Matemticas 2o. Grado Volumen I

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Libro de Texto RIEB 2013-2014

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  • IImatemticaS

    II

    2do Grado Volumen I

    2do

    Gra

    do

    Volu

    men

    Im

    atem

    ti

    caS

    SUSTITU

    IR

    MAT2 LA Vol1 portada.indd 1 6/11/07 6:46:09 PM

  • matemticas II2do Grado Volumen I

    MAT2 B1 S01.indd 1 6/3/07 12:27:35 AM

  • Matemticas II. Volumen I fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

    AutoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce,Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia Garca Pea,Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero,Jess Rodrguez Viorato

    Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

    Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

    Primera edicin, 2007Sexta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

    D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

    ISBN 978-970-790-951-9 (obra completa)ISBN 978-970-790-953-3 (volumen I)

    Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

    Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

    DiseoZona Grfica

    DiagramacinBruno Contreras, Fernando Villafn,Vctor M. Vilchis Enrquez, Ismael Vargas,Gabriel Gonzlez

    IconografaCynthia Valdespino

    IlustracinGustavo Crdenas, Curro Gmez, Carlos Lara,Gabriela Podest

    FotografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

    LPA-MATE-2-V1-LEGAL-13-14.indd 2 15/05/12 13:38

  • ndice

    Mapa-ndice

    Clave de logos

    BLOqUE 1

    secuencia 1 Multiplicacin y divisin de nmeros con signo

    secuencia 2 Problemas aditivos con expresiones algebraicas

    secuencia 3 Expresiones algebraicas y modelos geomtricos

    secuencia 4 ngulos

    secuencia 5 Rectas y ngulos

    secuencia 6 ngulos entre paralelas

    secuencia 7 La relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directa

    secuencia 8 Proporcionalidad mltiple

    secuencia 9 Problemas de conteo

    secuencia 10 Polgonos de frecuencias

    BLOqUE 2

    secuencia 11 La jerarqua de las operaciones

    secuencia 12 Multiplicacin y divisin de polinomios

    secuencia 13 Cubos, prismas y pirmides

    secuencia 14 Volumen de prismas y pirmides

    secuencia 15 Aplicacin de volumenes

    secuencia 16 Comparacin de situaciones de proporcionalidad

    secuencia 17 Medidas de tendencia central

    Bibliografa

    quin es el INEA?

    Recortables

    4

    9

    10

    12

    30

    46

    56

    70

    82

    92

    104

    118

    132

    148

    150

    160

    176

    188

    200

    208

    216

    236

    238

    239

    MAT2 B1 S01.indd 3 6/3/07 12:27:37 AM

  • 4Blo

    qu

    e 1

    SEC

    UEN

    CIA

    SESI

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    tera

    ctiv

    os

    Au

    la d

    e m

    edio

    s

    1.Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    .[1

    2-29

    ]

    Resolverproblem

    asque

    implique

    nmultiplicacione

    sy

    division

    esden

    meroscon

    signo

    .

    1.1

    Losn

    meroscon

    signo

    Losn

    meroscon

    signo

    Muc

    hasman

    erasdeha

    cerlom

    ismo1y2(Log

    o)

    Cm

    o restam

    osnm

    eroscon

    signo

    ?(Calcu

    lado

    ra)

    1 .2

    Mu ltip lica cion e

    s d e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    Mu ltip lica cinyd iv isi n

    den

    me ro sco n

    sign o

    1 .3

    M sm

    u ltip lica cion e

    sd e

    n m

    e ro sco n

    sign o

    1.4

    Lare

    glade

    lossign

    os1

    Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    1.5

    Lare

    glade

    lossign

    os2

    Multiplicacinydivisin

    den

    meroscon

    signo

    2.Prob

    lemasaditivo

    sco

    nexpresione

    salge

    braicas.

    [30-

    45]

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nadicin

    ysustraccin

    de

    expresione

    salge

    braicas.

    2.1

    Losga

    lline

    ros

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    Rectn

    gulos(Log

    o)

    Rectn

    gulosde

    diferen

    testama

    os(L

    ogo)

    2.2

    A med

    irco

    ntorno

    sSu

    maco

    npo

    linom

    ios(Calcu

    lado

    ra)

    2.3

    Latab

    lanum

    rica

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    2.4

    Cuad

    rado

    s mg

    icosynm

    eroscon

    secu

    tivo

    sLam

    agiadelosch

    inos

    Sumayrestade

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas

    3.Ex

    presione

    s alge

    braicasymod

    elosgeo

    mtric

    os.

    [46-

    55]

    Re

    cono

    ceryob

    tene

    rexpresione

    salge

    braicaseq

    uiva

    lentesa

    partirde

    lempleo

    demod

    elosgeo

    mtric

    os.

    3.1

    Expresione

    seq

    uiva

    lentes

    Mod

    elosgeo

    mtric

    osdeexpresione

    salge

    braicas

    3.2

    Msexp

    resion

    esequ

    ivalen

    tes

    Msexp

    resion

    esequ

    ivalen

    tes

    Mod

    elosgeo

    mtric

    osdeexpresione

    salge

    braicas

    4.n

    gulos.

    [56-

    69]

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nreco

    nocer,estimar

    y med

    irn

    gulos,utilizand

    oelgrado

    com

    oun

    idad

    demed

    ida.

    4.1

    Med

    idasden

    gulos

    Elgrado

    com

    oun

    idad

    demed

    ida

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    Clasificacin

    den

    gulos(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    4.2

    ngu

    los internosdetring

    ulos

    Reco

    nocer,estimarym

    edirn

    gulos

    Sumade

    losn

    gulosinterio

    resde

    untring

    ulo(Geo

    metra

    din

    mica)

    4.3

    Ded

    uccin

    demed

    idasden

    gulos

    5.Re

    ctasyng

    ulos.

    [70-

    81]

    Determinarm

    ediantecon

    struccione

    slaspo

    sicion

    esre

    lativa

    sde

    dosre

    ctasenelplano

    yelabo

    rarde

    finicione

    sde

    rectas

    paralelas,pe

    rpen

    dicu

    laresyob

    licua

    s.

    Establecerre

    lacion

    esentrelo

    sn

    gulosqu

    eseforman

    al

    cortarsedosre

    ctasenelplano

    ,recon

    ocerng

    ulosopu

    estos

    porelvrticeyady

    acen

    tes.

    5.1

    Rectasque

    nosecortan

    Rectasperpe

    ndicularesyparalelas

    Trazode

    una

    paralela(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    5.2

    Rectasque

    seco

    rtan

    Rectasperpe

    ndicularesyparalelas

    Posicion

    esre

    lativa

    sde

    lasrectasenelplano

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    5.3

    Relacion

    esentreng

    ulos

    Parejasde

    rectas

    Rectasperpe

    ndicularesyparalelas

    ngu

    losform

    adosporla

    interseccin

    dedo

    srectas

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    ngu

    los op

    uestosporelv

    rtice

    6.n

    gulos en

    trepa

    ralelas.

    [82-

    91]

    Establecerla

    srelacion

    esentrelo

    sn

    gulosqu

    eseforman

    en

    tredo

    srectasparalelascortada

    spo

    run

    atran

    sversal.

    Justificar lasrelacion

    esentrela

    smed

    idasdelosn

    gulos

    interio

    resde

    lostring

    ulosyparalelog

    ramos.

    6.1

    ngu

    losco

    rrespo

    ndientes

    ngu

    losen

    trepa

    ralelas

    Paralelasysecantes(L

    ogo)

    6.2

    ngu

    los alternosin

    ternos

    Relacion

    esdelosn

    gulosen

    trepa

    ralelas

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    6.3

    Los n

    gulosen

    lospa

    ralelogram

    osyeneltri

    ngulo

    Relacion

    esim

    portan

    tes

    ngu

    losinterio

    resde

    ltri

    nguloyde

    lparalelog

    ramo

    Cu

    ntosuman

    ?(Log

    o)

    7.Lare

    lacin

    inversade

    una

    relacin

    deprop

    orcion

    alidad

    directa.

    [92-

    103]

    Determinarelfactorinversoda

    dauna

    relacin

    de

    prop

    orcion

    alidad

    yelfactorde

    propo

    rciona

    lidad

    fracciona

    rio.

    7.1

    Elpesoen

    otrosplane

    tas

    Elpesoen

    otrosplane

    tas

    Cu

    ntope

    sosie

    stoy

    enSa

    turno?

    (Calcu

    lado

    ra)

    7.2

    Europa

    yPlutn

    7.3

    Prob

    lemas

    Factoresdeprop

    orcion

    alidad

    Prop

    orcion

    alidad

    con

    Log

    o

    8.Prop

    orcion

    alidad

    mltiple.

    [104

    -117

    ]

    Elab

    oraryutilizarprocedimientospararesolverproblem

    asde

    prop

    orcion

    alidad

    mltiple.

    8.1

    Elvolum

    enLaprop

    orcion

    alidad

    mltiple

    Prop

    orcion

    alidad

    mltiple

    8.2

    Laexcursin

    8.3

    Msproblem

    as

    9.Prob

    lemasdeco

    nteo

    .[1

    18-1

    31]

    An

    ticipa

    r resultad

    osenprob

    lemasdeco

    nteo

    ,con

    baseen

    la

    iden

    tific

    acinde

    regu

    larid

    ades.V

    erificarlosresultad

    os

    med

    iantearreglosre

    ctan

    gulares,diag

    ramasderbo

    luotros

    recu

    rsos.

    9.1

    Cm

    ono

    sestacion

    amos?

    Decu

    ntasform

    as?

    Diagram

    ade

    rbol

    9.2

    Lacasade

    cultura

    9.3

    Repa

    rto de

    dulces

    Diagram

    ade

    rbol

    Anticipa

    r resultad

    osenprob

    lemasdeco

    nteo

    10.P

    olgon

    osdefrecue

    ncias.

    [132

    -147

    ]

    Interpretar ycom

    unicarin

    form

    acinmed

    iantepolgon

    osde

    frecue

    ncia.

    10.1Re

    zago

    edu

    cativo

    ygrfic

    as

    10.2An

    emiaenlapob

    lacin

    infantilmexican

    aPo

    lgon

    osdefrecue

    nciasen

    losrepo

    rtesdeinvestigacin

    10.3Q

    ugrfic

    autilizar?

    Polg

    onode

    frecu

    encias

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B1 S01.indd 4 6/3/07 12:27:39 AM

  • 5Blo

    qu

    e 2

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    11.

    Laje

    rarquade

    lasop

    eracione

    s.[1

    50-1

    59]

    Utilizarla

    jerarquade

    lasop

    eracione

    sylospa

    rntesis

    sifue

    ranecesario,e

    nprob

    lemasyclcu

    los.

    11.1Elc

    oncu

    rsode

    latele

    Elcon

    cursode

    latele

    Jerarquade

    lasop

    eracione

    s

    yusode

    parn

    tesis

    Aprend

    eacalcularcon

    Log

    o(Log

    o)

    11.2M

    sre

    glas

    Construc

    cin

    den

    merossoloco

    ncua

    tro

    cuatros(C

    alcu

    lado

    ra)

    Construc

    cin

    deprog

    ramasVII(Calcu

    lado

    ra)

    12.Multiplicacin ydivisin

    depo

    linom

    ios.

    [160

    -175

    ]

    Resolverproblem

    asm

    ultiplicativosque

    implique

    nel

    usode

    exp

    resion

    esalgeb

    raicas.

    12.1Lo

    sbloq

    uesalge

    braico

    sLo

    sbloq

    uesalge

    braico

    sMultiplicacinydivisin

    deexpresione

    salge

    braicas

    12.2Acub

    rirre

    ctn

    gulos

    Multiplicacinydivisin

    deexpresione

    salge

    braicas

    12.3C

    unto midelabase?

    13.Cu

    bos, prismasypir

    mides.

    [176

    -187

    ]

    Describirlascaractersticasde

    cub

    os,p

    rismasy

    pirmides.C

    onstruirde

    sarrollosplan

    osdecu

    bos,

    prismasypir

    midesre

    ctos.A

    nticipardiferen

    tesvistas

    deuncu

    erpo

    geo

    mtric

    o.

    13.1Desarrolla

    tuim

    aginacin

    Lageo

    metra

    atualrede

    dor

    Cub

    os,p

    rismasypir

    mides

    13.2M

    sdesarrollo

    splan

    osCub

    os,p

    rismasypir

    mides

    13.3El c

    uerpoesco

    ndido

    13.4Patrone

    syregu

    larid

    ades

    13.5Diferen

    tes pu

    ntosdevista

    Cub

    os,p

    rismasypir

    mides

    14.Vo

    lumen

    deprismasypir

    mides.

    [188

    -199

    ]

    Justificarlasfrm

    ulasparacalcularelv

    olum

    ende

    cubo

    s,pris

    masypir

    midesre

    ctos.

    14.1La

    scajas

    Volumen

    decu

    bos,prismasypir

    mides

    14.2M

    svolm

    enesdeprismas

    14.3Arroz

    yvolum

    enUna

    sfrm

    ulasseob

    tien

    endeotras

    Volumen

    decu

    bos,prismasypir

    mides

    15.Ap

    licacin de

    volm

    enes.

    [200

    -207

    ]

    Estimarycalcu

    larelvolum

    endecu

    bos,prismasy

    pirmidesre

    ctos.

    Ca

    lculardatosdesco

    nocido

    s,da

    dosotrosrelacion

    ados

    conlasfrm

    ulasdelclcu

    lodevo

    lumen

    .

    Establecerre

    lacion

    esdeva

    riacin

    entrediferen

    tes

    med

    idasdeprismasypir

    mides.

    Re

    alizarcon

    versione

    sde

    med

    idasdevo

    lumen

    yde

    capa

    cida

    dyan

    alizarla

    relacin

    entreella

    s.

    15.1Eld

    ecm

    etrocb

    ico

    Estimacinyclculode

    volm

    enes

    15.2Cap

    acidad

    esyvolm

    enes

    Prob

    lemasprcticos

    15.3Variacion

    es

    16.Co

    mpa

    racin

    desituacione

    sde

    prop

    orcion

    alidad

    .[2

    08-2

    15]

    Re

    solverproblem

    asdeco

    mpa

    racin

    derazo

    nes,co

    nba

    seenlanoc

    inde

    equ

    ivalen

    cia.

    16.1Elren

    dimientoco

    nstante

    Compa

    racin

    derazo

    nes

    16.2La

    con

    centracin

    depintura

    Compa

    racin

    deco

    cien

    tes

    Compa

    racin

    derazo

    nes

    17.Med

    idasdetend

    enciacentral.

    [216

    -235

    ]

    Interpretarycalcularlasm

    edidasdetend

    encia

    centralde

    unco

    njun

    todeda

    tosag

    rupa

    dos,

    consideran

    dodeman

    eraespe

    cialla

    sprop

    ieda

    desde

    lam

    ediaarit

    mtica.

    17.1Elp

    romed

    iodelgrupo

    enelexa

    men

    1

    17.2El p

    romed

    iodelgrupo

    enelexa

    men

    2M

    edidasdetend

    enciacentral

    17.3La

    s calora

    squ

    eco

    nsum

    enlo

    sjvene

    sEstadsticas,a

    limen

    tosyotrassituacione

    sM

    edidasdetend

    enciacentral

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B1 S01.indd 5 6/3/07 12:27:40 AM

  • 6Blo

    qu

    e 3

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    TEC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    1 8.S u

    c esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    Co

    nstruirsucesion

    esden

    meroscon

    signo

    apartirde

    una

    reglada

    da.O

    bten

    erla

    reglaqu

    ege

    nerauna

    suc

    esinde

    n

    meroscon

    signo

    .

    1 8.1 C

    u le

    slare

    g la ?

    S uc esio n

    e sden

    me ro s

    S uc esio n

    e sden

    me ro sco n

    sign o

    De sc ripc i n

    dep ro g

    rama s(C

    a lc u

    lad o

    ra)

    18.2Nm

    erosque

    crecen

    Sucesion

    esden

    meroscon

    signo

    18.3De may

    oram

    enor

    Sucesion

    esyre

    cursividad

    con

    Log

    o

    Sucesion

    esgeo

    mtric

    ascon

    Log

    o

    19.Ecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    Re

    solverproblem

    asque

    implique

    nelplantea

    mientoyla

    resolucin

    deecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    delaforma:

    ax +

    bx

    + c

    = dx

    + e

    x +

    fyco

    npa

    rntesisenun

    ooen

    am

    bosmiembrosdelaecu

    acin,utilizan

    docoe

    ficientes

    enterosofraccion

    arios,po

    sitivo

    sone

    gativo

    s.

    19.1Pien

    saunn

    mero

    Ecua

    cion

    es(3

    )(Hojade

    clcu

    lo)

    19.2Elm

    odelode

    labalan

    zaLabalan

    zaRe

    solucin

    deecua

    cion

    esdeprim

    ergrado

    Nm

    erosperdido

    s(Calcu

    lado

    ra)

    19.3Msall

    delabalan

    za

    19.4Miscelne

    ade

    problem

    as

    20.Re

    lacin

    fun

    cion

    al

    Reco

    noceren

    situa

    cion

    esproblem

    ticasasociad

    asa

    fen

    men

    osdelafsica,la

    biologa,la

    eco

    nomayotras

    disciplin

    as,lapresen

    ciade

    can

    tida

    desqu

    eva

    ranun

    aen

    func

    inde

    laotrayrepresen

    tarestare

    lacin

    med

    ianteun

    atablaoun

    aexpresinalge

    braicadelaforma:y

    = a

    x +

    b.

    Construir, interpretaryutilizargrfi

    casde

    relacion

    esline

    ales

    asoc

    iada

    sadiversosfen

    men

    os.

    20.1Lacolade

    lastortillas

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    20.2Cm

    o ha

    blan

    portelfon

    o!Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    Varia

    cin

    line

    a(2)(Hojade

    clcu

    lo)

    20.3Eltax

    iDescripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    Grfic

    asdefunc

    ione

    s(Log

    o)

    20.4Elre

    sorte

    Grado

    sFarenh

    eitocentgrado

    s?

    (Calcu

    lado

    ra)

    20.5Elplanpe

    rfecto

    Loscelulares

    Descripcin

    defen

    men

    osc

    onre

    ctas

    21.Lo

    s po

    lgon

    osysusng

    ulosin

    ternos

    Estableceruna

    frmulaqu

    epe

    rmitacalcularla

    sum

    ade

    los

    ngu

    losinterio

    resde

    cua

    lquierpolgon

    o.

    21.1Tring

    ulosenpo

    lgon

    osTriang

    ulacin

    ngu

    losinterio

    resde

    unpo

    lgon

    o

    21.2Lasum

    ade

    ng

    ulosin

    ternos

    ngu

    losinterio

    resde

    unpo

    lgon

    oMed

    icinde

    perm

    etros,rea

    syn

    gulos

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    22.Mosaico

    s yrecu

    brim

    ientos

    Co

    nocerlascaractersticasde

    lospo

    lgon

    osque

    permiten

    cu

    brirelplano

    yre

    alizarre

    cubrim

    ientosdelplano

    .

    22.1Re

    cubrim

    ientosdelplano

    Enmosaicado

    sCu

    brim

    ientosdelplano

    22.2Lo

    s mosaico

    sylospo

    lgon

    osre

    gulares

    Cubrim

    ientosdelplano

    Recu

    brim

    ientode

    lplano

    con

    polgon

    os

    regu

    lares(Geo

    metra

    dinm

    ica)

    23.Las caractersticasde

    lalne

    arecta

    An

    ticipa

    relcom

    portam

    ientode

    grfic

    asline

    alesdelaforma

    y =

    mx

    + b,cua

    ndosem

    odificaelv

    alordebmientraselvalor

    dem

    perman

    ececo

    nstante.

    An

    alizarelc

    ompo

    rtam

    ientode

    grfic

    asline

    alesdelaforma

    y =

    mx

    + b,cua

    ndocambiaelvalordem,m

    ientraselvalor

    debp

    erman

    ececo

    nstante.

    23.1Pe

    ndienteyprop

    orcion

    alidad

    Ecua

    cin

    delare

    ctay=

    ax +

    b

    Rectasque

    crecen(C

    alcu

    lado

    ra)

    Qu

    grfic

    ascrecenmsrp

    ido?

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.2Las pe

    ndientesneg

    ativas

    Ecua

    cin

    delare

    ctay=

    ax +

    bGrfic

    asque

    de

    crecen

    (Calcu

    lado

    ra)

    Mssob

    regrfic

    asque

    de

    crecen

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.3Laorden

    adaalorig

    enLaorden

    adaalorig

    enEcua

    cin

    delare

    cta

    y =

    ax +

    bAn

    alizan

    dogrfic

    asderectas

    (Hoja de

    clcu

    lo)

    Unpu

    ntoim

    portan

    teenun

    arecta

    (Calcu

    lado

    ra)

    23.3Miscelne

    a de

    problem

    asyalgoms

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B1 S01.indd 6 6/3/07 12:27:41 AM

  • 7S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    24.Po

    tenc

    iasyno

    tacin

    cientfica

    Elab

    orar,u

    tilizaryju

    stificarproc

    edim

    ientosparacalcular

    prod

    uctosyco

    cien

    tesde

    poten

    ciasenteraspositivasdela

    mismaba

    seypoten

    ciasdeun

    apo

    tenc

    ia.

    Interpretarelsignific

    adode

    eleva

    run

    nm

    erona

    turala

    una

    po

    tenc

    iadeexpo

    nentene

    gativo

    .

    Utilizarla

    notacincien

    tfic

    apa

    rare

    alizarclcu

    losen

    losqu

    einterviene

    ncantidad

    esm

    uygrand

    esom

    uypeq

    uea

    s.

    24.1Prod

    uctodepo

    tenc

    ias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesI(Calcu

    lado

    ra)

    24.2Po

    tenc

    ias de

    poten

    cias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesIII(Ca

    lculad

    ora)

    24.3Co

    cien

    tes de

    poten

    cias

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    Leyesde

    losexpo

    nentesIIyIV

    (Calcu

    lado

    ra)

    24.4Ex

    pone

    ntesneg

    ativos

    Potenc

    iasyexpo

    nentes

    24.5Notacin cien

    tfic

    aNm

    erosm

    uygrand

    es

    y muy

    peq

    ueo

    s

    25.Tring

    uloscon

    grue

    ntes

    Determinarlo

    scriteriosde

    con

    grue

    nciadetring

    ulosapartir

    decon

    struccione

    sco

    ninform

    acinde

    term

    inad

    a.

    25.1Tresla

    dosigua

    les

    Figu

    rasco

    ngruen

    tes

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    25.2Un n

    guloydosla

    dosco

    rrespo

    ndientesig

    uales

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    25.3Un lado

    ydosng

    uloscorrespon

    dien

    tesigua

    les

    Cong

    ruen

    ciade

    tri

    ngulos

    Figu

    rasdirectaoinversam

    entecon

    grue

    ntes

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    26.Pu

    ntosyre

    ctasnotab

    lesde

    ltri

    ngulo

    Ex

    plorarla

    sprop

    ieda

    desde

    lasalturas,med

    iana

    s,med

    iatrices

    ybisectric

    esenun

    tri

    ngulo.

    26.1Med

    iatrices

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    Bisectriz

    ,altura,m

    ediana

    ym

    ediatrizdeun

    tring

    ulocu

    alqu

    iera(G

    eometra

    dinm

    ica)

    26.2Alturas

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    26.3Med

    iana

    sRe

    ctasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    26.4Bisectric

    esRe

    ctasnotab

    lesde

    ltri

    ngulo

    Rectasypun

    tosno

    tablesdeltri

    ngulo

    Trazarelinc

    rculode

    untring

    ulo

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    27.Ev

    entos inde

    pend

    ientes

    Disting

    uirendiversassitua

    cion

    esdeazareventosque

    son

    inde

    pend

    ientes.

    Determinarla

    formaen

    que

    sepu

    edecalcularlaprob

    abilida

    dde

    ocu

    rren

    ciade

    dosom

    seventosin

    depe

    ndientes.

    27.1C

    ulessonloseven

    tosinde

    pend

    ientes?

    Cu

    ndodo

    seven

    tosson

    inde

    pend

    ientes?

    Prob

    abilida

    d.Eventosin

    depe

    ndientes

    27.2Dosom

    seventosin

    depe

    ndientes

    Prob

    abilida

    d.Eventosin

    depe

    ndientes

    27.3Ev

    entos inde

    pend

    ientesydep

    endien

    tes

    Prob

    abilida

    d.Eventosin

    depe

    ndientes

    Jueg

    oco

    nda

    dos1,2y3(L

    ogo)

    Frecue

    nciayproba

    bilid

    adcon

    Log

    o

    28.Grfic

    asdeln

    ea

    Interpretaryutilizardo

    somsgrfic

    asdeln

    eaque

    represen

    tancaractersticasdistintasdeun

    fen

    men

    oo

    situacinpa

    raten

    erin

    form

    acinmscom

    pletayen

    sucaso

    tomardecisione

    s.

    28.1Tu

    rismo,empleo

    ygrfic

    asdeln

    eaElturismo:Una

    ocu

    pacin

    interesante

    Grfic

    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    28.2Sab

    escu

    ntaspersona

    svisitanelestad

    oen

    qu

    evives?

    Grfic

    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    28.3C

    untosextranjerosnosvisitaron

    ?Grfic

    asdeln

    eaenlaestad

    stica

    29.Grfic

    asformad

    asporre

    ctas

    Interpretaryelab

    orargrfic

    asformad

    asporseg

    men

    tosde

    rectaqu

    emod

    elan

    situa

    cion

    esre

    lacion

    adascon

    mov

    imiento,

    llena

    doderecipien

    tes,etctera.

    29.1Albe

    rcasparach

    icosygrand

    esLlen

    adode

    recipien

    tes

    29.2Ca

    mino alaescue

    laGrfic

    asformad

    asporseg

    men

    tos

    dere

    cta

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    Blo

    qu

    e 4

    MAT2 B1 S01.indd 7 6/3/07 12:27:42 AM

  • 8Blo

    qu

    e 5

    EJ

    E 1

    :Se

    ntidonu

    mricoype

    nsam

    ientoalge

    braico

    EJ

    E 2

    :Fo

    rma,espacioym

    edida

    EJ

    E 3

    :Man

    ejode

    lain

    form

    acin

    S EC

    UEN

    CIA

    S ES I

    N

    REC

    UR

    SOS

    T EC

    NO

    LG

    ICO

    SV

    ideo

    sIn

    t er a

    c tiv

    os

    Au

    la d

    e m

    e dio

    s

    3 0.S iste m

    a sdee cu a

    c io n

    e s

    Re

    presen

    tarco

    nliteraleslo

    sva

    loresde

    scon

    ocidosdeun

    prob

    lemayusarlaspa

    raplantea

    ryresolverunsistem

    ade

    ecua

    cion

    escon

    coe

    ficientesenteros.

    Re

    presen

    targrfi

    camen

    teunsistem

    ade

    ecu

    acione

    slin

    eales

    conco

    eficien

    tesen

    teroseinterpretarlain

    terseccin

    desus

    grfi

    casco

    molasoluc

    inde

    lsistema.

    3 0.1L agran ja

    S iste m

    a sdee cu a

    c io n

    e s

    30.2Co

    mprasenelm

    ercado

    Sistem

    asdeecua

    cion

    es

    30.3So

    lucin

    grfic

    ade

    sistemasdeecua

    cion

    esElviaje

    Sistem

    asdeecua

    cion

    esSistem

    asdedo

    secua

    cion

    es(H

    ojade

    clcu

    lo)

    31.Traslacin

    , rotacinysimetra

    cen

    tral

    Determinarla

    sprop

    ieda

    desde

    laro

    tacin

    ydelatraslacinde

    fig

    uras.C

    onstruiryreco

    nocerdiseo

    squ

    eco

    mbina

    nla

    simetra

    axialycen

    tral,larotacin

    yla

    traslacinde

    figu

    ras.

    31.1H

    aciadn

    dem

    emue

    vo?

    Mov

    imientosenelplano

    Conc

    eptodetraslacin

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    31.2Ro

    tacion

    esMov

    imientosenelplano

    Conc

    eptoderotacin

    (Geo

    metra

    dinm

    ica)

    Molinosyre

    hiletes1y2(Log

    o)

    31.3Simetra

    cen

    tral

    Mov

    imientosenelplano

    Mov

    imientosenelplano

    Usodelasim

    etra

    cen

    tral(G

    eometra

    dinm

    ica)

    31.4Algo

    mssob

    resim

    etra

    s,rotacion

    esy

    traslacion

    es

    32.Ev

    entos mutua

    men

    teexcluyentes

    Disting

    uiren

    diversassituacione

    sde

    azareven

    tosqu

    eson

    mutua

    men

    teexcluyentes.

    Determinarla

    formaen

    que

    sepu

    edecalcularla

    proba

    bilid

    ad

    deocu

    rren

    cia.

    32.1C

    ulessonloseven

    tosmutua

    men

    te

    excluy

    entes?

    Cu

    ndodo

    seven

    tosson

    mutua

    men

    teexcluyentes?

    Prob

    abilida

    d.Eventosm

    utua

    men

    te

    excluy

    entes

    32.2Dosom

    seventosm

    utua

    men

    teexcluyentes

    Prob

    abilida

    d.Eventosm

    utua

    men

    te

    excluy

    entes

    32.3Msproblem

    asdeprob

    abilida

    dAz

    aryproba

    bilid

    adcon

    Log

    o

    EV

    AL

    UA

    CI

    N

    MAT2 B1 S01.indd 8 6/3/07 12:27:43 AM

  • Clave de logos

    Trabajo individual

    En parEjas

    En Equipos

    Todo El grupo

    ConExin Con oTras asignaTuras

    glosario

    ConsulTa oTros maTErialEs

    Cd dE rECursos

    siTios dE inTErnET

    biblioTECas EsColarEs y dE aula

    vidEo

    programa inTEgrador EdusaT

    inTEraCTivo

    audioTExTo

    aula dE mEdios

    oTros TExTos

    MAT2 B1 S01.indd 9 6/7/07 12:02:11 PM

  • 10

    MAT2 B1 S01.indd 10 6/3/07 12:27:46 AM

  • 11

    BLOQUE 1

    MAT2 B1 S01.indd 11 6/3/07 12:27:48 AM

  • 12

    secuencia 1

    En esta secuencia resolvers problemas que impliquen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

    LOS NMEROS CON SIGNOPara empezarLos nmeros con signo

    Enlassecuencias25y33detulibroMatemticas i Volumen iiresolvisteproblemasenlosqueutilizastesumasyrestasdenmerosconsigno.Enestasesinrecordarscmohaceresasoperaciones.

    Losnmeros con signosonlosnmerospositivosylosnmerosnegativos.Elceronotienesigno.

    Losnmeros positivos seubicana laderechadelceroen la rectanumrica.Puedenaparecerconelsigno+osinl.Cuandollevanelsigno+esporquesedesearesaltarquesonpositivos.Porejemplo:+3,+16,+7.9,+10.35,+25,+

    373 .

    Losnmeros negativosseubicanalaizquierdadelceroenlarectanumricaysiempreseescribenanteponindoleselsigno.Porejemplo:7,1,4.1,12.73,83 ,

    815 .

    SESIN 1

    Multiplicacin y divisin de nmeros con signo

    01 +1612.73815 +7.9 +10.354.17

    +25

    +3

    +37383

    MAT2 B1 S01.indd 12 6/3/07 12:27:50 AM

  • 13

    IIMATEMTICASCuando sehacenoperaciones denmeros con signo, los nmeros se escriben entreparntesisparanoconfundirlossignosdelosnmerosconlossignosdelaoperacin.Porejemplo:

    (4)+(+5)(15).

    Sepuedeescribir5envezde+5yentoncesnosonnecesarioslosparntises:

    (4)+5(15).

    Lo que aprendimos1. Unasustanciaqumicaqueestaunatemperaturade5Csecalientaenunmeche-

    rohastaquealcanzaunatemperaturade12C.

    Cuntosgradossubilatemperaturadelasustancia?

    2. Enunatiendadeabarrotesserealizelbalancebimestraldetodounao.Seindica-ronlasgananciasconnmeros negrosylasprdidasconnmeros rojos.Elsaldoparaunperiodosecalculasumandolasgananciasyrestandolasprdidas:

    Ene-Feb Mar-Abr May-Jun Jul-Ago Sept-Oct Nov-Dic

    Balance bimestral 960.60 773.50 1 755.75 441.80 2 997.25 4 647.00

    a) Respondansinhacerlacuenta,elsaldoanualfuepositivoonegativo?

    b) Decuntofueelsaldoanualenlatienda?

    c) Enotratienda,elsaldoanualfuede$9 550.60.Enelbimestreenero-febrerotu-vieronprdidaspor$845.25.

    Culfueelsaldoenestatiendademarzoadiciembre?

    3. Escribanmayorque(>)omenorque(

  • 14

    secuencia 14. Escriban el simtrico o el valor absoluto de los siguientes

    nmerosconsigno,segncorresponda:

    a) Elsimtricode29.3es

    b) Elsimtricode(197 )esc) |25.1|=

    d) | 213|=

    5. Resuelvanlassiguientessumas:

    a) (8)+(15)=

    b) 24+(24)=

    c) (31)+48=

    d) 59+(81)=

    e) 4.3+(8.7)=

    f) ( 12 )+ 79 =

    6. Resuelvanlassiguientesrestas:

    a) (31)14=

    b) 46(10)=

    c) (2)(65)=

    d) (52)(19)=

    e) (15.7)(17.9)=

    f) ( 74 )( 13 )=

    7. Resuelvanlassiguientessumas:

    a) (10)+17+(15)=

    b) 28+(4)+11=

    c) (10)+(21)+86=

    d) (47)+(12)+(33)=

    e) 14+(25)+(39)+32=

    f) (10)+(33)+(38)+(9)=

    Recuerden que:

    Para hacer restas de nmeros con

    signo se puede sumar el simtrico:

    (2)5=(2)+(5)=7.

    (3)(5)=(3)+5=2.

    Recuerden que:

    Para realizar una suma de varios nmeros con signo podemos sumar primero todos los nmeros positivos, despus todos los nmeros negativos y por ltimo sumar los resultados. Por ejemplo:

    (18)+31+(24)=31+(42)=11.

    (15)+11+(8)+28=39+(23)=16.

    Recuerden que:

    Para sumar dos nmeros del

    mismo signo se pueden

    sumar los valores absolutos

    de los nmeros, y el signo del

    resultado es el signo de los

    nmeros que se suman.

    Para sumar dos nmeros de

    signos distintos, se puede

    encontrar la diferencia de

    los valores absolutos de los

    nmeros, y el signo del

    resultado es el signo del

    nmero de mayor valor

    absoluto.

    Recuerden que:

    Los nmeros simtricos son los que estn a la misma distancia del cero.

    El valor absoluto de un nmero siempre es un nmero positivo, se representta utilizando dos barras verticales.

    MAT2 B1 S01.indd 14 6/3/07 12:27:54 AM

  • 15

    IIMATEMTICAS8. ElmunicipiodeTemsachic,localizadoenelnoroestedelestadodeChihuahua,es

    unodelosmunicipiosconlastemperaturasmsbajasdelpas.Enelao2006,enesalocalidadseregistraronlassiguientestemperaturasmnimaspromediopormes(engradoscentgrados):

    Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic

    Temperatura mnima promedio 7 2 0 2 5 12 13 14 10 4 3 6

    a) Dibujenunarectanumricaycoloquenenellatodaslastemperaturas.

    b) Conlosdatosmensualesdelcuadro,calculenelpromedioanualdelatemperatura

    mnima.

    9. ElfarodeAlejandraesunadelassietemaravillasdelmundo antiguo. Ptolomeo I, rey de Egipto,mandconstruirloenelao291antesdenuestraera,enlaisladeFaro.Consistaenunatorrede134metrosdealtura;ensupartesuperior,unahoguerapermanen-temarcabalaposicindelaciudadalosnavegantes.

    a) Laconstruccindelfarotard12aosencom-pletarse.Enquaosetermindeconstruir?

    b) Ptolomeo I tena76 aos cuandomand cons-truirelfaro,enquaonaci?

    c) ElsucesordePtolomeoIfuesuhijo,PtolomeoII,quienseconvirtienreyenelao285antesdenuestra era, a la edadde24 aos. Se sabequePtolomeoIInacicuandosumadretena31aos.

    Enquaonacilamadre?

    MAT2 B1 S01.indd 15 6/3/07 12:27:57 AM

  • 16

    secuencia 1

    MULTIPLICACIONES DE NMEROS CON SIGNOPara empezarLosnmerostienensuorigenenlanecesidaddecontarydemedir.Losprimerosnme-rosquefueronutilizadossonlosllamadosnmeros naturales:

    1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

    Alconjuntoformadoporlosnmerosnaturales,lossimtricosdelosnmerosnaturalesyelcero,selellamaconjuntodelosnmeros enteros:

    ,4,3,2,1,0,1,2,3,4

    Consideremos lo siguienteLassiguientestablassonpartedelastablasdemultiplicardel4ydel6.Completalosresultados:

    46= 24 66= 36

    45= 20 65= 30

    44= 16 64= 24

    43= 63=

    42= 62=

    41= 61=

    40= 0 60=

    4(1)= 6(1)=

    4(2)= 6(2)=

    4(3)= 6(3)=

    4(4)= 6(4)= 24

    4(5)= 6(5)=

    4(6)= 6(6)=

    4(7)= 6(7)=

    Comparensusrespuestas.Comenten losprocedimientosquesiguieronpara llenarlastablas.

    SESIN 2

    MAT2 B1 S01.indd 16 6/3/07 12:27:58 AM

  • 17

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Observalastablasyrespondelaspreguntas:

    a) Cuntoserestaparapasardelresultadode45alresultadode44?

    b) Cuntoserestaparapasardelresultadode41alresultadode40?

    c) Parapasardel resultadode40al resultadode4 (1), se resta lomismo.

    Cuntoes4(1)?

    d) Entredos renglones consecutivosde la tabladel4, siempre se resta lomismo.

    Cuntoes4(5)?

    e) Cuntoserestaentredosrenglonesconsecutivosdelatabladel6?

    f) Cuntoes6(2)?

    g) Cuntoes6(5)?

    Comparensusrespuestas.

    ii. Multiplicar42eslomismoquesumarcuatroveces2:

    42=2+2+2+2=8.

    Sesumacuatroveces2.

    Expresacadamultiplicacincomosumas:

    a) 53= =

    Sesuma veces3.

    b) 40=0+0+0+0=

    Sesuma veces0.

    MAT2 B1 S01.indd 17 6/3/07 12:27:59 AM

  • 18

    secuencia 1iii.Cuandoenunamultiplicacinelprimer factoresunnmeroenteropositivoyel

    segundo factor es un nmero negativo, tambin se hace una suma repetida, porejemplo:

    2(5)=(5)+(5)=10.

    Sesumadosveces5.

    Otambin:

    4(3.7)=(3.7)+(3.7)+(3.7)+(3.7)=14.8.

    Sesumacuatroveces3.7.

    Expresalassiguientesmultiplicacionescomosumasrepetidasyencuentraelresultado:

    a) 3(8)=( )+( )+( )=

    b) (11)=(11)+(11)+(11)+(11)=

    c) 5 =(2)+(2)+(2)+(2)+(2)=

    d) 4(1.2)=(1.2)+(1.2)+(1.2)+(1.2)=

    e) 6( 43 )=( 43 )+( 43 )+( 43 )+( 43 )+( 43 )+( 43 )=

    f) 6(7)=

    g) 3 = =36.

    Comparensusrespuestasycomenten:enotrogrupoencontraronelresultadode6(7)diciendo que6 7 = 42 y que, entonces,6 (7) = 42. Estn de acuerdo conesteprocedimiento?Cmousaranesteprocedimientoparaencontrarelresultadode4(1.2)yde6( 43 )?

    iV.Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    a) 8(10)=

    b) 12(4)=

    c) 7(5.8)=

    d) 10( 17 )=

    MAT2 B1 S01.indd 18 6/3/07 12:28:01 AM

  • 19

    IIMATEMTICASA lo que llegamosCuando en una multiplicacin el primer factor es un nmero entero positivo y el segundo factor es un nmero negativo, se suma varias veces el nmero negativo.

    Por ejemplo:

    5 (4) = (4) + (4) + (4) + (4) + (4) = 20.

    Se suma cinco veces 4

    3 (6.4) = (6.4) + (6.4) + (6.4) = 19.2.

    Se suma tres veces 6.4

    4 ( 73 ) = ( 73 ) + ( 73 ) + ( 73 ) + ( 73 ) = ( 283 ) .

    Se suma cuatro veces 73 .

    En general, para encontrar el resultado de una multiplicacin de este tipo se multiplican los valores absolutos de los nmeros y al resultado se le antepone el signo . Por ejemplo:

    6 (3) = 18 Se hace la multiplicacin 6 3 = 18, se le antepone el signo , y el resultado es 18.

    10 (8.32) = 83.2 Se hace la multiplicacin 10 8.32 = 83.2, se le antepone el signo , y el resultado es 83.2.

    Lo que aprendimos1. Completalaexpresindecadaunadelassiguientesmultiplicacionescomounasuma

    yencuentraelresultado.

    a) 4 = + + + =32.

    b) 80= =

    c) 3(7)= =

    d) 9(1)= =

    e) (2)=(2)+(2)+(2)+(2)+(2)+(2)+(2)=

    f) 4 = =12.

    MAT2 B1 S01.indd 19 6/3/07 12:28:04 AM

  • 20

    secuencia 1g) 5(10.4)= =

    h) 6( 25 )= =

    2. Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    5(8)= 8(7)= 20= 3(9)=

    110= 2(13)= 14(3)= 100=

    6(4.8)= 8(2.25)= 7( 34 )= 4(113 )=

    MS MULTIPLICACIONES DE NMEROS CON SIGNOPara empezarEnestasesinvasacontinuarhaciendomultiplicacionesdenmerosnegativosconpositivos.

    Consideremos lo siguienteLassiguientestablassonpartedelastablasdemultiplicardel8.Encuentralosresultados:

    86= 68=

    85= 58=

    84= 48=

    83= 38=

    82= 28=

    81= 18=

    80= 08=

    8(1)= (1)8=

    8(2)= (2)8=

    8(3)= (3)8=

    8(4)= (4)8=

    8(5)= (5)8=

    8(6)= (6)8=

    Comparensusrespuestas.Comentencmovancambiandolosresultadosenlastablas.

    SESIN 3

    MAT2 B1 S01.indd 20 6/3/07 12:28:05 AM

  • 21

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Observalastablasyrespondelaspreguntas:

    a) Enlatabladelaizquierda,dearribahaciaabajo,losresultadosaumentanodis-

    minuyen?

    b) Cuntoserestaparapasardelresultadode48alresultadode38?

    c) Cuntoserestaparapasardelresultadode28alresultadode18?

    d) Parapasardel resultadode08 al resultadode (1)8, se resta lomismo.

    Cuntoes(1)8?

    e) Entredos renglones consecutivosde la tabladel8, siempre se resta lomismo.

    Cuntoes(5)8?

    f) Cmosonlosresultadosencadarenglndelasdostablas?Sonigualesoson

    distintos?

    Comparensusrespuestas.Comenten:si8(9)=72,cuntoes(9)8?

    ii. Completalossiguientesresultados:

    105= 50 510= 50

    104= 40 410= 40

    103= 30 310= 30

    102= 20 210= 20

    101= 10 110= 10

    100= 0 010= 0

    10(1)= (1)10=

    10(2)= (2)10=

    10(3)= (3)10=

    10(4)= (4)10=

    10(5)= (5)10=

    a) Enlastablas,losresultadosaumentanodisminuyen?

    b) Losresultados,encadarenglndeambastablas,sonigualesosondiferentes?

    MAT2 B1 S01.indd 21 6/3/07 12:28:06 AM

  • 22

    secuencia 1

    Comparensusrespuestas.Comentenculeselsignodelresultadocuandomultiplicamosunnmeronegativoconunopositivo.

    A lo que llegamosCuando en una multiplicacin el primer factor es un nmero negativo y el segundo factor es un nmero entero positivo, se multiplican los valores absolutos de los nmeros y al resultado se le antepone el signo . Por ejemplo:

    (8) 2 = 16 Se hace la multiplicacin 8 2 = 16, se le antepone el signo , y el resultado es 16.

    iV.Cuandosemultiplicaunnmeroenteropositivoporunafraccinounnmerodeci-malnegativo,sehacelomismo:semultiplicanlosvaloresabsolutosdelosnmerosyalresultadoseleanteponeelsigno.Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    iii.Encuentraelresultadodelassiguientesmultiplicaciones:

    a) 7(4)=

    c) 11(9)=

    e) 5(12)=

    g) 4(27)=

    i) 15(4)=

    k) 10(16)=

    b) (4)7=

    d) (9)11=

    f) (12)5=

    h) (27)4=

    j) (2)18=

    l) (14)13=

    a) 3(4.1)=

    c) ( 45 )3=

    b) (9.47)10=

    d) 5(107 )=

    Comparensusrespuestas.

    MAT2 B1 S01.indd 22 6/3/07 12:28:07 AM

  • 23

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    05= 7x(1)= 3(16)=

    (1)14= (7)11= 1(4)=

    (17)7= 16(12)= (3.5)4=

    8(6.2)= ( 29 )6= 8(134 )=

    LA REGLA DE LOS SIGNOS 1Para empezarCuandosemultiplicannmerosconsignoseutilizalaregladelossignos.Enestasesinvasaconoceryautilizarestaregla.

    Consideremos lo siguienteEncuentralosresultadosquehacenfaltaenlasiguientetablayantalos.

    4 3 2 1 0 1 2 3 4

    4 16 12 8 4 0 4 8 12 16

    3 12 9 6 3 0 3 6 9 12

    2 8 6 4 2 0 2 4 6 8

    1 4 3 2 1 0 1 2 3 4

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 0

    2 0

    3 0

    4 0

    Comparensusrespuestas.Comentencmovancambiandolosresultadosencadaren-glnyencadacolumna.

    SESIN 4

    MAT2 B1 S01.indd 23 6/3/07 12:28:08 AM

  • 24

    secuencia 1

    Manos a la obrai. Observalastablasyrespondelaspreguntas:

    a) Cuntosesumaparapasardelresultadode4(3)alresultadode3(3)?

    b) Cuntosesumaparapasardelresultadode1(3)alresultadode0(3)?

    c) Entredosresultadosconsecutivosdelatabladel(3)siempresesumalomismo.

    Cuntoes(1)(3)?

    d) Cuntoes(2)(3)?

    ii. Respondelassiguientespreguntas:

    a) Enlatabladel(1),parapasardeunresultadoalsiguientesesumaoseresta?

    .Cuntosesumaocuntoseresta?

    b) En la tabladel1,parapasardeunresultadoal siguientese sumaose resta?

    .Cuntosesumaocuntoseresta?

    c) Enlatabladel2,cuntosesumaocuntoserestaparapasardeunresultadoal

    siguiente?

    d) Enlatabladel(4),cuntosesumaocuntoserestaparapasardeunresultado

    alsiguiente?

    e) Culeselsignodelresultadodemultiplicardosnmerosnegativos?

    Comparensusrespuestas.Comentenculeselresultadodemultiplicar(3)(7).

    iii.Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    a) 7(2)=

    c) (3)(6)=

    e) 3(15)=

    b) (12)4=

    d) (9)2=

    f) (17)(4)=

    MAT2 B1 S01.indd 24 6/3/07 12:28:10 AM

  • 25

    IIMATEMTICASiV.Completalasafirmacionesconpositivoonegativo:

    a) Cuandomultiplicamosunnmeropositivoporunonegativoelresultadoes

    b) Cuandomultiplicamosunnmeronegativoporuno elresultadoespositivo.

    c) Cuandomultiplicamosunnmero porunopositivoelresultadoespositivo.

    d) Cuandomultiplicamosunnmeronegativoporuno elresultadoesnegativo.

    Comparensusrespuestas.

    A lo que llegamosPara multiplicar nmeros con signo se multiplican los valores absolutos de los nmeros y luego se determina el signo del resultado utilizando la regla de los signos:

    cuando multiplicamos

    Positivo por positivo el resultado es positivo.

    Positivo por negativo el resultado es negativo.

    Negativo por positivo el resultado es negativo.

    Negativo por negativo el resultado es positivo.

    Por ejemplo, para multiplicar (4) 11, primero se hace la multiplicacin:4 11 = 44,

    y utilizando la regla de los signos sabemos que el resultado es negativo. Entonces,

    (4) 11 = 44.

    V. Cuandosemultiplicanfraccionesonmerosdecimalesconsigno,tambinseutilizalaregladelossignos.Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    a) (5)8.4=

    c) (5.8)(3.6)=

    e) ( 17 )(149 )=

    b) (10.35)(4)=

    d) 411(3)=

    f) 125 ( 12 )=

    MAT2 B1 S01.indd 25 6/3/07 12:28:12 AM

  • 26

    secuencia 1

    Lo que aprendimos 1. Realizalassiguientesmultiplicaciones:

    (8)0= 1(15)= 0(4)=

    (17)1= (3)13= (12)(8)=

    (16)2= (13)(15)= 7(1.3)=

    (2.5)4.1= ( 12 )( 18 )= 4(218 )=

    LA REGLA DE LOS SIGNOS 2Para empezarLaregla de los signostambinseutilizaparahacerdivisionesentredosnmerosconsigno.

    Consideremos lo siguienteCompletenlosdatosylosresultadosquefaltanenlassiguientesmultiplicaciones:

    7 4 12

    2 14 8 24

    4 16

    35

    56

    52

    105

    216

    Comparensusrespuestas.Comentenquhicieronparaencontrarelsignodelosnmerosquefaltaban.

    Manos a la obrai. Respondanlassiguientespreguntas:

    a) Unnmeromultiplicadopor17dacomoresultado204,culeslaoperacinque

    sepuedehacerparaencontraresenmero?

    SESIN 5

    MAT2 B1 S01.indd 26 6/3/07 12:28:13 AM

  • 27

    IIMATEMTICASb) Culeselnmeroquebuscamos?

    c) Estoesciertoporque: 17=204.

    d) Paraencontrarelnmeroquemultiplicadopor8dacomoresultado184,cul

    eslaoperacinquesepuedehacer?

    e) Culeselnmeroquebuscamos?

    f) Estoesciertoporque: (8)=184.

    ii. Enlasiguientetablasepresentanalgunosproblemas.Compltenla:

    Problema Divisin que se hace para encontrar el nmero Verificacin

    Culeselnmeroquealmultiplicarlopor3da78? (78)3= 3=78

    Culeselnmeroquealmultiplicarlopor9da171?

    Culeselnmeroquealmultiplicarlo

    por da ? (75)(25)= =75

    a) Culeselsignodelresultadodedividirunnmeronegativoentreunopositivo?

    b) Culeselsignodelresultadodedividirunnmeropositivoentreunonegativo?

    c) Culeselsignodelresultadodedividirunnmeronegativoentreunonegativo?

    iii.Encuentrenelresultadodelassiguientesdivisiones:

    a) 12(6)=

    c) (44)(4)=

    e) (16)(8)=

    b) (18)6=

    d) (20)5=

    f) 28(28)=

    Comparensusrespuestas.Comentenquhicieronparaencontrarelsignodelosresul-tados.

    MAT2 B1 S01.indd 27 6/3/07 12:28:13 AM

  • 28

    secuencia 1

    A lo que llegamosPara hacer divisiones entre nmeros con signo se dividen los valores absolutos de los nmeros y luego se encuentra el signo del resultado utilizando la regla de los signos:

    Cuando dividimos,

    Positivo entre positivo el resultado es positivo.

    Positivo entre negativo el resultado es negativo.

    Negativo entre positivo el resultado es negativo.

    Negativo entre negativo el resultado es positivo.

    Por ejemplo, para dividir (110) (5), primero se hace la divisin: 110 5 = 22,y utilizando la regla de los signos, sabemos que el resultado es positivo. Entonces,

    (110) (5) = 22.

    iV.Cuandosedividenfraccionesonmerosdecimalesconsigno,tambinseutilizalaregladelossignos.Realicenlassiguientesoperaciones:

    a) (7.4)2=

    c) (10)(114 )=

    e) ( 83 )( 74 )=

    b) (15.5)(5)=

    d) ( 23 )7=

    f) 23 ( 13 )=

    Lo que aprendimos1. Realizalassiguientesoperaciones:

    (9)0= (1)17= 1(29)= 0(24)=

    (2)7= 6(8)= (7)3= 11(4)=

    12(1)= (9)(5)= (15)(1)= (10)(13)=

    44(11)= (48)(2)= (56)8= (18)(4)=

    (35)8= 16(5)= (29)(4)= (71)(10)=

    6(5.3)= (3)x2.4= (3.75)(5)= (34.2)(9)=

    MAT2 B1 S01.indd 28 6/3/07 12:28:15 AM

  • 29

    IIMATEMTICAS(3)( 16 )= (132 )5= 78 (4)= (12)( 27 )=

    (7.4)5.1= (2.7)(10.5)= ( 65 )( 95 )= ( 17 )13=

    86 ( 92 )= (11)(103 )= 23 ( 58 )= ( 14 )(103 )=

    2. Del25al29dediciembrede2006seregistraronlassiguientestemperaturasenTe-msachic,Chihuahua:

    25 26 27 28 29

    Temperatura mxima 8 17.4 20.2 16 7

    Temperatura mnima 10 9.4 8.8 0 6

    a) Encuentraelpromediodelastemperaturasmximasenesosdas.

    b) Encuentraelpromediodelastemperaturasmnimasenesosdas.

    c) Encuentralatemperaturapromediodecadada(elpromediocalculadoentrela

    temperaturamximaylamnimadeeseda).

    3. Colocalosnmerosquefaltanparaquetodaslasoperacionesseancorrectas:

    =

    4 = 2

    = = =

    3 = 12

    Para saber msSobre los nmeros enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Nmeros enteros, Suma y resta de nmeros enteros y Multiplicacin y divisin de enteros, en Una ventana al infinito. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre los nmeros con signo:Marvn, Luz Mara. Nmeros con signo, Mayor o menor?, El valor absoluto y Reglas para operar con negativos, en Representacin numrica. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2002.

    Sobre los egipcios consulta:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/faro/home.htmRuta: Men Sobre hroes, tumbas y sabios El peridico Egipcio[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa.

    MAT2 B1 S01.indd 29 6/3/07 12:28:18 AM

  • 30

    secuencia 2

    En esta secuencia resolvers problemas de adicin y sustraccin de expresiones algebraicas.

    LOS GALLINEROSConsideremos lo siguienteDon Lencho es un granjero que desea construir un gallinero de forma rectangular. El tcnico avcola de la regin le ha recomendado que el largo del gallinero mida el doble que su ancho.

    Para determinar las dimensiones del gallinero, don Lencho tiene una gran cantidad de posibilidades que respeten la recomendacin anterior.

    SESIN 1

    Problemas aditivos con expresiones algebraicas

    a

    Si el nmero de metros que tiene el ancho se representa con la letra a, escribe una expresin algebraica que represente el pe-rmetro del gallinero.

    Permetro =

    Comparen sus expresiones algebraicas. Comenten:

    Cul es el permetro del gallinero si el ancho mide 1 metro?

    MAT2 B1 S02.indd 30 6/2/07 11:36:27 PM

  • 31

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Completa la siguiente tabla para ayudar a don Lencho a decidir el tamao del gallinero.

    Medida en metros del ancho

    Medida en metros del largo

    Operaciones que se realizan para calcular el permetro del gallinero

    Permetro del gallinero en metros

    1 2 6

    112

    2 4 12

    3

    8

    4.5 27

    48

    a

    Comparen sus tablas. Si es necesario, verifiquen sus respuestas dibujando en su cuaderno los rectngulos correspondientes (utilicen una escala de 1cm = 1m). Comenten:

    a) Qu operacin hicieron para obtener la medida del largo del gallinero cuando a representa la medida del ancho en metros?

    b) Qu operaciones hicieron para obtener el permetro del gallinero cuando a repre-senta la medida del ancho en metros?

    ii. Contesta lo siguiente:

    a) En las siguientes expresiones algebraicas la letra a representa el nmero de metros que tiene el ancho del gallinero. Subraya las expresiones que, al sumarse, permiten obtener el permetro. Cuidado, puede haber ms de una que sea correcta!

    a + a + a

    a + a + 2a + 2a

    a + a + a + a + a + a

    3a + 3a

    Recuerda que:

    Para evitar confundir el sig

    no (por)

    de la multiplicacin con la l

    iteral x,

    el signo por no se escribe

    .

    Por lo mismo:

    3a = 3 veces a = a + a + a

    MAT2 B1 S02.indd 31 6/2/07 11:36:28 PM

  • 32

    secuencia 2b) El resultado de la suma a + a es 2a, o sea, 2 veces a. Completa el siguiente esque-

    ma para encontrar el resultado de la suma a + a + 2a + 2a.

    a + a + 2a + 2a =

    a + a + ( a + a) + (a + a)

    c) Cuntas veces aparece a en la expresin a + a + (a + a) + (a + a)?

    Comenten las soluciones que obtuvieron.

    A lo que llegamosEn una suma de expresiones algebraicas los sumandos se llaman trminos. Por ejemplo, a y 2a son trminos de la suma a + a + 2a + 2a Los trminos tienen coeficiente, literales y exponentes.

    El trmino 2a tiene: Coeficiente: 2 Literal: a Exponente: 1

    El trmino a tiene: Coeficiente: 1 Literal: a Exponente: 1

    El trmino 3a 2 tiene: Coeficiente: 3 Literal: a Exponente: 2

    A los trminos que tienen la misma literal con igual exponente como a, 3a, 2a, 1.5a, se les llama trminos semejantes.

    Los trminos numricos son semejantes entre s. Por ejemplo, 8 y 5 son trminos semejantes.

    3a 2 y 2a aunque tienen la misma literal no son semejantes porque no tienen el mismo exponente.

    MAT2 B1 S02.indd 32 6/2/07 11:36:30 PM

  • 33

    IIMATEMTICASiii. Un hijo de don Lencho le present a su pap otros diseos para construir el gallinero.

    Une con una lnea cada figura con la expresin de la derecha que representa su permetro.

    Comparen las soluciones que obtuvieron. Comenten:

    Cmo sumar trminos semejantes cuando los coeficientes son decimales?

    A lo que llegamosPara sumar trminos semejantes se suman los coeficientes y se con-serva la parte literal. Por ejemplo:

    5.2x + 7.3x = 12.5x

    5.2 + 7.3 = 12.5

    iV. El permetro del tringulo ABC es 13x.

    Cul es la medida del lado BC?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Qu operacin hicieron para encontrar la medida del lado BC?

    3x

    1.5x

    x

    2x

    x

    6.5x

    4.5x

    6x

    8x

    2x

    3x

    4x

    C

    AB

    MAT2 B1 S02.indd 33 6/2/07 11:36:34 PM

  • 34

    secuencia 2

    A lo que llegamosPara restar trminos semejantes se restan los coeficientes y se conser-va la parte literal. Por ejemplo:

    7x 4x = 3x

    7 4 = 3

    Lo que aprendimos1. El ancho de un rectngulo es 15x, y el largo tiene la medida del ancho ms 3x. Dibu-

    ja en tu cuaderno el rectngulo con la medida de sus lados y escribe la expresin que corresponde a su permetro.

    2. Escribe la expresin del permetro para cada uno de los siguientes polgonos regulares.

    2x 1.2z 2.4y

    P = P = P =

    3. Encuentra el valor faltante en cada una de las figuras siguientes.

    a) b)

    El permetro del tringulo issceles es 5y. Cunto mide cada uno de los lados

    iguales?

    El permetro del rectngulo es 8y. Cunto mide de largo?

    y

    y

    MAT2 B1 S02.indd 34 6/2/07 11:36:35 PM

  • 35

    IIMATEMTICASA MEDIR CONTORNOS Para empezarSon binomios expresiones algebraicas con dos trminos como las siguientes:

    x + 3

    x + z

    y 532x 2 + 7

    Consideremos lo siguienteEn el siguiente rectngulo se han determinado las medidas de la base y la altura.

    Largo = 2x

    An

    cho

    = x

    + 2

    a) Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del rectngulo?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo obtuvieron el permetro del rectngulo?

    Manos a la obrai. Cules de las siguientes expresiones permiten encontrar el permetro del

    rectngulo anterior? Subryenlas.

    x + 2 + 2x

    2x + 2x + (x +2) + (x + 2)

    2x + (x +2) + 2x +(x + 2)

    (3x + 2) + (3x + 2)

    SESIN 2

    Recuerden que:

    Dos trminos son semejant

    es

    cuando:

    1) tienen la misma parte

    literal, como 3w y 2w.

    2) son trminos numricos

    ,

    como -2, 8.

    MAT2 B1 S02.indd 35 6/2/07 11:36:36 PM

  • 36

    secuencia 2Comparen sus respuestas y comenten: por qu las expresiones que sealaron represen-tan lo mismo (el permetro del rectngulo)?

    ii. En la sesin anterior aprendieron a sumar trminos semejantes: sumar los coeficien-tes y conservar la parte literal. Cmo sumaran los trminos semejantes de las ex-presiones anteriores? Contesten las siguientes preguntas.

    a) Para hacer la suma 2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) se suman los trminos semejantes. Completen:

    2x + 2x + (x + 2) + (x + 2) = +

    2x + 2x + x + x = 2 + 2 =

    b) Suma los trminos semejantes de las siguientes expresiones:

    2x + (x +2) + 2x +(x + 2) = +

    x + 2 + 2x = +

    (3x + 2) + (3x + 2) = +

    Comparen sus resultados.

    iii. Cul es la expresin algebraica que representa el permetro del siguiente rectngulo?

    x + 2

    3x 1

    Comparen las soluciones que obtuvieron. Sumen los trminos semejantes y verifiquen si obtienen el mismo resultado.

    El parntesis en (x + 2) se

    usa para indicar que x + 2

    es la medida de un lado de

    l

    rectngulo y el parntesis s

    e

    puede quitar.

    MAT2 B1 S02.indd 36 6/2/07 11:36:37 PM

  • 37

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara sumar binomios se suman los trminos que son semejantes.

    (2x + 3) + (x 2) = 3x + 1

    2x + x = 3x 3 2 = 1

    Lo que aprendimos 1. La altura de un rectngulo es x, y la base es 5 unidades mayor que la altura. Dibuja

    en tu cuaderno el rectngulo con la medida de sus lados y escribe la expresin que corresponde a su permetro. No te olvides de sumar los trminos semejantes.

    P =

    2. Escribe la expresin que corresponde al permetro de cada polgono. No te olvides de sumar los trminos semejantes.

    a) b)

    Permetro: Permetro:

    3. El permetro del rectngulo de la derecha es 10y+6.

    Cul es la medida del largo?

    2r

    r + 1 r + 1

    r

    r + 2

    r + 2

    r r

    r r

    2y + 1

    MAT2 B1 S02.indd 37 6/2/07 11:36:39 PM

  • 38

    secuencia 2

    Recuerden que:

    Para restar nmeros enteros, a

    l minuendo

    se le suma el simtrico del su

    straendo:

    A - B = A + (simtrico de B)

    A - B = A + (-B)

    SESIN 3 LA TABLA NUMRICAPara empezarEn la columna x de la siguiente tabla se encuentran algunos nmeros enteros.

    Los nmeros de las columnas: 2x, 3x, 3x, 0x, y x se obtuvieron al multiplicar el coefi-ciente de cada expresin algebraica por el valor de x que est en su mismo rengln.

    x 2x 3x 3x 0x -x 3x x 3x + (x)

    5 25=10 35=15 35=15 05=0 15=5 15 5 =10 15 + (5) = 10

    4 8 12 12 0 4 8 8

    3 6 9 9 0 3 6 6

    2 4 6 6 0 2 4

    1 2 3 3 0 1 2

    0 0 0 0 0 0 0 0

    1 2x(1) = 2 3x(1) = 3 (3)(1)=+3 0(-1)=0 (1)(1)=+1 (3) (1)=(3) +(+1)=2

    (3) +(+1)=2

    2 4 6 6 0 2 4

    3 6 9 9 0 3 6 6

    4 8 12 12 0 4 8

    5 10 15 15 0 5 10

    Tabla 1

    Recuerda que:

    x = 1 por x

    Completen la tabla y coementen:

    Por qu 3xx equivale a restar el valor de x a 3x?

    Por qu el valor de 3x+(x) equivale a sumar el valor de x a 3x ?

    MAT2 B1 S02.indd 38 6/2/07 11:36:40 PM

  • 39

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteLas expresiones algebraicas del rengln superior de las primeras seis columnas son: x, 2x, 3x, 3x, 0x, y x.

    a) Cul de ellas es el resultado de la resta 3x x?

    b) Cul es el resultado de la suma 3x + (x)?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo hicieron las operaciones?

    Manos a la obrai. Observen la tabla 1 y contesten:

    a) Qu columnas tienen los mismos nmeros que la columna 3x + (x)?

    Si se agregaran la columna 2x + (3x ) y la columna 2x + (x ):

    b) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    2x + (3x )?

    c) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    2x + (x )?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Por qu creen que la columna 3x + (x ) tiene los mismos resultados que la columna 2x?

    A lo que llegamosPara sumar trminos semejantes con coeficientes que son nmeros con signo, se suman los coeficientes y se conserva la parte literal. Por ejemplo:

    6x + (8x ) = 2x

    6 + (8) = 6 8 = 2

    MAT2 B1 S02.indd 39 6/2/07 11:36:41 PM

  • 40

    secuencia 2ii. Agregen a la tabla 1 la columna 2x (x ) y escriban los nmeros que deben ir en

    cada rengln.

    a) Qu columna tiene los mismos nmeros que la columna 2x (x )?

    b) Cul es el resultado de la operacin 2x (x )?

    Si se agregaran la columna x (x ) y la columna x (3x ):

    c) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    x (x )?

    d) Qu otra columna de la tabla 1 tendra los mismos nmeros que la columna

    x (3x )?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo encontraron el resultado de las restas anteriores.

    A lo que llegamosPara restar trminos semejantes con coeficientes negativos, se restan los coeficientes y se conserva la parte literal.

    2x ( 5x ) = 3x

    2 ( 5) = 2 + (+5) = +3

    iii. Apliquen las dos reglas anteriores para encontrar el resultado de las operaciones:

    a) 4x + (x ) =

    b) 2x x =

    c) x (x ) =

    Comparen sus respuestas.

    iV. Completen las siguientes operaciones sumando o restando trminos semejantes.

    a) x = 0x = 0

    b) x + = 2x

    c) 2x + = 0x = 0

    d) 3x = 2x

    e) x = 5x

    Recuerden que:

    El coeficiente de -x es -1

    MAT2 B1 S02.indd 40 6/2/07 11:36:43 PM

  • 41

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Para cada operacin de la izquierda escoge su resultado de las expresiones que apa-

    recen en la columna de la derecha.

    Operaciones Resultados posibles

    a) 5x + (3x) = 2x

    b) 5x (3x) = 8x

    c) 5x (+3x) = 2x

    d) 5x + (3x) = +8x

    e) 3x (5x) =

    2. El largo de un terreno rectangular mide 12.5 metros menos que el doble del ancho. La barda que lo rodea mide 197 metros. Si el ancho mide x metros:

    Largo

    An

    cho

    = x

    a) Qu expresin algebraica corresponde a la medida del largo?

    b) Qu expresin corresponde al permetro?

    c) Cuntos metros mide cada lado del terreno?

    Ancho : metros Largo: metros

    3. Un comerciante vendi cierta cantidad x de aguacate el lunes, el martes vendi 20 kg ms que el lunes y el mircoles le faltaron 5 kg para vender el triple de lo que vendi el lunes. Si en los tres das vendi en total 167.5 kg de aguacate:

    a) Qu cantidad de esta fruta vendi cada da?

    Lunes: kg Martes: kg Mircoles: kg

    b) Qu da vendi un poco ms de 50 kg de aguacate?

    c) Qu da vendi 86.5 kg?

    MAT2 B1 S02.indd 41 6/2/07 11:36:45 PM

  • 42

    secuencia 2

    CUADRADOS MGICOS Y NMEROS CONSECUTIVOSPara empezarLa magia de los chinos

    El origen de los cuadrados mgicos es incierto, aunque sabemos que antiguas civilizaciones los conocieron. Se piensa que su origen se da hace cerca de 400 aos en la antigua China.

    En el siguiente cuadrado mgico, las sumas de los tres nmeros de cada rengln, de cada columna y de cada diagonal dan como resultado el mismo nmero.

    En total hay ocho sumas. Comprueba que todas dan el mismo nmero como resultado.

    Lo que aprendimos1. Los nmeros consecutivos: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1 y 2 se pueden acomodar en un

    cuadrado mgico para que sus renglones, columnas y diagonales sumen el mismo nmero. Completa el cuadrado mgico usando los nmeros que se proporcionan.

    Nmeros faltantes: 6, 5, 4, 3 y 2

    1

    2

    0 1

    13 6 11

    8 10 12

    9 14 7

    SESIN 4

    MAT2 B1 S02.indd 42 6/2/07 11:36:45 PM

  • 43

    IIMATEMTICAS2. Para el siguiente cuadrado mgico los nueve nmeros consecutivos estn representa-

    dos por las expresiones algebraicas: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8.

    Acomoda las expresiones faltantes de manera que los renglones, columnas o diago-nales sumen lo mismo.

    Expresiones que falta colocar: n+2,n+3,n+5,n+6yn+7.

    Haz las siguientes sumas para verificar si los renglones, columnas o diagonales suman lo mismo. No te olvides de sumar los trminos semejantes.

    a) Rengln superior: n+( )+( )=

    b) Rengln central: (n+4)+( )+( )=

    c) Rengln inferior: (n+8)+(n+1)+( )=

    d) Columna izquierda: =

    e) Columna central: n+(n+4)+(n+8)=

    f) Columna derecha: (n +1)+( )+( )=

    g) Diagonal de izquierda a derecha ( )+(n +4)+(n +1)=

    h) Diagonal de derecha a izquierda ( )+(n +4)+( )=

    n

    n + 4

    n + 8 n + 1

    MAT2 B1 S02.indd 43 6/2/07 11:36:46 PM

  • 44

    secuencia 23. Realiza las siguientes sumas:

    a) 1+2+3=

    b) 2+3+4=

    c) 15+16+17=

    d) n+(n+1)+(n+2)=

    e) Por qu la suma de tres nmeros consecutivos es un mltiplo de 3?

    4. Realiza las siguientes sumas:

    a) 1+2+3+4=

    b) 10+11+12+13=

    c) 45+46+47+48=

    d) 100+101+102+103=

    e) n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=

    f) Ser cierto que la suma de cuatro nmeros consecutivos es un mltiplo de 4?

    Justifica tu respuesta

    5. La suma de cinco nmeros consecutivos es un mltiplo de 5. Realiza la siguiente suma para comprobarlo.

    n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=

    Por qu 5n + 10 es mltiplo de 5?

    6. La suma de nueve nmeros consecutivos de un cuadrado mgico es un mltiplo de 9.

    a) Realiza la siguiente suma para comprobarlo.

    n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+(n+7)+(n+8)=

    b) Por qu el resultado de la suma anterior es un mltiplo de 9?

    Recuerda que:

    Los mltiplos de 3 se obtienen al

    multiplicar los nmeros enteros po

    r 3.

    Son mltiplos de 3:

    , 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, 12,

    MAT2 B1 S02.indd 44 6/2/07 11:36:46 PM

  • 45

    IIMATEMTICASPara saber ms

    Sobre resolucin de cuadrados mgicos consulta:http://interactiva.matem.unam.mx Ruta: Secundaria Juegos aritmticos Un cuadrado mgico.[Fecha de consulta: 23 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de la Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

    Explora las actividades del interactivo Suma y resta de expresiones algebraicas.

    MAT2 B1 S02.indd 45 6/2/07 11:36:48 PM

  • 46

    secuencia 3

    En esta secuencia reconocers y obtendrs expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geomtricos

    EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn primer ao aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el rea de dis-tintas figuras geomtricas. Por ejemplo, para un rectngulo de altura a y base b obtuvis-te la expresin ab.

    De igual manera, la expresin 4b representa el rea de un rectngulo que mide 4 unidades de altura (a =4) y b unidades de base.

    Los siguientes rectngulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El rea de cada uno se puede calcular usando la expresin 4b. Calcula las reas usando esta expresin.

    SESIN 1

    Expresiones algebraicas y modelos geomtricos

    Recuerda que:

    ab=a b

    4b =4b

    4

    b

    4cm

    b =2cm

    rea =

    4cm

    b =3cm

    rea =

    4cm

    b =6cm

    rea =

    MAT2 B1 S03.indd 46 6/2/07 11:37:27 PM

  • 47

    IIMATEMTICASEn esta secuencia encontrars distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el rea de un rectngulo. Para simplificar los clculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centmetros.

    Consideremos lo siguienteDe las siguientes expresiones, cules representan el rea del rectngulo enmarcado en rojo?

    4

    a 2

    a) 4(a+2) b) 4a+8 c) 4a+2 d) 2(a+2)+2(a+2)

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cmo saben cules son correctas y cules no?

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas.

    a) Cul es la medida de la altura del rectngulo enmarcado en rojo?

    altura =

    b) Escriban una expresin que represente la medida de la base de este rectngulo.

    base =

    c) Qu expresin resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base?

    altura base =

    Expresiones algebraicas y modelos geomtricos Recuerden que:Para indicar que un nmero multiplica a una expresin se usan los parntesis:

    5(b+3)=5(b+3)

    MAT2 B1 S03.indd 47 6/2/07 11:37:28 PM

  • 48

    secuencia 3ii. Realicen lo siguiente.

    a) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo verde oscuro:

    b) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo verde claro:

    c) Observen que el rea del rectngulo enmarcado en rojo es la suma del rea del rectngulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresin que represen-te el rea del rectngulo enmarcado en rojo a partir del rea de los rectngulos verde claro y verde oscuro:

    Comparen sus respuestas.

    iii. En la siguiente figura, la superficie del rectngulo enmarcado en rojo se dividi con una lnea horizontal.

    2

    a +2

    2

    a) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo gris oscuro:

    b) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo gris claro:

    c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresin que represente el rea del rectngulo enmarcado en rojo:

    MAT2 B1 S03.indd 48 6/2/07 11:37:30 PM

  • 49

    IIMATEMTICASiV. Dividan el rectngulo de abajo y usen esa divisin para encontrar otra expresin al-

    gebraica que represente su rea.

    a +2

    4

    rea =

    Comparen sus respuestas y comenten la siguiente informacin.

    existen varias expresiones algebraicas que representan el rea de un rectngulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) representan su rea.

    V. Contesten las siguientes preguntas:

    a) Cunto vale la expresin 4(a +2), si a=3?

    b) Cunto vale la expresin 4a +8, si a=3?

    c) Cunto vale la expresin 2(a +2)+2(a +2), si a=3?

    Vi. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2 (a + 2) + 2 (a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna.

    a 4(a + 2) 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2)

    4 4(4+2)=4(6)=24

    4.5 4(4.5)+8=18+8=26

    5

    5.5

    6 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32

    MAT2 B1 S03.indd 49 6/2/07 11:37:31 PM

  • 50

    secuencia 3Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten:

    Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan?

    Por ejemplo, coincidirn para a = 163.25?

    A lo que llegamosLas expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el rea del mismo rectngulo, por lo que se puede escribir:

    4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.

    Vi. Completen la siguiente tabla.

    a 4a + 2

    4

    4.5 4(4.5)+2=18+2=20

    5

    5.5

    6

    La expresin 4a+2 no representa el rea de un rectngulo de lados que miden 4 y

    (a+2), por qu?

    Lo que aprendimos1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectngulo, con distintas divisiones de su

    superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresin algebraica que repre-sente su rea a partir de la divisin que se propone.

    b +2

    3

    Expresin:3(b+2)

    MAT2 B1 S03.indd 50 6/2/07 11:37:32 PM

  • 51

    IIMATEMTICAS

    2. Encuentren dos expresiones equivalentes que repre-sentan el rea del rectngulo gris oscuro a partir de la figura que se propone.

    Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo resultado al sustituir los valores c=3, 3.5, 4, 4.5 y algn otro valor que elijan.

    Expresin 1 Expresin 2

    c

    3

    3.5

    4

    4.5

    3. Dividan la figura de la derecha en rectngulos de me-nor rea y encuentren dos expresiones equivalentes que representen el rea de la figura completa.

    2

    b +2

    1

    Expresin:

    b 2

    3

    Expresin:

    =

    Expresin 1 Expresin 2 c

    3

    2

    =

    a +2

    a

    MAT2 B1 S03.indd 51 6/2/07 11:37:33 PM

  • 52

    secuencia 3

    MS EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn la sesin 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un rectngulo. En esta sesin aprenders a obtener expresiones equivalentes a partir de otra dada.

    Consideremos lo siguientePara cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresin equivalente.

    a) 3(x +2) = b) 2(2x + 4) =

    Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrarlas.

    Manos a la obrai. Dibujen un rectngulo cuya rea se represente con la expresin 3(x+2)

    SESIN 2

    Dividan la superficie del rectngulo anterior en varios rectngulos pequeos. Encuentren las expresiones que corresponden al rea de cada uno de los rectngulos pequeos y antenlas:

    3(x+2) =

    Comparen sus respuestas. Comenten cmo dividieron la superficie del rectngulo grande y cmo encontraron el rea de cada uno de los rectngulos pequeos.

    Expresin Rectngulo

    3(x+2)

    MAT2 B1 S03.indd 52 6/2/07 11:37:34 PM

  • 53

    IIMATEMTICASii. Dibujen un rectngulo cuya rea se represente con la expresin 2(2x + 4), divdanlo

    en rectngulos ms pequeos y encuentren sus reas.

    Expresin Rectngulo

    2(2x + 4)

    2(2x + 4) =

    Comparen sus respuestas y comenten: son equivalentes las expresiones que obtuvieron? Por qu?

    iii. Usen la siguiente figura para encontrar una expresin equivalente a x 2+2x.

    x 2 2x

    x 2+2x =

    MAT2 B1 S03.indd 53 6/2/07 11:37:34 PM

  • 54

    secuencia 3

    A lo que llegamosMs expresiones equivalentes

    Cuando se quiere encontrar una expresin equivalente a otra dada, puede ser til cons-truir un rectngulo cuya rea se represente con la expresin. Por ejemplo, para la expre-sin dada 3(2x + 1) se puede construir un rectngulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base:

    x x 1

    1

    1

    1

    Dividiendo este rectngulo en piezas de menor rea se puede ver que la expresin 6x+3 tambin sirve para calcular su rea, y por lo tanto es equivalente a la expresin 3(2x+1).

    Lo que aprendimos1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresin equivalente a

    sta.

    a) 3(2x+3) = b) x(2x+4) =

    2. Para cada uno de los siguientes rectngulos anota las medidas de sus lados en los es-pacios marcados, y despus usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes que representen su rea.

    a)

    5a 15

    =

    MAT2 B1 S03.indd 54 6/2/07 11:37:35 PM

  • 55

    IIMATEMTICASb)

    a 2 4a

    =

    3. Aydate de la siguiente figura para encontrar una expresin equivalente a la expresin

    (b + 1)(b + 2) =

    b 1

    b

    1

    1

    Para saber msSobreotrasexpresionesalgebraicasequivalentesapartirdemodelosgeomtricosconsulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx Ruta:lgebra Unaembarradadelgebra Binomioalcuadrado[Fechadeconsulta:24demayode2007].ProyectoUniversitariodeEnseanzadelasMatemticasAsistidaporComputadora(PUEMAC),UNAM.

    MAT2 B1 S03.indd 55 6/2/07 11:37:36 PM

  • 56

    secuencia 4

    En esta secuencia determinars la medida de ngulos usando tu transportador, y deducirs algunas medidas sin usarlo.

    MEDIDAS DE NGULOSPara empezar El grado como unidad de medida

    La regularidad de los fenmenos naturales y astronmicos interes a hombres de todos los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilnica, estimaron la duracin del ao en 360 das. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra, dividieron en 360 partes la trayectoria en la que vean moverse al Sol, haciendo corres-ponder a cada parte un da y una noche. Es probable que de esta divisin se derive la divisin de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.

    Los siguientes son algunos ngulos que encontrars frecuentemente en tus secuencias de geometra. Observa sus medidas y sus nombres.

    ngulos

    SESIN 1

    90

    180

    270

    360

    ngulo recto ngulo llano ngulo entrante

    Son los ngulos que miden ms de 180

    y menos de 360

    ngulo perigonal

    Consideremos lo siguienteEn el bal de su pap, Jaime encontr un viejo pergamino en el que se indica cmo y dnde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al te-soro estaban claras, pero una mancha de agua borr el mapa. Sigue las indicaciones y aydale a Jaime a reproducir el mapa. Supn que un paso es igual a un centmetro.

    MAT2 B1 S04.indd 56 6/2/07 11:38:27 PM

  • 57

    IIMATEMTICAS

    Comparen sus mapas y comenten cmo hicieron para reconstruirlos.

    Manos a la obra i. Encierra con un crculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de ma-

    nera correcta para medir el ngulo.

    Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ah encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60 al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y sintate viendo al oeste. Gira 150 al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre est enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas.

    1

    4

    2 3

    5

    MAT2 B1 S04.indd 57 6/2/07 11:38:38 PM

  • 58

    secuencia 4

    monolito

    estaca 1

    monolito

    estaca 1

    monolito

    estaca 1

    monolito

    estaca 1

    Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del trans-portador en las ilustraciones. Comenten en la ilustracin de abajo se est midiendo de manera correcta el ngulo?

    ii. Cul de los siguientes ngulos cumple con las indicaciones del mapa para determi-nar el lugar de la primera estaca?

    Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ngulos. Veri-fiquen sus mapas. Si es necesario, hganlos otra vez.

    A lo que llegamosAl medir un ngulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vrtice del ngulo. La marca que corresponde a 0 debe coincidir con un lado del ngulo.

    115115

    MAT2 B1 S04.indd 58 6/2/07 11:38:43 PM

  • 59

    IIMATEMTICASiii. A continuacin se presenta una forma de medir ngulos mayores de 180.

    D

    e

    F

    Prolonga uno de los lados del ngulo marcado de forma que la prolongacin lo divi-da en dos ngulos.

    a) Cunto mide cada uno de los ngulos que se formaron? y

    b) Cunto mide el ngulo marcado originalmente?

    Comparen sus respuestas y comenten: habr alguna otra manera de medir un ngulo mayor que 180? Cul?

    iV. Recuerda que un ngulo est formado por dos semirrectas que tienen el mismo pun-to inicial. A las semirrectas se les llama lados del ngulo. Al punto inicial se le llama vrtice.

    ladovrtice

    lado

    MAT2 B1 S04.indd 59 6/2/07 11:38:44 PM

  • 60

    secuencia 4 Anota en los cuadritos los nmeros del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los si-

    guientes ngulos.

    Comparen sus respuestas. Comenten:

    a) En qu se fijaron para comparar los ngulos?

    b) Cunto mide cada uno de los ngulos?

    A lo que llegamosLa medida de un ngulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ngulo azul y el ngulo verde miden 100.

    MAT2 B1 S04.indd 60 6/2/07 11:38:45 PM

  • 61

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vrtice.

    Construye los ngulos que se piden, utiliza tu transportador.

    2. Usa tu transportador y determina cunto miden los ngulos marcados.

    3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para observarla mientras escuchaban la explicacin del gua. Las figuras muestran la for-ma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica quin tiene el mayor ngulo.

    Cul de todos tiene el mayor ngulo para ver la pintura completa?

    e

    120

    Q

    210

    R

    70

    MAT2 B1 S04.indd 61 6/2/07 11:38:48 PM

  • 62

    secuencia 4

    NGULOS INTERNOS DE TRINGULOSPara empezarUn ngulo se puede representar por medio de una letra mayscula asignada a su vrtice. Por ejemplo, el siguiente ngulo se puede representar como D.

    D

    Consideremos lo siguienteCules de las siguientes ternas son las medidas de los ngulos internos de un tringulo? Construye el tringulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados.

    a) 30, 60, 70

    a B

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    b) 50, 70, 120

    a B

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    SESIN 2

    MAT2 B1 S04.indd 62 6/2/07 11:38:49 PM

  • 63

    IIMATEMTICASc) 50, 60, 70

    a B

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    Comparen sus respuestas y comenten cmo construyeron sus tringulos.

    Manos a la obrai. La siguiente figura muestra una construccin incompleta en la que se intenta cons-

    truir el tringulo con la terna de medidas 30, 60 y 70 y con el segmento nM como uno de sus lados. Completa la construccin.

    a) Con tu transportador mide el tercer ngulo interno de este tringulo.

    Cunto mide?

    b) Cunto suman las medidas de los ngulos internos de este tringulo?

    Comparen sus respuestas.

    ii. En la siguiente figura se intenta construir un trin-gulo con la terna 50, 70 y 120 como medidas de sus ngulos internos y con el segmento QR como uno de sus lados. Completa la construccin.

    Pudiste construir el tringulo?

    Justifica tu respuesta

    n M

    7030

    Q R

    120

    MAT2 B1 S04.indd 63 6/2/07 11:38:49 PM

  • 64

    secuencia 4Comparen sus construcciones y comenten:

    a) Si el ngulo en el vrtice Q mide 50, cunto mide el tercer ngulo interno?

    b) Se puede construir un tringulo con dos ngulos internos que midan 70 y 120? Por qu?

    iii. Dibuja un tringulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ngulos internos de un color distinto. Corta el tringulo en tres partes de manera que en cada parte quede uno de los ngulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vrtices en un punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes y que no dejen huecos entre ellas.

    Cunto mide el ngulo que se obtiene al pegar los tres ngulos del tringulo que dibujaste?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Creen que si dibujan otro tringulo, la medida del ngulo formado al pegar sus tres ngulos internos sea la misma? Por qu?

    MAT2 B1 S04.indd 64 6/2/07 11:39:00 PM

  • 65

    IIMATEMTICASiV. Mide los ngulos internos de los siguientes tringulos. Anota las medidas en la tabla.

    P

    Q

    R

    X

    WY

    a

    c

    B

    Tringulo ngulo ngulo ngulo

    Suma de las medidas de los

    tres ngulos internos

    aBc a=

    WXY W=

    PQR

    HiJ J=

    A lo que llegamosLa suma de las medidas de los ngulos internos de cualquier tringulo es igual a 180.

    H

    i

    J

    MAT2 B1 S04.indd 65 6/2/07 11:39:00 PM

  • 66

    secuencia 4

    Lo que aprendimos1. Los tringulos equilateros tienen sus tres ngulos internos iguales. Sin usar transportador, contesta la pregunta.

    Cunto mide cada uno de los ngulos internos de

    cualquier tringulo equiltero?

    DEDUccIN DE MEDIDAS DE NGULOSPara empezarSabas que en todos los tringulos issceles dos de sus ngulos internos son iguales?

    Verifica esta propiedad en los siguientes trin-gulos issceles y pinta del mismo color los n-gulos que sean iguales.

    SESIN 3

    Recuerda que:

    Se llaman tringulos issceles

    los tringulos que tienen

    dos lados iguales.

    A continuacin se presentan varios problemas sobre medidas de ngulos.

    Recuerda que:

    Se llaman tringulos

    equilteros aquellos

    que tienen sus tres

    lados iguales.

    MAT2 B1 S04.indd 66 6/2/07 11:39:02 PM

  • 67

    IIMATEMTICASLo que aprendimosOtra forma de representar ngulos es con tres letras maysculas, una para el vrtice y dos para un punto de cada lado del ngulo. As, el ngulo

    s

    R

    T

    se representar como TSR. Observen que la letra correspondiente al vrtice se coloca en medio de las otras dos.

    1. El pentgono regular est inscrito en un crculo de centro O y radio Oa.

    O

    aB

    c

    Sin utilizar instrumentos de medicin responde: cunto mide aBc?

    Comparen y comenten sus respuestas.

    Responde las siguientes preguntas.

    a) Cunto mide el ngulo central del pentgono?

    b) Qu tipo de tringulo es OaB?

    c) Cunto miden OaB y OBa?

    d) OBa = OBc por qu?

    MAT2 B1 S04.indd 67 6/2/07 11:39:04 PM

  • 68

    secuencia 42. En los siguientes tringulos issceles se marc la medida del ngulo formado por los

    lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ngulos faltantes y antalas en el tringulo correspondiente.

    3. Determina el valor de los ngulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que utilizaste para determinar el valor de cada uno.

    Hexgono regularPentgono formado

    por un rectngulo y un tringulo equiltero

    54 80 67.5 33.5 40

    113

    72

    100

    45

    MAT2 B1 S04.indd 68 6/2/07 11:39:04 PM

  • 69

    IIMATEMTICAS4. Sin utilizar instrumentos de medicin, determina la medida de los ngulos marcados

    con rojo en las ilustraciones.

    50

    T

    s

    Rn

    M O

    RsT = MnO =

    Para saber msSobre ngulos y cmo interactuar con ellos consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htmRuta 1: El transportador de ngulosRuta 2: ngulos complementarios y suplementarios[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    MAT2 B1 S04.indd 69 6/2/07 11:39:05 PM

  • 70

    secuencia 5

    Cmo se llaman las rectas que no se cortan?, y las que s se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ngulos, cmo se relacionan sus medidas?

    Este tipo de preguntas son las que podrs contestar cuando termines de estudiar esta secuencia.

    Rectas que no se coRtanPara empezarDesde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos, lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Despus pega la hoja en tu cuaderno.

    sesin 1

    Rectas y ngulos

    Recuerden que:

    La distancia de un punto a una

    recta se mide sobre la perpendicula

    r

    del punto a la recta.

    Observen:

    Consideren que la recta roja representa una carretera y que 1 cm representa 1 km. La casa de Lety est situada a 2 km de la carretera del lado donde est el punto azul, seala con puntos cinco lugares donde podra estar la casa de Lety.

    Consideremos lo siguiente

    MAT2 B1 S05.indd 70 6/2/07 11:39:31 PM

  • 71

    IIMATEMTICASSi localizaron bien los cinco puntos podrn unirlos con una lnea recta, tracen esa lnea recta.

    a) Cmo son entre s la recta roja y la que acaban de trazar?

    b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas.

    y

    c) Escriban una definicin para rectas paralelas.

    Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compaeros y, entre todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta tra-ten de dar un ejemplo de por qu la consideran incorrecta.

    Manos a la obrai. En cada caso marquen con si las rectas representadas son paralelas.

    ii. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P.

    1 2 3

    4 5 6

    P

    MAT2 B1 S05.indd 71 6/2/07 11:39:32 PM

  • 72

    secuencia 5La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y com-ps, se traz una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra.

    Analicen la figura y

    a) Reprodzcanla en su cuaderno.

    b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

    iii. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrec-tas, busquen un ejemplo para mostrar por qu lo son.

    a) Son rectas horizontales.

    b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre s.

    c) Son rectas que no se cortan.

    d) Son rectas que tienen la misma medida.

    A lo que llegamos

    Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.

    Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.

    P

    Oc

    P'

    O'c'

    MAT2 B1 S05.indd 72 6/2/07 11:39:33 PM

  • 73

    IIMATEMTICAS

    sesin 2

    Lo que aprendimos1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando slo regla y transportador. Cuan-

    do lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no estn de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al inicio de la sesin, te ayudar a resolver este problema).

    2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta l que pase por el punto M.

    Rectas que se coRtanPara empezarTambin las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el do-blado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca las rectas perpendiculares y despus pega la hoja en tu cuaderno.

    M

    l

    l

    M

    MAT2 B1 S05.indd 73 6/2/07 11:39:39 PM

  • 74

    secuencia 5

    Consideremos lo siguienteEn el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ngulos iguales y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ngulos que no sean todos iguales.

    a) Cunto mide cada uno de los ngulos del primer recuadro?

    b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos

    rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que

    representen rectas perpendiculares.

    c) Escriban una definicin para rectas perpendiculares.

    d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman

    oblicuas. Escriban una definicin para rectas oblicuas.

    Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las de sus compaeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qu lo es.

    Manos a la obrai. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas.

    1 2 3

    4 5 6

    MAT2 B1 S05.indd 74 6/2/07 11:39:40 PM

  • 75

    IIMATEMTICASii. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta

    dada.

    La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y comps.

    Analicen la figura y

    a) Reprodzcanla en su cuaderno.

    b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

    iii. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qu las consideran in-correctas.

    Rectas perpendiculares:a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal

    b) Son rectas que se cortan formando ngulos rectos

    c) Son rectas que no se cortan

    d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ngulos iguales

    Rectas oblicuas:

    a) Son rectas que se cortan formando ngulos iguales

    b) Son rectas que se cortan formando dos ngulos agudos y dos obtusos

    c) Son rectas que se cortan formando ngulos que no son rectos

    d) Son rectas que no se cortan

    O PO'

    P

    MAT2 B1 S05.indd 75 6/2/07 11:39:40 PM

  • 76

    secuencia 5

    A lo que llegamosSi dos rectas que se cortan forman ngulos de 90, entonces se lla-man rectas perpendiculares; si se cortan formando ngulos que no son de 90, se llaman rectas oblicuas.Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p q.Para indicar que un ngulo mide 90, es decir, que es recto, se coloca en el ngulo una marca como la roja.

    Lo que aprendimos1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando slo regla y transpor-

    tador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si en alguno no estn de acuerdo argumenten sus razones.

    2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geom-tricos.

    a) Un cuadrado de cualquier tamao cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

    b) Un rectngulo de cualquier tamao cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

    3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

    P

    r

    r

    P

    MAT2 B1 S05.indd 76 6/2/07 11:39:42 PM

  • 77

    IIMATEMTICASReLaciones entRe nGuLosPara empezarUne dos palitos o lpices con una liga, como se muestra en la foto, y maniplalos para formar ngulos.

    Cuntos ngulos se forman? ,

    son todos diferentes? ,

    hay algunos que sean iguales entre s? .

    Coloca los palitos de tal manera que todos los ngulos sean iguales. Cuando los colocas

    de esta manera cunto mide cada ngulo?

    Consideremos lo siguienteSin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigen y anoten la medida de cada uno de los tres ngulos a, b y c.

    a 60

    b c

    a 90

    b c

    a 115

    b c

    sesin 3

    MAT2 B1 S05.indd 77 6/2/07 11:39:51 PM

  • 78

    secuencia 5Comparen sus resultados. Slo hasta que todos estn de acuerdo podrn utilizar el trans-portador y medir los ngulos, para verificar sus respuestas. Comenten:

    a) Cmo pudieron calcular la medida de los ngulos?

    b) Cul es la relacin entre los ngulos a y c de cada pareja de rectas?

    c) Cul es la relacin entre los ngulos a y b de cada pareja de rectas?

    Manos a la obrai. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide.

    Los ngulos a y b son ngulos opuestos por el vrtice Los ngulos c y d son ngulos adyacentes

    Escriban una definicin para:

    ngulos opuestos por el vrtice

    ngulos adyacentes

    Comparen las definiciones que escribieron para ngulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes.

    Si alguna definicin les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qu lo consi-deran as; por ejemplo, si algn equipo define a los ngulos opuestos por el vrtice como ngulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ngulos de un tringulo equi-ltero son iguales, pero no son opuestos por el vrtice.

    a

    b

    a ba

    b

    a

    b

    d

    c dc

    dc

    c d

    MAT2 B1 S05.indd 78 6/2/07 11:39:52 PM

  • 79

    IIMATEMTICASii. Realicen lo que se indica.

    360

    15

    30

    45

    607590105

    120

    135

    150

    165

    180

    345195

    330210

    315225

    300240285255270

    Recorten una tira de papel de 10 cm de largo por 12 cm de ancho; a lo largo de ella y pasan-do por la mitad, tracen una lnea recta. Dibujen un punto en el centro de la tira.

    Coloquen la tira en el transportador como se muestra en el dibujo, de tal manera que puedan girarla.

    Giren la tira de modo que el ngulo 1 mida 30. Aydense del transportador para obtener las medidas de los ngulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se muestra adelante, en el rengln del ngulo de 30. Repitan lo mismo con las otras medidas que se indican en la tabla para el ngulo 1.

    MAT2 B1 S05.indd 79 6/2/07 11:39:54 PM

  • 80

    secuencia 5

    a) Qu relacin encuentran entre las medidas de los ngulos 1 y 3?

    b) Y entre las medidas de los ngulos 2 y 4?

    c) Entre las medidas de los ngulos 1 y 2?

    d) Y entre las medidas de los ngulos 3 y 4?

    e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar.

    A lo que llegamosCuando dos rectas se cortan se forman cuatro ngulos.

    Los ngulos a y c son opuestos por el vrtice, observa que tienen el mismo vrtice y los lados de uno son prolongacin de los lados del otro. Los ngulos a y b suman 180 y, adems, son ngulos adyacen-tes, observen que tienen en comn el vrtice y un lado.

    Parejas de rectas

    Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar ngulos rectos o ngulos no rectos.

    ngulo 1 ngulo 2 ngulo 3 ngulo 4

    30

    45

    75

    90

    130

    145

    bac

    d

    MAT2 B1 S05.indd 80 6/2/07 11:39:55 PM

  • 81

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Plantea una ecuacin y encuentra el valor de los cuatro ngulos de la siguiente figura.

    2. Si la suma de las medidas de dos ngulos adyacentes es 180, y uno de ellos mide el

    doble del otro, cunto mide cada uno?

    3. Anota las medidas de los otros tres ngulos que forman las diagonales.

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Rectas y puntos, en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Sobre las ilusiones pticas que se refieren a objetos geomtricos, en particular a l-neas paralelas consulta:http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.phphttp://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    x

    x + 20

    50

    MAT2 B1 S05.indd 81 6/2/07 11:39:56 PM

  • 82

    secuencia 6

    En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ngulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirs explorando ambos temas: ngu-los entre paralelas. Tambin trabajars con los ngulos interiores de tringulos y paralelogramos.

    NGULOS CORRESPONDIENTESPara empezarConsidera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2

    Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de transversal o secante.

    Consideremos lo siguienteSin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ngulos marcados con rojo.

    Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argumenten sus respuestas para convencer a sus compaeros.

    SESIN 1

    ngulos entre paralelas

    t

    r2

    r1

    r2r1

    135

    r1 II r2

    MAT2 B1 S06.indd 82 6/2/07 11:40:25 PM

  • 83

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Realicen la siguiente actividad.

    1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de pre-ferencia transparente) dos rectas paralelas y una transversal, y numeren los ngulos de la siguiente manera:

    2. Marquen una lnea punteada como la que se muestra en el dibujo:

    12

    3 4

    56

    7 8

    12

    3 4

    56

    7 8

    3. Corten la hoja por la lnea punteada. 4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ngulo 1 coincida exactamente con el ngulo 5.

    Ahora tienen el ngulo 5 sobre el ngulo 1.

    Los ngulos 1 y 5 se llaman ngulos correspondientes.

    a) Cul es el ngulo correspondiente del 2? , y del 3? y del 4?

    b) Cmo son entre s las medidas de los ngulos correspondientes?

    c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal los ngulos correspondientes son iguales.

    MAT2 B1 S06.indd 83 6/2/07 11:40:32 PM

  • 84

    secuencia 6ii. Subrayen las afirmaciones verdaderas.

    a) 2 = 6 porque son ngulos correspondientes.

    b) 1 = 5 porque son ngulos opuestos por el vrtice.

    c) 5 = 7 porque son ngulos opuestos por el vrtice.

    d) 5 + 6 = 180 porque son ngulos adyacentes que se forman

    cuando dos rectas se cortan.

    iii. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que a = 50 y que se trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

    iV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ngulos correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.

    V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal.

    a) En este caso tambin se dice que el ngulo 1 es correspondiente del ngulo 5,

    y el 2 del 6, cul es el correspondiente del 3? ,

    y del 4?

    b) Comparen las medidas de los ngulos correspondientes cuando las rectas no son paralelas.

    a = e porque

    Entonces, el e mide

    e + f = 180 porque

    Por lo tanto, f =

    gea

    fb

    c

    hd

    123 4

    567 8

    Recuerden que:

    a se lee ngulo a

    a se lee la medida del ngulo a

    MAT2 B1 S06.indd 84 6/2/07 11:40:33 PM

  • 85

    IIMATEMTICASCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ngulos corres-pondientes iguales.

    El 1 es correspondiente al 2 , por lo tanto 1 = 2.

    Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ngulos corres-pondientes tienen diferente medida.

    SESIN 2

    A lo que llegamos

    Lo que aprendimosEncuentra el valor de los ngulos que faltan en cada caso.

    NGULOS ALTERNOS INTERNOSPara empezarCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ngulos.

    1

    2

    103

    80

    3xx

    Observa que los ngulos 2, 3, 6 y 7 estn dentro de las paralelas.

    Estos ngulos se llaman internos.

    Qu ngulos quedan fuera de las paralelas?

    Cmo crees que se llaman estos ngulos?

    1 23 4

    5 67 8

    MAT2 B1 S06.indd 85 6/2/07 11:40:34 PM

  • 86

    secuencia 6

    Consideremos lo siguienteSin medir los ngulos, cmo podran convencer a alguien de que a = h? Anoten sus argumentos.

    Comparen sus argumentos con los del resto del grupo, observen que hay diferentes maneras de llegar al mismo resultado.

    Manos a la obrai. Lean la siguiente informacin:

    a) Si dos ngulos estn de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y dentro de las paralelas, se llaman alternos internos. Por ejemplo, los ngulos 2 y 7 son alternos internos.

    Hay otra pareja de ngulos alternos internos, cul es?

    b) Si dos ngulos estn de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos. Por ejemplo, los angulos 1 y 8 son alternos externos.

    Hay otra pareja de ngulos alternos externos, cul es?

    c) En la figura del apartado Consideremos lo siguiente identifiquen ngulos alternos internos o alternos externos y verifiquen que miden lo mismo.

    ii. Con respecto a la figura del apartado Consideremos lo siguiente subrayen las afirmaciones que son verdaderas.

    a) c = f porque son ngulos alternos internos.

    b) a = c porque son ngulos correspondientes.

    c) e = d porque son ngulos alternos externos.

    d) a = h porque son ngulos opuestos por el vrtice.

    gea

    fb c

    hd

    1 23 4

    5 67 8

    MAT2 B1 S06.indd 86 6/2/07 11:40:36 PM

  • 87

    IIMATEMTICASiii. En la siguiente figura, los ngulos d y g son alternos internos entre dos paralelas cor

    tadas por una transversal. Completen el razonamiento para justificar que los ngulos alternos internos siempre son iguales.

    d = f porque

    f = g porque

    Entonces, como los dos ngulos, el d y el g son iguales

    al f, podemos decir que

    iV. Escriban en su cuaderno un razonamiento parecido para justificar que dos ngulos alternos externos son iguales.

    V. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revisen los argumentos que dieron para justificar la igualdad de los ngulos a y h.

    A lo que llegamosCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ngulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo.

    El 1 es alterno externo del 7 , por lo tanto 1 = 7.

    El 4 es alterno interno del 6 , por lo tanto 4 = 6.

    g

    ea

    fb ch

    d

    12

    3 4

    567 8

    MAT2 B1 S06.indd 87 6/2/07 11:40:38 PM

  • 88

    secuencia 6

    Lo que aprendimos1. Investiguen si hay o no alguna relacin entre los ngulos alternos internos y alternos

    externos cuando las dos rectas que corta la transversal no son paralelas.

    LOS NGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS Y EN EL TRINGULOPara empezarLas relaciones entre las parejas de ngulos que se forman cuando dos rectas son cortadas por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de las figuras.

    Lo que aprendimos1. Considera la figura de la derecha y anota las medidas que faltan.

    1 = 5 =

    2 = 6 =

    3 = 7 =

    4 = 45 8 =

    2. Considera los siguientes paralelogramos.

    a) En el romboide se ha marcado una pareja de ngulos opuestos. Cada cuadriltero tiene dos parejas de ngulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color, cada pareja de ngulos opuestos en cada paralelogramo.

    SESIN 3

    1 2 3 45 6 7 8

    MAT2 B1 S06.indd 88 6/2/07 11:40:39 PM

  • 89

    IIMATEMTICASb) Subraya la afirmacin verdadera

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo tienen diferente medida.

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.

    Los ngulos opuestos de un paralelogramo suman 180.

    3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ngulos consecutivos.

    a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ngulos consecutivos.

    b) Cul es la relacin entre las medidas de los ngulos consecutivos de un paralelo

    gramo?

    4. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo.

    a) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ngulo 1 es igual al ngulo 3.

    1 = 5 porque

    3 = 5 porque

    Si ambos ngulos, el 1 y el 3, son iguales al 5, entonces: =

    b) Escribe en tu cuaderno un razonamiento para demostrar que el ngulo 2 es igual al ngulo 4.

    r1 II r2t1 II t2

    12

    3 4

    ea

    bc d

    r25

    t1

    r1

    t2

    MAT2 B1 S06.indd 89 6/2/07 11:40:40 PM

  • 90

    secuencia 65. Responde a las preguntas, se refieren a la figura anterior.

    a) Considera la transversal t 1 y las rectas paralelas r 1 y r 2, cunto suman las medi

    das de los ngulos 2 y 3?

    b) Justifica tu respuesta

    6. Revisa tus conjeturas de los ejercicios 2 y 3 y verifica si corresponden a los resultados hallados en los ejercicios 4 y 5.

    7. En la secuencia 4 exploraste la relacin de los ngulos interiores de un tringulo,

    cunto suman los tres ngulos interiores de un tringulo?

    8. Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se forman dos tringulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la suma de los ngulos interiores del tringulo aBc es 180.

    d + b+ e = 180 porque forman un ngulo de 180.

    d = a porque

    e = c porque

    Si sustituimos d y e por sus iguales, que son a y c , entonces la suma queda

    + + = 180

    e

    a

    b

    c

    d

    B

    a c

    MAT2 B1 S06.indd 90 6/2/07 11:40:41 PM

  • 91

    IIMATEMTICAS9. Cunto mide el ngulo formado por la escalera y la pared?

    Relaciones importantes

    Las relaciones de los ngulos entre paralelas y la de los tringulos y paralelogramos te permiten resolver mltiples problemas.

    A lo que llegamosLos ngulos interiores de un tringulo siempre suman 180.En un paralelogramo:

    Los ngulos opuestos son iguales.

    Los ngulos consecutivos suman 180.Los cuatro ngulos interiores suman 360.

    Para saber msSobre animaciones que representan la suma de los ngulos interiores de un tringu-lo consulta:http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&subRuta: Tringulos, prismas y pirmides ngulos en el tringulo[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Resuelve el problema 2.1 de la pgina de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    50

    MAT2 B1 S06.indd 91 6/2/07 11:40:44 PM

  • 92

    secuencia 7

    En esta secuencia determinars la relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directa.

    EL PESO EN OTROS PLANETASPara empezarEl peso en otros planetas

    Sabas que el peso de un objeto vara en funcin de la fuerza de gravedad que acta sobre l? Esto significa que un objeto no pesa lo mismo en la Tierra que lo que pesa en la Luna, Marte o en algn otro lugar del sistema solar.

    De hecho, el peso que tienen los objetos en un planeta y su peso en otro planeta son cantidades directamente proporcionales; por ejemplo, un objeto que en la Tierra pesa 4 kilogramos, en Jpiter pesa 10 kilogramos. Cunto pesa en Jpiter un objeto que en la

    Tierra pesa 12 kilogramos?

    En esta sesin descubrirs cmo encontrar el peso de un mismo objeto en distintos planetas y satlites del sistema solar.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra los distintos pesos que una misma barra de plomo tiene en la Tierra y en la Luna:

    Peso de la barra de plomo

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    Peso en la Luna (en kilogramos)

    720 120

    SESiN 1

    La relacin inversa de una relacin de proporcionalidad directa

    MAT2 B1 S07.indd 92 6/2/07 11:49:08 PM

  • 93

    IIMATEMTICASCon la informacin de la tabla anterior respondan lo siguiente:

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje

    to en la Luna a partir de su peso en la Tierra?

    b) Si una barra de plomo pesa en la Tierra 18 kilogramos, cuntos kilogramos pesa en

    la Luna?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un obje

    to en la Tierra a partir de que se conoce su peso en la Luna?

    d) Si una barra de plomo pesa en la Luna 25 kilogramos, cuntos kilogramos pesa en la

    Tierra?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cuntas veces es ms pesado un objeto en la Tierra que en la Luna?

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la

    Luna conociendo su peso en la Tierra.

    Peso en la Tierra

    (en kilogramos)

    Peso respectivo en la Luna

    (en kilogramos)

    720 120

    72

    12

    1

    18

    Observen que al encontrar cunto pesa en la Luna un objeto que pesa 1 kilogra-mo en la Tierra, se encuentra tambin la constante de proporcionalidad que permite saber el peso de un objeto en la Luna conociendo su peso en la Tierra.

    MAT2 B1 S07.indd 93 6/2/07 11:49:10 PM

  • 94

    secuencia 7

    Recuerden que:

    El recproco de un nmero dis

    tinto

    de cero a es: 1

    a ,

    adems, a 1

    a = 1

    Del diagrama anterior se observa que da el mismo resultado

    dividir entre 6 que multiplicar por su recproco, que es 16 .

    Estn de acuerdo con esta observacin?

    Justifiquen su respuesta

    ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la Tierra conociendo su peso en la Luna.

    Peso en la Luna (en kilogramos)

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    120 720

    60

    10

    1

    25

    Comparen sus respuestas y verifiquen los resultados del apartado Consideremos lo si-guiente.

    iii. Completen el siguiente diagrama y comenten la relacin que hay entre las constantes que utilizaron.

    Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

    o se divide entre:

    Peso en la Tierra Peso en la Luna

    Se multiplica por la constante de proporcionalidad, que es:

    MAT2 B1 S07.indd 94 6/2/07 11:49:15 PM

  • 95

    IIMATEMTICASA lo que llegamosCuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales, siempre hay en juego dos relaciones de proporcionalidad. El siguiente diagrama ilustra esta situacin.

    Relacin 1

    Conjunto A Conjunto B

    Relacin 2

    La relacin 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades del conjunto A. La relacin 2, al revs, permite encontrar las cantidades del conjunto A a partir de las cantidades del conjunto B. Se dice que estas dos relaciones son inversas una de la otra.

    Adems, las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son recprocas una de la otra.

    Por ejemplo, 16 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso en la Luna a partir del peso en la Tierra. Mientras que 6 es la constante de proporcionalidad que permite conocer el peso en la Tierra a partir del peso en la Luna.

    Estas dos relaciones son inversas y sus constantes de proporcionalidad son recprocas.

    6 y 16 son recprocos porque 6 16 = 1 o

    16 6 = 1.

    Lo que aprendimosLa siguiente tabla muestra los distintos pesos que una barra de plomo tiene en la Tierra y en Venus:

    Peso de la barra de plomo

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    Peso en Venus (en kilogramos)

    720 648

    MAT2 B1 S07.indd 95 6/2/07 11:49:19 PM

  • 96

    secuencia 7Contesta las siguientes preguntas:

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los

    objetos en Venus a partir de conocer su peso en la Tierra?

    b) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en la Tierra, cunto pesa esa barra en el

    planeta Venus?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de los

    objetos en la Tierra a partir de conocer su peso en Venus?

    d) Si una barra de plomo pesa 1 kilogramo en el planeta Venus, cunto pesa esa

    barra en la Tierra?

    EUROPA Y PLUTN Para empezarSabas que Jpiter, el planeta ms grande del sistema solar, tiene 16 lunas conocidas? Una de ellas se llama Europa. Europa tiene caractersticas que han fascinado a los astrnomos contemporneos. Es un poco ms grande que nuestro satlite, la Luna, pero lo ms interesante es que su superficie est cubierta por una capa de hielo y se cree que debajo de esta helada capa existe una gran cantidad de agua. De ser as, sera el nico lugar de nuestro sistema solar, adems de nuestro planeta, donde existe agua en cantidades significativas.

    Consideremos lo siguienteLas siguientes tablas muestran los pesos de algunas barras de plomo en la Tierra, Europa y Plutn.

    Peso en Europa (en kilogramos)

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    Peso en Plutn (en kilogramos)

    30 240 240 16

    1 8 15 1

    Tabla 1 Tabla 2

    a) Cunto pesa en Plutn una barra de plomo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

    SESiN 2

    MAT2 B1 S07.indd 96 6/2/07 11:49:19 PM

  • 97

    IIMATEMTICASb) Cunto pesa en Europa una barra de plo

    mo que en la Tierra pesa 1 kilogramo?

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Europa a partir de su peso en Plutn?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en Plutn a partir de su peso en Europa?

    Comparen sus respuestas y sus procedimientos.

    Manos a la obrai. Completa la siguiente tabla para encontrar el peso de algunas barras de plomo en la

    Tierra y Plutn.

    Peso en Europa (en kilogramos)

    Peso en la Tierra (en kilogramos)

    Peso en Plutn (en kilogramos)

    30 240 16

    15

    1

    Comparen sus tablas y completen el siguiente diagrama, en el que se establecen algunas de las relaciones que hay entre los pesos de los objetos en Europa, la Tierra y Plutn.

    Recuerda que:

    El producto de la constante a de un

    a

    relacin de proporcionalidad por la

    constante 1

    a de la relacin inv

    ersa

    es igual a 1, es decir:

    a 1

    a =

    1

    a a = 1

    MAT2 B1 S07.indd 97 6/2/07 11:49:21 PM

  • 98

    secuencia 7

    Recuerden que:

    La constante asociada

    a la aplicacin sucesiva

    de dos constantes de

    proporcionalidad es

    igual al producto de las

    dos constantes que se

    aplican sucesivamente.

    Verifiquen sus respuestas del apartado Consideremos lo siguiente.

    ii. En la siguiente tabla se indican las relaciones de proporcionalidad del diagrama 1 y sus relaciones inversas correspondientes. Compltala.

    Relacin de proporcionalidad Relacin inversa

    Relacin que a cada peso en Europa asocia el peso correspondiente en la Tierra.

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en .

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en Plutn.

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en la Tierra.

    Relacin que a cada peso en asocia el peso correspondiente

    en Plutn.

    Relacin que a cada peso en Plutn asocia el peso correspondiente en

    .

    Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas de las relaciones del diagrama 1.

    Se multiplica por

    Diagrama 1

    Peso en Europa Peso en Plutn

    Se multiplica por

    Peso en la Tierra

    Se multiplica por

    Se multiplica por

    Diagrama 2

    Peso en Plutn Peso en Europa

    Se multiplica por

    Peso en la Tierra

    Se multiplica por

    MAT2 B1 S07.indd 98 6/2/07 11:49:21 PM

  • 99

    IIMATEMTICASComparen sus tablas y diagramas. Comenten:

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un

    objeto en Europa a partir de su peso en Plutn?

    b) Cules son los recprocos de las constantes de proporcionalidad indicadas en el

    Diagrama 2?

    El siguiente esquema muestra las constantes de todas las relaciones de proporcionalidad que hay entre los pesos en Plutn, la Tierra y Europa.

    Lo que aprendimos1. En la sesin 1 de la secuencia 16 de tu libro de Matemticas i Volumen i aprendiste

    que los microscopios compuestos tienen dos lentes, llamados objetivo y ocular.

    Un microscopio compuesto tiene un lente objetivo que aumenta 15 veces el tamao de lo que se observa y un lente ocular que lo aumenta 25 veces.

    Completa el siguiente diagrama para encontrar el aumento final obtenido con el microscopio.

    Se multiplica por 158

    Se multiplica por 15 Se multiplica por 18

    Peso en Plutn Peso en la Tierra Peso en Europa

    Se multiplica por 115 Se multiplica por 8

    Se multiplica por 815

    Se multiplica por Se multiplica por

    Tamao realTamao obtenido

    con la primera lente

    Tamao final

    Se multiplica por

    MAT2 B1 S07.indd 99 6/2/07 11:49:22 PM

  • 100

    secuencia 7Completa el siguiente diagrama para establecer las constantes de proporcionalidad de las relaciones inversas del diagrama anterior.

    PROBLEMASLo que aprendimos1. El siguiente es el dibujo de un rompecabezas:

    SESiN 3

    Figura 1

    4 cm

    6 cm

    4 cm 4 cm2 cm

    4 cm6 cm

    2 cm

    6 cm

    2 cm

    Se multiplica por Se multiplica por

    Tamao finalTamao obtenido

    con el primer lente

    Tamao real

    Se multiplica por

    6 cm

    MAT2 B1 S07.indd 100 6/2/07 11:49:22 PM

  • 101

    IIMATEMTICAS Se va a hacer una copia del rompecabezas de la figura 1 de manera que el lado que

    mide 4 centmetros mida ahora 7 centmetros.

    a) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas de las medidas de la copia.

    Medidas en el original (en centmetros)

    Medidas en la copia (en centmetros)

    4 7

    2

    1

    6

    b) Construyan las piezas de la copia del rompecabezas. Cada uno de los integrantes de equipo contruir una pieza distinta . Al final, armen la copia del rompecabezas.

    c) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas de

    la copia a partir de las medidas del original?

    d) Cul es la constante de proporcionalidad de la relacin inversa, la que permite

    encontrar las medidas del original a partir de las medidas de la copia?

    2. Se va a hacer otra copia del rompecabezas de la figura 1 pero de tal manera que el lado que mide 2 centmetros mida ahora 3 centmetros. Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas que tendr la nueva copia del rompecabezas.

    Medidas del rompecabezas (en centmetros)

    Medidas de la copia (en centmetros)

    2 3

    4

    6

    a) Por qu nmero hay que multiplicar las medidas de la figura 1 para obtener las

    medidas de la nueva copia?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas

    del rompecabezas original a partir de las medidas de la copia?

    MAT2 B1 S07.indd 101 6/2/07 11:49:22 PM

  • 102

    secuencia 73. El siguiente es el dibujo del plano de una casa hecho a escala 2 000 cm a 10 cm.

    Completa la siguiente tabla para encontrar algunas medidas reales y del dibujo de la casa.

    Medidas reales (en centmetros)

    Medidas en el dibujo (en centmetros)

    Largo de la casa 2 00010

    Ancho de la casa 5

    Largo de la recmara 1 500

    Ancho del bao 2 200

    Largo del patio y jardn 3.5

    Largo del bao 2 1.3

    Ancho de la recmara 2 360

    a) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas rea

    les a partir de las medidas del dibujo?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del

    dibujo a partir de las medidas reales?

    Recmara 2

    Recmara 1

    Bao 1

    Sala y Comedor

    Patio y Jardn

    Bao 2

    MAT2 B1 S07.indd 102 6/2/07 11:49:28 PM

  • 103

    IIMATEMTICAS4. Un automvil tiene un rendimiento de 20 kilmetros por cada litro de gasolina.

    a) Cuntos litros de gasolina consume si recorri 380 kilmetros?

    b) Cul es la constante de proporcionalidad que permite conocer la cantidad de gaso

    lina que consumi el automvil a partir del nmero de kilmetros que recorri?

    Para saber msSobre el peso y el tiempo en otros planetas consulta:http://www.astrored.org/contenidos/articulo.php/alex_dantart/peso[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Explora el interactivo Porporcionalidad con Logo.

    MAT2 B1 S07.indd 103 6/2/07 11:49:38 PM

  • 104

    secuencia 8

    En esta secuencia estudiars problemas en los cuales hay dos o ms cantidades que se encuentran en proporcin directa o proporcin inversa con otra cantidad. A este tipo de problemas se les llama problemas de proporcionalidad mltiple.

    EL VOLUMENPara empezarLa proporcionalidad mltiple

    sEsiN 1

    Proporcionalidad mltiple

    Recuerden que:

    Dos conjuntos de cantidades

    son inversamente proporcion

    a

    les cuando al aumentar una

    cantidad al doble, triple, etc

    tera, su cantidad correspon

    diente disminuye a la mitad,

    tercera parte, etctera.

    Una de las situaciones en las que surgen problemas de proporcionali-dad mltiple es el clculo de volmenes. En tu libro Matemticas de sexto de primaria aprendieste a calcular los volmenes de algunos prismas. Por ejemplo, para un prisma rectangular como el siguiente:

    El volumen se calcula:

    Volumen = 4 cm 2 cm 3 cm = 24 cm3

    Altura3 cm

    Largo4 cm

    Ancho2 cm

    Prisma 1

    MAT2 B1 S08.indd 104 6/2/07 11:54:15 PM

  • 105

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteRespondan lo siguiente:

    a) Si se aumenta al triple la medida del largo del prisma 1, cuntas veces aumenta

    su volumen?

    b) Si disminuye a la mitad la medida del largo del prisma 1, cuntas veces disminu-

    ye el volumen?

    c) Si aumenta al doble la medida del largo y aumenta al triple la medida de la altura

    del prisma 1, cuntas veces aumenta el volumen?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. En la siguiente figura se aument al triple la medida del largo del prisma 1 y se ob-

    tuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 2.

    a) Cunto mide el largo del prisma 2?

    b) Cul es el volumen del prisma 2?

    c) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 2?

    d) Supongan que aumentara cinco veces el largo del prisma 1, cuntas veces au-

    mentar su volumen?

    e) Cunto medir el volumen del nuevo prisma?

    4 cm 4 cm

    Altura 3 cm

    4 cm

    Largo cm

    Prisma 2

    Ancho2 cm

    MAT2 B1 S08.indd 105 6/2/07 11:54:16 PM

  • 106

    secuencia 8

    Comparen sus respuestas.

    ii. En la siguiente figura se aument al triple la medida de la altura del prisma 1 y se obtuvo un nuevo prisma rectangular, al que llamaremos prisma 3.

    Largo del prisma

    (cm)

    Ancho del prisma

    (cm)

    Altura del prisma

    (cm)

    Volumen del prisma

    (cm3)

    Variacin del volumen del prisma (las medidas del ancho y la altura permanecen fijas

    pero cambia la medida del largo)

    4 2 3 24

    2 4 2 3El largo aument 2 veces

    Cuntas veces aument el volumen?

    16 2 3El largo aument

    Cuntas veces aument el volumen?

    2 2 3El largo disminuy

    Cuntas veces disminuy el volumen?

    En la siguiente tabla las medidas del ancho y la altura del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida del largo vara. Completen la tabla y encuentren los volmenes co-rrespondientes.

    3 cm

    3 cm

    Altura

    cm3 cm

    Prisma 3

    Ancho2 cm

    Largo4 cm

    MAT2 B1 S08.indd 106 6/2/07 11:54:17 PM

  • 107

    IIMATEMTICASa) Cunto mide la altura del prisma 3?

    b) Cunto mide el volumen del prisma 3?

    c) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 3?

    En la siguiente tabla las medidas del largo y del ancho del prisma 1 permanecen fijas, pero la medida de la altura vara. Completen la tabla y encuentren los volmenes correspondientes.

    Largo del prisma

    (cm)

    Ancho del prisma

    (cm)

    Altura del prisma

    (cm)

    Volumen del prisma

    (cm3)

    Variacin del volumen del prisma

    (la medida del largo y el ancho permanecen fijas pero cambia la medida de la altura)

    4 2 3 24

    4 2 12La altura aument 4 veces

    Cuntas veces aument el volumen?

    4 2 24La altura aument

    Cuntas veces aument el volumen?

    4 2 12 3

    La altura disminuy

    Cuntas veces disminuy el volumen?

    A lo que llegamosLas situaciones de proporcionalidad mltiple se caracterizan porque dos o ms cantidades se encuentran relacionadas proporcionalmente con otra cantidad.

    Por ejemplo, cuando las medidas del ancho y la altura de un prisma rectangular permanecen fijas, la medida de su largo se encuentra en proporcin directa con la medida de su volumen.

    Es decir, cuando se aumenta al doble, o triple, etctera, la medida del largo del prisma rectangular y la altura y el ancho permanecen fijos, la medida del volumen aumenta al doble, o triple, etctera.

    Esto tambin sucede con las otras medidas del prisma. Es decir, cuan-do las medidas del largo y del ancho del prisma permanecen fijas, la medida de la altura del prisma se encuentra en proporcin directa con el volumen del prisma. Y cuando las medidas de la altura y del largo del prisma permanecen fijas, la medida del ancho se encuentra en proporcin directa con la medida del volumen.

    MAT2 B1 S08.indd 107 6/2/07 11:54:18 PM

  • 108

    secuencia 8iii. Completen las medidas que faltan en el prisma 4 para encontrar qu sucede con el

    volumen del prisma 1 cuando la medida del largo se duplica y la medida de la altura se triplica, pero la medida del ancho permanece fija.

    a) Cunto mide el volumen del prisma 4?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 4?

    3 cm

    3 cm

    4 cm 4 cm

    Largo cm

    Altura

    cm3 cm

    Prisma 4

    Ancho2 cm

    MAT2 B1 S08.indd 108 6/2/07 11:54:22 PM

  • 109

    IIMATEMTICASEn la siguiente tabla las medidas del largo y de la altura del prisma 1 varan, pero la medida del ancho permanece fija. Completen la tabla y encuentren los volmenes correspondientes.

    Largo del prisma

    (cm)

    Ancho del prisma

    (cm)

    Altura del prisma

    (cm)

    Volumen del prisma (cm3)

    Variacin del volumen del prisma (las medidas del ancho permanece fija y

    cambian las medidas de la altura y del largo)

    4 2 3 24

    8 = 2 4 2 9 = 3 3

    Cuntas veces aument el largo? 2 veces

    Cuntas veces aument la altura? 3 veces

    Cuntas veces aument el volumen?

    12 2 12

    Cuntas veces aument el largo?

    Cuntas veces aument la altura?

    Cuntas veces aument el volumen?

    16 2 9

    Cuntas veces aument el largo?

    Cuntas veces aument la altura?

    Cuntas veces aument el volumen?

    2 2 12

    Cuntas veces disminuyo el largo?

    Cuntas veces aument la altura?

    Cuntas veces aument el volumen?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    A lo que llegamosEn algunas situaciones de proporcionalidad mltiple, como en la del prisma rectangular, si dos o ms de las cantidades varan al mismo tiempo, por ejemplo, si el largo aumenta n veces y al mismo tiempo el ancho aumenta m veces pero la altura permanece fija, entonces el volumen aumenta n m veces.

    MAT2 B1 S08.indd 109 6/2/07 11:54:24 PM

  • 110

    secuencia 8

    Lo que aprendimos1. El siguiente prisma rectangular se obtuvo al variar las medidas del prisma 1 de la si-

    guiente manera: la altura aument al triple, el ancho aument al doble y el largo se mantuvo fijo. Completen los datos que faltan en el dibujo.

    a) Cunto mide el volumen del prisma 5?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 5?

    c) Si las medidas del largo y del ancho del prisma 1 aumentaran al triple y la altura

    permaneciera fija, cuntas veces aumentara el volumen del prisma 1?

    3 cm

    3 cm

    Altura

    cm

    2 cm

    Altura 4 cm

    3 cm

    2 cm

    Ancho: cm

    Prisma 5

    MAT2 B1 S08.indd 110 6/2/07 11:54:24 PM

  • 111

    IIMATEMTICASLA EXCURsiNConsideremos lo siguienteEn una escuela se va a realizar una excursin. Los organizadores saben que en promedio 12 nios consumen 144 litros de agua durante 6 das.

    a) Cuntos litros de agua hay que llevar a la excursin si van a ir 60 nios durante 3

    das?

    b) Y si fueran 36 nios y los organizadores llevaran 144 litros de agua, para cuntos

    das de excursin alcanzara el agua?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Respondan las siguientes preguntas.

    a) Si en lugar de ir 12 nios a la excursin fueran 24 nios:

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos das?

    Para cuntos das alcanzara el agua?

    El nmero de das aumentara al doble o disminuira a la mitad?

    b) Si en lugar de ir 12 nios a la excursin fueran 6 nios:

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos das?

    Para cuntos das alcanzara el agua?

    El nmero de das aumentara al doble o disminuira a la mitad?

    c) Si fueran a la excursin 4 nios y llevaran 144 litros de agua:

    Para cuntos das alcanzara el agua?

    El nmero de das aumentara al triple o disminuira a la tercera parte?

    Comparen sus respuestas.

    sEsiN 2

    MAT2 B1 S08.indd 111 6/2/07 11:54:24 PM

  • 112

    secuencia 8d) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmacin sea

    verdadera y la letra F cuando la afirmacin sea falsa.

    Cuando el nmero de litros de agua permanece fijo (144 litros), el nmero de das y el nmero de nios son cantidades directamente proporcionales.Cuando el nmero de litros de agua permanece fijo (144 litros), el nmero de das y el nmero de nios son cantidades inversamente proporcionales.

    Las siguientes tablas son tiles para determinar si dos conjuntos de cantidades son direc-tamente proporcionales o inversamente proporcionales.

    Cantidades directamente proporcionales Cantidades inversamente proporcionales

    Si una cantidad aumenta al do-ble, al triple, etctera

    la otra aumenta al doble, al triple, etctera.

    Si una cantidad aumenta al doble, al triple, etctera

    la otra cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etctera.

    Si una cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etctera

    la otra cantidad disminuye a la mitad, tercera parte, etctera.

    Si una cantidad disminuye a la mi-tad, tercera parte, etctera

    la otra cantidad aumenta al doble, al triple, etctera.

    ii. Respondan las siguientes preguntas. Recuerden que en promedio 12 nios consumen 144 litros de agua durante 6 das.

    a) Si en lugar de ir 12 nios a la excursin fueran 60 nios:

    Habra que llevar ms o menos agua para 6 das de excursin?

    Cunta agua habra que llevar?

    La cantidad de agua aumentara cinco veces o disminuira a la quinta parte?

    b) Comenten las siguientes afirmaciones. Pongan la letra V cuando la afirmacin sea verdadera y la letra F cuando la afirmacin sea falsa.

    Cuando el nmero de das permanece fijo (6 das), el nmero de nios y la cantidad de agua que se consumi-r son cantidades directamente proporcionales.

    Cuando el nmero de das permanece fijo (6 das), el nmero de nios y la cantidad de agua que se consumi-r son cantidades inversamente proporcionales.

    MAT2 B1 S08.indd 112 6/2/07 11:54:25 PM

  • 113

    IIMATEMTICASc) Si en lugar de ir 6 das de excursin fueran slo 3 das:

    Los 12 nios necesitaran ms o menos de 144 litros de agua?

    Cunta agua tendran que llevar?

    La cantidad de agua aumentara al doble o disminuira a la mitad?

    d) Cuntos litros de agua consumen 12 nios durante 1 da de excursin?

    e) Cuntos litros de agua consume 1 nio durante 1 da de excursin?

    f) Comenten las siguientes afirmaciones y pongan la letra V cuando la afirmacin sea verdadera y la letra F cuando la afirmacin sea falsa.

    Cuando el nmero de nios permanece fijo (12 nios), el nmero de das y la cantidad de

    agua que se consumir son cantidades directamente proporcionales.

    Cuando el nmero de nios permanece fijo (12 nios), el nmero de das y la cantidad de

    agua que se consumir son cantidades inversamente proporcionales.

    g) Cuntos litros de agua consumirn

    60 nios durante 1 da de excursin?

    h) Cuntos litros de agua consumirn

    60 nios durante 3 das de excursin?

    MAT2 B1 S08.indd 113 6/2/07 11:54:27 PM

  • 114

    secuencia 8

    A lo que llegamosEn los problemas de proporcionalidad mltiple puede suceder que cuando una de las cantidades permanece fija las otras dos sean direc-tamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo:

    1. Si el nmero de nios que van a ir a la excursin permanece fijo, entonces el nmero de das que van a estar en la excursin y el nmero de litros de agua que se consumirn son cantidades direc-tamente proporcionales.

    2. Si el nmero de litros de agua que se consumi en la excursin permanece fijo, entonces el nmero de das y el nmero de nios son cantidades inversamente proporcionales.

    Una de las tcnicas tiles para resolver algunos problemas de pro-porcionalidad mltiple es encontrar el valor que corresponde a las unidades. Por ejemplo, en el problema de la excursin la cantidad de agua que consume 1 nio durante 1 da es el valor que corresponde a las unidades: en 1 da 1 nio consume 2 litros de agua. El valor que le corresponde a las unidades en este caso es 2. Luego, si queremos saber cuntos litros de agua consumirn 70 nios durante 5 das de excursin, solamente tenemos que hacer una multi-plicacin, el siguiente esquema ilustra mejor este hecho.

    As que 70 nios durante 5 das de excursin consumirn 700 litros de agua.

    2 5 70 = 700

    Nmero de nios que fueron a la excursin

    Nmero de litros de agua que consumieron 70 nios durante

    5 das de excursin

    Nmero de das que dur la excursin

    Valor que le corresponde a las unidades: nmero de litros de

    agua que consume 1 nio durante 1 da de excursin

    MAT2 B1 S08.indd 114 6/2/07 11:54:30 PM

  • 115

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Responde las siguientes preguntas. Recuerda que en promedio 12 nios consumen

    144 litros de agua durante 6 das.

    a) Si en lugar de ir 6 das de excursin van 18 das.

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos nios?

    Para cuntos nios alcanzara el agua?

    El nmero de nios aument al triple o disminuy a la tercera parte?

    b) Si en lugar de ir 6 das de excursin van 2 das.

    Los 144 litros de agua alcanzaran para ms o menos nios?

    Para cuntos nios alcanzara el agua?

    El nmero de nios aument al triple o disminuy a la tercera parte?

    2. Completa la siguiente tabla para verificar si el nmero de nios y el nmero de das de la excursin son cantidades directamente proporcionales o inversamente propor-cionales cuando la cantidad de agua permanece fija (144 litros).

    Cantidad de agua consumida Das de excursin Nmero de nios

    144 litros 6 12

    144 litros 3

    144 litros 12

    144 litros 1

    Ms PROBLEMAsLo que aprendimos1. En la sesin 1 de esta secuencia se calcul el volumen del prisma rectangular 1

    Volumen = 4 cm 2 cm 3 cm = 24 cm3

    4 cm

    3 cm

    2 cm

    sEsiN 3

    Prisma 1

    MAT2 B1 S08.indd 115 6/2/07 11:54:32 PM

  • 116

    secuencia 8Contesta las siguientes preguntas:

    a) Si se aumenta cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al

    doble se obtiene un nuevo prisma: el prisma 6. Cul es el volumen del prisma 6?

    b) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 6?

    c) Al aumentar cada una de las dimensiones (altura, largo y ancho) del prisma 1 al

    triple se obtiene otro nuevo prisma: el prisma 7. Cul es el volumen del prisma 7?

    d) Por qu nmero hay que multiplicar el volumen del prisma 1 para obtener el

    volumen del prisma 7?

    2. Sabiendo que para construir un muro de 3 metros de largo y 2 metros de altura se necesitan 150 ladrillos, contesta las siguientes preguntas:

    a) Cuntos tabiques se necesitan para construir un muro que mida un metro de

    largo por 3 metros de alto?

    b) Cuntos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 1 metro de largo

    por 1 metro de alto?

    c) Cuntos tabiques se necesitan para construir un muro que mida 12 metros de

    largo por 3 metros de alto?

    Subraya las afirmaciones correctas:

    Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces el n-mero de ladrillos es inversamente proporcional a la medida del largo del muro.

    Si la medida del largo del muro permanece fija (3 metros), entonces la medida de la altura y el nmero de ladrillos que se necesitan son cantidades directa-mente proporcionales.

    Si la medida de la altura del muro permanece fija (2 metros), entonces la me-dida del largo y el nmero de ladrillos que se necesitan son cantidades direc-tamente proporcionales.

    d) Si un muro mide 4 metros de largo y est hecho con 100 tabiques, cunto mide

    su altura?

    MAT2 B1 S08.indd 116 6/2/07 11:54:33 PM

  • 117

    IIMATEMTICASe) Si un muro mide 2 metros de largo y est hecho con 100 tabiques, cunto mide

    su altura?

    f) Si un muro mide 1 metro de largo y est hecho con 100 tabiques, cunto mide

    su altura?

    g) Completa la siguiente afirmacin para que sea correcta.

    Si la cantidad de tabiques permanece fija (100 tabiques), entonces la medida del

    largo y la medida de la altura son cantidades proporcionales.

    3. Damin es un granjero y se dedica a la crianza de guajolotes. l sabe que 10 guajolo-

    tes consumen aproximadamente 120 kilogramos de alimento durante 3 das.

    a) Cuntos kilogramos de alimento consumen 10 guajolotes durante 1 da?

    b) Cuntos kilogramos de alimento consume un guajolote durante 1 da?

    c) Cuntos kilogramos de alimento consumen 40 guajolotes durante 30 das?

    d) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 12 das, a cuntos gua-

    jolotes se alimentaron?

    e) Si se consumieron 240 kilogramos de alimento durante 3 das, a cuantos guajo-

    lotes se alimentaron?

    Para saber msSobre los prismas rectangulares y otras figuras geomtricas consulta:http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    MAT2 B1 S08.indd 117 6/2/07 11:54:33 PM

  • 118

    secuencia 9

    En esta secuencia vas a identificar regularidades para resolver proble-mas de conteo. Verificars tus resultados utilizando arreglos rectangu-lares, diagramas de rbol u otros recursos.

    CMO NOS ESTACIONAMOS?Para empezarDe cuntas formas?

    Existen situaciones en las que queremos ordenar o repartir varios objetos y resulta til conocer de cuntas maneras distintas podemos realizarlo. En los problemas de conteo se responde la pregunta de cuntas formas? Es importante contar de manera sistemtica y para ello conviene saber desarrollar patrones. En ocasiones contar los casos de uno en uno no resulta prctico, ya que puede requerir de mucho tiempo y adems se corre el riesgo de no contarlos todos.

    En la secuencia 8 de tu libro Matemticas i Volumen i resolviste problemas de conteo utilizando tablas, diagramas de rbol y enumeraciones. En esta secuencia conocers otras tcnicas de conteo. En la secuencia 32 de este libro aprenders a calcular probabi-lidades y tomar decisones utilizando las tcnicas de conteo.

    Consideremos lo siguienteEn un edifico nuevo hay cinco departamentos y cinco lugares para estacionarse. Los lu-gares de estacionamiento se identifican con letras de la A a la E. Se han habitado dos departamentos nicamente, el de Sofa y el de Miguel, quienes estacionan cada noche su auto en alguno de los lugares. Por ejemplo, Sofa puede estacionarse en el lugar D y Miguel en el lugar B. Cules son todas las formas en las que se pueden estacionar Sofa y Miguel? En total cuntas son?

    Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.

    SESIN 1

    Problemas de conteo

    MAT2 B1 S09.indd 118 6/2/07 11:55:02 PM

  • 119

    IIMATEMTICASManos a la obrai. La siguiente lista sirve para encontrar todas las posibles formas en las que se pueden

    estacionar Sofa y Miguel. La lista no indica quin de los dos lleg primero a estacio-narse, sino los distintos lugares de estacionamiento que pudieron ocupar. Hacen falta varias opciones, encuntralas todas y escrbelas en tu cuaderno.

    Sofa Miguel

    A B

    A C

    A D

    A E

    B A

    B C

    B

    Responde las siguientes preguntas:

    a) Un da Sofa lleg primero y escogi el lugar B; cuando llega Miguel, cuntos lugares

    tiene para escoger?

    b) Otro da Miguel lleg primero y escogi el lugar D; cuando llega Sofa, cuntos lu-

    gares tiene para escoger?

    c) Cuntos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?

    d) Cuntos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?

    e) De cuntas maneras distintas pueden estacionarse Sofa y Miguel?

    Comparen sus respuestas

    ii. Ha llegado un nuevo vecino, llamado Paco; tambin estaciona su auto cada noche en alguno de los lugares. De cuntas formas pueden estacionarse Sofa, Miguel y Paco?

    MAT2 B1 S09.indd 119 6/2/07 11:55:05 PM

  • 120

    secuencia 9iii. Las posibles maneras de estacionarse que tienen Sofa, Miguel y Paco se pueden re-

    presentar utilizando un diagrama de rbol. El diagrama indica el lugar que escogi cada uno, sin importar quin lleg primero a estacionarse. Compltalo en tu cuaderno:

    sofa Miguel Paco Lugares ocupados

    c aBc

    B D aBD

    a c e aBe

    B D

    c e

    D

    e

    Utiliza el diagrama de rbol para responder las siguientes preguntas:

    a) Si Sofa est en el lugar C y Miguel no ha llegado, cuando llega Paco, en qu lu-

    gares se puede estacionar?

    b) Si Paco est en el lugar B y Miguel est en el lugar E, cuando llega Sofa, en qu

    lugares se puede estacionar?

    c) Cuntos lugares tiene para escoger la primera persona en llegar?

    d) Cuntos lugares tiene para escoger la segunda persona en llegar?

    e) Cuntos lugares tiene para escoger la tercera persona en llegar?

    f) De cuntas maneras distintas pueden estacionarse Sofa, Miguel y Paco?

    Otra manera con la que podemos calcular el nmero total de formas que tienen para estacionarse Sofa, Miguel y Paco, es realizando una operacin. Subraya cul es:

    5 + 4 + 3

    5 4 3

    5 5 5

    5 + 5 + 5

    Por qu es la operacin correcta?

    MAT2 B1 S09.indd 120 6/2/07 11:55:05 PM

  • 121

    IIMATEMTICASiV. Responde las siguientes preguntas:

    a) En el diagrama de rbol, Sofa est en el primer nivel, Miguel en el segundo y Paco en el tercero. Si en otro diagrama de rbol ponemos a Paco en el primer nivel, a Sofa en el segundo y a Miguel en el tercero, habra ms, menos o el mismo n-mero de posibles formas de estacionarseentre los tres? Explica por qu:

    b) Un da Paco lleg primero y se estacion en el lugar C; luego lleg Sofa y se es-tacion en el lugar E; Miguel fue el ltimo en llegar y se estacion en el lugar A. Otro da Miguel lleg primero y se estacion en el lugar A, luego lleg Paco y se estacion en el lugar C, al final lleg Sofa y se estacion en el lugar E. Se cuenta como la misma manera de estacionarse o son formas distintas? Explica por qu:

    Comparen sus respuestas. Comenten si, para contar el nmero total de formas que tienen para estacionarse los vecinos, es importante saber el orden en el que llegaron a estacionarse.

    V. Los cinco departamentos estn ocupados. Cada vecino estaciona su auto en alguno de los cinco lugares. Responde las siguientes preguntas:

    a) De cuntas maneras distintas pueden estacionarse los vecinos?

    b) Cul es la operacin a realizar para encontrar de cuntas maneras distintas pue-

    den estacionarse los cinco vecinos?

    c) Cul sera el inconveniente de realizar un diagrama de rbol para encontrar todas

    las formas de estacionarse que tienen los cinco vecinos?

    d) Cierto da, dos de los vecinos no utilizaron su auto y lo dejaron estacionado,

    de cuntas maneras distintas pueden estacionarse los tres vecinos restantes?

    Comparen sus respuestas. Para el caso en el que hay dos personas en el edificio, Sofa y Miguel, comenten cul es la operacin que se hace para calcular el nmero total de formas que tienen para estacionarse.

    MAT2 B1 S09.indd 121 6/2/07 11:55:05 PM

  • 122

    secuencia 9

    A lo que llegamosPodemos contar las distintas maneras en las que se pueden estacio-nar los vecinos fijndonos en el nmero de opciones que tiene para cada uno en el momento en que llega:

    Cuando todos los lugares estn vacos, cualquier vecino tiene cinco opciones para escoger. Cuando ya est ocupado un lugar, los otros vecinos tienen cuatro lugares para escoger. Si hay dos lugares ocupa-dos, los tres vecinos restantes tienen tres lugares para escoger. Luego, si hay tres lugares ocupados, quedan dos lugares para los dos vecinos restantes. Finalmente, queda un lugar para el ltimo vecino.

    El nmero total de casos posibles se obtiene multiplicando:

    Si hay dos vecinos: 5 4.

    Si hay tres vecinos: 5 4 3.

    Si hay cuatro vecinos: 5 4 3 2.

    Si hay cinco vecinos: 5 4 3 2 1.

    Lo que aprendimos1. Con los dgitos 2, 4, 8, 5 queremos formar nmeros de tres cifras; en cada nmero no

    se puede repetir ninguno de los dgitos. Cuntos nmeros podemos formar? Haz una lista con todos los nmeros.

    2. En una telesecundaria, dos alumnos deben escoger un da, de lunes a viernes, en el que les va a tocar hacer las tareas de limpieza del saln; cada uno debe escoger un da distinto. De cuntas maneras puede hacerse el rol de limpieza de esa semana? Haz un diagrama de rbol para representar todos los roles distintos.

    3. Cuatro alumnos van con el mdico a que les pongan una vacuna y ninguno quiere pasar primero, de cuntas formas distintas pueden ordenarse para pa-sar con el mdico?

    MAT2 B1 S09.indd 122 6/2/07 11:55:10 PM

  • 123

    IIMATEMTICASLA CASA DE CULTURAPara empezarLa Casa de Cultura es un lugar en los municipios y barrios en el que se fomentan la cul-tura, el arte y la educacin. En la Casa de Cultura hay bibliotecas pblicas, se imparten talleres y cursos, y se organizan conferencias, obras de teatro, exposiciones, conciertos y presentaciones de libros.

    La Casa de Cultura tiene como objetivo contribuir a que la poblacin tenga la oportuni-dad de acercarse a diversas expresiones artsticas y tambin preservar las tradiciones del lugar donde se ubique.

    Consideremos lo siguienteFernanda asiste a la Casa de Cultura de su muni-cipio; en esta Casa de Cultura se imparten cuatro talleres: danza, msica, teatro y dibujo. Fernanda se va a inscribir slo a dos de los talleres. Cun-tas formas posibles tiene para inscribirse?

    Comparen sus respuestas. Expliquen cmo hi-cieron para encontrar las distintas formas que tiene Fernanda para inscribirse. Es lo mismo o es distinto si Fernanda pone en la hoja de ins-cripcin msica y teatro o si pone teatro y msica?

    SESIN 2

    Casa de CulturaInscripcin a los talleres

    Nombre: Deseo inscribirme a los siguientes talleres:

    y

    Firma

    Fernanda

    MAT2 B1 S09.indd 123 6/2/07 11:55:15 PM

  • 124

    secuencia 9

    Manos a la obrai. En la siguiente lista hacen falta varias de las opciones que tiene Fernanda, encun-

    tralas todas y escrbelas en tu cuaderno.

    danza y msica

    danza y teatro

    danza y

    ii. En el diagrama de rbol estn representadas las formas en las que Fernanda puede inscribirse:

    Msica

    Danza Teatro

    Dibujo

    Danza

    Msica Teatro

    Dibujo

    Danza

    Teatro Msica

    Dibujo

    Danza

    Dibujo Msica

    Teatro

    a) Cuntas opciones hay en el diagrama?

    b) Cada una de las opciones est repetida: cuntas veces aparece cada una?

    c) Subraya cul de las siguientes operaciones sirve para calcular el nmero total de formas que tiene Fernanda para inscribirse:

    4 3

    4 32

    d) Por qu es la operacin correcta?

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B1 S09.indd 124 6/2/07 11:55:15 PM

  • 125

    IIMATEMTICASiii. Otra Casa de Cultura imparte los mismos talleres: danza, msica, teatro y dibujo.

    Para inscribirse hay que indicar cul es la primera opcin y cul es la segunda.

    a) En tu cuaderno haz una lista con todas las posibles maneras de inscribirse.

    b) Cuntas maneras son?

    c) Si no se ha llenado todava ninguna de las opciones en la hoja de inscripcin,

    cuntos talleres hay para poner en la primera opcin?

    d) Si ya se puso la primera opcin, cuntos talleres hay para poner en la segunda

    opcin?

    e) Subraya cul de las siguientes operaciones sirve para calcular el nmero total de formas de llenar la hoja de inscripcin:

    4 3

    4 32

    f) Argumenta tu respuesta

    Casa de CulturaInscripcin a los talleres

    Nombre:

    Deseo inscribirme a los siguientes talleres:

    Primera opcin

    Segunda opcin

    Firma

    MAT2 B1 S09.indd 125 6/2/07 11:55:18 PM

  • 126

    secuencia 9

    A lo que llegamosEn los problemas de conteo hay que distinguir si importa o no el orden en el que pongamos las opciones.

    Adems, siempre hay que tener cuidado al utilizar un diagrama de rbol o una lista de enumeracin, porque es posible que se cuente, errneamente, varias veces la misma opcin.

    iV. En otra Casa de Cultura se imparten seis talleres: literatura, dibujo, alfarera, guitarra clsica, grabado y danza. Es posible inscribirse a dos de los talleres. Responde las si-guientes preguntas:

    a) Si la inscripcin se hace sin tener que indicar el orden de preferencia, de cuntas

    maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripcin?

    b) Cul es la operacin con la que podemos calcular el nmero total de posibles

    formas de inscribirse en este caso?

    c) Si se hace la inscripcin indicando el orden de preferencia (primera y segunda opcin), de cuntas maneras distintas se puede llenar la hoja de inscripcin?

    d) Cul es la operacin con la que podemos calcular el nmero total de posibles

    formas de inscribirse en este caso?

    e) En la Casa de Cultura hay n talleres distintos. En la hoja de inscripcin se ponen dos talleres y hay que indicar el orden de preferencia. Subraya cul de las siguientes expresiones generales sirve para calcular el nmero total de formas de inscribirse:

    n(n+1)2

    n(n-1)

    n(n-1)2

    n(n+1)

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B1 S09.indd 126 6/2/07 11:55:20 PM

  • 127

    IIMATEMTICASA lo que llegamosEn una Casa de Cultura se imparten m talleres. Es posible inscribirse a dos talleres. Si en la hoja de inscripcin hay que indicar el orden de preferencia, hay m (m-1) distintas formas de inscribirse. Si no indica-mos el orden de preferencia, hay m (m-1)

    2 maneras de hacerlo.

    Lo que aprendimos1. Juan tiene que elegir dos de los cuatro ejercicios que le dejaron de tarea. De cuntas

    formas distintas puede realizar su tarea?

    2. Una maestra tiene que elegir a dos alumnos para un comit, uno va a ser presidente y el otro va a ser secretario. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Francisco, Germn, Jorge y Mara. De cuntas maneras distintas puede elegir a los alumnos? Haz una lista con todos los posibles comits que puede elegir la maestra.

    3. Ahora la maestra tiene que elegir a tres alumnos para organizar la fiesta de fin de ao. Para ello dispone de cinco voluntarios: Juan, Sandra, Alejandra, Hugo y Patricia. Haz una lista con todas las maneras distintas en las que la maestra puede elegir a los alumnos. Cuntas son?

    REPARTO DE DULCESConsideremos lo siguienteJulin tiene cuatro dulces de distintos sabores: fresa, pia, sanda y naranja. Julin sabe que a sus primos Diego y Emilio les gustan mucho esos dulces y se los va a regalar. De cuntas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces? (puede decidir regalar todos a uno de sus primos).

    Comparen sus respuestas. Comenten los procedimientos que utilizaron.

    SESIN 3

    MAT2 B1 S09.indd 127 6/2/07 11:55:22 PM

  • 128

    secuencia 9

    Manos a la obrai. Julin tiene las siguientes posibilidades para repartir los dulces: los cuatro dulces a

    uno de sus primos, tres dulces a uno y un dulce al otro o dos dulces a cada uno.

    En la siguiente lista hacen falta varias de las maneras de repartirlos, encuntralas todas. Cada sabor se identifica por su inicial:

    Diego Emilio

    F P S N

    F P S N

    F P S N

    N F P S

    F P N S

    Comparen sus respuestas.

    ii. Julin tiene dos opciones para regalar el dulce de fresa: se lo puede dar a Diego o se lo puede dar a Emilio. Responde las siguientes preguntas:

    a) Cuntas opciones tiene Julin para regalar el dulce de pia?

    b) Cuntas opciones tiene Julin para regalar el dulce de sanda?

    c) Cuntas opciones tiene Julin para regalar el dulce de naranja?

    MAT2 B1 S09.indd 128 6/2/07 11:55:23 PM

  • 129

    IIMATEMTICASd) Otra forma de representar las posibles maneras de repartir los dulces es utilizando

    un diagrama de rbol. Compltalo en tu cuaderno.

    Fresa Pia Sanda Naranja

    Emilio

    Emilio Diego

    Emilio Diego

    Emilio Diego

    Diego

    e) Ilumina, en el diagrama de rbol que hiciste, la opcin en la que Julin le da a Emilio el dulce de fresa y el de sanda, y a Diego, el de pia y el de naranja.

    f) Ilumina de otro color la opcin en la que Julin le da a Emilio el dulce de sanda y a Diego todos los dems.

    g) De cuntas maneras distintas puede repartir los cuatro dulces?

    Comparen sus respuestas. Una forma de calcular el nmero total de maneras en las que se pueden repartir los dulces es multiplicando 2 2 2 2. Comenten por qu se hace as. Tambin podemos escribir esta operacin como 24.

    iii. Julin tiene cinco dulces de sabores distintos: fresa, pia, sanda, naranja y limn. Los va a regalar a sus primos Diego, Emilio y Camila. Responde las siguientes preguntas.

    a) Cuntas opciones tiene Julin para regalar cada dulce?

    b) De cuntas maneras distintas puede repartir los dulces?

    c) Cul es la operacin con la que podemos calcular todas las maneras que tiene

    Julin para repartir los dulces?

    MAT2 B1 S09.indd 129 6/2/07 11:55:24 PM

  • 130

    secuencia 9iV. Roberto tiene tres canicas de distintos colores: azul, rojo y blanco. Las va a colocar en

    cuatro cajas numeradas. Puede colocar varias canicas en la misma caja. Responde las siguientes preguntas.

    a) En cuntas cajas puede colocar cada canica?

    b) Subraya la operacin que nos sirve para calcular todas las formas posibles de co-locar las canicas.

    43

    4 3

    34

    c) Argumenta tu respuesta.

    d) Roberto tiene m canicas, todas de distinto color, y tiene n cajas numeradas. Ro-berto va a colocar las canicas en las cajas, es posible colocar varias canicas en la misma caja. Subraya la expresin general que nos sirve para calcular todas las formas posibles de colocar las canicas.

    mn

    nm

    mn

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosSi se tiene seis dulces de distinto sabor y hay cuatro nios a los que podemos regalar los dulces, cada dulce lo podemos dar a alguno de los cuatro nios. El nmero total de posibles reparticiones se puede calcular multiplicando 4 4 4 4 4 4. Es decir, el nmero total de reparticiones es 46.Generalizando, si tenemos p objetos distintos y los queremos repartir en q cajas o bolsas, el nmero total de reparticiones es q p (p puede ser mayor, menor o igual a q).

    MAT2 B1 S09.indd 130 6/2/07 11:55:25 PM

  • 131

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Con los dgitos 2, 4, 6, 7, 9 queremos formar nmeros de dos cifras, se puede repetir

    los dgitos. Haz una lista con todos los nmeros que podemos formar. Cuntos son?

    2. Vamos a colocar una canica roja y una canica azul en cuatro cajas numeradas. Es posible colocar las dos canicas en la misma caja. De cuntas maneras podemos ha-cerlo?

    3. Con los dgitos 5, 6, 8 queremos formar nmeros de cinco cifras, se puede repetir los dgitos. Cuntos nmeros distintos podemos formar?

    4. Julin tiene cuatro dulces, todos son de fresa. Los va a regalar a sus primos Diego y Emilio. De cuntas maneras puede regalar los dulces a sus primos?

    5. Vamos a colocar tres canicas azules en tres cajas numeradas. Es posible colocar las tres canicas en la misma caja. De cuntas maneras podemos hacerlo?

    Para saber msSobre otros ejemplos de problemas de conteo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. El principio de las casillas, Contar: principio de la suma y Cuntos caminos llevan a Roma?, en Una ventana al infinito. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    Nozaki, Akiro. Trucos con sombreros. Mxico: SEP/FCE, Libros del Rincn, 2005.

    Sobre la Casa de Cultura consulta:http://sic.conaculta.gob.mxRuta: Espacios culturales Centros culturales (Dar clic en el mapa sobre tu estado) (Dar clic en el mapa sobre tu municipio).[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Sistema de informacin cultural - CONACULTA

    Explora las actividades del interactivo Anticipar resultados en problemas de conteo.

    MAT2 B1 S09.indd 131 6/2/07 11:55:26 PM

  • 132

    secuencia 10

    En esta secuencia, aprenders a interpretar y a comunicar informa-cin mediante polgonos de frecuencias. Como recordars, existen diferentes tipos de grficas estadsticas. En primer grado aprendiste a construir las grficas de barras y las circulares, ahora aprenders a interpretar y a construir otro tipo de grficas, llamadas histogramas y polgonos de frecuencias, que tambin son muy utilizadas en libros, peridicos y revistas.

    REZAGO EDUCATIVO Y GRFICASPara empezarDesde 1993 la educacin bsica obligatoria comprende hasta la secundaria completa. Cuando una persona tiene ms de 15 aos y est en alguna de las siguientes situaciones: no sabe leer ni escribir, no termin de estudiar la primaria, nicamente estudi la prima-ria o no termin de estudiar la secundaria, se considera que esa persona se encuentra en rezago educativo.

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica es un polgono de frecuencias. En ella se presentan los datos que se obtuvieron en el censo del ao 2000 acerca de la poblacin mexicana que se encuen-tra en rezago educativo.

    SESIn 1

    Polgonos de frecuencias

    Fuente: INEGI. XII Censo General de Poblacin y Vivienda, 2000. Base de datos.

    Poblacin mexicana de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

    Nm

    ero

    de p

    erso

    nas

    (en

    mill

    ones

    )

    Edades (en aos)

    10

    8

    6

    4

    2

    15-29

    12

    30-44 45-59 60-74 75-89

    0

    MAT2 B1 S10.indd 132 6/2/07 11:56:03 PM

  • 133

    IIMATEMTICASa) En el intervalo de entre 15 y 29 aos de edad hay 11 millones de personas que

    estn en condicin de rezago educativo. Cuntas personas de 30 a 44 aos estn

    en esa condicin?

    b) Toma en cuenta la informacin que presenta el polgono de frecuencias y anota V o F segn sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

    El intervalo de edad con mayor cantidad de personas en condicin de rezago educativo es el de 15 a 29 aos.

    En el ao 2000, alrededor de 35 millones de personas se encontraban en condicin de rezago educativo.

    8 millones de personas en condicin de rezago educativo tienen 45 aos.

    De la poblacin en condicin de rezago educativo, la cantidad de personas que tienen entre 15 y 29 aos es el doble de la que tiene entre 45 y 59 aos.

    Si la poblacin total en Mxico era de 97.5 millones, aproximadamente el 36% de las personas estaban en condicin de rezago educativo.

    Manos a la obrai. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta el polgono de frecuencias.

    a) Cuntos intervalos de edad hay? Cuntas edades

    comprende cada intervalo? Todos los intervalos son

    del mismo tamao?

    b) La frecuencia en el intervalo de entre 15 y 29 aos de edad es de 11 millones de personas que estn en condicin de rezago educativo, en qu intervalo la frecuencia es de 5 millones de personas que estn en esa condicin?

    c) Si en el intervalo de entre 45 y 59 aos de edad hay 7 millones de personas que estn en condicin de rezago educativo, po-dras decir cuntas personas de 50 aos de edad hay en esa condicin?

    Y de 45 aos?

    Por qu?

    Recuerda que:

    Cada intervalo tien

    e un lmite inferior

    y uno superior. El ta

    mao de un

    intervalo es igual a

    la diferencia entre

    dos sucesivos lmite

    s inferiores o

    superiores. Por ejem

    plo, en el polgono

    de frecuencias, el pr

    imer lmite inferior

    es 15 y el siguiente

    es 30, entonces el

    tamao del interva

    lo es igual a 30-15

    .

    MAT2 B1 S10.indd 133 6/2/07 11:56:04 PM

  • 134

    secuencia 10d) Completa la siguiente grfica a partir de los datos del polgono de frecuencias.

    e) Esta grfica es un histograma. Las alturas de las barras son iguales o diferentes?

    Qu indican?

    f) Compara el tamao del ancho de las barras, son iguales o diferentes?

    Por qu crees que ocurre eso?

    Ahora, calca el histograma en una hoja de papel delgado y coloca la copia sobre el pol-gono de frecuencia del apartado Consideremos lo siguiente.

    g) Qu puntos del polgono de frecuencias quedan cubiertos con las barras del

    histograma?

    h) En qu parte de las barras quedan los puntos del polgono de frecuencias?

    En el histograma que calcaste dibuja el polgono de frecuencias. Consideren el primer punto del polgono de frecuencias y tracen a partir de ese punto un segmento perpen-dicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del intervalo 15-29 aos de edad.

    Tracen los segmentos que faltan para los otros puntos del polgono de frecuencias. Ob-serven que las barras del histograma quedan divididas en dos partes iguales y que los puntos del polgono de frecuencias estn sobre la mitad de la parte superior de cada barra, es decir, a la mitad de cada techo de las barras.

    Poblacin mexicana de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

    Nm

    ero

    de p

    erso

    nas

    (en

    mill

    ones

    )

    Edades (en aos)

    Fuente: INEGI. XII Censo General de Poblacin y Vivienda, 2000. Base de datos.

    10

    8

    6

    4

    2

    15-29

    12

    30-44 45-59 60-74 75-890

    MAT2 B1 S10.indd 134 6/2/07 11:56:05 PM

  • 135

    IIMATEMTICASA lo que llegamosLos histogramas se utilizan para presentar informacin acerca de una situacin sobre la cual se tienen datos organizados en intervalos. Si los intervalos son del mismo tamao, como los que estudiaste en esta sesin, un histograma tiene las siguientes caractersti-cas importantes:

    La altura de una barra est determinada por la frecuencia del intervalo correspondiente.

    La anchura de las barras es igual para cada una debido a que esta medida representa el tamao de cada intervalo.

    En un histograma las barras se dibujan sin dejar espacios vacos entre ellas porque abarcan todo el intervalo correspondiente a los datos agrupados.

    Un polgono de frecuencias de datos organizados en intervalos del mismo tamao es la grfica que se obtiene al unir, mediante una lnea poligonal, los puntos medios consecu-tivos de los techos de las barras.

    Estas grficas nos permiten observar de manera general la tendencia de los datos. Sin embargo, no es correcto darle significado a la lnea que une a los puntos medios, ya que solamente estamos representando la frecuencia por intervalo y no para cada valor del intervalo.

    Por ejemplo, la siguiente grfica muestra a la poblacin varonil de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000 en Mxico; como podemos ver, en el intervalo de 15 a 29 aos de edad hay 5 millones de varones en total, pero no sabemos cuntas personas hay de 15, 16, 17 o 29 aos de edad.

    Tanto en los histogramas como en los polgonos de frecuencias se pueden representar frecuencias absolutas, relativas o porcentajes.

    Poblacin varonil de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

    Nm

    ero

    de v

    aron

    es(e

    n m

    illon

    es)

    Edades (en aos)

    5

    4

    3

    2

    1

    15-29

    6

    30-44 45-59 60-74 75-890

    MAT2 B1 S10.indd 135 6/2/07 11:56:06 PM

  • 136

    secuencia 10

    a) En el ao 2000 haba 11 millones de personas entre 15 y 29 aos de edad con rezago educativo. Qu fraccin representa de la poblacin total de ese intervalo

    de edad? Qu porcentaje representan?

    b) Cuntas personas de 15 aos y ms haba en Mxico en el ao 2000?

    c) Y cuntas personas de 15 aos y ms estaban en condicin de rezago educativo?

    d) Qu porcentaje de la poblacin de 15 aos y ms se encontraba en condicin de

    rezago educativo?

    iii. Lean el texto informativo: Quin es el inea? del anexo 1 y contesten las siguientes preguntas.

    De acuerdo con cifras del INEGI, la poblacin total en Mxico durante el ao 2000 era de 97.5 millones de personas.

    a) Qu porcentaje de la poblacin total representan las personas que tienen un re-

    zago educativo?

    b) Por qu razn creen que no estn consideradas las personas menores de 15 aos?

    c) En su localidad, conocen a alguien de entre 15 y 29 aos que se encuentre en

    condicin de rezago educativo?

    Cules consideran que son las causas de esa situacin?

    ii. En la siguiente tabla se presenta el nmero de personas de 15 aos y ms que habitan en Mxico. Compltala con los datos que se dan en el polgono de frecuencias.

    Poblacin total y de personas en condicin de rezago educativo en Mxico en el ao 2000.

    Edades Nmero total de personas (en millones)Nmero de personas en condicin de rezago educativo (en millones)

    Porcentaje de personas en condicin de rezago educativo por grupo de edad

    15-29 28 11 (11 28) 100 = 39.2

    30-44 20

    45-59 10

    60-74 6

    75-89 2

    Total 66

    MAT2 B1 S10.indd 136 6/2/07 11:56:07 PM

  • 137

    IIMATEMTICASd) Y conocen a personas de 60 a 89 aos que se encuentren en condicin de rezago

    educativo? Cul creen que es la razn principal de esa situacin?

    e) Creen que estas personas puedan cambiar la condicin de rezago en que se en-

    cuentran? Cmo?

    f) Investiguen qu programas o alternativas existen para mejorar la condicin edu-cativa de estas personas en su localidad.

    Lo que aprendimos1. Construye el polgono de frecuencias que corresponde al siguiente histograma.

    a) Cuntas mujeres de entre 30 y 44 aos se encuentran en rezago educativo?

    b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta situacin.

    c) Si la poblacin total de mujeres entre 30 y 44 aos era de 10 millones de personas,

    qu porcentaje representa la poblacin de mujeres que se encuentra en rezago

    educativo en ese intervalo?

    Poblacin de mujeres de 15 aos y ms en condicin de rezago educativo en el ao 2000

    Nm

    ero

    de m

    ujer

    es(e

    n m

    illon

    es)

    Edades (en aos)

    5

    4

    3

    2

    1

    15-29

    6

    30-44 45-59 60-74 75-890

    7

    Fuente: INEGI. XII Censo General de Poblacin y Vivienda, 2000. Base de datos.

    MAT2 B1 S10.indd 137 6/2/07 11:56:07 PM

  • 138

    secuencia 10d) Qu opinas sobre la situacin en que viven estas mujeres?

    2. Analiza la siguiente grfica para contestar las preguntas que se plantean.

    a) Anota en el recuadro V o F segn sean verdaderas o falsas las siguientes afirma-ciones, de acuerdo con la informacin que presenta la grfica anterior.

    La mayora de los alumnos obtuvieron 10 de calificacin.

    Ms de la mitad del grupo reprob el examen.

    El grupo est formado por 40 alumnos.

    b) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias que corresponde a esta grfica y contesta las siguientes preguntas.

    Cuntos alumnos aprobaron el examen?

    Cul es la calificacin que ms alumnos obtuvieron?

    calificaciones del grupo de 2 en el examen de matemticas

    Nm

    ero

    de a

    lum

    nos

    Calificaciones

    10

    2 3 4 5 6 7 8 9 10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    MAT2 B1 S10.indd 138 6/2/07 11:56:08 PM

  • 139

    IIMATEMTICAS

    Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica muestra el porcentaje de personas de 5 a 11 aos que tenan anemia en el ao 1999, segn datos obtenidos en la Encuesta Nacional de Nutricin de ese ao.

    Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas:

    a) Cmo describiran el comportamiento de esta enfermedad en las nias de 5 a 11 aos de edad?

    b) La mayora de la poblacin infantil que padece anemia son hombres o mujeres? Cmo se presenta esta situacin en la grfica?

    Comenten sus respuestas.

    SESIn 2

    conexin con ciencias isecuencia 12: cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin?

    AnEMIA En LA POBLACIn InFAnTIL MEXICAnAPara empezar La nutricin es el proceso por medio del cual el organismo obtiene, a partir de los alimentos, los nutrientes y la energa necesarios para el sostenimiento de las funciones vitales y de la salud. Un problema nutricional es la anemia la cual ocurre cuando no hay una cantidad suficiente de hierro para producir los glbulos rojos necesarios que transportan el oxgeno a cada clula del organis-mo. Este tema lo estudiaste ya en la secuencia 12 cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin? en tu libro de ciencias i Volumen i.

    Porcentaje de la poblacin infantil con problemas de anemia en el ao 1999.

    Porc

    enta

    je

    Edades (en aos)

    40

    30

    20

    10

    05 6 7 8 9 10 11

    Fuente: Encuesta de Nacional de Nutricin 1999.

    NiasNios

    MAT2 B1 S10.indd 139 6/2/07 11:56:09 PM

  • 140

    secuencia 10

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas a partir de la informacin que presentan los pol-

    gonos de frecuencias anteriores.

    a) Qu porcentaje de nias de 6 aos tena anemia en 1999?

    En el primer intervalo se consideran a las nias y nios que tienen entre 5 aos y 5 aos 11 meses.

    b) En qu intervalo crees que estn considerados los nios que tienen 10 aos y 8

    meses de edad?

    Por qu?

    c) Puedes saber cul es el porcentaje exacto de nias de 7 aos y medio que tenan

    anemia en 1999? Por qu?

    d) A qu edad es mayor el porcentaje de nios anmicos?

    Y el de nias anmicas?

    e) Para qu edades el porcentaje de nios con anemia fue mayor que el de nias?

    f) Utilicen los datos que presenta el polgono de frecuencias para completar la si-guiente tabla.

    Porcentaje de nios de 5 a 11 aos que padecen anemia, de acuerdo con su edad

    Edad Porcentaje de nias Porcentaje de nios

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    ii. La siguiente tabla presenta el nmero de nios y nias de 5 a 11 aos de edad que haba en Mxico en el ao 2000.

    Poblacin infantil de 5 a 11 aos de edad (en millones de personas)

    Total Nios Nias

    11.7 6 5.7

    Fuente: INEGI. Censo General de Poblacin, 2000.

    MAT2 B1 S10.indd 140 6/2/07 11:56:10 PM

  • 141

    IIMATEMTICASa) Si la poblacin infantil era de 11.7 millones, y 19.5% padecan anemia, cuntos

    nios y nias tenan anemia en el ao de 2000?

    b) Para orientar las acciones mdicas y sociales que ayuden a corregir esta situacin es til conocer el porcentaje de personas que padecen anemia, principalmente si se trata de nios de 5 a 11 aos. Investiguen en la secuencia 12 cmo evitar problemas relacionados con la alimenta-cin? de su libro ciencias i Volumen i, cules son algunas de las causas de esa enfermedad y cules son algunas de sus consecuencias si no se atiende correctamente. Comntenlas en su grupo.

    A lo que llegamosPolgonos de frecuencias en los reportes de investigacin

    Los polgonos de frecuencias presentados en una misma grfica permiten comparar el comportamiento de dos o ms conjuntos de datos que se refieren a una misma situacin o fenmeno.

    Lo que aprendimos1. Para determinar si una poblacin tiene problemas de nutricin se analizan factores

    como la estatura, el peso y la anemia. La siguiente grfica presenta los porcentajes de la poblacin de 5 a 11 aos con estatura por debajo de sus valores normales (o esta-tura baja) segn su edad y sexo.

    a) A qu edad es mayor el porcentaje de nias con estatura baja?

    Y en los nios?

    conexin con ciencias isecuencia 12: cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin?

    Porcentaje de la poblacin de 5 a 11 aos de edad que presentan estatura baja

    P orc

    e nta

    je

    Edades

    20

    15

    10

    5

    05 6 7 8 9 10 11

    25NiasNios

    MAT2 B1 S10.indd 141 6/2/07 11:56:11 PM

  • 142

    secuencia 10b) Utiliza los datos que presenta el polgono de frecuencias para completar la si-

    guiente tabla.

    Porcentaje de nios de 5 a 11 aos que tienen talla baja de acuerdo con su edad

    Edad Porcentaje de niasPorcentaje de

    niosDiferencia de porcentajes

    nias-nios

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    c) En qu edades el porcentaje de nias con estatura baja fue mayor que el de los

    nios?

    d) En tu cuaderno, elabora un polgono de frecuencias en el que se puedan comparar los porcentajes de nias de 5 a 11 aos que padecen anemia con los porcentajes de nias que tienen estatura baja. Para hacerlo, utiliza la informacin que se pre-senta en las siguientes dos grficas.

    e) Coincide la edad en que hay mayor porcentaje de nias con problemas de anemia

    y estatura baja? Por qu crees que suceda esto?

    Edades

    Porcentaje de nias entre 5 y 11 aos con problemas de anemia en el ao 1999.

    Porc

    enta

    je

    40

    30

    20

    10

    05 6 7 8 9 10 11

    Porcentaje de nias de 5 a 11 aos de edadque tenan estatura baja en 1999.

    Porc

    enta

    je

    Edades

    20

    15

    10

    5

    05 6 7 8 9 10 11

    25

    MAT2 B1 S10.indd 142 6/2/07 11:56:12 PM

  • 143

    IIMATEMTICASQU GRFICA UTILIZAR?Consideremos lo siguienteLa siguiente grfica presenta el porcentaje de nios menores de 5 aos que tienen esta-tura baja de acuerdo con su edad. Estos datos estn tomados de la Encuesta Nacional de Nutricin de 1999.

    a) En qu intervalo se encuentran los nios y las nias de un ao y medio de edad que

    tienen estatura baja?

    b) En qu intervalo de edad se encuentra el mayor porcentaje de nias menores de

    5 aos que tienen estatura baja? ,

    creen que se podra utilizar una edad que represente a ese intervalo?, cul sera?

    Comenten sus respuestas.

    Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas tomando en cuenta los polgonos de frecuencias

    anteriores.

    a) Qu informacin se presenta en el eje horizontal?

    Qu unidad o escala se utiliza?

    Cuntos intervalos se utilizan para representar los datos?

    De qu tamao es cada intervalo? Son iguales?

    SESIn 3

    Porcentaje de la poblacin menor de 5 aos que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

    Porc

    enta

    je

    Edades (en meses)

    20

    10

    0-11

    30

    12-23 24-35 36-47 48-59

    0

    NiosNias

    MAT2 B1 S10.indd 143 6/2/07 11:56:12 PM

  • 144

    secuencia 10b) Ahora, en el eje vertical, qu informacin se presenta?

    Cules son los valores mnimo y mximo que estn rotulados en este eje?

    c) Si quieren conocer qu porcentaje de nias de 3 aos de edad tienen estatura

    baja, cul de los intervalos de edad deben consultar?

    d) En qu intervalo de edad el porcentaje de nios con problemas de estatura es

    mayor que el de las nias? Hay algn momento en la grfica

    en que se invierta esa situacin? En qu intervalo de edad

    ocurre y cul es la diferencia de porcentajes?

    Consideren el punto del polgono de frecuencias en el cual el porcentaje de nios con estatura baja es el mayor. Tracen a partir de ese punto un segmento perpendicular al eje horizontal. Este segmento intersecta al eje horizontal en el punto medio del inter-valo 12-23 meses de edad.

    e) Sealen los puntos medios de los intervalos que faltan, cules son esos puntos?

    f) Completen la siguiente grfica:

    g) Investiguen en la secuencia 12 cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin? de su libro ciencias i Volumen i, cules pueden ser algu-nas causas de este problema y presntenlas en una grfica o tabla que consideren que muestra mejor la informacin. Expliquen a sus compaeros y a su profesor por qu la eligieron.

    Recuerden que:

    Cada intervalo puede ser

    identificado por su lmite

    inferior y superior, pero

    tambin podemos utilizar

    el punto medio del

    intervalo que se obtiene

    con slo sumar los lmites

    inferior y superior del

    intervalo y dividir esta

    suma entre 2.

    conexin con ciencias isecuencia 12: cmo evitar problemas relacionados con la alimentacin?

    Porcentaje de la poblacin menor de 5 aos que tiene estatura baja de acuerdo con su edad

    Porc

    enta

    je

    20

    10

    30

    0

    25

    15

    5

    Edades (en meses)

    5.5 29.5

    HombresMujeres

    MAT2 B1 S10.indd 144 6/2/07 11:56:14 PM

  • 145

    IIMATEMTICASA lo que llegamosUn polgono de frecuencias se construye a partir de los puntos medios de los techos de las barras de un histograma.

    Otra manera de construirlo consiste en calcular el valor que se ubica en el punto medio de cada intervalo. El punto medio de un intervalo es el promedio de los valores extremos del intervalo.

    Lo que aprendimos1. En la siguiente lista aparecen los pesos de los alumnos de segundo grado de una es-

    cuela secundaria. Los pesos se registraron redondeando al kilogramo ms cercano.

    Grupo a Grupo B

    38, 64, 50, 42, 44, 35, 49, 57, 46, 58, 40, 47, 38, 48, 52, 45, 68, 46, 38, 76

    65, 46, 73, 42, 47, 45, 61, 45, 48, 42, 50, 56, 69, 38, 36, 55, 52, 67, 54, 71

    a) Cul es el peso mximo de los alumnos del grupo A?

    Y del grupo B?

    b) Cul es el peso mnimo de los alumnos del grupo A?

    Y del grupo B?

    c) Cul es el rango de los pesos de los alumnos del grupo A?

    Y del grupo B?

    d) En tu cuaderno, organiza los pesos de los alumnos de ambos grupos en una tabla de datos reunidos en nueve intervalos iguales.

    e) Cules son los pesos que se consideran en el primer intervalo?

    De qu tamao son los intervalos?

    f) Cul es el punto medio de cada intervalo?

    g) Elabora, en tu cuaderno, una grfica que presente los polgonos de frecuencias de los dos grupos. Utiliza los puntos medios para rotular el eje horizontal.

    h) En tu cuaderno, describe, a partir de los polgonos de frecuencias, cmo es la dis-tribucin del peso de los alumnos de ambos grupos.

    Recuerda que:El rango es la diferencia entre el mayor valor de los datos y el menor.

    MAT2 B1 S10.indd 145 6/2/07 11:56:15 PM

  • 146

    secuencia 10

    Qu deporte te gusta practicar? Tipo de grfica

    En qu mes es tu cumpleaos? Tipo de grfica

    Cuntos hermanos tienes? Tipo de grfica

    Qu estatura tienes? Tipo de grfica

    Qu nmero de zapato calzas? Tipo de grfica

    a) Menciona una razn por la que elegiste cada tipo de grfica:

    b) Cul es el deporte que ms les gusta practicar a los hombres de tu grupo?

    c) En qu mes hay ms cumpleaos en tu grupo?

    d) Cul es el nmero promedio de hermanos que tienen en tu grupo?

    e) Cul es la estatura del compaero ms alto de tu grupo?

    f) Cuntos compaeros tienen la misma estatura que t?

    g) Quines son ms altos, las mujeres o los hombres de tu grupo?

    h) Qu nmero de zapato calzan la mayora de tus compaeros hombres del grupo?

    Y las mujeres?

    Recuerden que:

    - Una grfica de barras permite

    presentar y comparar la frecuen-

    cia con que ocurre una cualidad o

    un atributo. Por ejemplo, el color

    que prefiere un grupo de perso-

    nas o el tipo de msica que te

    gusta escuchar.

    - Una grfica circular puede ser

    ms adecuada para comparar las

    distintas partes de un todo,

    especialmente cuando la presen-

    tacin de los datos est en forma

    de porcentaje. Por ejemplo, el

    porcentaje de personas que

    prefieren escuchar la radio, ver

    televisin o ir al cine en un grupo.

    2. Busquen y copien distintas grficas que se encuentren en peridicos, revistas, etctera. Renan junto con sus compaeros de equipo las grficas que encontraron y clasifquenlas distinguiendo los diferentes tipos de grfica que han estudiado.

    a) Cul es el tipo de grfica que ms se utiliza cuando se quiere comparar la relacin entre dos conjuntos de datos en una misma situacin?

    3. Rene la informacin que se pide en el siguiente cues-

    tionario. Aplcalo a todos tus compaeros de grupo. Or-ganiza la informacin y decide qu grfica utilizar para presentar los resultados de cada una de las preguntas.

    MAT2 B1 S10.indd 146 6/2/07 11:56:15 PM

  • 147

    IIMATEMTICASPara saber msSobre la variedad de informacin que puede ser presentada en polgonos de frecuen-cias, grficas de barras, circulares y tablas estadsticas consulta:http://www.inegi.gob.mxRuta 1: Informacin estadstica Estadsticas por tema Estadsticas sociode-mogrficas Educacin Poblacin escolar Distribucin porcentual de la poblacin escolar de 3 a 24 aos por entidad federativa y sexo para cada grupo de edad, 2000 y 2005Ruta 2: Informacin estadstica Estadsticas por tema Estadsticas sociode-mogrficas Poblacin hablante de lengua indgena de 5 y ms aos por entidad federativa, 2000 y 2005[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    Sobre los programas de apoyo que ofrece el Instituto Nacional para la Educacin de los Adultos consulta:http://www.inea.sep.gob.mxRuta 1: Proyectos AlfabetizacinRuta 2: Proyectos Cero rezago EstrategiasRuta 3: Proyectos Oportunidades Estrategias[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Instituto Nacional para la Educacin de los Adultos.

    Explora las actividades del interactivo Polgono de frecuencias.

    MAT2 B1 S10.indd 147 6/2/07 11:56:19 PM

  • 148

    MAT2 B2 S11.indd 148 6/2/07 11:56:46 PM

  • 149

    BLOQUE 2

    MAT2 B2 S11.indd 149 6/2/07 11:56:51 PM

  • 150

    secuencia 11

    En esta secuencia aprenders a utilizar la jerarqua de las operaciones y los parntesis en problemas y clculos.

    EL CONCURSO DE LA TELEPara empezarEl concurso de la tele

    En 1965, en Europa aparecieron concursos televisados en los que se peda a cada parti-cipante hacer operaciones con nmeros. Estos concursos continan vindose en televi-sin y siguen llamando la atencin de mucha gente.

    Uno de estos concursos tiene las siguientes reglas:

    1. Se da una lista de nmeros. Por ejemplo: 1, 3, 4, 9, 10.

    2. Se da otro nmero, que ser el nmero a alcanzar. Por ejemplo: 100.

    3. Cada jugador debe sumar, restar, multiplicar o dividir los nmeros de la lista hasta obtener un resultado lo ms cercano posible al nmero dado. Por ejemplo: 9 10 + 4 + 3 + 1 = 98, o tambin 3 4 9 + 1 10 = 99.

    4. El concursante deber emplear cada uno de los nmeros de la lista exactamente una sola vez.

    5. Gana el concursante que obtenga el resultado ms cercano al nmero a alcanzar. Por ejemplo, entre 9 10 + 4 + 3 + 1 = 98 y 3 4 9 + 1 10 = 99 gana la se-gunda opcin, porque 99 est ms cerca de 100 que 98.

    Consideremos lo siguientei. Imaginen que estn en uno de estos concursos y les dan la siguiente lista de nmeros:

    El nmero a alcanzar es el 117. Encuentren una forma de operar los nmeros de la lista para quedar lo ms cercano posible al 117. El que quede ms cerca del 117 gana!

    Anota tu respuesta aqu:

    SESiN 1

    La jerarqua de las operaciones

    3 7 9 15

    MAT2 B2 S11.indd 150 6/2/07 11:56:54 PM

  • 151

    IIMATEMTICASComparen sus respuestas y comenten:

    a) Quines quedaron ms cerca del 117?

    b) Qu operaciones hicieron?

    ii. Las siguientes expresiones fueron las respuestas de dos concursantes. Ambos dicen haber obtenido exactamente el 117.

    ana: 3 + 15 7 + 9 = 117

    Beto: 3 + 15 7 9 = 117

    a) Cul de estas respuestas creen que es correcta?

    b) Por qu consideran que la otra es incorrecta?

    Comparen sus respuestas.

    Manos a la obrai. Los miembros del jurado sealaron que la ganadora era Ana. Pero Beto no est de

    acuerdo. Beto le dijo al jurado:

    Cuando el jurado le concedi la palabra, Beto tom un gis y empez a escribir sobre el pizarrn, al mismo tiempo que explicaba:

    La expresin de mioponente pide calcular 3 + 15;luego, al resultado multiplicarlo

    por 7; y por ltimo, a lo obtenidosumarle 9. Entonces, el resultado

    es 135 y no 117, como ella lo indica.

    Me ha tomado por sorpresa su veredicto. En mi humilde opinin,

    la expresin propuesta por mi contrincante no es correcta.

    Permtanme explicarles mis razones.

    MAT2 B2 S11.indd 151 6/2/07 11:56:58 PM

  • 152

    secuencia 11Completen el siguiente diagrama de acuerdo con lo que Beto explic.

    3 + 15 7 + 9 =

    7 + 9 =

    + 9 = 135

    Comparen sus respuestas. Comenten: estn de acuerdo con lo que dijo Beto?

    ii. Terminada la explicacin de Beto, el jurado design a unos de sus miembros para que expusiera los motivos de su veredicto. Dicho miembro se acerc al pizarrn y explic:

    Completen lo que escribi el miembro del jurado en el pizarrn:

    3 + 15 7 + 9 =

    3 + + 9 =

    + 9 = 117

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Cul es la diferencia entre ambos procedimientos?

    A lo que llegamosLa jerarqua de las operaciones es un conjunto de reglas matemticas que dicen qu operaciones deben hacerse primero. Una de estas reglas es la siguiente:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y las restas.

    Vemos con claridad el error que has cometido. No tomaste en cuenta la jerarqua de operaciones.

    La forma correcta de calcular la expresin de Ana es la siguiente: primero debemos calcular el producto 15 7; despus sumar 3 al resultado y, luego, a eso sumarle 9; as, el resultado es 117,

    y no 135 como lo has sealado.

    MAT2 B2 S11.indd 152 6/2/07 11:57:04 PM

  • 153

    IIMATEMTICASiii. Aplica esta regla para calcular el resultado de las expresiones de Ana y Beto

    respectivamente.

    a) Ana: 3 + 15 7 + 9 = .

    b) Beto: 3 + 15 7 9 = .

    A lo que llegamosSi a las siguientes expresiones aplicamos la regla Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas, nos dan los siguientes resultados:

    2 + 146 + 8 = 2 + 84 + 8 = 94

    y

    2 + 146 8 = 2 + 84 8 = 78

    La regla se aplica de la misma manera cuando aparecen divisiones, por ejemplo,

    2 + 147 + 8 = 2 + 2 + 8 = 12Y

    2 + 147 8 = 2 + 2 8 = -4

    iV. Despus de haber escuchado la explicacin del miembro del jurado, Beto se dio cuen-ta de su error. Agradeci la explicacin y pregunt:

    Pon parntesis a la expresin de Beto para que sea correcta:

    3 + 15 7 9 = 117

    Cmo tengo que escribir la operacin para indicar que primero sumo 3 y 15; y luego

    al resultado lo multiplico por 7?

    Con el uso correcto de los parntesis puedes expresar esa operacin.

    MAT2 B2 S11.indd 153 6/2/07 11:57:11 PM

  • 154

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna regla de jerarqua de operaciones que permite sumar o restar antes de multiplicar o dividir es la siguiente:

    Las operaciones que estn encerradas entre parntesis se realizan antes que las dems.

    Por ejemplo, (2 + 14) 8 10 =

    16 8 10 =128 10 = 118

    Los parntesis pueden usarse varias veces,

    (2 + 14) (8 10) =

    16 (8 10) =

    16 (2) = -32

    V. Despus de la explicacin del jurado, Beto le puso unos parntesis a su expresin para que sta quedara correcta. Al ver el cambio que Beto hizo a su expresin, el jurado decidi declarar un empate entre Ana y Beto, pues Beto, al igual que Ana, hizo bien sus clculos, slo que no supo escribir la expresin correctamente.

    Revisen las expresiones que encontraron al principio de la sesin y escrbanlas respetan-do las reglas de jerarqua de operaciones.

    Lo que aprendimos1. Une con una lnea cada expresin de la columna izquierda con su respectivo valor de

    la columna derecha.

    I) 24 + 12 4 + 2 = a) 6

    II) (24 + 12) 4 + 2 = b) 11

    III) 24 + 12 (4 + 2) = c) 19

    IV) (24 + 12) (4 + 2) = d) 26

    e) 29

    MAT2 B2 S11.indd 154 6/2/07 11:57:12 PM

  • 155

    IIMATEMTICAS2. Las siguientes respuestas fueron dadas por algunos concursantes durante el transcur-

    so de un programa televisivo. Todas las respuestas son errneas, pues los concursantes olvidaron usar los parntesis. Escriban los parntesis faltantes para que las expresio-nes sean correctas.

    a) 11 + 2 10 + 8 = 138

    b) 10 + 12 2 + 13 = 190

    c) 10 + 2 7 + 3 = 120

    d) 10 2 + 5 3 = 30

    3. Imaginen que estn concursando en uno de estos programas televisados. Combinen los nmeros de la primera columna junto con las operaciones de suma, resta, multi-plicacin y divisin para obtener un nmero lo ms cercano posible al de la segunda columna. El que quede ms cerca gana. No olviden usar correctamente las reglas de jerarqua de las operaciones!

    Nmeros Meta

    1, 2, 3, 4, 5 0

    6, 7, 8, 9, 10 2

    1, 2, 3, 4, 5 49

    8, 10, 12, 15, 23 319

    MS REGLASPara empezarEn la sesin anterior vimos que a veces pueden ocurrir confusiones al calcular el valor de una expresin y que, para evitarlas, se ha acordado un conjunto de reglas que se conoce como jerarqua de operaciones. Estas reglas nos dicen qu operaciones se deben hacer primero. Hasta el momento hemos visto que:

    1. Las operaciones que estn encerradas entre parntesis se realizan antes que todo lo dems.

    2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse antes que las sumas y restas.

    Hay ms reglas sobre jerarqua de operaciones que ayudan a evitar nuevas confusiones. Por ejemplo:

    3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.

    SESiN 2

    MAT2 B2 S11.indd 155 6/2/07 11:57:14 PM

  • 156

    secuencia 11

    Consideremos lo siguienteCalcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. Respeta las reglas de jerarqua de operaciones.

    a) 10 3 + 2 = . b) 10 3 2 = .

    c) 24 4 2 = . d) 24 4 2 = .

    e) 20 10 5 + 1 = . f) (20 10) 5 + 1= .

    Comenten:

    a) En qu orden hicieron las operaciones para calcular el valor de las expresiones?

    b) Qu regla emplearon para decidir qu operacin hacer primero?

    Manos a la obrai. Contesta las siguientes preguntas tomando en cuenta las reglas de jerarqua:

    1. Lo que est encerrado entre parntesis se hace primero que todo lo dems.

    2. Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.

    3. Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    4. Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha.

    a) Qu operacin hiciste primero para calcular el valor de la expresin 10 3 + 2,

    la resta o la suma? .

    b) Cul de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? .

    c) Qu operacin hiciste primero para calcular el valor de la expresin 24 4 2,

    la divisin 24 4 o la divisin 4 2? .

    d) Cul de las reglas aplicaste (1, 2, 3 o 4)? .

    e) Cul de las siguientes operaciones hiciste primero para calcular el valor de la expresin 20 10 5 + 1? Subryala.

    20 10 10 5 5 + 1

    f) Cul regla usaste para decidir qu operacin hacer primero? .

    g) Cules reglas usaste para encontrar el valor de la expresin (20 10) 5 + 1?

    Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, comenten cul regla usaron y cmo la usaron.

    MAT2 B2 S11.indd 156 6/2/07 11:57:15 PM

  • 157

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara calcular correctamente el valor de una expresin como 25 15 5 + 5 debemos decidir cul operacin hacer primero. La regla de jerarqua de operaciones que usamos para decidir esto es:

    Las multiplicaciones y divisiones deben hacerse primero que las sumas y restas.

    25 15 5 + 5

    Una vez decidido cul operacin hacer primero, calculamos dicha operacin y reducimos la expresin.

    25 15 5 + 5 = 25 3 + 5

    Para decidir cul operacin sigue por hacer, usamos otra regla de jerarqua de las operaciones:

    Las sumas y restas se hacen de izquierda a derecha

    25 3 + 5

    Ya sabemos el orden en que hay que hacer las operaciones, slo falta hacerlas:

    25 3 + 5 = 22 + 5 = 27

    ii. Para cada una de las siguientes frases, escribe una expresin que represente los cl-culos descritos en ella.

    a) A 12 le sumo el resultado de multiplicar 4 por 3: 12 + 4 3

    b) A 12 le sumo 4 y el resultado lo multiplico por 3:

    c) Divido 12 entre 4 y el resultado lo multiplico por 3:

    d) Divido 12 entre el resultado de multiplicar 4 por 3:

    Comparen sus respuestas. Comenten si sus expresiones estn bien escritas de acuerdo con las reglas de jerarqua de operaciones.

    Se hace primero

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    MAT2 B2 S11.indd 157 6/2/07 11:57:16 PM

  • 158

    secuencia 11

    A lo que llegamosUna expresin que describe los clculos de la frase Multiplico 6 por 5 y al resultado lo divido entre 10 es:

    6 5 10Los clculos que indica esta expresin se realizan aplicando la si-guiente regla de jerarqua de operaciones:

    Las multiplicaciones y divisiones se hacen de izquierda a derecha.

    6 5 10

    Otra expresin que describe los clculos de la frase anterior es:

    (6 5) 10En esta expresin los parntesis se usan para evitar errores de jerar-qua de operaciones, aunque ya no hagan falta.

    Tambin se acostumbra escribir esta expresin as:

    En esta ltima forma, la raya de divisin indica que toda la expresin del numerador 6 5, se divide entre el denominador 10.

    Lo que aprendimos1. Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarqua de las operaciones.

    a) 30 10 3 = b) 30 (10 3) =

    c) 20 10 + 5 = d) 20 (10 + 5) =

    e) 20 30 10 3 + 5 = f) (20 30) 10 (3 + 5) =

    2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

    a) 6 510

    = b) 4 6 510

    =

    c) 5 810

    = d) 5 8 6 510

    =

    e) 2 6 2 = f) 5 8 6 52 6 2 =

    Primero esta (izquierda) Luego esta (derecha)

    6 510

    MAT2 B2 S11.indd 158 6/2/07 11:57:18 PM

  • 159

    IIMATEMTICAS3. Sabas que no todas las calculadoras funcionan igual? Hay unas que estn progra-

    madas para aplicar las reglas de jerarqua de operaciones y otras que no. Averigemos si la calculadora que tienes (o la que haya en el saln) jerarquiza o no.

    Presiona la siguiente sucesin de teclas en la calculadora y escribe en el espacio mar-cado cul fue el resultado.

    Ahora, calcula los valores de las siguientes dos expresiones sin usar la calculadora, pero tomando en cuenta la jerarqua de operaciones.

    a) 1 + 2 3 = b) (1 + 2) 3 =

    Compara el resultado que te dio la calculadora con las expresiones anteriores.

    Con cul resultado coincide tu calculadora (con el de a o con el de b)?

    Si tu calculadora coincide con a entonces jerarquiza, y si coincide con b, no jerarquiza.

    Tu calculadora, jerarquiza o no jerarquiza? .

    Para saber msSobre los concursos de nmeros consulta:http://www.rodoval.com/heureka/cifras.html [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Sobre la jerarqua de operaciones consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/algebra/prioridad_operaciones_rat/unidad_didactica.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

    1 + 3 =2

    MAT2 B2 S11.indd 159 6/2/07 11:57:19 PM

  • 160

    secuencia 12

    En esta secuencia resolvers problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

    LOS BLOQUES ALGEBRAICOSPara empezarLos bloques algebraicos

    Los bloques algebraicos son piezas de forma rectangular o cuadrada que permiten mo-delar operaciones con expresiones algebraicas. En esta secuencia ocupars los siguientes bloques, cada uno de ellos tiene un rea que se representa con una expresin algebraica: 1, x, x 2, y, xy, y 2.

    SESIn 1

    Multiplicacin y divisin de polinomios

    rea= y 2y

    y

    rea= 11

    1

    rea= x1

    x

    rea= y1

    y

    rea= x 2x

    x

    rea= xyx

    y

    Recorta los Bloques algebraicos del anexo 2 Recortables y pgalos en cartn.

    MAT2 B2 S12.indd 160 6/2/07 11:57:39 PM

  • 161

    IIMATEMTICASCubre los rectngulos siguientes con los bloques algebraicos. Une con una lnea cada rectngulo con el binomio que corresponda a su rea.

    Rectngulo rea

    y + 1

    x + 1

    x 2 + 2x

    xy + x

    Comparen sus soluciones.

    Consideremos lo siguiente Los siguientes rectngulos se han formado usando los bloques algebraicos.

    Rectngulo A Rectngulo B

    3x

    2x

    x +y

    2x

    Sabas que:Las expresiones algebraicas se nombran de acuerdo con su nmero de trminos:El monomio tiene un trminoEl polinomio tiene dos o ms trminos.El binomio es un polinomio que tiene dos trminos.El trinomio tiene tres trminos.

    MAT2 B2 S12.indd 161 6/2/07 11:57:40 PM

  • 162

    secuencia 12

    Rectngulo C

    3y

    2x

    Qu expresin algebraica corresponde al rea de cada rectngulo?

    a) Rectngulo A: rea =

    b) Rectngulo B: rea =

    c) Rectngulo C: rea =

    Comparen sus soluciones.

    Manos a la obrai. Qu bloques algebraicos se usan para construir cada rectngulo? Para responder esta

    pregunta, completa la tabla.

    Rectngulo Base Altura Base Altura Expresin algebraica para el rea

    A 3x 2x (3x ) (2x )

    B x + y 2x

    C 3y 2x

    a) Cuntos bloques algebraicos de rea x 2 se requieren para formar el rectngulo A?

    b) Cuntos bloques algebraicos de rea x 2 se usan para formar el rectngulo B?

    MAT2 B2 S12.indd 162 6/2/07 11:57:41 PM

  • 163

    IIMATEMTICASc) Cuntos bloques algebraicos de rea xy se usan para formar el rectngulo B?

    d) Cuntos bloques algebraicos de rea xy se necesitan para formar el rectngulo C?

    Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen las expresiones algebraicas que obtuvieron para las reas de los rectngulos.

    ii. Los siguientes rectngulos tambin se construyeron usando los bloques algebraicos.

    Rectngulo D Rectngulo E Rectngulo F

    x +2

    a) Completa la tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las reas de los rectngulos anteriores.

    Rectngulo Base Altura Base Altura Expresin algebraica para el rea

    D 3x (y ) ( )

    E y + 1 (y + 1) ( )

    F x x ( )

    Comparen sus soluciones. Verifiquen que hayan sumado todos los trminos semejantes de las expresiones algebraicas.

    Recuerden que:

    Trminos semejantes son los trminos que tienen la misma parte literal, como: w, 3w, 2w, 1.5w.

    MAT2 B2 S12.indd 163 6/2/07 11:57:41 PM

  • 164

    secuencia 12

    A lo que llegamosPara multiplicar expresiones algebraicas existen algunas reglas que pueden servir:

    1. Para multiplicar un trmino numrico por un monomio se multiplica el trmino numrico por el coeficiente del monomio, por ejemplo:

    (3) (2y) = 3 (2y) = (2 3) (y) = 6y 6

    2. Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, por ejemplo:

    x 2

    (2x) (3x) = (2 3) (xx) = 6x 2 6

    3. Para multiplicar un monomio por un binomio se multiplica el mono-mio por cada uno de los trminos del binomio, por ejemplo:

    2x 2

    x (2x + y) = 2x 2 + xy

    xy

    iii. Las reglas anteriores tambin se aplican para multiplicar expresiones algebraicas con cualquier tipo de coeficientes: fraccionarios, negativos o decimales, por ejemplo:

    x 2 38 x

    12 x (2x 5y

    34 ) = x

    2 52 xy 38 x

    52 xy

    Recuerden que:

    4 por x = 4x

    x por x = x 2

    MAT2 B2 S12.indd 164 6/2/07 11:57:44 PM

  • 165

    IIMATEMTICASRealiza las siguientes multiplicaciones.

    a) ( 12 x ) ( 34 xy ) =

    b) ( 3x) (5y) =

    c) ( 35 y ) (10x 15y ) =

    d) ( 2.5xy ) (5.2x + 2.5y 1.2) =

    Lo que aprendimos1. Calcula el rea del siguiente rectngulo multiplicando las expresiones que represen-

    tan las medidas de la base y la altura.

    3y + 2

    x

    a) rea = (3y + 2) (x ) =

    b) Cubre con bloques algebraicos la figura anterior para verificar si el rea obtenida mediante la multiplicacin corresponde a los bloques utilizados para cubrirla. Di-buja cmo qued cubierto el rectngulo.

    2. Completa las siguientes multiplicaciones.

    a) ( ) (5x ) = 15xy

    b) ( 12 xy ) ( ) = ( 310) x 2y

    c) (1.25z ) ( ) = 3.75yz

    d) ( 35 ) ( ) = z

    MAT2 B2 S12.indd 165 6/2/07 11:57:47 PM

  • 166

    secuencia 12

    A CUBRIR RECTnGULOSPara empezarEn esta sesin resolvers problemas de clculo de reas que impliquen la multiplicacin de polinomios.

    Consideremos lo siguienteCubre con bloques algebraicos el siguiente rectngulo para calcular su rea.

    SESIn 2

    3x+y +3

    y+2

    a) Qu expresiones algebraicas tienen que multiplicarse para obtener el rea del rec-

    tngulo?

    b) Qu expresin algebraica representa el rea?

    Comparen sus respuestas.

    MAT2 B2 S12.indd 166 6/2/07 11:57:47 PM

  • 167

    IIMATEMTICASManos a la obrai. A continuacin se presenta una forma de dividir la superficie del rectngulo. Aplica

    lo aprendido en la sesin 1 para encontrar las reas de los rectngulos R1, R2 y R3.

    R2R1 R3y+2

    3x 3y

    a) rea de R1: (3x ) (y + 2) =

    b) rea de R2: (y ) (y + 2) =

    c) rea de R3: (3) (y + 2) =

    d) De los seis trminos que se obtienen en las tres multiplicaciones anteriores, dos

    son semejantes.

    Escrbelos: y

    e) Cul es la suma del rea de los rectngulos R1, R2, y R3? No olvides sumar los

    trminos semejantes.

    Comparen sus soluciones. Regresen al apartado Consideremos los siguiente y comparen la expresin algebraica con el resultado que obtuvieron cubriendo el rectngulo con los bloques algebraicos.

    MAT2 B2 S12.indd 167 6/2/07 11:57:48 PM

  • 168

    secuencia 12ii. A continuacin se presenta otra forma de dividir la superficie del rectngulo.

    a) Cubran los rectngulos R4 y R5 con bloques algebraicos y luego calculen el rea de cada uno.

    b) rea de R4: (2) (3x + y + 3) =

    c) rea de R5: (y ) (3x + y + 3) =

    d) Cul es la suma del rea de los rectngulos R4 y R5?

    Comparen sus respuestas y comenten con todo el grupo los procedimientos que usaron para multiplicar polinomios.

    A lo que llegamos

    3x + y + 3

    2

    y R5

    R4

    Una forma de multiplicar y + 2 por 3x + y + 3 es la siguiente:(y + 2) (3x + y + 3) = y (3x + y + 3) + 2 (3x + y + 3)

    = 3xy + y 2 + 3y + 6x + 2y + 6

    = 3xy + y 2 + 5y + 6x + 6

    1 Se multiplica cada trmino de y +2 por todos los trminos de 3x + y + 3

    2 Se suman los trminos semejantes

    MAT2 B2 S12.indd 168 6/2/07 11:57:50 PM

  • 169

    IIMATEMTICASTambin puede multiplicarse de forma vertical

    3x + y + 3 y + 2

    6x + 2y + 6 3xy + y 2 + 3y 3xy + y 2 + 6x + 5y + 6

    1 Se multiplica el trmino +2 por todos los trminos de 3x + y + 3

    2 Se multiplica el trmino y por todos los trminos de 3x + y + 3

    3 Se suman los trminos semejantes

    iii. Los procedimientos anteriores se aplican para multiplicar polinomios con coeficientes decimales, fraccionarios y negativos.

    ( 12 x 2y ) ( 35 x 3y ) = 310 x 2 32 xy 65 xy + 6y 2 = 310 x 2 2710 xy + 6y 2

    310 x

    2 32 xy

    65 xy + 6y 2

    Realiza o completa las siguientes multiplicaciones.

    a) (3.5x + 2y ) (3.5x) =

    b) (2xy ) (3x 2y + 2) =

    c) ( 12 x ) ( 2x + 35 ) =

    d) (3x + 6) ( 2x -5) =

    e) ( 3x) ( ) = 6x 2 15xy

    Lo que aprendimos 1. Completa las siguientes multiplicaciones. No olvides sumar todos los trminos seme-

    jantes.

    a) (x 2) (3x + 2) = ( ) 3x + ( ) 2

    = 3x 2 6x +

    = 3x 2 4x 4

    MAT2 B2 S12.indd 169 6/2/07 11:57:53 PM

  • 170

    secuencia 12

    b) x + 2 3x + 5

    +

    6x

    x +

    2. Cubre el rectngulo con bloques algebraicos y encuentra su rea.

    3x + 2

    x + 2

    rea =

    3. Coloca cada expresin en el crculo que le corresponda para que los productos de los tres trminos de cada lado del tringulo mgico de la derecha sean iguales.

    Faltan por colocar: 1, 32 x, 94 x,

    278 x

    49

    23

    MAT2 B2 S12.indd 170 6/2/07 11:57:53 PM

  • 171

    IIMATEMTICASCUnTO MIDE LA BASE?Para empezarEn esta sesin resolvers problemas que impliquen la divisin de un polinomio entre un monomio.

    Consideremos lo siguienteEl rea de un rectngulo es 6x 2 + 2xy. Su altura mide 2x.

    2xa = 6x 2 + 2xy

    a) Qu expresin algebraica representa la medida de la base?

    b) Cul es el permetro del rectngulo? Permetro =

    Comparen sus respuestas y verifiquen la medida de la base a partir de la expresin:

    Base altura = rea.

    Manos a la obrai. Con los bloques algebraicos cubre el rectngulo de rea 6x 2 + 2xy. Despus contesta

    las siguientes preguntas.

    a) Cuntos bloques de rea x 2 hay en el rectngulo?

    b) Cuntos bloques de rea xy hay en el rectngulo?

    Comparen sus respuestas y comenten:

    Si conocen el rea y la altura de un rectngulo, qu operacin hay que hacer para cal-cular su base?

    SESIn 3

    MAT2 B2 S12.indd 171 6/2/07 11:57:54 PM

  • 172

    secuencia 12ii. Responde las siguientes preguntas.

    a) Subraya la expresin que al multiplicarse por 2x d como producto 4x 2 + 10x.

    7x 2x2 + 5 2x + 5x 2x + 5

    b) Multiplica la expresin que subrayaste por 2x y verifica si obtienes 4x 2 + 10x.

    2x ( ) = 4x 2 + 10x

    c) Cul es el resultado de la divisin 4x 2+10x2x ?

    Comparen sus respuestas.

    A lo que llegamosUna manera de dividir el binomio 6x 2 + 2xy entre el monomio 2x consiste en buscar un binomio que multiplicado por 2x d como producto 6x 2 + 2xy.

    6x 2 + 2xy2x

    = 3x + y

    Porque 2x (3x + y ) = (2x ) (3x ) + (2x ) (y ) = 6x 2 + 2xy

    iii. La regla anterior para dividir un binomio entre un monomio se aplica para dividir cualquier polinomio entre un monomio con coeficientes decimales, fraccionarios o negativos.

    6.4z 2 1.6xz + 7.2z0.8z = 8z 2x + 9z

    Porque 0.8z (8z 2x + 9z) = 6.4z 2 1.6xz + 7.2z

    Realiza las siguientes divisiones:

    a) 6y 2 12xz + 9z

    3z =

    Porque 3y ( ) = 6y 2 12xy + 9y

    MAT2 B2 S12.indd 172 6/2/07 11:57:55 PM

  • 173

    IIMATEMTICASb)

    35 y 2z 3xz + 2y

    23 y

    =

    Porque 23 y ( ) = 35 y

    2z 3xy + 2y

    iV. No siempre es posible simplificar las expresiones al realizar una divisin, algunas ve-ces slo se deja indicada. Por ejemplo:

    6y 2 9xy + 5x3y = 2y 3x +

    5x3y

    Porque 3y ( 2y 3x + 5x3y ) = 6y

    2 9xy + 5x

    Realiza las siguientes divisiones.

    a) 2x ( ) = 5x 2 3xy + 4y

    b) 4y 2 12x + 5y

    3y =

    Comparen sus respuestas y comenten cmo dividir un polinomio entre un monomio.

    Lo que aprendimos 1. Encuentra la expresin algebraica que corresponde a la base del rectngulo. Poste-

    riormente calcula su permetro.

    2x rea = 4x 2 + 10x

    Permetro =

    Sabas que:

    (3y) ( 5x3y ) = 15xy

    3y = 5x

    Porque (3y )(5x ) = 15xy

    MAT2 B2 S12.indd 173 6/2/07 11:57:57 PM

  • 174

    secuencia 122. Calcula el rea de la figura que se forma al unir el rectngulo rojo con el azul. El rea

    del rectngulo azul es 2y.

    2y + 3

    y rea = 2y

    a) Qu operacin realizas para obtener el rea del rectngulo formado al unir los

    rectngulos rojo y azul?

    b) Qu rea obtuviste? rea =

    c) Realiza las operaciones que consideres necesarias para completar la tabla siguiente.

    Rectngulo Base Altura rea Permetro

    Rojo y

    Azul 2y 2y + 4

    Formado por los dos rectngulos.

    2y + 3 2y 2 + 3y

    3. Calcula el rea y el permetro del hexgono siguiente:

    y +1

    x +y +1

    x +2

    x +1

    a) rea =

    b) Permetro =

    MAT2 B2 S12.indd 174 6/2/07 11:57:57 PM

  • 175

    IIMATEMTICAS4. El largo de un invernadero mide el doble que el ancho, y alrededor de ste se encuen-

    tra un pasillo de 2 metros de ancho y 136 metros cuadrados de rea.

    invernadero

    2x

    x

    2 metros

    a) Cuntos metros cuadrados de superficie tiene el invernadero?

    b) Qu expresin algebraica le corresponde al rea del invernadero?

    c) Qu expresin algebraica le corresponde al rea del pasillo?

    Para saber ms Sobre resolucin de tringulos mgicos consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta: Secundaria Juegos aritmticos (Dar clic en 17 por todos lados).[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

    MAT2 B2 S12.indd 175 6/2/07 11:57:57 PM

  • 176

    secuencia 13

    Un dado, una caja o las pirmides de Teotihuacan tienen algo en comn: son cuerpos geomtricos de los cuales se pueden estudiar sus caractersticas y, en algunos casos, hacer los moldes para construirlos. Estos temas son los que estudiars en esta secuencia.

    DESARROLLA TU IMAGINACINPara empezarLa geometra a tu alrededor

    Mira a tu alrededor y observa las formas de edificios, casas, muebles, cajas, latas; muchas de ellas son cuerpos geomtricos o combina-ciones de ellos.

    Por ejemplo, la caja de al lado tiene forma de un cuerpo geomtrico. Imagina que extende-mos el molde con el que la hicieron:

    A este molde tambin se le llama desarrollo plano.

    Consideremos lo siguienteElaboren con cartulina una casa y un pino como los siguientes. Pueden ser del tamao que prefieran, la nica condicin es que no se permite hacer por separado las caras y luego unirlas, tienen que hacer el desarrollo plano de una sola pieza para cada uno.

    SESIN 1

    Cubos, prismas y pirmides

    MAT2 B2 S13.indd 176 6/2/07 11:58:16 PM

  • 177

    IIMATEMTICASComparen su casa y su pino con los de otros compaeros y comenten con ellos cmo son los desarrollos planos que elaboraron.

    Manos a la obra i. En el siguiente desarrollo plano de la casa:

    a) Tracen las tres caras que le faltan.

    b) Terminen de poner las pestaas donde consideren necesario para que pueda ar-marse y que quede bien pegada.

    c) Unan con lneas los lados que se pegarn para formar las aristas.

    pestaa

    ii. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar una casa. En cada caso busquen la razn y argumenten por qu no se podr armar la casa.

    MAT2 B2 S13.indd 177 6/2/07 11:58:17 PM

  • 178

    secuencia 13iii. En el siguiente desarrollo plano del pino:

    a) Tracen las caras que faltan.

    b) Pongan pestaas donde consideren necesario.

    c) Unan con lneas los lados que se pegarn para formar las aristas.

    iV. Los siguientes desarrollos planos no se pueden armar para formar un pino. En cada caso busquen la razn y argumenten por qu no se podr armar el pino.

    MAT2 B2 S13.indd 178 6/2/07 11:58:19 PM

  • 179

    IIMATEMTICAS

    Lo que aprendimos1. Elijan un prisma o una pirmide, tracen el desarrollo plano en cartulina y rmenlo.

    Puede ser del tamao que quieran.

    A lo que llegamosEl desarrollo plano de un cuerpo geomtrico es el patrn o molde plano para construirlo. Por lo general hay varios desarrollos planos para un mismo cuerpo geomtrico. Los siguientes desarrollos son para armar un cubo, un prisma y una pirmide.

    Un mismo cuerpo geomtrico tiene diferentes desarrollos planos. Por ejemplo, con cualquiera de los dos siguientes desarrollos planos se puede armar un tetraedro.

    MAT2 B2 S13.indd 179 6/2/07 11:58:22 PM

  • 180

    secuencia 13

    MS DESARROLLOS PLANOSManos a la obrai. Los siguientes son desarrollos incompletos para hacer un cubo. En cada uno dibujen

    la cara que falta.

    SESIN 2

    Elijan uno de los desarrollos, dibjenlo del tamao que quieran en una cartulina y rmenlo.

    ii. Dibujen los puntos necesarios en cada cara para que con el siguiente desarrollo se arme un dado cuyas caras opuestas sumen 7.

    iii. Con el siguiente desarrollo plano se arma un cuerpo geomtrico. Dibujen el cuerpo armado a la derecha.

    Reproduzcan el desarrollo en cartulina, al tamao que gusten, pongan pestaas y armen el cuerpo. Se parece al que dibujaron?

    MAT2 B2 S13.indd 180 6/2/07 11:58:22 PM

  • 181

    IIMATEMTICASiV. Terminen este desarrollo para armar una pirmide con base cuadrada.

    V. El siguiente desarrollo es para armar un prisma triangular. Pongan pestaas donde crean necesario y anoten las parejas de lados que se van a pegar, observen el ejemplo.

    a se pega con d

    b

    a

    j i

    h

    c

    d

    g

    e

    f

    Comparen sus procedimientos y sus resultados.

    MAT2 B2 S13.indd 181 6/2/07 11:58:23 PM

  • 182

    secuencia 13

    EL CUERPO ESCONDIDOPara empezarEn la primaria aprendiste algunos nombres relacionados con los cuerpos geomtricos.

    SESIN 3

    cara arista vrtice

    Consideremos lo siguienteRealicen esta actividad en equipos. Junten todos los cuerpos geomtricos que hicieron en las sesiones anteriores.

    1. Un equipo elije un cuerpo geomtrico y lo mantiene oculto.

    2. Los dems equipos tratan de adivinar cul es ese cuer-po. Para ello formulan preguntas que puedan respon-derse slo con un s o un no y las anotan en el pizarrn junto con sus respuestas. Por ejemplo:

    Tiene 8 caras?

    Tiene caras triangulares?

    Tambin pueden formular preguntas que se res-pondan con un nmero (puede ser una medida). Por ejemplo:

    Cuntos vrtices tiene?

    Cunto mide de altura?

    3. Una vez que crean que tienen la informacin suficiente, trazan el desarrollo plano para construir el cuerpo. Cuando todos los equipos hayan terminado comparen el cuerpo que construyeron con el que estaba escondido.

    4. Gana el equipo que haya construido el cuerpo ms parecido al original.

    Cuando finalicen comenten la actividad, en particular analicen las preguntas que hi-cieron, cules de ellas fueron de mayor importancia y qu vocabulario geomtrico emplearon.

    MAT2 B2 S13.indd 182 6/2/07 11:58:25 PM

  • 183

    IIMATEMTICASManos a la obrai. Considera las siguientes preguntas y respuestas y dibuja el cuerpo en el recuadro de

    la derecha.

    a) Es una pirmide? no

    b) Tiene alguna cara cuadrada? s

    c) Cuntas caras cuadradas tiene? 6

    d) Es un cubo? no

    e) Cuntas aristas tiene? 18

    f) Todas sus caras tienen la misma forma? no

    g) Las caras cuadradas son iguales? s

    Comparen el dibujo que hizo cada uno y mencionen el nombre del cuerpo geomtrico.

    PATRONES Y REGULARIDADESManos a la obrai. Observen cules son las bases y cules las caras laterales del siguiente prisma.

    bases caralateral

    a) Cuntas bases tiene?

    b) Qu forma tienen sus bases?

    c) Cuntas caras laterales tiene?

    d) Qu forma tienen las caras laterales?

    ii. Consideren el siguiente prisma que est apoyado sobre una de sus caras laterales.

    a) Cuntas bases tiene?

    b) Qu forma tienen sus bases?

    c) Cuntas caras laterales tiene?

    d) Qu forma tienen las caras laterales?

    e) Cmo defines lo que es un prisma?

    SESIN 4

    caralateral

    base

    MAT2 B2 S13.indd 183 6/2/07 11:58:26 PM

  • 184

    secuencia 13iii. Observen los siguientes prismas cuadrangulares.

    Un cubo es un prisma, por qu?

    iV. Consideren los siguientes dibujos de prismas, observen que el prisma recibe un nom-bre de acuerdo con la forma de sus bases.

    3 cm 3 cm

    6 cm

    3 cm 3 cm

    5 cm

    3 cm 3 cm

    3 cm

    PrismaNmero de lados

    en cada base

    Nmero de caras laterales

    Nmero de caras en total

    Nmero de aristas

    Nmero de vrtices

    Triangular 9

    Cuadrangular 4

    Pentagonal 10

    Hexagonal 8

    Octagonal 8

    Con una base de n lados n + 2

    prisma triangular

    prisma cuadrangular prisma

    octagonal

    prisma pentagonal prisma

    hexagonal

    MAT2 B2 S13.indd 184 6/2/07 11:58:27 PM

  • 185

    IIMATEMTICASV. Observen cul es la base de una pirmide y cules las caras laterales.

    base caralateral

    a) Cuntas bases tiene?

    b) Cuntas caras laterales tiene?

    c) Qu forma tienen las caras laterales de una pirmide?

    Vi. Consideren los siguientes dibujos de pirmides, observen que la pirmide recibe su nombre de acuerdo con la forma de su base.

    pirmide triangular

    pirmide cuadrangular

    pirmide pentagonal

    pirmide hexagonal

    pirmide octagonal

    PirmideNmero de lados

    de la base

    Nmero de caras laterales

    Nmero de caras en total

    Nmero de aristas

    Nmero de vrtices

    Triangular 3

    Cuadrangular 4

    Pentagonal 6

    Hexagonal 12

    Octagonal 9

    Con una base de n lados 2n

    Comparen sus respuestas y la manera en que llegaron a ellas.

    MAT2 B2 S13.indd 185 6/2/07 11:58:27 PM

  • 186

    secuencia 13

    A lo que llegamos

    SESIN 5

    Es importante identificar las caractersticas de los cuerpos geomtricos. Por ejemplo, este cuerpo geomtrico es un pris-ma, est formado por dos caras iguales paralelas en forma de octgonos, por lo que se trata de un prisma octagonal. Sus caras laterales son rectngulos. Tiene en total 10 caras, 16 vrtices y 24 aristas.

    Lo que aprendimos1. Describe en tu cuaderno cada uno de los siguientes cuerpos geomtricos.

    DIFERENTES PUNTOS DE VISTAPara empezarDibuja las dos caras que hacen falta para que se pueda armar un cubo.

    Reproduce cinco veces en cartulina el desarrollo, de tal manera que cada arista del cubo mida 3 cm. No olvides poner pestaas donde haga falta y arma los cinco cubos.

    MAT2 B2 S13.indd 186 6/2/07 11:58:28 PM

  • 187

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteRenete con otros dos compaeros. Junten sus cubos y armen un cuerpo que tenga las siguientes vistas:

    frente arriba de un lado del otro lado

    Comparen su cuerpo geomtrico con los de otros equipos. Hay una manera o hay varias maneras de armar este cuerpo con los cubos?

    Manos a la obrai. Las vistas corresponden a la parte de arriba de los cuerpos. Colorea segn corresponda.

    ii. Dibuja en tu cuaderno las vistas de este cuerpo de frente, de arriba y de ambos lados.

    iii. Inventen un cuerpo formado por cubos. Dibujen sus vistas e intercmbienlas con un compaero. Dejen que, a partir de las vistas que dibujaron, cada uno arme el cuerpo. Despus comparen ambos, deben ser iguales, si no lo son, analicen en dnde estuvo la falla.

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Poliedros regulares y Ms sobre poliedros regulares, en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.Hernndez Garciadiego, Carlos. Poliedros, en La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT2 B2 S13.indd 187 6/2/07 11:58:30 PM

  • 188

    secuencia 14

    Es importante saber calcular el volumen de un prisma y de una pir-mide, pero es ms interesante que sepas de dnde se obtienen las frmulas para calcularlo. Estudiando esta secuencia lo sabrs.

    LaS cajaSPara empezarEn la primaria aprendiste que el volumen de un cubo que mide un centmetro de arista es un centmetro cbico:

    El centmetro cbico es una unidad que se usa para medir el volumen de los cuerpos geomtricos, se simboliza cm3.

    Consideremos lo siguienteCul es el volumen, en centmetros cbicos, de una caja como la siguiente?

    Describan la manera en que calcularon el volumen de la caja.

    Comparen los procedimientos y los resultados con otros equipos.

    SeSin 1

    Volumen de prismas y pirmides

    4 cm

    6.5 cm

    2.5 cm

    MAT2 B2 S14.indd 188 6/2/07 11:58:49 PM

  • IIMATEMTICAS

    189

    Manos a la obrai. Consideren ahora una caja en forma de prisma rectangular con las siguientes medidas:

    Estos son algunos procedimientos para calcular el volumen de la caja, compltenlos.

    Volumen de prismas y pirmides

    3 cm

    4 cm

    2 cm

    Procedimiento a. Se forma con centmetros c-bicos un prisma de esas medidas y luego se cuenta el nmero de cubos que se utilizaron.

    Nmero de centmetros cbicos:

    Procedimiento B. Se investiga cuntos centmetros c-bicos forman la base del prisma

    En la base caben: cubos

    Luego se multiplica este nmero por la altura del prisma:

    =

    Procedimiento c. Se investiga cuntos cubos se necesitan a lo largo, a lo ancho y a lo alto de la caja y se multiplican estos tres nmeros.

    =

    Procedimiento D. Se multiplican las medidas del prisma.

    =

    3 cm

    4 cm

    2 cm

    3 cubos

    4 cubos

    2 cubos

    MAT2 B2 S14.indd 189 6/2/07 11:58:50 PM

  • 190

    secuencia 14ii. El siguiente procedimiento tambin permite calcular el volumen del prisma:

    Procedimiento e. Se calcula el rea de la base y se multiplica por la altura.

    a) Qu forma tiene la base de la caja?

    b) Cul es el rea de esta base?

    c) Cul es la medida de la altura de la caja?

    d) Cul es el producto del rea de la base por la altura?

    iii. Analicen todos los procedimientos y comprenlos con el procedimiento e. Escriban un argumento que muestre que el procedimiento e es el mismo que el B, c y D.

    Regresen al problema inicial y calculen el volumen de la caja utilizando el procedimiento e.

    Llegan al mismo resultado?

    A lo que llegamosCon ayuda de su profesora o profesor, lean y comenten la siguiente informacin:

    Al calcular el nmero de centmetros cbicos (cm3) que forman el prisma se est calcu-lando su volumen. Otras unidades de volumen son el decmetro cbico (dm3) y el metro cbico (m3).

    Hay varias maneras de calcular el volumen de un prisma rectangular, por ejemplo:

    Volumen del prisma rectangular = Largo x ancho x altura

    Si el largo se simboliza con l, el ancho con a y la altura con h, tenemos:

    V = l a hObserva que al multiplicar largo por ancho ests calculando el rea de la base, as que otra manera de escribir la frmula es:

    Volumen = rea de la base por la altura

    Si simbolizamos con B al rea de la base, la frmula puede escribirse:

    V = B h

    MAT2 B2 S14.indd 190 6/2/07 11:58:51 PM

  • IIMATEMTICAS

    191

    Lo que aprendimos1. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

    MS VOLMeneS De PRiSMaS Para empezarUno de ustedes construir un prisma cuadrangular y el otro uno triangular, consideren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos y no olviden poner las pestaas donde haga falta.

    4.5 cm5 cm

    3 cm

    3.4 dm6.2 dm

    5.1 dm

    412 m

    412 m

    412 m

    SeSin 2

    10 cm

    5 cm

    5 cm

    10 cm

    5 cm

    5 cm

    MAT2 B2 S14.indd 191 6/2/07 11:58:52 PM

  • 192

    secuencia 14

    Consideremos lo siguienteRenanse con otra pareja y calculen el volumen de cada uno de los prismas que construyeron.

    a) Volumen del prisma cuadrangular

    b) Volumen del prisma triangular

    Expliquen cmo calcularon el volumen del prisma triangular.

    Comparen los procedimientos que emplearon para calcular el volumen del prisma triangular.

    Manos a la obrai. A un equipo se le ocurri juntar dos prismas triangulares y vieron que formaban un

    prisma cuadrangular.

    a) Cul es el volumen del prisma cuadrangular que se form?

    b) Qu parte del prisma cuadrangular es el prisma triangular?

    c) Cul es el volumen del prisma triangular?

    d) En la sesin anterior usaron la siguiente frmula para calcular el volumen de un prisma rectangular:

    V = rea de la base por la altura

    e) Esta frmula se puede usar para un prisma cuadrangular?

    MAT2 B2 S14.indd 192 6/2/07 11:58:53 PM

  • IIMATEMTICAS

    193

    f) Expliquen por qu

    g) Podrn usar esta frmula para calcular el volumen de un prisma triangular?

    Completen usando los datos del prisma triangular:

    V = rea de la base por la altura

    rea de la base =

    altura=

    V = =

    h) Su resultado es el mismo que el que encontraste en el inciso c)?

    ii. Ahora unan el prisma cuadrangular y el triangular para formar un prisma que tiene por base un trapecio (prisma trapezoidal).

    a) Como ya calcularon el volumen del prisma cuadrangular y el volumen del trian-gular pueden calcular el volumen del prisma trapezoidal.

    Cul es?

    b) Se podr calcular el volumen de un prisma trapezoidal con la frmula:

    rea de la base por la altura?

    MAT2 B2 S14.indd 193 6/2/07 11:58:54 PM

  • 194

    secuencia 14c) Calculen el volumen del prisma trapezoidal usando la frmula:

    V = rea de la base por la altura

    rea de la base =

    altura=

    Volumen = =

    Observen que, si hicieron bien las operaciones, obtienen el mismo resultado en los incisos a) y c).

    iii. Con sus prismas cuadrangulares y triangulares traten de formar:

    Un prisma con base en forma de romboide.

    Un prisma con base en forma de trapecio issceles (los trapecios issceles son los que tienen sus lados no paralelos de la misma medida).

    Para cada uno calculen su volumen de dos formas:

    a) Sumando los volmenes de los cuerpos que utilizaron.

    b) Aplicando la frmula a = B h

    A lo que llegamosEl volumen de un prisma se calcula con la siguiente frmula:

    Volumen = rea de la base por la altura

    Si simbolizamos el rea de la base con B y a la altura con h, podemos escribir:

    V = B h

    La base puede ser cualquier polgono as, que para calcular su rea tienes que repasar la manera en que se calcula el rea de los diferen-tes polgonos que conoces, recuerda que esto lo estudiaste en la secuencia 14 de primer grado.

    MAT2 B2 S14.indd 194 6/2/07 11:58:55 PM

  • IIMATEMTICAS

    195

    Lo que aprendimos 1. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

    aRROZ Y VOLUMenPara empezarUno de ustedes construir una pirmide cuadrangular y el otro una triangular, conside-ren las medidas indicadas en los siguientes desarrollos. Dejen la base sin pegar porque van a llenar las pirmides de arroz o de alpiste.

    8 cm

    3 cm

    3.6 cm

    5 cm

    3.4 cm

    10 cm

    3 cm5.6 cm

    6 cm

    5 cm

    5 cm

    5 cm 5 cm

    10.3 cm10 cm

    SeSin 3

    MAT2 B2 S14.indd 195 6/2/07 11:58:56 PM

  • 196

    secuencia 14

    Consideremos lo siguienteComparen el prisma cuadrangular, que construyeron en la sesin anterior, con la pirmi-de cuadrangular que acaban de armar.

    a) Cul de los dos tiene mayor volumen?

    b) Cmo podran calcular el volumen de la pirmide?

    c) Calculen el volumen de la pirmide y anoten su resultado.

    Volumen=

    Comparen sus procedimientos y sus resultados.

    Manos a la obrai. Realicen lo que se indica.

    a) Quiten una de las bases al prisma cuadrangular que construyeron en la sesin anterior para que puedan llenarlo de arroz o de alpiste.

    b) Verifiquen que la pirmide cuadrangular y el prisma cuadrangular tienen exacta-mente las mismas medidas de la base y la misma altura.

    MAT2 B2 S14.indd 196 6/2/07 11:58:57 PM

  • IIMATEMTICAS

    197

    c) Llenen la pirmide cuadrangular de arroz y vacen esta cantidad de arroz en el prisma cuadrangular.

    Qu parte del prisma qued ocupada por el arroz?

    d) Repitan el paso del inciso c) las veces que sea necesario has-ta que el prisma se llene de arroz y comprueben su res-puesta a la pregunta anterior.

    e) Cul es el volumen del prisma cuadrangular?

    Cul es el volumen de la pirmide?

    Cmo lo averiguaron?

    f) Hagan lo mismo con el prisma triangular que construyeron en la sesin anterior y la pirmide triangular.

    Qu parte del volumen del prisma triangular es el volumen de la pirmide triangular?

    Cul es el volumen de la pirmide triangular?

    Cmo lo averiguaron?

    MAT2 B2 S14.indd 197 6/2/07 11:59:01 PM

  • 198

    secuencia 14ii. Expliquen la manera en que se puede calcular el volumen de una pirmide.

    Comparen sus resultados, en particular comenten lo que escribieron en la actividad II.

    A lo que llegamosEl volumen de una pirmide recta de base poligonal puede calcularse con la frmula:

    Volumen =

    rea de la base altura 3

    V = B h

    3

    Unas frmulas se obtienen de otras

    Ahora ya conoces la relacin que hay entre el volumen de un prisma y una pirmide que tienen igual base y altura, y esto te ha permitido construir la frmula para calcular el volumen de una pirmide.

    Lo que aprendimos1. Calcula el volumen de las siguientes pirmides cuya altura es de 8 cm.

    3 cm

    4.5 cm

    6.5 cm

    3.6 cm

    MAT2 B2 S14.indd 198 6/2/07 11:59:02 PM

  • IIMATEMTICAS

    199

    Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Hernndez Garciadiego, Carlos. Volumen de prismas irregulares y Volumen de co-nos y pirmides, en La geometra en el deporte. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT2 B2 S14.indd 199 6/2/07 11:59:03 PM

  • 200

    Aplicacin de volmenes

    secuencia 15

    Y ahora que ya aprendiste las frmulas para calcular el volumen de prismas y pirmides ests listo para explorar la relacin entre volu-men y capacidad, y tambin para resolver problemas relacionados con estos temas.

    EL DECMETRO CBICOPara empezarEn la sesin 1 de la secuencia anterior aprendiste que el volumen de un recipiente se puede calcular en centmetros cbicos.

    Qu volumen le cabe, en centmetros cbicos, a una caja en forma de cubo que mide

    5cm de arista?

    sEsIn 1

    En la primaria aprendiste que una unidad para expresar la capacidad es el litro.

    Sabras decir cul es la capacidad de esta caja en litros? . En esta leccin aprenders a responder preguntas como sta.

    5cm

    MAT2 B2 S15.indd 200 6/3/07 12:00:22 AM

  • 201

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteConstruyan una caja en forma de cubo, sin tapa, que mida 1 dm de arista y consigan un recipiente cuya capacidad sea de 1 litro.

    Investiguen:

    a) Cul es el volumen que le cabe a la caja medido en centmetros cbicos?

    b) Cul es la capacidad de la caja medida en litros?

    c) La capacidad de la caja ser mayor, menor o igual a la del recipiente de 1 litro?

    d) A qu parte de 1 litro equivale 1 centmetro cbico?

    Comenten sus respuestas a las preguntas anteriores y la manera en que las averiguaron.

    Manos a la obrai. Para saber si a la caja de un decmetro cbico le cabe ms o menos de un litro llenen

    el recipiente de un litro con alguna semilla pequea y vacen el contenido en la caja.

    Recuerden que:

    1 dm = 10 cm

    La caja que construyeron es un decmetro cbico (dm3).

    MAT2 B2 S15.indd 201 6/3/07 12:00:26 AM

  • 202

    secuencia 15a) Cul es la capacidad de la caja expresada en litros?

    b) Completen la siguiente igualdad:

    decmetro cbico = litro

    dm3 = l

    c) A cuntos centmetros cbicos equivale un decmetro cbico?

    Entonces: cm3 = 1 l

    1 cm3 = de litro

    ii. Consideren ahora una cisterna en forma de cubo que mida 1 metro de arista.

    a) Cul es la capacidad de la cisterna en metros cbicos?

    b) Cul es su capacidad en decmetros cbicos?

    c) Y en centmetros cbicos?

    d) Cuntos litros de agua le caben a esta cisterna?

    A lo que llegamosLas medidas de volumen y de capacidad tienen una estrecha relacin. Es comn usar las unidades de volumen para expresar la capacidad de un recipiente.

    En particular, la relacin:

    1 decmetro cbico equivale a 1 litro 1 dm3 = 1 l

    es muy til para resolver problemas acerca de la capacidad de reci-pientes como peceras, albercas, cisternas, etctera.

    MAT2 B2 S15.indd 202 6/3/07 12:00:27 AM

  • 203

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Calcula la cantidad mxima de agua que puede contener una pecera de las siguientes

    dimensiones:

    2. Cul es la capacidad, expresada en litros, de un envase que mide 20 cm de largo,

    10 cm de ancho y 5cm de altura?

    CAPACIDADEs Y VOLMEnEsLo que aprendimosProblemas prcticos

    El tema del volumen y su relacin con la capacidad tiene un amplio uso en la resolucin de problemas reales. Los ejercicios siguientes son un ejemplo de ello.

    1. Resuelvan los siguientes problemas. Por el momento no hagan operaciones, slo den un resultado aproximado y antenlo donde se indica.

    a) Se quiere construir un prisma cuadrangular (base cuadrada) cuyo volumen sea de 360cm3. Si la altura ser de 10 cm, cul ser la medida de los lados del cuadrado de las bases?

    Estimacin del resultado:

    b) La gran pirmide de Keops en Egipto tiene una base cuadrada de 270m de lado y una altura de 167m. Cul es su volumen?

    Estimacin del resultado:

    sEsIn 2

    4 dm

    2 dm

    2 dm

    MAT2 B2 S15.indd 203 6/3/07 12:00:29 AM

  • 204

    secuencia 15c) Un seor desea constuir una cisterna de agua, en forma de

    prisma rectangular, para almacenar 2500 litros de agua. Es-criban un posible tamao de la cisterna anotando las medi-das del largo, ancho y profundidad.

    Estimacin del resultado:

    d) Una alberca tiene un fondo rectangular de 50 m por 40m, si se sabe que puede contener como mximo 4 000 000 de litros de agua, cul es la profundidad mnima de la alberca?

    Estimacin del resultado:

    e) Un lingote de oro tiene forma de prisma trapezoidal. Se sabe que un centmetro cbico de oro pesa, aproximadamente, 19 gramos, cunto pesa el lingote ilustrado a la izquierda?

    Estimacin del resultado:

    f) En una pecera como la de la izquierda se introdujo una pie-dra y la altura del agua aument 0.9 cm. Cul es el volu-men de la piedra?

    Estimacin del resultado:

    2. Calculen las respuestas a los problemas anteriores, pueden usar calculadora. Despus comparen con sus estimaciones.

    a) d)

    b) e)

    c) f)

    Comenten sus respuestas y procedimientos con otros compaeros del grupo.

    4 cm

    3 cm

    9.5 cm

    2 cm

    25 cm

    20 cm

    20 cm

    MAT2 B2 S15.indd 204 6/3/07 12:00:32 AM

  • 205

    IIMATEMTICASVARIACIOnEsLo que aprendimos1. Consideren varias pirmides que tienen la base de igual tamao y cuya altura vara.

    La base es un cuadrado de 10 cm de lado.

    Completen la siguiente tabla:

    Altura de la pirmide (cm) 1 2 3 4 5 6 7

    Volumen de la pirmide (cm3)

    Es proporcional la variacin del volumen de la pirmide con respecto a la altura

    cuando la base se mantiene constante?

    Argumenten su respuesta

    2. Consideren un cubo en el que la medida de su arista va aumentando.

    sEsIn 3.

    MAT2 B2 S15.indd 205 6/3/07 12:00:32 AM

  • 206

    secuencia 15Completen la siguiente tabla:

    Medida de la arista (cm) 1 2 3 8 20

    Volumen del cubo (cm3) 125 3375

    Es proporcional la variacin del volumen del cubo con respecto a su arista?

    Argumenten su respuesta

    3. Completen la siguiente tabla considerando que se trata de varios prismas cuadrangu-lares, todo ellos con un volumen igual a 400 cm3 y una base con rea segn la me-dida que se indica en la tabla.

    rea de la base (cm2) 1 4 16 25 100

    Altura del prisma (cm)

    Es proporcional la variacin de la altura al rea de la base?

    Argumenten su respuesta

    4. Se tiene un prisma rectangular como el siguiente:

    MAT2 B2 S15.indd 206 6/3/07 12:00:33 AM

  • 207

    IIMATEMTICASAnoten en la tabla el nmero de cubos que se necesitarn para realizar lo que se indica en cada caso. Siempre se toma como referencia el prisma original.

    Si se: El nmero de cubos que se requieren es:Cuntas veces

    aument el volumen?

    Aumenta slo su altura al doble

    Aumenta slo el largo al triple

    Disminuye slo el ancho a la mitad

    Aumentan al doble el largo y el ancho

    Aumentan al triple el ancho y la altura

    Aumentan al doble el largo, el ancho y la altura

    Aumentan al doble el largo y el ancho se disminuye a la mitad dejando la altura igual

    a) Si un prisma aumenta la medida de su largo, ancho y altura al triple, cuntas

    veces aumenta su volumen?

    b) El aumento del volumen es proporcional al aumento del largo, ancho y altura?

    c) Argumenten su respuesta

    Comenten sus respuestas y sus procedimientos con otros compaeros del grupo.

    Para saber msConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Cul es la pirmide ms grande? en Geometra y el mun-do. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

    MAT2 B2 S15.indd 207 6/3/07 12:00:33 AM

  • 208

    secuencia 16

    sesin 1

    Comparacin de situaciones de proporcionalidadEn esta secuencia resolvers problemas de comparacin de cocientes en situaciones de proporcionalidad directa.

    eL RenDiMienTO COnsTAnTePara empezarEn la actualidad uno de los aspectos ms importantes del diseo de un automvil es el rendimiento. El rendimiento es el nmero de kilmetros que se recorren por cada litro de gasolina que se consume.

    Al disear un automvil es importante verificar que, bajo las mismas condiciones de uso, se tenga un rendimiento constante. Es decir, que se recorra siempre la misma cantidad de kilmetros con la misma cantidad de gasolina.

    Consideremos lo siguienteUna compaa de automviles hizo pruebas a tres de sus modelos para verificar que tu-vieran rendimientos constantes. Las siguientes tablas muestran los registros de la distan-cia recorrida y la cantidad de gasolina gastada.

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    2 32 3 51

    4 64 7 119

    16 256 11 187

    Modelo A Modelo B

    Cantidad de gasolina (en litros)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    3 48

    15 240

    21 378

    Modelo C

    MAT2 B2 S16.indd 208 6/3/07 12:01:02 AM

  • IIMATEMTICAS

    209

    a) De los modelos a, B y c, cul no tuvo un rendimiento constante?

    b) Cul modelo tuvo el mejor rendimiento?

    Comparen sus respuestas y cmo las obtuvieron.

    Manos a la obrai. Comenten: En una escuela dijeron que el modelo c tuvo rendimiento constante: 16

    kilmetros por cada litro de gasolina.

    a) Estn de acuerdo con la respuesta de la otra escuela? Por qu?

    b) Para comprobar si el modelo c tuvo rendimiento constante, hagan las multiplica-ciones de las cantidades de gasolina por 16 y verifiquen si obtienen las distan-cias recorridas.

    c) Si se recorrieron 378 kilmetros con 21 litros de gasolina, cuntos kilmetros se

    recorrieron por cada litro?

    d) Cul es el rendimiento del modelo a?

    e) Cul es el rendimiento del modelo B?

    ii. Recuerden que cuando las cantidades de un conjunto son directamente proporcio-nales a las de otro conjunto se cumple la siguiente propiedad:

    Todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un conjunto entre la cantidad correspon-diente en el otro conjunto son iguales.

    Y recprocamente, si son iguales todos los cocientes que se obtienen al dividir una cantidad de un con-junto entre la cantidad correspondiente en el otro conjunto, entonces son directamente porporcionales.

    En sus cuadernos hagan las divisiones de los kilmetros recorridos entre los litros de ga-solina que se consumieron en las pruebas de los tres modelos de automviles y contesten:

    a) De las siguientes relaciones subrayen las que son de proporcionalidad directa.

    La relacin entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo a.

    La relacin entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo B.

    La relacin entre el consumo de gasolina y la distancia recorrida por el modelo c.

    b) De las relaciones que son de proporcionalidad directa, cules son las constantes de proporcionalidad correspondientes?

    Modelo constante

    Modelo constante

    MAT2 B2 S16.indd 209 6/3/07 12:01:03 AM

  • 210

    secuencia 16

    A lo que llegamosEn una relacin de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades, los cocientes de las cantidades que se corresponden son iguales. Ese cociente se llama constante de proporcionalidad. Por ejemplo:

    El modelo A tuvo siempre un rendimiento constante porque los cocien-tes de las cantidades que se corresponden fueron siempre 16. El rendimiento del modelo A es de 16 kilmetros por litro de gasolina.

    iii. Adems de los modelos anteriores, la compaa encontr que los siguientes modelos tuvieron rendimientos constantes:

    El modelo D recorri una distancia de 680 kilmetros y tuvo un consumo de 40 litros de gasolina.

    El modelo e recorri una distancia de 630 kilmetros y tuvo un consumo de 35 litros de gasolina.

    El modelo F recorri una distancia de 192 kilmetros y tuvo un consumo de 12 litros de gasolina.

    a) Cul es el rendimiento que tuvo el modelo D?

    b) Cul es el rendimiento que tuvo el modelo e?

    c) Cul es el rendimiento que tuvo el modelo F?

    d) Entre los modelos a, D, e y F, cules tuvieron el mismo rendimiento?

    e) Cul de ellos tuvo el mejor rendimiento?

    Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

    A lo que llegamosDos relaciones de proporcionalidad directa se pueden comparar usando sus constantes de proporcionalidad o sus cocientes. Por ejemplo:

    Si un modelo tiene rendimiento de 16 kilmetros por litro de gasolina, entonces tiene el mismo rendimiento que el modelo A.

    Si un modelo G tiene rendimiento constante de 17 kilmetros por litro de gasolina, entonces el modelo G tiene un mejor rendimiento que el modelo A.

    MAT2 B2 S16.indd 210 6/3/07 12:01:05 AM

  • 211

    IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla, en donde se muestra el tiempo y la distancia recorrida

    por cuatro automviles. En la ltima columna se indican los cocientes de las distan-cias recorridas entre el tiempo que tardaron en recorrerlas. A este cociente se le llama velocidad (en este problema se considera que los automviles siempre viajaron a ve-locidad constante).

    Tiempo del recorrido (en horas)

    Distancia recorrida (en kilmetros)

    Velocidad (en kilmetros por hora)

    Automvil A 3 249

    Automvil B 11 924

    Automvil C 1 84

    Automvil D 7 595

    a) Cul automvil fue a mayor velocidad?

    b) Cul automvil fue a menor velocidad?

    c) Cules automviles fueron a la misma velocidad? y

    2. Completa la siguiente tabla en donde se muestra la cantidad de libras esterlinas ob-tenida al cambiar dlares americanos en cinco casas de cambio distintas.

    Cantidad recibida (en libras)

    Cantidad cambiada (en dlares)

    Tipo de cambio

    Casa de cambio A 145 290

    Casa de cambio B 240 600

    Casa de cambio C 180 414

    Casa de cambio D 195 468

    Casa de cambio E 120 276

    a) Cul casa de cambio ofrece mejor tipo de cambio de dlares a libras?

    b) Cul casa de cambio ofrece el peor tipo de cambio de dlares a libras?

    c) Cules casas de cambio ofrecen el mismo tipo de cambio de dlares a libras?

    MAT2 B2 S16.indd 211 6/3/07 12:01:06 AM

  • 212

    secuencia 16

    LA COnCenTRACin De PinTURAPara empezarEn la sesin 6 de su libro de Matemticas i Volumen i aprendiste que hay una gran diversidad de colores llamados colores compuestos. Los colores compuestos se pueden obtener mezclando los tres colores primarios: amarillo, azul y rojo.

    El color naranja, por ejemplo, se obtiene mezclando amarillo y rojo. Las distintas tonali-dades naranja, ms claro o ms oscuro, dependen de las cantidades de colores amarillo y rojo que se mezclen.

    Consideremos lo siguienteEn una escuela se hizo una colecta para comprar pintura y pintar con ella el edificio de la escuela. El color elegido fue el naranja.

    Para preparar 10 litros de pintura naranja del tono elegido se necesitan 6 litros de pintura amarilla y 4 litros de pintura roja.

    a) Qu cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 12 litros de

    pintura naranja del tono elegido?

    b) Qu cantidades de pintura amarilla y roja se necesitan para obtener 23 litros de

    pintura naranja del tono elegido?

    Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

    Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla y encuentren qu cantidad de pintura amarilla se nece-

    sita para obtener 12 litros de pintura naranja.

    Cantidad de mezcla (pintura naranja) (en litros)

    Cantidad de pintura amarilla en la mezcla (en litros)

    10 6

    1

    12

    Comparen sus tablas y comenten el procedimiento anterior.

    Verifiquen su resultado dado en el apartado Consideremos lo siguiente con el obtenido al completar la tabla.

    ii. La concentracin de color amarillo en la pintura naranja es el cociente de la can-tidad de pintura amarilla entre la cantidad de pintura naranja. Por ejemplo, la pintu-ra naranja tiene la siguiente concentracin de color amarillo:

    6 10 = 610 = 0.6

    sesin 2

    MAT2 B2 S16.indd 212 6/3/07 12:01:07 AM

  • 213

    IIMATEMTICASa) Completen las siguientes tablas para encontrar las distintas cantidades de pintura

    naranja (mezcla) y amarilla y las concentraciones correspondientes.

    Cantidad de mezcla (en litros)

    Cantidad de pintura amarilla en la mezcla

    (en litros)

    Concentracin de pintura amarilla

    en la pintura naranja

    10 6 6 10

    18

    5

    25

    11

    Comparen sus tablas y comenten:

    b) Sern del mismo tono las mezclas de pintura naranja obtenidas en la tabla anterior?,

    cmo pueden verificarlo?

    c) Cuntos litros de pintura roja necesitan para preparar 25 litros de pintura naranja

    del mismo tono?

    d) Si se usan 15 litros de pintura amarilla, cuntos litros de pintura roja se deben mez-

    clar para obtener pintura naranja del mismo tono?

    iii. Completen la siguiente tabla para encontrar qu cantidad de pintura roja deben lle-var los 23 litros de pintura naranja.

    Cantidad de mezcla (pintura naranja)

    (en litros)

    Cantidad de pintura roja en la mezcla

    (en litros)

    Concentracin de pintura roja

    en la pintura naranja

    10 4 4 10

    1

    23

    a) Cul es la concentracin de pintura roja en la pintura naranja?

    b) Verifiquen sus resultados dados en el apartado Consideremos lo siguiente.

    Comparen sus tablas y comenten:

    a) Si en un recipiente se ponen 2 litros de pintura roja, qu cantidad de pintura amarilla se debe usar para que la pintura naranja tenga el tono elegido?

    MAT2 B2 S16.indd 213 6/3/07 12:01:08 AM

  • 214

    secuencia 16

    A lo que llegamosEn esta situacin, la cantidad de pintura naranja est en proporcin directa tanto con la cantidad de pintura roja como con la cantidad de pintura amarilla.

    Entonces, los cocientes de las cantidades de pintura amarilla entre las de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concentracin de la pintura amarilla en la pintura naranja: 610 , o sea que, en 10 litros de pintura naranja, 6 son de pintura amarilla.Anlogamente, los cocientes de la cantidad de pintura roja entre la de pintura naranja son iguales. Cada uno de estos cocientes es la concen-tracin de pintura roja en la pintura naranja: 410

    , o sea que, en 10 litros de pintura naranja, 4 son de pintura roja.

    iV. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura naranja: naranja ocre y naranja sol.

    Pintura amarilla

    (en litros)

    Pintura roja

    (en litros)

    Pintura naranja ocre

    (en litros)

    Pintura amarilla

    (en litros)

    Pintura roja

    (en litros)

    Pintura naranja sol (en litros)

    7 13 20 18 27 45

    a) Cul es la concentracin de pintura roja en la pintura naranja ocre? (exprsalo como fraccin y como decimal)

    Fraccin Decimal

    b) Cul es la concentracin de pintura roja en la pintura naranja sol? (exprsalo como fraccin y como decimal)

    Fraccin Decimal

    c) Cul de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentracin de rojo?

    d) Cul de los dos tonos de naranja tiene una mayor concentracin de amarillo?

    MAT2 B2 S16.indd 214 6/3/07 12:01:09 AM

  • 215

    IIMATEMTICASA lo que llegamosPara comparar las concentraciones de un color se pueden comparar los cocientes entre las cantidades correspondientes. Por ejemplo: la concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja ocre es menor que la concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja sol:

    Concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja ocre: 720 = 0.35

    Concentracin de pintura amarilla en la pintura naranja sol: 1845 = 0.4

    Comparacin de cocientes

    La comparacin de cocientes te puede ayudar para resolver diferentes tipos de proble-mas. Las siguientes situaciones son un ejemplo de esto.

    Lo que aprendimosResuelve los siguientes problemas:

    1. Al mezclar distintas cantidades de pintura amarilla y azul se forman diferentes tonos de color verde. Las siguientes tablas muestran las cantidades de pintura que hay que mezclar para hacer dos tonos distintos de pintura verde.

    Pintura amarilla

    (en litros)

    Pintura azul

    (en litros)

    Pintura verde botella

    (en litros)

    Pintura amarilla

    (en litros)

    Pintura azul

    (en litros)

    Verde agua

    (en litros)

    7 3 10 18 12 30

    a) Cul de los dos tonos de verde tiene mayor concentracin de color azul?

    b) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura verde botella?

    c) Cul es la concentracin de pintura azul en la pintura verde agua?

    2. En una escuela secundaria, 3 de cada 4 alumnos de primer grado hablan un idioma distinto al espaol; 4 de cada 5 en segundo y 5 de cada 6 en tercero.

    En cul de los tres grados la proporcin de hablantes de un idioma distinto al espa-

    ol es mayor?

    Para saber ms: Sobre el tipo de cambio entre monedas de distintos pases consulta: http://www.euroinvestor.es/currency/[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    MAT2 B2 S16.indd 215 6/3/07 12:01:11 AM

  • 216

    Medidas de tendencia central

    secuencia 17

    En esta secuencia aprenders a calcular algunas de las medidas de tendencia central cuando un conjunto de datos est agrupado en intervalos.

    EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 1Para empezar Cuando se realiza un estudio de una situacin o fenmeno se obtiene una cantidad de datos (grande o pequea) que puede organizarse y presentarse de distintas maneras, en una tabla de frecuencias o en una grfica (de barras, circular o en un polgono de fre-cuencias); esto depender del tipo de datos que se ha obtenido y de los resultados que se quieren destacar.

    Otra manera de presentar los datos es a partir de sus medidas de tendencia central, las cuales proporcionan valores de la media, la mediana y la moda, que permiten resumir y comparar la tendencia de un conjunto o de varios conjuntos de datos para establecer conclusiones.

    Consideremos lo siguienteUn grupo de veinte alumnos contestaron un examen de matemti-cas con 100 preguntas. Del total de alumnos, el 10% contest co-rrectamente entre 1 y 25 preguntas de la prueba; el 30%, entre 26 y 50 preguntas; el 50%, entre 51 y 75, y el resto entre 76 y 100.

    Se considera que el grupo tuvo un buen desempeo en el examen si su promedio es mayor o igual a 63 aciertos.

    Fue bueno el desempeo del grupo? Por qu?

    Con ayuda de su maestro, comparen el procedimiento que utilizaron para responder la pregunta anterior con los que utilizaron otros compaeros. Comenten:

    Cul de los siguientes valores es ms conveniente utilizar para determinar si el desem-peo que tuvo el grupo fue bueno de acuerdo con lo sealado al principio?

    El intervalo de aciertos en el que hay un mayor porcentaje de alumnos.

    La media aritmtica de las cantidades obtenidas por los veinte alumnos.

    sEsIN 1

    Recuerden que:

    Las medidas de tendencia central son

    valores numricos que tienden a

    localizar, en algn sentido, la parte

    central de un conjunto de datos. A

    menudo el trmino promedio se

    asocia a estas mediciones. Cada una

    de las diferentes medidas de tenden-

    cia central puede recibir el nombre de

    valor promedio.

    MAT2 B2 S17.indd 216 6/3/07 12:02:53 AM

  • IIMATEMTICAS

    217

    Manos a la obra i. Completen la siguiente tabla.

    Resultados obtenidos por el grupo A en el examen de matemticas

    Aciertos (intervalo)

    Porcentaje de alumnos

    Nmero de alumnos (frecuencia)

    1-25 10%

    30%

    50%

    Totales 20

    a) Cul es el intervalo de aciertos en el que hay ms alumnos?

    b) Cuntos alumnos tuvieron entre 1 y 50 aciertos en el examen?

    c) Con la informacin que tienen, pueden decir cuntos alumnos respondieron co-

    rrectamente a 63 preguntas? Y cuntos respondieron

    correctamente a ms de 63 preguntas? Por qu?

    Recuerden que: Cuando un conjunto de datos est organizado en intervalos iguales, cada intervalo tiene un lmite inferior y uno superior. El tamao de un intervalo es igual a la diferencia entre dos sucesi-vos lmites inferiores o superiores.

    Cada intervalo puede ser identificado y representado por su lmite inferior y superior, pero tambin podemos utilizar el punto medio del intervalo, que se obtiene con slo sumar los lmites inferior y superior del intervalo y dividir esta suma entre 2. Por ejemplo, el punto medio del primer intervalo es: (1 + 25)

    2 = 26

    2 = 13.Ese valor permite efectuar operaciones aritmticas con intervalos.

    MAT2 B2 S17.indd 217 6/3/07 12:02:54 AM

  • 218

    secuencia 17ii. Completen la siguiente tabla y, luego contesten las preguntas de los incisos.

    Aciertos Nmero de alumnos

    (frecuencia)

    Aciertos nmero de alumnos (punto medio frecuencia)

    Intervalo Punto medio del intervalo

    1-25 13 2 13 2 = 26

    26-50

    51-75

    76-100

    Total 20

    En el intervalo 1-25 su punto medio es 13 y su frecuecia 2, lo que podemos interpretar de las dos siguientes maneras:

    En el examen de matemticas hubo dos alumnos que obtuvieron entre 1 y 25 aciertos.

    En el examen de matemticas hubo dos alumnos que obtuvieron 13 aciertos.

    a) Cul es el intervalo que tiene el mayor nmero de alumnos (mayor frecuencia)?

    Cuntos alumnos obtuvieron ese intervalo de aciertos?

    Cul es el punto medio de intervalo en el que se tiene el mayor nmero de alumnos

    (frecuencia)?

    b) Escriban, en su cuaderno, cmo interpretaran estos datos.

    c) Cuntos alumnos son en total (frecuencia total)?

    d) Cul es la suma de los aciertos de todos los alumnos?

    e) Cul es la media aritmtica del nmero de aciertos que obtuvo el grupo?

    Consideran que el grupo tuvo un buen desempeo en el examen de matemticas?

    Por qu?

    A lo que llegamosCuando un conjunto de datos est organizado en intervalos de igual tamao, al que tiene mayor frecuencia se le llama intervalo modal y su punto medio se puede considerar que es el valor de la moda.

    MAT2 B2 S17.indd 218 6/3/07 12:02:56 AM

  • 219

    IIMATEMTICAS

    iii. Completen los siguientes prrafos, que corresponden a dos formas diferentes de re-portar los resultados obtenidos por el grupo. Utilicen los valores de la moda, interva-lo modal y media aritmtica que calcularon en la actividad anterior, segn se seala en cada inciso.

    a) Utilicen el valor de la media aritmtica.

    b) Otra forma de dar a conocer el desempeo de los alumnos es a partir del nmero de aciertos en que hubo mayor frecuencia, es decir, el intervalo modal o la moda.

    Una vez que se tiene el punto medio de cada intervalo se puede obtener la media aritmtica de todo el conjunto de datos agrupados. Para ello, primero se multiplica el punto medio de cada intervalo por su frecuencia, luego se suman los productos y el total se divide entre el nmero de datos. Por ejemplo:

    Intervalo Punto medio Frecuencia Producto (punto medio frecuencia)

    0-6 3 50 150

    7-13 10 100 1000

    14-20 17 50 850

    Total 200 2000

    Media aritmtica= 2000200 =10

    El desempeo del grupo en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia. mayor/igual/menor

    El desempeo del grupo en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el nmero de aciertos con mayor frecuencia fue de , (moda)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia, mayor/igual/menor

    ya que alumnos obtuvieron de a aciertos. (intervalo modal)

    MAT2 B2 S17.indd 219 6/3/07 12:02:59 AM

  • 220

    secuencia 17Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    c) Cul de los dos valores, media aritmtica o moda, consideras que es correcto

    utilizar para presentar los resultados de este grupo?

    Marquen con una la afirmacin que consideren que justifica su respuesta anterior.

    El primer resultado, porque el valor de la media aritmtica de datos agrupados toma en cuenta el nmero de aciertos que obtuvieron los veinte alumnos.

    El segundo resultado, porque para obtener el valor de la moda de datos agru-pados se toma en cuenta entre qu nmero de aciertos se concentra el mayor nmero de alumnos.

    Los dos resultados, porque tanto la media aritmtica como la moda o el inter-valo modal son medidas de tendencia central y, en este caso, se pueden calcu-lar para determinar el desempeo del grupo.

    EL PROMEDIO DEL GRUPO EN EL EXAMEN 2Para empezar En la sesin anterior calculaste la media aritmtica del nmero de aciertos que obtuvie-ron los veinte alumnos del grupo A, al presentar un examen de matemticas. Tambin determinaron el intervalo de aciertos que con mayor frecuencia obtienen los alumnos. En esta sesin utilizars esos valores para compararlos con los valores de la media y moda de datos sin agrupar.

    Consideremos lo siguienteCompleten el siguiente cuadro con los valores de las medidas de tendencia central obte-nidos en la sesin anterior.

    Intervalo modal del nmero de aciertos

    Punto medio del intervalo modal

    Media aritmtica del nmero de aciertos

    El grupo est inconforme con estos valores que se obtuvieron al agrupar los datos. Su-gieren que es mejor tomar los datos sin agrupar para determinar su desempeo en el examen de matemticas.

    sEsIN 2

    MAT2 B2 S17.indd 220 6/3/07 12:02:59 AM

  • 221

    IIMATEMTICASEn la siguiente tabla se ha incluido el nmero de aciertos que cada uno de los veinte alumnos obtuvo en ese examen.

    Nmero de aciertos en el examen de matemticas por alumno del grupo A

    Intervalo Datos sin agrupar

    1-25 11, 24

    26-50 26, 30, 32, 32, 44, 48

    51-75 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73

    76-100 80, 97

    Qu tan diferentes son los valores de la media de los datos sin agrupar con respecto de

    los agrupados? Ser significativa esa diferencia como para

    rechazar los valores obtenidos al agrupar los datos?

    Qu sucede con los valores de la moda obtenidos de estas dos maneras? Son iguales o

    son diferentes?

    Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    Si se dijo que un grupo tiene un buen desempeo cuando el promedio es mayor o igual

    a 63 aciertos, cmo fue el desempeo del grupo de acuerdo con el valor de la media

    aritmtica de datos sin agrupar?

    Manos a la obrai. Consideren la tabla con el nmero de aciertos de cada uno de los veinte alumnos para

    responder las siguientes preguntas.

    a) Cul es el nmero de aciertos que ms alumnos obtuvieron?

    b) Compara este nmero con el punto medio del intervalo modal, son iguales o di-

    ferentes? Ese nmero est dentro

    del intervalo modal?

    Recuerden que:

    La moda de un

    conjunto de datos

    sin agrupar es el

    dato que tiene

    mayor frecuencia.

    MAT2 B2 S17.indd 221 6/3/07 12:02:59 AM

  • 222

    secuencia 17c) Cuntos alumnos respondieron correctamente al menos 63 preguntas?

    d) En este conjunto de datos sin agrupar, cul es el valor de la media aritmtica?

    Este valor es diferente al valor de la media aritmtica

    de datos agrupados?

    e) Completen el siguiente prrafo. Utilicen el valor de la media aritmtica de datos sin agrupar.

    Ahora, consideren que otro grupo, tambin de veinte alumnos, obtuvieron el siguiente nmero de aciertos:

    Nmero de aciertos en el examen por alumno del grupo B (datos sin agrupar)

    15, 20 , 28, 32, 32, 32, 47, 52, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72,72,75,75, 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75, 90, 100

    Al agrupar los datos en el mismo nmero de intervalos del grupo A, los porcentajes de alumnos coinciden.

    Aciertos (intervalos)

    Porcentaje de alumnos

    Nmero de aciertos en el examen por alumno del grupo B

    (datos sin agrupar)

    1-25 10 % 15, 20

    26-50 30 % 28, 32, 32, 32, 47, 52

    51-75 50 % 60, 60, 65, 65, 70, 70, 72, 72, 75, 75

    76-100 10 % 90,100

    f) Cul de los dos grupos, el A o el B, tuvo un mejor desempeo en el examen de ma-

    temticas?

    El desempeo del grupo A en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia. mayor/igual/menor

    MAT2 B2 S17.indd 222 6/3/07 12:03:00 AM

  • 223

    IIMATEMTICASii. Utilicen la informacin que aparece en la tabla anterior para contestar las siguientes

    preguntas.

    a) En el conjunto de datos sin agrupar, cul es el valor de la moda?

    b) Si se consideran los datos agrupados, cul es el intervalo modal?

    y cul es el punto medio de ese intervalo?

    c) Compara el valor de la moda de los datos sin agrupar con el punto medio del in-

    tervalo modal, son iguales o diferentes?

    d) El valor de la moda de los datos sin agrupar est dentro del intervalo modal?

    e) Cul es el valor de la media aritmtica sin agrupar los datos?

    f) Completen el siguiente prrafo. Utilicen el valor de la media aritmtica de los datos del grupo B.

    g) Si consideran los datos agrupados, cul es el valor de la media aritmtica?

    h) Comparen los valores de la media aritmtica de los datos agrupados y sin agrupar.

    Son iguales o diferentes? Si son diferentes, es significativa

    esta diferencia?

    i) Si comparan los valores de las medias aritmticas de los datos sin agrupar de los

    dos grupos, A y B, cul de los dos grupos tiene mejor promedio?

    Alguno de los dos grupos logr tener un buen desempeo? (recuerden que un

    grupo tiene un buen desempeo si su promedio de aciertos es igual o mayor a 63).

    j) Comparen los valores de la media aritmtica de datos agrupados de los dos grupos.

    Son iguales o diferentes? Si son diferentes, qu

    grupo tuvo mejor desempeo?

    El desempeo del grupo B en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia. mayor/igual/menor

    MAT2 B2 S17.indd 223 6/3/07 12:03:00 AM

  • 224

    secuencia 17Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    a) Completen el siguiente prrafo a manera de conclusin, utilizando el valor de la me-dia aritmtica de datos agrupados de ambos grupos.

    A lo que llegamosCuando un conjunto de datos est organizado en intervalos, estos intervalos estn formados por varios datos individuales, y la frecuen-cia del intervalo se obtiene contando el nmero de datos individuales que hay en el intervalo. Por esta razn el valor de la moda de datos sin agrupar no necesariamente est incluido en el intervalo modal.

    Por ejemplo:

    Intervalo Punto medio FrecuenciaGrupo A

    (datos sin agrupar)Grupo B

    (datos sin agrupar)

    60-62 61 3 60, 60, 62 60, 60, 60

    63-65 64 4 63, 64, 65, 65 63, 64, 64, 65

    66-68 67 5 66, 66, 67, 67, 68 67, 67, 67, 68, 68,

    69-71 70 3 71, 71, 71 69, 69, 70

    El valor de la moda de datos sin agrupar del grupo A es 71 y el del grupo B es 67.El intervalo modal para ambos grupos es 66-68 y el punto medio del intervalo modal es 67.Observen que el valor de la moda (71) del grupo A no est incluido en el intervalo modal (66-68), mientras que el valor de la moda del grupo B, adems de estar incluido, es el mismo valor del punto medio del intervalo modal.

    El desempeo de los grupos A y B en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que el promedio de aciertos que obtuvieron los alumnos fue de , (media aritmtica)

    que es al promedio de 63 aciertos que se seala como referencia. mayor/igual/menor

    MAT2 B2 S17.indd 224 6/3/07 12:03:05 AM

  • 225

    IIMATEMTICASLa media aritmtica de un conjunto de datos agrupados es un valor que puede ser igual, menor o mayor al valor de la media aritmtica de los datos sin agrupar, debido a que en su clculo se utiliza el punto medio de cada intervalo.

    Por otra parte, el valor de la media aritmtica de datos agrupados es representante de cualquier conjunto de datos que tenga los mismos intervalos y las mismas frecuencias en cada intervalo.

    Por ejemplo: considerando los datos de la tabla anterior, tenemos los siguientes valores.

    Media de datos agrupados = 984 15 = 65.6

    Media de datos del grupo A sin agrupar = 986 15 = 65.7

    Media de datos del grupo B sin agrupar = 980 15 = 65.33

    Lo que aprendimos1. Ahora utiliza los siguientes datos sin agrupar y completa la tabla en la que se ha cam-

    biado el tamao de los intervalos de 25 a 20.

    Nmero de aciertos en el examen por alumno del grupo A (datos sin agrupar)

    11, 24, 26, 30, 32, 32, 44, 48, 53, 55, 55, 55, 60, 66, 68, 68, 70, 73, 80, 97

    Aciertos Nmero de alumnosAciertos x nmero de alumnos

    (punto medio frecuencia)Intervalo Punto medio del intervalo Frecuencia Porcentaje

    1-20

    21-40

    41-60

    61-80

    81-100

    Total 20 100%

    MAT2 B2 S17.indd 225 6/3/07 12:03:09 AM

  • 226

    a) Al cambiar el tamao de los intervalos, cul es el valor de la media aritmtica del

    nmero de aciertos obtenidos por los alumnos?

    b) Cul es la diferencia entre la media aritmtica de los datos sin agrupar y la media

    aritmtica de los datos agrupados en intervalos de tamao 20?

    c) Completa el siguiente cuadro:

    Media aritmtica del nmero de aciertos sin

    agrupar

    Media aritmtica del nmero de aciertos

    agrupados en intervalos de tamao 25

    Media aritmtica del nmero de aciertos

    agrupados en intervalos de tamao 20

    d) Cul de los valores de las medias aritmticas de datos agrupados consideras que

    representa mejor la situacin? Por qu?

    2. Comenten con sus compaeros y con el profesor cul podra ser el valor de la media aritmtica de sus calificaciones obtenidas en el examen de matemticas en el primer bimestre, para considerar que tuvieron un buen desempeo. Anoten en el siguiente recuadro el valor que acordaron sera el referente para determinar el desempeo del grupo.

    a) Renan las calificaciones que obtuvieron todos los alumnos de su grupo en el exa-men del primer bimestre de matemticas y antenlas en el siguiente recuadro.

    Recuerda que:

    La media aritmtica

    es una medida que se

    afecta fcilmente

    por la presencia de

    valores extremos

    debido a que, para

    realizar su clculo,

    se consideran todos

    los valores.

    MAT2 B2 S17.indd 226 6/3/07 12:03:10 AM

  • 227

    IIMATEMTICASb) Calculen y anoten el valor de la media que obtuvieron. Usen una calculadora para

    realizar las operaciones.

    Resumen de las calificaciones de matemticas obtenidas por el

    grupo correspondientes al examen del primer bimestre.

    Media aritmtica

    Moda

    c) Completen la siguiente tabla con las frecuencias y puntos medios que correspon-den a sus calificaciones agrupadas en intervalos. Usen una calculadora para reali-zar las operaciones.

    Calificaciones Nmero de alumnos (frecuencia)

    Calificacin representativa (punto medio)

    Calif. representativa nmero de alumnos Punto medio frecuencia

    0-2.0

    2.1-4.0

    4.1-6.0

    6.1-8.0

    8.1-10.0

    d) Si un compaero dice que obtuvo 6.0 de calificacin, en qu intervalo lo anota-

    ran?

    e) Si en el intervalo 0-2.0 hubo tres alumnos con 1.5, dos alumnos con 1.0 y dos

    alumnos con 0, la frecuencia que se deber anotar es, 5 o 7?

    Por qu?

    f) Si en el intervalo de 4.1 a 6.0 se consideran las calificaciones de 4.1 a 6,

    cul es el punto medio de ese intervalo?

    Qu significado tiene ese valor?

    g) Completen el siguiente cuadro.

    Media aritmtica de las calificaciones sin agrupar

    Media aritmtica de las calificaciones agrupadas Diferencia

    MAT2 B2 S17.indd 227 6/3/07 12:03:10 AM

  • 228

    secuencia 17h) Qu calificacin obtuviste en el examen de matemticas del primer bimestre?

    Cul es la diferencia que hay entre tu calificacin y la media aritmtica

    de las calificaciones del examen sin agrupar? Y cul es la diferencia

    con respecto a la media aritmtica de las calificaciones agrupadas?

    i) Otro aspecto que se puede analizar en esta situacin es la moda. Completen el siguiente cuadro.

    Moda de las calificaciones sin agrupar

    Intervalo modal de las calificaciones

    Punto medio del intervalo modal

    Comenten con sus compaeros y con el profesor los resultados que obtuvieron al reco-pilar, organizar y analizar sus calificaciones.

    a) Completen el siguiente prrafo. Debern utilizar el valor referente de la media arit-mtica de sus calificaciones que acordaron al principio de esta actividad y los valores que obtuvieron en esta actividad.

    LAs CALORAs QUE CONsUMEN LOs JVENEsPara empezarEstadsticas, alimentos y otras situaciones

    En la secuencia 11 cmo usa mi cuerpo lo que como? de su libro cien-cias i Volumen i estudiaste las caractersticas de una alimentacin sufi-ciente, variada, equilibrada e higinica.

    sEsIN 3

    El desempeo de nuestro grupo en el examen de matemticas fue excelente/bueno/regular/insuficiente

    debido a que la calificacin promedio que obtuvimos fue de , (media aritmtica)

    que es a la calificacin promedio de que sealamos como mayor/igual/menor

    referente. Podemos decir que el % de los alumnos obtuvieron (frecuencia mayor en forma de %) (punto medio del intervalo modal)

    de calificacin, por lo que es la calificacin que ms alumnos obtuvieron.

    conexin con ciencias isecuencia 11: cmo usa mi cuerpo lo que como?

    MAT2 B2 S17.indd 228 6/3/07 12:03:11 AM

  • 229

    IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteEn una escuela se organiz una campaa de nutricin. La nutriloga responsable de la campaa realiz un estudio de los patrones alimenticios de 100 adolescentes de 13 aos de edad (50 varones y 50 mujeres). Los resultados que encontr sobre uno de los aspec-tos del estudio se muestran en la siguiente grfica.

    a) Quines consumen mayor nmero de caloras diariamente, las mujeres o los varo-

    nes?

    b) Cul es la media aritmtica de caloras que consumen diariamente las mujeres?

    Y de los varones? Y de todos?

    c) Cul fue el nmero de caloras consumidas con mayor frecuencia por las mujeres?

    Y cul fue el de los varones?

    Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    a) Si comparamos el nmero de caloras promedio y el nmero de caloras que ms mu-

    jeres consumen, estas cantidades se encuentran en el mismo intervalo?

    Sucede lo mismo en el caso de los varones?

    VaronesMujeres

    nmero de caloras consumidas diariamente por adolescentes de 13 aos.

    nm

    ero

    de a

    dole

    scen

    tes

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    0 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 a a a a a a a a a 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 5 500

    nmero de caloras

    MAT2 B2 S17.indd 229 6/3/07 12:03:11 AM

  • 230

    secuencia 17

    Manos a la obrai. Observen el polgono de frecuencias y contesten las siguientes preguntas.

    a) Cuntos varones consumen entre 3 500 y 4 000 caloras al da?

    Y cuntas mujeres consumen entre 2 500 y 3 000 caloras diarias?

    b) En el caso del polgono de frecuencias que muestra los resultados de los varones,

    cul es el valor del punto medio del intervalo con mayor frecuencia?

    Y en el caso del de las mujeres, cul es el valor del punto medio del intervalo con

    mayor frecuencia?

    c) Cules son los puntos medios de los dems intervalos? Antenlos al lado de la

    frecuencia que seala cada punto en la grfica.

    Como ven, otra forma de construir la grfica es a partir de los puntos medios de cada intervalo y sus frecuencias. Con esa misma informa-cin es posible construir la tabla de frecuencias y calcular la media aritmtica de estos datos.

    VaronesMujeres

    nmero de caloras consumidas diariamente por adolescentes de 13 aos.

    nm

    ero

    de a

    dole

    scen

    tes

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    0

    nmero de caloras

    MAT2 B2 S17.indd 230 6/3/07 12:03:12 AM

  • 231

    IIMATEMTICASii. Completen la siguiente tabla tomando como base los datos de la grfica anterior.

    Utilicen una calculadora.

    Nmero de caloras Varones Mujeres

    Intervalo Punto medio del intervalo Frecuencia (punto medio frecuencia) Frecuencia (punto medio frecuencia)

    1000-1500 1250 1 (1250 1) = 1250 1 (1250 2) = 2500

    Total 50 50

    a) Cul es el nmero de caloras diarias que consumen con mayor frecuencia las

    mujeres? Y cul es el de los varones?

    b) Cul es la media aritmtica de las caloras que consumen los varones?

    Y la de las mujeres?

    c) Cmo obtendran la media aritmtica de los 100 adolescentes?

    iii. Completen la siguiente tabla.

    Nmero de caloras Adolescentes

    Intervalo Punto medio del intervalo

    Frecuencia(punto medio frecuencia)

    Varones Mujeres Total

    1000-1500 1250 1 2 1 + 2 = 3 1250 3 =

    1500-2000 1750 2 2

    2000-2500 2250 5 8

    Total 100

    MAT2 B2 S17.indd 231 6/3/07 12:03:13 AM

  • 232

    secuencia 17a) Cul es el intervalo modal de las caloras consumidas diariamente por los adoles-

    centes de 13 aos, segn los resultados del estudio? Cul es el pun-

    to medio de ese intervalo?

    b) Comparen este intervalo y el valor de su punto medio con los obtenidos en el caso

    de las mujeres, son iguales?

    c) Cul es la media aritmtica de las caloras que consumen los adolescentes de

    13 aos, segn los resultados del estudio?

    d) Completen la siguiente expresin:

    x =

    media aritmtica del nmero de caloras que

    consumen las mujeres

    media aritmtica del nmero de caloras que consumen los varones

    +( )2

    =

    x = ( + )

    2 =

    e) Comparen este valor con el de la media aritmtica del nmero de caloras que

    consumen los varones, son iguales?

    f) Cul de las siguientes expresiones representa el procedimiento que utilizaste en

    el inciso b) para obtener el valor de la media aritmtica del nmero de caloras que

    consumen los 100 adolescentes?

    1. x = x 1 + x 2

    2. x = (x 1) (x 2)

    3. x = (x 1 + x 22 )

    A lo que llegamosPara obtener el valor de la media aritmtica del nmero de caloras que consumen los 100 adolescentes de trece aos que participaron en el estudio, y dado que se tienen las frecuencias y medias aritmticas del nmero de caloras que consumen varones y muje-res, se pueden realizar los siguientes procedimientos:

    MAT2 B2 S17.indd 232 6/3/07 12:03:15 AM

  • 233

    IIMATEMTICASProcedimiento 1

    1. Sumar las frecuencias de varones y mujeres en cada intervalo para obtener la frecuencia total.

    2. Calcular, para cada intervalo, el produc-to del punto medio y la frecuencia.

    3. Obtener el cociente de la suma de los productos entre la frecuencia total.

    a) En qu intervalo se encuentra el segmento que trazaste?

    b) Si consideras el nmero de varones que hay en cada intervalo y el segmento que

    trazaste, en qu parte de la grfica hay ms varones, antes del segmento o des-

    pus de l?

    c) Cul es el intervalo modal?

    iV. El siguiente polgono de frecuencias presenta el nmero de caloras que consumen los varones. Ubica en el eje horizontal el punto que corresponde al valor de la media aritmtica y a partir de l traza una lnea, de color rojo, perpendicular al eje.

    Procedimiento 2

    1. Sumar los valores de las medias aritmti-cas (la del nmero de caloras que consu-men los varones y la de las mujeres).

    2. Obtener el cociente de la suma de las medias entre 2.

    nmero de caloras consumidas diariamente por varones de 13 aos.

    nm

    ero

    de a

    dole

    scen

    tes

    22

    20

    18

    16

    14

    12

    10

    8

    6

    4

    2

    0 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 a a a a a a a a a 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 5 500

    nmero de caloras

    MAT2 B2 S17.indd 233 6/3/07 12:03:17 AM

  • 234

    secuencia 17 Ubica el punto medio del intervalo modal y traza un segmento, de color azul, perpen-

    dicular al eje horizontal que pase por l.

    d) En ese mismo intervalo se encuentra la media aritmtica?

    e) De izquierda a derecha, qu punto se encuentra primero, la media aritmtica o el

    punto medio del intervalo modal?

    V. Utilicen los resultados obtenidos en la sesin y seleccionen las respuestas correctas para completar el siguiente prrafo.

    Lo que aprendimos1. Investiguen en la secuencia 11 cmo usa mi cuerpo lo que como? de

    su libro ciencias i Volumen i, qu, cmo y cuntas caloras deben con-sumir diariamente para mantenerse sanos, as como los riesgos que se tienen por no consumir las caloras adecuadas.

    a) De acuerdo con esa informacin, cmo describiran a estos dos grupos de adolescentes, los varones y las mujeres? Qu grupo de adolescentes presenta mayores problemas de salud, los varones o las mujeres?

    b) Si estuvieran a cargo de una campaa de nutricin en su escuela, qu acciones realizaran para recopilar informacin sobre su situacin nutricional?, qu tipo de grficas, tablas y medidas de tendencia central utilizaran para comunicar sus re-sultados a su comunidad escolar? Comenten y comparen sus respuestas con sus compaeros y su profesor.

    De acuerdo con los resultados del estudio que se realiz para conocer los patrones

    alimenticios de 100 adolescentes de 13 aos de edad, se encontr que la media

    aritmtica del nmero de caloras que consumen es de , 3 100 / 3 320 / 2 880

    mientras que, si los separamos por sexo, la media aritmtica del consumo de caloras

    en los varones es que la de las mujeres, la diferencia entre mayor / igual / menor

    ellas es de caloras. 440 / 220

    En los varones, la mayor frecuencia en el consumo de caloras diarias se encuentra

    entre , y en el caso de las mujeres la mayor frecuencia 3 500 a 4 000 / 2 500 a 3 000

    est en el intervalo . 3 500 a 4 000 / 2 500 a 3 000

    conexin con ciencias isecuencia 11: cmo usa mi cuerpo lo que como?

    MAT2 B2 S17.indd 234 6/3/07 12:03:18 AM

  • 235

    IIMATEMTICAS2. En la tabla de datos agrupados de la derecha se presentan los

    salarios mensuales de 70 empleados de una compaa.

    a) Si el punto medio del primer intervalo de salarios es 2 500,

    cul es el lmite inferior de ese intervalo?

    Y cul es el lmite superior?

    Cul es el tamao de cada intervalo?

    b) Cul es el salario promedio mensual (media aritmtica de

    datos agrupados) de los 70 empleados?

    c) Cul es el salario que perciben el mayor nmero de em-

    pleados de esa compaa?

    d) Si se quiere utilizar una cantidad que represente mejor los

    salarios que se tiene en esta compaa, cul es el ms

    conveniente utilizar, la media aritmtica o el intervalo

    modal? . Justifiquen su res-

    puesta y elaboren un prrafo a modo de reporte.

    Punto medio del intervalo Frecuencia

    2 500 14

    7 500 12

    12 500 12

    17 500 10

    22 500 8

    27 500 6

    32 500 5

    37 500 3

    Comparen y comenten sus respuestas con las de sus compaeros.

    Para saber msSobre cmo utilizar e interpretar resultados estadsticos en una determinada situa-cin consulten: http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp Ruta 1: Recursos educativos Casos de negocios Fbrica de artculos de plsticoRuta 2: Recursos educativos Casos de negocios Restaurante tpico[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

    Sobre otros aspectos en los que se calculan y utilizan promedios consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx Ruta 1: Poblacin EducacinRuta 2: Poblacin Esperanza de vida[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

    MAT2 B2 S17.indd 235 6/3/07 12:03:18 AM

  • 236

    Instituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informtica. 23 agosto 2003.

    SEP (2000), Fichero. Actividades didcticas. Matemticas. Educa-cin Secundaria, Mxico.

    - (2000), Libro para el maestro. Matemticas. Educacin Secun-daria, Mxico.

    SEP-ILCE (2000), Matemticas con la hoja electrnica de clculo, Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educa-cin Secundaria, Mxico.

    - (2000), Geometra dinmica, Enseanza de las Matemticas con Tecnologa (Emat). Educacin Secundaria, Mxico.

    - (2002), Biologa, Enseanza de las Ciencias a travs de Modelos Matemticos (Ecamm). Educacin Secundaria, Mxico.

    Revisores acadmicos externosDavid Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseo Aguirre, Carolyn Kieran

    Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano PinedaEmilio Domnguez BravoDeyanira Monroy Zarin

    Fotografa en telesecundariasTelesecundaria Centro Histrico. Distrito Federal.Telesecundaria Sor Juana Ins de la Cruz. Estado de Mxico.

    Bibliografa

    MAT2 B2 S17.indd 236 6/11/07 6:46:56 PM

  • IIMATEMTICAS

    237

    Quin es el INEA?

    Quines somos?1PresentacinEl Instituto Nacional para la Educacin de los Adultos (INEA), es un organismo descen-tralizado de la Administracin Pblica Federal, con personalidad jurdica y patrimonio propio, creado por Decreto Presidencial publicado en el Diario Oficial de la Federacin el 31 de agosto de 1981.

    En cumplimiento de sus atribuciones, el INEA propone y desarrolla modelos educativos, realiza investigaciones sobre la materia, elabora y distribuye materiales didcticos, aplica sistemas para la evaluacin del aprendizaje de los adultos, as como acredita y certifica la educacin bsica para adultos y jvenes de quince aos y ms que no hayan cursado o concluido dichos estudios en los trminos del artculo 43 de la Ley General de Educacin.

    Por acuerdo de la H. Junta Directiva del INEA y de conformidad con lo sealado en el Plan Nacional de Desarrollo 2001-2006, concerniente a las relaciones entre los Poderes de la Unin y un autntico federalismo se suscribieron convenios de coordinacin con la mayora de los gobiernos estatales para la descentralizacin de los servicios de educacin para adultos, por lo que el INEA se asume como un organismo tcnico, normativo y rec-tor de la educacin para adultos que acredita la educacin bsica proporcionada por los Institutos Estatales de Educacin para Adultos (IEEA), y es promotor de este beneficio entre los diferentes sectores sociales.

    A su vez, el INEA contina proporcionando a travs de algunas delegaciones los servicios de educacin bsica: alfabetizacin, primaria, secundaria y educacin para la vida y el trabajo, en los estados en los que an no se concluye el proceso de descentralizacin.

    Proyectos2Principales programasAlgunos de los programas con los que cuenta el INEA se describen a continuacin:

    1. El Programa Cero Rezago Educativo es un conjunto de estrategias de reciente crea-cin, independiente respecto de los programas regulares del INEA, orientadas a au-mentar la incorporacin, permanencia y egreso de jvenes y adultos en rezago. El campo de accin del Programa es el grupo de jvenes y adultos de 15-34 aos, que han concluido la educacin primaria y o que cuentan con algn grado de la educa-cin secundaria.

    1 Quines somos? (Tomado el 26 de marzo de 2007 de http://www.inea.sep.gob.mx/Quines somos?/).

    2 Proyectos (Tomado el 26 de marzo de 2007 de http://www.inea.sep.gob.mx/Proyectos/Cero Rezago/ y de http://www.inea.sep.gob.mx/Proyectos/Oportunidades/).

    anexo1

    MAT2 B2 S17.indd 237 6/11/07 6:46:57 PM

  • 238238

    El carcter innovador del Programa Cero Rezago, que se inscribe en el Modelo de Educacin para la Vida y el Trabajo (MEVyT), consiste especficamente en la decisin de concentrar los esfuerzos en los jvenes y adultos entre 15 y 34 aos de edad que carecen de educacin secundaria, principalmente en los que ya la han iniciado, y en los que estn muy cerca de completar el nivel, ya que estos grupos requieren de un mnimo esfuerzo para concluirla.

    Asimismo, el programa promueve la participacin de la sociedad como tutores para encauzar a los jvenes y adultos a su incorporacin, permanencia y conclusin del nivel de secundaria, con un modelo de apoyo de uno a uno.

    2. Desde la creacin del PROGRESA (Programa de Educacin, Salud y Alimentacin), el INEA ha sealado como inconveniente que se haya dejado de lado la participacin de las personas en rezago educativo en el componente Educacin, argumentando que esto es contrario a las propias orientaciones del Programa Oportunidades, una de las cuales establece que ste se centra en la familia, y de ella forman parte tambin las personas mencionadas. Adems, se ha comprobado que el desarrollo social sin educa-cin para todos los miembros de la comunidad es una utopa.

    En tanto se haca la gestin a nivel central para ampliar oficialmente el componente educativo, en algunos estados se iniciaron acciones locales de coordinacin entre el organismo estatal de educacin para adultos y la oficina estatal de PROGRESA, para que sta promoviera entre las titulares del programa su incorporacin a los crculos de estudio del INEA. Esta gestin tuvo xito en trminos de incorporacin de las seoras, pero debido a que el INEA cuenta con una infraestructura insuficiente para atender el medio rural y padece de escasos recursos financieros, no fue posible sostener una atencin regular de los incorporados. Fue hasta 2002, cuando se crea Oportunidades, que se decide tomar en cuenta la incorporacin de las personas en rezago como be-neficiarias del componente Educacin, crendose as el "Proyecto para la superacin del rezago educativo de los beneficiarios del Programa de Desarrollo Humano Opor-tunidades" (Proyecto Oportunidades), con la participacin de la Secretara de Salud (SSA), el Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS), la Coordinacin Nacional del Programa de Desarrollo Humano Oportunidades (Oportunidades) y el Instituto Nacio-nal para Educacin de los Adultos (INEA). A partir de 2004 el proyecto cambia su nombre por de "Corresponsabilidades en Salud con Apoyo del INEA" y desde 2005 a la fecha se le conoce como "Proyecto Oportunidades - INEA (Esquema voluntario)".

    MAT2 B2 S17.indd 238 6/11/07 6:46:58 PM

  • IIMATEMTICASRecortables

    BloQues algeBraicos

    x x x x x x

    x2 x2 x2 x2 x2 x2

    1 1 1 1 1 1 1 1

    xy

    xy

    xy

    xy

    xy

    y

    y

    y

    y

    y

    y

    y2

    y2

    y2

    y2

    y2

    y2

    anexo2

    MAT2 B2 S17.indd 239 6/11/07 6:46:59 PM

  • MAT2 B2 S17.indd 240 6/11/07 6:46:59 PM

    MAT2 B1 S01 sepMAT2 B1 S02 sepMAT2 B1 S03 sepMAT2 B1 S04 sepMAT2 B1 S05 sepMAT2 B1 S06 sepMAT2 B1 S07 sepMAT2 B1 S08 sepMAT2 B1 S09 sepMAT2 B1 S10 sepMAT2 B2 S11 sepMAT2 B2 S12 sepMAT2 B2 S13 sepMAT2 B2 S14 sepMAT2 B2 S15 sepMAT2 B2 S16 sepMAT2 B2 S17 sep