of 57/57
KVANTNA STATISTIČKA FIZIKA 1. MIKROSKOPSKI MODEL OPISIVANJA STANJA KVANTNIH SISTEMA

KVANTNA STATISTIČKA FIZIKA

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of KVANTNA STATISTIČKA FIZIKA

Microsoft Word - [4] mikromodel_kvantnaKVANTNIH SISTEMA 
Mikro stanje kvantnih sistema
U kvantnoj mehanici  stanje  sistema mnoštva  estica opisano  je  talasnom  funkcijom  ψ(r1,r2,…,rN,t),  gde  su:  r1,  r2,…,  rN  koordinate pojedinih estica sistema: 
  )t,,...,,(H t
)t,,...,,( N21
 




.  (11) 
Rešenje  jednaine  (10) odreuje  talasnu  funkciju  iji  kvadrat  modula  ψ2  predstavlja  funkciju  gustine  verovatnoe  da  u  trenutku  vremena  t,  koordinate  pojedinih  estica  budu  u 
2   
  1...ddd|| N21 2 rrr . 
Stanje  kvantnog  sistema  smatra  se  poznatim  ako  je poznata  talasna funkcija sistema.  
Egzaktno  izraunavanje  svih  moguih  stanja  sistema,  rešavanjem jednaine (10), praktino je nemogue, kako usled  sloenosti  tako  i  zbog nemogunosti poznavanja neophodnih  poetnih i graninih uslova.  
Za  stanja  statistike  ravnotee,  kada  nema  promena  u  vremenu, formiranje prostora u kome se moe prikazati skup  svih kvantnih stanja sistema je mnogo jednostavniji.  
3   
Posmatraemo zato sluaj zatvorenih sistema u  ravnotei. To  su sistemi kod kojih se ne menja unutrašnja energija, a ni broj  estica.  Pojam  zatvoreni  sistem  je  širi od pojma  izolovanog  sistema  i  obuhvata i sistem u termostatu. Za razliku od njih oni se mogu  nalaziti u konzervativnom spoljašnjem polju.  Šredingerova jednaina (10) prelazi u stacionarnu formu: 
  ),...,(E),...,(H N21nnN21n rrrrrr   (12) 
 
4   
U  sluaju  idealnog  gasa  interakcija  izmeu  estica  se moe  zanemariti, dok se talasna funkcija sistema moe napisati kao  proizvod talasnih funkcija pojedine estice.  
Ako  se  pretpostavi  da  se  estice  nalaze  unutar  bekonano  duboke  trodimenzionalne  potencijalne  jame,  stanje  estica  moe  biti  odreeno  skupom  od  tri,  odnosno  etiri  kvantna  broja ni =  {nx, ny, nz, ns}, gde  je poslednji broj spinski kvantni  broj ns.  
Talasna  funkcija  nije  neophodna:  dovoljno  je  poznavati  skup  svih kvantnih brojeva pojedinih  estica n{n1, n2, …, ni, …, nN},  ime je definisano kvantno stanje sistema.  
Energija sistema u tom kvantnom stanju odreena  je sumom  energija pojedinih kvantnih stanja po svim esticama: 
5   
EE .  (13) 
Na  taj  nain  opisivanje  mikro  stanja  sistema  sveli  smo  na  poznavanje stanja pojedine estice. 
Kvantni prostori
Stanje  zatvorenog  sistema  u  ravnotei  odreeno  je  skupom  stanja pojedinih  estica n{n1, n2, …, ni, …, nN}, što predstavlja  diskretan zapis dimenzije reda 4N i naziva se n prostor.  
Evoluciju  kvantnih  sistema  moemo  pratiti  u  nprostoru.  U  njemu  svaka  taka  opisuje  neko  od  kvantnih  stanja  sistema.  Ovaj  prostor  analogan  je  Γ  faznom  prostoru  korišenom  u  sluaju klasine statistike. 
6   
  Šematski prikaz n prostora 
nprostor  je  diskretan  4ND  prostor  pa  se  stanje  sistema  karakteriše  verovatnoom  fn,  da  se  desi  kvantno  stanje  sa  energijom  En.  Kako  se  sistem  svakako  nalazi  u  nekom  od 
7   
ponuenih  kvantnih  stanja,  to  je  uslov  normiranja  verovatnoe, u ovom diskretnom prostoru: 
  1f n
n .  (14) 
Sada je srednja vrednost neke fizike veliine, kada je poznata  verovatnoa  za  pojavu  eljenog  kvantnog  stanja  sistema,  odreena relacijom: 
  n
nAfA .  (15) 
Prema Hajzenbergovoj relaciji neodreenosti, za jednu esticu  mora  biti  zadovoljen  uslov  3dd hpr .  U  sluaju  sistema  od  N  estica Hajzenbergova relacija neodreenosti glasi:  
8   
3N ii hdXdd rp ,  (16) 
što  ukazuje  da  je  zapremina  kvantnog  stanja  sistema,  u  Γ  faznom prostoru reda h3N. Odavde sledi da je, u elementarnoj  zapremini dX, broj kvantnih stanja sistema odreen odnosom:  dX/h3N.  
Kvantna  mehanika  ne  razlikuje  estice,  tako  da  zamenom  estica  po  stanjima,  ukupno  stanje  sistema  ostaje  nepromenjeno.  
Broj moguih permutacija, koje predstavljaju isto stanje je N!.   Odavde  sledi  da  je  broj  kvantnih  stanja  u  elementarnoj  zapremini dX, odreen izrazom: dX/(N!h3N).  
9   
Analogno μfaznom prostoru za klasine sisteme, za opisivanje  evolucije sistema moe se uvesti takozvani k prostor.  
Ovaj  prostor  ini  skup  svih  moguih,  ali  razliitih  kvantnih  stanja pojedinih  estica,  koje  se nalaze u  kvantnom  sistemu:  k{ni}.  
To  je  diskretan  prostor,  iji  je  stepen  dimenzionalnosti  odreen brojem podataka za opisivanje kvantnog stanja jedne  estice, u našem sluaju 4D.  
U  odnosu  na  nprostor  njegova  dimenzionalnost  je  N  puta  nia.  
10   
  Karikatura k prostora 
U  nekom  kvantnom  stanju  k,  kojem  odgovara  energija  Ek  nalazi se Nk estica.  
Neka  je  fNk verovatnoa da se na energetskom nivou Ek nae  Nk  estica.  Kako  e  se  na  nekom  kvantnom  stanju  estice  svakako nai neki broj estica ili nijedna, to se ova verovatnoa  normira na sledei nain: 
11   
  1f k
k N
N .  (17) 
gde suma ide po svim moguim vrednostima za broj estica na  tom nivou. Srednja vrednost neke fizike veliine koja zavisi od  ove raspodele, odreena je relacijom: 
  k
k N
NAfA .  (18) 
 
 
 
 
2. KVANTNI SISTEMI U RAVNOTEI 
Analiza stanja sistema primenom n-prostora
U sluaju kvantnih sistema koji su  izolovani  i nalaze se u TDR,  analizu stanja moemo izvršiti koristei n prostor.  
U  ovom  4ND  prostoru  kvantno  stanje  sistema  je  zapis  koji  predstavlja taku.  
Verovatnoa da se sistem nae u nekom kvantnom stanju n,  sa energijom En je fn.  
Poznavanje  verovatnoe  za  pojavu  mikrostanja  sistema  omoguuje  nam  izraunavanje  srednje  vrednosti  eljene  makroskopske veliine korišenjem relacije (15). 
13   
Za izolovane sisteme nema razmene energije sa okolinom tako  da  se  njegova  ukupna  energija  En  ne  menja,  i  jednaka  je  konstantnoj vrednosti E.  
 

Sada  je  verovatnoa  za  pojavu  mikrostanja  izolovanog  kvantnog sistema odreena izrazom: 
  E,En n δCf , 
gde je C konstanta normiranja, a dobija se korišenjem uslova  normiranja (14), i iznosi: 
14   
n E,En
δ 1C . 
Kod  sistema  koji  se  nalaze  u  termostatu,  primenie  se  analogija  sa  rešenjem  koje  je dobijeno  za  klasine  sisteme u  kojoj  je  pored  temperature  jedina  promenljiva  ukupna  energija  sistema  (kanonska  raspodela  Gibsa).  Izraz  za  verovatnou za pojavu mikrostanja kvantnog sistema postaje: 
  kT E
,  (19) 
gde  je Z statistika suma odreena  iz uslova normiranja (14)  i  iznosi: 
15   
  n
nAfA . 
Relacije  za  veliine  stanja,  koje  su  izvedene  za  idealan  gas  klasinih  sistema, mogu biti popravljene ukoliko  je potrebno,  tako da uzmu u obzir kvantnu prirodu estica. 
 
16   
 
Analiza stanja sistema primenom k-prostora
Analiza kvantnih sistema primenom k  prostora podrazumeva  da  se  radi  o  zatvorenom  sistemu,  ali  takvom  kod  koga  se  interakcija izmeu estica moe zanemariti.  
To je 4D diskretan prostor.   
17   
Praenje stanja sistema vrši se na skupu moguih stanja jedne  estice ovog sistema {ni}. Od  interesa  je odrediti verovatnou  fNk  nalaenja  nekog  broja  estica,  recimo  Nk,  na  nekom  kvantnom stanju estice k, kome odgovara energija estice Ek.  
  Prikaz itog kvantnog stanja koj se nalazi u termostatu, a koji ine 
ostala kvantna stanja. 
18   
Uticaj  ostalih  kvantnih  stanja  na  uoeno  stanje  uzima  se  u  obzir  pretpostavkom  da  se  uoeno  stanje  nalazi  okrueno  termostatom na temperaturi T.  
Verovatnoa da se desi eljeno mikro stanje, a to je da se na k tom  kvantnom  stanju,  kome  odgovara  energija  Ek,  nae  Nk  estica bie odreena relacijom (19), odnosno: 
  kT NEF
kT NE
 , gde je:  kNZlnkTF . 
Ovde  je  deo energije  koji  je  sposoban da  izvrši mehaniki  rad,  a  μ  je  energija  koja  moe  biti  uloena  u  pobuivanje  pojedine  estice  ili  u  elektrohemijsku  vezu  estice  sa  okolinom, tzv. elektrohemijski potencijal. Odavde dobijamo: 
19   
k N
e
1C . 
Sada moemo  odrediti  srednji  broj  estica  koji  se  našao  na  kvantnom  stanju  k  sa  energijom  Ek.  Dobijamo  da  je  kN odreen relacijom (18): 
20   
.  (24) 
21   
Podsetimo  se  da  je  suma  estica  po  kvantnim  stanjima  jednaka ukupnom broju estica, odnosno: 
  NN k
Suma  srednjih vrednosti  estica   po  svim moguim kvantnim  stanjima estice, takoe  je  jednaka ukupnom broju estica N,  odnosno imamo da je: 
  NNffNfNN k N N k k
k N
NkNkkNkk k
22   
U  ove  estice  spadaju  elementarne  estice  sa  polovinim  spinom: elektroni, protoni, neutroni i kvarkovi. 
Za  ove  kvantne  estice  vai  Paulijev  princip  tako  da  se  u  jednom  kvantnom  stanju  moe  nai  nijedna  ili  samo  jedna  estica, odnosno Nk = 0,1.  
Koristei relaciju (22) dobijamo za srednji broj fermiona: 
  kT
1 N
izrazom: 
23   
  1e
,   (26) 
 
24   
Na  temperaturi  apsolutne  nule  T  =  0  K  svi  energetski  nivoi  ispod  Ef  su prazni  a  svi  iznad  su popunjeni.  Za  sve  vrednosti  temperature,  verovatnoa  zauzetosti  stanja  odreenog  Fermijevom energijom jednaka je 1/2.  
BozeAjnštajnova funkcija raspodele 
estice  koje  podleu  BozeAjnštajnovoj  statistici  nazivaju  se  bozonima. U ovu grupu  estica  spadaju  fotoni,  fononi, W  i Z  bozoni i gluoni (Higsovi bozoni i gravitoni).  
Kod njih se  javlja degeneracija stanja, odnosno mogue  je da  se na  jednom energetskom stanju nae: nijedna, više estica,  ili ak sve estice, odnosno  Nk = 0, 1, ..., ∞.  
Izraunavanje  srednje  vrednosti  broja  estica  kN   izvršiemo  primenom relacija (23) i (24). Dakle imamo: 
25   




 
Sumiranje  se  obavlja  po  svim moguim  vrednostima  za  broj  estica  na  nekom  kvantnom  stanju,  dakle  Nk  =  0,  1,  ...,  ∞.  Suma odgovara sumi geometrijske progresije.  
Kako je za ovu raspodelu Ek > μ, suma se obavlja po lanovima  koji su manji od jedinice, što daje: 
  kT
Ek
e1
1S
.  (27) 
Ovako dobijena  raspodela  srednjeg broja bozona  E)(N BE  po  energijama naziva se BozeAjnštajnova raspodela. 
Pretpostavljeni uslov Ek > μ, proistie iz fizikog ogranienja da  je  0NBE . Kod fotonskog gasa μ = 0. 
Poreenje kvantnih raspodela 
27   
Zavisnost  srednjeg  broja  estica,  u  funkciji  od  y  ima  sledeu 
formu:   1e
1(y)N y . 
FermiDirakova  raspodela  ima  fiziki  smisao  verovatnoe  zauzetosti  kvantnih  stanja,  dok  BozeAjnštajnova  predstavlja  raspodelu  srednjih  vrednosti  broja  estica  po  kvantnim  stanjima.  
Kada je y >> 0 funkcije raspodele postaju sline, jer je vrednost  jedinice  zanemarljiva  u  odnosu  na  vrednost  eksponenta  u  imeniocu.  
Za  jako velike vrednosti y, odnosno energije, kvantna priroda  estica postaje  irelevantna,  tako da  zavisnost ovih  raspodela  postaje slina kanonskoj raspodeli Gibsa, gde raspodela zavisi  eksponencijalno od energije:  
  ye(y)N .  (28) 
Kvazi-kvantna Bolcmanova statistika za atomski gas
Posmatra  se  sistem  atoma  koji  se  kreu  pod  dejstvom  spoljašnjeg polja, pri  emu atomi mogu da budu pobueni u  neko više energetsko stanje.  
Stanje  pojedinih  atoma  i  celog  sistema  se  opisuje  pomou  kvantne statistike. 
Pitanje je da li postoji prostiji pristup koji je istovremeno fiziki  opravdan  i  to  takav da  se njegovo  kretanje opisuje  klasino,  poznavanjem  koordinate  i  impulsa  atoma,  ali  istovremeno  i  stepenom njegove pobuenosti, odnosno nivoom na kome se  našao  elektron  (slika  27).  Ovakav  pristup  zove  se  kvazi kvantna Bolcmanova statistika.  
30   
Potrebno  je odrediti uslove  koji moraju da budu  zadovoljeni  da bi ovakav pristup bio opravdan.  
Posmatraju se atomi, koji su okrueni drugim atomima,  i koji  sa nalaze u 3D beskonano dubokoj potencijalnoj jami koju ovi  ostali atomi stvaraju.  
  )nnn( ma2 πE 2

 
31   
Dimenzija  3D  potencijalne  jame  je  jednaka  srednjem  rastojanju  rs  izmeu  atoma  u  sistemu  u  sva  tri  pravca.   Usvojiemo i da su vrednosti kvantnih brojeva jednaki i iznose  n.  Tada  se  za  energiju  veze  atoma  u  tom  stanju  moe  proceniti: 
  2 s
2 2
veze mr hnE . 
Kako  je srednja kinetika energija kod klasinog gasa reda kT,  to dobijamo da uslov koji oznaava da se kretanje atoma moe  tretirati  klasino  u  stvari  sluaj  kada  je  kinetika  energija  atoma mnogo vea od njegove energije veze: 
  2 s
32   
Kod  ovakvih  nejednakosti  opravdano  je  da  brojane  konstante, a time  i vrednost za kvantni broj n moemo svesti  na jedinicu. 
Dobijamo da upravo temperatura termostata T odreuje uslov  kada je mogue primeniti kvazi klasinu Bolcmanovu statistiku.  Ta  temperatura  zove  se  temperatura  degeneracije  i  iznosi:   Tdeg = h
2/(kmrs 2). Kako  je srednje  rastojanje  izmeu  estica  rs 
vezano sa koncentracijom n relacijom: rs = n−1/3 to je:  
  mk nhT
  degTT ,  (30) 
34   
Tada  stanje  atoma  moemo  opisati  tako  da  je  njegovo  kretanje odreeno poloajem  i  impulsom, a pobueno stanje  kvantnim brojem koji definiše stanje elektrona na njemu. 
Kada  je  gornji  uslov  zadovoljen mogue  je  stanje  pojedinog  atoma opisati poznavanjem njegove koordinate r, impulsa p, i  rednog broja kvantnog stanja , odnosno sedmo dimenzionog  zapisa  (r,  p,  ).  Energija  atoma  E  tada  je  odreena  sumom  kinetike  i  potencijalne  energije  atoma  i  energije  elektrona  koji se nalazi na kvantnom stanju oznaenim rednim brojem :  
  E)(U 2m pE 0
35   
Odavde, srednji broj atoma koji se nalazi u tom posmatranom  stanju  moe  se  odrediti  kombinovanjem  rezultata  koji  smo  dobili u klasinoj i kvantnoj statistici.  
Statistika  kvantnih  sistema  pri  dovoljno  velikim  energijama  gubi kvantnu prirodu pa tada podsea na Gibsovu statistiku.  
Srednji broj atoma u nekom stanju  kN , bolje reeno u nekom  kvazi  kvantnom  stanju,  koje  je  opisano  sa  energijom  atoma  datim izrazom (31), moe biti iskazana relacijom (28): 
  kT E
k eN
.  (32) 
Polazei od ovog  izraza, sumiranjem je mogue dobiti ukupan  broj estica u sistemu N.  
To znai da  je potrebno  izvršiti  integraciju po koordinatama  i  impulsima estice, a rezultat podeliti sa zapreminom kvantnog 
36   
 

Koristei  ovu  relaciju  mogue  je  odrediti  elektrohemijski  potencijal  μ.  Usvojiemo  da  je  potencijalna  energija  spoljašnjeg polja jednak nuli, tako da dobijamo da je: 
  Nedde h 1e kT
eV)mkTπ2(
Nhe
.  (33) 
U  sluaju  da  su  svi  atomi  pobueni  na  isti  nain  i  da  se  na  primer nalaze se na prvom energetskom stanju  ( = 1), suma  po  postaje 
  )kT/(E)kT/(E 1ee
 

38   
Pokazaemo da  je aproksimacija  (28) opravdana, odnosno da  je ona zadovoljena ako je zadovoljen uslov (30): 
  degTT →  ye(y)N . 
  1e kT E
  kTkT E
2mkT p
eee 2


Pošto je srednja kinetika energija reda kT, to prvi eksponent u  gornjem  izrazu  moe  da  se  uzme  da  je  jednak  jedinici  pa 
39   
 





e)mkTπ2(
nhe , 
Vrednosti  za E date  su na  skupu: E1 > E2>  ... > Emin. Kada u  eksponentu  sa  leve  strane  za  vrednost  E  uzimamo  energiju  koja  je  najmanja,  ova  relacija  e  i  dalje  biti  zadovoljena.  Dobijamo: 
  3/2
3
kT
E
40   
Razvijanjem  sume,  i  izvlaenjem  ispred  nje  izraza  ))kT/(Eexp( min ,  ovaj izraz postaje: 
  2/33










Kako su eksponencijalni izrazi u zagradi manji od jedinice, to se  usvajanjem da je njihova najvea vrednost reda jedinice, moe  postaviti  stroi uslov,  takav da  ako  je on  zadovoljen onda  je  sigurno zadovoljen i ovaj prethodni. Dobijamo: 
  2/33 )mkTπ2(nh1 . 
Odavde se moe odrediti kritina vrednost za temperaturu kao  uslov za primenu aproksimacije (28), odnosno: 
41   
  deg 2/32 T)mk/(nhT . 
Uslov,  koji  je  potreban  da  bi  primenili  aproksimaciju  izraunavanja  srednjeg  broja  estica  prema  relaciji  (28),  istovetan  je uslovu o degeneraciji gasa, što  je osnovni  i  jedini  uslov koji mora biti  ispunjen da bi se mogao primeniti model  kvazi kvantne Bolcmanove statistike. 
Primena kvantne statistike fizike
Fotonski gas – zraenje apsolutno crnog tela 
Pod  fotonskim gasom podrazumevamo skup  fotona, koji se u  skladu  sa  svojom  kvantnom  prirodom  ponašaju  kao  estice  koje  imaju  intenzitet  impulsa p, energiju prenose u kvantima   E = mc2, nemaju masu u stanju mirovanja, a kreu se brzinom  svetlosti c. 
42   
Gas  se  nalazi  unutar  šupljine  zapremine  V  okruen  termostatom temperature T.  
 
43   
Postulati kvantne mehanike: 
1) λ = h/p i    2) E = hν = cp = mc2 gde je ν = c/λ.  
Potrebno je odrediti broj kvantnih stanja dG(p) koja se nalaze  u intervalu (p, p+dp), odnosno u sferi poluprenika p, debljine  dp. 
  Prikaz sfere sa poluprenikom p i debljinom dp u impulsnom 
prostoru. 
44   
U μ prostoru zapremina kvantnog stanja reda h3.  
Da  bi  odredili  ovaj  broj  kvantnih  stanja  dG(p)  izraunaemo  zapreminu  koju  ima  ova  sfera  u  impulsnom  prostoru  i  pomnoiti sa zapreminom prostora V u kome se mogu kretati  fotoni. Ovako dobijena zapremina u μprostoru, kada se podeli  sa  zapreminom  jednog  kvantnog  stanja,  daje  broj  kvantnih  stanja dG(p), pa imamo: 
  3
2
h dppπV4dG(p) .  (34) 
Zbog polarizacije sledi da sa intenzitetom impulsa p mogu biti  dva  fotona  koji  imaju  dve  razliite  polarizacije.  Zbog  toga  je  stvarni broj kvantnih stanja dva puta vei.  
45   
Broj fotona dN(p), iji se impulsi nalaze u intervalu (p, p + dp),  dobiemo mnoenjem relacije kojom je odreen broj kvantnih  stanja  (34),  uzimanjem  u  obzir  i  polarizaciju,  sa  srednjim  brojem  fotona koji se nalazi na nekom kvantnom stanju  (27).  Kako je E = cp, to dobijamo: 
  1e


Odavde  je  mogue  odrediti  spektralnu  gustinu  zraenja  za  apsolutno crno telo, odnosno izvesti Planckov zakon zraenja.  
Spektralna  gustina  zraenja  je  energija  izraena  po  jedinici  zapremine i po jedinici uestanosti u intervalu uestanosti (ν, ν  + dν): 
46   
)dN(νω(ν) . 
Broj fotona ije se uestanosti nalaze u ovom intervalu jednak  je broju fotona dN(p), iji se  impulsi nalaze u  intervalu (p, p +  dp),  jer  postoji  jednoznano  preslikavanje  vrednosti  intenziteta impulsa u uestanost: p = hν/c i dp = hdν/c. 
Za spektralnu gustinu zraenja ω(ν) dobijamo: 
  1e
.  (35) 
Plankov  zakon  zraenja  crnog  tela  je  izveden  primenom  kvantne  statistike  za  ravnoteno  stanje  sistema  fotonskog  gasa.  
47   
Originalno  izvoenje  Planka  bazira  se  na  hipotezi  o  kvantovanju energije oscilatora. 
Ova  spektralna  gustina  zraenja  ima  svoje  aproksimacije  za  male i za velike vrednosti uestanosti.  
Za male vrednosti ν imamo: 
  ... kT hν1e kT
  3
2
48   
U sluaju velikih vrednosti ν, odnosno kada  , dobijamo  Vinovu aproksimaciju za spektralnu gustinu zraenja: 
  kT hν
49   
Spektralna gustina zraenja crnog tela prikazana u  funkciji od  talasne duine svetlosti λ.  
Kako je dN(ν) = dN(λ) , jer je ν = c/λ, kao i dν = |−c/λ2|dλ  (ν i λ  su pozitivne veliine), to za ω(λ) dobijamo 
  1e
,  (36) 
koja predstavlja  energiju  izraenu po  jedinici  zapremine  i po  jedinici talasne duine u intervalu (λ, λ + dλ). 
50   
  Spektralna gustina zraenja u funkciji od talasne duine (T1>T2>T3). 
Maksimumi  krivih  se  pomeraju  sa  temperaturom  u  smeru   manjih  talasnih duina. Ovo pomeranje poznato  je kao Vinov  zakon pomeranja. 
51   
Polazei od izraza (36), traenjem prvog izvoda po λ, moemo  odrediti  vrednost  talasne  duine  λmax  za  koji  imamo  maksimalnu spektralnu gustinu na datoj temperaturi: 
  const.Tmax   Elektronski gas u metalu 
Kod metala je Ef > Ec, tako da su zone ispod provodne potpuno  popunjene  i  za  sluaj  kada  je  T  >>  0  K.  To  omoguuje  da  ponašanje elektrona u metalu moemo posmatrati na modelu  jedne zone.  
Energija elektrona u metalu odreena je relacijom: 
  c 2
gde je p impuls elektrona ija je efektivna masa mc.  
52   
  3
2
h dppπV4dG(p) .  (38) 
Elektron  po  svojoj  kvantnoj  prirodi  poseduje  i  spin,  tako  da  elektron  sa  istim  impulsom  moe  da  ima  dva  stanja,  te  je  potrebno ovaj izraz pomnoiti sa dva.  
Kako je energija elektrona sa njegovim impulsom jednoznano  vezana, sledi da je dG(p) = dG(E), pri emu je:  
  )EE(2mp cc     i     )EE(2m
  dE)EE(m2m h
Vπ8dG(E) ccc3 , 
53   
što predstavlja broj kvantnih stanja elektrona koji se nalaze u  energetskom intervalu (E, E + dE).  
Da bi odredili broj elektrona koji se nalazi u intervalu energija   (E,  E  +  dE),  potrebno  je  da  ovaj  izraz  pomnoimo  sa  verovatnoom  da  ta  stanja  budu  zauzeta  odnosno  Fermi Dirakovom raspodelom: 
  )E(dG(E)fdN(E) FD . 
Elementarna  koncentracija  elektrona  koja  se  nalazi  u  ovom  intervalu je: 
  dE 1e
EE )m2(
h π4(E)dE(E)fρdn(E)
kT EE
  )EE(m2m h π8
55   
 
cE
dn(E)n . 
 



56   
  f
cf
f
c
E
E
c3
 
Kada je Ec = 0 dobijamo da je koncentracija elektrona u metalu  odreena izrazom 
  2/3 fc3 )E2m(