KVANTITATIVNE METODE

PAGE

79

StatistikaKvantitativne metode

KVANTITATIVNE METODE

STATISTIKA

Prof.dr

Beograd, 2004

S A D R A J

1. Statistiko istraivanje

Pojam i predmet statistike

Statistike zakonitosti

Statistike ocene

2. Statistiko snimanje i prikazivanje rezultata

Statistiki skup

Metodi prikupljanja podataka

Sreivanje i obrada podataka

Statistike serije

Statistike tabele

Grafiko prikazivanje statistikih podataka

3. Obrada i analiza podataka i rezultata

Mere centralne tendencije

Aritmetika sredina

Harmnonijska sredina

Geometrijska sredina

Modus

Medijana

Mere varijabiliteta

Razmak varijacije

Kvartilna devijacija

Varijansa i standardna devijacija

Srednja devijacija

Mere asimetrije i spljotenosti

Koeficijent asimetrije

Koeficijent spljotenosti

4. Indeksni brojevi

Vremenske serije i njihova uporedivost

Individualni indeks

Agregatni (grupni) indeks

Obuhvatnost i primena indeksnih brojeva

5. Analiza vremenskih serija

Trend komponenta

Linearni trend

Paraboliki (kvadratni) trend

Eksponencijalni trend

Standrdna greka kod trenda

6. Regresiona analiza

Regresija-pojam i znaenje

Linearna regresija

Standardna greka regresije

Korelacija-pojam i znaenje

Koeficijent korelacije

1. STATISTIKO ISTRAIVANJE

POJAM I PREDMET STATISTIKE

Naziv statistika potie od latinske rei Status, to znai stanje i italijanskog termina Regione di stato, to znai drava, dravni interes. Uzmemo li bilo koji od ovih etimolokih izvora u nastanku rei statistika, vidimo da je drava kao celina bila podruje nastanka i formiranja statistike kao drutvene discipline, odnosno da je to bio jedan vid odreene prostorne definisanosti predmeta statistike.

Predmet prouavanja statistike su varijabilni (promenljive) pojave koje se ispoljavaju u masi sluajeva i zovu se masovne pojave. Varijabilitet je univerzalana karakteristika prirodnih i drutvenih zbivanja. Svaka pojava nastaje pod uticajem nekih faktora, pa ponaanje pojave zavisi od prirode, broja i naina kombinovanja tih faktora. Poto su faktori koji deluju na pojavu varijabilni, to e i pojava pokazivati manje ili vie izraen varijabilitet.

Elementarne pojave pokazuju najmanji varijabilitet individualnih sluajeva i rezultat su delovanja malog broja faktora. Odnos izmeu ovih pojava i faktora meusobno uslovljenih ponavljaju se na priblino isti nain u svim konkretnim sluajevima. Kod takvih pojava primenjuje se metod pojedinanog posmatranja, ispituje se jedan ili nekoliko sluajeva. Kod pojava koje ispoljavaju veu varijabilnost (drutveno-ekonomske pojave) tek posmatranjem veeg broja sluajeva dolazio se do odreenih zakonitosti u njihovom ponaanju.

Zato statistika istaruje masovne pojave a to istraivanje ima kvantitativni karakter. Pod statistikom se danas podrazumeva, deskriptivna statistika, statistika analiza i statistika teorija.

Deskriptivna statistika prikuplja, obrauje i povezuje podatke.

Statistika analiza omoguuje pribavljanje numerikih informacija, njihovu kvalitativnu interpretaciju, donoenje zakljuaka i formiranje zakonitosti ponaanja posmatranih pojava.

Statistika teorija iznalazi statistie metode, objanjava ih, dokazuje i usavrava.

STATISTIKE ZAKONITOSTI

Masovno posmatranje ponaanja pojava uz odgovarajuu primenu statistike metodologije omoguava nam da uoimo opte karakteristike varijabilnih pojava i otkrijemo pravilnosti u tendencijama ovakvih pojava. Pravilnosti koje uovamo nazivaju se statistikim zakonitostima ili masovnim zakoitostima. Ona se ispoljavaju na velikom broju sluajeva jer te pravilnosti vae samo u masi.

Ponaanje masovnih pojava u veem skupu pokazuje izvesnu pravilnost, a na malom broju sluajeva ta pravilnost se ne ne ispoljava. Statistika istrauje te pravilnosti i varijacije, i pritom polazi od velikog broja sluajeva koje posmatra, a rezultate grupie, opisuje, uporeuje i analizira.

Statistika se bitno razlikuje od evidencije bilo u preduzeu ili privredi. Pojam statistike je znatno iri. Zadatak evidencije jeste da registruje i prati svaku pojedinu jedinicu i njena individualna svojstva. Evidencija ima za cilj da obuhvati sve pojedinane sluajeve da bi u svakom momentu mogla da prui odgovarajua obavetenja o pojedinanim individualnim sluajevima.

Statistika ima za zadatak da uoi ono to je zajedniko, karakteristino za sve sluajeve posmatranja a pojedinana svojstva sluze statistici samo kao polazna osnova za dalji rad, prema tome statistiku interesuju karakteristike skupova. Statistika i evidencija stoje u tesnoj meusobnoj vezi. Evidencija predstavlja osnovni izvor statistikih podataka o velikom broju poslovnih dogaaja i ekonomskih pojava. Statistiko istraivanje se ne svodi na otkrivanje karakteristike skupa ve je zadatak statistike merenje i analiza odstupanja individualnih karakteristika elemenata skupa od utvrenih zajednikih karakteristika istarivanje njihovih varijabiliteta posmatranog skupa.

Po njihovoj prirodi statistika je induktivni metod. Polazi od izvesnih hipoteza a zakljuke donosi na osnovu iskustava, dogaaja, injenica i statistikih eksperimenata. Dobijene rezultate podvrgava matematikoj obradi u cilju pribavljanja novih informacija.

STATISTIKE OCENE

Teorija verovatnoe omoguava statistici istraivanje karakteristike skupova na bazi objektivnih kvatitativnih ocena, koje se donose na osnovu posmatranja samo nekih odabranih sluajeva. Tako se obezbeuje nepristrasnost izbora sa jedne i reprezentativnost odabranih sluajeva sa druge strane. Posmatraju se i istrauju sluajevi na kojima se osobine posmatrane pojave ispoljavaju priblino isto kao i na celom skupu. Rezultati koji se dobijau posmatrnjem odabranih reprezentativnih sluajeva nazivaju se statistikim uzorcima. Oni omoguuju objektivnu ocenu osnovnih karakteristika skupova, ocenu stepena njihovog varijabiliteta, kao i ocenu pouzdanosti zakljuaka do kojih dolazimo.

Procesi koji nisu ni sasvim sluajni ni strogo determinisani nazivaju se stohastikim procesima. Ovi procesi ne odvijaju se po nekom odreenom nepromenljivom zakonu. Na njih u velikoj meri utiu brojni faktori i njihove raznovrsne kombinacije i ne deavaju se haotino. Primenom odgovarajuih kvantitativnih metoda mogu se, uz odreeni rizik, vriti izvesna predvianja njihove dinamike.

Statistika teorija eksperimenata omoguuje izvoenje eksperimenata na jako varijabilnim pojavama u cilju otkrivanja statistikih zakonitosti. Statistiki eksperiment ne zahteva konstantnost ni jednog faktora, niti podudarnost uslova pri ponavljanju opita. Naprotiv, potrbno je da svi faktori to je mogue vie variraju. Analizom tog varijabiliteta statistika proverava hipoteze o uzronim vezama i zakonitostima i otkriva pravilnosti u ponaanju masovnih pojava. Statistiki eksperiment pokazuje srednji odgovor, srednju reakciju skupa na dati eksperimentalni postupak.

2. STATISTIKO SNIMANJE I PRIKAZIVANJE REZULTATA

2.1. STATISTIKI SKUP

Statistiki skup, osnovni skup ili populacija je skup svih elemenata na kojima se izvesna pojava statistiki posmatra. Statistiki skup treba da ima osobinu da je relativno homogen, diferenciran i celovit.

Statistiki skup je relativno homogen kada su jedinice koje on obuhvata sline odnosno kad imaju bar jedno zajedniko svojstvo. Skup je homogeniji ukoliko imaju bar jedno zajedniko svojstvo. Skup je homogeniji ukoliko imaju vie zajednikih osobina. Na primer: nezaposleni na nekom podruju razlikuju se po mnogim osobinama ali imaju zajedniku osobinu da su nezaposleni.

Statistiki skup je diferenciran kada su jedinice na kojima se vri posmatranje istovrsne ali ne i istovetne. Svrha statistikog posmatranja je ispitivanje diferenciranosti skupa u pogledu nekih osobina i njihovo kvantitativno odreivanje.

Statistiki skup je celovit ako obuhvata sve individualne sluajeve posmatrane pojave u vremenu i prostoru.

Da bi se statistiki skup mogao prouavati on se mora definisati prostorno, vremenski i pojmovno.

Prostorno odrediti statistiki skup znai odrediti prostor teritoriju na koji se odnose ili kojem pripadaju statistike jedinice.

Vremenski odrediti skup znai odrediti momenat ili razdoblje vremena u kojem e se obuhvatiti sve jedinice koje ulaze u statistiki skup. Kako e se vremenski odrediti skup zavisie od prirode pojave koju ispitujemo, od jedinice skupa i njihovih karakteristika.

Sadrinsko sutinsko odreenje statistikog skupa iziskuje odreivanje osobine koje mora da ima svaka jedinica da bi bila ukljuena u skup.

Pojedinani element ili jedinica na kome se vri statistiko posmatranje predstavlja statistiku jedinicu, a ona je osnovni nosilac karakteristika tog skupa.

Osobine po kojima se statistike jedinice meusobno razlikuju ili ne, nazivaju se statistikim obelejima.Razliiti vidovi u kojima se obeleje moe javiti nazivaju se modalitetima tog obeleja.

Sa aspekta obrade podataka obeleja mogu biti numerika i atibutivna.

Numerika obeleja brojano izraavaju kvantitativne razlike jedinica posmatranja a do njih se dolazi merenjem ili prebrojavanjem (godine starosti, teina, visina...).

Atributivna obeleja opisno izraavaju kvalitativne razlike jedinica posmatranja (pol, zanimaje..) i imaju odreene modalitete ( Pol ima dva modaliteta: muko i ensko). Ovi modaliteti ne odraavaju intezitet obeleja ve samo njene razliite oblike pojavljivanja.

Numerika obeleja mgu biti neprekidna ili kontinuirana i prekidna ili diskontinuirana.

Neprekidna obeleja imaju ma koju vrednost unutar jednog intervala (visina, teina...). Do vrednosti ovih obeleja dolazi se merenjem.

Prekidna obeleja najee uzimaju cele brojeve (broj dece, broj zaposlenih...) iz mogueg skupa vrednosti. Do ovih numerikih vrednosti dolazi se prebrojavanjem.

2.2. METODI PRIKUPLJANJA PODATAKA

Za svaku statistiku akciju potrebno je izabrati najefikasniji metod posmatranja (prikuplljanja podataka). Pojava koja se posmatra moe se obuhvatiti na svim jedinicama statistikog skupa to je potpuno posmatranje ili samo jednom njegovom delu delimino posmatranje. Postoje dva osnovna metoda potpunog statistikog posmatranja i to: statistiki popis i izvetajni metod.

Statistiki popis obuhvata sve jedinice posmatranja jednog statistikog skupa u odreenom momentu (kritiki momenat). Tako se dobija potpun uvid u stanje i strukturu skupa po raznim obelejima. Ovakav oblik statistikog posmatranja je veoma skup, pa se organizuje u duim vremenskim intervalima (popis stanovnitva obavlja se svake pete ili desete godine, a kritini momenat je 31. mart).

Izvetajni metod prati kontinuirano dogaaje iji je varijabilitet tokom vremena jae izraen. Sprovode ga lica ili institucije sistema radi svojih poslovnih potreba. Statistikim organima u odreenim vremenskim intervalima alju se redovno popunjeni statistiki upitnici.

Statistikim izvetajem u sukcesivnim vremenskim momentima (stanje novca u blagajni u mesecu...) ili intervalima vremena (prirodno kretanje stanovnitva...) vri se posmatranje promena statistikog skupa.

Kada je nemogue sprovesti potpuno posmatranje koristi se delimino posmatranje statistikog skupa. Ono se sprovodi na osnovu uzorka.

Statistiki uzorak je reprezentativni deo osnovnog skupa na osnovu koga se donose zakljuci o karakteristikama osnovnog skupa. Uzorak e biti reprezentativan ako je dovoljno veliki i ako je po svojoj strukturi slian statistikom skupu.

Kvalitet prikupljenih podataka zavisi od specifikacije istraivanja, instrumenata istarivanja, uslova istraivanja kao i od stava i ponaanja davalaca podataka.

Neminovni pratilac statistikih istaivanja su i greke koje mogu biti sluajne i sistematske. Sluajne greke nemaju poseban uticaj na kvalitet podataka, dok sistematske uvek utiu na podatke.

2.3. SREIVANJE I OBRADA PODATAKA

Prikupljeni podaci, jednim od metoda, predstavljaju sirov materijal koji treba srediti i obraditi. Individualne podatke treba pretvoriti u brojane informacije putem grupisanja jedinica po modalitetima posmatranih obeleja i njihovih zbrajanja u svakoj grupi.

Sreivanje predstavlja tehniko metodoloki deo poslova u kome se, prema emi grupisanja i cilju istarivanja, prikupljeni statistiki materijal svrstava u serije i tabele koje predstavljaju statistiki nain istraivanja. Zato serije i tabele moraju da budu precizno i jasno sastavljene, kako bi ono to je u njima sadrano bilo dovoljno vidljivo i podesno za analizu.

Prema mestu, sreivanje podataka moe biti cenralizovano kada se sav prikupljeni statistiki materijal alje u jedan centar gde se sreivanje obavlja jedinstveno i u celosti. Decentralozovano se sastoji u tome da se ovi poslovi vre na vie mesta, najee po regionalnim centrima. Meovito sreivanje sastoji se u tome da se do odreene faze poslovi obave u raznim regionalnim centrima a zatim se sve prikuplja u jedan centar da bi se zavrili svi ostali poslovi do konanog sreivanja.

U tehnikom pogledu poslovi sreivanja mogu da budu izvedeni runo koji predstavlja primitivan nain sreivanja gde nema sredstava i opreme. To je spor nain i ne daje mogunosti za sloenije analize. Mainsko sreivanje predstavlja savremen i brz nain obavljanja poslova sreivanja. Takvim sreivanjem obezbeena je maksimalno mogua tanost i svedeno na minimum pravljenja greaka. Uvoenje savremenih raunara omoguilo je da se znaajno skrati vreme obrade statistikih podataka a time i istraivanje u celini. Tanost u radu i brzo dobijanje rezultata imaju za statistiku poseban znaaj.

2.4. STATISTIKE SERIJE

Kao rezultat sreivanja statistikog materijala dobijamo statistike serije. Statistika serija predstavlja niz brojanih podataka o jednom ili vie obeleja neke pojave. Statistike serije su brojani pokazatelji kako kvantitativnih tako valitativnih varijacija obeleja kod masovnih pojava. Statisiku seriju ine dve kolone. U prvoj je dato obeleje po kojem je izvreno grupisanje ( atributivno ili numeriko obeleje, mesto ili vreme). Druga kolona pokazuje broj jedinica pojedinih grupa u seriji.

Zavisno od broja obeleja postoje proste i sloene serije. Proste serije su one kod kojih se iskazuju podaci samo po jednom obeleju ili karakteristici posmatrane pojave. Sloene serije su one kod kojih se izraavaju podaci o vie obeleja posmatrane pojave.

Prema vrsti obeleja kako su ureene i zavisno od toga ta pokazuju dele se na:

serije strukture

vremenske (hronoloke) serije

geografske serije

Serije strukture pokazuju raspored statistikih jedinica prema modalitetima ili prema vrednostima obeleja. Sastoji se iz dva reda obavetenja. U jednom su modaliteti a u drugom broj jedinica, odnosno frekvencije koje pokazuju koliko se puta pojedini modaliteti javljaju unutar posmatranog statistikog skupa. Tip obeleja ini seriju strukture sa numerikim obelejem. Atributivna obeleja se iskazuju opisno i za njihovo grupisanje potrebno je imati jasnu emu klasifikacije. Serije strukture po numerikim obelejima nastaju grupisanjem jedinica po vrednostima numerikog obeleja.

Vremenske (hronoloke) serije su nizovi statistikih podataka koje pokazuju varijacije posmatranih pojava tokom vremena. Prema prirodi podataka koje sadre, dele se na momentne i intervale. Momentne serije pokazuju nivo ili koliinu pojave u tano odreenim uzastopnim momentima vremena. Predstavljaju nizove razliitih stanja. Zbog toga njihove podatke nema smisla sabirati. Intervalne vremenske serije pokazuju stanje pojave u nizu uzastopnih vremenskih intervala. To su najee kalendarski vremenski intervali. Njihovi grupisani podaci mogu se sabirati. Statistiki podaci dobijeni na ovaj nain omoguavaju dinamiku analizu pojave.

Geografske serije pokazuju prostorni (teritorijalni) raspored pojave.Dele se na serije koje pokazuju rasprostranjenost pojave na nacionalnoj teritoriji i na serije koje pokazuju rasprostranjenost pojave u veem broju zemalja,to znai mogu biti nacionalne i meunarodne.

Ako je numeriko obeleje prekidno vrednosti obeleja grupiu se po veliini od nie vrednosti ka vioj. Vrednosti neprekidnog obeleja grupiu se u intervale i tako se dobijau intervalne serije distribucije frekvencije. Broj intervala i irina intervala odreuju se Stuges-ovim pravilom pomou formule:

K= 1+3,3logN

i= Xmax-Xmin / K

K- broj intervala

N- broj statististikih jedinica

i- irina (veliina) intervala

Xmax - najvea vrednost obeleja

Xmin - najmanja vrednost obeleja

Pri formiranju grupnih intervala preporuljivo je poeti sa vrednou manjom od najmanje u seriji a zavriti sa veom od najvee vrednosti u seriji. Interval se sastoji iz donje granice i gornje granice intervala. Radi matematike obrade ovakvih serija interval se zamenjuje jednom brojkom koja predstavlja razrednu sredinu (sabere se donja i gornja granica intervala i podeli sa dva).

Vana veliina je i relativna frekvencija koja se dobija kada se frkvencija vrednosti obeleja (i) stavi u odnos prema ukupnom broju jedinica tog skupa (i) i poto se izraava u procentima pomnoi se brojem 100.

Pored pomenutih frekvencija upotrebljavaju se i kumulativne frekvencije. Kumuliranje je sabiranje - pridruivanje frekvencija. Tako se dobija rastua kumulativna frekvencija, pridruivanjem frekvencija prethodnih intervala redom do poslednjeg intervala. Obrnutim redom oduzimanjem frekvencija prethodnih intervala od zbirne frekvencije dobija se opadajua kumulativna frekvencija.

PRIMER: Na jednom ispitu 40 studenata dobilo je sledei broj bodova:

30

13

21

9

19

17

15

23

20

23

24

19

11

15

22

16

17

29

18

19

23

21

19

24

18

17

25

18

26

27

13

26

11

30

20

16

10

23

20

19

a) Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serije

b) Izraunati rastuu i opadajuu kumulantu

c) Izraunati relativnu frekvenciju u procentima i kumulativnu frekvenciju u procentima

REENJE:

a) Broj intervala: irina intervala

K=1 + 3,3logN i= Xmax - Xmin/K

N= 40 Xmax= 30

K=1+ 3,3log40 Xmin= 9

K=1+3,3log1,60205 K= 6

K= 6,286

5

,

3

6

9

30

=

-

=

i

K 6 i4

TABELA 1. Raspored studenata po broju bodova

grupni intervali(Xi)

frekvencija()

razredna sredina

rastua kumulanta

Opadajua kumulanta

relativna frekvencija%

kumulativna frekvencija%

9 - 12

4

10,5

4

40

10

10

13 - 16

6

14,5

10

36

15

25

17 - 20

14

18,5

24

30

35

60

21 - 24

9

22,5

33

16

22,5

82,5

25 - 28

4

26,5

37

7

10

92,5

29 - 32

3

30,5

40

3

7,5

100

/

i=40

/

/

/

100

/

Razredna sredina:

5

,

10

2

12

9

=

+

;

5

,

14

2

16

13

=

+

itd.

b)rastua kumulanta: 4; 4+6; 10+14; 24+9 itd.

c)relativna frekvencija u procentima =

100

n

a

frekvencij

Za prvi interval

100

40

4

=10%

Za drugi interval

%

15

100

40

6

=

Kumulativna frekvencija u % =

100

n

a

frekvencij

a

kumulativn

Za prvi interval:

%

10

100

40

4

=

Za drugi interval:

%

25

100

40

10

=

2.5. STATISTIKE TABELE

Statistike tabele omoguavaju pregledno i racionalno prikazivanje statistikih podataka dobijenih posmatranjem ili eksperimentom. Tabeliranje predstavlja jednu od etapa istraivanja ime zapoinje analiza podataka i rezultata.U tehnikom smislu statistika tabela predstavlja sistem izukrtenih horizontalnih i vertikalnih linja. Tako se dobijaju redovi izmeu horizontalnih i kolone izmeu vertikalnih linija. Statistika tabela ima jo i sledee elemente: zaglavlje koje u opisnom obliku (tekstom) objanjava brojeve (podatke) koji se unose; pretkolonu koja tekstom opisuje brojeve (podatke) koji se unose u redove; zbirni red sadri zbirove svake pojedine kolone a zbirna kolona sadi pojedinane zbirove svakog reda iz tabele. Svaka tabela ima tekstualni i numeriki deo.

Investicije u proizvodnim delatnostima u 2000. godini u Srbiji u milionima

Tehnika namena

Domaa oprema

Uvozna oprema

Ukupno

Maine i ureaji

6759

7630

14389

Transportna sredstva

3210

1420

4630

Ostala oprema

3120

830

3950

Izvod: SB- 926 , str. 24.

Statistika tabela mora da bude razumljiva, pregledna i jedinstvena. Modaliteti obeleja ne smeju se skraivati ni u predkoloni ni u zaglavlju a jedinstvenost tabele se obezbeuje u ustaljenim oznakama. Preglednost se obezbeuje tako to se izbegavaju obilne tabele.

Statistike tabele, zavisno od broja obeleja dele se na: proste tabele; sloene tabele; kombinovane tabele.

Proste statistike tabele prikazuju jednu statistiku seriju ( seriju strukture, vremensku ili geografsku seriju).

Sloene statistike tabele sadre vie prostih tabela. Podaci su razvrstani prema istom obeleju po odreenim kriterijumima. Imaju vie redova i kolona koje su u sadrinskoj vezi.

Kombinovane statistike tabele daju prikaz statistikih podataka sreenih prema dva ili vie obeleja. Oba obeleja u kombinovanoj tabeli mogu da budu numerika, oba atributivna, jedno moe da bude atributivno a drugo numeriko. Razlikuju se od ostalih po svojoj formi, Zbog zbirnog reda i zbirne kolone.

Stanovnitvo Srbije staro 10 godina i vie godina po pismenosti i polu po poisu 1991 godine.

Pismenost

Pol

Ukupno

Muki

enski

Pismeni

4,6

3,9

8,5

Nepismeni

0,5

0,7

1,2

Ukupno

5,1

4,6

9,7

Izvor SGS- 2000, str 91.

Zavisno od namene tabele se dele na obradne i publikacione.

Obradne tabele slue za obradu statistikih podataka. Slue kao statistika obradna dokumentacija. Slue za kontrolu podataka i izvor su detaljnih informacija.

Publikacione tabele slue za izuavanje pojava i za njihovu analizu.Namenjene su irokom krugu korisnika.

2.6. GRAFIKO PRIKAZIVANJE STATISTIKIH PODATAKA

Grafikim prikazivanjem statistikih podataka uoavaju se osnovne karakteristike posmatrane pojave. Grafiko prikazivanje mora da bude jasno, jednostavno i pregledno i pritom da odgovara brojanim podacima upisanim u tabeli i da im bude proporcionalno.

S obzirom na raznovrsnost masovnih pojava koje mogu biti obuhvaene statistikim istrivanjima postoji vie vrsta statistikih grafikona. Osim sadraja (pojave koju prikazuje) svaki grafikon mora da ima i sastavne elemente koji objanjavaju sve ono to je potebno za njegovo potpuno razumevanje a to su:

- naslov koji treba ukratko da oznaava predmet grafikona, ta se njime prikazuje (oznaka predmeta);

- teritoriju, ili mesto na kome se nalazi pojava koja se prikazuje(oznaka mesta);

- vreme na koje se odnose prikazani podaci (oznaka vremena);

- legenda kojom se objanjavaju simboli koji su upotrbljeni u grafikonu;

- oznaka jedinice mere u kojoj su izraeni podaci ili rezultati.

Podela statistikih grafikona prema elementima koje sadre je na: dijagrame, kartograme i piktograme.

Dijagrami, ovi statistiki grafikonu konstruiu se uz pomo geometrijskih pojmova (taka, linija, slike i likovi iz planimetrije, tela iz sterometrije). Prema grupama ovih geometrijskih pojmova koji se koriste za izradu grafikona, dijagrame delimo na:

takaste (stigmogrami); linijski (poligoni); povrinski (histogrami) i prostorni (stereogrami).

Kartogrami su grafikoni na geografskim kartama i prikazuju geografske serije. Na slikovit in ilustruju statistike podatke.

Piktogrami ( sama re potie od latinske rei pictur to znai slika ili crte) na popularan i slikovit nain prikazuju pojave. Slike ili figure su srzmerne veliini pojave koja se prikazuje. Oni dobro informiu o obimu, strukturi i promeni posmatranih pojava ali nisu dovoljno precizni.

LINIJSKI DIJAGRAMI

Linijskim dijagramima mogue je prikazivati sve statistike serije. Koriste se kod serije podataka koji prate pojavu u vremenu, pa se nazivaju hronogramima. Na jednom dijagramu mogue prikazati dve ili vie vremenskih serija. za konstrukciju linijskih dijagrama uglavnom se koristi Dekartov pravougli i polarni koordinatni sistem, i to njegov prvi kvadrant jer pojave koje se prikazuju grafiki su po pravilu pozitivne.

PRIMER: Prikazati na osnovu tabele 1. linijskim dijagramom frekvenciju, rastuu i opadajuu kumulantu.

Prikaz frekvencije na bazi tabele br.1

0

2

4

6

8

10

12

14

9121620242832

klase

frekvencija

Prikaz rastue kumulante (tabela 1.)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

9121620242832

klase

frekvencija

Prikaz opadajue kumulante (tabela 1.)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

91216202428

klase

frekvencija

Linijski dijagram sa aritmetikom skalom na ordinati zove se aritmetiki dijagram, a linijski dijagram sa logaritamskom skalom na ordinati zove se polulogaritamski dijagram najee se koristi, omoguava prikazivanje vie vremenskih serija iji su podaci dati u razliitim jedinicama mere. Pogodna je za praenje i za uporeivanje vremenskih serija.

PRIMER: Godinja proizvodnja u jednoj fabrici u 3 pogona u periodu od 1995. do 2002. bila je:

Godinja prozvodnja u pogonima A, B i C u periodu 1995 2002.

Godine

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

A

680

720

780

810

920

860

790

840

B

1400

1350

1210

1280

1410

1520

1580

1650

C

2100

2300

2280

2400

2350

2510

2450

2200

Date podatke prikazati pomou polulogaritamskog dijagrama.

Radna tabela

Godina

Pogon A

Y1

Pogon B

Y2

Pogon C

Y3

log Y1

log Y2

log Y3

1995

680

1400

2100

2,83251

3,14612

3,32221

1996

720

1350

2300

2,85733

3,13033

3,36173

1997

780

1210

2280

2,89209

3,08278

3,35793

1998

810

1280

2400

2,90848

3,10721

3,38021

1999

920

1410

2350

2,96378

3,14922

3,37106

2000

860

1520

2510

2,93449

3,18184

3,39967

2001

790

1580

2450

2,89762

3,19865

3,38916

20002

840

1650

2200

2,92427

3,21748

3,34242

Grafiki prikaz proizvodnje u pogonima A,B i C za period od 1995

do 2002 god.

2.50

2.60

2.70

2.80

2.90

3.00

3.10

3.20

3.30

3.40

3.50

19951996199719981999200020012002

pogon A

pogon B

pogon C

POVRINSKI DIJAGRAMI

Dve ili vie pojava koje se prate mogu se prikazati pomou pravougaonika (histograma), kvadrata, krugova, itd. Kod pravougaonika za osnovicu se uzima jedinina vrednost a povrina pravougaonika odreena je samo njegovom visinom. irina stubaca kao i rastojanje izmeu njih odreuje se proizvoljno ali u jednom grafikonu moraju biti jednaki. Za prikazivanje veliine ili nivoa pojave po modalitatima ili po nivoima jednog obeleja koriste se jednostavni stubii.

Ako se na X- osu nanesu vrednosti obeleja, onda se dobija niz spojenih pravougaonika, tzv. histogram frkvencija. Histogram je grafiki prikaz distribucije frekvencija. On omoguava uporeivanje frekvencija pojedinih delova statistikog skupa. Povrina pojedinanog prvougaonika je proporcionalna frkvenciji odgovarajueg grupnog intervala, a ukupna povrina svih pravougaonika histograma daje ukupnu frekvenciju.

PRIMER: Mesena potronja mesa u kg. po domainstvima u jednom regionu bila je:

Raspored domainstava prema msenoj potronji mesa

Potronja mesa (kg) Xi

2 - 5

5 - 8

8 - 11

11 - 14

14 - 17

17 - 20

Broj domainstava i

3

4

10

6

4

2

Nacrtati histogram frekvencija i poligon frekvencija:

Histogram frekvencija

0

2

4

6

8

10

12

Poligon frekvencija

0

2

4

6

8

10

12

1

U povrinske dijagrame spadaju i kvadrati. Povrina kvadrata (P=a2) predstavlja obim posmatrane pojave. Za grafiko prikazivanje potrebno je da odredimo stranicu a kvadrata i jedinica mere (mm,cm,itd.) mora biti ista za sve kvadrate, jer se uporeivanje dve ili vie pojava.

PRIMER: U etiri preduzea broj zaposlenih bio je 576, 729, 324, i 400. Prikazati grafiki (kvadartima) i pravougaonicima sa procentualnom razmerom.

Broj zaposlenih u 4 preduzea

Preduzee

I

II

III

IV

Zaposleni

576

729

324

400

Stranice kvadrata izraunavaju se po obrascu:

P

a

=

576

1

=

a

a1=24

729

2

=

a

a2=27

324

3

=

a

a3=18

400

4

=

a

a4=20

a1=24 a2=27 a3=18 a4=20

Procentualna razmera:

I preduzee 576/2029100% = 28,39%

II preduzee 729/2029100% = 35,92%

III preduzee 324/2029100% = 15,97%

IV prduzee 400/2029100% =19,72%

28.39%35.97%15.97%19.72%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

0

KRUNI DIJAGRAMI

Povrinski dijagrami, krugovi predstavljaju nain grafikog prikazivanja u kome pomou krugova vrimo uporeivanje dveju ili vie statistikih masovnih pojava. U praksi se najvie koriste krugovi strukture. Oni slue da prikaemo strukturu neke pojave po satavnim elementima.

Ako elimo da u jednom krugu prikaemo strukturu neke pojave, onda obim kruga predstavlja celu posmatranu pojavu, tj. 100% veliine pojave.Svaki od tih procenata odgovara delu obima krune frekvencije od 3,6 stepeni, jer je ukupan obim kruga jednak 360 stepeni.

PRIMER: Raspored radnika u jednom preduzeu prema kolskoj spremi bio je. U strukturi kruga prikazati raspored radnika na bazi date tabele.

kolska sprema (X)

Visoka

Via

Srednja

Nia

Ukupno

Broj zaposlenih f

25

52

105

110

292

REENJE: Date frekvencije iskazati u procentima. Za to se koristi obrazac:

%

100

%

=

n

f

Visoka sprema

292

25

100% =8,56%

Via sprema

292

52

100% = 17,81%

Srednja sprema

292

105

100% = 35,96%

Nia sprema

292

110

100% =37,67%

Ukupno =100%

Date frekvencije iskazati u stepene. Koristi se obrazac:

Stepen=

n

f

360

Visoka sprema

292

25

360 =31

Via sprema

292

52

360 = 64

Srednja sprema

292

105

360= 129

Nia sprema

292

110

360= 136

kolska sprema u strukturi kruga

35.96%

17.81%

8.56%

37.67%

3. OBRADA I ANALIZA PODATAKA I REZULTATA

Dinamiku analizu pojave predstavlja ispitivanje promena u jednom skupu tokom vremena. Istraivanje statistikog skupa polazi od pojedinanih vrednosti obeleja a zakljuci o celom skupu ne mogu se izvoditi izolovanim posmatranjem tih podataka. Zato se serija podataka zamenjuje malim brojem novih veliina. Te veliine treba da to bolje informiu o posmatranom skupu i prue najvanije informacije o rasporedu vrednosti posmatranog obeleja skupa.

Da bi se dobili to precizniji podaci o statistikim serijama koristi se:

srednje vrednosti ili mere centralne tendencije

mere vrijacije ili disperzije

mere asimetrije i spljotenosti

Ovi parametri informiu o vrijaciji, lokaciji i drugim karakteristikam posmatrane statistike serije. U zavisnosti od toga da li je predmet posmatranja uzorak ili statistiki skup dobijaju se parametri uzorka ili parametri skupa.

MERE CENTRALNE TENDENCIJE

Mere centralne tendencije ili srednje vrednosti daju informacije o tome kako su rasporeene vrednosti obeleja posmatranog skupa. Kako nose zajednike karakteristike svih vrednosti statistikog skupa zovu se reprezentativne.

Srednje vrednosti se dele na dve osnovne grupe:

izraunate srednje vrednosti

pozicione srednje vrednosti

Izraunate srednje vrednosti se raunskim putem dobijaju iz podataka serije. U izraunate srednje vrednosti spadaju:

aritmetika sredina

harmonijska sredina

geometrijska sredina

Pozicione srednje vrednosti se odreuju pozicijom koju zauzimaju u datoj seriji podataka. U pozicione srednje vrednosti spadaju:

modus ili mod

medijana

Srednje vrednosti nalazi primenu u svim oblastima statistike analize.

3.1.1. ARITMETIKA SREDINA (

X

)

Aritmetika sredina se najee javlja u primeni. Neophodan uslovza pravilnu primenu aritmetike sredine jeste da podaci u seriji pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za odreivanje ta homogenosti zavisi od prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo sutinu i smisao rezultata kojeg elimo da dobijemo. Aritmetika sredina ima dva osnovna naina izraunavanja.

Prvi nain odnosi se na izraunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se svaki podatak javlja samo po jedanput.

Drugi nain izraunava aritmetike sredine primenjuje se kod sreenih serija (serije distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci( modaliteti) javljaju u nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veliina frekvencije svakog modaliteta. Svaki modalitet se ponderie, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetika sredina naziva ponderisana(vagana) aritmetika sredina.

PROSTA ARITMETIKA SREDINA

Prosta aritmetika sredina (

X

) dobija dobija se kada se saberu sve vrednosti lanova jedne serije pa taj zbir podeli brojem lanova e serije.

Ako imamo neku seriju ije su vrednosti lanova te serije oznaeni sa: x1, x2 , x3, x4, ........... xi

prosta aritmetika sredina (

X

)bie jednaka:

X

=

n

x

x

x

x

x

i

+

+

+

+

+

......

4

3

2

1

ili

X

=

n

x

n

i

i

=

1

Izraena je u istim mernim jedinicama kao i podaci iji je prezent.

PRIMER: U toku jedne nedelje dnevni ulozi na tednju (u hiljadama) u jednoj banci bili su:

Dani

Ulozi u hiljadama

Ponedeljak

15 X1

Utorak

10 X2

Sreda

14 X3

etvrtak

11 X4

Petak

18 X5

Subota

9 X6

Koliki je bio proseni ulog u toj nedelji?

X

=

6

6

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

+

+

+

+

+

X

=

6

77

6

9

18

11

14

10

15

=

+

+

+

+

+

X

= 12,83

Prosean ulog u posmatranoj nedelji bio je 12,83 (hiljada)

PONDERISANA ARITMETIKA SREDINA

Aritmetika sredina grupisanih podataka dobija se tako to se vrednosti obeleja prvo pomnoe odgovarajuom frekvencijom (x1f1, x2f2, x3f3,...xifi) zatim se dobijeni proizvodi saberu i podele zbirom frkvencija (f1,f2,f3,...fi). Mnoenjem pojedinane vrednosti obeleja sa odgovarajuom frekvencijom zove se ponderisanje vrednosti. Ponder je znaaj ili vanost to znai vea frekvencija, vei znaaj jai uticaj na aritmetiku sredinu. Vanost se ne menja ako se ponderi proporcionalno poveavaju ili menjaju. Algebarski uzraz za aritmetiku sredinu glasi:

X

=

i

i

i

f

f

f

f

f

x

f

x

f

x

f

x

......

......

3

2

1

3

3

2

2

1

1

+

+

+

+

+

+

ili

X

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

f

f

x

1

1

Aritmetika sredina je osetljiva na ekstremne vrednosti a veoma je upotrebljiva ako se pojava ponaa linearno.

Najvanije osobine aritmetike sredine su:

1. Zbir odstupanja pojedinanih obeleja od aritmetike sredine jednak je nuli.(od svake individualne vrednosti obeleja oduzima se vrednost aritmetike sredine).

Za negrupisane podatke: ( xi-

X

)=0

Za grupisane podatke: fi( xi-

X

)=0

2. Aritmetika sredina se uvek nalazi izmeu najmanje i najvee vrednosti obeleja.

Xmin