Matematički modeli u ekologiji Logistički model

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologijeZavod za matematikuPoslijediplomski studij: Kemijsko inženjerstvoKolegij: Elementi inženjerske matematikeAkademska godina: 2009./2010.Postdiplomant: Ivana Ćosić

Matematički modeli u ekologijiLogistički model

Elementi inženjerske matematike

Elementi inženjerske matematike2

Sadržaj 1. Matematički modeli u ekologiji

1.1 Uvod 1.2 Klasifikacija matematičkih modela u ekologiji

• 1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli• 1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli• 1.2.3 Modeli s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima• 1.2.4 Modeli budućeg i prošlog vremena• 1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli• 1.2.6 Deterministički i stohastički modeli• 1.2.7 Analitički i numerički modeli

• 1.2.8 Dominantni i subdominantni modeli

2. Logistički model 2.1 Uvod 2.1.2 Korekcija modela. Iseljavanje i useljavanje. 2.1.3 Prihvaćanje, odbacivanje ili korigiranje modela. 2.2 Logistički model s konstantnim izlovom 2.2.1 Analitičko rješenje jednadžbe 2.2.2 Kvalitativno rješenje jednadžbe. Modeliranje u paketu MatLab 7.0

3. Literatura


1.Matematički modeli u ekologiji

1.1 Uvod

Matematički modeli čine naše procjene i predviđanja u ekologiji objektivnijim i pouzdanijim.

Matematički model stvarnog objekta čini ukupnost logičkih veza, ovisnosti i jednadžbi koje omogućuju proučavanje populacija, zajednica i ekosustava.

Eksperimenti na takvim objektima nisu mogući, jer mogu dovesti do promjena ili čak uništenja ekološkog objekta.

U takvim situacijama je očito da matematičko modeliranje igra ključnu ulogu u istraživanju ekosustava.


1.2 Klasifikacija matematičkih modela u ekologiji

1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli

Matematički model je izomorfan kada su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

i. Svaki element objekta predstavljen je odgovarajućim elementom modela i obratno.

ii. Svaka funkcija definirana elementom objekta opisana je odgovarajućom funkcijom, definirana odgovarajućim elementom modela i obratno.

iii. Svaki odnos elemenata objekta je predstavljen odgovarajućim odnosima elemenata modela i obratno.


Cijeli ekosustav je vrlo kompleksan i nemoguće je opisati sve značajke takvih objekata modelom.

Za homomorfni model vrijedi: sve komponente modela imaju analogne komponente u objektu, ali ne obratno!

Jasno je da su svi matematički modeli u ekologiji homomorfni.


1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli

U procesu modeliranja neke od sljedećih komponenti će biti argumenti, a ostali funkcije koje ovise o tim argumentima:

Gi = f(G1,G2, . . .,Gi−1,Gi+1, . . .,Gn) (1) Gi- parametar koji želimo predvidjeti G1,G2 ,Gi−1, Gi+1 ,Gn- argumenti koji definiraju predviđeni

parametar Gi Pojednostavljeno: G = f(g) (2)

Pošto su ekološki objekti raspoređeni na određeni način u svemiru s prostornim koordinatama x,y i z i pošto se mijenjaju u vremenu t možemo pisati: G = f [g(x, y, z, t)] (3)

Kada parametar G ovisi o prostornim koordinatama i vremenu kao što je prikazano u jednadžbi (3) govorimo o vremenski ovisnom modelu.

Kada parametar G ovisi samo prostornim koordinatama kao što je prikazano u jednadžbi (4) govorimo o stacionarnom modelu.

G = f [g(x, y, z)] (4)


1.2.3 Modeli s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima

Ako generalizirani argument g ovisi samo o vremenu, ne o prostornim koordinatama, kažemo da se radi o točkastom modelu ili modelu s usredotočenim parametrima.

G = f [g(t)](5)

Ako generalizirani argument g ovisi o vremenu i o prostornim koordinatama, kažemo da se radi o modelu s raspodijeljenim parametrima.

Možemo reći da: model s raspodijeljenim parametrima ~ vremenski ovisan model


1.2.4 Modeli budućeg i prošlog vremena

Većina se modela u ekologiji koristi za predviđanje budućih stanja ekoloških objekata, takve modele možemo nazvati modelima budućeg vremena.

U takvom slučaju nađemo predviđeni parametar G iz izraza (3) u vremenu t=0 (početak modeliranja) i onda ga definiramo u određenom trenutku u budućem vremenu tk.

Istraživanje ekoloških objekata u prošlosti relativno prema početku modeliranja je od velikog značaja.

Kada govorimo o modelima prošlog vremena: razmotrit ćemo sadašnji trenutak u vremenu tk kao početak modeliranja i definirati predviđeni parametar G za taj trenutak u vremenu; koristeći jednadžbu (3) možemo definirati predviđeni parametar g u vremenu t=0 koji leži u prošlosti prema vremenu tk.


1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli

Kontinuirani modeli predstavljaju kontinuiranu promjenu objekta u vremenu.

Ovakav tip modela nam dopušta definirati generalizirani argument g i predviđeni parametar G u izrazu (3) u svakoj točki u vremenskom intervalu [t0, tn] koji je modeliran.

Diskretni modeli koriste diskretne vremenske korake t0 < t1 <

... < ti < ... < tn za opisivanje promjene objekta modeliranja tijekom istog vremenskog intervala [t0, tn].


1.2.6 Deterministički i stohastički modeli

Deterministički model: tijekom procesa modeliranja generalizirani argument g u jednadžbi (3) je postavljen tako da ima jedno značenje, ali nije procijenjen u pogledu statističke raspodjele i možemo definirati egzaktnu vrijednost predviđenog parametra G.

Stohastički model: kada generalizirani argument daje raspodjelu mogućih vrijednosti karakteriziranih statističkim indeksima kao što je raspodjela, standardna devijacija itd. Predviđena vrijednost u ovom slučaju nema jedno rješenje, već čitav spektar mogućih rješenja.


1.2.7 Analitički i numerički modeli

U nekim slučajevima predviđeni parametar G iz izraza (3) može se definirati kao analitička funkcija generaliziranog argumenta g, takve modele zovemo analitičkim.

Pošto su ponašanja nekih matematičkih jednadžbi dobro poznata, analitički model koji opisuje stvarni objekt s jednom ili više jednadžbi dopušta nam pronalazak točne vrijednosti za svaki argument u vremenu.

Često je vrlo teško čak nemoguće naći analitički izraz za funkciju (3).

Moramo naći predviđeni parametar G iz niza izraza koji predstavljaju ovisnosti između nekih komponenti generaliziranog argumenta.

Sustav jednadžbi koje moramo simultano rješavati najčešće uz pomoć kompjutera zovemo numeričkim modelom.


1.2.8 Dominantni i subdomianatni modeli

Svaki matematički model se mora temeljiti na stvarnim podacima dobivenih promatranjem objekta od interesa!

Dominantni model: najprije razvijamo matematički model, a zatim promatramo objekt od interesa i validiramo model.

Subdominantni model: najprije promatramo objekt od interesa, skupljamo podatke i zatim na osnovu podataka razvijamo model.


Matematički modeli u ekologiji

Izomorfni Homomorfni

Model s raspodijeljenim parametrima ~ Vremenski ovisan model

Stacionarni

S usredotočenim parametrima

Modeli budućeg vremena

Kontinuirani

Deterministički

Analitički

Dominantni

Modeli prošlog vremena

Diskretni

Stohastički

Numerički

Subdominantni


2. Logistički model

2.1 Uvod Veličina populacije (P) koja se mijenja s vremenom (t) ne može

rasti konstantnom stopom rasta. Stopa rađanja populacije s vremenom počinje padati, a stopa umiranja rasti. Najjednostavniji model smanjenja stope rađanja i povećanja stope umiranja predložio je 1838. godine Pierre Verhulst:

r = r0 – aP (6) u = u0 + bP (7)

r = stopa rađanja u = stopa umiranja

Stopa rađanja pada proporcionalno napučenosti (tj. veličini populacije P), dok stopa umiranja raste proporcionalno napučenosti. U tom modelu za rast populacije vrijedi:

r0 = početna konstanta rađanja

u0 = početna konstanta umiranja

r0 – u0 = k0

k0 = početna stopa rasta a = konstanta po kojoj stopa rađanja pada b = konstanta po kojoj stopa umiranja raste

NOSIVI KAPACITET

Uvrštavanjem u (9) dobivamo jednadžbu logističkog rasta:


Krivulja logističkog rasta

Koristeći se tehnikama integralnoga računa dolazimo do egzaktne formule rasta za populaciju čija stopa opada po Verhulstovom načelu:


2.1.2 Korekcija modela. Iseljavanje i useljavanje.

Logistička jednadžba nije primjerena ako je u zadanoj populaciji prisutno useljavanje i iseljavanje.

Zbog toga je potrebna daljnja korekcija modela. Pretpostavimo da je iseljavanje linearno tj. uz stalnu brzinu a. Tada vrijedi pripadajuća korigirana logistička jednadžba:

Ako je a > 0 → iseljavanje Ako je a < 0 → useljavanje Ako je a = 0 → dobivamo običnu logističku jednadžbu


2.1.3 Prihvaćanje, odbacivanje ili korigiranje modela.

Kao globalna mjera bliskosti eksperimentalnih i teorijskih podataka služi zbroj kvadrata odstupanja

dobivenih mjerenjem iz pogodno odabranih n trenutaka t1; t2; :::; tn.

To je tzv. funkcija cilja i želimo da njena vrijednost bude što manja. Naravno,tu se postavlja pitanje što to znači da je ta vrijednost

dovoljno mala (pa da model možemo prihvatiti). Jedna od standardnih metoda za korigiranje modela jest metoda

najmanjih kvadrata. Ona se zasniva na tome da parametre u modelu izaberemo tako

da zbroj kvadrata odstupanja bude minimalan (prilagodba parametara modelu).


2.2 Logistički model s konstantnim izlovom

Jednadžba prikazuje logistički model rasta populacije sa konstantnim izlovom opisanim parametrom a. Ukoliko je a = 0.16 što će se dogoditi ribljoj populaciji za različte početne uvjete?

k=0.2 K=5

Pretpostavke: a) ako je populacija toliko velika tako da ju okolina ne može podržavati

resursima i prostorom, tada će se populacija smanjivati(za P > K ⇒dP/dt < 0),

b) kada je populacija mala, stopa rasta populacije dP/dt je približno jednaka veličini populacije P (dP/dt ≈ kP za mali P),

c) model predviđa da će se populacija riba konstantno izlovljavati bez obzira na veličinu populacije, a zapisan je u obliku konstantog faktora a.


Analitičko rješenje jednadžbe Budući da je jednadžba ovog modela autonomna, slijedi da je i

separabilna pa možemo napraviti separaciju varijabli i nakon sređivanja dobivenog izraza i uvrštavanja zadanih parametara dobivamo:


Kvalitativno rješenje jednadžbe Modeliranje u paketu MatLab 7.0

clc clear all

%eksperimentalne vrijednosti Pexp = [0.5 0.33 0.10 -0.25 -0.79 -1.71 -3.56 -

8.85 -113.30];

pexp = [3 3.15 3.30 3.41 3.52 3.61 3.683.74 3.80 3.84 3.87 3.90 3.92 3.943.95 3.96 3.97 3.97 3.98 3.98 3.993.99 3.99 3.99 3.99 3.99 4.00 4.004.00 4.00 4.00;

5 4.73 4.55 4.42 4.32 4.24 4.194.15 4.11 4.09 4.07 4.05 4.04 4.034.03 4.02 4.02 4.01 4.01 4.01 4.014.01 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.004.00 4.00];

%racunanje ravnoteznih tocaka modela syms dP P dP = 0.2*P*(1 - P/5) - 0.16; P = solve(dP);


P = subs(P,P); dimP = size(P, 1); %broj nul-tocaka

fprintf('Ravnotezne tocke modela su:\n'); for i = 1:dimP fprintf('P(%g)= %g\t', i, P(i)); end

fprintf('\n\nUnos pocetnih uvjeta\n');

for i = 1:dimP+1 if i == 1 fprintf('Unesite pocetni uvijet izmedju 0 i %g\n', P(i)); P1(i) = input(''); elseif i == dimP+1 fprintf('Unesite pocetni uvijet veci od %g\n', P(i-1)); P1(i) = input(''); else fprintf('Unesite pocetni uvijet izmedju %g i %g\n', P(i-1), P(i)); P1(i) = input(''); end end


%simboličko rješavanje diferencijalne jednadžbesyms x dP = dsolve('DP = 0.2*P*(1 - P/5) - 0.16','P(0)=x');P = subs(dP, x, P1(:))

syms tbr = 0;

for tn = 0:2:60 br = br + 1; Pn(:,br) = subs(P, t, tn);end

for i = 1:3 s = 0; if i == 1 for j = 1:9 s = s + (Pn(i,j) - Pexp(j))^2; end rms(i) = s; else for j = 1:31 s = s + (Pn(i,j) - pexp(i-1,j))^2; end rms(i) = s; end end


figure(1) ezplot(P(1), [0 18]); xlabel('t'); ylabel('P'); grid figure(2) ezplot(P(2), [0 60]); xlabel('t'); ylabel('P'); grid figure(3) ezplot(P(3), [0 60]); xlabel('t'); ylabel('P'); grid

Ravnotezne tocke modela su: P(1)= 1 P(2)= 4

Nultočke P(1)=1 i P(2)=4 su i ravnotežna rješenja zadanog modela, a to znači da ukoliko je početna populacija P(0) u trenutku t =0 jednaka nultočkama P(1) ili P(2), da je tada dP/dt = 0 i da se broj jedinki promatrane populacije (riba) neće promjeniti protokom vremena.

P = (4/7*exp(3/25*t)-1)/(-1+1/7*exp(3/25*t)) (-8*exp(3/25*t)-1)/(-1-2*exp(3/25*t)) (16*exp(3/25*t)-1)/(-1+4*exp(3/25*t))


Kada se početna veličina populacije nalazi ispod donjeg ravnotežnog položaja, tj. kada je P(0)<1 iz grafa je očito da će populacija nakon nekog vremena isčeznuti.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-15

-10

-5

0

5

t

(4/7 exp(3/25 t)-1)/(-1+1/7 exp(3/25 t))

P

Početna populacija riba je između nultočaka P(1) i P(2), dP/dt >0 što znači da se populacija postepeno povećava i asimptotski približava gornjem ravnotežnom položaju.


0 10 20 30 40 50 60

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4

t

(-8 exp(3/25 t)-1)/(-1-2 exp(3/25 t))

P

Ako se početna veličina populacije nalazi iznad gornjeg ravnotežnog položaja, tj. kada je P(0)>4, populacija se smanjuje (dP/dt<0) i to tako da se asimtotski približava gornjrm ravnotežnom položaju.


0 10 20 30 40 50 60

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

t

(16 exp(3/25 t)-1)/(-1+4 exp(3/25 t))

P


3. Literatura1. Classification of mathematical models in ecology, V.I.

Gertsev, V.V. Gertseva, Ecological modelling, 178 (2004) 329-334

2. Uvod u matematičke metode u inženjerstvu- Eksponencijalni i logistički model

3. Eksponencijalni i logistički rast, Z. Šikić (http://www.fsb.hr/matematika/download/ZS/razno/eksponencijalni_i_logisticki_rast.pdf),

4. http://ivanzub.fizika.org/labos111.pdf

5. www.wikipedija.org

Hvala na pažnji!!!

Documents

Matematički modeli u ekologiji Logistički model