    a c

    180

    2 + a = 180 por ser adyacentes que se forman al cortarse dos rectas.

    a = 3 por ser alternos internos.

    Sustituyendo a por 3 en la suma anterior (porque son iguales)

    2 + 3 = 180

    son alternos internos

    son alternos internos

    a b c

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 126 6/2/07 11:15:43 PM

  • 127L ib ro para e l maest ro

    91

    IIMATEMTICAS9. Cunto mide el ngulo formado por la escalera y la pared?

    Relaciones importantes

    Las relaciones de los ngulos entre paralelas y la de los tringulos y paralelogramos te permiten resolver mltiples problemas.

    A lo que llegamosLos ngulos interiores de un tringulo siempre suman 180.En un paralelogramo:

    Los ngulos opuestos son iguales.

    Los ngulos consecutivos suman 180.Los cuatro ngulos interiores suman 360.

    Para saber msSobre animaciones que representan la suma de los ngulos interiores de un tringu-lo consulta:http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&subRuta: Tringulos, prismas y pirmides ngulos en el tringulo[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Resuelve el problema 2.1 de la pgina de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    50

    Respuesta. Mide 40 (los tres ngulos suman 180, la pared y el piso forman un ngulo de 90 y el otro ngulo es de 50 ).

    Descripcin del video. El video muestra de manera dinmica las relaciones que hay entre los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas. Se destacan algunas de stas figuras como el tringulo y los paralelogramos. Los recursos de traslacin, rotacin y reflexin de ngulos, para sobreponer un ngulo sobre otro, son utilizados para mostrar la congruencia que existe entre los ngulos formados. El video se puede utilizar al finalizar la secuencia como apoyo para formalizar los conceptos que se utilizaron.

    Sugerencia didctica. Comente con los alumnos esta informacin y pdales que verifiquen, en uno de los paralelogramos anteriores, la tercera afirmacin. Posteriormente pueden copiarla en su cuaderno.

    MAT2 B1 S06 maestro.indd 127 6/2/07 11:15:48 PM

  • 128 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Encontrar la relacin inversa en una situacin de proporcionalidad directa y establecer que sta es la recproca de la constante de proporcionalidad de la relacin original.

    Organizacin del grupo. A lo largo de la sesin los alumnos trabajan en parejas y comentan sus resultados con todo el grupo. En el apartado Lo que aprendimos se sugiere que los alumnos trabajen de forma individual.

    Descripcin del video. El video es introducto-rio a la sesin y ejemplifica las diferencias que hay en la fuerza de gravedad de los distintos planetas, y cmo sta determina el peso de los cuerpos que se encuentran en ellos. La intencin es mostrar cmo sta es la razn por la cual el peso vara proporcionalmente de un planeta a otro.

    Sugerencia didctica. Los alumnos han trabajado en numerosas ocasiones con relaciones de proporcionalidad directa, por lo que esta pregunta puede resultarles fcil. Recordar este tipo de relacin entre dos cantidades les ser de utilidad para abordar lo siguiente.

    Respuesta. En Jpiter un objeto pesa 2.5 veces ms que en la Tierra, por lo tanto, algo que en la Tierra pesa 12 kg en Jpiter pesa 30 kg. O bien, el objeto de 12 kg pesa el triple que el de 4 kg en la Tierra, entonces, dado que en Jpiter tambin se conserva esa relacin, all el objeto pesa 30 kg.

    Propsito de la secuencia Determinar el factor inverso dada una relacin de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad

    fraccionario.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    El peso en otros planetas Dada una relacin de proporcionalidad directa, hallar la relacin inversa.

    Establecer que la constante de proporcionalidad de la relacin inversa es la recproca de la constante de proporcionalidad de la relacin original.

    Video

    El peso en otros planetas

    2

    Europa y Plutn Establecer las relaciones inversas en un problema donde se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad directa.

    3Ms problemas Resolver problemas en los que se deba hallar la constante de proporcionalidad y su inversa.

    Interactivo

    EjeManejo de la informacin

    TemaAnlisis de la informacin

    Antecedentes

    En primer grado los alumnos trabajaron diversas situaciones de proporcionalidad directa. Ahora se pretende que en una situacin de proporcionali-dad directa los alumnos encuentren la relacin inversa y que establezcan el tipo de relacin que hay entre las dos constantes de proporcionalidad. El estudio de estas constantes tambin permitir repasar la multiplicacin de fracciones.

    92

    secuencia 7

    En esta secuencia determinars la relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directa.

    EL PESO EN OTROS PLANETASPara empezarEl peso en otros planetas

    Sabas que el peso de un objeto vara en funcin de la fuerza de gravedad que acta sobre l? Esto significa que un objeto no pesa lo mismo en la Tierra que lo que pesa en la Luna, Marte o en algn otro lugar del sistema solar.

    De hecho, el peso que tienen los objetos en un planeta y su peso en otro planeta son cantidades directamente proporcionales; por ejemplo, un objeto que en la Tierra pesa 4kilogramos, en Jpiter pesa 10 kilogramos. Cunto pesa en Jpiter un objeto que en la

    Tierra pesa 12 kilogramos?

    En esta sesin descubrirs cmo encontrar el peso de un mismo objeto en distintos planetas y satlites del sistema solar.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra los distintos pesos que una misma barra de plomo tiene en la Tierra y en la Luna:

    Peso de la barra de plomo

    Peso en la Tierra(en kilogramos)

    Peso en la Luna(en kilogramos)

    720 120

    SESiN 1

    La relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directa

    Tierra Jpiter4 1012 ?

    x3x3

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 128 6/2/07 11:16:19 PM

  • 129L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Muy posiblemente los alumnos sepan hallar los pesos correspondientes [incisos b) y d)] pero podran tener dificultades para saber cul es la constante de proporcionali-dad y la inversa de dicha constante. Permtales contestar lo que puedan aunque cometan errores, y sigan resolviendo la sesin.

    Respuestas.

    a) Es 16

    de kilogramo por cada kilogramo, porque 720 16

    = 120.

    b) Pesa 3 kilogramos.

    c) Es 6 kilogramos por cada kilogramo, porque 120 6 = 720.

    d) Pesa 150 kilogramos.

    3

    Respuesta. Es seis veces ms pesado.

    93

    IIMATEMTICASCon la informacin de la tabla anterior respondan lo siguiente:

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje

    to en la Luna a partir de su peso en la Tierra?

    b) Si una barra de plomo pesa en la Tierra 18 kilogramos, cuntos kilogramos pesa en

    la Luna?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje

    to en la Tierra a partir de que se conoce su peso en la Luna?

    d) Si una barra de plomo pesa en la Luna 25 kilogramos, cuntos kilogramos pesa en la

    Tierra?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cuntas veces es ms pesado un objeto en la Tierra que en la Luna?

    Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la

    Luna conociendo su peso en la Tierra.

    Peso en la Tierra

    (en kilogramos)

    Peso respectivo en la Luna

    (en kilogramos)

    720 120

    72

    12

    1

    18

    Observen que al encontrar cunto pesa en la Luna un objeto que pesa 1 kilogra-mo en la Tierra, se encuentra tambin la constante de proporcionalidad que permite saber el peso de un objeto en la Luna conociendo su peso en la Tierra.

    12

    216

    3

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 129 6/2/07 11:16:22 PM

  • 130 L ib ro para e l maest ro

    2

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que comparen esta tabla con la que llenaron en el nmero I del apartado Manos a la obra. Puede preguntarles:

    En qu se parecen?

    En qu son distintas?

    Creen que estn relacionadas?, de qu manera?

    Sugerencia didctica. Analicen en grupo la manera en que completaron el diagrama. Resalte la relacin entre las dos constantes de proporcionalidad (6 y

    16 ) que hay en esta

    situacin.

    Una vez que lo hayan comentado, pdales que verifiquen los resultados que obtuvieron en las dos tablas anteriores utilizando las constantes que encontraron en el diagrama.

    Sugerencia didctica. Aunque la cuestin de dividir entre un nmero y multiplicar por su recproco ya la trabajaron en primer grado, puede seguir representando una dificultad para algunos alumnos. Cuando contesten las preguntas del libro usted puede hacerles otras:

    Pasar lo mismo con otras cantidades, por ejemplo, multiplicar por

    19 y dividir entre 9?

    Por cul nmero habra que multiplicar para obtener el mismo resultado que si se divide entre

    32 ?

    Por cul nmero habra que dividir para obtener el mismo resultado que si se multiplica por 104 ?

    Sugerencia didctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn para luego recuperarlas en la discusin o conclusiones.

    94

    secuencia 7

    Recuerden que:

    El recproco de un nmero dis

    tinto

    de cero a es: 1

    a ,

    adems, a 1

    a= 1

    Del diagrama anterior se observa que da el mismo resultado

    dividir entre 6 que multiplicar por su recproco, que es 16 .

    Estn de acuerdo con esta observacin?

    Justifiquen su respuesta

    ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra conociendo su peso en la Luna.

    Peso en la Luna(en kilogramos)

    Peso en la Tierra(en kilogramos)

    120 720

    60

    10

    1

    25

    Comparen sus respuestas y verifiquen los resultados del apartado Consideremos lo si-guiente.

    iii. Completen el siguiente diagrama y comenten la relacin que hay entre las constantes que utilizaron.

    Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

    o se divide entre:

    Peso en la Tierra Peso en la Luna

    Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

    360

    60

    6

    150

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 130 6/2/07 11:16:25 PM

  • 131L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Es importante que comenten esta informacin, dedique tiempo a aclararla si es que existieran dudas. En ella aparece por primera vez en las secuencias de proporcionalidad la palabra conjunto y se utiliza para sealar a las cantidades de un tipo. Por ejemplo, un conjunto son los pesos que tienen los objetos en la Tierra, y otro conjunto son los pesos que tienen los objetos en la Luna.

    Comente lo anterior con los alumnos y pdales que, utilizando este esquema, propongan ejemplos en los que dos conjuntos se relacionen de manera directamente proporcional y sealen cules son las constantes, como:

    Relacin 1 Const. 3

    A. Nm. Dulces B. Costo

    Relacin 2

    Const. 13

    Lo anterior puede leerse como para hallar las cantidades del conjunto B debe aplicarse la constante 3 a las cantidades del conjunto A, mientras que para hallar las cantidades del conjunto A debe aplicarse la constante 13 a las del conjunto B.

    95

    IIMATEMTICASA lo que llegamosCuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales, siempre hay en juego dos relaciones de proporcionalidad. El siguiente diagrama ilustra esta situacin.

    Relacin 1

    Conjunto A Conjunto B

    Relacin 2

    La relacin 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades del conjunto A. La relacin 2, al revs, permite encontrar las cantidades del conjunto A a partir de las cantidades del conjunto B. Se dice que estas dos relaciones son inversasuna de la otra.

    Adems, las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son recprocas una de la otra.

    Por ejemplo, 16 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso en la Luna a partir del peso en la Tierra. Mientras que 6 es la constante de proporcionalidad que permite conocer el peso en la Tierra a partir del peso en la Luna.

    Estas dos relaciones son inversas y sus constantes de proporcionalidad son recprocas.

    6 y 16 son recprocos porque 6 16 = 1 o

    16 6 = 1.

    Lo que aprendimosLa siguiente tabla muestra los distintos pesos que una barra de plomo tiene en la Tierra y en Venus:

    Peso de la barra de plomo

    Peso en la Tierra(en kilogramos)

    Peso en Venus (en kilogramos)

    720 648

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 131 6/2/07 11:16:37 PM

  • 132 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Quiz sea problemtico para algunos alumnos hallar una u otra constante en la relacin del peso en la Tierra y en Venus porque las cantidades no hacen evidente dicha relacin (como al relacionar 3 y 6, 50 y 200, 12 y

    14 ). Anote en el pizarrn la

    siguiente tabla para encontrar la constante de proporcionalidad de la relacin 1 (averiguar las cantidades del conjunto B (peso en Venus) a partir de las cantidades del conjunto A (peso en la Tierra)):

    Tierra Venus 720 648 360 180 90 10 1

    Esta segunda tabla permite hallar la relacin 2 (averiguar las cantidades del conjunto A (peso en la Tierra) a partir de las cantidades del conjunto B (peso en Venus):

    Venus Tierra 648 720 324 162 81 9 1

    O bien, puede preguntarles habr un nmero que multiplicado por 720 d 648?; y habr un nmero que multiplicado por 648 d 720? Si no los encuentran, sugirales que usen la calculado-ra. Cuando los tengan, dgales que verifiquen si ese nmero funciona con otros valores, por ejemplo, cunto pesa un objeto en Venus si en la Tierra pesa 28 kilogramos?

    Respuestas.

    a) 910 .

    b) 0.9 o bien, 910kg.

    c) 109 .

    d) 1.111 o bien, 109 kg.

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tras revisar las respuestas de los alumnos lo considera necesario, revisen juntos el apartado Manos a la obra y pdales que copien en sus cuadernos la informacin de A lo que llegamos.

    96

    secuencia 7Contesta las siguientes preguntas:

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los

    objetos en Venus a partir de conocer su peso en la Tierra?

    b) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en la Tierra, cunto pesa esa barra en el

    planeta Venus?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los

    objetos en la Tierra a partir de conocer su peso en Venus?

    d) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en el planeta Venus, cunto pesa esa

    barra en la Tierra?

    EUROPA Y PLUTNPara empezarSabas que Jpiter, el planeta ms grande del sistema solar, tiene 16 lunas conocidas? Una de ellas se llama Europa. Europa tiene caractersticas que han fascinado a los astrnomos contemporneos. Es un poco ms grande que nuestro satlite, la Luna, pero lo ms interesante es que su superficie est cubierta por una capa de hielo y se cree que debajo de esta helada capa existe una gran cantidad de agua. De ser as, sera el nico lugar de nuestro sistema solar, adems de nuestro planeta, donde existe agua en cantidades significativas.

    Consideremos lo siguienteLas siguientes tablas muestran los pesos de algunas barras de plomo en la Tierra, Europa y Plutn.

    Peso en Europa(en kilogramos)

    Peso en la Tierra(en kilogramos)

    Peso en la Tierra(en kilogramos)

    Peso en Plutn(en kilogramos)

    30 240 240 16

    1 8 15 1

    Tabla 1 Tabla 2

    a) Cunto pesa en Plutn una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

    SESiN 2

    Propsito de la sesin. Establecer las relaciones inversas en un problema donde se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad directa.

    Organizacin del grupo. Se sugiere resolver las actividades individualmente.

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 132 6/2/07 11:16:40 PM

  • 133L ib ro para e l maest ro

    Posibles dificultades. Se espera que sea fcil para los estudiantes responder a los incisos a) y b); en cambio, el c) y el d) pueden ser problemticos.

    Con la informacin de las tablas 1 y 2 se conoce cunto pesa un mismo objeto en la Tierra (240 kg), en Plutn (16 kg) y en Europa (30 kg). Lo que relaciona a esos datos es el peso del objeto en la Tierra; sin embargo, si no se tiene en cuenta este hecho y se observa el segundo rengln de la tabla, podra pensarse que el objeto pesa lo mismo en Plutn y en Europa (1 kg). Si algunos alumnos cometen ese error, pdales que justifiquen su respuesta y no los corrija, habr oportunidad de hacerlo ms adelante.

    Respuestas.

    a) 115 kg.

    b) 18 kg.

    c) 158 .

    d) 815 .

    97

    IIMATEMTICASb) Cunto pesa en Europa una barra de plo

    mo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutn?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Plutn a partir de su peso en Europa?

    Comparen sus respuestas y sus procedimientos.

    Manos a la obraI. Completa la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la

    Tierra y Plutn.

    Peso en Europa (en kilogramos)

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    Peso en Plutn (en kilogramos)

    30 240 16

    15

    1

    Comparen sus tablas y completen el siguiente diagrama, en el que se establecen algunas de las relaciones que hay entre los pesos de los objetos en Europa, la Tierra y Plutn.

    Recuerda que:

    El producto de la constante a de un

    a

    relacin de proporcionalidad por la

    constante1

    a de la relacin inv

    ersa

    es igual a 1, es decir:

    a 1

    a=

    1

    a a = 1

    120 8

    8 8

    15

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 133 6/2/07 11:16:43 PM

  • 134 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Ahora s, corrijan los errores que pudieron haber cometido en el apartado Consideremos lo siguiente.

    98

    secuencia 7

    Recuerden que:

    La constante asociada

    a la aplicacin sucesiva

    de dos constantes de

    proporcionalidad es

    igual al producto de las

    dos constantes que se

    aplican sucesivamente.

    Verifiquen sus respuestas del apartado Consideremos lo siguiente.

    ii. En la siguiente tabla se indican las relaciones de proporcionalidad del diagrama 1 ysus relaciones inversas correspondientes. Compltala.

    Relacin de proporcionalidad Relacin inversa

    Relacin que a cada peso en Europa asocia el peso correspondiente en la Tierra.

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en .

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en Plutn.

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en la Tierra.

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en Plutn.

    Relacin que a cada peso en Plutn asocia el peso correspondiente en

    .

    Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas de las relaciones del diagrama 1.

    Se multiplica por

    Diagrama 1

    Peso en Europa Peso en Plutn

    Se multiplica por

    Peso en la Tierra

    Se multiplica por

    Se multiplica por

    Diagrama 2

    Peso en Plutn Peso en Europa

    Se multiplica por

    Peso en la Tierra

    Se multiplica por

    8115

    815

    Europa

    laTierra

    Plutn laTierra

    Plutn

    Plutn

    1518

    158

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 134 6/2/07 11:16:45 PM

  • 135L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 158 .

    b) Del peso en Plutn al peso en la Tierra 15,

    del peso en la Tierra al peso en Europa 18 ,

    del peso en Plutn al peso en Europa 158

    (porque 15 18 = 158 ).

    99

    IIMATEMTICASComparen sus tablas y diagramas. Comenten:

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un

    objeto en Europa a partir de su peso en Plutn?

    b) Cules son los recprocos de las constantes de proporcionalidad indicadas en el

    Diagrama 2?

    El siguiente esquema muestra las constantes de todas las relaciones de proporcionalidad que hay entre los pesos en Plutn, la Tierra y Europa.

    Lo que aprendimos1. En la sesin 1 de la secuencia 16 de tu libro de Matemticas I Volumen I aprendiste

    que los microscopios compuestos tienen dos lentes, llamados objetivo y ocular.

    Un microscopio compuesto tiene un lente objetivo que aumenta 15 veces el tamao de lo que se observa y un lente ocular que lo aumenta 25 veces.

    Completa el siguiente diagrama para encontrar el aumento final obtenido con el microscopio.

    Se multiplica por 158

    Se multiplica por 15 Se multiplica por 18

    Peso en Plutn Peso en la Tierra Peso en Europa

    Se multiplica por 115 Se multiplica por 8

    Se multiplica por 815

    Se multiplica por Se multiplica por

    Tamao realTamao obtenido

    con la primera lente

    Tamao final

    Se multiplica por

    2

    Sugerencia didctica. Anote este diagrama en el pizarrn y analcenlo juntos. Enfatice la direccin de las flechas y que las constantes (158 y 158 ) son recprocas.

    Integrar al portafolios. Guarde una copia de esta actividad en el portafolios de cada alumno.

    15 25

    375

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 135 6/2/07 11:16:47 PM

  • 136 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Resolver problemas en los que deban hallar la constante de proporcio-nalidad y su inversa.

    Organizacin del grupo. En esta sesin se propone que los alumnos trabajen de manera individual.

    100

    secuencia 7Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas del diagrama anterior.

    PROBLEMASLo que aprendimos1. El siguiente es el dibujo de un rompecabezas:

    SESiN 3

    Figura 1

    4 cm

    6 cm

    4 cm 4 cm2 cm

    4 cm6 cm

    2 cm

    6 cm

    2 cm

    Se multiplica por Se multiplica por

    Tamao finalTamao obtenido

    con el primer lente

    Tamao real

    Se multiplica por

    6 cm

    115

    1375

    125

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 136 6/2/07 11:16:49 PM

  • 137L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 32 es la constante de proporcionalidad de la relacin 1.

    b) 23 es la constante de proporcionalidad de la relacin 2.

    Posibles dificultades. La relacin entre los 4cm del original y los 7 cm de la ampliacin puede ser problemtica para algunos alumnos. Es posible que algunos utilicen una estrategia errnea: sumar 3 centmetros a cada una de las medidas. Si esto sucede, cuando junten las piezas del rompecabezas se darn cuenta de que algo estuvo mal porque no van a embonar.

    Para los alumnos puede ser difcil encontrar cul fue el error y ser necesario que usted intervenga. Puede preguntarles: por cul nmero tendramos que multiplicar al 4 para que d 7? Luego dles un tiempo para explorar posibles soluciones.

    La respuesta es 74 o 1.75, que es la constante de proporcionalidad de la relacin 1 (hallar las medidas de la copia conociendo las del original).

    Otra forma de ayudarlos a detectar errores puede ser la siguiente: planteles que si a 4 (en el original) le toca 7 (en la copia), a 2 le toca 3.5 y a 1 le toca 1.75, que es el valor unitario. A partir de ese dato podran calcular las dems medidas.

    Respuestas.

    c) 74 es la constante de proporcionalidad de la relacin 1.

    d) 47 es la constante de proporcionalidad de la relacin 2.

    101

    IIMATEMTICASSe va a hacer una copia del rompecabezas de la figura 1 de manera que el lado que mide 4 centmetros mida ahora 7 centmetros.

    a) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de la copia.

    Medidas en el original(en centmetros)

    Medidas en la copia (en centmetros)

    4 7

    2

    1

    6

    b) Construyan las piezas de la copia del rompecabezas. Cada uno de los integrantes de equipo contruir una pieza distinta . Al final, armen la copia del rompecabezas.

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas de

    la copia a partir de las medidas del original?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad de la relacin inversa, la que permite

    encontrar las medidas del original a partir de las medidas de la copia?

    2. Se va a hacer otra copia del rompecabezas de la figura 1 pero de tal manera que el lado que mide 2 centmetros mida ahora 3 centmetros. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas que tendr la nueva copia del rompecabezas.

    Medidas del rompecabezas(en centmetros)

    Medidas de la copia (en centmetros)

    2 3

    4

    6

    a) Por qu nmero hay que multiplicar las medidas de la figura 1 para obtener las

    medidas de la nueva copia?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas

    del rompecabezas original a partir de las medidas de la copia?

    3.5

    1.75

    10.5

    6

    9

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 137 6/2/07 11:16:51 PM

  • 138 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Resolver problemas de proporcionalidad.

    Sugerencias didcticas. Si lo considera oportuno puede modificar las medidas presentadas en el interactivo para que los alumnos observen las relaciones entre las medidas reales y las medidas en el dibujo. Tambin puede ocupar el botn Resolver para que se presenten los resultados de las tablas y que los alumnos generen algunas hiptesis de cmo se pueden obtener, para despus cambiar los valores de la tabla y verificar su hiptesis.

    102

    secuencia 73. El siguiente es el dibujo del plano de una casa hecho a escala 2000 cm a 10 cm.

    Completa la siguiente tabla para encontrar algunas medidas reales y del dibujo de la casa.

    Medidas reales(en centmetros)

    Medidas en el dibujo(en centmetros)

    Largo de la casa 2 00010

    Ancho de la casa 5

    Largo de la recmara 1 500

    Ancho del bao 2 200

    Largo del patio y jardn 3.5

    Largo del bao 2 1.3

    Ancho de la recmara 2 360

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas rea

    les a partir de las medidas del dibujo?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del

    dibujo a partir de las medidas reales?

    Recmara2

    Recmara1

    Bao 1

    Sala y Comedor

    Patio y Jardn

    Bao 2

    Respuestas.

    a) 200 es la constante de proporcionalidad de la relacin 1.

    b) 1200 es la constante de proporcionalidad

    de la relacin 2.

    2.5

    1

    700

    260

    1 000

    1.8

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 138 6/2/07 11:16:53 PM

  • 139L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 19 litros.

    b) 120 .

    Propsito del interactivo. Observar el efecto de ampliacin o reduccin de una figura e identificar los elementos invariantes y el factor de proporcionalidad para construir figuras a escala. Hacer uso de una variable para variar el tamao de una figura o crear otras a diferentes escalas.

    Sugerencias didcticas. Se sugiere usar este interactivo para repasar los temas de proporcio-nalidad directa. Adems puede usar los interactivos indicados en las secuencias 6, 7, 15 y 16 de primer grado.

    103

    IIMATEMTICAS4. Un automvil tiene un rendimiento de 20 kilmetros por cada litro de gasolina.

    a) Cuntos litros de gasolina consume si recorri 380 kilmetros?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad que permite conocer la cantidad de gaso

    lina que consumi el automvil a partir del nmero de kilmetros que recorri?

    Para saber msSobre el peso y el tiempo en otros planetas consulta:http://www.astrored.org/contenidos/articulo.php/alex_dantart/peso[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Explora el interactivo Porporcionalidad con Logo.

    MAT2 B1 S07 maestro.indd 139 6/2/07 11:16:57 PM

  • 140 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Abordar situaciones en las cuales se resuelven problemas de proporcionalidad mltiple.

    Propsito de la sesin. Resolver problemas de proporcionalidad mltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan de manera directamente proporcional.

    Organizacin del grupo. Se propone que resuelvan la sesin en parejas y que comenten sus resultados y procedimientos con todo el grupo.

    Descripcin del video. El video es introduc-torio. A partir de varios ejemplos se ve cundo dos cantidades son directamente proporciona-les o inversamente proporcionales. Adems se muestra la diferencia que hay entre la relacin inversa de proporcionalidad y cantidades inversamente proporcionales para evitar confusiones entre ambos trminos. Se dan los elementos necesarios para introducir el concepto de proporcionalidad mltiple.

    Propsito de la actividad. Los alumnos han calculado el volumen de prismas desde la primaria, sin embargo, lo que se pretende en esta actividad no es que repasen las frmulas sino que exploren las relaciones entre las tres cantidades involucradas en el clculo del volumen: la altura, el largo y el ancho.

    Propsito de la secuenciaElaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad mltiple.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    El volumen Resolver problemas de proporcionalidad mltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan de manera directamente proporcional.

    Aula de mediosVideo

    La proporcionalidad mltiple

    Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    5

    2

    La excursin Resolver problemas de proporcionalidad mltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan tanto de manera directa como inversamente proporcional.

    3Ms problemas Resolver problemas de proporcionalidad mltiple en diversos contextos.

    EjeManejo de la informacin

    TemaAnlisis de la informacin

    Antecedentes

    En primer grado los alumnos resolvieron diversas situaciones en las que dos cantidades se relacionaban de manera directamente proporcional e inversamente proporcional. En esta secuencia explorarn esas relaciones cuando hay tres o ms cantidades en juego.

    104

    secuencia 8

    En esta secuencia estudiars problemas en los cuales hay dos o ms cantidades que se encuentran en proporcin directa o proporcin inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama problemas de proporcionalidad mltiple.

    EL VOLUMENPara empezarLa proporcionalidad mltiple

    sEsiN 1

    Proporcionalidad mltiple

    Recuerden que:

    Dos conjuntos de cantidades

    son inversamente proporcion

    a

    les cuando al aumentar una

    cantidad al doble, triple, etc

    tera, su cantidad correspon

    diente disminuye a la mitad,

    tercera parte, etctera.

    Una de las situaciones en las que surgen problemas de proporcionali-dad mltiple es el clculo de volmenes. En tu libro Matemticas de sexto de primaria aprendieste a calcular los volmenes de algunos prismas. Por ejemplo, para un prisma rectangular como el siguiente:

    El volumen se calcula:

    Volumen = 4 cm 2 cm 3 cm = 24 cm3

    Altura3 cm

    Largo4 cm

    Ancho2 cm

    Prisma 1

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 140 6/2/07 11:18:15 PM

  • 141L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. a) Se aumenta el triple. Las medidas del nuevo

    prisma seran 12 cm, 3 cm y 2 cm, as que al variar una de las dimensiones (el largo) aumentndola al triple, el volumen tambin aumenta tres veces (de 24 cm3 a 72 cm3).

    b) Las medidas de dicho prisma seran 2 cm, 3 cm y 2 cm, y su volumen es 12 cm3, la mitad del prisma original porque una de sus dimensiones (el largo) disminuy a la mitad.

    c) Las medidas de este prisma seran 8 cm, 9 cm y 2 cm, dando como resultado un volumen de 144 cm3. Con respecto al volumen del prisma original, el del nuevo aument 6 veces porque una de sus dimensiones aument al doble (el largo) y otra al triple (la altura).

    Sugerencia didctica. Es importante que en este momento no d explicaciones a los alumnos acerca de la relacin entre la variacin de la medida de una o dos dimensiones del prisma y su volumen. Permtales explorar dicha relacin aunque cometan errores. Por ejemplo, los alumnos pueden pensar que al modificar las medidas del prisma como se indica en el inciso c) (aumentar al doble la medida del largo y al triple la de la altura) el volumen del prisma aumenta 5 veces (porque 2 + 3 = 5). Si algunos alumnos dan esa respuesta (u otra) pregnteles por qu y sigan resolviendo la sesin, ms adelante tendrn oportunidad de aclararlo.

    1

    105

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteRespondan lo siguiente:

    a) Si se aumenta al triple la medida del largo del prisma 1, cuntas veces aumenta

    su volumen?

    b) Si disminuye a la mitad la medida del largo del prisma 1, cuntas veces disminu-

    ye el volumen?

    c) Si aumenta al doble la medida del largo y aumenta al triple la medida de la altura

    del prisma 1, cuntas veces aumenta el volumen?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obraI. En la siguiente figura se aument al triple la medida del largo del prisma 1 y se ob-

    tuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 2.

    a) Cunto mide el largo del prisma 2?

    b) Cul es el volumen del prisma 2?

    c) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 2?

    d) Supongan que aumentara cinco veces el largo del prisma 1, cuntas veces au-

    mentar su volumen?

    e) Cunto medir el volumen del nuevo prisma?

    4 cm 4 cm

    Altura 3 cm

    4 cm

    Largo cm

    Prisma 2

    Ancho2 cm

    Sugerencia didctica. Antes de contestar las preguntas siguientes pida a los alumnos que, observando los dibujos, digan cuntas veces aument el volumen del prisma 2 con respecto al 1. Para los alumnos es sencillo percibir el cambio en el volumen cuando se modifica una de las dimensiones (en este caso, el largo). Tener esto claro es importante para analizar lo que ocurre cuando se modifican dos dimensiones simultneamente.

    Respuestas. a) 12 cm.b) 72 cm3 (12 3 2).c) Por 3.d) Aumenta 5 veces.e) 120 cm3.

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 141 6/2/07 11:18:17 PM

  • 142 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Con esta actividad se pretende seguir trabajando con los alumnos el hecho de que al aumentar o disminuir x nmero de veces una de las dimensiones del prisma, su volumen tambin aumenta o disminuye x veces. En este caso, la altura y la anchura permanecen fijas y se vara el largo. El nmero de veces en el que aumenta o disminuye el volumen, o bien, el nmero por el que hay que multiplicar el volumen del prisma original para obtener el del nuevo prisma, es la constante de proporcionalidad.

    Propsito de la actividad. Ahora se vara la altura y se dejan fijas las otras dos dimensiones, largo y ancho. La intencin es que los alumnos se percaten de que no importa cul sea la dimensin que se vare, el volumen aumenta o disminuye tantas veces como lo haya hecho esa dimensin, es decir, si dos de las dimensiones del prisma permanecen fijas, entonces la variacin de la otra medida se encuentra en proporcin directa con el volumen del prisma.

    106

    secuencia 8

    Comparen sus respuestas.

    ii. En la siguiente figura se aument al triple la medida de la altura del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 3.

    Largo del prisma

    (cm)

    Ancho del prisma

    (cm)

    Altura del prisma

    (cm)

    Volumen del prisma

    (cm3)

    Variacin del volumen del prisma(las medidas del ancho y la altura permanecen fijas

    pero cambia la medida del largo)

    4 2 3 24

    2 4 2 3El largo aument 2 veces

    Cuntas veces aument el volumen?

    16 2 3El largo aument

    Cuntas veces aument el volumen?

    2 2 3El largo disminuy

    Cuntas veces disminuy el volumen?

    En la siguiente tabla las medidas del ancho y la altura del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida del largo vara. Completen la tabla y encuentren los volmenes co-rrespondientes.

    3 cm

    3 cm

    Altura

    cm3 cm

    Prisma 3

    Ancho2 cm

    Largo4 cm

    48

    96

    12

    2 veces4 veces

    1 vez2

    4 veces1 vez2

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 142 6/2/07 11:18:19 PM

  • 143L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.a) 9 cm.b) 72 cm3.c) Por 3. Esa es la constante de

    proporcionalidad.

    107

    IIMATEMTICASa) Cunto mide la altura del prisma 3?

    b) Cunto mide el volumen del prisma 3?

    c) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 3?

    En la siguiente tabla las medidas del largo y del ancho del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida de la altura vara. Completen la tabla y encuentren los volmenes correspondientes.

    Largo del prisma

    (cm)

    Ancho del prisma

    (cm)

    Altura del prisma

    (cm)

    Volumen del prisma

    (cm3)

    Variacin del volumen del prisma

    (la medida del largo y el ancho permanecen fijas pero cambia la medida de la altura)

    4 2 3 24

    4 2 12La altura aument 4 veces

    Cuntas veces aument el volumen?

    4 2 24La altura aument

    Cuntas veces aument el volumen?

    4 2 12 3

    La altura disminuy

    Cuntas veces disminuy el volumen?

    A lo que llegamosLas situaciones de proporcionalidad mltiple se caracterizan porque dos o ms cantidades se encuentran relacionadas proporcionalmente con otra cantidad.

    Por ejemplo, cuando las medidas del ancho y la altura de un prisma rectangular permanecen fijas, la medida de su largo se encuentra en proporcin directa con la medida de su volumen.

    Es decir, cuando se aumenta al doble, o triple, etctera, la medida del largo del prisma rectangular y la altura y el ancho permanecen fijos, la medida del volumen aumenta al doble, o triple, etctera.

    Esto tambin sucede con las otras medidas del prisma. Es decir, cuan-do las medidas del largo y del ancho del prisma permanecen fijas, la medida de la altura del prisma se encuentra en proporcin directa con el volumen del prisma. Y cuando las medidas de la altura y del largodel prisma permanecen fijas, la medida del ancho se encuentra en proporcin directa con la medida del volumen.

    96

    192

    12

    4 veces

    1 vez2

    8 veces8 veces

    1 vez2

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 143 6/2/07 11:18:23 PM

  • 144 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Ahora se hacen variar dos de las dimensiones para hacer notar que si una dimensin aumenta o disminuye n veces, y la otra aumenta o disminuye m veces, el volumen vara n m veces.Puede pensarse as:

    cuando se vara una dimensin n veces, n es la constante de proporcionalidad y el volumen vara n veces;cuando se varan dos dimensiones, n es una constante de proporcionalidad y m es otra constante de proporcionalidad, y el volumen se obtiene al multiplicar esas dos constantes (n m).

    En la secuencia 16 del libro de primer grado los estudiantes abordaron la aplicacin sucesiva de dos constantes de proporcionalidad. Si lo considera til pueden repasar la informacin de los recuadros de A lo que llegamos.

    Propsito del interactivo. Que los alumnos exploren un problema donde dos cantidades estn relacionadas proporcionalmente con otra y observen cmo cambian o se mantienen dichas relaciones.

    Sugerencias didcticas. Puede cambiar las medidas del prisma para que los alumnos trabajen con nmeros sencillos y sea fcil encontrar relaciones, despus puede modificar los nmeros para comprobar que sus hiptesis se cumplen para otros casos, o elegir medidas en las que no se cumplan y pedir a los alumnos que expliquen por qu. Tambin se puede trabajar con las medidas que presenta el interactivo aleatoriamente y ocupar el botn Resolver para que los alumnos trabajen con ejercicios resueltos, analizando las relaciones entre los nmeros, para despus comprobarlas con ejercicios que ellos resuelvan.

    Respuestas. a) 144 cm3.b) Por 6. Una de sus dimensiones aument al

    triple (la altura) y otra al doble (el largo), por lo tanto el volumen aument 3 2 veces.

    108

    secuencia 8iii. Completen las medidas que faltan en el prisma 4 para encontrar qu sucede con el

    volumen del prisma 1 cuando la medida del largo se duplica y la medida de la altura se triplica, pero la medida del ancho permanece fija.

    a) Cunto mide el volumen del prisma 4?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 4?

    3 cm

    3 cm

    4 cm 4 cm

    Largo cm

    Altura

    cm3 cm

    Prisma 4

    Ancho2 cm

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 144 6/2/07 11:18:25 PM

  • 145L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que verifiquen en la tabla anterior si efectivamente el volumen vara tantas veces como el producto del nmero de veces que vara el largo por el nmero de veces que vara la altura.

    109

    IIMATEMTICASEn la siguiente tabla las medidas del largo y de la altura del prisma 1 varan, pero la medida del ancho permanece fija. Completen la tabla y encuentren los volmenes correspondientes.

    Largo del prisma

    (cm)

    Ancho del prisma

    (cm)

    Altura del prisma

    (cm)

    Volumen delprisma(cm3)

    Variacin del volumen del prisma(las medidas del ancho permanece fija y

    cambian las medidas de la altura y del largo)

    4 2 3 24

    8 = 2 4 2 9 = 3 3

    Cuntas veces aument el largo? 2 veces

    Cuntas veces aument la altura? 3 veces

    Cuntas veces aument el volumen?

    12 2 12

    Cuntas veces aument el largo?

    Cuntas veces aument la altura?

    Cuntas veces aument el volumen?

    16 2 9

    Cuntas veces aument el largo?

    Cuntas veces aument la altura?

    Cuntas veces aument el volumen?

    2 2 12

    Cuntas veces disminuyo el largo?

    Cuntas veces aument la altura?

    Cuntas veces aument el volumen?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    A lo que llegamosEn algunas situaciones de proporcionalidad mltiple, como en la del prisma rectangular, si dos o ms de las cantidades varan al mismo tiempo, por ejemplo, si el largo aumenta n veces y al mismo tiempo el ancho aumenta m veces pero la altura permanece fija, entonces el volumen aumenta n m veces.

    144

    288

    288

    48

    6 veces

    3 veces

    4 veces

    12 veces

    4 veces

    3 veces

    12 veces

    4 veces

    2 veces

    1 vez2

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 145 6/2/07 11:18:29 PM

  • 146 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. a) 144 cm3.b) Por 6 (la altura aument 3 veces y el ancho

    2, as pues, el volumen aument 3 2 veces).

    c) Aumentara nueve veces.

    110

    secuencia 8

    Lo que aprendimos1. El siguiente prisma rectangular se obtuvo al variar las medidas del prisma 1 de la si-

    guiente manera: la altura aument al triple, el ancho aument al doble y el largo se mantuvo fijo. Completen los datos que faltan en el dibujo.

    a) Cunto mide el volumen del prisma 5?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 5?

    c) Si las medidas del largo y del ancho del prisma 1 aumentaran al triple y la altura

    permaneciera fija, cuntas veces aumentara el volumen del prisma 1?

    3 cm

    3 cm

    Altura

    cm

    2 cm

    Altura 4 cm

    3 cm

    2 cm

    Ancho: cm

    Prisma 5

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 146 6/2/07 11:18:31 PM

  • 147L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Resolver problemas de proporcionalidad mltiple en los que los conjuntos involucrados se relacionan tanto de manera directa como inversamente proporcional. Organizacin del grupo. Al igual que en la sesin anterior, se propone que los alumnos trabajen en parejas y que los comentarios se hagan con todo el grupo.

    111

    IIMATEMTICASLA EXCURsiNConsideremos lo siguienteEn una escuela se va a realizar una excursin. Los organizadores saben que en promedio 12 nios consumen 144 litros de agua durante 6 das.

    a) Cuntos litros de agua hay que llevar a la excursin si van a ir 60 nios durante 3

    das?

    b) Y si fueran 36 nios y los organizadores llevaran 144 litros de agua, para cuntos

    das de excursin alcanzara el agua?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obraI. Respondan las siguientes preguntas.

    a) Si en lugar de ir 12 nios a la excursin fueran 24 nios:

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos das?

    Para cuntos das alcanzara el agua?

    El nmero de das aumentara al doble o disminuira a la mitad?

    b) Si en lugar de ir 12 nios a la excursin fueran 6 nios:

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos das?

    Para cuntos das alcanzara el agua?

    El nmero de das aumentara al doble o disminuira a la mitad?

    c) Si fueran a la excursin 4 nios y llevaran 144 litros de agua:

    Para cuntos das alcanzara el agua?

    El nmero de das aumentara al triple o disminuira a la tercera parte?

    Comparen sus respuestas.

    sEsiN 2

    Propsito del problema. En este caso, y a diferencia de las situaciones planteadas en la sesin 1, las cantidades no slo se relacionan de manera directamente proporcional sino tambin de manera inversamente proporcional. Es decir, en la sesin anterior al aumentar una o dos de las dimensiones del prisma se vio que el volumen tambin aumenta en forma directamen-te proporcional; mientras que en este problema si se deja fija la cantidad de litros de agua, la cantidad de das y la cantidad de nios se relacionan de manera inversamente proporcional (mientras ms nios vayan a la excursin, menos das alcanzar el suministro de agua y viceversa, mientras ms das dure la excursin, el suministro alcanza para menos nios).

    Sugerencia didctica. Comprender las relaciones de proporcionalidad inversa puede ser difcil para algunos alumnos, especialmente en situaciones como sta en la que entran en juego tres cantidades (litros de agua, das que dura la excursin y nmero de nios que asisten). Permita a sus alumnos explorar la situacin mediante los procedimientos que quieran aunque no lleguen a obtener respuestas correctas. En el transcurso de la sesin irn trabajando la situacin para lograrlo.

    Posibles dificultades. Quiz algunos alumnos confundan la relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directa con una relacin inversamente proporcional. La primera la han trabajado en tablas y esquemas diversos y es la que permite ir de regreso, por ejemplo, si la constante de proporcionalidad es por 3, la inversa de esa constante es por 13 . La segunda es un tipo de variacin distinta en la que cuando una cantidad aumenta el doble, la otra disminuye a la mitad, si aumenta el triple la otra disminuye a la tercera parte, etctera (revisaron situaciones de proporcionalidad inversa en la secuencia 37 de primer grado). Si lo considera necesario, comente esto con los alumnos y recuerden secuencias de su libro de primero en las que hayan trabajado con una y otra.

    Respuestas. a) Deben llevar 360 litros.b) Alcanzara para 2 das.

    Respuestas. a) Los 144 litros alcanzaran para menos das

    porque se incrementa el nmero de nios. Como es el doble de nios, la cantidad de das que durara el agua sera la mitad, o sea, 3 das.

    b) Seran la mitad de nios, por lo tanto el agua alcanzara para el doble de das (12).

    c) Si va la tercera parte de nios (4) el agua alcanzara para tres veces ms das (18).

    Sugerencia didctica. Las anteriores preguntas tienen el propsito de que los alumnos noten que cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros), si se aumenta n veces el nmero de nios, entonces el nmero de das disminuye n veces; y que si se disminuye el nmero de nios n veces, entonces el nmero de das aumenta n veces. Si lo considera til para el momento de comparar sus respuestas, pdales que completen una tabla como la siguiente para verificarlas y haga nfasis en que la cantidad de agua permanece fija y las otras dos cantidades son inversamente proporcionales.

    Cantidad de agua consumida

    Nmero de nios

    Das de excursin

    120 litros 12 6

    120 litros 24

    120 litros 6

    120 litros 4

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 147 6/2/07 11:18:33 PM

  • 148 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Permita a los alumnos que contesten lo que consideren correcto, no les d las respuestas en este momento.

    Una vez que analicen las siguientes tablas, pdales que revisen sus respuestas y corrijan si es necesario.

    112

    secuencia 8d) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmacin sea

    verdadera y la letra F cuando la afirmacin sea falsa.

    Cuando el nmero de litros de agua permanece fijo (144 litros), el nmero de das y el nmero de nios son cantidades directamente proporcionales.Cuando el nmero de litros de agua permanece fijo (144 litros), el nmero de das y el nmero de nios son cantidades inversamente proporcionales.

    Las siguientes tablas son tiles para determinar si dos conjuntos de cantidades son direc-tamente proporcionales o inversamente proporcionales.

    Cantidades directamente proporcionales Cantidades inversamente proporcionales

    Si una cantidad aumenta al do-ble, al triple, etctera

    la otra aumenta al doble, al triple, etctera.

    Si una cantidad aumenta al doble, al triple, etctera

    la otra cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etctera.

    Si una cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etctera

    la otra cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etctera.

    Si una cantidad disminuye a la mi-tad, tercera parte, etctera

    la otra cantidad aumenta al doble, al triple, etctera.

    ii. Respondan las siguientes preguntas. Recuerden que en promedio 12 nios consumen 144 litros de agua durante 6 das.

    a) Si en lugar de ir 12 nios a la excursin fueran 60 nios:

    Habra que llevar ms o menos agua para 6 das de excursin?

    Cunta agua habra que llevar?

    La cantidad de agua aumentara cinco veces o disminuira a la quinta parte?

    b) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmacin sea verdadera y la letra F cuando la afirmacin sea falsa.

    Cuando el nmero de das permanece fijo (6 das), el nmero de nios y la cantidad de agua que se consumi-r son cantidades directamente proporcionales.

    Cuando el nmero de das permanece fijo (6 das), el nmero de nios y la cantidad de agua que se consumi-r son cantidades inversamente proporcionales.

    Respuestas. a) Habra que llevar ms agua, si va a haber

    5 veces ms nios y el nmero de das permanece igual, se necesita cinco veces ms agua (720 litros).

    V

    F

    F

    V

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 148 6/2/07 11:18:35 PM

  • 149L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.g) 120 litros.h) 360 litros.

    Respuestas.c) Necesitaran menos agua, si el nmero de

    das se reduce a la mitad, la cantidad de litros de agua necesarios tambin (72 litros).

    d) 24 litros.e) 2 litros.

    113

    IIMATEMTICASc) Si en lugar de ir 6 das de excursin fueran slo 3 das:

    Los 12 nios necesitaran ms o menos de 144 litros de agua?

    Cunta agua tendran que llevar?

    La cantidad de agua aumentara al doble o disminuira a la mitad?

    d) Cuntos litros de agua consumen 12 nios durante 1 da de excursin?

    e) Cuntos litros de agua consume 1 nio durante 1 da de excursin?

    f) Comenten las siguientes afirmaciones y pongan la letra V cuando la afirmacin sea verdadera y la letra F cuando la afirmacin sea falsa.

    Cuando el nmero de nios permanece fijo (12 nios), el nmero de das y la cantidad de

    agua que se consumir son cantidades directamente proporcionales.

    Cuando el nmero de nios permanece fijo (12 nios), el nmero de das y la cantidad de

    agua que se consumir son cantidades inversamente proporcionales.

    g) Cuntos litros de agua consumirn

    60 nios durante 1 da de excursin?

    h) Cuntos litros de agua consumirn

    60 nios durante 3 das de excursin?

    V

    F

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 149 6/2/07 11:18:38 PM

  • 150 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que con este mtodo verifiquen sus respuestas a las preguntas planteadas al inicio de la sesin.

    114

    secuencia 8

    A lo que llegamosEn los problemas de proporcionalidad mltiple puede suceder que cuando una de las cantidades permanece fija las otras dos sean direc-tamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo:

    1. Si el nmero de nios que van a ir a la excursin permanece fijo, entonces el nmero de das que van a estar en la excursin y el nmero de litros de agua que se consumirn son cantidades direc-tamente proporcionales.

    2. Si el nmero de litros de agua que se consumi en la excursin permanece fijo, entonces el nmero de das y el nmero de nios son cantidades inversamente proporcionales.

    Una de las tcnicas tiles para resolver algunos problemas de pro-porcionalidad mltiple es encontrar el valor que corresponde a las unidades. Por ejemplo, en el problema de la excursin la cantidad de agua que consume 1 nio durante 1 da es el valor que corresponde a las unidades: en 1 da 1 nio consume 2 litros de agua. El valor que le corresponde a las unidades en este caso es 2. Luego, si queremos saber cuntos litros de agua consumirn 70 nios durante 5 das de excursin, solamente tenemos que hacer una multi-plicacin, el siguiente esquema ilustra mejor este hecho.

    As que 70 nios durante 5 das de excursin consumirn 700 litros de agua.

    2 5 70 = 700

    Nmero de nios que fueron a la excursin

    Nmero de litros de agua que consumieron 70 nios durante

    5 das de excursin

    Nmero de das que dur la excursin

    Valor que le corresponde a las unidades: nmero de litros de

    agua que consume 1 nio durante 1 da de excursin

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 150 6/2/07 11:18:42 PM

  • 151L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. a) Alcanzaran para menos nios. Como los

    das de excursin son el triple (18), el agua alcanzara para la tercera parte de los nios (4).

    b) Alcanzaran para ms nios. Si se reduce a la tercera parte el nmero de das, el agua alcanzara para tres veces ms nios (36).

    115

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Responde las siguientes preguntas. Recuerda que en promedio 12 nios consumen

    144 litros de agua durante 6 das.

    a) Si en lugar de ir 6 das de excursin van 18 das.

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos nios?

    Para cuntos nios alcanzara el agua?

    El nmero de nios aument al triple o disminuy a la tercera parte?

    b) Si en lugar de ir 6 das de excursin van 2 das.

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos nios?

    Para cuntos nios alcanzara el agua?

    El nmero de nios aument al triple o disminuy a la tercera parte?

    2. Completa la siguiente tabla para verificar si el nmero de nios y el nmero de das de la excursin son cantidades directamente proporcionales o inversamente propor-cionales cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros).

    Cantidad de agua consumida Das de excursin Nmero de nios

    144 litros 6 12

    144 litros 3

    144 litros 12

    144 litros 1

    Ms PROBLEMAsLo que aprendimos1. En la sesin 1 de esta secuencia se calcul el volumen del prisma rectangular 1

    Volumen = 4 cm 2 cm 3 cm = 24 cm3

    4 cm

    3 cm

    2 cm

    sEsiN 3

    Prisma 1

    246

    72

    Propsito de la sesin. Resolver problemas de proporcionalidad mltiple en diversos contextos.

    Sugerencia didctica. Esta sesin est dedicada a emplear los conocimientos y las tcnicas de resolucin aprendidos en las dos anteriores. Puede dejar algunos de tarea o pedir que cada equipo resuelva un problema y luego lo expliquen a los dems en el pizarrn.

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades 2 y 3.

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 151 6/2/07 11:18:44 PM

  • 152 L ib ro para e l maest ro

    116

    secuencia 8Contesta las siguientes preguntas:

    a) Si se aumenta cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al

    doble se obtiene un nuevo prisma: el prisma 6. Cul es el volumen del prisma 6?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 6?

    c) Al aumentar cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al

    triple se obtiene otro nuevo prisma: el prisma 7. Cul es el volumen del prisma 7?

    d) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 7?

    2. Sabiendo que para construir un muro de 3 metros de largo y 2 metros de altura se necesitan 150 ladrillos, contesta las siguientes preguntas:

    a) Cuntos tabiques se necesitan para construir un muro que mida un metro de

    largo por 3 metros de alto?

    b) Cuntos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 1 metro de largo

    por 1 metro de alto?

    c) Cuntos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 12 metros de

    largo por 3 metros de alto?

    Subraya las afirmaciones correctas:

    Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces el n-mero de ladrillos es inversamente proporcional a la medida del largo del muro.

    Si la medida del largo del muro permanece fija (3 metros), entonces la medida de la altura y el nmero de ladrillos que se necesitan son cantidades directa-mente proporcionales.

    Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces la me-dida del largo y el nmero de ladrillos que se necesitan son cantidades direc-tamente proporcionales.

    d) Si un muro mide 4 metros de largo y est hecho con 100 tabiques, cunto mide

    su altura?

    Respuestas.a) 192 cm3 (porque sus medidas seran 8 de

    largo, 6 de alto y 4 de ancho).b) Por 8 (porque sus tres dimensiones

    aumentaron dos veces, entonces el volumen es 2 2 2 veces mayor que el prisma 1).

    c) 648 cm3 (porque sus medidas seran 12 de largo, 9 de alto y 6 de ancho).

    d) Por 27 (porque sus tres dimensiones aumentaron tres veces, entonces el volumen es 3 3 3 veces mayor que el prisma 1).

    Respuestas. a) 75 tabiques.b) 25 tabiques.c) 900 tabiques.

    Sugerencia didctica. Si los alumnos tienen dificultades para resolver este problema sugirales que dibujen en sus cuadernos los muros, y as ser ms sencillo ver que el muro que mide 1 m largo por 3 m largo (inciso a) es de la mitad del tamao que el original. Adems, como mide 3 m2 es fcil notar que para construir cada metro cuadrado se necesitan 25 tabiques (con lo que se responde el inciso b).

    Respuesta. Las ltimas dos afirmaciones son correctas, cuando se deja fija una de las dimensiones, la superficie (expresada en cantidad de ladrillos) es directamente proporcio-nal a la dimensin que vara.

    Respuestas.d) 1 metro.e) 2 metros.f) 4 metros.g) son cantidades inversamente

    proporcionales porque si la superficie (cantidad de tabiques) permanece fija y la altura aumenta, el ancho debe disminuir, y viceversa.

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 152 6/2/07 11:18:46 PM

  • 153L ib ro para e l maest ro

    117

    IIMATEMTICASe) Si un muro mide 2 metros de largo y est hecho con 100 tabiques, cunto mide

    su altura?

    f) Si un muro mide 1 metro de largo y est hecho con 100 tabiques, cunto mide

    su altura?

    g) Completa la siguiente afirmacin para que sea correcta.

    Si la cantidad de tabiques permanece fija (100 tabiques), entonces la medida del

    largo y la medida de la altura son cantidades proporcionales.

    3. Damin es un granjero y se dedica a la crianza de guajolotes. l sabe que 10 guajolo-

    tes consumen aproximadamente 120 kilogramos de alimento durante 3 das.

    a) Cuntos kilogramos de alimento consumen 10 guajolotes durante 1 da?

    b) Cuntos kilogramos de alimento consume un guajolote durante 1 da?

    c) Cuntos kilogramos de alimento consumen 40 guajolotes durante 30 das?

    d) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 12 das, a cuntos gua-

    jolotes se alimentaron?

    e) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 3 das, a cuantos guajo-

    lotes se alimentaron?

    Para saber msSobre los prismas rectangulares y otras figuras geomtricas consulta:http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Respuestas. a) 40 kg.b) 4 kg.c) 4 800 kg.d) A 5 guajolotes.e) A 20 guajolotes.

    MAT2 B1 S08 maestro.indd 153 6/2/07 11:18:48 PM

  • 154 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la secuencia Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificacin de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de rbol u otros recursos.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    Cmo nos estacionamos? Encontrar procedimientos sistemticos de conteo en situaciones en las que no resulta prctico contar los casos uno por uno.

    VideoDe cuntas formas

    Interactivo

    2La casa de cultura Identificar situaciones en las que importa el orden y en las que no importa el orden.

    3

    Reparto de dulces Encontrar procedimientos sistemticos para contar todas las maneras en las que podemos repartir varios objetos.

    Interactivo

    EjeManejo de la informacin

    TemaRepresentacin de la informacin.

    Antecedentes

    En el primer grado los alumnos resolvieron problemas de conteo con apoyo de represen-taciones grficas, tales como tablas y diagramas de rbol. Asimismo, exploraron procedimientos sistemticos de conteo, particularmente la regla del producto. En el segundo grado los alumnos continan desarrollando su razonamiento combinatorio a travs de la resolucin de problemas de conteo. Las combinaciones son un caso particular del tipo de problemas que se aborda en la secuencia (las combinaciones tambin se presentan, por ejemplo, cuando tenemos que escoger tres objetos de cinco posibles, y no importa el orden). Para ello, utilizarn diagramas de rbol y arreglos rectangulares como recursos para organizar la informacin y averiguar el nmero total de casos posibles.

    118

    secuencia 9

    En esta secuencia vas a identificar regularidades para resolver proble-mas de conteo. Verificars tus resultados utilizando arreglos rectangu-lares, diagramas de rbol u otros recursos.

    CMO NOS ESTACIONAMOS?Para empezarDe cuntas formas?

    Existen situaciones en las que queremos ordenar o repartir varios objetos y resulta til conocer de cuntas maneras distintas podemos realizarlo. En los problemas de conteo se responde la pregunta de cuntas formas? Es importante contar de manera sistemtica y para ello conviene saber desarrollar patrones. En ocasiones contar los casos de uno en uno no resulta prctico, ya que puede requerir de mucho tiempo y adems se corre el riesgo de no contarlos todos.

    En la secuencia 8 de tu libro Matemticas i Volumen i resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de rbol y enumeraciones. En esta secuencia conocers otras tcnicas de conteo. En la secuencia 32 de este libro aprenders a calcular probabi-lidades y tomar decisones utilizando las tcnicas de conteo.

    Consideremos lo siguienteEn un edifico nuevo hay cinco departamentos y cinco lugares para estacionarse. Los lu-gares de estacionamiento se identifican con letras de la A a la E. Se han habitado dos departamentos nicamente, el de Sofa y el de Miguel, quienes estacionan cada noche su auto en alguno de los lugares. Por ejemplo, Sofa puede estacionarse en el lugar D y Miguel en el lugar B. Cules son todas las formas en las que se pueden estacionar Sofa y Miguel? En total cuntas son?

    Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.

    SESIN 1

    Problemas de conteoPropsito de la sesin. Encontrar procedimientos sistemticos de conteo en situaciones en las que no resulta prctico contar los casos uno por uno.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan individualmente, y que se organicen momentos de intercambio grupal.

    Descripcin del video. El video es de introduccin, contiene algunos ejemplos en los que resulta importante responder la pregunta de cuntas formas?

    Posibles procedimientos. Los alumnos pueden intentar hacer una lista o una tabla, aunque es posible que no lo hagan de manera sistemtica, por lo que tal vez omitan el conteo de algunos casos.

    Sugerencia didctica. Usted puede ayudarles a comprender el problema formulando algunas preguntas, como: cuntos lugares hay en el estacionamiento?, cuntas personas hacen uso del estacionamiento?; si Sofa se estaciona en el lugar A, qu lugares puede elegir Miguel?, y si Miguel se estaciona en el lugar B, qu opciones tiene Sofa? Tambin puede sugerirles que se apoyen en un dibujo o que representen en su cuaderno, de alguna manera, la forma en que se pueden ocupar los lugares y qu lugares quedan libres.

    Respuesta. En total hay 20 maneras en las que pueden estacionarse. La lista puede ser as: Sofa Miguel A B A C A D B A B C B D...

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 154 6/2/07 11:19:47 PM

  • 155L ib ro para e l maest ro

    119

    IIMATEMTICASManos a la obraI. La siguiente lista sirve para encontrar todas las posibles formas en las que se pueden

    estacionar Sofa y Miguel. La lista no indica quin de los dos lleg primero a estacio-narse, sino los distintos lugares de estacionamiento que pudieron ocupar. Hacen falta varias opciones, encuntralas todas y escrbelas en tu cuaderno.

    Sofa Miguel

    A B

    A C

    A D

    A E

    B A

    B C

    B

    Responde las siguientes preguntas:

    a) Un da Sofa lleg primero y escogi el lugar B; cuando llega Miguel, cuntos lugares

    tiene para escoger?

    b) Otro da Miguel lleg primero y escogi el lugar D; cuando llega Sofa, cuntos lu-

    gares tiene para escoger?

    c) Cuntos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?

    d) Cuntos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?

    e) De cuntas maneras distintas pueden estacionarse Sofa y Miguel?

    Comparen sus respuestas

    II. Ha llegado un nuevo vecino, llamado Paco; tambin estaciona su auto cada noche en alguno de los lugares. De cuntas formas pueden estacionarse Sofa, Miguel y Paco?

    Propsito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma sistemtica de enumerar todas las formas de estacionarse. Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos que, en la lista que se presenta, fijamos el lugar de una persona (Sofa) y vemos las opciones de la otra persona (Miguel). Esto nos permite ver las distintas formas en que pueden quedar estacionados, pero no quiere decir que primero lleg Sofa a estacionarse y luego Miguel. Se pueden intercambiar los nombres en la tabla, de manera que primero fijamos el lugar de Miguel y vemos las opciones que tiene Sofa. De cualquier manera se estn contando las mismas formas de estacionarse. Es importante que los alumnos identifiquen que en este tipo de problemas no es relevante el orden en el que se vayan colocando los objetos (en este caso el orden en el que se vayan estacionando), sino que estamos identificando todas las posibles maneras en que pueden quedar colocados al final. Durante la sesin aparecen preguntas en las que s interviene el orden de llegada, esto se hace para hacer ms clara la expresin que se obtiene para contar todas las posibles maneras que tienen los vecinos para estacionarse. Se pregunta de manera general, cualquiera de los vecinos pudo llegar en primer lugar o en segundo lugar. Lo importante es que, cuando todos los lugares estn vacos, hay 5 opciones para estacionarse. Si ya se ocup un lugar, quedan 4 lugares para estacionarse. Es semejante a lo que ocurre en la tabla: Sofa tiene 5 opciones, y para cada opcin que ella escoge, Miguel tiene 4 opciones para escoger. Al final obtenemos la expresin 5 4. Lo que se esperara es que los alumnos logren generalizar y digan que la primera persona en llegar (sin especificar quin fue) tiene 5 opciones, y la segunda persona en llegar (sin especificar quin fue) tiene 4 opciones. Sin embargo, esto no es fcil de lograr, por eso se utilizan mucho los recursos como la enumeracin, las tablas y los diagramas de rbol, para resolver los problemas.

    Respuesta. La lista tiene veinte renglones, se fija el lugar en el que est Sofa y luego se va cambiando el lugar en el que est Miguel.

    20

    4

    5

    4

    4

    Sugerencia didctica. Permita que los alumnos respondan estas preguntas sin anticiparles que multiplicar 5 4 es la forma ms rpida de obtener todas las combinaciones. En los incisos c) y d) es conveniente que aclare a los alumnos que la primera persona en llegar no va a ser necesariamente Sofa, y la segunda persona en llegar no necesariamente ser Miguel. En la tabla anterior fijamos el lugar de una persona (Sofa) y vemos las opciones de la otra (Miguel); en los incisos a) y b) fijamos las opciones segn el orden en el que pudieran llegar a estacionar-se, y en los incisos c) y d) no se sabe quin llega primero y quin despus, pero se est contando lo mismo, eso es lo importante. Se pregunta de esa manera para que los alumnos puedan ir identificando los factores 5 y 4.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos exploren tcnicas de conteo al resolver problemas en los que, al aumentar el nmero de vecinos, aumentan tambin las formas de estacionarse.

    Posibles dificultades. Dado que en este caso aumenta considerablemente el nmero de opciones, es probable que los alumnos no cuenten todas. Usted puede animarlos a encontrarlas todas utilizando una lista o una tabla, pues resulta poco prctico intentar enumerar todas las opciones.

    Respuesta. Hay 60 maneras en que los vecinos pueden estacionarse.

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 155 6/2/07 11:19:49 PM

  • 156 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Utilizar el diagrama de rbol como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

    Sugerencias didcticas. Para resolver este tipo de problemas utilice la opcin Muchos recorridos presentada en el interactivo. Pida a los alumnos que identifiquen cules son los datos que deben ir en cada nivel y cules en las ramas. Se puede ocupar el interactivo para:

    que los alumnos introduzcan los datos y observen cmo se construye el rbol;

    presentar problemas con menos datos para que los alumnos puedan empezar a generalizar otra forma de obtener el nmero de resultados posibles, y cada vez aumentar el nmero de datos;

    mostrarles que cuando los datos son demasiados es conveniente utilizar otras estrategias, como puede ser la multiplicacin.

    Propsito de la actividad. Utilizar al diagramas de rbol como un recurso que permite identificar y contar las opciones posibles. Adems, en este caso, el diagrama permite ilustrar la operacin a la que se quiere llegar para encontrar el nmero total de formas de estacionarse: 5 4 3. Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos que en el diagrama se pone un orden para identificar los distintos niveles (Sofa, Miguel, Paco), pero esto no indica el orden en el que llegaron a estacionarse. Para economizar tiempo y con la finalidad de que todos los alumnos tengan el mismo diagrama, lo que les facilitar responder las preguntas siguientes, usted puede copiar en el pizarrn la parte del diagrama que se presenta en el libro, y pedir a algunos alumnos que pasen a completarlo. Una vez que todo el grupo est de acuerdo con el diagrama, cada alumno lo copia en su cuaderno.

    Propsito de la actividad. Se espera que, a partir de las preguntas y con la ayuda del diagrama, los alumnos establezcan la operacin que permite contar todos los casos. En el apartado A lo que llegamos se analiza por qu esta operacin es la correcta. Sugerencia didctica. Nuevamente, aclare a los alumnos que la primera persona en llegar no necesariamente es Sofa, la segunda persona en llegar no necesariamente es Miguel y la tercera persona en llegar no necesariamente es Paco.

    120

    secuencia 9iii. Las posibles maneras de estacionarse que tienen Sofa, Miguel y Paco se pueden re-

    presentar utilizando un diagrama de rbol. El diagrama indica el lugar que escogi cada uno, sin importar quin lleg primero a estacionarse. Compltalo en tu cuaderno:

    sofa Miguel Paco Lugaresocupados

    c aBc

    B D aBD

    a c e aBe

    B D

    c e

    D

    e

    Utiliza el diagrama de rbol para responder las siguientes preguntas:

    a) Si Sofa est en el lugar C y Miguel no ha llegado, cuando llega Paco, en qu lu-

    gares se puede estacionar?

    b) Si Paco est en el lugar B y Miguel est en el lugar E, cuando llega Sofa, en qu

    lugares se puede estacionar?

    c) Cuntos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?

    d) Cuntos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?

    e) Cuntos lugares tiene para escoger la tercera persona en llegar?

    f) De cuntas maneras distintas pueden estacionarse Sofa, Miguel y Paco?

    Otra manera con la que podemos calcular el nmero total de formas que tienen para estacionarse Sofa, Miguel y Paco, es realizando una operacin. Subraya cul es:

    5 + 4 + 3

    5 4 3

    5 5 5

    5 + 5 + 5

    Por qu es la operacin correcta?

    A, B, D, E

    A, C, D

    5

    4

    3

    60

    Posibles respuestas.Se multiplican las opciones de cada vecino.El primero en llegar tiene 5 opciones, el segundo tiene 4 y el tercero tiene 3 opciones.Una respuesta parcialmente correcta puede ser: sta es la operacin que nos da el nmero total de opciones.

    A

    CDE

    BDE

    BCE

    BCD

    B

    C

    D

    E

    B

    CDE

    ADE

    ACE

    ACD

    A

    C

    D

    E

    C

    BDE

    ADE

    ABE

    ABD

    A

    B

    D

    E

    E

    BCD

    ACD

    ABD

    ABC

    A

    B

    C

    D

    D

    BCE

    ACE

    ABE

    ABC

    A

    B

    C

    E

    Digrama de rbol de la actividad III.

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 156 6/2/07 11:19:52 PM

  • 157L ib ro para e l maest ro

    Propsito de las preguntas. En el inciso a) se espera que los alumnos se den cuenta de que podemos presentar el diagrama de rbol de distintas maneras, pero siempre estamos contando el nmero total de opciones o de formas de estacionarse. En el inciso b) se pretende reafirmar la idea de que no importa el orden en el que lleguen a estacionarse, sino el nmero de formas distintas en las que los autos pueden quedar colocados.

    Respuestas. a) Es el mismo nmero de formas de estacionar-

    se. El nivel en el que est cada uno no es importante, podramos cambiarlos de lugar pero seguiramos contando el nmero total de posibles formas para estacionarse.

    b) Es la misma manera, no importa el orden de llegada sino el lugar que haya escogido cada uno, y quedaron en los mismos lugares en esos dos das.

    Sugerencia didctica. Una vez que los alumnos hayan identificado que con la operacin 5 4 pueden contar el nmero de formas de estacionarse, pdales que vuelvan al problema inicial para que, en caso de ser necesario, corrijan su respuesta.

    121

    IIMATEMTICASIV. Responde las siguientes preguntas:

    a) En el diagrama de rbol, Sofa est en el primer nivel, Miguel en el segundo y Paco en el tercero. Si en otro diagrama de rbol ponemos a Paco en el primer nivel, a Sofa en el segundo y a Miguel en el tercero, habra ms, menos o el mismo n-mero de posibles formas de estacionarseentre los tres? Explica por qu:

    b) Un da Paco lleg primero y se estacion en el lugar C; luego lleg Sofa y se es-tacion en el lugar E; Miguel fue el ltimo en llegar y se estacion en el lugar A. Otro da Miguel lleg primero y se estacion en el lugar A, luego lleg Paco y se estacion en el lugar C, al final lleg Sofa y se estacion en el lugar E. Se cuenta como la misma manera de estacionarse o son formas distintas? Explica por qu:

    Comparen sus respuestas. Comenten si, para contar el nmero total de formas que tienen para estacionarse los vecinos, es importante saber el orden en el que llegaron a estacionarse.

    V. Los cinco departamentos estn ocupados. Cada vecino estaciona su auto en alguno de los cinco lugares. Responde las siguientes preguntas:

    a) De cuntas maneras distintas pueden estacionarse los vecinos?

    b) Cul es la operacin a realizar para encontrar de cuntas maneras distintas pue-

    den estacionarse los cinco vecinos?

    c) Cul sera el inconveniente de realizar un diagrama de rbol para encontrar todas

    las formas de estacionarse que tienen los cinco vecinos?

    d) Cierto da, dos de los vecinos no utilizaron su auto y lo dejaron estacionado,

    de cuntas maneras distintas pueden estacionarse los tres vecinos restantes?

    Comparen sus respuestas. Para el caso en el que hay dos personas en el edificio, Sofa y Miguel, comenten cul es la operacin que se hace para calcular el nmero total de formas que tienen para estacionarse.

    Propsito de la actividad. Dado que ahora son cinco vecinos y el nmero de casos aumenta considerablemente, es poco prctico intentar contar las opciones una por una. Se espera que los alumnos puedan generalizar los procedimien-tos de resolucin que han utilizado, identifican-do a la multiplicacin (5 4 3 2 1) como la operacin que permite obtener el nmero total de opciones.

    Respuestas.a) 120

    b) (5 4 3 2 1). Es lo mismo que (5 4 3 2).

    c) Son demasiadas opciones. El rbol es muy grande. Llevara demasiado tiempo completarlo.

    d) Son seis maneras (es un caso en el que hay tres lugares y tres vecinos: 3 2 1).

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 157 6/2/07 11:19:54 PM

  • 158 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos. En los casos de cuatro y de cinco vecinos el resultado es el mismo debido a que con cuatro vecinos queda slo un lugar desocupado cada vez, sera lo mismo si llega otro vecino y se estaciona en ese lugar. Posteriormente, usted puede preguntarles que pasara en otros casos, por ejemplo: si hay seis departamentos y tres vecinos, de cuntas maneras pueden estacionarse?

    Incorporar al portafolios. Elija uno de los tres problemas para identificar los aprendizajes y las dificultades de los alumnos. Se espera que puedan resolver utilizando los recursos que se vieron en la sesin: enumeracin, tablas y diagramas de rbol. Es poco probable que utilicen directamente la multiplicacin; usted puede proponer que identifiquen la operacin que resuelve cada uno de los problemas una vez que los alumnos hayan comparado sus respuestas y procedimientos.Respuestas.1. Son 24 nmeros (4 3 2):

    Primer dgito

    Segundo dgito

    Tercer dgito

    Nmero que se forma

    2 4 5 245

    2 4 8 248

    2 5 8 258

    2 5 4 254

    2 8 5 285

    2 8 4 284

    4 2 5 425

    4 2 8 428

    4 5 2 452

    4 5 8 458

    4 8 2 482

    4 8 5 485

    5 2 4 524

    5 2 8 528

    5 4 2 542

    5 4 8 548

    5 8 2 582

    5 8 4 584

    8 2 4 824

    8 2 5 825

    8 4 2 842

    8 4 5 845

    8 5 2 852

    8 5 4 854

    122

    secuencia 9

    A lo que llegamosPodemos contar las distintas maneras en las que se pueden estacio-nar los vecinos fijndonos en el nmero de opciones que tiene para cada uno en el momento en que llega:

    Cuando todos los lugares estn vacos, cualquier vecino tiene cinco opciones para escoger. Cuando ya est ocupado un lugar, los otros vecinos tienen cuatro lugares para escoger. Si hay dos lugares ocupa-dos, los tres vecinos restantes tienen tres lugares para escoger. Luego, si hay tres lugares ocupados, quedan dos lugares para los dos vecinos restantes. Finalmente, queda un lugar para el ltimo vecino.

    El nmero total de casos posibles se obtiene multiplicando:

    Si hay dos vecinos: 5 4.

    Si hay tres vecinos: 5 4 3.

    Si hay cuatro vecinos: 5 4 3 2.

    Si hay cinco vecinos: 5 4 3 2 1.

    Lo que aprendimos1. Con los dgitos 2, 4, 8, 5 queremos formar nmeros de tres cifras; en cada nmero no

    se puede repetir ninguno de los dgitos. Cuntos nmeros podemos formar? Haz una lista con todos los nmeros.

    2. En una telesecundaria, dos alumnos deben escoger un da, de lunes a viernes, en el que les va a tocar hacer las tareas de limpieza del saln; cada uno debe escoger un da distinto. De cuntas maneras puede hacerse el rol de limpieza de esa semana? Haz un diagrama de rbol para representar todos los roles distintos.

    3. Cuatro alumnos van con el mdico a que les pongan una vacuna y ninguno quiere pasar primero, de cuntas formas distintas pueden ordenarse para pa-sar con el mdico?

    2. Hay 20 formas (5 4).

    3. Hay 24 formas (4 3 2 1).

    Aunque no se les pide que hagan la lista de todas las formas de ordenarse, una manera de resolverlo es identificando a cada alumno con un nmero o una letra, tambin es posible inventar un nombre para cada alumno.

    Lunes

    Martes

    Mircoles

    Jueves

    Viernes

    Lunes

    Lunes

    Lunes

    Lunes

    Martes

    Mircoles

    Jueves

    Viernes

    Mircoles

    Jueves

    Viernes

    Martes

    Jueves

    Viernes

    Martes

    Mircoles

    Viernes

    Martes

    Mircoles

    Jueves

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 158 6/2/07 11:20:02 PM

  • 159L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Identificar situaciones en las que importa el orden y en las que no importa el orden. Organizacin del grupo. Los alumnos pueden trabajar de manera individual y comparar sus resultados grupalmente.

    Respuesta. Hay seis formas posibles para inscribirse: danza y msica, danza y teatro, danza y dibujo, msica y teatro, msica y dibujo, teatro y dibujo. Los alumnos pueden hacer una lista, una tabla o un diagrama de rbol. Posibles errores. Puede haber alumnos que no identifiquen que en este caso el orden no es importante, por lo que podran contar ms opciones de las debidas (por ejemplo, repetir la misma opcin: danza y msica, msica y danza). Permita que los alumnos resuelvan por s mismos aun cuando cometan errores.

    123

    IIMATEMTICASLA CASA DE CULTURAPara empezarLa Casa de Cultura es un lugar en los municipios y barrios en el que se fomentan la cul-tura, el arte y la educacin. En la Casa de Cultura hay bibliotecas pblicas, se imparten talleres y cursos, y se organizan conferencias, obras de teatro, exposiciones, conciertos y presentaciones de libros.

    La Casa de Cultura tiene como objetivo contribuir a que la poblacin tenga la oportuni-dad de acercarse a diversas expresiones artsticas y tambin preservar las tradiciones del lugar donde se ubique.

    Consideremos lo siguienteFernanda asiste a la Casa de Cultura de su muni-cipio; en esta Casa de Cultura se imparten cuatro talleres: danza, msica, teatro y dibujo. Fernanda se va a inscribir slo a dos de los talleres. Cun-tas formas posibles tiene para inscribirse?

    Comparen sus respuestas. Expliquen cmo hi-cieron para encontrar las distintas formas que tiene Fernanda para inscribirse. Es lo mismo o es distinto si Fernanda pone en la hoja de ins-cripcin msica y teatro o si pone teatro y msica?

    SESIN 2

    Casa de CulturaInscripcin a los talleres

    Nombre:

    Deseo inscribirme a los siguientes talleres:

    y

    Firma

    Fernanda

    Sugerencia didctica. Enfatice el hecho de que en este problema el orden en que se presentan las opciones no es relevante.

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 159 6/2/07 11:20:06 PM

  • 160 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Sugerir a los alumnos que una manera de contar todas las formas posibles, en este caso, es utilizando una lista de enumeracin.

    124

    secuencia 9

    Manos a la obrai. En la siguiente lista hacen falta varias de las opciones que tiene Fernanda, encun-

    tralas todas y escrbelas en tu cuaderno.

    danza y msica

    danza y teatro

    danza y

    ii. En el diagrama de rbol estn representadas las formas en las que Fernanda puede inscribirse:

    Msica

    Danza Teatro

    Dibujo

    Danza

    Msica Teatro

    Dibujo

    Danza

    Teatro Msica

    Dibujo

    Danza

    Dibujo Msica

    Teatro

    a) Cuntas opciones hay en el diagrama?

    b) Cada una de las opciones est repetida: cuntas veces aparece cada una?

    c) Subraya cul de las siguientes operaciones sirve para calcular el nmero total de formas que tiene Fernanda para inscribirse:

    4 3

    4 32

    d) Por qu es la operacin correcta?

    Comparen sus respuestas.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, en este caso, el orden no importa, ya que se estn escogiendo dos de los talleres, sin importar cul va primero en la hoja de inscripcin.

    122 veces

    Respuesta. En el rbol hay 12 opciones, las cuales se obtienen mediante la operacin 4 3. Como cada opcin aparece 2 veces, se divide 12 2.

    Sugerencia didctica. Apoyndose en el diagrama de rbol, haga notar a los alumnos que cada una de las opciones aparece 2 veces, y que por ello el resultado de multiplicar 4 3 debe ser dividido despus entre 2.

    Posibles respuestas:Hay 12 opciones y cada una se repite 2 veces, hay que dividir 12 entre 2.Para el primer taller hay 4 opciones, y 3 opciones para el segundo taller, luego se divide entre 2.Es con la que se obtiene el nmero de opciones (aunque sta no es del todo correcta).

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 160 6/2/07 11:20:08 PM

  • 161L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Identificar una situacin en la que, de manera contraria a la anterior, el orden s importe.

    Respuesta. El nmero total de posibles formas de inscribirse son 12 (son las mismas que se muestran en el diagrama de rbol anterior):

    Primera Segunda

    danza msica

    danza teatro

    danza dibujo

    msica danza

    msica teatro

    msica dibujo

    teatro danza

    teatro msica

    teatro dibujo

    dibujo danza

    dibujo msica

    dibujo teatro

    125

    IIMATEMTICASIII. Otra Casa de Cultura imparte los mismos talleres: danza, msica, teatro y dibujo.

    Para inscribirse hay que indicar cul es la primera opcin y cul es la segunda.

    a) En tu cuaderno haz una lista con todas las posibles maneras de inscribirse.

    b) Cuntas maneras son?

    c) Si no se ha llenado todava ninguna de las opciones en la hoja de inscripcin,

    cuntos talleres hay para poner en la primera opcin?

    d) Si ya se puso la primera opcin, cuntos talleres hay para poner en la segunda

    opcin?

    e) Subraya cul de las siguientes operaciones sirve para calcular el nmero total de formas de llenar la hoja de inscripcin:

    4 3

    4 32

    f) Argumenta tu respuesta

    Casa de CulturaInscripcin a los talleres

    Nombre:

    Deseo inscribirme a los siguientes talleres:

    Primera opcin

    Segunda opcin

    Firma

    4

    3

    12 maneras

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 161 6/2/07 11:20:10 PM

  • 162 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Generalizar el caso en el que se tienen n opciones y se escogen dos de ellas, tanto en situaciones en las que s importa el orden como en situaciones en las que no importa.

    Respuesta. n (n1)

    Posibles errores. Algunos alumnos podran pensar que deben sumar 1 al nmero de opciones (en este caso, sumar 1 al nmero de talleres), obteniendo as n (n + 1).

    Sugerencia didctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para identificar la frmula general, pdales que identifiquen en cada uno de los casos que anteriormente resolvieron, el valor de n.

    126

    secuencia 9

    A lo que llegamosEn los problemas de conteo hay que distinguir si importa o no el orden en el que pongamos las opciones.

    Adems, siempre hay que tener cuidado al utilizar un diagrama de rbol o una lista de enumeracin, porque es posible que se cuente, errneamente, varias veces la misma opcin.

    iV. En otra Casa de Cultura se imparten seis talleres: literatura, dibujo, alfarera, guitarra clsica, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres. Responde las si-guientes preguntas:

    a) Si la inscripcin se hace sin tener que indicar el orden de preferencia, de cuntas

    maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripcin?

    b) Cul es la operacin con la que podemos calcular el nmero total de posibles

    formas de inscribirse en este caso?

    c) Si se hace la inscripcin indicando el orden de preferencia (primera y segunda opcin), de cuntas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripcin?

    d) Cul es la operacin con la que podemos calcular el nmero total de posibles

    formas de inscribirse en este caso?

    e) En la Casa de Cultura hay n talleres distintos. En la hoja de inscripcin se ponen dos talleres y hay que indicar el orden de preferencia. Subraya cul de las siguientes expresiones generales sirve para calcular el nmero total de formas de inscribirse:

    n(n+1)2

    n(n-1)

    n(n-1)2

    n(n+1)

    Comparen sus respuestas.

    hay 15

    hay 30 maneras

    6 5 2

    6 5

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 162 6/2/07 11:20:15 PM

  • 163L ib ro para e l maest ro

    P S

    M E

    M F

    M G

    M J

    Propsito de la sesin. Encontrar procedimien-tos sistemticos para contar todas las maneras en las que podemos repartir varios objetos. Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen de forma individual y que se hagan intercambios grupales.

    Posibles procedimientos. Los alumnos podran intentar hacer una lista con los dulces que le tocan a Emilio y a Diego en cada caso (dar todos los dulces a un solo nio, dar el de fresa a Diego y todos los dems a Emilio, etc.), pero con este procedimiento es posible que no encuentren todos los casos. A lo largo de la sesin se explora ese procedimiento y tambin otro, en el que nos fijamos a quin le toca cada dulce, en vez de los dulces que le tocan a cada nio.

    Respuesta. Hay 16 maneras de repartirlos.

    Sugerencia didctica. Lea esta informacin junto con los alumnos, comente con ellos que este resultado es vlido en cualquier caso en el que haya m opciones, de las que vamos a escoger dos.

    Incorporar al portafolios. Estos ejercicios se resuelven de manera similar a los de la sesin, pero es posible que algunos alumnos tengan dificultades con el cambio de contexto. Usted puede orientarlos pidindoles que identifiquen, en cada caso, si el orden importa o no. En el problema 3 hay una dificultad adicional: se deben elegir tres alumnos, mientras que en los problemas anteriores se tenan slo dos opciones. Lo importante es que identifiquen que en este problema no importa el orden, pues se trata de contar todas las maneras posibles de escoger tres de los cinco alumnos, y por lo tanto debern multiplicar y luego hacer una divisin. En este ltimo punto los alumnos podran pensar que deben dividir entre 3, pero la operacin que resuelve el problema es: 5 4 3 6 . Para atender ese error, se puede escoger a tres de los alumnos del problema (por ejempo: Elisa, Franciso y Germn) y, en el pizarrn, enlistar todas las formas posibles en las que se puede ordenarlos (son seis). A partir de esa lista los alumnos podrn percatarse de cuntas veces se repite una misma combinacin, lo que les permitir identificar que deben dividir entre 6. Respuestas.1. De seis maneras distintas. No importa el

    orden. Una manera de realizarlo es numeran-do los ejercicios del 1 al 4. Tambin pueden aplicar la expresin general: 4 3 =6 2

    2. Hay 20 comits distintos. (P Presidente, S Secretario. E, F, G, J, M son las iniciales del nombre de cada alumno):

    3. Hay 10 maneras de elegirlos.

    127

    IIMATEMTICASA lo que llegamosEn una Casa de Cultura se imparten m talleres. Es posible inscribirse a dos talleres. Si en la hoja de inscripcin hay que indicar el orden de preferencia, hay m (m-1) distintas formas de inscribirse. Si no indica-mos el orden de preferencia, hay m(m-1)

    2 maneras de hacerlo.

    Lo que aprendimos1. Juan tiene que elegir dos de los cuatro ejercicios que le dejaron de tarea. De cuntas

    formas distintas puede realizar su tarea?

    2. Una maestra tiene que elegir a dos alumnos para un comit, uno va a ser presidente y el otro va a ser secretario. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Francisco, Germn, Jorge y Mara. De cuntas maneras distintas puede elegir a los alumnos? Haz una lista con todos los posibles comits que puede elegir la maestra.

    3. Ahora la maestra tiene que elegir a tres alumnos para organizar la fiesta de fin de ao. Para ello dispone de cinco voluntarios: Juan, Sandra, Alejandra, Hugo y Patricia. Haz una lista con todas las maneras distintas en las que la maestra puede elegir a los alumnos. Cuntas son?

    REPARTO DE DULCESConsideremos lo siguienteJulin tiene cuatro dulces de distintos sabores: fresa, pia, sanda y naranja. Julin sabe que a sus primos Diego y Emilio les gustan mucho esos dulces y se los va a regalar. De cuntas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces? (puede decidir regalar todos a uno de sus primos).

    Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.

    SESIN 3

    P S

    E F

    E G

    E J

    E M

    P S

    F E

    F G

    F J

    F M

    P S

    G E

    G F

    G J

    G M

    P S

    J E

    J F

    J G

    J M

    JSA JHP

    JSH SAH

    JSP SAP

    JAH SHP

    JAP AHP

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 163 6/2/07 11:20:20 PM

  • 164 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Utilizar el diagrama de rbol como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

    Sugerencias didcticas. Para resolver este tipo de problemas utilice la opcin de Muchos recorridos presentada en el interactivo. Pida a los alumnos que identifiquen cules datos deben ir en cada nivel y cules en las ramas. Se puede ocupar el interactivo para:

    que ellos introduzcan los datos y observen cmo se construye el rbol;

    presentar problemas con menos datos para que los alumnos puedan empezar a generalizar otra forma de obtener el nmero de resultados posibles, y cada vez aumentar el nmero de datos;

    mostrarles que no siempre es prctico resolver los problemas utilizando un diagrama de rbol.

    Propsito de la actividad. Sistematizar una manera de contar todas las posibles reparticio-nes. Cada una de las posibilidades (4 dulces a un nio, 3 dulces a un nio y 1 al otro, 2 y 2) incluye, a su vez, varios casos de reparticin.

    Respuesta

    Diego Emilio

    F P S N

    F P S N

    F P S N

    N F P S

    F P N S

    S F P N

    F S N P

    P F S N

    P S N F

    F P S N

    F P S N

    S N F P

    F S P N

    P N F S

    F N P S

    P S F N

    128

    secuencia 9

    Manos a la obrai. Julin tiene las siguientes posibilidades para repartir los dulces: los cuatro dulces a

    uno de sus primos, tres dulces a uno y un dulce al otro o dos dulces a cada uno.

    En la siguiente lista hacen falta varias de las maneras de repartirlos, encuntralas todas. Cada sabor se identifica por su inicial:

    Diego Emilio

    F P S N

    F P S N

    F P S N

    N F P S

    F P N S

    Comparen sus respuestas.

    ii. Julin tiene dos opciones para regalar el dulce de fresa: se lo puede dar a Diego o se lo puede dar a Emilio. Responde las siguientes preguntas:

    a) Cuntas opciones tiene Julin para regalar el dulce de pia?

    b) Cuntas opciones tiene Julin para regalar el dulce de sanda?

    c) Cuntas opciones tiene Julin para regalar el dulce de naranja?

    Propsito de la actividad. Presentar una estrategia distinta para encontrar el nmero total de formas en las que se puede hacer la reparticin. En lugar de plantear qu dulces le tocan a cada nio, se plantea quin recibe cada uno de los dulces? Posibles errores. Despus de completar el diagrama de rbol es posible que los alumnos piensen que hay 2 opciones para repartir el dulce de fresa, 4 opciones para el de pia, 8 para el de sanda y 16 para el de naranja. Si se presenta este caso, hay que aclarar que, para cada sabor, hay slo 2 opciones: se le da a Diego o se le da a Emilio.

    2

    2

    2

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 164 6/2/07 11:20:22 PM

  • 165L ib ro para e l maest ro

    Propsito de los incisos e) y f). Que los alumnos identifiquen el sentido del diagrama de rbol: cada uno de los caminos entre los niveles indica una posible reparticin.

    Sugerencia didctica. Es importante que analice con los alumnos la operacin que se sugiere: como hay cuatro dulces, y para cada dulce Julin tiene dos opciones (se lo da a Diego o se lo de a Emilio), se hace la multiplicacin 2 2 2 2. Esta situacin es similar a los casos presentados en las sesiones anteriores, con la diferencia de que en esta situacin s es posible repetir la misma opcin para cada dulce.

    Propsito de la actividad. A partir de los resultados anteriores, generalizar para otras situaciones de reparto. En este caso Julin tiene 5 dulces y 3 opciones para regalar cada uno de los dulces.

    129

    IIMATEMTICASd) Otra forma de representar las posibles maneras de repartir los dulces es utilizando

    un diagrama de rbol. Compltalo en tu cuaderno.

    Fresa Pia Sanda Naranja

    Emilio

    Emilio Diego

    Emilio Diego

    Emilio Diego

    Diego

    e) Ilumina, en el diagrama de rbol que hiciste, la opcin en la que Julin le da a Emilio el dulce de fresa y el de sanda, y a Diego, el de pia y el de naranja.

    f) Ilumina de otro color la opcin en la que Julin le da a Emilio el dulce de sanda y a Diego todos los dems.

    g) De cuntas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces?

    Comparen sus respuestas. Una forma de calcular el nmero total de maneras en las que se pueden repartir los dulces es multiplicando 2 2 2 2. Comenten por qu se hace as. Tambin podemos escribir esta operacin como 24.

    III. Julin tiene cinco dulces de sabores distintos: fresa, pia, sanda, naranja y limn. Los va a regalar a sus primos Diego, Emilio y Camila. Responde las siguientes preguntas.

    a) Cuntas opciones tiene Julin para regalar cada dulce?

    b) De cuntas maneras distintas puede repartir los dulces?

    c) Cul es la operacin con la que podemos calcular todas las maneras que tiene

    Julin para repartir los dulces?

    16

    3

    243

    3 3 3 3 3 o tambin 35

    EMILIOEMILIO

    DiegoEMILIO

    Diego

    EMILIO

    DiegoEMILIO

    DiegoEMILIO

    Diego

    EMILIO

    Diego

    Diego

    EMILIOEMILIO

    DiegoEMILIO

    DiegoEMILIO

    Diego

    EMILIO

    Diego

    DiegoEMILIO

    Diego

    EMILIO

    Diego

    Diego

    EMILIO

    FRESA PIA SANDA NARANJA

    Lunes

    Martes

    Mircoles

    Jueves

    Viernes

    Lunes

    Lunes

    Lunes

    Lunes

    Martes

    Mircoles

    Jueves

    Viernes

    Mircoles

    Jueves

    Viernes

    Martes

    Jueves

    Viernes

    Martes

    Mircoles

    Viernes

    Martes

    Mircoles

    Jueves

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 165 6/2/07 11:20:25 PM

  • 166 L ib ro para e l maest ro

    130

    secuencia 9iV. Roberto tiene tres canicas de distintos colores: azul, rojo y blanco. Las va a colocar en

    cuatro cajas numeradas. Puede colocar varias canicas en la misma caja. Responde las siguientes preguntas.

    a) En cuntas cajas puede colocar cada canica?

    b) Subraya la operacin que nos sirve para calcular todas las formas posibles de co-locar las canicas.

    43

    4 3

    34

    c) Argumenta tu respuesta.

    d) Roberto tiene m canicas, todas de distinto color, y tiene n cajas numeradas. Ro-berto va a colocar las canicas en las cajas, es posible colocar varias canicas en la misma caja. Subraya la expresin general que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas.

    mn

    nm

    mn

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosSi se tiene seis dulces de distinto sabor y hay cuatro nios a los que podemos regalar los dulces, cada dulce lo podemos dar a alguno de los cuatro nios. El nmero total de posibles reparticiones se puede calcular multiplicando 4 4 4 4 4 4. Es decir, el nmero total de reparticiones es 46.Generalizando, si tenemos p objetos distintos y los queremos repartir en q cajas o bolsas, el nmero total de reparticiones es qp (p puede ser mayor, menor o igual a q).

    Propsito de la actividad. Generalizar la manera en que contamos todas las formas de repartir objetos, cuando en cada lugar puede ir ms de un objeto. Hay un cambio de contexto, por lo que puede resultar difcil para los alumnos identificar que es un caso similar al reparto de dulces. Sugerencia didctica. Como una forma de invitar a los alumnos a que prueben la aplicacin directa de una multiplicacin, usted puede comentarles que tanto en la actividad III como en sta sera poco prctico realizar un diagrama de rbol debido a que son muchas las opciones posibles. Anmelos para que identifi-quen la operacin que resuelve el problema y que la apliquen para obtener el total de posibilidades.

    Posibles respuestas.Cada canica la podemos colocar en alguna de las 4 cajas, entonces se multiplica 4 x 4 x 4.Hay 4 opciones para cada canica.

    Respuesta. Puede colocar cada canica en n cajas, por lo tanto tiene n m formas distintas de colocar las canicas.

    Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos. Usted puede plantear otros ejemplos sencillos para que los alumnos entiendan cul es la multiplicacin que resuelve el problema. Otra forma de plantear la generalizacin q p es: qu representa el nmero que se escribe como base?, qu representa el exponente?

    en 4 cajas

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 166 6/2/07 11:20:30 PM

  • 167L ib ro para e l maest ro

    131

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Con los dgitos 2, 4, 6, 7, 9 queremos formar nmeros de dos cifras, se puede repetir

    los dgitos. Haz una lista con todos los nmeros que podemos formar. Cuntos son?

    2. Vamos a colocar una canica roja y una canica azul en cuatro cajas numeradas. Es posible colocar las dos canicas en la misma caja. De cuntas maneras podemos ha-cerlo?

    3. Con los dgitos 5, 6, 8 queremos formar nmeros de cinco cifras, se puede repetir los dgitos. Cuntos nmeros distintos podemos formar?

    4. Julin tiene cuatro dulces, todos son de fresa. Los va a regalar a sus primos Diego y Emilio. De cuntas maneras puede regalar los dulces a sus primos?

    5. Vamos a colocar tres canicas azules en tres cajas numeradas. Es posible colocar las tres canicas en la misma caja. De cuntas maneras podemos hacerlo?

    Para saber msSobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. El principio de las casillas, Contar: principio de la suma y Cuntos caminos llevan a Roma?, en Una ventana al infinito. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. Mxico: SEP/FCE, Libros del Rincn, 2005.

    Sobre la Casa de Cultura consulta:http://sic.conaculta.gob.mxRuta: Espacios culturales Centros culturales (Dar clic en el mapa sobre tu estado) (Dar clic en el mapa sobre tu municipio).[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Sistema de informacin cultural - CONACULTA

    Explora las actividades del interactivo Anticipar resultados en problemas de conteo.

    Sugerencia didctica. Recomiende a sus alumnos que primero intenten encontrar cuntos casos hay, esto les servir para dos cosas:

    Si se les pide hacer una lista de todos los casos (enumerar), podrn verificar su resultado.Pueden decidir si conviene o no enumerarlos.

    Incorporar al portafolios. Evale los aprendizajes y las dificultades de los alumnos con los problemas 1, 2 y 3.

    Respuestas.1. Se pueden formar 25 nmeros. Se

    multiplica 5 5 o se hace la operacin 52 : 22, 24, 26, 27, 29, 42, 44, 46, 47, 49, 62, 64, 66, 67, 69, 72, 74, 76, 77, 79, 92, 94, 96, 97, 99.

    2. Hay 16 maneras. Cada canica puede colocarse en alguna de las 4 cajas. Se multiplica 4 4 o se hace la operacin 42.

    3. Se pueden formar 243 nmeros. Se multiplica 3 3 3 3 3 o se hace la operacin 35. En este caso no resulta prctico intentar hacer la lista con todos los nmeros.

    Propsito del interactivo. Mostrar el arreglo rectangular como tcnica de conteo en la resolucin de problemas.

    Sugerencias didcticas. Mediante el uso del interactivo se puede presentar a los alumnos otra forma de resolver problemas de conteo, utilizando arreglos rectangulares. Es importante aclararles que aunque existen diferentes tcnicas de conteo, no todas son igualmente eficaces, por lo que ellos debern decidir cul conviene usar de acuerdo con las caractersticas de cada problema.

    Sugerencia didctica. En todos los problemas que se resolvieron en la sesin, los objetos que se repartan eran distintos entre s (por ejemplo, dulces de distintos sabores). En los problemas 4 y 5, los objetos que se reparten son todos iguales, por lo que el procedimiento para resolverlos es distinto al que se utiliz en los problemas anteriores. Permita que los alumnos intenten resolverlos y, posteriormente, en la comparacin de resultados, haga notar esta caracterstica, contrastando con el tipo de problemas que han resuelto. Para ello, se puede apoyar en la informacin del ltimo A lo que llegamos.

    Respuestas. 4. En este ejercicio todos los objetos son iguales,

    por lo que slo importa cuntos le tocan a cada uno. Hay 5 maneras de repartirlos:

    Diego Emilio

    4 0

    3 1

    2 2

    1 3

    0 4

    5. Tambin en este caso todos los objetos son iguales. Hay 10 maneras de repartirlos:

    caja 1 caja 2 caja 3

    3 0 0

    0 3 0

    0 0 3

    2 1 0

    2 0 1

    1 2 0

    1 0 2

    0 2 1

    0 1 2

    1 1 1

    MAT2 B1 S09 maestro.indd 167 6/2/07 11:20:32 PM

  • 168 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la secuencia Interpretar y comunicar informacin mediante polgonos de frecuencias

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos Vnculos

    1

    Rezago educativo y grficas Resolver problemas que implican la interpretacin y construccin de polgonos de frecuencias de datos cuantitativos (tablas de frecuencia, histograma, polgono de frecuencias).

    Video

    El peso en otros planetas

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    6

    2

    Anemia en la poblacin infantil mexicana Resolver problemas que implican la interpretacin y construccin de polgonos de frecuencias relativas (histograma y polgono de frecuencias relativas).

    Video

    Polgonos de frecuencias en los reportes de investigacin

    Ciencias I Secuencia 12

    3Qu grfica utilizar? Interpretar polgonos de frecuencias de dos o ms conjuntos de datos.

    InteractivoCiencias I

    Secuencia 12

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que implican la interpretacin y construccin de polgonos de frecuencias de datos cuantitativos (tablas de frecuencia, histograma, polgono de frecuencias). Organizacin del grupo. Se sugiere resolver la sesin de manera individual y en parejas.

    EjeManejo de la informacin

    TemaRepresentacin de la informacin

    Antecedentes

    En primero de secundaria los alumnos aprendie-ron a representar informacin mediante grficas de barras y circulares. En esta secuencia interpretarn y construirn polgonos de frecuencias.

    132

    secuencia 10

    En esta secuencia, aprenders a interpretar y a comunicar informa-cin mediante polgonos de frecuencias. Como recordars, existen diferentes tipos de grficas estadsticas. En primer grado aprendiste a construir las grficas de barras y las circulares, ahora aprenders a interpretar y a construir otro tipo de grficas, llamadas histogramas y polgonos de frecuencias, que tambin son muy utilizadas en libros, peridicos y revistas.

    REZAGO EDUCATIVO Y GRFICASPara empezarDesde 1993 la educacin bsica obligatoria comprende hasta la secundaria completa. Cuando una persona tiene ms de 15 aos y est en alguna de las siguientes situaciones: no sabe leer ni escribir, no termin de estudiar la primaria, nicamente estudi la prima-ria o no termin de estudiar la secundaria, se considera que esa persona se encuentra en rezago educativo.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica es un polgono de frecuencias. En ella se presentan los datos que se obtuvieron en el censo del ao 2000 acerca de la poblacin mexicana que se encuen-tra en rezago educativo.

    SESIn 1

    Polgonos de frecuencias

    Fuente: INEGI. XII Censo General de Poblacin y Vivienda, 2000. Base de datos.

    Poblacin mexicana de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

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    15-29

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    30-44 45-59 60-74 75-89

    0

    2

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos interpreten la informacin que presenta un polgono de frecuencias para comprender las caractersticas ms importantes de la situacin, en este caso el rezago educativo en nuestro pas en el ao 2000.

    Propsito del programa integrador. Presentar casos donde se utilicen los polgonos de frecuencias e interpretar la informacin contenida.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 168 6/2/07 11:21:06 PM

  • 169L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 10 millones de personas.b) V, V, F, F, V.

    Sugerencia didctica. Es posible que algunos alumnos cometan errores al contestar estas preguntas al no considerar que los datos estn agrupados, equivocarse al interpretar la escala del eje vertical o alguna otra dificultad. Si esto sucede, permtales seguir resolviendo las actividades y luego pdales que regresen a estas preguntas para que las corrijan.

    133

    IIMATEMTICASa) En el intervalo de entre 15 y 29 aos de edad hay 11 millones de personas que

    estn en condicin de rezago educativo. Cuntas personas de 30 a 44 aos estn

    en esa condicin?

    b) Toma en cuenta la informacin que presenta el polgono de frecuencias y anota Vo F segn sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

    El intervalo de edad con mayor cantidad de personas en condicin de rezagoeducativo es el de 15 a 29 aos.

    En el ao 2000, alrededor de 35 millones de personas se encontraban en condicin de rezago educativo.

    8 millones de personas en condicin de rezago educativo tienen 45 aos.

    De la poblacin en condicin de rezago educativo, la cantidad de personas que tienen entre 15 y 29 aos es el doble de la que tiene entre 45 y 59 aos.

    Si la poblacin total en Mxico era de 97.5 millones, aproximadamente el 36% de las personas estaban en condicin de rezago educativo.

    Manos a la obraI. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta el polgono de frecuencias.

    a) Cuntos intervalos de edad hay? Cuntas edades

    comprende cada intervalo? Todos los intervalos son

    del mismo tamao?

    b) La frecuencia en el intervalo de entre 15 y 29 aos de edad es de 11 millones de personas que estn en condicin de rezago educativo, en qu intervalo la frecuencia es de 5millones de personas que estn en esa condicin?

    c) Si en el intervalo de entre 45 y 59 aos de edad hay 7 millones de personas que estn en condicin de rezago educativo, po-dras decir cuntas personas de 50 aos de edad hay en esa condicin?

    Y de 45 aos?

    Por qu?

    Recuerda que:

    Cada intervalo tien

    e un lmite inferior

    y uno superior. El ta

    mao de un

    intervalo es igual a

    la diferencia entre

    dos sucesivos lmite

    s inferiores o

    superiores. Por ejem

    plo, en el polgono

    de frecuencias, el pr

    imer lmite inferior

    es 15 y el siguiente

    es 30, entonces el

    tamao del interva

    lo es igual a 30-15

    .

    Respuestas. Hay 5 intervalos de edad y todos son del mismo tamao porque cada uno comprende 15 edades.

    Sugerencia didctica. Comenten esta informacin. Ponga varios ejemplos para que los alumnos sepan distinguir qu es un lmite superior y qu es un lmite inferior y cmo calcular el tamao de un intervalo.

    Respuesta. En el de personas de 60 a 74 aos de edad.

    Posibles dificultades. Quiz algunos alumnos crean que s es posible determinar, a partir del polgono de frecuencias, cuntas personas de 50 aos tienen rezago educativo y traten de ubicar el 50 en la grfica (aproximadamente seran 7 millones de personas). De la misma manera, pueden pensar que hay 8.5 millones de personas de 45 aos que tienen rezago educativo. Si esto ocurre, explqueles que al sumar esas dos cantidades (7 millones + 8.5 millones) se obtiene un resultado mayor al total de personas en ese grupo de edad que tienen rezago educativo, as que esos datos no son correctos.

    Es difcil para los alumnos darse cuenta de que en este tipo de grficas deben observarse los puntos del polgono porque son los que determinan la altura con respecto al eje vertical, y que la lnea que los une simplemente es una conexin para marcar la tendencia general en la grfica (si sube, baja o se mantiene) pero no representa ningn valor en particular. Aunque es posible que hubiera ms personas de 55 aos con rezago educativo que de otras edades de ese mismo intervalo, esto no se puede saber a partir del polgono de frecuencias, lo cual no significa que no sea confiable, sino que la informacin que muestra es de datos agrupados.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 169 6/2/07 11:21:09 PM

  • 170 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. e) Son diferentes e indican la cantidad de

    personas que hay en cada intervalo de edad en condicin de rezago educativo, es decir, la frecuencia del intervalo.

    f) Son iguales porque los intervalos son del mismo tamao.

    g) Los puntos que sealan cuntas personas hay en cada intervalo.

    h) En la mitad de la parte superior.

    134

    secuencia 10d) Completa la siguiente grfica a partir de los datos del polgono de frecuencias.

    e) Esta grfica es un histograma. Las alturas de las barras son iguales o diferentes?

    Qu indican?

    f) Compara el tamao del ancho de las barras, son iguales o diferentes?

    Por qu crees que ocurre eso?

    Ahora, calca el histograma en una hoja de papel delgado y coloca la copia sobre el pol-gono de frecuencia del apartado Consideremos lo siguiente.

    g) Qu puntos del polgono de frecuencias quedan cubiertos con las barras del

    histograma?

    h) En qu parte de las barras quedan los puntos del polgono de frecuencias?

    En el histograma que calcaste dibuja el polgono de frecuencias. Consideren el primer punto del polgono de frecuencias y tracen a partir de ese punto un segmento perpen-dicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 15-29 aos de edad.

    Tracen los segmentos que faltan para los otros puntos del polgono de frecuencias. Ob-serven que las barras del histograma quedan divididas en dos partes iguales y que los puntos del polgono de frecuencias estn sobre la mitad de la parte superior de cada barra, es decir, a la mitad de cada techo de las barras.

    Poblacin mexicana de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

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    (en

    mill

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    Edades (en aos)

    Fuente: INEGI. XII Censo General de Poblacin y Vivienda, 2000. Base de datos.

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    15-29

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    30-44 45-59 60-74 75-890

    Sugerencia didctica. Si no saben cmo hacer estos trazos pdales que observen la grfica que aparece ms adelante, en el apartado A lo que llegamos.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 170 6/2/07 11:21:11 PM

  • 171L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que revisen las respuestas que anotaron en el apartado Consideremos lo siguiente y que las corrijan si es necesario. Enfatice que en este tipo de grficas los datos estn agrupados y pregnteles qu representan las lneas que unen a los puntos medios en el polgono.

    135

    IIMATEMTICASA lo que llegamosLos histogramas se utilizan para presentar informacin acerca de una situacin sobre la cual se tienen datos organizados en intervalos. Si los intervalos son del mismo tamao, como los que estudiaste en esta sesin, un histograma tiene las siguientes caractersti-cas importantes:

    La altura de una barra est determinada por la frecuencia del intervalo correspondiente.

    La anchura de las barras es igual para cada una debido a que esta medida representa el tamao de cada intervalo.

    En un histograma las barras se dibujan sin dejar espacios vacos entre ellas porque abarcan todo el intervalo correspondiente a los datos agrupados.

    Un polgono de frecuencias de datos organizados en intervalos del mismo tamao es la grfica que se obtiene al unir, mediante una lnea poligonal, los puntos medios consecu-tivos de los techos de las barras.

    Estas grficas nos permiten observar de manera general la tendencia de los datos. Sin embargo, no es correcto darle significado a la lnea que une a los puntos medios, ya que solamente estamos representando la frecuencia por intervalo y no para cada valor del intervalo.

    Por ejemplo, la siguiente grfica muestra a la poblacin varonil de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000 en Mxico; como podemos ver, en el intervalo de 15 a 29 aos de edad hay 5 millones de varones en total, pero no sabemos cuntas personas hay de 15, 16, 17 o 29 aos de edad.

    Tanto en los histogramas como en los polgonos de frecuencias se pueden representar frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.

    Poblacin varonil de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

    Nm

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  • 172 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Comente con los alumnos que el resultado obtenido en cada rengln de la tercera columna indica el porcentaje de personas que se encontraban en rezago educativo de cada grupo de edad, no con respecto a toda la poblacin de 15 aos o ms. Por eso en el ltimo rengln no se suman todos los porcentajes para obtener el porcentaje de personas en situacin de rezago educativo de todos los grupos de edad.

    Posibles dificultades. Existen diversas maneras de calcular un porcentaje. Por ejemplo, para saber qu porcentaje de personas de entre 15 y 29 aos de edad tiene un rezago educativo podra calcularse:

    (28 100) 11(11 28) 100

    En el libro de primer grado los alumnos trabajaron con la primera y para algunos podra ser confuso emplear la segunda.Compare junto con ellos estas dos formas de efectuar el clculo. Puede preguntarles da el mismo resultado si se hace de una u otra forma?, por qu?

    136

    secuencia 10

    a) En el ao 2000 haba 11 millones de personas entre 15 y 29 aos de edad con rezago educativo. Qu fraccin representa de la poblacin total de ese intervalo

    de edad? Qu porcentaje representan?

    b) Cuntas personas de 15 aos y ms haba en Mxico en el ao 2000?

    c) Y cuntas personas de 15 aos y ms estaban en condicin de rezago educativo?

    d) Qu porcentaje de la poblacin de 15 aos y ms se encontraba en condicin de

    rezago educativo?

    iii. Lean el texto informativo: Quin es el inea? del anexo 1 y contesten las siguientes preguntas.

    De acuerdo con cifras del INEGI, la poblacin total en Mxico durante el ao 2000era de 97.5 millones de personas.

    a) Qu porcentaje de la poblacin total representan las personas que tienen un re-

    zago educativo?

    b) Por qu razn creen que no estn consideradas las personas menores de 15 aos?

    c) En su localidad, conocen a alguien de entre 15 y 29 aos que se encuentre en

    condicin de rezago educativo?

    Cules consideran que son las causas de esa situacin?

    ii. En la siguiente tabla se presenta el nmero de personas de 15 aos y ms que habitan en Mxico. Compltala con los datos que se dan en el polgono de frecuencias.

    Poblacin total y de personas en condicin de rezago educativo en Mxico en el ao 2000.

    Edades Nmero total de personas (en millones)Nmero de personas en condicin de rezago educativo (en millones)

    Porcentaje de personas en condicin de rezago educativo por grupo de edad

    15-29 28 11 (11 28) 100 = 39.2

    30-44 20

    45-59 10

    60-74 6

    75-89 2

    Total 66

    10 ( 1020 ) 100=50

    Respuestas. a) 11

    28 , que representan el 39.2%.

    b) 66 millones.

    c) 34.5 millones.

    d) 52.2%.

    Respuestas.a) 35.38% (porque 34.5 millones es el

    35.38% de 97.5 millones).

    b) Porque no se encuentran en rezago educativo al estar en edad de acudir a la primaria o a la secundaria.

    c) y d) Las respuestas son abiertas. Los alumnos podran mencionar cosas como porque no termin la primaria, porque cuando estudi la secundaria no era obligatoria, etctera.

    e) S, pueden estudiar en el sistema de educacin para adultos.

    7 ( 710 ) 100=70

    5 ( 56 ) 100=83.33

    1.5 ( 1.52 ) 100=75

    34.5 ( 34.566 ) 100=52.2

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 172 6/2/07 11:21:16 PM

  • 173L ib ro para e l maest ro

    4

    137

    IIMATEMTICASd) Y conocen a personas de 60 a 89 aos que se encuentren en condicin de rezago

    educativo? Cul creen que es la razn principal de esa situacin?

    e) Creen que estas personas puedan cambiar la condicin de rezago en que se en-

    cuentran? Cmo?

    f) Investiguen qu programas o alternativas existen para mejorar la condicin edu-cativa de estas personas en su localidad.

    Lo que aprendimos1. Construye el polgono de frecuencias que corresponde al siguiente histograma.

    a) Cuntas mujeres de entre 30 y 44 aos se encuentran en rezago educativo?

    b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta situacin.

    c) Si la poblacin total de mujeres entre 30 y 44 aos era de 10 millones de personas,

    qu porcentaje representa la poblacin de mujeres que se encuentra en rezago

    educativo en ese intervalo?

    Poblacin de mujeres de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

    Nm

    e ro

    d e m

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    Edades (en aos)

    5

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    1

    15-29

    6

    30-44 45-59 60-74 75-890

    7

    Fuente: INEGI. XII Censo General de Poblacin y Vivienda, 2000. Base de datos. Respuestas. a) 5 millones.c) 50%.

    Sugerencia didctica. D un tiempo para hablar de lo que se plantea en el inciso d).

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 173 6/2/07 11:21:18 PM

  • 174 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.a) F, V, V.b) Lo aprobaron 18 y la calificacin que ms

    alumnos obtuvieron fue 5.

    138

    secuencia 10d) Qu opinas sobre la situacin en que viven estas mujeres?

    2. Analiza la siguiente grfica para contestar las preguntas que se plantean.

    a) Anota en el recuadro V o F segn sean verdaderas o falsas las siguientes afirma-ciones, de acuerdo con la informacin que presenta la grfica anterior.

    La mayora de los alumnos obtuvieron 10 de calificacin.

    Ms de la mitad del grupo reprob el examen.

    El grupo est formado por 40 alumnos.

    b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta grfica y contesta las siguientes preguntas.

    Cuntos alumnos aprobaron el examen?

    Cul es la calificacin que ms alumnos obtuvieron?

    calificaciones del grupo de 2en el examen de matemticas

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    Calificaciones

    10

    2 3 4 5 6 7 8 9 10

    9

    8

    7

    6

    5

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    3

    2

    1

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 174 6/2/07 11:21:20 PM

  • 175L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que implican la interpretacin y construccin de polgonos de frecuencias relativas (histograma y polgonos de frecuencias relativas).

    Organizacin del grupo. Se propone resolver la sesin tanto individualmente como en parejas, y hacer comentarios en grupo.

    139

    IIMATEMTICAS

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica muestra el porcentaje de personas de 5 a 11 aos que tenan anemia en el ao 1999, segn datos obtenidos en la Encuesta Nacional de Nutricin de ese ao.

    Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas:

    a) Cmo describiran el comportamiento de esta enfermedad en las nias de 5 a 11aos de edad?

    b) La mayora de la poblacin infantil que padece anemia son hombres o mujeres? Cmo se presenta esta situacin en la grfica?

    Comenten sus respuestas.

    SESIn 2

    Conexin con Ciencias ISecuencia 12: Cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin?

    AnEMIA En LA POBLACIn InFAnTIL MEXICAnAPara empezar La nutricin es el proceso por medio del cual el organismo obtiene, a partir de los alimentos, los nutrientes y la energa necesarios para el sostenimiento de las funciones vitales y de la salud. Un problema nutricional es la anemia la cual ocurre cuando no hay una cantidad suficiente de hierro para producir los glbulos rojos necesarios que transportan el oxgeno a cada clula del organis-mo. Este tema lo estudiaste ya en la secuencia 12 Cmo evitar problemasrelacionados con la alimentacin? en tu libro de Ciencias I Volumen I.

    Porcentaje de la poblacin infantil con problemas de anemia en el ao 1999.

    Porc

    enta

    je

    Edades (en aos)

    40

    30

    20

    10

    05 6 7 8 9 10 11

    Fuente: Encuesta de Nacional de Nutricin 1999.

    NiasNios

    Sugerencia didctica. Pida a sus alumnos que revisen la secuencia 12 del libro de Ciencias I (primer grado). La utilizarn en esta sesin y en la siguiente.

    Propsito de la actividad. Ahora los alumnos interpretarn y representarn en una misma grfica dos polgonos de frecuencias que corresponden a dos conjuntos de datos en los que se analiza la misma variable (porcentaje de nios y de nias que padecen anemia).

    Respuestas.a) Las nias presentan mayor problema a los

    6 aos (aproximadamente el 32% de ellas la padecen), despus de esa edad se reduce el porcentaje hasta casi la mitad. A los 11 aos es igual a la de los nios.

    b) Es un poco mayor la poblacin de nias que padecen esta enfermedad. Si pensamos que de cada edad hay cien nias y cien nios, entonces a los 5 aos el 11% son nias que padecen anemia y el 12% son nios, lo que significara que hay 11 nias y 12 nios de 5 aos que padecen anemia. De la misma manera, a los 6 aos de edad habra 32 nias y 26 nios; a los 7 aos seran 25 nias y 26 nios; y as sucesivamente. Habra aproxima-damente 140 nias y 132 nios que padecen anemia en un grupo de 700 nias y 700 nios de entre 5 y 11 aos de edad.

    Sugerencia didctica. Comenten en grupo la respuesta al inciso b). La respuesta que se da en este libro es una manera de interpretar la grfica, pero es importante que los alumnos digan cmo contestaron esa pregunta y si llegaron a la misma conclusin.

    Posibles dificultades. Algunos alumnos podran sumar el porcentaje de las nias que tienen anemia a los 5 aos con el de las que la padecen a los 6, a los 7, etctera, como una manera de contestar el inciso b), pero es una estrategia incorrecta. Si ocurre, discutan por qu no puede hacerse as.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 175 6/2/07 11:21:23 PM

  • 176 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.a) 32%.b) En el sexto intervalo, porque ah caben

    todos los nios y nias que tengan desde 10 aos hasta 10 aos 11 meses.

    c) No, porque los datos estn agrupados y no es posible saber cuntas nias de las que se consideran en ese intervalo tenan exacta-mente 7 aos y medio.

    d) Nios a los 6 y 7 aos, y nias a los 6.e) A los 7 y a los 9 aos.

    Posibles dificultades. En el inciso c) se les vuelve a preguntar si es posible conocer la frecuencia de un dato en particular. Algunos alumnos pueden contestar que s, pero habr que insistir en que la lnea que une a los puntos muestra la tendencia general, pero no es posible saber qu porcentaje tuvo ese dato. Se sugiere insistir en que ese porcentaje es resultado de los datos obtenidos en ese intervalo.

    140

    secuencia 10

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas a partir de la informacin que presentan los pol-

    gonos de frecuencias anteriores.

    a) Qu porcentaje de nias de 6 aos tena anemia en 1999?

    En el primer intervalo se consideran a las nias y nios que tienen entre 5 aos y 5aos 11 meses.

    b) En qu intervalo crees que estn considerados los nios que tienen 10 aos y 8

    meses de edad?

    Por qu?

    c) Puedes saber cul es el porcentaje exacto de nias de 7 aos y medio que tenan

    anemia en 1999? Por qu?

    d) A qu edad es mayor el porcentaje de nios anmicos?

    Y el de nias anmicas?

    e) Para qu edades el porcentaje de nios con anemia fue mayor que el de nias?

    f) Utilicen los datos que presenta el polgono de frecuencias para completar la si-guiente tabla.

    Porcentaje de nios de 5 a 11 aos que padecen anemia,de acuerdo con su edad

    Edad Porcentaje de nias Porcentaje de nios

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    ii. La siguiente tabla presenta el nmero de nios y nias de 5 a 11 aos de edad que haba en Mxico en el ao 2000.

    Poblacin infantil de 5 a 11 aos de edad (en millones de personas)

    Total Nios Nias

    11.7 6 5.7

    Fuente: INEGI. Censo General de Poblacin, 2000.

    11 12 32 28 25 26 21 19 18 20 20 15 15 15

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 176 6/2/07 11:21:25 PM

  • 177L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.a) Las nias a los 5 aos y los nios a los 5 y a

    los 7.

    Respuestas.a) El 19.5% de 11.7 millones son 2 281 500

    nios.Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos cuntos nios son 11.7 millones, resaltando el significado de la parte decimal (cuntos nios son 0.7 millones?).

    141

    IIMATEMTICASa) Si la poblacin infantil era de 11.7 millones, y 19.5% padecan anemia, cuntos

    nios y nias tenan anemia en el ao de 2000?

    b) Para orientar las acciones mdicas y sociales que ayuden a corregir esta situacin es til conocer el porcentaje de personas que padecen anemia, principalmente si se trata de nios de 5 a 11 aos. Investiguen en la secuencia 12 Cmo evitar problemas relacionados con la alimenta-cin? de su libro Ciencias I Volumen I, cules son algunas de las causas de esa enfermedad y cules son algunas de sus consecuencias si no se atiende correctamente. Comntenlas en su grupo.

    A lo que llegamosPolgonos de frecuencias en los reportes de investigacin

    Los polgonos de frecuencias presentados en una misma grfica permiten comparar el comportamiento de dos o ms conjuntos de datos que se refieren a una misma situacin o fenmeno.

    Lo que aprendimos1. Para determinar si una poblacin tiene problemas de nutricin se analizan factores

    como la estatura, el peso y la anemia. La siguiente grfica presenta los porcentajes de la poblacin de 5 a 11 aos con estatura por debajo de sus valores normales (o esta-tura baja) segn su edad y sexo.

    a) A qu edad es mayor el porcentaje de nias con estatura baja?

    Y en los nios?

    Conexin con Ciencias ISecuencia 12: Cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin?

    Porcentaje de la poblacin de 5 a 11 aos de edad que presentan estatura baja

    P orc

    e nta

    je

    Edades

    20

    15

    10

    5

    05 6 7 8 9 10 11

    25NiasNios

    Descripcin del video El video es ejemplificador. Se muestran diversas situaciones para conocer qu tipo de informa-cin es conveniente representar en polgonos de frecuencias e histogramas. Se proveen los elementos para construir este tipo de grficas y para poder analizar la informacin a partir de un histograma dado.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 177 6/2/07 11:21:29 PM

  • 178 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Puede ser confusa la informacin de esta columna, especialmente debido a las cantidades negativas. Comente con los alumnos que se est cuantificando la diferen-cia entre el porcentaje de nias y nios con baja estatura por grupo de edad, pero el punto de referencia son las nias. Por eso en el tercer rengln las nias tienen una diferencia de 5 respecto al porcentaje de los nios. Pregunte a los alumnos si es posible hacer la tabla tomando como punto de referencia a los nios y cmo quedara esa tabla.

    142

    secuencia 10b) Utiliza los datos que presenta el polgono de frecuencias para completar la si-

    guiente tabla.

    Porcentaje de nios de 5 a 11 aos que tienen talla baja de acuerdo con su edad

    Edad Porcentaje de niasPorcentaje de

    niosDiferencia de porcentajes

    nias-nios

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    c) En qu edades el porcentaje de nias con estatura baja fue mayor que el de los

    nios?

    d) En tu cuaderno, elabora un polgono de frecuencias en el que se puedan comparar los porcentajes de nias de 5 a 11 aos que padecen anemia con los porcentajes de nias que tienen estatura baja. Para hacerlo, utiliza la informacin que se pre-senta en las siguientes dos grficas.

    e) Coincide la edad en que hay mayor porcentaje de nias con problemas de anemia

    y estatura baja? Por qu crees que suceda esto?

    Edades

    Porcentaje de nias entre 5 y 11 aos con problemas de anemia en el ao 1999.

    Porcen

    taje

    40

    30

    20

    10

    05 6 7 8 9 10 11

    Porcentaje de nias de 5 a 11 aos de edadque tenan estatura baja en 1999.

    Porcen

    taje

    Edades

    20

    15

    10

    5

    05 6 7 8 9 10 11

    25

    Respuesta.c) A los 5 y a los 11 aos.

    Propsito de la actividad. Ahora los alumnos van a representar en una misma grfica dos polgonos de frecuencias que corresponden a dos variables diferentes (el porcentaje de nias que padecen anemia y el porcentaje que tienen baja estatura).

    Respuesta. e) No coinciden. Aunque son problemas que

    estn relacionados, no necesariamente se manifiestan al mismo tiempo.

    23 19 4

    16 16 0

    14 19 5

    11 15 4

    14 14 0

    18 18 0

    18 15 3

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 178 6/2/07 11:21:31 PM

  • 179L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Interpretar polgonos de frecuencias de dos o ms conjuntos de datos.

    Organizacin del grupo. Al igual que en la sesin anterior, el trabajo es en parejas e individualmente, y los comentarios grupales.

    143

    IIMATEMTICASQU GRFICA UTILIZAR?Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica presenta el porcentaje de nios menores de 5 aos que tienen esta-tura baja de acuerdo con su edad. Estos datos estn tomados de la Encuesta Nacional de Nutricin de 1999.

    a) En qu intervalo se encuentran los nios y las nias de un ao y medio de edad que

    tienen estatura baja?

    b) En qu intervalo de edad se encuentra el mayor porcentaje de nias menores de

    5 aos que tienen estatura baja? ,

    creen que se podra utilizar una edad que represente a ese intervalo?, cul sera?

    Comenten sus respuestas.

    Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas tomando en cuenta los polgonos de frecuencias

    anteriores.

    a) Qu informacin se presenta en el eje horizontal?

    Qu unidad o escala se utiliza?

    Cuntos intervalos se utilizan para representar los datos?

    De qu tamao es cada intervalo? Son iguales?

    SESIn 3

    Porcentaje de la poblacin menor de 5 aos que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

    P orc

    e nta

    je

    Edades (en meses)

    20

    10

    0-11

    30

    12-23 24-35 36-47 48-59

    0

    NiosNias

    Sugerencia didctica. Haga notar a los alumnos que en el eje horizontal la edad de los nios se presenta en meses.

    Respuestas. a) En el segundo.b) En el cuarto, cuando tienen de 36 a 47 meses

    de edad. Una edad que represente a ese intervalo sera aquella que se encuentre en el punto medio del mismo, es decir 41.5 meses.

    Respuestas. a) En el eje horizontal se representan las edades

    de los menores de 5 aos que tienen baja estatura. La edad se expresa en meses. Hay cinco intervalos, todos de 11 meses.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 179 6/2/07 11:21:33 PM

  • 180 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. b) En el eje vertical se representa el porcentaje

    de 5 aos que tienen baja estatura. El valor mnimo es 0% y el mximo 30%.

    c) El cuarto (de 36 a 47 meses).d) En el primero (0-11 meses) y en el segundo

    (12-23 meses). Esa tendencia se invierte tanto en el tercer intervalo (24-35 meses) como en el quinto (48-59 meses).

    e) 17.5, 41.5, 53.5.

    144

    secuencia 10b) Ahora, en el eje vertical, qu informacin se presenta?

    Cules son los valores mnimo y mximo que estn rotulados en este eje?

    c) Si quieren conocer qu porcentaje de nias de 3 aos de edad tienen estatura

    baja, cul de los intervalos de edad deben consultar?

    d) En qu intervalo de edad el porcentaje de nios con problemas de estatura es

    mayor que el de las nias? Hay algn momento en la grfica

    en que se invierta esa situacin? En qu intervalo de edad

    ocurre y cul es la diferencia de porcentajes?

    Consideren el punto del polgono de frecuencias en el cual el porcentaje de nios con estatura baja es el mayor. Tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del inter-valo 12-23 meses de edad.

    e) Sealen los puntos medios de los intervalos que faltan, cules son esos puntos?

    f) Completen la siguiente grfica:

    g) Investiguen en la secuencia 12 cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin? de su libro ciencias i Volumen i, cules pueden ser algu-nas causas de este problema y presntenlas en una grfica o tabla que consideren que muestra mejor la informacin. Expliquen a sus compaeros y a su profesor por qu la eligieron.

    Recuerden que:

    Cada intervalo puede ser

    identificado por su lmite

    inferior y superior, pero

    tambin podemos utilizar

    el punto medio del

    intervalo que se obtiene

    con slo sumar los lmites

    inferior y superior del

    intervalo y dividir esta

    suma entre 2.

    conexin con ciencias isecuencia 12: cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin?

    Porcentaje de la poblacin menor de 5 aos que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

    Porc

    enta

    je

    20

    10

    30

    0

    25

    15

    5

    Edades (en meses)

    5.5 29.5

    HombresMujeres

    Sugerencia didctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn, para luego recuperarlas en la discusin o en las conclusiones.

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 180 6/2/07 11:21:35 PM

  • 181L ib ro para e l maest ro

    145

    IIMATEMTICASA lo que llegamosUn polgono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios de los techos de las barras de un histograma.

    Otra manera de construirlo consiste en calcular el valor que se ubica en el punto medio de cada intervalo. El punto medio de un intervalo es el promedio de los valores extremos del intervalo.

    Lo que aprendimos1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de segundo grado de una es-

    cuela secundaria. Los pesos se registraron redondeando al kilogramo ms cercano.

    Grupo A Grupo B

    38, 64, 50, 42, 44, 35, 49, 57, 46, 58, 40, 47, 38, 48, 52, 45, 68, 46, 38, 76

    65, 46, 73, 42, 47, 45, 61, 45, 48, 42, 50, 56, 69, 38, 36, 55, 52, 67, 54, 71

    a) Cul es el peso mximo de los alumnos del grupo A?

    Y del grupo B?

    b) Cul es el peso mnimo de los alumnos del grupo A?

    Y del grupo B?

    c) Cul es el rango de los pesos de los alumnos del grupo A?

    Y del grupo B?

    d) En tu cuaderno, organiza los pesos de los alumnos de ambos grupos en una tabla de datos reunidos en nueve intervalos iguales.

    e) Cules son los pesos que se consideran en el primer intervalo?

    De qu tamao son los intervalos?

    f) Cul es el punto medio de cada intervalo?

    g) Elabora, en tu cuaderno, una grfica que presente los polgonos de frecuencias de los dos grupos. Utiliza los puntos medios para rotular el eje horizontal.

    h) En tu cuaderno, describe, a partir de los polgonos de frecuencias, cmo es la dis-tribucin del peso de los alumnos de ambos grupos.

    Recuerda que:El rango es la diferencia entre el mayor valor de los datos y el menor.

    Respuestas.a) En el A 76 kg, en el B 73 kg.b) En el A 35 kg, en el B 36 kg.c) En el A el rango es de 41 kg, en el B es de

    37 kg.d) Los intervalos son: 35-39, 40-44, 45-49,

    50-54, 55-59, 60-64, 65-69, 70-74, 75-79.

    e) 35, 36, 37, 38 y 39 kg. Los intervalos son de cinco edades.

    f) 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72 y 77 kg.

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a la actividad 1 del apartado Lo que aprendimos. Si tuvieron dificultades, revisen los aspectos de esta secuencia, en los que se destaca lo siguiente:

    Qu es un intervalo.Cmo determinar el tamao de un intervalo.Cmo determinar el punto medio de un intervalo. Cmo elaborar un polgono de frecuencias.Cmo interpretar la informacin que da un polgono de frecuencias (destacando lo que representan y lo que no representan las lneas que unen a los puntos medios).

    MAT2 B1 S10 maestro.indd 181 6/2/07 11:21:39 PM

  • 182 L ib ro para e l maest ro

    146

    secuencia 10

    Qu deporte te gusta practicar? Tipo de grfica

    En qu mes es tu cumpleaos? Tipo de grfica

    Cuntos hermanos tienes? Tipo de grfica

    Qu estatura tienes? Tipo de grfica

    Qu nmero de zapato calzas? Tipo de grfica

    a) Menciona una razn por la que elegiste cada tipo de grfica:

    b) Cul es el deporte que ms les gusta practicar a los hombres de tu grupo?

    c) En qu mes hay ms cumpleaos en tu grupo?

    d) Cul es el nmero promedio de hermanos que tienen en tu grupo?

    e) Cul es la estatura del compaero ms alto de tu grupo?

    f) Cuntos compaeros tienen la misma estatura que t?

    g) Quines son ms altos, las mujeres o los hombres de tu grupo?

    h) Qu nmero de zapato calzan la mayora de tus compaeros hombres del grupo?

    Y las mujeres?

    Recuerden que:

    - Una grfica de barras permite

    presentar y comparar la frecuen-

    cia con que ocurre una cualidad o

    un atributo. Por ejemplo, el color

    que prefiere un grupo de perso-

    nas o el tipo de msica que te

    gusta escuchar.

    - Una grfica circular puede ser

    ms adecuada para comparar las

    distintas partes de un todo,

    especialmente cuando la presen-

    tacin de los datos est en forma

    de porcentaje. Por ejemplo, el

    porcentaje de personas que

    prefieren escuchar la radio, ver

    televisin o ir al cine en un grupo.

    2. Busquen y copien distintas grficas que se encuentren en peridicos, revistas, etctera. Renan junto con sus compaeros de equipo las grficas que encontraron y clasifquenlas distinguiendo los diferentes tipos de grfica que han estudiado.

    a) Cul es el tipo de grfica que ms se utiliza cuando se quiere comparar la relacin entre dos conjuntos de datos en una misma situacin?

    3. Rene la informacin que se pide en el siguiente cues-tionario. Aplcalo a todos tus compaeros de grupo. Or-ganiza la informacin y decide qu grfica utilizar para presentar los resultados de cada una de las preguntas.

    Propsito de la actividad. La intencin es que los alumnos identifiquen distintas grficas y distingan cules cumplen con las convenciones de representacin adecuadas, como la escala en los ejes, ttulos en la grfica y los ejes, uso correcto de la grfica de acuerdo al tipo de informacin que se presenta.

    Propsito de la actividad. Los alumnos deben aplicar y recopilar la informacin, luego organizarla y representarla adecuadamente. Si es posible, pdales que hagan las tablas y grficas con ayuda del programa de Excel.

    Respuestas.Deporte. Podra representarse mediante una grfica de barras o con una circular, aunque no muestran lo mismo. La de barras permite conocer la frecuencia y el total debe obtenerse al sumar todas las frecuencias, mientras que la circular muestra cmo se reparten las preferen-cias del total de alumnos.Cumpleaos. Una grfica de barras es adecuada para representar esa informacin en trminos de frecuencia (en qu mes cumplen aos ms alumnos, en cul menos, etc.). Una circular permitira tener un panorama del ao completo (ese sera el total) y conocer cmo se distribuyen los cumpleaos (las rebanadas de los meses seran de distintos tamaos).Nmero de hermanos. Una grfica de barras es conveniente para mostrar la frecuencia (cuntos alumnos no tienen hermanos, cuntos tienen 1, cuntos tienen 2, etc.).Estatura. Medir la estatura de los alumnos puede dar lugar a un nmero de datos mayor que en los otros casos, por lo que sera conveniente agruparlos (por ejemplo, los que miden de 1.2 a 1.29 metros en un intervalo) y presentar la informacin mediante un polgono de frecuencias o un histograma. Nmero de calzado. Al igual que en la medicin de la estatura, la del calzado es conveniente representarla mediante un polgono de frecuencias o un histograma.

    Sugerencia didctica. Dedique un tiempo suficiente para que comenten grupalmente las razones que los llevaron a elegir una grfica u otra.

    Sugerencia didctica. Las siguientes preguntas tienen que responderse a partir de la informa-cin que los alumnos hayan obtenido y represen-tado en las grficas. Analcenlas juntos para poder responderlas.

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  • 183L ib ro para e l maest ro

    147

    IIMATEMTICASPara saber msSobre la variedad de informacin que puede ser presentada en polgonos de frecuen-cias, grficas de barras, circulares y tablas estadsticas consulta:http://www.inegi.gob.mxRuta 1: Informacin estadstica Estadsticas por tema Estadsticas sociode-mogrficas Educacin Poblacin escolar Distribucin porcentual de la poblacin escolar de 3 a 24 aos por entidad federativa y sexo para cada grupo de edad, 2000 y 2005Ruta 2: Informacin estadstica Estadsticas por tema Estadsticas sociode-mogrficas Poblacin hablante de lengua indgena de 5 y ms aos por entidad federativa, 2000 y 2005[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    Sobre los programas de apoyo que ofrece el Instituto Nacional para la Educacin de los Adultos consulta:http://www.inea.sep.gob.mxRuta 1: Proyectos AlfabetizacinRuta 2: Proyectos Cero rezago EstrategiasRuta 3: Proyectos Oportunidades Estrategias[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Instituto Nacional para la Educacin de los Adultos.

    Explora las actividades del interactivo Polgono de frecuencias.

    Propsito del interactivo. Que los alumnos exploren otros ejemplos que impliquen la interpretacin de datos cualitativos o cuantitati-vos mediante la construccin de polgonos de frecuencias.

    Sugerencias didcticas. En el interactivo se presentan varios contextos en los que los alumnos pueden aplicar lo aprendido. Si lo considera oportuno puede ocuparlo para evaluar lo aprendido por sus alumnos y mostrar otros ejemplos para clarificar algunos conceptos. Recuerde que en los interactivos se desarrolla todo el contenido de la secuencia, por tanto puede escoger algunas de las actividades para reforzar lo aprendido o incluso utilizarlas como una explicacin alternativa.

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  • BLOQUE 2

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  • 186

    158

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    L ib ro para e l maest ro

    158

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    Propsito del programa integrador. Ejemplificar y explicar las reglas de la jerarqua de las operaciones, y uso de los parntesis.

    Propsito de la sesin. Utilizar la jerarqua de las operaciones como un reglamento que ayuda a eliminar ambigedades. Organizacin del grupo. En la sesin se sugieren momentos de trabajo en parejas e individualmente, y que comenten sus resultados y procedimientos con todo el grupo.

    Descripcin del video. Se presenta el contexto necesario para introducir al alumno a los concursos en donde se opera con nmeros enteros para acercarse lo ms posible a una cantidad dada. En estos concursos se dan varias cantidades y un resultado. El objetivo es emplear estos nmeros una sola vez y realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones para obtener el resultado dado en el menor tiempo posible.

    Propsito del Interactivo. Explorar expresio-nes en donde sea necesario establecer un orden para resolverlas.

    Sugerencias didcticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos la necesidad de conocer las convenciones con las que se realizan las operaciones.

    Pida a los alumnos que expliquen por qu se estn obteniendo diferentes resultados para la misma expresin. Puede pedir que observen qu es lo que est haciendo el interactivo para indicar la respuesta correcta, una vez que los alumnos han establecido una hiptesis pueden contrastarla con otros ejercicios presentados aleatoriamente en el interactivo. Permita que una vez que hayan elaborado alguna conjetura la validen con los siguientes ejemplos.

    Sugerencia didctica. Es importante que enfatice la siguiente cuestin: el ganador es el que ms se acerque al 100 (en este caso), pero es posible pasarseo quedar corto, es decir, el nmero obtenido puede ser mayor, menor o igual al que se pide.

    150

    secuencia 11

    En esta secuencia aprenders a utilizar la jerarqua de las operaciones y los parntesis en problemas y clculos.

    EL CONCURSO DE LA TELEPara empezarEl concurso de la tele

    En 1965, en Europa aparecieron concursos televisados en los que se peda a cada parti-cipante hacer operaciones con nmeros. Estos concursos continan vindose en televi-sin y siguen llamando la atencin de mucha gente.

    Uno de estos concursos tiene las siguientes reglas:

    1. Se da una lista de nmeros. Por ejemplo: 1, 3, 4, 9, 10.

    2. Se da otro nmero, que ser el nmero a alcanzar. Por ejemplo: 100.

    3. Cada jugador debe sumar, restar, multiplicar o dividir los nmeros de la lista hasta obtener un resultado lo ms cercano posible al nmero dado. Por ejemplo: 9 10 + 4 + 3 + 1 = 98, o tambin 3 4 9 + 1 10 = 99.

    4. El concursante deber emplear cada uno de los nmeros de la lista exactamente una sola vez.

    5. Gana el concursante que obtenga el resultado ms cercano al nmero a alcanzar. Por ejemplo, entre 9 10 + 4 + 3 + 1 = 98 y 3 4 9 + 1 10 = 99 gana la se-gunda opcin, porque 99 est ms cerca de 100 que 98.

    Consideremos lo siguientei. Imaginen que estn en uno de estos concursos y les dan la siguiente lista de nmeros:

    El nmero a alcanzar es el 117. Encuentren una forma de operar los nmeros de la lista para quedar lo ms cercano posible al 117. El que quede ms cerca del 117 gana!

    Anota tu respuesta aqu:

    SESiN 1

    La jerarqua de las operaciones

    3 7 9 15

    EjeSentido numrico y pensamiento

    algebraico

    TemaSignificado y uso de las operaciones

    Antecedentes

    En primer grado los alumnos han resuelto expresiones que involucran operaciones tanto aditivas como multiplicativas utilizando distin-tos tipos de nmeros (fraccionarios, decimales, enteros). Ahora conocern la jerarqua de las operaciones para que establezcan el orden correcto en el que deben efectuarse.

    Propsitos de la secuencia Utilizar la jerarqua de las operaciones, y los parntesis si fuera necesario, en problemas y clculos.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1El concurso de la tele Utilizar la jerarqua de las operaciones como un reglamento que ayuda a eliminar ambigedades.

    Aula de medios Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    7

    2Ms reglas Utilizar las reglas de la jerarqua de operaciones para leer y escribir una expresin aritmtica.

    Aula de medios

    Propsito de la actividad. El contexto del concurso tiene la intencin de crear en el alumno la necesidad de escribir y leer expresio-nes aritmticas en las que las operaciones deben efectuarse en un cierto orden, y que se d cuenta de que si no se seala dicho orden puede haber ambigedades.

    Sugerencia didctica. Acepte todo tipo de respuestas sin importar si las escribieron con palabras, mediante un diagrama, un esquema o una expresin aritmtica; pero recomiende a los alumnos utilizar los signos de suma, resta, multiplicacin y divisin. Si algn alumno utiliza parntesis pdale que explique qu significan en la expresin que escribi.

    MAT2 B2 S11 maestro.indd 186 6/2/07 11:22:36 PM

  • 158

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    187

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que quedaron ms cerca del 117 que pasen al pizarrn a escribir sus soluciones y que las expliquen. Verifiquen entre todos los resultados.

    Sugerencia didctica. Las razones de los alumnos para elegir una u otra opcin pueden ser muchas, motvelos a que las expliquen a los dems. Aproveche este intercambio para hacerlos meditar sobre sus respuestas, y si hay opiniones distintas organice un pequeo debate en el que cada quien exponga sus razones y pueda contraargumentar una sola vez. Hgales ver que para justificar la eleccin del ganador es necesario exponer argumentos que logren convencer al resto de los compaeros.

    Sugerencia didctica. Pida a un alumno que lea esta parte en voz alta. Cuando termine, dgales que sigan resolviendo en parejas.

    151

    IIMATEMTICASComparen sus respuestas y comenten:

    a) Quines quedaron ms cerca del 117?

    b) Qu operaciones hicieron?

    II. Las siguientes expresiones fueron las respuestas de dos concursantes. Ambos dicen haber obtenido exactamente el 117.

    Ana: 3 + 15 7 + 9 = 117

    Beto: 3 + 15 7 9 = 117

    a) Cul de estas respuestas creen que es correcta?

    b) Por qu consideran que la otra es incorrecta?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obraI. Los miembros del jurado sealaron que la ganadora era Ana. Pero Beto no est de

    acuerdo. Beto le dijo al jurado:

    Cuando el jurado le concedi la palabra, Beto tom un gis y empez a escribir sobre el pizarrn, al mismo tiempo que explicaba:

    La expresin de mioponente pide calcular 3 + 15;luego, al resultado multiplicarlo

    por 7; y por ltimo, a lo obtenidosumarle 9. Entonces, el resultado

    es 135 y no 117, como ella lo indica.

    Me ha tomado por sorpresa su veredicto. En mi humilde opinin,

    la expresin propuesta por mi contrincante no es correcta.

    Permtanme explicarles mis razones.

    MAT2 B2 S11 maestro.indd 187 6/2/07 11:22:41 PM

  • 188

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    L ib ro para e l maest ro

    158

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    Sugerencia didctica. Anote el diagrama en el pizarrn y explquelo. Es importante que todos entiendan el orden en que se efectan las operaciones.

    152

    secuencia 11Completen el siguiente diagrama de acuerdo con lo que Beto explic.

    3 + 15 7 + 9 =

    7 + 9 =

    + 9 = 135

    Comparen sus respuestas. Comenten: estn de acuerdo con lo que dijo Beto?

    ii. Terminada la explicacin de Beto, el jurado design a unos de sus miembros para que expusiera los motivos de su veredicto. Dicho miembro se acerc al pizarrn y explic:

    Completen lo que escribi el miembro del jurado en el pizarrn:

    3 + 15 7 + 9 =

    3 + + 9 =

    + 9 = 117

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cul es la diferencia entre ambos procedimientos?

    A lo que llegamosLa jerarqua de las operaciones es un conjunto de reglas matemticas que dicen qu operaciones deben hacerse primero. Una de estas reglas es la siguiente:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y las restas.

    Vemos con claridad el error que has cometido. No tomaste en cuenta la jerarqua de operaciones.

    La forma correcta de calcular la expresin de Ana es la siguiente: primero debemos calcular el producto 15 7; despus sumar 3al resultado y, luego, a eso sumarle 9; as, el resultado es 117,

    y no 135 como lo has sealado.

    Sugerencia didctica. Anote tambin este diagrama en el pizarrn y explquelo. Cuando termine pida a los alumnos que expliquen en qu es diferente respecto del anterior. Para ayudarlos a verbalizar las diferencias puede hacerles preguntas como:

    En ambos diagramas estn presentes los mismos nmeros?En ambos diagramas se efectan las mismas operaciones (dos sumas y una multiplicacin)?Por qu entonces Beto dice que el resultado es 135 y el jurado dice que es 117?Quin creen que efectivamente gan el concurso?

    MAT2 B2 S11 maestro.indd 188 6/2/07 11:22:48 PM

  • 158

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

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    L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. En efecto Ana obtuvo 117, y considerando la jerarqua de operaciones Beto obtuvo 99.

    153

    IIMATEMTICASIII. Aplica esta regla para calcular el resultado de las expresiones de Ana y Beto

    respectivamente.

    a) Ana: 3 + 15 7 + 9 = .

    b) Beto: 3 + 15 7 9 = .

    A lo que llegamosSi a las siguientes expresiones aplicamos la regla Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas, nos dan los siguientes resultados:

    2 + 146 + 8 = 2 + 84 + 8 = 94

    y

    2 + 146 8 = 2 + 84 8 = 78

    La regla se aplica de la misma manera cuando aparecen divisiones, por ejemplo,

    2 + 147 + 8 = 2 + 2 + 8 = 12Y

    2 + 147 8 = 2 + 2 8 = -4

    IV. Despus de haber escuchado la explicacin del miembro del jurado, Beto se dio cuen-ta de su error. Agradeci la explicacin y pregunt:

    Pon parntesis a la expresin de Beto para que sea correcta:

    3 + 15 7 9 = 117

    Cmo tengo que escribir la operacin para indicar que primero sumo 3 y 15; y luego

    al resultado lo multiplico por 7?

    Con el uso correcto de los parntesis puedes expresar esa operacin.

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos escribir aqu la expresin, pero ahora con parntesis.

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

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    Propsito del interactivo. Mostrar expresiones en donde al cambiar de lugar el parntesis se modifica el orden en que se resuelven las operaciones.

    Sugerencias didcticas. El interactivo se puede utilizar para mostrar cmo el uso de los parntesis permite cambiar el orden de las operaciones. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios mostrados en el interactivo para descubrir cmo se comportan los parntesis. A manera de evaluacin puede pedir a los alumnos que coloquen los parntesis en una expresin para obtener un resultado especfico.

    Sugerencia didctica. Comente con los alumnos que en esta expresin no hacen falta los parntesis pues, cmo se dijo, las multiplica-ciones y las divisiones deben hacerse primero. Explique que esto no es un error, sino que el uso de los parntesis enfatiza que primero se multiplica. Es como cuando decimos: Ayer viernes fui a la escuela.

    154

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna regla de jerarqua de operaciones que permite sumar o restar antes de multiplicar o dividir es la siguiente:

    Las operaciones que estn encerradas entre parntesis se realizan antes que las dems.

    Por ejemplo, (2 + 14) 8 10 =

    16 8 10 =128 10 = 118

    Los parntesis pueden usarse varias veces,

    (2 + 14) (8 10) =

    16 (8 10) =

    16 (2) = -32

    V. Despus de la explicacin del jurado, Beto le puso unos parntesis a su expresin para que sta quedara correcta. Al ver el cambio que Beto hizo a su expresin, el jurado decidi declarar un empate entre Ana y Beto, pues Beto, al igual que Ana, hizo bien sus clculos, slo que no supo escribir la expresin correctamente.

    Revisen las expresiones que encontraron al principio de la sesin y escrbanlas respetan-do las reglas de jerarqua de operaciones.

    Lo que aprendimos1. Une con una lnea cada expresin de la columna izquierda con su respectivo valor de

    la columna derecha.

    I) 24 + 12 4 + 2 = a) 6

    II) (24 + 12) 4 + 2 = b) 11

    III) 24 + 12 (4 + 2) = c) 19

    IV) (24 + 12) (4 + 2) = d) 26

    e) 29

    Respuestas.I eII bIII dIV aEn la expresin I el resultado es 29, porque primero hay que efectuar la divisin. Pida a los alumnos que la escriban con parntesis, quedara 24 + (12 4) + 2, y luego que resuelvan por pasos (primero lo que est entre parntesis). Sera 24 + 3 + 2. En la expresin II el resultado es 11. Resolviendo primero lo que est entre parntesis quedara 36 4 + 2.

    Reconocer por qu son diferentes las expresio-nes III y IV puede ser difcil para los alumnos. En la III pdales que resuelvan primero lo que est entre parntesis, quedara 24 + 12 6, y luego que efecten la divisin, sera 24 + 2. En la IV hay dos parntesis, por lo que pueden confundirse. Explqueles que hay que resolver primero lo que est en los dos parntesis, quedara 36 6.

    Posibles dificultades. Aunque las reglas de la jerarqua de operaciones no sean difciles de entender, es posible que para algunos alumnos resulten confusas e incluso contradictorias con sus aos de prctica aritmtica, en la que siempre han efectuado los clculos de izquierda a derecha sin importar qu tipo de operaciones fueran. Cuando los alumnos terminen de resolver estas actividades revsenlas juntos y aclaren dudas.

    Sugerencia didctica. Es posible que algunos alumnos consideren injusto el empate, pdales que expliquen por qu, pero no le dedique mucho tiempo a esa discusin, slo haga notar que es importante escribir bien las expresiones y saber usar los parntesis.

    MAT2 B2 S11 maestro.indd 190 6/2/07 11:23:06 PM

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

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    L ib ro para e l maest ro

    Posibles dificultades. Comente con los alumnos el caso del inciso d). Explqueles que es posible que en un parntesis haya ms de una operacin, sin embargo, dentro de l tambin debe respetarse la jerarqua de operaciones. Por ejemplo, tanto en (10 2 + 5) como en (5 + 10 2) el resultado es 10.

    155

    IIMATEMTICAS2. Las siguientes respuestas fueron dadas por algunos concursantes durante el transcur-

    so de un programa televisivo. Todas las respuestas son errneas, pues los concursantes olvidaron usar los parntesis. Escriban los parntesis faltantes para que las expresio-nes sean correctas.

    a) 11 + 2 10 + 8 = 138

    b) 10 + 12 2 + 13 = 190

    c) 10 + 2 7 + 3 = 120

    d) 10 2 + 5 3 = 30

    3. Imaginen que estn concursando en uno de estos programas televisados. Combinen los nmeros de la primera columna junto con las operaciones de suma, resta, multi-plicacin y divisin para obtener un nmero lo ms cercano posible al de la segunda columna. El que quede ms cerca gana. No olviden usar correctamente las reglas de jerarqua de las operaciones!

    Nmeros Meta

    1, 2, 3, 4, 5 0

    6, 7, 8, 9, 10 2

    1, 2, 3, 4, 5 49

    8, 10, 12, 15, 23 319

    MS REGLASPara empezarEn la sesin anterior vimos que a veces pueden ocurrir confusiones al calcular el valor de una expresin y que, para evitarlas, se ha acordado un conjunto de reglas que se conoce como jerarqua de operaciones. Estas reglas nos dicen qu operaciones se deben hacer primero. Hasta el momento hemos visto que:

    1. Las operaciones que estn encerradas entre parntesis se realizan antes que todo lo dems.

    2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse antes que las sumas y restas.

    Hay ms reglas sobre jerarqua de operaciones que ayudan a evitar nuevas confusiones. Por ejemplo:

    3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.

    SESiN 2

    Sugerencia didctica. Recuerde a los alumnos las reglas del juego: deben usarse todos los nmeros pero no repetir ninguno.

    Posibles respuestas. Los alumnos pueden encontrar distintas expresiones en esta actividad, algunas darn exactamente el resultado de la meta y otras solamente un resultado aproximado. Recuerde que lo importante es que al escribirlas utilicen correctamente la jerarqua de operaciones. Algunas expresiones que arrojan exactamente el nmero meta son: 1. (1 + 5) 3 + 2 4 = 0 5 1 + 3 4 2 = 02. 6 (9 7) (10 8) = 23. (5 + 3) (4 + 2) + 1 = 494. 23 8 + 10 12 + 15 = 319

    Integrar al portafolios. Revise las expresiones que los alumnos escribieron e integre esta activi-dad al portafolio. Si los alumnos tienen dificultades repasen las reglas de la jerarqua de operaciones poniendo ejemplos.

    Propsito de la sesin. Que los alumnos utilicen las reglas de la jerarqua de operaciones para leer y escribir una expresin aritmtica.

    Organizacin del grupo. El trabajo en esta sesin es individual, con algunos momentos de discusin grupal.

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    L ib ro para e l maest ro

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    Propsito de la actividad. Que el alumno se enfrente a nuevas ambigedades en la lectura de expresiones y que las resuelva haciendo uso de las reglas de la jerarqua de operaciones.

    Sugerencia didctica. Aunque los alumnos cometan errores al hallar los resultados de estas expresiones, permtales seguir resolviendo la sesin. Ms adelante tendrn oportunidad de hacer correcciones.

    Respuestas. En las expresiones a) y b) hay que utilizar la regla 4 porque no hay operaciones entre parntesis sino slo sumas y restas. En las expresiones c) y d) hay que utilizar la regla 3 porque no hay operaciones entre parntesis ni sumas ni restas. En la expresin e) hay que utilizar la regla 2, porque no hay operaciones entre parntesis, y despus la regla 4 para hacer las sumas y restas. En la expresin f) hay que utilizar tanto la regla 1 para resolver primero lo que est entre parntesis, como la regla 2 para efectuar la divisin antes que la suma.

    Sugerencia didctica. Es posible que algunos alumnos apliquen una regla y no puedan decir cul es o no sepan explicar por qu la eligieron. Las siguientes preguntas (Manos a la obra I) estn diseadas para ayudarlos a tomar conciencia de dichas elecciones, sin embargo usted tambin puede preguntarles cmo le hicieron para decidir cul operacin hacer primero.

    Respuestas. a) La resta, porque es la primera operacin de

    izquierda a derecha.b) La regla 4.c) 24 4 porque es la primera operacin de

    izquierda a derecha.d) La regla 3.e) 10 5f) La regla 2.g) La regla 1 y la regla 2.

    Sugerencia didctica. Despus de contestar estas preguntas pida a los alumnos que revisen los resultados que obtuvieron en las expresiones del apartado Consideremos lo siguiente y que hagan las correcciones pertinentes.

    156

    secuencia 11

    Consideremos lo siguienteCalcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. Respeta las reglas de jerarqua de operaciones.

    a) 10 3 + 2 = . b) 10 3 2 = .

    c) 24 4 2 = . d) 24 4 2 = .

    e) 20 10 5 + 1 = . f) (20 10) 5 + 1= .

    Comenten:

    a) En qu orden hicieron las operaciones para calcular el valor de las expresiones?

    b) Qu regla emplearon para decidir qu operacin hacer primero?

    Manos a la obrai. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta las reglas de jerarqua:

    1. Lo que est encerrado entre parntesis se hace primero que todo lo dems.

    2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.

    3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.

    a) Qu operacin hiciste primero para calcular el valor de la expresin 10 3 + 2,

    la resta o la suma? .

    b) Cul de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? .

    c) Qu operacin hiciste primero para calcular el valor de la expresin 24 4 2,

    la divisin 24 4 o la divisin 4 2? .

    d) Cul de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? .

    e) Cul de las siguientes operaciones hiciste primero para calcular el valor de la expresin 20 10 5 + 1? Subryala.

    20 10 10 5 5 + 1

    f) Cul regla usaste para decidir qu operacin hacer primero? .

    g) Cules reglas usaste para encontrar el valor de la expresin (20 10) 5 + 1?

    Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, comenten cul regla usaron y cmo la usaron.

    4

    9 5

    12 3

    19 3

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

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    157

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara calcular correctamente el valor de una expresin como 25 15 5 + 5 debemos decidir cul operacin hacer primero. La regla de jerarqua de operaciones que usamos para decidir esto es:

    Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.

    25 15 5 + 5

    Una vez decidido cul operacin hacer primero, calculamos dicha operacin y reducimos la expresin.

    25 15 5 + 5 = 25 3 + 5

    Para decidir cul operacin sigue por hacer, usamos otra regla de jerarqua de las operaciones:

    Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha

    25 3 + 5

    Ya sabemos el orden en que hay que hacer las operaciones, slo falta hacerlas:

    25 3 + 5 = 22 + 5 = 27

    II. Para cada una de las siguientes frases, escribe una expresin que represente los cl-culos descritos en ella.

    a) A 12 le sumo el resultado de multiplicar 4 por 3: 12 + 4 3

    b) A 12 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 3:

    c) Divido 12 entre 4 y el resultado lo multiplico por 3:

    d) Divido 12 entre el resultado de multiplicar 4 por 3:

    Comparen sus respuestas. Comenten si sus expresiones estn bien escritas de acuerdo con las reglas de jerarqua de operaciones.

    Se hace primero

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    Sugerencia didctica. Diga a los alumnos que no escriban el resultado de las operaciones descritas en la frase, lo que tienen que hacer es escribir una expresin, como se muestra en el ejemplo del inciso a).

    Sugerencia didctica. Pida a algunos alumnos que pasen a escribir sus expresiones al pizarrn y pregunte a los dems si alguien obtuvo una expresin distinta para que tambin la escriba en el pizarrn. Pida que las expliquen y que, considerando la jerarqua de las operaciones, todo el grupo analice si ambas son correctas o alguno cometi un error.

    (12 + 4) 3

    12 4 3 o bien (12 4) 3

    12 (4 3)

    MAT2 B2 S11 maestro.indd 193 6/2/07 11:23:20 PM

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    L ib ro para e l maest ro

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de las actividades 1 y 2. Si lo considera necesario, repasen las cuatro reglas de la jerarqua de operaciones poniendo ejemplos.

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510

    =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510

    =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    9 1

    15 5

    16 8

    3 1

    4 1

    10 1

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

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    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510 =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510 =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6510

    L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Pregunte a los alumnos:Qu teclas tendran que oprimir en una calculadora que jerarquiza para que el resultado de 1 + 2 3 fuera 9?Qu teclas tendran que oprimir en una calculadora que no jerarquiza para que el resultado de 1 + 2 3 fuera 7?

    Si disponen de aula de medios abran la calculadora de la computadora (ir a Programas y seleccionar Accesorios, ah encontrarn Calculadora). En el men Ver hay dos opciones: Cientfica o Estndar. Pida a los alumnos que averigen en cul de esas modalidades la calculadora jerarquiza y en cul no.

    159

    IIMATEMTICAS3. Sabas que no todas las calculadoras funcionan igual? Hay unas que estn progra-

    madas para aplicar las reglas de jerarqua de operaciones y otras que no. Averigemos si la calculadora que tienes (o la que haya en el saln) jerarquiza o no.

    Presiona la siguiente sucesin de teclas en la calculadora y escribe en el espacio mar-cado cul fue el resultado.

    Ahora, calcula los valores de las siguientes dos expresiones sin usar la calculadora, pero tomando en cuenta la jerarqua de operaciones.

    a) 1 + 2 3 = b) (1 + 2) 3 =

    Compara el resultado que te dio la calculadora con las expresiones anteriores.

    Con cul resultado coincide tu calculadora (con el de a o con el de b)?

    Si tu calculadora coincide con a entonces jerarquiza, y si coincide con b, no jerarquiza.

    Tu calculadora, jerarquiza o no jerarquiza? .

    Para saber msSobre los concursos de nmeros consulta:http://www.rodoval.com/heureka/cifras.html [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Sobre la jerarqua de operaciones consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/prioridad_operaciones_rat/Unidad_didactica.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    1 + 3 =2

    7 9

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  • 196 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Mostrar las reglas para multiplicar polinomios y para dividir un polinomio entre un monomio.

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de un monomio por un monomio o por un polinomio.

    Organizacin del grupo. Se recomienda que las actividades de esta sesin los alumnos las resuelvan de manera individual y que hagan comentarios grupales.

    Descripcin del video. El video es de introduccin. Se presenta una explicacin acerca de los bloques algebraicos, se define qu son y cmo se usan. Se dan varios ejemplos para mostrar su uso apoyndose en el recurso visual.

    Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos cmo se obtiene el rea de cada bloque.

    1 1 = 1

    x 1 = x

    x x = x 2

    x y = xy

    y 1 = y

    y y = y 2

    Recuerden tambin la diferencia entre una unidad lineal y una unidad de superficie.

    Sugerencia didctica. Un da antes, deje como tarea a los alumnos que recorten y peguen los bloques algebraicos. Es mejor que los peguen en un material rgido para manipularlos con facilidad.

    160

    secuencia 12

    En esta secuencia resolvers problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

    LOS BLOQUES ALGEBRAICOSPara empezarLos bloques algebraicos

    Los bloques algebraicos son piezas de forma rectangular o cuadrada que permiten mo-delar operaciones con expresiones algebraicas. En esta secuencia ocupars los siguientes bloques, cada uno de ellos tiene un rea que se representa con una expresin algebraica: 1, x, x 2, y, xy, y 2.

    SESIn 1

    Multiplicacin y divisin de polinomios

    rea= y 2y

    y

    rea= 11

    1

    rea= x1

    x

    rea= y1

    y

    rea= x 2x

    x

    rea= xyx

    y

    Recorta los Bloques algebraicos del anexo 2 Recortables y pgalos en cartn.

    EjeSentido numrico y pensamiento algebraico

    TemaSignificado y uso de las operaciones

    Antecedentes

    En las secuencias 1, 2 y 11 los alumnos aprendieron a multiplicar nmeros con signo, a sumar y restar polinomios y el uso de los parntesis. En esta secuencia aprendern a multiplicar polinomios y a dividir un polinomio entre un monomio.

    Propsito de la secuencia Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    Los bloques algebraicos Resolver problemas que impliquen la multiplica-cin de un monomio por un monomio o por un polinomio.

    Aula de medios Video

    Los bloques algebraicos Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    8

    2A cubrir rectngulos Resolver problemas que impliquen la multiplica-cin de polinomios.

    Aula de medios Interactivo

    3Cunto mide la base? Resolver problemas que impliquen la divisin de un polinomio por un monomio.

    Aula de medios

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 196 6/2/07 11:23:57 PM

  • 197L ib ro para e l maest ro

    161

    IIMATEMTICASCubre los rectngulos siguientes con los bloques algebraicos. Une con una lnea cada rectngulo con el binomio que corresponda a su rea.

    Rectngulo rea

    y + 1

    x + 1

    x 2 + 2x

    xy + x

    Comparen sus soluciones.

    Consideremos lo siguiente Los siguientes rectngulos se han formado usando los bloques algebraicos.

    Rectngulo A Rectngulo B

    3x

    2x

    x+y

    2x

    Sabas que:Las expresiones algebraicas se nombran de acuerdo con su nmero de trminos:El monomio tiene un trminoEl polinomio tiene dos o ms trminos.El binomio es un polinomio que tiene dos trminos.El trinomio tiene tres trminos.

    Propsito de la actividad. Esta actividad sirve para que los alumnos se inicien en la representa-cin de una expresin algebraica usando el modelo de reas.

    Usted puede pedirles que representen otros polinomios con los bloques algebraicos para que sigan practicando. Eventualmente, ya no tendrn necesidad de usarlos porque habrn comprendi-do qu es lo que representan, pero mientras los necesiten, permtales usarlos para hacer clculos o verificar resultados.

    Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos contesten las actividades usando los bloques algebraicos y no utilizando la regla para medir los lados de los rectngulos. Explqueles que la intencin en esta secuencia no es calcular reas de rectngulos midiendo sus lados (eso ya saben hacerlo), sino aprender a multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

    Respuestas. Al rectngulo superior le corresponde x 2 + 2x, al de en medio y + 1, y al inferior xy + x.

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 197 6/2/07 11:23:59 PM

  • 198 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    rea del rectngulo A = 6x 2

    rea del rectngulo B = 2x 2 + 2xy

    rea del rectngulo C = 6xy

    Sugerencia didctica. Posiblemente algunos de los primeros intentos de los alumnos (como tratar de rellenar el rectngulo A con bloques de tamao x) no sean exitosos. D tiempo a los alumnos para que exploren y en este momento no los corrija si se equivocan.

    Propsito del interactivo. Explorar mediante un modelo geomtrico la multiplicacin y divisin de monomios y polinomios.

    Sugerencia didctica. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que permitan a los estudiantes validar sus hiptesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qu casos son ciertas y en qu casos no. Se pueden modificar los ejemplos de acuerdo con las necesidades de los alumnos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados. En general el uso de la tecnologa en el saln de clases se propone para que los alumnos exploren los interactivos y generen hiptesis que puedan validar. Tambin pueden generarse ejemplos especficos en los que se muestre la validez de sus hiptesis o contraejemplos en los que no se validarn.

    Sugerencia didctica. En un primer momento no necesariamente tienen que escribir los polinomios que representan el rea de cada rectngulo (tercera columna de la tabla). Por ello, en la ltima columna puede sugerir a los alumnos que escriban cuntos bloques de cada tipo usaron para construir cada rectngulo (como se muestra en la tabla).

    162

    secuencia 12

    Rectngulo C

    3y

    2x

    Qu expresin algebraica corresponde al rea de cada rectngulo?

    a) Rectngulo A: rea =

    b) Rectngulo B: rea =

    c) Rectngulo C: rea =

    Comparen sus soluciones.

    Manos a la obrai. Qu bloques algebraicos se usan para construir cada rectngulo? Para responder esta

    pregunta, completa la tabla.

    Rectngulo Base Altura Base Altura Expresin algebraica para el rea

    A 3x 2x (3x ) (2x )

    B x + y 2x

    C 3y 2x

    a) Cuntos bloques algebraicos de rea x 2 se requieren para formar el rectngulo A?

    b) Cuntos bloques algebraicos de rea x 2 se usan para formar el rectngulo B?

    6 bloques de x 2 o 6x 2

    (x+y) (2x) 2 bloques de x 2 y 2 bloques

    de xy o 2x 2 + 2xy

    (3y) (2x) 6 bloques de xy o 6xy

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 198 6/2/07 11:24:02 PM

  • 199L ib ro para e l maest ro

    3Propsito de la actividad. El intercambio y la discusin en este momento son importantes para validar las respuestas que cada uno obtuvo. Ahora todos los alumnos deben comprender que el rea de los polinomios A, B y C puede representarse con una expresin algebraica.

    Posibles dificultades. Para algunos alumnos puede resultar difcil identificar la medida de cada lado en estos rectngulos. Usted puede ayudarlos preguntndoles cul es la medida de cada lado en trminos de los segmentos x, y, 1.

    Si los alumnos miden los lados con su regla, pdales que encuentren la medida de cada segmento en milmetros:

    Segmento x = 23 mm

    Segmento y = 37 mm

    Segmento 1 = 17 mm

    Luego dgales que expresen la medida de los lados de los rectngulos con los segmentos x, y, 1 y no con milmetros. Por ejemplo, en vez de decir la altura del rectngulo D mide 69 mm, que lo expresen como la altura del rectngulo D mide 3x.

    Sugerencia didctica. Diga a los alumnos que verifiquen con los bloques algebraicos sus respuestas en esta columna.

    163

    IIMATEMTICASc) Cuntos bloques algebraicos de rea xy se usan para formar el rectngulo B?

    d) Cuntos bloques algebraicos de rea xy se necesitan para formar el rectngulo C?

    Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen las expresiones algebraicas que obtuvieron para las reas de los rectngulos.

    II. Los siguientes rectngulos tambin se construyeron usando los bloques algebraicos.

    Rectngulo D Rectngulo E Rectngulo F

    x+2

    a) Completa la tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las reas de los rectngulos anteriores.

    Rectngulo Base Altura Base Altura Expresin algebraica para el rea

    D 3x (y ) ( )

    E y + 1 (y + 1) ( )

    F x x ( )

    Comparen sus soluciones. Verifiquen que hayan sumado todos los trminos semejantes de las expresiones algebraicas.

    Recuerden que:

    Trminos semejantes son los trminos que tienen la misma parte literal, como: w, 3w, 2w, 1.5w.

    y 3x 3xy

    x x xy + x

    x + 2 x + 2 x 2 + 2x

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 199 6/2/07 11:24:04 PM

  • 200 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Proponga a los alumnos otras multiplicaciones adems de las que se explican aqu (trmino numrico por monomio, monomio por monomio, monomio por binomio) para que apliquen las reglas y las practiquen.

    Propsito del interactivo. Explorar mediante un modelo geomtrico la multiplicacin y divisin de monomios y polinomios.

    Sugerencias didcticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos otros ejercicios y que practiquen la resolucin de multiplicaciones de monomios y polinomios.

    164

    secuencia 12

    A lo que llegamosPara multiplicar expresiones algebraicas existen algunas reglas que pueden servir:

    1. Para multiplicar un trmino numrico por un monomio se multiplica el trmino numrico por el coeficiente del monomio, por ejemplo:

    (3) (2y) = 3 (2y) = (2 3) (y) = 6y

    6

    2. Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, por ejemplo:

    x 2

    (2x) (3x) = (2 3) (xx) = 6x 2

    6

    3. Para multiplicar un monomio por un binomio se multiplica el mono-mio por cada uno de los trminos del binomio, por ejemplo:

    2x 2

    x (2x + y) = 2x 2 + xy

    xy

    iii. Las reglas anteriores tambin se aplican para multiplicar expresiones algebraicas con cualquier tipo de coeficientes: fraccionarios, negativos o decimales, por ejemplo:

    x 2 38 x

    12 x (2x 5y

    34 ) = x

    2 52 xy 38 x

    52 xy

    Recuerden que:

    4 por x = 4x

    x por x = x 2

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de que tambin se pueden multiplicar expresiones algebraicas cuando los coeficientes son decimales, fracciones o negativos. Las operaciones pueden parecer ms difciles, pero enfatice el hecho de que cuando los coeficientes son decimales o fracciones, positivos o negativos, las reglas para multiplicar polinomios son las mismas.

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 200 6/2/07 11:24:11 PM

  • 201L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    a) 38 x 2y

    b) 15xy

    c) 6yx + 9y 2

    d) 13x 2y 6.25xy 2 + 3xy

    165

    IIMATEMTICASRealiza las siguientes multiplicaciones.

    a) ( 12 x ) ( 34 xy ) =

    b) (3x) (5y) =

    c) ( 35 y ) (10x 15y ) =

    d) (2.5xy ) (5.2x + 2.5y 1.2) =

    Lo que aprendimos1. Calcula el rea del siguiente rectngulo multiplicando las expresiones que represen-

    tan las medidas de la base y la altura.

    3y + 2

    x

    a) rea = (3y + 2) (x ) =

    b) Cubre con bloques algebraicos la figura anterior para verificar si el rea obtenida mediante la multiplicacin corresponde a los bloques utilizados para cubrirla. Di-buja cmo qued cubierto el rectngulo.

    2. Completa las siguientes multiplicaciones.

    a) ( ) (5x ) = 15xy

    b) ( 12 xy ) ( ) = ( 310) x 2y

    c) (1.25z ) ( ) = 3.75yz

    d) ( 35 ) ( ) = z

    3yx + 2x

    3y

    35 x

    3y

    53 z

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 201 6/2/07 11:24:13 PM

  • 202 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de polinomios.

    Organizacin del grupo. Las actividades se resuelven tanto individualmente como en parejas, y los comentarios son entre todo el grupo.

    Propsito de la actividad. Se pretende que los alumnos multipliquen las expresiones correspon-dientes a las medidas de los lados del rectngulo a travs del uso de los bloques algebraicos.

    Sugerencia didctica. Dles tiempo para explorar con los bloques algebraicos. Si an no saben cmo multiplicar polinomios, el empleo de los bloques les permitir hallar el resultado. Si ya saben cmo multiplicar (y + 2) (3x + y + 4) los bloques le darn sentido al resultado.

    Respuestas.

    a) (y + 2) (3x + y + 4).

    b) 3xy + y 2 + 6y + 6x + 8, es decir, tres bloques cuya rea sea xy, un bloque y 2, seis bloques y, seis bloques x y ocho bloques de rea 1.

    166

    secuencia 12

    A CUBRIR RECTnGULOSPara empezarEn esta sesin resolvers problemas de clculo de reas que impliquen la multiplicacin de polinomios.

    Consideremos lo siguienteCubre con bloques algebraicos el siguiente rectngulo para calcular su rea.

    SESIn 2

    3x+y+3

    y+2

    a) Qu expresiones algebraicas tienen que multiplicarse para obtener el rea del rec-

    tngulo?

    b) Qu expresin algebraica representa el rea?

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 202 6/2/07 11:24:15 PM

  • 203L ib ro para e l maest ro

    167

    IIMATEMTICASManos a la obraI. A continuacin se presenta una forma de dividir la superficie del rectngulo. Aplica

    lo aprendido en la sesin 1 para encontrar las reas de los rectngulos R1, R2 y R3.

    R2R1 R3y+2

    3x 3y

    a) rea de R1: (3x ) (y + 2) =

    b) rea de R2: (y ) (y + 2) =

    c) rea de R3: (3) (y + 2) =

    d) De los seis trminos que se obtienen en las tres multiplicaciones anteriores, dos

    son semejantes.

    Escrbelos: y

    e) Cul es la suma del rea de los rectngulos R1, R2, y R3? No olvides sumar los

    trminos semejantes.

    Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos los siguiente y comparen la expresin algebraica con el resultado que obtuvieron cubriendo el rectngulo con los bloques algebraicos.

    Propsito del Interactivo. Explorar mediante un modelo geomtrico la multiplicacin y divisin de monomios y polinomios.

    Sugerencias didcticas. Puede ocupar el interactivo para mostrar a los alumnos otros ejercicios y que practiquen la resolucin de multiplicaciones de monomios y polinomios.

    Propsito de la actividad. Ahora la base del rectngulo se divide en tres partes, tomando como criterio de tales divisiones cada uno de los trminos que componen el polinomio que expresa su medida. La intencin es que los alum-nos vayan efectuando una a una las multiplica-ciones de un binomio (altura del rectngulo) por un monomio (cada una de las partes de la medida de la base).

    Sugerencia didctica. Si los alumnos no lograron obtener el rea de todo el rectngulo en el apartado anterior (Consideremos lo siguiente) sugirales que utilicen los bloques algebraicos para hallar el rea de cada uno de los rectngulos en los que se dividi el original.

    Respuestas.

    a) 3xy + 6x

    b) y 2 + 2y

    c) 4y + 8

    d) Los trminos semejantes son 2y y 4y.

    e) 3xy + y 2 + 6y + 6x + 8

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 203 6/2/07 11:24:17 PM

  • 204 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.

    b) 6x + 2y + 8

    c) 3xy + y 2 + 4y

    d) 3xy + y 2 + 6y + 6x + 8

    Sugerencia didctica. Pdales que verifiquen que la expresin correspondiente a la suma del rea de los rectngulos R4 + R5 sea igual a la que obtuvieron al sumar las reas de los rectngulos R1 + R2 + R3.

    168

    secuencia 12ii. A continuacin se presenta otra forma de dividir la superficie del rectngulo.

    a) Cubran los rectngulos R4 y R5 con bloques algebraicos y luego calculen el rea de cada uno.

    b) rea de R4: (2) (3x + y + 3) =

    c) rea de R5: (y ) (3x + y + 3) =

    d) Cul es la suma del rea de los rectngulos R4 y R5?

    Comparen sus respuestas y comenten con todo el grupo los procedimientos que usaron para multiplicar polinomios.

    A lo que llegamos

    3x + y + 3

    2

    y R5

    R4

    Una forma de multiplicar y + 2 por 3x + y + 3 es la siguiente:(y + 2) (3x + y + 3) = y (3x + y + 3) + 2 (3x + y + 3)

    = 3xy + y 2 + 3y + 6x + 2y + 6

    = 3xy + y 2 + 5y + 6x + 6

    1 Se multiplica cada trmino de y+2 por todos los trminos de 3x + y + 3

    2 Se suman los trminos semejantes

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 204 6/2/07 11:24:22 PM

  • 205L ib ro para e l maest ro

    169

    IIMATEMTICASTambin puede multiplicarse de forma vertical

    3x + y + 3y + 2

    6x + 2y + 63xy + y 2 + 3y

    3xy + y 2 + 6x + 5y + 6

    1 Se multiplica el trmino +2 por todos los trminos de 3x + y + 3

    2 Se multiplica el trmino y por todos los trminos de 3x + y + 3

    3 Se suman los trminos semejantes

    III. Los procedimientos anteriores se aplican para multiplicar polinomios con coeficientes decimales, fraccionarios y negativos.

    ( 12 x 2y ) ( 35 x 3y ) = 310 x 2 32 xy 65 xy + 6y 2 = 310 x 2 2710 xy + 6y 2

    310 x

    2 32 xy

    65 xy + 6y 2

    Realiza o completa las siguientes multiplicaciones.

    a) (3.5x + 2y ) (3.5x) =

    b) (2xy ) (3x 2y + 2) =

    c) ( 12 x ) (2x + 35 ) =

    d) (3x + 6) (2x -5) =

    e) (3x) ( ) = 6x 2 15xy

    Lo que aprendimos 1. Completa las siguientes multiplicaciones. No olvides sumar todos los trminos seme-

    jantes.

    a) (x 2) (3x + 2) = ( ) 3x + ( ) 2

    = 3x 2 6x +

    = 3x 2 4x 4

    Sugerencia didctica. Plantee a los alumnos otras multiplicaciones de polinomios y pdales que las resuelvan mediante alguno de los dos procedimientos que se explican aqu.

    Es importante que seale las caractersticas de la multiplicacin de forma vertical: al igual que se acomodan las cifras en las multiplicaciones que ellos ya conocen (unidades, decenas, centenas, etc.), cada trmino se acomoda en una columna y el resultado de la multiplicacin se anota en esa misma columna. Por ello en el ejemplo se dej un espacio para anotar el resultado de multiplicar y por y (no puede quedar debajo de 6x).

    Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad. Si tras revisarla considera que an tienen dificultades, repasen la informacin de A lo que llegamos.

    12.5x 2 + 7xy

    6x 2y 4x y 2 + 4xy

    x 2 + 310 x

    6x 2 27x 30

    2x + 5y

    x 2 x 2

    2x 4

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 205 6/2/07 11:24:27 PM

  • 206 L ib ro para e l maest ro

    170

    secuencia 12

    b) x + 2 3x + 5

    +

    6x

    x +

    2. Cubre el rectngulo con bloques algebraicos y encuentra su rea.

    3x + 2

    x + 2

    rea =

    3. Coloca cada expresin en el crculo que le corresponda para que los productos de los tres trminos de cada lado del tringulo mgico de la derecha sean iguales.

    Faltan por colocar: 1, 32 x,94 x,

    278 x

    49

    23

    278 x

    32 x 1

    94 x

    5x 10

    3x 2

    3x 2 10

    Respuesta. El rea es 3x 2 + 8x + 4, es decir, 3 bloques cuya rea es x 2, + 8 bloques de x y 4 bloques de rea 1.

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 206 6/2/07 11:24:29 PM

  • 207L ib ro para e l maest ro

    171

    IIMATEMTICASCUnTO MIDE LA BASE?Para empezarEn esta sesin resolvers problemas que impliquen la divisin de un polinomio entre un monomio.

    Consideremos lo siguienteEl rea de un rectngulo es 6x 2 + 2xy. Su altura mide 2x.

    2xA = 6x 2 + 2xy

    a) Qu expresin algebraica representa la medida de la base?

    b) Cul es el permetro del rectngulo? Permetro =

    Comparen sus respuestas y verifiquen la medida de la base a partir de la expresin:

    Base Altura = rea.

    Manos a la obraI. Con los bloques algebraicos cubre el rectngulo de rea 6x 2 + 2xy. Despus contesta

    las siguientes preguntas.

    a) Cuntos bloques de rea x 2 hay en el rectngulo?

    b) Cuntos bloques de rea xy hay en el rectngulo?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Si conocen el rea y la altura de un rectngulo, qu operacin hay que hacer para cal-cular su base?

    SESIn 3

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen la divisin de un polinomio por un monomio.

    Organizacin del grupo. Se sugiere trabajar las actividades individualmente y que comenten sus resultados de manera grupal.

    Propsito de la actividad. Ahora los alumnos tienen que hallar uno de los factores (en este caso, la base) conociendo el producto (rea) y el otro factor (altura). Para encontrarlo pueden pensar lo siguiente: qu nmero multiplicado por 2x es igual a 6x 2 + 2xy?, es decir,

    2x = 6x 2 + 2xy.

    O bien, cul es el resultado de dividir 6x 2 + 2xy 2x?

    Si lo considera til, planteles algunas de esas preguntas y permtales explorar distintos procedimientos y respuestas, aunque cometan errores.

    Respuestas.

    a) 3x + y

    b) 10x + 2y

    Respuestas.

    a) 6 bloques.

    b) 2 bloques.

    1

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 207 6/2/07 11:24:31 PM

  • 208 L ib ro para e l maest ro

    172

    secuencia 12ii. Responde las siguientes preguntas.

    a) Subraya la expresin que al multiplicarse por 2x d como producto 4x 2 + 10x.

    7x 2x2 + 5 2x + 5x 2x + 5

    b) Multiplica la expresin que subrayaste por 2x y verifica si obtienes 4x 2 + 10x.

    2x ( ) = 4x 2 + 10x

    c) Cul es el resultado de la divisin 4x2+10x2x ?

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosUna manera de dividir el binomio 6x 2 + 2xy entre el monomio 2xconsiste en buscar un binomio que multiplicado por 2x d como producto 6x 2 + 2xy.

    6x 2 + 2xy2x

    = 3x + y

    Porque 2x (3x + y ) = (2x ) (3x ) + (2x ) (y ) = 6x 2 + 2xy

    iii. La regla anterior para dividir un binomio entre un monomio se aplica para dividir cualquier polinomio entre un monomio con coeficientes decimales, fraccionarios o negativos.

    6.4z 2 1.6xz + 7.2z0.8z = 8z 2x + 9z

    Porque 0.8z (8z 2x + 9z) = 6.4z 2 1.6xz + 7.2z

    Realiza las siguientes divisiones:

    a)6y 2 12xz + 9z

    3z =

    Porque 3y ( ) = 6y 2 12xy + 9y

    Respuesta. La expresin correcta es 2x + 5, porque al multiplicarla por 2x se obtiene 4x 2 + 10x.

    Sugerencia didctica. Si los alumnos obtienen otras respuestas pdales que pasen al pizarrn a verificarlas, haciendo la multiplicacin y la divisin que se proponen en los incisos b) y c).

    Sugerencia didctica. Si los alumnos tienen dificultades para trabajar esta actividad, anote los ejercicios en el pizarrn y resulvanlos juntos, pero permita que sean ellos quienes propongan posibles respuestas y las justifiquen.

    Respuestas.

    a) 2y 4x + 3

    b) 910 yz 92 x + 3

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 208 6/2/07 11:24:35 PM

  • 209L ib ro para e l maest ro

    173

    IIMATEMTICASb)

    35 y2z 3xz + 2y

    23 y

    =

    Porque 23 y ( ) = 35 y

    2z 3xy + 2y

    IV. No siempre es posible simplificar las expresiones al realizar una divisin, algunas ve-ces slo se deja indicada. Por ejemplo:

    6y 2 9xy + 5x3y = 2y 3x +

    5x3y

    Porque 3y ( 2y 3x + 5x3y ) = 6y

    2 9xy + 5x

    Realiza las siguientes divisiones.

    a) 2x ( ) = 5x 2 3xy + 4y

    b) 4y 2 12x + 5y

    3y =

    Comparen sus respuestas y comenten cmo dividir un polinomio entre un monomio.

    Lo que aprendimos 1. Encuentra la expresin algebraica que corresponde a la base del rectngulo. Poste-

    riormente calcula su permetro.

    2x rea = 4x 2 + 10x

    Permetro =

    Sabas que:

    (3y) ( 5x3y ) = 15xy

    3y = 5x

    Porque (3y )(5x ) = 15xy

    Sugerencia didctica. Anote en el pizarrn esta expresin y comenten por qu no es posible simplificar 5x

    3y .

    Respuestas.

    a) 52

    x 32

    y + 2yx

    b) 43

    y 4xy + 53

    Sugerencia didctica. Si no tienen suficiente tiempo en la clase, deje este apartado de tarea y posteriormente revise las respuestas de los alumnos.

    Integrar al portafolios. Seleccione una de las actividades de este apartado y pida a los alumnos una copia para guardarla en su portafolios. Si los alumnos tienen dificultades, repasen la informacin de A lo que llegamos de las tres sesiones de esta secuencia y propnga-les ms multiplicaciones y divisiones.

    Respuesta. La base mide 2x + 5 y el permetro es 8x + 10.

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 209 6/2/07 11:24:38 PM

  • 210 L ib ro para e l maest ro

    174

    secuencia 122. Calcula el rea de la figura que se forma al unir el rectngulo rojo con el azul. El rea

    del rectngulo azul es 2y.

    2y + 3

    y rea = 2y

    a) Qu operacin realizas para obtener el rea del rectngulo formado al unir los

    rectngulos rojo y azul?

    b) Qu rea obtuviste? rea =

    c) Realiza las operaciones que consideres necesarias para completar la tabla siguiente.

    Rectngulo Base Altura rea Permetro

    Rojo y

    Azul 2y 2y + 4

    Formado por los dos rectngulos.

    2y + 3 2y 2 + 3y

    3. Calcula el rea y el permetro del hexgono siguiente:

    y+1

    x+y+1

    x+2

    x+1

    a) rea =

    b) Permetro =

    Posibles procedimientos. Los alumnos pueden utilizar distintos procedimientos para resolver esta actividad.

    Multiplicar y (2y + 3) para obtener el rea del rectngulo formado por los rectngulos rojo y azul.

    Luego restar (2y 2 + 3y ) 2y para obtener el rea del rectngulo rojo y posteriormente obtener la medida del largo de este rectngulo (2y + 1).

    Obtener la base del rectngulo azul al dividir 2y/y = 2, posteriormente restar (2y + 3) 2 = 2y + 1 para obtener la base del rectngulo rojo. Finalmente, multiplicar (2y +1) y = 2y 2 + y para obtener el rea del rectngulo rojo.

    Posibles procedimientos.

    Descomponer la figura horizontalmente en dos rectngulos, uno con rea x y el otro con rea x 2 + xy + 2x + y + 1. Luego sumarlas para obtener x 2 + xy + 3x + y + 1.

    Descomponer la figura verticalmente en dos rectngulos, uno con un rea x 2 + 2x y el otro con rea xy + x + y + 1. Luego sumarlas para obtener x 2 + xy + 3x + y + 1.

    Posibles dificultades. Al pretender obtener el permetro, los alumnos pueden cometer el error de sumar las cuatro expresiones algebraicas que aparecen en la figura (3x + 2y + 5) y no tomar en cuenta que dos de los lados no tienen escrita su medida (x y 1).

    Respuestas.

    a) rea: x 2 + xy + 3x + y + 1

    b) Permetro: 4x + 2y + 6

    2 y + 1 2y 2 + y 6y + 2

    2 y

    y 6y + 6

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 210 6/2/07 11:24:40 PM

  • 211L ib ro para e l maest ro

    175

    IIMATEMTICAS4. El largo de un invernadero mide el doble que el ancho, y alrededor de ste se encuen-

    tra un pasillo de 2 metros de ancho y 136 metros cuadrados de rea.

    Invernadero

    2x

    x

    2 metros

    a) Cuntos metros cuadrados de superficie tiene el invernadero?

    b) Qu expresin algebraica le corresponde al rea del invernadero?

    c) Qu expresin algebraica le corresponde al rea del pasillo?

    Para saber ms Sobre resolucin de tringulos mgicos consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta: Secundaria Juegos aritmticos (Dar clic en 17 por todos lados).[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

    Posibles procedimientos. El propsito de incluir este problema es que el alumno se familiarice con la resolucin de ecuaciones.

    Para obtener la expresin algebraica que corresponde al rea del pasillo puede haber varios caminos:

    Obtener el largo (2x + 4) y el ancho (x + 4) del rectngulo formado por el invernadero y el pasillo.

    Luego multiplicar (2x + 4) (x + 4) para obtener el rea de este rectngulo (que es 2x 2 + 12x + 16).

    Posteriormente restarle a esta rea el rea del invernadero: (2x 2 + 12x + 16) 2x 2 = 12x + 16 para obtener la expresin que corresponde al rea del pasillo. Finalmente, igualar 12x + 16 = 136 para hallar que x = 10 metros.

    Dividir el pasillo en dos rectngulos de rea 4x + 8 y otros dos de rea 2x, que al sumarse dan un rea total de 12x + 16.

    Luego resolver la ecuacin 12x + 16 = 136 para hallar cunto vale x (el ancho del invernadero).

    Dividir el pasillo en seis regiones: dos de rea 2x, dos de rea 4x y cuatro de rea 4. Luego se suman para obtener el rea total del pasillo (12x + 16).

    Despus, resolver la ecuacin 12x + 16 = 136 para hallar cunto vale x (el ancho del invernadero).

    El pasillo puede dividirse de otras formas.

    Sugerencia didctica. Para resolver la ecuacin 12x + 16 = 136 se puede plantear al alumno preguntas como las siguientes:

    Qu nmero sumado con 16 es igual a 136?

    Qu nmero multiplicado por 12 es igual a 120?

    Respuestas.

    a) 200 m2.

    b) 2x 2.

    c) 12x + 16.

    MAT2 B2 S12 maestro.indd 211 6/2/07 11:24:42 PM

  • 212 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Presentar caractersticas de cuerpos geomtricos y algunos desarrollos planos para su construccin.

    Propsito de la sesin. Construir prismas y pirmides a partir de sus desarrollos planos. Organizacin del grupo. Los alumnos pueden trabajar en parejas y comparar grupalmente sus estrategias y resultados. Materiales. Instrumentos geomtricos, cartulina o cualquier otro papel grueso, tijeras y pegamen-tos. Estos materiales se utilizarn durante las cinco sesiones de esta secuencia.

    Descripcin del video. El video es introducto-rio, en l se muestran elementos geomtricos tridimensionales que existen a nuestro alrededor, tales como pirmides, cubos y prismas diversos. Se muestra cmo construir uno de ellos a partir de una planilla y de sus principales caractersticas.

    Propsito de la actividad. Los alumnos has construido cuerpos geomtricos con diferentes recuros a lo largo de la educacin primaria, por lo que se espera que puedan construir, de alguna manera, el prima y la pirmide a partir de sus desarrollos planos. Es importante que los alumnos atiendan a la indicacin de que se debe ser una sola pieza. Posibles dificultades. Probablemente los alumnos tendrn algunos problemas para trazar las figuras geomtricas; dado que lo central de esta actividad no es el trazo de figuras, usted puede apoyarlos ya sea remitindolos a la secuencia 5, o incluso mostrando en el pizarrn cmo trazar algunas de las figuras. Habr que tener cuidado de no dar pistas sobre la disposicin de las caras.

    Propsito del interactivo. Explorar desarrollos planos de diferentes cuerpos geomtricos.

    176

    secuencia 13

    Un dado, una caja o las pirmides de Teotihuacan tienen algo en comn: son cuerpos geomtricos de los cuales se pueden estudiar sus caractersticas y, en algunos casos, hacer los moldes para construirlos. Estos temas son los que estudiars en esta secuencia.

    DESARROLLA TU IMAGINACINPara empezarLa geometra a tu alrededor

    Mira a tu alrededor y observa las formas de edificios, casas, muebles, cajas, latas; muchas de ellas son cuerpos geomtricos o combina-ciones de ellos.

    Por ejemplo, la caja de al lado tiene forma de un cuerpo geomtrico. Imagina que extende-mos el molde con el que la hicieron:

    A este molde tambin se le llama desarrollo plano.

    Consideremos lo siguienteElaboren con cartulina una casa y un pino como los siguientes. Pueden ser del tamao que prefieran, la nica condicin es que no se permite hacer por separado las caras y luego unirlas, tienen que hacer el desarrollo plano de una sola pieza para cada uno.

    SESIN 1

    Cubos, prismas y pirmides

    EjeForma, espacio y medida.

    TemaFormas geomtricas.

    Antecedentes

    En la escuela primaria los alumnos exploraron distintas caractersticas de los cuerpos geom-tricos: identificaron las formas de sus caras, aprendieron a distinguir vrtices y aristas. Asimismo, aprendieron tanto a identificar como a elaborar desarrollos planos de cuerpos geomtricos, tales como prismas, cubos y pirmides. En este grado de la educacin secundaria se retoman esas experiencias para continuar desarrollando la imaginacin espacial de los alumnos, as como para ampliar sus conocimientos sobre las caractersticas y propiedades de los cuerpos geomtricos.

    Propsitos de la secuencia Describir las caractersticas de cubos, prismas y pirmides. Construir desarrollos planos de cubos,

    prismas y pirmides. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geomtrico.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1Desarrolla tu imaginacin Construir prismas y pirmides a partir de sus desarrollos planos.

    Video La geometra a tu alrededor

    Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    9

    2Ms desarrollos planos Ampliar los conocimientos sobre los desarrollos planos de cubos, prismas y pirmides.

    Interactivo

    3El cuerpo escondido Describir las caractersticas de cubos, prismas y pirmides.

    4

    Patrones y regularidades Profundizar el estudio de las caractersticas de prismas y pirmides, identificando regularidades entre el nmero de caras, de aristas y de vrtices.

    5Diferentes puntos de vista Trazar diferentes vistas de un cuerpo geomtrico formado por cubos.

    Interactivo

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 212 6/2/07 11:25:32 PM

  • 213L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Por lo general hay varios desarrollos planos para un mismo cuerpo geomtrico, por lo que es importante que los alumnos comparen los distintos desarrollos planos que hayan surgido en el grupo. Es relativamente sencillo que los alumnos identifiquen si su molde fue correcto o no, pues la actividad por s misma se valida: si lo hicieron bien, entonces podrn construir lo pedido. Lo interesante ser que los mismos alumnos identifiquen en dnde estuvo el error. Si el tiempo se lo permite, invtelos a que intenten un nuevo molde, de todas formas tendrn la oportu-nidad de elaborar otros a lo largo de la sesin.

    Propsito de la actividad. Desarrollar en los alumnos la habilidad de la imaginacin espacial, al mismo tiempo que estudian ciertas caracters-ticas de los poliedros.

    177

    IIMATEMTICASComparen su casa y su pino con los de otros compaeros y comenten con ellos cmo son los desarrollos planos que elaboraron.

    Manos a la obraI. En el siguiente desarrollo plano de la casa:

    a) Tracen las tres caras que le faltan.

    b) Terminen de poner las pestaas donde consideren necesario para que pueda ar-marse y que quede bien pegada.

    c) Unan con lneas los lados que se pegarn para formar las aristas.

    pestaa

    II. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar una casa. En cada caso busquen la razn y argumenten por qu no se podr armar la casa.

    Posibles respuestas. Es probable que los argumentos de los alumnos sean: porque no se puede, porque est mal, etctera. Recuerde que en matemticas es importante aprender a dar argumentos cuando se afirma o niega algo, por ello invtelos a que sean ms explcitos diciendo qu es lo que est mal; por ejemplo, en el segundo patrn, el ancho de cada una de las caras rectangulares no coincide con la longitud de los lados del pentgono con los cuales se tienen que unir.

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 213 7/30/07 12:25:37 PM

  • 214 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Recuerde que para un mismo cuerpo geomtrico hay distintas posibilidades de desarrollos planos, por lo que es conveniente que los alumnos comparen sus diseos para que tengan la oportunidad de conocer otros modelos.

    178

    secuencia 13iii. En el siguiente desarrollo plano del pino:

    a) Tracen las caras que faltan.

    b) Pongan pestaas donde consideren necesario.

    c) Unan con lneas los lados que se pegarn para formar las aristas.

    iV. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar un pino. En cada caso busquen la razn y argumenten por qu no se podr armar el pino.

    Propsito del interactivo. Explorar desarrollos planos de diferentes cuerpos geomtricos.

    Esta cara tiene que ir donde se seala

    Esta cara sobra

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  • 215L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Destaque dos aspectos de la informacin que aqu se presenta: qu se entiende por desarrollo plano y que puede haber distintas posibilidades de desarrollos planos para un mismo cuerpo geomtrico.

    179

    IIMATEMTICAS

    Lo que aprendimos1. Elijan un prisma o una pirmide, tracen el desarrollo plano en cartulina y rmenlo.

    Puede ser del tamao que quieran.

    A lo que llegamosEl desarrollo plano de un cuerpo geomtrico es el patrn o molde plano para construirlo. Por lo general hay varios desarrollos planos para un mismo cuerpo geomtrico. Los siguientes desarrollos son para armar un cubo, un prisma y una pirmide.

    Un mismo cuerpo geomtrico tiene diferentes desarrollos planos. Por ejemplo, con cualquiera de los dos siguientes desarrollos planos se puede armar un tetraedro.

    Sugerencia didctica. Es importante que realicen esta actividad, pues los cuerpos que construyan ser utilizados en actividades posteriores. Puede pedir a los alumnos que hagan esta actividad en casa, aun cuando se sugiere que sea en equipo. Si lo considera conveniente, indique a los alumnos que hagan el desarrollo plano y que doblen sobre los vrtices para ver si se forma el cuerpo geomtrico, pero que NO PEGUEN LAS PESTAAS, pues de esa manera podrn comparar, al da siguiente en clases, su molde con los de otros compaeros. Una vez que hayan comparado y corregido, en caso de que sea necesario entonces pegan las pestaas.

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 215 6/2/07 11:25:44 PM

  • 216 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Ampliar los conoci-mientos sobre los desarrollos planos de cubos, prismas y pirmides. Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas.

    Propsito de la actividad. En esta sesin se ampla el repertorio de ejercicios sobre los desarrollos planos, haciendo nfasis en la imaginacin espacial de los alumnos. Depen-diendo del tiempo con el que cuente, puede trabajar todos los ejercicios en el aula o dejar algunos para tarea en casa.

    Propsito de la actividad. Adems de servir para validar la actividad anterior, es importante que construyan el cubo porque lo ocuparn en otras actividades.

    Posibles dificultades. Dado que este desarrollo plano no es muy conocido para los alumnos, es probable que la primera dificultad sea imaginar cmo se puede armar un cubo con l. Invtelos a que primero traten de imaginar cmo armar el cubo y cules caras quedarn opuesta una de la otra (antes de poner los puntos, pueden auxiliarse de otras marcas, por ejemplo: A A, B B). Una vez que hayan ubicado los pares de caras opuestas, ponen los puntos. Si lo consideran necesario, pueden verificar sus respuestas calcando y recortando rpidamente el desarrollo para tratar de armar el cubo.

    Propsito de la actividad. Se espera que los alumnos desarrollen, de manera gradual, la habilidad de hacer la representacin plana (el dibujo) de un cuerpo de tres dimensiones. Esto no es sencillo, es probable que los alumnos puedan imaginar el cuerpo, pero que tengan dificultades para dibujarlo. No se trata de que el dibujo sea exacto, sino de que intenten representar grficamente aquello que imaginan.

    180

    secuencia 13

    MS DESARROLLOS PLANOSManos a la obrai. Los siguientes son desarrollos incompletos para hacer un cubo. En cada uno dibujen

    la cara que falta.

    SESIN 2

    Elijan uno de los desarrollos, dibjenlo del tamao que quieran en una cartulina y rmenlo.

    ii. Dibujen los puntos necesarios en cada cara para que con el siguiente desarrollo se arme un dado cuyas caras opuestas sumen 7.

    iii. Con el siguiente desarrollo plano se arma un cuerpo geomtrico. Dibujen el cuerpo armado a la derecha.

    Reproduzcan el desarrollo en cartulina, al tamao que gusten, pongan pestaas y armen el cuerpo. Se parece al que dibujaron?

    Sugerencia didctica. En caso de que algunos alumnos no hayan podido armar el cuerpo geomtrico, invtelos a que identifiquen en dnde est el error. Recuerde que es importante hacer el tetraedro y guardarlo, pues despus van a ocuparlo.

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  • 217L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Una vez que hayan contestado el ejercicio, que calquen rpidamente el patrn y armen el cuerpo geomtrico respectivo. Respuestas.b se pega con c,g se pega con h,e se pega con j,f se pega con i.

    181

    IIMATEMTICASIV. Terminen este desarrollo para armar una pirmide con base cuadrada.

    V. El siguiente desarrollo es para armar un prisma triangular. Pongan pestaas donde crean necesario y anoten las parejas de lados que se van a pegar, observen el ejemplo.

    a se pega con d

    b

    a

    j i

    h

    c

    d

    g

    e

    f

    Comparen sus procedimientos y sus resultados.

    Propsito del interactivo. Explorar desarrollos planos de diferentes cuerpos geomtricos.

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 217 6/2/07 11:25:48 PM

  • 218 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Describir las caracters-ticas de cubos, prismas y pirmides. Organizacin del grupo. La primera actividad se hace en equipos y las siguientes de manera individual. Materiales. Los cuerpos geomtricos que construyeron en las sesiones 1 y 2.

    Sugerencia didctica. Desde la escuela primaria los alumnos manejan estos trminos; no obstante, es importante recordarlos junto con ellos. Adicionalmente, usted puede pedirles que identifiquen en algunos de los cuerpos geomtricos que construyeron en las sesiones anteriores, caras, aristas y vrtices de esos cuerpos.

    1

    Sugerencia didctica. Esta actividad tiene que trabajarse al menos con tres alumnos o tres equipos (uno es el que elige el cuerpo y lo oculta y los otros hacen preguntas). En caso de que sea necesario, usted puede involucrar a alumnos de otros grados, pues la actividad es interesante tambin para los alumnos de primer o tercer grado.Aun cuando no se establece un nmero especfico de preguntas, es importante que usted regule el tiempo de manera tal que los alumnos sigan manteniendo el inters en el juego. Si nota que los alumnos no hacen ciertas preguntas, usted puede sugerirlas, por ejemplo: Cuntas caras tiene el cuerpo geomtrico?Cuntas aristas?Todas sus caras son iguales?Tiene caras cuadradas?Tiene caras en forma de polgonos regulares?Tiene una o dos bases?Su base o bases son polgonos regulares?

    182

    secuencia 13

    EL CUERPO ESCONDIDOPara empezarEn la primaria aprendiste algunos nombres relacionados con los cuerpos geomtricos.

    SESIN 3

    cara arista vrtice

    Consideremos lo siguienteRealicen esta actividad en equipos. Junten todos los cuerpos geomtricos que hicieron en las sesiones anteriores.

    1. Un equipo elije un cuerpo geomtrico y lo mantiene oculto.

    2. Los dems equipos tratan de adivinar cul es ese cuer-po. Para ello formulan preguntas que puedan respon-derse slo con un s o un no y las anotan en el pizarrn junto con sus respuestas. Por ejemplo:

    Tiene 8 caras?

    Tiene caras triangulares?

    Tambin pueden formular preguntas que se res-pondan con un nmero (puede ser una medida). Por ejemplo:

    Cuntos vrtices tiene?

    Cunto mide de altura?

    3. Una vez que crean que tienen la informacin suficiente, trazan el desarrollo plano para construir el cuerpo. Cuando todos los equipos hayan terminado comparen el cuerpo que construyeron con el que estaba escondido.

    4. Gana el equipo que haya construido el cuerpo ms parecido al original.

    Cuando finalicen comenten la actividad, en particular analicen las preguntas que hi-cieron, cules de ellas fueron de mayor importancia y qu vocabulario geomtrico emplearon.

    Sugerencia didctica. Si el trabajo se hizo individualmente, entonces gana el alumno que haya construido el cuerpo ms parecido al original, esto incluye que se asemeje tanto en forma como en tamao. Entre todos podrn deci-dir quin es el ganador. En caso de que ningn equipo o alumno logre construir el cuerpo, es necesario identificar si el equipo encargado de responder las preguntas lo hizo bien o no. Por ello es importante hacer el anlisis de las preguntas y sus respuestas.

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 218 6/2/07 11:25:50 PM

  • 219L ib ro para e l maest ro

    Respuesta. El cuerpo geomtrico que rene esas caractersticas es un prisma hexagonal cuyas caras laterales son cuadrados.

    183

    IIMATEMTICASManos a la obraI. Considera las siguientes preguntas y respuestas y dibuja el cuerpo en el recuadro de

    la derecha.

    a) Es una pirmide? No

    b) Tiene alguna cara cuadrada? S

    c) Cuntas caras cuadradas tiene? 6

    d) Es un cubo? No

    e) Cuntas aristas tiene? 18

    f) Todas sus caras tienen la misma forma? No

    g) Las caras cuadradas son iguales? S

    Comparen el dibujo que hizo cada uno y mencionen el nombre del cuerpo geomtrico.

    PATRONES Y REGULARIDADESManos a la obraI. Observen cules son las bases y cules las caras laterales del siguiente prisma.

    bases caralateral

    a) Cuntas bases tiene?

    b) Qu forma tienen sus bases?

    c) Cuntas caras laterales tiene?

    d) Qu forma tienen las caras laterales?

    II. Consideren el siguiente prisma que est apoyado sobre una de sus caras laterales.

    a) Cuntas bases tiene?

    b) Qu forma tienen sus bases?

    c) Cuntas caras laterales tiene?

    d) Qu forma tienen las caras laterales?

    e) Cmo defines lo que es un prisma?

    SESIN 4

    caralateral

    base

    Propsito de la sesin. Profundizar el estudio de las caractersticas de prismas y pirmides, identificando regularidades entre el nmero de caras, de aristas y de vrtices. Organizacin del grupo. Es conveniente que trabajen organizados en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual.

    2

    forma pentagonal

    5

    forma rectangular

    Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen a las bases como las dos caras poligonales iguales y paralelas, independiente-mente de que los prismas NO estn apoyados sobre ellas. En general, el trmino base tiene esta caracterstica en muchos objetos geomtri-cos, por ejemplo, las bases de los trapecios son los lados paralelos aunque el trapecio est apoyado sobre uno de sus lados no paralelos; en el caso del tringulo, cualquiera de los lados puede considerarse base, aunque no sea en el que parezca apoyarse. Es importante que los alumnos construyan esta misma idea respecto de las bases de un prisma.

    2

    Propsito de la pregunta. Que los alumnos verbalicen lo que entienden por prisma. Recuerde que definir es una habilidad que permite poner en orden lo que se sabe de un objeto geomtrico. Sugerencia didctica. Promueva con sus alumnos que traten de decir con sus propias palabras lo que es un prisma y, de ser posible, haga una puesta en comn sobre las diferentes respuestas que dieron, analizando cules definiciones son ms adecuadas y por qu.

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 219 6/2/07 11:25:52 PM

  • 220 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Un aspecto importante que los alumnos deben trabajar es la relacin interfigural, esto es, la relacin entre las diversas figuras y los cuerpos geomtricos. Este tipo de anlisis los lleva a concluir que, por ejemplo, el cuadrado es un caso especial de los rombos, o que el tringulo equiltero es un caso especial del tringulo issceles. Se espera que con este ejercicio los alumnos concluyan que el cubo es un caso especial de los prismas en general, y de los prismas cuadrangulares en particular.

    184

    secuencia 13iii. Observen los siguientes prismas cuadrangulares.

    Un cubo es un prisma, por qu?

    iV. Consideren los siguientes dibujos de prismas, observen que el prisma recibe un nom-bre de acuerdo con la forma de sus bases.

    3 cm 3 cm

    6 cm

    3 cm 3 cm

    5 cm

    3 cm 3 cm

    3 cm

    PrismaNmero de lados

    en cada base

    Nmero de caras laterales

    Nmero de caras en total

    Nmero de aristas

    Nmero de vrtices

    Triangular 9

    Cuadrangular 4

    Pentagonal 10

    Hexagonal 8

    Octagonal 8

    Con una base de n lados n + 2

    prismatriangular

    prismacuadrangular prisma

    octagonal

    prismapentagonal prisma

    hexagonalPropsito de la actividad. Adems de trabajar el anlisis y ladescripcin de los prismas (forma de caras, nmeros de caras, aristas y vrtices), el propsito de este ejercicio es vincular el trabajo de geometra con el de sentido numrico y pensamiento algebraico; por ello, en el ltimo rengln de la tabla se pide a los alumnos que busquen una expresin general algebraica.

    Sugerencia didctica. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para establecer la expresin general, invtelos a analizar los datos que obtuvieron para cada columna, por ejemplo: cmo es el nmero de lados de las bases con relacin al nmero de caras?, cmo es el nmero de caras laterales con relacin al nmero de aristas?, cmo puede expresarse esa relacin para todos los casos?

    3 3 5 6 4 6 12 8 5 5 7 15 6 6 18 12 8 10 24 16 n n 3n 2n

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  • 221L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Es el mismo del ejercicio IV, slo que ahora se trabaja con pirmides.

    185

    IIMATEMTICASV. Observen cul es la base de una pirmide y cules las caras laterales.

    base caralateral

    a) Cuntas bases tiene?

    b) Cuntas caras laterales tiene?

    c) Qu forma tienen las caras laterales de una pirmide?

    VI. Consideren los siguientes dibujos de pirmides, observen que la pirmide recibe su nombre de acuerdo con la forma de su base.

    pirmidetriangular

    pirmidecuadrangular

    pirmidepentagonal

    pirmidehexagonal

    pirmideoctagonal

    PirmideNmero de lados

    de la base

    Nmero de caras laterales

    Nmero de caras en total

    Nmero de aristas

    Nmero de vrtices

    Triangular 3

    Cuadrangular 4

    Pentagonal 6

    Hexagonal 12

    Octagonal 9

    Con una base de n lados 2n

    Comparen sus respuestas y la manera en que llegaron a ellas.

    3 4 6 4 4 5 8 5 5 5 10 6 6 6 7 7 8 8 9 16 n n n + 1 n + 1

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  • 222 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Destaque con los alumnos cules son las caractersticas que deben considerarse cuando se describe un cuerpo geomtrico, y cul es la relacin que existe entre el nmero de caras, de vrtices y de aristas en prismas y pirmides.

    186

    secuencia 13

    A lo que llegamos

    SESIN 5

    Es importante identificar las caractersticas de los cuerpos geomtricos. Por ejemplo, este cuerpo geomtrico es un pris-ma, est formado por dos caras iguales paralelas en forma de octgonos, por lo que se trata de un prisma octagonal. Sus caras laterales son rectngulos. Tiene en total 10 caras, 16 vrtices y 24 aristas.

    Lo que aprendimos1. Describe en tu cuaderno cada uno de los siguientes cuerpos geomtricos.

    DIFERENTES PUNTOS DE VISTAPara empezarDibuja las dos caras que hacen falta para que se pueda armar un cubo.

    Reproduce cinco veces en cartulina el desarrollo, de tal manera que cada arista del cubo mida 3 cm. No olvides poner pestaas donde haga falta y arma los cinco cubos.

    Incorporar al portafolios. Esta actividad puede dejarse para realizarse en casa. Al da siguiente, pida a los alumnos que compartan su descrip-cin con sus compaeros. Posteriormente, organice una puesta en comn con todo el grupo.

    Propsito de la sesin. Trazar diferentes vistas de un cuerpo geomtrico formado por cubos. Organizacin del grupo. La primea actividad se realiza en equipos, el apartado Manos a la obra puede resolverse individualmente y la ltima actividad en parejas. Materiales. Los cubos que van a construir en esta sesin.

    Sugerencia didctica. Dado que en esta sesin se ocuparn varios cubos, es importante que los alumnos los armen, pero si no cuenta con tiempo suficiente, puede dejarlo de tarea desde el da anterior, o sustituir los cubos de cartulina por cubos de algn otro material, inclusive dados (aclarando a los alumnos que no tomen en cuenta los puntos).

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 222 6/2/07 11:26:01 PM

  • 223L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Una manera de representar cuerpos de tres dimensiones en el plano es a travs de lo que se llama vistas del cuerpo, es decir, el dibujo de cmo se ve el cuerpo desde cierta posicin: de frente, de arriba, de un lado, de atrs, etctera. Posibles dificultades. La representacin plana de cuerpos de tres dimensiones no es una tarea fcil. Al dibujar un cuerpo geomtrico en el plano se pierde informacin y es importante aprender a interpretar lo que se ve dibujado. Los alumnos deben tener sus cubos y armar un cuerpo que tenga estas vistas, ellos mismos podrn validar si el cuerpo construido se ve como aqu se presenta. Sugerencia didctica. Usted puede apoyar a los alumnos aclarando que las vistas se refieren a cul es la imagen del cuerpo cuando se mira de frente, por arriba, por un lado Aclare tambin que cuando en el dibujo hay espacios vacos, quiere decir que ah no hay ningn cubo.

    Sugerencia didctica. Es muy probable que los alumnos concluyan que la respuesta no es nica; si nota que todos armaron el mismo cuerpo geomtrico, invtelos a que sigan explorando otras posibilidades.

    Propsito del interactivo. Explorar diferentes vistas de cuerpos formados con cubos.

    187

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteRenete con otros dos compaeros. Junten sus cubos y armen un cuerpo que tenga las siguientes vistas:

    frente arriba de un lado del otro lado

    Comparen su cuerpo geomtrico con los de otros equipos. Hay una manera o hay varias maneras de armar este cuerpo con los cubos?

    Manos a la obraI. Las vistas corresponden a la parte de arriba de los cuerpos. Colorea segn corresponda.

    II. Dibuja en tu cuaderno las vistas de este cuerpo de frente, de arriba y de ambos lados.

    III. Inventen un cuerpo formado por cubos. Dibujen sus vistas e intercmbienlas con un compaero. Dejen que, a partir de las vistas que dibujaron, cada uno arme el cuerpo. Despus comparen ambos, deben ser iguales, si no lo son, analicen en dnde estuvo la falla.

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Poliedros regulares y Ms sobre poliedros regulares, en Geometra y el mundo.Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.Hernndez Garciadiego, Carlos. Poliedros, en La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sugerencia didctica. Asegrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad, pues adems de que les resultar divertida, es una forma de ejercitar sus habilidades de imaginacin espacial, y as usted podr identificar los avances y las dificultades de sus alumnos.

    Respuesta.

    Frente Arriba Lado Lado

    MAT2 B2 S13 maestro.indd 223 6/2/07 11:26:03 PM

  • 224 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Mostrar cmo se obtienen las frmulas para calcular el volumen de distintos cuerpos geomtricos.

    Propsito de la sesin. Encontrar y justificar la frmula para calcular el volumen de un prisma rectangular.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que el problema inicial se resuelva en equipos, el apartado Manos a la obra en parejas, y el apartado Lo que aprendimos de manera individual.

    Sugerencia didctica. Los alumnos deberan tener ya cierto dominio de la nocin del centmetro cbico y de su representacin simblica, sin embargo, es importante que usted se asegure de que no haya dudas al respecto, pues los alumnos harn uso de esa nocin a lo largo de toda la secuencia.

    Posibles procedimientos. Los diferentes procedimientos que pueden usar son muy similares a los que se presentan en el apartado Manos a la obra. Tambin puede suceder que haya alumnos que sepan aplicar la operacin que resuelve el problema (multiplicar las tres medidas) pero tal vez no sepan justificar por qu se hace de esa manera.

    Posibles dificultades.No acordarse de la frmula.Acordarse de la frmula pero no manejar bien los decimales.Si quieren hacerlo por conteo de cubos se enfrentarn al problema de las partes decimales, ya que aparecen fracciones de cubos.

    Sugerencia didctica. Mientras los alumnos resuelven, trate de identificar al menos dos procedimientos de resolucin que puedan contrastarse frente a todo el grupo.

    188

    secuencia 14

    Es importante saber calcular el volumen de un prisma y de una pir-mide, pero es ms interesante que sepas de dnde se obtienen las frmulas para calcularlo. Estudiando esta secuencia lo sabrs.

    LaS cajaSPara empezarEn la primaria aprendiste que el volumen de un cubo que mide un centmetro de arista es un centmetro cbico:

    El centmetro cbico es una unidad que se usa para medir el volumen de los cuerpos geomtricos, se simboliza cm3.

    Consideremos lo siguienteCul es el volumen, en centmetros cbicos, de una caja como la siguiente?

    Describan la manera en que calcularon el volumen de la caja.

    Comparen los procedimientos y los resultados con otros equipos.

    SeSin 1

    Volumen de prismas y pirmides

    4 cm

    6.5 cm

    2.5 cm

    EjeForma, espacio y medida.

    TemaMedida.

    Antecedentes

    En la escuela primaria los alumnos tuvieron distintos acercamientos a la nocin de volumen y llegaron a establecer la frmula para calcular el volumen de ciertos prismas. A partir de esas experiencias y de sus conocimientos sobre el clculo del rea de diversas figuras geomtricas, en este grado de la educacin secundaria se espera que los alumnos sean capaces de justificar la frmula para calcular el volumen del cubo y la de cualquier prisma; asimismo, establecern la frmula para obtener el volumen de pirmides.

    Propsito de la secuencia Justificar las frmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirmides.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1Las cajas Encontrar y justificar la frmula para calcular el volumen de un prisma rectangular.

    Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    10

    2Ms volmenes de prismas Comprobar que la frmula V = B h permite calcular el volumen de prismas rectos.

    3Arroz y volumen Encontrar y justificar la frmula para calcular el volumen de una pirmide.

    Video Unas frmulas

    se obtienen de otras Interactivo

    MAT2 B2 S14 maestro.indd 224 6/2/07 11:26:32 PM

  • 225L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Explorar una forma de obtener el volumen de un prisma.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos experimenten distintas maneras de calcular el volumen de un prisma rectangular. Se presentan desde los primeros procedimientos que trabajaron en la primaria, como el conteo de cubos (procedimiento A), hasta el uso de la frmula que aprendieron en sexto grado (procedimiento E).

    IIMATEMTICAS

    189

    Manos a la obraI. Consideren ahora una caja en forma de prisma rectangular con las siguientes medidas:

    Estos son algunos procedimientos para calcular el volumen de la caja, compltenlos.

    3 cm

    4 cm

    2 cm

    Procedimiento A. Se forma con centmetros c-bicos un prisma de esas medidas y luego se cuenta el nmero de cubos que se utilizaron.

    Nmero de centmetros cbicos:

    Procedimiento B. Se investiga cuntos centmetros c-bicos forman la base del prisma

    En la base caben: cubos

    Luego se multiplica este nmero por la altura del prisma:

    =

    Procedimiento C. Se investiga cuntos cubos se necesitan a lo largo, a lo ancho y a lo alto de la caja y se multiplican estos tres nmeros.

    =

    Procedimiento D. Se multiplican las medidas del prisma.

    =

    3 cm

    4 cm

    2 cm

    3 cubos

    4 cubos

    2 cubos

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  • 226 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Es importante que usted enfatice que, si bien todos los procedimientos revisados permiten obtener un resultado correcto, algunos son ms eficientes que otros, es decir, son ms rpidos y evitan ciertos errores; en el caso del problema inicial es mejor aplicar los procedimientos D o E que cualquiera de los otros.

    Sugerencia didctica. Es importante hacer nfasis en la simbolizacin que se propone; para ello, usted puede apoyarse en una de las ilustraciones anteriores, para que identifiquen el largo, el ancho y la altura. Lea y comente esta informacin con los alumnos, puede pedirles que expliquen con sus propias palabras lo que entendieron, tambin pueden copiar la informacin en sus cuadernos e ilustrarla con un ejemplo del clculo del volumen de un prisma rectangular. Finalmente, puede pedirles que mencionen ejemplos de las situaciones en las que puede ser til el clculo de volmenes de prismas.

    190

    secuencia 14ii. El siguiente procedimiento tambin permite calcular el volumen del prisma:

    Procedimiento e. Se calcula el rea de la base y se multiplica por la altura.

    a) Qu forma tiene la base de la caja?

    b) Cul es el rea de esta base?

    c) Cul es la medida de la altura de la caja?

    d) Cul es el producto del rea de la base por la altura?

    iii. Analicen todos los procedimientos y comprenlos con el procedimiento e. Escriban un argumento que muestre que el procedimiento e es el mismo que el B, c y D.

    Regresen al problema inicial y calculen el volumen de la caja utilizando el procedimiento e.

    Llegan al mismo resultado?

    A lo que llegamosCon ayuda de su profesora o profesor, lean y comenten la siguiente informacin:

    Al calcular el nmero de centmetros cbicos (cm3) que forman el prisma se est calcu-lando su volumen. Otras unidades de volumen son el decmetro cbico (dm3) y el metro cbico (m3).

    Hay varias maneras de calcular el volumen de un prisma rectangular, por ejemplo:

    Volumen del prisma rectangular = Largo x ancho x altura

    Si el largo se simboliza con l, el ancho con a y la altura con h, tenemos:

    V = l a hObserva que al multiplicar largo por ancho ests calculando el rea de la base, as que otra manera de escribir la frmula es:

    Volumen = rea de la base por la altura

    Si simbolizamos con B al rea de la base, la frmula puede escribirse:

    V = B h

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  • 227L ib ro para e l maest ro

    IIMATEMTICAS

    191

    Lo que aprendimos1. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

    MS VOLMeneS De PRiSMASPara empezarUno de ustedes construir un prisma cuadrangular y el otro uno triangular, consideren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos y no olviden poner las pestaas donde haga falta.

    4.5 cm5 cm

    3 cm

    3.4 dm6.2 dm

    5.1 dm

    412 m

    412 m

    412 m

    SeSin 2

    10 cm

    5 cm

    5 cm

    10 cm

    5 cm

    5 cm

    Propsito de la actividad. Que los alumnos practiquen el clculo de volmenes de prismas rectangulares.

    Incorporar al portafolios. Si observa que los alumnos tienen dificultades, repase con ellos el apartado A lo que llegamos apoyndose en un ejemplo concreto. Usted puede poner otros ejercicios similares; tambin los alumnos pueden proponer otros prismas para seguir practicando.

    Propsito de la sesin. Comprobar que la frmula V = Bh permite calcular el volumen de prismas rectos.

    Organizacin del grupo. Se recomienda que el apartado Para empezar se trabaje en parejas y que el resto de la sesin se resuelva en equipos. Las actividades de Lo que aprendimos pueden resolverse de manera individual.

    Materiales. Instrumentos geomtricos, cartulina o cualquier papel grueso, tijeras y pegamento. Para optimizar el tiempo de esta sesin se sugiere dejar de tarea la construccin de estos dos cuerpos geomtricos y pedir a los alumnos que los lleven a clase ya construidos.

    Posibles dificultades. Al construir el prisma triangular los alumnos podran pensar que la medida de la base del rectngulo de la derecha tambin mide 5 cm. Hgales notar que la base mide ms de 5 cm y que esa medida la podrn obtener una vez que hayan trazado el tringulo. Es importante que guarden sus prismas porque los ocuparn nuevamente en la sesin 3 de esta secuencia.

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  • 228 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Que a partir de la sesin anterior, en la que los alumnos calcularon el volumen del prisma rectangular, busquen una manera de calcular el volumen del prisma triangular.

    Posibles procedimientos. Es probable que los alumnos calculen el rea de la base y la multipliquen por la altura, apoyndose en lo que ya saben o generalizando la frmula de la sesin anterior. Una dificultad es que no recuerden cmo se calcula el rea de un tringulo, si es as, usted puede ayudarles a recordarla, pero nicamente a los equipos que utilicen este procedimiento.

    Tambin es probable que noten que con dos prismas triangulares forman un prisma cuadrangular y de ah concluyan que para calcular el volumen del prisma triangular pueden calcular el del cuadrangular y dividir el resultado entre 2.

    Sugerencia didctica. Recomiende a los alumnos que primero comenten al interior de su equipo cmo encontraron el volumen del prisma triangular y cmo podran redactar ese procedimiento. Uno de los miembros del equipo puede ir tomando nota, hacer una primera redaccin y leerla a sus compaeros para que revisen si las ideas son claras y si coinciden con lo que hicieron. Cuando hayan hecho las correcciones necesarias, todos los miembros del equipo escriben el texto en su propio libro.

    192

    secuencia 14

    Consideremos lo siguienteRenanse con otra pareja y calculen el volumen de cada uno de los prismas que construyeron.

    a) Volumen del prisma cuadrangular

    b) Volumen del prisma triangular

    Expliquen cmo calcularon el volumen del prisma triangular.

    Comparen los procedimientos que emplearon para calcular el volumen del prisma triangular.

    Manos a la obrai. A un equipo se le ocurri juntar dos prismas triangulares y vieron que formaban un

    prisma cuadrangular.

    a) Cul es el volumen del prisma cuadrangular que se form?

    b) Qu parte del prisma cuadrangular es el prisma triangular?

    c) Cul es el volumen del prisma triangular?

    d) En la sesin anterior usaron la siguiente frmula para calcular el volumen de un prisma rectangular:

    V = rea de la base por la altura

    e) Esta frmula se puede usar para un prisma cuadrangular?

    Propsito de las preguntas. Con los incisos e) y f) se pretende hacer notar que los prismas cuadrangulares son un caso especial de los rectangulares, porque el cuadrado es un rectngulo y, por lo tanto, la frmula se aplica tambin a los prismas cuadrangulares. Esta idea se trabaj en la secuencia 13, en la que los alumnos identificaron al cubo como un caso especial de un prisma.

    2

    Sugerencia didctica. Asegrese de que los equipos efectivamente redacten sus explicacio-nes. Recurdeles que primero pueden platicar sus ideas y despus ponerlas por escrito.

    Propsito de las actividades. Con las actividades I, II y III de este apartado se espera que los alumnos, a partir de la composicin y descomposicin de diferentes prismas, comprueben que la frmula rea de la base por altura funciona para calcular el volumen de cualquier prisma cuya base sea un polgono.

    Propsito del interactivo. Explorar una forma de obtener el volumen de prismas.

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  • 229L ib ro para e l maest ro

    IIMATEMTICAS

    193

    f) Expliquen por qu

    g) Podrn usar esta frmula para calcular el volumen de un prisma triangular?

    Completen usando los datos del prisma triangular:

    V = rea de la base por la altura

    rea de la base =

    Altura=

    V = =

    h) Su resultado es el mismo que el que encontraste en el inciso c)?

    II. Ahora unan el prisma cuadrangular y el triangular para formar un prisma que tiene por base un trapecio (prisma trapezoidal).

    a) Como ya calcularon el volumen del prisma cuadrangular y el volumen del trian-gular pueden calcular el volumen del prisma trapezoidal.

    Cul es?

    b) Se podr calcular el volumen de un prisma trapezoidal con la frmula:

    rea de la base por la altura?

    MAT2 B2 S14 maestro.indd 229 6/2/07 11:26:45 PM

  • 230 L ib ro para e l maest ro

    4

    Sugerencia didctica. Es probable que algunos alumnos no se acuerden de la frmula para calcular el rea del trapecio; sugirales que consulten la secuencia 14 del libro de primer grado, o que investiguen en alguna otra fuente cmo calcular el rea de un trapecio.

    Sugerencia didctica. En caso de que algunos alumnos no hayan obtenido los mismos resultados, invtelos a que identifiquen en dnde estuvo el error y que lo corrijan (la equivocacin podra ser slo en los clculos o en la frmula).

    Sugerencia didctica. Asegrese de que los alumnos efectivamente armen los prismas que se indican y que calculen sus volmenes con los procedimientos enunciados en a) y b), pues esto les permitir no slo ejercitar la aplicacin de la frmula, sino tambin establecer relaciones que los lleven a comprender por qu funciona la frmula que se propone para obtener el volumen de distintos prismas.

    En el caso del prisma con base en forma de romboide, es posible que los alumnos no recuerden la frmula para calcular el rea de esa figura, o que no puedan identificar la altura de la misma. Si lo considera necesario, revise el caso de esa figura con todo el grupo.

    194

    secuencia 14c) Calculen el volumen del prisma trapezoidal usando la frmula:

    V = rea de la base por la altura

    rea de la base =

    altura=

    Volumen = =

    Observen que, si hicieron bien las operaciones, obtienen el mismo resultado en los incisos a) y c).

    iii. Con sus prismas cuadrangulares y triangulares traten de formar:

    Un prisma con base en forma de romboide.

    Un prisma con base en forma de trapecio issceles (los trapecios issceles son los que tienen sus lados no paralelos de la misma medida).

    Para cada uno calculen su volumen de dos formas:

    a) Sumando los volmenes de los cuerpos que utilizaron.

    b) Aplicando la frmula a = B h

    A lo que llegamosEl volumen de un prisma se calcula con la siguiente frmula:

    Volumen = rea de la base por la altura

    Si simbolizamos el rea de la base con B y a la altura con h, podemos escribir:

    V = B h

    La base puede ser cualquier polgono as, que para calcular su rea tienes que repasar la manera en que se calcula el rea de los diferen-tes polgonos que conoces, recuerda que esto lo estudiaste en la secuencia 14 de primer grado.

    Sugerencia didctica. Comente con los alumnos que la frmula que se revis en la sesin anterior, efectivamente permite obtener el volumen de los prismas.

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  • 231L ib ro para e l maest ro

    IIMATEMTICAS

    195

    Lo que aprendimos 1. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

    ARROZ Y VOLUMenPara empezarUno de ustedes construir una pirmide cuadrangular y el otro una triangular, conside-ren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos. Dejen la base sin pegar porque van a llenar las pirmides de arroz o de alpiste.

    8 cm

    3 cm

    3.6 cm

    5 cm

    3.4 cm

    10 cm

    3 cm5.6 cm

    6 cm

    5 cm

    5 cm

    5 cm 5 cm

    10.3 cm10 cm

    SeSin 3

    Sugerencia didctica. Dado que el propsito de estos ejercicios es afianzar el manejo de una tcnica, si lo considera necesario usted puede plantear otros ejercicios similares.

    Propsito de la sesin. Encontrar y justificar la frmula para calcular el volumen de una pirmide.

    Organizacin del grupo. Los alumnos pueden trabajar en parejas durante toda la sesin, y resolver individualmente el apartado Lo que aprendimos.

    Materiales. Los cuerpos geomtricos de la sesin anterior, las pirmides que se proponen en esta sesin y arroz o cualquier otro grano o semilla pequea, en cantidad suficiente para llenar el prisma cuadrangular.

    Sugerencia didctica. Para economizar tiempo, usted puede dejar de tarea la construccin de las pirmides. Comente a los alumnos que es posible que algunas caras no coincidan de manera exacta al tratar de unirlas, pues siempre hay la probabilidad de cierto margen de error al hacer mediciones.

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  • 232 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Dado que el clculo del volumen de una pirmide es un tema nuevo para los alumnos, se espera que en este primer acercamiento logren identificar que el volumen de una pirmide es menor que el volumen de un prisma con la misma base y altura.

    Posibles procedimientos. Es poco probable que los alumnos logren deducir que el volumen de la pirmide es la tercera parte del volumen del prisma, en cambio, podran pensar que es la mitad o alguna otra fraccin. No se pretende que lleguen al resultado exacto, sino que enfrenten un nuevo problema que les permita explorar estrategias y soluciones posibles. Ms adelante, a travs de las actividades del apartado Manos a la obra, los alumnos podrn conocer y practicar un procedimiento sistemtico.

    Sugerencia didctica. En caso de que ninguno de los alumnos llegue al resultado correcto, no se los diga en este momento; permita que ellos mismos construyan la respuesta a lo largo de la leccin. En cambio, s es conveniente que los anime a expresar sus ideas y argumentos respecto de cul de los cuerpos tiene mayor volumen y cmo podran calcularlo, pues varias de estas ideas pueden ser una aproximacin que les ayude a comprender las afirmaciones que ms adelante se les presentarn.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos establezcan, de manera emprica, la relacin entre los volmenes de un prisma y de una pirmide con la misma base y altura.

    196

    secuencia 14

    Consideremos lo siguienteComparen el prisma cuadrangular, que construyeron en la sesin anterior, con la pirmi-de cuadrangular que acaban de armar.

    a) Cul de los dos tiene mayor volumen?

    b) Cmo podran calcular el volumen de la pirmide?

    c) Calculen el volumen de la pirmide y anoten su resultado.

    Volumen=

    Comparen sus procedimientos y sus resultados.

    Manos a la obrai. Realicen lo que se indica.

    a) Quiten una de las bases al prisma cuadrangular que construyeron en la sesin anterior para que puedan llenarlo de arroz o de alpiste.

    b) Verifiquen que la pirmide cuadrangular y el prisma cuadrangular tienen exacta-mente las mismas medidas de la base y la misma altura.

    Propsito del interactivo. Explorar una forma de obtener el volumen de pirmides.

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  • 233L ib ro para e l maest ro

    IIMATEMTICAS

    197

    c) Llenen la pirmide cuadrangular de arroz y vacen esta cantidad de arroz en el prisma cuadrangular.

    Qu parte del prisma qued ocupada por el arroz?

    d) Repitan el paso del inciso c) las veces que sea necesario has-ta que el prisma se llene de arroz y comprueben su res-puesta a la pregunta anterior.

    e) Cul es el volumen del prisma cuadrangular?

    Cul es el volumen de la pirmide?

    Cmo lo averiguaron?

    f) Hagan lo mismo con el prisma triangular que construyeron en la sesin anterior y la pirmide triangular.

    Qu parte del volumen del prisma triangular es el volumen de la pirmide triangular?

    Cul es el volumen de la pirmide triangular?

    Cmo lo averiguaron?

    Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos no lleguen al resultado correcto (con una primera vez que se vace el contenido de la pirmide en el prisma, la capacidad de ste se ocupa slo una tercera parte, por lo que el procedimiento debe hacerse 3 veces para llenar el prisma). Si nota que no llenan el recipiente con 3 veces, comnteles que probablemente hubo alguna imprecisin al llenar la pirmide o al vaciar las semillas (algunas se pudieron haber cado), o tal vez los cuerpos no tienen exacta-mente la misma base y la misma altura. Es importante que los alumnos constaten que el volumen de la pirmide es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y altura.

    Sugerencia didctica. Aun cuando algunos alumnos podran generalizar sus hallazgos con la experiencia anterior, es importante que tambin hagan el vaciado de semillas con estos dos cuerpos geomtricos, pues es una manera de comprobar su hiptesis, y para aquellos alumnos que todava no identifican la relacin entre los volmenes de los prismas y las pirmides, es una oportunidad para lograrlo.

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  • 234 L ib ro para e l maest ro

    Descripcin del video. El video es formaliza-dor. Con apoyo de las imgenes se refuerza el concepto de volumen y se da la justificacin de algunas frmulas de pirmides y prismas. Se dan ejemplos para trabajar visualmente la siguientes ideas: concepto de volumen, deduccin de la frmula para calcular el volumen de un prisma y deduccin de la frmula para calcular el volumen de una pirmide.

    Incorporar al portafolios. Es importante que los alumnos practiquen el uso de esta frmula y la que estudiaron en las sesiones anteriores, pues en la secuencia 15 las aplicarn a problemas de distintos contextos. Si identifica que los alumnos an presentan dificultades, revise con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesin y plantee problemas similares.

    2Sugerencia didctica. Anmelos a que comenten primero sus ideas con su pareja y que despus ensayen una redaccin. Cuando lean lo que escribieron a todo el grupo, considere un momento para que puedan corregir o enriquecer sus escritos.

    198

    secuencia 14ii. Expliquen la manera en que se puede calcular el volumen de una pirmide.

    Comparen sus resultados, en particular comenten lo que escribieron en la actividad II.

    A lo que llegamosEl volumen de una pirmide recta de base poligonal puede calcularse con la frmula:

    Volumen =rea de la base altura

    3

    V =B h

    3

    Unas frmulas se obtienen de otras

    Ahora ya conoces la relacin que hay entre el volumen de un prisma y una pirmide que tienen igual base y altura, y esto te ha permitido construir la frmula para calcular el volumen de una pirmide.

    Lo que aprendimos1. Calcula el volumen de las siguientes pirmides cuya altura es de 8 cm.

    3 cm

    4.5 cm

    6.5 cm

    3.6 cm

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  • 235L ib ro para e l maest ro

    IIMATEMTICAS

    199

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Hernndez Garciadiego, Carlos. Volumen de prismas irregulares y Volumen de co-nos y pirmides, en La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT2 B2 S14 maestro.indd 235 6/2/07 11:27:02 PM

  • 236 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Mostrar cmo se obtienen las frmulas para calcular el volumen de distintos cuerpo geomtricos.

    Propsito de la sesin. Encontrar la relacin entre las medidas de volumen y de capacidad, en particular que 1 decmetro cbico es igual a un litro.

    Organizacin del grupo. La sesin puede resolverse en parejas, intercalando momentos de discusin grupal. El apartado Lo que aprendimos puede resolverse individualmente.

    Materiales. Por pareja, una caja sin tapa en forma de cubo cuya base mida 10 cm por lado (puede pedir a los alumnos que previamente la construyan en casa), un recipiente de un litro de capacidad y semillas o granos pequeos (aproximadamente 1 kg).

    Propsito de la actividad. Que los alumnos recuerden algunos de los aspectos que estudiaron en sexto grado respecto de la relacin entre las medidas de volumen y capacidad.

    200

    Aplicacin de volmenes

    secuencia 15

    Y ahora que ya aprendiste las frmulas para calcular el volumen de prismas y pirmides ests listo para explorar la relacin entre volu-men y capacidad, y tambin para resolver problemas relacionados con estos temas.

    EL DECMETRO CBICOPara empezarEn la sesin 1 de la secuencia anterior aprendiste que el volumen de un recipiente se puede calcular en centmetros cbicos.

    Qu volumen le cabe, en centmetros cbicos, a una caja en forma de cubo que mide

    5 cm de arista?

    sEsIn 1

    En la primaria aprendiste que una unidad para expresar la capacidad es el litro.

    Sabras decir cul es la capacidad de esta caja en litros? .En esta leccin aprenders a responder preguntas como sta.

    5 cm

    EjeForma, espacio y medida.

    TemaMedida.

    Antecedentes

    A partir de lo que ya trabajaron en la secuencia 14, los alumnos aplicarn lo aprendido a diversas situaciones en las que tendrn la oportunidad de: Hacer estimaciones. Hallar datos faltantes a partir de otros

    conocidos. Identificar relaciones de variacin

    proporcional, ya sea directa o inversa.El antecedente inmediato para el ltimo tipo de problemas es la secuencia 8 del bloque 1 del segundo grado, donde se abordaron problemas de proporcionalidad mltiple.

    Propsitos de la secuencia Calcular el volumen de cubos, prismas y pirmides rectos. Calcular datos desconocidos,

    dados otros relacionados con las frmulas del clculo de volumen. Establecer relaciones de variacin entre diferentes medidas de prismas y pirmides. Realizar conversiones de medidas

    de volumen y de capacidad y analizar la relacin entre ellas.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1

    El decmetro cbico Encontrar la relacin entre las medidas de volumen y de capacidad, en particular que 1 decmetro cbico es igual a un litro.

    Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    10

    2Capacidades y volmenes Resolver problemas relacionados con el clculo de volmenes y capacidades.

    Video Problemas prcticos

    3Variaciones Explorar la manera en que vara el volumen de un prisma o una pirmide cuando varan sus dimensiones.

    Interactivo

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 236 6/2/07 11:27:41 PM

  • 237L ib ro para e l maest ro

    201

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteConstruyan una caja en forma de cubo, sin tapa, que mida 1 dm de arista y consigan un recipiente cuya capacidad sea de 1 litro.

    Investiguen:

    a) Cul es el volumen que le cabe a la caja medido en centmetros cbicos?

    b) Cul es la capacidad de la caja medida en litros?

    c) La capacidad de la caja ser mayor, menor o igual a la del recipiente de 1 litro?

    d) A qu parte de 1 litro equivale 1 centmetro cbico?

    Comenten sus respuestas a las preguntas anteriores y la manera en que las averiguaron.

    Manos a la obraI. Para saber si a la caja de un decmetro cbico le cabe ms o menos de un litro llenen

    el recipiente de un litro con alguna semilla pequea y vacen el contenido en la caja.

    Recuerden que:

    1 dm = 10 cm

    La caja que construyeron es un decmetro cbico (dm3).

    Sugerencia didctica. Es probable que algunos alumnos respondan inmediatamente a estas preguntas porque este tema ya lo estudiaron en la escuela primaria, en ese caso invtelos a que comprueben sus respuestas haciendo la actividad I del apartado Manos a la obra. Para quienes no tengan una respuesta, motvelos a que usen el material para investigar lo que se les pregunta. En caso de que algunas respuestas sean incorrectas, permita que los alumnos descubran sus errores mediante el desarrollo de las siguientes actividades. Ms adelante pueden regresar a este apartado para corregir sus respuestas.

    Propsito del interactivo. Explorar la relacin entre las medidas de volumen y de capacidad.

    Sugerencia didctica. Con el interactivo puede presentar algunas animaciones de vacaido del contenido de un recipiente en otro para establecer las relaciones entre las medidas de volumen y de capacidad. Si lo considera oportuno puede explorar con sus alumnos otras escenas del interactivo que presentan las equivalencias entre unidades de volumen.

    1000 cm3

    1 litro

    Igual

    A 1 mililitro

    Sugerencia didctica. Recuerde a los alumnos que 1 decmetro cbico equivale a 1000 centmetros cbicos, pues es el resultado de multiplicar 10 cm 10 cm 10 cm. Las equivalencias entre las unidades de volumen es un tema complicado para los alumnos, y aunque se trata de una sesin de repaso, si lo considera necesario puede trabajar en grupo las activida-des I y II del apartado Manos a la obra.

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  • 238 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Enfatice la equivalencia que aqu se seala, pues les permitir resolver las situaciones problemticas que se plantean en el siguiente apartado.

    Propsito del interactivo. Explorar la relacin entre las medidas de volumen y de capacidad.

    202

    secuencia 15a) Cul es la capacidad de la caja expresada en litros?

    b) Completen la siguiente igualdad:

    decmetro cbico = litro

    dm3 = H

    c) A cuntos centmetros cbicos equivale un decmetro cbico?

    Entonces: cm3 = 1H

    1 cm3 = de litro

    ii. Consideren ahora una cisterna en forma de cubo que mida 1 metro de arista.

    a) Cul es la capacidad de la cisterna en metros cbicos?

    b) Cul es su capacidad en decmetros cbicos?

    c) Y en centmetros cbicos?

    d) Cuntos litros de agua le caben a esta cisterna?

    A lo que llegamosLas medidas de volumen y de capacidad tienen una estrecha relacin. Es comn usar las unidades de volumen para expresar la capacidad de un recipiente.

    En particular, la relacin:

    1 decmetro cbico equivale a 1 litro1 dm3 = 1 H

    es muy til para resolver problemas acerca de la capacidad de reci-pientes como peceras, albercas, cisternas, etctera.

    1 m3

    1000 dm3

    1000000 cm3

    1000 litros

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 238 6/2/07 11:27:48 PM

  • 239L ib ro para e l maest ro

    Respuesta. 16 litros.

    Posibles procedimientos. Si los alumnos calculan el volumen en centmetros cbicos obtendrn 1000 cm3 y de ah tendrn que hacer la conversin a 1dm3 y 1 litro. Es ms sencillo si hacen las conversiones a decmetros cbicos desde las medidas lineales, es decir, el envase mide 2dm 1dm 12 dm, multiplicando estas cantidades obtienen directamente el resultado. En la mayora de los problemas que implican la conversin entre capacidad y volumen conviene pasar las medidas involucradas a decmetros y despus hacer los clculos, de esta forma el resultado obtenido corresponde a la capacidad en litros. Una vez que los alumnos hayan resuelto, analice con ellos la ventaja de hacer los clculos convirtiendo desde un principio los centmetros a decmetros.

    Respuesta. 1 litro.

    Propsito de la sesin. Resolver problemas relacionados con el clculo de volmenes y capacidades.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan organizados en equipos y que comparen sus respuestas con todo el grupo.

    203

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Calcula la cantidad mxima de agua que puede contener una pecera de las siguientes

    dimensiones:

    2. Cul es la capacidad, expresada en litros, de un envase que mide 20 cm de largo,

    10 cm de ancho y 5 cm de altura?

    CAPACIDADES Y VOLMENESLo que aprendimosProblemas prcticos

    El tema del volumen y su relacin con la capacidad tiene un amplio uso en la resolucin de problemas reales. Los ejercicios siguientes son un ejemplo de ello.

    1. Resuelvan los siguientes problemas. Por el momento no hagan operaciones, slo den un resultado aproximado y antenlo donde se indica.

    a) Se quiere construir un prisma cuadrangular (base cuadrada) cuyo volumen sea de 360 cm3. Si la altura ser de 10 cm, cul ser la medida de los lados del cuadrado de las bases?

    Estimacin del resultado:

    b) La gran pirmide de Keops en Egipto tiene una base cuadrada de 270 m de lado y una altura de 167 m.Cul es su volumen?

    Estimacin del resultado:

    SESIN 2

    4 dm

    2 dm

    2 dm

    Descripcin del video. Se presentan varios problemas en donde es necesario calcular el volumen de prismas y pirmides para resolverlos. El video se puede utilizar al final de la sesin, pues contiene problemas complementarios.

    Propsito de la actividad. La estimacin de resultados es una habilidad matemtica que los alumnos pueden desarrollar de manera gradual. En este caso, esa habilidad les permitir centrar su atencin en las relaciones entre los datos antes de hacer clculos precisos.

    Sugerencia didctica. Insista con los alumnos en que no se requiere que hagan un clculo mental exacto sino que slo aproximen sus resultados, es decir, que de acuerdo con la informacin que se les est dando, propongan una medida probable. Anime a los alumnos a que sugieran a sus compaeros de equipo una estimacin probable; en caso de que hayan propuestas en las que las medidas son demasiado diferentes, pdales que argumenten su estimacin; esto les ayudar a identificar posibles errores en la interpretacin del problema.

    Sugerencia didctica. Las cantidades involucradas en este problema son difciles de manejar, no se preocupe si los alumnos dan una estimacin muy alejada de la respuesta correcta, ellos se darn cuenta de qu tan cercana fue su estimacin cuando hagan lo que se indica en la actividad 2.

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 239 6/2/07 11:27:51 PM

  • 240 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Recomiende a los alumnos que, particularmente para los problemas c y d, trabajen con decmetros desde un inicio.

    Respuestas.

    a) El lado del cuadrado mide 6 cm.

    b) El volumen de la pirmide es de 4058100 m3.

    c) Hay varias respuestas posibles, una de ellas es: largo 25 dm, ancho 10 dm, altura 10 dm.

    d) Profundidad mnima: 20 dm (o tambin, 200 cm o 2 m).

    e) Peso del lingote: 1263.5 g

    f) Volumen de la piedra: 450 cm3 (la altura de la pecera no es un dato necesario, es un distractor).

    Sugerencia didctica. Este problema tiene la caracterstica de dar lugar a varias soluciones correctas, lo cual contribuye a que los alumnos consideren ms de una alternativa de solucin. Sin embargo, tambin es necesario que se reflexione en cuanto a la pertinencia, en un sentido prctico, de esas alternativas. Por ejemplo, un tinaco que mida 100dm 25dm 1dm puede almacenar 2500 litros de agua, pero seguramente sera poco prctico construir un tinaco con esas dimensiones; promueva este tipo de reflexiones con sus alumnos.

    204

    secuencia 15c) Un seor desea constuir una cisterna de agua, en forma de

    prisma rectangular, para almacenar 2500 litros de agua. Es-criban un posible tamao de la cisterna anotando las medi-das del largo, ancho y profundidad.

    Estimacin del resultado:

    d) Una alberca tiene un fondo rectangular de 50 m por 40 m,si se sabe que puede contener como mximo 4 000 000 de litros de agua, cul es la profundidad mnima de la alberca?

    Estimacin del resultado:

    e) Un lingote de oro tiene forma de prisma trapezoidal. Se sabe que un centmetro cbico de oro pesa, aproximadamente, 19 gramos, cunto pesa el lingote ilustrado a la izquierda?

    Estimacin del resultado:

    f) En una pecera como la de la izquierda se introdujo una pie-dra y la altura del agua aument 0.9 cm. Cul es el volu-men de la piedra?

    Estimacin del resultado:

    2. Calculen las respuestas a los problemas anteriores, pueden usar calculadora. Despus comparen con sus estimaciones.

    a) d)

    b) e)

    c) f)

    Comenten sus respuestas y procedimientos con otros compaeros del grupo.

    4 cm

    3 cm

    9.5 cm

    2 cm

    25 cm

    20 cm

    20 cm

    3Sugerencia didctica. Usted puede aprovechar la confrontacin de resultados para que los equi-pos que hayan hecho estimaciones muy cercanas al resultado compartan con los dems sus estrategias de estimacin.

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 240 6/2/07 11:27:54 PM

  • 241L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la sesin. Explorar la manera en que vara el volumen de un prisma o de una pirmide cuando varan sus dimensiones.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen organizados en equipos.

    Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, si se mantiene constante el rea de la base, el volumen de una pirmide vara proporcionalmente en relacin con la altura. El antecedente para que los alumnos puedan establecer esta relacin se encuentra en todas las lecciones de proporcionalidad de primer y segundo grado, en particular la secuencia 8 del bloque 1 de segundo grado, en donde los alumnos estudiaron la proporcionalidad mltiple.

    Propsito del interactivo. Explorar cmo vara el volumen de una pirmide o de un prisma al variar alguna de sus dimensiones.

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que cambien la altura de la pirmide para llenar la tabla con los datos que se presentan. Si lo considera necesario pueden trabajar con diferentes pirmides. Pida a los alumnos que copien las tablas generadas para cada pirmide. Una vez que los alumnos sepan de dnde se obtienen los datos de las tablas puede presionar el botn Resolver para ahorrar tiempo y obtener los datos de diferentes tablas. Al final pida a los alumnos que analicen las tablas generadas, el propsito de esta actividad es que identifiquen la relacin proporcional existente entre el volumen y la altura, cuando se modifica la altura y se mantiene el rea de la base.

    205

    IIMATEMTICASVARIACIONESLo que aprendimos1. Consideren varias pirmides que tienen la base de igual tamao y cuya altura vara.

    La base es un cuadrado de 10 cm de lado.

    Completen la siguiente tabla:

    Altura de la pirmide (cm) 1 2 3 4 5 6 7

    Volumen de la pirmide (cm3)

    Es proporcional la variacin del volumen de la pirmide con respecto a la altura

    cuando la base se mantiene constante?

    Argumenten su respuesta

    2. Consideren un cubo en el que la medida de su arista va aumentando.

    SESIN 3.

    Sugerencia didctica. Como lo que interesa es que los alumnos exploren la relacin entre los datos, es importante que no inviertan mucho tiempo en hacer las operaciones, permtales que usen la calculadora para completar sta y todas las tablas de la sesin.

    Sugerencia didctica. En caso de que algunos alumnos no recuerden cmo identificar una relacin de proporcionalidad, usted puede mencionarles algunas de sus caractersticas ms relevantes (en la pgina 112 del volumen I del Libro para el Maestro de primer grado se ejemplifica la proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, o bien, en la pgina 228 del volumen II del Libro para el Maestro tambin de primer grado, encontrar los criterios para determinar la proporcionalidad inversa). En la secuencia 8 del bloque 1 de este grado, los alumnos trabajaron con el caso del volumen de un prisma y establecieron que:

    Cuando las medidas del largo y del ancho permanecen fijas, la medida de la altura se encuentra en proporcin directa con el volumen. En caso de que los alumnos muestren algunas dificultades, usted puede remitirlos al primer A lo que llegamos de la primera sesin de esa secuencia.

    Usted puede apoyar a los alumnos en la argumentacin de sus respuestas haciendo preguntas como las siguientes: cmo te diste cuenta de que son proporcionales?, cmo puedes comprobarlo?

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 241 6/2/07 11:27:56 PM

  • 242 L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. En este caso no hay variacin proporcional directa ni inversa. Para apoyar a los alumnos en la elaboracin de argumentos, sugirales que planteen un contraejemplo, es decir, que propongan una propiedad de la proporcionalidad directa y otra de la inversa que no se cumplan en esta tabla.

    Posibles dificultades. Debido a que los alumnos estn ms familiarizados con la proporcionalidad directa que con la inversa, es probable que no identifiquen que, en este caso, al fijar el volumen y variar el rea de la base y la altura del prisma, estos dos ltimos conjuntos de cantidades son inversamente proporcionales entre s: si el rea aumenta al doble, la altura disminuye a la mitad, si aumenta cuatro veces, la altura disminuye a la cuarta parte, etctera. Invtelos a que verifiquen al menos una propiedad tanto de la proporcionali-dad directa (para que vean que en este caso no se cumple) como de la inversa.

    206

    secuencia 15Completen la siguiente tabla:

    Medida de la arista (cm) 1 2 3 8 20

    Volumen del cubo (cm3) 125 3375

    Es proporcional la variacin del volumen del cubo con respecto a su arista?

    Argumenten su respuesta

    3. Completen la siguiente tabla considerando que se trata de varios prismas cuadrangu-lares, todo ellos con un volumen igual a 400 cm3 y una base con rea segn la me-dida que se indica en la tabla.

    rea de la base (cm2) 1 4 16 25 100

    Altura del prisma (cm)

    Es proporcional la variacin de la altura al rea de la base?

    Argumenten su respuesta

    4. Se tiene un prisma rectangular como el siguiente:

    Propsito de la actividad. Que los alumnos exploren cmo vara el volumen de un prisma cuando se modifica una, dos o sus tres dimensiones.

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 242 6/2/07 11:27:58 PM

  • 243L ib ro para e l maest ro

    207

    IIMATEMTICASAnoten en la tabla el nmero de cubos que se necesitarn para realizar lo que se indica en cada caso. Siempre se toma como referencia el prisma original.

    Si se: El nmero de cubos que se requieren es:Cuntas veces

    aument el volumen?

    Aumenta slo su altura al doble

    Aumenta slo el largo al triple

    Disminuye slo el ancho a la mitad

    Aumentan al doble el largo y el ancho

    Aumentan al triple el ancho y la altura

    Aumentan al doble el largo, el ancho y la altura

    Aumentan al doble el largo y el ancho se disminuye a la mitad dejando la altura igual

    a) Si un prisma aumenta la medida de su largo, ancho y altura al triple, cuntas

    veces aumenta su volumen?

    b) El aumento del volumen es proporcional al aumento del largo, ancho y altura?

    c) Argumenten su respuesta

    Comenten sus respuestas y sus procedimientos con otros compaeros del grupo.

    Para saber msConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Cul es la pirmide ms grande? en Geometra y el mun-do. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    24 2

    36 3

    6 12 vez 0.5 (realmente disminuye)

    48 4

    108 9

    96 8

    12 ninguna

    27 veces

    no

    Si fuera directamente proporcional,

    aumentara 3 veces el volumen; si fuera inversamente

    proporcional, disminuira una tercera parte. El volumen est

    aumentando 33 veces.

    MAT2 B2 S15 maestro.indd 243 6/2/07 11:28:00 PM

  • 244

    208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    L ib ro para e l maest ro

    208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    Propsito del programa integrador. Mostrar mediante la comparacin de razones, cundo dos situaciones son directamente proporcionales.

    Propsito de la sesin. Establecer cundo dos situaciones de proporcionalidad directa son equivalentes.

    Organizacin del grupo. La sesin se resuelve en parejas y los comentarios sobre las actividades son grupales.

    Propsito de la actividad. Sabemos que en una tabla que represente una situacin de proporcionalidad los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales a la constante de proporcionalidad, por ejemplo:

    Constante de proporcionalidad 3

    Cantidad de dulces Cantidad a pagar

    2 6

    7 21

    18 54

    En todos los casos 6 2 = 3, 21 7 = 3, 54 18 = 3, etctera.

    Se utilizar este hecho para comparar relaciones entre conjuntos y averiguar si son o no directamente proporcionales. En trminos del problema planteado, se podr definir si los automviles tienen un rendimiento constante. El rendimiento, como ya vieron en primer grado, es igual a la constante de proporcionalidad, y ahora vern que es tambin el cociente que resulta de dividir una cantidad del conjunto B (distancia recorrida) entre la cantidad correspondiente del conjunto A (cantidad de gasolina). Si siempre se obtiene el mismo nmero, el rendimiento es constante y se trata de una relacin de proporcionalidad directa.

    208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    EjeManejo de la informacin

    TemaAnlisis de la informacin

    Antecedentes

    Los alumnos han trabajado desde la primaria diversos aspectos de las relaciones de proporcionalidad. En esta secuencia aprendern a obtener los cocientes de cantidades correspondientes para establecer comparaciones entre dos o ms relaciones.

    Propsito de la secuencia Resolver problemas de comparacin de razones, con base en la nocin de equivalencia.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos

    1El rendimiento constante Establecer cundo dos situaciones de proporcionalidad directa son equivalentes.

    Interactivo

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    11

    2La concentracin de pintura Comparar razones en distintas situaciones.

    Video Comparacin de razones

    Interactivo

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    L ib ro para e l maest ro

    Posibles procedimientos. Los alumnos pueden averiguar si los automviles tienen un rendimiento constante de distintas maneras, por ejemplo:

    Hallando el valor unitario en cada caso (encontrando cuntos kilmetros recorre cada automvil con un litro de gasolina) y verificando que en todos los renglones de la tabla ese nmero permita obtener la distancia recorrida al multiplicarlo por la cantidad de litros de gasolina.

    Encontrando la constante de proporcionalidad en cada caso. Para el automvil A sera

    2 = 32

    4 = 64

    16 = 256

    Si el factor buscado es siempre el mismo nmero, el automvil tiene un rendimiento constante.

    Fijndose en las relaciones entre los nmeros de cada tabla, por ejemplo, en la del modelo A

    2 32

    se duplica 4 64 se duplica

    se cuatriplica 16 256 se cuatriplica

    En las tablas B y C no ser sencillo hacer esto. Si algunos alumnos eligieron este procedimiento y no saben qu hacer, sugirales que empleen alguno de los otros dos procedimientos.

    Respuestas.a) El modelo C (cuando consume 21 litros de

    gasolina tendra que recorrer 336 kilmetros para que su rendimiento fuera constante).

    b) El modelo B.

    Sugerencia didctica. Pida a dos o tres alumnos que hayan empleado procedimien-tos distintos, que pasen al pizarrn a explicar cmo obtuvieron las respuestas.

    IIMATEMTICAS

    209

    a) De los modelos A, B y C, cul no tuvo un rendimiento constante?

    b) Cul modelo tuvo el mejor rendimiento?

    Comparen sus respuestas y cmo las obtuvieron.

    Manos a la obraI. Comenten: En una escuela dijeron que el modelo C tuvo rendimiento constante: 16

    kilmetros por cada litro de gasolina.

    a) Estn de acuerdo con la respuesta de la otra escuela? Por qu?

    b) Para comprobar si el modelo C tuvo rendimiento constante, hagan las multiplica-ciones de las cantidades de gasolina por 16 y verifiquen si obtienen las distan-cias recorridas.

    c) Si se recorrieron 378 kilmetros con 21 litros de gasolina, cuntos kilmetros se

    recorrieron por cada litro?

    d) Cul es el rendimiento del modelo A?

    e) Cul es el rendimiento del modelo B?

    II. Recuerden que cuando las cantidades de un conjunto son directamente proporcio-nales a las de otro conjunto se cumple la siguiente propiedad:

    Todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspon-diente en el otro conjunto son iguales.

    Y recprocamente, si son iguales todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un con-junto entre la cantidad correspondiente en el otro conjunto, entonces son directamente porporcionales.

    En sus cuadernos hagan las divisiones de los kilmetros recorridos entre los litros de ga-solina que se consumieron en las pruebas de los tres modelos de automviles y contesten:

    a) De las siguientes relaciones subrayen las que son de proporcionalidad directa.

    La relacin entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo A.

    La relacin entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo B.

    La relacin entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo C.

    b) De las relaciones que son de proporcionalidad directa, cules son las constantes de proporcionalidad correspondientes?

    Modelo constante

    Modelo constante

    Respuestas.a) No, el rendimiento del modelo C no es

    constante.c) 18 kilmetros por litro. Para hallar esa

    respuesta pueden pensarla como 21 = 378, o bien, 378 21 =

    d) 16 kilmetros por litro.e) 17 kilmetros por litro.

    Sugerencia didctica. Es la primera vez que en una relacin de proporcionalidad se mencionan a los cocientes de las cantidades que se corresponden. Haga ver a los alumnos que el cociente es precisamente la constante de proporcionalidad. Tambin puede pedirles que verifiquen esta propiedad en alguna de las otras situaciones de proporcionalidad directa que hayan resuelto anteriormente. Si la situacin es de proporciona-lidad directa, los cocientes deben ser iguales.

    A 16 kilmetros por cada litro de gasolina

    B 17 kilmetros por cada litro de gasolina

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    L ib ro para e l maest ro

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

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    Modelo C

    Sugerencia didctica. Comenten esta informacin. A los alumnos les debe quedar claro cules son los cocientes de las cantidades que se corresponden y por qu son iguales a la constante de proporcionalidad. Enfatice que hallar los cocientes entre cantidades que se corresponden es un mtodo til para verificar si la relacin es de proporcio-nalidad directa o no, y si lo es, el nmero obtenido es la constante de proporcionalidad.

    Sugerencia didctica. Si lo considera til, plantee algunos ejemplos en el pizarrn en los que se comparen dos relaciones de proporciona-lidad directa. Puede utilizar algunas situaciones del libro de primer grado.

    210

    secuencia 16

    A lo que llegamosEn una relacin de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales. Ese cociente se llama constante de proporcionalidad. Por ejemplo:

    El modelo A tuvo siempre un rendimiento constante porque los cocien-tes de las cantidades que se corresponden fueron siempre 16. El rendimiento del modelo A es de 16 kilmetros por litro de gasolina.

    iii. Adems de los modelos anteriores, la compaa encontr que los siguientes modelos tuvieron rendimientos constantes:

    El modelo D recorri una distancia de 680 kilmetros y tuvo un consumo de 40litros de gasolina.

    El modelo e recorri una distancia de 630 kilmetros y tuvo un consumo de 35litros de gasolina.

    El modelo F recorri una distancia de 192 kilmetros y tuvo un consumo de 12litros de gasolina.

    a) Cul es el rendimiento que tuvo el modelo D?

    b) Cul es el rendimiento que tuvo el modelo e?

    c) Cul es el rendimiento que tuvo el modelo F?

    d) Entre los modelos a, D, e y F, cules tuvieron el mismo rendimiento?

    e) Cul de ellos tuvo el mejor rendimiento?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    A lo que llegamosDos relaciones de proporcionalidad directa se pueden comparar usando sus constantes de proporcionalidad o sus cocientes. Por ejemplo:

    Si un modelo tiene rendimiento de 16 kilmetros por litro de gasolina, entonces tiene el mismo rendimiento que el modelo A.

    Si un modelo G tiene rendimiento constante de 17 kilmetros por litro de gasolina, entonces el modelo G tiene un mejor rendimiento que el modelo A.

    Respuestas.a) 17 kilmetros por litro.b) 18 kilmetros por litro.c) 16 kilmetros por litro.d) El modelo A y el modelo F.e) El modelo E.

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

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    Modelo C

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    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

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    Modelo C

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    Propsito del interactivo. Aprovechando los conceptos de rendimiento y de velocidad que se han visto en la secuencia, en el interactivo se presenta la relacin del consumo de gasolina con la velocidad en la que realiza su recorrido, llegando a plantearse el problema de encontrar la velocidad ptima para hacer un recorrido con el menor gasto de gasolina.

    Propsito de la actividad. En la situacin anterior el cociente entre cantidades correspon-dientes era el rendimiento del automvil. En esta situacin se sigue trabajando con los cocientes pero tienen otro significado: la velocidad. El cociente que resulta al dividir la distancia recorrida entre el tiempo que toma recorrerla es justamente la manera de calcular la velocidad promedio.

    Respuestas.a) El automvil D.b) El automvil A.c) El B y el C.

    211

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla, en donde se muestra el tiempo y la distancia recorrida

    por cuatro automviles. En la ltima columna se indican los cocientes de las distan-cias recorridas entre el tiempo que tardaron en recorrerlas. A este cociente se le llama velocidad (en este problema se considera que los automviles siempre viajaron a ve-locidad constante).

    Tiempo del recorrido(en horas)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Velocidad(en kilmetros por hora)

    Automvil A 3 249

    Automvil B 11 924

    Automvil C 1 84

    Automvil D 7 595

    a) Cul automvil fue a mayor velocidad?

    b) Cul automvil fue a menor velocidad?

    c) Cules automviles fueron a la misma velocidad? y

    2. Completa la siguiente tabla en donde se muestra la cantidad de libras esterlinas ob-tenida al cambiar dlares americanos en cinco casas de cambio distintas.

    Cantidad recibida (en libras)

    Cantidad cambiada (en dlares)

    Tipode cambio

    Casa de cambio A 145 290

    Casa de cambio B 240 600

    Casa de cambio C 180 414

    Casa de cambio D 195 468

    Casa de cambio E 120 276

    a) Cul casa de cambio ofrece mejor tipo de cambio de dlares a libras?

    b) Cul casa de cambio ofrece el peor tipo de cambio de dlares a libras?

    c) Cules casas de cambio ofrecen el mismo tipo de cambio de dlares a libras?

    83

    84

    84

    85

    Respuestas.a) La casa B porque da 2.5 dlares por cada

    libra.b) La casa A porque da 2 dlares por cada

    libra.c) Las casas C y E.

    MAT2 B2 S16 maestro.indd 247 6/2/07 11:29:00 PM

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

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    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

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    Modelo C

    Propsito de la sesin. Comparar razones en distintas situaciones. Organizacin del grupo. Se sugiere trabajar tanto individualmente como en parejas y con todo el grupo.

    212

    secuencia 16

    LA CONCENTRACIN DE PINTURAPara empezarEn la sesin 6 de su libro de Matemticas i Volumen i aprendiste que hay una gran diversidad de colores llamados colores compuestos. Los colores compuestos se pueden obtener mezclando los tres colores primarios: amarillo, azul y rojo.

    El color naranja, por ejemplo, se obtiene mezclando amarillo y rojo. Las distintas tonali-dades naranja, ms claro o ms oscuro, dependen de las cantidades de colores amarillo y rojo que se mezclen.

    Consideremos lo siguienteEn una escuela se hizo una colecta para comprar pintura y pintar con ella el edificio de la escuela. El color elegido fue el naranja.

    Para preparar 10 litros de pintura naranja del tono elegido se necesitan 6 litros de pintura amarilla y 4 litros de pintura roja.

    a) Qu cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 12 litros de

    pintura naranja del tono elegido?

    b) Qu cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 23 litros de

    pintura naranja del tono elegido?

    Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla y encuentren qu cantidad de pintura amarilla se nece-

    sita para obtener 12 litros de pintura naranja.

    Cantidad de mezcla (pintura naranja) (en litros)

    Cantidad de pintura amarilla en la mezcla (en litros)

    10 6

    1

    12

    Comparen sus tablas y comenten el procedimiento anterior.

    Verifiquen su resultado dado en el apartado Consideremos lo siguiente con el obtenido al completar la tabla.

    ii. La concentracin de color amarillo en la pintura naranja es el cociente de la can-tidad de pintura amarilla entre la cantidad de pintura naranja. Por ejemplo, la pintu-ra naranja tiene la siguiente concentracin de color amarillo:

    6 10 = 610 = 0.6

    SESIN 2

    Propsito de la actividad. Este problema tiene la intencin de que los alumnos logren mantener las proporciones de pintura amarilla y roja aunque la cantidad total de la mezcla (que ser la pintura naranja) vare. Ms adelante vern que si en dos mezclas se utilizan los mismos colores en iguales proporcio-nes, tendrn cocientes iguales.

    Posibles dificultades. Quiz algunos alumnos respondan que para preparar 12 litros de pintura naranja se necesitan 7 litros de amarilla y 5 litros de roja, es decir, slo le aumentan un litro a cada color respecto de las cantidades necesarias para preparar 10 litros. Este procedimiento es incorrecto pero no los corrija en este momento, ms adelante tendrn oportunidad de hacerlo.

    Respuestas.a) 7.2 litros de pintura amarilla y 4.8 litros de

    pintura roja.b) 13.8 litros de pintura amarilla y 9.2 litros

    de pintura roja.

    Propsito de la actividad. Aqu se pretende establecer que el cociente es una forma de medir la proporcin de pintura amarilla que hay en la pintura naranja. En el contexto de las mezclas de pintura se le llama concentracin.

    Recuerde que. Una razn es una relacin entre dos cantidades. Por ejemplo, puede decirse que:

    hay 6 litros de pintura amarilla por cada 10 de pintura naranja, hay 6 litros de pintura amarilla por cada 4 de pintura roja,hay 4 litros de pintura roja por cada 10 de pintura naranja.

    Un cociente es el resultado de dividir estas cantidades. Siguiendo con el ejemplo anterior:

    la concentracin de pintura amarilla en la naranja es de 0.6 (6 10) ,la concentracin de pintura amarilla comparada con la roja es de 0.666 (4 6),la concentracin de pintura roja en la pintura naranja es de 0.4 (10 4).

    0.6

    7.2

    MAT2 B2 S16 maestro.indd 248 6/2/07 11:29:05 PM

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    L ib ro para e l maest ro

    Posibles dificultades. Pregunte a los alumnos qu cantidad de pintura naranja obtuvieron sabiendo que la mezcla lleva 11 litros de pintura amarilla. Si no logran obtener la respuesta sugirales ampliar la tabla de la siguiente manera para hallar los dos valores unitarios:

    Cantidad pintura naranja

    Cantidad pintura amarilla

    5 3

    1

    1

    11

    De esta manera podrn averiguar que: por cada litro de pintura amarilla hay 53 o 1.6 litros de pintura naranja; por lo tanto, cuando en la mezcla hay 11 litros de pintura amarilla la cantidad de pintura naranja sern 553 o 18.3 litros;

    por cada litro de pintura naranja hay 0.6 litros de pintura amarilla, entonces para hallar cuntos litros de pintura naranja habra si en la mezcla hay 11 litros de amarilla, se debe multiplicar por su recproco, que es 106 (o dividir esa cantidad entre 0.6).

    Sugerencia didctica. Comenten qu significa el nmero que obtienen en la calculadora al divi-dir 553 (si quieren expresar el resultado mediante un nmero decimal).

    213

    IIMATEMTICASa) Completen las siguientes tablas para encontrar las distintas cantidades de pintura

    naranja (mezcla) y amarilla y las concentraciones correspondientes.

    Cantidadde mezcla (en litros)

    Cantidad de pintura amarilla en la mezcla

    (en litros)

    Concentracinde pintura amarilla

    en la pintura naranja

    10 6 6 10

    18

    5

    25

    11

    Comparen sus tablas y comenten:

    b) Sern del mismo tono las mezclas de pintura naranja obtenidas en la tabla anterior?,

    cmo pueden verificarlo?

    c) Cuntos litros de pintura roja necesitan para preparar 25 litros de pintura naranja

    del mismo tono?

    d) Si se usan 15 litros de pintura amarilla, cuntos litros de pintura roja se deben mez-

    clar para obtener pintura naranja del mismo tono?

    III. Completen la siguiente tabla para encontrar qu cantidad de pintura roja deben lle-var los 23 litros de pintura naranja.

    Cantidad de mezcla (pintura naranja)

    (en litros)

    Cantidad de pintura roja en la mezcla

    (en litros)

    Concentracinde pintura roja

    en la pintura naranja

    10 4 4 10

    1

    23

    a) Cul es la concentracin de pintura roja en la pintura naranja?

    b) Verifiquen sus resultados dados en el apartado Consideremos lo siguiente.

    Comparen sus tablas y comenten:

    a) Si en un recipiente se ponen 2 litros de pintura roja, qu cantidad de pintura amarilla se debe usar para que la pintura naranja tenga el tono elegido?

    30 18 30 3 3 5 15 15 25 18.3 18.3 11

    Respuestas.b) Son del mismo tono de naranja porque los

    cocientes (al dividir la cantidad de pintura amarilla entre la cantidad de pintura naranja) son iguales. Es decir, la concentra-cin de pintura amarilla tiene la misma proporcin en todas la cantidades de pintura naranja de la tabla.

    c) 10 litros.d) 10 litros.

    Posibles dificultades. Aqu tambin puede proponer a los alumnos una ampliacin de la tabla:

    Cantidad pintura naranja

    Cantidad pintura roja

    10 4

    1

    23

    As vern que:por cada litro de pintura naranja hay 0.4 litros de pintura roja;la constante de proporcionalidad que permite ir de la cantidad de pintura naranja (columna izquierda) a la cantidad de pintura roja (columna roja) es 0.4 ; por lo tanto, cualquier cantidad de la columna izquierda se multiplica por 0.4 para obtener su correspondiente en la columna derecha. Entonces 23 0.4 = 9.2;la constante de proporcionalidad hallada es igual al cociente: 0.4.

    Respuestas.a) 3 litros de pintura amarilla. b) Habra 5 litros de pintura naranja, de la cual

    0.4 sera de pintura roja y 0.6 de pintura amarilla.

    9.2 9.2 23 = 0.4

    MAT2 B2 S16 maestro.indd 249 6/2/07 11:29:11 PM

  • 250

    208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    L ib ro para e l maest ro

    208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    Propsito del interactivo. Reforzar el concepto de razones equivalentes utilizando la igualacin de colores y la determinacin de las cantidades de cada color necesarias para obtener una cantidad de pintura.

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que varen las cantidades de pintura para explorar qu sucede con los colores, cmo se relacionan con la cantidad de pintura que se mezcla.

    214

    secuencia 16

    A lo que llegamosEn esta situacin, la cantidad de pintura naranja est en proporcin directa tanto con la cantidad de pintura roja como con la cantidad de pintura amarilla.

    Entonces, los cocientes de las cantidades de pintura amarilla entre las de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concentracin de la pintura amarilla en la pintura naranja: 610 , o sea que, en 10 litros de pintura naranja, 6 son de pintura amarilla.Anlogamente, los cocientes de la cantidad de pintura roja entre la de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concen-tracin de pintura roja en la pintura naranja: 410 , o sea que, en 10litros de pintura naranja, 4 son de pintura roja.

    iV. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura naranja: naranja ocre y naranja sol.

    Pinturaamarilla

    (en litros)

    Pinturaroja

    (en litros)

    Pinturanaranja ocre

    (en litros)

    Pinturaamarilla

    (en litros)

    Pinturaroja

    (en litros)

    Pinturanaranja sol (en litros)

    7 13 20 18 27 45

    a) Cul es la concentracin de pintura roja en la pintura naranja ocre? (exprsalo como fraccin y como decimal)

    Fraccin Decimal

    b) Cul es la concentracin de pintura roja en la pintura naranja sol? (exprsalo como fraccin y como decimal)

    Fraccin Decimal

    c) Cul de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentracin de rojo?

    d) Cul de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentracin de amarillo?

    Sugerencia didctica. En esta parte se establece el concepto de equivalencia. Comente con los alumnos que todas las cantidades de pintura naranja que tengan una concentracin de pintura amarilla de 0.6 tienen el mismo tono, es decir, son equivalentes.

    Propsito de la actividad. Aqu se establecer la comparacin de razones: el tono que tenga mayor concentracin de pintura amarilla ser ms claro.Respuestas.a) 1320 o 0.65.

    b) 2745 o 0.6.

    c) El naranja ocre, porque 1320 > 2745

    o 0.65 > 0.6.

    d) El naranja sol. Habra 720 o 0.35 de litro de pintura amarilla en cada litro de pintura naranja ocre, y 1845 o 0.4 litros de pintura amarilla en cada litro de pintura naranja sol. Como 720 <

    1845 o 0.35 < 0.4, hay una

    mayor concentracin de pintura amarilla en el tono naranja sol.

    MAT2 B2 S16 maestro.indd 250 6/2/07 11:29:19 PM

  • 208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

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    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

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    Modelo C

    L ib ro para e l maest ro

    Descripcin del video. A partir de varios contextos se dan ejemplos de comparaciones de cocientes. Se refuerzan los conceptos y procedimientos vistos a lo largo de la secuencia.

    215

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara comparar las concentraciones de un color se pueden comparar los cocientesentre las cantidades correspondientes. Por ejemplo: la concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja ocre es menor que la concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja sol:

    Concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja ocre: 720 = 0.35Concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja sol: 1845 = 0.4

    Comparacin de cocientes

    La comparacin de cocientes te puede ayudar para resolver diferentes tipos de proble-mas. Las siguientes situaciones son un ejemplo de esto.

    Lo que aprendimosResuelve los siguientes problemas:

    1. Al mezclar distintas cantidades de pintura amarilla y azul se forman diferentes tonos de color verde. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura verde.

    Pinturaamarilla

    (en litros)

    Pinturaazul

    (en litros)

    Pinturaverde botella

    (en litros)

    Pinturaamarilla

    (en litros)

    Pinturaazul

    (en litros)

    Verdeagua

    (en litros)

    7 3 10 18 12 30

    a) Cul de los dos tonos de verde tiene mayor concentracin de color azul?

    b) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura verde botella?

    c) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura verde agua?

    2. En una escuela secundaria, 3 de cada 4 alumnos de primer grado hablan un idioma distinto al espaol; 4 de cada 5 en segundo y 5 de cada 6 en tercero.

    En cul de los tres grados la proporcin de hablantes de un idioma distinto al espa-

    ol es mayor?

    Para saber ms:Sobre el tipo de cambio entre monedas de distintos pases consulta: http://www.euroinvestor.es/currency/[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen una copia de sus respuestas a estos dos problemas y analcelas.

    Respuestas. a) En la pintura verde agua.

    b) En cada litro de pintura verde botella hay 3

    10 o 0.3 litros de pintura azul.

    c) En cada litro de pintura verde agua hay 1230 o 0.4 de litros de pintura azul.

    Respuesta. En tercer grado. La proporcin en primer grado es de 3 de cada 4 alumnos, es decir, 34 de los alumnos hablan un idioma distinto al espaol; en segundo grado es de 45 y en tercero de 56 . Como

    34 <

    45 <

    56 o

    0.75 < 0.8 < 0.83 la proporcin es mayor en tercer grado.

    MAT2 B2 S16 maestro.indd 251 6/2/07 11:29:27 PM

  • 252 L ib ro para e l maest ro

    Propsito del programa integrador. Ejemplificar cmo se calculan las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.

    Propsito de la sesin. Interpretar y calcular la moda y media de datos agrupados, a partir de porcentajes.

    Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas para resolver la sesin.

    Sugerencia didctica. En la secuencia 38 de primer grado los alumnos trabajaron con el significado de la moda, media y mediana para interpretar y comunicar informacin sobre un conjunto de datos. Conviene recordarlo para lo que aprendern en esta secuencia.

    Propsito de la actividad. La intencin es que los alumnos busquen de qu manera podra calcularse un promedio cuando no se tienen todos los datos uno por uno sino agrupados. Es posible que cometan errores o que no sepan cmo hacerlo, permtales explorar durante un rato el problema y comenten las soluciones que propone cada quien.

    Sugerencia didctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn para luego recuperar-las en la discusin o en las conclusiones. En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a los que no levanten la mano.

    216

    Medidas detendencia central

    secuencia 17

    En esta secuencia aprenders a calcular algunas de las medidas de tendencia central cuando un conjunto de datos est agrupado en intervalos.

    EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 1Para empezarCuando se realiza un estudio de una situacin o fenmeno se obtiene una cantidad de datos (grande o pequea) que puede organizarse y presentarse de distintas maneras, en una tabla de frecuencias o en una grfica (de barras, circular o en un polgono de fre-cuencias); esto depender del tipo de datos que se ha obtenido y de los resultados que se quieren destacar.

    Otra manera de presentar los datos es a partir de sus medidas de tendencia central, las cuales proporcionan valores de la media, la mediana y la moda, que permiten resumir y comparar la tendencia de un conjunto o de varios conjuntos de datos para establecer conclusiones.

    Consideremos lo siguienteUn grupo de veinte alumnos contestaron un examen de matemti-cas con 100 preguntas. Del total de alumnos, el 10% contest co-rrectamente entre 1 y 25 preguntas de la prueba; el 30%, entre 26y 50 preguntas; el 50%, entre 51 y 75, y el resto entre 76 y 100.

    Se considera que el grupo tuvo un buen desempeo en el examen si su promedio es mayor o igual a 63 aciertos.

    Fue bueno el desempeo del grupo? Por qu?

    Con ayuda de su maestro, comparen el procedimiento que utilizaron para responder la pregunta anterior con los que utilizaron otros compaeros. Comenten:

    Cul de los siguientes valores es ms conveniente utilizar para determinar si el desem-peo que tuvo el grupo fue bueno de acuerdo con lo sealado al principio?

    El intervalo de aciertos en el que hay un mayor porcentaje de alumnos.

    La media aritmtica de las cantidades obtenidas por los veinte alumnos.

    sEsIN 1

    Recuerden que:

    Las medidas de tendencia central son

    valores numricos que tienden a

    localizar, en algn sentido, la parte

    central de un conjunto de datos. A

    menudo el trmino promedio se

    asocia a estas mediciones. Cada una

    de las diferentes medidas de tenden-

    cia central puede recibir el nombre de

    valor promedio.

    EjeManejo de la informacin

    TemaRepresentacin de la informacin

    Antecedentes

    En primer grado los alumnos estudiaron situaciones en las que obtuvieron y analizaron las medidas de tendencia central. Ahora lo harn cuando los datos estn agrupados.

    Propsitos de la secuencia Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, conside-

    rando de manera especial las propiedades de la media aritmtica.

    Sesin Propsitos de la sesin Recursos Vnculos

    1El promedio del grupo en el examen 1 Interpretar y calcular la moda y media de datos agrupados, a partir de porcentajes.

    Prog

    ram

    a in

    tegr

    ador

    12

    2

    El promedio del grupo en el examen 2 Comparar el valor de la media aritmtica de datos agrupados y el valor de la media aritmtica de datos sin agrupar, observar que la primera es representativa de varios conjuntos de datos que tengan la misma frecuencia en cada intervalo.

    Interactivo

    3

    Las caloras que consumen los jvenes Resolver problemas que implican la determinacin del punto medio del intervalo modal (como valor de la moda) y el clculo de la media de datos agrupados a partir de informacin representada en polgonos de frecuencias.

    Video Estadsticas,

    alimentos y otras situaciones Interactivo

    Ciencias I secuencia 11

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 252 6/2/07 11:30:12 PM

  • 253L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Al llenar esta tabla los estudiantes podrn conocer varios datos; por ejemplo, cuntos alumnos tuvieron menos de 50 aciertos, cuntos tuvieron ms de 76 aciertos o cuntos tuvieron al menos 51 aciertos. Lo que no pueden saber es exactamente cuntos aciertos tuvo cada quin, por lo que la forma en la que han aprendido a calcular el promedio no les resulta til aqu. Para poder hacerlo se necesita encontrar un valor representativo de cada intervalo, que es su punto medio. Cuando contesten las preguntas con los incisos a), b) y c) lean juntos la siguiente informacin y comntenla.

    IIMATEMTICAS

    217

    Manos a la obra I. Completen la siguiente tabla.

    Resultados obtenidos por el grupo A en el examen de matemticas

    Aciertos(intervalo)

    Porcentaje de alumnos

    Nmero de alumnos(frecuencia)

    1-25 10%

    30%

    50%

    Totales 20

    a) Cul es el intervalo de aciertos en el que hay ms alumnos?

    b) Cuntos alumnos tuvieron entre 1 y 50 aciertos en el examen?

    c) Con la informacin que tienen, pueden decir cuntos alumnos respondieron co-

    rrectamente a 63 preguntas? Y cuntos respondieron

    correctamente a ms de 63 preguntas? Por qu?

    Recuerden que: Cuando un conjunto de datos est organizado en intervalos iguales, cada intervalo tiene un lmite inferior y uno superior. El tamao de un intervalo es igual a la diferencia entre dos sucesi-vos lmites inferiores o superiores.

    Cada intervalo puede ser identificado y representado por su lmite inferior y superior, pero tambin podemos utilizar el punto medio del intervalo, que se obtiene con slo sumar los lmites inferior y superior del intervalo y dividir esta suma entre 2. Por ejemplo, el punto medio del primer intervalo es: (1 + 25)2

    = 262

    = 13.Ese valor permite efectuar operaciones aritmticas con intervalos.

    2

    26-50 6

    51-70 10

    76-100 10% 2

    100%Respuestas. a) En el de 51 a 75 aciertos.b) 8 alumnos.c) No se puede saber con exactitud porque los

    datos estn agrupados.

    Recuerde que. Hallar el punto medio de cada intervalo no quiere decir que sepamos que los dos alumnos que estn en el primer intervalo obtuvieron exactamente 13 aciertos, ni que es el promedio del nmero de aciertos que obtuvieron esos dos alumnos. Lo que significa es que al desconocer los valores uno por uno se toma como valor representativo el punto medio del intervalo y con l se pueden efectuar otros clculos (como el promedio). Sin embargo, es posible que los datos de hecho fueran 5 y 7 aciertos, lo que dara 6 de promedio en ese intervalo. Tomar el punto medio como valor representativo equivale, en cierta manera, a hacer una estimacin. Comntelo con los alumnos y pngales algunos ejemplos.

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 253 6/2/07 11:30:14 PM

  • 254 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. En esta tabla los estudiantes calcularn cuntos aciertos obtuvieron en cada intervalo, es decir, tomando como nmero de aciertos el punto medio del intervalo se multiplica por la frecuencia (cuntos alumnos estn en ese intervalo). Esto puede interpretarse as: se puede estimar que la suma del nmero de aciertos que obtuvieron los dos alumnos que se encuentran en el primer intervalo es 26.

    Respuestas.a) 51-75, hay 10alumnos en ese intervalo

    y el punto medio es 63.c) 20 alumnos.d) 1060 aciertos.e) La media aritmtica (promedio) es 53

    (106020). El grupo no tuvo un buen desempeo porque se necesitaba que la media aritmtica fuera de al menos 63 aciertos.

    Sugerencia didctica. Cuando terminen de contestar estas preguntas, plantee a los alumnos las siguientes:

    Hubo 10 alumnos (la mitad del grupo) que obtuvieron entre 51 y 75 aciertos, y el punto medio de ese intervalo es 63 puede considerarse que 63 es la media aritmtica del grupo?, por qu?Cuntos aciertos tendra que haber obtenido todo el grupo para tener una media aritmtica de 63?

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que copien esta informacin en sus cuadernos y aclare dudas si es necesario.

    218

    secuencia 17ii. Completen la siguiente tabla y, luego contesten las preguntas de los incisos.

    Aciertos Nmero de alumnos

    (frecuencia)

    Aciertos nmero de alumnos(punto medio frecuencia)

    Intervalo Punto medio del intervalo

    1-25 13 2 13 2 = 26

    26-50

    51-75

    76-100

    Total 20

    En el intervalo 1-25 su punto medio es 13 y su frecuecia 2, lo que podemos interpretar de las dos siguientes maneras:

    En el examen de matemticas hubo dos alumnos que obtuvieron entre 1 y 25 aciertos.

    En el examen de matemticas hubo dos alumnos que obtuvieron 13 aciertos.

    a) Cul es el intervalo que tiene el mayor nmero de alumnos (mayor frecuencia)?

    Cuntos alumnos obtuvieron ese intervalo de aciertos?

    Cul es el punto medio de intervalo en el que se tiene el mayor nmero de alumnos

    (frecuencia)?

    b) Escriban, en su cuaderno, cmo interpretaran estos datos.

    c) Cuntos alumnos son en total (frecuencia total)?

    d) Cul es la suma de los aciertos de todos los alumnos?

    e) Cul es la media aritmtica del nmero de aciertos que obtuvo el grupo?

    Consideran que el grupo tuvo un buen desempeo en el examen de matemticas?

    Por qu?

    A lo que llegamosCuando un conjunto de datos est organizado en intervalos de igual tamao, al que tiene mayor frecuencia se le llama intervalo modal y su punto medio se puede considerar que es el valor de la moda.

    38 6 386=228

    63 10 6310=630

    88 2 882=176

    228+630+176=1060

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 254 6/2/07 11:30:18 PM

  • 255L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. La actividad pretende que los alumnos aprendan a dar conclusiones basadas en los resultados que obtuvieron, dndole sentido al contexto en que se est desarrollando la sesin (exmenes de matemticas y desempeo acadmico) como un punto bsico e importante que debe estar presente en toda tarea estadstica.

    219

    IIMATEMTICAS

    III. Completen los siguientes prrafos, que corresponden a dos formas diferentes de re-portar los resultados obtenidos por el grupo. Utilicen los valores de la moda, interva-lo modal y media aritmtica que calcularon en la actividad anterior, segn se seala en cada inciso.

    a) Utilicen el valor de la media aritmtica.

    b) Otra forma de dar a conocer el desempeo de los alumnos es a partir del nmero de aciertos en que hubo mayor frecuencia, es decir, el intervalo modal o la moda.

    Una vez que se tiene el punto medio de cada intervalo se puede obtener la media aritmtica de todo el conjunto de datos agrupados. Para ello, primero se multiplica el punto medio de cada intervalo por su frecuencia, luego se suman los productos y el total se divide entre el nmero de datos. Por ejemplo:

    Intervalo Punto medio Frecuencia Producto (punto medio frecuencia)

    0-6 3 50 150

    7-13 10 100 1000

    14-20 17 50 850

    Total 200 2000

    Media aritmtica= 2000200 =10

    El desempeo del grupo en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de ,(media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia.mayor/igual/menor

    El desempeo del grupo en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el nmero de aciertos con mayor frecuencia fue de ,(moda)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia,mayor/igual/menor

    ya que alumnos obtuvieron de a aciertos.(intervalo modal)

    Insuficiente

    menor

    bueno

    igual

    63 aciertos

    53

    10 51 75

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 255 6/2/07 11:30:24 PM

  • 256 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. El del inciso a), porque la media aritmtica incluye a todos los alumnos del grupo.

    Propsito de la actividad. Al analizar estas afirmaciones como posibles justificaciones se concluye la sesin en dos sentidos: el primero es responder las preguntas planteadas en el apartado Consideremos lo siguiente, el segundo es que aqu se aborda el conocimiento que se quiere que los alumnos aprendan, en este caso, obtener el intervalo modal, el punto medio del intervalo modal y la media aritmtica de datos agrupados.

    Sugerencia didctica. Utilice las respuestas que anot en el pizarrn, segn se recomend al principio de esta sesin, y comprenlas con las respuestas que han obtenido en el Manos a la obra; si fuera necesario, lean nuevamente los recuadros de A lo que llegamos para dar respuesta al inciso c).

    Posibles dificultades. Quiz algunos alumnos consideren que da igual elegir la media aritmtica o el intervalo modal debido a que ambas se pueden calcular, pero dada la situacin que se quiere determinar (conocer el desempeo del grupo a partir del nmero de aciertos en el examen) la media aritmtica es ms apropiada porque considera a todos los miembros del grupo.

    Propsito de la sesin: Comparar el valor de la media aritmtica de datos agrupados y el valor de la media aritmtica de datos sin agrupar; observar que la primera es representativa de varios conjuntos de datos que tengan la misma frecuencia en cada intervalo.

    Organizacin del grupo. A lo largo de la sesin se sugiere que los alumnos trabajen tanto individualmente como en parejas, y que comenten sus resultados con todo el grupo.

    220

    secuencia 17Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    c) Cul de los dos valores, media aritmtica o moda, consideras que es correcto

    utilizar para presentar los resultados de este grupo?

    Marquen con una la afirmacin que consideren que justifica su respuesta anterior.

    El primer resultado, porque el valor de la media aritmtica de datos agrupados toma en cuenta el nmero de aciertos que obtuvieron los veinte alumnos.

    El segundo resultado, porque para obtener el valor de la moda de datos agru-pados se toma en cuenta entre qu nmero de aciertos se concentra el mayor nmero de alumnos.

    Los dos resultados, porque tanto la media aritmtica como la moda o el inter-valo modal son medidas de tendencia central y, en este caso, se pueden calcu-lar para determinar el desempeo del grupo.

    EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 2Para empezar En la sesin anterior calculaste la media aritmtica del nmero de aciertos que obtuvie-ron los veinte alumnos del grupo A, al presentar un examen de matemticas. Tambin determinaron el intervalo de aciertos que con mayor frecuencia obtienen los alumnos. En esta sesin utilizars esos valores para compararlos con los valores de la media y moda de datos sin agrupar.

    Consideremos lo siguienteCompleten el siguiente cuadro con los valores de las medidas de tendencia central obte-nidos en la sesin anterior.

    Intervalo modal del nmero de aciertos

    Punto medio del intervalo modal

    Media aritmtica del nmero de aciertos

    El grupo est inconforme con estos valores que se obtuvieron al agrupar los datos. Su-gieren que es mejor tomar los datos sin agrupar para determinar su desempeo en el examen de matemticas.

    SESIN 2

    51-75 63 53

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 256 6/2/07 11:30:26 PM

  • 257L ib ro para e l maest ro

    Propsito del interactivo. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.

    Sugerencia didctica. Estas preguntas no son fciles de contestar y los alumnos quiz no se animen a hacerlo. Lo importante en este punto es que reconozcan el problema (si hay o no diferencia entre los valores obtenidos cuando los datos estn agrupados y cuando estn sin agrupar) y que puedan dar una opinin al respecto o abiertamente decir no lo s. En los siguientes apartados abordarn dicho problema.

    221

    IIMATEMTICASEn la siguiente tabla se ha incluido el nmero de aciertos que cada uno de los veintealumnos obtuvo en ese examen.

    Nmero de aciertos en el examen de matemticas por alumno del grupo A

    Intervalo Datos sin agrupar

    1-25 11, 24

    26-50 26, 30, 32, 32, 44, 48

    51-75 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73

    76-100 80, 97

    Qu tan diferentes son los valores de la media de los datos sin agrupar con respecto de

    los agrupados? Ser significativa esa diferencia como para

    rechazar los valores obtenidos al agrupar los datos?

    Qu sucede con los valores de la moda obtenidos de estas dos maneras? Son iguales o

    son diferentes?

    Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    Si se dijo que un grupo tiene un buen desempeo cuando el promedio es mayor o igual

    a 63 aciertos, cmo fue el desempeo del grupo de acuerdo con el valor de la media

    aritmtica de datos sin agrupar?

    Manos a la obraI. Consideren la tabla con el nmero de aciertos de cada uno de los veinte alumnos para

    responder las siguientes preguntas.

    a) Cul es el nmero de aciertos que ms alumnos obtuvieron?

    b) Compara este nmero con el punto medio del intervalo modal, son iguales o di-

    ferentes? Ese nmero est dentro

    del intervalo modal?

    Recuerden que:

    La moda de un

    conjunto de datos

    sin agrupar es el

    dato que tiene

    mayor frecuencia.

    Respuesta. El desempeo sigue siendo malo, ya que obtuvieron menos de 63 aciertos como media aritmtica.

    Propsito de la actividad. Obtener la moda y media aritmtica de datos sin agrupar.

    Respuestas.a) 55 aciertosb) Son diferentes, el nmero s est dentro del

    intervalo modal (que es 51-75).c) Ninguno tuvo exactamente 63 aciertos,

    pero 7 tuvieron ms de 63.d) 104720=52.35, s es un valor

    diferente al de la media aritmtica de datos agrupados (53).

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 257 6/2/07 11:30:29 PM

  • 258 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Aunque en los dos grupos las frecuencias (nmero de aciertos en cada intervalo) coincidan, las calificaciones de cada alumno son distintas. Si los resultados de ambos grupos se analizaran agrupando los datos en los mismos intervalos se obtendra la misma media aritmtica, lo que no sucedera conociendo cada uno de los datos. Al analizar los datos de esta tabla se pretende que los alumnos se den cuenta de que al agruparlos se pueden hacer afirmaciones sobre tendencias o estimaciones, pero no se pueden obtener valores exactos.

    222

    secuencia 17c) Cuntos alumnos respondieron correctamente al menos 63 preguntas?

    d) En este conjunto de datos sin agrupar, cul es el valor de la media aritmtica?

    Este valor es diferente al valor de la media aritmtica

    de datos agrupados?

    e) Completen el siguiente prrafo. Utilicen el valor de la media aritmtica de datos sin agrupar.

    Ahora, consideren que otro grupo, tambin de veinte alumnos, obtuvieron el siguiente nmero de aciertos:

    Nmero de aciertos en el examen por alumno del grupo B(datos sin agrupar)

    15, 20 , 28, 32, 32, 32, 47, 52, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72,72,75,75, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75, 90, 100

    Al agrupar los datos en el mismo nmero de intervalos del grupo A, los porcentajes de alumnos coinciden.

    Aciertos(intervalos)

    Porcentaje de alumnos

    Nmero de aciertos en el examen por alumno del grupo B

    (datos sin agrupar)

    1-25 10 % 15, 20

    26-50 30 % 28, 32, 32, 32, 47, 52

    51-75 50 % 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75

    76-100 10 % 90,100

    f) Cul de los dos grupos, el A o el B, tuvo un mejor desempeo en el examen de ma-

    temticas?

    El desempeo del grupo A en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de ,(media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia.mayor/igual/menor

    Sugerencia didctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn para luego recuperar-las en la discusin o en las conclusiones. En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a los que no levanten la mano.

    insuficiente

    menor

    52.35

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 258 6/2/07 11:30:30 PM

  • 259L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.a) 32.b) Es 51-75 cuyo punto medio es 63.c) Son diferentes.d) No est dentro del intervalo modal, sino en

    un intervalo anterior, el de 26-50.e) 52.1.g) 53.h) Son diferentes, la diferencia es de 0.9,

    puede considerarse un acierto menos.i) El grupo A, porque obtuvo 52.35, pero de

    todos modos no tiene buen desempeo.j) Las medias aritmticas de los datos

    agrupados son iguales. Si se comparan as, puede decirse que ambos grupos tienen el mismo desempeo.

    223

    IIMATEMTICASII. Utilicen la informacin que aparece en la tabla anterior para contestar las siguientes

    preguntas.

    a) En el conjunto de datos sin agrupar, cul es el valor de la moda?

    b) Si se consideran los datos agrupados, cul es el intervalo modal?

    y cul es el punto medio de ese intervalo?

    c) Compara el valor de la moda de los datos sin agrupar con el punto medio del in-

    tervalo modal, son iguales o diferentes?

    d) El valor de la moda de los datos sin agrupar est dentro del intervalo modal?

    e) Cul es el valor de la media aritmtica sin agrupar los datos?

    f) Completen el siguiente prrafo. Utilicen el valor de la media aritmtica de los datos del grupo B.

    g) Si consideran los datos agrupados, cul es el valor de la media aritmtica?

    h) Comparen los valores de la media aritmtica de los datos agrupados y sin agrupar.

    Son iguales o diferentes? Si son diferentes, es significativa

    esta diferencia?

    i) Si comparan los valores de las medias aritmticas de los datos sin agrupar de los

    dos grupos, A y B, cul de los dos grupos tiene mejor promedio?

    Alguno de los dos grupos logr tener un buen desempeo? (recuerden que un

    grupo tiene un buen desempeo si su promedio de aciertos es igual o mayor a 63).

    j) Comparen los valores de la media aritmtica de datos agrupados de los dos grupos.

    Son iguales o diferentes? Si son diferentes, qu

    grupo tuvo mejor desempeo?

    El desempeo del grupo B en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de ,(media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia.mayor/igual/menor

    insuficiente

    menor

    52.1

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 259 6/2/07 11:30:33 PM

  • 260 L ib ro para e l maest ro

    Propsito de la actividad. Dar conclusiones sobre lo siguiente:

    los valores de la media aritmtica de datos sin agrupar tienen mayor precisin,la media de datos agrupados presenta la tendencia de esa situacin, pero tambin la de varios conjuntos del mismo nmero de datos y frecuencias. Entonces es ms representativa.

    Sugerencia didctica. Comente con los alumnos la importancia de tomar conciencia de lo que se puede saber cuando los datos estn agrupados y cuando no lo estn, porque les ayudar a comprender otros conceptos, como la diferencia entre lo que es una muestra y lo que es una poblacin.

    Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que inventen una situacin con las siguientes caractersticas:

    dos grupos, cada uno de 20 alumnos, hicieron un examen de matemticas;el examen tena 100 preguntas, por lo que 100 es el nmero mximo de aciertos que fue posible obtener;el nmero de aciertos que obtuvieron los alumnos de un grupo fue distinto al que obtuvieron los del otro grupo, sin embargo, ambos grupos obtuvieron los mismos valores al agrupar sus datos.

    Explqueles que lo que tienen que entregar son cuatro tablas similares a las de esta secuencia:

    Nmero de aciertos que obtuvo el grupo A sin agrupar.Nmero de aciertos que obtuvo el grupo B sin agrupar. Nmero de aciertos que obtuvo el grupo A con datos agrupados. Nmero de aciertos que obtuvo el grupo B con datos agrupados.

    En cada tabla deben calcular la moda, el intervalo modal, el punto medio del intervalo modal y la media aritmtica.

    224

    secuencia 17Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    a) Completen el siguiente prrafo a manera de conclusin, utilizando el valor de la me-dia aritmtica de datos agrupados de ambos grupos.

    A lo que llegamosCuando un conjunto de datos est organizado en intervalos, estos intervalos estn formados por varios datos individuales, y la frecuen-cia del intervalo se obtiene contando el nmero de datos individuales que hay en el intervalo. Por esta razn el valor de la moda de datos sin agrupar no necesariamente est incluido en el intervalo modal.

    Por ejemplo:

    Intervalo Puntomedio FrecuenciaGrupo A

    (datos sin agrupar)Grupo B

    (datos sin agrupar)

    60-62 61 3 60, 60, 62 60, 60, 60

    63-65 64 4 63, 64, 65, 65 63, 64, 64, 65

    66-68 67 5 66, 66, 67, 67, 68 67, 67, 67, 68, 68,

    69-71 70 3 71, 71, 71 69, 69, 70

    El valor de la moda de datos sin agrupar del grupo A es 71 y el del grupo B es 67.El intervalo modal para ambos grupos es 66-68 y el punto medio del intervalo modal es 67.Observen que el valor de la moda (71) del grupo A no est incluido en el intervalo modal (66-68), mientras que el valor de la moda del grupo B, adems de estar incluido, es el mismo valor del punto medio del intervalo modal.

    El desempeo de los grupos A y B en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de ,(media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia.mayor/igual/menor

    Insuficiente

    menor

    53

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 260 6/2/07 11:30:42 PM

  • 261L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didctica. Analicen juntos el ejemplo de A lo que llegamos. Anote la tabla en el pizarrn y vayan leyendo la informacin.

    225

    IIMATEMTICASLa media aritmtica de un conjunto de datos agrupados es un valor que puede ser igual, menor o mayor al valor de la media aritmtica de los datos sin agrupar, debido a que en su clculo se utiliza el punto medio de cada intervalo.

    Por otra parte, el valor de la media aritmtica de datos agrupados es representante de cualquier conjunto de datos que tenga los mismos intervalos y las mismas frecuencias en cada intervalo.

    Por ejemplo: considerando los datos de la tabla anterior, tenemos los siguientes valores.

    Media de datos agrupados = 984 15 = 65.6

    Media de datos del grupo A sin agrupar = 986 15 = 65.7

    Media de datos del grupo B sin agrupar = 980 15 = 65.33

    Lo que aprendimos1. Ahora utiliza los siguientes datos sin agrupar y completa la tabla en la que se ha cam-

    biado el tamao de los intervalos de 25 a 20.

    Nmero de aciertos en el examen por alumno del grupo A(datos sin agrupar)

    11, 24, 26, 30, 32, 32, 44, 48, 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73, 80, 97

    Aciertos Nmero de alumnosAciertos x nmero de alumnos

    (punto medio frecuencia)Intervalo Punto medio del intervalo Frecuencia Porcentaje

    1-20

    21-40

    41-60

    61-80

    81-100

    Total 20 100%

    Propsito de la actividad. Con esta actividad se pretende que los alumnos analicen los cambios que se dan en la media aritmtica al cambiar el tamao de los intervalos.

    10.5 1 5 10.51=10.5

    30.5 5 25 30.55=152.5

    50.5 7 35 50.57=353.5

    70.5 6 30 70.56=423

    90.5 1 5 90.51=90.5

    10.5+52.5+353.5+423+90.5=1030

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 261 6/2/07 11:30:49 PM

  • 262 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.a) 103020=51.5.b) 52.3551.5=0.85.d) La diferencia de la media aritmtica de los

    datos agrupados con respecto a la obtenida con los valores reales fue menor cuando los datos se agruparon en intervalos de tamao 25. Ese tamao de intervalo represent mejor la situacin.

    Sugerencia didctica. Comenten el asunto del tamao de los intervalos y su capacidad de representar una situacin. Es importante que los alumnos no piensen que la estadstica es imprecisa y engaosa, porque aunque parece subjetiva, tiene sustento, y con base en la informacin que proporciona es posible describir y/o predecir con cierta exactitud el comportamiento de una situacin. Diga a los alumnos que se debe ser responsable y cuidadoso al tomar la decisin de cmo agrupar los datos y qu medida utilizar, as como qu grfica es ms adecuada, a diferencia de utilizar mecnicamente una frmula o procedimiento.

    Propsito de la actividad. Con este problema se pretende que en una situacin real, los alumnos recopilen, organicen y determinen cul es la manera ms conveniente de tratar y presentar los datos (estas tareas las han estado desarrollando desde el grado anterior). Para centrar la atencin en ello y evitar que los alumnos se distraigan o les tome mucho tiempo hacer las operaciones, dgales que usen calculadora o, si se puede, el programa Excel.

    Sugerencia didctica. No limite el trabajo de los alumnos a simplemente calcular y presentar, cuestinelos sobre la manera en que estn organizando los resultados y pdales que justifiquen lo que estn haciendo; por ejemplo, pregnteles qu sucede si algn alumno tiene 0 de calificacin (si no lo saben, dgales que revisen la secuencia 38 de primer grado).Esta actividad deben realizarla en grupo. Anote las calificaciones en el pizarrn y copie las tablas de los incisos b) y c) para que las vayan llenando juntos.

    226

    a) Al cambiar el tamao de los intervalos, cul es el valor de la media aritmtica del

    nmero de aciertos obtenidos por los alumnos?

    b) Cul es la diferencia entre la media aritmtica de los datos sin agrupar y la media

    aritmtica de los datos agrupados en intervalos de tamao 20?

    c) Completa el siguiente cuadro:

    Media aritmtica del nmero de aciertos sin

    agrupar

    Media aritmtica del nmero de aciertos

    agrupados enintervalos de tamao 25

    Media aritmtica del nmero de aciertos

    agrupados enintervalos de tamao 20

    d) Cul de los valores de las medias aritmticas de datos agrupados consideras que

    representa mejor la situacin? Por qu?

    2. Comenten con sus compaeros y con el profesor cul podra ser el valor de la media aritmtica de sus calificaciones obtenidas en el examen de matemticas en el primer bimestre, para considerar que tuvieron un buen desempeo. Anoten en el siguiente recuadro el valor que acordaron sera el referente para determinar el desempeo del grupo.

    a) Renan las calificaciones que obtuvieron todos los alumnos de su grupo en el exa-men del primer bimestre de matemticas y antenlas en el siguiente recuadro.

    Recuerda que:

    La media aritmtica

    es una medida que se

    afecta fcilmente

    por la presencia de

    valores extremos

    debido a que, para

    realizar su clculo,

    se consideran todos

    los valores.

    52.35 53 51.5

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 262 6/2/07 11:30:51 PM

  • 263L ib ro para e l maest ro

    Respuestas.d) En el tercero (de4.1 a 6.0).e) 7, porque 0 es la calificacin que obtuvieron

    esos dos alumnos y s se debe contar. f) El punto medio del intervalo es 5.05 y es la

    calificacin representativa de ese intervalo.

    Posibles dificultades. Tal vez algunos alumnos piensen que en el inciso e) sea ms conveniente poner 5 en la frecuencia porque los ceros no suman puntos. Pregnteles qu sucedera si se pusiera 5 al sumar las frecuencias, se deben dar cuenta que se obtendra una frecuencia total menor al nmero de alumnos que participaron en el examen; la siguiente pregunta que puede plantearles es si cambia el valor de la media aritmtica. Si an hay alumnos que tienen dudas al calcular la media aritmtica, pdales que la obtengan considerando la frecuencia 5 y 7 de ese intervalo y vean los cambios que ocurren.

    227

    IIMATEMTICASb) Calculen y anoten el valor de la media que obtuvieron. Usen una calculadora para

    realizar las operaciones.

    Resumen de las calificaciones de matemticas obtenidas por el

    grupo correspondientes al examen del primer bimestre.

    Media aritmtica

    Moda

    c) Completen la siguiente tabla con las frecuencias y puntos medios que correspon-den a sus calificaciones agrupadas en intervalos. Usen una calculadora para reali-zar las operaciones.

    Calificaciones Nmero de alumnos(frecuencia)

    Calificacinrepresentativa(punto medio)

    Calif. representativa nmero de alumnos Punto medio frecuencia

    0-2.0

    2.1-4.0

    4.1-6.0

    6.1-8.0

    8.1-10.0

    d) Si un compaero dice que obtuvo 6.0 de calificacin, en qu intervalo lo anota-

    ran?

    e) Si en el intervalo 0-2.0 hubo tres alumnos con 1.5, dos alumnos con 1.0 y dos

    alumnos con 0, la frecuencia que se deber anotar es, 5 o 7?

    Por qu?

    f) Si en el intervalo de 4.1 a 6.0 se consideran las calificaciones de 4.1 a 6,

    cul es el punto medio de ese intervalo?

    Qu significado tiene ese valor?

    g) Completen el siguiente cuadro.

    Media aritmtica de lascalificaciones sin agrupar

    Media aritmtica de lascalificaciones agrupadas Diferencia

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 263 6/2/07 11:30:53 PM

  • 264 L ib ro para e l maest ro

    228

    secuencia 17h) Qu calificacin obtuviste en el examen de matemticas del primer bimestre?

    Cul es la diferencia que hay entre tu calificacin y la media aritmtica

    de las calificaciones del examen sin agrupar? Y cul es la diferencia

    con respecto a la media aritmtica de las calificaciones agrupadas?

    i) Otro aspecto que se puede analizar en esta situacin es la moda. Completen el siguiente cuadro.

    Moda de las calificaciones sin agrupar

    Intervalo modal de las calificaciones

    Punto medio delintervalo modal

    Comenten con sus compaeros y con el profesor los resultados que obtuvieron al reco-pilar, organizar y analizar sus calificaciones.

    a) Completen el siguiente prrafo. Debern utilizar el valor referente de la media arit-mtica de sus calificaciones que acordaron al principio de esta actividad y los valores que obtuvieron en esta actividad.

    LAS CALORAS QUE CONSUMEN LOS JVENESPara empezarEstadsticas, alimentos y otras situaciones

    En la secuencia 11 cmo usa mi cuerpo lo que como? de su libro cien-cias i Volumen i estudiaste las caractersticas de una alimentacin sufi-ciente, variada, equilibrada e higinica.

    SESIN 3

    El desempeo de nuestro grupo en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que la calificacin promedio que obtuvimos fue de ,(media aritmtica)

    que es a la calificacin promedio de que sealamos comomayor/igual/menor

    referente. Podemos decir que el % de los alumnos obtuvieron (frecuencia mayor en forma de %) (punto medio del intervalo modal)

    de calificacin, por lo que es la calificacin que ms alumnos obtuvieron.

    conexin con ciencias isecuencia 11: cmo usa mi cuerpo lo que como?

    Propsito de la sesin. Resolver problemas que implican la determinacin del punto medio del intervalo modal (como valor de la moda) y el clculo de la media de datos agrupados a partir de informacin representada en polgonos de frecuencias.

    Organizacin del grupo. En esta sesin hay momentos de trabajo individual y en parejas.

    Descripcin del video. Se muestran varias situaciones en las cuales se utilizan las medidas de tendencia central para analizar datos y presentar resultados. Se dan estadsticas reales obtenidas del CENEVAL y el INEGI para ejemplificar su uso, en particular para destacar las propiedades de la media aritmtica.

    Sugerencia didctica. Si lo considera necesario, revise las secuencias 11 y 12 del libro de Ciencias I para ayudar a los alumnos con las dudas que tuvieran sobre el contexto que se utiliza en las sesiones 3 y 4.

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 264 6/2/07 11:30:55 PM

  • 265L ib ro para e l maest ro

    229

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteEn una escuela se organiz una campaa de nutricin. La nutriloga responsable de la campaa realiz un estudio de los patrones alimenticios de 100 adolescentes de 13 aos de edad (50 varones y 50 mujeres). Los resultados que encontr sobre uno de los aspec-tos del estudio se muestran en la siguiente grfica.

    a) Quines consumen mayor nmero de caloras diariamente, las mujeres o los varo-

    nes?

    b) Cul es la media aritmtica de caloras que consumen diariamente las mujeres?

    Y de los varones? Y de todos?

    c) Cul fue el nmero de caloras consumidas con mayor frecuencia por las mujeres?

    Y cul fue el de los varones?

    Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    a) Si comparamos el nmero de caloras promedio y el nmero de caloras que ms mu-

    jeres consumen, estas cantidades se encuentran en el mismo intervalo?

    Sucede lo mismo en el caso de los varones?

    VaronesMujeres

    Nmero de caloras consumidas diariamente por adolescentes de 13 aos.

    Nm

    ero

    de a

    dole

    scen

    tes

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    01 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000

    a a a a a a a a a1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 5 500

    Nmero de caloras

    Sugerencia didctica. Los alumnos ya saben cmo se calcula la media aritmtica de datos agrupados, dles suficiente tiempo, ya que deben calcular tres medias.Usted puede ayudarles a leer la grfica si les pregunta cosas como:

    Cmo se identifican las caloras que consumieron las mujeres?Cul es la escala que tienen los ejes?

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 265 6/2/07 11:30:57 PM

  • 266 L ib ro para e l maest ro

    230

    secuencia 17

    Manos a la obrai. Observen el polgono de frecuencias y contesten las siguientes preguntas.

    a) Cuntos varones consumen entre 3500 y 4000 caloras al da?

    Y cuntas mujeres consumen entre 2500 y 3000 caloras diarias?

    b) En el caso del polgono de frecuencias que muestra los resultados de los varones,

    cul es el valor del punto medio del intervalo con mayor frecuencia?

    Y en el caso del de las mujeres, cul es el valor del punto medio del intervalo con

    mayor frecuencia?

    c) Cules son los puntos medios de los dems intervalos? Antenlos al lado de la

    frecuencia que seala cada punto en la grfica.

    Como ven, otra forma de construir la grfica es a partir de los puntos medios de cada intervalo y sus frecuencias. Con esa misma informa-cin es posible construir la tabla de frecuencias y calcular la media aritmtica de estos datos.

    VaronesMujeres

    nmero de caloras consumidas diariamente por adolescentes de 13 aos.

    nm

    ero

    de a

    dole

    scen

    tes

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    0

    nmero de calorasRespuestas.a) 500 y 4000 caloras al da y 20 mujeres

    consumen entre 2500 y 3000.b) 3750 caloras por da, 2750 caloras

    por da.c) Los puntos son 1750, 2250, 2750,

    3250, 3750, 4250, 4750, 5250.

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 266 6/2/07 11:31:01 PM

  • 267L ib ro para e l maest ro

    231

    IIMATEMTICASII. Completen la siguiente tabla tomando como base los datos de la grfica anterior.

    Utilicen una calculadora.

    Nmero de caloras Varones Mujeres

    Intervalo Punto medio del intervalo Frecuencia (punto medio frecuencia) Frecuencia (punto medio frecuencia)

    1000-1500 1250 1 (1250 1) = 1250 1 (1250 2) = 2500

    Total 50 50

    a) Cul es el nmero de caloras diarias que consumen con mayor frecuencia las

    mujeres? Y cul es el de los varones?

    b) Cul es la media aritmtica de las caloras que consumen los varones?

    Y la de las mujeres?

    c) Cmo obtendran la media aritmtica de los 100 adolescentes?

    III. Completen la siguiente tabla.

    Nmero de caloras Adolescentes

    Intervalo Punto medio del intervalo

    Frecuencia(punto medio frecuencia)

    Varones Mujeres Total

    1000-1500 1250 1 2 1 + 2 = 3 1250 3 =

    1500-2000 1750 2 2

    2000-2500 2250 5 8

    Total 100

    Propsito del interactivo. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.

    Respuestas.a) 2750 las mujeres y 3750 los varones.b) Se divide el total entre la cantidad de

    varones, es decir, 16600050 y la media es 3320 caloras. La de las mujeres 14400050=2880 caloras.

    c) Hay varias maneras de hacerlo.Sumar los totales de los productos (el de hombres y el de mujeres y se divide entre la suma de las frecuencias de hombres y mujeres, es decir, (166000+144000)100=3100 caloras.Sumar las frecuencias por intervalo de varones y mujeres, luego multiplicar los puntos medios por frecuencia, obtener la suma y dividir entre la frecuencia total (como se pide en la actividad III).Sumar los valores de las medias aritmticas obtenidas para varones y mujeres, luego dividir entre 2 porque son dos valores (3320+2880)2=62002=3100.

    Sugerencia didctica. Los alumnos pueden emplear alguna de las formas que se sealan en el propio libro, pero la intencin es que justifiquen por qu la utilizan y que expliquen qu quiere decir su resultado. En la siguiente actividad vern dos de las formas en que se puede encontrar la media aritmtica del grupo.

    1500-2000 1750 2 (1750x2)=3500 2 (1750x2)=3500

    2000-2500 2250 5 (2250x5)=11250 8 (2250x8)=18000

    2500-3000 2750 7 (2750x7)=19250 20 (2750x20)=55000

    3000-3500 3250 12 (3250x12)=39000 10 (3250x10)=32500

    3500-4000 3750 16 (3750x16)=60000 5 (3750x5)=18750

    4000-4500 4250 4 (4250x4)=17000 2 (4250x2)=8500

    4500-5000 4750 2 (4750x2)=9500 0 (4750x0)=0

    5000-5500 5250 1 (5250x1)=5250 1 (5250x1)=5250

    166000 144000

    2+2=4 1750x4=7000

    5+8=13 2250x13=29250

    2500-3000 2750 7 20 7+20=27 2750x27=74250

    3000-3500 3250 12 10 12+10=22 3250x22=71500

    3500-4000 3750 16 5 16+5=21 3750x21=78750

    4000-4500 4250 4 2 4+2=6 4250x6=25500

    4500-5000 4750 2 0 2+0=2 4750x2=9500

    5000-5500 5250 1 1 1+1=2 5250x2=10500

    100 310000

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 267 6/2/07 11:31:03 PM

  • 268 L ib ro para e l maest ro

    232

    secuencia 17a) Cul es el intervalo modal de las caloras consumidas diariamente por los adoles-

    centes de 13 aos, segn los resultados del estudio? Cul es el pun-

    to medio de ese intervalo?

    b) Comparen este intervalo y el valor de su punto medio con los obtenidos en el caso

    de las mujeres, son iguales?

    c) Cul es la media aritmtica de las caloras que consumen los adolescentes de

    13 aos, segn los resultados del estudio?

    d) Completen la siguiente expresin:

    x =

    media aritmtica del nmero de caloras que

    consumen las mujeres

    media aritmtica del nmero de caloras que consumen los varones

    +( )2

    =

    x = ( + )

    2 =

    e) Comparen este valor con el de la media aritmtica del nmero de caloras que

    consumen los varones, son iguales?

    f) Cul de las siguientes expresiones representa el procedimiento que utilizaste en

    el inciso b) para obtener el valor de la media aritmtica del nmero de caloras que

    consumen los 100 adolescentes?

    1. x = x 1 + x 2

    2. x = (x 1) (x 2)

    3. x = (x 1 + x 22 )

    A lo que llegamosPara obtener el valor de la media aritmtica del nmero de caloras que consumen los 100 adolescentes de trece aos que participaron en el estudio, y dado que se tienen las frecuencias y medias aritmticas del nmero de caloras que consumen varones y muje-res, se pueden realizar los siguientes procedimientos:

    Respuestas. a) 2500-3000, el punto medio es 2750.b) S.c) 3100 caloras.e) No.

    Propsito de la pregunta f). Se pretende que los alumnos generalicen el procedimiento para cuando se calcula una media de dos subgrupos. Si hay que obtener la media aritmtica de las caloras que consumen los alumnos de segundo grado y tenemos como datos las medias aritmticas de los tres grupos que hay en ese grado, entonces podemos sumar las tres medias y dividir entre 3. Si se quiere conocer la media aritmtica de las caloras que consumen los alumnos de toda una escuela, si se conocen las medias de cada uno de los 5 grupos, stas se suman y se divide entre 5. Plantee a los alumnos situaciones como stas y comntenlas.

    =(3320+2880)

    2 =6200

    2 =3100

    Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que copien la informacin de los dos procedimientos.

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 268 6/2/07 11:31:07 PM

  • 269L ib ro para e l maest ro

    233

    IIMATEMTICASProcedimiento 1

    1. Sumar las frecuencias de varones y mujeres en cada intervalo para obtener la frecuencia total.

    2. Calcular, para cada intervalo, el produc-to del punto medio y la frecuencia.

    3. Obtener el cociente de la suma de los productos entre la frecuencia total.

    a) En qu intervalo se encuentra el segmento que trazaste?

    b) Si consideras el nmero de varones que hay en cada intervalo y el segmento que

    trazaste, en qu parte de la grfica hay ms varones, antes del segmento o des-

    pus de l?

    c) Cul es el intervalo modal?

    IV. El siguiente polgono de frecuencias presenta el nmero de caloras que consumen los varones. Ubica en el eje horizontal el punto que corresponde al valor de la media aritmtica y a partir de l traza una lnea, de color rojo, perpendicular al eje.

    Procedimiento 2

    1. Sumar los valores de las medias aritmti-cas (la del nmero de caloras que consu-men los varones y la de las mujeres).

    2. Obtener el cociente de la suma de las medias entre 2.

    Nmero de caloras consumidas diariamente por varones de 13 aos.

    Nm

    ero

    de a

    dole

    scen

    tes

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    01 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000

    a a a a a a a a a1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 5 500

    Nmero de caloras Respuestas.a) En el quinto (de 3000 a 3500 caloras).b) Despus de l.c) De 3500 a 4000 caloras.d) No, se encuentra en el intervalo anterior.e) La media aritmtica.

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 269 6/2/07 11:31:12 PM

  • 270 L ib ro para e l maest ro

    234

    secuencia 17Ubica el punto medio del intervalo modal y traza un segmento, de color azul, perpen-dicular al eje horizontal que pase por l.

    d) En ese mismo intervalo se encuentra la media aritmtica?

    e) De izquierda a derecha, qu punto se encuentra primero, la media aritmtica o el

    punto medio del intervalo modal?

    V. Utilicen los resultados obtenidos en la sesin y seleccionen las respuestas correctas para completar el siguiente prrafo.

    Lo que aprendimos1. Investiguen en la secuencia 11 cmo usa mi cuerpo lo que como? de

    su libro ciencias i Volumen i, qu, cmo y cuntas caloras deben con-sumir diariamente para mantenerse sanos, as como los riesgos que se tienen por no consumir las caloras adecuadas.

    a) De acuerdo con esa informacin, cmo describiran a estos dos grupos de adolescentes, los varones y las mujeres? Qu grupo de adolescentes presenta mayores problemas de salud, los varones o las mujeres?

    b) Si estuvieran a cargo de una campaa de nutricin en su escuela, qu acciones realizaran para recopilar informacin sobre su situacin nutricional?, qu tipo de grficas, tablas y medidas de tendencia central utilizaran para comunicar sus re-sultados a su comunidad escolar? Comenten y comparen sus respuestas con sus compaeros y su profesor.

    De acuerdo con los resultados del estudio que se realiz para conocer los patrones

    alimenticios de 100 adolescentes de 13 aos de edad, se encontr que la media

    aritmtica del nmero de caloras que consumen es de ,3100 / 3320 / 2880

    mientras que, si los separamos por sexo, la media aritmtica del consumo de caloras

    en los varones es que la de las mujeres, la diferencia entremayor / igual / menor

    ellas es de caloras.440 / 220

    En los varones, la mayor frecuencia en el consumo de caloras diarias se encuentra

    entre , y en el caso de las mujeres la mayor frecuencia3500 a 4000 / 2500 a 3000

    est en el intervalo .3500 a 4000 / 2500 a 3000

    conexin con ciencias isecuencia 11: cmo usa mi cuerpo lo que como?

    Propsito de la actividad. En esta situacin se espera que los alumnos analicen y reflexionen sobre el problema de salud que puede representar un trastorno alimenticio. Comenten que la finalidad de la estadstica no es calcular sino tomar decisiones informadas de acuerdo con lo que presentan las grficas y medidas de tendencia.

    3100

    mayor

    220

    3500-4000

    2500-3000

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 270 6/2/07 11:31:14 PM

  • 271L ib ro para e l maest ro

    235

    IIMATEMTICAS2. En la tabla de datos agrupados de la derecha se presentan los

    salarios mensuales de 70 empleados de una compaa.

    a) Si el punto medio del primer intervalo de salarios es 2500,

    cul es el lmite inferior de ese intervalo?

    Y cul es el lmite superior?

    Cul es el tamao de cada intervalo?

    b) Cul es el salario promedio mensual (media aritmtica de

    datos agrupados) de los 70 empleados?

    c) Cul es el salario que perciben el mayor nmero de em-

    pleados de esa compaa?

    d) Si se quiere utilizar una cantidad que represente mejor los

    salarios que se tiene en esta compaa, cul es el ms

    conveniente utilizar, la media aritmtica o el intervalo

    modal? . Justifiquen su res-

    puesta y elaboren un prrafo a modo de reporte.

    Punto medio del intervalo Frecuencia

    2 500 14

    7 500 12

    12 500 12

    17 500 10

    22 500 8

    27 500 6

    32 500 5

    37 500 3

    Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    Para saber msSobre cmo utilizar e interpretar resultados estadsticos en una determinada situa-cin consulten: http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp Ruta 1: Recursos educativos Casos de negocios Fbrica de artculos de plsticoRuta 2: Recursos educativos Casos de negocios Restaurante tpico[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Sobre otros aspectos en los que se calculan y utilizan promedios consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx Ruta 1: Poblacin EducacinRuta 2: Poblacin Esperanza de vida[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos a la actividad 2 de este apartado y gurdelas en su portafolios. Si lo considera necesario, repasen el Manos a la obra de las sesiones de esa secuencia.

    Respuestas.a) El lmite inferior es 0 y el superior es 5000.

    El tamao de cada intervalo es 5000. Para responder cules son los lmites

    inferior y superior se requiere conocer el tamao de los intervalos. Lo pueden saber si encuentran la diferencia entre el punto medio del segundo intervalo y el del primero (7500-2500). Si el tamao del intervalo es 5000 entonces el lmite inferior es 0 y el superior es 5000 (porque (0+5000)2=2500).

    b) Es de $15285.71.c) 2500, que est en el intervalo de 0 a

    5000.d) En esta situacin la moda nos da una

    informacin que en la media est desdibuja-da, ya que la mayora de los empleados (42 empleados) ganan menos de 15000 pesos.

    MAT2 B2 S17 maestro.indd 271 6/2/07 11:31:16 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    272 L ib ro para e l maest ro

    propuesta de examen bimestral bloque 1

    a continuacin se presenta una propuesta para evaluar los bloques 1 y 2 mediante exmenes que sern complementarios de la informacin que usted ha ido integrando en el portafolios del alumno.

    los exmenes tienen las siguientes caractersticas:

    De cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivo evala un aspecto del contenido que se trat en la secuencia.

    Cada examen se arma de la siguiente manera:

    Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evala el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. la intencin de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar as distintas versiones del examen segn le convenga. encontrar todos los reactivos respondidos para facilitarle la calificacin.

    Recomendaciones para la aplicacin de los exmenes, su revisin y calificacin:

    Debido a la longitud de los exmenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. una vez aplicado, haga una revisin grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar oportunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido.

    Se sugiere no asignar ms del 50% de la calificacin bimestral a los resultados de los exmenes, considere para el otro 50% las actividades que integr en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participacin, el cumplimiento de tareas, etc.).

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 272 6/2/07 11:31:58 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    273L ib ro para e l maest ro

    Respuesta: 25.

    Respuesta: 6.

    SECUENCIA 1. MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS CON SIGNO

    Reactivo 11. lorena ochoa, la mejor jugadora de golf en el 2006, tuvo los siguientes

    resultados durante los cuatro das de un torneo:

    Da 1 Da 2 Da 3 Da 4

    3 +2 1 4

    el resultado final se obtiene al sumar los resultados de los cuatro das, cul fue el resultado final de lorena en este torneo?

    1. en una liga de futbol, para decidir qu equipo va a descender es necesario contabilizar la diferencia total de goles obtenida durante seis torneos. el equipo tucanes tuvo las siguientes diferencias de goles.

    Ape. 05 Cla. 05 Ape. 06 Cla. 06 Ape. 07 Cla. 07

    0 +2 11 7 12 +3

    la diferencia total de goles se obtiene sumando las seis cantidades. Cul es la diferencia total de goles obtenida por los tucanes?

    Reactivo 22. encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones :

    (12) 0 = (6) 1 = 0 (4) = 28 (1) =

    (5) 7 = (11) (3) = 18 (4) = (6) (13) =

    3 (2.7) = (6.2) 2.5 = ( 43 ) ( 29 ) = (8) 53 =

    2. encuentra el resultado de las siguientes multiplicaciones:

    (10) 4 = 0 (7) = (13) 0 = 1 (15) =

    (7) 6 = (5) (15) = 6 (17) = (13) (11) =

    (8) 4.2 = (3.1) (5.6) = ( 72 ) ( 115) = (9) 314 =

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 273 6/2/07 11:32:00 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    274 L ib ro para e l maest ro

    2. Respuestas:

    0 6 0 28

    35 33 72 78

    8.1 15.5 827 403

    2. Respuestas:

    40 0 0 15

    42 75 102 143

    33.6 17.36 730 2714

    3. Respuestas:

    3 1 6 8

    7.5 0.25 109272

    3. Respuestas:

    8 4 5 1

    4.625 0.4 35378

    Reactivo 33. encuentra el resultado de las siguientes divisiones:

    (36) 12 = 24 (24) = (42) (7) = 4 (5) =

    (45) (6) = 2 (8) = 38 ( 125 ) = ( 32 ) ( 19 ) =

    3. encuentra el resultado de las siguientes divisiones:

    32 (4) = (48) 12 = (50) (10) = 45 (45) =

    (37) (8) = 4 (10) = ( 103 ) 27 = ( 18 ) ( 17 ) =

    Respuesta: b)

    SECUENCIA 2. PROBLEMAS ADITIVOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

    Reactivo 11. Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del rectngulo?

    a) 5x

    b) 10x

    c) 5x 2

    d) 10x 2

    4x

    x

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 274 6/2/07 11:32:01 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    275L ib ro para e l maest ro

    1. Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del trapecio issceles?

    a) 6x

    b) 8x

    c) 6x 2

    b) 8x 2

    Reactivo 22. el terreno que se presenta en la ilustracin mide 80 metros de permetro.

    Cunto mide cada una de sus dimensiones?

    a) largo: 55 metros, ancho: 25 metros

    b) largo: 45 metros, ancho: 35 metros

    c) largo: 25 metros, ancho: 15 metros

    d) largo: 35 metros, ancho: 15 metros

    2. el hexgono que se presenta en la ilustracin mide 13.2 centmetros de permetro. Cunto mide cada uno de sus cuatro lados iguales?

    a) r = 3.3 centmetros

    b) r = 3 centmetros

    c) r = 2 centmetros

    d) r = 1.8 centmetros

    Reactivo 33. Completa el siguiente cuadrado mgico para que la suma de las expresio

    nes de cada rengln, de cada columna y de cada diagonal sea la misma.

    n 4

    n

    n + 4 n 3

    3. en el cuadrado mgico faltan dos expresiones. la suma de las tres expresiones de cada rengln, de cada columna y de cada diagonal debe ser 3n 12. Cules son las expresiones que faltan?

    a) n + 2 y n 12

    b) n 6 y n 10

    c) n 6 y n 12

    d) n 2 y n 8

    n 8 n + 2

    n + 4 n 4

    n 1 n n 2

    Respuesta:

    n + 3 n 4 n+1n 2 n n+2n 1 n + 4 n 3

    Respuesta: d)

    Respuesta: c)

    Respuesta: b)2.5x

    2x

    1.5x

    2x 5

    x

    r + 1.2

    r

    r + 1.2r

    r

    r

    Respuesta: c)

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 275 6/2/07 11:32:03 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    276 L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y MODELOS GEOMTRICOS

    Reactivo 11. De las expresiones de la derecha, cules sirven para calcular el rea del

    rectngulo del lado izquierdo?

    a) 5x + 10

    b) 5(x+2)

    c) 5x+2

    d) 3(x+2) + 2(x+2)

    e) 2(x+2) + 2(x+2)

    1. el siguiente rectngulo fue dividido en cuatro rectngulos ms pequeos (a, b, C y D). encuentra una expresin que sirva para calcular el rea de cada uno de los cuatro rectngulos.

    Reactivo 22. une con una lnea cada expresin del lado izquierdo con una expresin

    equivalente del lado derecho.

    i) 3(x+2) a) 2x+3

    b) 2x+6

    ii) 2(x+3) c) 3x+2

    d) 3x+6

    iii) 3(x+1) c) 3x+3

    Respuestas: a), b) y d)

    Respuestas:

    i d

    ii b

    iii c

    Respuestas:

    a = 2a, a 2, 2a

    b = 6, 23

    C = a 2, a a

    D = 3a, a 3, 3aa =

    b =

    C =

    D =

    x + 2

    5

    a

    a

    2

    3

    A B

    C D

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 276 6/2/07 11:32:04 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    277L ib ro para e l maest ro

    2. Para el siguiente rectngulo anota las medidas de sus lados en los espacios marcados. Y despus escribe dos expresiones equivalentes que sirvan para calcular su rea.

    SECUENCIA 4. NGULOS Y MEDICIN

    Reactivo 11. Cules de las siguientes rectas forman los mismos ngulos de la misma

    medida con la recta l?

    1. Cules de las siguientes rectas son paralelas? Respuesta:

    las rectas n y t son paralelas, porque forman ngulos correspondientes iguales con respecto a la recta l.

    Respuesta:

    las rectas m y s. los ngulos que forman con la recta l miden 60 y 120

    Respuestas:

    altura = 4

    base = a, 2

    expresiones:

    4(a+2), 4a+8, 4(a+2), 4a+8

    4a 8

    =

    m n t s

    l

    m n t s

    l

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 277 6/2/07 11:32:05 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    278 L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 22. Deduce la medida del ngulo interno de un enegono regular. Describe el

    proceso que utilizaste.

    2. Deduce la medida del ngulo interno de un dodecgono regular. Describe el proceso que utilizaste.

    2. Respuesta: 140

    o

    a

    b C

    Del centro del polgono se trazan segmentos a los vrtices del mismo para formar tringulos issceles, por ejemplo, el aob y el DboC. el ngulo Cba es un ngulo interno del enegono que se forma con un ngulo interno del

    aob y uno del boC. la medida de los ngulos con vrtice en o se obtiene dividiendo 360 entre 9, que es igual a 40. Como la suma de las medidas de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180, en el tringulo oab se cumple que la suma de las medidas de los ngulos oab y oba es igual a 140, y como estos dos ngulos son iguales, se tiene que cada uno mide 70. lo mismo pasa en los otros tringulos. Se tiene entonces que el ngulo Cba est formado por dos ngulos que miden 70, de ah que el ngulo interno del enegono mida 140.

    2. Respuesta: 150

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 278 6/2/07 11:32:06 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    279L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 5. RECTAS Y NGULOS

    Reactivo 11. en la siguiente figura hay cuatro ngulos y se da el valor de uno de ellos.

    Calcula y anota el valor de los otros tres.

    72

    1. en la figura hay cuatro ngulos y se da el valor de uno de ellos. Calcula el valor de los otros tres.

    135

    Reactivo 22. Considera la siguiente figura

    4x + 15

    x + 15

    Cul ecuacin es correcta?

    a) 4x + 15 = x + 15

    b) 4x + 15 + x + 15 = 0

    c) 5x + 30 = 180

    d) 5x + 30 = 0

    Respuesta: c)

    Respuesta: los otros tres ngulos miden, respectivamente, 45, 135 y 45

    Respuesta: los otros tres ngulos miden, respectivamente, 108, 72 y 108

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 279 6/2/07 11:32:07 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    280 L ib ro para e l maest ro

    2. Considera la siguiente figura

    2x + 103x + 30

    Cul ecuacin es correcta?

    a) x + 10 = 5x + 30

    b) x + 10 + 5x + 30 = 0

    c) 5x + 40 = 180

    d) 5x + 40 = 0

    Reactivo 3Definir lo que son rectas paralelas y rectas perpendiculares.

    3. escribe una definicin de rectas paralelas

    3. escribe una definicin de rectas perpendiculares

    Respuesta: c)

    Posibles respuestas: Rectas que al cortarse forman ngulos iguales. Rectas que al cortarse forman ngulos rectos. Rectas que al cortarse forman ngulos de 90.

    Posibles respuestas: Rectas que no se cortan. Rectas que conservan la misma distancia entre s.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 280 6/2/07 11:32:08 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    281L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 6. RECTAS Y NGULOS

    Reactivo 11. Considera que en la figura la recta m es paralela a la recta n.

    a107

    m

    n

    Cunto mide el ngulo a?

    1. Considera que en la figura la recta p es paralela a la recta q.

    a

    54

    p

    q

    Cunto mide el ngulo a?

    Reactivo 22. Considera la siguiente figura

    2x + 9

    2x + 11

    Cunto vale x? Respuesta: x = 40

    Respuesta: 126

    Respuesta: 73

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 281 6/2/07 11:32:09 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    282 L ib ro para e l maest ro

    2. Considera la siguiente figura

    5x

    3x + 20

    Cunto vale x?

    Reactivo 33. Completa los siguientes enunciados anotando la relacin entre los ngulos.

    ab

    p

    cd q

    gf

    hi

    a = h porque

    a = f porque

    3. Completa los siguientes enunciados anotando la relacin entre los ngulos.

    ab

    p

    cd q

    gf

    hi

    d= f porque

    b = g porque

    Respuesta: x = 20

    Respuesta: Son correspondientes.

    Respuesta: Son alternos externos.

    Respuesta: Son correspondientes.

    Respuesta: Son alternos internos.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 282 6/2/07 11:32:10 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    283L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 7. LA RELACIN INVERSA DE UNA RELACIN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

    Reactivo 11. un automvil viaja a velocidad constante y hace un recorrido de 365 kil

    metros en un tiempo de 5 horas.

    a) en cunto tiempo hara un recorrido de 511 kilmetros ?

    b) Cuntos kilmetros recorri en tres horas?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que nos permite encontrar

    la distancia recorrida a partir del tiempo del trayecto?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad de la relacin inversa a la

    del inciso anterior?

    1. un automvil viaja a velocidad constante y hace un recorrido de 450 kilmetros en un tiempo de 6 horas.

    a) en cunto tiempo hara un recorrido de 225 kilmetros ?

    b) Cuntos kilmetros recorri en cinco horas?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que nos permite encontrar

    la distancia recorrida a partir del tiempo del trayecto?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad de la relacin inversa a la

    del inciso anterior?

    Reactivo 22. Si la constante de proporcionalidad de una relacin de proporcionalidad

    directa es 9, cul es la constante de proporcionalidad de la relacin inversa?

    a) 9 b) 9 c) 19 d) 19

    2. Si la constante de proporcionalidad de una relacin de proporcionalidad directa es 13 , cul es la constante de proporcionalidad de la relacin inversa?

    a) 3 b) 3 c) 13 d) 13

    Respuestas:

    a) 3 horas.

    b) 375 kilmetros.

    c) 75 kilmetros por hora.

    d) 175 .

    Respuestas:

    a) 7 horas.

    b) 219 kilmetros.

    c) 73 kilmetros por hora.

    d) 173 .

    Respuesta: d)

    Respuesta: b)

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 283 6/2/07 11:32:11 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    284 L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 8. PROPORCIONALIDAD MLTIPLE

    Reactivo 11. Sabiendo que un trineo jalado por 10 perros necesita 2 das para recorrer

    una distancia de 150 kilmetros, cuntos perros necesitaran jalar el trineo para que hicieran un recorrido de 225 kilmetros en un da? escribe tu procedimiento .

    1. Sabiendo que 20 albailes necesitan 4 das para construir una barda de 40 m de largo, cunto tiempo necesitarn 6 albailes para construir una barda de 30 m de largo? escribe tu procedimiento .

    SECUENCIA 9. PROBLEMAS DE CONTEO

    Reactivo 11. Con los dgitos 1, 2, 3, 4, 7, 9 queremos formar nmeros de dos cifras; en

    cada nmero no se puede repetir ninguno de los dgitos. Cuntos nmeros podemos formar? Haz una lista con todos los nmeros.

    1. Con los dgitos 1, 2, 7, 9 queremos formar nmeros de tres cifras; en cada nmero no se puede repetir ninguno de los dgitos. Cuntos nmeros podemos formar? Haz una lista con todos los nmeros.

    Reactivo 22. en una Casa de Cultura se imparten cinco talleres: literatura, dibujo, al

    farera, grabado y danza. es posible inscribirse a dos de los talleres sin indicar el orden de preferencia. De cuntas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripcin?

    2. en una Casa de Cultura se imparten cinco talleres: literatura, dibujo, alfarera, grabado y danza. es posible inscribirse a dos de los talleres y hay que indicar el orden de preferencia. De cuntas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripcin?

    Reactivo 33. Vamos a colocar una canica roja, una azul y una blanca en dos cajas nu

    meradas. es posible colocar varias canicas en la misma caja. De cuntas maneras podemos hacerlo?

    3. Vamos a colocar una canica roja y una blanca en tres cajas numeradas. es posible colocar las dos canicas en la misma caja. De cuntas maneras podemos hacerlo?

    Respuesta: 30 perros.

    Respuesta: 10 maneras.

    Respuesta: 24 nmeros.

    127, 129, 172, 179, 192, 197, 217, 219, 271, 279, 291, 297, 712, 719, 721, 729, 791, 792, 912, 917, 921, 927, 971, 972.

    Respuesta: 30 nmeros.

    12, 13, 14, 17, 19, 21, 23, 24, 27, 29, 31, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 43, 47, 49, 71, 72, 73, 74, 79, 91, 92, 93, 94, 97.

    Respuesta: 10 das.

    Respuesta: 20 maneras.

    Respuesta. 9 maneras.

    Respuesta. 8 maneras.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 284 6/2/07 11:32:13 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    285L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 10. POLGONOS DE FRECUENCIAS

    Reactivo 11. en la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de un grupo de

    telesecundaria.

    Pesos: 60, 48, 72, 50, 65, 52, 70, 70, 76, 58, 67, 45, 73, 71, 57, 69, 50, 78, 48, 46.

    a) Cules es el peso mnimo que se registr?

    Y cul es el mximo? Cul es la dife

    rencia entre el peso mximo y mnimo?

    b) organiza los datos en siete intervalos de tamao 5 y represntalos en una tabla de frecuencias

    c) Cul es el primer intervalo? Cuntos alum

    nos hay en ese intervalo?

    d) elabora el polgono de frecuencias que le corresponde.

    e) Cul es el ttulo del polgono de frecuencias?

    f) qu representan los valores del eje horizontal?

    g) Y los valores del eje vertical?

    h) Cul es el primer intervalo?

    1 en la siguiente lista aparecen las edades de un grupo de personas en una

    reunin.

    edades: 15, 21, 10, 8, 26, 11, 24, 18, 15, 23, 28, 12, 9, 6, 20, 17, 25, 16, 20, 23

    a) Cuntos aos tena la persona con mayor edad en el grupo?

    b) Y cuntos aos tena el menor del grupo?

    c) organiza los datos en cinco intervalos en una tabla de frecuencias.

    d) elabora el polgono de frecuencias que le corresponde.

    e) Cul es el ttulo del polgono de frecuencias?

    f) qu representan los valores del eje horizontal?

    g) Y los valores del eje vertical?

    h) Cul es el primer intervalo?

    Respuestas:la mayor tiene 28 aos y la menor 6 aos.los intervalos ms convenientes son: 59, 1014, 1519, 2024, 2529.

    edades nmero de personas

    5 a 9 3

    10 a 14 3

    15 a 19 5

    20 a 24 6

    25 a 29 3

    total 20

    Respuestas:Peso mnimo: 45 kg Peso mximo: 78 kg.Diferencia: 33 kgPara organizar los datos en siete intervalos de tamao 5, conviene iniciar con el intervalo 45 a 49, 50 a 54, 55 a 59, 60 a 64, 65 a 69, 70 a 74, 75 a 79.la frecuencia del primer intervalo es 4.

    Peso en kilogramos

    Nmero de personas

    45 a 49 4

    50 a 54 3

    55 a 59 2

    60 a 64 1

    65 a 69 3

    70 a 74 5

    75 a 79 2

    Total 20

    Peso de los alumnos de segundo grado

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos 5

    4

    3

    2

    1

    0 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

    Peso en kilogrmos

    Edades de los alumnos de segundo grado

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos 6

    5

    4

    3

    2

    1

    0 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29

    Edades en aos

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 285 6/2/07 11:32:14 PM

  • e x a m e n b l o q u e 1

    286 L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 22. los siguientes polgonos de frecuencias muestran las estaturas de los

    alumnos de segundo grado de una telesecundaria.

    Respuestas:

    Hay dos grupos, el a y el b.

    en cada grupo hay 20 alumnos.

    la estatura mnima es 1.35 y la mxima es 1.74 metros.

    en el intervalo 1.45 a 1.49 metros.

    Hay ms alumnos altos en el b. Hay 6 alumnos que miden ms de 1.60 metros en el b, mientras que en el a solamente hay 3.

    a) Cuntos grupos de segundo grado hay en esa telesecundaria?

    b) Cuntos alumnos hay en cada grupo?

    c) Cul es la estatura mnima que pudo tener un alumno de estos dos

    grupos? Y cul es la estatura mxima?

    d) Cul es el intervalo de estaturas en qu hay mas alumnos del grupo

    a? Y del grupo b?

    e) De acuerdo con la grfica, en cul de los dos grupos hay ms alum

    nos altos, en el grupo a o en el b?

    Por qu?

    Grupo AGrupo B

    Distribucin de la estatura de los alumnos de segundo grado

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 a a a a a a a a a 1.39 1.44 1.49 1.54 1.59 1.64 1.69 1.74 1.79

    Estatura en metros

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 286 6/2/07 11:32:15 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    287L ib ro para e l maest ro

    2. los siguientes polgonos de frecuencias muestran los resultados de las respuestas a dos preguntas de una encuesta que se realiz a los alumnos de una escuela.

    Respuestas:

    100 alumnos fueron encuestados.

    20 alumnos estudian entre 15 y 19 horas.

    20 alumnos ven televisin entre 15 y 19 horas a la semana.

    los alumnos dedican ms tiempo a ver televisin porque si sumamos los alumnos que ven de 15 a 34 horas hay 85, mientras que los alumnos que estudian ese mismo tiempo son 50.

    a) Cuntos alumnos contestaron las dos preguntas?

    b) Cuntos alumnos se dedican a estudiar entre 15 y 19 horas a la se

    mana? Y cuntos alumnos dedican entre

    15 y 19 horas a la semana para ver televisin?

    c) De acuerdo con la grfica, a qu dedican los alumnos ms tiempo

    durante la semana a estudiar o a ver televisin?

    Por qu?

    Ver televisinEstudiar

    Cunto tiempo dedican los alumnos a ver televisin?Y cunto tiempo dedican a estudiar?

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    35

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    0

    5 9 10 14 15 19 20 24 25 29 30 34

    Horas semanales

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 287 6/2/07 11:32:16 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    288 L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 11. LA JERARQUA DE LAS OPERACIONES

    Reactivo 11. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 3 + 6 2 + 9 =

    b) 3 + 6 (2 + 9) =

    c) (3 + 6) 2 + 9 =

    d) (3 + 6) (2 + 9) =

    1. las siguientes expresiones son errneas, coloca los parntesis faltantes para que sean correctas:

    a) 6 + 2 2 + 8 = 12

    b) 15 3 2 + 1 = 6

    Reactivo 22. une con una lnea cada frase del lado izquierdo con una expresin del

    lado derecho que represente los clculos descritos ella.

    a) a 12 le resto 4 y lo multiplico por 3.

    b) a 12 le resto el resultado de multiplicar 4 y 3.

    c) al resultado de dividir 12 entre 4 lo multiplico por 3.

    d) a 12 lo divido entre el resultado de multiplicar 4 y 3.

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 40 10 5 =

    b) 40 (10 5) =

    c) 40 10 5 =

    propuesta de examen bimestral bloque 2

    i) 1243

    ii) 2(43)

    iii) 1243

    iv) (124)3

    v) (124)3

    Respuestas:

    a) 25

    b) 35

    c) 1

    Respuestas:

    a iv

    b i

    c v

    d ii

    Respuestas:

    a) ( 6 + 2 ) 2 + 8 = 12

    b) 15 3 (2 + 1) = 6

    Respuestas:

    a) 24

    b) 69

    c) 27

    d) 99

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 288 6/2/07 11:32:18 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    289L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 12. MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE POLINOMIOS

    Reactivo 11. Cul la expresin algebraica que representa el rea del rectngulo?

    a) 4x

    b) 10x

    c) 5x 2

    d) 4x 2

    1. Cul la expresin algebraica que representa el largo del rectngulo?

    a) 4x 5

    b) 3x 3

    c) 3x + 2.5

    d) 3x 2.5

    Reactivo 22. qu expresin algebraica representa el permetro del rectngulo rojo?

    a) Permetro = 6y + 10

    b) Permetro = 4y + 6

    c) Permetro = 6y + 5

    d) Permetro = 6y + 6

    2. la superficie cuadrada cultivada de maz tiene 14 500 metros cuadrados menos que toda la parcela. Cul es el permetro de la superficie cultivada de maz?

    a) Permetro = 1 000 metros

    b) Permetro = 630 metros

    c) Permetro = 200 metros

    d) Permetro = 400 metros

    Respuesta: d)

    Respuesta: d)

    Respuesta: d)

    Respuesta: d)

    4x

    x

    A=6x 25 2x

    2y + 3

    y + 2 rea = 2y + 4

    x + 75

    x + 40Cultivo de maz x

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 289 6/2/07 11:32:19 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    290 L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 33. qu expresin algebraica representa el rea del rectngulo rojo?

    a) rea = 2y 2 + 5y + 2

    b) rea = 2y 2 + 9y + 10

    c) rea = 2y 2 + 7y + 6

    d) rea = 2y 2 + 3y + 2

    3'. la superficie cuadrada cultivada de maz tiene 14 500 metros cuadrados menos que toda la parcela. Cul es el rea de la superficie cultivada de maz?

    a) rea = 1 000 metros cuadrados

    b) rea = 24 500 metros cuadrados

    c) rea = 10 000 metros cuadrados

    d) rea = 400 metros cuadrados

    Respuesta: a)

    Respuesta: c)

    2y + 3

    y + 2 rea = 2y + 4

    x + 75

    x + 40Cultivo de maz x

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 290 6/2/07 11:32:20 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    291L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 13. CUBOS, PRISMAS Y PIRMIDES

    Reactivo 11. Paco va a usar palillos del mismo tamao para hacer las aristas de un

    cubo. Cuntos palillos necesita?

    a) 6

    b) 8

    c) 10

    d) 12

    1. Juan va a clavar un alfiler en cada vrtice de un prisma rectangular. Cuntos alfileres necesita?

    a) 4

    b) 6

    c) 8

    d) 10

    Reactivo 22. Con cul de los siguientes desarrollos es posible armar un cubo?

    a) b)

    c) d)

    Respuesta: c)

    Respuesta: c)

    Respuesta: d)

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 291 6/2/07 11:32:21 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    292 L ib ro para e l maest ro

    2. Con cul de los siguientes desarrollos es posible armar un prisma?

    a) b)

    c) d)

    Reactivo 33. Describe las principales caractersticas de una pirmide hexagonal

    3. Describe las principales caractersticas de una pirmide octagonal

    Respuesta: b)

    Respuesta: tiene una base en forma de octgono y 8 caras laterales en forma de tringulos. tiene 16 aristas y 9 vrtices.

    Respuesta: tiene una base en forma de hexgono y 6 caras laterales en forma de tringulos. tiene 12 aristas y 7 vrtices.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 292 6/2/07 11:32:22 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    293L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 44. Considera el siguiente cuerpo formado por cubos.

    Cul de las siguientes es la vista desde arriba de este cuerpo?

    a) b)

    c) d)

    4. Considera el siguiente cuerpo formado por cubos.

    Cul de las siguientes es la vista desde arriba de este cuerpo?

    a) b)

    c) d)

    Respuesta: a)

    Respuesta: c)

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 293 6/2/07 11:32:23 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    294 L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 14. VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRMIDES

    Reactivo 11. Se tienen un prisma y una pirmide con la misma altura y cuyas bases

    son polgonos iguales en forma y medida. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

    a) el volumen del prisma es la tercera parte del volumen de la pirmide.

    b) el volumen del prisma es el triple del volumen de la pirmide.

    c) el volumen del prisma es la mitad del volumen de la pirmide.

    d) el volumen del prisma es el doble del volumen de la pirmide.

    1. Se tienen un prisma y una pirmide con la misma altura y cuyas bases son polgonos iguales en forma y medida. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

    a) el volumen de la pirmide es la tercera parte del volumen del prisma.

    b) el volumen de la pirmide es el triple del volumen del prisma.

    c) el volumen de la pirmide es la mitad del volumen del prisma.

    d) el volumen de la pirmide es el doble del volumen del prisma.

    Reactivo 23. Cul es la frmula para calcular el volumen de un prisma?

    a) Volumen = rea de la base altura2

    b) Volumen = rea de la base altura3

    c) Volumen = rea de la base altura

    d) Volumen = Permetro de la base altura

    3. Cul es la frmula para calcular el volumen de una pirmide?

    a) Volumen = rea de la base altura2

    b) Volumen = rea de la base altura3

    c) Volumen = rea de la base altura

    d) Volumen = Permetro de la base altura

    Respuesta: b)

    Respuesta: b)

    Respuesta: c)

    Respuesta: a)

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 294 6/2/07 11:32:24 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    295L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 15. VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRMIDES

    Reactivo 11. Cierto tipo de vidrio pesa 2 gramos por cada centmetro cbico. Cunto

    pesa una pieza cuadrada de ese vidrio si mide 1 m por lado y tiene un grosor de 1 cm?

    a) 2 kg

    b) 20 kg

    c) 200 g

    d) 2000 g

    1. Cierto tipo de vidrio pesa 10 gramos por cada centmetro cbico. Si una pieza en forma cuadrada de ese vidrio y de un 1 cm de grosor, pesa 5 kg, cul es la medida del rea de la pieza de vidrio?

    a) 500 cm2

    b) 50 cm2

    c) 50 m2

    d) 500 m2

    Reactivo 22. la suma de las medidas de todas las aristas de un cubo es 120 cm, cul

    es el volumen del cubo?

    a) 10 cm3

    b) 100 cm3

    c) 1000 cm3

    d) 10 000 cm3

    2. la suma del rea de todas las caras del cubo es 150 cm2, cul es el volumen del cubo?

    a) 5 cm3

    b) 25 cm3

    c) 50 cm3

    d) 125 cm3

    Respuesta: d)

    Respuesta: c)

    Respuesta: a)

    Respuesta: b)

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 295 6/2/07 11:32:25 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    296 L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 33. Cul es la capacidad de una pecera en forma de prisma rectangular que

    mide 1 metro de largo por 50 cm de ancho y 70 cm de altura?

    a) 3.5 litros

    b) 35 litros

    c) 350 litros

    d) 3500 litros

    3. Se desea construir una pecera con una capacidad de 500 litros, cul opcin seala las posibles medidas de esta pecera?

    a) 1 m 5 m 1 m

    b) 1 m 0.5m 1 m

    c) 1 m 0.5 m 0.1 m

    d) 10 m 0.5 m 1 m

    Reactivo 44. Cul es la capacidad de una jeringa de 10 cm3?

    a) 10 decilitros

    b) 10 centilitros

    c) 10 mililitros

    d) 100 mililitros

    4. Cul es la capacidad de una jeringa de 5 cm3?

    a) 5 decilitros

    b) 5 centilitros

    c) 5 mililitros

    d) 50 mililitros

    SECUENCIA 16. COCIENTES IGUALES

    Reactivo 11. Juan cambi 130 dlares el da lunes y le dieron $1 430 y el da viernes

    cambi 300 dlares y le dieron $31 50.

    en que da le convena cambiar todo su dinero?

    1. Juan cambi 130 dlares el da lunes y le dieron $1 365 y el da viernes cambi 300 dlares y le dieron $3 300.

    en que da le convena cambiar todo su dinero?

    Respuesta: c)

    Respuesta: el da lunes.

    Respuesta: c)

    Respuesta: c)

    Respuesta: b)

    Respuesta: el da viernes.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 296 6/2/07 11:32:26 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    297L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 22. al mezclar determinadas cantidades de pintura roja y azul se forman

    distintos tonos de pintura de color morado. las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de morado.

    Pintura roja

    (en litros)

    Pintura azul

    (en litros)

    Pintura prpura

    (en litros)

    Pintura roja

    (en litros)

    Pintura azul

    (en litros)

    Pintura violeta

    (en litros)

    7 3 10 18 12 30

    a) Cul de los dos tonos de morado tiene mayor concentracin de color

    azul?

    b) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura prpura?

    c) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura violeta?

    2. al mezclar determinadas cantidades de pintura amarilla y azul se forman distintos tonos de pintura de color verde. las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de verde.

    Pintura amarilla

    (en litros)

    Pintura azul

    (en litros)

    Pintura verde olivo

    (en litros)

    Pintura rojaama-

    rilla litros)

    Pintura azul

    (en litros)

    Pintura verde militar

    (en litros)

    3 7 10 12 18 30

    a) Cul de los dos tonos de verde tiene mayor concentracin de color

    azul?

    b) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura verde olivo?

    c) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura verde militar?

    Respuesta:

    a) la pintura verde olivo.

    b) la concentracin es 710 o 0.7.

    c) la concentracin es 1830 o 0.6.

    Respuesta:

    a) la pintura violeta.

    b) la concentracin es 310 o 0.3.

    c) la concentracin es 1230 o 0.4.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 297 6/2/07 11:32:27 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    298 L ib ro para e l maest ro

    SECUENCIA 17. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

    Reactivo 11. en la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de un grupo de

    segundo grado de telesecundaria.

    Pesos: 60, 48, 72, 50, 65, 52, 70, 70, 76, 58, 67, 45, 73, 71, 57, 69, 53, 78, 47, 46.

    a) Sin agrupar estos datos, cul es el valor de la moda?

    Y cul es el valor de la media aritmtica?

    b) elabora una tabla con los datos agrupados en siete intervalos.

    c) identifica el intervalo modal y su punto medio y calcula la media aritmtica de datos agrupados para completar la siguiente conclusin que se puede obtener sobre esta situacin.

    El peso promedio de los alumnos de segundo grado de esta telesecun-

    daria es de kg. Los pesos que son ms frecuentes (media aritmtica)

    entre los alumnos estn entre . (intervalo modal)

    Respuestas:

    la moda sin agrupar los datos es 70 kg y la media aritmtica es 61.35 kg.

    el intervalo modal es 70 a 74 y su punto medio es 72, y la media aritmtica de datos agrupados es 61.75 kg.

    Pesos en kilogramos

    Punto medio del intervalo

    Nmero de alumnos (frecuencia)

    Punto medio frecuencia

    45 a 49 47 4 188

    50 a 54 52 3 156

    55 a 59 57 2 114

    60 a 64 62 1 62

    65 a 69 67 3 201

    70 a 74 72 5 360

    75 a 79 77 2 154

    total 20 Media: 61.75

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 298 6/2/07 11:32:28 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    299L ib ro para e l maest ro

    1. en la siguiente lista aparecen las edades de un grupo de 25 personas que se encuentran en una reunin.

    edades: 15, 21, 10, 24, 8, 26, 11, 24, 18, 15, 23, 28, 12, 11, 27, 6, 11, 20, 17, 25, 16, 19, 20, 23, 20.

    a) Sin agrupar estos datos, cul es el valor de la moda?

    Y cul es el valor de la media aritmtica?

    b) elabora una tabla con los datos agrupados en cinco intervalos.

    c) identifica el intervalo modal y su punto medio y calcula la media aritmtica de datos agrupados para completar la siguiente conclusin que se puede obtener sobre esta situacin.

    La edad promedio de las personas que asistieron a la reunin fue de

    aos. Las edades de a aos son las (media aritmtica) (intervalo modal)

    de mayor frecuencia entre en estas personas.

    Respuestas:

    la moda sin agrupar los datos es 11 y 20 aos y la media aritmtica es 18 aos.

    el intervalo modal es 20 a 24 aos, su punto medio es 22, y la media aritmtica de datos agrupados es 23 aos.

    Edades Punto medio del intervaloNmero de personas

    (frecuencia)Punto medio frecuencia

    5 a 9 7 2 14

    10 a 14 12 5 60

    15 a 19 17 6 102

    20 a 24 22 8 176

    25 a 29 27 4 108

    total 25 Media: 23

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 299 6/2/07 11:32:30 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    300 L ib ro para e l maest ro

    Reactivo 22. los siguientes polgonos de frecuencias muestran las estaturas de los

    alumnos de segundo grado de una telesecundaria.

    a) Considera los polgonos de frecuencias de ambos grupos, para completar el siguiente prrafo.

    Las estaturas con mayor frecuencia entre los alumnos de ambos grupos

    fueron de a metros, ya que hubo alumnos del

    grupo A y alumnos del grupo B con esas estaturas.

    La estatura promedio del grupo A es de metros y en el grupo B,

    la estatura promedio es de metros.

    b) ingresaron 5 alumnos ms en cada grupo, los que se quedaron en el grupo a miden 1.67 metros y los del grupo b miden 1.42.

    Cules son los nuevos valores de las medias aritmticas de las estatura de cada grupo?

    Grupo AGrupo B

    Distribucin de la estatura de los alumnos de segundo grado

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 a a a a a a a a a 1.39 1.44 1.49 1.54 1.59 1.64 1.69 1.74 1.79

    Estatura en metros

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 300 6/2/07 11:32:31 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    301L ib ro para e l maest ro

    2. Respuestas:

    1.45 y 1.49.

    5 alumnos del a y 5 alumnos del b.

    media del grupo a: 1.49 metros y hay 7 alumnos por debajo de la media.

    media del grupo b: 1.52 metros.

    Respuestas:

    nueva media del grupo a: 1.52 metros (en la frecuencia del intervalo 1.65 a 1.69 se agregan 5, ahora es 6 y la frecuencia total es 25).

    nueva media del grupo b: 1.50 metros. (en la frecuencia del intervalo 1.40 a 1.44 se agregan 5, ahora es 7 y la frecuencia total es 25).

    estaturas en metros nmero de alumnos punto medio frecuencia

    intervalo punto medio frecuencia

    1.351.39 1.37 4 5.48

    1.401.44 1.42 3 4.26

    1.451.49 1.47 5 7.35

    1.501.54 1.52 3 4.56

    1.551.59 1.57 2 3.14

    1.601.64 1.62 1 1.62

    1.651.69 1.67 1 1.67

    1.701.74 1.72 1 1.72

    20 media 1.49

    estaturas en metros nmero de alumnos punto medio frecuencia

    intervalo punto medio frecuencia

    1.351.39 1.37 3 4.11

    1.401.44 1.42 2 2.84

    1.451.49 1.47 5 7.35

    1.501.54 1.52 2 3.04

    1.551.59 1.57 2 3.14

    1.601.64 1.62 2 3.24

    1.651.69 1.67 2 3.34

    1.701.74 1.72 2 3.44

    20 media 1.525

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 301 6/2/07 11:32:32 PM

  • e x a m e n b l o q u e 2

    302 L ib ro para e l maest ro

    2 los siguientes polgonos de frecuencias muestran los resultados de las respuestas a dos preguntas de una encuesta que se realiz a los alumnos de una escuela.

    a) De acuerdo con la informacin que muestran los polgonos de frecuencias, completa el siguiente prrafo

    Los alumnos de esta escuela dedican horas a la semana en pro-

    medio a ver televisin y horas a la semana a estudiar.

    El nmero de horas a la semana que es ms frecuente que los alumnos

    vean televisin es de y el que se dediquen a estudiar es de .

    El % de los alumnos dicen que dedican entre 5 y 14 horas sema-

    nales a estudiar.

    b) Se aplic la encuesta a 10 alumnos ms y contestaron que no vean televisin y que se dedicaban a estudiar 27 horas a la semana, cul es el nuevo valor de la media aritmtica en el caso de las horas a la semana que dedican a ver televisin ?

    Y cul es el nuevo valor de la media aritmtica de las horas a la semana que se dedican a estudiar?

    Ver televisinEstudiar

    Cunto tiempo dedican los alumnos a ver televisin?Y cunto tiempo dedican a estudiar?

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    35

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    0

    5 9 10 14 15 19 20 24 25 29 30 34

    Horas semanales

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 302 6/2/07 11:32:33 PM

  • m a t e m t i C a S i i

    303L ib ro para e l maest ro

    2'. Respuestas:

    21.5.

    16.

    22 (punto medio del intervalo modal).

    12 (punto medio del intervalo modal).

    50%, porque al sumar la frecuencia de esos dos intervalos son 50 alumnos que representan el 50% de los encuestados.

    Respuestas:

    19.5.

    17.

    (la frecuencia total es 110 en lugar de 100, la suma de las horas que ven televisin por la frecuencia no cambia, pero se afecta por el nuevo divisor; en cambio, la suma de las horas que dedican a estudiar por la frecuencia hace que se agregan 270 entre 110).

    horas por semana punto medio

    nmero de alumnos que ven televisin (frecuencia)

    punto medio frecuencia

    59 7 5 35

    1014 12 10 120

    15 19 17 20 340

    2024 22 30 660

    2529 27 25 675

    3034 32 10 320

    media 21.5

    horas por semana punto medio

    nmero de alumnos que

    estudian (frecuencia)

    punto medio frecuencia

    59 7 20 140

    1014 12 30 360

    15 19 17 20 340

    2024 22 15 330

    2529 27 10 270

    3034 32 5 160

    media 16

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 303 6/2/07 11:32:34 PM

  • bibliografa

    matemticas I ILibro para el maestro

    en los talleres de ,

    El tiraje fue de ejemplares, ms sobrantes de reposicin.

    Revisor acadmico externoDavid Block Sevilla

    Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano PinedaEmilio Domnguez BravoDeyanira Monroy Zarin

    Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica. 23 agosto 2003.

    SeP (2000), Fichero. Actividades didcticas. Matemticas. Educa-cin Secundaria, mxico.

    (2000), Libro para el maestro. Matemticas. Educacin Secun-daria, mxico.

    SePilCe (2000), Matemticas con la hoja electrnica de clculo, Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educa-cin Secundaria, mxico.

    (2000), Geometra dinmica, Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educacin Secundaria, mxico.

    (2002), Biologa, Enseanza de las Ciencias a travs de Modelos Matemticos (Ecamm). Educacin Secundaria, mxico.

    MAT2 B2 SEVAL maesto.indd 304 6/2/07 11:32:35 PM

    Se imprimi por encargo de la Comisin Nacional de Libros de Texto Gratuitos,

    el mes de de 200 .

    MAT2 B1 PREL maestro sepMAT2 B1 S01 maestro sepMAT2 B1 S02 maestro sepMAT2 B1 S03 maestro sepMAT2 B1 S04 maestro sepMAT2 B1 S05 maestro sepMAT2 B1 S06 maestro sepMAT2 B1 S07 maestro sepMAT2 B1 S08 maestro sepMAT2 B1 S09 maestro sepMAT2 B1 S10 maestro sepMAT2 B2 S11 maestro sepMAT2 B2 S12 maestro sepMAT2 B2 S13 maestro sepMAT2 B2 S14 maestro sepMAT2 B2 S15 maestro sepMAT2 B2 S16 maestro sepMAT2 B2 S17 maestro sepMAT2 B2 SEVAL maesto sep