LAPORAN HASIL PENELITIAN

VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV

DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN

PAKET R ‘markovchain’ DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK

Disusun oleh:

Maria Titah Jatipaningrum

13.0583.687 E

DIBIAYAI DARI DANA BANTUAN PENELITIAN

TAHUN ANGGARAN 2014

Nomor Kontrak : 29/SPP/LPPM/PL/IV/2014

INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRIND YOGYAKARTA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS TERAPAN

INSTITUT SAINS & TEKNOLOGI AKPRIND

YOGYAKARTA

2014

iii

KATA PENGANTAR

Pada tempat pertama sungguh layak dan sepantasnya penulis ucapkan

syukur pada Sang Alfa dan Omega dari suatu semesta tak terdefinisi yang selalu

bersemayam dalam semangat dan setia memberikan Roh Pengetahuan selama

perjalanan hidup. Dalam perjalanan waktu yang kompetitif penulis dapat

menemukan titik-titik krusial untuk menyelesaikan penelitian dengan judul:

“Visualisasi pembelajaran rantai Markov dengan memanfaatkan fungsi Matlab dan

paket R ‘markovchain’ dalam pengantar proses stokastik”.

Penelitian ini merupakan penelitian pertama yang dibiayai dari dana

bantuan penelitian Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta tahun anggaran

2014 nomor kontrak : 29/SPP/LPPM/PL/IV/2014. Penulis menyadari berada dalam

semesta pengetahuan yang maha luas, mengimplikasikan bahwa penelitian ini

membutuhkan kritik dan saran untuk penyempurnaan pada tahap selanjutnya. Pada

kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan terima kasih dan apresiasi kepada

semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian terutama:

1. Bapak Hadi Prasetyo Suseno, ST., M.Si sebagai dekan Fakultas Sains

Terapan Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta.

2. Ibu Dra. Noeryanti, M.Si sebagai Ketua Jurusan Matematika

3. Bapak Ir. Prastyono Eko Pambudi, M.T sebagai Ketua Ketua Lembaga

Penelitian dan Pengabdian Masyarakat Institut Sains & Teknologi Akprind

Yogyakarta.

4. Seluruh staf pengajar Jurusan Matematika yang telah menambah semesta

pengetahuan sebagai pendukung dalam penyelesaian penelitian.

5. Staf administrasi Fakultas Sains Terapan.

Yogyakarta, 12 September 2014

Peneliti

(Maria Titah Jatipaningrum)

iv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... ii

KATA PENGANTAR ...................................................................................... iii

DAFTAR ISI ..................................................................................................... iv

INTISARI ......................................................................................................... v

BAB I. PENDAHULUAN ........................................................................... 1

1.1 Latar Belakang dan Permasalahan ............................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ......................................................................... 2

1.2.1 Tujuan khusus ...................................................................... 2

1.2.2 Tujuan umum ...................................................................... 3

1.3 Perumusan Masalah ..................................................................... 3

1.4 Sistematika Penulisan .................................................................. 3

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA .................................................................. 5

BAB III. LANDASAN TEORI ....................................................................... 6

2.1 Peluang ......................................................................................... 6

2.2 Rantai Markov .............................................................................. 7

BAB IV. METODOLOGI PENELITIAN ...................................................... 9

3.1 Prosedur pada program Matlab..................................................... 9

3.2 Prosedur pada program R ............................................................. 12

BAB V. HASIL PENELITIAN ..................................................................... 15

4.1 Permasalahan dan solusi program Matlab .................................... 12

4.2 Perbandingan program Matlab dan program R ............................ 13

4.3 Pembahasan program R ............................................................... 21

BAB VI. KESIMPULAN ............................................................................... 24

5.1 Kesimpulan .................................................................................. 24

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 25

v

INTISARI

VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV

DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN

PAKET R ‘markovchain’ DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK

oleh

Maria Titah Jatipaningrum

13.0583.687 E

Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas dan

implementasinya digunakan dalam berbagai bidang. Keunggulan penyelesaian

menggunakan program R package ‘markovchain’ dapat mengeplot grafik dengan

menggunakan fungsi plotMc.

Pada penelitian ini, telah dilakukan visualisasi rantai Markov waktu diskret

dengan menggunakan program Matlab dan program R. Alasan penggunaan

program tersebut, untuk memudahkan mahasiswa dalam mempelajari rantai

Markov waktu diskret dengan lebih mudah.

1

VISUALISASI PEMBELAJARAN RANTAI MARKOV

DENGAN MEMANFAATKAN FUNGSI MATLAB DAN PAKET R

‘markovchain’ DALAM PENGANTAR PROSES STOKASTIK

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar belakang dan permasalahan

Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu probabilitas. Banyak

sekali hal yang berkaitan dengan teori ini. Baik secara langsung maupun

tidak langsung. Implementasinya sering digunakan dalam berbagai bidang

di sekitar kita. Beberapa aplikasinya banyak ditemukan dalam bidang

perindustrian, perdagangan, perekonomian, periklanan, dan masih banyak

lagi. Bahkan permainan pun bisa menggunakan teori ini. Khususnya untuk

melihat kemungkinan saat seorang pemain mendapatkan giliran untuk

bermain. Contoh yang paling mudah adalah dalam permainan ular tangga.

Ada juga contoh lain tentang aplikasi teori ini di dalam bidang sistem

dan teknologi informasi, yaitu di dalam jaringan internet. Namun, Rantai

Markov sangat jarang dibahas secara khusus dalam buku probabilitas

yang umumnya digunakan sebagai bahan kuliah. Untuk itu dalam

penelitian ini akan dibahas secara mendetail mengenai teori ini. Di dalam

penelitian ini juga akan coba dijelaskan dengan bahasa sederhana

mengenai aplikasi teori Rantai Markov yang erat kaitannya dalam

kehidupan kita sehari-hari.

Probabilitas dapat diartikan sebagai peluang atau kemungkinan munculnya

suatu kejadian secara acak. Dalam kehidupan kita sehari-hari banyak sekali

hal yang berkaitan dengan probabilitas ini. Hal-hal sederhana yang ada di

sekitar kita ini biasanya tidak kita sadari bahwa itu merupakan bagian

dari ilmu probabilitas.

Misalnya saja saat bermain kartu remi, memilih barang yang akan dibeli,

dan masih banyak lagi. Meskipun begitu, tentu saja masalah probabilitas

ini sudah dikenal saat di bangku sekolah. Bahkan sampai kuliah pun ada

materi tentang probabilitas ini. Namun, tidak semua materi mengenai

probabilitas ini dipelajari. Salah satunya adalah mengenai teori Rantai

2

Markov. Walaupun bukan merupakan suatu bahan pelajaran di kelas,

namun aplikasi dari Rantai Markov ini sebenarnya banyak sekali. Dan

semuanya hal-hal sederhana yang ada di sekitar kita. Proses stokastik untuk

memodelkan hubungan dinamik antara kejadian random dalam berbagai

bidang ilmu seperti engineering, natural dan social science. Mata kuliah ini

mempelajari struktur matematik yang dipergunakan untuk memodelkan

evolusi dari suatu sistem yang memuat ketidakpastian. Materi kuliah ini

meliputi : Pengantar proses stokastik, Rantai Markov dengan parameter

diskrit, Proses Poisson, Rantai Markov dengan parameter kontinu, Renewal

process. Mata kuliah ini diharapkan dapat memperkenalkan beberapa

proses stokastik klasik dan kelakuannya setelah proses berjalan lama.

Mahasiswa diharapkan setelah mengambil mata kuliah ini dapat

membedakan variabel stokastik dan variabel deterministik dari suatu proses,

menentukan ruang parameter dan ruang keadaan dari suatu proses,

mengambil keputusan, terutama dalam masalah matematika keuangan,

asuransi, masalah inventori, evaluasi performa dari jaringan komputer,

evaluasi performa dari sistem telekomunikasi, dan teori antrian. Karena latar

belakang di atas maka perlu diadakan penelitian pembelajaran rantai Markov

dengan memanfaatkan fungsi Matlab dan paket R “markovchain”. Motivasi

penelitin merujuk latar belakang di atas yaitu visualisasi rantai Markov waktu

diskret (DTMC) dalam pembelajaran pengantar proses stokastik dan

mengeksplorasi terapan rantai Markov waktu diskret dengan fungsi yang

tersedia pada Matlab dan paket open source R “markovchain”.

1.2. Tujuan Penelitian

a. Tujuan khusus:

Tujuan khusus penelitian ini adalah membantu mahasiswa dalam

memvisualisasi rantai Markov dalam pembelajaran Pengantar Proses

Stokastik dengan bantuan fungsi Matlab dan paket R “markovchain”.

Penelitian ini sebagai pengembangan bahan ajar pengantar proses stokastik.

b. Tujuan Umum:

Penelitian ini dapat digunakan sebagai simultan mahasiswa untuk

3

bereksplorasi dengan fungsi Matlab dan dan paket R “markovchain” untuk

menyelesaikan kasus rantai Markov yang ada di sekitar kehidupan sehari-

hari.

1.3. Perumusan Masalah

Dari uraian latar belakang permasalahan diatas, secara umum permasalahan

yang dibahas adalah bagaimana pembentukan fungsi Matlab yang dapat menunjang

pembelajaran Pengantar Proses Stokastik dan apa saja fungsi yang bisa dibangun

untuk mendukung pembelajaran.

1.4. Sistematika Penulisan

Untuk memahami isi dari tahapan-tahapan penelitian, penulisan disusun

secara sistematis dalam beberapa bab, dengan rincian sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, batasan masalah, perumusan

masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan

sistematika penulisan,

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini menguraikan tentang metode dan hasil penelitian sebelumnya yang

menjadi bahan rujukan.

BAB III LANDASAN TEORI

Bab ini menguraikan dasar-dasar teori berkaitan dengan penelitian yang

meliputi konsep peluang, rantai Markov,

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

Bab ini berisi langkah-langkah / prosedur penyelesaian matriks peluang

transisi

BAB IV HASIL PENELITIAN

4

Berisi problem-problem yang dicari solusinya menggunakan program Matlab

dan package “markovchain” pada program open source R.

BAB V KESIMPULAN

Bab ini sebagai penutup berisi kesimpulan dari keseluruhan penelitian yang

telah dilakukan

5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Menurut Feres (2007), tercantum matlab listing untuk penyelesaian markov

chain. Matlab listing yang dimaksudkan adalah fungsi commclass dan fungsi

canform. Belum disertai contoh-contoh problem disertai penyelesaiannya.

Menurut Spedicato (2013), ditemukan package “markovchain” untuk

menyelesaikan discrete time markov chain dengan mudah, dengan memanggil

library(markovchain) pada program R.

Pada penelitian ini, akan dibahas problem-problem rantai Markov disertai

solusinya menggunakan program Matlab dan program R opensource dengan

package “markovchain”. Dalam penelitian ini juga disertai perbandingan output

kedua program, dan pada program R dapat menggambarkan plot matriks peluang

transisi dengan lebih jelas dengan fungsi plotMc (fungsi yang memplot rantai

Markov waktu diskret)

6

BAB III LANDASAN TEORI

A. Peluang

Probabilitas merupakan suatu ilmu yang sudah diajarkan saat seseorang

sudah berada di bangku sekolah. Hal ini disebabkan oleh banyaknya kejadian

dalam hidup ini yang menggunakan prinsip probabilitas. Sehingga setidaknya

seseorang bisa mengerti teori ini untuk menentukan keputusan yang akan

diambil. Namun sebenarnya tanpa mempelajari ilmu ini seseorang sudah sering

menerapkan ilmu ini untuk sebuah keputusan yang akan diambilnya. Seseorang

yang akan mengambil keputusan tentu saja akan melihat kejadian-kejadian yang

telah terjadi. Kemudian akan memprediksi kejadian selanjutnya yang akan terjadi.

Secara sederhana probabilitas dapat didefinisikan sebagai suatu cara untuk

mengungkapkan suatu informasi atau pengetahuan bahwa suatu kejadian akan

terjadi maupun telah terjadi. Probabilitas sering disebut juga sebagai peluang

atau kemungkinan.

Untuk menuliskan probabilitas dari suatu kejadian digunakan sebuah angka

yang dikenal sebagai probabilitas suatu kejadian. Angka ini nilainya 0 ≤ 1.

Semakin besar nilai probabilitas suatu kejadian tertentu, maka kejadian tersebut

paling memungkinkan untuk terjadi. Apabila suatu kejadian sama sekali tidak

memungkinkan untuk terjadi atau mustahil untuk terjadi, maka probabilitas

kejadian tersebut adalah 0. Untuk menyatakan probabilitas suatu kejadian,

terdapat notasi yang sudah menjadi kesepakatan bersama.

Untuk melambangkan notasi probabilitas kejadian A, maka ditulis P(A).

Demikian juga dengan kejadian lainnya. Notasi probabilitas kejadian B adalah

P(B), notasi probabilitas kejadian C adalah P(C).

Nilai untuk P(A) dapat dirumuskan sebagai berikut.

n AP A

n S

Keterangan:

A : Jumlah kejadian A

S : Sampel

7

B. Rantai Markov

Teori Rantai Markov pertama kali ditemukan oleh Andrey Andreyevich

Markov pada tahun 1906. Ia adalah seorang matematikawan dari Rusia yang

hidup pada tahun 1856 sampai tahun 1922. Ia merupakan murid dari Chebysev,

seorang yang terkenal di dunia probabilitas karena rumus yang ditemukannya.

Sebagaimana halnya dengan Chebysev, Markov pun tidak mau kalah. Ia

mengungkapkan teori bahwa suatu kejadian berikutnya tergantung hanya pada

keadaan saat ini dan bukan pada kejadian masa lalu. Pada tahun 1913 ia

menerapkan temuannya ini yang pertama kali untuk 20.000 pertama Pushkin

huruf “Eugine Onegin”.Berdasarkan teori yang diungkapkan oleh Markov di atas

dapat dibuat dengan kata lain. Rantai markov merupakan suatu teknik yang

terdapat di dalam ilmu probabilitas yang bisa digunakan untuk menganalisis

pergerakan suatu probabilitas dari suatu keadaan ke keadaan lainnya.

Rantai Markov bukanlah suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik

deskriptif. Maksudnya adalah bahwa Rantai Markov bukanlah suatu cara yang

bisa digunakan untuk menghasilkan suatu keputusan rekomendasi (optimis).

Akan tetapi, Rantai Markov ini hanya digunakan untuk membantu seseorang

untuk mengambil keputusan (deskriptif). Sehingga bisa dikatakan bahwa analisa

Rantai Markov ini mirip dengan analisis keputusan. Untuk menentukan sebuah

keputusan memungkinkan untuk terjadi perpindahan keputusan. Dari keputusan

yang satu akan mungkin pindah ke keputusan yang lain. Kemungkinan tersebut

dapat dirumuskan sebagai berikut.

0Prn

ij nP X j X i

Dalam proses menerapkan Rantai Markov ke dalam suatu kasus tertentu,

terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai

berikut.

i. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama

dengan satu.

ii. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam

sistem.

iii. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.

iv. Kondisi merupakan kondisi yang independen (bebas) sepanjang waktu.

8

Rantai Markov bisa digunakan untuk modeling (pembuatan model) berbagai

macam sistem dan proses. Dengan menggunakan teori ini bisa dianalisa

kejadiankejadian pada waktu mendatang secara sistematis dan matematis.

Rantai Markov merupakan suatu kumpulan variabel acak

1 2 3 4, , , ,X X X X Atau secara formal bisa dituliskan sebagai berikut:

1 1Pr Prn n n nX x X y X x X y

9

BAB IV METODE PENELITIAN

Prosedur Penelitian

Langkah 1: Inisialisasi fungsi pada Matlab misalkan:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%

function [C,v]=commclasses(P)

%Input - P is a stochastic matrix

%Output - C is a matrix of 0s and 1s.

% - C(i,j) is 1 if and only if j is in the

% - communicating class of i.

% - v is a row vector of 0s and 1s. v(i)=1 if

% - the class C(i) is closed, and 0 otherwise.

[m m]=size(P);

T=zeros(m,m);

i=1;

while i<=m

a=[i];

b=zeros(1,m);

b(1,i)=1;

old=1;

new=0;

while old ~= new

old=sum(find(b>0));

[ignore,n]=size(a);

c=sum(P(a,:),1);

d=find(c>0);

[ignore,n]=size(d);

b(1,d)=ones(1,n);

new=sum(find(b>0));

a=d;

end

T(i,:)=b;

i=i+1;

end

F=T’;

C=T&F;

v=(sum(C’==T’)==m);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%

Langkah 2: Jalankan fungsi Matlab dengan membangkitkan matrix nol

dimensi 10 x 10

>> P=zeros(10,10);

P(1,[1 3])=1/2;

10

P(2,2)=1/3; P(2,7)=2/3;

P(3,1)=1;

P(4,5)=1;

P(5,[4 5 9])=1/3;

P(6,6)=1;

P(7,7)=1/4; P(7,9)=3/4;

P(8,[3 4 8 10])=1/4;

P(9,2)=1;

P(10,[2 5 10])=1/3;

>> [C,v]=commclasses(P)

C =

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

v =

1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

[Q p]=canform(P)

Q =

0.5000 0.5000 0 0 0 0 0 0 0

0

1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0.3333 0.6667 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0.2500 0.7500 0 0 0 0

0

0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0

0

0 0 0 0 0.3333 0 0.3333 0.3333 0

0

0 0.2500 0 0 0 0 0.2500 0 0.2500

0.2500

0 0 0.3333 0 0 0 0 0.3333 0

0.3333

p =

1 3 2 7 9 6 4 5 8 10

Langkah 3: Pendeskripsian output dari fungsi Matlab yang berkaitan dengan

pembelajaran rantai Markov

11

Langkah 4: bentuk kanonik rantai Markov

Fungsi Matlab

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%

function [Q p]=canform(P)

%Obtain the canonical form Q of a stochastic matrix P.

%The permutation of indices is p.

%Uses the function commclasses(P)

[m m]=size(P);

[C,v]=commclasses(P);

u=find(v==1); %indices in u comprise union of closed

classes

w=find(v==0);

R=[];

while length(u)>0

R=[R u(1)];

v=v.*(C(u(1),:)==0);

u=find(v==1);

end

%R is now the set of representatives of closed classes

%Each closed class has a unique representative in R.

p=[];

for i=1:length(R)

a=find(C(R(i),:));

p=[p a];

end

p=[p w];

%We have now a permutation p of indices, p, that

%gives the new stochastic matrix Q.

Q=P(p,p);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%

Langkah 5: output fungsi Matlab bentuk kanonik.

12

Software Open Source paket R ‘markovchain’

Akan diteliti lebih lanjut beberapa fungsi Matlab yang mendukung pembelajaran

Pengantar Proses Stokastik.

> library("markovchain")

> weatherStates<-c("sunny","cloudy","rain")

> byRow=TRUE

> weatherStates<-

matrix(data=c(0.70,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0.2,0.45,0.35),b

yrow=byRow,nrow=3,dimnames=list(weatherStates,weatherSt

ates))

> mcWeather<-

new("markovchain",states=c("sunny","cloudy","rain"),tra

nsitionMatrix=matrix(data=c(0.70,0.2,0.1,0.3,0.4,0.3,0.

2,0.45,0.35),byrow=byRow,nrow=3),name="Weather")

> defaultMc<-new("markovchain")

> mcList<-

new("markovchainList",markovchains=list(mcWeather,defau

ltMc),name="A list of Markov chains")

> initialState<-c(0,1,0)

> after2Days<-initialState*(mcWeather*mcWeather)

> after7Days<-initialState*(mcWeather^7)

> after2Days

sunny cloudy rain

[1,] 0.39 0.355 0.255

> after7Days

sunny cloudy rain

[1,] 0.4622776 0.3188612 0.2188612

> initialState<-c(0,1,0)

> mcWeatherTransposed<-t(mcWeather)

> after2Days<-

(mcWeatherTransposed*mcWeatherTransposed)*initialState

> after7Days<-(mcWeatherTransposed^7)*initialState

> after2Days

[,1]

sunny 0.390

cloudy 0.355

rain 0.255

> after7Days

[,1]

sunny 0.4622776

cloudy 0.3188612

rain 0.2188612

> states(mcWeather)

[1] "sunny" "cloudy" "rain"

> dim(mcWeather)

[1] 3

> transitionProbability(mcWeather, "cloudy", "rain")

[1] 0.3

13

> mcWeather[2,3]

[1] 0.3

> print(mcWeather)

sunny cloudy rain

sunny 0.7 0.20 0.10

cloudy 0.3 0.40 0.30

rain 0.2 0.45 0.35

> show(mcWeather)

Weather

A 3 - dimensional discrete Markov Chain with following

states

sunny cloudy rain

The transition matrix (by rows) is defined as follows

sunny cloudy rain

sunny 0.7 0.20 0.10

cloudy 0.3 0.40 0.30

rain 0.2 0.45 0.35

> mcDf<-as(mcWeather,"data.frame")

> mcNew<-as(mcDf,"markovchain")

> mcDf

t0 t1 prob

1 sunny sunny 0.70

2 sunny cloudy 0.20

3 sunny rain 0.10

4 cloudy sunny 0.30

5 cloudy cloudy 0.40

6 cloudy rain 0.30

7 rain sunny 0.20

8 rain cloudy 0.45

9 rain rain 0.35

> mcIgraph<-as(mcWeather,"igraph")

> plotMc(mcWeather)

14

15

BAB V HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Problem matriks peluang transisi

Model penyebaran suatu penyakit adalah sebagai berikut: Jumlah populasi adalah

N = 5, sebagian sakit dan sisanya sehat. Dalam setiap waktu 2 orang akan dipilih

secara acak dari populasi tersebut dan keduanya berinteraksi. Pemilihan orang-

orang tersebut dilakukan sedemikian hingga interaksi antara setiap pasangan adalah

sama. Jika satu orang dari suatu pasangan sakit, yang lain sehat, maka penyakit

akan disebarkan ke orang yang sehat dengan peluang 0,1. Diluar kondisi tersebut,

tidak ada penyakit yang disebarkan. Misalkan Xn menyatakan jumlah orang yang

sakit dalam populasi diakhir periode ke-n. Bentuklah suatu matriks peluang transisi

yang mungkin.

Solusi matriks peluang transisi:

Keadaan: 0,1,2,3,4,5 yang menyatakan jumlah orang yang sakit P00=1, P55=1 (jika

tidak ada atau semua orang sakit maka PASTI keadaan berubah ke tidak ada atau

semua orang sakit)

Pi,i+1=0,1 5

1 15

2

0,01 5i iC C

i iC

, 1 0,01 5i iP i i untuk 1,2,3,4i

1 0 0 0 0 0

0 0.96 0.04 0 0 0

0 0 0.94 0.06 0 0

0 0 0 0.94 0.06 0

0 0 0 0 0.96 0.04

0 0 0 0 0 1

P

16

17

Problem kedua:

Akan dicari communicate class, closed class dan bentuk kanonik matriks P!

18

Pada program Matlab:

19

20

21

Hasil library “markovchain”

22

23

24

BAB VI KESIMPULAN

Berdasarkan hasil visualisasi rantai markov, diperoleh beberapa point kesimpulan

sebagai berikut:

1. dapat membandingkan input dan output fungsi commclass (communicating

class) dan canform (bentuk kanonik) pada matlab dan R.

2. pada paket program R ’markovchain”, dapat menggambarkan plot matriks

peluang transisi dengan jelas dengan fungsi plotMc (fungsi untuk memplot

rantai Markov waktu diskret).

25

DAFTAR PUSTAKA

Agwuegbo, S.O.N., A. P. Adewole and A. N. Maduegbuna, 2010. A random walk

model for stock market prices. J. Math. Stat., 6: 342-346. DOI:

10.3844/jmssp.2010.342.346

Feres R, 2007, “Notes for Math 450 Matlab Listings for Markov Chains.” URL

http://www.math.wustl.edu/~feres/Math450Lect04.pdf

Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R., 2001 Probability and Random Processes third

ed., Oxford University Press

Nicholson W, 2013, DTMCPack: Suite of functions related to discrete-time

discrete-state Markov Chains. R package version 0.1-2.

Ross, Sheldon, 2010, Introduction to Probability Models, Tenth Edition, Elsevier.

Spedicato GA, 2013, ‘markovchain’: an R package to easily handle discrete

markov chain. R package version 0.0.1.

Spedicato GA, 2014. The markovchain Package: A Package for Easily Handling

Discrete Markov Chains in R.

Taylor, H. M. & Karlin, S., An Introduction to Stochastic Modeling‟, Academic

Press, 1993.

SINOPSIS

Sinopsis ini mengemukakan hasil dan saran sebagai masalah terbuka untuk

dikembangkan selanjutnya. Rantai Markov adalah salah satu teori dalam ilmu

probabilitas dan implementasinya digunakan dalam berbagai bidang. Keunggulan

penyelesaian menggunakan program R package ‘markovchain’ dapat mengeplot

grafik dengan menggunakan fungsi plotMc.

Pada penelitian ini, telah dilakukan visualisasi rantai Markov waktu diskret

dengan menggunakan program Matlab dan program R. Alasan penggunaan

program tersebut, untuk memudahkan mahasiswa dalam mempelajari rantai

Markov waktu diskret dengan lebih mudah.

Berdasarkan hasil kajian dalam penelitian yang telah dilakukan, beberapa

saran sebagai landasan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut, sebagai

berikut:

1. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan program-program selain Matlab

dan opensource R untuk menyelesaikan masalah rantai Markov waktu

diskret.

2. Pengembangan lebih lanjut pada fungsi-fungsi program Matlab dan

program opensource R.