LOGISTIKA I TRANSPORTNI MODELI - bib.irb.hr · 5 2. Elementi logističkih sustava Logistički sustavi općenito se mogu definirati kao sustavi prostorno-vremenske transformacije dobara,

1

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

ZAVOD ZA TRANSPORTNU LOGISTIKU

dr. sc. Ratko Stanković, doc.

dr. sc. Jasmina Pašagić Škrinjar, prof.

LOGISTIKA I TRANSPORTNI MODELI

Autorizirana predavanja

Zagreb, studeni 2015.

2

Sadržaj

1. Uvod ............................................................................................................................. 4

2. Elementi logističkih sustava ......................................................................................... 5

3. Osnovni pojmovi o modelima ...................................................................................... 7

3.1. Pojam modela općenito ....................................................................................... 7

3.2. Vrste modela ....................................................................................................... 7

3.3. Primjena matematičkih modela u logistici ......................................................... 7

4. Optimiranje i postupak modeliranja ............................................................................. 9

5. Osnovna načela modeliranja ...................................................................................... 12

6. Rješavanje logističkih problema matematičkim modeliranjem ................................. 14

6.1. Primjena linearnoga programiranja .................................................................. 14

6.2. Analiza osjetljivosti matematičkoga modela .................................................... 15

6.3. Primjer rješavanja logističkoga problema optimiranjem linearnoga modela ... 19

7. Problem alokacije resursa .......................................................................................... 22

7.1. Primjer problemskoga zadatka alokacije resursa u planiranju proizvodnje ..... 22

7.1.1. Logički opis problema .......................................................................... 23

7.1.2. Matematički model problema ............................................................... 24

7.1.3. Optimalno rješenje problema ................................................................ 25

7.1.4. Analiza osjetljivosti .............................................................................. 26

7.2. Problem operativnoga planiranja ...................................................................... 28

7.2.1. Primjer problemskoga zadatka operativnoga planiranja ....................... 29




8. Transportni problem ................................................................................................... 35

8.1. Matematički model transportnoga problema .................................................... 36

8.2. Primjer osnovnoga transportnoga problema ..................................................... 37


8.2.2. Rješivost problema ............................................................................... 38



9. Lokacijski problem .................................................................................................... 43

9.1. Primjer osnovnoga lokacijskoga problema ....................................................... 44


3

9.1.2. Rješivost problema ............................................................................... 47



9.2. Prošireni lokacijski problem ............................................................................. 52

10. Problem distribucijske mreže .................................................................................... 56

10.1. Primjer problema distribucijske mreže ............................................................. 57

10.1.1. Rješivost problema .............................................................................. 59

10.1.2. Matematički model problema ............................................................. 59

10.1.3. Optimalno rješenje problema .............................................................. 61

10.2. Uvođenje cross docking terminala u distribucijsku mrežu ............................. 64

10.2.1. Matematički model distribucijske mreže s XD terminalom ............... 66

10.2.2. Optimalno rješenje problema .............................................................. 67

11. Heurističke metode .................................................................................................... 70

11.1. Pojam heuristike ............................................................................................. 70

11.2. Primjena heurističkih metoda ......................................................................... 72

11.2.1. Problem trgovačkoga putnika .............................................................. 74

11.2.2. Problem naprtnjače .............................................................................. 77

11.2.3. Problem kineskoga poštara ................................................................. 78

11.3. Klasifikacija heurističkih metoda ................................................................... 78

11.4. Opće heuristike – metaheuristike .................................................................... 80

11.4.1. Princip lokalnoga pretraživanja ........................................................... 80

11.4.2. Simulirano kaljenje ............................................................................. 83

11.4.3. Tabu pretraživanje ............................................................................... 85

11.4.4. Genetski algoritam ............................................................................. 87

11.4.5. Mravlja kolonija .................................................................................. 89

11.5. Zadatci za vježbu ............................................................................................ 91

LITERATURA .................................................................................................................. 95

POPIS TABLICA.............................................................................................................. 96

POPIS SLIKA ................................................................................................................... 97

POPIS PRILOGA.............................................................................................................. 99

4

1. Uvod

Većina logističkih problema koji se pojavljuju u planiranju i upravljanju logističkim

procesima opskrbnoga lanca mogu se svesti na probleme optimiranja, tj. riječ je o problemima

koji imaju više mogućih (izvedivih) rješenja, od kojih treba odabrati ono koje je prema

usvojenom kriteriju (ili više usvojenih kriterija) najbolje uvažavajući pritom postavljena

ograničenja.

Opskrbni lanac pritom treba razumjeti kao logistički sustav koji omogućuje zadovoljenje

potreba potrošača (kupaca) ostvarujući pritom komercijalnu dobit. Struktura opskrbnoga lanca

obuhvaća međudjelovanje uključenih subjekata kao što su: kupci, dobavljači sirovina i

repromaterijala, proizvođači finalnih proizvoda, distributeri (veletrgovci), maloprodajni

trgovci, logistički operateri, prijevoznici... To se međudjelovanje očituje u odvijanju tokova

roba, informacija i financijskih sredstava između pojedinih faza opskrbnoga lanca i unutar njih.

Optimalno rješenje logističkoga problema koji je matematički opisan (postoji matematički

model problema) može se dobiti primjenom egzaktnih metoda, primjerice grafičkom metodom

ili simpleks metodom, odnosno, ako bi to iziskivalo neprihvatljivo puno vremena, primjenom

heurističkih algoritama, primjerice tabu algoritma, simuliranoga kaljenja, genetskoga

algoritma, mravlje kolonije. Oni daju rješenja za koja se ne može sa sigurnošću tvrditi kako su

optimalna, ali su moguća (izvediva) s obzirom na zadana ograničenja.

Tematske su cjeline strukturirane tako da se uz teorijske osnove studentima omogući

usvajanje što više praktično primjenjivih znanja i vještina, korisnih sa stajališta budućega

zaposlenja. U tom će smislu biti obrađeni primjeri osnovnih logističkih problema, a pritom će

se razvijeni matematički modeli optimirati primjenom MS Excel programskoga alata Solver,

koji je dio standardnoga uredskoga programskoga paketa MS Office (tematske cjeline

predavanja popraćene su predlošcima MS Excel tablica koje se koriste za laboratorijske vježbe).

Potrebno je naglasiti kako postoje i napredniji programski alati od Solvera, te kako znanja i

vještine usvojene njegovom primjenom trebaju poslužiti kao osnova za daljnje izučavanje

modela i metoda rješavanja logističkih problema, što podrazumijeva korištenje sofisticiranijih

programskih alata.

5

2. Elementi logističkih sustava

Logistički sustavi općenito se mogu definirati kao sustavi prostorno-vremenske

transformacije dobara, a procesi koji se u njima odvijaju kao logistički procesi1. Sa stajališta

gospodarskih subjekata logistički sustav uključuje logističke procese i resurse (infrastrukturu,

opremu, radnu snagu) koji su potrebni za odvijanje logističkih procesa2.

Logistički procesi omogućuju tokove dobara koji povezuje sustave pripreme i proizvodnje

dobara sa sustavima uporabe, odnosno potrošnje dobara. To su, primjerice, transport i prekrcaj,

koji su usmjereni na odvijanje tokova dobara, zatim obrada i ispunjavanje narudžba, koji su

usmjereni na odvijanje tokova informacija, te pakiranje i skladištenje, koji su usmjereni na

olakšavanje odvijanja tokova dobara.

Logistički je sustav, koji se razmatra u okviru ovih nastavnih materijala, opskrbni lanac. S

obzirom na faze opskrbnoga lanca logistički se procesi mogu promatrati u okviru odgovarajućih

funkcionalnih cjelina (skupina) koje su sljedeće:

logistika nabave − bavi se tokovima materijala (sirovina, poluproizvoda, pomoćnoga

materijala...) od dobavljača do mjesta proizvodnje;

logistika proizvodnje − bavi se tokovima materijala unutar poduzeća (između

skladišta i proizvodnih pogona te unutar skladišta i proizvodnih pogona);

logistika distribucije − bavi se tokovima roba između proizvodnje i tržišta

(maloprodajne mreže odnosno kupaca).

Osim logističkih procesa koji omogućuju odvijanje tokova dobara od dobavljača,

odnosno proizvođača prema kupcima, opskrbni lanac obuhvaća i logističke procese koji

omogućuju zadovoljenje potreba kupaca nakon prodaje (servisna mreža i rezervni dijelovi,

povrat i zamjena proizvoda…) te zbrinjavanje otpadnoga materijala i ambalaže. Logistički

procesi koji omogućuju tokove povrata dobara od kupaca prema dobavljačima, odnosno

specijaliziranim centrima za zbrinjavanje promatraju se u okviru povratne logistike.

Tokove materijalnih dobara prati i razmjena informacija u logističkom sustavu.

Informacije se razmjenjuju prije, tijekom i nakon završenoga toka materijalnih dobara. One ga

inicijaliziraju, prate, opisuju, slijede i kontroliraju, stoga se procesi tokova informacija također

svrstavaju u logističke procese. Osim navedenih tokova materijalnih dobara i informacija, u

strukturi logističkoga sustava odvijaju se i financijski tokovi, no njih se u kontekstu ovoga

predmeta neće razmatrati.

Tokovi roba, informacija i financijskih sredstava u sustavu opskrbnoga lanca kao

logističkoga sustava par excellence općenito nisu samo serijski usmjereni od faze nabave prema

fazi potrošnje, kako to sugerira pojam lanac, već je riječ o mnoštvu jednosmjernih i

dvosmjernih, serijskih i paralelnih veza između nositelja pojedinih faza (različitih gospodarskih

subjekata), kako je prikazano na Slici 1.

1 Segetlija, Z. 2006. Distribucija. Ekonomski fakultet. Osijek. 181−184.

2 Ghiani, G.; Laporte, G.; Musmanno, R. 2013. Introduction to Logistics Systems Management. Second

Edition. John Wiley & Sons Ltd. Chichester. West Sussex. p. 2.

6

Stoga se može reći kako bi primjereniji naziv za takav logistički sustav bio opskrbna mreža,

no zbog uvažavanja općeprihvaćenoga nazivlja i konzistentnosti izlaganja primjenjivat će se

naziv opskrbni lanac (engl. Supply Chain).

Slika 1. Struktura opskrbnoga lanca

Izvor: Prilagodili autori prema: Simchi-Levi, D.; Kaminsky, P.; Simchi-Levi, E. 2004. Managing the Supply

Chain. McGraw Hill. New York. p. 2.

Opskrbni se lanac može promatrati sa stajališta pojedinoga gospodarskoga subjekta,

primjerice poduzeća koje se sastoji od više geografski disperziranih poslovnih jedinica u kojima

se sirovine, poluproizvodi i gotovi proizvodi nabavljaju, proizvode i distribuiraju. Tada je riječ

o unutarnjim robnim, informacijskim i financijskim tokovima tvrtke.

7

3. Osnovni pojmovi o modelima

3.1. Pojam modela općenito

Model se općenito može definirati kao predložak, obrazac, uzorak, prikaz, plan ili opis

stvarnoga predmeta, pojave, stanja, zbivanja, sustava ili koncepta, odnosno kao

pojednostavljeni sažetak stvarnosti koji pomaže u daljnjem istraživanju.

Prednost je rada na modelu u odnosu na stvarni sustav u tome što se očekivani rezultati

izgrađivanja ili modificiranja nekoga sustava kvantificiraju na modelu bez da se izgrađuje,

odnosno modificira stvarni sustav. U pojedinim slučajevima modificiranje stvarnoga sustava

nije moguće (primjerice u astronomiji i meteorologiji), nije dopušteno (primjerice u medicini)

ili iziskuje prevelike troškove, odnosno utrošak vremena (primjerice u industriji).

3.2. Vrste modela

Podjela modela može se izvesti prema različitim kriterijima, a najopćenitija je podjela

prema načinu opisivanja (prikaza) predmeta modeliranja. Prema načinu opisivanja predmeta

modeliranja razlikuju se sljedeće vrste modela:

fizički modeli – uvijek uključuju određenu metričku transformaciju (uvećano ili

umanjeno mjerilo), daju statični prikaz realnoga sustava, primjerice maketa, globus,

prikaz građe atoma, heliocentrični sustav Nikole Kopernika i sl.;

analogni modeli – predstavljaju sličan skup važnih karakteristika realnoga sustava,

primjerice laboratorijske životinje, mehanizmi, grafikoni, crteži i sl., koji omogućuju

dinamički prikaz realnoga sustava;

simbolički modeli – imaju najšire područje primjene; realni sustav prikazuju uporabom

simbola, primjerice: matematički izrazi (matematički model), riječi i znakovi

(deskriptivni model), notni zapis (partitura) i sl.

Predmetom su zanimanja ovih nastavnih materijala matematički modeli, stoga se ostale

vrste modela neće dalje razmatrati.

3.3. Primjena matematičkih modela u logistici

Matematički modeli u biti su sustavi matematičkih izraza (jednadžba i/ili nejednadžba)

koji opisuju predmet modeliranja, a sam pojam matematički model može se definirati kao:

matematički opis predmeta modeliranja (sustava, procesa, zbivanja, problema...), bilo

da je riječ o postojećem predmetu modeliranja ili o nečemu što se tek treba izgraditi ili

što bi moglo nastati;

apstraktni prikaz realnoga sustava korištenjem matematičkoga jezika koji predstavlja

postojeće spoznaje o tom sustavu u primjenjivoj formi.

8

Prema namjeni razlikuju se dvije vrste matematičkih modela3:

1. Modeli optimiranja − primjenjuju se u cilju postizanja maksimalne ili minimalne

vrijednosti neke veličine (maksimizacija dobiti, učinkovitosti odnosno minimizacija

troškova, potrebnih radnih sati...).

2. Modeli predviđanja − primjenjuju se s ciljem opisivanja i predviđanja stanja

(događaja) koja se očekuju pod određenim uvjetima (predviđanje potražnje, rokova

izvršenja pojedinih aktivnosti...).

Izlazni podatci dobiveni na modelu predviđanja (odziv modela) mogu se koristiti kao

ulazni podatci za modele optimiranja kada je potrebno kvantificirati očekivane promjene.

Logistički su sustavi dinamički sustavi složeni od velikoga broja elemenata i njihovih

interakcija, od kojih su mnoge nelinearne i nedeterminističke te se kod modeliranja uvode

određena pojednostavljenja kako bi se promatrani sustavi mogli matematički opisati.

Primjerice, isključuju se pojedini elementi sustava koji nisu važni za promatrani problem,

zanemaruje se stohastična sastavnica relacija, dinamičke se veličine smatraju stalnima i sl., no

pojednostavljenja su dopuštena samo u granicama unutar kojih ne mogu bitno utjecati na

rezultat.

U svrhu rješavanja logističkih problema primjenjuju se dvije kategorije modela,

deskriptivni i normativni, kako je prikazano na Slici 2.

Slika 2. Modeli logističkih sustava

Izvor: Izradili autori

Deskriptivni modeli primjenjuju se u svrhu opisivanja, analiziranja i objašnjavanja

funkcionalnih odnosa elemenata logističkih sustava, a uključuju sljedeće:

▪ predviđanje potražnje tržišta, predviđanje ulaznih troškova (sirovina, repromaterijala...)

i drugih čimbenika na temelju podataka iz prethodnih razdoblja;

▪ definiranje promjena logističkih i drugih troškova kao funkcije određenih utjecajnih

čimbenika;

▪ definiranje međuzavisnosti odvijanja proizvodnih aktivnosti i trošenja resursa;

3 Lawrence, J. A.; Pasternack, B. A. 2002. Applied Management Science. John Wiley & Sons. New Jersey.

p. 8.

Modeli logističkih sustava

Deskriptivni modeli

Normativni modeli

9

▪ simuliranje funkcioniranja opskrbnoga lanca ili samo određenoga dijela kao funkcije

njegovih parametara i strategije.

Normativni modeli primjenjuju se u svrhu donošenja odluka u sklopu projektiranja,

izvedbe i nadzora, odnosno poboljšavanja pojedinih podsustava opskrbnoga lanca. Pojam

normativni ovdje se odnosi na definiranje norme (standarda) koja se želi postići. Normativni su

modeli modeli optimiranja, odnosno matematički modeli. Izrada matematičkoga modela

podrazumijeva postojanje deskriptivnoga modela i važnih podataka kao ulaznih veličina, a

njihova kvaliteta izravno utječe na kvalitetu rješenja koje je dobiveno optimiranjem.

4. Optimiranje i postupak modeliranja

Optimiranje se općenito može definirati kao postupak određivanja najpovoljnijega rješenja

nekoga problema uz zadana ograničenja i usvojene kriterije optimalnosti, kako je simbolički

prikazano na Slici 3.

Slika 3. Postupak optimiranja


Primjenom matematičkoga nazivlja postupak optimiranja može se definirati kao

određivanje skupa vrijednosti varijabla odlučivanja (promjenjivih veličina) kojima se postiže

optimalna vrijednost funkcije cilja (prema usvojenom kriteriju optimalnosti) uz zadana

ograničenja (uvjete). Svrha optimiranja jest maksimizirati korisnost (radni učinak, dobit...)

odnosno minimizirati utrošak resursa uz zadana ograničenja.

Funkcija cilja jest matematički opis postavljenoga cilja koji predstavlja kriterij

optimalnosti, a postavljena ograničenja određuju skup mogućih ili izvedivih rješenja, tj.

kvantitativno područje dopuštenih vrijednosti varijabla odlučivanja.

Optimalno rješenje pritom je najbolje (najpovoljnije) rješenje promatranoga problema s

obzirom na zadana ograničenja i usvojeni kriterij optimalnosti. Kriterija optimalnosti može biti

više, a ovisno o promatranom problemu to može biti minimizacija ili maksimizacija, odnosno

minimizacija jednih veličina uz istodobnu maksimizaciju drugih veličina.

10

Treba napomenuti kako se svi problemi ne mogu rješavati optimiranjem. Primjeri

logističkih problema koji se mogu rješavajti optimiranjem:

▪ odrediti plan proizvodnje tako da se ostvari najveća dobit;

▪ rasporediti posao tako da se utroši najmanje radnoga vremena;

▪ odrediti najkraći put na transportnoj mreži;

▪ odrediti raspored dostave tako da transportni troškovi budu minimalni;

▪ odrediti lokacije i kapacitete LDC-a tako da potražnja bude zadovoljena, a troškovi

distribucije minimalni;

▪ ostali logistički problemi kod kojih se rješenje može svesti na minimizaciju ili

maksimizaciju neke veličine, uz uvažavanje određenih ograničenja.

Kako bi se mogla izvesti kvantitativna analiza nekoga sustava iz realnoga svijeta, potrebno

je izraditi matematički model toga sustava. Sam je postupak modeliranja osjetljiv i zahtijeva

određeno iskustvo, a ponekad i intuiciju.

Pristup rješavanju problema matematičkim modeliranjem sastoji se od četiri osnovna

koraka4, kako je shematski prikazano na Slici 4.

Slika 4. Pristup problemu


Rješavanje problema primjenom matematičkoga modeliranja rijetko kada prolazi kao

jednosmjeran sekvencijalni proces. Model je u pravilu potrebno revidirati, promijeniti neke

pretpostavke ili ulazne podatke, radi postizanje veće sličnosti s predmetom modeliranja. Nužno

je stoga vraćanje na prethodne korake i ponavljanje pojedinih procesa u sklopu testiranja

modela.

4 Ibidem. p. 9.

1. Definiranje problema

2. Izrada matematičkog modela

3. Rješavanje problema na modelu

4. Interpretacija rezultata

11

Može se reći kako gotovo i nema sustava, procesa ili zbivanja u realnom svijetu koje bi se

moglo potpuno vjerno prenijeti u matematički model. Kod izrade modela zanemaruju se mnoge

informacije i međusobne zavisnosti (interakcije elemenata realnoga sustava). U model se unose

samo one veličine i one relacije koje se smatraju važnima za dobivanje optimalnoga rješenja

problema zbog kojega se model izrađuje.

Veze i zavisnosti u realnom svijetu najčešće su nelinearne i nedeterminističke. Međutim,

podatci o realnom svijetu nikada nisu potpuno točni. Bitno je kod izrade modela procijeniti ili

kvantitativnim metodama odrediti točnost podataka kako bi se onda prema tomu uvela

odgovarajuća pojednostavljenja na modelu.

Postupak modeliranja shematski je prikazan na Slici 5. Sastoji se od sljedećih osnovnih

koraka:

1. Analizom realnoga sustava dobivaju se informacije (struktura, ulazni podatci,

funkcionalni odnosi) potrebne za formulaciju modela.

2. Odabranim postupcima na modelu (tehnike modeliranja) dobiva se odziv, odnosno

zaključci o ponašanju modela.

3. Zaključke izvedene na modelu treba interpretirati s obzirom na primijenjene tehnike

modeliranja, kako bi bili primjenjivi u realnom sustavu.

4. Interpretirane zaključke zatim treba usporediti sa zaključcima do kojih se dolazi

analizom realnoga sustava bez korištenja modela (strelica u suprotnom smjeru). Tek se

nakon toga mogu formulirati elementi za donošenje stvarne odluke.

Slika 5. Postupak modeliranja

Izvor: Izradili i prilagodili autori prema Pašagić, H. 1998. Matematičko modeliranje i teorija grafova. FPZ.

Zagreb. p. 15.

Insuficijentnost modela u odnosu prema realnom sustavu, tj. njegova nepotpunost,

odnosno nemogućnost da u potpunosti obuhvati sve značajke i funkcije realnoga sustava,

uvjetovana je granicama postojećih spoznaja o predmetu modeliranja, uvođenjem

pojednostavljenja, kvalitetom ulaznih podataka te subjektivnim iskustvom i intuicijom

istraživača.

Realni sustav

MODEL

Zaključci o modelu

Zaključci o realnom sustavu

Formulacija

Dedukcija

Interpretacija

12

5. Osnovna načela modeliranja

Tijekom povijesti razvoja i primjene metoda operacijskih istraživanja od II. svjetskoga

rata, kada su postavljeni temelji te matematičke discipline, do danas usvojena su osnovna načela

prema kojima treba provoditi postupak modeliranja5:

1. Izraditi najjednostavniji model koji zadovoljava postavljene zahtjeve. Ne treba

izgrađivati pretjerano složene matematičke strukture u težnji za obuhvaćanjem svih

stajališta promatranoga problema ili za impresioniranjem korisnika. Preporučljiv je

postupak pojednostavljenja sve dok rješenje ne postane matematički izvodivo, a nakon toga

slijedi obogaćivanje modela sve dok je to i dalje matematički izvodivo.

2. Ne prilagođavati problem tehnici rješavanja. Pri analizi i snimanju stanja u realnom

sustavu treba paziti kako se podsvjesno ne bi iskrivila slika u nastojanju svođenja problema

na oblik koji se može riješiti nekom od već poznatih tehnika. Ne svodi se svaki problem na

optimiranje niti zahtijeva rješavanje metodama operacijskih istraživanja.

3. Izvođenje zaključaka mora biti rigorozno. U izradi modela ne smiju se dogoditi logičke

pogreške. U suprotnom se ne može znati jesu li pogrešne pretpostavke ili postupci. Može

se izvesti analogija s računalnim programom koji je formalno ispravan, no zbog ugrađene

logičke pogreške daje krive rezultate.

4. Testirati model prije praktične primjene. Model se može testirati na povijesnim, već

obrađenim podatcima. Ako takvi nisu dostupni, ulazne podatke treba generirati i na taj

način provjeriti ispravnost reakcije modela. Točnost reakcije modela ima smisla

poboljšavati sve dok ne postane mjerljiva s točnošću ulaznih podataka. Primjenjivost

gotovo svakoga modela s vremenom zastarijeva.

5. Kritički sagledati rezultate dobivene primjenom modela. Kako je i najsloženiji model

samo pojednostavljena slika stvarnosti, rezultate koji se dobivaju njegovom obradom treba

usporediti s iskustvenim (povijesnim) podatcima. Ako ne djeluju logično, što je ponekad

slučaj, treba utvrditi zašto je tomu tako. Na taj se način provodi kontrola, a istodobno se

upotpunjuju saznanja o modelu.

6. Model ne može dati rješenje problema za koji nije projektiran. S obzirom na cilj koji

se želi postići kod izrade modela, pojedini se elementi realnoga sustava smatraju važnima,

a neki se zanemaruju. Ukoliko se izmijeni cilj, ne može se očekivati kako će postojeći

model biti odgovarajući.

7. Model primjenjivati u granicama problema za koje je namijenjen. Jednom izrađeni

model i ugrađeni postupci za njegovo rješavanje i tumačenje mogu, uz određene izmjene,

biti primjenjivi za različite klase problema. Međutim, ukoliko se ispravno ne uoče razlike,

primjena će neodgovarjućega modela dovesti do pogrešnih zaključaka.

8. Sama izrada modela može donijeti nove spoznaje. Izrada modela zahtijeva racionalnu

analizu stvarnosti. Pritom se mogu otkriti određene nelogičnosti koje su do tada bile

prikrivene. Kao primjer može se navesti slučaj iz prakse kada se tijekom izrade modela

proizvodnje utvrdilo kako postoje artikli čija je prodajna cijena niža od izravnih troškova

5 Načela kojih se pri modeliranju treba pridržavati u svojim radovima spominju brojni autori te su ovdje

izdvojene osnove u kojima se većina autora slaže.

13

proizvodnje. Prije izrade modela te se artikle, zbog njihove relativno visoke prodajne

cijene, smatralo profitabilnima.

9. Model ne može biti bolji od ulaznih podataka. Kvaliteta rezultata dobivenih primjenom

modela ne može biti bolja od kvalitete ulaznih podataka. Ni model ni računalo ne mogu

generirati nova saznanja, odnosno informacije. Privid generiranja podataka može se dobiti

korištenjem ekspertnih sustava, međutim, riječ je o kvalitetnim informacijama koje su bile

inicijalno unesene pri izradi modela. Analizom podataka čija je priroda stohastička

neizvjesnost se može kompenzirati, ali ne i ukloniti. Obogaćivanje modela stoga neće

donijeti očekivane učinke ako se ne poboljša kvaliteta ulaznih podataka.

10. Model nije zamjena za odlučivanje. Operacijska istraživanja pružaju informacije koje

pomažu pri donošenju odluke, no osim kod rutinske primjene, ne predstavljaju i samu

odluku. Općenito, postoje stajališta realnoga sustava koja nisu obuhvaćena modelom, bilo

zbog toga što ih se ne može kvantificirati ili zbog toga što ovise o okruženju pa je njihovo

pojavljivanje nepredvidivo.

14

6. Rješavanje logističkih problema matematičkim modeliranjem

Većina logističkih problema koji se pojavljuju u planiranju i upravljanju logističkim

procesima mogu se svesti na probleme optimiranja, tj. riječ je o problemima koji imaju više

mogućih (izvedivih) rješenja, od kojih treba odabrati ono koje je prema usvojenom kriteriju (ili

više usvojenih kriterija) najbolje, uvažavajući pritom postavljena ograničenja.

Optimalno rješenje logističkoga problema koji je matematički opisan može se dobiti

primjenom egzaktnih metoda ili, ukoliko bi to iziskivalo neprihvatljivo puno vremena,

primjenom heurističkih algoritama koji daju rješenja za koja se ne može sa sigurnošću tvrditi

da su optimalna, no može se potvrditi njihova izvedivost s obzirom na zadana ograničenja.

Na primjerima osnovnih logističkih problema bit će prikazana praktična primjena modela

linearnoga programiranja u određivanju optimalnih rješenja tih problema. Optimalna će

rješenja biti generirana postupkom optimiranja matematičkih modela linearnoga programiranja

primjenom MS Excel programskoga alata Solver. Iako postoje napredniji programski alati od

Solvera, isti je primijenjen zbog svoje dostupnosti (nije potrebna nikakva dodatna instalacija

izvan standardnoga programskoga paketa MS Office), a znanja i vještine usvojene njegovom

primjenom mogu poslužiti kao osnova za daljnje izučavanje modela i metoda rješavanja

logističkih problema korištenjem sofisticiranijih programskih alata.

6.1. Primjena linearnoga programiranja

Problemi optimiranja, na kakve se mogu svesti mnogi logistički problemi, učinkovito se

rješavaju linearnim programiranjem, odnosno pomoću modela linearnoga programiranja.

Ovakav pristup rješavanju problema uključuje sljedeće pretpostavke:

▪ Traži se maksimum ili minimum funkcije cilja.

▪ Varijable odlučivanja (argumenti funkcije cilja) međusobno su neovisne, a njihov je

utjecaj na vrijednost funkcije cilja zbrojiv.

▪ Relacije između vrijednosti funkcije cilja i varijabla odlučivanja, kao i relacije

ograničenja mogu se izraziti linearnim jednadžbama ili nejednadžbama (radi

dobivanja konačnoga rješenja u nejednadžbama nije dopušteno < i >, nego samo ≤ i

≥).

▪ Ulazni su podatci konstante unutar promatranoga područja, odnosno razdoblja

definirane s određenom točnošću (u prihvatljivim granicama tolerancije).

Matematički modeli linearnoga programiranja ili linearni modeli (Slika 6.) imaju gore

navedena svojstva, a sastoje se od sljedećih triju sastavnica:

▪ varijabla odlučivanja

▪ funkcije cilja

▪ ograničenja.

15

Slika 6. Matematički model linearnoga programiranja


Varijable odlučivanja u linearnim su modelima kontinuirane. Kako neki problemi

zahtijevaju cjelobrojne varijable ili u posebnom slučaju binarne varijable, kod rješavanja se

primjenjuju sljedeće opcije:

Koriste se kontinuirane varijable, a kod interpretacije rezultata dopušteno je

zaokruživanje (realni brojevi → cijeli brojevi) jer su vrijednosti koje kontinuirane

varijable mogu poprimiti dovoljno velike te se odstupanja nalaze u granicama točnosti

ulaznih podataka (zaokruživanje ne može dovesti do grube pogreške).

Neke od varijabla odlučivanja moraju biti cjelobrojne i/ili binarne, dok za ostale ne

postoji to ograničenje te se uz kontinuirane koriste i cjelobrojne, odnosno binarne

(diskretne) varijable. Takvi se modeli nazivaju modeli mješovitoga cjelobrojnoga

programiranja, engl. Mixed Integer Programing Models (MIP Models).

Sve varijable odlučivanja moraju biti cjelobrojne, odnosno binarne te se primjenjuju

modeli cjelobrojnoga programiranja, engl. Integer Programming Models (IP Models),

odnosno modeli binarnoga cjelobrojnoga programiranja, engl. Binary Integer

Programming Models (BIP Models).

6.2. Analiza osjetljivosti matematičkoga modela

Nakon što je na matematičkom modelu određeno optimalno rješenje problema, postavljaju

se pitanja u kojoj je mjeri to rješenje osjetljivo na:

promjene jednoga ili više ulaznih podataka (parametara modela);

dodavanje ili isključivanje ograničenja;

dodavanje ili isključivanje varijabla...

Analiza osjetljivosti proces je variranja parametara modela unutar dopuštenoga područja i

promatranje zavisnih promjena u odzivu modela kako bi se promjene u izlaznim veličinama

modela mogle kvalitativno i kvantitativno dodijeliti odgovarajućim izvorima promjena.

Analiza osjetljivosti također je i metoda za provjeru kvalitete modela kojom se može

prikazati osjetljivost modela na nepreciznost, odnosno na stohastičku sastavnicu vrijednosti

ulaznih podataka.

FUNKCIJA CILJA

OGRANIČENJA

(UVJETI)

VARIJABLE ODLUČIVA

NJA

InterpretacijaUlazne veličine

M O D E L

OPTIMALNO RJEŠENJE

16

Najvažniji su razlozi zbog kojih se provodi analiza osjetljivosti matematičkoga modela

sljedeći:

stohastična sastavnica ulaznih podataka – neki od ulaznih podataka nisu sa sigurnošću

utvrđeni (poznati), nego su procijenjeni, odnosno izračunani na temelju određenih

pokazatelja, s određenom vjerojatnošću;

nepreciznost ulaznih podataka dobivenih mjerenjem, odnosno ispitivanjem na

odabranom uzorku;

dinamično okruženje realnoga sustava kod izrade modela pojednostavljeno je prikazano

kao statično, tj. zanemarene su moguće dinamične promjene ulaznih veličina i relacija

unutar modela;

provođenje što ako analize (engl. What If Analysis) – želi se vidjeti što bi bilo, odnosno

kakav bi bio odziv modela ukoliko bi se promijenili određeni parametri.

Umjesto višestrukoga ponovnoga rješavanja problema s promijenjenim parametrima

modela analizom osjetljivosti dobivaju se informacije o:

kvantitativnom području promjena koeficijenata funkcije cilja koje ne utječu na

optimalno rješenje, samo se mijenja vrijednost funkcije cilja;

utjecaju jedinične promjene parametara desne strane ograničenja na vrijednost funkcije

cilja i odnosnom kvantitativnom području.

U tom se smislu utvrđuje osjetljivost optimalnoga rješenja dobivenoga optimiranjem

modela na promjene:

pojedinoga koeficijenta u funkciji cilja – određuje se područje optimalnosti, tj.

raspon vrijednosti za svaki koeficijent funkcije cilja unutar kojega se optimalno rješenje

ne mijenja (ostali koeficijenti pritom ostaju nepromijenjeni);

pojedinoga parametra na desnoj strani ograničenja – ako je riječ o vezanom

ograničenju, optimalno se rješenje mijenja, a kvantificira se rezultirajuća promjena

vrijednosti funkcije cilja prema jediničnoj promjeni parametra na desnoj strani

ograničenja; ta se promjena naziva dualna cijena ili cijena u sjeni, engl. Shadow Price

koja vrijedi unutar određenoga intervala vrijednost, koji se naziva područje izvedivosti,

engl. Range of Feasibility; promjenom parametra desne strane ograničenja izvan

područja izvedivosti mijenja se dualna cijena ili ograničenje postaje nevezano (više ne

određuje vrijednost funkcije cilja).

Primjer: Određivanje maksimalne vrijednosti linearne funkcije s ograničenjima primjenom

grafičke metode i analiza osjetljivosti optimalnoga rješenja.

Funkcija cilja:

Max F = 40x1 + 60x2 . (6.1.)

Ograničenja:

x1 + x2 ≤ 200 (6.2.)

2x1 + x2 ≤ 300 (6.3.)

x2 ≤ 150 (6.4.)

x1, x2 ≥ 0. (6.5.)

17

Postupak određivanja optimalnoga rješenja grafičkom metodom prikazan je na Slici 7., a

sastoji se od sljedećih koraka:

1. Nacrtati grafove ograničenja kako bi se odredilo područje izvedivosti koje

predstavlja poligon s vrhovima u točkama (0,0), (150,0), (100,100), (50,150) i

(0,150). Navedene točke nazivaju se točke ekstrema.

2. Uzeti proizvoljnu vrijednost funkcije cilja i nacrtati njezin graf. Vrijednost funkcije

mora biti takva da graf prolazi kroz područje izvedivosti, primjerice:

40x1 + 60x2 = 2400.

3. Graf funkcije cilja translatirati u smjeru povećanja vrijednosti funkcije, najdalje

dok još dira područje izvedivosti (u jednoj od točaka ekstrema).

4. Koordinate najdalje točke ekstrema područja izvedivosti predstavljaju optimalne

vrijednosti varijabla, tj. optimalno rješenje (x1 = 50, x2 = 150).

5. Uvrštavanjem optimalnoga rješenja u matematički izraz funkcije cilja dobiva se

njezina maksimalna vrijednost (max F = 11 000).

Slika 7. Grafička metoda


Optimalno rješenje ovoga problema može se dobiti i pomoću MS Excel programskoga alata

Solver, koji osim toga omogućuje i generiranje rezultata analize osjetljivosti.

Primjena MS Excel programskoga alata Solver bit će podrobnije opisana i demonstrirana

na više primjera u sljedećim točkama, a ovdje su za potrebe razmatranja analize osjetljivosti,

optimalnoga rješenja, u Tablici 1. prikazani samo rezultati analize osjetljivosti (engl. Sensitivity

Report), generirani primjenom spomenutoga programskoga alata.

x1

x2

300

60 100

200

100

200 300

x2 ≤ 150

x1, x2 ≥ 0 (pvi kvadrant)

40

(50,150)

(prvi kvadrant)

18

Tablica 1. Rezultati analize osjetljivosti

Izvor: izradili autori

Objašnjenje Tablice 1.

Adjustable Cells: Mijenjanje koeficijenata funkcije cilja

(konstante uz varijable, engl. Objective Coefficient: C1 = 40, C2 = 60)

Vrijednost pojedinoga koeficijenta funkcije cilja može se mijenjati unutar područja

optimalnosti (između Allowable Increase i Allowable Decrease), a da optimalno rješenje ostaje

nepromijenjeno, mijenja se samo vrijednost funkcije cilja. Ako koeficijent poprimi vrijednosti

izvan toga područja, mijenja se i optimalno rješenje. Tako je područje optimalnosti:

- za koeficijent C1 interval vrijednosti od 0 do 60 (C1 - 40 = 0; C1 + 20 = 60);

- za koeficijent C2 interval vrijednosti od 40 do +∞ (C2 - 20 = 40; C2 + ∞ = +∞).

Constraints: Mijenjanje parametra desne strane ograničenja

engl. Constraint Right Hand Side (200, 300, 150).

Određuje se utjecaj jedinične promjene desne strane pojedinoga ograničenja na promjenu

vrijednosti funkcije cilja, tj. dualna cijena, engl. Shadow Price.

Prvo ograničenje ispunjeno je, engl. Binding, što znači da je lijeva strana nejednadžbe

jednaka desnoj strani, engl. Final Value = Constraint R. H. Side (200 = 200). Jedinična

promjena vrijednosti funkcije cilja (dualna cijena, engl. Shadow Price) iznosi 40 unutar

područja izvedivosti, tj. intervala vrijednosti parametra desne strane ograničenja između

Allowable Increase (25) i Allowable Decrease (50), odnosno između 225 i 150 (200 +

25 = 225; 200 - 50 = 150).

Povećanjem vrijednosti parametra desne strane ograničenja preko 225 ograničenje

prestaje biti ispunjeno, tj. više ne određuje funkciju cilja. Smanjenjem vrijednosti ispod

150 mijenja se iznos jedinične promjene funkcije cilja (dualna cijena).

Adjustable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$7 Optimalno rješenje x1 50 0 40 20 40

$C$7 Optimalno rješenje x2 150 0 60 1E+30 20

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$D$3 1. ograničenje lijeva strana 200 40 200 25 50

$D$4 2. ograničenje lijeva strana 250 0 300 1E+30 50

$D$5 3. ograničenje lijeva strana 150 20 150 50 50

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$D$3 1. ograničenje lijeva strana 200 $D$3<=$F$3 Binding 0

$D$4 2. ograničenje lijeva strana 250 $D$4<=$F$4 Not Binding 50

$D$5 3. ograničenje lijeva strana 150 $D$5<=$F$5 Binding 0

19

Drugo ograničenje nije ispunjeno, engl. Not Binding, što znači da lijeva strana

nejednadžbe, engl. Final Value, nije jednaka desnoj strani, engl. Constraint R. H. Side

(250 < 300).

Povećanje vrijednosti parametra desne strane ograničenja stoga nema utjecaja na

vrijednost funkcije cilja, tj. ne ograničava funkciju cilja, odnosno nije ispunjeno, engl.

Not Binding (Allowable Increase = +∞). Smanjenje vrijednosti parametra desne strane

ograničenja također nema utjecaja na vrijednost funkcije cilja, ali samo do 250, kada

ovo ograničenje postaje ispunjeno, engl. Binding (Allowable Decrease = 50).

Treće ograničenje ispunjeno je, engl. Binding, što znači da je lijeva strana nejednadžbe

jednaka desnoj strani, engl. Final Value = Constraint R. H. Side (150 = 150). Jedinična

promjena vrijednosti funkcije cilja (dualna cijena, engl. Shadow Price) iznosi 20 unutar

područja izvedivosti, tj. intervala vrijednosti parametra desne strane ograničenja između

Allowable Increase (50) i Allowable Decrease (50), odnosno između 200 i 100 (150 +

50 = 200; 150 - 50 = 100).

Povećanjem vrijednosti parametra desne strane ograničenja preko 200 ograničenje

prestaje biti ispunjeno, tj. više ne određuje funkciju cilja. Smanjenjem vrijednosti ispod

100 mijenja se iznos jedinične promjene funkcije cilja (dualna cijena).

6.3. Primjer rješavanja logističkoga problema optimiranjem linearnoga modela

Problem naprtnjače (engl. backpack problem, knapsack problem) jedan je od najpoznatijih

(i najjednostavnijih) logističkih problema iz klase NP-problema6 koji se može svesti na problem

kombinatoričkoga optimiranja. Pri rješavanju koristi se sljedeće svojstvo NP-problema:

valjanost rješenja može se provjeriti u polinomnom vremenu7.

Problem naprtnjače pojavljuje se u mnogim realnim situacijama, kako u svakodnevnom

životu, tako i u poslu. Može se razjasniti sljedećom situacijom:

Operativac je upućen na izvršenje određenoga zadatka, a u svojoj naprtnjači može ponijeti

stvari koje će mu pri tome najviše koristiti (odnosno za koje postoji najveća vjerojatnost da će

mu trebati). Na raspolaganju ima veći broj različitih stvari od kojih svaka ima određenu

korisnost i zauzima određeni prostor u naprtnjači.

Treba odlučiti koje stvari ponijeti sa sobom tako da uzme najkorisnije (ostvari ukupno

najveću korist), a da ne prekorači kapacitet naprtnjače (ne može ponijeti više stvari nego što

stane u naprtnjaču).

U različitim realnim situacijama korisnost se može odnositi na različite veličine

(komercijalna vrijednost robe, komercijalna dobit, vjerojatnost potrebe, uporabna vrijednost...),

a naprtnjača može biti, primjerice, kapacitet prijevoznoga sredstva, kontejnera, skladišta ili

nekoga drugoga ograničenoga resursa.

6 NP-problemi (ili problemi klase NP) problemi su za koje je moguće definirati nedeterminističke Turingove

strojeve koji ih rješavaju u polinomnom vremenu.

7 Cf. infra točku 11.1. Pojam heuristike

20

Problem naprtnjače i njegovo rješavanje svođenjem na problem optimiranja, kako bi se do

rješenja došlo optimiranjem matematičkoga modela, prikazani su na sljedećem primjeru

problemskoga zadatka.

Primjer problema naprtnjače

Neka je dano n predmeta Pi , svaki od njih mase mi i vrijednosti vi , i = 1, ... , n. Treba

odabrati koje predmete ukrcati u prijevozno sredstvo kapaciteta M tako da njihova ukupna

vrijednost bude najveća, a da ukupna masa ne prelazi kapacitet prijevoznoga sredstva.

Kapacitet prijevoznoga sredstva iznosi M = 900 kg, a mase i vrijednosti predmeta prikazani

su u Tablici 2.

Tablica 2. Ulazni podatci problema naprtnjače


Logički opis problema

Funkcija cilja: maksimizirati ukupnu vrijednost ukrcanih predmeta

Varijable odlučivanja: koje predmete ukrcati, uređena n-torka X = (x1, ... , xn) ϵ {0,1}

binarna varijabla xi: 1 = DA (ukrcan), 0 = NE (nije ukrcan)

Ulazne veličine: broj predmeta n = 15

masa predmeta mi

vrijednost predmeta vi

Ograničenja (uvjeti): kapacitet prijevoznoga sredstva M = 900 kg

Matematički model problema

Funkcija cilja

n

i

ii vxF1

max

(6.6.)

Ograničenje

n

i

ii Mmx1 (6.7.)

gdje je: vi = vrijednost predmeta Pi

mi = masa predmeta Pi

M = kapacitet prijevoznoga sredstva

n = ukupan broj predmeta (n = 15)

xi = varijabla odlučivanja, član uređene n-torke X = (xi, ... , xn) ϵ {0,1}

tumači se: 1 = predmet je ukrcan, 0 = predmet nije ukrcan

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15

Masa (kg) 70 73 77 80 82 87 90 94 98 106 110 113 115 118 120

Vrijednost 135 139 149 150 156 163 173 184 192 201 210 214 221 229 240

21

Optimalno rješenje problema

Svaka uređena n-torka X = (x1, ... , xn) ϵ {0,1} koja zadovoljava ograničenje:

n

i

ii Mmx1

moguće je ili izvedivo rješenje problema, dok je optimalno rješenje u ovom slučaju ono

koje daje najveću vrijednost funkcije cilja (max F).

Optimalno rješenje problema dobiveno primjenom MS Excel programskoga alata Solver

prikazano je u Tablici 3.

Tablica 3. Optimalno rješenje problema naprtnjače


Matematičke izraze modela predstavljaju MS Excel formule zapisane u odgovarajućim

ćelijama MS Excel tablice, kako je navedeno u Tablici 4. Ulazni podatci modela (konstante)

također su zapisani u MS Excel tablici, u ćelijama od B2 do P2 (mase predmeta), od B3 do P3

(vrijednosti predmeta), te u D6 (kapacitet prijevoznoga sredstva), onako kako su zadani.

Tablica 4. Zapisi matematičkih izraza modela problema naprtnjače u MS Excel tablici

Matematički

izraz Excel formula Ćelija

(6.6) = SUMPRODUCT(B4:P4; B3:P3) B8

(6.7) = SUMPRODUCT(B4:P4; B2:P2) B6


Dijaloški okvir Solver Parameters iz kojega se dalje otvara dijaloški okvir Options

programskoga alata Solver, s upisanim podatcima, prikazan je u Prilogu 1. Kako predmetom

ovoga izlaganja nisu karakteristike programskoga alata, neće se dalje objašnjavati značenje

pojednih parametara i opcija8.

8 Značenje pojedinih parametara i opcija podrobno je opisano u pratećoj dokumentaciji programskoga paketa,

a osnovna su objašnjenja dostupna pod opcijom < Help >.

22

7. Problem alokacije resursa

U realnim logističkim sustavima pojedini resursi mogu predstavljati ograničenje pri

ispunjavanju postavljenih zahtjeva, bez obzira na to dijele li različiti procesi iste resurse ili

pojedini procesi zahtijevaju više različitih resursa, primjerice:

▪ ograničeni kapacitet skladišta uvjetuje način i raspored smještaja robe, kao i tehnologiju

komisioniranja;

▪ količina robe koja se može transportirati ograničena je kapacitetom (nosivošću)

transportnoga sredstva, odnosno voznoga parka;

▪ volumen i struktura proizvodnje ograničena je raspoloživom radnom snagom i/ili

opremom (kapacitetom proizvodnih linija);

▪ ograničenja opreme u određenom dijelu proizvodne linije stvaraju usko grlo;

▪ ograničena količina određenoga sastojka, sirovine ili repromaterijala...

Optimalno rješenje u takvim slučajevima znači alokaciju (raspoređivanje i dodjeljivanje)

raspoloživih resursa tako da ukupni rezultat cjeline sustava bude najbolji. Pritom treba voditi

računa o sljedećem pravilu:

...optimum cjeline sustava ne mora biti zbroj optimuma pojedinih njegovih dijelova...

Kako zbog nedostatnih resursa nije moguće zadovoljiti potrebe svih procesa, procesi koji

manje pridonose ukupnom rezultatu žrtvuju se u korist onih koji pridonose više, ali samo do te

mjere da funkcioniranje cjeline sustava ne bude ugroženo. U tom smislu treba razmotriti

sljedeća pitanja:

Kako definirati kriterije optimalnosti s obzirom na cilj koji se želi postići?

Kako definirati funkcionalne odnose odvijanja procesa i trošenja (iskorištenja) resursa?

Kako identificirati ograničene resurse, odnosno uska grla?

Kako vrednovati rezultate procesa, odnosno doprinos pojedinih procesa ukupnom

rezultatu?

Odgovori na ova pitanja određuju alokaciju resursa u danom slučaju. Primjenom

matematičkih modela linearnoga programiranja, odnosno modela alociranja resursa može se

u tom smislu optimirati funkcioniranje logističkoga sustava kao cjeline. Rješavanje problema

alokacije resursa optimiranjem matematičkoga modela prikazano je na sljedećem primjeru

problemskoga zadatka.

7.1. Primjer problemskoga zadatka alokacije resursa u planiranju proizvodnje

Prilagodili autori prema Shapiro, J. F. 2001. Modeling the Supply Chain. Wadsworth Group. Thomson

Learning Inc. Duxbury. p. 65.

Tvrtka proizvodi (sklapa) tri vrste računala: desktop (DT), laptop (LT) i workstation (WS).

Nakon sklapanja i testiranja računala se pakiraju i stavljaju u prodaju. Ograničeni su resursi

23

raspoloživost pogona za sklapanje i kapacitet linija za testiranje, dok ostale aktivnosti (nabava,

pakiranje, distribucija...) nisu ograničene. Treba alocirati ove resurse i odrediti tjedni plan

proizvodnje DT/LT/WS (koliko komada pojedine vrste računala proizvesti) tako da dobit na

kraju radnoga tjedna bude najveća, uz zadana ograničenja i ulazne veličine.

Za sljedeći radni tjedan raspoloživo je:

▪ 800 radnih sati prvoga pogona, u kojem se sklapaju DT-i i WS-i

▪ 520 radnih sati drugoga pogona, u kojemu se sklapaju LT-i

▪ 240 radnih sati A-linije za testiranje DT-a i LT-a

▪ 280 radnih sati B-linije za testiranje WS-a.

Jedinična dobit po vrstama računala iznosi:

▪ 100 €/DT

▪ 110 €/LT i

▪ 160 €/WS.

Norma za sklapanje računala iznosi:

▪ 2 radna sata/DT

▪ 2 radna sata/LT i

▪ 4 radna sata/WS.

Norma za testiranje računala iznosi:

▪ 1 radni sat/DT

▪ 1 radni sat/LT i

▪ 2 radna sata/WS.

Kako se ovdje razmatra isključivo problem planiranja proizvodnje u užem smislu, ostali

podsustavi koji utječu na proizvodnju, ali sami nisu dio proizvodnje (nabava, prodaja), mogu

se zanemariti. Stoga se pretpostavlja kako stalno postoji dovoljna zaliha sastavnica potrebnih

za sklapanje računala te kako se sva proizvedena računala mogu prodati.

7.1.1. Logički opis problema

Logički opis problema prethodi izradi matematičkoga modela. Sadrži funkcionalni prikaz

strukture postavljenoga zadatka koji odgovara strukturi matematičkoga modela linearnoga

programiranja, kako slijedi:

Funkcija cilja sadrži kriterij optimalnosti:

−maksimizirati dobit radnoga tjedna.

Varijable odlučivanja promjenjive su veličine čije vrijednosti treba odrediti radi

dobivanja optimalnoga rješenja problema, odnosno optimalne vrijednosti funkcije cilja:

−broj desktopa koje treba sklopiti (nDT)

−broj laptopa koje treba sklopiti (nLT)

− broj workstationa koje treba sklopiti (nWS).

24

Ograničenja određuju kvantitativno područje dopuštenih vrijednosti varijabla

odlučivanja, odnosno područje izvedivosti:

−raspoloživost prvoga pogona za sklapanje (800 radnih sati, odnosno 20 radnika za

40-satni radni tjedan);

−raspoloživost drugoga pogona za sklapanje (520 radnih sati, odnosno 13 radnika za

40-satni radni tjedan);

−kapacitet A-linije za testiranje (240 radnih sati, odnosno 6 radnika za 40-satni radni

tjedan);

−kapacitet B-linije za testiranje (280 radnih sati, odnosno 7 radnika za 40-satni radni

tjedan).

Ulazne veličine podatci su dobiveni analizom realnoga sustava:

−jedinična dobit po računalu: 100 €/DT, 110 €/LT i 160 €/WS;

− norma za sklapanje računala: 2 sata/DT, 2 sata/LT, 4 sata/WS;

−norma za testiranje računala: 1 sat/DT, 1 sat/LT, 2 sata/WS.

Pojednostavljenja uvedena u skladu s promatranim problemom:

−stalno je raspoloživa dovoljna količina sastavnica za potrebe proizvodnje;

−sva proizvedena računala mogu se prodati.

7.1.2. Matematički model problema

Matematički model izvodi se iz logičkoga opisa problema, a sastoji se od istih elementa

zapisanih matematičkim izrazima (linearnim jednadžbama i nejednadžbama), kako slijedi:

Funkcija cilja:

max F = 100nDT + 110nLT + 160nWS. (7.1.)

Ograničenja:

2nDT + 4nWS ≤ 800 prvi pogon za sklapanje (7.2.)

2nLT ≤ 520 drugi pogon za sklapanje (7.3.)

nDT + nLT ≤ 240 A − linija za testiranje (7.4.)

2nWS ≤ 280 B − linija za testiranje (7.5.)

nDT ≥ 0, nLT ≥ 0, nWS ≥ 0 varijable su nenegativne9 (7.6.)

gdje je:

nDT = broj desktopa koje treba sklopiti

nLT = broj laptopa koje treba sklopiti

nWS = broj workstationa koje treba sklopiti.

9 Ovo je ograničenje stavljeno iz logičkih razloga. Proizvesti se može niti jedno, jedno ili više računala.

Negativna vrijednost ovdje ne bi imala smisla jer se ne može proizvesti negativan broj računala.

25

Svako je rješenje (nDT, nLT, nWS) koje zadovoljava postavljena ograničenja (matematički

izrazi od 7.2. do 7.6.) moguće ili izvedivo rješenje, a takvih rješenja ima više.

Optimalno rješenje jedno je od mogućih rješenja, u ovom slučaju ono koje daje najveću

vrijednost funkcije cilja (matematički izraz 7.1.).

Za rješavanje je problema optimiranjem matematičkoga modela primjenom MS Excel

programskoga alata Solver bitno uočiti sljedeća svojstva toga modela:

1. Model ima jednu funkciju cilja.

2. Varijable odlučivanja (argumenti funkcije cilja) međusobno su neovisne, a njihov se

učinak na vrijednost funkcije cilja zbraja.

3. Relacije između vrijednosti funkcije cilja i njezinih argumenata (varijabla odlučivanja),

kao i relacije ograničenja linearne su.

4. Varijable odlučivanja mogu poprimiti bilo koju nenegativnu cjelobrojnu vrijednost, pri

čemu je kod tumačenja dopušteno zaokruživanje (realni brojevi → cijeli brojevi) jer su

vrijednosti koje varijable mogu poprimiti dovoljno velike, te se odstupanja nalaze u

granicama točnosti ulaznih podataka (zaokruživanje ne može dovesti do grube

pogreške).

7.1.3. Optimalno rješenje problema

Tjedni plan proizvodnje koji daje najveću dobit (max F = 48.800,00 €), odnosno optimalno

rješenje problema (nDT = 0, nLT = 240, nWS = 140) dobiveno optimiranjem matematičkoga

modela primjenom MS Excel programskoga alata Solver prikazano je u MS Excel tablici na

Slici 8.

Slika 8. Optimalno rješenje problema alokacije resursa


Ulazni podatci modela (konstante) zapisani su u MS Excel tablici (Slika 8.), u ćelijama od

B2, C3 i D2 (norma za sklapanje), B4, C4 i D5 (norma za testiranje), B6 do D6 (jedinična dobit)

te u G2 do G5 (kapaciteti pogona za sklapanje i linija za testiranje), onako kako su zadani.

26

Matematički izrazi koji čine strukturu modela (od 7.1. do 7.5.) također su, u obliku MS

Excel formula, upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice prikazane na Slici 8., kako je

navedeno u Tablici 5.

Tablica 5. Zapisi matematičkih izraza modela u MS Excel tablici

Matematički


(7.1.) = B6*B7 + C6*C7 + D6*D7 B9

(7.2.) = B2*B7 + D2*D7 E2

(7.3.) = C3*C7 E3

(7.4.) = B4*B7 + C4*C7 E4

(7.5.) = D5*D7 E5



programskoga alata Solver, s upisanim podatcima, prikazan je u Prilogu 2.

Iako se ovaj primjer odnosi na planiranje proizvodnje, stoga je samo neizravno povezan s

problematikom transporta (preko logistike nabave i logistike distribucije), odabran je jer se na

njemu može dobro prikazati praktična primjena analize osjetljivosti.

7.1.4. Analiza osjetljivosti

Nakon dobivanja optimalnoga rješenja analiza osjetljivosti provedena je istim

programskim alatom, a rezultati (engl. Sensitivity Report) su prikazani u MS Excel tablici na

Slici 9.

Osim samoga ispitivanja osjetljivosti modela na promjene ulaznih veličina, analiza

osjetljivosti ima praktičnu primjenu koja je prikazana u ovom primjeru u vidu generiranja

sljedećih informacija:

▪ koliko treba povećati prodajnu cijenu desktop računala da bi njihova proizvodnja

postala isplativa;

▪ isplati li se i pod kojim uvjetima zaposliti dodatne radnike u pogonima za sklapanje,

odnosno na linijama za testiranje kako bi se povećao njihov kapacitet.

27

Slika 9. Rezultati analize osjetljivosti, engl. Sensitivity Report


Funkcija cilja:

▪ Final Value predstavlja vrijednosti varijabla odlučivanja u optimalnom rješenju (tjedni plan

proizvodnje: broj komada desktopa, laptopa i workstationa).

▪ Reduced Cost predstavlja minimalan iznos za koji treba povećati koeficijent uz varijablu

odlučivanja čija je optimalna vrijednost jednaka nuli da se optimalno rješenje promijeni

tako da ista varijabla bude veća od nule.

▪ U ovom slučaju to je jedinična dobit na desktopima (DT) koju treba povećati za najmanje

10 ako bi njihova proizvodnja postala isplativa.

▪ Objective Coefficient predstavlja koeficijente uz varijable odlučivanja, tj. jediničnu

dobit po desktopu/laptopu/workstationu (ulazne veličine).

▪ Allowable Increase predstavlja maksimalno povećanje jedinične dobiti kod kojega

optimalno rješenje ostaje nepromijenjeno: <10/desktop, +∞/laptop, +∞/workstation.

▪ Allowable Decrease predstavlja maksimalno smanjenje jedinične dobiti kod kojega

optimalno rješenje ostaje nepromijenjeno: -∞/desktop, <10/laptop, <160/workstation.

Ograničenja:

▪ Final Value predstavlja utrošak resursa: 560 sati u prvom pogonu (neispunjeno

ograničenje), 480 sati u drugom pogonu (neispunjeno ograničenje), 240 sati na A-liniji

(ispunjeno ograničenje) te 280 sati na B-liniji (ispunjeno ograničenje).

Iz toga proizlazi kako linije za testiranje predstavljaju usko grlo, tj. kako njihov kapacitet

ograničava proizvodnju, odnosno ukupnu dobit (maksimalnu vrijednost funkcije cilja).

28

▪ Shadow price (dualna cijena) predstavlja povećanje vrijednosti funkcije cilja, u ovom

slučaju ukupne dobiti radnoga tjedna, uz jedinično povećanje kapaciteta resursa:

- svaki dodatni sat na A-liniji za testiranje povećava ukupnu dobit za 110 €;

- svaki dodatni sat na B-liniji za testiranje povećava ukupnu dobit za 80 €;

- dodatni sati u pogonu za sklapanje ne utječu na dobit jer ograničenja nisu ispunjena.

Iz toga proizlazi kako se ulaganje u povećanje kapaciteta A-linije za testiranje isplati ako

je cijena dodatnoga radnoga sata manja od 110 €, a u povećanje kapaciteta B-linije ako je

cijena dodatnoga radnoga sata manja od 80 €.

Ulaganje u povećanje kapaciteta pogona za sklapanje neovisno o povećanju kapaciteta

linija za testiranje nije isplativo jer njihov kapacitet ne ograničava proizvodnju.

▪ Allowable Increase/Decrease predstavlja područje izvedivosti, tj. raspon promjena

kapaciteta resursa (prvi pogon, drugi pogon, A-linija, B-linija) unutar kojega vrijede

navedene dualne cijene.

7.2. Problem alokacije resursa u operativnom planiranju

Operativno planiranje projekcija je bliske budućnosti poslovanja poduzeća (od šest

mjeseci do godine dana) kojom se nastoje odrediti buduće poslovne aktivnosti radi postizanja

najboljih poslovnih rezultata u određenom planskom razdoblju.

U domeni logistike to je planiranje eksploatacije postojećih (raspoloživih) resursa radi

zadovoljenja očekivanih (predviđenih) logističkih zahtjeva uz najpovoljniji omjer

uloženo/dobiveno. Obuhvaća sve faze opskrbnoga lanca radi koordinacije odgovarajućih

subjekata (dobavljač, proizvođač, distributer, maloprodaja, logistički operater...), a uključuje

donošenje odluka glede:

▪ alokacije raspoloživih kapaciteta proizvodnih pogona (radne snage i opreme), skladišta,

voznoga parka;

▪ angažiranja vanjskih dobavljača (podizvođača, kooperanata, logističkih operatera...);

▪ određivanja transportnih rješenja i rokova isporuke;

▪ upravljanja zalihama.

Problemi su operativnoga planiranja u osnovi problemi alokacije resursa te se stoga mogu

svesti na probleme optimiranja. Primjena matematičkih modela linearnoga programiranja za

njihovo rješavanje uključuje definiranje elemenata koji su sljedeći:

funkcija cilja – maksimizirati dobit na kraju planskoga razdoblja, što se postiže

povećavanjem prihoda i/ili smanjivanjem troškova;

varijable odlučivanja – proizvodnja, zalihe, zadovoljenje potražnje;

ograničenja – raspoloživi resursi (infrastruktura, oprema, radna snaga,

repromaterijal...), način eksploatacije resursa, zahtjevi kupaca/korisnika;

ulazni podatci – očekivana potražnja, materijalni troškovi, troškovi rada, norme za

obavljanje pojedinih operacija, troškovi zaliha...

29

7.2.1. Primjer problemskoga zadatka operativnoga planiranja

Prilagodili autori prema Chopra, S.; Meindl, P. 2004. Supply Chain Management. Pearson Education Inc.

New Jersey. p. 211.

Tvornica sklapa gotov proizvod od standardiziranih sastavnica koje isporučuju različiti

dobavljači. U tu svrhu raspolaže dostatnom opremom i infrastrukturom, a ograničavajući je

čimbenik proizvodnje raspoloživa radna snaga (riječ je o radno intenzivnoj djelatnosti).

Potražnja tržišta nije stalna, no uglavnom je podložna predvidivom trendu te se s velikom

sigurnošću može predvidjeti. Problem kolebanja potražnje može se rješavati na sljedeće načine:

▪ stvaranjem zaliha tijekom mjeseci manje potražnje (proizvodnja se ne mijenja)

▪ povećanjem proizvodnje tijekom mjeseci veće potražnje (razina zaliha se ne mijenja)

▪ prolongiranjem rokova isporuke (ispunjenja narudžba)

▪ kombiniranjem prethodnih načina,

uz uvjet da sve narudžbe moraju biti ispunjene do kraja planskoga razdoblja, tj. ne smije

ostati neisporučene robe za sljedeće plansko razdoblje.

Kako bi se optimalno iskoristili raspoloživi resursi i zadovoljila potražnja tržišta, tvornica

mora napraviti odgovarajući operativni plan. Ciljem je operativnoga plana maksimalna dobit

planskoga razdoblja.

Kako je prodajna cijena unaprijed ugovorena (ne može se mijenjati), na povećanje dobiti

može se utjecati smanjivanjem troškova. Maksimalna dobit postiže se minimizacijom

troškova. Za potrebe razmatranja ovoga primjera određeno je plansko razdoblje od šest

mjeseci.


Funkcija cilja

Minimizirati ukupni trošak planskoga razdoblja (čime se maksimizira dobit, uz

pretpostavku fiksne cijene proizvoda). Obuhvaća troškove redovitoga i prekovremenoga rada,

troškove preraspodjele radnika, troškove zaliha, troškove neispunjenih narudžba i troškove

materijala.

Varijable odlučivanja

Promjenjive veličine koje određuju vrijednost funkcije cilja. Vrijednosti tih promjenjivih

veličina treba odrediti tako da vrijednost funkcije cilja bude minimalna uz postavljena

ograničenja:

Rm = broj radnika u mjesecu m, m = 1, . . . , 6

PRm = povećanje broja radnika u mjesecu m, m = 1, . . . , 6

(dodatni broj radnika angažiranih na početku mjeseca m)

SRm = smanjenje broja radnika u mjesecu m, m = 1, . . . , 6

(broj radnika raspoređenih na druge poslove početkom mjeseca m)

Km = broj komada proizvedenih u mjesecu m, m = 1, . . . , 6

(proizvodnja u mjesecu m)

30

Zm = zalihe na kraju mjeseca m, m = 1, . . . , 6

Nm = neispunjene narudžbe na kraju mjeseca m, m = 1, . . . , 6

(broj komada koji još nisu isporučeni po primljenim narudžbama u mjesecu m)

PSm = broj prekovremenih sati u mjesecu m, m = 1, . . . , 6.

Ograničenja

Operativni plan (kvantitativno područje dopuštenih vrijednosti varijabla odlučivanja) mora

zadovoljavati sljedeća ograničenja:

1. Broj radnika može se u svakom mjesecu promijeniti (povećati ili smanjiti) najviše za

20 % od inicijalnoga broja radnika (na početku planskoga razdoblja).

2. Proizvodnja je ograničena raspoloživom radnom snagom (rad u redovitom radnom

vremenu i prekovremeni rad).

3. Broj neispunjenih narudžba u svakom mjesecu ne smije prijeći razinu zaliha tekućega

mjeseca, s tim da na kraju planskoga razdoblja ne smije ostati neispunjenih narudžba

(sva potražnja mora biti zadovoljena).

4. Minimalna razina zaliha u svakom mjesecu iznosi 1 000 komada.

5. Svaki radnik smije raditi najviše 12 prekovremenih sati u mjesecu.

6. Ukupna potražnja (potražnja tekućega mjeseca i neispunjenje narudžbe iz prethodnoga

mjeseca) u svakom mjesecu može se zadovoljiti iz tekuće proizvodnje i prethodno

stvorenih zaliha, s tim da se u svakom mjesecu mogu stvarati zalihe (proizvoditi više od

potražnje), a dio primljenih narudžba može se prebaciti u sljedeći mjesec (kao

neispunjene narudžbe).

Ulazni podatci

Početno stanje Stanje zaliha 1 200 komada

Broj radnika 100

Prognoza potražnje 1. mjesec 4 000 komada

2. mjesec 6 200 komada





Troškovi Preraspodjela radnika 200,00 €/radnik

Redoviti rad 500,00 €/mjesec

Prekovremeni rad 5,00 €/sat

Držanje zaliha 2,00 €/komad/mjesec

Neizvršene narudžbe 10,00 €/komad

Materijal 10,00 €/komad

Norma 4 sata/komad

EXW cijena 50,00 €/komad

Minimalna zaliha 1 000 komada

31


Funkcija cilja

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

101025500200minm

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

mm KNZPSRSRPRF

(7.7.)

1. 2. 3. 4. 5. 6.

obuhvaća sljedeće elemente:

troškove preraspodjele radnika

troškove rada u redovitom radnom vremenu

troškove prekovremenoga rada

troškove zaliha

troškove neispunjenih narudžba

troškove materijala.

Ograničenja

1. Broj radnika

1006,...,120,; 01 RimSRPRSRPRRR mmmmmm , (7.8.)

odnosno u formi varijable na lijevoj strani, konstanta na desnoj strani:

1006,...,120,;0 01 RimSRPRSRPRRR mmmmmm . (7.9.)

Broj radnika Rm u mjesecu m jednak je broju radnika Rm-1 u mjesecu m-1 umanjenom za

SRm (smanjenje broja radnika u mjesecu m) odnosno uvećanom za PRm (povećanje broja

radnika u mjesecu m).

R0 je inicijalni broj radnika (na početku planskoga razdoblja).

2. Proizvodnja

6,...,14

140 mPSRK mmm

, (7.10.)


6,...,104

140 mKPSR mmm

. (7.11.)

32

Proizvodnja Km u mjesecu m ograničena je raspoloživim brojem radnih sati (redovitih i

prekovremenih) u mjesecu m.

S obzirom na normu (4 sata/komad) svaki radnik može proizvesti 40 jedinica proizvoda

mjesečno u redovitom radnom vremenu te po jedan proizvod za svaka četiri prekovremena

sata.

3. Neispunjene narudžbe

6,...,1 mZN mm 0; 6 N

, (7.12.)


6,...,10 mNZ mm 0; 6 N

. (7.13.)

Količina neispunjenih narudžba ne smije prijeći razinu zaliha u tekućem mjesecu, s tim da

na kraju planskoga razdoblja ne smije ostati neispunjenih narudžba.

4. Minimalna razina zaliha

6,...,11000 mZm . (7.14.)

5. Prekovremeni sati

6,...,112 mRPS mm , (7.15.)


6,...,1012 mPSR mm . (7.16.)

6. Zadovoljenje potražnje

6,...,111 mNZNPKZ mmmmmm , (7.17.)


6,...,1011 mNZNPKZ mmmmmm . (7.18.)

Ukupna potražnja koju treba zadovoljiti u mjesecu m jednaka je zbroju potražnje Pm u

mjesecu m i neispunjenih narudžba Nm-1 iz prethodnoga mjeseca m-1. Ta se ukupna

potražnja može zadovoljiti iz proizvodnje Km tekućega mjeseca i zaliha prethodnoga

mjeseca Zm-1 ili se dio može prebaciti u sljedeći mjesec kao neispunjene narudžbe Nm

tekućega mjeseca. U mjesecu m može se proizvoditi i više nego što je potrebno za

zadovoljenje ukupne potražnje u tom mjesecu radi stvaranja zaliha Zm.


Optimalno je rješenje ovoga problema ono koje zadovoljava sva ograničenja uz najmanje

operativne troškove (min F = 761.788,00 €). Optimalne vrijednosti varijabla odlučivanja,

dobivene optimiranjem matematičkoga modela primjenom MS Excel programskoga alata

Solver, prikazane su u MS Excel tablici na Slici 10. u ćelijama od B6 do H11.

Inicijalne vrijednosti varijabla odlučivanja (početak planskoga razdoblja) zapisane su u

retku od B5 do G5, a predviđena je potražnja po mjesecima zapisana u stupcu od I6 do I11.

33

Slika 10. Optimalno rješenje problema operativnoga planiranja


Matematički izrazi koji čine strukturu modela (funkcija cilja, ograničenja) također su u

obliku MS Excel formula upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice, koja je prikazana na

Slici 10. Matematički izrazi modela, odgovarajuće MS Excel formule i ćelije u koje su određene

formule upisane navedene su u Tablici 6. Matematički izrazi 7.12. i 7.14. mogu se svesti na

neposredno uspoređivanje vrijednosti u odnosnim ćelijama te su stoga upisani izravno u

dijaloški okvir Solver Parameters, koji je prikazan u Prilogu 3.

Tablica 6. Zapisi matematičkih izraza modela u MS Excel tablici

Matematički


(7.7.)

= B6*200 B15:B20

= C6*200 C15:C20

= D6*500 D15:D20

= E6*5 E15:E20

= F6*2 F15:F20

= G6*10 G15:G20

= H6*10 H15:H20

= SUM(B15:H20) I21

(7.9.) = D6-D5-B6+C6 K6:K11

(7.11.) = 40*D6+E6/4-H6 L6:L11

(7.16.) = 12*D6-E6 M6:M11

(7.18.) = F5+H6-I6-G5-F6+G6 N6:N11


34

U MS Excel tablici koja je prikazana na Slici 10. dodatno je napravljen izračun mjesečnih

troškova (stupac I15:I20), mjesečnih prihoda (stupac K15:K20) i mjesečne dobiti (stupac

L15:L20) te ukupnoga troška (I21) koji odgovara vrijednosti funkcije cilja, ukupnoga prihoda

(K21) i ukupne dobiti (L21) za cijelo plansko razdoblje.

Mjesečni prihod izračunava se kao umnožak jedinične prodajne cijene i potražnje tekućega

mjeseca, umanjene za neispunjene narudžbe tekućega mjeseca i uvećane za neispunjene

narudžbe prethodnoga mjeseca, kako slijedi:

𝑃𝑟𝑖ℎ𝑜𝑑 𝑚𝑗𝑒𝑠𝑒𝑐𝑎 𝑚 = 50 ∙ (𝑃𝑚 − 𝑁𝑚 + 𝑁𝑚−1), (7.19.)

odnosno u obliku MS Excel formule upisane u ćeliju K15:

= 50*(I6-G6+G5), kopirano u sljedeće ćelije stupca do K20.

Mjesečna dobit izračunava se kao razlika između mjesečnoga prihoda i mjesečnoga troška,

kako slijedi:

𝐷𝑜𝑏𝑖𝑡 𝑚𝑗𝑒𝑠𝑒𝑐𝑎 𝑚 = 𝑃𝑟𝑖ℎ𝑜𝑑 𝑚𝑗𝑒𝑠𝑒𝑐𝑎 𝑚 − 𝑇𝑟𝑜š𝑎𝑘 𝑚𝑗𝑒𝑠𝑒𝑐𝑎 𝑚, (7.20.)

odnosno u obliku MS Excel formule upisane u ćeliju L15:

= K15-I15, kopirano u sljedeće ćelije stupca do L20.


programskoga alata Solver, s upisanim podatcima, prikazani su u Prilogu 3.

35

8. Transportni problem

Transportni je problem problem određivanja rasporeda transporta određenoga

transportnoga supstrata (homogenih jedinica tereta, primjerice paleta, kartona…) iz n izvora u

kojima se supstrat nalazi u m odredišta čiju potražnju za supstratom treba zadovoljiti, koristeći

raspoložive transportne putove po kriteriju najmanjih transportnih troškova ili najkraćega

transportnoga puta.

Raspored transporta određuje iz kojega se izvora transportira koja količina supstrata u

koje odredište i kojim transportnim putom. U osnovnom transportnom problemu poznati

(zadani) su kapaciteti i lokacije izvora, potražnja odredišta, raspoloživi transportni putovi (veze

između izvora i odredišta), jedinični transportni troškovi, odnosno duljine transportnih putova.

Osnovni oblik problema može biti dodatno složen, primjerice uvođenjem kapaciteta

transportnih sredstava, odnosno propusnosti transportnih putova i/ili vremenskih prozora kod

izvora odnosno kod odredišta.

Ukoliko je ukupna potražnja odredišta jednaka ukupnom kapacitetu izvora, problem se

naziva zatvorenim, no u praksi se često pojavljuju i situacije u kojima kapaciteti premašuju

potražnju odnosno potražnja nadmašuje kapacitete pa potražnju nije moguće zadovoljiti.

Transportni problem može se svesti na problem optimiranja radi aproksimiranja

matematičkim modelom linearnoga programiranja. U tom smislu pojedine elemente

transportnoga problema predstavljaju odgovarajući elementi transportnoga modela, kako

slijedi:

funkcija cilja predstavlja ukupne transportne troškove, odnosno transportni put koji

treba minimizirati;

varijable odlučivanja predstavljaju raspored transporta, tj. količine supstrata koje se

transportiraju iz određenoga izvora u određeno odredište po transportnom putu koji

povezuje određeni izvor s određenim odredištem;

ograničenja predstavljaju uvjete koji moraju biti ispunjeni: potražnja odredišta mora

biti zadovoljena, kapaciteti izvora ne mogu biti prekoračeni, transport se može odvijati

po raspoloživim transportnim putovima;

ulazni podatci poznate su (zadane) veličine transportne mreže: kapaciteti izvora,

potražnja odredišta, jedinični transportni troškovi.

Transportni modeli vrsta su modela mreže koja se sastoji od čvorova (izvori odnosno

odredišta) i lukova (transportni putovi) koji povezuju te čvorove. Transportni model prikazuje

razdiobu transportnih (robnih) tokova unutar transportne mreže, tj. između čvorova čije su

funkcije i lokacije poznate (zadane). Ovdje treba razmotriti sljedeća pitanja:

Iz kojih izvora opskrbljivati koja odredišta?

Kako kvantitativno odrediti razdiobu transporta?

Koje transportne putove odabrati?

Odgovori na ova pitanja određuju suprastrukturno rješenje transportne mreže u danom

slučaju. Primjenom transportnih modela može se u tom smislu optimirati funkcioniranje

transportne mreže kao cjeline.

36

Optimalno rješenje transportnoga problema jest povezivanje izvorišnih čvorova

(proizvodni pogoni, distribucijski centri...) i odredišnih čvorova (skladišta, prodajna mjesta...)

transportnim putovima tako da potražnja bude zadovoljena, a trošak transporta minimalan.

8.1. Matematički model transportnoga problema

Matematička formulacija transportnoga problema, tj. transportni model sastoji se od

elemenata matematičkoga modela linearnoga programiranja, kako je opisano u prethodnoj točki

(funkcija cilja, ograničenja, varijable odlučivanja, ulazni podatci), zapisanih matematičkim

izrazima kako slijedi:

funkcija cilja

(8.1.)

ograničenja

(8.2.)

(8.3.)

(8.4.)

gdje je:

tij = jedinični transportni trošak na relaciji od izvora i do odredišta j

qij = količina robe koja se iz izvora i transportira do odredišta j

m = ukupan broj odredišta čiju potražnju treba zadovoljiti

n = ukupan broj izvora

ki = kapacitet izvora i

pj = potražnja odredišta j.

Jednadžba (8.1.) predstavlja funkciju cilja, tj. ukupni transportni trošak na razini cijele

mreže kao zbroj produkata količine robe i jediničnoga transportnoga troška na svim relacijama

transportne mreže.

Jednadžba (8.2.) predstavlja ograničenje koje određuje kako potražnja svih odredišta mora

biti zadovoljena, nejednadžba (8.3.) predstavlja ograničenje koje određuje kako ukupna

količina robe koja se transportira iz pojedinoga izvora ne može biti veća od njegovoga

kapaciteta, a nejednadžba (8.4.) predstavlja uvjet nenegativnosti varijable odlučivanja

(transport negativne količine robe nema logičkoga smisla).

n

i

m

j

ijij qtF1 1

min

n

i

jij mjpq1

,...,1

nikq i

m

j

ij ,...,11

mjniqij ,...,1;,...,10

37

8.2. Primjer osnovnoga transportnoga problema


New Jersey. p. 119.

Iz logističko-distribucijskih centara (LDC-a) na trima lokacijama (Budimpešta, Rijeka i

Zagreb) distributer opskrbljuje prodajna mjesta u pojedinim gradovima na svom tržištu.

Minimalna je količina robe koja se isporučuje jedna paleta.

Transportna je mreža zadana geografskim rasporedom tržišta i cestovnom infrastrukturom,

a zajedno je s mjesečnom potražnjom prodajnih mjesta u pojedinim gradovima prikazana

zemljovidom na Slici 11. Transparentni krugovi predstavljaju gravitacijske zone pojedinih

gradova, a promjeri krugova proporcionalni su potražnji prodajnih mjesta u određenoj

gravitacijskoj zoni.

Slika 11. Transportna mreža


Ulazni podatci problema, odnosno poznate (zadane) veličine: jedinični transportni troškovi

(€/paleta), potražnja po gradovima (paleta/mjesec) i kapaciteti LDC-a po lokacijama

(paleta/mjesec) prikazani su u Tablici 7.

38

Tablica 7. Ulazni podatci problema


Za razdoblje od jednoga mjeseca treba odrediti raspored transporta (koje će se količine

robe transportirati iz kojih LDC-a u koje gradove) tako da potražnja bude zadovoljena, a

transportni troškovi minimalni.





funkcija cilja sadrži kriterij optimalnosti:

− minimizirati transportne troškove (min F);

varijable odlučivanja promjenjive su veličine čije vrijednosti treba odrediti radi

dobivanja optimalnoga rješenja problema, odnosno minimalne vrijednosti funkcije cilja:

− raspored transporta;

ograničenja određuju kvantitativno područje dopuštenih vrijednosti varijabla


− potražnja prodajnih mjesta u svakom gradu mora biti zadovoljena;

− iz svakoga izvora (LDC-a) ukupno se može transportirati najvište toliko robe koliki

je njegov kapacitet;

ulazne veličine podatci su dobiveni analizom realnoga sustava, a prikazani su u Tablici

6.:

− jedinični transportni troškovi od svakoga LDC-a do svakoga grada (€/paleta);

− potražnja prodajnih mjesta u svakom gradu (paleta/mjesec);

− kapaciteti LDC-a (paleta/mjesec).

8.2.2. Rješivost problema

Prije nego se pristupi izradi matematičkoga modela problema, treba provjeriti je li problem

rješiv, tj. je li moguće pronaći rješenje koje zadovoljava postavljena ograničenja. U svezi s tim

ovaj je problem rješiv ukoliko se raspoloživim kapacitetima LDC-a može zadovoljiti potražnja

svih prodajnih mjesta ili, drugim rječima, problem je rješiv ukoliko je ukupni kapacitet svih

LDC-a veći ili jednak ukupnoj potražnji prodajnih mjesta.

Od / Do Budapest Szeged Ljubljana Maribor Osijek Rijeka Sarajevo Split Šibenik Zadar ZagrebKapacitet

LDC-a

Budapest 7 21 49 49 38 63 70 67 65 63 42 2.000

Rijeka 63 70 23 29 44 7 48 29 28 26 21 1.200

Zagreb 42 49 22 24 31 21 32 26 24 23 7 2.200

Potražnja

(paleta)800 300 500 400 300 600 400 500 300 400 700 200

Transportni troškovi (€/paleta)

39

Uvjet rješivosti ovoga problema matematički se može izraziti na sljedeći način:

Neka je:

(8.5.)

(8.6.)

gdje je:

n = ukupan broj LDC-a (n = 3)

ki = kapacitet LDC-a na lokaciji i

K = ukupan kapacitet svih LDC-a u mreži

m = ukupan broj gradova koje treba opskrbiti (m = 11)

pj = potražnja u gradu j

P = ukupna potražnja tržišta

uvjet rješivosti glasi: (8.7.)

Ukupni kapacitet svih LDC-a u mreži iznosi K = 5 400 paleta/mjesec. Ukupna potražnja

svih prodajnih mjesta na tržištu iznosi P = 5 200 paleta/mjesec. Kako je 5 400 > 5 200, problem

je rješiv.


Matematički model problema izrađuje se na temelju logičkoga opisa problema uz

korištenje ulaznih podataka. Sastoji se od istih elementa prikazanih u Točki 8.1., pri čemu su

izvorišni čvorovi LDC-i, a odredišni čvorovi prodajna mjesta u gradovima koje treba opskrbiti.

Ulazni podatci koje treba uvrstiti u model (broj LDC-a, broj gradova, kapaciteti LDC-a,

potražnja prodajnih mjesta u gradovima, transportni troškovi) prikazani su u Tablici 7.


Mjesečni raspored transporta koji zadovoljava postavljena ograničenja uz najmanje

transportne troškove, odnosno optimalno rješenje problema dobiveno je optimiranjem

matematičkoga modela primjenom MS Excel programskoga alata Solver, kako slijedi:

LDC u Budimpešti opskrbljuje prodajna mjesta Budimpešte (800 paleta), Szegeda (300

paleta), Maribora (400 paleta) i Osijeka (300 paleta).

Ukupna količina robe koja se transportira iz ovoga LDC-a iznosi iznosi 1800 paleta

mjesečno, što je manje od njegovoga kapaciteta (2 000 paleta mjesečno), tj. kapacitet

nije u potpunosti iskorišten.

n

i

ikK1

m

j

jpP1

PK

40

LDC u Rijeci opskrbljuje prodajna mjesta Ljubljane (500 paleta), Rijeke (600 paleta) i

Splita (100 paleta).

Ukupna količina robe koja se transportira iz ovoga LDC-a iznosi iznosi 1 200 paleta

mjesečno, što je jednako njegovom kapacitetu (1 200 paleta mjesečno), tj. kapacitet je

iskorišten u potpunosti.

LDC u Zagrebu opskrbljuje prodajna mjesta Sarajeva (400 paleta), Splita (400 paleta),

Šibenika (300 paleta), Zadra (400 paleta) i Zagreba (700 paleta).



iskorišten u potpunosti.

Ukupni mjesečni transportni trošak na razini cijele transportne mreže iznosi: min.

F = 106 000 00 €/mjesec.

Navedeno je optimalno rješenje prikazano u tabličnoj formi, u polju B10:L1210 MS Excel

tablice na Slici 12.

Slika 12. Optimalno rješenje transportnoga problema


Ulazni podatci modela (konstante) zapisani su u MS Excel tablici (Slika 12.), u polju

B3:L5 (jedinični transportni troškovi), retku B6:L6 (potražnja prodajnih mjesta) te stupcu

M3:M5 (kapaciteti LDC-a), onako kako su zadani.

Matematički izrazi koji čine strukturu modela (od 8.1. do 8.4.) također su, u obliku MS

Excel formula, upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice prikazane na Slici 12., kako je

navedeno u Tablici 8.

10 Ovo je standardna MS Excel notacija koja znači da se radi o dijelu tablice (dvodimenzionalnom polju)

omeđenom stupcima B i L, odnosno redovima 10 i 12. Dakle, sadržane su sve ćelije počevši od B10 do

uključivo L12.

41

Tablica 8. Zapisi matematičkih izraza transportnoga modela u MS Excel tablici

Matematički izraz Excel formula Ćelije

(8.1.) = SUMPRODUCT(B10:L12;B3:L5) B9

lijeva strana

jednadžbe (8.2.) = SUM(B10:B12)

kopirano u

B13:L13

lijeva strana

nejednadžbe (8.3.) = SUM(B10:L10)

kopirano u

M10:M12

(8.4.) Make Unconstrained Variables Non-Negative

(Dijaloški okvir Solver Parameters)


Desne su strane matematičkih izraza ograničenja (8.2. i 8.3.) konstante te se u dijaloški

okvir Solver Parameters upisuju reference na ćelije u kojima su upisane vrijednosti tih

konstanta (B6:L6 = potražnja prodajnih mjesta, odnosno M3:M5 = kapaciteti LDC-a).



Optimiranjem transportnoga (matematičkoga) modela dobiveno je optimalno rješenje

transportnoga problema, tj. mjesečni raspored transporta koji uz zadana ograničenja i ulazne

podatke daje najmanje transportne troškove. Grafički prikaz dobivenoga optimalnoga

rješenja transportnoga problema nalazi se na zemljovidu na Slici 13.

Strelice predstavljaju veze između izvora (LDC-a) i odredišta (gradova) robnih tokova

(strelice ne pokazuju stvarne transportne putove, nego samo simbolički povezuju izvor i

odredište − transport robe odvija se po cestovnoj infrastrukturi koja povezuje određeni LDC i

određeni grad). Debljina je strelice proporcionalna količini robe koja se transportira na

transportnoj relaciji koju određena strelica predstavlja.

42

Slika 13. Grafički prikaz optimalnoga rješenja transportnoga problema


400

600

43

9. Lokacijski problem

Lokacijski je problem problem određivanja broja i lokacija izvorišnih čvorova te

rasporeda transporta određenoga supstrata (homogenih jedinica tereta, primjerice paleta,

kartona…) iz n izvora, u kojima se supstrat nalazi, u m odredišta, čiju potražnju za supstratom

treba zadovoljiti koristeći raspoložive transportne putove po kriteriju najmanjih troškova.

Troškovi se ovdje odnose ne samo na transportne troškove, već i na troškove infrastrukture

(izvorišnih čvorova: proizvodnih pogona ili LDC-a iz kojih se generiraju transportni tokovi).

Osim što se u obzir uzimaju i troškovi infrastrukture, lokacijski se problemi od transportnih

problema razlikuju po tome što broj i lokacije izvorišnih čvorova nisu poznati, već ih treba

odrediti.

Broj i lokacije izvorišnih čvorova predstavljaju izbor lokacija u transportnoj mreži iz

kojih se može transportirati supstrat radi zadovoljenja potražnje odredišta. Pritom svaka

lokacija (čvor na transportnoj mreži) ima svoju potražnju kao odredište, no istodobno može

imati i funkciju izvora iz kojega se može zadovoljiti potražnja određene lokacije i drugih

lokacija (čvorova na transportnoj mreži) onoliko koliko to kapacitet izvora na određenoj

lokaciji omogućuje. Primjerice, potražnja prodajnih mjesta u nekom gradu može biti

zadovoljena otvaranjem LDC-a u tom gradu ili iz LDC-a koji je otvoren u nekom drugom gradu.

Prema tomu, svaki je čvor na transportnoj mreži ujedno i potencijalna lokacija LDC-a.

Raspored transporta određuje iz kojega se izvora (lokacije na kojoj je otvoren LDC)

transportira koja količina supstrata u koje odredište i kojim transportnim putom.

U osnovnom lokacijskom problemu poznati (zadani) su kapaciteti i troškovi potencijalnih

izvora, potražnja odredišta, raspoloživi transportni putovi (veze između izvora i odredišta),

jedinični transportni troškovi, odnosno duljine transportnih putova. Osnovni oblik problema

može biti dodatno zakompliciran, primjerice mogućnošću određivanja kapaciteta izvora,

uvođenjem kapaciteta transportnih sredstava, odnosno propusnosti transportnih putova i/ili

vremenskih prozora kod izvora odnosno kod odredišta.

Lokacijski problem može se svesti na problem optimiranja radi aproksimiranja

matematičkim modelom linearnoga programiranja. U modelu se koriste stalne varijable

(raspored transporta) i binarne varijable (broj i lokacije izvorišnih čvorova). U tom smislu

pojedine elemente lokacijskoga problema predstavljaju odgovarajući elementi lokacijskoga

modela, kako slijedi:

funkcija cilja predstavlja ukupne troškove opskrbe odredišta (troškovi infrastrukture i

transportni troškovi) koje treba minimizirati;

varijable odlučivanja predstavljaju broj i lokacije izvorišnih čvorova te raspored

transporta, tj. količine supstrata koje se transportiraju iz određenoga izvora u određeno

odredište po transportnom putu koji povezuje određeni izvor s određenim odredištem;

ograničenja predstavljaju uvjete koji moraju biti ispunjeni: potražnja odredišta mora

biti zadovoljena, kapaciteti izvora ne mogu biti prekoračeni, transport se može odvijati

po raspoloživim transportnim putovima;

ulazni podatci poznate su (zadane) veličine transportne mreže: potencijalne lokacije i

kapaciteti izvora, potražnja odredišta, troškovi infrastrukture i jedinični transportni

troškovi.

44

Lokacijski modeli također su vrsta modela mreže koja se sastoji od čvorova (izvori

odnosno odredišta) i lukova (transportni putovi) koji povezuju te čvorove. Lokacijski model

prikazuje broj i lokacije izvora te razdiobu transportnih (robnih) tokova unutar transportne

mreže. Ovdje treba razmotriti sljedeća pitanja:

Kako odrediti broj i lokacije izvora?

Iz kojih izvora opskrbljivati koja odredišta?

Kako kvantitativno odrediti razdiobu transporta?

Koje transportne putove odabrati?

Odgovori na ova pitanja određuju infrastrukturno i suprastrukturno rješenje transportne

mreže u danom slučaju. Primjenom lokacijskih modela može se optimirati funkcioniranje

transportne mreže kao cjeline.

Optimalno rješenje lokacijskoga problema može se dobiti optimiranjem matematičkoga

modela problema, a obuhvaća sljedeće elemente:

▪ određivanje broja i lokacija izvorišnih čvorova;

▪ povezivanje izvorišnih čvorova (proizvodni pogoni, LDC-i...) i odredišnih čvorova

(skladišta, prodajna mjesta...) transportnim putovima;

▪ određivanja količina supstrata kojima se iz pojedinoga izvora zadovoljava potražnja

odredišta, odnosno količina supstrata koje se transportiraju na pojedinom

transportnom putu,

tako da se potražnja odredišta zadovolji uz najmanje troškove i da se pritom ne prekorače

kapaciteti izvora.

9.1. Primjer osnovnoga lokacijskoga problema


New Jersey. p. 111.

Distributer opskrbljuje prodajna mjesta u 11 gradova. Geografski raspored tržišta, cestovna

infrastruktura i mjesečna potražnja prodajnih mjesta u pojedinim gradovima prikazani su

zemljovidom na Slici 14. Transparentni krugovi predstavljaju gravitacijske zone pojedinih

gradova, a promjeri krugova proporcionalni su potražnji prodajnih mjesta u određenoj

gravitacijskoj zoni.

Treba odrediti broj i lokacije LDC-a te raspored transporta tako da se potražnja prodajnih

mjesta u svim gradovima zadovolji uz najmanje troškove i da se pritom ne prekorače kapaciteti

LDC-a.

Svaki je grad potencijalna lokacija LDC-a, s tim da se na svakoj lokaciji može otvoriti

samo jedan ili niti jedan LDC. Najveći je mogući broj LDC-a koji mogu biti otvoreni u

transportnoj mreži jednak broju gradova.

45

Slika 14. Geografski raspored tržišta


Ulazni podatci problema, odnosno poznate (zadane) veličine jesu: fiksni troškovi LDC-a

(€/mjesec)11, jedinični transportni troškovi (€/paleta)12, potražnja po gradovima (paleta/mjesec)

i kapaciteti LDC-a po potencijalnim lokacijama (paleta/mjesec). Prikazani su u Tablici 9.

11 Fiksni su troškovi LDC-a troškovi najma skladišnoga prostora, lizing, odnosno amortizacija opreme (viličari,

regali, IT i ostala skladišna oprema), troškovi radne snage, troškovi režija…). Ovi se troškovi pojavljuju ukoliko

se na nekoj lokaciji otvori LDC, a njihov je iznos stalan (ne mijenja se).

12 Jedinični transportni troškovi prikazani su na temelju tarifa logističkih operatera.

46

Tablica 9. Ulazni podatci osnovnoga lokacijskoga problema






Funkcija cilja sadrži kriterij optimalnosti:

- minimizirati troškove opskrbe prodajnih mjesta koji se sastoje od fiksnih troškova

LDC-a i varijabilnih troškova transporta (min F).

Varijable odlučivanja promjenjive su veličine čije vrijednosti treba odrediti radi

dobivanja optimalnoga rješenja problema, odnosno minimalne vrijednosti funkcije cilja:

- broj i lokacije LDC-a

- raspored transporta.

Ograničenja određuju kvantitativno područje dopuštenih vrijednosti varijabla


- potražnja prodajnih mjesta u svakom gradu mora biti zadovoljena;

- na svakoj lokaciji može se otvoriti samo jedan ili niti jedan LDC;

- iz svakoga izvora (LDC-a) ukupno se može transportirati najvište toliko robe koliki

je njegov kapacitet.

Ulazne veličine podatci su dobiveni analizom realnoga sustava, a prikazani su u Tablici

9:

- fiksni troškovi LDC-a;

- jedinični transportni troškovi od svake potencijalne lokacije LDC-a do svakoga

grada (€/paleta);

- potražnja prodajnih mjesta u svakom gradu (paleta/mjesec);

- kapaciteti LDC-a na svim potencijalnim lokacijama (paleta/mjesec).

Od / Do Budapest Szeged Ljubljana Maribor Osijek Rijeka Sarajevo Split Šibenik Zadar ZagrebFiksni

trošakKapacitet

Budapest 7 21 49 49 38 63 70 67 65 63 42 20.000 1.800

Szeged 21 7 84 70 35 70 70 77 73 70 49 18.000 1.800

Ljubljana 49 84 7 21 42 23 55 49 45 42 22 22.000 1.800

Maribor 49 70 21 7 49 29 55 49 45 42 24 20.000 1.800

Osijek 38 35 42 49 7 44 38 70 66 63 31 12.000 1.800

Rijeka 63 70 23 29 44 7 48 29 28 26 21 14.000 1.800

Sarajevo 70 70 55 55 38 48 7 30 40 50 32 12.000 1.800

Split 67 77 49 49 70 29 30 7 17 29 26 14.000 1.800

Šibenik 65 73 45 45 66 28 40 17 7 28 24 14.000 1.800

Zadar 63 70 42 42 63 26 50 29 28 7 23 14.000 1.800

Zagreb 42 49 22 24 31 21 32 26 24 23 7 18.000 1.800

Potražnja

(paleta)800 300 500 400 300 600 400 500 300 400 700

Transportni troškovi (€/paleta) LDC

47


Prije nego se pristupi izradi matematičkoga modela problema, treba provjeriti je li problem

rješiv, tj. je li moguće pronaći rješenje koje zadovoljava postavljena ograničenja. U svezi s tim

ovaj je problem rješiv ukoliko se raspoloživim kapacitetima LDC-a može zadovoljiti potražnja

svih prodajnih mjesta ili, drugim rječima, problem je rješiv ukoliko je ukupni kapacitet svih

LDC-a koji mogu biti otvoreni u transportnoj mreži veći ili jednak ukupnoj potražnji prodajnih

mjesta.

Uvjet rješivosti ovoga problema matematički se može izraziti na sljedeći način:

Neka je:

(9.1.)

(9.2.)

gdje je:

li = lokacijska varijabla (binarna), poprima vrijednost 1 ako je LDC otvoren

na lokaciji i odnosno 0 ako LDC nije otvoren na lokaciji i

n = ukupan broj potencijalnih lokacija LDC-a (n = 11)

ki = kapacitet LDC-a na lokaciji i

Kmax = ukupan kapacitet svih LDC-a koji mogu biti otvoreni u transportnoj mreži

m = ukupan broj gradova koje treba opskrbiti (m = 11)

pj = potražnja u gradu j

P = ukupna potražnja tržišta (prodajnih mjesta u svim gradovima),

uvjet rješivosti glasi:

(9.3.)

Ukupan kapacitet svih LDC-a koji mogu biti otvoreni u transportnoj mreži (svaki je grad

potencijalna lokacija) iznosi Kmax = 19 800 paleta/mjesec.

Ukupna potražnja svih prodajnih mjesta na tržištu iznosi P = 5 200 paleta/mjesec. Kako je

19 800 > 5 200, problem je rješiv.

nilklK i

n

i

ii ,...,11;1

max

m

j

jpP1

PK max

48


Matematički model problema izrađuje se na temelju logičkoga opisa problema uz

korištenje ulaznih podataka. Sastoji se od istih elementa zapisanih matematičkim izrazima na

sljedeći način:

funkcija cilja

(9.4.)

ograničenja

(9.5.)

(9.6.)

(9.7.)

(9.8.)

gdje je:

li = lokacijska varijabla (binarna), poprima vrijednost 1 ako je LDC otvoren na

lokaciji i odnosno 0 ako LDC nije otvoren na lokaciji i

fti = fiksni trošak LDC-a na lokaciji i

tij = jedinični transportni trošak od LDC-a na lokaciji i do prodajnih mjesta u

gradu j

qij = količina robe koja se iz LDC-a na lokaciji i transportira do prodajnih mjesta

u gradu j

m = ukupan broj gradova čija prodajna mjesta treba opskrbiti (m = 11)


ki = mjesečni kapacitet LDC-a na lokaciji i

pj = mjesečna potražnja prodajnih mjesta u gradu j.

Jednadžba (9.4.) predstavlja funkciju cilja, tj. ukupni trošak opskrbe prodajnih mjesta na

razini cijele mreže. Sastoji se od fiksnih troškova LDC-a (zbroj fiksnih troškova na svim

lokacijama na kojima je otvoren LDC) i varijabilnih troškova transporta (zbroj produkata

količine robe i jediničnoga transportnoga troška na svim transportnim relacijama).

Ograničenja predstavljaju matematički izrazi od (9.5.) do (9.8.). Jednadžba (9.5.)

predstavlja ograničenje koje određuje kako potražnja prodajnih mjesta u svim gradovima mora

biti zadovoljena, nejednadžba (9.6.) predstavlja ograničenje koje određuje kako se sa svake

lokacije može transportirati najviše toliko robe koliki je kapacitet LDC-a otvorenoga na

određenoj lokaciji (ukoliko na nekoj lokaciji nije otvoren LDC, s te se lokacije ne može

transportirati roba), izraz (9.7.) određuje kako se na svakoj potencijalnoj lokaciji može otvoriti

n

i

m

j

ijij

n

i

ii qtftlF1 11

min

n

i

jij mjpq1

,...,1

niklq ii

m

j

ij ,...,11

mjniqij ,...,1;,...,10

nili ,...,11,0

49

samo jedan ili niti jedan LDC, a nejednadžba (9.8.) predstavlja uvjet nenegativnosti (transport

negativne količine robe nema logičkoga smisla).


Optimalan broj i lokacije LDC-a te mjesečni raspored transporta koji zadovoljava

postavljena ograničenja uz najmanje troškove opskrbe prodajnih mjesta, odnosno optimalno

rješenje problema dobiveno je optimiranjem matematičkoga modela primjenom MS Excel

programskoga alata Solver, kako slijedi:

LDC u Budimpešti opskrbljuje prodajna mjesta Budimpešte (800 paleta) i Szegeda

(300 paleta).




LDC u Rijeci opskrbljuje prodajna mjesta Ljubljane (500 paleta) i Rijeke (600 paleta).




LDC u Splitu opskrbljuje prodajna mjesta Sarajeva (400 paleta), Splita (500 paleta) i

Šibenika (300 paleta).


mjesečno, što je manje od njegovoga kapaciteta (1800 paleta mjesečno), tj. kapacitet


LDC u Zagrebu opskrbljuje prodajna mjesta Maribora (400 paleta), Osijeka (300

paleta), Zadra (400 paleta) i Zagreba (700 paleta).



u potpunosti iskorišten.

Ukupni mjesečni trošak opskrbe prodajnih mjesta na razini cijele transportne mreže

iznosi: min. F = 147.200,00 €/mjesec.

Navedeno optimalno rješenje prikazano je u tabličnoj formi, u polju B18:M28 MS Excel

tablice na Slici 15.

50

Slika 15. Optimalno rješenje osnovnoga lokacijskoga problema Izvor: Izradili autori

Ulazni podatci modela (konstante) zapisani su u MS Excel tablici (Slika 15.), u polju

B3:L13 (jedinični transportni troškovi), retku B14:L14 (potražnja prodajnih mjesta), stupcu

M3:M13 (fiksni mjesečni troškovi LDC-a na potencijalnim lokacijama) te stupcu N3:N13

(kapaciteti LDC-a na potencijalnim lokacijama), onako kako su zadani.

Matematički izrazi koji čine strukturu lokacijskoga modela (od 9.4. do 9.8.) također su, u

obliku MS Excel formula, upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice prikazane na Slici 15.,

kako je navedeno u Tablici 10.

Tablica 10. Zapisi matematičkih izraza lokacijskoga modela u MS Excel tablici


(9.4.) = SUMPRODUCT(M18:M28;M3:M13) +

SUMPRODUCT(B18:L28;B3:L13) E31

lijeva strana


kopirano u

B29:L29

lijeva strana


kopirano u

O18:O28

desna strana

nejednadžbe (9.6.) = M18*N3

kopirano u

N18:N28

(9.7.) M18:M28 = binary





51

Desna je strana jednadžbe (9.5.) konstanta te se u dijaloški okvir Solver Parameters upisuju

reference na ćelije u kojima su upisane vrijednosti te konstante (B14:L14 = potražnja prodajnih

mjesta).


programskog alata Solver, s upisanim podatcima, prikazan je u Prilogu 5.

Optimiranjem je lokacijskoga (matematičkoga) modela dobiveno optimalno rješenje

lokacijskoga problema, tj. broj i lokacije LDC-a te mjesečni raspored transporta koji uz zadana

ograničenja i ulazne podatke daje najmanje troškove opskrbe prodajnih mjesta. Grafički se

prikaz dobivenoga optimalnoga rješenja lokacijskoga problema nalazi na zemljovidu na Slici

16.

Lokacije na kojima su otvoreni LDC-i označene su na zemljovidu, a strelice predstavljaju

veze između izvora (LDC-a) i odredišta (gradova) robnih tokova (strelice ne pokazuju stvarne

transportne putove, nego samo simbolički povezuju izvor i odredište − transport robe odvija se

po cestovnoj infrastrukturi koja povezuje određeni LDC i određeni grad). Debljina je strelice

proporcionalna količini robe koja se transportira na transportnoj relaciji koju određena strelica

predstavlja.

LDC-i opskrbljuju prodajna mjesta gradova u kojima su otvoreni, kao i prodajna mjesta u

drugim gradovima na koje pokazuju strelice ucrtane na zemljovidu.

Slika 16. Grafički prikaz optimalnoga rješenja osnovnoga lokacijskoga problema Izvor: Izradili autori

52

9.2. Prošireni lokacijski problem

U primjeru osnovnoga lokacijskog problema (cf. Točku 10.1.) kapaciteti LDC-a koji mogu

biti otvoreni na potencijalnim lokacijama bili su zadani. U nastavku je taj problem proširen tako

da kapaciteti LDC-a nisu zadani, već ih treba odrediti izborom između dvaju tipova LDC-a (Tip

A i Tip B) različitih kapaciteta i odnosnih fiksnih troškova.

Lokacijski model (matematički model linearnoga programiranja) koji je primijenjen u

rješavanju osnovnoga lokacijskoga problema (cf. supra Točku 9.1.3.) potrebno je izmijeniti i

dopuniti kako bi obuhvatio dodatne elemente proširenoga lokacijskoga problema, vezane uz

izbor kapaciteta LDC-a. U skladu s tim treba prilagoditi formulacije i ulazne podatke koji se

unose u MS Excel tablicu koja se koristi za rješavanje problema pomoću MS Excel

programskoga alata Solver.

Ulazni podatci proširenoga lokacijskoga problema (potražnja po gradovima, jedinični

transportni troškovi, fiksni troškovi i kapaciteti pojedinoga tipa LDC-a za svaku potencijalnu

lokaciju) prikazani su u Tablici 11.

Tablica 11. Ulazni podatci proširenoga lokacijskoga problema


Matematički model proširenoga lokacijskoga problema sastoji se od sljedećih elemenata

zapisanih sljedećim matematičkim izrazima:

funkcija cilja

(9.9.)

ograničenja

(9.10.)

(9.11.)

(9.12.)

(9.13.)

(9.14.)

Od / Do Budapest Szeged Ljubljana Maribor Osijek Rijeka Sarajevo Split Šibenik Zadar ZagrebFiksni

trošakKapacitet

Fiksni

trošakKapacitet

Budapest 7 21 49 49 38 63 70 67 65 63 42 20.000 1.800 26.000 3.200

Szeged 21 7 84 70 35 70 70 77 73 70 49 18.000 1.800 23.400 3.200

Ljubljana 49 84 7 21 42 23 55 49 45 42 22 22.000 1.800 28.600 3.200

Maribor 49 70 21 7 49 29 55 49 45 42 24 20.000 1.800 26.000 3.200

Osijek 38 35 42 49 7 44 38 70 66 63 31 12.000 1.800 15.600 3.200

Rijeka 63 70 23 29 44 7 48 29 28 26 21 14.000 1.800 18.200 3.200

Sarajevo 70 70 55 55 38 48 7 30 40 50 32 12.000 1.800 15.600 3.200

Split 67 77 49 49 70 29 30 7 17 29 26 14.000 1.800 18.200 3.200

Šibenik 65 73 45 45 66 28 40 17 7 28 24 14.000 1.800 18.200 3.200

Zadar 63 70 42 42 63 26 50 29 28 7 23 14.000 1.800 18.200 3.200

Zagreb 42 49 22 24 31 21 32 26 24 23 7 18.000 1.800 23.400 3.200

Potražnja

(paleta)800 300 500 400 300 600 400 500 300 400 700

Transportni troškovi (€/paleta) LDC Tip A LDC Tip B

n

i

m

j

ijij

n

i

iiii qtftBlBftAlAF1 11

min

n

i

jij mjpq1

,...,1

nikBlBkAlAq iiii

m

j

ij ,...,11

mjniqij ,...,1;,...,10

nilBlA ii ,...,11,0,

nilBlA ii ,...,11

53

gdje je:

lAi = lokacijska varijabla (binarna), poprima vrijednost 1 ako je LDC Tipa A

otvoren na lokaciji i odnosno 0 ako LDC Tipa A nije otvoren na lokaciji i

ftAi = fiksni trošak LDC-a Tipa A na lokaciji i

lBi = lokacijska varijabla (binarna), poprima vrijednost 1 ako je LDC Tipa B

otvoren na lokaciji i odnosno 0 ako LDC Tipa B nije otvoren na lokaciji i

ftBi = fiksni trošak LDC-a Tipa B na lokaciji i

tij = jedinični transportni trošak od LDC-a na lokaciji i do prodajnih mjesta u

gradu j

qij = količina robe koja se iz LDC-a na lokaciji i transportira do prodajnih mjesta

u gradu j



kAi = mjesečni kapacitet LDC-a Tipa A na lokaciji i

kBi = mjesečni kapacitet LDC-a Tipa B na lokaciji i


Ulazni podatci proširenoga lokacijskoga modela zapisani su u MS Excel tablici prikazanoj

na Slici 17. na sljedeći način:

▪ u polju B3:L13 prikazani su jedinični transportni troškovi (€/paleta);

▪ u retku B14:L14 prikazana je mjesečna potražnja prodajnih mjesta (paleta);

▪ u stupcu M3:M13 prikazani su fiksni mjesečni troškovi LDC-a Tipa A na

potencijalnim lokacijama (€);

▪ u stupcu N3:N13 prikazani su mjesečni kapaciteti LDC-a Tipa A na potencijalnim

lokacijama (paleta);

▪ u stupcu O3:O13 prikazani su fiksni mjesečni troškovi LDC-a Tipa B na potencijalnim

lokacijama (€);

▪ u stupcu P3:P13 prikazani su mjesečni kapaciteti LDC-a Tipa B na potencijalnim

lokacijama (paleta).

54

Slika 17. Optimalno rješenje proširenoga lokacijskoga problema


Matematički izrazi koji čine strukturu proširenoga lokacijskoga modela (od 10.9. do

10.14.) također su upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice prikazane na Slici 17, kako

je navedeno u Tablici 12.

Tablica 12. Zapisi matematičkih izraza proširenoga lokacijskoga modela u MS Excel tablici


(9.9.)

= SUMPRODUCT(M18:M28;M3:M13) +

SUMPRODUCT(N18:N28;O3:O13) +

SUMPRODUCT(B18:L28;B3:L13)

E31

lijeva strana


kopirano u

B29:L29

lijeva strana


kopirano u

Q18:Q28

desna strana

nejednadžbe (9.11.) = M18*N3+N18*P3

kopirano u

P18:P28

(9.12.) M18:N28 = binary


lijeva strana

nejednadžbe (9.13.) = M18+N18

kopirano u

O18:O28




55

Desna je strana jednadžbe (9.10.) konstanta te se u dijaloški okvir Solver Parameters

upisuju reference na ćelije u kojima su upisane vrijednosti te konstante (B14:L14 = potražnja

prodajnih mjesta).

Desna je strana nejednadžbe (9.13.) konstanta čija vrijednost iznosi 1, a upisana je izravno

u dijaloški okvir Solver Parameters. Time se zajedno s (9.12.) osigurava ispunjenje ograničenja

koje određuje da se na svakoj potencijalnoj lokaciji može otvoriti samo jedan ili niti jedan LDC,

bilo Tipa A ili Tipa B.

Optimalno rješenje proširenoga lokacijskoga problema, odnosno optimalne vrijednosti

varijabla odlučivanja dobivene optimiranjem proširenoga lokacijskoga modela MS Excel

programskim alatom Solver prikazane su u polju B18:L28 (raspored transporta) te u stupcima

M18:M28 (lokacije na kojima je otvoren LDC Tipa A) i N18:N28 (lokacije na kojima je otvoren

LDC Tipa B). Problem je riješen otvaranjem LDC-a na trima lokacijama uz sljedeći raspored

transporta:

1. LDC Tipa A na lokaciji Budapest, iz kojega se opskrbljuju prodajna mjesta Budapesta

(800 paleta) i Szegeda (300 paleta).

2. LDC Tipa A na lokaciji Split, iz kojega se opskrbljuju prodajna mjesta Sarajeva (400

paleta), Splita (500 paleta) i Šibenika (300 paleta).

3. LDC Tipa B na lokaciji Zagreb, iz kojega se opskrbljuju prodajna mjesta Ljubljane

(500 paleta), Maribora (400 paleta), Osijeka (300 paleta), Rijeke (600 paleta), Zadra

(400 paleta) i Zagreba (700 paleta).

Kapaciteti LDC-a nisu u potpunosti iskorišteni, a mjesečni troškovi opskrbe prodajnih

mjesta prema ovom rješenju iznose: min. F = 146 500 00 €.



56

10. Problem distribucijske mreže

Pri rješavanju lokacijskoga problema u prethodnoj točki korišteni su matematički modeli

linearnoga programiranja (lokacijski modeli) koji predstavljaju samo dio distribucijske mreže,

tj. izlazne robne tokove iz LDC-a prema prodajnim mjestima, dok su ulazni tokovi (doprema

robe do LDC-a) i logističke operacije13 u samim LDC-ima zanemareni.

Model distribucijske mreže dobiven je proširenjem lokacijskoga modela dodatnim

elementima:

▪ varijabilnim troškovima LDC-a (troškovi obavljanja logističkih operacija)

▪ troškovima dopreme robe do LDC-a,

kako bi se obuhvatili robni tokovi fizičke distribucije robe od mjesta proizvodnje odnosno

mjesta preuzimanja robe14 s ciljem postizanja višega stupnja sličnosti s funkcioniranjem

realnoga sustava.

Problem distribucijske mreže također se može svesti na problem optimiranja radi

aproksimiranja matematičkim modelom linearnoga programiranja. U matematičkom modelu

koriste se stalne varijable (raspored distribucije) i binarne varijable (broj, kapaciteti i lokacije

LDC-a). U tom smislu, pojedine elemente problema predstavljaju odgovarajući elementi

modela distribucijske mreže koji su sljedeći:

funkcija cilja predstavlja logističke troškove distribucije (fiksni i varijabilni troškovi

LDC-a te transportni troškovi dopreme robe do LDC-a i dostave do prodajnih mjesta)

koje treba minimizirati;

varijable odlučivanja predstavljaju broj, kapacitet i lokacije LDC-a te raspored

distribucije, tj. količine supstrata koje se dopremaju do pojednoga LDC-a i dostavljaju

prodajnim mjestima;

ograničenja predstavljaju uvjete koji moraju biti ispunjeni: potražnja prodajnih mjesta

mora biti zadovoljena, kapaciteti LDC-a ne mogu biti prekoračeni, transport se može

odvijati po raspoloživim transportnim putovima;

ulazni podatci poznate su veličine distribucijske mreže: potencijalne lokacije i mogući

kapaciteti LDC-a, potražnja prodajnih mjesta, fiksni i varijabilni troškovi LDC-a,

jedinični transportni troškovi dopreme robe do LDC-a i dostave do prodajnih mjesta.

Optimalno rješenje problema distribucijske mreže može se dobiti optimiranjem

matematičkoga modela distribucijske mreže, a obuhvaća sljedeće elemente:

▪ određivanje broja, kapaciteta i lokacija LDC-a;

▪ povezivanje čvorova distribucijske mreže (mjesto preuzimanja robe, LDC, prodajno

mjesto) transportnim putovima;

▪ određivanja količina supstrata koje se dopremaju u LDC-e i dostavljaju prodajnim

13 Operativne aktivnosti fizičke distribucije robe koje se obavljaju u LDC-ima, primjerice iskrcaj robe,

smještaj robe u skladištu, komisioniranje, ukrcaj robe…

14 INCOTERMS 2010. International Chamber of Commerce. Paris. 2010.

57

mjestima po pojedinim transportnim putovima, tako da se potražnja prodajnih mjesta

zadovolji uz najmanje logističke troškove te da se pritom ne prekorače raspoloživi

kapaciteti LDC-a.

10.1. Primjer problema distribucijske mreže

Prilagodili autori prema Stanković, R. 2009. Utjecaj logističkoga operatera na oblikovanje distribucijskih

mreža. Doktorska disertacija. FPZ. Zagreb. p. 91.

Distributer treba zadovoljiti potražnju za određenim proizvodom na svom segmentu tržišta

uz minimalne troškove distribucije. Robu preuzima na paritetu CIF europska luka15. Riječ je o

proizvodu koji se proizvodi u tvornicama na Dalekom istoku, odakle se pomorskim

kontejnerskim prijevozom doprema do europske luke Hamburg, odnosno alternativno do luka

Kopar i/ili Rijeka. Kontejneri se kopnenim prijevozom dopremaju do LDC-a u unutrašnjosti te

se nakon iskrcaja robe prazni kontejneri vraćaju u luku.

Tvornice isporučuju proizvod koji još nije spreman za isporuku kupcima, već se u LDC-

ima obavljaju završne logističke operacije (sortiranje, kontrola, prepakiravanje,

deklariranje…). Nakon toga roba se dostavlja do prodajnih mjesta gdje je dostupna kupcima.

Geografski raspored tržišta, cestovna infrastruktura i potražnja u pojedinim gradovima

prikazani su zemljovidom na Slici 18., na kojoj su radijusi kružnica proporcionalni veličini

potražnje u gravitacijskoj zoni određenoga grada, a na potencijalnim lokacijama LDC-a

kružnice su transparentno ispunjene.

15 Ibidem

58

Slika 18. Geografski raspored tržišta


Minimalna je količina robe koja se dostavlja prodajnim mjestima jedna paleta. Ukupna je

količina robe koja se doprema u pojedini LDC jednaka ukupnoj količini robe koja se iz toga

LDC-a dostavlja prodajnim mjestima16.

Treba odrediti broj, kapacitete i lokacije LDC-a te raspored transporta, odnosno dostave

tako da se potražnja prodajnih mjesta u svim gradovima zadovolji uz najmanje logističke

troškove distribucije, a da se pritom ne prekorače zadana ograničenja.

Inicijalnom je selekcijom određeno pet potencijalnih lokacija LDC-a. To su gradovi

Ljubljana, München, Prag, Stuttgart i Zagreb, s tim da se na svakoj lokaciji može otvoriti samo

jedan ili niti jedan LDC (Tipa A ili Tipa B).

Ulazni podatci problema, odnosno poznate veličine: fiksni troškovi LDC-a (€/mjesec)17,

jedinični varijabilni troškovi LDC-a (€/paleta)18, jedinični transportni troškovi dopreme robe

16 Pojednostavljenje problema, u stvarnosti se u LDC-ima drži određena količina lokalnih zaliha radi sigurnosti

opskrbe prodajnih mjesta, odnosno naknadnih izmjena narudžba.

17 Fiksni su troškovi LDC-a troškovi najma skladišnoga prostora, lizing, odnosno amortizacija opreme (viličari,

regali, IT i ostala skladišna oprema), troškovi radne snage, troškovi režija… Ovi se troškovi pojavljuju

ukoliko se na nekoj lokaciji otvori LDC, a njihov iznos ovisi samo o lokaciji i kapacitetu LDC-a

18 Varijabilni troškovi LDC-a ovise o ostvarenom prometu određenoga LDC-a. To su troškovi potrošnoga

materijala i dodatne radne snage, a njihov jedinični iznos ovisi o lokaciji i kapacitetu LDC-a.

59

do LDC-a, odnosno dostave do prodajnih mjesta (€/paleta)19, potražnja po gradovima

(paleta/mjesec) i mogući kapaciteti LDC-a po potencijalnim lokacijama (paleta/mjesec)

prikazani su u Tablici 13.

Tablica 13. Ulazni podatci problema distribucijske mreže



Problem je rješiv ukoliko je moguće pronaći rješenje koje zadovoljava sva postavljena

ograničenja. Ovaj je problem rješiv ukoliko se raspoloživim kapacitetima LDC-a može

zadovoljiti potražnja svih prodajnih mjesta, odnosno problem je rješiv ukoliko je ukupni

kapacitet svih LDC-a koji mogu biti otvoreni u distribucijskoj mreži veći ili jednak ukupnoj

potražnji svih prodajnih mjesta.

Matematička formulacija uvjeta rješivosti ne razlikuje se od lokacijskoga problema

(matematički izrazi 9.1., 9.2. i 9.3.), s tim da se u izračun uzimaju veći kapaciteti LDC-a na

svim potencijalnim lokacijama (Tip B, ki = 3 200 paleta/mjesec).

Ukupni kapacitet svih LDC-a koji mogu biti otvoreni u distribucijskoj mreži (na svim

potencijalnim lokacijama) iznosi Kmax = 16 000 paleta/mjesec. Ukupna potražnja svih prodajnih

mjesta na tržištu iznosi P = 4 600 paleta/mjesec. Kako je 16 000 > 4 600, problem je rješiv.


Matematički model problema distribucijske mreže sastoji se od sljedećih elementa

zapisanih matematičkim izrazima:

funkcije cilja (10.1.)

19 Jedinični transportni troškovi prikazani su na temelju tarifa logističkih operatera.

Od / Do Beč BratislavaBudim

peštaLjubljana München Nürnberg Prag Stuttgart Zagreb

Fiksni

trošak

Varijabilni

trošakKapacitet

Fiksni

trošak

Varijabilni

trošakKapacitet

Beč 7 21 28 35 38 45 35 52 35 24.000 2,20 1800 31.200 1,76 3200 14,00

Ljubljana 35 38 42 7 42 63 63 77 21 22.000 2,00 1800 28.600 1,60 3200 8,00

München 38 40 45 42 7 21 35 21 56 26.000 2,20 1800 33.800 1,76 3200 12,00

Prag 35 38 45 63 35 56 7 56 63 22.000 1,80 1800 28.600 1,44 3200 12,00

Zagreb 35 38 35 21 56 80 63 80 7 18.000 1,80 1800 23.400 1,44 3200 8,00

Potražnja

(paleta)500 300 600 400 700 400 500 700 500

Jedinični transportni trošak (€/paleta)Trošak

dopreme

LDC tip A LDC tip B

n

i

m

j

ijij

n

i

n

i

iiiiiiiiii qtvtBdrpftBlBvtAdrpftAlAF1 11 1

min

m

j

iji niqrp1

,...,1

60

(10.1.1.)

ograničenja (10.2.)

(10.3.)

(10.4.)

(10.5.)

(10.6.)

gdje je:

lAi = lokacijska varijabla (binarna), poprima vrijednost 1 ako je LDC Tipa A otvoren na

lokaciji i odnosno 0 ako LDC Tipa A nije otvoren na lokaciji i

ftAi = fiksni trošak LDC-a Tipa A na lokaciji i

vtAi = jedinični varijabilni trošak LDC-a Tipa A na lokaciji i

lBi = lokacijska varijabla (binarna), poprima vrijednost 1 ako je LDC Tipa B otvoren na

lokaciji i odnosno 0 ako LDC Tipa B nije otvoren na lokaciji i

ftBi = fiksni trošak LDC-a Tipa B na lokaciji i

vtBi = jedinični varijabilni trošak LDC-a Tipa B na lokaciji i

di = jedinični transportni trošak dopreme robe do LDC-a na lokaciji i

tij = jedinični transportni trošak dostave robe od LDC-a na lokaciji i do prodajnih mjesta

u gradu j

qij = količina robe koja se iz LDC-a na lokaciji i dostavlja prodajnim mjestima grada j

rpi = realizirani promet LDC-a na lokaciji i



kAi = mjesečni kapacitet LDC-a Tipa A na lokaciji i

kBi = mjesečni kapacitet LDC-a Tipa B na lokaciji i


Jednadžba (10.1.) predstavlja funkciju cilja, tj. ukupne logističke troškove na razini cijele

distribucijske mreže. Sastoji se od fiksnih i varijabilnih troškova LDC-a te transportnih troškova

dopreme robe do LDC-a i dostave do prodajnih mjesta.

Ograničenja predstavljaju matematički izrazi od (10.2.) do (10.6.). Jednadžba (10.2.)

predstavlja ograničenje koje određuje kako potražnja prodajnih mjesta u svim gradovima mora

biti zadovoljena, nejednadžba (10.3.) predstavlja ograničenje koje određuje kako se sa svake

n

i

jij mjpq1

,...,1

nikBlBkAlAq iiii

m

j

ij ,...,11

mjniqij ,...,1;,...,10

nilBlA ii ,...,11,0,

nilBlA ii ,...,11

61

lokacije može distribuirati najviše toliko robe koliki je kapacitet LDC-a otvorenoga na

određenoj lokaciji (ukoliko na nekoj lokaciji nije otvoren LDC, s te se lokacije ne može

distribuirati roba), izraz (10.4.) određuje kako su lokacijske varijable binarne, a nejednadžba

(10.5.) kako se na svakoj potencijalnoj lokaciji može otvoriti samo jedan ili niti jedan LDC te

nejednadžba (10.6.) predstavlja uvjet nenegativnosti (distribucija negativne količine robe nema

logičkoga smisla).


Optimalan broj, kapaciteti i lokacije LDC-a te mjesečni raspored distribucije koji

zadovoljava postavljena ograničenja uz najmanje logističke troškove, odnosno optimalno

rješenje problema dobiveno je optimiranjem matematičkoga modela, definiranoga u

prethodnoj točki, primjenom MS Excel programskoga alata Solver, kako slijedi:

LDC Tipa B na lokaciji München opskrbljuje prodajna mjesta Beča (288 paleta),

Bratislave (184 palete), Budimpešte (28 paleta), Münchena (700 paleta), Nürnberga

(400 paleta), Praga (500 paleta) i Stuttgarta (700 paleta).

Ukupna količina robe koja se distribuira iz ovoga LDC-a iznosi iznosi 2 800 paleta



LDC Tipa A na lokaciji Zagreb opskrbljuje prodajna mjesta Beča (212 paleta),

Bratislave (116 palete), Budimpešte (572 paleta), Ljubljane (400 paleta) i Zagreba (500

paleta).




Ukupni logistički troškovi distribucije na razini cijele distribucijske mreže iznose: min.

F = 216 779 00 €/mjesec.

Navedeno je optimalno rješenje problema distribucijske mreže grafički prikazano

zemljovidom na Slici 19.

62

Slika 19. Grafički prikaz optimalnoga rješenja problema distribucijske mreže


Optimalno rješenje problema distribucijske mreže generirano pomoću MS Excel

programskoga alata Solver prikazano je u polju B12:L16 MS Excel tablice na Slici 20.

Slika 20. Prikaz optimalnoga rješenje problema distribucijske mreže u MS Excel tablici


63

Ulazni podatci modela (konstante) zapisani su u MS Excel tablici (Slika 31.), u polju B3:J7

(jedinični transportni troškovi), retku B8:J8 (potražnja prodajnih mjesta), stupcu K3:K7 (fiksni

mjesečni troškovi LDC-a Tipa A), stupcu L3:L7 (jedinični varijabilni troškovi LDC-a Tipa A),

stupcu M3:M7 (kapaciteti LDC-a Tipa A) te u stupcu N3:N7 (fiksni mjesečni troškovi LDC-a

Tipa B), stupcu O3:O7 (jedinični varijabilni troškovi LDC-a Tipa B), stupcu P3:P7 (kapaciteti

LDC-a Tipa B) i u stupcu Q3:Q7 (jedinični troškovi dopreme robe do LDC-a), onako kako su

zadani.

Matematički izrazi koji čine strukturu modela distribucijske mreže (od 10.1. do 10.6.)

također su, u obliku MS Excel formula, upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice

prikazane na Slici 20., kako je navedeno u Tablici 14.

Tablica 14. Zapisi matematičkih izraza modela distribucijske mreže u MS Excel tablici


(10.1.)

= SUMPRODUCT(K12:K16;K3:K7) +

SUMPRODUCT(K12:K16;L3:L7;O12:O16) +

SUMPRODUCT(L12:L16;N3:N7) +

SUMPRODUCT(L12:L16;O3:O7;O12:O16) +

SUMPRODUCT(O12:O16;Q3:Q7) +

SUMPRODUCT(B3:J7;B12:J16)

E19

lijeva strana


kopirano u

B17:J17

lijeva strana

nejednadžbe (10.3.) = SUM(B12:J12)

kopirano u

O12:O16

desna strana

nejednadžbe (10.3.) = K12*M3 + L12*P3

kopirano u

N12:N16

(10.4.) K12:L16 = binary


lijeva strana

nejednadžbe (10.5.) = K12 + L12

kopirano u

M12:M16




Desna je strana jednadžbe (10.2.) konstanta te se u dijaloški okvir Solver Parameters

upisuju reference na ćelije u kojima su upisane vrijednosti te konstante (B8:J8 = potražnja

prodajnih mjesta).

Desna je strana nejednadžbe (10.5.) konstanta čija vrijednost iznosi 1, a upisana je izravno

u dijaloški okvir Solver Parameters. Time se zajedno s (10.4.) osigurava ispunjenje ograničenja

koje određuje da se na svakoj potencijalnoj lokaciji može otvoriti samo jedan ili niti jedan LDC,

bilo Tipa A ili Tipa B.

Dijaloški okvir Solver Parameters i pripadajući dijaloški okvir Options programskoga alata

Solver prikazani su u Prilogu 7.

64

10.2. Uvođenje cross docking terminala u distribucijsku mrežu

Analizom20 je optimalnoga rješenja problema distribucijske mreže, opisanoga u prethodnoj

točki, dobivena struktura logističkih troškova, kako je prikazano na Slici 21.

Najveći udio u logističkim troškovima imaju transportni troškovi dostave robe od LDC-a

do prodajnih mjesta (50 %), stoga mogućnost daljnje racionalizacije logističkih troškova treba

tražiti ponajprije u tom segmentu. U svezi s tim u nastavku je razmotrena opcija uvođenja XD

(engl. Cross Docking) terminala u postojeću distribucijsku mrežu s LDC-ima na dvije lokacije

(München i Zagreb) kako bi se konsolidacijom robnih tokova postiglo smanjenje jediničnih

transportnih troškova.

Slika 21. Rezultati analize optimalnoga rješenja distribucijske mreže


Prema dobivenom rasporedu distribucije prodajna mjesta Beča, Bratislave i Budimpešte

opskrbljuju se iz oba izvora (LDC-a u Münchenu i LDC-a u Zagrebu), dok se prodajna mjesta

u ostalim gradovima opskrbljuju samo iz jednoga izvora. U svezi s tim u nastavku će biti

razmotrena mogućnost konsolidacije robnih tokova prema spomenutim gradovima

otvaranjem XD terminala na pogodnoj lokaciji. U XD terminalu konsolidirala bi se roba iz

LDC-a u Münchenu i Zagrebu (ulazni tok) za prodajna mjesta u Beču, Bratislavi i Budimpešti

(izlazni tok), kako je prikazano na Slici 22.

20 Podatci iz MS Excel tablice u kojoj je dobiveno optimalno rješenje problema (cf. Sliku 20.) korišteni su

kao ulazni podatci za analizu.

65

Slika 22. Konsolidacija robnih tokova u XD terminalu


Uzevši u obzir geografski raspored i mogućnost cestovnoga povezivanja LDC-a i prodajnih

mjesta, odlučeno je da se XD terminal otvori u krugu CCG-a21, gdje je dostupna sva potrebna

logistička infrastruktura. Usluge preuzimanja robe u LDC-ima, cross dockinga i dostave do

prodajnih mjesta obavlja logistički operater prema dogovorenoj tarifi.

Na taj su način stvorene pretpostavke za smanjenje transportnih troškova jer se isporuke

za prodajna mjesta u sva tri grada objedinjavaju u LDC-ima, tj. pošiljke se ne isporučuju

odvojeno po gradovima, već se kao konsolidirane pošiljke dopremaju u XD terminal.

U XD terminalu konsolidirane se pošiljke iz oba LDC-a rastavljaju te ponovno

konsolidiraju za dostavu po gradovima. Time se postiže okrupnjavanje transportnoga supstrata

u ulaznom toku i u izlaznom toku zbog čega se smanjuju jedinični transportni troškovi22 na

određenim relacijama.

Uvođenjem XD terminala u distribucijsku mrežu omogućeno je da se iz LDC-a, osim

izravnih isporuka roba za prodajna mjesta u Beču, Bratislavi i Budimpešti, isporučuje preko

XD terminala. Kako bi se utvrdilo je li ova opcija povoljnija, potrebno je matematički model

distribucijske mreže (cf. supra Točku 10.1.2.) proširiti dodatnim elementima, odnosno

matemačkim izrazima vezanima uz uvođenje XD terminala te na taj način formulirati

matematički model prikazan u sljedećoj točki.

21 Cargo Centar Graz, robno transportni centar smješten 20-ak km južno od Graza.

22 Primjenjuje se tarifa logističkoga operatera formirana prema očekivanom prometu.

66

10.2.1. Matematički model distribucijske mreže s XD terminalom

U nastavku su prikazani samo dodatni elementi kojima se proširuje prvobitni matematički

model distribucijske mreže prikazan u Točki 10.1.2.

Dodatni elementi funkcije cilja

(10.7.)

(10.8.)

Dodatna ograničenja

(10.9.)

(10.10.)

(10.11.)

(10.12.)

gdje su:

UTXD = transportni troškovi ulaznoga toka (doprema robe iz LDC-a do XD terminala)

ITXD = transportni troškovi izlaznoga toka (dostava robe iz XD terminala do prodajnih

mjesta)

tuXDi = jedinični transportni trošak od LDC-a na lokaciji i do XD terminala

quXDi = količina robe koja se iz LDC-a na lokaciji i doprema u XD terminal

tiXDj = jedinični transportni trošak od XD terminala do prodajnih mjesta u gradu j

qiXDj = količina robe koja se iz XD terminala dostavlja prodajnim mjestima u gradu j.

Matematički model distribucijske mreže s XD terminalom formuliran je proširivanjem

pvobitnoga matematičkoga modela distribucijske mreže (cf. supra Točku 10.1.2.) tako da se

transportni troškovi ulaznoga i izlaznoga toka XD terminala (10.7. i 10.8.) dodaju funkciji cilja

(10.1.), a dodatna su ograničenja sljedeća:

(10.9.) određuje da je ukupna količina robe koja se iz LDC-a doprema u XD terminal

jednaka ukupnoj količini robe koja se iz XD terminala dostavlja prodajnim mjestima

(ulazni je tok po količini jednak izlaznom);

(10.10.) određuje da na lokacijama Beč, Ljubljana i Prag nije otvoren LDC;

5,3 izaquXDtuXDUT iiXD

3,2,1 jzaqiXDtiXDIT jjXD

3,2,15,3 jizaqiXDquXD ji

4,2,10 izalBlA ii

51 izalAi

31 izalBi

67

(10.11.) određuje da je na lokaciji München otvoren LDC tipa B, a (10.12.) da je na

lokaciji Zagreb otvoren LDC tipa A;

Ostala ograničenja matematičkoga modela distribucijske mreže od (10.2.) do (10.6) ostaju

nepromijenjena.


Kako su broj, kapaciteti i lokacije LDC-a u distribucijskoj mreži prethodno već određeni,

optimalno rješenje odnosi se samo na mjesečni raspored distribucije koji zadovoljava

postavljena ograničenja uz najmanje logističke troškove. Dobiveno je optimiranjem

matematičkoga modela koji je definiran u prethodnoj točki primjenom MS Excel programskoga

alata Solver, kako slijedi:

LDC Tipa B na lokaciji München opskrbljuje prodajna mjesta Ljubljane (98 paleta),

Münchena (700 paleta), Nürnberga (400 paleta), Praga (500 paleta) i Stuttgarta (700

paleta). Osim toga, 402 palete konsolidirane robe šalju se u XD terminal radi opskrbe

prodajnih mjesta Beča, Bratislave i Budimpešte.

Ukupna količina robe koja se distribuira iz ovoga LDC-a iznosi 2 800 paleta mjesečno,

što je manje od njegovoga kapaciteta (3 200 paleta mjesečno), tj. kapacitet nije u

potpunosti iskorišten.

LDC Tipa A na lokaciji Zagreb opskrbljuje prodajna mjesta Ljubljane (302 palete) i

Zagreba (500 paleta). Osim toga, 998 paleta konsolidirane robe šalje se u XD terminal

radi opskrbe prodajnih mjesta Beča, Bratislave i Budimpešte.




Ukupni logistički troškovi distribucije na razini cijele distribucijske mreže iznose: min.

F = 200 636 00 €/mjesec.

Navedeno optimalno rješenje bolje je od prethodnoga (216.779,00 €/mjesec), tj. logistički

troškovi distribucije manji su za 7,4 % kada se u distribucijsku mrežu uvede XD terminal.

Može se reći kako to nije značajno poboljšanje, no ovaj je primjer ponajprije poslužio za

prikaz mogućnosti matematičkoga modeliranja i optimiranja matematičkoga modela pomoću

programskoga alata. Grafički se prikaz dobivenoga optimalnoga rješenja nalazi na zemljovidu

na Slici 23.

68

Slika 23. Grafički prikaz optimalnoga rješenja distribucijske mreže s cross docking

terminalom


Optimalno rješenje problema distribucijske mreže s XD terminalom generirano

pomoću MS Excel programskoga alata Solver prikazano je u MS Excel tablici na Slici 24.

Slika 24. Optimalno rješenje distribucijske mreže s cross docking terminalom


69

Ulazni podatci modela (konstante) dopunjeni su jediničnim transportnim troškovima

ulaznoga toka XD terminala (ćelije B6 i B8) te izlaznoga toka XD terminala (ćelije C3, D3 i

E3), a zapisani su u MS Excel tablici prikazanoj na Slici 36.

Matematički izrazi koji čine strukturu modela distribucijske mreže s XD terminalom

također su, u obliku MS Excel formula, upisani u odgovarajuće ćelije MS Excel tablice

prikazane na Slici 24., kako je navedeno u Tablici 15.

Tablica 15. Zapisi matematičkih izraza modela distribucijske mreže s XD terminalom u

MS Excel tablici


(10.1.) dopunjeno s

(10.7.) i (10.8.)

= SUMPRODUCT(L14:L18;L4:L8) +

SUMPRODUCT(L14:L18;M4:M8;P14:P18) +

SUMPRODUCT(M14:M18;O4:O8) +

SUMPRODUCT(M14:M18;P4:P8;P14:P18) +

SUMPRODUCT(P14:P18;R4:R8) +

SUMPRODUCT(C4:K8;C14:K18) + B6*B16

+ B8*B18 +

SUMPRODUCT(C3:E3;C13:E13)

F21

lijeva strana

jednadžbe (10.2.)

= SUM(C13:C18) kopirano u

C19:E19

= SUM(F14:F18) kopirano u

F19:K19

lijeva strana

nejednadžbe (10.3.)

= SUM(C14:K14) kopirano u

P14, P15, P17

= SUM(B16:K16) kopirano u

P16, P18

desna strana

nejednadžbe (10.3.) = L14*N4 + M14*Q4

kopirano u

O14:O18

(10.4.) L14:M18 = binary


lijeva strana

nejednadžbe (10.5.) = L14 + M14

kopirano u

N14:N18



lijeva strana

jednadžbe (10.9.) = B16 + B18 B19

desna strana

jednadžbe (10.9.) = SUM(C13:E13) P13


Jednadžbe (10.10.), (10.11.) i (10.12.) upisane su izravno u dijaloški okvir Solver

Parameters pod Subject to the Constraints ($N$14:$N$15 = 0, $N$17 = 0, $L$18 = 1, $M$16

= 1), kako je prikazano u Prilogu 8. Pripadajući je dijaloški okvir Options također prikazan u

Prilogu 8.

70

11. Heurističke metode

Iako su u početku podcjenjivane, heurističke su metode danas postale jedan od uobičajenih

načina, a ponekad i jedini način za rješavanje mnogobrojnih i raznovrsnih složenih realnih

problema u mnogim područjim, pa tako i u logistici i u prometu. Pritom je presudnu ulogu imao

nagli razvoj informacijsko-komunikacijske tehnologije koji je omogućio obavljanje velikoga

broja računskih operacija nad velikim brojem podataka u razumnom (praktično prihvatljivom)

vremenu, pa time i rješavanje problema velikih dimenzija.

Osim toga, od sredine 80-ih godina prošloga stoljeća intenzivno se razvija i široko

primjenjuje čitav niz sistematiziranih heurističkih metoda, tzv. umjetne inteligencije koje daju

opća načela za rješavanje problema neovisno o posebnosti njihove strukture. Uspjeh koje su

ove metode pokazale u praksi još je više popularizirao heuristički pristup u tretiranju

optimizacijskih zadaća i njihovoj daljnjoj primjeni, kao i stvaranju novih heurističkih

koncepata.

Zajedno s razvojem informacijskih znanosti, umjetne inteligencije i informacijsko-

komunikacijskih tehnologija započelo se u okviru operacijskih istraživanja23 razvijati

heurističke metode ili heuristike koje su se pokazale učinkovite u rješavanju problema

kombinatorne optimizacije (kombinatorna optimizacija čini posebno poglavlje Operacijskih

istraživanja). Heuristike ne koriste klasično formalizirane matematičke postupke utemeljene na

teoriji, zato njihova primjena pri rješavanju problema ne garantira pronalaženje optimalnoga

rješenja, no može se sa sigurnošću potvrditi njihova izvedivost s obzirom na postavljena

ograničenja. Međutim, ove metode omogućuju implementaciju različitih zdravorazumskih

pravila koja često oponašaju proces ljudskoga razmišljanja oslanjajući se na pozitivno ljudsko

iskustvo i intuiciju. Zbog toga inteligentno koncipirane heuristike mogu osigurati rješenje vrlo

blisko optimalnom.

11.1. Pojam heuristike

Logistički problemi koji se pojavljuju u planiranju i upravljanju logističkim procesima i

opskrbnim lancima najčešće se mogu svesti na probleme kombinatorne optimizacije koji imaju

više izvedivih (mogućih) rješenja, tj. skup izvedivih rješenja. U tom skupu treba pronaći

optimalno rješenje, tj. ono koje je najbolje prema usvojenom kriteriju optimalnosti uz

uvažavanje postavljenih ograničenja.

To su najčešće problemi velikih dimenzija, slabo strukturirani, za koje je nemoguće doći

do egzaktnoga rješenja u praktično prihvatljivom vremenu, pa su heurističke metode jedne od

najprihvatljivijih metoda za rješavanje takvih logističkih problema. Optimalno rješenje

pojedinoga problema najčešće se pokušava dobiti primjenom matematičkih modela. U

problemima gdje ulazni podatci nisu konstante, već ovise o vremenu ili nekom stohastičkom

čimbeniku, nije moguće izraditi reprezentativan matematički model. Ponekad je zbog

složenosti podataka problem velikih dimenzija te matematički model daje optimalno rješenje,

ali u predugom vremenskom razdoblju. Heurističke metode pomažu u kratkom vremenu doći

do rješenja koje možda nije optimalno, ali je blizu optimumu.

23 Cook, W. J. i dr. 1998. Combinatorial Optimization. John Wiley&Sons.

71

Pojam heuristika dolazi od starogrčke riječi heuriskein, što znači „naći” ili „otkriti”.

(Čuveni Arhimedov uzvik „Eureka” predstavlja prošlo vrijeme ovoga glagola.)

Heurističke metode redovito se upotrebljavaju i u svakodnevnom životu. Pri odlasku na

posao nastoji se odabrati najbolja varijanta. Hoće li se ići tramvajem, automobilom ili pješice?

Odlučuje se i kojim je putom najbolje krenuti. Odluke se donose bez proračuna i mjerenja

situacije na terenu. Ponekad su dostupni samo djelomični podatci, primjerice, informacija

dobivena preko radija da je na glavnoj ulici zastoj zbog prometne nesreće. Pomoću podataka i

prethodnoga iskustva nastoji se „od oka” procijeniti optimalno rješenje. Kad se nešto kupuje,

odlučit će se prema (vizualno procijenjenoj) kvaliteti, cijeni, imenu proizvođača, vlastitom

estetskom kriteriju itd.

Odluke se donose u svakodnevnom životu pomoću grubih procjena koje se ne mogu

nazvati „metodama”. Ukoliko se slični pristup želi automatizirati za rad na računalu, mora se

definirati sustavni postupak koji tada ipak postaje metodom. Programi još daleko zaostaju za

ljudskim mozgom jer moraju raditi po unaprijed definiranim pravilima. Istina je kako postoje

programi koji mogu mijenjati svoja pravila.

Heurističke metode i metode umjetne inteligencije posebno su prikladne za rješavanje slabo

definiranih problema koji se ne mogu dobro matematički formulirati, a pomažu i pri rješavanju

logističkih problema ovoga tipa. Upotrebljavaju se i za dobro definirane probleme koji bi se u

teoriji mogli rješavati egzaktnim matematičkim metodama, ali se od toga odustaje zbog

nedostatka ili nepouzdanosti podataka. Od matematičkih metoda – egzaktnih metoda isto će se

odustati ako je vrijeme izvođenja programa za korisnika neprihvatljivo.

Heuristika kao opći pojam danas se najčešće definira na sljedeći način:

Heuristika je tehnika koja pokušava naći neka „dobra” rješenja problema (tj. takva

dopustiva rješenja problema koja su dovoljno bliska njegovom optimumu) u okviru razumnoga

vremena, pri čemu se ne garantira kako će pronađeno rješenje biti optimalno, niti se može

odrediti njegova bliskost optimalnom rješenju.

Zato pri kreiranju heurističkih metoda za rješavanje pojedinačnih problema nije potrebno

krenuti od precizno definiranih matematičkih modela, niti od njima odgovarajućih teorijskih

rezultata koji garantiraju dobivanje optimalnih rješenja ili konvergenciju k tim rješenjima.

Međutim, heurističke metode dozvoljavaju da se na vrlo slobodan način, korištenjem

zdravorazumske logike, intuicije i prethodne prakse u rješavanju problema, formuliraju

najrazličitija inteligentna pravila koja, primijenjena u procesu nalaženja rješenja, mogu

osigurati da rješenja budu dovoljno blizu optimumu. Drugim riječima, pri formiranju neke

heuristike treba težiti implementaciji takvih pravila koja omogućuju njeno „dobro” prosječno

ponašanje.

Heuristički algoritmi trebaju imati još jednu važnu osobinu – trebaju raditi u razumnom

vremenu, tj. biti računski učinkoviti. Računska složenost nekoga algoritma obično se mjeri

ukupnim brojem „elementarnih operacija” (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje,

uspoređivanje dvaju brojeva, izvršavanje instrukcije grananja) koje je potrebno obaviti „u

najgorem slučaju” kako bi se došlo do rješenja problema.

Neka je, na primjer, broj čvorova u određenoj mreži jednak n. Broj čvorova n najčešće je

pokazatelj dimenzija razmatranoga problema. Neka je ukupan broj elementarnih operacija E

koje je potrebno obaviti pri primjeni određenoga algoritma jednak:

E = 4n4 + 5n3 + 2n +7 (11.1.)

72

Za veće vrijednosti n najveći utjecaj na ukupan broj elementarnih operacija ima n4.

Uobičajeno je reći kako je u ovakvom slučaju „računska složenost algoritma” proporcionalna

n4, odnosno „da je algoritam O(n4)”. Uz pretpostavku kako svaka elementarna operacija

zahtijeva jednu jedinicu vremena, može se reći kako algoritam zahtijeva O(n4) vremena. Jasno

je kako je sa stajališta računske složenosti algoritam utoliko „bolji” ukoliko zahtijeva obavljanje

manjega broja elementarnih operacija. Tako je, primjerice, algoritam koji zahtijeva O(n2)

vremena „bolji” od algoritma koji zahtjeva O(n3) vremena.

Pod „dobrim” se algoritmima, promatrano sa stajališta računske složenosti, smatraju tzv.

polinomski algoritmi. Polinomski su algoritmi oni algoritmi čija je računska složenost

proporcionalna ili ograničena polinomskom funkcijom reprezentanta dimenzije problema.

Tako su, primjerice, algoritmi koji zahtijevaju O(n2), O(n5) ili O(n6) vremena polinomski

algoritmi.

Pod „lošim” algoritmima podrazumijevaju se eksponencijalni (nepolinomski) algoritmi.

Eksponencijalni su, primjerice, algoritmi koji zahtijevaju O(3n) ili O(n!) vremena.

Kako bi heuristički algoritmi bili učinkoviti, trebaju biti polinomski kako bi u razumnom

vremenu mogli riješiti problem velikih dimenzija. Postoji još čitav niz osobina koje bi neka

heuristika trebala zadovoljavati. Ona treba biti jednostavna, kako bi bila razumljiva onima koji

ju koriste, i robusna, tj. ne bi trebala drastično mijenjati svoje ponašanje za male promjene

parametara problema. Treba, ako je potrebno, posjedovati mogućnost generiranja većega broja

„dobrih” rješenja kako bi korisnik mogao izabrati najprihvatljivije od njih u odnosu na neke

kriterije koje je teško formulirati. Treba imati i mogućnost interaktivnoga rada gdje korisnik

može interaktivno utjecati, u većoj ili manjoj mjeri, na proces dobivanja rješenja donoseći bitne

odluke u nekim koracima heuristike.

11.2. Primjena heurističkih metoda

Mnogi praktični optimizacijski problemi imaju kombinatornu prirodu, tj. mogu se

formulirati kao posebni slučajevi zadaća tzv. kombinatorne optimizacije. Ova se zadaća u

najopćenitijem obliku definira kao:

min f(x) ili max f(x), x X , (11.2.)

gdje je X eksplicitno ili implicitno zadan skup s konačno ili prebrojivo mnogo elemenata,

a f je bilo kakva funkcija takva da f : X →R, gdje je R skup svih realnih brojeva. (Primjerice,

problem je trgovačkoga putnika tipičan primjer kombinatorne optimizacije.)

Znatan broj realnih zadaća tipa (11.2.) predstavlja slabo strukturirane probleme za koje je,

zbog njihove složenosti i nemogućnosti dovoljnoga stupnja njihove formalizacije, vrlo teško (a

ponekad i nemoguće) kreirati egzaktne algoritme rješavanja. Zato je jedini razumni način za

pronalaženje rješenja ovakvih problema primjena odgovarajućih dovoljno inteligentnih

heuristika.

Osim toga, postoji cijela jedna klasa dobro strukturiranih problema kombinatorne

optimizacije za koje postoje egzaktni algoritmi, no svi su oni neučinkoviti jer imaju

eksponencijalnu složenost (npr. 3n). Polinomski egzaktni algoritmi za ove probleme do danas

nisu pronađeni, pri čemu još nije dokazano postoje li oni ili ne postoje. Ovakva se klasa naziva

NP-klasom problema (nepolinomski problemi). Za učinkovito rješavanje problema iz klase NP

za sada se koriste pogodno definirane heurističke metode.

73

Heurističke procedure često se koriste i kao dio egzaktnih algoritama s ciljem ubrzavanja

procesa pronalaženja optimalnih rješenja.

Ljudi iz prakse vrlo često raspolažu ograničenim prostorom, vremenom i novčanim

sredstvima namijenjenima rješavanju problema, stoga nisu zainteresirani za pronalaženje

optimalnoga rješenja ukoliko je to pronalaženje dugo i skupo. Tada je najčešće njihovim ciljem

što brže i jeftinije generiranje jednoga ili više „zadovoljavajućih” rješenja, tj. rješenja koja

pretjerano ne odstupaju od nekih unaprijed zadanih kriterija. U tom se slučaju ovakva rješenja

prirodno dobivaju primjenom heuristika koje teže što boljem implementiranju zadanih kriterija.

Treba napomenuti kako nije uvijek lako procijeniti treba li neki realni problem rješavati

egzaktno ili heuristički. Naime, ako se pri njegovom egzaktnom rješavanju krene od

matematičkoga modela koji ne odražava dovoljno dobro realnost, tada se može očekivati kako

će optimalno rješenje dobiveno na takvom modelu biti daleko od stvarnoga optimalnoga

rješenja problema. S druge strane, heuristike su obično fleksibilnije od egzaktnih metoda i

sposobne su riješiti znatno kompliciranija i realnija ograničenja problema. Modeli od kojih one

polaze mogu se formulirati tako da puno vjernije odražavaju strukturu problema. Sada se

postavlja pitanje je li bolje egzaktno rješavati jedan nedovoljno precizno formuliran model ili

heuristički rješavati jedan model koji puno više odgovara stvarnosti. Odgovor na ovo pitanje

ovisi o iskustvu, intuiciji i procjeni ljudi koji problem rješavaju.

Problemi koji se rješavaju u procesima optimizacije transportnih i logističkih procesa

prilično su raznovrsni. Neki su od njih dobro definirani i imaju jedno ili nekoliko diskretnih

rješenja. Za neke se probleme rješenje može odrediti u prihvatljivom vremenu, dok bi kod

drugih vrijeme traženja točnoga rješenja i na najbržem računalu bilo prilično dugo te se mora

prihvatiti najbolje približno rješenje dobiveno u prihvatljivom roku.

Za dobro strukturirane probleme mogu se definirati matematički modeli koji se rješavaju

egzaktnim metodama. Ove metode uvijek polaze od precizno formuliranoga matematičkoga

modela koji dovoljno dobro odražava prirodu problema koji se rješava kao što je, primjerice,

transportni problem24. Ovaj je problem dobro strukturiran, može se napisati matematički model

koji dobro predstavlja realnu situaciju te postoje matematičke metode, tj. egzaktne metode koje

rješavaju ovakve i slične probleme. Transportni je problem ove vrste specijalni slučaj

linearnoga programiranja za koje su razvijene univerzalne metode.

Postavlja se pitanje: Što ako je problem velikih dimenzija i ako su cijene (troškovi), ponuda

i potražnja slučajne varijable? U navedenom primjeru ulazni podatci nisu promjenjivi u

vremenu, no ponekad je cijena transporta (transportni troškovi) promjenjiva te u tom slučaju

nije moguće problem riješiti pomoću matematičkoga modela linearnoga programiranja. Ako je

riječ o problemu velikih dimenzija, onda je upitna mogućnost izrade modela ili, ako i postoji

mogućnost izrade matematičkoga modela, vrijeme je potrebno za pronalazak optimalnoga

rješenja predugo za svakodnevnu provedbu optimizacije, koja se pojavljuje kod problema

distribucije.

Većina je realnih problema slabo strukturirana, tj. mogu imati složenu strukturu s velikim

brojem raznovrsnih ograničenja koja se često ne mogu u potpunosti matematički formulirati,

stoga se ne može formulirati precizan matematički model koji bi na zadovoljavajući način

predstavljao strukturu problema. Tipični su primjeri takvih problema problem određivanja

rasporeda sati u obrazovnoj ustanovi, problem traženja optimalnoga reda letenja za određenu

zračnu luku, optimiranje procesa ukrcajno-iskrcajnih manipulacija i sl.

24 Cf. supra točku 8. Transportni problem

74

Praktični problemi mogu sadržavati i elemente neodređenosti, neizvjesnosti i subjektivne

procjene, mogu zahtijevati nelinearnost nekih svojih zavisnosti ili zadovoljenje više od jednoga

cilja, što ih sve može učiniti izrazito teškima i za modeliranje i za rješavanje. Osim toga, kod

nekih dobro strukturiranih problema može se dogoditi da, u slučaju velikih dimenzija, egzaktne

metode ne mogu pronaći optimalno rješenje u razumnom vremenu.

Tipični su primjeri problema, čije bi rješavanje egzaktnim metodama zahtijevalo ogromne

računalne resurse te bi vrijeme obrade bilo neprihvatljivo veliko, problem trgovačkoga putnika,

problem naprtnjače i problem kineskoga poštara, koji su prikazani u nastavku.

11.2.1. Problem trgovačkoga putnika

Trgovački putnik želi obići određen broj gradova. Kojim redoslijedom trgovački putnik

treba obilaziti gradove tako da svaki grad obiđe barem jedanput te se po obilasku svih gradova

vrati u početni grad i pri tom prijeđe najmanji put? Navedeni je problem u literaturi poznat kao

problem trgovačkoga putnika.

S problemom trgovačkoga putnika susreće se pri obavljanju distribucije robe, sakupljanja

robe i sl. Pri rješavanju problema trgovačkoga putnika teži se pronaći najkraću rutu koja

započinje u određenom čvoru logističke mreže, prolazi kroz ostale čvorove mreže najmanje

jedanput i završava u početnom čvoru.

U problemu trgovačkoga putnika mogu postojati i stroži zahtjevi, tj. da se kroz svaki čvor

prođe točno jedanput. Jasno je kako se pri postavljanju ovakvoga zahtjeva pretpostavlja kako

je moguće pronaći takvu rutu.

Slučaj kada trgovački putnik mora posjetiti svaki čvor na transportnoj mreži točno

jedanput, pri čemu se vraća u početni čvor prešavši najmanju moguću udaljenost, obično se

naziva klasičnim problemom trgovačkoga putnika. Ako udaljenost između bilo kojih dvaju

gradova ne ovisi o pravcu putovanja od jednoga k drugom, ovaj se problem naziva simetrični

problem trgovačkoga putnika.

Problemu trgovačkoga putnika može se pridružiti težinski graf tako da svakom gradu

odgovara jedan čvor grafa, a svakom uređenom paru gradova (i,j), i ≠j, luk grafa usmjeren od

odgovarajućega čvora (grada) i do odgovarajućega čvora (grada) j, pri čemu je ovom luku

pridružena „težina” jednaka cij . Kako u slučaju simetričnoga problema trgovačkoga putnika

lukovi koji odgovaraju parovima gradova (i,j) i (j,i) imaju iste težine, oni se mogu zamijeniti

samo jednim neorijentiranim lukom {i,j} s težinom cij, pa tako pridruženi graf postaje

neorijentirani (Slika 25.). Primjerice, neorijentirani luk koji spaja čvorove 4 i 5, u oznaci {4,5},

ima težinu 7, što znači da je npr. udaljenost između gradova 4 i 5 u oba smjera jednaka 7.

75

Slika 25. Pridruženi graf za simetrični problem trgovačkoga putnika s n=5


Problem je trgovačkoga putnika dobro strukturiran problem jer se može korektno

jednostavno matematički modelirati, ali je vrlo težak za egzaktno rješavanje. Naime, iako je

skup dopustivih rješenja ovoga problema konačan, broj njegovih članova može biti izrazito

velik, za n gradova on je jednak (n-1)!/2. Zato bi rješavanje problema potpunim pretraživanjem,

tj. generiranjem svih dopustivih putovanja trgovačkoga putnika i izborom najkraćega od njih

(Slika 26.) bilo za veliko n praktično neostvarivo u razumnom vremenu. U literaturi se navodi

podatak25 da ako bi za n = 20 računalo generiralo sva dopustiva rješenja problema za 1 sat, tada

bi mu za n = 22 trebalo 17,5 dana.

Broj gradova: 10 Broj gradova: 15

Broj mogućih rješenja: 181 440 Broj mogućih rješenja: 43 589 145 600

Provjera svih rješenja: ≈ 0.18 s Provjera svih rješenja: ≈ 12h i 40min

Slika 26. Ovisnost broja gradova i vremena izračuna Izvor: Galić, A. 2012. Metaheurističke metode rješavanja problema usmjeravanja vozila s

vremenskim prozorima. Magistarski rad. FPZ.

Za problem trgovačkoga putnika razvijen je čitav niz polinomskih heurističkih metoda.

Ovdje će se ukratko razjasniti najjednostavnija od njih – metoda najbližega neposjećenoga

susjeda, koja je primijenjena na grafički interpretirani simetrični problem. Ova metoda,

25 Krčevinac S. i dr. 2006. Operaciona istraživanja 2. Fakultet organizacionih nauka. Beograd.

76

polazeći od nekoga čvora pridruženoga grafa, formira iterativno čvor po čvor, tako da se u

svakoj iteraciji kao sljedeći čvor bira najbliži neposjećeni susjed trenutnoga čvora.

Primjerice, kod grafa na Slici 27., ukoliko bi se krenulo od čvora 1, tada bi se među njemu

susjednim čvorovima 2, 3, 4 i 5 izabrao najbliži čvor 3 kao sljedeći čvor, dok bi se nadalje među

neposjećenim susjedima 2, 4 i 5 čvora 3 izabrao najbliži 4 kao sljedeći itd. Na taj bi se način

dobila tzv. Hamiltonova kontura ili Hamiltonov ciklus (1, 3, 4, 5, 2), označen lijevim crtežom

na Slici 27., čija je ukupna duljina 19 jer se iz točke 2 treba vratiti u točku 1. Hamiltonov ciklus

na grafu G ciklus je koji sadrži sve vrhove od G.

W. Hamilton 1856. godine postavio je problem trgovačkoga putnika (travelling salesman

problem). Kako je problem simetričan, istu ukupnu duljinu puta 19 imao bi obilazak u

suprotnom smjeru, tj. (2, 5, 4, 3, 1). Ukoliko se za početnu točku izabere čvor 3, tada se

metodom najbližega neposjećenoga susjeda dobije kontura (3, 1, 4, 5, 2) čija je ukupna duljina

18 (desni crtež Slike 27.). Ukoliko se uzme kontura (1, 4, 3, 5, 2), isto je ukupna duljina 18, to

su inače optimalne konture, tj. ne postoji bolja kontura s manjom ukupnom duljinom.

Konture se mogu prikazati kao uređeni skup (1, 3, 4, 5, 2) ili grafički kao Hamiltonova

kontura s težinama na lukovima − udaljenosti (Slika 27.).

4

21

35

4

41

37

4

23

15

4

41

27

Kontura x1 : f(x1) =19 Kontura x2: f(x2) = 18

Slika 27. Hamiltonove konture

izvor:izradili autori

Konture x1 i x2 na Slici 27. moguća su rješenja ili mogući obilasci, a svi obilasci, tj. sve

konture čine skup X tako da je x1 X, x2 X. Funkcija cilja za konturu x1 jest f(x1) = 19, za

x2 jest f(x2) = 18. Optimalno rješenje obično se piše sa zvjezdicom nad funkcijom cilja f(x2) =

f*(x) za x2 X.

I pored svoje krajnje jednostavnosti, ovakva se heuristika ne primjenjuje često u praksi jer

često daje rješenja koja su daleko od optimuma. Naime, iako je pravilo izbora najbližega susjeda

vrlo blisko uobičajenoj intuitivnoj logici, ono je ipak lokalnoga karaktera, pa njegova primjena

može u tijeku formiranja konture u nju uključiti i neki luk veće težine.

Što se tiče računske učinkovitosti, lako se dokazuje kako je izložena metoda polinomska.

Ukoliko se njenim elementarnim korakom smatra usporedba udaljenosti od trenutnoga čvora

do njemu susjednih neposjećenih čvorova, tada je u i-toj iteraciji broj ovih usporedba n – i,

i=1, 2,…,n – 1. Zato je ukupan broj elementarnih koraka tijekom rada metode jednak

(n – 1) + (n - 2) + … + 1 = 2

)1( nn (11.3.)

Ovaj broj nije veći od n2, metoda ima polinomsku složenost O(n2).

77

Treba napomenuti kako danas postoje mnogo „inteligentnije” polinomske heurističke

metode koje, zahvaljujući primjeni složenijih logičkih pravila, osiguravaju pronalaženje

rješenja trgovačkoga putnika koja su u prosjeku vrlo bliska optimumu 26.

U različitim problemima u prometu, koji se mogu svesti na problem trgovačkoga putnika,

prijevozna sredstva (zrakoplovi, brodovi, kamioni…) mogu se promatrati u ulozi trgovačkoga

putnika koji obilazi zadana odredišta (čvorove). Pritom prijevozna sredstva mogu isporučivati

ili preuzimati robu, odnosno putnike ili se isporuke i preuzimanja mogu obavljati istodobno.

Mnoge tvrtke ovom problemu pristupaju intuitivno, no primjenom heurističkih metoda i GIS27

alata moguće je smanjiti transportne troškove.

11.2.2. Problem naprtnjače

Problem naprtnjače korišten je u vojsci SAD-a za određivanje sadržaja vojne naprtnjače.

Svakom je predmetu pridružena vjerojatnost da će biti potreban vojniku. Ukupan volumen i

ukupna masa bili su ograničenja. Isti problem javlja se i u transportu kod ukrcaja tereta u

prijevozno sredstvo, kod slaganja robe na palete ili kod pakiranja robe u kutije. Matematička

formulacija i prikaz rješavanja problema pomoću programskoga alata prikazani su u sastavu

točke 6.3.

Pri rješavanju problema naprtnjače heurističkim metodama obično se koristi koncept tabu

pretraživanja28. Ideja je te heuristike da se naprtnjača stalno „puni i prazni” tako da se u nju

doda predmet s najvećom vjerojatnošću potrebe, a kada to nije moguće zbog popunjenosti

kapaciteta, oduzme se predmet s najmanjim omjerom vjerojatnosti i mase, kako slijedi u

nastavku.

Neka je dano n predmeta s određenim vjerojatnostima potrebe i naprtnjača određenoga

kapaciteta W. U naprtnjaču treba staviti onu kombinaciju predmeta koja ima najveću

vjerojatnost potrebe, s tim da se ne prekorači kapacitet naprtnjače, kako slijedi:

poznato je:

vjerojatnost potrebe predmeta p0, p1, ... , pn-1

mase predmeta w0, w1, ... , wn-1

kapacitet naprtnjače W;

treba odrediti uređenu n-torku [x0, x1, ..., xn-1], xi ϵ {0, 1}, i = 0, 1,…, n-1 takvu da je:

P = ∑ xi pi → max

∑ wi xi ≤ W .

26 Reeves C. R. 1995. Modern Heuristics Techniques for Combinatorial Problems. McGraw-Hill Book

Company.

27 Geografski informacijski sustav (GIS) sustav je za upravljanje prostornim podatcima i osobinama

pridruženima njima. U najstrožem smislu to je računalni sustav sposoban za integriranje, spremanje, uređivanje,

analiziranje i prikazivanje geografskih informacija. U općenitijem smislu GIS je oruđe „pametne karte” koje

dopušta korisnicima stvaranje interaktivnih upitnika (istraživanja koja stvara korisnik), analiziranje prostornih

informacija i uređivanje podataka.

28 Cf. infra Točku 11.4.3. Tabu pretraživanje

http://hr.wikipedia.org/wiki/Prostor

http://hr.wikipedia.org/wiki/Ra%C4%8Dunalni_sustav

78

Algoritam heuristike tabu pretraživanja za problem naprtnjače:

Ako postoji barem jedan i za koji vrijedi da je xi = 0 i nije u tabu listi, tada se među takvim

i-ovima pronađe onaj za kojega je pi → max te promijeni pripadni bit u 1 (xi stavlja se u

naprtnjaču),

inače se razmatraju i-ovi za koje je xi = 1, među njima se pronađe onaj za kojeg je pi →min

te se promijeni pripadni bit u 0 (xi vadi se iz naprtnjače).

Iterativni postupak prekida se kada algoritam više ne može naći bolje rješenje.

11.2.3. Problem kineskoga poštara

Jedan je od najpoznatijih i najviše izučavanih problema u problematici pokrivanja lukova

grafa problem kineskoga poštara. Naznačeni problem sastoji se u sljedećem:

Jedan je poštar odgovoran za raznošenje pošte u dijelu grada. On započinje s raznošenjem

pošte iz određenoga čvora u kojem je locirana pošta i tijekom radnoga vremena mora obići sve

ulice u promatranom dijelu grada najmanje jedanput, na završetku radnoga vremena vraća se u

poštu. Logično je da se postavi sljedeće pitanje: Koja je to ruta kojom se poštar treba kretati

tako da udaljenost koju prijeđe bude minimalna, pri čemu svaku ulicu treba obići najmanje

jedanput?

Prevedeno na terminologiju transportnih mreža ovo pitanje glasi: Koji je najkraći put kojim

se treba kretati kroz transportnu mrežu tako da se kroz sve lukove mreže prođe najmanje

jedanput i da se na kraju vrati u čvor iz kojega se krenulo? Ovaj je problem prvi put izučavao

Mei-Ko (1962.). Rad Mei-Koa objavljen je u časopisu Chiness Mathematics zbog čega je

naznačeni problem i nazvan problemom kineskoga poštara.

Rješavanje je problema kineskoga poštara povezano s definicijama Eulerovoga puta. Pod

Eulerovom rutom podrazumijeva se ciklus kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi točno

jedanput. Eulerov je put put kojim se kroz svaki luk prolazi točno jedanput, pri čemu se put

ne završava u čvoru iz kojega je počeo.

Problem kineskoga poštara može se javljati na neorijentiranim, orijentiranim i mješovitim

mrežama.

U zavisnosti od logističko-transportnoga problema koji se razmatra, u ulozi poštara mogu

se podrazumijevati vozila za pranje ulica, vozila dostave, vozila za čišćenje ulica od snijega,

vozila za sakupljanje smeća u gusto naseljenim ulicama, vozila koja se koriste za popravke i

inspekciju komunalne infrastrukture (električna, vodovodna i kanalizacijska instalacija).

11.3. Klasifikacija heurističkih metoda

Jedna od uobičajenih klasifikacija heurističkih metoda obavlja se prema njihovom općem

pristupu rješavanju problema:

Konstruktivne metode – generiraju samo jedno dopustivo (izvedivo) rješenje problema

koje, primjenom odgovarajućih inteligentnih pravila, treba biti blisko optimumu. Pri tome se

mogu koristiti dva principa:

79

1. Princip proždrljivosti (engl. greedy), kod kojega se u svakoj iteraciji od trenutačno

mogućih izbora bira onaj koji je „najbolji” po nekom lokalnom kriteriju.

2. Princip gledanja unaprijed, koji u svakoj iteraciji među trenutačno mogućim izborima

prepoznaje one koji mogu dovesti do formiranja lošega krajnjega rješenja, zato se

ovakvi izbori izbjegavaju.

Primjerice, metoda najbližega neposjećenoga susjeda za problem trgovačkoga putnika, koji

je opisan ranije, predstavlja konstruktivnu heuristiku koja se temelji na principu proždrljivosti.

Konstruktivne metode najčešće se koriste za probleme kod kojih je relativno teško formirati

neko njegovo dopustivo rješenje.

Metode lokalnoga pretraživanja (ili sekvencijalne metode) – iterativno generiraju čitav

niz dopustivih rješenja problema težeći tomu da ona budu sve bolja i bolja. Pritom se u svakoj

iteraciji pretražuje „okolina” trenutnoga rješenja i u njoj se bira, prema nekom lokalnom

kriteriju, sljedeće rješenje u ovom nizu. Početno dopustivo rješenje može se uzeti iz prakse,

generirati slučajno ili formirati primjenom neke konstruktivne metode. (Princip će rada ovakvih

heuristika biti prikazan kod metodologije simuliranoga kaljenja i tabu pretraživanja).

Evolucijske metode – u svakoj iteraciji generiraju ne jedno, nego više dopustivih rješenja

problema koja čine tzv. „populaciju”, pri čemu se teži da svaka sljedeća formirana populacija

bude u prosjeku bolja od prethodne. (Genetski algoritmi, o kojima ćemo govoriti, podržavaju

baš ovakve metode.)

Metode dekompozicije – na heuristički način razbijaju problem na više potproblema manjih

dimenzija. Ovi se potproblemi potom rješavaju odvojeno, heuristički ili egzaktno, pri čemu se

vodi računa o njihovoj međusobnoj korelaciji. (Primjerice, pri rješavanju problema

pronalaženja tjednoga rasporeda sati, za koji je inače dokazano da je NP-problem, ovaj se

problem često heuristički razbija na problem dnevnih rasporeda manjih dimenzija.)

Induktivne metode – rješavaju veće i složenije probleme koristeći principe metoda

razvijenih za manje i jednostavnije probleme istoga tipa. Takve se metode često izvode iz

egzaktnih metoda koje uspješno rješavaju pojednostavljene modele grananja i ograđivanja kod

rješavanje linearnoga cjelobrojnoga programiranja u operacijskim istraživanjima. Ako se

ograniči vrijeme rada ove metode, može se dogoditi da pri velikim dimenzijama problema ona

u okviru raspoloživoga vremena ne dođe do optimalnoga rješenja. Zato se ovako ograničena

metoda može smatrati induktivnom heuristikom.

Treba napomenti kako, osim izloženih, postoji i čitav niz drugačijih heurističkih principa

koji također omogućuju pronalaženje dobrih rješenja problema. Naime, koncept heuristike

dozvoljava potpunu slobodu za uvođenje novih pristupa rješavanju, kao i za kombiniranje više

različitih pristupa u okviru jedne heuristike.

Može se navesti još jedna klasifikacija – podjela heurističkih metoda na specijalne

heuristike i opće heuristike:

▪ Specijalne heuristike dizajniraju se za posebne vrste optimizacijskih problema poštujući pri

tome svojstva i posebnosti ovih problema. Zato se njima mogu rješavati samo oni problemi

za koje su dizajnirani. U prvoj fazi razvoja heurističkoga pristupa intenzivno su razvijene

samo metode ovoga tipa, tako da danas za svaki problem s liste NP-složenih problema

postoji bar jedna posebna heuristika koja ga rješava.

▪ Opće heuristike heurističke su metode općega karaktera koje se mogu primijeniti na bilo

koji problem kombinatorne optimizacije, bez obzira na posebnost njegove strukture. Široka

primjena općih heuristika i njihova popularnost u praksi, kao i njihova velika

80

prilagodljivost različitim vrstama problema razlogom su zašto je ovim heuristikama

posvećena posebna pozornost 29, te su objašnjene u nastavku.

11.4. Opće heuristike – metaheuristike

Opće heuristike (u literaturi često nazivane i metaheuristikama) ponajprije su namijenjene

rješavanju problema kombinatorne optimizacije koji se u najopćenitijem slučaju mogu prikazati

kao:

min f(x), x X , (11.4.)

gdje dopustivi skup, tj. prostor dopustivih rješenja X ima konačno mnogo elemenata. Ove

metodologije definiraju opći način rješavanja bilo kojega problema gornjega oblika, pri čemu

njihova konkretna interpretacija ovisi o prirodi i posebnosti strukture svakoga pojedinačnoga

problema.

Među općim heuristikama najčešće se koriste algoritimi: simulirano kaljenje, tabu

pretraživanje, promjenjive okoline, genetski algoritam. Prva tri temelje se na principu

lokalnoga pretraživanja, dok je posljedni evolucijskoga tipa. Ove heuristike, odnosno algoritmi

do sada su uspješno primijenjeni na skoro sve poznate NP-složene probleme, kao i na veliki

broj izrazito složenih realnih kombiniranih problema. Iako za sada ne postoje bitni teorijski

rezultati koji bi objasnili njihov uspjeh, popularnost ovih heurističkih pristupa može se

protumačiti time što se oni mogu vrlo lako prilagoditi različitim posebnostima zadaća koje

nameće praksa, dok je njihova implementacija na računalu vrlo jednostavna.

Zanimljivo je napomenuti kako većina postojećih općih heuristika, odnosno algoritama,

oponaša neke spontane optimizacijske procese koji se javljaju u prirodi. Tako se simulirano

kaljenje temelji na simulaciji termodinamičkoga procesa kaljenja, tabu pretraživanje sadrži

elemente umjetne inteligencije primjenjujući pretraživanje s nekom vrstom inteligentnoga

„pamćenja”, dok genetski algoritmi oponašaju proces prirodne selekcije jedinka u biološkim

sustavima.

Određivanje je najboljega heurističkoga algoritma za pojedini problem istraživački

zadatak. Analizirajući do sada izrađene metaheurističke algoritme za probleme koje susrećemo

u logistici i transportu, zaključujemo kako se najviše koristio algoritam po principu lokalnoga

pretraživanja. Specijalne heuristike kod lokalnoga se pretraživanja koriste za određivanje

početne točke prema kojoj formiramo okolinu.

11.4.1. Princip lokalnoga pretraživanja

Princip lokalnoga pretraživanja, primijenjen na rješavanje problema min f(x), x X,

podrazumijeva definiranje strukture okoline u prostoru dopustivih rješenja X u okviru koje se

svakom x X pridružuje neki podskup N(x) X, x N(x), koji se naziva okolinom dopustivoga

rješenja x, a njezini su članovi susjedi od x.

29 Voss S. i dr. 1999. Metaheuristics: Advances and Trends in Local Search Paradigms for Optimization.

Kluwer Academic Publishers.

81

U lokalnom pretraživanju kreće se od proizvoljne točke x1 iz skupa X kao od početnoga

rješenja pa se u svakoj iteraciji n pretražuje okolina N(xn) trenutnoga rješenja xn i u njoj nalazi,

prema nekom definiranom pravilu izbora, susjed koji predstavlja sljedeće rješenje: xn+1.

Ukoliko se takav susjed ne može naći, pretraživanje se zaustavlja i za aproksimaciju

optimalnoga rješenja problema min f(x), x X uzima se, među generiranim rješenjima, ono

za koje je vrijednost funkcije cilja f(x) najmanja.

Jasno je kako učinkovitost jedne konkretne metode koja se temelji na prethodnom principu,

tj. vjerojatnost da se u razumnom vremenu dobije rješenje dovoljno blisko optimalnom, ovisi

ponajprije o načinu definiranja pojma „okolina”, kao i od tomu kako se formulira pravilo za

izbor sljedećega rješenja u svakom koraku metode.

Kod diskretnoga dopustivoga skupa X okolina N(x) nekoga dopustivoga rješenja x može

se u općem slučaju definirati kao skup svih onih elemenata y iz skupa X koji mogu biti

dobiveni izravno iz x primjenom neke, unaprijed zadane, modifikacije nazvane pomak iz x u y,

označen kao m(x,y). Kako bi neka struktura okoline osigurala učinkovitost lokalnoga

pretraživanja, intuitivno je jasno kako pri određivanju ove modifikacije treba težiti zadovoljenju

sljedećih uvjeta:

1. Okolina svake točke iz skupa X treba biti simetrična, tj. y N(x) ako i samo ako

x N(y).

2. Struktura okoline treba zadovoljiti uvjet dostižnosti, tj. da se, polazeći od bilo koje

točke prostora X, može nizom uzastopnih pomaka doći do bilo koje druge točke ovoga

prostora.

3. Pomak treba omogućiti što jednostavnije i brže generiranje susjednih rješenja, tj.

preporučljivo je da ova modifikacija bude polinomske složenosti.

4. Okolina ne treba biti ni pretjerano velika ni pretjerano mala kako bi se s jedne strane

mogla lakše odgovarajuće pretraživati, a s druge strane kako bi pružila dovoljno

mogućnosti da se pronađe sljedeća točka pretraživanja.

Okolina za problem trgovačkoga putnika

Problem trgovačkoga putnika može se shvatiti kao problem min f(x), x X, u kojem X

predstavlja skup svih Hamiltonovih kontura odgovarajućega grafa, a f(x) jest ukupna težina

konture x.

Pri heurističkom rješavanju simetričnoga problema trgovačkoga putnika često se razmatra

tzv. 2-okolina neke Hamiltonove konture x u pridruženom neorijentiranom grafu koja se

definira pomoću sljedeće modifikacije:

Iz konture x eliminiraju se dva njezina nesusjedna luka čime se ona razbija na dva puta.

Ovi se putovi zatim spajaju s dvama novim lukovima tako da se dobije nova Hamiltonova

kontura y.

Prethodna se modifikacija naziva 2-razmjena između x i y i ona predstavlja pomak m(x,y).

Kontura y smatra se susjedom konture x, dok sve konture koje se ovakvim pomakom mogu

generirati iz x čine 2-okolinu N(x), kako je prikazano na Slici 28.

82

1 2

3

45

6

1 2

3

45

6

Slika 28. 2-okolina za problem trgovačkoga putnika


Struktura koja se temelji na 2-okolini očigledno zadovoljava uvjete 1., 2. i 3. Što se tiče

uvjeta 4., može se lako dokazati da je ukupan broj elemenata u takvoj okolini jednak

2

)3( nn , (11.5.)

gdje je n broj čvorova pridruženoga grafa. To znači da se ona može uspješno pretražiti, čak i u

slučaju velikoga n (za razliku od cijeloga skupa X koji ima 2

)!1( n članova).

Pravila izbora sljedeće točke xn+1 u procesu lokalnoga pretraživanja mogu se definirati na

različite načine. Tako se kod klasičnih metoda spuštanja dozvoljavaju samo „silazeći” pomaci,

tj. pomaci u susjede koji poboljšavaju funkciju cilja jer se xn+1 bira tako da je

f(xn+1) f(x). (11.6.)

Međutim, glavnim je nedostatkom pri primjeni metoda spuštanja problem pronalaženja

globalnih minimuma (u koje spada i problem min f(x), x X) , zato što se često u procesu

pretraživanja ne mogu izbjeći zamke lokalnoga minimuma, iz kojih se ne može izvući

korištenjem samo silazećih pomaka. Primjerice, ako kod funkcije f(x), prikazane na Slici 29.,

metoda spuštanja pođe od točke x0 , pretraživanje će se završiti u lokalnom minimumu A i neće

moći dosegnuti globalni minimum B.

f(x)

xA Bx0

Slika 29. Zaglavljivanje u lokalnom minimumu


Kod općih heuristika – simuliranoga kaljenja i tabu pretraživanja ovaj je nedostatak

riješen tako što one koriste lokalno pretraživanje, ali pri tome dozvoljavaju (na strogo

83

kontroliran način) i „uspinjuće” pomake, tj. pomake koji vode u susjede s lošijom (većom)

vrijednosti funkcije cilja. Algoritam promjenjivih okolina tijekom lokalnoga pretraživanja

koristi samo silazeće pomake, pri čemu se, ako se u nekoj iteraciji takvi pomaci ne mogu naći,

obavlja prestrukturiranje okoline trenutne točke i u tako formiranoj novoj okolini nastavlja se

pretraživanje (Slika 30.).

Slika 30. Pronalazak globalnoga optimuma

Izvor: Galić, A. 2012. Metaheurističke metode rješavanja problema usmjeravanja vozila s

vremenskim prozorima. Magistarski rad. FPZ.

11.4.2. Simulirano kaljenje

Simulirano kaljenje (SK) algoritam je opće heuristike koji kombinira princip

determinističke metode spuštanja s vjerojatnosnim pristupom. Naime, u svakoj iteraciji ovaj

algoritam na slučajan način generira nekoga susjeda iz okoline trenutne točke uzimajući ga kao

sljedeću točku pretraživanja, ne samo u slučaju poboljšanja, nego i u slučaju pogoršanja

funkcije cilja, ali s izvjesnom vjerojatnosti koja se kontrolirano mijenja tijekom iteracija. Na taj

se način mogu izbjeći zamke lokalnih minimuma te tako povećati mogućnost dobivanja

kvalitetnih rješenja.

Slika 31. Simulirano kaljenje


84

Osnovni koncept simuliranoga kaljenja temelji se na algoritmima termodinamike koji su

kreirani za simulaciju procesa kaljenja (Slika 31.). Prvi su se ovakvi algoritmi javili 50-ih

godina prošloga stoljeća. Oni simuliraju proces kontroliranoga hlađenja (kaljenja) nekoga

rastopljenoga materijala do postizanja kristaliziranoga čvrstoga stanja. Pri ovoj se simulaciji

na slučajan način mijenja trenutna konfiguracija atoma materijala, što dovodi do promjene

njegove unutarnje energije.

Ako se energija smanjuje, nova se konfiguracija atoma prihvaća, a ako se energija

povećava, ova se konfiguracija prihvaća s određenom vjerojatnosti. Vjerojatnost se dobije

prema Boltzmanovom termodinamičkom zakonu. Ako je smanjenje unutarnje energije

dovoljno sporo, tada materijal teži, prema termodinamičkim zakonima, postići stanje

minimalne energije, tj. očvrsnuti u pravilnu kristalnu strukturu bez devijacija.

Tek je 80-ih godina prošloga stoljeća pokazano kako se osnovni principi na kojima se

zasniva simulacija kaljenja mogu primijeniti na rješavanje optimizacijskih problema, pri čemu

dopustivo rješenje odgovara jednoj mogućoj konfiguraciji atoma materijala, vrijednost funkcije

cilja njegovoj unutarnjoj energiji, a prijelaz u susjedno rješenje promjeni energetskoga stanja.

Od tada se ova metodologija pod nazivom simulirano kaljenje (engl. simulated annealing)

primjenjuje kao opći heuristički pristup za rješavanje problema oblika min f(x), x X.

Proces kaljenja može se u najopćenitijem slučaju prikazati u vidu sljedećega algoritma:

Inicijalizacija. Izabrati početno rješenje x1 X

x* = x1 f* = f (x1 )

Iterativni korak. Za n = 1, 2…

▪ Na slučajan način naći neki x iz okoline N(xn ) trenutnoga rješenja

xn .

▪ Ako je f(x) ≤ f(xn ), tada je xn+1 = x.

▪ Ako je f(x) f* , tada je x* = x , f* = f(x).

▪ Ako je f(x) f(xn ), izabrati slučajan broj p uniformiran na [0,1].

▪ Ako je p ≤ pn , tada je xn+1 = x.

▪ Ako je p pn , tada je xn+1 =xn .

Kraj. Ako je zadovoljen kriterij zaustavljanja, prekida se izvođenje daljnjih iteracija, a

x* se uzima za aproksimaciju optimalnoga rješenja.

Vrijednost pn predstavlja vjerojatnost prihvaćanja pogoršanja funkcije cilja u n-toj iteraciji.

U osnovnoj verziji simuliranoga kaljenja ova je vjerojatnost jednaka (po analogiji s procesom

kaljenja)

85

Pn = e –(f(x) – f(xn

))/tn ,

gdje je tn vrijednost tzv. temperature u iteraciji n.

Primjena simuliranoga kaljenja za problem trgovačkoga putnika

Najjednostavnija varijanta algoritma simuliranoga kaljenja za rješavanje simetričnoga

problema trgovačkoga putnika (npr. duljina puta ne ovisi o smjeru kretanja po luku, ista je

udaljenost od čvora A do čvora B kao od B do A) mogla bi se temeljiti na sljedećem postupku:

Početna Hamiltonova kontura x1 generira se slučajno ili se dobije primjenom neke od

mnogobrojnih specijalnih heuristika razvijenih za ovaj problem.

Kako se svaka Hamiltonova kontura u grafu s n čvorova može predstaviti kao jedna

permutacija indeksa svih čvorova ovoga grafa, tj. brojeva od 1 do n, tada se slučajno

generiranje konture x1 svodi na slučajno pronalaženje neke ovakve permutacije.

Kao okolina N(xn) trenutne konture xn može se koristiti 2-okolina. U tom se slučaju

slučajno generiranje nekoga susjeda x iz N(xn) može realizirati kako slijedi: ako je xn

predstavljeno permutacijom i1, i2, …, in indeksa čvorova grafa, tada se, primjenom

slučajnih brojeva [0,1], slučajno biraju dva nesusjedna člana il i ik ove permutacije.

Tada se slučajni susjed x dobije eliminiranjem lukova {il, il+1} i {ik, ik+1} iz konture xn.

11.4.3. Tabu pretraživanje

Osnovni koncept tabu pretraživanja (TP) kao heuristički algoritam za rješavanje problema

min f(x), x X predložio je F. Glover (Glover) 1986. godine (pod nazivom tabu search) 30.

Tabu pretraživanje temelji se na principu lokalnoga pretraživanja i koristi, kao svoju

najvažniju sastavnicu, tzv. adaptivnu memoriju, tj. pamćenje nekih podataka o prethodnim

fazama procesa pretraživanja, koje potom utječu na izbor sljedećih točaka u ovom procesu.

Naime, u svakoj iteraciji n čuva se neka povijest H prethodnoga pretraživanja, tj. zapis koji

pamti izbrane karakteristike nekih od prethodno generiranih točaka.

Okolina N(xn) trenutne točke xn modificira se (smanjuje ili proširuje) u ovisnosti o povijesti

H i na taj način formira skup N(xn,H) svih kandidata za sljedeću točku pretraživanja xn+1.

N(xn,H) često se naziva i aktivnom okolinom točke xn u odnosu na povijest H. Kako ovaj skup

ponekad može biti pretjerano velik da bi se mogao učinkovito pretražiti, bira se njegov manji

podskup N/(xn). Sada se točka xn+1 određuje kao najbolja u ovom podskupu u odnosu na

funkciju cilja f(x), tj. vrijedi da je f(xn+1) ≤ f(x) za svako x N/ (xn).

30 Fred, Glover. Principles of Tabu Search. Leeds School of Business. University of Colorado.

[email protected]

mailto:[email protected]

86

Algoritam tabu pretraživanje može se u najopćenitijem obliku prikazati na sljedeći način:

Inicijalizacija.

Izabrati početno rješenje x1 X ;x* = x1 f* = f(x).

Iterativni korak. Za n = 1,2…

▪ Definirati aktivnu okolinu N(xn, H) točke xn u odnosu na povijest H.

▪ Definirati podskup N / (xn) N(xn ,H).

▪ Odrediti xn+1 minimalizacijom funkcije f(x) na N / (xn).

▪ Ako je f(xn+1) f(x*), tada je x* = x n+1 i f

* = f(xn+1).

▪ Ažurirati povijest H.

Kraj. Ako je ispunjen kriterij zaustavljanja, prekida se izvođenje daljnjih iteracija, a

x* se uzima za aproksimaciju optimalnoga rješenja.

Najvažniji dio algoritma tabu pretraživanja predstavlja definiranje odgovarajuće adaptivne

memorije, tj. načina formiranja i ažuriranja povijesti H. U osnovnoj verziji tabu pretraživanja

koristi se samo jedan tip takve memorije – tzv. kratkoročna memorija, kod koje u svakoj

iteraciji H pamti karakteristike točaka generiranih u neposrednoj prošlosti. Takvo se H formalno

definira uvođenjem pojma tzv. tabu liste. Ako je pomak m(xn , x) iz tabu liste, tada x ne smije

biti kandidat za sljedeću točku xn+1 .

Procedura se zaustavlja ako je broj uzastopnih iteracija, u kojima nije bilo poboljšanja

trenutno najbolje vrijednosti f* funkcije cilja, veći od zadane vrijednosti.

Primjena tabu pretraživanja za problem trgovačkoga putnika

Na primjeru prikazanom na Slici 32. može se ilustrirati pristup tabu pretraživanja na

rješavanje simetričnoga problema trgovačkoga putnika koji koristi strukturu 2-okoline (druge

okoline).

1 2

3

45

6

1 2

3

45

6

kontura x kontura y

Slika 32. Definiranje tabu liste ispitivanjem novih lukova


Pod atributom nekoga pomaka m(x,y) smatra se jedan od novih lukova uvedenih u konturu

y pri 2-razmjeni između kontura x i y. Na temelju ovoga atributa definira se tabu lista T.

87

Primjerice, pri 2-razmjeni između kontura x i y na Slici 32. uvedeni su novi lukovi {1,4} i

{2,5}. Ako bi se, pri tabu pretraživanju, prešlo iz x u y , onda bi u tabu listu ušao jedan od ovih

lukova pa bi u sljedećem pomaku bila zabranjena njegova eliminacija iz konture y, čime bi se

spriječilo moguće ponovno generiranje konture x. Dakle, uspostavljanjem novih lukova

proučava se dobiveni rezultat, tj. hoće li rezultat biti manji jer je funkcija cilja minimum. Ako

novonastali lukovi ne daju bolji rezultat, stavljaju se na tabu listu te na taj način izbjegavamo

ponavljanje ovoga ispitivanja i skraćujemo vrijeme ispitivanja optimalnoga rezultata.

Početno rješenje x1, kao i u slučaju algoritma simuliranoga kaljenja, može se dobiti na

slučajan način ili primjenom neke od odgovarajućih specijalnih heuristika.

11.4.4. Genetski algoritam

Prve ideje o genetskom algoritmu javile su se 70-ih godina prošloga stoljeća u okviru tzv.

teorije adaptivnih sustava, koja proučava modele učinkovitoga adaptivnoga ponašanja nekih

bioloških, specijalno genetskih sustava. Ovakvi su algoritmi prvobitno kreirani kako bi

simulirali proces genetske evolucije jedne populacije jedinka pod djelovanjem okruženja i

genetskih operatora. U ovom je procesu svaka jedinka okarakterizirana kromosomom koji

predstavlja njezin genetski kod. Jedinke iz populacije koje su u većoj mjeri prilagođene

okruženju međusobno se dalje reproduciraju (primjenom genetskih operatora na njihove

kromosome) i tako se stvara nova generacija jedinka koja je prilagođenija od prethodne.

Iako genetski algoritmi nisu prvobitno predviđeni za rješavanje optimizacijskih problema,

pokazano je da se oni mogu koristiti i za optimizaciju nelinearnih funkcija, a u skorije vrijeme

i kao opća heuristička metodologija za rješavanje problema min f(x), x X . Tako primijenjen

genetski algoritam (GA), s obzirom da koristi analogiju s genetskim sustavima, dosta se

razlikuje od prethodno opisanih općih heuristika, a temelji se na sljedećim principima:

▪ Svakom rješenju iz prostora dopustivih rješenja X problema pridružuje se, na točno

definirani način, jedan niz konačne duljine nad nekom konačnom abecedom simbola koji

se naziva kod ovoga rješenja.

▪ Skup kodova svih dopustivih rješenja iz skupa X čini prostor kodiranih rješenja Xk. Sada

genetski algoritam realizira takav proces pretraživanja koji generira točke, ne izravno u

prostoru X, već u prostoru kodiranih rješenja Xk.

▪ Tumačeći neko rješenje iz skupa X kao jedinku, a njegov kod kao kromosom te jedinke,

genetski algoritam u svakoj iteraciji generira ne jednu točku, već skup više točaka iz

skupa Xk koji predstavlja populaciju.

Definiranje prostora kodiranih rješenja Xk ovisi u općem slučaju o konkretnom obliku

problema koji se rješava. Način kodiranja dopustivih rješenja, kao i abeceda simbola trebali bi

omogućiti da se, sa što manjim brojem simbola i što prirodnije, izraze glavne karakteristike

ovih rješenja. U osnovnoj verziji genetski algoritam koristi binarno kodiranje, odnosno brojeve

u binarnom sustavu, s elementima 0 i 1, tako je kod duljine četiri elementa npr. 1 010 ili duljine

šest elemenata 110 101.

U osnovnoj verziji genetskoga algoritma upotrebljavaju se dvije vrste operatora za

generiranje novih rješenja iz prostora mogućih rješenja: operatori križanja i operatori mutacije.

88

Operator križanja, po ugledu na istoimeni genetski proces, definira se u najopćenitijem

slučaju kao postupak u kojem se slučajno uzajamno razmjenjuju dijelovi kodova (kromosoma)

dvaju rješenja iz X-a (roditelja) i tako se dobiju kodovi dvaju novih rješenja (djeca). U Tablici

16. prikazan je operator križanja.

Tablica 16. Operator križanja

Broj točaka

križanja

Roditelji Djeca

1 1001 1010

1100 1111

1001 1111

1100 1010

2 010 101 11

110 111 00

010 111 11

110 101 00


Kod jedne točke križanja prvo dijete ima na prva četiri mjesta iste elemente kao prvi

roditelj, a drugo dijete ima na prva četiri mjesta iste elemente kao drugi roditelj. Kod dviju

točaka križanja prvo dijete ima prvu i treću skupinu elemenata istu kao prvi roditelj, a drugo

dijete isto ima prvu i treću skupinu elemenata istu kao drugi roditelj. Nadalje se generiranje

nastavlja tako da djeca imaju svoju djecu, tj. stvara se nova populacija.

Genetski algoritam za problem trgovačkoga putnika

Problem je trgovačkoga putnika jedan od prvih problema kombinatorne optimizacije na

koji je primijenjena metodologija genetskoga algoritma. U svim je takvim primjenama korišten

najprirodniji način kodiranja Hamiltonove konture u kojem joj se kao kod pridružuje njoj

odgovarajuća permutacija indeksa čvorova grafa.

Do sada je razvijen cijeli niz specijalnih operatora križanja koji generiraju djecu u vidu

permutacija, zamjena mjesta pojedinih elemenata.

Jedna je od njih međusobno preslikavanje dijela kodova. U Tablici 17. prikazano je

međusobno preslikavanje u kodovima roditelja za drugu skupinu kodova kod djece.

Tablica 17. Specijalni operatori križanja

Roditelji Djeca

31 472 65

↕

24 613 57

27 613 45

36 472 51


89

Drugi je skup kodova roditelja zamijenio mjesta kod djece, tako su dijelovi koda roditelja

zamijenili mjesta kod djece. Kod djece su prvi i treći kod njihovi specifični kodovi.

Slika 33. Specijalni operator križanja


Na Slici 33. prikazane su Hamiltonove konture nastale iz dviju postojećih koje

predstavljaju roditelje te dviju novih koje predstavljaju djecu, nastale primjenom specijalnoga

operatora križanja.

Kod problema trgovačkoga putnika razvijeni su i posebni operatori mutacija koji

osiguravaju očuvanje permutacija. Takav je, primjerice, operator kod kojega dva slučajno

izabrana indeksa u permutaciji međusobno zamijene mjesta ili operator koji neki slučajno

izabrani indeks permutacije pomiče za slučajan broj pozicija nalijevo ili nadesno (Tablica 18.).

Tablica 18. Primjeri operatora mutacije

Operatori mutacije Kod Mutirani kod

Zamjena mjesta broja 3 i 6 2134567 2164537

Pomicanje 5 ispred 1 2134567 2513467


11.4.5. Mravlja kolonija

Mravi, termiti, pčele i ose imaju svojstvo tzv. „kolektivne inteligencije”. Zadržimo se na

primjeru mrava. Mravi svakoga dana izlaze iz mravinjaka u potrazi za hranom. Prva su skupina

mrava „izviđači”. Oni lutaju nasumce i ostavljaju kemijski „feromonski trag” po kojem ih ostali

mogu slijediti. Onaj mrav koji prvi slučajno nađe hranu, vraća se u mravinjak udvostručujući

svoj trag. Ostali se mravi kreću po tom tragu i dodatno ga pojačavaju svojim tragom. Oni mravi

iz prve skupine koji nisu našli hranu ili su ju našli daleko od mravinjaka, vraćaju se kasnije.

Njihov je trag slabiji jer po njemu još nisu išli drugi mravi. S vremenom sve više mrava ide po

90

najjačem tragu do najboljega, tj. najbližega nalazišta hrane. Neki mravi u međuvremenu otkriju

kraći put do cilja koji po istom algoritmu prihvaćaju i ostali. Tragovi s vremenom isparavaju

pa se lošiji putovi kojima ide manje mrava postupno „zaboravljaju”. Tako kolonija mrava

zajednički nalazi optimalan put.

Ovaj je algoritam najprije vrlo uspješno simuliran na računalu. Kasnije je i poboljšan

napuštanjem algoritma s mravljom kolonijom jer kopiranje mrava nije bio cilj. U novije je

vrijeme još i poboljšan u kombinaciji s genetskim algoritmom, a potom još i matematičkim

metodama.

Mnogi se heuristički algoritmi mogu još više unaprijediti i ubrzati ukoliko se čovjeku

omogući donošenje odluke na kritičnim mjestima u algoritmu − „čovjek u petlji”. Stručnjak

može iskoristiti svoje znanje, iskustvo i intuiciju kako bi spriječio pretraživanje onih dijelova

područja u kojima je manja mogućnost postizanja optimuma31.

31 Pirlot, M. 1992. General local search heuristics in combinatorial optimization: Tutorial. Belgian Journal

of Operational Research 32. 7−67.

91

11.5. Zadatci za vježbu

1. ZADATAK

Za transportnu mrežu (mrežu s težinama na lukovima):

1. Zadaća: MINIMALNO POVEZIVANJE

Odrediti proizvoljni početni čvor te pronaći njemu najbliži susjedni čvor, te čvorove označiti –

podebljati. Odrediti čvor najbliži jednom od već dvaju označenih čvorova kao treći čvor.

Nastaviti proceduru traženja jednim od označenih čvorova. Nacrtati minimalno razapinjuće

stablo i izračunati težinsku funkciju kao zbroj težina označenih lukova.

2. Zadaća: Odrediti drugi čvor kao početni čvor i istim postupkom odrediti slijed čvorova.

Nacrtati minimalno razapinjuće stablo i izračunati težinsku funkciju kao zbroj težina

označenih lukova.

Odrediti koje je povezivanje bolje.

Rješenje: F(x) = 17

ZAKLJUČAK: Nije bitno koji je početni čvor. Udaljenost je uvijek ista.

3. Zadaća: TRAŽENJE HAMILTONOVOGA CIKLUSA

Odrediti početni čvor proizvoljno te pronaći njemu najbližega susjeda, zatim ovom najbližega

susjeda (čvor koji nismo još označili) i tako redom. Ispitati postoji li Hamiltonov ciklus

mijenjajući početni čvor.

Pokušati proizvoljnim povezivanjem susjednih čvorova odrediti Hamiltonov ciklus.

Rješenje: Nema Hamiltonovoga ciklusa po kriteriju najbližega neposjećenoga susjeda.

92

2. ZADATAK

Zadano je pet čvorova u pravokutnom koordinatnom sustavu:

B

C

A

E

D

3

8

6

4

1111

11

10

10

11

10

1. Treba odrediti matricu rastojanja između parova čvorova.

2. Odrediti lokaciju dvaju gradskih logističkih terminala (hab centra) tako da se svaki

dobavljač/korisnik pridružuje samo jednom habu, tako da se sav transport od/do ne-hab

čvora obavlja isključivo preko jednoga haba, to je shema jednostruke alokacije.

Kriterij je minimalni ukupni prijeđeni put i minimalni trošak puta. Ista zadaća za shemu

višestruke alokacije koja dopušta svakom ne-hab čvoru da komunicira s jednim ili s

više habova.

U mreži prikazanoj na slici potrebno je uspostaviti dva hab čvora (p = 2), tako da

ukupni troškovi transporta budu što manji, pri čemu nema ograničenja kapaciteta

čvorova. Pritom se transport između svakoga para ne-hab čvorova mora odvijati preko

jednoga ili preko više hab čvorova (nije dopušten izravni transport dobavljač − kupac).

Neka je cijena transporta između ne-hab čvora i haba 1 novčana jedinica (n.j.), dok je

cijena transporta između habova 0,75 n.j. po jedinici količine robe.

93

Rješenje:

1.

0 4 11 11 10

4 0 11 10 6

11 11 0 3 10

11 10 3 0 8

10 6 10 8 0

2. U mreži prikazanoj na slici potrebno je uspostaviti dva hab čvora (p = 2) tako da ukupni

troškovi transporta budu što manji, pri čemu nema ograničenja kapaciteta čvorova.

Pritom se transport između svakoga para ne-hab čvorova mora odvijati preko jednoga

ili više hab čvorova (nije dopušten izravni transport dobavljač − kupac). Neka je cijena

transporta između ne-hab čvora i haba 1 novčana jedinica (n.j.), dok je cijena transporta

između habova 0,75 n.j. po jedinici količine robe. Ako se usvoji koncepcija jednostruke

alokacije te se analiziraju sve moguće kombinacije izbora dvaju hab čvorova od skupa

pet čvorova, najbolje je rješenje da se habovi postave u čvor B i D ili C i D, slika 2b.

Tada su ukupni troškovi svih kombinacija transporta iz bilo kojega čvora ishodišta do

bilo kojega čvora odredišta najmanji:

AB + AD + AC + AE + BD + BC + BE + CD + CE + DE =

=13,5 + 6 + 16,5 + 10 + 7,5 + 3+ 11,5 + 10,5 + 14,5 + 4 = 97.

Isti se rezultat dobije ako su hab čvorovi C i D.

Shema jednostruke alokacije s neograničenim kapacitetom habova

94

3. Ako se usvoji koncepcija s višestrukom alokacijom, tada je optimalni izbor habova u

čvorovima C i D, ukupni su troškovi svih kombinacija transporta iz bilo kojega čvora ishodišta

do bilo kojega čvora odredišta najmanji.

Ukupni su troškovi svih kombinacija transporta sljedeći:

AB+AD+AC+AE+BD+BC+BE+CD+CE+DE =13 + 6 + 10 + 10 + 10 +3 + 14 + 8,25 +

11 + 4 = 89,25.

Vidi se da su kod višestruke alokacije ukupni jedinični troškovi manji jer ne-hab čvorovi

A, B i E mogu komunicirati preko haba C ili preko haba D u ovisnosti o tom koja je cijena

transporta povoljnija, ušteda je oko 8 %.

Shema višestruke alokacije s neograničenim

kapacitetom habova

95

LITERATURA

1. Chopra, S.; Meindl, P. 2004. Supply Chain Management. Pearson Education Inc. New

Jersey.

2. Cook, W. J. 1998. Combinatorial Optimization. DIMACS Special Year. American

Mathematical Society. Providence.

3. Galić, A. 2011. Usmjeravanje vozila s vremenskim prozorima. Magistarski rad. Fakultet

prometnih znanosti. Zagreb.

4. Ivaković, Č.; Stanković, R.; Šafran, M. 2010. Špedicija i logistički procesi. Fakultet

prometnih znanosti. Zagreb.

5. Krčevinac, S. i dr. 2006. Operaciona istraživanja 2. Fakultet organizacionih nauka.

Beograd.

6. Pašagić, H. 1998. Matematičko modeliranje i teorija grafova. FPZ. Zagreb.

7. Pirlot, M. 1992. General local search heuristics in combinatorial optimization: Tutorial.

Belgian Journal of Operational Research 32.

8. Reeves C. R. 1995. Modern Heuristics Techniques for Combinatorial Problems. McGraw-

Hill Book Company. New York.

9. Segetlija, Z. 2006. Distribucija. Ekonomski fakultet. Osijek.

10. Shapiro, J. F. 2001. Modeling the Supply Chain. Wadsworth Group. Thomson Learning

Inc. Duxbury.

11. Simchi-Levi, D.; Kaminsky, P.; Simchi-Levi, E. 2004. Managing the Supply Chain. Mc

Graw – Hill. New York.

12. Stanković, R. 2009. Utjecaj logističkoga operatera na oblikovanje distribucijskih mreža.

Doktorska disertacija. FPZ. Zagreb.

13. Šamanović, J. 1999. Logistički i distribucijski sustavi. Ekonomski fakultet. Split.

14. Voss, S. i dr. 1999. Metaheuristics: Advances and Trends in Local Search Paradigms for

Optimization. Kluwer Academic Publishers.

96

POPIS TABLICA

Redni broj

tabilce Naziv tablice Stranica

1. Rezultati analize osjetljivosti 18

2. Ulazni podatci problema naprtnjače 20

3. Optimalno rješenje problema naprtnjače 21

4. Zapisi matematičkih izraza modela problema naprtnjače u MS

Excel tablici 21

5. Zapisi matematičkih izraza modela u MS Excel tablici 26

6. Zapisi matematičkih izraza modela u MS Excel tablici 33

7. Ulazni podatci problema 38

8. Zapisi matematičkih izraza transportnoga modela u MS Excel

tablici 41

9. Ulazni podatci osnovnoga lokacijskoga problema 46

10. Zapisi matematičkih izraza lokacijskoga modela u MS Excel tablici 50

11. Ulazni podatci proširenoga lokacijskoga problema 52

12. Zapisi matematičkih izraza proširenoga lokacijskoga modela u MS

Excel tablici 54

13. Ulazni podatci problema distribucijske mreže 59

14. Zapisi matematičkih izraza modela distribucijske mreže u MS

Excel tablici 63

15. Zapisi matematičkih izraza modela distribucijske mreže s XD

terminalom u MS Excel tablici 69

16. Operator križanja 88

17. Specijalni operatori križanja 88

18. Primjeri operatora mutacije 89

97

POPIS SLIKA

Redni broj

slike Naziv slike Stranica

1. Struktura opskrbnoga lanca 6

2. Modeli logističkih sustava 8

3. Postupak optimiranja 9

4. Pristup problemu 10

5. Postupak modeliranja 11

6. Matematički model linearnoga programiranja 15

7. Grafička metoda 17

8. Optimalno rješenje problema alokacije resursa 25

9. Rezultati analize osjetljivosti, engl. Sensitivity Report 27

10. Optimalno rješenje problema operativnoga planiranja 33

11. Transportna mreža 37

12. Optimalno rješenje transportnoga problema 40

13. Grafički prikaz optimalnoga rješenja transportnoga problema 42

14. Geografski raspored tržišta 45

15. Optimalno rješenje osnovnoga lokacijskoga problema 50

16. Grafički prikaz optimalnoga rješenja osnovnoga lokacijskoga

problema 51

17. Optimalno rješenje proširenoga lokacijskoga problema 54

18. Geografski raspored tržišta 58

19. Grafički prikaz optimalnoga rješenja problema distribucijske

mreže 62

20. Prikaz optimalnoga rješenja problema distribucijske mreže u MS

Excel tablici 62

21. Rezultati analize optimalnoga rješenja distribucijske mreže 64

22. Konsolidacija robnih tokova u XD terminalu 65

23. Grafički prikaz optimalnoga rješenja distribucijske mreže s cross

docking terminalom 68

24. Optimalno rješenje distribucijske mreže s cross docking

terminalom 68

25. Pridruženi graf za simetrični problem trgovačkoga putnika s n=5 75

26. Ovisnost broja gradova i vremena izračuna 75

98

Redni broj

slike Naziv slike Stranica

27. Hamiltonove konture 76

28. 2-okolina za problem trgovačkoga putnika 82

29. Zaglavljivanje u lokalnom minimumu 82

30. Pronalazak globalnoga optimuma 83

31. Simulirano kaljenje 83

32. Definiranje tabu liste ispitivanjem novih lukova 86

33. Specijalni operator križanja 89

99

POPIS PRILOGA

Redni broj

priloga Naziv priloga Stranica

1.

Dijaloški okvir Solver Parameters iz kojega se dalje otvara

dijaloški okvir Options programskoga alata Solver, uz primjer u

Točki 6.3.

100

2.



Točki 7.1.

101

3.



Točki 7.2.

102

4.



Točki 8.1.

103

5.



Točki 9.1.

104

6.



Točki 9.2.

105

7.



Točki 10.1.

106

8.



Točki 10.2.

107

100

Prilog 1. Dijaloški okvir Solver Parameters iz kojega se dalje otvara dijaloški okvir Options programskoga alata Solver, uz primjer u Točki 6.3.

101


102


103


104


105


106


107


Documents

LOGISTIKA I TRANSPORTNI MODELI - bib.irb.hr · 5 2. Elementi logističkih sustava Logistički sustavi općenito se mogu definirati kao sustavi prostorno-vremenske transformacije dobara,