Avtor: Norma Susana Manko Borštnik
2
Povzetek
Predpostavka, da so vsi sistemi kvantni, se zdi danes smiselna in sprejemljiva. Kvantni znaaj pri sistemih, ki se obnašajo klasino, obiajno ni dovolj izrazit, da bi ga lahko izmerili, pri zelo veliki na- tannosti merjenja (ki ga obiajno ne zmoremo) pa bi ga izmerili.
Spoznanja o kvantnem znaaju vseh sistemov ter o tem, kako ga razspoznati in smiselno opisati, so rasla poasi, na osnovi opaanj in miselnih poizkusov. Kvantna mehanika se zdi danes pri predpostavki, da je asovna koordinata ena sama, konsistentna teorija, ki smiselno napoveduje verjetnosti za dogodke, saj vsem njenim napovedim poiz- kusi doslej pritrjujejo. Ker pa smo v sistemu merjenca in meritev opa- zovalci del tega sistema, je problem opazovalca in opaenca v kvantni fiziki teko rešljiv in doslej tudi še ne rešen problem. Poleg tega so izrauni sistemov z velikim številom prostostnih stopenj neobvladljivi e v klasini obravnavi.
Kvantna mehanika je zgrajena na vrsti predpostavk, ki so nastala ob izkušnjah, ki smo si jih pridobili pri teoretinem opisu sistemov, ki dovolj dobro ubogajo klasine enabe gibanja v nerelativistini in relativištini mehaniki. Spoznanje, da se lahko rojevajo pari delci- antidelci in bozoni, je vodilo do kvantne teorije polja. Danes se zdi, da je kvantna teorija polja pravi pristop za opis vseh sistemov.
Kvantna mehanika in kvantna teorija polja sta se izkazali kot uin- kovito matematino orodje za opis sistema delcev, ki med seboj inter- agirajo. Vedenje o tem, kaj so gradniki sistemov, pa v kvantno me- haniko ni vgrajeno. Spoznanja o tem, kaj so osnovni gradniki snovi in kaj lahko v nekem dovolj dobrem pribliku vzamemo za gradnike kompleksnih sistemov, na primer trdne snovi, tekoin in mehkih snovi, so rasla postopoma, pri tem sta odigrali kvantna mehanika in kvantna teorija polja pomembno vlogo.
Danes se zdi, da poznamo vsaj nekatere osnovne gradnike snovi, tiste, ki nam jih je doslej uspelo izmeriti potem, ko smo gradili in zgra- dili teoretine modele, ki so jim eksperimenti pritrdili. Pripišujemo jim lastnosti, ki smo jih preko eksperimentov postopoma spoznavali. Ta spoznanja so rastla v soodvisnosti od spoznanj o tem, kakšen je prostor-as, v katerem ivimo, kako se osnovni gradniki v prostoru- asu obnašajo, kako interagirajo med seboj, kakšne so te interakcije, kako delci in sistemi delcev spreminjajo lastnosti prostora-asa, kakšne so lastnosti našega vesolja, ki je zgrajeno iz doslej opaenih gradnikov,
3
kako je vesolje nastajalo, ter tudi ob spoznanjih, kakšnim pravilom se v vesolju podrejajo vsi njegovi sestavni deli, od nastanka do danes, od osnovnih gradnikov vesolja do jat galaksij. Na temelju poskusov in miselnih poskusov so nastajali najprej modeli, ki so veljali za iz- brane sisteme, za katere so veljale predpostavke, na katerih so modeli gradili. Iz izkušenj z modeli so nastajale ambiciozne teorije, ki naj bi veljale splošno, neodvisno od podroij. Ob experimentalnih prever- janjih modelov in teorij ter s tem tudi predpostavk, na katerih teorije gradijo, so se rojevala vedno nova spoznanja o tem, iz esa je snov, iva in neiva, ter o tem, kakšnim pravilom se podreja.
Iz poznavanja lasnosti osnovnih delcev znamo po pravilih kvantne mehanike in kvantne teorije polja v principu napovedati verjetnosti za dogodke, ki nas utegnejo zanimati. Osnovnega koraka k iskanju enab gibanja smo se nauili e v klasini mehaniki. e znamo zapisati Lagrangeovo funkcijo in s tem akcijo, nas princip najmanjše akcije privede do enab gibanja. etudi je pot od enab gibanja do njenih rešitev, ki nam povedo stanje sistema pri izbranih robnih pogojih, lahko še zelo dolga, ali pa je mnogokrat teko najti celo pribline rešite, nam enbe gibanja vseeno mnogo povedo o morebitnih stanjih sistema. e uspemo razspoznati „kolektivne” lastnosti sistemov, je pot do priblinih enab gibanja mnogo krajša.
Simetrijske lastnosti osnovnih gradnikov in posledino simetrije stanj sistemov gradnikov igrajo zelo pomembno vlogo. Pogojujejo oh- ranitvene zakone, kot na primer ohranitev vektorja etverca gibalne koliine, elektromagnetnega in barvnega naboja. Simetrije stanj ve- likega števila delcev omogoijo poiskati pribline (”efektivne”) enabe gibanja v jedrski, atomski in molekularni fiziki, v fiziki snovi, v sta- tistini mehaniki, termodinamiki, pa tudi na vseh drugih podrojih, denimo v biofiziki, biologiji, sociologiji in drugod. etudi najvekrat ne znamo pojasniti predpostavk, na katerih gradimo teorije, ki nam skupaj z merjenji in miselnimi poizkusi pomagajo razumeti dogajanja v mikroskopskem in makroskopskem svetu in napovedovati, kako se bodo sistemi obnašali, e poznamo njihove lastnosti ob nekem asu vsaj priblino (in ne priakujemo, da bomo predvideli obnašanje v preve odmaknjenem asu) pa so se doslej postavljeni zakoni in teo- rije dobro izkazali. Brez njih bi bili naše razumevanje narave in s tem tudi tehnološki napredek mnogo bolj skromni.
Ta ubenik je nastal iz študentskega zapisa predavanj predmeta
4
Kvantna mehanika II, ki ga predavam na v etrtemu letniku študija fizike na Oddelku za fiziko e vrsto let.
Namen predmeta je nauiti študente osnovnih spoznanj v kvantni mehaniki na vseh podrojih fizike: fizike osnovnih delcev in polj, je- drske, atomske in molekularne fizike, fizike trdne snovi in tekoin. Kvantna teorija gravitacije in kozmologije sta šele v povojih, etudi pri obeh kvantne efekte ocenjujemo in jih poizkušamo izmeriti. Kla- sina teorija polja pa je tudi na teh dveh podrojih uspešna in dokaj dobro preverjena.
Študentje se morajo pri predmetu Kvantna mehanika II nauiti osnovnih tehnik kvantne mehanike kot enotne teorije za vsa podroja fizike: fizike osnovnih delcev, jedrske, atomske in molekularne fizike ter fizike trdne snovi, mehke snovi in tekoin. Nauijo se kanonske kvantizacije nerelativistinih in relativistinih enab gibanja za to- kaste delce (kvantizacija koordinat) fermione in bozone ter za nere- lativistina in relativistina polja (druga kvantizacija). Nauijo se razspoznati in opisati simetrije v klasini in kvantni fiziki.
Spoznajo pojem notranjih prostostnih stopenj osnovnih fermions- kih in bozonskih polj, to je njihovih spinov in nabojev ter prostostnih stopenj, ki jih doloa gibanje v prostoru-asu. Nauijo se uporabe teorije grup za opis obojih prostostnih stopenj.
Nauijo se uporabe principa najmanjš akcije za polja, kadar so prosta, ali pa kadar so med seboj sklopljena, in iskanja enab gibanja, ki iz akcije sledijo v relativistini in nerelativistini fiziki.
Spoznajo probleme sistema nerelativistinih delcev ter se na pre- prostih primerih nauijo iskanja priblinih rešitev. Spoznajo na pre- prost in pregleden nain osnovne predpostavke standardnega modela elektrošibke in barvne interakcije in uporabnost tega modela v fiziki osnovnih delcev in polj, tako da dobijo vpogled, kako nastajajo nove ideje in s tem nove teorije.
Spoznajo se s teorijo sipanja relativistinih delcev in nerelativis- tinih delcev ter se na preprostih primerih nauijo izracunati sipalno amplitudo. Na primeru vodikovega atoma in modela vree se študenti nauijo iskanja rešitev relativistinih enab gibanja. Na primeru vo- dikovega atoma se nauijo teorije sevanja. Predmet uvede šudente v podroje statistie kvantne mehanike.
Med nekaterimi poglavji lahko študentje izbirajo, vplivajo pa lahko
5
tudi na poglobljenost, s katero obravnavamo posamezna poglavja. Tudi seminarji, ki jih študentje opravijo v dogovoru z uiteljem in ob njegovi pomoi, so namenjeni poglobljeni obravnavi posamezne teme, predvsem pa nauijo študente, kako se lotiti problema (ki zanj v literaturi še ni mogoe najti rešitve), kako doloiti okvir, znotraj katerega bodo poskušali poiskati pribline rešitve ter kako poiskati sprejemljive rešitve ter rešitve interpretirati. Nauijo si zaupati pri- dobljenemu znanju, ki ga obvladajo in razspoznati, esa ne razumejo. Seminarsko temo lahko študentje izbirajo po svoji presoji in svojem zanimanju.
6 KAZALO
1 Uvod 1
2 Vesolje - od nastanka do danes, kratek povzetek o tem, kaj o Vesolju vemo 1
3 Kratka ponovitev klasine relativistine mehanike 13 3.1 Kratek uvod v iskanje enab gibanja . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Princip najmanjše akcije . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2 Hamilton-Jacobijeve enabe gibanja in Poissonovi ok-
lepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Sistem neodvisnih relativistinih delcev . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Delci v zunanjem polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v
prisotnosti poznanih izvorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 Dualnost in magnetni monopoli . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Prva kvantizacija - kvantizacija koordinat in impulzov 44 4.1 Poglavje iz grupne teorije, upodobitve grupe, s komutacijs-
kimi relacijami med infinitezimalnimi generatorji {τ i, τ j}− = i εijk τk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1
1 Uvod
2 Vesolje - od nastanka do danes, kratek povzetek o tem, kaj o Vesolju vemo
Kakšen je prostor-as, v katerem ivimo? Ali je zares (1+3)-razseen kot se nam kae doslej? Zakaj ima tedaj eno asovno in tri prostorske razsenosti? Ali pa je razsenosti ve in morda tudi ve asovnih koordinat? Iz esa je snov, ki gradi našo Zemljo, naše Osonje, našo galaksijo Mleno cesto, naše vesolje? Kakšne enabe gibanja ubogajo osnovni delci, grue teh delcev, snov, osonja, galaksije, jate galaksij, vesolje? Je vesolij morda ve, ali je eno samo? Kako je vesolje ali kako so vesolja nastala? Kakšni zakoni veljajo v našem ali kateremkoli vesolju? Ta in mnoga druga vprašanja si postavljamo in poskušamo nanje odgovoriti.
Kako sploh spoznavamo zakone, ki se jim podrejajo gradniki in s tem celotno vesolje ali vsa vesolja od najmanjše skale gradnikov do planetov, osonij, ga- laksij in jat galaksij? Kako spoznavamo zakone narave, e naravo imenujemo vse, v kar smo postavljeni in kar doloa naš obstoj in obstoj vsega?
Opazujemo in s poskusi ugotavljamo, ali so naša opaanja pravilna. Opaanja zaokroimo v spoznanja, spoznanja vgradimo v matematine strukture, ki so, zgrajene na nekih predpostavkah, logine in ne vodijo do protislovij, vsaj ne do doslej opaenih, matematine strukture preverjamo s poskusi.
Vsi poznamo zakone klasine nerelativistine mehanike, ki jih je pred 300 leti postavil Newton — Newtonove enabe gibanja, ki doloajo dinamiko sistema gru delcev, postavljenih v zunanja polja ali v polja, ki ga druga drugi povzroajo grue. Ti zakoni še vedno veljajo v postavljeni obliki do- volj natanno, da smo z njimi zadovoljni, kadar so hitrosti gibanja delcev majhne v primeri s hitrostjo svetlobe in kvantni efekti zanemarljivi. Tudi
22 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO
vodilo za iskanje enab gibanja je e dolgo znano: princip najmanjše akcije, dokaj splošen princip, ki nas privede do enab gibanja na eleganten nain, in je enako uporaben na vseh podrojih, kjer poskušamo ujeti v matema- tine zapise dinamiko sistemov. Pri iskanju akcije za obravnavan sistem nas vodi naelo preprostosti in elegance enako uinkovito v klasini in kvantni mehaniki, pri osnovnih delcih in tudi tedaj, kadar išemo neko povpreno (kolektivno, efektivno) obnašanje delcev v snovi ali pa obnašanje sistemov, denimo v druboslovju, ekonomiji in še kje, etudi naela preprostosti in elegance ne znamo zares definirati, pomeni pa nekaj kot preprostost, pre- glednost, a hkrati tudi napovedno mo modela ali teorije.
Zaetni koraki iskanja matematinih modelov za opazljive pojave so pome- nili predvsem iskanja preprostih relacij med opazovanimi koliinami. To velja, na primer, za Newtonove zakone. Z uresnienimi napovedmi, ki so jih in jih ponujajo vse bolj splošni modeli in teorije pa rastejo tudi vse bolj abstraktne in marisikatere med njimi tudi vse bolj elegantne teorije.
Pred skoraj sto leti je Niels Bohr postavil temelje današnji kvantni mehaniki: elektroni v elektromagnetnem potencialu jeder nimajo kakršne koli vrtilne koliine, ampak samo celoštevilni mnogokratnik osnovne vrtilne koliine. Ta preprost privzetek je nadgradila kvantna mehanika z dobro izdelanim matematinim formalizmom. Rojevala so se spoznanja, da gradijo snov dve vrsti delcev: fermioni in bozoni. Oboji se ne le gibljejo v prostoru- asu, ampak nosijo še dodatne, notranje, kvantne lastnosti, to je spine in naboje, ki so vzrok, da se fermioni in bozoni sploh „opazijo” med seboj, da interagirajo. Bozoni se od fermionov razlikujejo po vrsti spina in nabojev, ki jih nosijo. Fermioni si izmenjujejo bozone, bozoni rojevajo delce in anti- delce ter, to je fermione in anti-fermione in kadar nosijo naboj tudi druge bozone, ki nosijo iste naboje.
Newtonovo mehaniko, ki velja v obmoju majhnih hitrosti (v primeri s svet- lobno hitrostjo) tedaj, kadar kvantne lastnosti snovi niso opazljive, to je
3
kadar jih z natannostjo, s katero izmerimo lastnosti sistema, ne opazimo, je Einstein posplošil v relativistino klasio mehaniko. Poznamo jo pod imenom posebna teorija relativnosti, kadar gravitacijsko polje ni prisotno. Kadar pa je gravitacijsko polje prisotno, velja Einsteinova splošna teorija relativnosti, ki ji poiskusi doslej pritrjujejo.
Splošnejša od Einsteinove splošne teorije relativnosti je umeritvena teo- rija gravitacijskega polja. Ta omogoa elegantno posplošitev vseh bozonskih (pravimo jim tudi umeritvena polja) v eno samo teorijo ter vseh notranjih prostostnih stopenj, ki jim danes pravimo spin, naboji fermionov in bozonov ter druinsko kvantno število fermionov. Ker ji eksperimenti še niso pritr- dili, etudi je tudi ovrgli niso, teorija ni sprejeta, tudi zato, ker je potreben še marsikateri matematien dokaz, ki bi zatrdil, da daje teorija v opazljivem obmoju energij prave napovedi. Napovedi te teorije tudi še niso preverljive s poskusi, ker dovolj velike natannosti pri merjenju lastnosti gravitacijskega polja še ne zmoremo.
Kvantna teorija polja, to je teorija kvantnih fermionskih in bozonskih polj, postavi kvantno mehaniko v splošnejši okvir, ki ji vsi poskusi doslej pri- trjujejo. Dopusti tvorbo parov delcev in anti-delcev ter rojstvo bozonskih polj.
Vsa ta spoznanja, spoznanja o pravi akciji, ki vodi do enab gibanja ter spoznanja o pravih notranjih prostostnih stopnjah fermionskih in bozons- kih polj, so se oblikovala poasi, korak za korakom, previdno in je bila vselej veina dolgo do njih nezaupliva. Šele, ko so ideje in spoznanja prerasli v modele, ali teorije, in so se ti izskazali kot uporabni in uinkoviti, z merlji- vimi in preverljivimi napovedi, jim je veina pritegnila in prispevala dokaze o njihovi uporabnosti, dopolnila pa tudi potrebne izreke in dokaze, ki so logino zaokroili veljavnost novih modelov in teorij.
Fizika se je razdelila na podroja. Marsikatero podroje se je iz fizike izloilo
42 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO
in postalo povsem samostojno. V današnjem asu govorimo o raziskovalnih podroijh v naravoslovju in tehnologiji, tudi v druboslovju in medicini, celo v umetnosti. Tudi vsebina posameznega podroja, raziskovalnega ali tehnološkega (pogosto sta oba namena nerazloljiva), se s asom in novimi spoznanji spreminja.
Fizika osnovnih delcev in polj, na primer, spreminja svojo podobo nepres- tano. Podroje je namre bolj ali manj definirano z vprašanjem: Kaj so osnovni zakoni narave in kaj so osnovni gradniki snovi? Nova spoznanja iz- loijo tisti del podroja, ki se zdi vsaj naeloma razumljen, v fiziki osnovnih delcev in polj pa se odpirajo nova.
Kvantna mehanika domuje na vseh podroih naravoslovja vedno tedaj, ka- dar je kvantni znaaj opazovanega sistema merljiv. Kvantna teorija polja, ki je nadgradnja kvantne mehanike, je potrebna in uporabljena vselej, kadar je opazljiv kvantni znaaj sistema polj—fermionskih in bozonskih, to je, ko je rojstvo novih fermionskih in bozonskih polj nezanemarljivo.
Kozmologija je veda o tem, kako je vesolje nastalo in kako se je razvijalo. Relativistine enabe gibanja (Einsteinove enabe za vesolje z maksimalno simetrijo) za fermionska in bozonska polja v (skoraj) homogenem in izotrop- nem vesolju, kakršno je naše na skali nekaj jat galaksij, skupaj z meritvami napovedujejo, da je naše vesolje nastalo iz ni: Energijska eksplozija, ki se je manifestirala v visoki temperaturi plazme, Tkb ≈ 1019 GeV (kb je Boltzmanova konstanta), v kateri so v terminem ravnovesju sodelovali vsi fermioni in anti-fermioni ter vsi bozoni (anti-bozoni bozonov je isti multi- plet bozonov, foton je tudi anti-foton), se rojevali in anihilirali, vsi, fermioni in bozoni, z maso ni, je spravila plazmo v ekspanzijo, v širitev, ki smo ji pria tudi danes in ki jo merimo s Hubbelovo konstanto, to je z razmerjem med hitrostjo, s katerima se oddaljujeta dve toki vesolja v izbrani raz- dalji. Hubbelova konstanta se s starostjo vesolja spreminja. Širitev vesolja je povzroila njegovo ohlajevanje. Vesolje je ob ohlajevanju doivelo števile fazne prehode, podobno kot fazne prehode doivlja snov, denimo voda, ki jo
5
ohlajamo od vroe pare do ledu.
Po faznih prehodih so osnovni gradniki, fermioni in bozoni spreminjali svoje lastnosti. Pridobili so od ni razlino maso in se povezovali v grue. Pojav faznih prehodov je bil odvisen od razmerja hitrosti širitve vesolja in hitrosti, s katero so fazni prehodi potekali. Fazne prehode pa so ob danih pogojih pogojevale interakcije med fermioni in bozoni.
Vseh sprememb, ki jih je vesolje doivelo, ne po poznamo. O veliki veini spremeb nimamo niti priblino izdelanih teorij, ki bi jih potrdili s poskusi, o nekaterih ugibamo z vejo, denimo o takoimenovanem inflacijskem širjenju vesolja ??, o drugih z manjšo zanesljivostjo, za nekatere pa menimo, da jih vsaj v grobem razumemo, ker modelskim opisom poskusi na pospeševalnikih pritrjujejo.
Standardni model elektrošibke in barvne interakcije ?? se zdi primeren za opis faznega prehoda, ki mu pravimo elektrošibki fazni prehod. Ta se je pojavil pozno, potem ko se je vesolje ohladilo z (domnevno zaetne) tempe- rature 1029 K na 1012 K. Danes opazljivo šibko bozonsko polje je imelo do tedaj, vsaj po teoriji, ki ji eksperimenti doslej pritjujejo, podobno kot velja po teoriji za barvno in fotonsko polje, maso enako ni. Po faznem prehodu pa so bozoni postali masivni. Pravtako so tudi fermioni danes opazljivih treh druin postali po faznem prehodu masivni.
Na pospeševalniku LHC išejo „krivca” za ta fazni prehod. Standardni model pripiše „odgovornost” za ta fazni prehod skalarnemu polju, ki je spremenil lastnosti vesolja (pravimo, da je spremenil vakuumsko stanje vesolja). Eks- perimentalci na LHC mu pravijo „boji dele”. Najbr za reklamo, malo pa morda tudi zato, ker mu standardni model pripisuje odgovornost za maso fermionov, tudi elektrona, ki je lepton prve druine. e bi, namre imel elek- tron maso enako ni, bi atom ostal nevezan, manjša elektronova masa pa bi pomenila veje atome. Velikost atoma doloata namre elektromagnetna sila in masa elektrona.
62 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO
Pri elektrošibkem faznem prehodu so tudi kvarki pridobili nenielno maso. Vendar je za kvarke prve druine, ki skoraj v celoti gradijo snov, ki nam omogoa ivljenje, ta masa majhna v primeri z maso, ki jo kvarkom prinesejo barvni bozoni, imenovani gluoni. Vesolje je namre po elektrošibkem faznem prehodu doivelo še nekaj faznih prehodov. Pri barvnem faznem prehodu so gluoni oblekli kvarke prve druine ter jim spremenili maso od nekaj MeV/c2, kolikor jim je je prinesel fazni prehod, na ≈ 300 MeV/c2 ter kvarke in anti- kvarke povezali v brezbarvne grue barione. Protonu, ki je najlaji barion, je elektrošibki fazni prehod prinesel toliko manjšo maso nekaj MeV, da je vodikov atom najlaji atom. Sicer bi bil nevtron stabilen.
Pri barvnem faznem prehodu, ko je temperatura razpenjajoega se vesolja padla pod GeV/kb, in je bila hitrost, s katero je potekal fazni prehod, glede na hitrost razpenjanja vesolja, dovolj intenzivna, so se vsi qvarki in anti- kvarki sreali in vrnili plazmi celotno energijo. Ostali so samo kvarki v preseku, ki jih vidimo, ujete v brezbarvne grue, barione, kot današnjo snov, ki tvori osonja.
Kje tii vzrok preseka barionov nad anti-barioni, to je kvarkov nad anti- kvarki, leptonov nad anti-leptoni, je doslej še nepojasnjeno. Znanstveni lanki ponujajo ne zanesljive razlage zanj ??.
Vesolje je doivelo še nekaj faznih prehodov. Naslednji fazni prehod je barione povezal v atomska jedra, za kar je poskrbela barvna sila med kvarki, povezanimi v brezbarvne barione in ji pravimo jedrska sila.
Pri naslednjem faznem prehodu je bilo razpenjanje vesolja dovolj poasno, da so nastali atomi. Elektroni so se ujeli z jedri v atome. Nastali so zametki snovi, molekule, ki so se povezale v snov.
Vendar je dele energije, ki ga snov preteno prve druine prispeva vesolju, komaj nekaj procentov celotne energije vesolja. Pet do sedemkrat tolikšen je prispevek temve snovi, ki jo doslej opazujemo preko njenih gravitacijskih uinkov. Hitrosti, s katero osonja kroijo okoli središa svoje galaksije,
7
nedvoumno povedo, da je za to hitrost odgovorno garvitacijsko polje snovi, ki ima sicer povsem drugane lastnosti kot obiajna snov ??.
Meritve Hubblove konstante pa kaejo, da je energije v vesolju mnogo ve, priblino trikrat toliko ??. Pripišemo jo temni energiji.
Vloga, ki jo je pri in po nastanku vesolja odigrala temna energija, je dom- nevno zanemarljiva. Današnji as pa opazna. K plazmi so ob nastanku vesolja prispevali vsi. V zaetku, ko so bile njihove mase enake ni, vsi enako, vsi fermioni in vsi bozoni. Ko se je vesolje širilo, in se ohlajalo doivljalo fazne prehode in inflacijo ter se ohladilo do temperature, ko v povpreju pari lana neke druine niso mogli nastajati, ker je bilo premalo energije na razpolago, se ja tak lan druine, e ni razpadel v lane drugih drin z manjšo maso, izloil iz plazme ??. Tako je morda nastala temna snov. Temna energija pa je bila v vesolju od vsega zaetka, le da je bil prevladujoi del spravljen v bozonih ter fermionih in anti-fermionih, dokler se gostota teh prispevkov ni zmanjšala do in pod vrednost temne energije, karkoli e to temno energijo doloa.
Kozmologija in fizika osnovnih delcev hodita z roko v roki, saj odprta vprašanja povezujejo obe podroji. Teh vprašanj je veliko. Bolj ko spozna- vamo zakone narave, ve se število se jih odpira. Nanje lahko odgovori le predlog teorije, ki vkljuuje obe podroji ter eksperimenti, ki tako teorijo potrdijo.
Zadnjih trideset let pomeni fizika osnovnih delcev za veliko veino razis- kovalcev predvsem preverjanje veljavnosti tako imenovanega standardnega modela elektrošibke in barvne interakcije, ki je bil postavljen pred skoraj štiridesetimi leti. Ta model pravi: fermioni nastopajo v treh, povsem enakih druinah in nimajo mase.
V vsaki druini so kvarki in leptoni, ki nosijo kvantno število, imenovano spin. Opišemo ga z levorono in desnorono fundamentalno upodobitvijo grupe SO(1, 3). Število levoronih fermionov je enako številu desnoronih.
82 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO
Standardni model v svoji prvotni postavitvi desnoronih nevtrinov nima, ker so bile mase do tedaj opaenih nevtrinov nemerljivo majhne in so zato privzeli domnevo, da so mase vseh nevtrinov enake ni. Ta privzetek se je izkazal kot napaen. Desnoroni nevtrini pa po standardnem modelu elektrošibke in barvne interakcije ne nosijo drugega notranjega kvantnega števila kot spin in ronost. Vsi fermioni razen desnoronih nevtrinov nosijo hiper naboj.
V vsaki od druini so kvarki treh barv. Barvo fermionov opiše fundamen- talna upodobitev grupe SU(3). Leptoni barve ne nosijo. So barvni singleti. Vsi levoroni lani druine nosijo šibki naboj, ki ga opiše fundamentalna upodobitev grupe SU(2). Po upodobitvah te grupe so lani druin do- bili ime: Kvarke s kantnim številom 1
2 te grupe poimenujemo za kvarke u, leptonom z istim kvantnim številom pravimo nevtrini, kvarki d nosijo kvantno število −1
2 , ustrezne leptone pa poimenujemo za elektrone. Levo- ronih lanov druine je tako osem: šest kvarkov in dva leptona. Toliko je tudi desnoronih. Desnoroni lani iste druine nosijo enaka imena kot levoroni, etudi desnoroni ne nosijo šibkega naboja, ki je bil vzrok iz- biri imena. Tako lahko za lane druine obdrimo ista imena tudi potem, ko poveejo Yukawine sklopitve levorone lane z desnoroimi v masivne delce. Namesto kvarki ui, kvarki di, nevtrini νi ter elektroni ei, kjer pove i = 1, 2, 3 številko druine, ter s tem kvantno število druine, so kvarki in leptoni razlinih druin dobili drugana imena: u, c, t so imena za kvarke ui, i = 1, 2, 3, d, s, b so imena za kvarke di, i = 1, 2, 3, e, µτ so imena za leptone ei, i = 1, 2, 3 ter νe, νµ, ντ so imena za νi, i = 1, 2, 3. Tem masam pravimo „gole mase” osnovnih delcev. Kvarki se pri energijah pod 1 GeV obleejo še v gluonski oblak, ki jim maso povea za priblino 1/3 GeV/c2. Leptoni ne nosijo barvnega naboja in obdrijo golo maso.
Ne le fermioni, tudi vektorska polja imajo maso enako ni, dokler jih po standardnem modelu skalarna polja ne poveejo v nove tvorbe, to je v su- perpozicijo prvotnih, to je šibkega pra polja ter hiper polj. To novo po- vezavo šibkega pra polja in hiper polja povzroi po standardnem modelu zlomitev simetrije, ki jo doivi skalarno polje, ki nosi šibki naboj v funda-
9
mentalni upodobitvi grupe SU(2) (tako kot leptoni in kvarki katerekoli od treh druin) ter hiper naboj. Po zlomitvi simetrije prispeva komponenta u skalarnega polja k energiji vakuuma od 100 GeV/c2 do 200 GeV/c2, tako pravijo eksperimentalni podatki. Ker interagira s šibkim in hiper poljem, ker nosi njuna naboja, povzroi s to interakcijo, da se zdi kot da bi ena superpozicija teh polj dobila maso priblino 100 GeV/c2, druga, ki jo po zlomitvi vidimo kot elektromagnetno polje, pa ostane z maso ni. Skalarno polje nosi v standardnem modelu ime Higgsovo skalarno polje ali kar Higg- sovo polje.
Ker skalarno polje ne nosi barvnega naboja, barvno pa nosi samo barvni naboj, gluoni in skalarno polje med seboj ne interagirata. Gluoni obdrijo tudi po zlomitvi maso enako ni. Gluoni nosijo barvni naboj v adjungirani upodobitvi grupe SU(3).
Vsi prakvarki, praelektroni in tisti pranevtrini, ki nosijo šibki naboj, no- sijo tudi pranaboj. Prakvarki se interagirajo tako, da si izmenjujejo gluone (pravimo jim barvna polja), prafotone (hiper polja, ki jih rojeva hiper na- boj delcev) in polovica od prakvarkov tudi prašibke bozone (prednike šibkih polj). Praleptoni si izmenjujejo prafotone in tisti, ki nosijo šibki naboj tudi prašibke bozone. Vsi prakvarki in praleptoni imajo maso ni. Tudi vsa prapolja imajo maso ni. Za tako postavljeno teorijo znamo napisati akcijo in posledino izraunati njihove lastnosti vsaj v priblikih. Ta teorija nima realizacije v tem, kar opazimo, saj prav dobro vemo, na primer, da elektroni nimajo mase ni. Zato je v teorijo vkljueno tudi tako imenovano skalarno (ali Higgsovo) polje, ki ima maso od ni razlino. Lastno polje ga je prisililo (neko, v dinamiki vesolja) v zamrznjeno osnovno stanje (v ilustracijo, vodik in kisik se na Zemlji utekoinita). Ker pa nosi skalarno polje prašibki naboj in pranaboj, prisili prašibke bozone in prafotone v nove tvorbe (tudi veina snovi spremeni v vodi lastnosti, atomi se jonizirajo, molekule razpadajo, spremeni se njihova gibljivost, i.t.d.). Tvorbe, ki jim skalarno polje pusti, da se obnašajo kot polja brez mase, izmerimo kot fotone, tiste, ki imajo maso od ni razlino, izmerimo kot teke bozone. Tudi kvarki in leptoni spremenijo, „raztopljeni v vakuum” (tako imenujemo to povsod prisotno
102 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO
in povsod enakih lastnosti „skalarno tekoino”), svoje lastnosti. Skalarni bozoni poveejo prakvarke v kvarke, ki imajo zdaj nenielno maso, in pra- leptone v nove leptone, ki prav tako nosijo maso. Kvarki razlinih druin nosijo razlino maso, tudi leptoni razlinih druin nosijo razlino maso. To povezovanje kvarkov in leptonov v nove tvorbe opravi Standardni model brez pojasnila, kar z zapisom ustreznih lenov v akcijo. Zakaj so nastale druine, zakaj tri in kako si njeni lani „preskrbijo” maso (to je, kaj opra- viuje zapis masnih lenov v akciji), teorija ne pove. Tudi tega ne pove, kaj prisili skalarno polje v „tekoino” (to je v vakuumsko stanje). Pove pa, kako se spremenijo interakcije med kvarki, leptoni in polji glede na interakcijo med prakvarki, praleptoni in prapolji, ko se skalarno polje „utekoini”. Vse proste parametre modela, okoli 25 jih je, doloijo s poskusi. Od tu dalje, to je od kvarkov in leptonov, ki imajo maso od ni razlino, do gru kvarkov, ki jih razpoznamo kot protone, nevtrone, pione, kaone, sigma mezone in druge hadrone in naprej do atomov, molekul, snovi, osonij galaksij, jat galaksij, vesolja, se zdi pot ravna. Pri tem igra poglavitno vlogo etrta sila, ki ji pravimo gravitacijska. Vsa fermionska in bozonska polja, elementarna ali grue elementarnih polj, tedaj tudi sonca planeti, galaksije in jate galaksij rojevajo gravitacijsko polje, ki jih privlai.
etudi se zdi, da naelnih problemov pri iskanju enab gibanja in njihovih rešitev za grue delcev, denimo hadronov, atomov, snovi, ni pa je iskanje rešitev najvekrat neobvladljiva naloga. Ne le, da nam manjkajo mnogokrat konkretna navodila, denimo, kako priti od kvarkov do hadronov. Skoraj povsem smo brezmoni pri obravnavanju gru vejega števila delcev, ker je dogajanje tako pestro, da ga raunsko ne obvladamo. Zato se zelo hitro odreemo naelnemu obravnavanju, ki ga formalno sicer znamo zapisati. Namesto tega si postavljamo „fenomenološke nadomestke” za opis opazljivih fenomenov v hadronski fiziki, v fiziki jedra, v fiziki snovi—tekoe in trdne.
Standardni model elektrošibke interakcije ni mnogo ve kot fenomenološki model, etudi je uinkovit (doslej ni niti enega poskusa, ki bi ponudil ka- kršenkoli namig, da Standardni model odpoveduje) in v marsikaterem smislu tudi „eleganten”. Potrebno ga bo postaviti v kontekst širše teorije, ki bo
11
odgovorila na mnoga vprašanja, ki jih puša Standardni model odprta. Po- dobno je posebna teorija relativnosti posplošila klasino mehaniko na ob- moja hitrosti, ki so blizu svetlobni in kvantna mehanika klasino mehaniko na obmoja, kjer delcev, denimo elektronov v atomu, ni mogoe dovolj dobro (z natannostjo, ki jo doseejo meritve) opisati s potmi elektronov znotraj atoma. Kvantna relativistina mehanika kvarkov in leptonov ter gluonskih, šibkobozonskih in fotonskih polj je ponudila naelne odgovore na vprašanja v obmoju velikih hitrosti in kvantnih efektov. Kvantna teorija polja je dokaj uinkovito, etudi ne povsem elegantno matematino orodje (e ele- ganca pomeni preprostost in povsem definirana pravila) nas pusti na cedilu pri kvantni teoriji gravitacijskega polja. Gravitacijsko polje postane domi- nantno, ko se planeti in sonca poveejo v osonja, osonja v galaksije, te v jate, jate v Vesolje. Preprosti Standardni kozmološki model, zgrajen na splošni teoriji relativnosti (Einsteinovi teoriji gravitacije) napoveduje zgo- dovino našega vesolja in jo preko meritev rnega sevanja preverja. etudi marsiesa v zgodovini našega vesolja ne znamo pojasniti, pa gre Standard- nemu kozmološkemu modelu, skupaj z opravljenimi meritvami, verjeti, na primer, da je v starosti ene sekunde bilo Vesolje plazma iz protonov, elek- tronov in nevtronov, (pa tudi iz delcev, ki jim izvora še ne poznamo in prispevajo danes sedemkrat toliko h snovi v vesolju kot snov, ki smo jo opazili preko svetlobnega sevanja) da se je pri eni minuti vesolje ohladilo na milijardo stopinj Kelvina, ter da fotoni, ki so tedaj nastali in so imeli energijo nekaj mega elektronvoltov, zdaj prihajajo na Zemljo ohlajeni v pov- preju na manj kot tri stopinje kelvina in jih opazimo kot rno sevanje pri tej temperaturi. e zaupamo Standardnemu kozmološkemu modelu tudi do nastanka vesolja, ko je bilo tako „mlado” kot je nekaj deset na (-42) potenco sekunde, in je gravitacija odigrala dominantno vlogo, se kvantni teoriji gravitacijskega polja skoraj ne moremo odrei, etudi je še ne znamo matematino zapisati.
Vesolje, osnovne gradnike snovi, pa tudi grue osnovnih gradnikov opazu- jemo s poskusi in modeli v iteraciji: z modeli napovedujemo, s poskusi preverjamo napovedi modelov, rezulati preverjanj modelom pritrjujejo ali pa ne.
122 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO
e Standardni model elektrošibke interakcije ni model, za katerega pria- kujemo, da bo veljal tudi v druganih, še ne preverjenih razmerah, kaj je potem pravi model, ali prava teorija, in e e ne prava teorija vsaj teorija, ki bo odgovorila na tista vprašanja v fiziki osnovnih delcev, ki jih vidimo sedaj?
13
3 Kratka ponovitev klasine relativistine meha- nike
Enabe gibanja lahko za vsak sistem tkastih ali razsenih delcev izpeljemo iz akcije. To je zelo uporaben nain, e le znamo poiskati primerne pa- rametre, primerne koordinate, e razspoznamo simetrije sistema, sile med gradniki sistema ter znamo zapisati primerno Lagrangeovo funkcijo. Vodilo, kako razspoznati vse potrebno so izkušnje, ki rastejo s številom uspešno opi- sanih sistemov.
V relativistini fiziki opišemo gibanje tokastega delca, ki se giblje v poten- cialu vseh ostalih delcev tako, da poišemo odvisnost vseh njegovih koordi- nat, ene asovne in (d-1) prostorskih,
xa, a = 0, 1, 2, 3, 5, .. (1)
od nekega parametra, recimo mu τ , pri predpostavki, da so xa(τ) monotone funkcije parametra τ . Vsi teoretini opisi sistemov so zgrajeni na zaetnih predpostavkah, ki sledijo iz opazovanj, premislekov in izkušenj.
Skalarni produkt dveh vektorjev zapišemo v relativistini fiziki s privzetkom, da je predznak pred asovno komponento drugaen kot pred prostorskimi.
xa xa := (xo)2 − ∑ i
To nam narekujejo izkušnje [?]. Pri takem zapisu napovedo relativistine enbe gibanja prave lastnosti relativistinih delcev. Maxwellove enabe so hermitske, prav tako tudi relativistine enabe gibanja za fermione, energija je realna koliina. Ko vpeljemo metrini tenzor
ηab =
1 0 0 · · · 0 0 0 −1 0 · · · 0 0
. . . 0 0 0 · · · 0 −1
, (3)
xaxa = xax a = xaηabx
b = xaη abxb, (4)
pri tem je ηab = ηab. Skalarni produkt zapišemo lahko tudi takole
xT ηx, (5)
v matrini obliki. Dogovorimo se, da oznauje xa(= (x0, x1, ·, xd)) cel vektor veterec, razen kadar povdarimo, da gre za eno samo komponento. Kadar se isti indeks pojavi dvakrat, enkrat kot zgornji in enkrat kot spodnji, po dogovoru po tem indeksu vselej seštejemo.
Skalarni produkt zelo majhne razlike dveh vektorjev imenujemo interval
ds2 = dxa dxa = dxa ηab dx b. (6)
Ta izraz je kovarijanten na spošne koordinatne transformacije (njegova ve- likost se pri splošnih koordinatnih transformacijah ne spremeni)
ds2 = dxa ηab dx b =
∂xa
∂x ′c ∂x′c
g′ = J T ηJ . (8)
Tedaj je det(J T ηJ ) = det g′. Volumski element v novih koordinatah za- pišemo: ddx = detJ ddx′ =
√ det g′
det η d dx′ (Premislek je naslednji: det g′ =
detJ T det η detJ = (J )2 det η, ddx = detJ ddx′ = √
det g′
ddx √
det g′.)
Primer: V pravokotnem koordinatnem sistemu ima vektor komponenti (x1 = ρ cosφ, x2 = ρ sinφ), poiši komponenti v sistemu, kjer je abscisna os nespremen- jena, nova ordinatna os pa je od stare zasukana za kot π
2 − θ. (Tedaj x1 = x′1 +
15
x′2 cos θ, x2 = x′2 sin θ.) Pokai, da je J 1 1 = 1 J 1
2 = cos θ,J 2 1 = 0,J 2
2 = sinθ. Pokai, da je(g′ = J T ηJ )
g = (
) , (9)
ds2 = (dx1)2 + (dx1)2 = (dx′1)2 + (dx′1)2 + 2dx′1dx′2 cos θ, det g′ = sin2 θ.
Transformacije, pri katerih ostaja metrini tenzor η nespremenjen,
g′ab = ηab, (10)
imenujemo Poincaréjeve transformacije. Sistemi, ki niso v nobeni interakciji z okolico, imajo vselej to simetrijo: Enabe gibanja tedaj niso odvisne od translacije in rotacije koordinatnega sistema.
Spremenimo koordinatni sistem tako, da so spremembe zelo (infinitezi- malno) majhne
x′a = xa + εa(x), | ε a
x′a | << 1. (11)
g′ab = ∂xc
∂x′a ηcd
+ · · · . (12)
∂x′f ≈ ∂εe
Poincaréjeve transformacije je g′ab = ηab in sledi
−( ∂εb ∂xa
+ ∂εa ∂xb
) = 0. (13)
εa = aa + ωabx b. (14)
163 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
Ko vstavimo to rešitev v Eq. (14), sledi
ωab + ωb a = 0. (15)
Skupno število prostih parametrov aa in ωab je pri Poincar’ejevi simetriji je
d+ d(d− 1)
2 . (16)
Antisimetrini tenzor dimenzij d×d ima namre d(d−1) 2 prostih parametrov,
a pa tee od 1 do d.
Poincaréjeve transformacije imajo prav toliko prostih parametrov: d kom- ponent vektorja, ki translira koordinatni sistem ter d(d−1)
2 parametrov, ki doloajo rotacije. Evklidske rotacije v d−1 razsenem prostoru so obiajne rotacije, teh je v prostoru z eno asovno in (d−1) prostorskimi koordinatami (d−1)(d−2)
2 , preostale d(d−1) 2 − (d−1)(d−2)
2 = d− 1 imenujemo potiske.
Ortogonalne transformacije
Za evklidski prostor velja preprostejši zapis od (3), ker je metrini tenzor identiteta I. Oznaimo matriko transformacij z a, x′a = aabx
b, ali x′ = ax. Tedaj bo za evklidsko metriko veljalo
x′ T x′ = (ax)Tax = xTaTax = xTx, (17)
kjer velja aTa = I.
Vse ortogonalne transformacije imajo d(d−1) 2 prostih parametrov, ne glede
na signaturo (predznak diagonalnih enic v metrinem tenzorju). e oz- naimo parametre, ki nam povedo, kakšno transformacijo elimo opraviti, z
17
vektorjem ~α in matriko transformacij ne glede na signaturo z a bo veljalo
a(~α)a(~β) = a(~γ), Ia(~α) = a(~β)I,
(a(~α)a(~β))a(~γ) = a(~α)(a(~β)a(~γ)) a−1(~α)I = Ia(~α)−1, (18)
kar pomeni, da tvorijo njeni elementi grupo ortogonalnih transformacij.
Primer: Rotacije v dvorazsenem prostoru zapišemo z matriko z enim parametrom, ki ima determinanto enako 1
a = (
) .
V trirazsenem prostoru z evklidsko metriko izberemo obiajno za para- metre tri „Eulerjeve kote”. Poglejmo širirazsene ortogonalne transforma- cije v Minkovskega metriki, ko rotacije prizadenejo asovno konponento. Od šestih parametrov izbiramo tedaj le tri, e se za rotacije v trirazsenem prostoru z evklidsko metriko ne menimo.
Poglejmo Poincaréjeve transformacije s poljubno signaturo v d-razsenem prostoru. Oznaimo matriko ortogonalnih rotacij z Λ, vektor translacij koor- dinatnega sistema pa z aa. Tedaj bo veljalo
x′a = xa + aa + Λabxb. (19)
Za ortogonalne transformacije bo veljalo
xaηabx b = x′aηabx
183 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
Poglejmo primer Minkovskega signature, d = 1 + 3.
Parametrizirajmo
Λ0 0 = γ, Λij = δij + aβi βj . (22)
Iz En. (21) in En. (22) sledi za c = 0 = d izraz, ki povezuje vse tri parametre βi, i = 1, 2, 3, ter parameter γ. Parameter a lahko izrazimo z βi, e izberemo c = 0 in d = i, za katerikoli i = 1, 2, 3.
Tedaj dobimo
βi βj . (23)
Pomena βi ni teko razumeti. Naj opazovano telo miruje v sistemu S. Tedaj mu tee samo as: dxa = (dx0,~0). V gibajoem se sistemu S′ bo vektor telesa dx′a = (dx′0, ~dx′). Tedaj dobimo
dx′a = Λa0dx 0,
Pokai, da se ∂ ∂x′a transformira kot dx′a, ter
∂ ∂x′ a transformira kot dx′a!
Navodilo: Pomnoi enabo dx′a = Λabdxb z Λac ter upoštavaj, da je ΛabΛac = δcb. Tedaj sledi ∂
∂x′a .
3.1 Kratek uvod v iskanje enab gibanja
Pri obravnavanju sistemov na katerem koli fizikalnem podroju elimo imeti neko splošno navodilo, ki nas bo pripeljalo do enab gibanja, ter za doloeno izbiro robnih pogojev (ki nam povedo, katere rešitve nas zanimajo) tudi do rešitev.
Princip najmanjše akcije je mono matematino orodje na vseh podrojih fi- zike. Uspešno ga uporabljamo v klasini mehaniki sistemov tokastih in raz- senih delcev, v mehaniki tekoin, pri membranah, v relativistini klašini mehaniki, v kvantni relativistini in nerelativistini mehaniki in drugod. Pripelje nas do enab gibanja, kadar znamo izbrati primerno akcijo. Dina- miko sistema pa nam pomagajo razumeti tudi Hamilton-Jacobijeve enabe. Na kratko povzemimo obe orodji.
3.1.1 Princip najmanjše akcije
Princip najmanjše akcije je preprosto orodje. Ponovimo ga na kratko najprej za sistem tokastih delcev v relativistini klasini mehaniki, potem pa še za sistem vektorskih polj.
Opisujemo sistem N tokastih delcev s koordinatami xaα, α = 1, N . Pred- postavimo, da poznamo funkcijo, imenujemo jo Lagrangeovo funkcijo, ki je funkcija koordinat naših N delcev, njihovih prvih odvodov po parametru τ (dx
a α
dτ ) ter parametra τ . Predpostavimo, da so xaα monotone funkcije parame- tra τ . Predpostavimo še, da poznamo vse koordinate xaα za dve vrednosti parametra τ , denimo za τ = τ1 in τ = τ2. Te vrednosti nam pomagajo izbrati tiste poti delcev, ki nas zanimajo. Zagovor, zakaj naša L(xaα,
dxaα dτ , τ)
ne vsebuje višjih odvodov, je preprost. Tak privzetek nas bo pripeljal do enab gibanja, katerih rešitve so v soglasju z dosedanjimi izkušnjami skoraj na vseh podrojih fizike. Je hkrati tudi najbolj preprost privzetek, ki nas pripelje do e poznanih in uspešno uporabljenih enab gibanja. Izjemoma
203 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
nam prav pridejo tudi višji odvodi, vendar vselej doslej kot nadomestilo za dinamiko tistih delcev ali polj, ki jo nismo hoteli, nismo zmogli ali nismo znali upoštevati na enak nain kot vse ostale. Zapišimo akcijo
S = ∫ τ2
x aα := dx aα dτ
. (26)
Poišimo prvo variacijo te akcije in jo postavimo enako ni. Naši variacijski objekti so xaα. Vemo: variacije koordinat pri τ1 in τ2 so ni (δxaα|τ1 = 0 = δxaα|τ2 .) Privzemimo tudi, da so koordinate take funkcije parametra τ , da velja δ dx
a α
dτ = dδxaα dτ . V veini primerov so funkcije, ki jih v fiziki sreamo
poljubno mnogokrat odvedljive: C∞. Ne pa vselej, zato je previdnost in preudarnost na mestu. Pri zgornji predpostavki smo zahtevali, da so koor- dinate enkrat odvedljive funkcije parametra τ . Tedaj velja
0 = δS = S(xaα + δxaα)− S(xaα)
= ∫ τ2
τ1
}. (27)
Zadnji len je ni, ker je variacja vseh koordinat δxaα na obeh mejah enaka ni, njihove vrednosti so poznane številke. Prvi len pa bo pri majhnih, a poljubnih spemembah koordinat, enak ni, e bodo koeficienti pri spemem- bah koordinat enaki ni. Sledijo enabe
∂L
3.1 Kratek uvod v iskanje enab gibanja 21
Enabe imenujemo Euler-Lagrangeove enabe gibanja za sistem tokastih delcev. Pogoji xaα|τ1 = xaα1 in xaα|τ2 = xaα2 nam izberejo poti delcev med vsemi tistimi, ki jih doloajo enabe gibanja.
∂L
paα = ∂L
Za izbrane variacije koordinat in pri Lagrangeovih funkcijah, ki opisujejo sisteme z neko simetrijo, je lahko totalni odvod d
dτ
∂x aα } v en-
abi Eq.(28) enak ni povsod in ne le na mejah. Tedaj je ∑
α {δxaα ∂L(xa
∂x aα }
konstanta. Tako bo veljalo za sisteme, ki niso v interakciji z okolico, da bo za δxaα = aa + ωabx
b, to je za Poincaréjeve transformacije, ∑
α {δxaα ∂L(xa
konstanta, ne glede na to, kakšne so sile med delci.
Poglejmo tak primer. Imejmo sistem delcev, ki ima lahko zelo pestro gi- banje pod vplivom medsebojne interakcije, z okolico pa delci nimajo nobe- nega stika, nobenega sodelovanja. Tedaj morajo imeti enabe gibanja za ta sistem delcev ter s tem tudi Lagrangeova funkcija, posledino pa tudi akcija Poincaréjevo simetrijo. Tedaj je
∑ α {δxaαpαa} neodvisna od τ pri
poljubni translaciji (δxaα = aa) in poljubni rotaciji koordinatnega sistema (δxaα = ωab x
b α). Tedaj sledi
∑ α
(xaαpαb − xbαpαa) = konstanta. (30)
V prvem primeru sledi, da je konstanta vektor etverec vsote gibalnih koliin delcev, v drugem primeru pa je konstanta tenzor vsote vrtilnih koliin delcev
Labα := xaαpαb − xbαpαa. (31)
Vektor etverec vsote gibalnih koliin in tenzor vsote vrtilnih koliin sistema delcev je neodvisen od parametra asa τ (ne glede na to, kaj zanj izberemo), kadar sistem ni v nobenem stiku z okolico, ne glede na medsebojne sile.
223 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
Zgornji ugotovitvi sta daljnoseni. Ni potrebno, da vemo kaj se dogaja v sistemu delcev, kakšne reakcije sile sproijo, pa vseeno lahko potegnemo zakluke naslednje vrste: e poznamo vektorje etverce gibalnih koliin delcev, ki vstopajo v reakcijo, nam zgornja ugotovitev pove, da bo vsota gibalnih koliin vseh delcev, ki pri reakciji nastanejo, enaka vsoti gibalnih koliin delcev, ki v reakcijo vstopajo. Podobno velja tudi za vse komponente tenzorja vrtilne koliine. V kvantni mehaniki od tod izpeljemo (to bomo tudi izpeljali), da kvantni sistemi, ne glede na to, kakšne sile jih povezujejo v grue, imajo v osnovnem stanju lahko vrtillno kolicino samo 0, 1
2 , 1, 3 2 , 2, · · · .
Lagrangeove funkcije nismo predpisali. Njena izbira je odvisna od mas tokastih delcev in od sil med njimi. Mnogokrat Lagrangeove funkcije ni lahko poiskati, premislek o simetrijah sistema in s tem tudi o simetrijah Lagrangeove funkcije nam iskanje poenostavi.
Poglejmo še totalni odvod Lagrangeove funkcije po parametru τ
dL
Od tod sledi, ko upoštevamo enabe gibanja ∂L ∂xaα − d
dτ ∂L ∂x aα
∂τ . (33)
Kaj nam enaba pove? e Lagrangeova funkcija ni eksplicitno odvisna od parametra τ , je izraz L−
∑ α pαa x
a α neodvisen od parametra τ . e je naš
parameter τ , denimo, asovna koordinata x0, tedaj je Lagrangeova funkcija neodvisna od x0. To se zgodi vedno, kadar sistem, ki ga opazujemo, ni v nobenem stiku z okolico. Vsi sistemi, ki jih povezujejo Poincaréjeve trans- formacije, to je translacije in Lorentzove rotacije v (1 + (d− 1))-razsenem prostoru (najvekrat bomo obravnavali primere, ko d ne bo veji kot štiri), vodijo do enakih enab gibanja. V nerelativistini limiti govorimo o trans- lacijah in rotacijah v trirazsenem prostoru, od potiskov pa so dovoljene
3.1 Kratek uvod v iskanje enab gibanja 23
Galilijeve transformacije, ki spremenijo hitrosti za konstanten vektor v tri- razsenem prostoru. Tedaj govorimo o inercialnih sistemih.
3.1.2 Hamilton-Jacobijeve enabe gibanja in Poissonovi oklepaji
Hamilton-Jacobijeve enabe gibanja so koristen pripomoek pri doloanju dinaminih lastnosti sistemov, njihovih simetrij in mnogokrat tudi pri is- kanju rešitev enab gibanja.
Definirajmo izraz na levi strani enabe (33) kot Hamiltonovo funkcijo
H := L− ∑ α
Iz enabe (33) preberemo, da je ∂H ∂τ = ∂L
∂τ ter da je totalni odvod Hamilto- nove funkcije enak ni, kadar Lagrangeova funkcija ni eksplicitno odvisna od parametra τ .
Ker je
dH = ∑ α
{dxaα ∂L
α pαa}+ dτ ∂L
∂τ , (35)
sledi, ko upoštevamo Euler-Lagrangeove enabe, da je dH = dxaα d p αa − x a α pαa + dτ ∂L
∂τ in od tod
α , ∂H
∂τ = ∂L
∂τ , (36)
za vsak α in vsak a = 0, 1, 2, 3. Lagrangeova funkcija je funkcija koordinat xaα, odvodov
dxaα dτ ter parametra τ . Hamiltonova funkcija je, kot preberemo
v enabi (36), funkcija koordinat xaα in konjugiranih momentov (gibalnih koliin) pαa ter parametra τ . Medtem ko so Euler Lagrangeove enabe en- abe z drugim odvodom koordinat po parametru τ , so Hamilton-Jacobijeve
243 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
enabe enabe prvega reda po dveh vrstah neodvisnih spremenljivk xaα in pαa.
Definirajmo Poissonove oklepaje:
). (37)
Tedaj bo veljalo, da lahko totalni odvod neke opazljivke A po parametru τ zapišemo s pomojo Poissonovih oklepajev takole
dA dτ
= ∂A ∂τ
Poissonovi oklepaji doloajo dinamiko opazljivk. Pri iskanju predpostavk, ki nas bodo pripeljale v kvantno dinamiko, odigrajo Poissonovi oklepaji pomembno vlogo, doloajo algebro operatorjev. Ko izraunamo Poisso- nove oklepaje opazljivk, poznamo tudi komutatorje ustreznih operatorjev. S predpisom bomo doloili ustrezne relacije.
Zlahka izraunamo
. (39)
Primeri:
1. Pokaite, da je {xa, pb} = ηab.
2. Pokaite, da je {Lab, Lcd} = ηad Lbc + ηbc Lad − ηac Lbd − ηbd Lac. 3. Poišite za harmonski oscilator (L = m
2 (d~xdt )2 − k 2~x
2) Hamiltonovo funkcijo, Hamilton-Jacobijeve enabe, poišite Poissonove oklepaje za a = 1√
2mωh (mωx+ip)
in a∗: {a, a}P , {a∗, a∗}P , {a, a∗}P .
3.2 Sistem neodvisnih relativistinih delcev
Za sistem prostih delcev mora biti akcija skalar glede na translacije in ro- tacije v štiri razsenem prostoru-asu: Ker niso v nobenem stiku z okolico,
3.2 Sistem neodvisnih relativistinih delcev 25
morajo biti enabe gibanja in s tem tudi tudi Lagrangeova funkcija neodvisni od štirirazsenih rotacij in translacij (Poincaréjevih transformacij) koordi- natnega sistema. Interval ds je edina skalarna funkcija koordinat glede na Lorentzove rotacije, ki smo jo doslej sreali in ker je tudi invariantna na translacije (d(xa + aa) = dxa), je akcijo smiselno zapisati takole
S = ∑ α
, (40)
a = 0, i; i = 1, 2, 3, α šteje delce in oznauje koordinato delca α. Akcija je oitno (manifestno) invariantna na izbiro parametra (reparametrino inva- riantna), saj je vsaka izbira parametra τ enako dobra. Lagrangeova funkcija L =
√ x ax a zavisi od izbire parametra. Kot primer izberimo za parameter
laboratorijski as delca, ki ga opazujemo. Index α tokrat izspustimo.
S = α
∫ x0 2
x0 1
L = α √
1− ( d~x dx0 )2, kjer je ~x = (x1, x2, x3). Razvijmo L v vrsto po kvo-
cientu d~x dx0 . Tedaj L = α(1− 1
2 ( d~xdxo )2− 1 8 ( d~xdxo )4 + · · · ). Za majhne vrednosti
| d~x dx0 | sledi znana nerelativistina Lagrangeova funkcija za prost delec, e za α izberemo −mc, upoštevamo vrsto do kvadratinega lena, konstanto pa izpustimo, saj vodi Lagrangeova funkcija, ki ji prištejemo konstanto, do enakih enab gibanja, kot prvotna. Od nerelativistine do relativistine La- grangeove funkcije pridemo tako, da prištejemo vse sode potence kvocienta d~x dx0 s koeficienti, ki jih doloa razvoj relativistine Lagrangeove funkcije. Vsak od teh lenov je invarianten na rotacije in translacije v prostorskem delu štiri razsenega prostora-asa. Koeficiente bi bilo nemogoe doloiti iz eksperimenta, preverimo pa jih lahko potem, ko smo postavili relativistino teorijo.
Zastavi se nam vprašanje, zakaj smo za Lagrangeovo funkcijo vzeli samo funkcijo prvih odvodov koordinat po parametru, ne pa tudi višjih odvodov koordinat po parametru. Odgovor je: e tako ravnamo, je Lagrangeova
263 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
funkcija preprosta in ponudi enabe gibanja, ki jim eksperiment pritrdi (dokler ne postanejo merljive kvantne lastnosti narave).
Odvisnost Lagrangeove funkcije od koordinat delcev prinese interakcijo med delci, ki je za sistem prostih delcev ni. Obravnavali pa jo bomo v naslednjem poglavju.
Za akcijo lahko izberemo tudi
S = 1 2
kjer je ηα = ηα(τ). Tedaj je paα = 1 ηα
dxaα dτ . e variramo akcijo (42) po xaα in
ηα, pridemo do istih enab gibanja kot e variramo akcijo (41).
Vaja: Pokai, da je zgornja trditev pravilna.
V obeh akcijah (41, 42) je konstanta α izraena z masami delcev: za vsako maso moramo vstaviti drugo konstanto. Prostih parametrov je toliko, koli- kor je razlinih mas, torej skoraj poljubno mnogo. V kvantni mehaniki lahko enabe gibanja posplošimo tako, da postanejo skoraj neodvisne od mas del- cev pri privzetku, da so mase delcev ni. Interakcije med delci (polji v kvantni mehaniki) prinesejo delcem in gruam delcev mase. Tako masa del- cev ni ve prost parameter. V Newtonovih enabah, ki so efektivne enabe gibanja, uporabne v nerelativistini mehaniki dokler ni merljiv relativistini in kvantni znaaj, pa ostaja masa delca kot parameter, ki ga prilagodimo delcem. Tudi v relativistini klasini mehaniki je masa še vedno parameter, ki ga prilagodimo lastnostim delcev, ki jih obravnavamo.
Konjugirani momenti so za proste delce tedaj, ko je Lagrangeova funkcija odvisna od τ ,
paα = mαc dxaα dτ
3.2 Sistem neodvisnih relativistinih delcev 27
Vektor gibalne koliine vsakega od delcev (in ne le vektor celotne gibalne koliine sistema, kar velja v splošnem, kadar so delci med seboj v interakciji, niso pa v interakciji z okolico) je konstanta, ni odvisna od parametra τ . Euler-Lagrangeove enabe gibanja nas pripeljejo do
dpaα dτ
= 0, (44)
za vsako komponento vektorja vsakega delca. Izraunajmo paαpαa = m2 αc
2; to je poznana Einsteinova relacija za kvadrat vektorja etverca gibalne ko- liine.
Imenujmo Lagrangeovo funkcijo (41) za prost delec L0α = mαc dsα dτ in us-
trezni konjugirani moment (gibalno koliino) pa0α.
Prost parameter, ki ga doloimo za vsak delec, ki ga obravnavamo, je tudi naboj delca. V nerelativistivni klasini mehaniki doloimo predvsem (ali skoraj samo) dve vrsti naboja: a) elektromagnetnega in b) gravitacijskega. Slednjega (skoraj) ne imenujemo naboj, ker je odvisen od mase delcev (v relativistini fiziki pa od njihove energije). V kvantni mehaniki pa nosijo delci tudi druge naboje: šibki, barvni in tudi spin. Vse naboje opišemo tako, da jih poveemo z grupami. Prostor, nad katerim so naboji in spin definirani, pa je dodatna prostostna stopnja h koordinatnemu prostoru, ki ga e poznamo. Imenovali ga bomo notranji prostor.
Primer: Vzemi akcijo za prost relativistini delec (42) ter ustrezno L = −mc2 √
1− ∑ i (βi)2.
Vprašanja študentov: e vzamemo za akcijo S =
∫ dτL in za Lagrangeovo funkcijo L = α
√ dxa
potem je Hamiltonova funkcija H = dxa
dτ pa −L identino enaka ni. Kaj je potem z enabami (36)? Ali so sploh smiselne?
Odgovor: Hamilton-Jacobijeve enabe veljajo za vsako Lagrangeovo funkcijo, ki
283 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
ustree zahtevam, ki smo jih zapisali ob uvedbi. Izbira L = mc dsdτ je nerodna, ko elimo poiskati Hamiltonovo funkcijo za prost delec kot funkcijo koordinat in konjugiranih impulzov. Najdemo
H = H(xa, pa) = mc ds
dτ ( papa m2c2
mc , ne vemo prav dobro kako ravnati z ds dτ .
Primernejši zapis v ta namen je tisti v enabi (42). Tu je η po predpostavki funkcija samo parametra τ in je ena od spremenljivk, po kateri variramo. (Variacija akcije
po η prinese η = 1 mc
√ ds dτ ) Za konjugirani impulz najdemo: pa =
dxa
dτ
η .
dτ , η)
∂H
∂xa = 0 =
dpa dτ
, −∂H ∂pa
= ηpa = dxa
dτ . (47)
Pri takem zapisu Lagrangeove funkcije za prost delec ni teav. Lagrangeovi funkciji L(xa, dx
a
dτ , η) in mc dssτ sta ekvivalentni in podobna sta tudi izraza za Hamiltonovi funkciji v enabah (45) in (46), le da je v drugem primeru η po privzetku funcija samo τ.
Zakljuimo to podpoglavje z ugotovitvijo, da vodijo v nerelativistini limiti Euler-Lagrangeove in Hamiltonove enabe do poznanih Newtonovih enab v inercialnem sistemih. Kadar naš delec ali sistem delcev ni v nobeni inter- akciji z okolico, se sistemu ohranja vektor d-terec gibalne koliine (energija in gibalna koliina) ter tenzor rotacij v d-razsenem prostoru.
3.3 Delci v zunanjem polju 29
3.3 Delci v zunanjem polju
Denimo, da obstaja neko poznano polje Aa = Aa(xc), ki je funkcija vseh štirih koordinat in je Lorentzov etverec, A′a = ΛabAb, z lastnostjo, da je vsak od delcev sklopljen s poljem. Delci se gibljejo pod vplivom tega polja, za katerega privzemimo, da ga delci ne zmotijo. Delci in vektor etverec polja so sklopljeni preko konstant βα. Drugih interakcij med delci ni. elimo zapisati ustrezno Lagrangeovo funkcijo, bo še vedno invarjantna na štiri razsene rotacije in translacije. Ker so delci sklopljeni samo s poljem, zadoša, e zapišemo Lagrangeovo funkcijo ya vsak delec posebej
Lα = Lα0 + βαA adxaα dτ
= mα c
√ dxaα dτ
dxαa dτ
Aa . (48)
Išemo pot delca, ko je pod vplivom poznanega polja Aa. Zato so variacijski objekti še vedno samo koordinate delca. Euler-Lagrangeove enabe (28) ostajajo v veljavi. H konjugiranemu momentu pαa = ∂Lα
∂ dxaα dτ
prispevata zdaj
in izraunamo ∂Lα ∂xaα
Lagrangeove enabe obliko
βα ∂Ab ∂xaα
x a α −
dτ (pα0a + βαAa) = 0. (50)
Zanima nas sprememba gibalne koliine delca (in ne sistema), ki jo lahko izmerimo
d
Upoštevali smo, da je dAa
dτ = ∂Aa
kompaktni obliki tudi takole
303 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
Fab = ∂Aa ∂xb − ∂Ab ∂xa
. (53)
F ab = −F ba, (54)
in ostane nespremenjen, e polju Aa prištejemo ∂Φ ∂xa
, e je φ skalarna funk- cija glede na Lorentzove transformacije (ostane pri širirazsenih rotacijah nespremenjena)
F ′ab = F ab, F ′ab = ∂(Aa + ∂Φ
∂xa ) ∂xb
− ∂(Ab + ∂Φ
∂xa . (55)
Ta zadnja lastnost tenzorja polja je poznana pod imenom lokalna umerit- vena invarianca. Z njo se bomo še sreali.
Vrnimo se k enabi (52). e postavimo
βα = eα c , F0i = E i, F ij = −
∑ k
εijkcBk, i = 1, 2, 3, (56)
kjer je εijk antisimetrini tenzor za vse indekse in je ε123 = 1, razspoznamo v enabi (52) Lorentzove zakone. Pomnoimo enabo na obeh straneh z dτ dx0 . Izberimo najprej a = 0, potem pa še a = i. Sledi
dEα0
α0,
d ~xα dt
, (57)
kjer je eα elektromagnetni naboj delca, ~E elektrina poljska jakost, ~B ma- gnetna poljska gostota, t pa laboratorijski as. Upoštevali smo, da je pα0a = (Eα0/c,− ~pα0).
Zapišimo tenzor elektromagnetnega polja še z elektrino poljsko jakostjo in magnetno poljsko gostoto
~E = − ∂ ~A
∂x0 − ∂A0
3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v prisotnosti poznanih izvorov31
Poišimo še rotor elektrine poljske jakosti in divergenco magnetne poljske gostote
rot~E + c ∂~B ∂x0
= 0, ∇c~B = 0. (59)
Upoštevali smo, da je rot∂A 0
∂~x = 0. Dobili smo dve relaciji, ki ji pravimo statini, ker sledita iz definicije tenzorja in veljata vedno, neodvisno od izvorov za polja, ki so zvezne funkcije koordinat. Pozneje bomo morali drugo enabo v prisotnosti magnetnih monopolov popravili. Tedaj tudi polje Aa
ne bo ve „pohlevno", ne bo imelo lastnosti, ki smo jo tu predpostavili, da je ∇rot ~A = 0.
Predpostavka o vektorju etvercu polja Aa, ki da je sklopljen z našim del- cem, nas je elegantno privedla do Lorentzovih zakonov, potem ko smo antisi- metrine odvode polja Aa povezali z elektrino poljsko jakostjo in magnetno poljsko gostoto ter parameter βα = eα
c z nabojem delca. Tako kot je masa delca parameter, je tudi naboj parameter, ki ga moramo na roko postaviti v enabo.
V kvantni mehaniki bodo enabe bolj elegantne. Naboje bomo nadomestili z operatorji, tako da bo konstanta za vse delce ista. Poleg elektromagnetnega pa bomo uvedli tudi druge naboje.
3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v prisotnosti poznanih izvorov
Podobno elegantno kot smo prišli do Lorentzovih zakonov, poskusimo priti tudi do ena gibanja za elektromagnetno polje. Izpeljimo tedaj Maxwellove
323 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
enabe
(60)
s pomojo principa najmanjše akcije in s predpostavko, da vektor Aa doloa elektromagnetno polje (do ∂φ
∂xa ).
Poišimo enabe gibanja najprej splošno s pomojo akcije, ki jo bomo vari- rali po poljih Aa, ki zanje išemo enabe gibanja. Zdaj so naši variacijski objekti odvisni od vseh koordinat (in ne le od enega parametra). Imenujmo zato Lagrangeovo funkcijo Lagrangeovo gostoto L, ki jo bomo integrirati po vseh parametrih, tedaj po d4x = dx0dx1dx2dx3, da dobimo akcijo.
Predpostavimo, da je naša L funkcija koordinat ter samo prvih odvodov polja Aa po koordinatatah. Ta predpostavka se izkae kot smiselna. Enabe gibanja, ki nam jih bo pri taki predpostavki ponudila zahteva, da je prva variacija akcije enaka ni, bodo tedaj ravno izmerjene Maxwellove enabe. Tedaj
L = L(Aa, ∂Aa
∂Aa
∂xb ).
Faktor 1 c smo zapisali, ker je v navadi, da zapisemo volumski element kot
dV = dtd3x. Prva variacija akcije nam prinese pri predpostavki, da so polja zvezne funkcije koordinat in tudi zvezno odvedljive, tako da velja δ ∂A
a
∂Aa − ∂
3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v prisotnosti poznanih izvorov33
Zadnji len razspoznamo za integral po trirazseni ploskvi, ki jo je smiselno izbrati kot sfero (S2) ob dveh izbranih asih in predpostavki, da so to robni pogoji s poznanimi vrednostmi za polje Aa ter je tedaj δAa v zadnjem lenu enaka ni. Variacija akcije bo tedaj enaka ni pri majhnih a poljubnih spremembah polj δAa enaka ni le, ce bodo koeficienti pri poljih enaki ni. Sledijo enabe gibanja za polje Aa
∂L ∂Aa
)] = 0 . (62)
Zdaj do enab gibanja znamo priti, e le znamo izbrati Lagrangeovo gostoto. Spomnimo se
Fab = ( ∂Ab ∂xa − ∂Aa ∂xb
) , F ab =
) E i = F0i , Fij = −c εijk Bk . (63)
(Pomnoimo zadnjo enabo z εlij , εlij Fij = −cεijkεlij B = −c(δklδii − δkiδli)Bk = pa sledi cBl = −1
2 ε lij Fij .)
Poišimo tedaj Lagrangeovo gostoto najprej za elektromagnetno polje v prostoru, kjer ni izvorov (ni delcev ali tokov delcev, ki bi nosili elektroma- gnetni naboj). Zahtevamo, podobno kot smo to storili za sistem neodvisnih delcev, ker obravnavamo polje, ki ni sklopljeno z okolico, da bo L skalarna funkcija glede na Lorentzove transformacije. Ker smo privzeli, da sme biti funkcija kvejemu prvih odvodov polja po koordinatah, je izbira na dlani
L = −ε0
4 FabF
ab . (64)
Konstanto ε0 4 smo izbrali tako, da bo enota taka, kot pritie izmerjenim
Maxwellovim enabam potem, ko bomo posplošili enabe, da bomo dovolili prisotnost izvorov polja, ε0 = 8, 854 · 10−12 As
V m . Izraunajmo konjugirane impulze, podobno kot smo to napravili za delce
Πi = ∂L ∂ ∂Ai ∂x0
~E , Π0 = 0. (65)
H = −~Π · ∂ ~A
2 (~E2 + c2~B2). (66)
Ker nam bo kasneje prišla prav še druga invarianta na Lorentzove transfor- macije, jo izraunajmo
ε0
Vaja: Izraunaj H in ε0 4 εabcdF
abF cd v enabah (66, 67).
Izraunajmo lene v enabah (62).
∂L ∂Aa
Pri izpeljavi smo upoštevali antisimetrinost tenzorja elektromagnetnega polja (F b
∂
ε0 ∂
3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v prisotnosti poznanih izvorov35
Ko postavimo a = i, sledi vektorska enaba
ε0 ∂
( ∂F 0
∂~E ∂t
] = 0 . (71)
Izpeljana enaba velja za prazen prostor in elektromagnetno valovanje, ki so ga rodili izvori izven našega sistema, denimo na Soncu. Rešitev so ravni valovi, robni pogoji pa nam povedo, od kod se valovanje širi, kakšen je njegov valovni vektor in tedaj tudi kakšna je valovna dolina.
Ni teko ugotoviti, da sta elektrina poljska jakost in magnetna poljska gostota pravokotni, da da sta obe pravokotni na smer širjenja valovanja.
Vaja: Poiši enabe gibanja za Aa, ~E in ~B. Pokai, da sta ~E in ~B pravokotna in tudi pravokotna na smer širjenja valovanja, ki jo doloa valovni vektor ~k, ka = (k0,~k).
Poglejmo, kako do enab za elektromagnetno polje, ki ga doloajo poz- nani izvori, za katere privzemimo, da nanje polje ne vpliva. Sklopitev poz- namo (48) od tedaj, ko smo iskali enabe gibanja za delce, ki se gibljejo pod vplivom polja.
S = ∑ α
4 F ab Fab d4x . (72)
Z akcijo v enabi (72) ne moremo biti zadovoljni, saj se parametri, po ka- terih spremenljivke, to je polja, integriramo, drugani v obeh integralih. Parameter v prvem integralu zamenjajmo z x0, to je z laboratorijskim a- som pomnoenim s hitrostjo svetlobe. Tedaj se spremeni ustrezno tudi
363 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
Lagrangeova funkcija. Uporabili bomo odvod po asovni komponenti
dxaα dx0
dx0 (x0, ~xα(x0)) , (73)
kjer je ~xα prostorska koordinata delca z indeksom α, ki rojeva, skupaj z ostalimi delci, polje Aa. Prepišimo tedaj prvi integral s pomojo funkcije delta tako, da bomo integrirali Lagrangeovo funcijo po volumnu d4x∑
α
∫ dx0
Zamenjajmo d4x z cdV , pa sledi∑ α
∫ eαA
Definirajmo tok
ja = ∑ α
c ) . (76)
L = Aa ja − ε0
4 FabF
ab . (77)
Naj povemo znova, da nam nobena teorija, naj bo še tako preprosta, ele- gantna, prava, ne more doloiti konstant. Te vselej izmerimo.
Ena gibanja za polje nam ni potrebno od zaetka izpeljevati. Izraunajmo samo prispevek izvorov polj. Zdaj je v enabah gibanja od ni razlien prispevek ∂L
∂Aa
∂L ∂Aa
= ja, (78)
preostali prispevek je tak kot v enabi (69). Kovariantna oblika dinaminih dveh Maxwellovih enab je zdaj v prisotnosti tokov spremenjena
ja − ∂
3.5 Dualnost in magnetni monopoli 37
Postavimo najprej a = 0 in potem še a = i, sledijo enabe
~∇ · ~E = ρ
[ −c ~∇× ~B +
1 c
∂~E ∂t
] = −~j. (80)
Povejmo, da smo vse izpeljave, ki jih študent fizike srea v prvih treh let- nikih pri razlinih predmetih ponovili, ker jih bomo v kvantni mehaniki potrebovali. Pri tem ne smemo pozabiti, da so vse naše teorije zgrajene na privzetkih in da napovedi teorij preverjamo z eksperimenti.
Maxwellove enabe, denimo, so tako kot veliko drugih enab v fiziki, nastale empirino, so izmerjene. Pot, ki smo jo mi ubrali, je elegantna, enostavna in nas prepriuje, da bi jo lahko opravili v naprej in Maxwellove enabe napove- dali. Podobno bi lahko dejali tudi za Lorentzove zakone. Tako obravnavanje fizikalnih sistemov nam vliva zaupanje v teorije, ki so zgrajene na smiselnih privzetkih in konsistentno izpeljane. Tudi kvantna mehanika je zgrajena na privzetkih.
Preden zanemo s privzetki kvantne mehanike, poglejmo, samo za posebej radovedne, od kod ideja o magnetnih monopolih.
3.5 Dualnost in magnetni monopoli
Magnetnih nabojev, o katerih bo tekla beseda v tem poglavju, doslej niso iz- merili. Ali je tedaj vredno o njih govoriti? Ker kvantne sisteme, mnogokrat tudi klasine, opazujemo tako, da jih opišemo s teoretinimi modeli, ki nam napovedo, kako se bo sistem, ki ga obravnavamo, odzval na neko motnjo, ter napovedi modelov preverjamo s poskusi, se moramo vselej vprašati, ali je naš model smiselen, konsistenten, ali nismo esa prezrli. Kratek uvod v teo- rijo, da magnetni naboji morda so, da pa nam jih še ni uspelo izmeriti, ima namen spomniti vse tiste, ki boste poskušali z lastnimi zamislimi globje ra-
383 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
zumeti zakone narave, da vselej temeljito premislite vse privzetke, na katerih dosedanji modeli in teorije gradijo. Simetrije, ki se zde oividne, s poiskusi pa nam jih doslej ni uspelo potrditi, so pomembno vodilo. Magnetni mono- poli, ki jih je napovedal in uvedel Dirac, gradijo prav na simetrijah. etudi ni videti, da smo pri izpeljavi Maxwellovih enab karkoli prezrli, saj smo izbrali najpreprostejšo Lagrangeovo gostoto, pa je vzrok, da se v naši teoriji niso pojavili, v zahtevi o zveznih in povsod zvezno odvedljivih funkcijah, s katerimi opisujemo opazljivke. Najvekrat vodi ta zahteva k smiselnemu opisu sistemov, ki mu poskusi pritrdijo.
Poglejmo privzetke, ki so nas privedli do Maxwellovih enab ya elektro- magnetno polje. Zapisali smo dvoje vrst relacij med elektrino poljsko jakostjo in magnetno poljsko gostoto. Statine Maxwellove enabe smo imenovali enabe, ki so sledile iz definicije elektrine poljske jakosti in ma- gnetne poljske gostote (59) pri predpostavki, da so polja zvezne in zvezno odvedljive funkcije koordinat. Dinamine Maxwellove enabe so sledile iz Euler-Lagrangeovih enab. Izpeljali smo jih za primer, ko ni izvorov polj in za primer, ko vektor tokov (v d = (1 + 3) ima ta vektor s štiri komponente) rodi elektromagnetno polje (81).
Kadar izyvorov polja ni, opazimo simetrijo enab, tako imenovano dualno simetrijo: Statine enabe preslikamo v dinamine enabe ter obratno, v ce elektrino poljsko jakost zamenjamo s c pomnoeno magnetno poljsko gostoto, ter z c pomnoeno magnetno poljsko z − elektrino poljsko jakostjo . Ta simetrija je Diraca navedla na misel, da bi morali enabe gibanja posplošiti z uvedbo novih tokov, imenoval jih je magnetni tokovi (jam), ki bodo zagotovili dualno simetrijo tudi, kadar so elektrini tokovi jae prisotni.
Zapišimo še enkrat obe vrsti eab, najprej za primer, ko so elektrini in
3.5 Dualnost in magnetni monopoli 39
tedaj tudi magnetni tokovi enaki ni
jae = 0, jam = 0, div ε0
~E = 0, div ε0 c ~B = 0,
ε0
] = 0 . (81)
Oitno je, da sledijo enabe na desni strani (imenovali smo jih statine Max- wellove enabe) iz tistih na levi (imenovali smo jih dinamine) in obratno z dualno preslikavo ~E v c ~B ter z c ~B v −~E .
Poglejmo, kako se dualnost manifestira v tenzorju elektromagnetnega polja F ab (za katerega smo sprejeli dogovor F0i = E i in F ij = −εijkcBk) in v njegovem dualnem tenzorju F0i = cBi ter Fij = εijkEk
F ab → F ab,
F ab → −F ab, ~E → c ~B c ~B → −~E . (82)
F ab =
.(83)
Dualna relacija obvelja tudi v prisotnosti elektrinih tokov ja, e definiramo tudi magnetne tokove
jea = ∑ α
= (ρe, ~je c
= (ρm, ~jm c
403 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
Ali je zahtevo o simetrijah enab jemati kot sprejemljivo napoved, da ma- gnetni naboji so, tako kot so elektrini naboji? Prvih doslej niso izmerili, drugi doloajo vso dinamiko snovi, vkljuno z ivo snovjo, e dodamo, da za pestrost snovi poskrbijo fermioni preteno prve druine kvarkov ter barvna in šibka polja, ki poskrbijo za maso leptonov in kvarkov.
Poglejmo h kakšnim zakljukom vodi ta premislek o simetriji, ki se ponuja.
Postavimo naš (namišljeni) magnetni naboj g v koordinatno izhodiše. Te- daj iz simetrije sistema s pomojo dualne enabe
div ε0 c ~Bm = ρm (85)
(z integralom po volumnu tako, kot to naredimo, e je v izhodišu elektrini naboj) izraunamo
∫ d3x div ε0 c ~Bm =
∫ d3x ρm = g =
∫ d~S ε0 c ~Bm = 4π r2 ε0 c |~B| (86)
in od tod
c ~Bm = g
r3 . (87)
Postavimo sedaj v razdalji ~r od izhodiša elektrini naboj, denimo elektron, ter uporabimo Lorentzov zakon za gibanje elektrona v magnetnem polju, ki ga rodi magnetni naboj
d~pe dt
Polje magnetnega naboja vrti elekrino nabit delec. Poglejmo, kolikšen je
3.5 Dualnost in magnetni monopoli 41
navor okoli izhodiša koordinatnega sistema na elektron
d~Le dt
= d(~r × ~pe)
dt = ~r × (
d~r
dt × ~r
) = eg
r ) = 0 . (89)
Zakljuimo, da je skupna vrtilna koliina obeh nabitih delcev, tistega z magnetnim in tistega z elektrinim nabojem, konstantna, to je neodvisna od asa, kjer je eg
4πε0 c ~r r vrtilna koliina polja, ki ga rodi magnetni naboj.
Uporabimo Bohrovo navodilo za kvantizacijo vrtilne koliine, da je vrtilna koliina kvantnega sistema vselej cel mnogokratnik Planckove konstante ~, pa sledi
eg
( g
e )2 ≈ (n 137)2 . (91)
Tedaj velja, da ima magnetni naboj vsaj ≈ (100)2× vejo sklopitveno kons- tanto kot elektrini, oba pa sta v medsebojni zvezi.
Kako pa je z nezdruljivostjo enab div ε0 c ~Bm = ρm in rot ~A = c ~Bm? c ~Bm ne moremo zapisati kot rot ~Am. Lahko pa ga zapišemo tako, da bo c ~Bm enak povsod razen na polovici koordinatne osi. Zapišimo
c ~Bm = rot ~A− αΘ(−z) δ(x) δ(x)~ez . (92)
423 KRATKA PONOVITEV KLASINE RELATIVISTINE MEHANIKE
=
~B
Slika 1: Na sliki so narisane silnice magnetnega polja, ki ga rodi magnetni naboj g vpet v koordinatno izhodiše kot vsota dveh prispevkov: prispevka rot ~A in Diracove strune.
Enotski vektor ~ez kae v smeri osi z. Doloimo konstanto α tako, da bo rot ~A = c ~B in div rot ~A = 0
div rot ~A = div c ~B+αdiv (Θ(−z) δ(x) δ(x)~ez),
= g
Za α = g ε0
bo ε0 = 0. Tedaj
ε0 Θ(−z) δ(x) δ(x)~ez . (94)
Na sliki 1 je shematsko prikazano magnetno polje ~Bm kot vsota rot ~A/c in prispevka, ki je tanka tuljava, ki se vlee od izhodiša v negativni smeri smeri osi z v nesnnost. Nosi ime Diracova struna.
Preostane nam še, da zapišemo polje ~A
~A = g
4πε0 r
~eφ , (95)
kjer sta θ in φ azimutalni in polarni kot. Ko polje prepišemo v kartezine koordiate in upoštevamo, da je ~eφ = (− sinφ, cosφ, 0)
~A = g
, (96)
3.5 Dualnost in magnetni monopoli 43
je oitno, da je polje ~A singularno pri r = 0 in za vsak r pri r = −z.
Ali magnetni monopoli so?
4 Prva kvantizacija - kvantizacija koordinat in im- pulzov
V klasini relativistini fiziki in njeni nerelativistini limiti poznamo pot do enab gibanja za poljubno število tokastih delcev, ki drug z drugim inter- agirajo, e poznamo interakcijo med njimi. V klasini mehaniki smo izbrali za opis prostih relativistinih delcev vselej najpreprostejšo akcijo. Vodila nas je do enab gibanja, katerih rešitve se ujemajo z meritvami in ponudijo smiselne napovedi. Tudi do sklopitve med delci, ki nosijo elektromagnetni naboj, smo prišli s preprostim premislekom. Vodilo, da je preprostost akcije pot do primernih enab gibanja, nas je privedla do akcije in enab gibanja za delce, ki nosijo elektromagnetni naboj in se gibljejo v polju, ki ga doloa vektor etverec polja. Preprost premislek nas je privedel do enab gibanja tudi za elektromagnetno polje, ki ga rodijo nabiti delci.
Ko akcijo izberemo, je pot do enab gibanja dobro poznana. Poiskati znamo tudi simetrije sistema, ki ga akcija opisuje in s tem koliine, ki se s asom ne spreminjajo. etudi je pot do rešitev enab gibanja najvekrat zelo teka in le redko najdemo analitine rešitve, numerine rešitve pa so vselej samo pribline, so v klasini mehaniki poti do opisa klasinega sistema poznane vsaj, dokler opisujemo delce, ki nosijo elektromagnetni naboj.
Vendar je kar nekaj vprašanj, na katera v klasini mehaniki ne znamo odgo- voriti. Denimo na vprašanja: Kaj doloa maso delcev? Kaj doloa njihov elektromagnetni naboj? Kašne naboje delci nosijo poleg elektromagnet- nega? Kaj doloa vse te preostale naboje? Kakšna so polja, ki jih ti naboji rodijo? Zakaj so spektri atomov diskretni, v klasini dinamiki pa diskret- nosti ne opazimo?
Pot do odgovora na nekatera od teh in podobnih vprašanj odpira kvantna mehanika. Delcem in poljem dopustimo v kvantni mehaniki poleg dina- mike v prostoru-asu, ki jo obvladamo v klasini mehaniki, tudi dinamiko v internem prostoru spinov in nabojev. Interni prostor poveemo z upodobit-
45
vami grup. Delcem pripišemo drugane upodobitve kot vektorskim poljem. Oba prostora, obiajni (koordinatni) ter notranji, sta povezana in skupaj doloata dinamiko sistemov. Grupe in njene upodobitve, ki jih poveemo z osnovnimi gradniki snovi, bom predstavila v posebnem poglavju.
So vsi sistemi kvantni? Je tedaj kvantni opis sistemov pravi? Fiziki ne poznamo odgovora na to vprašanje. Kar lahko reemo je, ali se napo- vedi kvantne mehanike ujemajo z opazovanji. Odgovor je doslej pritrdi- len. Kvantna mehanika napoveduje verjetnosti za dogodke in poiskusi tem napovedim pritrdijo v okviru natannosti izraunov in meritev, etudi po- drobne interpretacije dogodkov, tega, kaj se s posameznim delcem v vsakem trenutku na nekem doloenem kraju dogaja, ne moremo pojasniti.
Na kratko povzemimo privzetke, na katerih kvantna mehanika stoji.
I. Za vsakega od osnovnih delcev zapišemo verjetnostno ampitudo < x|psi >, imenovali jo bomo tudi valovna funkcija, kjer je x = (x0, ~x) koordinata delca v d( = 1 + (d− 1))-razsenem prostoru.
• Verjetnostna amplituda meri verjetnost
< ψ|x > dd−1x < x|ψ >,
da je delec v asu t = x0/c, na mestu ~x v volumnu dd−1x.
asovne in prostorskih koordinat ne bravnavanmo enakovredno. Ver- jetnost definiramo z amplitudo in volumnom dd−1x v asu t = x0/c.
e je delcev N, pripišemo vsakemu od njih svojo koordinato ~xα, α = {1, N}, tako kot smo to storili v klasini mehaniki. Verjetnostna am- plituda
< x1, · · · , xN |ψ >
464 PRVA KVANTIZACIJA - KVANTIZACIJA KOORDINAT IN IMPULZOV
Verjetnost, da bo delec z indeksom α v asu x0 = ct na mestu ~x v volumnu dd−1x, zapišemo z integralom∫ < ψ|x1, · · · , xα, · · · , xN > dd−1xα δ(~x−~xα) < x1, · · · , xα, · · · , xN |ψ >.
Dirac je definiral posplošeno funkcijo δ takole:
δ(x− x′) = {
−∞ dx δ(x− x′) = 1. (97)
Lahko jo zapišemo z odvodom Heavisidove stopniaste funkcije H(x, x′), ki ima stopnico pri x′, d/(dx)[H(x, x′)] = δ(x − x′), ali kot limitni primer Gaussove funkcije, ko gre njena širina proti ni, njena plošina pa ostane enaka 1, ali pa, denimo, takole
δ(x− x′) = lim α→∞
2 sin kα k = 2πδ(k).
• Poleg obiajnega prostora doloa dinamiko vsakega delca v sistemu N delcev tudi notranji prostor spina in nabojev, ki jih vsak od delcev nosi. Zato pripišemo vsakemu delcu poleg koordinate v obiajnem prostoru-asu tudi stanje v prostoru spinov in nabojev.
• |ψβ >, imenujemo jih tudi keti. To so vektorji, ki nam doloajo dina- miko (stanja) enega ali N delcev. e posebej ne zapišemo, vsebujejo tudi zapis stanja v notranjem prostoru spina in nabojev. Keti razpen- jajo linearni vektorski prostor Vψ z lastnostjo∑
β
cβ |ψβ >∈ Vψ , cβ ∈ C . (99)
Razpenjajo ga nad prostorom koordinat: < x|ψβ > in notranjim pros- torom spina in nabojev, ali nad prostorom gibalnih koliin < p|ψβ > in notranjim prostorom spina in nabojev.
47
• K vsakemu ketu |ψβ > definiramo bra < ψβ| = (|ψβ >)†, (c |ψβ >)† = c∗ < ψβ|, z lastnostmi
< ψβ|ψγ > = ∫
= ∫
< ψβ|ψγ >∗ = < ψγ |ψβ > , < ψβ|ψβ >∗ = < ψβ|ψβ >∈ < , (100)
< ψβ|ψβ > { ≥ 0, = 0 za |ψβ >= 0 .
Skalarni ali vektorski produkt po navadi normiramo na 1 v celotnem prostoru: v obiajnem prostoru, koordinatnem ali impulznem ,in v prostoru spina in nabojev ne glede na to, ali obravnavam enega ali veje število delcev.
II. Nad linearnim vektorskim prostorom Vψ definiramo linearne operatorje ALβ in antilinearne operatorje AALβ .
• Linearni in antilinearni operatorji imajo lastnostmi
AL ∑ β
in tudi sami razpenjajo linearni vektorski prostor VAL∑ γ
bγ ALγ ∈ VAL (102)
Primer linearnega operatorja: AL < x|ψ >= f(xa, ∂ ∂xa ) < x|ψ >.
Primer antilinearnega operatorja: AAL < x|ψ >= K < x|ψ >=< x|ψ >∗. AAL = K je v tem primeru samo kompleksna konjugacija.
Za linearne in antilinearne operatorje velja distributivnost v produktu in v vsoti
(A1A2 · · ·An) |psi >= A1 (A2 · · ·An) |ψ >) , A1 (A2 +A3) |psi >= (A1A2 +A1A3) |ψ >) . (104)
• Definiramo adjungiranost operatorjev glede na skalarni produkt
< ψ2|A|ψ1 > †=< ψ1|A†|ψ2 > . (105)
• Sebi adjungirani ali hermitski operatorji imajo lastnost
< ψ2|A|ψ1 > †=< ψ1|A†|ψ2 >=< ψ1|A|ψ2 > . (106)
Primer: Kadar sta < x|ψα >,α = 1, 2; x = (x0, ~x) na (d-1)-razseni ploskvi v neskonnosti enaki ni,
∫ d(d−1)x i ∂
∂xm (< ψ1|x >< x|ψ2 >) = 0, tedaj bo veljalo, da je (pm)† = pm∫ d(d−1)x < ψ2|x >
pm ~ < x|ψ1 > = −
= ∫ d(d−1)x < ψ2|x > (
• Hermitski operatorji imajo lastnosti: Njihove lastne vrednosti so realne.
49
Dokaz:
A|ψα > = α|ψα > , < ψα|A† = < ψα|α∗ ,
< ψα|A†|ψα > = < ψα|A|ψα > = α < ψα|ψα >= α∗ < ψα|ψα > ,
α = α∗ . (108)
Lastna vektorja hermitskega operatorja, ki jima ustreeta razlini lastni vrednosti, sta ortogonalna. Dokaz:
A|ψα > = α|ψα > , A|ψβ > = β|ψβ > , < ψβ|A = β < ψβ| ,
< ψβ|A|ψα > = α < ψβ|ψα > , < ψβ|A|ψα > = β < ψβ|ψα > ,
0 = (α− β) < ψβ|ψα > . (109)
e (α− β) 6= 0, tedaj je < ψβ|ψα >= 0.
Primer: V nerelativistini fiziki pripišemo spinu delca, kot sta, denimo, elek- tron in nevtrino, operatorje Si = 1
2 εijkS jk. Med njimi veljajo komutacijske
relacije
Veljajo tudi antikomutacijske relacije
Vektorski prostor, nad katerim so operatorji definirani, je dvorazseni no- tranji vektorski prostor spina
|ψ 1 2 >=
Vektorja sta ortogonalna, njun skalarni produkt normiramo na ena
< ψ 1 2 |ψ− 1
2 > = 0 =< ψ− 1
2 > = 0 =< ψ− 1
~S = (
)) . (113)
Operatorji so hermitski (Si)† = Si. Zanje velja (Si)2 = 1 4I ter
S3|ψs > = s |ψs > ,
(S3)2|ψs > = (±1 2
)2 |ψs >= s2|ψs > ,
s = ±1 2 . (114)
Delcem kot sta elektron in nevtrino pravimo fermioni ali spinorji. Za sistem z N fermioni zapišemo operator za spin kot direktno vsoto operatorjev za spin posameznih delcev. Velja
Si = N∑ α−1
{Siα, S j β}− = δαβ − i εijk Skα , (115)
kar pomeni, da je vsaka od treh matrik 2N × 2N razsena in jo sestavl- jajo obdiagonalne matrike 2 × 2. Vektorski prostor je tedaj 2N razseen, vsakemu fermionu pripada dvorazseen vektorski prostor, kakršnega smo spoznali zgoraj, ter ustrezna obdiagonalna matrika 2 × 2. Delo si poenos- tavimo, e napišemo vektorski prostor za N delcev kot produkt enodelnih vektorskih prostorov, operatorje, opremljene z indeksom delca, pa razumemo kot navadno vsoto, s privzetkom, da indeks operatorja pove, nad katerim vektorskim prostorom je posamezen operator definiran. Kasneje b