49
УНИВЕРЗИТЕТ “СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ” ТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ – БИТОЛА ЗБИРКА РЕШЕНИ ИСПИТНИ ЗАДАЧИ ПО ПРЕДМЕТОТ ОПРЕРАЦИОНИ ИСТРАЖУВАЊА

Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

  • Upload
    nicky

  • View
    811

  • Download
    24

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Citation preview

Page 1: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

УНИВЕРЗИТЕТ “СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ”

ТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ – БИТОЛА

ЗБИРКА РЕШЕНИ ИСПИТНИ ЗАДАЧИ

ПО ПРЕДМЕТОТ

ОПРЕРАЦИОНИ ИСТРАЖУВАЊА

БИТОЛА, 2004

Page 2: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

1

Page 3: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

ГРАФИЧКА МЕТОДА

1. Да се определат ненегативните вредности x1 и x2 за кои функцијата F(x)=3x1+x2

добива минимална вредност, а притоа се задоволени ограничувањата:

Најпрво се цртаат правите на ограничувањата, при што неравенството се заменува со равенство. За цртање на права доволно е да одредиме две произволни точки.

Потоа функцијата на целта се изедначува на нула, се црта и паралелно се пренесува до најблиската точка од дефиниционата област, бидејќи се бара минимум.(Напомена: ако се бара максимум се оди до најдалечната точка.)

Оптимално решение е: x1=2, x2=1, со вредност на функцијата на целта min Z=7.

2

(1)

(2)

(4)

(3)

(5)

Z0

Z

-2

0

2

4

6

8

10

-2 0 2 4 6 8 10x1

x2

М (2,1)

Page 4: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

2. Претпријатие произведува производи А1 и А2 на машини М1 и М2. Машината М1

располага со капацитет од 12 работни часа, а М2 со 6 работни часа. Времето на обработка на М1 е 3 часа, а на М2 е 2 часа, за производство на А1, а за производство на А2, на М1 потребни се 3 часа, а на М2 1 час. Треба да се произведат најмногу 3 производи А1 и 3 производи А2. Цената на А1 е 3 денари, а на А2 е 2 денари. Да се направи план за заработување на максимална добивка.

Со помош на зададени податоци можат да се постават функцијата на целта и ограничувањата:

Оптимално решение е: x1=2, x2=2, со вредност на функцијата на целта max Z=10.

3

(1)

(2)

(3)

(4)

Z0

Z

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8x1

x2

М (2,2)

Page 5: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

3. Храната која се прирема за животни треба да содржи најмалку: 18 единици од материјата А, 16 единици од материјата B и 24 единици од материјата C. Се користат две врсти храна H1 и H2, кој го имаат следниот состав:

H1 H2

A 6 2B 2 4C 2 12

цена 8 12

Да се состави оброк со најмала цена.

Со помош на зададени податоци можат да се постават функцијата на целта и ограничувањата:

Оптимално решение е: x1=2, x2=3, со вредност на функцијата на целта Z=52 ден.

4

(1)

(2)

(3)Z0

Z-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12x1

x2

М (2,3)

Page 6: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

4. Графички да се одреди оптималното решение на:

Оптимално решение е: x1=2, x2=4, со вредност на функцијата на целта Z=110.

5

(1)

(2)

(3)

Z0

Z

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12x1

x2

М (2,4)

Page 7: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

5. Графички да се реши ЛП задачата:

Оптимално решение е: x1=3, x2=9, со вредност на функцијата на целта Z=210.

6

(1)

(2)(3)

Z0

Z

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-2 0 2 4 6 8 10 12 14x1

x2

0,,

120532

6032

423min

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxZ

Page 8: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

6. Графички да се реши ЛП задачата:

Бидејќи функцијата на целта се поклопува со правата (2) од ограничувањата, оваа задача има бесконечно многу решенија. Тие решенија се сите парови точки кои и припаѓаат на отсечката . За да ја одредиме вредноста на функцијата на целта произволно земаме еден пар точки од оваа отсечка.

Оптимално решение е отсечката , со вредност на функцијата на целта Z=12.

7

(1)

(2)Z0

Z

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8x1

x2

А

B

Page 9: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

7. Графички да се реши ЛП задачата:

Бидејќи кај оваа задача правите не одредуваат дефинициона област, задачата нема решение.

Напомена: Доколку правите не се сечат во позитивниот квадрант, туку во некој од другите три квадранти, поради условите за ненегативност, задачата нема да има решение.)

8

(1)

(2)

Z0

-2

0

2

4

6

-2 0 2 4 6x1

x2

Page 10: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

СИМПЛЕКС МЕТОДА

1. Да се одреди оптималното решение на:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 д.ст.

Z 0 1 -3 -5 0 0 0 0

x3 1 0 1 0 1 0 0 4

x4 2 0 0 2 0 1 0 12

x5 3 0 3 2 0 0 1 18

Z 0' 1 -3 0 0 5/2 0 30

x3 1' 0 1 0 1 0 0 4

x2 2' 0 0 1 0 1/2 0 6

x5 3' 0 3 0 0 -1 1 6

Z 0" 1 0 0 0 3/2 1 36

x3 1" 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

x2 2" 0 0 1 0 0.5 0 6

x1 3" 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

Оптимално решение на задачата е: x1=2, x2=6, со вредност на функцијата на целта Z=36.

9

Page 11: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

2. Да се реши ЛП задачата:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

Б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 д.ст.Z 0 1 -1 -12 -10 0 0 0 0

x4 1 0 4 6 3 1 0 0 48

x5 2 0 1 3/2 3 0 1 0 24

x6 3 0 3 1 0 0 0 1 24Z 0' 1 7 0 -4 2 0 0 96

x2 1' 0 2/3 1 1/2 1/6 0 0 8

x5 2' 0 0 0 9/4 -1/4 1 0 12

x6 3' 0 7/3 0 -1/2 -1/6 0 1 16Z 0" 1 7 0 0 14/9 16/9 0 352/3

x2 1" 0 2/3 1 0 2/9 -2/9 0 16/3

x3 2" 0 0 0 1 -1/9 4/9 0 16/3

x6 3" 0 7/3 0 0 -2/9 2/9 1 56/3

Оптимално решение на задачата е: x1=0, x2=16/3, x3=16/3, со вредност на функцијата на целта Z=352/3=117,33.

10

Page 12: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

3. Да се реши ЛП задачата:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 д.ст.Z 0 1 -1 -2 0 0 0

x3 1 0 1 3 1 0 8

x4 2 0 1 1 0 1 4Z 0' 1 -1/3 0 2/3 0 16/3

x2 1' 0 1/3 1 1/3 0 8/3

x4 2' 0 2/3 0 -1/3 1 4/3Z 0" 1 0 0 1/2 1/2 6

x2 1" 0 0 1 1/2 -1/2 2

x1 2" 0 1 0 -1/2 3/2 2

Оптимално решение на задачата е: x1=2, x2=2, со вредност на функцијата на целта Z=6.

11

Page 13: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

4. Да се реши ЛП задачата:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 д.ст.Z 0 1 -3 -2 0 0 0 0

x3 1 0 1 0 1 0 0 4

x4 2 0 1 3 0 1 0 15

x5 3 0 2 1 0 0 1 10Z 0' 1 0 -2 3 0 0 12

x1 1' 0 1 0 1 0 0 4

x4 2' 0 0 3 -1 1 0 11

x5 3' 0 0 1 -2 0 1 2Z 0" 1 0 0 -1 0 2 16

x1 1" 0 1 0 1 0 0 4

x4 2" 0 0 0 5 1 -3 5

x2 3" 0 0 1 -2 0 1 2Z 0''' 1 0 0 0 0.2 1.4 17

x1 1''' 0 1 0 0 -0.2 0.6 3

x3 2''' 0 0 0 1 0.2 -0.6 1

x2 3''' 0 0 1 0 0.4 -0.2 4

Оптимално решение на задачата е: x1=3, x2=4, со вредност на функцијата на целта Z=17.

12

Page 14: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

5. Да се реши ЛП задачата:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 д.ст.Z 0 1 -2 -1 0 0 0 0 0

x3 1 0 0 1 1 0 0 0 10

x4 2 0 2 5 0 1 0 0 60

x5 3 0 1 1 0 0 1 0 18

x6 4 0 3 1 0 0 0 1 44Z 0' 1 0 -1/3 0 0 0 2/3 88/3

x3 1' 0 0 1 1 0 0 0 10

x4 2' 0 0 13/3 0 1 0 -2/3 92/3

x5 3' 0 0 2/3 0 0 1 -1/3 10/3

x1 4' 0 1 1/3 0 0 0 1/3 44/3Z 0" 1 0 0 0 0 1/2 1/2 31

x3 1" 0 0 0 1 0 -3/2 1/2 5

x4 2" 0 0 0 0 1 -13/2 3/2 9

x2 3" 0 0 1 0 0 3/2 -1/2 5

x1 4" 0 1 0 0 0 -1/2 1/2 13

Оптимално решение на задачата е: x1=13, x2=5, со вредност на функцијата на целта Z=31.

13

Page 15: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

6. Да се реши ЛП задачата:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 д.ст.Z 0 1 -2 -5 0 0 0 0 0

x3 1 0 3 1 1 0 0 0 12

x4 2 0 0 1 0 1 0 0 3.5

x5 3 0 1 3 0 0 1 0 12

x6 4 0 1 1 0 0 0 1 5Z 0' 1 -2 0 0 5 0 0 17.5

x3 1' 0 3 0 1 -1 0 0 8.5

x2 2' 0 0 1 0 1 0 0 3.5

x5 3' 0 1 0 0 -3 1 0 1.5

x6 4' 0 1 0 0 -1 0 1 1.5Z 0" 1 0 0 0 -1 2 0 21

x3 1" 0 0 0 1 8 -3 0 4

x2 2" 0 0 1 0 1 0 0 3.5

x1 3" 0 1 0 0 -3 1 0 1.5

x6 4" 0 0 0 0 2 -1 1 0

Оптимално решение на задачата е: x1=1,5; x2=3,5; со вредност на функцијата на целта Z=21.(Напомена: во втората итерациија условот за излез од база го задоволуваат и x5 и x6 па истото решение се добива ако наместо x5 од база излезе x6.

14

Page 16: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

7. Да се реши ЛП задачата:

Со додавање на дополнителни променливи функцијата на целта и ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 д.ст.Z 0 1 -10 -20 0 0 0 0

x3 1 0 -1 2 1 0 0 15

x4 2 0 1 1 0 1 0 12

x5 3 0 5 3 0 0 1 45Z 0' 1 -20 0 10 0 0 150

x2 1' 0 -1/2 1 1/2 0 0 15/2

x4 2' 0 3/2 0 -1/2 1 0 9/2

x5 3' 0 13/2 0 -3/2 0 1 45/2Z 0" 1 0 0 3 13 0 210

x2 1" 0 0 1 1/3 1/3 0 9

x1 2" 0 1 0 -1/3 2/3 0 3

x5 3" 0 0 0 2/3 -13/3 1 3

Оптимално решение на задачата е: x1=3, x2=9, со вредност на функцијата на целта Z=210.

15

Page 17: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

МЕТОДА НА ГОЛЕМО М

1. Да се одреди оптималното решение на:

Со додавање на дополнителни и вештачки променливи во ограничувањата и додавање на вештачките променливи помножени со М се добиваат следните равенки:

Со одземање на равенките во кои фигурираат вештачки променливи помножени со М од функцијата на целта, (0)-М·(1)-М·(2), таа го добива следниот облик:

Постапката на понатамошно решавање е иста како и кај Симплекс методата.

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 4 x5 6 д.ст.Z 0 -1 3-5M 2-4M 4-8M 0 M 0 -180M

4 1 0 2 1 3 1 0 0 60

6 2 0 3 3 5 0 -1 1 120

Z 0' -11/3+M/

32/3-

4M/3 0-

4/3+8M/3 M 0-80-20M

x3 1' 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20

6 2' 0 -1/3 4/3 0 -5/3 -1 1 20

Z 0" -1 1/2 0 0 -1/2+M 1/2-

1/2+M -90

x3 1" 0 3/4 0 1 3/4 1/4 -1/4 15

x2 2" 0 -1/4 1 0 -5/4 -3/4 3/4 15

Оптимално решение на задачата е: x1=0, x2=15, x3=15, со вредност на функцијата на целта Z=90.

16

Page 18: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

2. Да се одреди оптималното решение на:

Со трансформирање на функцијата на целта и ограничувањата се добиваат следните равенки:

Со одземање на равенките (2) и (3), во кои што фигурираат вештачки променливи помножени со М од функцијата на целта , (0)-М·(2)-М·(3), се добива:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 4 x5 6 д.ст.Z 0 -1 3-4M 2-4M 0 0 M 0 -20M

x3 1 0 1 2 1 0 0 0 12

4 2 0 2 3 0 1 0 0 12

6 3 0 2 1 0 0 -1 1 8

Z 0' -15/3-

4M/3 0 0-

2/3+4M/3 M 0 -8-4M

x3 1' 0 -1/3 0 1 -2/3 0 0 4

x2 2' 0 2/3 1 0 1/3 0 0 4

6 3' 0 4/3 0 0 -1/3 -1 1 4

Z 0" -1 0 0 0 -1/4+M 5/4-

5/4+M -13

x3 1" 0 0 0 1 -3/4 -1/4 1/4 5

x2 2" 0 0 1 0 1/2 1/2 -1/2 2

x1 3" 0 1 0 0 -1/4 -3/4 3/4 3

Оптимално решение на задачата е: x1=3, x2=2 со вредност на функцијата на целта Z=13.

17

Page 19: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

3. Да се одреди оптималното решение на:

Со трансформирање на функцијата на целта и ограничувањата се добиваат следните равенки:

Со одземање на равенките во кои фигурираат вештачки променливи помножени со М од функцијата на целта, таа го добива следниот облик:

б.п.р.бр

. Z x1 x2 x3 4 x5 x6 7 д.ст.

Z 0 -115-2M

20-3M M 0 0 M 0 -16M

4 1 0 1 2 -1 1 0 0 0 10

x5 2 0 2 -3 0 0 1 0 0 6

7 3 0 1 1 0 0 0 -1 1 6

Z 0' -1 5-M/2 010-M/2

-10+3M/2 0 M 0

-100-M

x2 1' 0 ½ 1 -1/2 1/2 0 0 0 5

x5 2' 0 7/2 0 -3/2 3/2 1 0 0 21

7 3' 0 ½ 0 1/2 -1/2 0 -1 1 1

Z 0" -1 0 0 5 -5+M 0 10-

10+M -110

x2 1" 0 0 1 -1 1 0 1 -1 4

x5 2" 0 0 0 -5 5 1 7 -7 14

x1 3" 0 1 0 1 -1 0 -2 2 2

Оптимално решение е: x1=2, x2=4 со вредност на функцијата на целта Z=110.

18

Page 20: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

4. Да се одреди оптималното решение на:

Со трансформирање на функцијата на целта и ограничувањата се добиваат следните равенки:

Со одземање на равенките во кои фигурираат вештачки променливи помножени со М од функцијата на целта, таа го добива следниот облик:

б.п.

р.бр. Z x1 x2 x3 4 x5 6 д.ст.

Z 0-1

4-11M 5-9M 0 0 M 0 -120M

x3 1 0 3 1 1 0 0 0 27

4 2 0 5 5 0 1 0 0 60

6 3 0 6 4 0 0 -1 1 60

Z 0'-1 0

11/3-16M/3

-4/3+11M/3 0 M 0

-36-21M

x1 1' 0 1 1/3 1/3 0 0 0 9

4 2' 0 0 10/3 -5/3 1 0 0 15

6 3' 0 0 2 -2 0 -1 1 6

Z 0"-1 0 0 7/3-5M/3 0

11/6-5M/3

-11/6+8M/3

-47-5M

x1 1" 0 1 0 2/3 0 1/6 -1/6 8

4 2" 0 0 0 5/3 1 5/3 -5/3 5

x2 3" 0 0 1 -1 0 -1/2 1/2 3

Z 0'''-1 0 0 1

-11/10+M 0 M -105/2

x1 1''' 0 1 0 1/2 -1/10 0 0 15/2

x5 2''' 0 0 0 1 3/5 1 -1 3

x2 3''' 0 0 1 -1/2 3/10 0 0 9/2

19

Page 21: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

Оптималното решение е: x1=4,5; x2=7,5; со вредност на функцијата на целта Z=52,5.

20

Page 22: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

МЕТОДА НА ДВЕ ФАЗИ

1. Да се одреди оптималното решение на:

Со додавање на дополнителни и вештачки променливи, исто како и кај методот на големо М, ограничувањата се трансформираат во следните равенки:

Фаза I:

Во првата фаза се решава задачата со функција на целта еднаква на збир од вештачките променливи. Оптимално решение од оваа фаза се добива кога функцијата на целта ќе достигне вредност 0. Во нашиот случај функцијата на целта ќе биде:

Со одземање на равенките во кои фигурираат вештачки променливи од функцијата на целта, таа ќе го добие следниот облик:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 4 x5 6 д.ст.Z 0 -1 -4 -4 -8 0 1 0 -180

4 1 0 2 1 3 1 0 0 60

6 2 0 2 3 5 0 -1 1 120Z 0' -1 4/3 -4/3 0 8/3 1 0 -20

x3 1' 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20

6 2' 0 -4/3 4/3 0 -5/3 -1 1 20Z 0" -1 0 0 0 1 0 1 0

x3 1" 0 1 0 1 3/4 1/4 -1/4 15

x2 2" 0 -1 1 0 -5/4 -3/4 3/4 15

21

Page 23: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

Фаза II:

Сега се изоставуваат вештачките променливи и се продолжува со оригиналната функција на целта.

Бидејќи во нашиот случај последни базни променливи беа x2 и x3, тие мора во функцијата на целта да имаат коефициенти 0, односно да не постојат. Со одземање на равенките од последната итерација во кои базни променливи се x2 и x3 помножени со соодветни коефициенти, , функцијата на целта ќе биде:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x5   д.ст.Z 0 -1 1 0 0 1/2 -90

x3 1 0 1 0 1 1/4 15

x2 2 0 -1 1 0 -3/4 15

Бидејќи во функцијата на целта нема нити еден негативен коефициент, ова решение е оптимално.Оптималното решение е: x1=0; x2=15; x3=15; со вредност на функцијата на целта Z=90.

22

Page 24: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

2. Да се одреди оптималното решение на:

Фаза I:

Се работи со следната функција на целта:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 4 x5 6 д.ст.Z 0 -1 -4 -4 0 0 1 0 -20

x3 1 0 1 2 1 0 0 0 12

4 2 0 2 3 0 1 0 0 12

6 3 0 2 1 0 0 -1 1 8Z 0' -1 0 -2 0 0 -1 2 -4

x3 1' 0 0 3/2 1 0 1/2 -1/2 8

4 2' 0 0 2 0 1 1 -1 4

x1 3' 0 1 1/2 0 0 -1/2 1/2 4Z 0" -1 0 0 0 1 0 1 0

x3 1" 0 0 0 1 -3/4 -1/4 1/4 5

x2 2" 0 0 1 0 1/2 1/2 -1/2 2

x1 3" 0 1 0 0 -1/4 -3/4 3/4 3

Фаза II:

Равенката (0) се добива кога од оригиналната функција (*) на целта се одземе:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x5 д.ст.Z 0 -1 0 0 0 5/4 -13x3 1 0 0 0 1 -1/4 5x2 2 0 0 1 0 1/2 2x1 3 0 1 0 0 -3/4 3

Оптималното решение е: x1=3; x2=2; со вредност на функцијата на целта Z=13.

23

Page 25: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

3. Да се одреди оптималното решение на:

Фаза I:

Се работи со следната функција на целта:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 д.ст.Z 0 -1 -2 -3 1 0 0 1 0 -16

x4 1 0 1 2 -1 1 0 0 0 10

x5 2 0 2 -3 0 0 1 0 0 6

x7 3 0 1 1 0 0 0 -1 1 6Z 0' -1 -1/2 0 -1/2 3/2 0 1 0 -1

x2 1' 0 1/2 1 -1/2 1/2 0 0 0 5

x5 2' 0 7/2 0 -3/2 3/2 1 0 0 21

x7 3' 0 1/2 0 1/2 -1/2 0 -1 1 1Z 0" -1 0 0 0 1 0 0 1 0

x2 1" 0 0 1 -1 1 0 1 -1 4

x5 2" 0 0 0 -5 5 1 7 -7 14

x1 3" 0 1 0 1 -1 0 -2 2 2

Фаза II:

Равенката (0) се добива кога од оригиналната функција (*) на целта се одземе:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x5 x6 д.ст.Z 0 -1 0 0 5 0 10 -110

x2 1 0 0 1 -1 0 1 4

x5 2 0 0 0 -5 1 7 14

x1 3 0 1 0 1 0 -2 2

Оптимално решение е: x1=2, x2=4 со вредност на функцијата на целта Z=110.

24

Page 26: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

4. Да се одреди оптималното решение на:

Фаза I: Се работи со следната функција на целта:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 д.ст.Z 0 -1 -11 -9 0 0 1 0 -120

x3 1 0 3 1 1 0 0 0 27

x4 2 0 5 5 0 1 0 0 60

x6 3 0 6 4 0 0 -1 1 60Z 0' -1 0 -16/3 11/3 0 1 0 -21

x1 1' 0 1 1/3 1/3 0 0 0 9

x4 2' 0 0 10/3 -5/3 1 0 0 15

x6 3' 0 0 2 -2 0 -1 1 6Z 0" -1 0 0 -5/3 0 -5/3 8/3 -5

x1 1" 0 1 0 2/3 0 1/6 -1/6 8

x4 2" 0 0 0 5/3 1 5/3 -5/3 5

x2 3" 0 0 1 -1 0 -1/2 1/2 3Z 0 -1 0 0 0 1 0 1 0

x1 1 0 1 0 0 -2/5 -1/2 1/2 6

x3 2 0 0 0 1 3/5 1 -1 3

x2 3 0 0 1 0 3/5 1/2 -1/2 6

Фаза II: Равенката (0) се добива:

б.п. р.бр. Z x1 x2 x3 x5 д.ст.Z 0 -1 0 0 0 -1/2 -54

x1 1 0 1 0 0 -1/2 6

x3 2 0 0 0 1 1 3

x2 3 0 0 1 0 1/2 6Z 0 -1 0 0 1/2 0 -105/2

x1 1 0 1 0 1/2 0 15/2

x3 2 0 0 0 1 1 3

x2 3 0 0 1 -1/2 0 9/2

Оптималното решение е: x1=4,5; x2=7,5; со вредност на функцијата на целта Z=52,5.

ТРАНСПОРТЕН ПРОБЛЕМ

25

Page 27: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

МЕТОД НА СЕВЕРОЗАПАДЕН АГОЛ

1. До 4 продавници треба да се однесе роба од 3 складишта. Цената на поединечниот транспорт, залихите во складиштата и потребите на продавниците се дадени во следната табела:

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18 7 5 2

60

25 2 1 3

80

36 4 3 5

40

Потреби

40 60 20 60 180

Решението се одредува започнувајќи од најгорното најлево поле (северозападно поле), во кое се запишува помалата вредност од потребите и залихите. Потоа се елиминира колоната или редицата во која се задоволена количината и постапката се повторува со наредното северозападно поле, со корегирани потреби односно залихи.

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18

407

205 2

60

25 2

401

203

20 80

36 4 3 5

40 40

Потреби

40 60 20 60 180

Почетната вредност на функцијата на целта е:

МЕТОД НА НАЈМАЛИ ЦЕНИ

26

Page 28: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

1. Да се најде почетно решение на задача со помош на методот на најмали цени.

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18 7 5 2

60

25 2 1 3

80

36 4 3 5

40

Потреби

40 60 20 60 180

Решението се одредува така што во полето со најмала цена се впишува помалата вредност од потребите и залихите и се елиминира колоната или редицата во која количината е задоволена. Потоа се корегираат преостанатите количини на потреби и залихи и се бара нова најмала цена и постапката се повторува.

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18 7 5 2

60 60

25 2

601

203

80

36

404 3 5

40

Потреби

40 60 20 60 180

Почетната вредност на функцијата на целта е:

27

Page 29: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

ВОГЕЛОВА АПРОКСИМАТИВНА МЕТОДА

1. Да се најде почетно решение со вогеловата апроксимативна метода.

С к

л а

д и

ш т

аП р о д а в н и ц и

Залихи

1 2 3 4

18 7 5 2

60

25 2 1 3

80

36 4 3 5

40

Потреби

40 60 20 60 180

Се одредуваат разликите помеѓу најмалите цени во секоја колона и редица, а потоа се одредува најголемата помеѓу нив. Во полето со помала цена се пополнува помалата количина од потребите и залихите. По елиминацијата на колоната или редицата во која е задоволена количината постапката повторно се повторува.

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

иРазлик

и1 2 3 4

18 7 5 2

60 60 3

25 2

601

203

80 1

36

404 3 5

40 1

Потреби

40 60 20 60 180

Разлики 1 2 2 1

Почетната вредност на функцијата на целта е:

28

Page 30: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

ТЕСТ НА ОПТИМАЛНОСТА

STEPPING STONE МЕТОДА

1. Да се одреди оптималното решение на транспрортниот проблем, чие почетно решение е добиено со метода на северозападен агол:

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18

407

205 2

60

25 2

401

203

20 80

36 4 3 5

40 40

Потреби

40 60 20 60 180

Кај најнегативната разлика во цените се ротира најмалата количина од давателите па сега решението ќе биде:

29

-

-+

+

(2,2)

(1,1)

(2,1)

(1,2)

-

-+

+

(2,3)

(1,2)

(2,2)

(1,3)

-

-+

+

(3,4)

(2,2)

(3,2)

(2,4)

-

-+

+

(3,4)

(2,3)

(3,3)

(2,4)

-

-+

+

(2,4)

(1,2)

(2,2)

(1,4)

Page 31: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18

407 5 2

20 60

25 2

601

203

80

36 4 3 5

40 40

Потреби

40 60 20 60 180

Сега вредноста на функцијата на целта е:

Во наредната итерација најнегативна разлика е:

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

18 7 5 2

60 60

25 2

601

203

80

36

404 3 5

40

Потреби

40 60 20 60 180

Бидејќи повеќе нема негативни разлики ова решение е оптимално со минимална вредност на функцијата на целта:

30

Page 32: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

МЕТОД НА СЕВЕРОЗАПАДЕН АГОЛ

2. Да се реши следниот транспортен проблем:

С к

л а

д и

ш т

аП р о д а в н и ц и

Залихи

1 2 3 4

15 6 4 2

10

22 М 1 3

20

33 4 2 1

20

42 1 3 2

10

Потреби

20 10 10 20 60

Почетното решение на транспортниот проблем по методата на северозападен агол е следното:

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

15

106 4 2

10

22

10М

101 3

20

33 4 2

101

10 20

42 1 3 2

10 10

Потреби

20 10 10 20 60

Почетната вредност на функцијата на целта е:

31

Page 33: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

МЕТОД НА НАЈМАЛИ ЦЕНИ

2. Да се најде почетно решение на задача со помош на методот на најмали цени.

С к

л а

д и

ш т

аП р о д а в н и ц и

Залихи

1 2 3 4

15 6 4 2

10

22 М 1 3

20

33 4 2 1

20

42 1 3 2

10

Потреби

20 10 10 20 60

Почетното решение на транспортниот проблем по методата на најмали цени е следното:

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

15

106 4 2

10

22

10М 1

103

20

33 4 2 1

20 20

42 1

103 2

10

Потреби

20 10 10 20 60

Почетната вредност на функцијата на целта е:

32

Page 34: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

ВОГЕЛОВА АПРОКСИМАТИВНА МЕТОДА

2. Да се најде почетно решение со вогеловата апроксимативна метода.

С к

л а

д и

ш т

аП р о д а в н и ц и

Залихи

1 2 3 4

15 6 4 2

10

22 М 1 3

20

33 4 2 1

20

42 1 3 2

10

Потреби

20 10 10 20 60

Почетното решение на транспортниот проблем по вогеловата апроксимативна метода е следното:

С к

л а

д и

ш т

а

П р о д а в н и ц иЗалих

и1 2 3 4

15 6 4 2

10 10

22

10М 1

103

20

33

104 2 1

10 20

42 1

103 2

10

Потреби

20 10 10 20 60

Почетната вредност на функцијата на целта е:

33

Page 35: Operacioni Istrazuvanja - Zbirka Reseni Zadaci

Операциони истражувања Решени задачи

STEPPING STONE МЕТОДА

2. Да се одреди оптималното решение на транспрортниот проблем, чие почетно решение е добиено со вогеловата апроксимативна метода:

С к

л а

д и

ш т

аП р о д а в н и ц и

Залихи

1 2 3 4

15 6 4 2

10 10

22

10М 1

103

20

33

104 2 1

10 20

42 1

103 2

10

Потреби

20 10 10 20 60

Бидејќи повеќе нема негативни разлики ова решение е оптимално со минимална вредност на функцијата на целта:

34

+

+-

-

(3,3)

(2,1)

(3,1)

(3,2)

-

-+

+

(3,4)

(2,1)

(3,1)

(2,4)

+

+-

-

(3,4)

(1,1)

(3,1)

(1,4)