NAJČEŠĆE KORIŠĆENE BAZISNE FUNKCIJE U …theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/sites/default/files/images... · 1 1. UVOD Kvantna mehanika ostaje eksperimentalno najproverenija

UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

NAJČEŠĆE KORIŠĆENE BAZISNE

FUNKCIJE U IMPULSNOM PROSTORU

M A S T E R R A D

Mentor:

Dr Ivan D. Mančev

Student:

Marko J. Rančić

Niš, 2012. godina

SADRŽAJ 1. Uvod 1

2. Furijeova transformacija u kvantnoj mehanici 3

3. Slejterove orbitale u impulsnoj reprezentaciji 5

4. Gausove orbitale u impulsnoj reprezentaciji 20

5. Atom vodonika u impulsnoj reprezentaciji 25

6. Kulonovi Sturmiani u impulsnoj reprezentaciji 37

7. Dodatak 39

8. Zaključak 41

Literatura 42

1

1. UVOD

Kvantna mehanika ostaje eksperimentalno najproverenija moderna teorija fizike,

sa mnogobrojnim upotrebama u fizičkim naukama i tehnici. Širok dijapazon njenih

primena na različite konkretne probleme, njena uspešnost u objašnjavanju prirodnih

fenomena i matematička elegantnost dobijenih rešenja nesumnjivo su je postavile na

pijedestal kraljice ljudskog saznanja. Ipak, interpretacija dobijenih rešenja, a još više

njihovo razumevanje, kao i razumevanje osnovnih postavki ove grane fizike, zaokupljali

su maštu istraživača poslednjih gotovo devedeset godina. Ovaj nesumnjivi jaz između

rešavanja konkretnih problema i interpretacije samih implikacija dobijenog rešenja

možda se najbolje može predstaviti stihom čuvenog naučnika Erika Hikela:

Ervin može svojim psi

Svaki problem rešiti

Ali niko ne zna kasti

Šta funkcija sama znači.

U uskoj klasi problema za koje kvantna mehanika može pružiti analitička rešenja,

sigurno je da je najdalekosežnije posledice za fiziku imalo rešavanje problema atoma

vodonika. Rešavanjem znamenite Šredingerove jednačine za atom vodonika pa daljom

transformacijom dobijenih rešenja (računanjem očekivanih vrednosti), pokazalo se da

Borov radijus ne predstavlja definitivno rastojanje protona i elektrona u osnovnom stanju

atoma vodonika, već najverovatnije rastojanje na kome će se sistem proton-elektron

naći.

Dalji pokušaji primene kvantne mehanike na složenije atomske i molekularne

sisteme apsolutno su neostvarivi bez uvođenja daljih aproksimacija. Jedna od sigurno

najrasprostranjenijih aproksimacija jeste linearna kombinacija atomskih orbitala

(LKAO), čiji je jedan od idejnih tvoraca upravo gorepomenuti Erik Hikel.

Analitička mehanika u osnovi poznaje tri formalizma. To su: Njutnov, Lagranžev

i Hamiltonov formalizam. U zavisnosti od matematičke forme datog problema za

dobijanje njegovih jednačina kretanja, koristi se jedan od ova tri formalizma. Aktivne

promenljive u Lagranževom formalizmu su generalisane koordinate, generalisane brzine i

vreme dok su u Hamiltonovom formalizmu generalisane koordinate i impulsi. U kvantnoj

mehanici takođe se u zavisnosti od matematičkih potreba mogu koristiti različite

promenljive (to se pre svega odnosi na impuls i koordinate). Efikasni mehanizmi koji

nam omogućavaju da načinimo promenu koordinate impuls i obratno nazivaju se

Furijeova i inverzna Furijeova transformacija respektivno.

U ovom radu biće izvršena upravo jedna takva transformacija nad Slejterovim

orbitalama, Gausovim orbitalama, vodoničnim talasnim funkcijama i Kulonovim

Sturmianima. Navedene funkcije su jedne od najčešće korišćenih bazisnih funkcija u

atomskoj fizici i mnogim drugim oblastima fizike.

2

U ovom radu rezultati se ostvaruju sa dvojakim ciljem. Primarni cilj je pregledno

predstaviti navedene funkcije u impulsnoj reprezentaciji. Sekundarni cilj je omogućiti

studentima koji imaju elementarno poznavanje kvantne mehanike i matematičke fizike da

uz pomoć ovog rada nauče kako da vrše nešto komplikovanija računanja, koristeći

specijalne funkcije, a da pritom ne izlaze previše iz okvira svojih kurseva na master

studijama teorijske fizike ili ekvivalentnim studijama.

U ovom radu korišćen je, iz razloga matematičke pogodnosti, atomski sistem

jedinica. U ovom sistemu jedinica Kulonova konstanta, elementarno naelektrisanje

elektrona, redukovana Plankova konstanta i masa elektrona jednake su jedinici:

0

11

4ee m

.

3

2. FURIJEOVA TRANSFORMACIJA U KVANTNOJ MEHANICI

Talasna funkcija u impulsnom prostoru ( )p može se definisati kao Furijeova

(Fourier) transformacija talasne funkcije ( )r u koordinatnom prostoru relacijom:

3/2

1( ) ( ) .

(2 )

ip rp e r dr

(2.1)

Talasna funkcija u koordinatnom prostoru ( )r može se dobiti iz talasne

funkcije ( )p inverznom Furijeovom transformacijom:

3/2

1( ) ( ) .

(2 )

ip rr e p dp

(2.2)

Ukoliko je talasna funkcija ( )r normirana na jedinicu, onda koristeći (2.2)

imamo:

3

* ( ) *1( ) ( ) ' ( ') ( ) 1

(2 )

i p p rr r r dr dp dp e pd p

. (2.3)

Korišćenjem definicije Dirakove delta funkcije:

( )

3

1( )

(2 )

i p p rdre p p

, (2.3a)

vidi se da je:

*' ( ') ( ') ( ) 1p p pd p pd p ,

odnosno:

2( )| | 1p dp . (2.4)

Ovo nam govori da je talasna funkcija u impulsnom prostoru ( )p takođe normirana na

jedinicu.

Na osnovu definicije Dirakove delta funkcije možemo da uvedemo razne varijante

Furijeove transformacije. Navedimo sada neke od često korišćenih varijanti:

3/2

1( ) ( )

(2 )

ip rF p dre r

, (2.5a)

4

3/2

1( ) ( )

(2 )

ip rr dpe F p

, (2.5b)

3/2

1( ) ( )

(2 )

ip rf p dre r

, (2.6a)

3/2

1( ) ( )

(2 )

ip rr dpe f p

, (2.6b)

i r

3

p1( ) (

()

2 )t p r e dr

, (2.7a)

-ip r( ) ( )r t p e dp , (2.7b)

ip r( ) ( )p r e dr , (2.8a)

3

-ip r

( )

1( ) ( )

2r p e dp

, (2.8b)

3

-ip r1( ) ( )

2( )p r e dr

, (2.9a)

ip r( ) ( )r p e dp . (2.9b)

Naravno svi ovi oblici u suštini su ekvivalentni. Ispravnost bilo koje varijante

lako se opravdava korišćenjem relacije (2.3a).

5

3. SLEJTEROVE ORBITALE U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI

Uopšteno o Slejterovim orbitalama

Slejterove orbitale nose ime po Džonu C. Slejteru (John C. Slater) koji ih je prvi

definisao 1930. u skladu sa eksperimentalnim rezultatima. Radijalni deo Slejterovih

orbitala definiše se na sledeći način [13]:

1( ) n r

nR r Nr e . (3.1)

Oznake u ovoj formuli predstavljaju:

- N konstanta normalizacije;

- n glavni kvantni broj;

- r rastojanje između aktivnog elektrona i atomskog jezgra;

- je konstanta povezana sa efektivnim naelektrisanjem jezgra;

Konstanta normalizacije računa se iz uslova:

2 2 2 2

0 0

( ) 1rn

nR r dr N r e dr

,

odnosno:

2

2 2

0

1

rn

N

r e dr

.

Uopšteno važi sledeća jednakost:

10

!bx

a

a ae dxx

b

,

odnosno kada se primeni na naš slučaj :

2a n ,

2b ,

6

dobija se:

2 1(2 )

(2 )!

n

Nn

=(2 )

(2 )(2 )!

n

n

. (3.2)

Ugaoni deo Slejterovih orbitala predstavljen je sfernim harmonicima:

(2 1) ( )!( , ) (cos )

4 ( )!

m im

lm l

l l mY P e

l m

, (3.2a)

gde (cos )m

lP predstavlja asocirane Ležandrove polinome definisane sa [14]:

| |

| | 2 | |/2 2

| |( ) (1 ) ( 1

2 !

1)

l

l

mm m l

l ml

dP x x x

dxl

.

Nacrtajmo sada nekoliko Slejterovih orbitala sa parametrom 1 koji odgovara slučaju

atoma vodonika. Može se uočiti da svaka funkcija ima maksimum u 0( 1)r n a :

Grafik 1. Radijalni deo Slejterovih orbitala u koordinatnoj reprezentaciji, =1,n=1

7

Grafik 2 . Radijalni deo Slejterovih orbitala u koordinatnoj reprezentaciji, =1,n=2

Grafik 3. Radijalni deo Slejterovih orbitala u koordinatnoj reprezentaciji, =1,n=5

Slejterove orbitale u konkretnim problemima

Stanje elektrona u višeelektronskom atomu može se opisati preko Slejterovih

orbitala. Tako, na primer, talasna funkcija određenih stanja neona može se predstaviti u

bazisu Slejterovih atomskih orbitala [7]:

1

(( ) )N

i i

i

u r c r

ili konkretno:

1 2 3 4 5 61 0.04899 0.00058 0.000640.937 0.00551 0.017 1999su ,

1 22 3 4 5 60.00635 0.18620 0.66899 0.30910 0.130.2 09 8713 3su ,

7 82 9 100.53338 0.30.2179 2933 0.0189 72pu ,

8

gde su 1 2 2, ,s s pu u u talasne funkcije 1 ,2 ,2s s p stanja respektivno.

Veličine i predstavljaju radijalni deo Slejterovih orbitala pomnožen odgovarajućim

sfernim harmonikom sa različitim vrednostima parametra i konstantom N

izračunatom prema (3.2):

9.48486

1 1 00 ( , )rN e Y ,

15.5659

2 2 00 ( , )rN e Y ,

1.96184

3 3 00 ( , )rN re Y ,

2.8423

4 4 00 ( , )rN re Y ,

4.8253

5 5 00 ( , )rN re Y ,

7.79242

6 6 00 ( , )rN re Y ,

1.45208

7 7 10 ( , )rN re Y ,

2.38165

8 8 10 ( , )rN re Y ,

4.48489

9 9 10 ( , )rN re Y ,

9.13464

10 10 10 ( , )rN re Y .

U poslednje vreme učestala je primena Slejterovih orbitala za opisivanje sudarnih

procesa kao što su jonizacija i elektronski zahvat iz molekula [19-22]. Učestala je i

primena u medicini gde se vezano stanje aktivnog (posmatranog) elektrona određenog

molekula (recimo DNK ili RNK, videti primere u referencama [19,20]) opisuje

korišćenjem bazisa Slejterovih orbitala ,

STO

h j centriranih na svaki nukleus. Iz toga sledi da

u molekularnom sistemu reference čiji početak je lociran u centru mase molekula i sa 'z

osom duž molekularne ose možemo da pišemo:

'

, ,

,

( ') ( )STO

h j h j hMO

h j

r x ,

gde je h indeks koji označava nukleus molekula na koji je STO centrirana, dok j

predstavlja kolektivnu oznaku za kvantne brojeve nlm .

9

Vektori '

hx i 'r označavaju vektore položaja elektrona u odnosu na centar h i

centar mase molekula respektivno. Smena koordinata sa laboratorijskog na molekularni

sistem data je relacijom: '

hh xx , gde je matrica rotacije. Vektori '

hx i hx povezani

su međusobno Ojlerovim uglovima.

Slejterove orbitale u impulsnoj reprezentaciji

Razmatraćemo slučaj Slejterovih orbitala kada je njihov ugaoni deo dat sfernim

harmonicima. Ukupna talasna funkcija biće prosto proizvod radijalnog dela Slejterovih

orbitala i sfernih harmonika:

) ( , , )( ( ) ( , )nlm nlm n lmr r R r Y . (3.3)

Furijeovu transformaciju ovakvih orbitala definisaćemo na sledeći način (2.8a):

2

2

0 0 0

( ) ( , , ) ( ) sin( )ip r

nlm nlm p p nlmp p e r r drd d

. (3.4)

Iz razloga matematičke pogodnosti nije odgovarajuće koristiti Slejterove orbitale.

Umesto njih potražićemo Furijeovu transformaciju pomoćnih funkcija:

' ( , , ) ( , , )r

nlm nlm

er r

r

. (3.5)

Pomoćna funkcija se diferenciranjem d

d pa traženjem

0lim

svodi na izraze za

Slajterove orbitale '

0( , , ) ( )l , ,im nlm nlm

d

dr r

. (3.5a)

Potražimo sada Furijeovu transformaciju izraza (3.4) koristeći funkciju ' ( , , )nlm r : 2

' 2

0 0 0

ˆ( ) ( ) ( ) sin( )r

ip r

nlm n lm

ep e R r Y r r drd d

r

. (3.5b).

U cilju oslobađanja od skalarnog proizvoda u eksponentu učinićemo sledeću

transformaciju [8]:

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

*

0

ˆ ˆ( ) ( ) (4 )l

lp r

l l m l m

l m l

i i j pr p Y re Y

. (3.6)

10

Izraz (3.5b) sada postaje:

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

2

' * 2

00 0 0

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 ) sin( )lr

l

nlm l l m l m n lm

l m l

ep i j pr Y p Y r R r Y r r drd d

r

.

gde su lj sferične Beselove funkcije definisane sa [3]:

2 1/2

11/2 2

0

( 1)( ) ( )

2 2 ! ( 1 1/ 2)

mm l

l l

m

j x J x xx x m m l

2 1/2 2 1/2

1 12 2

0 0

( 1) ( 1)

2 ! ( 3 / 2) 2 !( 1/ 2)!

m mm l m l

m m

x xx m m l x m m l

. (3.7)

Integracijom po uglovima i imajući u vidu da su sferni harmonici ortonormirani :

1 11 1

*

0 0

2

( ˆ ˆ)sin() ( ) l l m ml m lmY r r d dY

,

dobijamo sledeći izraz:

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

' 2

0 0

ˆ( ) 4 ( ) ( ) ( ) .l r

l

nlm l n l m l l m m

l m l

ep i j pr R r r drY p

r

(3.8)

Predstavljanjem radijalnog dela Slejterovih orbitala po definicji (3.1) dobijamo:

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

' 1 2

0 0

ˆ( ) 4 ( ) ( ) .l r

l n r

nlm l l m l l m m

l m l

ep i N j pr r e r drY p

r

Ovde su 1l l ,

1m m Kronekerove delte definisane sa:

1, ako je

0, ako je .ij

i j

i j

Kronekerove delte, a samim tim i naša talasna funkcija, biće jednake nuli u

svakom slučaju izuzev u slučaju kada je 1l l i 1m m . Kako nam je slučaj kada je

talasna funkcija jednaka nuli trivijalan, razmatraćemo samo slučaj 1l l i 1m m .

Ovo nam je inače jako pogodno jer nam omogućava da inače beskonačnu sumu

ograničimo samo na jedan član:

11

' 1

0

ˆ( ) 4 ( ) ( )r

l r n

nlm l lm

ep i N j pr e r drY p

r

. (3.9)

Integral u formuli (3.9) nije jednostavno rešiti. Da bismo mogli da dodjemo do

upotrebljivog rešenja, moramo primeniti još jednu transformaciju [1]:

1 1

1( ) ( 1,2 2,2 )

(3 / 2) 2

l

ipr

l

l

prj pr e F l l ipr

. (3.10)

Ovde je (3 / 2)l Počamerov (Pochhammer) simbol definisan sa [1]:

( )( ) ( 1)( 2)...(

)1

()nx x x

xx

nn

xx

. (3.11)

Sa 1 1( 1,2 ,2 )F l l l ipr obeležena je konfluentna hipergeometrijska funkcija (Kumerova

funkcija) definisana sa [17]:

1 1

0

( )( , , )

( ) !

n

n

n n

a zF a b z

b n

. (3.12a)

Uvrštavanjem izraza za sferične Beselove funkcije (3.10) u jednakost (3.9) dobijamo

sledeći integral:

1 1

' ( )

0

4 ˆ( ) ( )(3 /

( 1,2 2,2)

22

)l l

r ip n l

nlm lml

l

i pp F l lN Y p e r dipr r

.

Rešenje ovakvog integrala ima uopšteno sledeći oblik [3]:

1

0

2 11 1 (( , , ) ( ,) , , )st b b kb s F a be t F a c kt dt c

s

,

gde je 2 1F Gausova hipergeometrijska funkcija definisana sa [17]:

2 1

0

( ) ( )( , , , )

( ) !

n

n n

n n

a b zF a b c z

c n

, (3.12b)

12

odnosno kada to primenimo na naš konkretan slučaj:

'

2 11

( )! 2 ˆ( ) 4 ( 1, 1,2 2, ) ( )2 (3 / 2) ( )

l l

nlm lml n l

l

n l i p ipp N F n l l l Y p

ipip

. (3.13)

Kako je promenljiva u Gausovoj hipergeometrijskoj funkcji kompleksan broj

moramo transformisati funkciju dalje.

Posmatrajmo sledeću formulu [3]:

2

2 1 2 1 2

1 1( , ,2 , ) (1 ) ( , , , )

2 2 2 2 (2 )

az a a zF a b b z F b

z

, (3.14)

odnosno, kada (3.14) primenimo na (3.13) dobijamo:

2

'

2 11 2

( )! 1 2 3 ˆ( ) 4 ( , , , ) ( )2 2 22 (3 / 2) ( ) ( )

l l

nlm lml n l

l

n l i p n l n l pp N F l Y p

.

(3.15)

Ovo već može predstavljati Slejterove orbitale u impulsnoj reprezentaciji. Ipak

transformisaćemo ovu formulu dalje kako bismo ocenili validnost našeg rezultata.

Posmatrajmo sledeću formulu [1]:

2 1 2 1

1 1 1( , , , ) (1 ) (2 ,2 2 1, , )

2 2 1

a zF a a c z z F a c a c

z

. (3.16)

Kako je 1/ 2b a u (3.15) možemo tu formulu transformisati prema formuli (3.16) .

Dobija se sledeći rezultat:

' 1

1 1

2 2 2

2 2

2 1

( )! 1( ) 4 ( )

2 (3 / 2) ( )( ( ) )

1( )3 ˆ1, 1 , , ( ),

2 2

l ln l

nlm l n l n l

l

lm

n l i pp N

p

pF n l l n l Y p

13

odnosno nakon preuređivanja dobija se:

'

1

2 2 2

2 2

2 1

( )! 1( ) 4

2 (3 / 2)( ( ) )

1( )3 ˆ1, 1 , , ( ).

2 2

l l

nlm l n l

l

lm

n lp N i p

p

pF n l l n l Y p

(3.17)

Veza između Gegenbauerovih polinoma i Gausove hipergeometrijske funkcije

data je sledećom formulom [1]:

2 1

( 1) (2 ) 1 1, 2 , ,

( 2 )( )

2)

2(

zvC z F

. (3.18)

Gegenbauerov polinom ( )nC z definisan je na sledeći način [17]:

20

1( )

(1 2 ) n

C x txt t

.

Veza Gegenbauerovih polinoma i Gausovih hipergeometrijskih funkcija (3.18)

može se primeniti i u našem slučaju (3.17) . Nakon izmene prva dva indeksa u Gausovoj

hipergeometrijskoj funkciji i primene formule (3.18) na (3.17) dobija se sledeća

jednakost:

'

1

2 2 2

1

12 2

( )!( ) 4

2 (3 / 2)( ( ) )

( ) (2 2) ˆ( ) ( ).( 1) ( )

l l

nlm l n l

l

l

n l lm

n l i pp N

p

n l lC Y p

n l p

Imajući u vidu da je 2

(2 1)!(3 / 2)

2 !l l

l

l

i da je

(2 )(2 )

(2 )!

nNn

i nakon neznatnog

sređivanja (kraćenja faktorjela i stepena broja 2) dobija se sledeći izraz:

1

' 1211 2 2

2 2 2

!( 1)! 2 ˆ( ) 4 (2 ) ( ) ( ).(2 )! ( )

( ( ) )

l l ln

l

nlm n l lmn l

l n l i pp C Y p

n pp

(3.20)

14

Setimo se sada da smo tokom celokupnog izvođenja koristili pomoćnu funkciju

(3.5) koja se transformacijom (3.5a) svodi na izraz za Slejterove orbitale. Učinimo

upravo navedene matematičke transformacije sa (3.20) :

Na kraju dobijamo rezultat koji je skoro u potpunosti identičan sa rezultatom [12]:

1

122 2 2

2 2 2

!( )! 2 ˆ( ) 4 (2 ) ( ) ( ).(2 )!

( )

l l ln

l

nlm n l lmn l

l n l i pp C Y p

n pp

(3.21)

Faktor 4 posledica je načina na koji smo definisali Furijeovu transformaciju (2.8b) i

inverznu Furijeovu transformaciju (2.8a).

Deljenjem našeg izraza sa 3

1

(2 ) (što je razlika između načina na koji smo mi računali i

definicija (2.7)) dobijamo sledeći izraz:

1

122 2 2 2

2 2 2

1 !( )! 2 ˆ( , , ) (2 ) ( ) ( )2 (2 )!

( )

l l ln

l

nlm p p n l lmn l

l n l i pp C Y p

n pp

, (3.22)

što je tačno izraz za Slejterove orbitale u impulsnoj reprezentaciji dobijen kod autora u

referenci [12].

Grafičko predstavljanje dobijenih rezultata

Predstavićemo sada grafički dobijene rezultate. Ono što se prvo može uočiti jeste

da radijalni deo Slejterovih orbitala u koordinatnoj reprezentaciji ne zavisi od kvantnog

broja l , dok u impulsnoj reprezentaciji to nije slučaj.

Grafik 4.Modul Radijalnog dela Slejterovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji =1,

n=1, l=0

15

Grafik 5. Modul radijalnog dela Slejterovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji =1,

n=2, l=0


n=2, l=1


n=4, l=2

16


n=5, l=0

Slejterova orbitala u impulsnoj reprezentaciji sa fiksiranom vrednošću ugla ϕp

Grafik 9.Zavisnost modula Slejterovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji od p i sa

fiksiranom vrednošću azimutalnog ugla =0, n=1 ,l=0, m=0,

Primećujemo da talasna funkcija ima najveću vrednost u 0p za sve vrednosti

polarnog ugla.

17

Grafik 10. Zavisnost modula Slejterovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji od p i sa

fiksiranom vrednošću azimutalnog ugla 0 , n=2 , l=1, m=1


fiksiranom vrednošću azimutalnog ugla 0 , n=4, l=3, m=-1

18


fiksiranom vrednošću azimutalnog ugla 3

, n=4 ,l=3, m=0

Slejterova orbitala u impulsnoj reprezentaciji sa fiksiranom vrednošću polarnog ugla θp


fiksiranom vrednošću polarnog ugla 3

, n=1, l=0, m=0

19


fiksiranom vrednošću polarnog ugla 0, n=2 ,l=1, m=0

20

4. GAUSOVE ORBITALE U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI

Uopšteno o Gausovim orbitalama

Gausove orbitale takođe se koriste kao bazisne funkcije u raznim oblastima fizike

i date su sa:

21 ˆ( , , ) ( )n r

nlm lmr Ar e Y r . (4.1)

Norma Gausovih Orbitala

Da bismo odredili normu Gausovih orbital, potrebno je rešiti sledeći integral:

22

2 2 2 2 2 *

0 0 0

ˆ ˆsin( ) ( ) ( ) 1n r

lm lmA r e r Y r Y r drd d

.

Uvođenjem smene:

22 r t , integracijom po ugaonim promenljivima i imajući u vidu da je Gama funkcija

definisana sa

1

0( ) t zz e t dt

, (4.2)

dobijamo konačan izraz za normu Gausovih orbitala:

1

22(2 ).

1( )

2

n

A

n

(4.3)

Gausove orbitale u impulsnoj reprezentaciji

Furijeovu transformaciju Gausovih orbitala definisaćemo na sledeći način (2.6a):

2

2

3/2

0 0 0

1 ˆ( ) ( ) sin( ) ( )(2 )

ip r

nlm n lmp e R r r Y r drd d

. (4.4)

U eksponentu (4.4) učinićemo transformaciju (3.6):

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

2

* 2

00 0 0

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin(4 )l

l

nlm l l m l m n lm

l m l

p i j pr Y r Y p R r Y r r drd d

. (4.5)

21

Integracijom (4.5) po uglovima, imajući u vidu da su sferni harmonici ortonormirani

dobijamo sledeći izraz i da je radijalni deo Gausovih orbitala dat sa (4.1) :

1

21

1 1 1 1 1

1 1 1

1 2

0 0

ˆ( ) 4 ( ) ( )l

l r n

nlm l l m l l m m

l m l

p i j pr e r r drY p

, (4.6)

gde su 1 1,l l m m Kronekerove delte.

Dobijeni izraz svodi se na sledeći:

2 1 2

0

ˆ( ) 4 ( ) ( )l r n

nlm lm lp i AY p j pr e r r dr

.

(4.7)

Uopšteno integral koji sadrži sferičnu Beselovu funkciju, kvadrat promenljive u

eksponentu i promenljivu na stepen dat je sa [2]:

2

22 4

0

21

2

2 !)

(2 )(

42

nx

n

n

n

ndx x e x L ej

x

. (4.8)

Kada (4.8) primenimo na (4.7) dobijamo:

2

1/2 21 1/2 4

13/2

ˆ( ) 4 2 ( 1)! ( ) ( )4(2 )

pll n l l

nlm n l lmn

p pp Ai n l L e Y p

. (4.9)

Ovde su:

- ,n l : Glavni i orbitalni kvantni broj respektivno,

- : Konstanta koja zavisi od samih priroda pojedinačnih atoma u molekulu,

- ( )nL x : Asocirani Lagerov polinom definisan sa:

( ) .!

x nx n

n n

x e dL x e x

n dx

22


Grafik 15. Radijalni deo Gausovih orbitala u koordinatnoj reprezentaciji n=1, =1

Grafik 16. Radijalni deo Gausovih orbitala u koordinatnoj reprezentaciji n=3, =1

Grafik 17. Radijalni deo Gausovih orbital u koordinatnoj reprezentaciji n=2, =1

23

Grafik 18. Modul radijalnog dela Gausovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji n=1, l=0,

=1

Gausove orbitale u impulsnoj reprezentaciji sa fiksiranom vrednošću ugla ϕp

Grafik 19.Modul Gausovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji u zavisnosti od vrednosti p

i sa fiksiranom vrednošću = 3

, n=1, l=0, m=0,

Primećujemo jaku lokalizaciju gustine verovatnoće u tački 1p za sve vrednosti

polarnog ugla.

24

Grafik 20. Modul Gausovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji u zavisnosti od vrednosti

p i sa fiksiranom vrednošću = 3

, n=5, l=4, m=3

Kako je kvadrat modula talasne funkcije u stvari gustina verovatnoće, u ovom slučaju

postojaće dve ekvivalentne lokalizacije gustine verovatnoće.

Grafik 21. Modul Gausovih orbitala u impulsnoj reprezentaciji u zavisnosti od vrednosti

p i sa fiksiranom vrednošću = 3

, n=5, l=4, m=0

25

5. ATOM VODONIKA U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI

Uopšteno o atomu vodonika u kvantnoj mehanici

Rešenje Šredingerove jednačine za atom vodonika predstavlja jedan od

najvažnijih rezultata kvantne mehanike. Šredingerova jednačina za atom vodonika glasi

(u atomskom sistemu jedinica):

2

.( , , ) ) ( , , ) ( , ,2

)(Coul

pV E . (5.1)

Rešenje ove jednačine je talasna funkcija sledećeg oblika [8]:

3

/2 2 1

1

0

2 ( 1)!( , , ) ( ) ( , )

2 ( )!

l l

nlm n l lm

n le L Y

na n n l

.

Ekvivalentno rešenje je [8]:

1/2

3

/2

1 1

1 2 ( )!( , , ) ( 1 ,2 2, )

(2 1)! 2 ( 1)!

ln le F l n l

l n n n l

,( )lmY .

Ovde su :

2r

n ,

a energije atomskih nivoa date su sa:

2

13.6 eVnE

n

,

odnosno u atomskom sistemu jedinica koji koristimo sa:

2

1nE

n .

Za sam metod rešavanja Šredingerove jednačine i određivanja energijskih nivoa atoma

vodonika mogu se konsultovati knjige [5,7,8,11,18].

26

Radijalni delovi vodoničnih talasnih funkcija predstavljeni grafički

Grafik 22. Radijalni deo vodonične talasne funkcije u koordinatnoj reprezentaciji n=1,

l=0


l=0


l=0

27


l=1


l=1


l=2

28

Atom Vodonika u impulsnoj reprezentaciji

Šredingerova jednačina za atom vodonika glasi:

.

2

( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )2

nlm Coul nlm nlmV Ep

.

Množenjem Šredingerove jednačine sa 3/2

1

(2 )

prie

pa kasnijom integracijom po celom

prostoru dobija se sledeća jednakost [7]:

2

2

0 0 0

23/2

.) ( ) ) ( , , ) si(2 ) ( ( )( n2

ip r

nlm nlmCoul

pE p e r drd dV

. (5.2)

Postoje razni načini da se ovaj integral reši. Istorijski, prvi su ovo učinili Pauling i

Podolski 1929. godine, a iza njih Fok (Fock) koristeći 3 4R R preslikavanje. Prvi način

rešavanja detaljnije je obrazložen u [9], a drugi način rešavanja u literaturi [4]. Ipak svi

autori dobijaju ekvivalentno rešenje:

2 2

1/2 2 1

12 2 1 2 2

2 ( 1)! 1 ˆ( ) ( ) ( ) ( )( )! (1 ) 1

l ll

nlm n l lml

n l n p n pp n C Y p

n l p n n p

. (5.3)

Pokušaćemo sada da reprodukujemo ovo rešenje koristeći znatno drugačiji metod

za rešavanje ovog trostrukog integrala.

Atom vodonika u impulsnoj reprezentaciji korišćenjem Apelovog reda za rešavanje

radijalnog integrala

Rešenje Šredingerove jednačine za atom vodonika koje ćemo koristiti glasi [8]:

1/2

3

/2

1 1

1 2 ( )!( , , ) ( 1 ,2 2, )

(2 1)! 2 ( 1)!

l

nlm

n le F l n l

l n n n l

,( )lmY .

Uzevši u obzir da je : 2r

n

i pisanjem jednačine koristeći r kao varijablu:

1/2

3

/

1 1

1 2 ( )! 2( , , ) (2 / ) ( 1 ,2 2, )

(2 1)! 2 ( 1)!

r n l

nlm

n l rr e r n F l n l

l n n n l n

ˆ( )lmY r .

29

Zamenom poslednje jednačine u (5.2) dobija se:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

1/2

32

/

1 1

0 0 0

2

1 1 2 ( )! 2(2 / ) ( 1 ,2 2, )

(2 1)! 2 ( 1)!

ˆsin( ) ( ) .

r n l

ip r

lm

n l re r n F l n l

r l n n n l n

e r Y r drd d

(5.4)

Osnovni problem pri izračunavanju ovog integrala predstavlja vektorska priroda

p i r koje se nalaze u eksponentu, kao i njihov skalarni proizvod. Da bismo uspešno

izračunali ovaj integral, moramo na neki način transformisati ovaj član.

Kada na (5.4) primenimo formulu (3.6) dobija se:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

1/232

/

1 1

0 0 0

* 2

0

1 1 2 ( )! 2(2 / ) ( 1 ,2 2, )

(2 1)! 2 ( 1)!

ˆ ˆ ˆ[ ( ) ( ) ( )]sin ( )4 ( ) .

r n l

ll

l l m l m lm

l m l

n l re r n F l n l

r l n n n l n

i j pr Y r Y p r Y r drd d

(5.5)

U izrazu (5.5) prvo ćemo izvršiti integraciju po uglovima. Kako je ortonormiranost

sfernih harmonika data sa:

1 11 1

*

0 0

2

( ˆ ˆ)sin() ( ) l l m ml m lmY r r d dY

,

jednačina (5.5) postaje:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

1/23

/

1 1

0

2

0

1 1 2 ( )! 2(2 / ) ( 1 ,2 2, )

(2 1)! 2 ( 1)!

ˆ[ ( ) ( )] .4

r n l

ll

l l m l l m m

l m l

n l re r n F l n l

r l n n n l n

i j pr Y p r dr

30

Ovde su 1 1,l l m m Kronekerove delte. Kronekerova delta biće različita od nule samo za

one članove za koje je 1l l i 1m m , tako da ćemo mi zadržati samo taj član u našem

razvoju. Zbog dalje pogodnosti u pisanju obeležimo sa: 1/2

31 2 ( )!

(2 1)! 2 ( 1)!

n lN

l n n n l

.

Šredingerova jednačina sada postaje:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

/ 1

1 1

0

2 2 ˆ( 1 ,2 2 ) (4 , ) ( )

l

l r n l

l lm

ri N e r F l n l j pr drY p

n n

. (5.6)

Nakon primene formule koja povezuje sferične Beselove funkcije i konfluentne

hipergeometrijske funkcije (3.10) na izraz (5.6) dobijamo:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

/ 2 1

1 1 1

0

1

2 2 ˆ( 1 ,21

4 ( 1,2 ,2 )(3

2, ) ( )/

.2) 2

l

l r n ipr

l

l

l

lm

pF l l l ip

ri N e r F l n l drY p

n nr

(5.7)

U opštem slučaju integral oblika:

1

1 1 1 1

0

( , , ) ( ', ', ' )d htt e F a b kt F a b k t dt

,

jednak je

2

'( ; , '; , )) ;( , 'd k k

h F d a a b bh

dh

. (5.8)

Dokaz ove jednakosti prikazan je u dodatku.

Kada (5.8) primenimo na (5.7) dobijamo:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

/ 2 1

1 1 1 1

0

14 ( 1,2 ,2 )

(3 / 2)

2 2 ˆ( 1 ,2

2 2, ) ( )

l

l r

l

l

n ipr l

lm

ri

pF l l l iprN e r F l n l drY p

n n

31

2 2

2

2 2 2(2 2) (2 2; 1 , 1;2 2

14

(,2 2; , )

1 13 / 2) 2 1

lll

l

l n ipni N l F l l n l l l

n ip

p

n ipn ipn

( ˆ )lmY p . (5.9)

Ovde je 2F Apelov hipergeometrijski red definisan na sledeći način:

2

, 0

( ) ( ) ( ')( ; , '; , '; , )

( ) ( ') ! !

m nm n m n

m n m n

d a aF d a a b b x y x y

b b m n

. (5.10)

Apelov red može se u specijalnim slučajevima svesti na hipergeometrijske

funkcije. Upravo takav slučaj imamo u (5.9). Naime ukoliko je 'd b b , ovaj red će se

svesti na sledeću funkciju:

'

2 2 1( ; , '; , ; , ) (1 ) (1 ) ( , ', , )(1 )(1 )

a a xyF d a a d d x y x y F a a d

x y

. (5.11)

Primenom jednakosti (5.11) na (5.9) dati izraz će izgledati ovako: 2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

2 2

1 1

2 1 2

2 1 2 1 2( ) ( ) (2 2)

1 1 1

4 ˆ( 1 , 1,2 2, ) (

14

(3 / 2) 2

).( 1)

lll

l n l

l

l

l

m

n ipn ipn ipni N l

n ipn ipn ipn

ipnF l n l l Y

ip

p

pn

(5.12)

Nakon sređivanja jednačine (5.12) dobija se:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

2 21

2

2

1 2

( 1) 4 ˆ( 1) (4(3

2 2) ( 1 , 1,2 2, ) ( )( 1)/ 1)2) (

n ll n l

l

l

m

l

n

nn pN ipn ipn

i l F l n l l Y pipn ipn

.

(5.13)

Sada je potrebno eliminisati kompleksnu jedinicu iz promenljive u Gausovoj

hipergeometrijskoj funkciji. Ovo se najlakše postiže određenom klasom transformacija

hipergeometrijskih funkcija koje se nazivaju kvadratične. Napomenimo da i iz same

definicije hipergeometrijske funkcije sledi da je hipergeometrijska funkcija invarijantna u

odnosu na izmenu prva dva indeksa. Imajući ovo u vidu, i imajući u vidu da je

Počamerov simbol u imeniocu dva puta veći od jednog od Počamerovih simbola u

brojiocu možemo pisati sledeću formulu [1]:

32

2

2 1 2 1 2

1 1( , ,2 , ) (1 ) ( , , , )

2 2 2 2 (2 )

az a a zF a b b z F b

z

, (5.14)

odnosno kada u obzir uzmemo poznatu jednakost iz algebre kompleksnih brojeva:

2(1 )(1 ) 1ix ix x . (5.15)

Primenimo navedenu transformaciju za Gausovu hipergeometrijsku (5.14) funkciju na

naš konkretan slučaj (5.13) i neznatno sredimo izraze:

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

2 2 1 2 21

2

2

12 2 2 2 2

(1 ) 1 2 3 4 ˆ( 1) (2 2) ( , , , ) ( ).2 2 2

4(3 (1 ) (1 )/ 2)

nn

ll n l

lmn

l

l

N p n l n l n p ni l F l Y p

p n pp

nn

(5.16)

Na prvi pogled uočljiv problem sa ovakvom talasnom funkcijom jeste njena

konačnost. Naime, jedan od postulata kvantne mehanike govori da talasna funcija mora

biti konačna u celom prostoru. To za ovu konkretnu talasnu funkciju nije ispunjeno i to u

tački 1/ .p n Dakle, jasno zaključujemo da datu funkciju moramo transformisati dalje

kako bismo dobili rešenje koje bi imalo fizičkog značenja.

Takođe, poređenjem sa rezultatima za atom vodonika u impulsnoj reprezentaciji

(5.3), možemo zaključiti da data transformacija mora biti iz reda inverznih kvadratičnih,

kakva je upravo transformacija [1]:

2 1 2 1

1 1 1( , , , ) (1 ) (2 ,2 2 1, , )

2 2 1

a zF a a c z z F a c a c

z

. (5.17)

Kada (5.17) primenimo na (5.16):

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

2 2 1 2 2 11

2 2 2 2 1

2

2 2

2 1 2 2 2

(1 ) (1 )( 1) (2 2)

(1 ) (1 )

3 ˆ( 1 , 1 , , ) ( ).2 (1 )

4(3 / 2)

nn l l n

l n l

n l n

lm

l

l

N p n p ni l

p n p n

p

n p

nF l n l n l Y p

p n

Kraćenjem članova u razlomcima dobija se sledeći izraz:

33

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

1

2 2 1

2 2

2 1 2 2

2 1( 1) (2 2)

(4

(3 / 2 1 )

3 ˆ( 1 , 1 , , ) ( )

)

.2 1

l nn l l

l

l

lm

Ni l

p n

p nF l n l n

n

l Y pp n

p

(5.18)

Ne postoji fizička prepreka da ovo bude konačan izraz za atom vodonika u

impulsnoj reprezentaciji. Pre nego što pređemo na sređivanje članova koji zavise

isključivo od kvantnih brojeva, a sa ciljem dalje provere našeg rezultata, načinimo

poslednju transformaciju. U posebnom slučaju Gegenbauerovi polinomi i Gausova

hipergeometrijska funkcija povezani su sledećom relacijom [1]:

2 1

1 1 ( 1) (2 )( , 2 , , ) ( )

2 2 ( 2 )n

zF C z

. (5.19)

Kako je to i slučaj u našem izrazu (5.18), odnosno 2b a c , možemo

transformisati Gausovu hipergeometrijsku funkciju u skladu sa relacijom (5.19) :

2

3/2(2 ) ( ( )2

) nlmEp

p

1

2 2 1

21

1 2

2

2

2

1( 1) (2 2)

(1 )

(2 2) ( ) (2 2)

4(

1 ˆ( ) ( ).( 1) 1

3 / 2)

l n n l

l

l

n l l

l

m

lNi l

p n

l n l l n pC Y p

n l n

n p

p

(5.20)

Imajući u vidu da je parnost Gegenbauerovih polinoma data sa :

( ) ( 1) ( )n

n nC z C z , (5.21)

da je Počamerov simbol od 2

(2 1)!(3 / 2)

2 !l l

l

l

i predstavljanjem N koristeći kvantne

brojeve n i l dobijamo sledeću jednakost:

2

3/2(2 ) (2

) ( )nlmEp

p 2 2

1/2 1

12 2 1 2 2

( 1)! 1 ˆ4 ( ) ( ) ( ).( )! (1 ) 1

l ll l

n l lml

n l n p n pi C Y p

n l p n n p

(5.22)

Napomenimo ovde da je u atomskom sistemu jedinica 2

1

2E

n (5.23)

34

i 22 2

2

2

2

1( (

2 2 2

1) ) .

2

n pE

p p

n n

(5.24)

Zamenom (5.23) i (5.24) u (5.22) dobijamo konačan izraz za atom vodonika u impulsnoj

reprezentaciji:

2 2

1/2 2 1

12 2 1 2 2

2 ( 1)! 1 ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( )! (1 ) 1

l ll l

nlm n l lm nl lml

n l n p n pp i n C Y p R p Y p

n l p n n p

(5.25)

Ovaj rezultat je skoro potpuno identičan rezultatu (5.3), sa izuzetkom člana li koji

je posledica i načina na koji smo definisali Furije transform (2.6a) i inverzni Furije

transform (2.6b), i ne utiče bitno na fiziku problema. Do rezultata koji su drugačiji od

ovih ili su identični ovim rezultatima sa izuzetkom kompleksne jedinice na stepen l ,

dolazi više autora [6,9], a autor [15] objašnjava čisto kompleksnu ili čisto realnu prirodu

talasne funkcije u impulsnoj reprezentaciji drugačijom prirodom p i d stanja u impulsnoj

reprezentaciji.

35


Grafik 28.Modul vodonične talasne funkcije u impulsnoj reprezentaciji predstavljen u

zavisnosti od parametara p i sa konstantnom vrednošću parametra =3

, n =2, l =1,

m =0

Grafik 29. Modul vodonične talasne funkcije u impulsnoj reprezentaciji predstavljen u

zavisnosti od parametara p i sa konstantnom vrednošću parametra =3

, n =1, l =0,

m =0

36

Poređenje dobijenih rezultata

Grafik 30. Poređenje modula radijalnog dela vodonične talasne funkcije u impulsnoj

reprezentaciji i radijalnog dela koordinatne vodonične talasne funkcije n=2, l=1, m=0

Grafik 31. Poređenje modula radijalnog dela vodonične talasne funkcije u impulsnoj


Grafik 32. Poređenje radijalnog dela modula vodonične talasne funkcije u impulsnoj


37

6. KULONOVI STURMIANI U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI

Uopšteno o Kulonovim Sturmianima

Jedan od najranijih trijumfa kvantne teorije jeste rešavanje Šredingerove

jednačine za vodoniku slične atome. Logično je bilo nadalje koristiti talasne funkcije

vodoniku sličnih atoma kao gradivne delove talasnih funkcija složenijih atoma. Ovom

tematikom za atom helijuma bavili su se Šal (Shull) i Luvdin (Löwdin) . Naziv Sturmiani

potiče od Rotenberg-a koji je želeo da naglasi njihovu vezu sa Šturm-Liuvilovom (Sturm-

Liouville) teorijom.

Šturm-Liuvilova teorija je grana matematike osnovana od strane Šturma i Liuvila

u kojoj centralno mesto zauzima Šturm-Liuvilova jednačina koja glasi:

d d( ) ( ) ( )

d d

yp x q x y w x y

x x

.

U slučaju kada:

( ) 1p x i 2

2

( 1)( )

2

k l lq x

r

,

ova jednačina postaje:

2 2

2 2

( 1)( ) 0

2nl

d l l k knu r

rdr r

.

Ukoliko zamenimo:

( ) ( )nl nlu r rR r i

1/21

2

Zk

n E

, dobijamo upravo Šredingerovu jednačinu za vodoniku

slične atome, čije su rešenje Kulonovi Sturmiani [16]:

'2

' '( , , ) ) ( , , ) ( , )(2

,H lnlm nlm nlmike

pV E . (6.1)

U jednačini (6.1) član ( )H likeV odnosi se na potencijal vodoniku sličnog atoma

koji poseduje vise od jednog protona u jezgru odnosno može se reći da je Šredingerova

jednačina za atom vodonika specijalan slučaj ovakve jednačine u kojoj je 1Z . Naša

promenljiva sada postaje:

38

2Zr

n . (6.2)

Radijalni deo talasne funkcije dobija oblik:

3

/' 2 1

13

2 ( 1)! 2 2( )

2 [( )!]

l

Zr na l

nl n l

Z n l Zr ZrR r e L

na na nan n l

. (6.3)

Kulonovi Sturmiani u impulsnoj reprezentaciji

Primenjivanjem istih jednostavnih transformacija iz poglavlja 5. dobijamo sledeću

jednačinu:

2

'2

3/2

.

' 2

0 0 0

) ( ) ) ( , , ) sin( )(2 ) ( (2

ip r

nlm nlmH likeE pp

V e r drd d

. (6.4)

Jednačina je ekvivalentna jednačini za atom vodonika (5.2), sa izuzetkom toga što

je 1Z i ceo broj pa se mogu primeniti i potpuno iste transformacije kao za atom

vodonika. Razlika će biti samo u sledećim postavkama problema :

a) Kulonovski potencijal biće zamenjen potencijalom oblika:

2 2

n n

r Zr .

b) Energija u atomskom sistemu jedinica postaje:

2

2

ZE

n .

Rešenja koja se dobijaju primenom ekvivalentnih transformacija su:

2 2

22

' 1/2 1

11 2 22

22

12 ( 1)! ˆ( ) ( ) ( )

( )!11

l

l

l l

nlm n l lml

n n ppn l n Z Zp i C Y p

n l Z n pnp ZZ

. (6.5)

Što za 1Z korespondira rešenju za atom vodonika (5.25).

39

7. DODATAK

Lema: Integral 1

1 1 1 1

0


jednak je

2

'( ; , '; , )) ;( , 'd k k

h F d a a b bh

dh

.

Dokaz: Iz same definicije Kumerovih hipergeometrijskih funkcija sledi sledeća

jednakost:

1 1

1 1 1 1

0 00 0

( ) ( ') '( , , ) ( ', ', ' ) [ ]

( ) ( ') ! !

m nd ht d ht n mm n

m n m m

a a k kt e F a b kt F a b k t dt t e t dt

b b m n

.

Kako suma i integral mogu da zamene mesta možemo pisati (integral nije ništa no

gama funkcija) :

1 1

1 1 1 1

0 00 0

( ) ( ') '( , , ) ( ', ', ' ) [ ]

( ) ( ') ! !

m nd ht d ht n mm n

m n m m

a a k kt e F a b kt F a b k t dt t e t dt

b b m n

,

odnosno:

1 1

1 1 1 1

0 00 0

( ) ( ') '( , , ) ( ', ', ' )

( ) ( ') ! !

m nd ht d n m htm n

m n m m

a a k kt e F a b kt F a b k t dt t e dt

b b m n

.

(7.1)

Integral u (7.1) jednak je:

1 ( )

0

( )d n m ht d n mt d n me dt h

, (7.2)

što se korišćenjem tzv. Počamerovog identiteta može svesti na:

( ) ( ) ( () ) )( ( )n n md n m d m dd m d dm . (7.3)

Kada (7.3) zamenimo u (7.2), pa potom (7.2) u (7.1) dobijamo:

1 ( )

1 1 1 1

0 00

( ) ( ') '( , , ) ( ', ', ' ) ( ) ( )

( ) ( ') ! !( )

m nd ht m n d m n

n m

m n m m

a a k kt e F a b kt F a b k t dt h d m d d

b b m n

,

40

odnosno:

1

1 1 1 1

0 00

( ) ( ') ( ) '( , , ) ( ', ', ' )

( ) ( ') ! !( )

n m

d ht d m n m m

m n m m

a a d k kt e F a b kt F a b k t dt h

b b m nd

h h

.

Ovo nije ništa drugo do Apelov hipergeometrijski red 2F iz relacije (5.11) pomnožen sa

( )dh d .

Sada možemo u konačnom obliku napisati:

1

1 1 1 1

0


=2

'( ; , '; , )) ;( , 'd k k

h F d a a b bh

dh

. (7.4)

Ovim je dokaz završen.

41

8. ZAKLJUČAK

Poznavanje vodoničnih talasnih funkcija i Slejterovih orbitala u impulsnoj

reprezentaciji može predstavljati znatno olakšanje pri konkretnim računicama u raznim

oblastima fizike. Potpuno je evidentno da formula za atom vodonika u impulsnoj

reprezetaciji ima znatno jednostavniju matematičku formu od one u koordinatnoj

reprezentaciji. Naravno, pod koordinatnom reprezentacijom podrazumevamo sferne

koordinate. Formule za Slejterove orbitale, kao i Gausove orbitale deluju nešto složenije,

ali ipak mogu biti od koristi u konkretnim izračunavanjima.

Dalji tok istraživanja u ovoj oblasti može se kretati ka nalaženju jednostavnijih

oblika ili jednostavnijih načina za računanje raznih drugih funkcija koje se koriste u

molekularnoj kvantnoj mehanici, teoriji rasejanja itd.

42

Literatura:

[1] M. Abramowitz, I.A. Stegun, “Handbook of mathematical functions with formulas,

graphs and mathamatical tables”, National bureau of standards, Applied

mathematics,First edition (1964), Tenth printing, (1972)

[2] A.P. Prudnikov, Yu.A. Bruckov,O.I. Maricev, “Integrals and series, Volume II-

Special functions“, Overseas publisher association, Third printing (1992)

[3] I.S. Gradshtein, I.M. Rzyhik, “Table of integrals series and products” , Six edition

(1984)

[4] V. A. Fock, “Hydrogen atom and non Euclidian geometry “ ,Z. Phys. 98, 145 (1935)

[5] H.A. Bethe and E.E. Salpeter, “Quantum Mechanics of One-And Two-Electron

Atoms”, Springer, Berlin, (1977)

[6] J.R. Lombardi “Hydrogen atom in momentum representation”, Phy. Rev.A

22,797(1980)

[7] B.H. Bransden, C,J, Joachain, “Physics of atoms and molecules”, Longman, First

edition (1989)

[8] B.H. Bransden, C,J, Joachain, “Introduction to quantum mechanics”, Longman,

Second edition (2000)

[9] B. Podolsky, L. Pauling, “The momentum distribution in hydrogen-like atoms”, Phys.

Rev. 34-109 (1929)

[10] M. Hage-Hassan, “On the hydrogen wave function in Momentum-space, Clifford

algebra and the Generating function of Gegenbauer polynomials” Preprint math-

ph/0807.4070

[11] M.Weissbluth, “Atoms and molecules”, Academic press, London, First edition, 1978

[12] Dz. Belkic, H,S, Taylor, “A unified formula for the Fourier transform of Slater-type

orbitals”, Physica Scripta, Volume 39, Number 2, Str. 226

[13] Slater, J.C. "Atomic Shielding Constants". Phys. Rev. 36 (1930)

[14] F.Herbut, “Kvantna mehanika za istraživače”, Univerzitet u Beogradu (1999)

[15] B.Maksic, “Pauling Legacy: Modeling of the chemical bond” , Elsevier (1999)

[16] James Avery, John Avery “Generalised Sturmians and Atomic spectra” World

scientific (2006)

43

[17] F.W.J. Oliver, D.W.Lozier, R.F.Boisvert, C.W.Clark, “NIST Handbook of

Mathematical functions” ,Cambridge press, First edition, (2010)

[18] J.J. Sakurai, J. Napolitano, “Modern quantum mechanics”, Adison-Wesley, Second

edition (2011)

[19] C.Champion, H.Lekadir, M.E.Galassi, O.Fojon, R.D.Rivarola, J. Hanssen,

“Theoretical predictions for inonization cross sections of DNA nucleobases impacted by

light ions”, Phys. Med. Biol. 55 (2010) 6053-6067

[20] M.E.Galassi, C.Champion, P.F.Weck, R.D. Rivaola, O.Fojon, J. Hanssen,

“Quantum-mechanical predictions od DNA and RNA ionization by energetic proton

beams”, Phys. Med. Biol. 57 (2012) 2081-2099

[21] C.A.Tachino, F. Martin, R.D. Rivadola, “Theoretical study od interference effects in

single electron ionization of N2 molecules by proton impact” J.Phys.B:At. Mol. Opt.

Phys. 45 (2012) 025201 (9pp)

[22] S.Nandi, A,N, Agnihotri, S.Kasthurirangan, A.Kumar, C.A.Tachino, R.D.Rivarola,

F.Martin, L.C.Tribedi, “Impact ionization of molecular oxygen by 3.5-MeV/u bare

carbon ions”, Physical Review A 85, 062705 (2012)

Documents

NAJČEŠĆE KORIŠĆENE BAZISNE FUNKCIJE U …theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/sites/default/files/images... · 1 1. UVOD Kvantna mehanika ostaje eksperimentalno najproverenija