Guía de Matemáticas para 2o. grado 2o. bloque

1.1Resolver problemas que

impliquen multiplicaciones y divisiones de números con

signo.

NÚMEROS CON SIGNO

En algunos problemas existe la necesidad de utilizar los números enteros positivos ( + ) y los enteros negativos ( – ), para solucionar dichos problemas y en algunas situaciones, se necesita de ambos números para representarlas. Ejemplos:

EL ÚNICO NÚMERO QUE NO ES POSITIVO NI NEGATIVO ES EL "CERO"

Utilicen la tecla (+/-) de la calculadora para que resuelvan las siguientes tablas, háganlo en equipo. En la división de números con signo, los números de la columna vertical son el dividendo.

Representa numéricamente cada uno de los siguientes casos:

1.- Manuel obtuvo una ganancia de $ 360.00 ............ _______

2.- La temperatura será de tres grados bajo cero ...... _______

3.- Cuatrocientos años antes de Cristo (a. C.) ........... _______

4.- Juan haciendo ejercicio bajó cinco kilos de peso .. _______

5.- Antonio perdió $ 50.00 en la escuela .................... _______

6.- Un río tiene 20 metros de profundidad ................. _______

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

1

TEMPERATURA

0

sobre cero

bajo cero

+

–

NIVEL DEL MAR

SOBRE

BA JO

+

–

BLO

QU

E 1Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números

(x) + 2 0 - 3.1 1.9

+ 3

+ 2

- 4

- 1/4

- 2.5

32

− ( ) + 3 - 4 - 6 3.4

+ 3

+ 2

0

- 1/2

- 3.2

÷ 32

−

NEGOCIOS

+

-

Ganancias

Pérdidas

BLO

QU

E 1

Hay cuatro diferentes casos de multiplicar o dividir los números con signo.

Al multiplicar dos números con signos diferentes el resultado tiene signo ............. ____________

Si multiplicas o divides dos números con signos iguales el resultado tiene signo .. ____________

Al dividir dos números con signos diferentes el resultado tiene signo .................... ____________

Resuelve las siguientes operaciones con signos:

(+ 5) (- 5) = (- 7) (- 4) = (- 5.3) (+ 6) = (+ 6) (- 5.3) =

Si al multiplicar dos números simbolizamos el primer número como n1 y al segundo como n2, ¿qué signo tendrán los resultados? Escribe el signo que corresponda.

(+ n1) (+ n2) = (+ n1) (- n2) = (- n1) (+ n2) = (- n1) (- n2) =

La Multiplicación es una suma abreviada, de sumandos iguales.

4 veces el 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12o también: 4 x 3 = 12

La multiplicación puede expresarse en diferentes formas:

( + 5 ) ( + 4 ) = + 20 ( + 5 ) . ( + 4 ) = 20

Al multiplicar no se utiliza el signo "x" (por) para evitar que se confunda con la "equis" y si cambias de lugar el multiplicador y el multiplicando el producto no se altera.

Usando coordenadas cartesianas.

Usando la recta numérica para multiplicar números

con signo.

"3 veces 5"

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

+ 5 + 5 + 5

+ 15

2

(+ 5) (+ 3) = 15

+15 +5

+3

4

1

3

5

0 1 2 3

+5

+15 +3

3

2

1

0 1 2 3 4 5

2

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números

Escribe el signo que falta en las siguientes operaciones:

(+ 8) + (- 4) = + 8 4 = + 4 (- 9) + (+ 7) = 9 7 = - 2

(+ 6) - (- 5) = + 6 5 = + 11 (- 2) - (+ 8) = - 2 - 8 = 10

:

Resuelve las siguientes multiplicaciones:

( – 4 )( + 10 ) = ( + 9 )( – 7.8 ) =

( – 5 )( – 3 ) = ( – 8 )( + 3 ) (– 5 ) =

( + 7 )( + 8 ) = ( – 0.7 )( + 2.3 ) =

( + 12 )( ) = – 48 ( )( – 9 ) = – 54

( – 6 )( ) = + 54 ( )( – 3.7 ) =

( – 7.8 )( – 1.1 ) = ( + 6 )( – 2 ) (– 4)(+ 1) =

( – 5.5 )( ) = 0 ( + 7 )( – 3 ) (– 0.3)(+ ) =

Hay cuatro diferentes casos de multiplicar los números con signo.

1.- LOS FACTORES CON SIGNO POSITIVO ( + ) ( + )

( + 7 ) ( + 3 ) = 21; ( + 7 ) ( + 3 ) = 21; ( + 7 ) ( + 3 ) = + 21

2.- LOS FACTORES CON SIGNOS NEGATIVOS ( – ) ( – )

( - 7 ) ( – 3 ) = 21; ( – 7 ) ( – 3 ) = 21; ( – 7 ) ( – 3 ) = + 21

3.- LOS FACTORES CON SIGNOS DIFERENTES ( + ) ( – )

( + 7 ) ( – 3 ) = – 21; ( + 7 ) ( – 3 ) = – 21; ( +7 ) ( – 3 ) = – 21

4.- LOS FACTORES CON SIGNOS DIFERENTES ( – ) ( + )

( – 7 )( + 3 ) = – 21; ( – 7 ) ( + 3 ) = 21; ( – 7 ) ( + 3 ) = – 21

( + )( + ) = + Si haces el bien y te va bien, ¡qué bien!

( – )( – ) = + Si haces el mal y te va mal, ¡qué bien!

( + )( – ) = – Si haces el bien y te va mal, ¡qué mal!

( – )( + ) = – Si haces el mal y te va bien, ¡qué mal!LEYES DE LOS SIGNOS

BLO

QU

E 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

65

53

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

31

87

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

52

31

21

+ 21+ 3

+ 7

– 7

– 3+ 21

– 3

+ 7

- 21

– 7

+ 3

- 21


3


Si al dividir dos números simbolizamos al divisor con n1 y al dividendo como n2, ¿qué signo tendrán los cocientes? Escribe el signo que corresponda.

Escribe los signos que faltan en el siguiente ejercicio.

Escribe el número que hace falta en cada operación.

( -35 ) ÷ ( ) = - 7 ( + 48 ) ÷ ( ) = 8

( ) ÷ ( + 4.5 ) = 4 ( – 6.6 ) ÷ ( ) = – 6.6

( ) ÷ ( – 1 ) = – 9 ( ) ÷ ( + 12 ) = – 5

( – 5.1 ) ÷ ( ) = ( ) ÷ ( – 25 ) =

( ) ÷ ( – 12 ) = – 5 ( – 4.1 ) ÷ ( ) = – 4.1

( – 3.9 ) ÷ ( ) = + 1

BLO

QU

E 1

( 4) + ( 3) + ( 4) - ( 8) = 3

4

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) =−−

=−+

=+−

=++

1

2

1

2

1

2

1

2nn

nn

nn

nn

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅+−−+−−

+− 244394

¿Cuál es el resultado de ?( )( )2

47 +−

43

21

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

54

54

Resuelve las siguientes operaciones

( – 14 ) ÷ ( – 2 ) = ________________ ( + 90 ) ÷ ( + 3 ) = _________________

( + 49 ) ÷ ( – 7 ) = ________________ ( – 81 ) ÷ ( – 9 ) = _________________

( – 54 ) ÷ ( + 9 ) = ________________ ( – 56 ) ÷ ( + 8 ) = _________________

( 8.4 ) ÷ ( – 2.1 ) = ________________ _________________

¡Observa lo que sucede con los signos!

La DIVISIÓN es la operación inversa a la MULTIPLICACIÓN.

( + 5 )( + 4 ) = 20 porque ( + 20 ) ÷ ( + 5 ) = + 4 ó ( + 20 ) ÷ ( + 4 ) = + 5

División de números con signo positivo

( + 72 ) ÷ ( + 8 ) = + 9 ¿Por qué? Porque ( + 9 )( + 8 ) = + 72

( + 60 ) ÷ ( + 0.5 ) = ¿Por qué? Porque +

+

+ 8

1 2 3 4 5 6 7 8

1020

30

40

50

6070 + 72

+ 9

9872

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

INTRODUCCIÓN AL USODE LOS PARÉNTESIS

BLO

QU

E 1

De las observaciones anteriores, concluyes que:

1) ______________________________________________

2) ______________________________________________

3) ______________________________________________

4) ______________________________________________

LEYES DE LOS SIGNOS

poner números

Los signos de agrupación más usuales son:

Paréntesis común.............. ( )

Paréntesis rectangular ...... [ ]

Paréntesis de llaves ........ { }

Paréntesis triangular ........

Cuando se va a "quitar" un signo de agrupación (paréntesis), se deben tomar en cuenta dos casos: 1° Signo más (+) antes del signo de agrupación, las cantidades que están dentro de él seguirán

con su mismo signo. EJEMPLO: x + ( a – b ) = x + a – b 2a + [ – b + ( c ) ] = 2a + [ – b + c ]

= 2a – b + c

SE CONVIENE usar el paréntesis ( ) en primera instancia, una vez usado el ( ) y necesitas asociar nuevamente cantidades, se usará el paréntesis [ ], si aún es necesario agrupar otras cantidades, entonces usaremos el paréntesis { }Para eliminar paréntesis, en primer lugar lo hacemos con los ( ), luego con [ ] y posteriormente { }

5

85

40−=

−+

División de números con diferentes signos.

( + 40 ) ÷ ( – 5 ) = - 8 ¿Por qué? Porque ( – 5 )( – 8 ) = + 40

¿Por qué?

Porque =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

52

61

División de números con signos negativos.

( – 63 ) ÷ ( - 9 ) = + 7 ¿Por qué? Porque ( – 9 )( + 7 ) = – 63

¿Por qué?

Porque

¡Sigue observando los signos!

79

63+=

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

31

41

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 310

- 10- 20

- 30

- 40

- 50

- 60- 70– 63

– 9

+ 7

–

–

–

+

- 10- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2

1020

3040

50+ 40

– 5

– 8


Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los númerosB

LOQ

UE

12° Signo menos ( – ) antes del signo de agrupación, a las cantidades que están dentro del

paréntesis, se les cambia su signo aplicando las leyes de los signos.

EJEMPLO: 3y – ( y – 4 ) = 3y – y + 4 – x – [ – 2a + ( b ) ] = – x – [ – 2a + b ]

= – x + 2a – b

Resuelve primero la operación entre paréntesis.

4 – (– 11 – 5) = 7 + (– 9 – 5) ( 2 ) =

(12 + 6 ) – 4 = ( 20 – 8 ) x 2 =

( 4 + 3 ) x 6 = ( 28 – 7 ) ÷ 3 =

( 3.6 + 6.4 ) ( – 10 ) =

6

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

43

65

32

Subraya la operación que resuelve cada problema.

a) - 7 se multiplica por - 4 y se divide entre 2.

(- 7) (- 4) (2)

b) El resultado es - 7:

- 21 : - 3 (- 19) + (- 12) (- 25) - (- 18)

c) La temperatura en la mañana era de - 16 °C, al medio día subió 7 °C y en la noche bajó 4 °C.

- 16 - 7 + 4 - 16 + 8 - 4 - 16 + 7 - 4

d) La operación que tiene como resultado el número - 1 es:

- 11 : - 11 (0) + (- 1) (- 1) (- 1)

( )( )( )2

247 −− ( )( )2

47 −−

Resuelve las siguientes operaciones.

( ) ( )=

−−−+−4

2442 ( )( )( )=

−++−+5

5731342

Si al divisor y al dividendo los cambias de lugar, el resultado de la división se modifica. Las leyes de los signos permanece.

( )( )( )( ) 2

12

5.021

+=−−

+=−− ( )

( )( )( ) 2

12

5.021

+=++

+=++ ( )

( )( )( ) 2

12

5.021

−=+−

−=−+ ( )

( )( )( ) 2

12

5.021

−=−+

−=+−



impliquen adición y sustracción de expresiones

algebraicas.

Un terreno tiene de largo 4 veces lo que mide de ancho.¿Cuál es el perímetro del terreno?

P = ___________

b

b

b

b

P = ___________ P = ____________ P = ____________

¿Cuál es el perímetro de las siguientes figuras?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

NOTA: En el Álgebra, las literales nos servirán para sustituir a los números por letras y formar las EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

x

x

x + y

y

BLO

QU

E 1

En un rectángulo se quieren hacer cuatro agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un círculo de 2 cm de diámetro, ¿cuánto deben medir las separaciones entre los agujeros señaladas en la figura con la letra "y"?

Expresiones algebraicas con las que se puede representar el problema anterior:

y + 2 + y + 2 + y + 2 + y + 2 + y = 13 cm 2 + 2 + 2 + 2 + y + y + y + y + y = 13 cm

8 + y + y + y + y + y = 13 cm 8 + 5y = 13 cm 8 + 3y + 2y = 13 cm 8 + 4y + y = 13 cm

¿Cuál es la expresión algebraica que está más simplificada? .................... _______________

y = _________

7

ancho = n

largo = 4n

PROBLEMAS ADITIVOS

En forma algebraica expresa el perímetro de las figuras siguientes:

P =__________________

a

b + a

P =__________________

3x + y3x + y

x + y

13 cm

2 cm yy


Expresen en lenguaje común, cada una de las expresiones algebraicas siguientes:

n + (n + 1) + (n + 2) = .......................... ____________________________________________

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = ............. ____________________________________________

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = ____________________________________________

Reduce al mínimo las expresiones algebraicas siguientes.

- 6n + 13n = x + 4x =

- 17a + 11a = 4a + 3a - b =

6.3x - 7.3x = 13x - 8x + 5x - 13x + 7x =

10n - n + 8n = 2m + 3n - 10n + 4n + 2n =

21/2x + 1/2x = - 4.7b + 4.7a + 4.7b =

cObserva la ecuación 2x - 3xy = 10y - 2xy + 3 ¿Qué términos son semejantes? ______________

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas. (Primero elimina los paréntesis)

5x - (3y + 7x) = 4n + (- 5n + 2m) =

8n + (- 8m - 9n) = 3b - (- 2b - a) =

BLO

QU

E 1

Recuerda que son términos semejantes los que tienen las mismas literales y los mismos exponentes.Ejemplo: 3ab y 6ab

La reducción de términos semejantes es sumar o restar números con términos semejantes. 4x + 5x = (4 + 5)x = 9x 4ab + 2a - 3ab + a = ab +3a

Escribe los términos correctos en los espacios en blanco.

4n - ______ = - n 6n + ______ - 8n = - 2n + 3m

______ + 2n = 5n 12n - ______ - 4n = 0 ______ + 2n = - 6n ______ + n + n = - n ______ - 2n = 6n ______ + 6n - 8n = - 2n - 3m

5n - 6n ______ = - 8n 5n + 4n + ______ = 9n + m

Resuelve las siguientes operaciones.

x + y 3b - 4a + 5c 2n + 4n - 7+ 2x - y - 4b - 3a - 6c - 5n - 6n + 6

8

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los númerosB

LOQ

UE 1

La suma de tres números enteros consecutivos es 168. ¿Cuáles son esos números?

En el siguiente cuadrado mágico, la suma de las líneas horizontales, verticales y diagonales, es igual a 15m - 21n. Encuentra los binomios faltantes y verifica que cada línea sume lo indicado.

9

Resuelva las siguientes sumas de términos semejantes.

( 9x - 12y + 4z ) + ( 7x + 6y - 3z ) =

(2a + 3ab) + (5c - 12a) =

(3a - 2b) + (a + 7b) =

(2a - 2b + 5b) + (- a - 2a - b + 4) =

(5.7x + 2.4y + z) + (4.3x + 0.6y - 3z) =

Resuelva las siguientes restas de términos semejantes.

(8y + 6x) - (24y - 10x) =

(6.2x + 3.1y) - (2.3x - 1.9) =

(5a + 9b - 2) - (5a + 8b - 3) =

(2a - 4b) - ( 4a - b) =

(3x - 1) + (x + 1) - (2x - 3) + 4 =

3m - 4n 2m - 2n

5m - 7n

7m - 10n


1.3Reconocer y obtener

expresiones algebraicas equivalentes a partir del

empleo de modelos geométricos.

Recuerda cómo encuentras el Área del cuadrado.

A = (_____) (_____) =_______

a

a

Determina algebraicamente el área de cada figura.

Figura A; Área = _____________________

Figura B; Área = _____________________

Figura C; Área = _____________________

Figura D; Área = _____________________

Obtener la expresión algebraica que representen las áreas de las siguientes figuras.

(x) (y)

OPERACIONES COMBINADAS

BLO

QU

E 1

4u

4u

A = 4u x 4u = 16 u²

(u) (u) = u²

10

x

x y y y

y

yx

x

y

y

a

a

b

b

a

bb

a

a

x

x

x

y

y

x

A = ____________________A = ____________________ A = ____________________

A = ___________________A = ___________________

x y

A Dx xA

CBy y


5u

Figura A Figura B

5u

Calcula el valor numérico de las áreas de las figuras anteriores. Si x = 8; y = 5

Figura C

3u

2u

Figura D

3u

2u

Figura FFigura E

y y

x + 2u x + 2u

Representen con una expresión algebraica las áreas de las siguientes figuras.B

LOQ

UE 1

x + 1u + 1u x 1u 1u

x + 1u + 1u x 1u 1u

11

Expresión Algebraica Valor Numérico

Figura A A =

Figura B A =

Figura C A =

Figura D A =

Figura E A =

Figura F A =

A = _____________________ A = ______________________

A = _____________________ A = ______________________

A = _____________________ A = ______________________


Encuentra el valor numérico de las áreas de las siguientes figuras.

Figura a; A = ________________ = ___________________

Figura b; A = ________________ = ___________________

Figura c; A = ________________ = ___________________

Figura d; A = ________________ = ___________________

Observa las siguientes figuras.

En base a las siguientes figuras, representa con modelos geométricos cada una de las expres iones geomét r icas y expresa algebraicamente sus áreas.

1) 2y² + 2xy 2) 2xy + 2x² 3) 2x² + xy + y²

4) 3y² + x² + 3xy 5) y² + xy + x² 6) 3xy + x²

BLO

QU

E 1

¿Son equivalentes? __________________

¿Por qué? _________________________

__________________________________

12

2

5

5 5

a b

c d

y

yx

x

x

y


impliquen reconocer, estimar y medir ángulos utilizando el grado como

unidad de medida.

Ángulo obtuso ( )

Ángulo recto ( )

Ángulo llano ( )

Ángulo agudo ( )

Ángulo perígono o devuelta entera ( )

Recordando los conocimientos que ya has adquirido, observa las líneas de la figura que se muestra, escribe el nombre de cada ángulo que se forma con las líneas del techo y las paredes; enseguida compara tu trabajo con tus compañeros.

13

BLO

QU

E 1Forma, espacio y medida Medida

ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR

CAB = _______________

EBD = _______________

FGH = _______________

HJD = _______________

CKF = _______________

ILJ = _______________

CKE = _______________A

B

C

D

EF

G

H

J

KI

L

Relaciona la columna de la izquierda con el ángulo de la derecha y escribe la letra que corresponda dentro del paréntesis.

BE

A

C D

ÁNGULOS

En el curso anterior se trabajó con abertura, giros y ángulos, y con lo que aprendiste te diste cuenta que para medir su tamaño se usa una unidad de medida.¿Cómo se llama la unidad de medida?

__________________________________________

¿Cómo se representa al grado? _________________ ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar un ángulo? ____________________________________

¿Cómo se llama al punto donde se juntan dos líneas rectas? ____________________________________

La unidad de medida para los ángulos, es el GRADO, que equivale a 1/360 de una vuelta (La vuelta completa es igual a 360°)

Un grado es la parte de la circunferencia que resulta de dividirla en 360 partes.

Completa la siguiente tabla, que equivale a los giros y los grados del ángulo, terminado tu trabajo, compáralo con tus compañeros de grupo.

14

BLO

QU

E 1

Forma, espacio y medida Medida

Mide con transportador los siguientes ángulos y escribe su medida.

B CA

C

C = _______B

B = _______ABC = _______

MN

P A

OB B

D

PNM = _______ AOB = _______ DCB = _______C

Giro Grados del ángulo Giro Grados del ángulo

Vuelta completa Media vuelta

90° 270°

1/8 de vuelta 1/10 de vuelta

1/360 de vuelta 1/6 de vuelta

Traza el ángulo que resulta después de haber efectuado la operación que se indica.

a) 120º 30' 25'' + 59º 29' 35'' b) 32º 45' 20'' + 27º 14' 40''

c) 36º 14' 35'' + 23º 45' 25'' d) 100º 11' 39' + 19º 48' 21''

20º = _____ 60º = _____ 180º = _____ 90º = _____ 240º = _____ 120º = _____

Consulta en tu biblioteca la biografía de TALES de MILETO y

coméntala con tus compañeros.

Agapito no pudo venir a la escuela, pero su tarea del día de ayer la envió con Lencho, su compañero de clase. Su tarea no la hizo completa, porque no anotó a cada ángulo la medida que le corresponde.

Reúnete en equipo con tus compañeros y escriban los valores de los ángulos que le correspondan a cada una de las figuras de la parte inferior y anota en los grados la letra que corresponda.

15

BLO

QU

E 1Forma, espacio y medida Medida

D = _______ E = _______ F = _______

A = _______ B = _______ C = _______

En los relojes que se te indican arriba, haz lo que se pide partiendo de las horas.

a) Señala con rojo el área que indica las 3 horas. b) Señala con azúl el área que indica las 9 horas. c) Señala con verde el área que indica las 6 horas. d) Señala con fiucha el área que indica las 12 horas.

¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas del reloj cuando indica las 6 horas?

_____________________________________


_____________________________________

Observa los siguientes relojes, indica el nombre del ángulo que se forma según las manecillas del reloj.

La manecilla chica (horario) de un reloj requiere de 12 horas para dar el recorrido completo de la carátula y la manecilla grande (minutero) requiere de 60 minutos para dar el recorrido completo de la carátula.


______________________________________


______________________________________

BLO

QU

E 1

Forma, espacio y medida Medida

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS POR SU MEDIDA

16

El grado ( ° ) es la unidad para medir ángulos.Un grado se divide en 60 partes llamadas MINUTOS. ( ' )Un minuto se divide en 60 partes llamadas SEGUNDOS ( '' )No confundas los minutos de un grado y los minutos de una hora.

Consulta las siguientes preguntas que se te presentan.

¿Cuánto mide el ángulo RECTO? ......... _____________________

¿Cuánto mide el ángulo LLANO? .......... _____________________

¿Cuánto mide el ángulo AGUDO? ......... _____________________

¿Cuánto mide el ángulo OBTUSO? ....... _____________________

¿Cuánto mide el ángulo PERÍGONO? ... _____________________

¿Qué tipo de rectas describe cada caso?

1.- Vías del ferrocarril .......................................

2.- La letra mayúscula "T" ................................

3.- La esquina de una hoja ..............................

4.- La letra mayúscula "X" ..............................

5.- El borde superior e inferior de una puerta ..

Recordando los conocimientos que ya has adquirido, cuáles de las siguientes líneas que se te indican tomando en cuenta el dibujo de la parte superior son paralelas, oblicuas o perpendiculares. AG y BC = Líneas _____________________ BG y AC = Líneas ____________________ ON y ML = Líneas _____________________ OH y NI = Líneas ____________________ PQ y KJ = Líneas _____________________ AG y BC = Líneas ____________________

17

BLO

QU

E 1

RECTAS Y ÁNGULOSRECTAS Y ÁNGULOS

Forma, espacio y medida Formas geométricas

1.5Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el

vértice y adyacentes.

A

B C

D E

F

GHI

JKLM

P QNO

Traza las RECTAS conforme a las siguientes condiciones que se te mencionan.

a) Si la recta I es perpendicular con la recta II y, la recta II es perpendicular con la recta III.

¿Cómo son las rectas I y III ?

b) Si la recta I es paralela con la recta II y la recta II es oblicua con la recta III.

¿Cómo son las rectas I y III ?

RECTAS PARALELAS

indicador de ángulo recto

A

BC D

¿Cuáles son las rectas perpendiculares?

__________________________________

__________________________________

¿Cuáles son las rectas paralelas?

________________________________

________________________________

¿Cuáles son las dos regiones en que se divide las rectas paralelas?

________________________________

________________________________

¿Cuáles son las rectas secantes u oblicuas?

__________________________________

__________________________________

Con los conocimientos que ya has adquirido contesta las preguntas que se presentan.

RECTAS PERPENDICULARES

Á n g u l o sα = β ; δ = λ

α

β

δ

λB

D

C

E

El punto de intersección forman ángulos bien definidos

Traza la paralela a la recta dada MN que pase por un punto P exterior a dicha recta

P

M _________________________________ N

P

O

Q

Traza una perpendicular a la recta OQ que pase por el P exterior a dicha recta.

18

BLO

QU

E 1

CD AB "Recta CD perpendicular a recta AB"

RECTAS SECANTES U OBLICUAS

i n t e r i o r

e x t e r i o r

e x t e r i o r

A B

C D

AB II CD, "Recta AB paralela a recta CD"


El símbolo " I " significa rectas perpendiculares

RECTAS PARALELASCORTADAS POR UNA SECANTE

Dos rectas paralelas cortadas por otra recta (secante), forman ocho pares de ángulos suplementarios o colineales.

Recuerda:"Las figuras que tienen el mismo tamaño y forma son CONGRUENTES"También en la figura anterior se forman cuatro parejas de ángulos congruentes:

a) Ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE b) Ángulos CORRESPONDIENTES

c) Ángulos ALTERNOS - INTERNOS d) Ángulos ALTERNOS - EXTERNOS

Ángulo complementarios son dos ángulos que juntos suman 90º

Ángulo suplementarios son dos ángulos que juntos suman 180º

Encuentra el valor de los ángulos conociendo el valor de uno de ellos.

a b c d

e 115 ° f g

19

BLO

QU

E 1

a = ______

b = ______

c = ______

d = ______

e = _____

f = _____

g = _____

Encuentra el valor del ángulo complementario anotando en la línea que se da el valor correspondiente.

a) 37º b) 49º 45' 28''

_____________________ _______________________

Encuentra el valor del ángulo suplementario, anotando en la línea que se da el valor correspondiente.

c) 20º 30' 25'' d) 115º 40' 30''

_____________________ _______________________

1 2 3 4

5 6 7 8

R

S

M N

P Q

1 + 2 = 180°3 + 4 = 180° 5 + 6 = 180° 7 + 8 = 180° 1 + 3 = 180° 2 + 4 = 180° 5 + 7 = 180° 6 + 8 = 180°


Son dos ángulos iguales que tienen un vértice común y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTESSon dos ángulos iguales que se ubican uno dentro y otro fuera de

cada paralela pero del mismo lado de la línea transversal

¿Por qué los ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE miden igual?

Haz la demostración de cada uno de los casos abajo presentados. Toma en cuenta la demostración que se te dió.

¿Por qué los ángulos correspondientes son iguales?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

1

5

2

6 3

7

4 8

a) b) c) d) 23 4

1 2 4

57 8

5 67

20

BLO

QU

E 1

1 y 5 2 y 6

3 y 7 4 y 8

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

6

7

5

8

1

4

2

3

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí.PROPIEDAD TRANSITIVA

anulando los ángulos iguales

a + b = a + c

a + b = 180°a + c = 180° Colineales

b = c

a

b c


Opuestos por el vértice mp ______ ______ ______

Correspondientes ______ ______ ______ ______

Alternos - internos ______ ______ ______ ______

Alternos - externos ______ ______ ______ ______

Escribe las literales que corresponden a los ángulos.

Son dos ángulos exteriores a las paralelasubicados en diferente lado de la transversal

¿Por qué los ángulos alternos - externos son iguales?

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Dada la medida de un ángulo, calcular el valor de los demás.

¿Por qué los ángulos alternos - internos son iguales?

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Los dos ángulos son interiores de diferente paralela, sin ser suplementarios, pero en distinto lado de la secante.

4 y 5 3 y 6

45

3 6

1

8

2

7

1 y 8 2 y 7

21

BLO

QU

E 1

1 2 3 4 5 6 7 8

1 = 60 ° 5 = _______

2 = ________ 6 = _______

3 = ________ 7 = _______

4 = ________ 8 = _______

a b c d

e fg h

e = ( 4 x + 1 )° f = ( x - 5 )° a = _________

b = _________ d = _________ g = _________

h = _________

ÁNGULOS ALTERNOS - EXTERNOS

ÁNGULOS ALTERNOS - INTERNOS


La SUMA de las medidas de los ÁNGULOS INTERIORES de cualquier TRIÁNGULO es 180 grados.

RS trazo auxiliar paralela a BC formando los ángulos M y N.

SUMA DE LOS ÁNGULOSINTERIORES DEL TRIÁNGULO

Forma un equipo de trabajo con tres de tus compañeros e intenta trazar triángulos con las medida de los ángulos que se indican a continuación.

¿Cuántos triángulos fue posible su trazo? __________________________________________

1.6Establecer las relaciones entre

los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas

por una tranversal.Justificar las relaciones entre

las medidas de los águlos interiores de los triángulos y

paralelogramos.

22

BLO

QU

E 1

RECTAS Y ÁNGULOS

R A S

b cB C

M Na

g) 20º 90º 130º h) 90º 70º 70º i) 80º 40º 60º

d) 40º 80º 120º e) 50º 45º 85º f) 80º 40º 60º

a) 30º 60º 90º b) 45º 45º 90º c) 100º 60º 60º


CUATRO ÁNGULOS RECTOS"360°"

a + b + c + d = 360° w + x + y + z = 360°90° + 90° + 90° + 90° = 360° 90° + 90° + 90° + 90° = 360°

a b

c d

w x

y z

OTRO EJEMPLO:

"En cualquier cuadrilátero se forman dos triángulos al cortarlos en su diagonal"

90° + 45° + 45° = 180° 45° + 45° + 90 = 180°

2) d + e + f = 180°1) a + b + c = 180°

DEMOSTRACIÓN

Por ser ángulos alternos - internos

23

BLO

QU

E 1

M + a + N = 180° Por ser ángulos suplementarios M = b Por ser ángulos alternos - internos N = c Por ser ángulos alternos - externosb + a + c = 180° Sustituyendo igualdades anteriores

b a e

c d f

1

2

Encuentra el valor de los ángulos marcados con literal.

c = ______

d = ______

c d

60°

135°

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO

La suma de los ángulos interiores de los dos triángulos que forman el cuadrilátero es igual a 360°

180° + 180° = 360°

12121

212

60°

b

a

a = ______

b = ______

a = ______

a

25°

110°


De los triángulos que se te dan, calcula el valor del ángulo que te falta conociendo alguno de ellos.

De los siguientes cuadriláteros que se te dan, calcula los ángulos que faltan, conociendo algunos de ellos.

24

BLO

QU

E 1

B = _____

IV = _____

D = _____

VI = _____

VII = _____

A = _____

I = _____

II = _____

C = _____

III = _____

V = _____

120º25º

N = _______

0

N

M

M = _____ N = _____ O = _____

P = _____ Q = _____ R = _____

75° 70°

M NO P

Q R

A = _____ B = _____ C = _____ D = _____

70º

110ºA B

C

D

A

90°

45°

B C

C =

B

A

60º

90º

C

B =

M = _____

N = _____

O = _____

P = _____

M N

O P

35º

145º

A = _______

B = _______

C = _______

60º 30ºA

B C

A = 110° B

C D

I

IIIII

IV

70ºVIV VII


Observa tu salón de clases y comenta con tus compañeros las siguientes preguntas que se te plantean. Además; tú, puedes hacer otras preguntas a tus compañeros sobre el mismo tema.

¿De los objetos que tiene tu salón, donde se forman líneas paralelas, oblicuas y transversales?

¿Qué tipo de líneas forma la unión del techo con una de las paredes del salón?

De los objetos que tiene tu salón, ¿dónde se forman líneas paralelas, oblicuas o transversales?

Observa el marco de la puerta de tu salón y comenta con tus compañeros si se forman líneas transversales, paralelas u oblicuas.

Observa las manecillas de tu reloj y comenta con tus compañeros las siguientes preguntas que se te plantean.

Además, tú, puedes hacer otras preguntas a tus compañeros sobre el mismo tema.

Al recorrer la manecilla de los minutos, una hora, ¿cuántos grados recorre? ________________

Al recorrer la manecilla de las horas, una hora, ¿cuántos grados recorre? .. ________________

Al recorrer la manecilla del minutero 15', ¿cuántos grados recorre? ............ ________________

Al recorrer la manecilla del minutero 45', ¿cuántos grados recorre? ............ ________________

Al recorrer la manecilla de las horas, 4 horas, ¿cuántos grados recorre? .... ________________

25

BLO

QU

E 1

Completa la siguiente tabla anotando los grados que correspondan a la carátula del reloj, tomando en cuenta la manecilla que marca las horas.

Hora 1 2 3 4 5 6 7

Grados


A 3 cm

6 cm

1.7Determinar el factor

inverso dada una relación de proporcionalidad y el

factor de proporcionalidad fraccionario.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD

Partiendo de la fotografía A, obtuvimos la fotografía B,

considerando la relación de proporcionalidad de ,

es decir que por cada 3 unidades de la fotografía A se

obtuvieron 2 unidades de la fotografía B.

Reproduce a escala las siguientes figuras considerando la relación de proporcionalidad que se te señala.

4 cm

2 cm

Construye un rectángulo D cuyo

Factor de proporcionalidad =

C

Y si a partir de la fotografía B, queremos obtener la fotografía A, ¿Cuál será la relación de proporcionalidad? _______________

Observa que al multiplicar las dimensiones de la fotografía A por su constante de proporcionalidad, encontramos las dimensiones de la fotografía B; y al multiplicar las dimensiones de la fotografía B por el recíproco del factor de proporcionalidad, encontramos las dimensiones de la fotografía A.

Y si a partir del rectángulo D, queremos construir el rectángulo C

( ) ( ) = 2 cm ( ) ( ) = 4 cm

¿Cuál será la relación de proporcionalidad? _______________

32

¿Qué operación aritmética tuviste que realizar para encontrar las dimensiones de la fotografía B?

26

BLO

QU

E 1

( )

( ) cm232cm3

cm432cm6

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32

( )

( ) cm323cm2

cm623cm4

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32derecíprocoeles

23

( )

( ) _________23cm2

_________23cm4

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4 cm

2 cmB

Fotografías del recorrido del Ferrocarril Chihuahua Pacífico

Manejo de la información Análisis de la información

BLO

QU

E 1

5 cmE

Y si a partir del cuadrado F queremos construir el cuadrado E

( ) ( ) = 5 cm

¿Cuál será la relación de proporcionalidad? _______________

Considerando que las dos fotografías siguientes están a escala, encuentra las medidas que faltan.

¿Por cuá l número es necesar io multiplicar las dimensiones de la foto X para encontrar las de la foto Y? ______

75 m

15 m

¿Por cuá l número es necesar io multiplicar las dimensiones de la foto Y para encontrar las de la foto X? ______

9 m

Puente Verde sobre el canal del Río Chuviscar para el paso del ferrocarril. Chihuahua, Chih.

X

Y27

Construye un cuadrado F cuyo Factor de proporcionalidad 53

=

( ) _________53cm5 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛


BLO

QU

E 1

Un automóvil va a una velocidad constante de 80 Kilómetros por hora. Las dos cantidades que consideraremos son la distancia recorrida (d) y el tiempo que tarda en recorrerla (t).

¿Qué pasa a la distancia recorrida si duplicamos el tiempo? ............ _____________________

Si se duplica el tiempo, ¿Ocurre lo mismo con la distancia? .............. _____________________

¿Qué pasa a la distancia si triplicamos el tiempo? ............................ _____________________

¿Qué pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la mitad? _____________________

¿Qué pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la quinta parte? ________________

¿A qué conclusión puedes llegar? _______________________________________________

____________________________________________________________________________

Si 0.45 Kg equivalen a 1 libra, ¿cuántas libras habrá en 90 Kg? _________________

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo? _______

Continúa llenando la hoja hasta que encuentres cuántas libras equivalen a 90 Kilogramos y escribe la respuesta ......... _______;;;.:----., LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL___________________e ______________________-----

Ahora observa el tercer renglón de la hoja, ¿Podrías haber resuelto el problema considerando sólo esta información? _____

¿Cómo? ___________________________________________

__________________________________________________

Usa solamente los primeros 10 datos de tu hoja de cálculo para responder a las siguientes preguntas.

¿Cuántas libras equivalen a 2700 kg? .................................................................. ________________

¿Cuántos Kg, equivalen a 50 libras? .................................................................... ________________

¿Cuántos Kg, equivalen a 0.5 libras? ____ usa el 6º renglón de tu hoja para responder esta pregunta.

¿Cuántos Kg, equivalen a 1.5 libras? ________ usa el resultado anterior para encontrar la respuesta.

¿Cuántos Kg, equivalen a 2.6 libras? __________________ usa la misma estrategia.

Regresemos ahora al tercer renglón de la hoja de cálculo donde se indica que dos libras equivalen a 0.9 Kg, (casi 1 Kg) y busca cuántas libras equivalen aproximadamente a 10 kg, ________________

1.8Elaborar y utilizar

procedimientos para resolver problemas de

proporcionalidad múltiple.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD

Construye una hoja de cálculo relacionando ámbas cantidades

¿Qué distancia recorrerá en 3 horas? __________________



Construye una hoja de cálculo

28


Ahora toma en cuenta la siguiente tabla y responde a las preguntas que aparecen abajo

Si una embarcación puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel, ¿qué distancia recorrerá con 60 galones?

Construye una hoja de cálculo

¿Cuántos kilómetros equivalen a 60 millas? ....... _______________

¿Cuántos kilómetros equivalen a 75 millas? ....... _______________

¿Cuántos kilómetros equivalen a 0.5 millas? ...... _______________



¿Cuántas millas equivalen a 112 km? ................ _______________

¿Cuántas millas equivalen a 10 km? .................. _______________

¿Cuál es el factor de proporcionalidad? __________________

Usa tu hoja de cálculo para responder las siguientes preguntas:

¿Qué distancia recorrerá con 300 galones? ....................................... ______________________

¿Qué distancia recorrerá la embarcación con 180 galones? ............. ______________________

¿Qué distancia recorrerá la embarcación con 90 galones?................ ______________________

¿Cuántos galones necesitará para recorrer 900 millas? ..................... ______________________

Construye una hoja de cálculo para resolver las siguientes situaciones:

Si un frasco de café de 450 grs cuesta $ 42.75, ¿cuánto deberá costar uno de 250 grs? _____

Si se determinó que el precio de un frasco de café es de $ 19.00, ¿cuántos grs contiene? _____

BLO

QU

E 1

29

Millas Km1 1.62 3.23 4.8456789

A B1 Galones Millas 2 13 3 4 65 96 127 158 16 3609 18

A B1 grs $2 450 42.753 4004 3505 3006 2507 200


La RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD entre las figuras A y B es igual a

BLO

QU

E 1

16 cm

6 cm

8 cm

3 cm

6 cm

La RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD entre las figuras C y D es igual a

9 cm15 cm

Observa que el factor de proporcionalidad entre las dimensiones de las figuras es la misma

10 cm

1. En un grupo de personas hay 5 hombres por cada tres mujeres. Si hay 120 mujeres, ¿cuántos hombres hay?

2. Un administrativo realiza 1470 pulsaciones de teclado en 7 minutos. ¿Cuántas veces le da a la tecla en 100 seg?

3. En 17 cajas iguales hay 1632 botones iguales, ¿cuántos habrá en 37? ¿Cuántas cajas se necesitarán para guardar 900 botones?

DC

A B

30

96

1510ancho de cada rectángulo

largo de cada rectángulo

166

83cateto menor de cada triángulo

cateto mayor de cada triángulo

21

35


BLO

QU

E 1

Su volumen será: 4u x 3u x 6u = 72 u³

"Se sabe que el volumen de un prisma es proporcional a cada una de sus dimensiones"Observa que sucede al duplicar cualquiera de sus dimensiones:

Su volumen será: 4u x 3u x 12u = 144 u³Duplicamos la altura

Su volumen será: 8u x 3u x 6u = 144 u³Duplicamos uno de los lados de

la base

Su volumen será: x x = Duplicamos el otro lado de la

base

2 3 5 30

6 3 5 90

2 5

2 3

¿Y SI SE TRIPLICA CUALQUIERA DE SUS DIMENSIONES?

¿Y SI SE REDUCE A LA MITAD CUALQUIERA DE SUS DIMENSIONES?

Dado el siguiente prisma rectangular:

¿Qué sucede con su volumen? ¿Qué sucede con su volumen?

completa el cuadro completa el cuadro

6u

6u4u

31

REDUCIMOS A LA MITAD CUALQUIER LADO

2 3 5 30

1 3 5 15

2 5

2 3

Base Altura Volumen

CONCLUIMOS QUE: Al duplicar cualquiera de sus dimensiones, su volumen TAMBIÉN SE DUPLICA

6u

3u8u

12u

3u4u

6u

3u4u

TRIPLICAMOS CUALQUIER LADO

Base Altura Volumen


BLO

QU

E 1

Qué sucederá con el volumen de un prisma cuando una de sus dimensiones se duplica y otra se triplica

Un Prisma cuyas dimensiones son: 5 u duplicamos 10 u 3 u triplicamos 9 u 12 u 12 u su volumen es 180 u³ su volumen es 1080 u³

El volumen también se duplicó y se triplicó

Considerando las dimensiones del prisma auméntalas o disminúyelas en la cantidad señalada y concluye lo que sucede con su volumen.

Conclusión: ____________________

______________________________

5 u3 u

12 u

Conclusión: ____________________

______________________________

Conclusión: ____________________

______________________________

32

5 u se cuadruplica 20 u

3 u 3 u

12 u la tercera parte 4 u

su volumen es 180 u³ su volumen es _______

5 u 5 u

3 u se triplica 9 u

12 u la cuarta parte 3 u


5 u se duplica 10 u

3 u se duplica 6 u

12 u se duplica 24 u


Con $ 30.00 de alimento para animales comen 4 mascotas durante 5 días.

¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de mascotas se triplica? _______________

¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de mascotas se reduce a la mitad? _______

¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de días se reduce a la mitad? ___________

¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de días se duplica? ___________________


BLO

QU

E 11.- Un tanque de almacenamiento de agua que mide 15 m de largo, 8 m de ancho y 3.5 m de

profundidad, requiere de 6 horas para llenarse cuando se alimenta del chorro de un tubo de 6 pulg de diámetro. ¿Cuánto tiempo será necesario para llenar un tanque que mide 10 m de largo, 7 m de ancho y 3 m de profundidad?

2.- Un ganadero posee forraje para alimentar a sus vacas durante 14 semanas. Tras vender 60 animales comprueba que le queda alimento para 20 semanas, ¿cuántas vacas le quedaron?

3.- Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km/h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 20 Km/h?

4.- Un deportista camina 5 horas diarias durante 4 días realizando una marcha de 68 Km. ¿Cuánto hubiese caminado si lo hiciese a igual rítmo que antes, durante 7 horas diarias, en 5 días?

5.- ¿Cuánto costará la comida de 150 turistas durante 15 días, si la de 20 turistas durante 7 días cuesta $ 56,000 ?

33


1.9 Anticipar resultados en

problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los

resultados mediante arreglos rectangulares,

diagramas de árbol u otros recursos.

En parejas, analicen el siguiente problema y encuentren la solución comparándola con otras parejas del grupo.

Para una fiesta, las jóvenes buscan entre su vestuario la mejor combinación de sus pantalones, blusas, sacos y zapatos. Si se tienen 4 blusas, 3 pantalones, 2 sacos y 1 par de zapatos de colores diferentes, ¿cuántas combinaciones diferentes tienen a su disposición?

¿Hay alguna combinación repetida? ................................... __________

¿Cuántas ocasiones se puede usar cada blusa? ............... __________

En total, ¿cuántas combinaciones son posibles disponer? __________

¿Se pueden usar dos prendas iguales al mismo tiempo? .... __________

¿Cuál o cuáles combinaciones son las mejores, teniendo en cuenta el color?

__________ __________ __________ __________ __________ __________

¿Qué operación aritmética realizas para saber el número total de combinaciones? ___________

SacosPantalones Zapatos

5 6 da b c

Blusas

1 2 3 4

En las combinaciones 2, 3 y 4 completa con números, letras y colores, aquellas que estén faltando. B = Blusas, P = Pantalones, S = Sacos y Z = Zapatos.

DIAGRAMAS Y TABLAS

Manejo de la información Representación de la información

B P S Z

2 a 5 d

2 b

2 c d

2 6

2 b 5

2 d

2

B P S Z

3 a d

3 b

3 5

3 6

3 b d

3

3

B P S Z

4 5 d

4

4 c

4

4 5

4 d

4

34

BLO

QU

E 1

EJEMPLO: Observa cómo la blusa lila marcada con el número 1, se combina con los pantalones, sacos y zapatos.

COMBINACIÓN 1

1

B 1 1 1 1 1 1

P a b c a b c

S 5 6 5 6 5 6

Z d d d d d d

El primer DIAGRAMA DE ÁRBOL es de la combinación 1 y con base en él, encuentra los otros tres diagramas utilizando colores, números y letras.

Observando los diferentes diagramas anteriores, contesta las siguientes preguntas:

a) ¿En cuántas combinaciones participa el par de zapatos? ________

b) El pantalón rojo, ¿en cuántas combinaciones se usa? ..... ________

c) El saco rosa, ¿cuántas veces es utilizado? ...................... ________

d) La blusa fiucha, ¿con qué pantalones está combinada? .. ________ ________ ________

e) El pantalón café, ¿con cuáles sacos se combinó? ........... ________ ________ ________

f) El pantalón rojo, ¿con cuáles blusas se combinó? ........... ________ ________ ________

Encuentra una operación matemática para cada una de las preguntas anteriores. ________

35


a

b

c

5

6

d

1C

5

6

5

6

d

d

d

d

d

BLO

QU

E 1

Todos los diagramas de árbol anteriores partieron del grupo de blusas para generar las 24 combinaciones. Si se inicia del conjunto de sacos para formar un diagrama de árbol, ¿cómo lo realizarían en tu equipo? Compáralo con el realizado por otros equipos.

Ya realizado el diagrama, escribe las clasificaciones que el médico maneja en su organización:

Clasificación a) b) c)

1 FAA FAN FAB

2 _______ _______ _______

3 _______ _______ _______

4 _______ _______ _______

5 _______ _______ _______

6 _______ _______ _______

7 _______ _______ _______

8 _______ _______ _______

9 _______ _______ _______

10 _______ _______ _______

11 _______ _______ _______

12 _______ _______ _______

Clasificación a) b) c)

13 _______ _______ _______

14 _______ _______ _______

15 _______ _______ _______

16 _______ _______ _______

17 _______ _______ _______

18 _______ _______ _______

19 _______ _______ _______

20 _______ _______ _______

21 _______ _______ _______

22 _______ _______ _______

23 _______ _______ _______

24 _______ _______ _______

TABLA

36

Un médico general tiene clasificados a sus pacientes conforme su sexo (F y M), tipo de sangre (A, B, AB u O) y presión sanguínea (Alta, Normal y Baja).

Rellenando la cuadrícula según corresponda el caso, forma un diagrama de árbol que contemple las características que el médico mantiene; Diseña un diagrama de árbol y una tabla que contemple por lo menos 10 clasificaciones de pacientes. Compara con tus compañeros de equipo y con los otros equipos del grupo.

BLO

QU

E 1


Paciente

Sexo

Tipo de sangre

Presión Sanguínea

P

DIAGRAMA

Trabajando en equipo, realicen un diagrama de árbol y una tabla para cada caso.

1.- Jugando con tres monedas, ¿cuántas combinaciones es posible lograr?

2.- Jugando con una moneda (águila y sello) y un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6) encuentren el total de combinaciones que se pueden presentar.

3.- Teniendo 3 pantalones, 2 camisas y un par de zapatos, ¿cuántas combinaciones se logran?

4.- De los 6 mejores basquetbolistas del grupo se formarán tercias para competir en un torneo corto. ¿De cuántas tercias diferentes se dispone para dicha competencia? Identifica a cada jugador con un número (1, 2, 3, 4, 5, 6).


37

BLO

QU

E 1

6.- Los seres humanos tenemos ascendientes y descendientes. Así pues, tú y cualquier otro de tus compañeros tienen varios familiares. Cuando se investiga el "parentesco" que cada uno tenemos, se forma lo que se llama un "ÁRBOL GENEALÓGICO".

Hagamos un ejercicio. En la gráfica siguiente, escribe el nombre de cada uno de tus parientes de forma ascendente: empezando por tí y tus hermanos en el mismo nivel; tus padres, en un nivel más alto; tus abuelos, sobre el nivel de tus padres y tus bisabuelos, sobre el nivel de los abuelos. Será así, como puedes empezar tu árbol genealógico personal. Utiliza flechas de un nivel a otro. Actualmente se está empezando la formación de árboles genealógicos considerando el ADN (ácido desoxirribonucléico) de las personas.

5.- Jugando con una PERINOLA (Toma todo, todos ponen, toma uno, toma dos, pon uno, pon dos) y TRES MONEDAS (águila, sello), obtén el número de combinaciones posibles mediante un DIAGRAMA DE ÁRBOL.

TOM

A U

NO

TOM

ATO

DO

PON

DO

S


38

BLO

QU

E 1

1.10Interpretar y comunicar información mediante

polígonos de frecuencia.

GRÁFICAS

02468

10121416

1 2 3 4 5Agrupamientos

N° d

e C

asas

Colonia AColonia B

Actualmente, existen varias formas de representar un fenómeno o evento que haya sucedido en la vida cotidiana. En nuestro mundo, se maneja la economía, el crecimiento poblacional, la cantidad de viviendas, el número de empleos y otros que tu puedes investigar, que son representados por medio de gráficas.

En las colonias A y B de la ciudad, se realizaron 5 agrupamientos de tipos de casa, según las características de cada una, habiendo surgido una gráfica como la siguiente. Observa detenidamente cada una de las dos líneas en sus puntos de quiebre y contesta las preguntas que se te presentan.

En los espacios marcados, anota el número que corresponda a la cantidad de casas, según indica la gráfica.

Lo que acabas de hacer, es leer o interpretar una GRÁFICA LINEAL que es representativa del conteo de casas, con características diferentes, hecho en dos colonias de una ciudad.

Teniendo en cuenta los mismos datos de las dos colonias anteriores, es posible rerpresentarlos por medio de otro tipo de gráficas como de BARRAS PLANAS Y BARRAS TRIDIMENSIONALES. Sobre cada barra, escribe el número que representa. Deben ser los números que leíste en la primera gráfica.

02468

10121416

1 2 3 4 5

Agrupamientos

N° d

e C

asas

Colonia A Colonia B

02468

10121416

N° d

e C

asas

1 2 3 4 5

Agrupamientos

Colonia A Colonia B


39

Agrupamientos

Colonia 1 2 3 4 5 TOTAL

A ________ ________ ________ ________ ________ ________

B ________ ________ ________ ________ ________ ________

BLO

QU

E 1

Ya que analizamos el tipo de gráficas que pueden usarse para representar un evento que contiene números, hagamos una investigación entre los integrantes del grupo al que correspondes.

Trabajando en equipo, con orden y disciplina preguntemos y anotemos la edad de cada uno de los compañeros del grupo, separándolos en mujeres y hombres. Usa el siguiente cuadro de concentrado, escribiendo una raya en el espacio que señala la edad informada.

Cuando hayamos terminado de preguntar todas las edades de nuestros compañeros, sumemos el número de rayas (frecuencias) de cada edad y anotémoslas en la columna de TOTAL, tanto de mujeres como de hombres. Con los datos anotados en las dos columnas de TOTAL, ya es posible que construyamos una gráfica. ¿Cómo la harías? ¡Muy fácil!

Veamos cómo:

1.- En la cuadrícula de la derecha, escribe en la parte inferior la palabra "Edades"

2.- En la parte izquierda de la cuadrícula, escribe la palabra "Alumnos"

3.- De la columna TOTAL de Mujeres, toma el número que representa las alumnas de 11 años y escribe un punto en la cuadrícula donde se encuentre la cantidad de ellos; toma el número de 12 a ñ o s y h a z l o m i s m o y a s í sucesivamente hasta terminar con los datos de mujeres (puntos color rosa).

4.- Une cada uno de los puntos de las mujeres y continua luego con los datos de los hombres (color azúl).

5.- Por ejemplo: Si tenemos 15 alumnos de 20 años. Observa el punto rojo en la cuadrícula como señala el 20 abajo y el 15 a la izquierda.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

02

46

810

1214

1618

¿Cómo la ves?

Edad Mujeres TOTAL Hombres TOTAL

11

12

13

14

15

16

40

BLO

QU

E 1


Hasta aquí, hemos aprendido a leer y a construir una gráfica conociendo los datos de un fenómeno. Si en tu escuela se tiene un áula de medios, solicítale a tu Maestro les enseñe cómo obtenerla usando el programa de Excel y verás que fácil.

1.- Del 23 de diciembre al 20 de marzo, es el tiempo de INVIERNO cuando se presentan los días más fríos del año. Si del lunes al viernes de una semana de diciembre se presentaron las temperaturas siguientes, realiza una gráfica que las represente. Lunes: mínima - 5 °C, máxima 14 °C; martes: mínima - 7 °C, máxima 10 °C; miércoles: mínima - 2 °C, máxima 16 °C; jueves: mínima - 6 °C, máxima 13 °C y viernes: mínima 0 °C, máxima 17 °C.

L M M J V

- 9- 6

- 30

36

912

1518

BLO

QU

E 1

DÍAS Mínima Máxima

BLO

QU

E 1

41


1 . - E n c e n d e r l a computadora y abrir el programa Excel.

2.- Abrir una nueva hoja electrónica.

3.- Bajo la columna A escribir la palabra Edades ; ba jo B, Mujeres y bajo C, Hombres.

4.- En la columna A, e s c r i b i r l o s n ú m e r o s q u e representan las edades del grupo, uno en cada celda;

en la B, la cantidad existente de cada edad de mujeres;

en la C, la cantidad de hombres de cada edad.

5.- Seleccionar las celdas desde Mujeres y Hombres hasta el último número de éstos (área azúl).

6.- Abrir el ícono de gráficas y escoger "líneas".

7.- Haz clik en finalizar y obtendrás la gráfica.

Con este proceso puedes obtener cualquier tipo de gráfica que tú desees,

usando diferentes informaciones numéricas de algún evento que se

presente en tu entorno.

2.- El promedio de calificaciones por asignatura, de 3 grupos del ciclo escolar anterior, se presenta en la siguiente gráfica. Completa la tabla con los datos que contiene la gráfica.

b) ¿Qué asignaturas tienen más bajos promedios?

______________ ______________

c) ¿Qué asignaturas tienen el mismo promedio y en qué grupo? Asignatura Grupo Asignatura Grupo Asignatura Grupo

________ ________ ________ ________ ________ _______

3.- Investiga en tu escuela y construye una gráfica en cada caso:

a) Del personal que allí trabaja, ¿cuántas son mujeres y cuántos son hombres?

Españ

ol

Matemáti

cas

Geogra

fía

Ciencia

s (Biol

ogía)

Inglés

Asignaturas

0

2

4

6

8

10

Prom

edio

s

Grupo R Grupo S Grupo T

a) ¿Cuáles son los mejores promedios y en qué grupo? Promedio Grupo Promedio Grupo Promedio Grupo

________ ________ ________ ________ ________ _______

BLO

QU

E 1


Asignatura Grupo R Grupo S Grupo T

Mujeres Hombres

42

b) Los grupos de 2° grado, ¿cuántos alumnos tiene cada uno?

c) La estatura de cada uno de tus compañeros y compañeras de grupo.

d) El número de lonches, sodas, burritos, alimento chatarra y dulces, que se venden en la cooperativa escolar, diariamente, durante una semana.

43

BLO

QU

E 1Manejo de la información Representación de la información

Día Mercancía

Estatura Alumnos

BLO

QU

E 1

Grupo Alumnos

Documents

Guía de Matemáticas para 2o. grado 2o. bloque