Kvantna mehanika II Od vesolja do snovi - uni-lj.si

Kvantna mehanika IIOd vesolja do snovi

Avtor:Norma Susana Mankoč Borštnik

2

Povzetek

Predpostavka, da so vsi sistemi kvantni, se zdi danes smiselna insprejemljiva. Kvantni značaj pri sistemih, ki se obnašajo klasično,običajno ni dovolj izrazit, da bi ga lahko izmerili, pri zelo veliki na-tančnosti merjenja (ki ga običajno ne zmoremo) pa bi ga izmerili.

Spoznanja o kvantnem značaju vseh sistemov ter o tem, kako garazspoznati in smiselno opisati, so rasla počasi, na osnovi opažanj inmiselnih poizkusov. Kvantna mehanika se zdi danes pri predpostavki,da je časovna koordinata ena sama, konsistentna teorija, ki smiselnonapoveduje verjetnosti za dogodke, saj vsem njenim napovedim poiz-kusi doslej pritrjujejo. Ker pa smo v sistemu merjenca in meritev opa-zovalci del tega sistema, je problem opazovalca in opaženca v kvantnifiziki težko rešljiv in doslej tudi še ne rešen problem. Poleg tega soizračuni sistemov z velikim številom prostostnih stopenj neobvladljiviže v klasični obravnavi.

Kvantna mehanika je zgrajena na vrsti predpostavk, ki so nastalaob izkušnjah, ki smo si jih pridobili pri teoretičnem opisu sistemov,ki dovolj dobro ubogajo klasične enačbe gibanja v nerelativistični inrelativištični mehaniki. Spoznanje, da se lahko rojevajo pari delci-antidelci in bozoni, je vodilo do kvantne teorije polja. Danes se zdi,da je kvantna teorija polja pravi pristop za opis vseh sistemov.

Kvantna mehanika in kvantna teorija polja sta se izkazali kot učin-kovito matematično orodje za opis sistema delcev, ki med seboj inter-agirajo. Vedenje o tem, kaj so gradniki sistemov, pa v kvantno me-haniko ni vgrajeno. Spoznanja o tem, kaj so osnovni gradniki snoviin kaj lahko v nekem dovolj dobrem približku vzamemo za gradnikekompleksnih sistemov, na primer trdne snovi, tekočin in mehkih snovi,so rasla postopoma, pri tem sta odigrali kvantna mehanika in kvantnateorija polja pomembno vlogo.

Danes se zdi, da poznamo vsaj nekatere osnovne gradnike snovi,tiste, ki nam jih je doslej uspelo izmeriti potem, ko smo gradili in zgra-dili teoretične modele, ki so jim eksperimenti pritrdili. Pripišujemojim lastnosti, ki smo jih preko eksperimentov postopoma spoznavali.Ta spoznanja so rastla v soodvisnosti od spoznanj o tem, kakšen jeprostor-čas, v katerem živimo, kako se osnovni gradniki v prostoru-času obnašajo, kako interagirajo med seboj, kakšne so te interakcije,kako delci in sistemi delcev spreminjajo lastnosti prostora-časa, kakšneso lastnosti našega vesolja, ki je zgrajeno iz doslej opaženih gradnikov,

3

kako je vesolje nastajalo, ter tudi ob spoznanjih, kakšnim pravilom sev vesolju podrejajo vsi njegovi sestavni deli, od nastanka do danes,od osnovnih gradnikov vesolja do jat galaksij. Na temelju poskusovin miselnih poskusov so nastajali najprej modeli, ki so veljali za iz-brane sisteme, za katere so veljale predpostavke, na katerih so modeligradili. Iz izkušenj z modeli so nastajale ambiciozne teorije, ki naj biveljale splošno, neodvisno od področij. Ob experimentalnih prever-janjih modelov in teorij ter s tem tudi predpostavk, na katerih teorijegradijo, so se rojevala vedno nova spoznanja o tem, iz česa je snov,živa in neživa, ter o tem, kakšnim pravilom se podreja.

Iz poznavanja lasnosti osnovnih delcev znamo po pravilih kvantnemehanike in kvantne teorije polja v principu napovedati verjetnosti zadogodke, ki nas utegnejo zanimati. Osnovnega koraka k iskanju enačbgibanja smo se naučili že v klasični mehaniki. Če znamo zapisatiLagrangeovo funkcijo in s tem akcijo, nas princip najmanjše akcijeprivede do enačb gibanja. Četudi je pot od enačb gibanja do njenihrešitev, ki nam povedo stanje sistema pri izbranih robnih pogojih,lahko še zelo dolga, ali pa je mnogokrat težko najti celo približnerešite, nam enčbe gibanja vseeno mnogo povedo o morebitnih stanjihsistema. Če uspemo razspoznati „kolektivne” lastnosti sistemov, jepot do približnih enačb gibanja mnogo krajša.

Simetrijske lastnosti osnovnih gradnikov in posledično simetrijestanj sistemov gradnikov igrajo zelo pomembno vlogo. Pogojujejo oh-ranitvene zakone, kot na primer ohranitev vektorja četverca gibalnekoličine, elektromagnetnega in barvnega naboja. Simetrije stanj ve-likega števila delcev omogočijo poiskati približne (”efektivne”) enačbegibanja v jedrski, atomski in molekularni fiziki, v fiziki snovi, v sta-tistični mehaniki, termodinamiki, pa tudi na vseh drugih področjih,denimo v biofiziki, biologiji, sociologiji in drugod. Četudi največkratne znamo pojasniti predpostavk, na katerih gradimo teorije, ki namskupaj z merjenji in miselnimi poizkusi pomagajo razumeti dogajanjav mikroskopskem in makroskopskem svetu in napovedovati, kako sebodo sistemi obnašali, če poznamo njihove lastnosti ob nekem časuvsaj približno (in ne pričakujemo, da bomo predvideli obnašanje vpreveč odmaknjenem času) pa so se doslej postavljeni zakoni in teo-rije dobro izkazali. Brez njih bi bili naše razumevanje narave in s temtudi tehnološki napredek mnogo bolj skromni.

Ta učbenik je nastal iz študentskega zapisa predavanj predmeta

4

Kvantna mehanika II, ki ga predavam na v četrtemu letniku študijafizike na Oddelku za fiziko že vrsto let.

Namen predmeta je naučiti študente osnovnih spoznanj v kvantnimehaniki na vseh področjih fizike: fizike osnovnih delcev in polj, je-drske, atomske in molekularne fizike, fizike trdne snovi in tekočin.Kvantna teorija gravitacije in kozmologije sta šele v povojih, četudipri obeh kvantne efekte ocenjujemo in jih poizkušamo izmeriti. Kla-sična teorija polja pa je tudi na teh dveh področjih uspešna in dokajdobro preverjena.

Študentje se morajo pri predmetu Kvantna mehanika II naučitiosnovnih tehnik kvantne mehanike kot enotne teorije za vsa področjafizike: fizike osnovnih delcev, jedrske, atomske in molekularne fiziketer fizike trdne snovi, mehke snovi in tekočin. Naučijo se kanonskekvantizacije nerelativističnih in relativističnih enačb gibanja za toč-kaste delce (kvantizacija koordinat) fermione in bozone ter za nere-lativistična in relativistična polja (druga kvantizacija). Naučijo serazspoznati in opisati simetrije v klasični in kvantni fiziki.

Spoznajo pojem notranjih prostostnih stopenj osnovnih fermions-kih in bozonskih polj, to je njihovih spinov in nabojev ter prostostnihstopenj, ki jih določa gibanje v prostoru-času. Naučijo se uporabeteorije grup za opis obojih prostostnih stopenj.

Naučijo se uporabe principa najmanjš akcije za polja, kadar soprosta, ali pa kadar so med seboj sklopljena, in iskanja enačb gibanja,ki iz akcije sledijo v relativistični in nerelativistični fiziki.

Spoznajo probleme sistema nerelativističnih delcev ter se na pre-prostih primerih naučijo iskanja približnih rešitev. Spoznajo na pre-prost in pregleden način osnovne predpostavke standardnega modelaelektrošibke in barvne interakcije in uporabnost tega modela v fizikiosnovnih delcev in polj, tako da dobijo vpogled, kako nastajajo noveideje in s tem nove teorije.

Spoznajo se s teorijo sipanja relativističnih delcev in nerelativis-tičnih delcev ter se na preprostih primerih naučijo izracunati sipalnoamplitudo. Na primeru vodikovega atoma in modela vreče se študentinaučijo iskanja rešitev relativističnih enačb gibanja. Na primeru vo-dikovega atoma se naučijo teorije sevanja. Predmet uvede šudente vpodročje statističe kvantne mehanike.

Med nekaterimi poglavji lahko študentje izbirajo, vplivajo pa lahko

5

tudi na poglobljenost, s katero obravnavamo posamezna poglavja.Tudi seminarji, ki jih študentje opravijo v dogovoru z učiteljem inob njegovi pomoči, so namenjeni poglobljeni obravnavi posamezneteme, predvsem pa naučijo študente, kako se lotiti problema (ki zanjv literaturi še ni mogoče najti rešitve), kako določiti okvir, znotrajkaterega bodo poskušali poiskati približne rešitve ter kako poiskatisprejemljive rešitve ter rešitve interpretirati. Naučijo si zaupati pri-dobljenemu znanju, ki ga obvladajo in razspoznati, česa ne razumejo.Seminarsko temo lahko študentje izbirajo po svoji presoji in svojemzanimanju.

6 KAZALO

Kazalo

1 Uvod 1

2 Vesolje - od nastanka do danes, kratek povzetek o tem, kajo Vesolju vemo 1

3 Kratka ponovitev klasične relativistične mehanike 133.1 Kratek uvod v iskanje enačb gibanja . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Princip najmanjše akcije . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Hamilton-Jacobijeve enačbe gibanja in Poissonovi ok-

lepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Sistem neodvisnih relativističnih delcev . . . . . . . . . . . . 243.3 Delci v zunanjem polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v

prisotnosti poznanih izvorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Dualnost in magnetni monopoli . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Prva kvantizacija - kvantizacija koordinat in impulzov 444.1 Poglavje iz grupne teorije, upodobitve grupe, s komutacijs-

kimi relacijami med infinitezimalnimi generatorji {τ i, τ j}− =i εijk τk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

1 Uvod

2 Vesolje - od nastanka do danes, kratek povzeteko tem, kaj o Vesolju vemo

Kakšen je prostor-čas, v katerem živimo? Ali je zares (1+3)-razsežen kot senam kaže doslej? Zakaj ima tedaj eno časovno in tri prostorske razsežnosti?Ali pa je razsežnosti več in morda tudi več časovnih koordinat? Iz česa jesnov, ki gradi našo Zemljo, naše Osončje, našo galaksijo Mlečno cesto, naševesolje? Kakšne enačbe gibanja ubogajo osnovni delci, gruče teh delcev,snov, osončja, galaksije, jate galaksij, vesolje? Je vesolij morda več, alije eno samo? Kako je vesolje ali kako so vesolja nastala? Kakšni zakoniveljajo v našem ali kateremkoli vesolju? Ta in mnoga druga vprašanja sipostavljamo in poskušamo nanje odgovoriti.

Kako sploh spoznavamo zakone, ki se jim podrejajo gradniki in s tem celotnovesolje ali vsa vesolja od najmanjše skale gradnikov do planetov, osončij, ga-laksij in jat galaksij? Kako spoznavamo zakone narave, če naravo imenujemovse, v kar smo postavljeni in kar določa naš obstoj in obstoj vsega?

Opazujemo in s poskusi ugotavljamo, ali so naša opažanja pravilna. Opažanjazaokrožimo v spoznanja, spoznanja vgradimo v matematične strukture, kiso, zgrajene na nekih predpostavkah, logične in ne vodijo do protislovij, vsajne do doslej opaženih, matematične strukture preverjamo s poskusi.

Vsi poznamo zakone klasične nerelativistične mehanike, ki jih je pred 300leti postavil Newton — Newtonove enačbe gibanja, ki določajo dinamikosistema gruč delcev, postavljenih v zunanja polja ali v polja, ki ga drugadrugi povzročajo gruče. Ti zakoni še vedno veljajo v postavljeni obliki do-volj natančno, da smo z njimi zadovoljni, kadar so hitrosti gibanja delcevmajhne v primeri s hitrostjo svetlobe in kvantni efekti zanemarljivi. Tudi

22 VESOLJE - OD NASTANKA DO DANES, KRATEK POVZETEK O TEM, KAJ O VESOLJU VEMO

vodilo za iskanje enačb gibanja je že dolgo znano: princip najmanjše akcije,dokaj splošen princip, ki nas privede do enačb gibanja na eleganten način,in je enako uporaben na vseh področjih, kjer poskušamo ujeti v matema-tične zapise dinamiko sistemov. Pri iskanju akcije za obravnavan sistem nasvodi načelo preprostosti in elegance enako učinkovito v klasični in kvantnimehaniki, pri osnovnih delcih in tudi tedaj, kadar iščemo neko povprečno(kolektivno, efektivno) obnašanje delcev v snovi ali pa obnašanje sistemov,denimo v družboslovju, ekonomiji in še kje, četudi načela preprostosti inelegance ne znamo zares definirati, pomeni pa nekaj kot preprostost, pre-glednost, a hkrati tudi napovedno moč modela ali teorije.

Začetni koraki iskanja matematičnih modelov za opazljive pojave so pome-nili predvsem iskanja preprostih relacij med opazovanimi količinami. Tovelja, na primer, za Newtonove zakone. Z uresničenimi napovedmi, ki sojih in jih ponujajo vse bolj splošni modeli in teorije pa rastejo tudi vse boljabstraktne in marisikatere med njimi tudi vse bolj elegantne teorije.

Pred skoraj sto leti je Niels Bohr postavil temelje današnji kvantni mehaniki:elektroni v elektromagnetnem potencialu jeder nimajo kakršne koli vrtilnekoličine, ampak samo celoštevilčni mnogokratnik osnovne vrtilne količine.Ta preprost privzetek je nadgradila kvantna mehanika z dobro izdelanimmatematičnim formalizmom. Rojevala so se spoznanja, da gradijo snovdve vrsti delcev: fermioni in bozoni. Oboji se ne le gibljejo v prostoru-času, ampak nosijo še dodatne, notranje, kvantne lastnosti, to je spine innaboje, ki so vzrok, da se fermioni in bozoni sploh „opazijo” med seboj, dainteragirajo. Bozoni se od fermionov razlikujejo po vrsti spina in nabojev,ki jih nosijo. Fermioni si izmenjujejo bozone, bozoni rojevajo delce in anti-delce ter, to je fermione in anti-fermione in kadar nosijo naboj tudi drugebozone, ki nosijo iste naboje.

Newtonovo mehaniko, ki velja v območju majhnih hitrosti (v primeri s svet-lobno hitrostjo) tedaj, kadar kvantne lastnosti snovi niso opazljive, to je

3

kadar jih z natančnostjo, s katero izmerimo lastnosti sistema, ne opazimo,je Einstein posplošil v relativistično klasičo mehaniko. Poznamo jo podimenom posebna teorija relativnosti, kadar gravitacijsko polje ni prisotno.Kadar pa je gravitacijsko polje prisotno, velja Einsteinova splošna teorijarelativnosti, ki ji poiskusi doslej pritrjujejo.

Splošnejša od ıEinsteinove splošne teorije relativnosti je umeritvena teo-rija gravitacijskega polja. Ta omogoča elegantno posplošitev vseh bozonskih(pravimo jim tudi umeritvena polja) v eno samo teorijo ter vseh notranjihprostostnih stopenj, ki jim danes pravimo spin, naboji fermionov in bozonovter družinsko kvantno število fermionov. Ker ji eksperimenti še niso pritr-dili, četudi je tudi ovrgli niso, teorija ni sprejeta, tudi zato, ker je potrebenše marsikateri matematičen dokaz, ki bi zatrdil, da daje teorija v opazljivemobmočju energij prave napovedi. Napovedi te teorije tudi še niso preverljives poskusi, ker dovolj velike natančnosti pri merjenju lastnosti gravitacijskegapolja še ne zmoremo.

Kvantna teorija polja, to je teorija kvantnih fermionskih in bozonskih polj,postavi kvantno mehaniko v splošnejši okvir, ki ji vsi poskusi doslej pri-trjujejo. Dopusti tvorbo parov delcev in anti-delcev ter rojstvo bozonskihpolj.

Vsa ta spoznanja, spoznanja o pravi akciji, ki vodi do enačb gibanja terspoznanja o pravih notranjih prostostnih stopnjah fermionskih in bozons-kih polj, so se oblikovala počasi, korak za korakom, previdno in je bila vselejvečina dolgo do njih nezaupliva. Šele, ko so ideje in spoznanja prerasli vmodele, ali teorije, in so se ti izskazali kot uporabni in učinkoviti, z merlji-vimi in preverljivimi napovedi, jim je večina pritegnila in prispevala dokazeo njihovi uporabnosti, dopolnila pa tudi potrebne izreke in dokaze, ki sologično zaokrožili veljavnost novih modelov in teorij.

Fizika se je razdelila na področja. Marsikatero področje se je iz fizike izločilo


in postalo povsem samostojno. V današnjem času govorimo o raziskovalnihpodročijh v naravoslovju in tehnologiji, tudi v družboslovju in medicini,celo v umetnosti. Tudi vsebina posameznega področja, raziskovalnega alitehnološkega (pogosto sta oba namena nerazločljiva), se s časom in novimispoznanji spreminja.

Fizika osnovnih delcev in polj, na primer, spreminja svojo podobo nepres-tano. Področje je namreč bolj ali manj definirano z vprašanjem: Kaj soosnovni zakoni narave in kaj so osnovni gradniki snovi? Nova spoznanja iz-ločijo tisti del področja, ki se zdi vsaj načeloma razumljen, v fiziki osnovnihdelcev in polj pa se odpirajo nova.

Kvantna mehanika domuje na vseh področih naravoslovja vedno tedaj, ka-dar je kvantni značaj opazovanega sistema merljiv. Kvantna teorija polja,ki je nadgradnja kvantne mehanike, je potrebna in uporabljena vselej, kadarje opazljiv kvantni značaj sistema polj—fermionskih in bozonskih, to je, koje rojstvo novih fermionskih in bozonskih polj nezanemarljivo.

Kozmologija je veda o tem, kako je vesolje nastalo in kako se je razvijalo.Relativistične enačbe gibanja (Einsteinove enačbe za vesolje z maksimalnosimetrijo) za fermionska in bozonska polja v (skoraj) homogenem in izotrop-nem vesolju, kakršno je naše na skali nekaj jat galaksij, skupaj z meritvaminapovedujejo, da je naše vesolje nastalo iz nič: Energijska eksplozija, kise je manifestirala v visoki temperaturi plazme, Tkb ≈ 1019 GeV (kb jeBoltzmanova konstanta), v kateri so v termičnem ravnovesju sodelovali vsifermioni in anti-fermioni ter vsi bozoni (anti-bozoni bozonov je isti multi-plet bozonov, foton je tudi anti-foton), se rojevali in anihilirali, vsi, fermioniin bozoni, z maso nič, je spravila plazmo v ekspanzijo, v širitev, ki smo jipriča tudi danes in ki jo merimo s Hubbelovo konstanto, to je z razmerjemmed hitrostjo, s katerima se oddaljujeta dve točki vesolja v izbrani raz-dalji. Hubbelova konstanta se s starostjo vesolja spreminja. Širitev vesoljaje povzročila njegovo ohlajevanje. Vesolje je ob ohlajevanju doživelo številefazne prehode, podobno kot fazne prehode doživlja snov, denimo voda, ki jo

5

ohlajamo od vroče pare do ledu.

Po faznih prehodih so osnovni gradniki, fermioni in bozoni spreminjali svojelastnosti. Pridobili so od nič različno maso in se povezovali v gruče. Pojavfaznih prehodov je bil odvisen od razmerja hitrosti širitve vesolja in hitrosti,s katero so fazni prehodi potekali. Fazne prehode pa so ob danih pogojihpogojevale interakcije med fermioni in bozoni.

Vseh sprememb, ki jih je vesolje doživelo, ne po poznamo. O veliki večinispremeb nimamo niti približno izdelanih teorij, ki bi jih potrdili s poskusi, onekaterih ugibamo z večjo, denimo o takoimenovanem inflacijskem širjenjuvesolja ??, o drugih z manjšo zanesljivostjo, za nekatere pa menimo, da jihvsaj v grobem razumemo, ker modelskim opisom poskusi na pospeševalnikihpritrjujejo.

Standardni model elektrošibke in barvne interakcije ?? se zdi primeren zaopis faznega prehoda, ki mu pravimo elektrošibki fazni prehod. Ta se jepojavil pozno, potem ko se je vesolje ohladilo z (domnevno začetne) tempe-rature 1029 K na 1012 K. Danes opazljivo šibko bozonsko polje je imelo dotedaj, vsaj po teoriji, ki ji eksperimenti doslej pritjujejo, podobno kot veljapo teoriji za barvno in fotonsko polje, maso enako nič. Po faznem prehodupa so bozoni postali masivni. Pravtako so tudi fermioni danes opazljivihtreh družin postali po faznem prehodu masivni.

Na pospeševalniku LHC iščejo „krivca” za ta fazni prehod. Standardni modelpripiše „odgovornost” za ta fazni prehod skalarnemu polju, ki je spremenillastnosti vesolja (pravimo, da je spremenil vakuumsko stanje vesolja). Eks-perimentalci na LHC mu pravijo „božji dele”. Najbrž za reklamo, malo pamorda tudi zato, ker mu standardni model pripisuje odgovornost za masofermionov, tudi elektrona, ki je lepton prve družine. Če bi, namreč imel elek-tron maso enako nič, bi atom ostal nevezan, manjša elektronova masa pabi pomenila večje atome. Velikost atoma določata namreč elektromagnetnasila in masa elektrona.


Pri elektrošibkem faznem prehodu so tudi kvarki pridobili neničelno maso.Vendar je za kvarke prve družine, ki skoraj v celoti gradijo snov, ki namomogoča življenje, ta masa majhna v primeri z maso, ki jo kvarkom prinesejobarvni bozoni, imenovani gluoni. Vesolje je namreč po elektrošibkem faznemprehodu doživelo še nekaj faznih prehodov. Pri barvnem faznem prehodu sogluoni oblekli kvarke prve družine ter jim spremenili maso od nekaj MeV/c2,kolikor jim je je prinesel fazni prehod, na ≈ 300 MeV/c2 ter kvarke in anti-kvarke povezali v brezbarvne gruče barione. Protonu, ki je najlažji barion,je elektrošibki fazni prehod prinesel toliko manjšo maso nekaj MeV, da jevodikov atom najlažji atom. Sicer bi bil nevtron stabilen.

Pri barvnem faznem prehodu, ko je temperatura razpenjajočega se vesoljapadla pod GeV/kb, in je bila hitrost, s katero je potekal fazni prehod, gledena hitrost razpenjanja vesolja, dovolj intenzivna, so se vsi qvarki in anti-kvarki srečali in vrnili plazmi celotno energijo. Ostali so samo kvarki vpresežku, ki jih vidimo, ujete v brezbarvne gruče, barione, kot današnjosnov, ki tvori osončja.

Kje tiči vzrok presežka barionov nad anti-barioni, to je kvarkov nad anti-kvarki, leptonov nad anti-leptoni, je doslej še nepojasnjeno. Znanstveničlanki ponujajo ne zanesljive razlage zanj ??.

Vesolje je doživelo še nekaj faznih prehodov. Naslednji fazni prehod jebarione povezal v atomska jedra, za kar je poskrbela barvna sila med kvarki,povezanimi v brezbarvne barione in ji pravimo jedrska sila.

Pri naslednjem faznem prehodu je bilo razpenjanje vesolja dovolj počasno,da so nastali atomi. Elektroni so se ujeli z jedri v atome. Nastali so zametkisnovi, molekule, ki so se povezale v snov.

Vendar je delež energije, ki ga snov pretežno prve družine prispeva vesolju,komaj nekaj procentov celotne energije vesolja. Pet do sedemkrat tolikšenje prispevek temve snovi, ki jo doslej opazujemo preko njenih gravitacijskihučinkov. Hitrosti, s katero osončja krožijo okoli središča svoje galaksije,

7

nedvoumno povedo, da je za to hitrost odgovorno garvitacijsko polje snovi,ki ima sicer povsem drugačne lastnosti kot običajna snov ??.

Meritve Hubblove konstante pa kažejo, da je energije v vesolju mnogo več,približno trikrat toliko ??. Pripišemo jo temni energiji.

Vloga, ki jo je pri in po nastanku vesolja odigrala temna energija, je dom-nevno zanemarljiva. Današnji čas pa opazna. K plazmi so ob nastankuvesolja prispevali vsi. V začetku, ko so bile njihove mase enake nič, vsienako, vsi fermioni in vsi bozoni. Ko se je vesolje širilo, in se ohlajalodoživljalo fazne prehode in inflacijo ter se ohladilo do temperature, ko vpovprečju pari člana neke družine niso mogli nastajati, ker je bilo premaloenergije na razpolago, se ja tak član družine, če ni razpadel v člane drugihdržin z manjšo maso, izločil iz plazme ??. Tako je morda nastala temnasnov. Temna energija pa je bila v vesolju od vsega začetka, le da je bilprevladujoči del spravljen v bozonih ter fermionih in anti-fermionih, doklerse gostota teh prispevkov ni zmanjšala do in pod vrednost temne energije,karkoli že to temno energijo določa.

Kozmologija in fizika osnovnih delcev hodita z roko v roki, saj odprtavprašanja povezujejo obe področji. Teh vprašanj je veliko. Bolj ko spozna-vamo zakone narave, več se število se jih odpira. Nanje lahko odgovori lepredlog teorije, ki vključuje obe področji ter eksperimenti, ki tako teorijopotrdijo.

Zadnjih trideset let pomeni fizika osnovnih delcev za veliko večino razis-kovalcev predvsem preverjanje veljavnosti tako imenovanega standardnegamodela elektrošibke in barvne interakcije, ki je bil postavljen pred skorajštiridesetimi leti. Ta model pravi: fermioni nastopajo v treh, povsem enakihdružinah in nimajo mase.

V vsaki družini so kvarki in leptoni, ki nosijo kvantno število, imenovanospin. Opišemo ga z levoročno in desnoročno fundamentalno upodobitvijogrupe SO(1, 3). Število levoročnih fermionov je enako številu desnoročnih.


Standardni model v svoji prvotni postavitvi desnoročnih nevtrinov nima,ker so bile mase do tedaj opaženih nevtrinov nemerljivo majhne in so zatoprivzeli domnevo, da so mase vseh nevtrinov enake nič. Ta privzetek seje izkazal kot napačen. Desnoročni nevtrini pa po standardnem modeluelektrošibke in barvne interakcije ne nosijo drugega notranjega kvantnegaštevila kot spin in ročnost. Vsi fermioni razen desnoročnih nevtrinov nosijohiper naboj.

V vsaki od družini so kvarki treh barv. Barvo fermionov opiše fundamen-talna upodobitev grupe SU(3). Leptoni barve ne nosijo. So barvni singleti.Vsi levoročni člani družine nosijo šibki naboj, ki ga opiše fundamentalnaupodobitev grupe SU(2). Po upodobitvah te grupe so člani družin do-bili ime: Kvarke s kantnim številom 1

2 te grupe poimenujemo za kvarkeu, leptonom z istim kvantnim številom pravimo nevtrini, kvarki d nosijokvantno število −1

2 , ustrezne leptone pa poimenujemo za elektrone. Levo-ročnih članov družine je tako osem: šest kvarkov in dva leptona. Tolikoje tudi desnoročnih. Desnoročni člani iste družine nosijo enaka imena kotlevoročni, četudi desnoročni ne nosijo šibkega naboja, ki je bil vzrok iz-biri imena. Tako lahko za člane družine obdržimo ista imena tudi potem,ko povežejo Yukawine sklopitve levoročne člane z desnoročimi v masivnedelce. Namesto kvarki ui, kvarki di, nevtrini νi ter elektroni ei, kjer povei = 1, 2, 3 številko družine, ter s tem kvantno število družine, so kvarki inleptoni različnih družin dobili drugačna imena: u, c, t so imena za kvarkeui, i = 1, 2, 3, d, s, b so imena za kvarke di, i = 1, 2, 3, e, µτ so imena zaleptone ei, i = 1, 2, 3 ter νe, νµ, ντ so imena za νi, i = 1, 2, 3. Tem masampravimo „gole mase” osnovnih delcev. Kvarki se pri energijah pod 1 GeVoblečejo še v gluonski oblak, ki jim maso poveča za približno 1/3 GeV/c2.Leptoni ne nosijo barvnega naboja in obdržijo golo maso.

Ne le fermioni, tudi vektorska polja imajo maso enako nič, dokler jih postandardnem modelu skalarna polja ne povežejo v nove tvorbe, to je v su-perpozicijo prvotnih, to je šibkega pra polja ter hiper polj. To novo po-vezavo šibkega pra polja in hiper polja povzroči po standardnem modeluzlomitev simetrije, ki jo doživi skalarno polje, ki nosi šibki naboj v funda-

9

mentalni upodobitvi grupe SU(2) (tako kot leptoni in kvarki katerekoli odtreh družin) ter hiper naboj. Po zlomitvi simetrije prispeva komponenta uskalarnega polja k energiji vakuuma od 100 GeV/c2 do 200 GeV/c2, takopravijo eksperimentalni podatki. Ker interagira s šibkim in hiper poljem,ker nosi njuna naboja, povzroči s to interakcijo, da se zdi kot da bi enasuperpozicija teh polj dobila maso približno 100 GeV/c2, druga, ki jo pozlomitvi vidimo kot elektromagnetno polje, pa ostane z maso nič. Skalarnopolje nosi v standardnem modelu ime Higgsovo skalarno polje ali kar Higg-sovo polje.

Ker skalarno polje ne nosi barvnega naboja, barvno pa nosi samo barvninaboj, gluoni in skalarno polje med seboj ne interagirata. Gluoni obdržijotudi po zlomitvi maso enako nič. Gluoni nosijo barvni naboj v adjungiraniupodobitvi grupe SU(3).

Vsi prakvarki, praelektroni in tisti pranevtrini, ki nosijo šibki naboj, no-sijo tudi pranaboj. Prakvarki se interagirajo tako, da si izmenjujejo gluone(pravimo jim barvna polja), prafotone (hiper polja, ki jih rojeva hiper na-boj delcev) in polovica od prakvarkov tudi prašibke bozone (prednike šibkihpolj). Praleptoni si izmenjujejo prafotone in tisti, ki nosijo šibki naboj tudiprašibke bozone. Vsi prakvarki in praleptoni imajo maso nič. Tudi vsaprapolja imajo maso nič. Za tako postavljeno teorijo znamo napisati akcijoin posledično izračunati njihove lastnosti vsaj v približkih. Ta teorija nimarealizacije v tem, kar opazimo, saj prav dobro vemo, na primer, da elektroninimajo mase nič. Zato je v teorijo vključeno tudi tako imenovano skalarno(ali Higgsovo) polje, ki ima maso od nič različno. Lastno polje ga je prisililo(nekoč, v dinamiki vesolja) v zamrznjeno osnovno stanje (v ilustracijo, vodikin kisik se na Zemlji utekočinita). Ker pa nosi skalarno polje prašibki nabojin pranaboj, prisili prašibke bozone in prafotone v nove tvorbe (tudi večinasnovi spremeni v vodi lastnosti, atomi se jonizirajo, molekule razpadajo,spremeni se njihova gibljivost, i.t.d.). Tvorbe, ki jim skalarno polje pusti,da se obnašajo kot polja brez mase, izmerimo kot fotone, tiste, ki imajomaso od nič različno, izmerimo kot težke bozone. Tudi kvarki in leptonispremenijo, „raztopljeni v vakuum” (tako imenujemo to povsod prisotno


in povsod enakih lastnosti „skalarno tekočino”), svoje lastnosti. Skalarnibozoni povežejo prakvarke v kvarke, ki imajo zdaj neničelno maso, in pra-leptone v nove leptone, ki prav tako nosijo maso. Kvarki različnih družinnosijo različno maso, tudi leptoni različnih družin nosijo različno maso. Topovezovanje kvarkov in leptonov v nove tvorbe opravi Standardni modelbrez pojasnila, kar z zapisom ustreznih členov v akcijo. Zakaj so nastaledružine, zakaj tri in kako si njeni člani „preskrbijo” maso (to je, kaj opra-vičuje zapis masnih členov v akciji), teorija ne pove. Tudi tega ne pove, kajprisili skalarno polje v „tekočino” (to je v vakuumsko stanje). Pove pa, kakose spremenijo interakcije med kvarki, leptoni in polji glede na interakcijomed prakvarki, praleptoni in prapolji, ko se skalarno polje „utekočini”. Vseproste parametre modela, okoli 25 jih je, določijo s poskusi. Od tu dalje, toje od kvarkov in leptonov, ki imajo maso od nič različno, do gruč kvarkov, kijih razpoznamo kot protone, nevtrone, pione, kaone, sigma mezone in drugehadrone in naprej do atomov, molekul, snovi, osončij galaksij, jat galaksij,vesolja, se zdi pot ravna. Pri tem igra poglavitno vlogo četrta sila, ki jipravimo gravitacijska. Vsa fermionska in bozonska polja, elementarna aligruče elementarnih polj, tedaj tudi sonca planeti, galaksije in jate galaksijrojevajo gravitacijsko polje, ki jih privlači.

Četudi se zdi, da načelnih problemov pri iskanju enačb gibanja in njihovihrešitev za gruče delcev, denimo hadronov, atomov, snovi, ni pa je iskanjerešitev največkrat neobvladljiva naloga. Ne le, da nam manjkajo mnogokratkonkretna navodila, denimo, kako priti od kvarkov do hadronov. Skorajpovsem smo brezmočni pri obravnavanju gruč večjega števila delcev, ker jedogajanje tako pestro, da ga računsko ne obvladamo. Zato se zelo hitroodrečemo načelnemu obravnavanju, ki ga formalno sicer znamo zapisati.Namesto tega si postavljamo „fenomenološke nadomestke” za opis opazljivihfenomenov v hadronski fiziki, v fiziki jedra, v fiziki snovi—tekoče in trdne.

Standardni model elektrošibke interakcije ni mnogo več kot fenomenološkimodel, četudi je učinkovit (doslej ni niti enega poskusa, ki bi ponudil ka-kršenkoli namig, da Standardni model odpoveduje) in v marsikaterem smislutudi „eleganten”. Potrebno ga bo postaviti v kontekst širše teorije, ki bo

11

odgovorila na mnoga vprašanja, ki jih pušča Standardni model odprta. Po-dobno je posebna teorija relativnosti posplošila klasično mehaniko na ob-močja hitrosti, ki so blizu svetlobni in kvantna mehanika klasično mehanikona območja, kjer delcev, denimo elektronov v atomu, ni mogoče dovolj dobro(z natančnostjo, ki jo dosežejo meritve) opisati s potmi elektronov znotrajatoma. Kvantna relativistična mehanika kvarkov in leptonov ter gluonskih,šibkobozonskih in fotonskih polj je ponudila načelne odgovore na vprašanjav območju velikih hitrosti in kvantnih efektov. Kvantna teorija polja jedokaj učinkovito, četudi ne povsem elegantno matematično orodje (če ele-ganca pomeni preprostost in povsem definirana pravila) nas pusti na cedilupri kvantni teoriji gravitacijskega polja. Gravitacijsko polje postane domi-nantno, ko se planeti in sonca povežejo v osončja, osončja v galaksije, tev jate, jate v Vesolje. Preprosti Standardni kozmološki model, zgrajen nasplošni teoriji relativnosti (Einsteinovi teoriji gravitacije) napoveduje zgo-dovino našega vesolja in jo preko meritev črnega sevanja preverja. Četudimarsičesa v zgodovini našega vesolja ne znamo pojasniti, pa gre Standard-nemu kozmološkemu modelu, skupaj z opravljenimi meritvami, verjeti, naprimer, da je v starosti ene sekunde bilo Vesolje plazma iz protonov, elek-tronov in nevtronov, (pa tudi iz delcev, ki jim izvora še ne poznamo inprispevajo danes sedemkrat toliko h snovi v vesolju kot snov, ki smo joopazili preko svetlobnega sevanja) da se je pri eni minuti vesolje ohladilona milijardo stopinj Kelvina, ter da fotoni, ki so tedaj nastali in so imelienergijo nekaj mega elektronvoltov, zdaj prihajajo na Zemljo ohlajeni v pov-prečju na manj kot tri stopinje kelvina in jih opazimo kot črno sevanje pritej temperaturi. Če zaupamo Standardnemu kozmološkemu modelu tudido nastanka vesolja, ko je bilo tako „mlado” kot je nekaj deset na (-42)potenco sekunde, in je gravitacija odigrala dominantno vlogo, se kvantniteoriji gravitacijskega polja skoraj ne moremo odreči, četudi je še ne znamomatematično zapisati.

Vesolje, osnovne gradnike snovi, pa tudi gruče osnovnih gradnikov opazu-jemo s poskusi in modeli v iteraciji: z modeli napovedujemo, s poskusipreverjamo napovedi modelov, rezulati preverjanj modelom pritrjujejo alipa ne.


Če Standardni model elektrošibke interakcije ni model, za katerega priča-kujemo, da bo veljal tudi v drugačnih, še ne preverjenih razmerah, kaj jepotem pravi model, ali prava teorija, in če že ne prava teorija vsaj teorija,ki bo odgovorila na tista vprašanja v fiziki osnovnih delcev, ki jih vidimosedaj?

13

3 Kratka ponovitev klasične relativistične meha-nike

Enačbe gibanja lahko za vsak sistem tčkastih ali razsežnih delcev izpeljemoiz �akcije. To je zelo uporaben način, če le znamo poiskati primerne pa-rametre, primerne koordinate, če razspoznamo simetrije sistema, sile medgradniki sistema ter znamo zapisati primerno Lagrangeovo funkcijo. Vodilo,kako razspoznati vse potrebno so izkušnje, ki rastejo s številom uspešno opi-sanih sistemov.

V relativistični fiziki opišemo gibanje točkastega delca, ki se giblje v poten-cialu vseh ostalih delcev tako, da poiščemo odvisnost vseh njegovih koordi-nat, ene časovne in (d-1) prostorskih,

xa, a = 0, 1, 2, 3, 5, .. (1)

od nekega parametra, recimo mu τ , pri predpostavki, da so xa(τ) monotonefunkcije parametra τ . Vsi teoretični opisi sistemov so zgrajeni na začetnihpredpostavkah, ki sledijo iz opazovanj, premislekov in izkušenj.

Skalarni produkt dveh vektorjev zapišemo v relativistični fiziki s privzetkom,da je predznak pred časovno komponento drugačen kot pred prostorskimi.

xa xa := (xo)2 −∑i

(xi)2, i = 1, 2, 3, 5, .. (2)

To nam narekujejo izkušnje [?]. Pri takem zapisu napovedo relativističneenčbe gibanja prave lastnosti relativističnih delcev. Maxwellove enačbe sohermitske, prav tako tudi relativistične enačbe gibanja za fermione, energijaje realna količina. Ko vpeljemo metrični tenzor

ηab =

1 0 0 · · · 0 00 −1 0 · · · 0 0

. . .0 0 0 · · · 0 −1

, (3)

143 KRATKA PONOVITEV KLASIČNE RELATIVISTIČNE MEHANIKE

lahko skalarni produkt zapisemo tudi takole

xaxa = xaxa = xaηabx

b = xaηabxb, (4)

pri tem je ηab = ηab. Skalarni produkt zapišemo lahko tudi takole

xT ηx, (5)

v matrični obliki. Dogovorimo se, da označuje xa(= (x0, x1, ·, xd)) cel vektorvečterec, razen kadar povdarimo, da gre za eno samo komponento. Kadarse isti indeks pojavi dvakrat, enkrat kot zgornji in enkrat kot spodnji, podogovoru po tem indeksu vselej seštejemo.

Skalarni produkt zelo majhne razlike dveh vektorjev imenujemo interval

ds2 = dxa dxa = dxa ηab dxb. (6)

Ta izraz je kovarijanten na spošne koordinatne transformacije (njegova ve-likost se pri splošnih koordinatnih transformacijah ne spremeni)

ds2 = dxa ηab dxb =

∂xa

∂x′cηab

∂xb

∂x′ddx

′cdx′d = dx

′c g′cd dx

′d. (7)

Matriko J ac = ∂xa

∂x′c imenujemo Jaccobijevo matriko. Velja ∂xa

∂x′c∂x′c

∂x′b = δab =

J acJ ′bc. Nov metrični tenzor izrazimo takole

g′ = J T ηJ . (8)

Tedaj je det(J T ηJ ) = det g′. Volumski element v novih koordinatah za-pišemo: ddx = detJ ddx′ =

√det g′

det η ddx′ (Premislek je naslednji: det g′ =

detJ T det η detJ = (J )2 det η, ddx = detJ ddx′ =√

det g′

det η ddx′. Tedaj je

ddx√

det g = ddx′√

det g′.)

Primer: V pravokotnem koordinatnem sistemu ima vektor komponenti (x1 =ρ cosφ, x2 = ρ sinφ), poišči komponenti v sistemu, kjer je abscisna os nespremen-jena, nova ordinatna os pa je od stare zasukana za kot π

2 − θ. (Tedaj x1 = x′1 +

15

x′2 cos θ, x2 = x′2 sin θ.) Pokaži, da je J 11 = 1 J 1

2 = cos θ,J 21 = 0,J 2

2 = sinθ.Pokaži, da je(g′ = J T ηJ )

g =(

1 cos θcos θ 1

), (9)

ds2 = (dx1)2 + (dx1)2 = (dx′1)2 + (dx′1)2 + 2dx′1dx′2 cos θ, det g′ = sin2 θ.

Transformacije, pri katerih ostaja metrični tenzor η nespremenjen,

g′ab = ηab, (10)

imenujemo Poincaréjeve transformacije. Sistemi, ki niso v nobeni interakcijiz okolico, imajo vselej to simetrijo: Enačbe gibanja tedaj niso odvisne odtranslacije in rotacije koordinatnega sistema.

Spremenimo koordinatni sistem tako, da so spremembe zelo (infinitezi-malno) majhne

x′a = xa + εa(x), | εa

x′a| << 1. (11)

Tedaj xa = x′a − εa ter

g′ab =∂xc

∂x′aηcd

∂xd

∂x′b= (δca −

∂εc

∂x′a) ηcd(δdb −

∂εd

∂x′b)

= ηab −∂εb∂xa− ∂εa∂xb

+ · · · . (12)

Za majhne |εa| velja ∂εe

∂x′f ≈ ∂εe

∂xf≈ in zanemarimo vse nadaljne člene. Za

Poincaréjeve transformacije je g′ab = ηab in sledi

−(∂εb∂xa

+∂εa∂xb

) = 0. (13)

Najbolj splošna rešitev za εa je tedaj

εa = aa + ωabxb. (14)


Ko vstavimo to rešitev v Eq. (14), sledi

ωab + ωba = 0. (15)

Skupno število prostih parametrov aa in ωab je pri Poincar’ejevi simetriji je

d+d(d− 1)

2. (16)

Antisimetrični tenzor dimenzij d×d ima namreč d(d−1)2 prostih parametrov,

a pa teče od 1 do d.

Poincaréjeve transformacije imajo prav toliko prostih parametrov: d kom-ponent vektorja, ki translira koordinatni sistem ter d(d−1)

2 parametrov, kidoločajo rotacije. Evklidske rotacije v d−1 razsežnem prostoru so običajnerotacije, teh je v prostoru z eno časovno in (d−1) prostorskimi koordinatami(d−1)(d−2)

2 , preostale d(d−1)2 − (d−1)(d−2)

2 = d− 1 imenujemo potiske.

Ortogonalne transformacije

Za evklidski prostor velja preprostejši zapis od (3), ker je metrični tenzoridentiteta I. Označimo matriko transformacij z a, x′a = aabx

b, ali x′ = ax.Tedaj bo za evklidsko metriko veljalo

x′Tx′ = (ax)Tax = xTaTax = xTx, (17)

kjer velja aTa = I.

Vse ortogonalne transformacije imajo d(d−1)2 prostih parametrov, ne glede

na signaturo (predznak diagonalnih enic v metričnem tenzorju). Če oz-načimo parametre, ki nam povedo, kakšno transformacijo želimo opraviti, z

17

vektorjem ~α in matriko transformacij ne glede na signaturo z a bo veljalo

a(~α)a(~β) = a(~γ),Ia(~α) = a(~β)I,

(a(~α)a(~β))a(~γ) = a(~α)(a(~β)a(~γ))a−1(~α)I = Ia(~α)−1, (18)

kar pomeni, da tvorijo njeni elementi grupo ortogonalnih transformacij.

Primer: Rotacije v dvorazsežnem prostoru zapišemo z matriko z enim parametrom,ki ima determinanto enako 1

a =(

cosφ sinφ− sinφ cosφ

).

V trirazsežnem prostoru z evklidsko metriko izberemo običajno za para-metre tri „Eulerjeve kote”. Poglejmo širirazsežne ortogonalne transforma-cije v Minkovskega metriki, ko rotacije prizadenejo časovno konponento.Od šestih parametrov izbiramo tedaj le tri, če se za rotacije v trirazsežnemprostoru z evklidsko metriko ne menimo.

Poglejmo Poincaréjeve transformacije s poljubno signaturo v d-razsežnemprostoru. Označimo matriko ortogonalnih rotacij z Λ, vektor translacij koor-dinatnega sistema pa z aa. Tedaj bo veljalo

x′a = xa + aa + Λabxb. (19)

Za ortogonalne transformacije bo veljalo

xaηabxb = x′aηabx

′b = ΛacηabΛbdxcxd. (20)

Tedaj sledi

Λac ηab Λbd = ηcd. (21)


Poglejmo primer Minkovskega signature, d = 1 + 3.

Parametrizirajmo

Λ0i = −Λ0

i = Λi0 = −βi γ = βi γ

Λ00 = γ, Λij = δij + aβi βj . (22)

Iz En. (21) in En. (22) sledi za c = 0 = d izraz, ki povezuje vse tri parametreβi, i = 1, 2, 3, ter parameter γ. Parameter a lahko izrazimo z βi, če izberemoc = 0 in d = i, za katerikoli i = 1, 2, 3.

Tedaj dobimo

Λ00 = γ =

1√1−

∑i (βi)2

,

Λ0i = −βi γ,

Λij = δij +γ − 1∑i (βi)2

βi βj . (23)

Pomena βi ni težko razumeti. Naj opazovano telo miruje v sistemu S. Tedajmu teče samo čas: dxa = (dx0,~0). V gibajočem se sistemu S′ bo vektortelesa dx′a = (dx′0, ~dx′). Tedaj dobimo

dx′a = Λa0dx0,

d~x′

dx′0= −~β. (24)

~β določa relativna hitrost med obema sistemoma.

Pokaži, da se ∂∂x′a transformira kot dx′a, ter

∂∂x′atransformira kot dx′a!

Navodilo: Pomnoži enačbo dx′a = Λabdxb z Λac ter upoštavaj, da je ΛabΛac = δcb.Tedaj sledi ∂

∂x′a .

3.1 Kratek uvod v iskanje enačb gibanja 19

3.1 Kratek uvod v iskanje enačb gibanja

Pri obravnavanju sistemov na katerem koli fizikalnem področju želimo imetineko splošno navodilo, ki nas bo pripeljalo do enačb gibanja, ter za določenoizbiro robnih pogojev (ki nam povedo, katere rešitve nas zanimajo) tudi dorešitev.

Princip najmanjše akcije je močno matematično orodje na vseh področjih fi-zike. Uspešno ga uporabljamo v klasični mehaniki sistemov točkastih in raz-sežnih delcev, v mehaniki tekočin, pri membranah, v relativistični klašičnimehaniki, v kvantni relativistični in nerelativistični mehaniki in drugod.Pripelje nas do enačb gibanja, kadar znamo izbrati primerno akcijo. Dina-miko sistema pa nam pomagajo razumeti tudi Hamilton-Jacobijeve enačbe.Na kratko povzemimo obe orodji.

3.1.1 Princip najmanjše akcije

Princip najmanjše akcije je preprosto orodje. Ponovimo ga na kratko najprejza sistem točkastih delcev v relativistični klasični mehaniki, potem pa še zasistem vektorskih polj.

Opisujemo sistem N točkastih delcev s koordinatami xaα, α = 1, N . Pred-postavimo, da poznamo funkcijo, imenujemo jo Lagrangeovo funkcijo, ki jefunkcija koordinat naših N delcev, njihovih prvih odvodov po parametru τ(dx

aα

dτ ) ter parametra τ . Predpostavimo, da so xaα monotone funkcije parame-tra τ . Predpostavimo še, da poznamo vse koordinate xaα za dve vrednostiparametra τ , denimo za τ = τ1 in τ = τ2. Te vrednosti nam pomagajoizbrati tiste poti delcev, ki nas zanimajo. Zagovor, zakaj naša L(xaα,

dxaαdτ , τ)

ne vsebuje višjih odvodov, je preprost. Tak privzetek nas bo pripeljal doenačb gibanja, katerih rešitve so v soglasju z dosedanjimi izkušnjami skorajna vseh področjih fizike. Je hkrati tudi najbolj preprost privzetek, ki naspripelje do že poznanih in uspešno uporabljenih enačb gibanja. Izjemoma


nam prav pridejo tudi višji odvodi, vendar vselej doslej kot nadomestilo zadinamiko tistih delcev ali polj, ki jo nismo hoteli, nismo zmogli ali nismoznali upoštevati na enak način kot vse ostale. Zapišimo akcijo

S =∫ τ2

τ1

dτ L(xaα,dxaαdτ

, τ). (25)

Da bo zapis bolj pregleden, definirajmo

x aα :=dx aαdτ

. (26)

Poiščimo prvo variacijo te akcije in jo postavimo enako nič. Naši variacijskiobjekti so xaα. Vemo: variacije koordinat pri τ1 in τ2 so nič (δxaα|τ1 = 0 =δxaα|τ2 .) Privzemimo tudi, da so koordinate take funkcije parametra τ , davelja δ dx

aα

dτ = dδxaαdτ . V večini primerov so funkcije, ki jih v fiziki srečamo

poljubno mnogokrat odvedljive: C∞. Ne pa vselej, zato je previdnost inpreudarnost na mestu. Pri zgornji predpostavki smo zahtevali, da so koor-dinate enkrat odvedljive funkcije parametra τ . Tedaj velja

0 = δS = S(xaα + δxaα)− S(xaα)

=∫ τ2

τ1

dτ∑α

δxaα {∂L

∂xaα− d

dτ

∂L

∂x aα

}+∫ τ2

τ1

dτd

dτ

∑α

{δxaα∂L

x aα

}. (27)

Zadnji člen je nič, ker je variacja vseh koordinat δxaα na obeh mejah enakanič, njihove vrednosti so poznane številke. Prvi člen pa bo pri majhnih, apoljubnih spemembah koordinat, enak nič, če bodo koeficienti pri spemem-bah koordinat enaki nič. Sledijo enačbe

∂L

∂xaα− d

dτ

∂L

∂x aα

= 0, (28)

za vsak a in vsak α.


Enačbe imenujemo Euler-Lagrangeove enačbe gibanja za sistem točkastihdelcev. Pogoji xaα|τ1 = xaα1 in xaα|τ2 = xaα2 nam izberejo poti delcev medvsemi tistimi, ki jih določajo enačbe gibanja.

∂L

∂dxaαdτ

imenujemo konjugirani moment h koordinati xaα

paα =∂L

∂x aα

. (29)

Za izbrane variacije koordinat in pri Lagrangeovih funkcijah, ki opisujejosisteme z neko simetrijo, je lahko totalni odvod d

dτ

∑α {δxaα

∂L(xa

∂x aα} v en-

ačbi Eq.(28) enak nič povsod in ne le na mejah. Tedaj je∑

α {δxaα∂L(xa

∂x aα}

konstanta. Tako bo veljalo za sisteme, ki niso v interakciji z okolico, da boza δxaα = aa + ωabx

b, to je za Poincaréjeve transformacije,∑

α {δxaα∂L(xa

∂x aα}

konstanta, ne glede na to, kakšne so sile med delci.

Poglejmo tak primer. Imejmo sistem delcev, ki ima lahko zelo pestro gi-banje pod vplivom medsebojne interakcije, z okolico pa delci nimajo nobe-nega stika, nobenega sodelovanja. Tedaj morajo imeti enačbe gibanja zata sistem delcev ter s tem tudi Lagrangeova funkcija, posledično pa tudiakcija Poincaréjevo simetrijo. Tedaj je

∑α {δxaαpαa} neodvisna od τ pri

poljubni translaciji (δxaα = aa) in poljubni rotaciji koordinatnega sistema(δxaα = ωab x

bα). Tedaj sledi

aa∑α

paα = konstanta,12ωab

∑α

(xaαpαb − xbαpαa) = konstanta. (30)

V prvem primeru sledi, da je konstanta vektor četverec vsote gibalnih količindelcev, v drugem primeru pa je konstanta tenzor vsote vrtilnih količin delcev

Labα := xaαpαb − xbαpαa. (31)

Vektor četverec vsote gibalnih količin in tenzor vsote vrtilnih količin sistemadelcev je neodvisen od parametra časa τ (ne glede na to, kaj zanj izberemo),kadar sistem ni v nobenem stiku z okolico, ne glede na medsebojne sile.


Zgornji ugotovitvi sta daljnosežni. Ni potrebno, da vemo kaj se dogaja vsistemu delcev, kakšne reakcije sile sprožijo, pa vseeno lahko potegnemozaklučke naslednje vrste: Če poznamo vektorje četverce gibalnih količindelcev, ki vstopajo v reakcijo, nam zgornja ugotovitev pove, da bo vsotagibalnih količin vseh delcev, ki pri reakciji nastanejo, enaka vsoti gibalnihkoličin delcev, ki v reakcijo vstopajo. Podobno velja tudi za vse komponentetenzorja vrtilne količine. V kvantni mehaniki od tod izpeljemo (to bomotudi izpeljali), da kvantni sistemi, ne glede na to, kakšne sile jih povezujejo vgruče, imajo v osnovnem stanju lahko vrtillno kolicino samo 0, 1

2 , 1,32 , 2, · · · .

Lagrangeove funkcije nismo predpisali. Njena izbira je odvisna od mastočkastih delcev in od sil med njimi. Mnogokrat Lagrangeove funkcije nilahko poiskati, premislek o simetrijah sistema in s tem tudi o simetrijahLagrangeove funkcije nam iskanje poenostavi.

Poglejmo še totalni odvod Lagrangeove funkcije po parametru τ

dL

dτ=∑α

{dxa

dτ

∂L

∂xaα+d2xa

dτ2

∂L

∂x aα

}+∂L

∂τ. (32)

Od tod sledi, ko upoštevamo enačbe gibanja ∂L∂xaα− d

dτ∂L∂x aα

= 0, enačba

d

dτ(L−

∑α

pαa xaα) =

∂L

∂τ. (33)

Kaj nam enačba pove? Če Lagrangeova funkcija ni eksplicitno odvisna odparametra τ , je izraz L−

∑α pαa x

aα neodvisen od parametra τ . Če je naš

parameter τ , denimo, časovna koordinata x0, tedaj je Lagrangeova funkcijaneodvisna od x0. To se zgodi vedno, kadar sistem, ki ga opazujemo, ni vnobenem stiku z okolico. Vsi sistemi, ki jih povezujejo Poincaréjeve trans-formacije, to je translacije in Lorentzove rotacije v (1 + (d− 1))-razsežnemprostoru (največkrat bomo obravnavali primere, ko d ne bo večji kot štiri),vodijo do enakih enačb gibanja. V nerelativistični limiti govorimo o trans-lacijah in rotacijah v trirazsežnem prostoru, od potiskov pa so dovoljene


Galilijeve transformacije, ki spremenijo hitrosti za konstanten vektor v tri-razsežnem prostoru. Tedaj govorimo o inercialnih sistemih.

3.1.2 Hamilton-Jacobijeve enačbe gibanja in Poissonovi oklepaji

Hamilton-Jacobijeve enačbe gibanja so koristen pripomoček pri določanjudinamičnih lastnosti sistemov, njihovih simetrij in mnogokrat tudi pri is-kanju rešitev enačb gibanja.

Definirajmo izraz na levi strani enačbe (33) kot Hamiltonovo funkcijo

H := L−∑α

pαa xaα . (34)

Iz enačbe (33) preberemo, da je ∂H∂τ = ∂L

∂τ ter da je totalni odvod Hamilto-nove funkcije enak nič, kadar Lagrangeova funkcija ni eksplicitno odvisnaod parametra τ .

Ker je

dH =∑α

{dxaα∂L

∂xaα+ d x a

α

∂L

∂x aα

− dpαa x aα − dx a

α pαa}+ dτ∂L

∂τ, (35)

sledi, ko upoštevamo Euler-Lagrangeove enačbe, da je dH = dxaα d p αa −x aα pαa + dτ ∂L

∂τ in od tod

∂H

∂xaα= pαa,

∂H

∂pαa= −x a

α ,∂H

∂τ=∂L

∂τ, (36)

za vsak α in vsak a = 0, 1, 2, 3. Lagrangeova funkcija je funkcija koordinatxaα, odvodov

dxaαdτ ter parametra τ . Hamiltonova funkcija je, kot preberemo

v enačbi (36), funkcija koordinat xaα in konjugiranih momentov (gibalnihkoličin) pαa ter parametra τ . Medtem ko so Euler Lagrangeove enačbe en-ačbe z drugim odvodom koordinat po parametru τ , so Hamilton-Jacobijeve


enačbe enačbe prvega reda po dveh vrstah neodvisnih spremenljivk xaα inpαa.

Definirajmo Poissonove oklepaje:

{A, B}P = −∑α

(∂A∂xaα

∂B∂pαa

− ∂A∂paα

∂B∂xαa

). (37)

Tedaj bo veljalo, da lahko totalni odvod neke opazljivke A po parametru τzapišemo s pomočjo Poissonovih oklepajev takole

dAdτ

=∂A∂τ

+ {A, H}P . (38)

Poissonovi oklepaji določajo dinamiko opazljivk. Pri iskanju predpostavk,ki nas bodo pripeljale v kvantno dinamiko, odigrajo Poissonovi oklepajipomembno vlogo, določajo algebro operatorjev. Ko izračunamo Poisso-nove oklepaje opazljivk, poznamo tudi komutatorje ustreznih operatorjev.S predpisom bomo določili ustrezne relacije.

Zlahka izračunamo

{xαa, A}P =∂A∂paα

, {pαa, A}P = − ∂A∂xaα

. (39)

Primeri:

1. Pokažite, da je {xa, pb} = ηab.

2. Pokažite, da je {Lab, Lcd} = ηad Lbc + ηbc Lad − ηac Lbd − ηbd Lac.3. Poiščite za harmonski oscilator (L = m

2 (d~xdt )2 − k2~x

2) Hamiltonovo funkcijo,Hamilton-Jacobijeve enačbe, poiščite Poissonove oklepaje za a = 1√

2mωh(mωx+ip)

in a∗: {a, a}P , {a∗, a∗}P , {a, a∗}P .

3.2 Sistem neodvisnih relativističnih delcev

Za sistem prostih delcev mora biti akcija skalar glede na translacije in ro-tacije v štiri razsežnem prostoru-času: Ker niso v nobenem stiku z okolico,

3.2 Sistem neodvisnih relativističnih delcev 25

morajo biti enačbe gibanja in s tem tudi tudi Lagrangeova funkcija neodvisniod štirirazsežnih rotacij in translacij (Poincaréjevih transformacij) koordi-natnega sistema. Interval ds je edina skalarna funkcija koordinat glede naLorentzove rotacije, ki smo jo doslej srečali in ker je tudi invariantna natranslacije (d(xa + aa) = dxa), je akcijo smiselno zapisati takole

S =∑α

αα

∫ τ2

τ1

dτdsαdτ

=∑α

αα

∫ τ2

τ1

dτ

√dxaαdτ

dxaαdτ

, (40)

a = 0, i; i = 1, 2, 3, α šteje delce in označuje koordinato delca α. Akcija jeočitno (manifestno) invariantna na izbiro parametra (reparametrično inva-riantna), saj je vsaka izbira parametra τ enako dobra. Lagrangeova funkcijaL =

√x ax a zavisi od izbire parametra. Kot primer izberimo za parameter

laboratorijski čas delca, ki ga opazujemo. Index α tokrat izspustimo.

S = α

∫ x02

x01

dx0

√dxa

dx0

dxadx0

. (41)

L = α√

1− ( d~xdx0 )2, kjer je ~x = (x1, x2, x3). Razvijmo L v vrsto po kvo-

cientu d~xdx0 . Tedaj L = α(1− 1

2 ( d~xdxo )2− 18 ( d~xdxo )4 + · · · ). Za majhne vrednosti

| d~xdx0 | sledi znana nerelativistična Lagrangeova funkcija za prost delec, čeza α izberemo −mc, upoštevamo vrsto do kvadratičnega člena, konstantopa izpustimo, saj vodi Lagrangeova funkcija, ki ji prištejemo konstanto, doenakih enačb gibanja, kot prvotna. Od nerelativistične do relativistične La-grangeove funkcije pridemo tako, da prištejemo vse sode potence kvocientad~xdx0 s koeficienti, ki jih določa razvoj relativistične Lagrangeove funkcije.Vsak od teh členov je invarianten na rotacije in translacije v prostorskemdelu štiri razsežnega prostora-časa. Koeficiente bi bilo nemogoče določiti izeksperimenta, preverimo pa jih lahko potem, ko smo postavili relativističnoteorijo.

Zastavi se nam vprašanje, zakaj smo za Lagrangeovo funkcijo vzeli samofunkcijo prvih odvodov koordinat po parametru, ne pa tudi višjih odvodovkoordinat po parametru. Odgovor je: če tako ravnamo, je Lagrangeova


funkcija preprosta in ponudi enačbe gibanja, ki jim eksperiment pritrdi(dokler ne postanejo merljive kvantne lastnosti narave).

Odvisnost Lagrangeove funkcije od koordinat delcev prinese interakcijo meddelci, ki je za sistem prostih delcev ni. Obravnavali pa jo bomo v naslednjempoglavju.

Za akcijo lahko izberemo tudi

S =12

∑α

αα

∫ τ2

τ1

dτ (1ηα

x ax a + (mαc)2ηα), (42)

kjer je ηα = ηα(τ). Tedaj je paα = 1ηα

dxaαdτ . Če variramo akcijo (42) po xaα in

ηα, pridemo do istih enačb gibanja kot če variramo akcijo (41).

Vaja: Pokaži, da je zgornja trditev pravilna.

V obeh akcijah (41, 42) je konstanta α izražena z masami delcev: za vsakomaso moramo vstaviti drugo konstanto. Prostih parametrov je toliko, koli-kor je različnih mas, torej skoraj poljubno mnogo. V kvantni mehaniki lahkoenačbe gibanja posplošimo tako, da postanejo skoraj neodvisne od mas del-cev pri privzetku, da so mase delcev nič. Interakcije med delci (polji vkvantni mehaniki) prinesejo delcem in gručam delcev mase. Tako masa del-cev ni več prost parameter. V Newtonovih enačbah, ki so efektivne enačbegibanja, uporabne v nerelativistični mehaniki dokler ni merljiv relativističniin kvantni značaj, pa ostaja masa delca kot parameter, ki ga prilagodimodelcem. Tudi v relativistični klasični mehaniki je masa še vedno parameter,ki ga prilagodimo lastnostim delcev, ki jih obravnavamo.

Konjugirani momenti so za proste delce tedaj, ko je Lagrangeova funkcijaodvisna od τ ,

paα = mαcdxaαdτ

/dsαdτ

. (43)

3.2 Sistem neodvisnih relativističnih delcev 27

Vektor gibalne količine vsakega od delcev (in ne le vektor celotne gibalnekoličine sistema, kar velja v splošnem, kadar so delci med seboj v interakciji,niso pa v interakciji z okolico) je konstanta, ni odvisna od parametra τ .Euler-Lagrangeove enačbe gibanja nas pripeljejo do

dpaαdτ

= 0, (44)

za vsako komponento vektorja vsakega delca. Izračunajmo paαpαa = m2αc

2;to je poznana Einsteinova relacija za kvadrat vektorja četverca gibalne ko-ličine.

Imenujmo Lagrangeovo funkcijo (41) za prost delec L0α = mαcdsαdτ in us-

trezni konjugirani moment (gibalno količino) pa0α.

Prost parameter, ki ga določimo za vsak delec, ki ga obravnavamo, je tudinaboj delca. V nerelativistivčni klasični mehaniki določimo predvsem (aliskoraj samo) dve vrsti naboja: a) elektromagnetnega in b) gravitacijskega.Slednjega (skoraj) ne imenujemo naboj, ker je odvisen od mase delcev (vrelativistični fiziki pa od njihove energije). V kvantni mehaniki pa nosijodelci tudi druge naboje: šibki, barvni in tudi spin. Vse naboje opišemotako, da jih povežemo z grupami. Prostor, nad katerim so naboji in spindefinirani, pa je dodatna prostostna stopnja h koordinatnemu prostoru, kiga že poznamo. Imenovali ga bomo notranji prostor.

Primer: Vzemi akcijo za prost relativistični delec (42) ter ustrezno L = −mc2√

1−∑i (βi)2.

Pokaži, da velja: βi = picE , E = p0c.

Vprašanja študentov:Če vzamemo za akcijo S =

∫dτL in za Lagrangeovo funkcijo L = α

√dxa

dτdxadτ ,

potem je Hamiltonova funkcija H = dxa

dτ pa −L identično enaka nič. Kaj je potemz enačbami (36)? Ali so sploh smiselne?

Odgovor: Hamilton-Jacobijeve enačbe veljajo za vsako Lagrangeovo funkcijo, ki


ustreže zahtevam, ki smo jih zapisali ob uvedbi. Izbira L = mc dsdτ je nerodna,ko želimo poiskati Hamiltonovo funkcijo za prost delec kot funkcijo koordinat inkonjugiranih impulzov. Najdemo

H = H(xa, pa) = mcds

dτ(papam2c2

− 1). (45)

Ker je dxa

dτ = dsdτ

pa

mc , ne vemo prav dobro kako ravnati z dsdτ .

Primernejši zapis v ta namen je tisti v enačbi (42). Tu je η po predpostavki funkcijasamo parametra τ in je ena od spremenljivk, po kateri variramo. (Variacija akcije

po η prinese η = 1mc

√dsdτ ) Za konjugirani impulz najdemo: pa =

dxa

dτ

η .

Poiščimo H za L(xa, dxa

dτ , η)

H = −dxa

dτpa + L = −η

2(papa −m2c2). (46)

Če zdaj poiščemo Hamilton-Jacobijeve enačbe, sledi

∂H

∂xa= 0 =

dpadτ

, −∂H∂pa

= ηpa =dxa

dτ. (47)

Pri takem zapisu Lagrangeove funkcije za prost delec ni težav. Lagrangeovi funkcijiL(xa, dx

a

dτ , η) in mc dssτ sta ekvivalentni in podobna sta tudi izraza za Hamiltonovifunkciji v enačbah (45) in (46), le da je v drugem primeru η po privzetku funcijasamo τ.

Zaključimo to podpoglavje z ugotovitvijo, da vodijo v nerelativistični limitiEuler-Lagrangeove in Hamiltonove enačbe do poznanih Newtonovih enačbv inercialnem sistemih. Kadar naš delec ali sistem delcev ni v nobeni inter-akciji z okolico, se sistemu ohranja vektor d-terec gibalne količine (energijain gibalna količina) ter tenzor rotacij v d-razsežnem prostoru.

3.3 Delci v zunanjem polju 29

3.3 Delci v zunanjem polju

Denimo, da obstaja neko poznano polje Aa = Aa(xc), ki je funkcija vsehštirih koordinat in je Lorentzov četverec, A′a = ΛabAb, z lastnostjo, daje vsak od delcev sklopljen s poljem. Delci se gibljejo pod vplivom tegapolja, za katerega privzemimo, da ga delci ne zmotijo. Delci in vektorčetverec polja so sklopljeni preko konstant βα. Drugih interakcij med delcini. Želimo zapisati ustrezno Lagrangeovo funkcijo, bo še vedno invarjantnana štiri razsežne rotacije in translacije. Ker so delci sklopljeni samo s poljem,zadošča, če zapišemo Lagrangeovo funkcijo ya vsak delec posebej

Lα = Lα0 + βαAadxaαdτ

= mα c

√dxaαdτ

dxαadτ

+ βαdxaαdτ

Aa . (48)

Iščemo pot delca, ko je pod vplivom poznanega polja Aa. Zato so variacijskiobjekti še vedno samo koordinate delca. Euler-Lagrangeove enačbe (28)ostajajo v veljavi. H konjugiranemu momentu pαa = ∂Lα

∂dxaαdτ

prispevata zdaj

oba, delec in polje

pαa =∂Lα0

∂x aα

+ βαAa. (49)

Če označimo s pα0a := ∂Lα0∂x aα

in izračunamo ∂Lα∂xaα

= βα∂Ab

∂xaαx aα , dobijo Euler-

Lagrangeove enačbe obliko

βα∂Ab∂xaα

x aα −

d

dτ(pα0a + βαAa) = 0. (50)

Zanima nas sprememba gibalne količine delca (in ne sistema), ki jo lahkoizmerimo

d

dτpα0a = βα (

∂Aa∂xbα

− ∂Ab∂xaα

)|xa=xaα xaα . (51)

Upoštevali smo, da je dAa

dτ = ∂Aa

∂xb|xc=xcα x

aα . Enačbo lahko zapišemo v bolj

kompaktni obliki tudi takole

d

dτpα0a = βα F

ba|xa=xaα xaα . (52)


Fab =∂Aa∂xb− ∂Ab∂xa

. (53)

F ab imenujemo tenzor polja Aa. Je antisimetrični tenzor

F ab = −F ba, (54)

in ostane nespremenjen, če polju Aa prištejemo ∂Φ∂xa

, če je φ skalarna funk-cija glede na Lorentzove transformacije (ostane pri širirazsežnih rotacijahnespremenjena)

F ′ab = F ab, F ′ab =∂(Aa + ∂Φ

∂xa )∂xb

−∂(Ab + ∂Φ

∂xb)

∂xa. (55)

Ta zadnja lastnost tenzorja polja je poznana pod imenom lokalna umerit-vena invarianca. Z njo se bomo še srečali.

Vrnimo se k enačbi (52). Če postavimo

βα =eαc, F0i = E i, F ij = −

∑k

εijkcBk, i = 1, 2, 3, (56)

kjer je εijk antisimetrični tenzor za vse indekse in je ε123 = 1, razspoznamov enačbi (52) Lorentzove zakone. Pomnožimo enačbo na obeh straneh zdτdx0 . Izberimo najprej a = 0, potem pa še a = i. Sledi

dEα0

dt= c ~vα~E , , Eα0 = cp0

α0,

d~pα0

dt= e (~E + ~vαx~B), ~vα :=

d ~xαdt

, (57)

kjer je eα elektromagnetni naboj delca, ~E električna poljska jakost, ~B ma-gnetna poljska gostota, t pa laboratorijski čas. Upoštevali smo, da jepα0a = (Eα0/c,− ~pα0).

Zapišimo tenzor elektromagnetnega polja še z električno poljsko jakostjo inmagnetno poljsko gostoto

~E = − ∂~A

∂x0− ∂A0

∂~x, cBi = −1

2εijkF jk, c~B = rot ~A. (58)

3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno polje v prisotnosti poznanih izvorov31

Poiščimo še rotor električne poljske jakosti in divergenco magnetne poljskegostote

rot~E + c∂~B∂x0

= 0, ∇c~B = 0. (59)

Upoštevali smo, da je rot∂A0

∂~x = 0. Dobili smo dve relaciji, ki ji pravimostatični, ker sledita iz definicije tenzorja in veljata vedno, neodvisno odizvorov za polja, ki so zvezne funkcije koordinat. Pozneje bomo morali drugoenačbo v prisotnosti magnetnih monopolov popravili. Tedaj tudi polje Aa

ne bo več „pohlevno", ne bo imelo lastnosti, ki smo jo tu predpostavili, daje ∇rot ~A = 0.

Predpostavka o vektorju četvercu polja Aa, ki da je sklopljen z našim del-cem, nas je elegantno privedla do Lorentzovih zakonov, potem ko smo antisi-metrične odvode polja Aa povezali z električno poljsko jakostjo in magnetnopoljsko gostoto ter parameter βα = eα

c z nabojem delca. Tako kot je masadelca parameter, je tudi naboj parameter, ki ga moramo na roko postavitiv enačbo.

V kvantni mehaniki bodo enačbe bolj elegantne. Naboje bomo nadomestili zoperatorji, tako da bo konstanta za vse delce ista. Poleg elektromagnetnegapa bomo uvedli tudi druge naboje.

3.4 Prosto elektromagnetno polje ter elektromagnetno poljev prisotnosti poznanih izvorov

Podobno elegantno kot smo prišli do Lorentzovih zakonov, poskusimo prititudi do enač gibanja za elektromagnetno polje. Izpeljimo tedaj Maxwellove


enačbe

∇ · E =ρ

ε0, ∇× E = −∂B

∂t

∇ · B = 0 , ε0

(∇× cB − 1

c

∂E∂t

)=

jc

(60)

s pomočjo principa najmanjše akcije in s predpostavko, da vektor Aa določaelektromagnetno polje (do ∂φ

∂xa).

Poiščimo enačbe gibanja najprej splošno s pomočjo akcije, ki jo bomo vari-rali po poljih Aa, ki zanje iščemo enačbe gibanja. Zdaj so naši variacijskiobjekti odvisni od vseh koordinat (in ne le od enega parametra). Imenujmozato Lagrangeovo funkcijo Lagrangeovo gostoto L, ki jo bomo integrirati povseh parametrih, tedaj po d4x = dx0dx1dx2dx3, da dobimo akcijo.

Predpostavimo, da je naša L funkcija koordinat ter samo prvih odvodovpolja Aa po koordinatatah. Ta predpostavka se izkaže kot smiselna. Enačbegibanja, ki nam jih bo pri taki predpostavki ponudila zahteva, da je prvavariacija akcije enaka nič, bodo tedaj ravno izmerjene Maxwellove enačbe.Tedaj

L = L(Aa,∂Aa

∂xb), S =

∫1cd4xL(Aa,

∂Aa

∂xb).

Faktor 1c smo zapisali, ker je v navadi, da zapisemo volumski element kot

dV = dtd3x. Prva variacija akcije nam prinese pri predpostavki, da sopolja zvezne funkcije koordinat in tudi zvezno odvedljive, tako da veljaδ ∂A

a

∂xb= ∂δAa

∂xb

L = L(Aa,∂Aa

∂xb),

0 = δS =∫

1cd4x δAa{ ∂L

∂Aa− ∂

∂xb∂L∂ ∂A

a

∂xb

}

+∫

1cd4x

∂

∂xb{δAa ∂L

∂ ∂Aa

∂xb

}. (61)


Zadnji člen razspoznamo za integral po trirazsežni ploskvi, ki jo je smiselnoizbrati kot sfero (S2) ob dveh izbranih časih in predpostavki, da so to robnipogoji s poznanimi vrednostmi za polje Aa ter je tedaj δAa v zadnjem členuenaka nič. Variacija akcije bo tedaj enaka nič pri majhnih a poljubnihspremembah polj δAa enaka nič le, ce bodo koeficienti pri poljih enaki nič.Sledijo enačbe gibanja za polje Aa

∂L∂Aa

− ∂

∂xb

[∂L

∂(∂Aa

∂xb

)] = 0 . (62)

Zdaj do enačb gibanja znamo priti, če le znamo izbrati Lagrangeovo gostoto.Spomnimo se

Fab =(∂Ab∂xa− ∂Aa∂xb

), F ab =

(∂Ab

∂xa− ∂Aa

∂xb

)E i = F0i , Fij = −c εijk Bk . (63)

(Pomnožimo zadnjo enačbo z εlij , εlij Fij = −cεijkεlij B‖ = −c(δklδii −δkiδli)Bk = pa sledi cBl = −1

2 εlij Fij .)

Poiščimo tedaj Lagrangeovo gostoto najprej za elektromagnetno polje vprostoru, kjer ni izvorov (ni delcev ali tokov delcev, ki bi nosili elektroma-gnetni naboj). Zahtevamo, podobno kot smo to storili za sistem neodvisnihdelcev, ker obravnavamo polje, ki ni sklopljeno z okolico, da bo L skalarnafunkcija glede na Lorentzove transformacije. Ker smo privzeli, da sme bitifunkcija kvečjemu prvih odvodov polja po koordinatah, je izbira na dlani

L = −ε0

4FabF

ab . (64)

Konstanto ε04 smo izbrali tako, da bo enota taka, kot pritiče izmerjenim

Maxwellovim enačbam potem, ko bomo posplošili enačbe, da bomo dovoliliprisotnost izvorov polja, ε0 = 8, 854 · 10−12 As

V m . Izračunajmo konjugiraneimpulze, podobno kot smo to napravili za delce

Πi =∂L∂ ∂Ai∂x0

= −ε0~E i, ~Π = ε0

~E , Π0 = 0. (65)


Za gostoto Hamiltonove funkcije bomo izračunali

H = −~Π · ∂~A

∂x0− L ==

ε0

2(~E2 + c2~B2). (66)

Ker nam bo kasneje prišla prav še druga invarianta na Lorentzove transfor-macije, jo izračunajmo

ε0

4εabcdF

abF cd = 2~E · ~B. (67)

Vaja: Izračunaj H in ε04 εabcdF

abF cd v enačbah (66, 67).

Izračunajmo člene v enačbah (62).

∂L∂Aa

= 0,

∂L∂(∂Aa

∂xb

) = −ε0

2Fcd

∂

∂(∂Aa

∂xb

) (∂Ad∂xc− ∂Ac

∂xd

)= −ε0 F

ba. (68)

Pri izpeljavi smo upoštevali antisimetričnost tenzorja elektromagnetnegapolja (F b

a = −F ba). Enačbe gibanja za elektromagnetno polje v prostorubrez izvorov tedaj zapišemo v kontravariantni obliki takole

∂

∂xbε0 F

ba = 0. (69)

Če izberemo a = 0, najdemo enačbo

ε0∂

∂xbF b0 = 0 = ~∇ · ~E . (70)


Ko postavimo a = i, sledi vektorska enačba

ε0∂

∂xbF bi = 0 = ε0

(∂F 0

i

∂x0+∂F ji∂xj

)

= ε0

(1c

∂E i

∂t− c εijk

∂

∂xjBk)

ε0

[c ~∇× ~B − 1

c

∂~E∂t

]= 0 . (71)

Izpeljana enačba velja za prazen prostor in elektromagnetno valovanje, kiso ga rodili izvori izven našega sistema, denimo na Soncu. Rešitev so ravnivalovi, robni pogoji pa nam povedo, od kod se valovanje širi, kakšen jenjegov valovni vektor in tedaj tudi kakšna je valovna dolžina.

Ni težko ugotoviti, da sta električna poljska jakost in magnetna poljskagostota pravokotni, da da sta obe pravokotni na smer širjenja valovanja.

Vaja: Poišči enačbe gibanja za Aa, ~E in ~B. Pokaži, da sta ~E in ~B pravokotna in tudipravokotna na smer širjenja valovanja, ki jo določa valovni vektor ~k, ka = (k0,~k).

Poglejmo, kako do enačb za elektromagnetno polje, ki ga določajo poz-nani izvori, za katere privzemimo, da nanje polje ne vpliva. Sklopitev poz-namo (48) od tedaj, ko smo iskali enačbe gibanja za delce, ki se gibljejo podvplivom polja.

S =∑α

∫eαcAa

dxαadτ

dτ +∫ε0

4F ab Fab d4x . (72)

Z akcijo v enačbi (72) ne moremo biti zadovoljni, saj se parametri, po ka-terih spremenljivke, to je polja, integriramo, drugačni v obeh integralih.Parameter v prvem integralu zamenjajmo z x0, to je z laboratorijskim ča-som pomnoženim s hitrostjo svetlobe. Tedaj se spremeni ustrezno tudi


Lagrangeova funkcija. Uporabili bomo odvod po časovni komponenti

dxaαdx0

=d

dx0(x0, ~xα(x0)) , (73)

kjer je ~xα prostorska koordinata delca z indeksom α, ki rojeva, skupaj zostalimi delci, polje Aa. Prepišimo tedaj prvi integral s pomočjo funkcijedelta tako, da bomo integrirali Lagrangeovo funcijo po volumnu d4x∑

α

∫dx0

eαcAa

dxαadx0

=∑α

∫eαcAa

dxadx0

δ3(~x− ~xα) d4x . (74)

Zamenjajmo d4x z cdV , pa sledi∑α

∫eαA

adxadx0

δ3(~x− ~xα) dV . (75)

Definirajmo tok

ja =∑α

eαdxadx0

δ3(~x− ~xα) = (ρ,−~j

c) . (76)

Zdaj lahko gostoto Lagrangeove funkcije zapišemo takole

L = Aa ja −ε0

4FabF

ab . (77)

Naj povemo znova, da nam nobena teorija, naj bo še tako preprosta, ele-gantna, prava, ne more določiti konstant. Te vselej izmerimo.

Enač gibanja za polje nam ni potrebno od začetka izpeljevati. Izračunajmosamo prispevek izvorov polj. Zdaj je v enačbah gibanja od nič različenprispevek ∂L

∂Aa

∂L∂Aa

= ja, (78)

preostali prispevek je tak kot v enačbi (69). Kovariantna oblika dinamičnihdveh Maxwellovih enačb je zdaj v prisotnosti tokov spremenjena

ja −∂

∂xbε0 F

ba = 0. (79)

3.5 Dualnost in magnetni monopoli 37

Postavimo najprej a = 0 in potem še a = i, sledijo enačbe

~∇ · ~E =ρ

ε0

ε0

[−c ~∇× ~B +

1c

∂~E∂t

]= −~j. (80)

Povejmo, da smo vse izpeljave, ki jih študent fizike sreča v prvih treh let-nikih pri različnih predmetih ponovili, ker jih bomo v kvantni mehanikipotrebovali. Pri tem ne smemo pozabiti, da so vse naše teorije zgrajene naprivzetkih in da napovedi teorij preverjamo z eksperimenti.

Maxwellove enačbe, denimo, so tako kot veliko drugih enačb v fiziki, nastaleempirično, so izmerjene. Pot, ki smo jo mi ubrali, je elegantna, enostavna innas prepričuje, da bi jo lahko opravili v naprej in Maxwellove enačbe napove-dali. Podobno bi lahko dejali tudi za Lorentzove zakone. Tako obravnavanjefizikalnih sistemov nam vliva zaupanje v teorije, ki so zgrajene na smiselnihprivzetkih in konsistentno izpeljane. Tudi kvantna mehanika je zgrajena naprivzetkih.

Preden začnemo s privzetki kvantne mehanike, poglejmo, samo za posebejradovedne, od kod ideja o magnetnih monopolih.

3.5 Dualnost in magnetni monopoli

Magnetnih nabojev, o katerih bo tekla beseda v tem poglavju, doslej niso iz-merili. Ali je tedaj vredno o njih govoriti? Ker kvantne sisteme, mnogokrattudi klasične, opazujemo tako, da jih opišemo s teoretičnimi modeli, ki namnapovedo, kako se bo sistem, ki ga obravnavamo, odzval na neko motnjo, ternapovedi modelov preverjamo s poskusi, se moramo vselej vprašati, ali jenaš model smiselen, konsistenten, ali nismo česa prezrli. Kratek uvod v teo-rijo, da magnetni naboji morda so, da pa nam jih še ni uspelo izmeriti, imanamen spomniti vse tiste, ki boste poskušali z lastnimi zamislimi globje ra-


zumeti zakone narave, da vselej temeljito premislite vse privzetke, na katerihdosedanji modeli in teorije gradijo. Simetrije, ki se zde očividne, s poiskusipa nam jih doslej ni uspelo potrditi, so pomembno vodilo. Magnetni mono-poli, ki jih je napovedal in uvedel Dirac, gradijo prav na simetrijah. Četudini videti, da smo pri izpeljavi Maxwellovih enačb karkoli prezrli, saj smoizbrali najpreprostejšo Lagrangeovo gostoto, pa je vzrok, da se v naši teorijiniso pojavili, v zahtevi o zveznih in povsod zvezno odvedljivih funkcijah,s katerimi opisujemo opazljivke. Največkrat vodi ta zahteva k smiselnemuopisu sistemov, ki mu poskusi pritrdijo.

Poglejmo privzetke, ki so nas privedli do Maxwellovih enačb ya elektro-magnetno polje. Zapisali smo dvoje vrst relacij med električno poljskojakostjo in magnetno poljsko gostoto. Statične Maxwellove enačbe smoimenovali enačbe, ki so sledile iz definicije električne poljske jakosti in ma-gnetne poljske gostote (59) pri predpostavki, da so polja zvezne in zveznoodvedljive funkcije koordinat. Dinamične Maxwellove enačbe so sledile izEuler-Lagrangeovih enačb. Izpeljali smo jih za primer, ko ni izvorov polj inza primer, ko vektor tokov (v d = (1 + 3) ima ta vektor s štiri komponente)rodi elektromagnetno polje (81).

Kadar izyvorov polja ni, opazimo simetrijo enačb, tako imenovano dualnosimetrijo: Statične enačbe preslikamo v dinamične enačbe ter obratno, vce električno poljsko jakost zamenjamo s c pomnoženo magnetno poljskogostoto, ter z c pomnoženo magnetno poljsko z − električno poljsko jakostjo. Ta simetrija je Diraca navedla na misel, da bi morali enačbe gibanjaposplošiti z uvedbo novih tokov, imenoval jih je magnetni tokovi (jam), kibodo zagotovili dualno simetrijo tudi, kadar so električni tokovi jae prisotni.

Zapišimo še enkrat obe vrsti eňačb, najprej za primer, ko so električni in


tedaj tudi magnetni tokovi enaki nič

jae = 0, jam = 0,div ε0

~E = 0, div ε0 c ~B = 0,

ε0

[−c rot~B +

∂~E∂c t

]= 0, ε0

[rot~E +

∂c ~B∂c t

]= 0 . (81)

Očitno je, da sledijo enačbe na desni strani (imenovali smo jih statične Max-wellove enačbe) iz tistih na levi (imenovali smo jih dinamične) in obratno zdualno preslikavo ~E v c ~B ter z c ~B v −~E .

Poglejmo, kako se dualnost manifestira v tenzorju elektromagnetnega poljaF ab (za katerega smo sprejeli dogovor F0i = E i in F ij = −εijkcBk) in vnjegovem dualnem tenzorju F0i = cBi ter Fij = εijkEk

F ab → F ab,

F ab → −F ab,~E → c ~Bc ~B → −~E . (82)

F ab =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −cB3 cB2

E2 cB3 0 −cB1

E3 −cB2 cB1 0

, F ab =

0 −cB1 −cB2 −cB3

cB1 0 E3 −E2

cB2 −E3 0 E1

cB3 E2 −E1 0

.(83)

Dualna relacija obvelja tudi v prisotnosti električnih tokov ja, če definiramotudi magnetne tokove

jea =∑α

eα δ(~x− ~xα)dxadx0

= (ρe,~jec

)

jma =∑α

gα δ(~x− ~xα)dxadx0

= (ρm,~jmc

) . (84)


Ali je zahtevo o simetrijah enačb jemati kot sprejemljivo napoved, da ma-gnetni naboji so, tako kot so električni naboji? Prvih doslej niso izmerili,drugi določajo vso dinamiko snovi, vključno z živo snovjo, če dodamo, da zapestrost snovi poskrbijo fermioni pretežno prve družine kvarkov ter barvnain šibka polja, ki poskrbijo za maso leptonov in kvarkov.

Poglejmo h kakšnim zaključkom vodi ta premislek o simetriji, ki se ponuja.

Postavimo naš (namišljeni) magnetni naboj g v koordinatno izhodišče. Te-daj iz simetrije sistema s pomočjo dualne enačbe

div ε0 c ~Bm = ρm (85)

(z integralom po volumnu tako, kot to naredimo, če je v izhodišču električninaboj) izračunamo

∫d3x div ε0 c ~Bm =

∫d3x ρm = g =

∫d~S ε0 c ~Bm = 4π r2 ε0 c |~B| (86)

in od tod

c ~Bm =g

4πε0

~r

r3. (87)

Postavimo sedaj v razdalji ~r od izhodiša električni naboj, denimo elektron,ter uporabimo Lorentzov zakon za gibanje elektrona v magnetnem polju, kiga rodi magnetni naboj

d~pedt

= ee~ve × Bm =eg

4πε0 c(d~r

dt× ~r

r3) . (88)

Polje magnetnega naboja vrti elekrično nabit delec. Poglejmo, kolikšen je


navor okoli izhodišča koordinatnega sistema na elektron

d~Ledt

=d(~r × ~pe)

dt

=d~r

dt× ~pe + ~r × d~pe

dt= ~r × (

d~r

dt× ~r

r3)

eg

4πε0 c

=eg

4πε0 c(d~r

dt

~r2

r3−~r(~r · d~rdt )r3

) =eg

4πε0 c

d

dt(~r

r),

d

dt(~Le −

eg

4πε0 c

~r

r) = 0 . (89)

Zaključimo, da je skupna vrtilna količina obeh nabitih delcev, tistega zmagnetnim in tistega z električnim nabojem, konstantna, to je neodvisnaod časa, kjer je eg

4πε0 c~rr vrtilna količina polja, ki ga rodi magnetni naboj.

Uporabimo Bohrovo navodilo za kvantizacijo vrtilne količine, da je vrtilnakoličina kvantnega sistema vselej cel mnogokratnik Planckove konstante ~,pa sledi

eg

4πε0 c= n ~ . (90)

Tu je n celo število in ~ Planckova konstanta. Poiščimo

(g

e)2 = (

n ~4πε0 c

e)2 ≈ (n 137)2 . (91)

Tedaj velja, da ima magnetni naboj vsaj ≈ (100)2× večjo sklopitveno kons-tanto kot električni, oba pa sta v medsebojni zvezi.

Kako pa je z nezdružljivostjo enačb div ε0 c ~Bm = ρm in rot ~A = c ~Bm?c ~Bm ne moremo zapisati kot rot ~Am. Lahko pa ga zapišemo tako, da boc ~Bm enak povsod razen na polovici koordinatne osi. Zapišimo

c ~Bm = rot ~A− αΘ(−z) δ(x) δ(x)~ez . (92)


=

~Bm

−

~B

Slika 1: Na sliki so narisane silnice magnetnega polja, ki ga rodi magnetninaboj g vpet v koordinatno izhodišče kot vsota dveh prispevkov: prispevkarot ~A in Diracove strune.

Enotski vektor ~ez kaže v smeri osi z. Določimo konstanto α tako, da borot ~A = c ~B in div rot ~A = 0

div rot ~A = div c ~B+αdiv (Θ(−z) δ(x) δ(x)~ez),

=g

4πε04πδ(~r) + α(−1)δ(~r) . (93)

Za α = gε0

bo ε0 = 0. Tedaj

c ~Bm = rot ~A− g

ε0Θ(−z) δ(x) δ(x)~ez . (94)

Na sliki 1 je shematsko prikazano magnetno polje ~Bm kot vsota rot ~A/c inprispevka, ki je tanka tuljava, ki se vleče od izhodišča v negativni smerismeri osi z v nesnčnost. Nosi ime Diracova struna.

Preostane nam še, da zapišemo polje ~A

~A =g

4πε0 r

1− cos θsin θ

~eφ , (95)

kjer sta θ in φ azimutalni in polarni kot. Ko polje prepišemo v kartezičnekoordiate in upoštevamo, da je ~eφ = (− sinφ, cosφ, 0)

~A =g

4πε0

(−y, x, 0)r(r + z)

, (96)


je očitno, da je polje ~A singularno pri r = 0 in za vsak r pri r = −z.

Ali magnetni monopoli so?

444 PRVA KVANTIZACIJA - KVANTIZACIJA KOORDINAT IN IMPULZOV

4 Prva kvantizacija - kvantizacija koordinat in im-pulzov

V klasični relativistični fiziki in njeni nerelativistični limiti poznamo pot doenačb gibanja za poljubno število točkastih delcev, ki drug z drugim inter-agirajo, če poznamo interakcijo med njimi. V klasični mehaniki smo izbraliza opis prostih relativističnih delcev vselej najpreprostejšo akcijo. Vodilanas je do enačb gibanja, katerih rešitve se ujemajo z meritvami in ponudijosmiselne napovedi. Tudi do sklopitve med delci, ki nosijo elektromagnetninaboj, smo prišli s preprostim premislekom. Vodilo, da je preprostost akcijepot do primernih enačb gibanja, nas je privedla do akcije in enačb gibanjaza delce, ki nosijo elektromagnetni naboj in se gibljejo v polju, ki ga določavektor četverec polja. Preprost premislek nas je privedel do enačb gibanjatudi za elektromagnetno polje, ki ga rodijo nabiti delci.

Ko akcijo izberemo, je pot do enačb gibanja dobro poznana. Poiskati znamotudi simetrije sistema, ki ga akcija opisuje in s tem količine, ki se s časom nespreminjajo. Četudi je pot do rešitev enačb gibanja največkrat zelo težkain le redko najdemo analitične rešitve, numerične rešitve pa so vselej samopribližne, so v klasični mehaniki poti do opisa klasičnega sistema poznanevsaj, dokler opisujemo delce, ki nosijo elektromagnetni naboj.

Vendar je kar nekaj vprašanj, na katera v klasični mehaniki ne znamo odgo-voriti. Denimo na vprašanja: Kaj določa maso delcev? Kaj določa njihovelektromagnetni naboj? Kašne naboje delci nosijo poleg elektromagnet-nega? Kaj določa vse te preostale naboje? Kakšna so polja, ki jih ti nabojirodijo? Zakaj so spektri atomov diskretni, v klasični dinamiki pa diskret-nosti ne opazimo?

Pot do odgovora na nekatera od teh in podobnih vprašanj odpira kvantnamehanika. Delcem in poljem dopustimo v kvantni mehaniki poleg dina-mike v prostoru-času, ki jo obvladamo v klasični mehaniki, tudi dinamiko vinternem prostoru spinov in nabojev. Interni prostor povežemo z upodobit-

45

vami grup. Delcem pripišemo drugačne upodobitve kot vektorskim poljem.Oba prostora, običajni (koordinatni) ter notranji, sta povezana in skupajdoločata dinamiko sistemov. Grupe in njene upodobitve, ki jih povežemo zosnovnimi gradniki snovi, bom predstavila v posebnem poglavju.

So vsi sistemi kvantni? Je tedaj kvantni opis sistemov pravi? Fiziki nepoznamo odgovora na to vprašanje. Kar lahko rečemo je, ali se napo-vedi kvantne mehanike ujemajo z opazovanji. Odgovor je doslej pritrdi-len. Kvantna mehanika napoveduje verjetnosti za dogodke in poiskusi temnapovedim pritrdijo v okviru natančnosti izračunov in meritev, četudi po-drobne interpretacije dogodkov, tega, kaj se s posameznim delcem v vsakemtrenutku na nekem določenem kraju dogaja, ne moremo pojasniti.

Na kratko povzemimo privzetke, na katerih kvantna mehanika stoji.

I. Za vsakega od osnovnih delcev zapišemo verjetnostno ampitudo < x|psi >,imenovali jo bomo tudi valovna funkcija, kjer je x = (x0, ~x) koordinata delcav d( = 1 + (d− 1))-razsežnem prostoru.

• Verjetnostna amplituda meri verjetnost

< ψ|x > dd−1x < x|ψ >,

da je delec v času t = x0/c, na mestu ~x v volumnu dd−1x.

Časovne in prostorskih koordinat ne bravnavanmo enakovredno. Ver-jetnost definiramo z amplitudo in volumnom dd−1x v času t = x0/c.

Če je delcev N, pripišemo vsakemu od njih svojo koordinato ~xα, α ={1, N}, tako kot smo to storili v klasični mehaniki. Verjetnostna am-plituda

< x1, · · · , xN |ψ >

je odvisna od koordinat vseh delcev.


Verjetnost, da bo delec z indeksom α v času x0 = ct na mestu ~x vvolumnu dd−1x, zapišemo z integralom∫< ψ|x1, · · · , xα, · · · , xN > dd−1xα δ(~x−~xα) < x1, · · · , xα, · · · , xN |ψ >.

Dirac je definiral posplošeno funkcijo δ takole:

δ(x− x′) ={

0, če x 6= x′ ,∞, če x = x′.∫ +∞

−∞dx δ(x− x′) = 1. (97)

Lahko jo zapišemo z odvodom Heavisidove stopničaste funkcije H(x, x′), kiima stopnico pri x′, d/(dx)[H(x, x′)] = δ(x − x′), ali kot limitni primerGaussove funkcije, ko gre njena širina proti nič, njena ploščina pa ostaneenaka 1, ali pa, denimo, takole

δ(x− x′) = limα→∞

sinαxπx

(98)

od koder sledi limα→∞∫ +∞−∞ dx eikx = limα→∞

2 sin kαk = 2πδ(k).

• Poleg običajnega prostora določa dinamiko vsakega delca v sistemuN delcev tudi notranji prostor spina in nabojev, ki jih vsak od delcevnosi. Zato pripišemo vsakemu delcu poleg koordinate v običajnemprostoru-času tudi stanje v prostoru spinov in nabojev.

• |ψβ >, imenujemo jih tudi keti. To so vektorji, ki nam določajo dina-miko (stanja) enega ali N delcev. Če posebej ne zapišemo, vsebujejotudi zapis stanja v notranjem prostoru spina in nabojev. Keti razpen-jajo linearni vektorski prostor Vψ z lastnostjo∑

β

cβ |ψβ >∈ Vψ , cβ ∈ C . (99)

Razpenjajo ga nad prostorom koordinat: < x|ψβ > in notranjim pros-torom spina in nabojev, ali nad prostorom gibalnih količin < p|ψβ >in notranjim prostorom spina in nabojev.

47

• K vsakemu ketu |ψβ > definiramobra < ψβ| = (|ψβ >)†, (c |ψβ >)† = c∗ < ψβ|, z lastnostmi

< ψβ|ψγ > =∫

< ψβ|x > dd−1x < x|ψγ >

=∫

< ψβ|p > dd−1p < p|ψγ >

< ψβ|ψγ >∗ = < ψγ |ψβ > ,< ψβ|ψβ >∗ = < ψβ|ψβ >∈ < , (100)

< ψβ|ψβ >{≥ 0,= 0 za |ψβ >= 0 .

Skalarni ali vektorski produkt po navadi normiramo na 1 v celotnemprostoru: v običajnem prostoru, koordinatnem ali impulznem ,in vprostoru spina in nabojev ne glede na to, ali obravnavam enega alivečje število delcev.

II. Nad linearnim vektorskim prostorom Vψ definiramo linearne operatorjeALβ in antilinearne operatorje AALβ .

• Linearni in antilinearni operatorji imajo lastnostmi

AL∑β

cβ |ψβ >=∑β

cβ AL|ψβ > ,

AAL∑β

cβ |ψβ >=∑β

c∗β AAL|ψβ > (101)

in tudi sami razpenjajo linearni vektorski prostor VAL∑γ

bγ ALγ ∈ VAL (102)

ter VAAL ∑γ

bγ AALγ ∈ VAAL . (103)


Primer linearnega operatorja: AL < x|ψ >= f(xa, ∂∂xa ) < x|ψ >.

Primer antilinearnega operatorja: AAL < x|ψ >= K < x|ψ >=< x|ψ >∗.AAL = K je v tem primeru samo kompleksna konjugacija.

Za linearne in antilinearne operatorje velja distributivnost v produktuin v vsoti

(A1A2 · · ·An) |psi >= A1 (A2 · · ·An) |ψ >) ,A1 (A2 +A3) |psi >= (A1A2 +A1A3) |ψ >) . (104)

• Definiramo adjungiranost operatorjev glede na skalarni produkt

< ψ2|A|ψ1 >†=< ψ1|A†|ψ2 > . (105)

• Sebi adjungirani ali hermitski operatorji imajo lastnost

< ψ2|A|ψ1 >†=< ψ1|A†|ψ2 >=< ψ1|A|ψ2 > . (106)

Primer: Kadar sta < x|ψα >,α = 1, 2; x = (x0, ~x) na (d-1)-razsežni ploskviv neskončnosti enaki nič,

∫d(d−1)x i ∂

∂xm (< ψ1|x >< x|ψ2 >) = 0, tedaj boveljalo, da je (pm)† = pm∫d(d−1)x < ψ2|x >

pm~< x|ψ1 > = −

∫d(d−1)x(

i∂ < ψ1|x >∂xm

) < x|ψ2 >

+∫d(d−1)x

i∂

∂xm(< ψ1|x >< x|ψ2 >)

=∫d(d−1)x < ψ2|x > (

pm~

)† < x|ψ1 >(107)

in pm je hermitski operator, (pm)† = pm.

• Hermitski operatorji imajo lastnosti:Njihove lastne vrednosti so realne.

49

Dokaz:

A|ψα > = α|ψα > ,< ψα|A† = < ψα|α∗ ,

< ψα|A†|ψα > = < ψα|A|ψα >= α < ψα|ψα >= α∗ < ψα|ψα > ,

α = α∗ . (108)

Lastna vektorja hermitskega operatorja, ki jima ustrežeta različni lastnivrednosti, sta ortogonalna.Dokaz:

A|ψα > = α|ψα > ,A|ψβ > = β|ψβ > ,< ψβ|A = β < ψβ| ,

< ψβ|A|ψα > = α < ψβ|ψα > ,< ψβ|A|ψα > = β < ψβ|ψα > ,

0 = (α− β) < ψβ|ψα > . (109)

Če (α− β) 6= 0, tedaj je < ψβ|ψα >= 0.

Primer: V nerelativistični fiziki pripišemo spinu delca, kot sta, denimo, elek-tron in nevtrino, operatorje Si = 1

2 εijkSjk. Med njimi veljajo komutacijske

relacije

{Si, Sj}− = iεijk Sk. (110)

Veljajo tudi antikomutacijske relacije

{Si, Sj}+ = δij12. (111)

Vektorski prostor, nad katerim so operatorji definirani, je dvorazsežni no-tranji vektorski prostor spina

|ψ 12>=

(10

), |ψ− 1

2>=

(01

).


Vektorja sta ortogonalna, njun skalarni produkt normiramo na ena

< ψ 12|ψ− 1

2> = 0 =< ψ− 1

2|ψ 1

2> ,

< ψ 12|ψ 1

2> = 0 =< ψ− 1

2|ψ− 1

2> . (112)

Operatorje, definirane nad tem prostorom, predstavimo z matrikami

~S =(

12

(0 11 0

),

12

(0 −ii 0

),

12

(1 00 −1

)). (113)

Operatorji so hermitski (Si)† = Si. Zanje velja (Si)2 = 14I ter

S3|ψs > = s |ψs > ,

(S3)2|ψs > = (±12

)2 |ψs >= s2|ψs > ,

s = ±12. (114)

Delcem kot sta elektron in nevtrino pravimo fermioni ali spinorji. Za sistemz N fermioni zapišemo operator za spin kot direktno vsoto operatorjev zaspin posameznih delcev. Velja

Si =N∑α−1

Siα ,

{Siα, Sjβ}− = δαβ − i εijk Skα , (115)

kar pomeni, da je vsaka od treh matrik 2N × 2N razsežna in jo sestavl-jajo obdiagonalne matrike 2 × 2. Vektorski prostor je tedaj 2N razsežen,vsakemu fermionu pripada dvorazsežen vektorski prostor, kakršnega smospoznali zgoraj, ter ustrezna obdiagonalna matrika 2 × 2. Delo si poenos-tavimo, če napišemo vektorski prostor za N delcev kot produkt enodelčnihvektorskih prostorov, operatorje, opremljene z indeksom delca, pa razumemokot navadno vsoto, s privzetkom, da indeks operatorja pove, nad katerimvektorskim prostorom je posamezen operator definiran. Kasneje bomo ugo-tovili, da mora veljati za povsem enake delce, to je za delce, ki jih ne moremorazlikovati, da vsak od delcev lahko nosi katerikoli indeks. Ustrezno se za-menja tudi index matrike. Za fermione ali spinorje bo morala biti valovnafunkcija antisimetrična na permutacije (to je vse mogoče zamenjave indeksa

51

delca) v vseh prostorih, notranjih in običajnem, za bozone pa simetrična.Zagovorov za tako izbiro najdemo kar nekaj, eksperiment pa takemu opisupritrdi.

V relativistični fiziki bomo morali delcu s spinom 12 in maso nič določiti

tudi ročnost. Masivnim delcem (to je delcem z maso različno od nič) bomopripisati določene lastnosti glede na parnost ter jih razdelili v skupino delcevin antidelcev.

III. Vsem opazljivkam pripišemo take linearne hermitske operatorje, ki de-finirajo kompleten sistem lastnih funkcij.

Splošnega dokaza, da tvorijo lastni vektorji vseh linearnih hermitskih ope-ratorjev kompleten sistem, (najbrž) ni. Za linearne hermitske operatorje, kiimajo diskretne lastne vrednosti, pa to gre.

Dvorazsežni vektorski prostor, nad katerim je definiran operator za spin vnerelativištični fiziki iz enačbe (4), je poln vektorski prostor, vsebuje kom-plekten sistem vektorjev: Vsako spinsko stanje fermiona lahko zapišemo kotvsoto vektorjev |ψ 1

2> in |ψ− 1

2> in jo normiramo, če želimo, na ena.

Primera operatorjev za opazljivke v a) koordinatni in b) momentni upodobitvi:

a) xm = xm , pm = i~∂

∂xm, b) pm = pm , xm = −i~ ∂

∂pm. (116)

Operatorja xm, pm nista vselej hermitska v taki obliki kot sta zapisana v enačbi 116,pozoren je potrebno biti na to, v kakšnem območju sta definirana 107.

Pozneje bomo poiskali prostor, nad katerim sta oba operatorja definirana, to jespekter obeh operatorjev. Spekter je zvezen.

Ker so vse izmerjene količine realne, so zahteve o hermitičnosti operatorjevsmiselne.

• Vsako stanje sistema lahko, če poznamo lastna stanja hermitskega ope-


ratorja, ki mu ustreže kompleten sistem in smo ga povezali z opazljivkosistema, zapišemo kot vsoto lastnih stanj tega hermitskega operatorja,seveda samo glede na opazljivko. Z a označimo a-to lastno stanje iz-branega hermitskega operatorja. Operatorji delujejo, kot smo spoznalina primerih, samo na prostoru, nad katerim so definirani.

|ψ > =∑a

ca |ψa > ,

|ψ > =∑a

|ψa >< ψa|ψ > . (117)

Če je sistem v enem od lastnih stanj opazljivke A, A |ψa >= a |ψa >,tedaj bo meritev, vsaj teoretično, pokazala vrednost a. Meritve, kisistema bistveno ne zmotijo, je v območju, ko so kvantne lastnostisistemov merljive, težko napraviti.

• Vsem klasičnim relacijam pripišemo ustrezne operatorske relacije. Pois-sonovim oklepajem (enačba(37)) pripišemo komutatorje

i~{A, B}P = −i~{ ∂A∂xd

∂B

∂pd− ∂A

∂pd∂B

∂xd} ⇔ {A, B}− = (AB − BA) ,

i~{A, B}P ⇔ {A, B}− . (118)

Klasičnim enačbam gibanja (38) pripišemo ustrezne operatorske en-ačbe

dA

dτ=∂A

∂τ+ {A, H}P ⇔ dA

dτ=∂A

∂τ+

1i~{A, H}− .(119)

Od tod sledijo uporabne relacije, ki nam omogočijo, da lahko hitroizvrednotimo komutatorje oblike {xa, F}− ali {pa, F}−, kjer je Fpoljubna funkcija operatorjev xb in pc

{xa, F}− ⇔ −i ~{xa, F}P , {pa, F}− ⇔ i ~{pa, F}P .(120)

Hamiltonove enačbe (36), operatorji za koordinate in impulze v sis-temu več delcev dobijo še oznako α, ki pa jo tule izpuščamo, postanejo

53

kvantne relacije

pa = {pa, H}P ⇔ pa =1i~{pa, H}− ,

−xa = {xa, H}P ⇔ −xa =1i~{xa, H}− . (121)

Zgornje operatorske relacije bodo postale razumljive, ko bomo zapisalioperatorje in stanja v Heisenbergovi sliki.Primeri:1. Sistem prostih nerelativističnih delcev

H =∑α

(~pα)2

2mα, ~pα = 0 ,−~xα =

~pαmα

, α ∈ {1, N} . (122)

2. Nerelativistični delci v izotropnem trirazsežnem potencialu harmonskegaoscilatorja

H =N∑

α=1,

(~pα)2

2mα+mαω

2α(~xα)2

2, ~pα = −mαω

2α~xα , ~xα =

~pαmα

, α ∈ {1, N} .(123)

IV. Poleg vektorskega prostora stanj, ki določajo verjetnostno gostoto vobičajnem, v splošnem d = (1 + (d − 1)) razsežnem prostoru, definiramoše notranji prostor, ki popiše spin in naboje delcev.

• Tako kot ima vsak delec svoj koordinatni in impulzni prostor, imatudi svoj notranji prostor. Vsi prostori vsakega od delcev so povsemneodvisni od prostorov vseh ostalih delcev. Tudi prostori vsakega oddelcev so med seboj povsem neodvisni. Tudi v klasični mehaniki soPoissonovi oklepaji za koordinate in impulze različnih delcev enakinič:

{xaβ, pbγ}P =∑α

(−){∂xaβ∂xdα

∂pbγ∂pdα

−∂xaβ∂pdα

∂pbγ∂xdα

}

= δβ γ (−)∂xaβ

∂xdβ

∂pbβ∂pd β

= −δβ γ ηab . (124)


V kvantni mehaniki veljajo ustrezne relacije med komutatorji

{xaβ, pbγ}− = δβ γ {xaβ pbγ − paγ xbβ} = − δβ γ i~ηab. (125)

• Delci opazijo drug drugega samo preko lastne sklopitve s polji. Sklo-pitev vektorja četverca elektromagnetnega polja z vsakim od delcevdoloča v klasični mehaniki naboj delca (50)

pα 0 a = paα −eαcAa . (126)

V klasični mehaniki smo morali naboj delca postaviti v enačbe naroko: elektronu pripišemo naboj −e, protonu naboj e, pozitronu naboje, nevtronu naboj nič. V kvantni mehaniki najdemo sklopitev s poljemna mnogo bolj eleganten način

pα 0 a = paα −e

cAa Qα . (127)

pα 0 a je operator, ki dobi svoj pomen šele, ko operira na vektorskemprostoru stanj sistema delcev, e pa je enota za naboj, ki je enaka za vsedelce. Pozneje bomo videli, da lahko tudi o enoti naboja povemo več,če izberemo model, ki nam ponudi razlago za pojav elektromagnetneganaboja v kontekstu pojava vseh nabojev, ki smo jih doslej opazili, inmorda celo [?] vseh nabojev in spina. Qα vidi samo notranji prostordelca, ki nosi index α, in sicer samo tisti del, ki določa njegov naboj.Vedenje o tem, kakšne naboje nosijo delci, se v kvantni mehanikiprenese na vedenje o stanju sistema delcev, ki ga popišemo z valovnofunkcijo sistema.

• Sklopitev delca z vektorji polj AAia , s katerimi delci interagirajo, bomozapisali podobno, kot smo to naredili za sklopitev delca z elektro-magnetnim poljem, le da bomo dopustili, da nosijo delci lahko večnabojev hkrati. Jakost nabojev bomo označili z gA, ustrezen opera-tor za naboj pa s ~τA. Operator za elektromagnetni naboj je en sam,zato mu nismo pripisali dveh indeksov. Tako kot operator za spin ~

S

55

ima tudi operator za naboj lahko več komponent. Zato ga pišemo kotvektor. Doslej so izmerili poleg elektromagnetnega še barvni in šibkinaboj. Za barvni in elektromagnetni naboj poiskusi pokažejo, da se prireakcijah ohranjata, medtem ko se šibki naboj ne ohranja. Po teoriji,ki jo imenujemo standardni model elektrošibke in barvne interakcije(kratko standardni model), so pri dovolj visoki energiji vsi fermioni invsa vektorska polja brez mase. Tedaj izmerimo hyper naboj. Označimoustrezni operator s τ1 ali z Y , ki ga predstavimo z matriko 1× 1, de-finiran je na enorazsežnem vektorskem prostoru. Izmerimo tudi šibkinaboj, označimo ustrezen operator s ~τ2. Ustrezni vektor ima tri kom-ponente, povsem ekvivalentno kot ~S. Kadar je definiran na dvoraz-sežnem vektorskem prostoru, ga uporabimo za opis šibkega nabojafermionov. Tej matrični upodobitvi pravimo fundamentalna upodo-bitev šibkega naboja z grupo SU(2), ~τ2 so infinitezimalni generatorjite grupe. Upodobitvi, ki je definirana na trirazsežnem vektorskemprostoru, pravimo adjungirana upodobitev grupe in z njo definiramošibki naboj vektorskih bozonov, ki nosijo šibki naboj. Komutacijskerelacije med infinitezimalnimi generatorji obeh upodobitev so enake.Matematično, to je glede na matrični zapis in komutatorske relacije,šibkega naboja in nerelativističnega spina med seboj ne ločimo, neza fundamentalno ne za adjungirano upodobitev. Operirajo pa vsakv svojem prostoru ter zato ustrezne matrike operatorja za spin ko-mutirajo z matrikami za šibki naboj. Tudi operatorji dveh različnihupodobitev, denimo fundamentalne in adjungirane, (bomo pa videli,da jih je v resnici še več, neskončno jih je) za spin ali pa za šibki na-boj med seboj komutirajo. Operatorje za barvni naboj označimo s ~τ3.Tudi ti komutirajo z vsemi ostalimi operatorji za naboje. Kovariantnogibalno količino, tako, ki upošteva sklopitev delca s polji, zapišemo zafermione takole

pα 0 a = paα −3∑

A=1

nA∑i=1

gA

c~τAα ~A

Aa

{τAi, τBj}− = δA,B ifAijk τAk . (128)


nA = A2 − 1 , za barvni in šibki naboj, hiper naboj pa ima n1 = 1.

τAi imenujemo infinitezimalne generatorje grupe. So hermitski ope-ratorji (τAi)† = τAi. Razsežnost vektorskega prostora, na katerem jeoperator τAi definiran, je odvisen od upodobitve. Za singletne upodo-bitve je prostor enorazsežen. Za fundamentalne (ali spinorske) upo-dobitve je razsežnost vektorskega prostora odvisna od komutacijskihrelacij. Za šibki naboj je dvorazsežen, za barvni naboj pa trorazsežen.Adjungirana upodobitev za hiper naboj je definirana na enorazsež-nem vektorskem prostoru. Adjungirana upodobitev za šibki anbojje definirana na trirzsežnem vektorskem prostoru, za barvni nabojpa na osem razsežnem vektorskem prostoru. Razsežnost vektorskegaprostora, nad katerim je definirana adjungirana upodobitev, je enakaštevilu infinitezimalnih generatorjev grupe τAi.

Element grupe, za katero poznamo τAi, poiščemo takole

limN→∞

(1 + (−i∑

i αAiτAi

N))N = e−i~αA

~τA = U(~αA) . (129)

Govorimo o Liejevi grupi. αAi je vector realnih števil in ima nA kom-ponent Velja

τAi = lim~αA→0

i∂U

∂αAi. (130)

U(~αA) |ψ > definira spremembo |ψ > za nek izbran vektor ~αA.

Singletna stanja nekega operatorja imajo lastnost, da operacija τAi nasingletnem stanju vselej da nič, za vsak i.

• Za sistem N delcev bo veljalo, da je ~τA sistema delcev direktna vsotaoperatorjev za posamezni delec, ustrezni vektorski prostor postanetedaj N -krat toliko razsežen kot je razsežnost vektorskega prostora zaposamezen delec.

τAi =∑γ

⊕ τAiγ ,

{τAiγ , τAjγ′ }− = δγ,γ′ fAijkτAkγ . (131)

57

V enačbi je zapisana direktna vsota. Delo si poenostavimo, če razu-memo vsoto operatorjev kot običajno vsoto, vektorski prostor, nadkaterim definiramo operator za sistem N delcev, pa kot produkt en-odelčnih prostorov.

• Izbiro ustreznih grup za opis nekega sistema, katerega lastnosti bi radipopisali z enačbami gibanja, narekujejo opažene lastnosti sistema.

V. Izberemoo primerno Lagrangeovo gostoto, v kateri nastopa verjetnostnaampituda < x|psi > za sistem fermionov, vektorska polja, ki so sklopljena sfermioni, ter morebitna skalarna polja

Lf = L(ψ,∂ψ

∂xaα) ,

Lvb = L(AAim ,∂AAim∂xa

) ,

Lsb = L(ΦAi,∂ΦAi

∂xa) . (132)

Podobno kot v klasični mehaniki tudi v kvantni mehaniki narekujejo iz-kušnje, da za sisteme osnovnih gradnikov snovi v Lagrangeovi gostoti do-pustimo samo prve odvode po koordinatah.

Akcija bo vsota akcij, ki jih določajo Lagrangeove gostote. Za sklopitevmed delci poskrbijo kovarjantne gibalne količine.

• Lagrangeovo gostoto za prosto skalarno polje, to je polje, ki je skalarglede na Lorentzove transformacije in nosi maso m, zapišemo takole

Lsb = (paΦ)† (paΦ) +m2c2 Φ†Φ ,

∂L∂Φ†

= m2c2Φ ,∂L

∂(paΦ)†= paΦ . (133)

Euler-Lagrangeove enačbe se tedaj za prosto skalarno polje glasijo

−papaΦ +m2c2Φ = 0 . (134)


4.1 Poglavje iz grupne teorije, upodobitve grupe, s komu-tacijskimi relacijami med infinitezimalnimi generatorji{τ i, τ j}− = i εijk τ k .

Na koncu poglavja 3.1.2 smo poiskali Poissonove oklepaje med komponen-tami tenzorjev vrtilne količine Lab. Pokazali smo, da so za sistem, ki nisklopljen z okolico, Lab =

∑α L

abα konstante gibanja, ne glede na to, kakšne

sile povezujejo delce v sistem in ne glede na to, kakšni delci in polja gasestavljajo. Pokažimo sedaj, da je vrtilna količina za kvantni sistem, kije prav tako kot pri izoliranem klasičnem sistemu konstanta gibanja, dis-kretna in je določena z mnogokratnikom 1

2 . Za ustrezne komutatorske re-lacije Poissonovim oklepajem iz Primera 2, na koncu poglavja 3.1.2, tedaj,po kvantizacijskem postopku, velja

{Lab, Lcd}− = i(ηad Lbc + ηbc Lad − ηac Lbd − ηbd Lac) . (135)

Izberimo primer, ko tečejo a, b, c, d od 1 do 3. Imenujmo M i = 12 ε

ijk M jk

in zahtevajmo, da veljajo za M jk komutacijske relacije iz enačbe (135).Najdemo

{M i, M j}− = i εijk Mk . (136)

Uredimo vektorski prostor, nad katerim so definirani operatorji, ki ustrežejotem komutacijskim relacijam (136), po upodobitvah, to je poišcimo vseupodobitve operatorjev, ki zadoščajo tem komutacijskim relacijam.

Trditev: Vsako od upodobitev določa nenegativno število l = 0, 12 , 1,

32 , 2,

52 , · · · .

Vektorski prostor vsake od upodobitev je 2l+ 1 razsežen, vektorje l-te upo-dobitve določajo cela števila −l ≤ m ≤ l.

Dokaz:

Documents

Kvantna mehanika II Od vesolja do snovi - uni-lj.si