-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
1/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
1
23.11.2001 god.
1. Da se re{i neravenkata 22
3>
+xx
.
Re{enie: 232332222 >+ xxx
xxx .
Go re{avame mno`esvoto neravenki:
>+
+
+
+
xxxxx
x
x
x
x
x
od kade se dobiva: J2= ( ) ( )3,83,8 =U .Re{enieto na dadenata
neravenka e unija od mno`estvata J1 i J2:
( )
=3
4,33,8J U (slika1).
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2slika1
2. Da se ispita dali ( )2,2,8=ar
, ( )3,3,6=br
i ( )3,3,0=cr
se linearnozavisni vektori i vo potvrden slu~aj da se izrazi
vektorot ar kakolinearna kombinacija od drugite dva vektora.
Re{enie: Za da bidat linearno zavisni dadenite vektori,
nivniotme{an proizvod treba da bide ednakov nula.
Imame: 0
330
336
228
),,( ==cba . )3,3,0()3,3,6()2,2,8( +=+= cba od
kade se dobiva sistemot od tri ravenki so dve nepoznati
=+
=+
=+
233
233
806
od
koi samo dve se nezavisni. Re{enieto na ovoj sistem e 2,3
4== , pa
imame cba 23
4+= .
3. Da se opredeli ravenkata na ramninata {to minuva niz
pravata
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
2/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
2
=++
=++
123
3532
zyx
zyxi e normalna na ramninata 0432 =++ zyx .
Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuvaat nizdadenata
prava e
0)123(3532 =+++++ zyxzyx , 0)2()25()3()32( =++++++ zyx kade e
realen broj. Uslov za normalnost na dadenata i baranataramnina e
nivnite direkcioni vektori da bidat normalni, odnosnonivniot
skalaren proizvod da bide ednakov nula.
Normalniot vektor na dadenata ramnina e )1,3,2(1 =n , a na
snopot
ramnini )25,3,32(2 +++=n .Skalarniot proizvod izedna~en so nula
ja dava ravenkata:
05)25()3(3)32(2)( 21 ==++++=nn od kade se dobiva =0, odnosno
baranata ramnina e 3532 =++ zyx .4. Da se opredeli to~kata Q
koja e simetri~na so to~kata ( )3,1,2P voodnos na ramninata 01635 =
zyx
Re{enie: (slika 2)P
(p) n
Q
slika 2Niz to~kataPpostavuvame prava (p) normalna na dadenata
ramnina
(). Kanoni~nite ravenki na taa prava se:3
3
5
1
1
2
=
= zyx
, kade (1, -5, -
3) e direkcioniot vektor na dadenata prava. Parametarskite
ravenki napravata (p) se: 33,15,2 +=+=+= tztytx . Baranata to~ka Q
}e ja
dobieme od uslovot |'||'| QPPP = , kadeP e prese~nata to~ka na
pravata (p)i ramninata () i se dobiva taka {to parametarskite
ravenki na(p)}e sezamenat vo ravenkata na ramninata ():
016)33(3)15(52 =+++ ttt (1+25+9)t+(2-5-9-16)=0 35 t=28
5
4=t ,
5
3,3,
5
14'P .
P
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
3/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
3
( )
2
2
2
2
2
2
5
333)315(
5
142
|'|35
3132
5
14|'|
+++++
+=
==
++
=
ttt
QPPP
od kade se dobiva:
5
8,00)85(
25
144400165635
25
14440016
5
123)45(
5
4
5
1216
5
4
212
2
2
222
===+++
++=++
++++
=
++
tttttt
ttt
pa baranata to~ka e
5
39,9,
5
2Q .
5. Da se presmetaat granicite 156
18
lim 2
3
2
1 +
xx
x
x i 2
3 2
0
11
lim x
x
x
+
Re{enie:
=
++=
==
=
=+
+
2
1
3
16
)124)(12(lim
2
1,
3
1
,12
24255
01526
0
0
156
18lim
2
2
1
21
2/12
3
2
1
xx
xxx
xx
x
xx
xx
x
xx
.6
3
1
2
1
12
12
4
14
3
1
3
1
124lim
3
1
2
1
3
16
)124(2
12
lim2
2
1
2
2
1=
++=
++=
++
= x
xx
xx
xxx
xx
So primena na Lopitalovoto pravilo imame:
( )6
52
112
4
124
lim512
24lim
156
)18(lim
0
0
156
18lim
2
1
2
2
12
3
2
12
3
2
1=
=
=
+
=
+
xxxx x
x
xx
x
xx
x
=++++
++++
+
=
+ 11)1(
11)1(11
lim0
011
lim 3 23 22
3 23 22
2
3 2
02
3 2
0 xx
xx
x
x
x
x
xx
( )( ) ( )
( ).
3
1
11)1(
1lim
11)1(
11lim
11)1(
11lim
3 23 220
3 23 222
2
03 23 222
33 2
0
=++++
=
=++++
+=
++++
+=
xx
xxx
x
xxx
x
x
xx
6. Da se najde ravenkata na tangentata na krivata 152422 =+ yxyx
,paralelna so pravata 1+= xy .
Re{enie: Koeficientot na pravec na dadenata prava e
k=1.Tangentata treba da se povle~e vo onaa to~ka od dadenata kriva
vo koja
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
4/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
4
prviot izvod e ednakov 1 {to e uslov za paralelnost na pravata
itangentata. Krivata e dadena vo impliciten oblik, pa za nejziniot
izvod
imame: 11
22)1(02422 =
===+y
xyxyyyyyx
od kade se
dobiva vrska me|u x i y, odnosno xy = 3 , a zamenuvaj}i go toa
voravenkata na krivata, dobivame:
=+ 15)3(24)3( 22 xxxx 0642 = xx , 1082/1 =x .
Za 1081 +=x se dobiva: ( ) ( ) 1521084108 22
=+++ yy -nema realni
re{enija; za 1082 =x se dobiva ( ) ( ) 1521084108 22
=+ yy od
kade proizleguva kvadratnata ravenka 010122722 =+ yy ~ii
koreni
se 26101212/1 =y , postojat dve tangenti so baraniot
pravec.Nivnite ravenki se:
(t1): 1082610121 += xy i (t2): 1082610121 +=+ xy .7. Da se najde
najgolemata i najmalata vrednost na funkcijata
535 23 += xxxy na intervalot [ ]4,1 .Re{enie: stacionarni
to~ki:
3,3
1;
6
81003103 212/1
2 ==
==+= xxxxxy . ]4,1[3
1 , pa se presmetuva
samo vrednosta na funkcijata zax=3: ( ) ( ) ( ) 145333533 23
=+=y
vrednosti na funkcijata na kraevite na intervalot:( ) ( ) ( )
65131511 23 =+=y , ( ) ( ) ( ) .95434544 23 =+=y Gi dobivme
slednite vrednosti za funkcijata: -14, -9, -6, {to zna~i dekaNGV =
6 i se postignuva za 1=x , a NMV=-14 i se postignuva za 3=x
(slika3)
slika3 slika4
8. Da se proveri dali funkcijata 22 xxy = ja zadovoluva
ravenkata
013 =+yy
Re{enie:22
2
2 2
1
22
22)2(
22
1
xx
x
xx
xxx
xxy
=
=
= ,
1 2 3 4
16
1412
10
8
6
4
20
16
f x( )
41 x
8 6 4 2 0 2 4
2
2
4
6
88
2
f x( )
1
48 x
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
5/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
5
,
1
2)2(
1
2)2(
212
)2(
22
22)1(2
)2(
)2)(1(2)1(
32222
22
2
2
2
2
22
yxxxxxxxx
xxxx
xx
xx
xxxx
xx
xxxxxxy
==
++
=
=
=
=
pa zamenuvaj}i vo dadenata diferencijalna ravenka, se
dobiva:
0113
3 =+
y
y , {to zna~i deka funkcijata 22 xxy = ja zadovoluva DR
013 =+yy .
9. Da se ispita tekot i da se nacrta grafikot na funkcijata(
)
( )2
2
2
1
+
+=
x
xy .
Re{enie:
domen: od 0)2( 2 +x se dobiva 2x , odnosno domenot e),2()2,( +
Ux
preseci so koordinatnite oski:- sox-oska (nuli na funkcijata) se
dobivaat ody=0:
10)1( 2 ==+ xx , )0,1(1 M
- soy-oska se dobivaat zax=0:4
1
2
1)0(
2==y , odnosno se
dobiva to~kata
0,
4
12M . Treba da se zabele`i deka 0y .
asimptoti:- vertikalnax=-2: +=
+
+=
+
++ 2
2
22
2
2 )2(
)1(lim
)2(
)1(lim
x
x
x
x
xx
- horizontalna: 144
12lim
)2(
)1(lim
2
2
2
2
=++
++=
+
+ xx
xx
x
x
xx, zna~i
y=1 e horizontalna asimptota- kosa asimptota-nema.
intervali na monotonost i ekstremi:
( ).
)2(
)1(2
)2(
12)1(2
)2()1(2)2)(1(2
)2()1)(2(2)2)(1(2
)2()1(
33
3
2
4
22
2
2
+
+=
+
++=
=+ +++=+ ++++=
++=
x
x
x
xxx
xxxx
xxxxx
xxy
Od 0=y se dobiva x=-1, pa zemaj}i ja vo predvid i prekidnata
to~ka nafunkcijata, intervalite na monotonost se ),1(),1,2(),2,( +
, aznakot na prviot izvod vo sekoj od niv e daden vo slednata
tabela:
x -2 -1 +y
+ - +
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
6/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
6
- :)2,( >
= 0
)1(
)2(2)3(
3y funkcijata raste;
- :)1,2( +
+= 0
2
20
3y funkcijata raste i bidej}i zax=-1
funkcijata e definirana, sleduva deka toa e to~ka na lokalen
minimumkoj iznesuva 0.
intervali na konkavnost i konveksnost i prevojni to~ki:446
23
3
)2(
24
)2(
)1(6)2(2
)2(
)2)(1(32)2(2
)2(
)1(2
+
=
+
++=
+
+++=
+
+=
x
x
x
xx
x
xxx
x
xy .
Od 0=y se dobiva2
1=x , pa zemaj}i ja vo predvid i prekidnata to~ka
na funkcijata, intervalite na konkavnost/konveksnost se
+
,2
1,
2
1,2),2,( , a znakot na vtoriot izvod vo sekoj od niv e
daden vo slednata tabela:
x -2 -1/2 +y + + -
- :)2,( >++
+
= 0212
)3(y grafikot e konkaven;
- :2
1,2
( ) >++
+
= 024
1y grafikot e konkaven;
-
+ ,2
1: ( ) +
+=y -funkcijata raste;
:)2;6,0( 0141
)1( ++
=
=
+
xxx
xx
x
x
x
).0(0
8
)22(
8lim
)2)(1(lim
),0(0
8
)22(1
8lim
)2)(1(lim
0
3
0
3
2
>++
=+
=
>
=
=
+
xx
x
xx
x
x
x
- horizontalna: +++ 23
lim2
3
x
x
x,
+ 23lim
2
3
xx
x
x-nema
horizontalna asimptota- kosata asimptota ja barame vo oblikot
baxy += , kade {to
123
lim)(
lim23
3
=+
== xxx
x
x
xfa
xxi
( ) 323
23lim
23lim))(lim
2
2
2
3
=+
=
+==
xx
xxx
xx
xaxxfb
xxx, {to zna~i deka
kosa asimptota e pravata 3+= xy . intervali na monotonost i
ekstremi:
22
22
22
322
2
3
)2()1(
)66(
)2()1(
)32()23(3
23
+
=
+
=
+= xx
xxx
xx
xxxxx
xx
x
y . Od 0=y ,
se dobiva 02/1 =x i 332
326
2
243664/3 =
=
=x , odnosno
stacionarnite to~ki )0,0(1M , )4,10;3,1(2 M i )4,10;7,4(3M
Monotonosta ja ispituvame vo slednite intervali:
x - 0 1 1,3 2 4,7 + y + + + +
y
0)1( >y , 02
1>
y , 01
4
1
2
1y zax
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
28/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
28
3. Da se najde po definicija izvodotna funkcijata 32 += xy .
Re{enie:
=
+=
=
x
xfxxf
x
yy
xx
)()(limlim
00
=
++=
x
xxx
x
33)(lim
22
0
xx
xx
x2
2lim
0=
=
slika 4
09.09.2004god.
1. Da se re{i neravenkata 12 >+ xx i dobienoto re{enie da
se
pretstavi na brojnata oska.
Re{enie:
+
=+
22
20
22
2
xx
x
xx
x ,
=
0
00
0
xx
x
xx
x . Neravenkata ja
razgleduvame vo intervalite ),0(),0,2(),2,( + .)2,( : 12121)(2
>>+> xxxx , nezavisno od vrednosta
na x vo toj interval, {to zna~i deka neravenkata ne e zadovolena
za
nieden )2,( x .)0,2( : 2/112121)(2 >>>++>+ xxxxxx ,
re{enie vo ovoj
interval e sekoj ( )0,2/1x . Za 2/1=x imame: 12
1
2
3
2
12
2
1==+ ,
{to zna~i deka za2
1=x dadenata neravenka ne e zadovolena.
),0( + : 1212 >>+ xx , nezavisno od vrednosta na x vo toj
interval,{to zna~i deka neravenkata e zadovolena za sekoj ),0( +x ,
a bidej}i e
zadovolena i zax=0, ( 1020 >+ ) zna~i re{enieto na dadenata
neravenka
e:
+ ,
21x (slika 1).
-2 -1 0 1 2slika 1
2.Dadeni se vektorite rqpa ++=rrr
2 , rqpb ++=rr
23 i rqpc ++=rr
, kade {to
rqp ,,rr
se nekomplanarni vektori. Da se razlo`i vektorot rqps =rr
po
pravcite na vektorite ba, i c .
4 2 0 2 4
4
2
2
4
6
88
4
x x 2+
44 x
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
29/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
29
Re{enie: ba, i c }e gi izrazime preku vektorite rqp ,,rr
re{avaj}i go
sistemot
=++
=++
=++
crqp
brqp
arqp
rr
rr
rrr
23
2
. Spored Kramerovoto pravilo imame:
cacac
b
a
p =
==1
111
123
112
11
12
11
, cbac
b
a
q ++== 21
11
13
12
, cbac
b
a
r +==1
11
23
12
carqps 32 ==rr
3. ME[AN PROIZVOD NA TRI VEKTORI. Da se najde volumenot iedna
visina na paralelopipedot konstruiran nad vektorite )1,1,0(=a
r,
)1,0,1(=b i )0,1,1(=c .Re{enie: (slika 2)
c b
a slika 2
2
011
101
110
|)(| === cbaV . Od HbaBHV || == , se dobiva:
3
2
)1(11
2
|)1,1,1(|
2
101
110
2
|| 222=
++=
==
=
kjiba
VH .
3. ODNOS ME|U PRAVA I RAMNINA. Da se ispita dali se se~at
pravite4
3
1
7
2
1 =
=
zyxi
1
2
2
1
3
6 +=
+
= zyx
. Vo potvrden slu~aj da se
najde nivnata prese~na to~ka.Re{enie: Uslov dadenite pravi da
le`at vo ista ramnina e da bidat
komlanarni vektorite 21, aa i 21MM , kade )4,1,2(1 =a , )1,2,3(2
=a ,
)3,7,1(1
M , )2,1,6(2
M i )5,8,5(21
=MM , odnosno me{aniot proizvodna tie vektori da bide nula.
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
30/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
30
Imame: 015164096520
585
123
412
)( =++++=
=cba , dadenite pravi
le`at vo ista ramnina. Parametarskite ravenki na dadenite
pravi
soodvetno se:
+=
+=
+=
34
7
12
tz
ty
tx
i
=
=
+=
2
12
63
sz
sy
sx
od kade se dobiva sistemot od tri ravenki so dve
nepoznati:
=+
=+
+=+
234
127
6312
st
st
st
~ie re{enie e t=-2,s=-3. Za prese~nata to~ka se
dobiva S(-3, 5, -5).4. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA (op{t oblik,
domen, opseg,intervali na monotonost, ograni~enost, nuli, grafici)
. Da se nacrtagrafikot na funkcijata 22 = xy i od grafikot da se
odredi domen,opseg, intervali na monotonost i nuli.
Re{enie: (slika 3) Domen: ),( +x ; opseg: ),2( +y ;
monotonoraste vo celiot domen, ima edna realna nula,x=1.
5. Da se presmeta: a)5
21lim
5
x
x, b)
+x
x
x
x 1lim
2
3
.
Re{enie:
a) ( )( ) =+
=+
+
=
21)5(
21lim
21
21
5
21lim
0
0
5
21lim
22
555 xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
( ) ( ) 41
215
1
21lim
1
21)5(
5lim
5
5=
+=
+=
+
=
xxx
x
x
x,
b) 01
lim1
)1(lim
1lim
22
23
2
3
=+
=
+
+=
+
x
x
x
xxxx
x
x
xxx
43421
.
12
4
f x( )
2
42 x
2 1 0 1 2 3 4
4
2
2
4
68
10
1210
2
f x( )
g x( )
34 x
4 3 2 1 0 1 2 32
2
4
6
8
10
slika 3 slika 4
6. GEOMETRISKO TOLKUVAWE NA IZVODOT. Da se nacrtagrafikot na
funkcijata xxy 22 += i da se napi{e ravenkata na
tangentata na ovaa kriva vo to~katax=2.
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
31/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
31
Re{enie: (slika 4) Ravenkata na tangentata e )( 000 xxyyy = ,
kade
20 =x , 82222
0 =+=y , ( ) ( ) 6222222 0020 =+=+=+= xxxy , pa baranataravenka
}e bide )2(68 = xy , odnosno 46 = xy (slika 4-----).7. Koristej}i
gi tabli~nite izvodi i pravilata za diferencirawe, da se
presmeta:
a) ( )xx ln , b)
+
xx
xx
cossin
cossin, v) ( )+ 232 2 xx .
Re{enie: a) ( ) 1ln1
ln)(lnlnln +=+=+= xxxxxxxxx ,
b) =+
++=
+
2)cos(sin
)cos(sin)cos(sin)cos(sin)cos(sin
cossin
cossin
xx
xxxxxxxx
xx
xx
.cossin21
2
)cos(sin
cossin2sincoscossin2cossin)cos(sin
)cos)(sinsin(cos)cos)(sinsin(cos
2
2222
2
xxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
+=
+
++++=
=
+
++=
v) ( )2322
34)232(
2322
1232
2
2
2
2
+
+=+
+=
+
xx
xxx
xxxx .
8. Da se proveri dali funkcijata xx eey += 24 ja zadovoluva
ravenkata01213 = yyy .
Re{enie: xxxx eexexey =+= 24)(2)4( 44 , xx eey += 216 4 ,xx eey
= 264 4 pa zamenuvaj}i vo dadenata ravenka imame:
0)24262()125264( 4 =++ xx ee .9. ISPITUVAWE NA MONOTONOST I
EKSTREMI NAFUNKCIJA SO POMO[ NA IZVODI. Da se najdat intervalite
na
monotonost i ekstremite na funkcijata 51223
23
+= xxx
y .
Re{enie: Stacionarnite to~ki se re{enijata na ravenkata 0=y
,odnosno
4,3,2
71
2
4811
,0120122
2
3
3212/1
22
==
=
+
=== xxxxxxx
, paso ogled na toa {to funkcijata e definirana za sekoj realen
broj,intervalite na monotonost se ),4(),4,3(),3,( + . Kvadratniot
trinom
122 xx e pozitiven vo intervalite )3,( i ),4( + kade {to
izvodote pozitiven, {to zna~i deka vo tie intervali funkcijata
monotono raste.
122 xx
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
32/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
32
funkcijata ima minimum koj iznesuva3
895)4(12
2
)4(
3
)4( 23
min =+=y
(slika 5).
30
30
f x( )
99 x
9 7 5 3 1 1 3 5 7 9
30
20
10
10
2030
slika 5
23.09.2004god.
1. Vo odnos na parametarot a da se diskutiraat re{enijata na
sistemot:
=++
=+
=++
1
142
32
zyx
zyx
zayx
.
Re{enie: Determinantata na sistemot e:
36242441
111
412
21
=+=
= aaa
a
D . Od 0D , 036 a se
dobiva deka sistemot ima edno re{enie za2
1a . Za
2
1=a
determinantata na sistemot e nula, pa toj mo`e da bide
neopredelen iliprotivre~en. Ponatamu imame:
02
1122223
111
411
22/13
+++=
=xD {to zna~i deka za2
1=a
dadeniot sistem e protivre~en.
2. SKALAREN I VEKTORSKI PROIZVOD (definicija i koordinaten
oblik). Da se presmeta ba i || ba ako: qparrr
+= 2 , qpbrr
3= i
4,3 == qprr
i agolotme|u niv3
= .
Re{enie: ba =( qprr
+2 )( qprr
3 )=2 ( )pp -6 ( )qp + ( )321
)( qp
pq -3 ( )qq =
=2 )(52
qppr
32
qr
= 60482
160181633cos43592 ==
.
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
33/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
33
{ {
.3422
3437
3sin||||7|)(7|
|)(3)()(6)(2||)3()2(|||
0)(0
==
==
=+=+=
qpqp
qqpqqpppqpqpba
qp
321
3. ODNOS ME\U DVE RAMNINI (agol me|u dve ramnini; uslov
zaparalelnost i normalnost). Da se opredeli ravenkata na ramninata
{to
minuva niz pravata
=++
=++
12
3532
zyx
zyx i e normalna na ramninata
122 =+ zyx .Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuva niz
dadenata prava e:
03)25()3()2(0)12(3532 =+++++=+++++ zyxzyxzyx .
Dirkcioniot vektor na snopot ramnini e )25,3,2( +++=n , a na
dadenata ramnina e )2,2,1(1 =n .
n 04102620)2,2,1)(25,3,2(0)( 11 =+++=+++= nnn, od kade se dobiva
263 == , pa baranata ramnina e 01 =+ zy ,koja ima specijalna
polo`ba, paralelna e sox-oskata.4. MONOTONOST NA FUNKCII.
Logaritamska funkcija (domen,
opseg, nuli, presek soy-oskata, intervali na monotonost, NGV,
NMV). Dase nacrta grafikot na funkcijata 2lg2 = xy (domen, opseg,
nuli, preseksoy-oskata, intervali na monotonost, NGV, NMV) .
Re{enie: (slika 1)domen: ),0( +x ; opseg: ),( +y ; nuli: x=4 (
02224lg2 == ;nema
presek soy-oskata; monotono raste vo domenot; nama NGV, nema
NMV.5. Da se presmeta
49
32lim
27
x
x
xi xxx
x2454lim 2 +
.
Re{enie:
=+
=
+
+
+
=
)7)(7(
)3(4lim
32
32
)7)(7(
32lim
0
0
49
32lim
7727 xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
14
1
)7(lim
1
)7)(7(
7lim
7
7=
+=
+
=
xxx
x
x
x,
( ) ( ) =++++
+=+ xxx
xxx
xxxxxx xx 2454
2454
2454lim2454lim 2
222
444 3444 21
( )4
5
245
4
45
lim2454
4454lim
2454
4454lim
2
2
22
2
22
2
=
++
+=
++
+=
++
+=
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
34/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
34
4
6
f x( )
2
82 x
2 0 2 4 6 8
6
4
2
2
4
4
2
f x( )
1
44 x
4 2 0 2 4
2
1
1
2
3
4
slika 1 slika 2
6. DEFINICIJA ZA IZVOD. OSNOVNI PRIMERI.
7. Da se najde
+2
ln xe x , ( )xx cos3 ,
+
12
12
x
x
i
+ xx 32 .
Re{enie:
xe
xe xx
2
1
2
ln+=
+ ,( )
xxxxxx sincos3cos 323 =
,
2
1
22 )12(
2ln2
)12(
)1212(2ln2
)12(
)12(2ln2)12(2ln2
12
12
+=
+
++=
+
+=
+
+
x
x
x
xxx
x
xxxx
x
x
,
( )xx
xxx
xxxx
32
32)3(
32
13
2
2
2
2
+
+=+
+=
+ .
8. Za funkcijata1
3
2
2
+
+=
xy da se najde: domen i preseci so koordinatnite
oski, asimptoti, intervali na monotonost i ekstremi. Koristej}i
gi
dobienite rezultati da se nacrta grafikot.Re{enie: domen: ),( +x
; preseci so koordinatnite oski: nema preseci sox-oskata (nema
nuli); zax=0 se dobiva prese~nata to~ka soy-oskata (0, 3).
asimptoti: nema vertikalni asimptoti; od 11
3lim
2
2
=+
+ x
x
xsleduva
dekay=1 e horizontalna asimptota; nema kosi asimptoti. intervali
na monotonost i ekstremi:
( ) ( ) ( )22222222
1
4
1
62
1
)3(2)1(2
+=+
=+
++= x
x
x
xx
x
xxxx
y . Od ( ) 014
22 =+= x
x
y se
dobiva stacionarnata to~ka (0, 3), a so ogled na toa {to
funkcijata nemaprekidni to~ki, intervalite na monotonost se
),0(),0,( + . Vo prviotinterval prviot izvod e pozitiven,
funkcijata raste, a vo vtoriot prviotizvod e negativen, funkcijata
opa|a. To~kata (0, 3) e to~ka na lokalenmaksimum. (slika 2)
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
35/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
35
17.11.2004 god.
1. Da se re{i neravenkata 11
1+
+>
+
xxxxx
xxx, od
kade se dobiva 01 >< xx , odnosno ),0()1,( + Ux ;
II. 01
201
11
1
11+
=
++
=+nnn
n
n
naa nn za sekoj
priroden broj {to zna~i deka ovaa niza monotono raste.
6. Da se presmeta1
lim2
0
x
xx
xi
xxx
xx
x 533
322lim
23
3
+
+
Re{enie: =+
+=
+
+
=
))(1(
)1)((
1
||
||1lim
0
0
1lim
2
422
1
2
1 xxx
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
32
6
)(
)1)(1(lim
))(1(
)1)(1)(1(lim
2
2
12
2
1==
+
+++=
+
+++=
xx
xxxx
xxx
xxxxx
xx,
0 2 4 6 8 10 12 14 16
4
2
2
44
4
log x 2,( )
log x 2 2,( ) 2
160 x
3 1 1 3 5 7
4
2
2
4
66
4
1 16 x2
4x+
1 16 x2
4x++
3 0.5x
5 0.5x+
73 x
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
37/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
37
( ) 32
/5/33
/3/22
lim533
322lim
23
0
323
23
3
=+
+
=+
+++ xxx
xxx
xxx
xx
xx
4484476
( )( ) 32
/5/33/3/22lim
533322lim
533322lim
23
323
23
3
23
3
=++++=
++++=
++
++ xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx.
7. GEOMETRISKO TOLKUVAWE NA IZVODOT. Da se najde ravenkatana
tangentata na krivata 152422 =+ yxyx vo edna od prese~nite to~ki
soy-oskata.Re{enie: (slika 3) Dadenata kriva e kru`nicata 20)1()2(
22 =+ yx so
centar vo to~kata (2, 1) i radius 52 . Prese~nite to~ki so
y-oskata sedobivaat od kvadratnata ravenka 01522 = yy : (0, -3) i
(0, 5). Izvodot
od ovaa, implicitno zadadena funkcija e1
2
=
y
xy .
(0, -3): ( )2
1
1
2
)3,0(
)3,0(=
=
y
xy , a ravenkata na tangentata e xy
2
13 =+ .
(0, 5): ( )2
1
1
2
)5,0(
)5,0(=
=y
xy , a ravenkata na tangentata e xy
2
15 = .
(slika 3).
8. Da se najde: a) ( )x2cos ; b)dx
dyy = ako
=
=
tay
tax
sin
cos.
Re{enie: a) ( ) ( ) ( ) xxxxx 2cos22sinsincos2cos2 === ,b) t
ta
tayy ctg
sin
cos=
==
&
&.
9. Da se najdat intervalite na monotonost i ekstremite na
funkcijata( )
12
21
++
=x
xy
Re{enie:( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
( )222222
22
22
1
112
1
112
1
2112 1
+
+
+
++
+
++==
+=
x
xx
x
xxxx
x
xxx xy . Od 0=y
se dobiva 1=x odnosno stacionarnite to~ki (-1, 0) i (1,
2).Funkcijata e definirana za sekoj realen broj i intervalite
namonotonost se ( ) ( ) ( )+ ,1,1,1,1, .
( ) :1, 03)1(2
)2( +
=y -funkcijata raste i (-1, 0) e to~ka na lokalen
minimum.
( ) :,1 + 0)1(32
)2( + xx
+
=+.11
,10
,11
1
xx
x
xx
x
=.22
,20
,22
2
xx
x
xx
x
Neravenkata ja razgleduvame vo sekoj od intervalite: )2,1(),1,(
i),2( + .
:)1,( 63121 >>+ xx -vo ovoj interval neravekata nema
re{enie
)2,1( :)2,1(,122121 >=>++ xxxxx ;
),2( + :
8 6 4 2 0 2 4 6 8
10
86
42
246
88
10
f x( )
x 1
88 x
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
53/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
53
13121 >>++ xx -neravenkata e zadovolna za sekoj broj od
ovojinterval, pa kone~noto re{nie e: ),1( +x
Na slika 1 daden e grafikot na funkcijata |2|1 += xxy i
pravata
1=y od kade mo`e da se vidi dobienoto re{enie.
8 6 4 2 0 2 4 6 8
4
3
2
1
1
2
3
44
4
f x( )
1
88 x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
2
1
1
2
3
44
2
2x
1
1
44 x slika 1 slika 2
2. So pomo{ na Kramerovoto pravilo da se re{i linearniot
sistem
ravenki
=+
=+
=+
azyx
azyx
zyx
43
332
143
.
Re{enie:
22
413
132
431
=
=D ,
a
a
aDx 3311
41
133
431
=
= ,2
3122
3311 aax == ;
a
a
aDy 5511
43
132
411
+=
= ,2
51
22
5511 aay
+=
+= ;
a
a
aDz 3311
13
332
131
+=
= ,2
31
22
3311 aay
+=
+= .
3. VEKTORSKI PROIZVOD (definicija, barem tri svojstva
ikoordinaten oblik).Nad vektorite nmABa 2+== i nmADb 3== kade
{to 2||,4|| == nm i agolot me|u niv3
= , konstruiran e paralelogram
ABCD. Da se presmeta: a) Plo{tinata na paralelogramot, b)
visinataspu{tena od temetoD kon stranataAB.
Re{enie: a) || baP = , )(8)3()2()( nmnmnmba =+= ,
3323
sin248)(8 =
== nmP .
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
54/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
54
b) 834
332
48
332
163
cos3216
332
)2(
332
|| 2===
+
+
=+
==nma
Ph .
4. OP[T OBLIK NA RAVENKA NA RAMNINA (da se navedat baremdva
posebni slu~ai). Da se napi{e ravenkata na ramninata koja minuvaniz
to~kata M(2, 3, -1) i nizz-oskata.Re{enie: 0)1()3()2( =+++ zCyBxA
032
0
=+++ 43421 CBACzByAx i C=0,
od kade se dobiva BA 32 = , odnosno BA2
3= , pa baranata ramnina e
02302
3==+ yxyx .
5. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA (op{t oblik, domen, opseg,
ograni~enost, monotonost, nuli, grafici). Da se nacrta grafikot
nafunkcijata 12 = xy . Dali ovaa funkcija ima nuli?
Re{enie: (slika 2) Od 02212 == xx se dobiva deka
dadenatafunkcija ima edna realna nula,x=0.
6. Da se presmeta:5
21lim
5
x
xi
+x
x
x
x 1lim
2
3
.
Re{enie: =+
+
=
21
21
5
21lim
0
0
5
21lim
55 x
x
x
x
x
x
xx
( ) 41
215
1
21)5(
5
lim5 =+=+
= xx
x
x .
01
lim1
lim1
lim22
33
2
3
=+
=+
=
+ xx
x
xxxx
x
x
xxx.
7. Da se najde: ( )+ xx tg2 , ( )xx ln2 ,
+1
23
3
x
xi )(sin xe
Re{enie: ( )xx
xx2cos
2
2
1tg2 +=
+ , ( ) )1ln2(1ln2ln 22 +=+= xx
xxxxxx ,
23
2
23
3232
3
3
)1(
6
)1(
23)1(6
1
2
+=
++=
+ xx
x
xxxx
x
x , xxxxx eeeee coscos)(sin == .
8. GEOMETRISKO TOLKUVAWE NA IZVODOT. Da se napi{eravenkata na
tangentata i na normalata na krivata 12 23 += xxy voto~kata ),1( 0y
.
Re{enie: (slika 3) Dopirnata to~ka e (1, 2), a koeficientot na
pravec
na tangentata e ( ) ( ) 74312 121230 =+=
+= == xx xxxxy .- ravenka na tangenta: 57)1(72 == xyxy ;
ravenka na normala: 157)1(712 =+= xyxy .
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
55/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
55
3 2 1 0 1 2
8
6
4
2
2
4
6
88
8
f x( )
7x 5
x
7
15
7+
23 x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
10
86
42
2
46
88
10
f x( )
x 1
44 x slika 3 slika 4
9. Za funkcijata1
2
+=
x
xy da se najde: domen, asimptoti, intervali na
monotonost, ekstremi i intervali na konkavnost i
konveksnost.Re{enie:
domen: 101 + xx , ili ),1()1,( + Ux ; preseci so koordinatnite
oski:
- so y-oskata, za x=0, se dobiva y=0 i za y=0 se dobova x=0,
odnosnokrivata minuva niz koordinatniot po~etok )0,0(O ;
asimptoti:- vertikalna, 1=x . Odnesuvaweto na funkcijata okolu
verikalnataasimptota e dadeno so slednite ednostrani granici:
).0(0
1
11
1lim
1lim
);0(
0
1
11
1lim
1
lim
0
2
1
0
2
1
>++
=+
=+
>
=
+
=
+
+
x
xx
x
x
x
- horizontalna: +++ 1
lim2
x
x
x,
+ 1lim
2x
x-nema horizontalna
asimptota;- kosata asimptota ja barame vo oblikot baxy += , kade
{to
11
limlim)(
lim2
2
=+
=+
== x
x
xx
x
x
xfa
xxxi
( ) 11
lim1
lim1
lim))(lim222
=+
=+
=
+==
xx
xxxxx
xxaxxfb
xxxx.
Kosa asimptota e pravata 1= xy . intervali na monotonost i
ekstremi:
2
2
2
22
)1(
2
)1(
)1(2
1 +
+=
+
+=
+=
x
xx
x
xxx
x
xy . Od 0=y , se dobiva 01 =x i 22 =x ,
odnosno stacionarnite to~ki )0,0(1M i )4,2(2 M .
Monotonosta ja ispituvame vo slednite intervali:
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
56/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
56
x - -2 - 1 0 + y + +
y
09
)3( >+
=y , 043
2
3
=
+
=
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
59/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
59
3. Nad vektorite nmABa 32 == i nmADb 2+== kade {to 2|||| == nm
i
agolot me|u niv3
= , konstruiran e paralelogram ABCD. Da se
presmeta:
a) Plo{tinata na paralelogramot; b) visinata spu{tena od temetoD
konstranataAB.
Re{enie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+==321321
00
672232 nnnmmmnmnmADABP
( ) 3142
328sin||||77 ==== nmnm .
.2128
314
2452
314
2
14852
314
36
3
cos221216
314
9)(124)32(|| 222
==
=
=
=
+
=+
=
==
nnmm
P
nm
P
AB
PhD
4. ODNOS ME\U PRAVA I RAMNINA (agol me|u prava i ramnina;uslov
za paralelnost i normalnost). Da se opredeli ravenkata na
ramninata {to minuva niz pravata
=++
=++
12
3532
zyx
zyx i e paralelna so z-
oskata.Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuva niz
dadenata prava e
0)3()25()3()2(0)12(3532 =++++++=+++++ zyxzyxzyx .Baranata
ramnina }e bide paralelna soz-oskata ako koeficientot predze
ednakov so nula, odnosno ako e ispolnet uslovot 025 =+ od kade
sedobiva 2/5= , a baranata ramnina e 01 =+ yx .5. KVADRATNA
FUNKCIJA (op{t oblik, domen, opseg, ograni~enost,monotonost, nuli,
grafici). Da se skicira grafikot na funkcijata
23)( += xxxxf i od grafikot da se komentira: domen, intervali
na
monotonost, ograni~enost, NMV, NGV, ekstremi i nuli.
Re{enie: (slika 1)
slika 1 slika 2
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
7
6
5
4
3
2
1
1
2
33
7
3x x x 2+
x2
5x+
x2
x+
46 x
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
6
4
2
2
4
6
8
1010
6
x2
3+( )x 1
x 1+
66 x
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
60/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
60
Funkcijata e definirana za sekoj realen broj, raste za
2
1,
2
5x , opa|a
za
+
,2
1
2
5, Ux , ne e ograni~ena, nema NMV, nema NGV, ima tri
realni nuli: -5, 0 i 1.6. Da se presmeta:
233 3
62lim
x
x
i
+
xx
x1lim 2
Re{enie:9
2
lim
12
)3(
)3(2lim
0
0
3
62lim
2
3
23233==
=
xxx
x
xx
x
x
xx.
01
1
1lim
1
11lim
2
22
2
22 =
=
++
+=
++
++
+
+ xx
xx
xx
xxxx
xx 43421, =
+
+ 43421
xxx
1lim 2 .
7. Da se najde: ( ) xx ctg23 , ( )xx sin2 ,
+ 3
3
2
2
x
xi )( 3
2xxe
Re{enie: ( )x
xxx2
3/23
sin
2
3
1ctg2 +=
, ( ) xxxxxx cossin2sin 22 += ,
( )( ) ( )2222
22
2
2
3
18
3
2336
3
3
+=
+
+=
+ x
x
x
xxxx
x
x,
( ) ( ) xxxxxx exxxee 3233 222 323)( == .8. Da se napi{e
ravenkata na tangentata i na normalata na krivata
12 23 += xxy vo to~kata ),1( 0y .
Re{enie: Za 10 =x se dobiva 20 =y . 74312 121230 00 =+=+= == xx
xxxxy .Ravenkata na tangentata e ( )172 = xy odnosno 57 = xy .
Ravenkata na normalata e ( )17
12 = xy , odnosno 157 =+ yx .
9. PRIMENA NA PRV IZVOD ZA ISPITUVAWE NAMONOTONOST I EKSTREMI NA
FUNKCII. Za funkcijata
1
32
+=
x
xy da se najde: domen, asimptoti, intervali na monotonost i
ekstremi.
Re{enie: domen: od 01 x se dobiva 1x , odnosno dadenata funkcija
edefinirana za ),1()1,( + Ux ;
preseci so koordinatnite oski:sox- oskata: ody=0 se
dobivax2+3=0, nema preseci sox-oskata; so y- oskata:od x=0 se
dobivay=-3, prese~na to~ka soy-oskata e (0, -3).
asimptoti:- vertikalna e pravata x=1;
- horizontalna: =+
1
3lim
2
x
x
x-nema horizontalna asimptota;
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
61/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
61
- kosa: baxy += , 13
lim2
2
=+
= x
xa
x, 1
1
3lim
1
3lim
2
=
++
=
+
= x
xx
x
xb
xx, kosa
asimptota e pravata 1+= xy ; intervali na monotonost i
ekstremi:
3,1320)1(
32
)1(
)3()1(2
1
321
2
2
2
2
22
===
=
+
=
+
= xxxxx
xx
x
xxx
x
xy
Intervalite na monotonost se:x - -1 1 3 +y + - - +y
Funkcijata ima lokalen maksimum vo to~kata x=-1 i iznesuva -2
ilokalen minimum vo to~katax=3 i iznesuva 6 (slika 2).
02.11.2004god. (prv test)Igrupa
1. Vo odnos na parametarot da se diskutiraat re{enijata
nasistemot:
( )
=++
=+++
=++
zyx
zyx
zyx
32
253
32
.
Re{enie: Determinatata na sistemot e :
9892041656
321
513
1222 =+++=+
=D . Od D=0
se dobiva: 9,1;542
36648212/1 ===
+= .
za 1 i 9 , sistemot ima edno re{enie i e opredelen; za 1= se
dobiva sistemot
=++
=++
=+
132
243
32
zyx
zyx
zyx
od kade imame:
0
321
412
113
=
=xD , 0
311
423
132
=
=yD , 0
121
213
312
=
=zD i
bidej}i postojat subdeterminanti od vtor red razli~ni od nula,
na pr.,
0532
4111 ==A , zna~i deka za 1= sistemot e neopredelen (ima
beskone~no mnogu re{enija), re{enija se site to~ki od
pravata
opredelena so dadenite ravenki;
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
62/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
62
za 9= se dobiva sistemot
=++
=++
=++
932
2143
392
zyx
zyx
zyx
od kade imame:
0
329
1412
193
=xD , {to zna~i deka za 9= sistemot e protivre~en.
2. Dadeni se vektorite nma 22 +=r i nmb += 5 , 1=m , 3=n i ba .
Dase najde agolot me|u vektorite m i n , kako i plo{tinata
naparalelogramot {to tie go obrazuvaat.
Re{enie: Od normalnosta na dadenite vektori go imame
uslovot:
) 0=ba , odnsono ) ) ) =+=++ 0||28||100522 22 nnmmnmnm
3
1
cos8cos24092cos318110 ===+ ; 3
1
arccos= .Za plo{tinata na paralelogramot konstruiran nad
vektorite m i n ,
se dobiva: 223
83
9
113cos13sin|||||| 2 ====== nmnmP .
3. To~kite ( )3,2,1A , ( )4,2,2B , ( )5,4,3C i ( )2,2,2S se
temiwa na tetraedar.Da se presmeta volumenot na tetraedarot i
dol`inata na visinataspu{tena od temeto S.
Re{enie: (slika 1)S
H
C
A Bslika 1
Volumenot na tetraedarot zadaden so koordinatite na svoite
temiwa
e:( )ASACABV
6
1= , kade )1,0,1(=AB , )2,2,2(=AC i )1,0,1( =AS .
Ponatamu imame: ( ) 4101
111
101
2
101
222
101
=
=
=ASACAB i3
2
6
4==V , a
baranata visina e:
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
63/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
63
2
2
22
4
|)2,0,2(|
4
222
1012
1
2
||
3==
==
=
kjiACAB
VH .
4. Da se proveri dali se se~at pravite2
2
2
1
2:)(
=
=
zyxp i
2
3
21
2:)(
=
=
zyxq . Vo potvrden slu~aj da se najde nivnata prese~na
to~ka i ramninata vo koja tie le`at.Re{enie: Potreben i dovolen
uslov za dadenie pravi da se se~at e
me{aniot proizvod me|u direkcionite vektori ne dvete pravi i
edenvektor ~ij po~etok e na ednata, a krajot na drugata prava, e
ednakov
nula. )2,2,2(1 =a , )2,2,1(2 =a ; )()3,0,2(),()2,1,0( 21 qApA
i
)1,1,2(21 =AA .
( ) 0112
221
111
2
112
221
222
2121 =
=
=AAaa , pravite se se~at.
Parametarskite ravenki na sekoja od dadenite pravi se:
+=
+=
=
22
12
2
:)(
tz
ty
tx
p ;
+=
=
+=
32
2
2
:)(
sz
sy
sx
q od kade se dobiva sledniot sistem
od tri ravenki so dve nepoznati:
+=+
=+
+=
3222
212
22
st
st
st
od koi dve se
nezavisni, pa zemaj}i giprvite dve se dobiva:
=+
+=
st
st
212
22~ie re{enie
e:2
1,1 == ts , pa zamenuvaj}i vo (p) ili (q) se dobiva prese~nata
to~ka
)1,2,1(S . Ravenkata na ramninata vo koja le`at pravite (p) i
(q) sedoviva od uslovot za komplanarnost na tri vektori od koi
dvata se
direkcionite vektori na dadenite pravi, a tretiot proizvolen
vektor odramninata ~ij po~etok mo`e da bide to~ka od nekoja od
dadenite pravi, akrajot e proizvolna to~ka (x,y,z) od ramninata, pa
imame:
030)2(6)1(600
21
221
222
: ===
zyzyx
zyx
{to
pretstavuva ramnina paralelna sox-oskata.5. Da se opedeli
ravenkata na ramninata {to minuva niz pravata
=++
=++
0123
0132:
zyx
zyxp i e normalna na ramninata 02 =++ zyx . Dali
dobienata ramnina ima nekoja specijalna polo`ba?
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
64/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
64
Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuvaat niz
dadenataprava e:
01)3()22()31(,0)123(132 =+++++=+++++ zyxzyxzyx ;
direkcioniot vektor na snopot ramnini e )3,22,31( +++=n , a
na
dadenata ramnina e )1,1,1(1 =n . Od uslovot za normalnost
imame:0)( 1 =nn , odnosno 0)1,1,1()3,22,31( =+++ od kade se
dobiva
ravenkata:166032231 ===+++++ , a baranata ramnina ex-z=0,
ramninata minuva niz
y-oskata.....................................................................................................................................1.
SKALAREN PROIZVOD (definicija i barem tri svojstva). Da se
najde proekcijata na vektorot )3,2,3( =a vrz vektorot )3,2,1( =b
.Re{enie na zada~ata:
148
941943
|)3,2,1(|)3,2,1)(3,2,3(
||)(. =
+++= == b
baaprb .
2. OP[T I SEGMENTEN OBLIK NA RAVENKA NA RAMNINA;nekoi specijalni
ramnini. Da se napi{e ravenkata na ramninata {tominuva niz to~kata
(-1, 1 2) i otsekuva ednakvi otse~ki na koordinatniteoski.
Re{enie na zada~ata: Ravenkata na ramninata {to otsekuva
nakoordinatnite oski otse~ki so dol`ina a e: azyx =++ , a
zamenuvaj}i givo nea koordinatite na dadenata to~ka, se dobiva:
-1+1+2=a, pa baranataramnina e 2=++ zyx .
3. ODNOS ME\U PRAVA I RAMNINA.II grupa
1. Vo odnos na parametarot da se diskutiraat re{enijata
nasistemot:
( )
=++
=++
=+++
13
53
12
zyx
zyx
zyx
.
Re{enie: Determinatata na sistemot e :
145
31
513
112
2 +=
+
=D . OdD=0 se dobiva:
5
32
10
201642/1
=
+= ,
5
1,1 21 == .
za 1 i5
1 , sistemot ima edno re{enie i e opredelen;
za 1= se dobiva sistemot
=+
=++
=++
13
153
1
zyx
zyx
zyx
od kade imame:
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
65/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
65
0
311
511
111
=
=xD , 0
311
513
111
=
=yD , 0
111
113
111
=
=zD i
bidej}i postojat subdeterminanti od vtor red razli~ni od nula,
na pr.,
0831
5111 =
=A , zna~i deka za 1= sistemot e neopredelen (ima
beskone~no mnogu re{enija), re{enija se site to~ki od
pravataopredelena so dadenite ravenki;
za5
1= se dobiva sistemot
=++
=++
=++
135/1
5/153
15/11
zyx
zyx
zyx
od kade imame:
0
35/11
515/1
111
=x
D , {to zna~i deka za 5/1= sistemot e
protivre~en.
2. Dadeno e bap 3+=r , baq 74 += , 2=a , 1=b i qp . Da se
najdeagolot me|u vektorite a i b , kako i plo{tinata na
paralelogramot {totie go obrazuvaat.Re{enie: Od normalnosta na
dadenite vektori go imame uslovot:
) 0=qp , odnsono ) ) ) =+=++ 0||215||40743 22 bbambaba
2
1cos5cos10021cos12544 ===+
i 3
=
.Za plo{tinata na paralelogramot konstruiran nad vektorite a i b
, se
dobiva: 32
32
3sin2sin|||||| ==
=== babaP .
3. Vektorite ( )1,1,1=ar , ( )2,1,2=br i kr obrazuvaat
paralelopiped. Da sepresmeta negoviot volumen i dol`inata na
visinata spu{tena konstranata obrazuvana od vektorite a
ri b
r.
Re{enie: Volumenot na paralelopipedot zadaden so
nekomplanarnite
vektori ( )1,1,1=ar
, ( )2,1,2=br
i )1,0,0(=kr
e: ( )kbaV= . Ponatamu imame:
( ) 1100
212
111
=== kbaV ,2
1
|)1,0,1(|
1
212
111
1
||=
==
=
kjiba
VH
4. Dadeni se pravite0
2
1
11:)(
=
=
zyx
p i1
3
3
2
2
5:)(
=
=
zyxq .
Da se opredeli parametarot taka {to dadenite pravi se se~at, a
potoa
da se opredeli prese~nata to~ka.
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
66/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
66
Re{enie: Potreben i dovolen uslov za dadenie pravi da se se~at
eme{aniot proizvod me|u direkcionite vektori ne dvete pravi i
edenvektor ~ij po~etok e na ednata, a krajot na drugata prava, e
ednakov nula.Ovde imame:
)0,1,(1 =a , )1,3,2(2 =a ; )()3,2,5(),()2,1,1( 21 qApA i
)1,1,4(21 =AA .
( ) 10220114
132
01
2121 ==+=
=AAaa .
Parametarskite ravenki na sekoja od dadenite pravi se:
=
+=
=
2
1
1
:)(
z
ty
tx
p ,
+=
+=
+=
sz
sy
sx
q
3
32
25
:)( od kade se dobiva sledniot sistem od
tri ravenki so dve nepoznati:
+=+=+
+=
s
st
st
32
321
251
od koi dve se nezavisni, pa
zemaj}i gi poslednite dve se dobiva:
=
+=
1
13
s
st~ie re{enie e:
2,1 == ts . Zamenuvaj}i vo (p) ili (q) se dobiva prese~nata
to~ka)2,1,3( S .
5. Da se opedeli ravenkata na ramninata {to minuva niz
pravata
=+++
=++
022
0122:
zyx
zyxp i e paralelna na pravata
1
3
2
1
1
2
=
+=
zyx. Dali
dobienata ramnina ima nekoja specijalna polo`ba?Re{enie:
Ravenkata na snopot ramnini {to minuvaat niz dadenata
prava e:021)2()21()2(0)22(122 =++++++=++++++ zyxzyxzyx .
Direkcioniot vektor na snopot ramnini e )2,21,2( +++=n , a
na
dadenata prava )1,2,1( =a . Od uslovot za paralelnost na prava i
ramnina
imame: 0)( =an , odnosno 0)1,2,1()2,21,2( =+++ od kade se
dobiva
ravenkata:
2
1,2402422 ===+++ , a baranata ramnina e
0433 =+ zx , {to pretstavuva ramnina paralelna so
y-oskata.....................................................................................................................................
1.VEKTORSKI PROIZVOD (definicija i barem tri svojstva). Da
se najde |)2()(| baba + , ako 2|||| == ba i agolot me|u a i b e
6/ .Re{enie na zada~ata:
{( ){
66
sin223|)(3||)(3)(2||)2()(|
00
===+=+
babbbaaababa
2. ODNOS ME\U DVE RAMNINI I ME\U TRI RAMNINI.3.OP[T OBLIK NA
RAVENKA NA PRAVA. Da se napi{at
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
67/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
67
kanoni~nite i parametarskite ravenki na pravata:
=+
=++
0532
032
zyx
zyx
Re{enie na zada~ata: Direkcioniot vektor a na dadenata prava
ekolinearen so vektorskiot proizvod na direkcionite vektori na
neparalelnite ramnini vo ~ij presek se nao|a pravata:
)5,7,1(
321
11221 =
==
kji
nna , a edna to~ka od pravata }e najdeme
re{avaj}i go dadeniot sistem od dve ravenki so tri nepoznati i
zadavaj}iedna koordinata proizvolno, na primerx=1, po {to go
dobivame sistemot:
=
=+
432
5
zy
zy~ie re{enie e y=11, z=6, pa baranata to~ka e (1, 11, 6), a
kanoni~nite i parametarski ravenki na dadenata prava soodvetno
se:
5
6
7
11
1
1 ==zyx
, { tztytx 56,711,1 +=+=+= .
9.12.2004god. (vtor test)I grupa1. Da se re{i neravenkata 1142
> xx .
Re{enie:
++3
4,
3
4431142 xxxxx , pa re{enieto vo ovoj
intervale ( )
=
2,
3
4
3
4,2,1 Ix .
III. x ),2( + ( ) ),2(,441142 ++>>+ xxxx {to zna~i deka
vo
intervalot re{enieto e ( )+ ,4x .
Kone~noto re{enie e: x )1,(
2,
3
4 ( )+,4 .
0 1 2 4slika 1
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
68/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
68
2. Da se skicira grafikot na funkciite 123)( += xxf ixxxg =
|3|)( .
Re{enie: a) (slika 2), b) (slika 3)
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
69/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
69
Site ~lenovi na nizata se pozitivni, a najgolema vrednost ima
prviot
~len, {to zna~i deka dadenata niza e ograni~ena, odnosno9
10 < na ,
zna~i nizata e konvergentna, a za nejzinata granica imame:
0
1
)12(
1
lim 2 ==+ nn .5. Da se presmetaat slednite limesi:
a)x
xx
x
+ 3
2
1
12lim , b)
+
xxx
x2474lim 2 , v)
2
5
5lim
2
2x
x x
x
+
.
a) 02
0
)1(
1lim
)1)(1(
)1(lim
12lim
1
2
13
2
1==
+
=+
=
+ xx
x
xxx
x
xx
xx
xxx
b) ( ) =++
+=
++
+++
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xx
2474
4474lim
2474
24742474lim
2
22
2
22
444 3444 21
=
{
4
7
247
4
47
lim
2474
47lim
0
2
0
2
=
++
+
=++
+
321 xxx
xx
xxx
x
xx
v) =
++=
+
22
15
51lim
5
5lim
2
2
1
2
2x
x
x
x x
x
x
x
43421
=
+
52
210
lim
10
5
2
2
5
101lim
x
x
xx
x x
( ) 1052
210lim
eex
xx
==
.
1. LOGARITAMSKA FUNKCIJA. Op{t oblik, domen opseg,grafici, nuli,
monotonost.
2. TRIGONOMETRISKITE FUNKCII sinx i ctgx (domen, opseg,nuli,
ekstremi, grafici, monotonost).
9.12.2004god. (vtor test)II grupa1. Da se re{i neravenkata 2263
>+ xx .
Re{enie:
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
70/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
70
I. x )2,( )2,()3,(3622263 >+++ xxxxx {to zna~i deka
dadenataneravenka e zadovolena za sekoe x )2,( .II. x )2,2(
>+
21,
21242263 xxxxx , pa re{enieto vo ovoj
intervale ( )
=
2
1,2
2
1,2,2 Ix .
III. x ),2( + ( ) ),2(,51022263 ++>> xxxx {to zna~i deka
vo
intervalot re{enieto e ( )+ ,5x .
Kone~noto re{enie e: x
2
1, ( )+,5 (slika 1).
-2 0 1/2 5slika 1
2. Da se skicira grafikot na funkciite ( ) )1(lg3 2 += xxf
i|32|2)( = xxxg .
slika 2 slika 3
a) (slika 2) b)
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
71/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
Qubica Stefanova
71
Domen : ),( +x ; monotono raste za
+
,6
5
6
1, Ux , monotono
opa|a za
6
5,
6
1x ; ne e ograni~ena, odnosno nema NGV i NMV; lokalen
minimum za65=x i
1213
min =y , lokalen maksimum za61=x i
1213
max =y ;
mno`estvoto nuli e
=3
5,
3
1,00M .
slika 84. Da se proveri dali e konvergentna (monotona i
ograni~ena) nizata
so op{t ~len2)2(
1
+=
nan . Vo potvrden slu~aj da se opredeli granicata
na nizata.Re{enie: monotonost:
0)2()3(
52
)2()3(
9644
)2(
1
)3(
1
2222
22
221=y , funkcijata raste; )3,1( : 0
6)2( +
=y , funkcijata raste; )2,1( : 0)5,1(
-
7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci
77/77
Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1
3,1,2
42
2
1242212/1 ==
=
+= xxx .Monotonosta e dadena vo tabela 3:
x - -1 3 +
y+ - +
y
0182424)2( >+=y -funkcijata raste; 018)0( =y -funcijata
raste. To~kata )17,1(1 M e to~ka na
lokalen maksimum, a to~kata )47,3(2 M e to~ka na lokalen
minimum.
