SVEUČILIŠTE U RIJECI, ODJEL ZA FIZIKU

Diplomski studij Fizika Ak. god. 2019./2020.

NAPREDNA KVANTNA MEHANIKA

Zadaci za vježbe 02.12.2019.

12 Operator gustoće

12.1 Nađite operator gustoće za sustav čestica koje opisuje stanje spina 1/2 u sljedećim slučajevima:

(a) Potpuno polarizirani snop kod kojeg sve čestice imaju spin Sz + ;

(b) Potpuno polarizirani snop kod kojeg sve čestice imaju spin Sx ± ;

(c) Nepolarizirani snop;

(d) Djelomično polarizirani snop kod kojeg je 75% čestica ima spin Sz + , a 25% čestica ima spin Sx + .

12.2 (a) Pokažite da je vremensko odvijanje operatora gustoće u Schrödingerovoj slici dano jednadžbom

†

0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )t U t t t U t t = .

(b) Pretpostavimo da je u t = 0 ansambl čist. Pokažite da ansambl ne može tijekom vremenskog odvijanja postati

mješoviti ako je odvijanje opisano Schrödingerovom jednadžbom.

12.3 Neka je ρ operator gustoće sustava. Pokažite da vrijedi:

(a) Operatori ρ i 1 – ρ su pozitivno definitni;

(b) Trag tr(ρ2) ≤ 1. Ukoliko vrijedi jednakost, tada je tr(ρ2) = 1 nužan i dovoljan uvjet da ansambl bude čist.

12.4 (a) Pokažite da je matrica gustoće za sustav spina 1/2 u standardnoj bazi dana izrazom

( )1

12

= + v σ ,

gdje je v = ([σx], [σy], [σz]).

(b) Razmotrite matricu gustoće za česticu spina 1/2 i magnetskog momenta μ, gdje je hamiltonijan dan izrazom:

1

2H g= − σ B ,

gdje je g konstanta. Upotrijebite jednadžbu gibanja za operator gustoće i nađite dinamiku za vektor polarizacije v

= [σ]. Usporedite dobivene rezultate s klasičnom jednadžbom gibanja dipola u magnetskom polju.

12.5 Neka je f(ρ) operator koji je funkcija operatora gustoće. Pokažite da je

( ) 0d

fdt

= .

12.6 Dokažite da je

( )( ) ( ) ( )tr , tr , 0f H f H = =

te da iz ove jednakosti slijedi

( )

0f

t

=

.

Nap/saw MQau'w 44 Ito/67 {a 6 ogagm

5: _ Z- ?KK €44 fa:

‘Nq PM“) Am (9 dwa‘ qj'lipwm waxisvom (M [Mo (“0‘7 "PKW—to‘t‘fi”)

4(0--O_; .L o 4 -

46’1

{I ‘LQJQ IQ, EIMKIW') g: QM“ flluolullaou'oam

:0 0 .Q0 xf: (I 040 $15,

O

Mo‘lg 8-:-O wwwm,(fiwfi4w 2971:; ‘Q S owl-w: mmemo) M wflom.

"i3 2:2 {Comm ‘cumqu—Q é-AJM’W il'lcmip w

(W_ “Maw7m“ -—:,—————-—~

256936315944 ‘aq'zL [(40qu (Me dbl/Lu,” ,wbIM« m (“Maw H. ‘Edq mVofietw vuqeow “Zoraiw 1613’»;qu fiesn.‘

[H] = tr(?"’) ‘ Z (/9):gch" “22in?

A

3'932‘ 'Pccdsflvtdz fiLwWfiQ‘)