of 16/16
SVEUČILIŠTE U RIJECI, ODJEL ZA FIZIKU Preddipl. stud. Fizika Dipl. stud. Fizika i matematika Dipl. stud. Fizika i informatika Dipl. stud. Fizika i filozofija Dipl. stud. Fizika Ak. god. 2020./2021. KVANTNA MEHANIKA Zadaci za vježbe 7. 5. 2021. 17 Identične čestice 17.1 Pretpostavimo da promatramo tri čestice u stanjima ψa(x), ψb(x) i ψc(x) (u svakom stanju točno jedna čestica). Ako su ova stanja ortonormirana, napišite valnu funkciju za sustav ovih čestica: (a) ako čestice možemo razlikovati; (b) ako su čestice identični bozoni; (c) ako su čestice identični fermioni. 17.2 Zamislite dvije neinteragirajuće čestice, svaka mase m, u potencijalu 1D harmoničkog oscilatora. Ako je jedna čestica u osnovnom stanju, a druga u prvom pobuđenom stanju, izračunajte (x1 x2) 2 pretpostavljajući: (a) da čestice možemo razlikovati; (b) da su čestice identični bozoni; (c) da su čestice identični fermioni. 17.3 Dvije čestice spina 1 koje nisu identične i kojima je orbitalni angularni moment nula (nalaze se u s-stanju) mogu imati ukupni angularni moment jednak 0, 1 ili 2. Pretpostavimo da su čestice identične. Koliki je ukupni angularni moment ovog sustava? 17.4 Promotrimo tri identične neinteragirajuće čestice spina 1. (a) Pretpostavimo da je prostorni dio vektora stanja simetričan na zamjenu stanja bilo koje dvije čestice. Koristite zapis spinskog stanja u obliku |1|0|1za česticu 1 s projekcijom spina ms = 1, česticu 2 s ms = 0 i česticu 3 s ms = 1, itd. te napišite normalizirano spinsko stanje sustava u sljedećim slučajevima: (i) sve tri čestice su u stanju |1; (ii) dvije čestice su u stanju |1, a jedna u stanju |0; (iii) sve tri čestice su u različitim stanjima; (b) Pokušajte ponoviti račun pod (a), ali sada ako je prostorni dio vektora stanja antisimetričan. 17.5 Promotrimo sustav od N neinteragirajućih čestica spina 1/2. Čestice se nalaze u potencijalu harmoničkog oscilatora kružne frekvencije ω. (a) Kolika je energija osnovnog stanja? Kolika je Fermijeva energija? (b) Pretpostavimo da je N jako velik. Kolike su energija osnovnog stanja i Fermijeva energija? 17.6 Hundova pravila služe za izračun ukupnog angularnog momenta u atomima. Kvantni brojevi S i L odnose se ukupni spin i ukupni orbitalni angularni moment sustava elektrona, respektivno. Kvantni broj J označava njihov zbroj, ukupni angularni moment. (a) Prvo Hundovo pravilo glasi: u skladu s Paulijevim principom, stanje s najvećim ukupnim spinom S ima najnižu energiju. Što ovo pravilo predviđa za pobuđena stanja helijevog atoma? (b) Drugo Hundovo pravilo glasi: za dani spin sustava, stanje s najvećim ukupnim angularnim momentom L, u suglasju s antisimetrizacijom, ima najnižu energiju. Zašto ugljik nema L = 2? (c) Treće Hundovo pravilo glasi: ako je podljuska (n, l) popunjena najviše do polovine, tada najniža energijska razina ima J = |L S|. Ako je podljuska popunjena više od polovine, tada najniža energijska razina ima J = L + S. Primijenite ovo pravilo na atom bora. (d) Upotrijebite Hundova pravila i činjenicu da se kod elektronskih sustava simetrično spinsko stanje javlja uz antisimetričnu prostornu valnu funkciju (i obrnuto), te izračunajte ukupni angularni moment u ugljikovom i dušikovom atomu.

KVANTNA MEHANIKA - UNIRI

  • View
    11

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of KVANTNA MEHANIKA - UNIRI

Scanned ImageSVEUILIŠTE U RIJECI, ODJEL ZA FIZIKU
Preddipl. stud. Fizika Dipl. stud. Fizika i matematika Dipl. stud. Fizika i informatika Dipl. stud. Fizika i filozofija Dipl. stud. Fizika
Ak. god. 2020./2021.
17 Identine estice
17.1 Pretpostavimo da promatramo tri estice u stanjima ψa(x), ψb(x) i ψc(x) (u svakom stanju tono jedna
estica). Ako su ova stanja ortonormirana, napišite valnu funkciju za sustav ovih estica:
(a) ako estice moemo razlikovati;
(b) ako su estice identini bozoni;
(c) ako su estice identini fermioni.
17.2 Zamislite dvije neinteragirajue estice, svaka mase m, u potencijalu 1D harmonikog oscilatora. Ako je
jedna estica u osnovnom stanju, a druga u prvom pobuenom stanju, izraunajte (x1 − x2)2 pretpostavljajui:
(a) da estice moemo razlikovati;
(b) da su estice identini bozoni;
(c) da su estice identini fermioni.
17.3 Dvije estice spina 1 koje nisu identine i kojima je orbitalni angularni moment nula (nalaze se u s-stanju)
mogu imati ukupni angularni moment jednak 0, 1 ili 2. Pretpostavimo da su estice identine. Koliki je ukupni
angularni moment ovog sustava?
17.4 Promotrimo tri identine neinteragirajue estice spina 1.
(a) Pretpostavimo da je prostorni dio vektora stanja simetrian na zamjenu stanja bilo koje dvije estice. Koristite
zapis spinskog stanja u obliku |1|0|1 za esticu 1 s projekcijom spina ms = 1, esticu 2 s ms = 0 i esticu 3 s ms
= 1, itd. te napišite normalizirano spinsko stanje sustava u sljedeim sluajevima:
(i) sve tri estice su u stanju |1;
(ii) dvije estice su u stanju |1, a jedna u stanju |0;
(iii) sve tri estice su u razliitim stanjima;
(b) Pokušajte ponoviti raun pod (a), ali sada ako je prostorni dio vektora stanja antisimetrian.
17.5 Promotrimo sustav od N neinteragirajuih estica spina 1/2. estice se nalaze u potencijalu harmonikog
oscilatora krune frekvencije ω.
(a) Kolika je energija osnovnog stanja? Kolika je Fermijeva energija?
(b) Pretpostavimo da je N jako velik. Kolike su energija osnovnog stanja i Fermijeva energija?
17.6 Hundova pravila slue za izraun ukupnog angularnog momenta u atomima. Kvantni brojevi S i L odnose
se ukupni spin i ukupni orbitalni angularni moment sustava elektrona, respektivno. Kvantni broj J oznaava njihov
zbroj, ukupni angularni moment.
(a) Prvo Hundovo pravilo glasi: u skladu s Paulijevim principom, stanje s najveim ukupnim spinom S ima
najniu energiju. Što ovo pravilo predvia za pobuena stanja helijevog atoma?
(b) Drugo Hundovo pravilo glasi: za dani spin sustava, stanje s najveim ukupnim angularnim momentom L, u
suglasju s antisimetrizacijom, ima najniu energiju. Zašto ugljik nema L = 2?
(c) Tree Hundovo pravilo glasi: ako je podljuska (n, l) popunjena najviše do polovine, tada najnia energijska
razina ima J = |L − S|. Ako je podljuska popunjena više od polovine, tada najnia energijska razina ima J = L + S.
Primijenite ovo pravilo na atom bora.
(d) Upotrijebite Hundova pravila i injenicu da se kod elektronskih sustava simetrino spinsko stanje javlja uz
antisimetrinu prostornu valnu funkciju (i obrnuto), te izraunajte ukupni angularni moment u ugljikovom i
dušikovom atomu.
45. Clebsch-Gordan Coefficients, Spherical Harmonics, and d Functions
Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read − √
8/15.
Y 2 2
j1j2m1m2|j1j2JM = (−1)J−j1−j2j2j1m2m1|j2j1JMd
m,0 =
1/2,1/2 = cos
2
2 sin
2 sin
2 sin θ
d 2 2,0 =
d 2 1,0 = −
d 2 1,−1
0,0 = (3
)