UNIVEZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

ODDELEK ZA FIZIKO

Rok Capuder

STRUNE

Mentor: prof Norma Mankoč-Borštnik

POVZETEK

Namen seminarja je predstavitev razvoja teorije strun in njenih osnovnih idej. Teorija strun je nova teorija, ki vpelje razsežne osnovne delce – strune. Poudarek seminarja je na razumevanju zgodovine razvoja teorije in potrebe po uveljavitvi novega pogleda na svet, v katerem vpeljemo gravitacijo tudi na kvantni ravni. Prikazana je tudi izpeljava akcije za klasično odprto struno.

KAZALO

ZGODOVINA RAZVOJA TEORIJE STRUN ........................................................ 3

POTREBA PO NOVI TEORIJI ................................................................................. 5

SPLOŠNA RELATIVNOST............................................................................ 5 KVANTNA MEHANIKA................................................................................ 6

STRUNE........................................................................................................................ 7

MEMBRANE ................................................................................................... 8 AKCIJA ODPRTE PROSTE STRUNE .................................................................... 9

KLASIČNI DELEC.......................................................................................... 9 ODPRTA PROSTA STRUNA....................................................................... 10

GREENOVO VESOLJE ........................................................................................... 13

GRAVITON ................................................................................................... 13 VELIKI POK.................................................................................................. 13 REFERENCE ................................................................................................. 14

ZGODOVINA RAZVOJA TEORIJE STRUN

Ideja, da so elementarni delci morda razsežni in ne točkasti izhaja iz časov Leoohnarda Eulerja. Beta funkcija je osnova, ki jo je leta 1968 uporabil Gabriel Veneziano. Veneziano je v CERN-ovem pospeševalniku opazoval trke delcev, ter iskal enačbe gibanja za nukleone. Pri tem je, takrat še nevede, uvedel matematični formalizem, ki je bil kasneje osnova za teorijo strun. Model, ki ga je pri tem zasnoval, za opis jedrskih reakcij, je bil na žalost neuspešen. Na osnovi njegovih zapisov in idej je Leonard Susskind začel razvijati teorijo, ki jo sedaj poznamo kot teorijo strun. Skušal je objaviti tudi članek, ki pa je bil zavrnjen z obrazložitvijo, da je teorija zanimiva a zelo malo verjetna. Vzroke za zavrnitev je mogoče iskati v času v katerem je članek želel objaviti. Fiziki so se v tem času nagibali v smeri razlage sveta s točkastimi objekti. Eksperimenti s trki delcev v pospeševalnikih, so dajali vedno nove rezultate in število novih odkritih delcev se je drastično povečalo. Z raziskovanjem nenaklonjene teorije sta se kasneje začela ukvarjati Michael Green in John Schwartz s kalifornijskega inštituta za tehnologijo. Na temeljih, ki sta jih postavila Veneziano in Susskind sta v približno petih letih skovala novo teorijo strun. Leta 1984 sta objavila članek s katerim se začenja uradno rojstvo teorije strun. V članki sta definirala teorijo tipa I. Zanimivo je tudi to, da je Schwartz o strunah objavil članek že mnogo prej, leta 1973, ki pa ni vzbudil nikakršnega zanimanja. V tem času so strune pestila mnoga nerešena vprašanja, ki jih je kasneje rešil skupaj z Greenom. Članek z leta 1984 je med fiziki vzbudil zanimanje teorijo in v naslednjih nekaj letih je število fizikov, ki so se ukvarjali s strunami močno naraslo, prav tako kot število objavljenih člankov. Vendar še dandanes, kljub naporom in nedvomnim uspehom v objavi člankov in razumevanju simetrije in elegance kvantne teorije, niso uspeli najti nobene napovedi za opazljive lastnosti sveta. V močnem raziskovalnem duhu, iz katerega se je teorija strun rojevala je do leta 1995 obstajalo 5 različnih teorij. Kasneje se je izkazalo, da so v resnici samo tri, končno pa so se združile v eno samo. Teorije strun lahko v grobem delimo na dva dela. Bozonska teorija strun, ki predvideva tako odprte kot zaprte strune. Bozonska teorija je ''nestabilna,'' saj predvideva obstoj Tahiona, delca, ki potuje hitreje od svetlobe. Ne upošteva supersimetrije, saj predvideva samo bozone. [4] Teorije, ki supersimetrijo upoštevajo, pa lahko razdelimo na že omenjenih pet podteorij in sicer: Tip I

Teorija tipa I, tako kot ostale opisuje vibracije strun. Strune so zaprte in vibrirajo kot obroči. Za razlik od ostalih pa predlaga tudi odprte strune z dvema prostim koncema.

Tip IIA in IIB

Teoriji sta se v začetku razlikovali, obe pa sta opisovali nihanja samo zaprtih strun. Uvede deset prostorskih dimenzij. Heterotrofna tipa SO(32) in E8xE8 (David Gross in Jeffrey Harvey) Heterotrofna teorije predlaga hibridno struno, ki je mešanica dveh drugih. Obravnava samo zaprte strune. Poleg tega trdi, da različno vzbujene strune ne ''komunicirajo'' med seboj. Strune se ne združujejo in ne interagirajo. Desnosučne strune opsuje s 26 in levosučne z 10 dimenzijami.

M-teorija S petimi različnimi teorijami ne moremo govoriti o združevanju. Iskanje pravilne teorije, s katero bi opisali naše vesolje in pojave v njem, se torej ni končalo. Če je pravilna ena izmed podteorij, kaj torej opisujejo ostale štiri – mogoče različna vesolja ? Leta 1995 Edward Witten predstavi nov pogled na strune. Pet že znanih teorij združi v eno samo in jo poimenuje M teorija. To stori s pomočjo 11. dimenzije, s čimer doseže, da so vse napovedi in izračuni, različnih teorij strun še vedno enako natančne in točne. Dodatna dimenzija dovoli strunam, da se raztegnejo v velike membrane. Le-te so lahko eno ali več razsežne.

Slika 1: Od leve proti desni: Gabriel Veneziano, Michael Green, John Schwartz in Edvard Witten [1]

Leta 1995 Joseph Polchinski s Kalifornijske univerze odkrije še eno lastnost strun. Ugotovi, da se odprte strune pod določenimi pogoji ne morejo prosto premikati. Izgleda, kot da so pritrjene na nekem delu prostora. Uvede lepljive membrane (Dirichletove-p-membrane). Prosti deli odprtih strun so tako prilepljeni na membrane, po katerih se lahko gibajo. Teorija strun se tako levi v teorijo, za katero nismo več prepričani, če sploh še gre za strune ali za nekaj povsem drugega. Z uvedbo membran nastopajo teoretične možnosti vzporednih vesolj, razlaga vzroka velikega poka, morda kvantna teorija tudi gravitacije.

POTREBA PO NOVI TEORIJI

Primerov, na katerih odpovesta tako splošna teorija relativnosti in kvantna mehanika, je mnogo. Standardni model elektrošibke in barvne interakcije, gravitacije kot četrte sile sploh ne upošteva, ampak se osredotoči na EM, močno in šibko medatomsko silo.

SPLOŠNA RELATIVNOST

Newton, ki je prvi opisal gravitacijo in njene pojave, združi pojave povezane z njo na zemlji s kroženjem lune okrog Zemlje. Kasneje Einstein poveže gravitacijo z maso in kasneje še z energijo ter uvede pojem prostora in časa. Prostor predstavi kot neke vrste napeto odejo, ki jo ukrivljajo težki objekti, kot zvezde, planeti… Oblika prostora, kot ga ustvari masa, pa ustvari to kar občutimo kot gravitacijo. Prostor tako ni nič več kot skupek deformacij, ki jih povzroči masa (Slika 2). Enačbe, iz katerih sledi gravitacijski zakon in prek katerega izračunamo gravitacijski pospešek Zemlje so naslednje: (v teh primerih upoštevamo nerelativistično limito)

221

r

mmGF = (1)

21

r

mGg = (2)

2822,9

s

mg zemlja = (3)

Slika 2: Sonce s svojo maso upogne prostor-čas, zemlja pa se po njem premika kot bi

krožila po napeti odeji.[2]

Krožeča Zemlja sledi upognjenosti prostora okrog Sonca, prav tako kot ostali planeti. Z znanimi enačbami lahko natančno napovemo kje se bo v danem trenutku na primer nahajala Zemlja, luna, naša galaksija itd. Enako lahko storimo za vsa telesa z maso, saj vemo, da vsa upoštevajo zakone, ki jih je zapisal že Newton.

Točnost napovedi pa se v nerelativistični fiziki konča, ko se približamo svetu atomov in manjših elementov. Tam klasična mehanika odpove, v ospredje pa stopi kvantna mehanika.

KVANTNA MEHANIKA

Svet kvantne mehanike je svet atomov, atomskih jeder, kvarkov in leptonov. Proučuje dogajanja na majhnih skalah. Splošne teorije relativnosti ne moremo kvantizirati. V kvantnem svetu tako ne moremo z gotovostjo napovedati ničesar, lahko le izračunamo verjetnost za nek dogodek. Pri interferenčnem poskusu, na primer, ne vemo skozi katero izmed dveh rež potuje izstreljen elektron, razen če ga izmerimo, tedaj pa izgubimo interferenčno sliko. Pri interferenčnem poskusu, lahko trdimo le, da bo delec s 50% verjetnostjo, šel skozi prvo ali drugo režo. Kvantna mehanika nam ponudi možnost, da izračunamo verjetnosti za posamezne dogodke pa tudi lastnosti stanja Hamiltonke, to je energijske nivoje.

Težava nastane pri obravnavi gravitacije in primerjavi le-te z ostalimi tremi silami. Izračunajmo elektro privlačno silo med dvema nasprotno nabitima elektronoma na razdalji 10-10m.

Nr

eFel

82

0

2

10*3,24

−==πε

(4)

Nr

GmF e

g

512

2

10*4,5 −== (5)

Šibka nuklearna sila je tako 1043 krat močnejša od gravitacijske. Poskusi kvantne mehanike gravitacijske sile sploh ne upoštevajo. Zdi se, da bi s pomočjo strun in njihovih lastnosti lažje našli kvantno teorijo za splošno relativnost.

STRUNE

Strune imajo končno dolžino. Za najkrajšo struno je smiselno izbrati Planckovo dolžno (10-33m). Strune so razsežni objekti, ki imajo vrtilno količino, mase pa nimajo. Struna je prožna in lahko niha v več smereh in na več načinov. Eden izmed njih je prikazan na sliki 4. Značilnosti delca, ki ga struna opisuje, to je maso, spin ali naboj, določa tip strune in način njenega nihanja. Delca sta različna, ker sta struni različni. S spremembo nihanja strune spremenimo lastnosti delca.

Slika 3: Primeri nihanja zaprte strune [6]

Slika 4: Primer zaprte nihajoče strune.[2]

Posebno ugodne kvantne lastnosti strune v več razsežnih prostorih, kot pa 1+3. Za dober in natančen opis nihanja strun pa se izkaže, da je potrebna uvedba novih dimenzij. Tako kvantna mehanika kot splošna teorija relativnosti predvidevata le tri prostorske dimenzije in eno časovno komponento. Vsako točko v običajnem prostor-času lahko opišemo s tremi krajevnimi koordinatami in eno časovno koordinato.

),,,( zyxctXX = (6) Povejmo, da je leta 1919, ko je nemški matematik Theodor Kaluza poskušal razložiti elektromagnetno silo z vpeljavo dodatne pete dimenzije. Gibalna količina delca v peti razsežnosti se v tri razsežnem prostoru vidi kot naboj. Predlagal je, da na majhnih skalah lahko v vsaki točki našega tridimenzionalnega prostora najdemo dodatno ''ukrivljeno'' dimenzijo, ki tvori krožnico. Dodatne dimenzije bi na majhnih skalah morda lahko obstajale, saj s poskusi vedno določimo samo zgornjo mejo velikosti. Kasneje so Kaluza Klein teorijo razširili še na ostale naboje in s tem na dodatne dimenzije.

Slika 5: Levo: vpeljava dodatne dimenzije v vsaki točki prostora, Desno: grafični prikaz

vpeljave šestih dodatnih dimenzij. [2] To je pri 7 dodatnih prostorskih dimenzij. Skupaj tako zaobjame 10 prostorskih in eno časovno dimenzijo. Učinek, ki ga te dodatne dimenzije predstavljajo v teoriji strun je ta, da na primer lastnosti delca zavisijo od dimenzije, na kateri struna niha. Zadnja 10. prostorska dimenzija je bila teoriji dodana šele leta 1995 in je združila pet različnih teorij strun v tako imenovano M teorijo, kot sem že omenil. Na sliki 5 vidimo grafična primea ene dodatne dimenzije (levo), ter 6 dodatnih dimenzij, kot jih napoveduje teorija strun (desno).

MEMBRANE

Po teoriji M, se zaprta struna lahko raztegne na končno veliko opno, ki ima lahko tudi več kot eno razsežnost. Možno je, da se naše vesolje nahaja na eni izmed takih membran. Membrana se lahko nahaja v večdimenzionalnem prostoru, v katerem je verjetno še več membran, ki lahko vsebujejo druga vesolja.

AKCIJA ODPRTE PROSTE STRUNE

KLASIČNI DELEC

Najprej si oglejmo akcijo za klasični relativistični delec. Za delec, ki se premakne iz točke 1 v točko 2 (slika 6) po poljubni trajektoriji zapišemo akcijo kot:

∫ ∫==)2(

)1(

),,(ττ

τατ d

dX

d

dXdt

d

dXXLS

mmm

m , (7)

kjer so mX , koordinate delca v (1+3) razsežnem prostoru: ),,,( 3210 XXXXX m = , ctX =0 .

Podoben zapis velja v poljubno razsežnem prostoru;

∫

ττ

d

XdXLd

mm

&

, , (8)

kjer je 1,...1,0 −= dm , d pa je razsežnost prostora.

mmiX

Lp

&∂

∂= . (9)

Poglejmo nerelativistično limito, da določimo parameter α. Akcijo

∫=ττ

ταd

dX

d

dXdS m

m

prepišemo v laboratorijski sistem (10)

000

dXdX

dX

dX

dXS m

m

∫= α , (11)

Ter upoštevamo, da je ( ) ( )220XddXdXdX m

mv

−= , c

v

dX

Xdvv

=0

. Sledi:

⋅⋅⋅+

+= ∫∫

20

10

20

10

20

2

1X

X

X

X

cdtc

vdXS

v

αα (12)

Izbira za parameter α, ki ponudi nerelativistično akcijo in s tem poenoti Euler Lagrangeve enačbe z Newtonovimi enačbami. je mc=α . Akcijo tedaj zapišemo kot

∫−=ττ

τd

dX

d

dXdmcS

mm

. (13)

Z variacijo akcije dobimo Euler Lagrangeve enačbe:

0=∂

∂−

∂

∂mm

X

L

d

d

X

L

&. (14)

Da se pokazati, da je primerna tudi naslednja izbira za akcijo:

∫ −=2

1

)1

(2

1τ

τ

γγ

τ mcXXdS m

m && , (15)

Kjer so zdaj variacijski objekti mX inγ .

Slika 6: možne trajektorije delca med točkama 1 in 2.

Diagram premika delca v prostoru in času je prikazan na sliki 6. Pot, ki jo delec opiše na diagramu, imenujemo svetovnica in je za primer točkastega delca krivulja

ODPRTA PROSTA STRUNA

Struno obravnavamo kot razsežni objekt in jo lahko parametriziramo kot več klasičnih točkastih delcev, od katerih se vsak giblje po svoji trajektoriji. Svetovnica strune je, za razliko od svetovnice točkastega delca, razsežna površina. Pri struni vpeljemo poleg časovnega parametra τ še parameter, ki nam določa točke vzdolž strune: σ. Vsako točki na struni ustreza svetovnica točkastega delca ),( στmX .

x1(τ1)

x1(τ2)

τ

x1

Slika 7: Pomik in deformacija strune v času. Parameter τ teče vzdolž strune parameter σ

pa označuje njene koordinate. Funkcija ),( στmX določa obliko svetovnice strune. Ne glede na parametrizacijo, ki si jo izberemo, vemo, da je akcija, oziroma Lagrangeva funkcija invariantna na Lorentzovo transformacijo v (1+3) ali (1+(d-1)) razsežnem prostoru. Končna velikost akcije ostaja vedno enaka. Površina svetovnice je prav tako enaka neglede na parametrizacijo. Poskusimo zapisati akcijo strune na podoben način kot za točkast relativističen delec. Zgledovali se bomo po akciji za točkast relativistični delec iz enačbe ( ),,( γmm XXL & ).

Uvedemo oznako ),( τσρ =a . Tedaj

b

m

a

m

ab

XXddS

ρργσγτ

∂

∂

∂

∂= ∫ det (16)

Hkrati je potrebno primerno izbrati še metriko abγ , na struni.

τ

σ

t

Slika 8: Pomik in deformacija strune v času, če si jo predstavljamo kot končno število

točkastih delcev.

t

GREENOVO VESOLJE

Namesto zaključka pa še nekaj tez Briana Greena, enega izmed vodilnih fizikov na področju teorije strun. V svoji knjigi, The Elegant Universe, opisuje možne razlage pojavov, ki bi jih teorija strun lahko pomagala razumeti.

GRAVITON

Po teoriji M razumemo razliko med intenziteto gravitacijske in elektromgnetne sile takole: teorija predvideva obstoj večdimenzionalnih končno velikih membran. Na eni izmed njih se nahaja tudi naše vesolje. Membrane prosto plavajo v večdimenzionalnem prostoru in med seboj lahko interagirajo (izmenjujejo delce, trkajo med seboj…). Graviton oziroma delec, ki je nosilec gravitacijske interakcije, na enak način kot je foton nosilec EM sile. Sestavljen je iz zaprte strune, ki prosto prehaja med membranami za razliko od zaprtih strun, ki so del membrane in odprtih, ki so pritrjene nanjo. Graviton ob prehodu skozi našo membrano kaže lastnosti sile, ki je v primerjavi z ostalimi tremi šibkejša. Delci, nosilci ostalih sil, pa so del naše membrane, zato jih lahko brez težav tudi detektiramo.

VELIKI POK

Dve membrani, o njih smo že govorili, ki sta si dovolj blizu, lahko trčita med seboj. Možno je, da se je prav to zgodilo ob velikem poku: sosednji membrani sta med seboj trčili in energija trka se je sprostila na način, ki je ustvaril naše vesolje in morda vesolja v nasprotni struni. Še več, če teorija strun drži, potem to ni bil enkraten dogodek, ampak se veliki poki dogajajo ves čas. Grafična upodoitev takega dogodka je na sliki 9. Teorijo je razvil ameriški fizik Brian Green. Težava z njo je, tako kot s samo teorijo strun, da je verjetno ne bomo mogli nikoli preveriti.

Slika 9: Levo: membrani na katerih bi se lahko nahajali večdimenzionalni prostori,

Desno: trk dveh sosednjih membran. [2]

REFERENCE

1. http://wikipedia.org zbirka slik z različnih strani 2. NOVA: The ellegant Universe, documentary by Brian Green 3. Green, Brian: The ellegant Universe . Vintage Books 2005 4. www.superstringtheory.com/ 5. Zwiebach, Barton: A First Course in String theory. Cambridge University press

2004 6. Tine Porenta: Strings, seminar