SVEUČILIŠTE U RIJECI, ODJEL ZA FIZIKU

Preddipl. stud. Fizika Dipl. stud. Fizika i matematika Dipl. stud. Fizika i informatika Dipl. stud. Fizika i filozofija Dipl. stud. Fizika

Ak. god. 2020./2021.

1

KVANTNA MEHANIKA

Zadaci za vježbe 30. 4. 2021.

15 Vodikov atom

15.1 (a) Nađite r i r2 za elektron u osnovnom stanju vodikovog atoma. Odgovor napišite pomoću Bohrovog

radijusa a0.

(b) Nađite x i x2 za elektron u osnovnom stanju vodikovog atoma.

(c) Nađite x2 u stanju n = 2, l = 1, m = 1.

15.2 Kolika je vjerojatnost da ćemo elektron u osnovnom stanju vodikovog atoma naći unutar jezgre?

(a) Najprije nađite točan rezultat ako za jezgru pretpostavite da ima radijus b.

(b) Izraz koji ste dobili razvijte u red po malom broju ε 2b/a0 i pokažite da je član najnižeg reda kubičan,

odnosno, da je vjerojatnost nalaženja elektrona unutar jezgre približno jednaka P = (4/3)(b/a0)3.

(c) Rješenje pod (b) možete dobiti i ako uzmete da je valna funkcija ψ(r) za osnovno stanje konstantna po

volumenu jezgre. Tada je rezultat P = (4πb3/3)|ψ(0)|2. Provjerite da se ovaj rezultat podudara s onim kojeg ste

izračunali pod (b).

(d) Za radijus jezgre uzmite b = 10−15 m, a za Bohrov radijus a0 = 0,5 ∙ 10−10 m te izračunajte vjerojatnost P.

Grubo rečeno, broj koji ste dobili predstavlja dio vremenskog intervala koje elektron provodi unutar jezgre.

15.3 Elektron u Coulombskom polju protona nalazi se u stanju opisanom valnom funkcijom

100 211 210 2,1, 1

1( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) 10 ( )

6v v v v −

= + − +

r r r r r

(a) Kolika je prosječna vrijednost hamiltonijana u navedenom stanju?

(b) Kolika je prosječna vrijednost za L2 ?

(c) Kolika je prosječna vrijednost za Lz ?

15.4 Elektron u vodikovom atomu nalazi se u kvantnom stanju opisanom valnom funkcijom

0 1

21 1 1

1 2

3 3R Y Y + −

= +

(a) Ako mjerimo L2, izračunajte koje ćemo vrijednosti dobiti i s kojim vjerojatnostima.

(b) Koje ćemo vrijednosti dobiti i s kojim vjerojatnostima ako mjerimo Lz ?

(c) Koje ćemo vrijednosti dobiti i s kojim vjerojatnostima ako mjerimo S2?

(d) Koje ćemo vrijednosti dobiti i s kojim vjerojatnostima ako mjerimo Sz ?

(e) Neka je J = L + S ukupni angularni moment. Koje ćemo vrijednosti dobiti ako mjerimo J2 i s kojim

vjerojatnostima?

(f) Koje ćemo vrijednosti dobiti i s kojim vjerojatnostima ako mjerimo Jz ?

(g) Ako mjerimo položaj čestice, koja je gustoća vjerojatnosti da je nađemo u točki (r, θ, ϕ) ?

(h) Ako mjerimo i z-komponentu spina i udaljenost od ishodišta (te su opservable kompatibilne), koja je gustoća

vjerojatnosti da nađemo česticu sa spinom ↑ na radijusu r?

15.5 Elektron u Coulombskom polju protona nalazi se u stanju opisanom valnom funkcijom

2 2

3/2

/2( ) e r

− =

r

Napišite izraz za vjerojatnost nalaženja elektrona u osnovnom stanju vodikova atoma.

SVEUČILIŠTE U RIJECI, ODJEL ZA FIZIKU

Preddipl. stud. Fizika Dipl. stud. Fizika i matematika Dipl. stud. Fizika i informatika Dipl. stud. Fizika i filozofija Dipl. stud. Fizika

Ak. god. 2020./2021.

2

15.6 Valna funkcija u impulsnom prostoru u tri dimenzije definirana je na sljedeći način

/

3/2

1| ( ) e ( ) d

(2 )

i V

− = p r

p p r

(a) Nađite valnu funkciju u impulsnom prostoru za osnovno stanje vodikovog atoma.

(b) Provjerite je li Φ(p) normalizirana.

(c) Upotrijebite Φ(p) da izračunate p2.

(d) Kolika je prosječna vrijednost kinetičke energije u tom stanju?

40. Clebsch-Gordan coefficients 1

40. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS,

AND d FUNCTIONS

Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read −√

8/15.

Y 01

=

√

3

4πcos θ

Y 11

= −√

3

8πsin θ eiφ

Y 02

=

√

5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

)

Y 12

= −√

15

8πsin θ cos θ eiφ

Y 22

=1

4

√

15

2πsin2 θ e2iφ

Y −mℓ = (−1)mY m∗

ℓ 〈j1j2m1m2|j1j2JM〉= (−1)J−j1−j2〈j2j1m2m1|j2j1JM〉d ℓ

m,0 =

√

4π

2ℓ + 1Y m

ℓ e−imφ

djm′,m

= (−1)m−m′

djm,m′ = d

j−m,−m′ d 1

0,0 = cos θ d1/2

1/2,1/2= cos

θ

2

d1/2

1/2,−1/2= − sin

θ

2

d 11,1 =

1 + cos θ

2

d 11,0 = − sin θ√

2

d 11,−1

=1 − cos θ

2

d3/2

3/2,3/2=

1 + cos θ

2cos

θ

2

d3/2

3/2,1/2= −

√31 + cos θ

2sin

θ

2

d3/2

3/2,−1/2=

√31 − cos θ

2cos

θ

2

d3/2

3/2,−3/2= −1 − cos θ

2sin

θ

2

d3/2

1/2,1/2=

3 cos θ − 1

2cos

θ

2

d3/2

1/2,−1/2= −3 cos θ + 1

2sin

θ

2

d 22,2 =

(1 + cos θ

2

)

2

d 22,1 = −1 + cos θ

2sin θ

d 22,0 =

√6

4sin2 θ

d 22,−1

= −1 − cos θ

2sin θ

d 22,−2

=(1 − cos θ

2

)

2

d 21,1 =

1 + cos θ

2(2 cos θ − 1)

d 21,0 = −

√

3

2sin θ cos θ

d 21,−1

=1 − cos θ

2(2 cos θ + 1) d 2

0,0 =(3

2cos2 θ − 1

2

)

Figure 40.1: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 1959), also used by Condon and Shortley (TheTheory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 1953), Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 1957),and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 1974).

_

i

Ab. Zapisimo Stawye wl r") pouwocu 1 pylapy= & (A loop + 31244) =/240) + ft 12.4,-49)

Stawe Inpy je Lrucamo foubiuauya utah kl, wy #qCen(2) ¢ op lap) = wa (4 <400] + 3¢214(- (240( + [<24-4) ) H (4 | 0)

+ 3[244) ~|210> + [13 (2,4-19)a36 (4 <teol + 3¢244]- <2ol + [40 <2, 4,-4/):

(4 E1100) + BF, }244>- EB[2loy rho £512 >}- a (46 Et SE, + 2 +40E2) = 4 (36 CE + 20E4 2

Es 2a,E,=- ea

~ ed 22a, 5, (ler 5)- - fosVeC5) 7

<yilfapy. +IL fap>3a (4 Sool 3<244]~< 240) + [40 <2, 44-11) C4 ‘T°

+ 312445 - 121054 (10 12, 4-1)| |

37(4 < 1400/4 - |= ( 3< 244] ¢210]+ M10 £2,411): (3-24Posy ~ zh [2 10)+ {10 - 2h [24-1

ate de2

4 2 om LV

q (184 4 2h 20K") 40 42

IZ

A531

bs)(a) Menuo ce, ‘2ato Taya roby Peake gen pe Sfeuie hanu ctuang . Ne)

ratua, fuss lugar /¢ rec” Ka try tun, 4o Herman hanucucrincs |2Laps ( ty 70 72w= RK, Ig x, 0 y+ /e Ly")=e ° u °ar,a A LL Y, = 26 y 4

; (=44 %Ra (13 Xp 28 YP [Ex aly)

= akaiNLop

Veratuort da myeniuo at Jedluake 4 1 je ye W prare rlahhefurkuja. ool i *

(4). CAro Poko ztuo kuhu’ oko fuukupe 4 a4 AG ky

& (2)y°4 e2(2)yoctite eu SG (ee relat we a wpb rule <Q yertuye “nyecho M4 =) atusd . Sfoga /e

z é.Pa lef = (f£) = 3 rewjetuoi dq Ruyenuo m=O

Parleal’s ([Z)'s % ~perepeheett da Begewine euaqCc} Wy oy yt .Jerojehvort dleAges of [toleale Le 4 IL mM AL UX. rvodbke

fuukage ool Ss) CX = A(AtaAR Ry

ol V/ Y Q“

(al ) je jehvod 2 dlcbyauje x

A5.4-4

> pts sale fated WK Ch pal a uaeU2minuo Vy, ara Viele de je “A over fuskegs= = . 4 a Zé 4, “450, Aas, wy S

Znad, Wawe MO2D dapy sah a o6bhe

[esO25 9 “=> >toto 1 (

~Sto

AM ey Wo a" (a porye L AeGino Ovo Tauye “apcad *

PouroceMarhhl rekina 2a 7;OT, Ie -Y Tebt CQtmea Za Ckhscl; - Gordarore hocptyeule haDue DBohcy AtAu wy

“yor Paedme a Belk orwe I Me=O w=45Me =O, ~ Ji _ ‘- 2| “e p08) = Mlb un

gy fyZa freile ug y," xX ualorung alo, feMend) «2-352 (Ej = 3 yas tye 2

Stega, 4a ese Inp> 1110 euro PiedIW y« (S ( 1j=2

SOAve2

tw

5) hy -~[£ Ig=$54~4=>)

tIR(TE I-34) [Rife d meds)= El iBoaedys £)jeSymet

Uperojbuadt ola Feuyenine

Vjergatwort olay lamyeniuo 3 ti ( ‘

(f) J2 nett Aaugerala | =F amez+ 41i=z)m=4)

MNO te da 2a gz cleSiigue tuo 4/2, » yerejahoicl 4.

AS4-2

IX |e

oo |

gactanGOiteje pry clo 4 Joujerry Ratu Vpenoetust ole wacko Cote no wyerre a tonG ?) Aa HpIhouy t, a diwga 4urtecg vere ohueitt da, womeum Cerher,wa media FOP na mrivouy d,

(h ¢ .) Gute Mercjehvon da uadleuc che na pluou T ne iyTe“at le 2 zm5 Re, iy")

Gutta pergaetis,p’ da uadenug Cohar ro (pron T mg aclur )dakle

|bee 0b21vQ ua byt jt

, > 72 2B Ra Cyr = 2 ey,

"Ey

45.4-3