M1 Reseni Ispitni Zadaci

7/23/2019 M1 Reseni Ispitni Zadaci

1/77

Re{eni ispitni zada~i po Matematika 1

Qubica Stefanova

1

23.11.2001 god.

1. Da se re{i neravenkata 22

3>

+xx

.

Re{enie: 232332222 >+ xxx

xxx .

Go re{avame mno`esvoto neravenki:

>+

+

+

+

xxxxx

x

x

x

x

x

od kade se dobiva: J2= ( ) ( )3,83,8 =U .Re{enieto na dadenata neravenka e unija od mno`estvata J1 i J2:

( )

=3

4,33,8J U (slika1).

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2slika1

2. Da se ispita dali ( )2,2,8=ar

, ( )3,3,6=br

i ( )3,3,0=cr

se linearnozavisni vektori i vo potvrden slu~aj da se izrazi vektorot ar kakolinearna kombinacija od drugite dva vektora.

Re{enie: Za da bidat linearno zavisni dadenite vektori, nivniotme{an proizvod treba da bide ednakov nula.

Imame: 0

330

336

228

),,( ==cba . )3,3,0()3,3,6()2,2,8( +=+= cba od

kade se dobiva sistemot od tri ravenki so dve nepoznati

=+

=+

=+

233

233

806

od

koi samo dve se nezavisni. Re{enieto na ovoj sistem e 2,3

4== , pa

imame cba 23

4+= .

3. Da se opredeli ravenkata na ramninata {to minuva niz pravata


2/77


Qubica Stefanova

2

=++

=++

123

3532

zyx

zyxi e normalna na ramninata 0432 =++ zyx .

Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuvaat nizdadenata prava e

0)123(3532 =+++++ zyxzyx , 0)2()25()3()32( =++++++ zyx kade e realen broj. Uslov za normalnost na dadenata i baranataramnina e nivnite direkcioni vektori da bidat normalni, odnosnonivniot skalaren proizvod da bide ednakov nula.

Normalniot vektor na dadenata ramnina e )1,3,2(1 =n , a na snopot

ramnini )25,3,32(2 +++=n .Skalarniot proizvod izedna~en so nula ja dava ravenkata:

05)25()3(3)32(2)( 21 ==++++=nn od kade se dobiva =0, odnosno

baranata ramnina e 3532 =++ zyx .4. Da se opredeli to~kata Q koja e simetri~na so to~kata ( )3,1,2P voodnos na ramninata 01635 = zyx

Re{enie: (slika 2)P

(p) n

Q

slika 2Niz to~kataPpostavuvame prava (p) normalna na dadenata ramnina

(). Kanoni~nite ravenki na taa prava se:3

3

5

1

1

2

=

= zyx

, kade (1, -5, -

3) e direkcioniot vektor na dadenata prava. Parametarskite ravenki napravata (p) se: 33,15,2 +=+=+= tztytx . Baranata to~ka Q }e ja

dobieme od uslovot |'||'| QPPP = , kadeP e prese~nata to~ka na pravata (p)i ramninata () i se dobiva taka {to parametarskite ravenki na(p)}e sezamenat vo ravenkata na ramninata ():

016)33(3)15(52 =+++ ttt (1+25+9)t+(2-5-9-16)=0 35 t=28

5

4=t ,

5

3,3,

5

14'P .

P


3/77


Qubica Stefanova

3

( )

2

2

2

2

2

2

5

333)315(

5

142

|'|35

3132

5

14|'|

+++++

+=

==

++

=

ttt

QPPP

od kade se dobiva:

5

8,00)85(

25

144400165635

25

14440016

5

123)45(

5

4

5

1216

5

4

212

2

2

222

===+++

++=++

++++

=

++

tttttt

ttt

pa baranata to~ka e

5

39,9,

5

2Q .

5. Da se presmetaat granicite 156

18

lim 2

3

2

1 +

xx

x

x i 2

3 2

0

11

lim x

x

x

+

Re{enie:

=

++=

==

=

=+

+

2

1

3

16

)124)(12(lim

2

1,

3

1

,12

24255

01526

0

0

156

18lim

2

2

1

21

2/12

3

2

1

xx

xxx

xx

x

xx

xx

x

xx

.6

3

1

2

1

12

12

4

14

3

1

3

1

124lim

3

1

2

1

3

16

)124(2

12

lim2

2

1

2

2

1=

++=

++=

++

= x

xx

xx

xxx

xx

So primena na Lopitalovoto pravilo imame:

( )6

52

112

4

124

lim512

24lim

156

)18(lim

0

0

156

18lim

2

1

2

2

12

3

2

12

3

2

1=

=

=

+

=

+

xxxx x

x

xx

x

xx

x

=++++

++++

+

=

+ 11)1(

11)1(11

lim0

011

lim 3 23 22

3 23 22

2

3 2

02

3 2

0 xx

xx

x

x

x

x

xx

( )( ) ( )

( ).

3

1

11)1(

1lim

11)1(

11lim

11)1(

11lim

3 23 220

3 23 222

2

03 23 222

33 2

0

=++++

=

=++++

+=

++++

+=

xx

xxx

x

xxx

x

x

xx

6. Da se najde ravenkata na tangentata na krivata 152422 =+ yxyx ,paralelna so pravata 1+= xy .

Re{enie: Koeficientot na pravec na dadenata prava e k=1.Tangentata treba da se povle~e vo onaa to~ka od dadenata kriva vo koja


4/77


Qubica Stefanova

4

prviot izvod e ednakov 1 {to e uslov za paralelnost na pravata itangentata. Krivata e dadena vo impliciten oblik, pa za nejziniot izvod

imame: 11

22)1(02422 =

===+y

xyxyyyyyx

od kade se

dobiva vrska me|u x i y, odnosno xy = 3 , a zamenuvaj}i go toa voravenkata na krivata, dobivame:

=+ 15)3(24)3( 22 xxxx 0642 = xx , 1082/1 =x .

Za 1081 +=x se dobiva: ( ) ( ) 1521084108 22

=+++ yy -nema realni

re{enija; za 1082 =x se dobiva ( ) ( ) 1521084108 22

=+ yy od

kade proizleguva kvadratnata ravenka 010122722 =+ yy ~ii koreni

se 26101212/1 =y , postojat dve tangenti so baraniot pravec.Nivnite ravenki se:

(t1): 1082610121 += xy i (t2): 1082610121 +=+ xy .7. Da se najde najgolemata i najmalata vrednost na funkcijata

535 23 += xxxy na intervalot [ ]4,1 .Re{enie: stacionarni to~ki:

3,3

1;

6

81003103 212/1

2 ==

==+= xxxxxy . ]4,1[3

1 , pa se presmetuva

samo vrednosta na funkcijata zax=3: ( ) ( ) ( ) 145333533 23 =+=y

vrednosti na funkcijata na kraevite na intervalot:( ) ( ) ( ) 65131511 23 =+=y , ( ) ( ) ( ) .95434544 23 =+=y Gi dobivme slednite vrednosti za funkcijata: -14, -9, -6, {to zna~i dekaNGV = 6 i se postignuva za 1=x , a NMV=-14 i se postignuva za 3=x

(slika3)

slika3 slika4

8. Da se proveri dali funkcijata 22 xxy = ja zadovoluva ravenkata

013 =+yy

Re{enie:22

2

2 2

1

22

22)2(

22

1

xx

x

xx

xxx

xxy

=

=

= ,

1 2 3 4

16

1412

10

8

6

4

20

16

f x( )

41 x

8 6 4 2 0 2 4

2

2

4

6

88

2

f x( )

1

48 x


5/77


Qubica Stefanova

5

,

1

2)2(

1

2)2(

212

)2(

22

22)1(2

)2(

)2)(1(2)1(

32222

22

2

2

2

2

22

yxxxxxxxx

xxxx

xx

xx

xxxx

xx

xxxxxxy

==

++

=

=

=

=

pa zamenuvaj}i vo dadenata diferencijalna ravenka, se dobiva:

0113

3 =+

y

y , {to zna~i deka funkcijata 22 xxy = ja zadovoluva DR

013 =+yy .

9. Da se ispita tekot i da se nacrta grafikot na funkcijata( )

( )2

2

2

1

+

+=

x

xy .

Re{enie:

domen: od 0)2( 2 +x se dobiva 2x , odnosno domenot e),2()2,( + Ux

preseci so koordinatnite oski:- sox-oska (nuli na funkcijata) se dobivaat ody=0:

10)1( 2 ==+ xx , )0,1(1 M

- soy-oska se dobivaat zax=0:4

1

2

1)0(

2==y , odnosno se

dobiva to~kata

0,

4

12M . Treba da se zabele`i deka 0y .

asimptoti:- vertikalnax=-2: +=

+

+=

+

++ 2

2

22

2

2 )2(

)1(lim

)2(

)1(lim

x

x

x

x

xx

- horizontalna: 144

12lim

)2(

)1(lim

2

2

2

2

=++

++=

+

+ xx

xx

x

x

xx, zna~i

y=1 e horizontalna asimptota- kosa asimptota-nema.

intervali na monotonost i ekstremi:

( ).

)2(

)1(2

)2(

12)1(2

)2()1(2)2)(1(2

)2()1)(2(2)2)(1(2

)2()1(

33

3

2

4

22

2

2

+

+=

+

++=

=+ +++=+ ++++=

++=

x

x

x

xxx

xxxx

xxxxx

xxy

Od 0=y se dobiva x=-1, pa zemaj}i ja vo predvid i prekidnata to~ka nafunkcijata, intervalite na monotonost se ),1(),1,2(),2,( + , aznakot na prviot izvod vo sekoj od niv e daden vo slednata tabela:

x -2 -1 +y

+ - +


6/77


Qubica Stefanova

6

- :)2,( >

= 0

)1(

)2(2)3(

3y funkcijata raste;

- :)1,2( +

+= 0

2

20

3y funkcijata raste i bidej}i zax=-1

funkcijata e definirana, sleduva deka toa e to~ka na lokalen minimumkoj iznesuva 0.

intervali na konkavnost i konveksnost i prevojni to~ki:446

23

3

)2(

24

)2(

)1(6)2(2

)2(

)2)(1(32)2(2

)2(

)1(2

+

=

+

++=

+

+++=

+

+=

x

x

x

xx

x

xxx

x

xy .

Od 0=y se dobiva2

1=x , pa zemaj}i ja vo predvid i prekidnata to~ka

na funkcijata, intervalite na konkavnost/konveksnost se

+

,2

1,

2

1,2),2,( , a znakot na vtoriot izvod vo sekoj od niv e

daden vo slednata tabela:

x -2 -1/2 +y + + -

- :)2,( >++

+

= 0212

)3(y grafikot e konkaven;

- :2

1,2

( ) >++

+

= 024

1y grafikot e konkaven;

-

+ ,2

1: ( ) +

+=y -funkcijata raste;

:)2;6,0( 0141

)1( ++

=

=

+

xxx

xx

x

x

x

).0(0

8

)22(

8lim

)2)(1(lim

),0(0

8

)22(1

8lim

)2)(1(lim

0

3

0

3

2

>++

=+

=

>

=

=

+

xx

x

xx

x

x

x

- horizontalna: +++ 23

lim2

3

x

x

x,

+ 23lim

2

3

xx

x

x-nema

horizontalna asimptota- kosata asimptota ja barame vo oblikot baxy += , kade {to

123

lim)(

lim23

3

=+

== xxx

x

x

xfa

xxi

( ) 323

23lim

23lim))(lim

2

2

2

3

=+

=

+==

xx

xxx

xx

xaxxfb

xxx, {to zna~i deka

kosa asimptota e pravata 3+= xy . intervali na monotonost i ekstremi:

22

22

22

322

2

3

)2()1(

)66(

)2()1(

)32()23(3

23

+

=

+

=

+= xx

xxx

xx

xxxxx

xx

x

y . Od 0=y ,

se dobiva 02/1 =x i 332

326

2

243664/3 =

=

=x , odnosno

stacionarnite to~ki )0,0(1M , )4,10;3,1(2 M i )4,10;7,4(3M Monotonosta ja ispituvame vo slednite intervali:

x - 0 1 1,3 2 4,7 + y + + + +

y

0)1( >y , 02

1>

y , 01

4

1

2

1y zax


28/77


Qubica Stefanova

28

3. Da se najde po definicija izvodotna funkcijata 32 += xy .

Re{enie:

=

+=

=

x

xfxxf

x

yy

xx

)()(limlim

00

=

++=

x

xxx

x

33)(lim

22

0

xx

xx

x2

2lim

0=

=

slika 4

09.09.2004god.

1. Da se re{i neravenkata 12 >+ xx i dobienoto re{enie da se

pretstavi na brojnata oska.

Re{enie:

+

=+

22

20

22

2

xx

x

xx

x ,

=

0

00

0

xx

x

xx

x . Neravenkata ja

razgleduvame vo intervalite ),0(),0,2(),2,( + .)2,( : 12121)(2 >>+> xxxx , nezavisno od vrednosta

na x vo toj interval, {to zna~i deka neravenkata ne e zadovolena za

nieden )2,( x .)0,2( : 2/112121)(2 >>>++>+ xxxxxx , re{enie vo ovoj

interval e sekoj ( )0,2/1x . Za 2/1=x imame: 12

1

2

3

2

12

2

1==+ ,

{to zna~i deka za2

1=x dadenata neravenka ne e zadovolena.

),0( + : 1212 >>+ xx , nezavisno od vrednosta na x vo toj interval,{to zna~i deka neravenkata e zadovolena za sekoj ),0( +x , a bidej}i e

zadovolena i zax=0, ( 1020 >+ ) zna~i re{enieto na dadenata neravenka

e:

+ ,

21x (slika 1).

-2 -1 0 1 2slika 1

2.Dadeni se vektorite rqpa ++=rrr

2 , rqpb ++=rr

23 i rqpc ++=rr

, kade {to

rqp ,,rr

se nekomplanarni vektori. Da se razlo`i vektorot rqps =rr

po

pravcite na vektorite ba, i c .

4 2 0 2 4

4

2

2

4

6

88

4

x x 2+

44 x


29/77


Qubica Stefanova

29

Re{enie: ba, i c }e gi izrazime preku vektorite rqp ,,rr

re{avaj}i go

sistemot

=++

=++

=++

crqp

brqp

arqp

rr

rr

rrr

23

2

. Spored Kramerovoto pravilo imame:

cacac

b

a

p =

==1

111

123

112

11

12

11

, cbac

b

a

q ++== 21

11

13

12

, cbac

b

a

r +==1

11

23

12

carqps 32 ==rr

3. ME[AN PROIZVOD NA TRI VEKTORI. Da se najde volumenot iedna visina na paralelopipedot konstruiran nad vektorite )1,1,0(=a

r,

)1,0,1(=b i )0,1,1(=c .Re{enie: (slika 2)

c b

a slika 2

2

011

101

110

|)(| === cbaV . Od HbaBHV || == , se dobiva:

3

2

)1(11

2

|)1,1,1(|

2

101

110

2

|| 222=

++=

==

=

kjiba

VH .

3. ODNOS ME|U PRAVA I RAMNINA. Da se ispita dali se se~at

pravite4

3

1

7

2

1 =

=

zyxi

1

2

2

1

3

6 +=

+

= zyx

. Vo potvrden slu~aj da se

najde nivnata prese~na to~ka.Re{enie: Uslov dadenite pravi da le`at vo ista ramnina e da bidat

komlanarni vektorite 21, aa i 21MM , kade )4,1,2(1 =a , )1,2,3(2 =a ,

)3,7,1(1

M , )2,1,6(2

M i )5,8,5(21

=MM , odnosno me{aniot proizvodna tie vektori da bide nula.


30/77


Qubica Stefanova

30

Imame: 015164096520

585

123

412

)( =++++=

=cba , dadenite pravi

le`at vo ista ramnina. Parametarskite ravenki na dadenite pravi

soodvetno se:

+=

+=

+=

34

7

12

tz

ty

tx

i

=

=

+=

2

12

63

sz

sy

sx

od kade se dobiva sistemot od tri ravenki so dve

nepoznati:

=+

=+

+=+

234

127

6312

st

st

st

~ie re{enie e t=-2,s=-3. Za prese~nata to~ka se

dobiva S(-3, 5, -5).4. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA (op{t oblik, domen, opseg,intervali na monotonost, ograni~enost, nuli, grafici) . Da se nacrtagrafikot na funkcijata 22 = xy i od grafikot da se odredi domen,opseg, intervali na monotonost i nuli.

Re{enie: (slika 3) Domen: ),( +x ; opseg: ),2( +y ; monotonoraste vo celiot domen, ima edna realna nula,x=1.

5. Da se presmeta: a)5

21lim

5

x

x, b)

+x

x

x

x 1lim

2

3

.

Re{enie:

a) ( )( ) =+

=+

+

=

21)5(

21lim

21

21

5

21lim

0

0

5

21lim

22

555 xx

x

x

x

x

x

x

x

xxx

( ) ( ) 41

215

1

21lim

1

21)5(

5lim

5

5=

+=

+=

+

=

xxx

x

x

x,

b) 01

lim1

)1(lim

1lim

22

23

2

3

=+

=

+

+=

+

x

x

x

xxxx

x

x

xxx

43421

.

12

4

f x( )

2

42 x

2 1 0 1 2 3 4

4

2

2

4

68

10

1210

2

f x( )

g x( )

34 x

4 3 2 1 0 1 2 32

2

4

6

8

10

slika 3 slika 4

6. GEOMETRISKO TOLKUVAWE NA IZVODOT. Da se nacrtagrafikot na funkcijata xxy 22 += i da se napi{e ravenkata na

tangentata na ovaa kriva vo to~katax=2.


31/77


Qubica Stefanova

31

Re{enie: (slika 4) Ravenkata na tangentata e )( 000 xxyyy = , kade

20 =x , 82222

0 =+=y , ( ) ( ) 6222222 0020 =+=+=+= xxxy , pa baranataravenka }e bide )2(68 = xy , odnosno 46 = xy (slika 4-----).7. Koristej}i gi tabli~nite izvodi i pravilata za diferencirawe, da se

presmeta:

a) ( )xx ln , b)

+

xx

xx

cossin

cossin, v) ( )+ 232 2 xx .

Re{enie: a) ( ) 1ln1

ln)(lnlnln +=+=+= xxxxxxxxx ,

b) =+

++=

+

2)cos(sin

)cos(sin)cos(sin)cos(sin)cos(sin

cossin

cossin

xx

xxxxxxxx

xx

xx

.cossin21

2

)cos(sin

cossin2sincoscossin2cossin)cos(sin

)cos)(sinsin(cos)cos)(sinsin(cos

2

2222

2

xxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxx

+=

+

++++=

=

+

++=

v) ( )2322

34)232(

2322

1232

2

2

2

2

+

+=+

+=

+

xx

xxx

xxxx .

8. Da se proveri dali funkcijata xx eey += 24 ja zadovoluva ravenkata01213 = yyy .

Re{enie: xxxx eexexey =+= 24)(2)4( 44 , xx eey += 216 4 ,xx eey = 264 4 pa zamenuvaj}i vo dadenata ravenka imame:

0)24262()125264( 4 =++ xx ee .9. ISPITUVAWE NA MONOTONOST I EKSTREMI NAFUNKCIJA SO POMO[ NA IZVODI. Da se najdat intervalite na

monotonost i ekstremite na funkcijata 51223

23

+= xxx

y .

Re{enie: Stacionarnite to~ki se re{enijata na ravenkata 0=y ,odnosno

4,3,2

71

2

4811

,0120122

2

3

3212/1

22

==

=

+

=== xxxxxxx

, paso ogled na toa {to funkcijata e definirana za sekoj realen broj,intervalite na monotonost se ),4(),4,3(),3,( + . Kvadratniot trinom

122 xx e pozitiven vo intervalite )3,( i ),4( + kade {to izvodote pozitiven, {to zna~i deka vo tie intervali funkcijata monotono raste.

122 xx


32/77


Qubica Stefanova

32

funkcijata ima minimum koj iznesuva3

895)4(12

2

)4(

3

)4( 23

min =+=y

(slika 5).

30

30

f x( )

99 x

9 7 5 3 1 1 3 5 7 9

30

20

10

10

2030

slika 5

23.09.2004god.

1. Vo odnos na parametarot a da se diskutiraat re{enijata na sistemot:

=++

=+

=++

1

142

32

zyx

zyx

zayx

.

Re{enie: Determinantata na sistemot e:

36242441

111

412

21

=+=

= aaa

a

D . Od 0D , 036 a se

dobiva deka sistemot ima edno re{enie za2

1a . Za

2

1=a

determinantata na sistemot e nula, pa toj mo`e da bide neopredelen iliprotivre~en. Ponatamu imame:

02

1122223

111

411

22/13

+++=

=xD {to zna~i deka za2

1=a

dadeniot sistem e protivre~en.

2. SKALAREN I VEKTORSKI PROIZVOD (definicija i koordinaten

oblik). Da se presmeta ba i || ba ako: qparrr

+= 2 , qpbrr

3= i

4,3 == qprr

i agolotme|u niv3

= .

Re{enie: ba =( qprr

+2 )( qprr

3 )=2 ( )pp -6 ( )qp + ( )321

)( qp

pq -3 ( )qq =

=2 )(52

qppr

32

qr

= 60482

160181633cos43592 ==

.


33/77


Qubica Stefanova

33

{ {

.3422

3437

3sin||||7|)(7|

|)(3)()(6)(2||)3()2(|||

0)(0

==

==

=+=+=

qpqp

qqpqqpppqpqpba

qp

321

3. ODNOS ME\U DVE RAMNINI (agol me|u dve ramnini; uslov zaparalelnost i normalnost). Da se opredeli ravenkata na ramninata {to

minuva niz pravata

=++

=++

12

3532

zyx

zyx i e normalna na ramninata

122 =+ zyx .Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuva niz dadenata prava e:

03)25()3()2(0)12(3532 =+++++=+++++ zyxzyxzyx .

Dirkcioniot vektor na snopot ramnini e )25,3,2( +++=n , a na

dadenata ramnina e )2,2,1(1 =n .

n 04102620)2,2,1)(25,3,2(0)( 11 =+++=+++= nnn, od kade se dobiva 263 == , pa baranata ramnina e 01 =+ zy ,koja ima specijalna polo`ba, paralelna e sox-oskata.4. MONOTONOST NA FUNKCII. Logaritamska funkcija (domen,

opseg, nuli, presek soy-oskata, intervali na monotonost, NGV, NMV). Dase nacrta grafikot na funkcijata 2lg2 = xy (domen, opseg, nuli, preseksoy-oskata, intervali na monotonost, NGV, NMV) .

Re{enie: (slika 1)domen: ),0( +x ; opseg: ),( +y ; nuli: x=4 ( 02224lg2 == ;nema

presek soy-oskata; monotono raste vo domenot; nama NGV, nema NMV.5. Da se presmeta

49

32lim

27

x

x

xi xxx

x2454lim 2 +

.

Re{enie:

=+

=

+

+

+

=

)7)(7(

)3(4lim

32

32

)7)(7(

32lim

0

0

49

32lim

7727 xx

x

x

x

xx

x

x

x

xxx

14

1

)7(lim

1

)7)(7(

7lim

7

7=

+=

+

=

xxx

x

x

x,

( ) ( ) =++++

+=+ xxx

xxx

xxxxxx xx 2454

2454

2454lim2454lim 2

222

444 3444 21

( )4

5

245

4

45

lim2454

4454lim

2454

4454lim

2

2

22

2

22

2

=

++

+=

++

+=

++

+=

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx


34/77


Qubica Stefanova

34

4

6

f x( )

2

82 x

2 0 2 4 6 8

6

4

2

2

4

4

2

f x( )

1

44 x

4 2 0 2 4

2

1

1

2

3

4

slika 1 slika 2

6. DEFINICIJA ZA IZVOD. OSNOVNI PRIMERI.

7. Da se najde

+2

ln xe x , ( )xx cos3 ,

+

12

12

x

x

i

+ xx 32 .

Re{enie:

xe

xe xx

2

1

2

ln+=

+ ,( )

xxxxxx sincos3cos 323 =

,

2

1

22 )12(

2ln2

)12(

)1212(2ln2

)12(

)12(2ln2)12(2ln2

12

12

+=

+

++=

+

+=

+

+

x

x

x

xxx

x

xxxx

x

x

,

( )xx

xxx

xxxx

32

32)3(

32

13

2

2

2

2

+

+=+

+=

+ .

8. Za funkcijata1

3

2

2

+

+=

xy da se najde: domen i preseci so koordinatnite

oski, asimptoti, intervali na monotonost i ekstremi. Koristej}i gi

dobienite rezultati da se nacrta grafikot.Re{enie: domen: ),( +x ; preseci so koordinatnite oski: nema preseci sox-oskata (nema

nuli); zax=0 se dobiva prese~nata to~ka soy-oskata (0, 3).

asimptoti: nema vertikalni asimptoti; od 11

3lim

2

2

=+

+ x

x

xsleduva

dekay=1 e horizontalna asimptota; nema kosi asimptoti. intervali na monotonost i ekstremi:

( ) ( ) ( )22222222

1

4

1

62

1

)3(2)1(2

+=+

=+

++= x

x

x

xx

x

xxxx

y . Od ( ) 014

22 =+= x

x

y se

dobiva stacionarnata to~ka (0, 3), a so ogled na toa {to funkcijata nemaprekidni to~ki, intervalite na monotonost se ),0(),0,( + . Vo prviotinterval prviot izvod e pozitiven, funkcijata raste, a vo vtoriot prviotizvod e negativen, funkcijata opa|a. To~kata (0, 3) e to~ka na lokalenmaksimum. (slika 2)


35/77


Qubica Stefanova

35

17.11.2004 god.

1. Da se re{i neravenkata 11

1+

+>

+

xxxxx

xxx, od

kade se dobiva 01 >< xx , odnosno ),0()1,( + Ux ;

II. 01

201

11

1

11+

=

++

=+nnn

n

n

naa nn za sekoj

priroden broj {to zna~i deka ovaa niza monotono raste.

6. Da se presmeta1

lim2

0

x

xx

xi

xxx

xx

x 533

322lim

23

3

+

+

Re{enie: =+

+=

+

+

=

))(1(

)1)((

1

||

||1lim

0

0

1lim

2

422

1

2

1 xxx

xxx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

32

6

)(

)1)(1(lim

))(1(

)1)(1)(1(lim

2

2

12

2

1==

+

+++=

+

+++=

xx

xxxx

xxx

xxxxx

xx,

0 2 4 6 8 10 12 14 16

4

2

2

44

4

log x 2,( )

log x 2 2,( ) 2

160 x

3 1 1 3 5 7

4

2

2

4

66

4

1 16 x2

4x+

1 16 x2

4x++

3 0.5x

5 0.5x+

73 x


37/77


Qubica Stefanova

37

( ) 32

/5/33

/3/22

lim533

322lim

23

0

323

23

3

=+

+

=+

+++ xxx

xxx

xxx

xx

xx

4484476

( )( ) 32

/5/33/3/22lim

533322lim

533322lim

23

323

23

3

23

3

=++++=

++++=

++

++ xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxx.

7. GEOMETRISKO TOLKUVAWE NA IZVODOT. Da se najde ravenkatana tangentata na krivata 152422 =+ yxyx vo edna od prese~nite to~ki soy-oskata.Re{enie: (slika 3) Dadenata kriva e kru`nicata 20)1()2( 22 =+ yx so

centar vo to~kata (2, 1) i radius 52 . Prese~nite to~ki so y-oskata sedobivaat od kvadratnata ravenka 01522 = yy : (0, -3) i (0, 5). Izvodot

od ovaa, implicitno zadadena funkcija e1

2

=

y

xy .

(0, -3): ( )2

1

1

2

)3,0(

)3,0(=

=

y

xy , a ravenkata na tangentata e xy

2

13 =+ .

(0, 5): ( )2

1

1

2

)5,0(

)5,0(=

=y

xy , a ravenkata na tangentata e xy

2

15 = .

(slika 3).

8. Da se najde: a) ( )x2cos ; b)dx

dyy = ako

=

=

tay

tax

sin

cos.

Re{enie: a) ( ) ( ) ( ) xxxxx 2cos22sinsincos2cos2 === ,b) t

ta

tayy ctg

sin

cos=

==

&

&.

9. Da se najdat intervalite na monotonost i ekstremite na funkcijata( )

12

21

++

=x

xy

Re{enie:( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )222222

22

22

1

112

1

112

1

2112 1

+

+

+

++

+

++==

+=

x

xx

x

xxxx

x

xxx xy . Od 0=y

se dobiva 1=x odnosno stacionarnite to~ki (-1, 0) i (1, 2).Funkcijata e definirana za sekoj realen broj i intervalite namonotonost se ( ) ( ) ( )+ ,1,1,1,1, .

( ) :1, 03)1(2

)2( +

=y -funkcijata raste i (-1, 0) e to~ka na lokalen

minimum.

( ) :,1 + 0)1(32

)2( + xx

+

=+.11

,10

,11

1

xx

x

xx

x

=.22

,20

,22

2

xx

x

xx

x

Neravenkata ja razgleduvame vo sekoj od intervalite: )2,1(),1,( i),2( + .

:)1,( 63121 >>+ xx -vo ovoj interval neravekata nema re{enie

)2,1( :)2,1(,122121 >=>++ xxxxx ;

),2( + :

8 6 4 2 0 2 4 6 8

10

86

42

246

88

10

f x( )

x 1

88 x


53/77


Qubica Stefanova

53

13121 >>++ xx -neravenkata e zadovolna za sekoj broj od ovojinterval, pa kone~noto re{nie e: ),1( +x

Na slika 1 daden e grafikot na funkcijata |2|1 += xxy i pravata

1=y od kade mo`e da se vidi dobienoto re{enie.

8 6 4 2 0 2 4 6 8

4

3

2

1

1

2

3

44

4

f x( )

1

88 x

4 3 2 1 0 1 2 3 4

2

1

1

2

3

44

2

2x

1

1

44 x slika 1 slika 2

2. So pomo{ na Kramerovoto pravilo da se re{i linearniot sistem

ravenki

=+

=+

=+

azyx

azyx

zyx

43

332

143

.

Re{enie:

22

413

132

431

=

=D ,

a

a

aDx 3311

41

133

431

=

= ,2

3122

3311 aax == ;

a

a

aDy 5511

43

132

411

+=

= ,2

51

22

5511 aay

+=

+= ;

a

a

aDz 3311

13

332

131

+=

= ,2

31

22

3311 aay

+=

+= .

3. VEKTORSKI PROIZVOD (definicija, barem tri svojstva ikoordinaten oblik).Nad vektorite nmABa 2+== i nmADb 3== kade

{to 2||,4|| == nm i agolot me|u niv3

= , konstruiran e paralelogram

ABCD. Da se presmeta: a) Plo{tinata na paralelogramot, b) visinataspu{tena od temetoD kon stranataAB.

Re{enie: a) || baP = , )(8)3()2()( nmnmnmba =+= ,

3323

sin248)(8 =

== nmP .


54/77


Qubica Stefanova

54

b) 834

332

48

332

163

cos3216

332

)2(

332

|| 2===

+

+

=+

==nma

Ph .

4. OP[T OBLIK NA RAVENKA NA RAMNINA (da se navedat baremdva posebni slu~ai). Da se napi{e ravenkata na ramninata koja minuvaniz to~kata M(2, 3, -1) i nizz-oskata.Re{enie: 0)1()3()2( =+++ zCyBxA 032

0

=+++ 43421 CBACzByAx i C=0,

od kade se dobiva BA 32 = , odnosno BA2

3= , pa baranata ramnina e

02302

3==+ yxyx .

5. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA (op{t oblik, domen, opseg,

ograni~enost, monotonost, nuli, grafici). Da se nacrta grafikot nafunkcijata 12 = xy . Dali ovaa funkcija ima nuli?

Re{enie: (slika 2) Od 02212 == xx se dobiva deka dadenatafunkcija ima edna realna nula,x=0.

6. Da se presmeta:5

21lim

5

x

xi

+x

x

x

x 1lim

2

3

.

Re{enie: =+

+

=

21

21

5

21lim

0

0

5

21lim

55 x

x

x

x

x

x

xx

( ) 41

215

1

21)5(

5

lim5 =+=+

= xx

x

x .

01

lim1

lim1

lim22

33

2

3

=+

=+

=

+ xx

x

xxxx

x

x

xxx.

7. Da se najde: ( )+ xx tg2 , ( )xx ln2 ,

+1

23

3

x

xi )(sin xe

Re{enie: ( )xx

xx2cos

2

2

1tg2 +=

+ , ( ) )1ln2(1ln2ln 22 +=+= xx

xxxxxx ,

23

2

23

3232

3

3

)1(

6

)1(

23)1(6

1

2

+=

++=

+ xx

x

xxxx

x

x , xxxxx eeeee coscos)(sin == .

8. GEOMETRISKO TOLKUVAWE NA IZVODOT. Da se napi{eravenkata na tangentata i na normalata na krivata 12 23 += xxy voto~kata ),1( 0y .

Re{enie: (slika 3) Dopirnata to~ka e (1, 2), a koeficientot na pravec

na tangentata e ( ) ( ) 74312 121230 =+=

+= == xx xxxxy .- ravenka na tangenta: 57)1(72 == xyxy ;

ravenka na normala: 157)1(712 =+= xyxy .


55/77


Qubica Stefanova

55

3 2 1 0 1 2

8

6

4

2

2

4

6

88

8

f x( )

7x 5

x

7

15

7+

23 x

4 3 2 1 0 1 2 3 4

10

86

42

2

46

88

10

f x( )

x 1

44 x slika 3 slika 4

9. Za funkcijata1

2

+=

x

xy da se najde: domen, asimptoti, intervali na

monotonost, ekstremi i intervali na konkavnost i konveksnost.Re{enie:

domen: 101 + xx , ili ),1()1,( + Ux ; preseci so koordinatnite oski:

- so y-oskata, za x=0, se dobiva y=0 i za y=0 se dobova x=0, odnosnokrivata minuva niz koordinatniot po~etok )0,0(O ;

asimptoti:- vertikalna, 1=x . Odnesuvaweto na funkcijata okolu verikalnataasimptota e dadeno so slednite ednostrani granici:

).0(0

1

11

1lim

1lim

);0(

0

1

11

1lim

1

lim

0

2

1

0

2

1

>++

=+

=+

>

=

+

=

+

+

x

xx

x

x

x

- horizontalna: +++ 1

lim2

x

x

x,

+ 1lim

2x

x-nema horizontalna

asimptota;- kosata asimptota ja barame vo oblikot baxy += , kade {to

11

limlim)(

lim2

2

=+

=+

== x

x

xx

x

x

xfa

xxxi

( ) 11

lim1

lim1

lim))(lim222

=+

=+

=

+==

xx

xxxxx

xxaxxfb

xxxx.

Kosa asimptota e pravata 1= xy . intervali na monotonost i ekstremi:

2

2

2

22

)1(

2

)1(

)1(2

1 +

+=

+

+=

+=

x

xx

x

xxx

x

xy . Od 0=y , se dobiva 01 =x i 22 =x ,

odnosno stacionarnite to~ki )0,0(1M i )4,2(2 M .

Monotonosta ja ispituvame vo slednite intervali:


56/77


Qubica Stefanova

56

x - -2 - 1 0 + y + +

y

09

)3( >+

=y , 043

2

3

=

+

=


59/77


Qubica Stefanova

59

3. Nad vektorite nmABa 32 == i nmADb 2+== kade {to 2|||| == nm i

agolot me|u niv3

= , konstruiran e paralelogram ABCD. Da se

presmeta:

a) Plo{tinata na paralelogramot; b) visinata spu{tena od temetoD konstranataAB.

Re{enie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+==321321

00

672232 nnnmmmnmnmADABP

( ) 3142

328sin||||77 ==== nmnm .

.2128

314

2452

314

2

14852

314

36

3

cos221216

314

9)(124)32(|| 222

==

=

=

=

+

=+

=

==

nnmm

P

nm

P

AB

PhD

4. ODNOS ME\U PRAVA I RAMNINA (agol me|u prava i ramnina;uslov za paralelnost i normalnost). Da se opredeli ravenkata na

ramninata {to minuva niz pravata

=++

=++

12

3532

zyx

zyx i e paralelna so z-

oskata.Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuva niz dadenata prava e

0)3()25()3()2(0)12(3532 =++++++=+++++ zyxzyxzyx .Baranata ramnina }e bide paralelna soz-oskata ako koeficientot predze ednakov so nula, odnosno ako e ispolnet uslovot 025 =+ od kade sedobiva 2/5= , a baranata ramnina e 01 =+ yx .5. KVADRATNA FUNKCIJA (op{t oblik, domen, opseg, ograni~enost,monotonost, nuli, grafici). Da se skicira grafikot na funkcijata

23)( += xxxxf i od grafikot da se komentira: domen, intervali na

monotonost, ograni~enost, NMV, NGV, ekstremi i nuli.

Re{enie: (slika 1)

slika 1 slika 2

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

7

6

5

4

3

2

1

1

2

33

7

3x x x 2+

x2

5x+

x2

x+

46 x

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

6

4

2

2

4

6

8

1010

6

x2

3+( )x 1

x 1+

66 x


60/77


Qubica Stefanova

60

Funkcijata e definirana za sekoj realen broj, raste za

2

1,

2

5x , opa|a

za

+

,2

1

2

5, Ux , ne e ograni~ena, nema NMV, nema NGV, ima tri

realni nuli: -5, 0 i 1.6. Da se presmeta:

233 3

62lim

x

x

i

+

xx

x1lim 2

Re{enie:9

2

lim

12

)3(

)3(2lim

0

0

3

62lim

2

3

23233==

=

xxx

x

xx

x

x

xx.

01

1

1lim

1

11lim

2

22

2

22 =

=

++

+=

++

++

+

+ xx

xx

xx

xxxx

xx 43421, =

+

+ 43421

xxx

1lim 2 .

7. Da se najde: ( ) xx ctg23 , ( )xx sin2 ,

+ 3

3

2

2

x

xi )( 3

2xxe

Re{enie: ( )x

xxx2

3/23

sin

2

3

1ctg2 +=

, ( ) xxxxxx cossin2sin 22 += ,

( )( ) ( )2222

22

2

2

3

18

3

2336

3

3

+=

+

+=

+ x

x

x

xxxx

x

x,

( ) ( ) xxxxxx exxxee 3233 222 323)( == .8. Da se napi{e ravenkata na tangentata i na normalata na krivata

12 23 += xxy vo to~kata ),1( 0y .

Re{enie: Za 10 =x se dobiva 20 =y . 74312 121230 00 =+=+= == xx xxxxy .Ravenkata na tangentata e ( )172 = xy odnosno 57 = xy .

Ravenkata na normalata e ( )17

12 = xy , odnosno 157 =+ yx .

9. PRIMENA NA PRV IZVOD ZA ISPITUVAWE NAMONOTONOST I EKSTREMI NA FUNKCII. Za funkcijata

1

32

+=

x

xy da se najde: domen, asimptoti, intervali na monotonost i

ekstremi.

Re{enie: domen: od 01 x se dobiva 1x , odnosno dadenata funkcija edefinirana za ),1()1,( + Ux ;

preseci so koordinatnite oski:sox- oskata: ody=0 se dobivax2+3=0, nema preseci sox-oskata; so y- oskata:od x=0 se dobivay=-3, prese~na to~ka soy-oskata e (0, -3).

asimptoti:- vertikalna e pravata x=1;

- horizontalna: =+

1

3lim

2

x

x

x-nema horizontalna asimptota;


61/77


Qubica Stefanova

61

- kosa: baxy += , 13

lim2

2

=+

= x

xa

x, 1

1

3lim

1

3lim

2

=

++

=

+

= x

xx

x

xb

xx, kosa

asimptota e pravata 1+= xy ; intervali na monotonost i ekstremi:

3,1320)1(

32

)1(

)3()1(2

1

321

2

2

2

2

22

===

=

+

=

+

= xxxxx

xx

x

xxx

x

xy

Intervalite na monotonost se:x - -1 1 3 +y + - - +y

Funkcijata ima lokalen maksimum vo to~kata x=-1 i iznesuva -2 ilokalen minimum vo to~katax=3 i iznesuva 6 (slika 2).

02.11.2004god. (prv test)Igrupa

1. Vo odnos na parametarot da se diskutiraat re{enijata nasistemot:

( )

=++

=+++

=++

zyx

zyx

zyx

32

253

32

.

Re{enie: Determinatata na sistemot e :

9892041656

321

513

1222 =+++=+

=D . Od D=0

se dobiva: 9,1;542

36648212/1 ===

+= .

za 1 i 9 , sistemot ima edno re{enie i e opredelen; za 1= se dobiva sistemot

=++

=++

=+

132

243

32

zyx

zyx

zyx

od kade imame:

0

321

412

113

=

=xD , 0

311

423

132

=

=yD , 0

121

213

312

=

=zD i

bidej}i postojat subdeterminanti od vtor red razli~ni od nula, na pr.,

0532

4111 ==A , zna~i deka za 1= sistemot e neopredelen (ima

beskone~no mnogu re{enija), re{enija se site to~ki od pravata

opredelena so dadenite ravenki;


62/77


Qubica Stefanova

62

za 9= se dobiva sistemot

=++

=++

=++

932

2143

392

zyx

zyx

zyx

od kade imame:

0

329

1412

193

=xD , {to zna~i deka za 9= sistemot e protivre~en.

2. Dadeni se vektorite nma 22 +=r i nmb += 5 , 1=m , 3=n i ba . Dase najde agolot me|u vektorite m i n , kako i plo{tinata naparalelogramot {to tie go obrazuvaat.

Re{enie: Od normalnosta na dadenite vektori go imame uslovot:

) 0=ba , odnsono ) ) ) =+=++ 0||28||100522 22 nnmmnmnm

3

1

cos8cos24092cos318110 ===+ ; 3

1

arccos= .Za plo{tinata na paralelogramot konstruiran nad vektorite m i n ,

se dobiva: 223

83

9

113cos13sin|||||| 2 ====== nmnmP .

3. To~kite ( )3,2,1A , ( )4,2,2B , ( )5,4,3C i ( )2,2,2S se temiwa na tetraedar.Da se presmeta volumenot na tetraedarot i dol`inata na visinataspu{tena od temeto S.

Re{enie: (slika 1)S

H

C

A Bslika 1

Volumenot na tetraedarot zadaden so koordinatite na svoite temiwa

e:( )ASACABV

6

1= , kade )1,0,1(=AB , )2,2,2(=AC i )1,0,1( =AS .

Ponatamu imame: ( ) 4101

111

101

2

101

222

101

=

=

=ASACAB i3

2

6

4==V , a

baranata visina e:


63/77


Qubica Stefanova

63

2

2

22

4

|)2,0,2(|

4

222

1012

1

2

||

3==

==

=

kjiACAB

VH .

4. Da se proveri dali se se~at pravite2

2

2

1

2:)(

=

=

zyxp i

2

3

21

2:)(

=

=

zyxq . Vo potvrden slu~aj da se najde nivnata prese~na

to~ka i ramninata vo koja tie leàt.Re{enie: Potreben i dovolen uslov za dadenie pravi da se se~at e

me{aniot proizvod me|u direkcionite vektori ne dvete pravi i edenvektor ~ij po~etok e na ednata, a krajot na drugata prava, e ednakov

nula. )2,2,2(1 =a , )2,2,1(2 =a ; )()3,0,2(),()2,1,0( 21 qApA i

)1,1,2(21 =AA .

( ) 0112

221

111

2

112

221

222

2121 =

=

=AAaa , pravite se se~at.

Parametarskite ravenki na sekoja od dadenite pravi se:

+=

+=

=

22

12

2

:)(

tz

ty

tx

p ;

+=

=

+=

32

2

2

:)(

sz

sy

sx

q od kade se dobiva sledniot sistem

od tri ravenki so dve nepoznati:

+=+

=+

+=

3222

212

22

st

st

st

od koi dve se

nezavisni, pa zemaj}i giprvite dve se dobiva:

=+

+=

st

st

212

22~ie re{enie

e:2

1,1 == ts , pa zamenuvaj}i vo (p) ili (q) se dobiva prese~nata to~ka

)1,2,1(S . Ravenkata na ramninata vo koja leàt pravite (p) i (q) sedoviva od uslovot za komplanarnost na tri vektori od koi dvata se

direkcionite vektori na dadenite pravi, a tretiot proizvolen vektor odramninata ~ij po~etok moè da bide to~ka od nekoja od dadenite pravi, akrajot e proizvolna to~ka (x,y,z) od ramninata, pa imame:

030)2(6)1(600

21

221

222

: ===

zyzyx

zyx

{to

pretstavuva ramnina paralelna sox-oskata.5. Da se opedeli ravenkata na ramninata {to minuva niz pravata

=++

=++

0123

0132:

zyx

zyxp i e normalna na ramninata 02 =++ zyx . Dali

dobienata ramnina ima nekoja specijalna polo`ba?


64/77


Qubica Stefanova

64

Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuvaat niz dadenataprava e:

01)3()22()31(,0)123(132 =+++++=+++++ zyxzyxzyx ;

direkcioniot vektor na snopot ramnini e )3,22,31( +++=n , a na

dadenata ramnina e )1,1,1(1 =n . Od uslovot za normalnost imame:0)( 1 =nn , odnosno 0)1,1,1()3,22,31( =+++ od kade se dobiva

ravenkata:166032231 ===+++++ , a baranata ramnina ex-z=0,

ramninata minuva niz y-oskata.....................................................................................................................................1. SKALAREN PROIZVOD (definicija i barem tri svojstva). Da se

najde proekcijata na vektorot )3,2,3( =a vrz vektorot )3,2,1( =b .Re{enie na zada~ata:

148

941943

|)3,2,1(|)3,2,1)(3,2,3(

||)(. =

+++= == b

baaprb .

2. OP[T I SEGMENTEN OBLIK NA RAVENKA NA RAMNINA;nekoi specijalni ramnini. Da se napi{e ravenkata na ramninata {tominuva niz to~kata (-1, 1 2) i otsekuva ednakvi otse~ki na koordinatniteoski.

Re{enie na zada~ata: Ravenkata na ramninata {to otsekuva nakoordinatnite oski otse~ki so dol`ina a e: azyx =++ , a zamenuvaj}i givo nea koordinatite na dadenata to~ka, se dobiva: -1+1+2=a, pa baranataramnina e 2=++ zyx .

3. ODNOS ME\U PRAVA I RAMNINA.II grupa

1. Vo odnos na parametarot da se diskutiraat re{enijata nasistemot:

( )

=++

=++

=+++

13

53

12

zyx

zyx

zyx

.

Re{enie: Determinatata na sistemot e :

145

31

513

112

2 +=

+

=D . OdD=0 se dobiva:

5

32

10

201642/1

=

+= ,

5

1,1 21 == .

za 1 i5

1 , sistemot ima edno re{enie i e opredelen;

za 1= se dobiva sistemot

=+

=++

=++

13

153

1

zyx

zyx

zyx

od kade imame:


65/77


Qubica Stefanova

65

0

311

511

111

=

=xD , 0

311

513

111

=

=yD , 0

111

113

111

=

=zD i

bidej}i postojat subdeterminanti od vtor red razli~ni od nula, na pr.,

0831

5111 =

=A , zna~i deka za 1= sistemot e neopredelen (ima

beskone~no mnogu re{enija), re{enija se site to~ki od pravataopredelena so dadenite ravenki;

za5

1= se dobiva sistemot

=++

=++

=++

135/1

5/153

15/11

zyx

zyx

zyx

od kade imame:

0

35/11

515/1

111

=x

D , {to zna~i deka za 5/1= sistemot e

protivre~en.

2. Dadeno e bap 3+=r , baq 74 += , 2=a , 1=b i qp . Da se najdeagolot me|u vektorite a i b , kako i plo{tinata na paralelogramot {totie go obrazuvaat.Re{enie: Od normalnosta na dadenite vektori go imame uslovot:

) 0=qp , odnsono ) ) ) =+=++ 0||215||40743 22 bbambaba

2

1cos5cos10021cos12544 ===+

i 3

=

.Za plo{tinata na paralelogramot konstruiran nad vektorite a i b , se

dobiva: 32

32

3sin2sin|||||| ==

=== babaP .

3. Vektorite ( )1,1,1=ar , ( )2,1,2=br i kr obrazuvaat paralelopiped. Da sepresmeta negoviot volumen i dol`inata na visinata spu{tena konstranata obrazuvana od vektorite a

ri b

r.

Re{enie: Volumenot na paralelopipedot zadaden so nekomplanarnite

vektori ( )1,1,1=ar

, ( )2,1,2=br

i )1,0,0(=kr

e: ( )kbaV= . Ponatamu imame:

( ) 1100

212

111

=== kbaV ,2

1

|)1,0,1(|

1

212

111

1

||=

==

=

kjiba

VH

4. Dadeni se pravite0

2

1

11:)(

=

=

zyx

p i1

3

3

2

2

5:)(

=

=

zyxq .

Da se opredeli parametarot taka {to dadenite pravi se se~at, a potoa

da se opredeli prese~nata to~ka.


66/77


Qubica Stefanova

66

Re{enie: Potreben i dovolen uslov za dadenie pravi da se se~at eme{aniot proizvod me|u direkcionite vektori ne dvete pravi i edenvektor ~ij po~etok e na ednata, a krajot na drugata prava, e ednakov nula.Ovde imame:

)0,1,(1 =a , )1,3,2(2 =a ; )()3,2,5(),()2,1,1( 21 qApA i )1,1,4(21 =AA .

( ) 10220114

132

01

2121 ==+=

=AAaa .

Parametarskite ravenki na sekoja od dadenite pravi se:

=

+=

=

2

1

1

:)(

z

ty

tx

p ,

+=

+=

+=

sz

sy

sx

q

3

32

25

:)( od kade se dobiva sledniot sistem od

tri ravenki so dve nepoznati:

+=+=+

+=

s

st

st

32

321

251

od koi dve se nezavisni, pa

zemaj}i gi poslednite dve se dobiva:

=

+=

1

13

s

st~ie re{enie e:

2,1 == ts . Zamenuvaj}i vo (p) ili (q) se dobiva prese~nata to~ka)2,1,3( S .

5. Da se opedeli ravenkata na ramninata {to minuva niz pravata

=+++

=++

022

0122:

zyx

zyxp i e paralelna na pravata

1

3

2

1

1

2

=

+=

zyx. Dali

dobienata ramnina ima nekoja specijalna polo`ba?Re{enie: Ravenkata na snopot ramnini {to minuvaat niz dadenata

prava e:021)2()21()2(0)22(122 =++++++=++++++ zyxzyxzyx .

Direkcioniot vektor na snopot ramnini e )2,21,2( +++=n , a na

dadenata prava )1,2,1( =a . Od uslovot za paralelnost na prava i ramnina

imame: 0)( =an , odnosno 0)1,2,1()2,21,2( =+++ od kade se dobiva

ravenkata:

2

1,2402422 ===+++ , a baranata ramnina e

0433 =+ zx , {to pretstavuva ramnina paralelna so y-oskata.....................................................................................................................................

1.VEKTORSKI PROIZVOD (definicija i barem tri svojstva). Da

se najde |)2()(| baba + , ako 2|||| == ba i agolot me|u a i b e 6/ .Re{enie na zada~ata:

{( ){

66

sin223|)(3||)(3)(2||)2()(|

00

===+=+

babbbaaababa

2. ODNOS ME\U DVE RAMNINI I ME\U TRI RAMNINI.3.OP[T OBLIK NA RAVENKA NA PRAVA. Da se napi{at


67/77


Qubica Stefanova

67

kanoni~nite i parametarskite ravenki na pravata:

=+

=++

0532

032

zyx

zyx

Re{enie na zada~ata: Direkcioniot vektor a na dadenata prava ekolinearen so vektorskiot proizvod na direkcionite vektori na

neparalelnite ramnini vo ~ij presek se nao|a pravata:

)5,7,1(

321

11221 =

==

kji

nna , a edna to~ka od pravata }e najdeme

re{avaj}i go dadeniot sistem od dve ravenki so tri nepoznati i zadavaj}iedna koordinata proizvolno, na primerx=1, po {to go dobivame sistemot:

=

=+

432

5

zy

zy~ie re{enie e y=11, z=6, pa baranata to~ka e (1, 11, 6), a

kanoni~nite i parametarski ravenki na dadenata prava soodvetno se:

5

6

7

11

1

1 ==zyx

, { tztytx 56,711,1 +=+=+= .

9.12.2004god. (vtor test)I grupa1. Da se re{i neravenkata 1142 > xx .

Re{enie:

++3

4,

3

4431142 xxxxx , pa re{enieto vo ovoj

intervale ( )

=

2,

3

4

3

4,2,1 Ix .

III. x ),2( + ( ) ),2(,441142 ++>>+ xxxx {to zna~i deka vo

intervalot re{enieto e ( )+ ,4x .

Kone~noto re{enie e: x )1,(

2,

3

4 ( )+,4 .

0 1 2 4slika 1


68/77


Qubica Stefanova

68

2. Da se skicira grafikot na funkciite 123)( += xxf ixxxg = |3|)( .

Re{enie: a) (slika 2), b) (slika 3)


69/77


Qubica Stefanova

69

Site ~lenovi na nizata se pozitivni, a najgolema vrednost ima prviot

~len, {to zna~i deka dadenata niza e ograni~ena, odnosno9

10 < na ,

zna~i nizata e konvergentna, a za nejzinata granica imame:

0

1

)12(

1

lim 2 ==+ nn .5. Da se presmetaat slednite limesi:

a)x

xx

x

+ 3

2

1

12lim , b)

+

xxx

x2474lim 2 , v)

2

5

5lim

2

2x

x x

x

+

.

a) 02

0

)1(

1lim

)1)(1(

)1(lim

12lim

1

2

13

2

1==

+

=+

=

+ xx

x

xxx

x

xx

xx

xxx

b) ( ) =++

+=

++

+++

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

xx

2474

4474lim

2474

24742474lim

2

22

2

22

444 3444 21

=

{

4

7

247

4

47

lim

2474

47lim

0

2

0

2

=

++

+

=++

+

321 xxx

xx

xxx

x

xx

v) =

++=

+

22

15

51lim

5

5lim

2

2

1

2

2x

x

x

x x

x

x

x

43421

=

+

52

210

lim

10

5

2

2

5

101lim

x

x

xx

x x

( ) 1052

210lim

eex

xx

==

.

1. LOGARITAMSKA FUNKCIJA. Op{t oblik, domen opseg,grafici, nuli, monotonost.

2. TRIGONOMETRISKITE FUNKCII sinx i ctgx (domen, opseg,nuli, ekstremi, grafici, monotonost).

9.12.2004god. (vtor test)II grupa1. Da se re{i neravenkata 2263 >+ xx .

Re{enie:


70/77


Qubica Stefanova

70

I. x )2,( )2,()3,(3622263 >+++ xxxxx {to zna~i deka

dadenataneravenka e zadovolena za sekoe x )2,( .II. x )2,2(

>+

21,

21242263 xxxxx , pa re{enieto vo ovoj

intervale ( )

=

2

1,2

2

1,2,2 Ix .

III. x ),2( + ( ) ),2(,51022263 ++>> xxxx {to zna~i deka vo

intervalot re{enieto e ( )+ ,5x .

Kone~noto re{enie e: x

2

1, ( )+,5 (slika 1).

-2 0 1/2 5slika 1

2. Da se skicira grafikot na funkciite ( ) )1(lg3 2 += xxf i|32|2)( = xxxg .

slika 2 slika 3

a) (slika 2) b)


71/77


Qubica Stefanova

71

Domen : ),( +x ; monotono raste za

+

,6

5

6

1, Ux , monotono

opa|a za

6

5,

6

1x ; ne e ograni~ena, odnosno nema NGV i NMV; lokalen

minimum za65=x i

1213

min =y , lokalen maksimum za61=x i

1213

max =y ;

mno`estvoto nuli e

=3

5,

3

1,00M .

slika 84. Da se proveri dali e konvergentna (monotona i ograni~ena) nizata

so op{t ~len2)2(

1

+=

nan . Vo potvrden slu~aj da se opredeli granicata

na nizata.Re{enie: monotonost:

0)2()3(

52

)2()3(

9644

)2(

1

)3(

1

2222

22

221=y , funkcijata raste; )3,1( : 0

6)2( +

=y , funkcijata raste; )2,1( : 0)5,1(


77/77


3,1,2

42

2

1242212/1 ==

=

+= xxx .Monotonosta e dadena vo tabela 3:

x - -1 3 +

y+ - +

y

0182424)2( >+=y -funkcijata raste; 018)0( =y -funcijata raste. To~kata )17,1(1 M e to~ka na

lokalen maksimum, a to~kata )47,3(2 M e to~ka na lokalen minimum.

Documents

M1 Reseni Ispitni Zadaci