ODJEL ZA FIZIKU SVEUČILIŠTE U RIJECI

Preddiplomski studij Fizika

Ak. god. 2019./2020.

1

KVANTNA FIZIKA I PRIMJENE

Drugi kolokvij 22.05.2020.

1. U ovom zadatku, vrijednosti spina izražene su u jedinicama od ħ. Promotrite sustav koji se sastoji od dvije

neinteragirajuće čestice: za česticu 1 spin je 1, a čestica 2 ima spin 1/2. Mjerenje je pokazalo sljedeće rezultate:

1 2

11;

2z ys s= − =

Ovdje su S1 , S2 operatori spina čestice 1 i 2, a S1z , S2y operatori projekcije spina na os z za prvu česticu i os y za

drugu česticu. Njihove svojstvene vrijednosti su s1z , s2y . Kolika je vjerojatnost da za ukupni spin sustava

izmjerimo vrijednost s = 1/2?

2. Čestica se giba u sferno-simetričnom potencijalu prikazanom na slici. U području r ≤ 0 valna funkcija je

jednaka nuli.

(a) Riješite Schrödingerovu jednadžbu za ovaj problem i nađite valne funkcije ako je energija E < U0 .

(b) Nađite jednadžbu iz koje se mogu izračunati energije. Jednadžba se ne može riješiti analitički pa je dovoljno

da je napišete u što jasnijem obliku.

(c) Napišite uvjet dobiven pod (b) za l = 0. Možete li grafički naći rješenja ove jednadžbe?

Uputa: kovergentna rješenja jednadžbe

( )2 2 22 1 0x y xy x l l y + − + + =

nazivaju se modificirane sferne Besselove funkcije druge vrste, y = kl(λx). U dodatku se nalaze neke osnovne

informacije o ovim funkcijama.

3. (a) Provjerite zadovoljava li vektorski potencijal

1

2= − A r B

uvjet · A = 0, gdje je B konstantno magnetsko polje.

(b) Neka je A vektorski potencijal zadan pod (a). Pokažite da je član

q

m− A p

koji se pojavljuje u hamilotonijanu za česticu u EM polju jednak izrazu za interakciju magnetskog momenta μL

zbog orbitalnog angularnog momenta s magnetskim poljem B

2 2

L

q q

m m− = − = − μ B L B B L

gdje je q naboj, a m masa čestice.

(c) (NIJE OBAVEZNO) Je li tvrdnja pod (b) točna ako je B = B(r, t)? Pretpostavimo da smo našli potencijal za

kojeg je · A = 0. Je li operator −μL · B uopće hermitski?

4. (a) Nađite svojstvene funkcije operatora L2 i Lz u impulsnoj reprezentciji, dakle, kao valne funkcije iz

impulsnog prostora.

(b) Pokažite da je prosječna vrijednost impulsa 0 =p

u stanju kojem ima oštro definirane svojstvene vrijednosti L2 i Lz , odnosno, l i m.

ODJEL ZA FIZIKU SVEUČILIŠTE U RIJECI

Preddiplomski studij Fizika

Ak. god. 2019./2020.

2

Uputa: pod (a), prisjetite se da su u impulsnoj reprezentaciji, operator položaja r i impulsa p jednaki

( )

( )

| |

| |

i

= −

=

pp r p

p p p p

gdje je p' = (∂/∂p'x , ∂/∂p'y , ∂/∂p'z).

aS yetbe’

ISy 47 = 5 I+) * = |=?

Voitue dtauype vee Cano poucch rveibra | S54(AQ=/2%=4, a=) | P2= 5May = 3) =

Lo - i _ 4=

actymeny (4 I= 2 ) 2,= 5)

Naptiturc ole velbre 22xLLWU0 potuoch Z —proprhcye

;.

al Ma 41) m= 52 +e | Mg =A wn =-5>y2 ) (z

Ja tedtca 0 CleSsl- Gerdeucun koefrepeine’

E< UU,

Ryesewe Schrdidus aesvepeduadbe 4 cba produc) [ekilo

= RC) Ye(oeGi)Treva nents ladyolu Sclrodugew jeduadiby u4 paduc), Oc(2) te refayo Spay iO” bul Uyriug «

U padurqu © ladyelu Selus aliug 2onQ peetuccliba ghku

d_ ~ 2d e(era) 2dye r- dr ref RTKR =o

2 2mMEI< = Ge

Rietewe ore pecaluadithe alac’

Fo = Ate(kr)ade at de sfere Bemba fuutia tea @. ZQ foo

de(kv) —oCULe Je zadior Ger jet (corres rh wralue fuutuse.

U feducla @Z) tadyola Sludilugers pluie glare’

- &erd)fae Ss fR- RR =D

ie 25 (ue) >0Ue Pouyri $= Avr

oa (eduadie tote2 1Sod ts doaare” alg? - ) adv AF

© a lee} 2“ee. dg~

ex & °coduohie y

cel 4 2° a" - { p+ e(Rtn) § R= 0

PyeSerye. ove pedrodvhe Bo, oye °F3e ) R09 alanR= ke(ar)

gdje je Ke mechifiaioua sfauia Retilaa furlwye, ducevote .

Cs) Rade’ ay oh

A Je ( Ki) = 2, te(av)AK juicet\= BAK (An)

Ora sotow peduadih’ wa|netic ohio mege to ACK le fe

Lt ( ane Ke (Lt) _K Je(ete) KOI(At)Date, jeduadile ie hee re debwoy eumguye gat

he Je Cen) ke (A) — K Ke (Al) jeCe’) =0(c) ta €=o je

clo (Kle) = sin (Kye) . I wos(l<be) _ gm (Kite)

ken ) Jo (Kv. ” Ev, (Ky, )e

—/tekK, (Ar = Ss oe

— 5 k (Ayye GC) ao

Unhwo 4 Aayet aleboivers pad! (>)

A jel kev, ke(evs) - IK KelAte) Je (Keo ) =o—~Ae

Ate)en (BEwe) - ciCle ve)

U<4)* \ ”— {<>

ae ari(er) (+ a).x(5 ((fn)_aeva tp—Nh, sin (Kt) = K WS (Eve)

rh tan (KL) = IKSkea poe ¢ che vue

|

“4 = KK

—

oe

‘Da dcbyeuo le Quo jedus Wereuye ULoVauLro wok’ ayet

pror > =) .

BH\t amUey fic(5) ?4u

>(4|

2-4

C=) ft xs >. & on fe i XxX; B}dK

7K ig ke ( .) gb ISG

B |€ cou terihuc pofe~—5 > —->

Nay pure pees VKA =B

(GeA). =|

|ofik

=2 Sie aX2 Sik oe (> (- 2) Creu, Xe s.)gt

_ geCA) | Pen Ai] = 2g,

> z 3-A=zO

AL ax2. on Z_ Fin :) 2aPe “¢ )2_ eckor= O bye

A= BAA2. Ae Pe (- 5) > KN Xs Ba Pe

c a2 2 Bele “a K

Vue-2 Ap--2 BeW .

P 2MC

Cc) Ovo wre b)€o ohavere |Aico conn © Fy toda LU B , eduone JB hecomutilagu opceruto. Odavdye Ail uye epudte”Veshe tele wih" o aperakvour

wD{ —_ —-(Mkt Bi)

(oy fe henMar -

_s| ~ :CP I Lily = D> Syne <8" *y Pr lap >tk

abaq, | xX Pic|= Ay Pen Pic “y = ob Se[UtRQALLO

D_ Sie cB 4 [py +wh? Six§a CBI apy‘leye q Sais =O

Preinwa howe

C8 )1 Le Ap) = ZS <PPe Inp

(4p ayscpy. 2 ein{ aipl ce Pel >SOR 1X) p)

¢&too© cB PIB) = Pe RIBS pl cele"a _.& S"

|

<P (xy [op)=- L apn PCP )TuranKe (LLB = D> eye Pr CE) Sp ab (B)

is q

4-4

Cquuyeuuns ar trdelcre Ky } dA ik. 7 - Ee riey

CELLEIY = DEED PL (-(- 3) oy VE)¢&

z,’ ~o/= iky Pe (# dp;Ye)Debyous Nave Sule! Kea 40 %Q X tepereataugy a fey

SaLo4 P Dou ene. U Sfewouy srraus boowderaTa.

Cr 8, 4) > (Pp, E6)Dale) aurest lo ‘kithuws'kaoeladtets je bdeuhore (aotlod Fo teprrenttouyc . Preruo, Howe

y Sen’ hanuwou ce”

Ur i debe sioprhere cfuudye U2 CoA Lay oly ae.Inifen’ odusye LQ Pp -prov,

ry". e(tu)t,]Q e

L2\,"= mn Yo

b Stay’ PSTVO tu i) ege ° Stvo tePity peau Vy tlussA

suseB € Fu wte

MD IQS Stern Vamaucy He Secu’ laurccruc” sadaAA (menue Auou pre rhou , (ULoaes dobyea defiHae pao:Qo aa pau a" UCPA AY ZR prouyouce e~ rp’

4-2

£pr= £ wl Pl euSitJar Yo" (0,4) s Ye"(84) - (sur ly |

>> > ous tulequed ne Wet] ony e akZa pon

hye oxy”" — Jae BYE= SRD

me<p) =O

4-2