KVANTITATIVNE METODE (STATISTIKA) SKRIPTA - Seminarski, Diplomski, Maturski Radovi, Ppt

Statistika Kvantitativne metode

KVANTITATIVNE METODE

STATISTIKA

Prof.dr

Beograd, 2004

Prof. dr Mirjana Šekarić

1


S A D R Ž A J

1. Statističko istraživanjePojam i predmet statistikeStatističke zakonitostiStatističke ocene

2. Statističko snimanje i prikazivanje rezultataStatistički skupMetodi prikupljanja podatakaSređivanje i obrada podatakaStatističke serijeStatističke tabeleGrafičko prikazivanje statističkih podataka

3. Obrada i analiza podataka i rezultataMere centralne tendencijeAritmetička sredinaHarmnonijska sredinaGeometrijska sredinaModusMedijanaMere varijabilitetaRazmak varijacijeKvartilna devijacijaVarijansa i standardna devijacijaSrednja devijacijaMere asimetrije i spljoštenostiKoeficijent asimetrijeKoeficijent spljoštenosti

4. Indeksni brojeviVremenske serije i njihova uporedivostIndividualni indeksAgregatni (grupni) indeksObuhvatnost i primena indeksnih brojeva

5. Analiza vremenskih serijaTrend komponentaLinearni trendParabolički (kvadratni) trendEksponencijalni trend


2


Standrdna greška kod trenda

6. Regresiona analizaRegresija-pojam i značenjeLinearna regresijaStandardna greška regresijeKorelacija-pojam i značenjeKoeficijent korelacije


3


1. STATISTIČKO ISTRAŽIVANJE

POJAM I PREDMET STATISTIKE

Naziv statistika potiče od latinske reči Status, što znači stanje i italijanskog termina Regione di stato, što znači država, državni interes. Uzmemo li bilo koji od ovih etimoloških izvora u nastanku reči statistika, vidimo da je država kao celina bila područje nastanka i formiranja statistike kao društvene discipline, odnosno da je to bio jedan vid određene prostorne definisanosti predmeta statistike.

Predmet proučavanja statistike su varijabilni (promenljive) pojave koje se ispoljavaju u masi slučajeva i zovu se masovne pojave. Varijabilitet je univerzalana karakteristika prirodnih i društvenih zbivanja. Svaka pojava nastaje pod uticajem nekih faktora, pa ponašanje pojave zavisi od prirode, broja i načina kombinovanja tih faktora. Pošto su faktori koji deluju na pojavu varijabilni, to će i pojava pokazivati manje ili više izražen varijabilitet.

Elementarne pojave pokazuju najmanji varijabilitet individualnih slučajeva i rezultat su delovanja malog broja faktora. Odnos između ovih pojava i faktora međusobno uslovljenih ponavljaju se na približno isti način u svim konkretnim slučajevima. Kod takvih pojava primenjuje se metod pojedinačnog posmatranja, ispituje se jedan ili nekoliko slučajeva. Kod pojava koje ispoljavaju veću varijabilnost (društveno-ekonomske pojave) tek posmatranjem većeg broja slučajeva dolazio se do određenih zakonitosti u njihovom ponašanju.

Zato statistika istaržuje masovne pojave a to istraživanje ima kvantitativni karakter. Pod statistikom se danas podrazumeva, deskriptivna statistika, statistička analiza i statistička teorija.

Deskriptivna statistika prikuplja, obrađuje i povezuje podatke.Statistička analiza omogućuje pribavljanje numeričkih informacija,

njihovu kvalitativnu interpretaciju, donošenje zaključaka i formiranje zakonitosti ponašanja posmatranih pojava.

Statistička teorija iznalazi statističe metode, objašnjava ih, dokazuje i usavršava.


4


STATISTIČKE ZAKONITOSTI

Masovno posmatranje ponašanja pojava uz odgovarajuću primenu statističke metodologije omogućava nam da uočimo opšte karakteristike varijabilnih pojava i otkrijemo pravilnosti u tendencijama ovakvih pojava. Pravilnosti koje uočvamo nazivaju se statističkim zakonitostima ili masovnim zakoitostima. Ona se ispoljavaju na velikom broju slučajeva jer te pravilnosti važe samo u masi.

Ponašanje masovnih pojava u većem skupu pokazuje izvesnu pravilnost, a na malom broju slučajeva ta pravilnost se ne ne ispoljava. Statistika istražuje te pravilnosti i varijacije, i pritom polazi od velikog broja slučajeva koje posmatra, a rezultate grupiše, opisuje, upoređuje i analizira.

Statistika se bitno razlikuje od evidencije bilo u preduzeću ili privredi. Pojam statistike je znatno širi. Zadatak evidencije jeste da registruje i prati svaku pojedinu jedinicu i njena individualna svojstva. Evidencija ima za cilj da obuhvati sve pojedinačne slučajeve da bi u svakom momentu mogla da pruži odgovarajuća obaveštenja o pojedinačnim individualnim slučajevima.

Statistika ima za zadatak da uoči ono što je zajedničko, karakteristično za sve slučajeve posmatranja a pojedinačna svojstva sluze statistici samo kao polazna osnova za dalji rad, prema tome statistiku interesuju karakteristike skupova. Statistika i evidencija stoje u tesnoj međusobnoj vezi. Evidencija predstavlja osnovni izvor statističkih podataka o velikom broju poslovnih događaja i ekonomskih pojava. Statističko istraživanje se ne svodi na otkrivanje karakteristike skupa već je zadatak statistike merenje i analiza odstupanja individualnih karakteristika elemenata skupa od utvrđenih zajedničkih karakteristika – istarživanje njihovih varijabiliteta posmatranog skupa.

Po njihovoj prirodi statistika je induktivni metod. Polazi od izvesnih hipoteza a zaključke donosi na osnovu iskustava, događaja, činjenica i statističkih eksperimenata. Dobijene rezultate podvrgava matematičkoj obradi u cilju pribavljanja novih informacija.

STATISTIČKE OCENE

Teorija verovatnoće omogućava statistici istraživanje karakteristike skupova na bazi objektivnih kvatitativnih ocena, koje se donose na osnovu posmatranja samo nekih odabranih slučajeva. Tako se obezbeđuje nepristrasnost izbora sa jedne i reprezentativnost odabranih slučajeva sa druge strane. Posmatraju se i istražuju slučajevi na kojima se osobine posmatrane pojave ispoljavaju približno isto kao i na celom skupu.


5


Rezultati koji se dobijau posmatrnjem odabranih reprezentativnih slučajeva nazivaju se statističkim uzorcima. Oni omogućuju objektivnu ocenu osnovnih karakteristika skupova, ocenu stepena njihovog varijabiliteta, kao i ocenu pouzdanosti zaključaka do kojih dolazimo. Procesi koji nisu ni sasvim slučajni ni strogo determinisani nazivaju se stohastičkim procesima. Ovi procesi ne odvijaju se po nekom određenom nepromenljivom zakonu. Na njih u velikoj meri utiču brojni faktori i njihove raznovrsne kombinacije i ne dešavaju se haotično. Primenom odgovarajućih kvantitativnih metoda mogu se, uz određeni rizik, vršiti izvesna predviđanja njihove dinamike. Statistička teorija eksperimenata omogućuje izvođenje eksperimenata na jako varijabilnim pojavama u cilju otkrivanja statističkih zakonitosti. Statistički eksperiment ne zahteva konstantnost ni jednog faktora, niti podudarnost uslova pri ponavljanju opita. Naprotiv, potrbno je da svi faktori što je moguće više variraju. Analizom tog varijabiliteta statistika proverava hipoteze o uzročnim vezama i zakonitostima i otkriva pravilnosti u ponašanju masovnih pojava. Statistički eksperiment pokazuje srednji odgovor, srednju reakciju skupa na dati eksperimentalni postupak.


6


2. STATISTIČKO SNIMANJE I PRIKAZIVANJE REZULTATA

2.1. STATISTIČKI SKUP

Statistički skup, osnovni skup ili populacija je skup svih elemenata na kojima se izvesna pojava statistički posmatra. Statistički skup treba da ima osobinu da je relativno homogen, diferenciran i celovit.

Statistički skup je relativno homogen kada su jedinice koje on obuhvata slične odnosno kad imaju bar jedno zajedničko svojstvo. Skup je homogeniji ukoliko imaju bar jedno zajedničko svojstvo. Skup je homogeniji ukoliko imaju više zajedničkih osobina. Na primer: nezaposleni na nekom području razlikuju se po mnogim osobinama ali imaju zajedničku osobinu da su nezaposleni.

Statistički skup je diferenciran kada su jedinice na kojima se vrši posmatranje istovrsne ali ne i istovetne. Svrha statističkog posmatranja je


7

http://www.faceyubook.com/

http://www.ponude.biz/kladionica


ispitivanje diferenciranosti skupa u pogledu nekih osobina i njihovo kvantitativno određivanje.

Statistički skup je celovit ako obuhvata sve individualne slučajeve posmatrane pojave u vremenu i prostoru.

Da bi se statistički skup mogao proučavati on se mora definisati prostorno, vremenski i pojmovno.

Prostorno odrediti statistički skup znači odrediti prostor – teritoriju na koji se odnose ili kojem pripadaju statističke jedinice.

Vremenski odrediti skup znači odrediti momenat ili razdoblje vremena u kojem će se obuhvatiti sve jedinice koje ulaze u statistički skup. Kako će se vremenski odrediti skup zavisiće od prirode pojave koju ispitujemo, od jedinice skupa i njihovih karakteristika.

Sadržinsko – suštinsko određenje statističkog skupa iziskuje određivanje osobine koje mora da ima svaka jedinica da bi bila uključena u skup.

Pojedinačni element ili jedinica na kome se vrši statističko posmatranje predstavlja statističku jedinicu, a ona je osnovni nosilac karakteristika tog skupa.

Osobine po kojima se statističke jedinice međusobno razlikuju ili ne, nazivaju se statističkim obeležjima.Različiti vidovi u kojima se obeležje može javiti nazivaju se modalitetima tog obeležja.

Sa aspekta obrade podataka obeležja mogu biti numerička i atibutivna.

Numerička obeležja brojčano izražavaju kvantitativne razlike jedinica posmatranja a do njih se dolazi merenjem ili prebrojavanjem (godine starosti, težina, visina...).

Atributivna obeležja opisno izražavaju kvalitativne razlike jedinica posmatranja (pol, zanimaje..) i imaju određene modalitete ( Pol ima dva modaliteta: muško i žensko). Ovi modaliteti ne odražavaju intezitet obeležja već samo njene različite oblike pojavljivanja.

Numerička obeležja mgu biti neprekidna ili kontinuirana i prekidna ili diskontinuirana.

Neprekidna obeležja imaju ma koju vrednost unutar jednog intervala (visina, težina...). Do vrednosti ovih obeležja dolazi se merenjem.

Prekidna obeležja najčešće uzimaju cele brojeve (broj dece, broj zaposlenih...) iz mogućeg skupa vrednosti. Do ovih numeričkih vrednosti dolazi se prebrojavanjem.

2.2. METODI PRIKUPLJANJA PODATAKA

Za svaku statističku akciju potrebno je izabrati najefikasniji metod posmatranja (prikuplljanja podataka). Pojava koja se posmatra može se


8


obuhvatiti na svim jedinicama statističkog skupa to je potpuno posmatranje ili samo jednom njegovom delu – delimično posmatranje. Postoje dva osnovna metoda potpunog statističkog posmatranja i to: statistički popis i izveštajni metod.

Statistički popis obuhvata sve jedinice posmatranja jednog statističkog skupa u određenom momentu (“kritički momenat”). Tako se dobija potpun uvid u stanje i strukturu skupa po raznim obeležjima. Ovakav oblik statističkog posmatranja je veoma skup, pa se organizuje u dužim vremenskim intervalima (popis stanovništva obavlja se svake pete ili desete godine, a kritični momenat je 31. mart).

Izveštajni metod prati kontinuirano događaje čiji je varijabilitet tokom vremena jače izražen. Sprovode ga lica ili institucije sistema radi svojih poslovnih potreba. Statističkim organima u određenim vremenskim intervalima šalju se redovno popunjeni statistički upitnici.

Statističkim izveštajem u sukcesivnim vremenskim momentima (stanje novca u blagajni u mesecu...) ili intervalima vremena (prirodno kretanje stanovništva...) vrši se posmatranje promena statističkog skupa.

Kada je nemoguće sprovesti potpuno posmatranje koristi se delimično posmatranje statističkog skupa. Ono se sprovodi na osnovu uzorka.

Statistički uzorak je reprezentativni deo osnovnog skupa na osnovu koga se donose zaključci o karakteristikama osnovnog skupa. Uzorak će biti reprezentativan ako je dovoljno veliki i ako je po svojoj strukturi sličan statističkom skupu.

Kvalitet prikupljenih podataka zavisi od specifikacije istraživanja, instrumenata istarživanja, uslova istraživanja kao i od stava i ponašanja davalaca podataka.

Neminovni pratilac statističkih istaživanja su i greške koje mogu biti slučajne i sistematske. Slučajne greške nemaju poseban uticaj na kvalitet podataka, dok sistematske uvek utiču na podatke.

2.3. SREĐIVANJE I OBRADA PODATAKA

Prikupljeni podaci, jednim od metoda, predstavljaju sirov materijal koji treba srediti i obraditi. Individualne podatke treba pretvoriti u brojčane informacije putem grupisanja jedinica po modalitetima posmatranih obeležja i njihovih zbrajanja u svakoj grupi.

Sređivanje predstavlja tehničko – metodološki deo poslova u kome se, prema šemi grupisanja i cilju istarživanja, prikupljeni statistički materijal svrstava u serije i tabele koje predstavljaju statistički način istraživanja. Zato serije i tabele moraju da budu precizno i jasno sastavljene, kako bi ono što je u njima sadržano bilo dovoljno vidljivo i podesno za analizu.


9


Prema mestu, sređivanje podataka može biti cenralizovano kada se sav prikupljeni statistički materijal šalje u jedan centar gde se sređivanje obavlja jedinstveno i u celosti. Decentralozovano se sastoji u tome da se ovi poslovi vrše na više mesta, najčešće po regionalnim centrima. Mešovito sređivanje sastoji se u tome da se do određene faze poslovi obave u raznim regionalnim centrima a zatim se sve prikuplja u jedan centar da bi se završili svi ostali poslovi do konačnog sređivanja.

U tehničkom pogledu poslovi sređivanja mogu da budu izvedeni ručno koji predstavlja primitivan način sređivanja gde nema sredstava i opreme. To je spor način i ne daje mogućnosti za složenije analize. Mašinsko sređivanje predstavlja savremen i brz način obavljanja poslova sređivanja. Takvim sređivanjem obezbeđena je maksimalno moguća tačnost i svedeno na minimum pravljenja grešaka. Uvođenje savremenih računara omogućilo je da se značajno skrati vreme obrade statističkih podataka a time i istraživanje u celini. Tačnost u radu i brzo dobijanje rezultata imaju za statistiku poseban značaj.

2.4. STATISTIČKE SERIJE

Kao rezultat sređivanja statističkog materijala dobijamo statističke serije. Statistička serija predstavlja niz brojčanih podataka o jednom ili više obeležja neke pojave. Statističke serije su brojčani pokazatelji kako kvantitativnih tako valitativnih varijacija obeležja kod masovnih pojava. Statisičku seriju čine dve kolone. U prvoj je dato obeležje po kojem je izvršeno grupisanje ( atributivno ili numeričko obeležje, mesto ili vreme). Druga kolona pokazuje broj jedinica pojedinih grupa u seriji.

Zavisno od broja obeležja postoje proste i složene serije. Proste serije su one kod kojih se iskazuju podaci samo po jednom obeležju ili karakteristici posmatrane pojave. Složene serije su one kod kojih se izražavaju podaci o više obeležja posmatrane pojave.

Prema vrsti obeležja kako su uređene i zavisno od toga šta pokazuju dele se na:

- serije strukture- vremenske (hronološke) serije - geografske serije

Serije strukture pokazuju raspored statističkih jedinica prema modalitetima ili prema vrednostima obeležja. Sastoji se iz dva reda obaveštenja. U jednom su modaliteti a u drugom broj jedinica, odnosno frekvencije koje pokazuju koliko se puta pojedini modaliteti javljaju unutar posmatranog statističkog skupa. Tip obeležja čini seriju strukture sa numeričkim obeležjem. Atributivna obeležja se iskazuju opisno i za njihovo grupisanje potrebno je imati jasnu šemu klasifikacije. Serije


10


strukture po numeričkim obeležjima nastaju grupisanjem jedinica po vrednostima numeričkog obeležja.

Vremenske (hronološke) serije su nizovi statističkih podataka koje pokazuju varijacije posmatranih pojava tokom vremena. Prema prirodi podataka koje sadrže, dele se na momentne i intervale. Momentne serije pokazuju nivo ili količinu pojave u tačno određenim uzastopnim momentima vremena. Predstavljaju nizove različitih stanja. Zbog toga njihove podatke nema smisla sabirati. Intervalne vremenske serije pokazuju stanje pojave u nizu uzastopnih vremenskih intervala. To su najčešće kalendarski vremenski intervali. Njihovi grupisani podaci mogu se sabirati. Statistički podaci dobijeni na ovaj način omogućavaju dinamičku analizu pojave.

Geografske serije pokazuju prostorni (teritorijalni) raspored pojave.Dele se na serije koje pokazuju rasprostranjenost pojave na nacionalnoj teritoriji i na serije koje pokazuju rasprostranjenost pojave u većem broju zemalja,što znači mogu biti nacionalne i međunarodne.

Ako je numeričko obeležje prekidno vrednosti obeležja grupišu se po veličini od niže vrednosti ka višoj. Vrednosti neprekidnog obeležja grupišu se u intervale i tako se dobijau intervalne serije distribucije frekvencije. Broj intervala i širina intervala određuju se Stuges-ovim pravilom pomoću formule:

K= 1+3,3logN i= Xmax-Xmin / K

K- broj intervalaN- broj statistističkih jedinicai- širina (veličina) intervalaXmax - najveća vrednost obeležjaXmin - najmanja vrednost obeležja

Pri formiranju grupnih intervala preporučljivo je početi sa vrednošću manjom od najmanje u seriji a završiti sa većom od najveće vrednosti u seriji. Interval se sastoji iz donje granice i gornje granice intervala. Radi matematičke obrade ovakvih serija interval se zamenjuje jednom brojkom koja predstavlja razrednu sredinu (sabere se donja i gornja granica intervala i podeli sa dva).

Važna veličina je i relativna frekvencija koja se dobija kada se frkvencija vrednosti obeležja (ƒi) stavi u odnos prema ukupnom broju jedinica tog skupa (Σƒi) i pošto se izražava u procentima pomnoži se brojem 100.

Pored pomenutih frekvencija upotrebljavaju se i kumulativne frekvencije. Kumuliranje je sabiranje - pridruživanje frekvencija. Tako se dobija rastuća kumulativna frekvencija, pridruživanjem frekvencija prethodnih intervala redom do poslednjeg intervala. Obrnutim redom


11


oduzimanjem frekvencija prethodnih intervala od zbirne frekvencije dobija se opadajuća kumulativna frekvencija.

PRIMER: Na jednom ispitu 40 studenata dobilo je sledeći broj bodova:30 13 21 9 19 17 15 23 20 2324 19 11 15 22 16 17 29 18 1923 21 19 24 18 17 25 18 26 2713 26 11 30 20 16 10 23 20 19

a) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serijeb) Izračunati rastuću i opadajuću kumulantuc) Izračunati relativnu frekvenciju u procentima i kumulativnu

frekvenciju u procentima

REŠENJE:a) Broj intervala: Širina intervala

K=1 + 3,3•logN i= Xmax - Xmin/KN= 40 Xmax= 30 K=1+ 3,3•log40 Xmin= 9K=1+3,3•log1,60205 K= 6

K= 6,286

K≈ 6 i≈4

TABELA 1. Raspored studenata po broju bodovagrupni intervali(Xi)

frekvencija(fi) razredna sredina

rastuća kumulanta

Opadajuća kumulanta

relativna frekvencija%

kumulativna frekvencija%

9 - 12 4 10,5 4 40 10 1013 - 16 6 14,5 10 36 15 2517 - 20 14 18,5 24 30 35 6021 - 24 9 22,5 33 16 22,5 82,525 - 28 4 26,5 37 7 10 92,529 - 32 3 30,5 40 3 7,5 100

/ ∑ ƒi=40 / / / 100 /

Razredna sredina: ; itd.

b)rastuća kumulanta: 4; 4+6; 10+14; 24+9 itd.

c)relativna frekvencija u procentima =

Za prvi interval =10%


12


Za drugi interval

Kumulativna frekvencija u % =

Za prvi interval:

Za drugi interval:

2.5. STATISTIČKE TABELE

Statističke tabele omogućavaju pregledno i racionalno prikazivanje statističkih podataka dobijenih posmatranjem ili eksperimentom. Tabeliranje predstavlja jednu od etapa istraživanja čime započinje analiza podataka i rezultata.U tehničkom smislu statistička tabela predstavlja sistem izukrštenih horizontalnih i vertikalnih linja. Tako se dobijaju redovi između horizontalnih i kolone između vertikalnih linija. Statistička tabela ima još i sledeće elemente: zaglavlje koje u opisnom obliku (tekstom) objašnjava brojeve (podatke) koji se unose; pretkolonu koja tekstom opisuje brojeve (podatke) koji se unose u redove; zbirni red sadrži zbirove svake pojedine kolone a zbirna kolona sadži pojedinačne zbirove svakog reda iz tabele. Svaka tabela ima tekstualni i numerički deo.Investicije u proizvodnim delatnostima u 2000. godini u Srbiji u milionimaTehnička namena Domaća oprema Uvozna oprema UkupnoMašine i uređaji 6759 7630 14389Transportna sredstva 3210 1420 4630Ostala oprema 3120 830 3950Izvod: SB- 926 , str. 24.

Statistička tabela mora da bude razumljiva, pregledna i jedinstvena. Modaliteti obeležja ne smeju se skraćivati ni u predkoloni ni u zaglavlju a jedinstvenost tabele se obezbeđuje u ustaljenim oznakama. Preglednost se obezbeđuje tako što se izbegavaju obilne tabele.

Statističke tabele, zavisno od broja obeležja dele se na: proste tabele; složene tabele; kombinovane tabele.


13



Proste statističke tabele prikazuju jednu statističku seriju ( seriju strukture, vremensku ili geografsku seriju).


14




http://www.ponude.biz/seminarski

http://www.jugoslovenke.com/


Složene statističke tabele sadrže više prostih tabela. Podaci su razvrstani prema istom obeležju po određenim kriterijumima. Imaju više redova i kolona koje su u sadržinskoj vezi.

Kombinovane statističke tabele daju prikaz statističkih podataka sređenih prema dva ili više obeležja. Oba obeležja u kombinovanoj tabeli mogu da budu numerička, oba atributivna, jedno može da bude atributivno a drugo numeričko. Razlikuju se od ostalih po svojoj formi, Zbog zbirnog reda i zbirne kolone.

Stanovništvo Srbije staro 10 godina i više godina po pismenosti i polu po poisu 1991 godine.

Pismenost Pol UkupnoMuški Ženski

Pismeni 4,6 3,9 8,5Nepismeni 0,5 0,7 1,2

Ukupno 5,1 4,6 9,7Izvor SGS- 2000, str 91.

Zavisno od namene tabele se dele na obradne i publikacione.Obradne tabele služe za obradu statističkih podataka. Služe kao

statistička obradna dokumentacija. Služe za kontrolu podataka i izvor su detaljnih informacija.

Publikacione tabele služe za izučavanje pojava i za njihovu analizu.Namenjene su širokom krugu korisnika.

2.6. GRAFIČKO PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH PODATAKA

Grafičkim prikazivanjem statističkih podataka uočavaju se osnovne karakteristike posmatrane pojave. Grafičko prikazivanje mora da bude jasno, jednostavno i pregledno i pritom da odgovara brojčanim podacima upisanim u tabeli i da im bude proporcionalno.

S obzirom na raznovrsnost masovnih pojava koje mogu biti obuhvaćene statističkim istrživanjima postoji više vrsta statističkih grafikona. Osim sadržaja (pojave koju prikazuje) svaki grafikon mora da ima i sastavne elemente koji objašnjavaju sve ono što je potebno za njegovo potpuno razumevanje a to su:- naslov koji treba ukratko da označava predmet grafikona, šta se njime prikazuje (oznaka predmeta);- teritoriju, ili mesto na kome se nalazi pojava koja se prikazuje(oznaka mesta);- vreme na koje se odnose prikazani podaci (oznaka vremena);- legenda kojom se objašnjavaju simboli koji su upotrbljeni u grafikonu;- oznaka jedinice mere u kojoj su izraženi podaci ili rezultati.


15


Podela statističkih grafikona prema elementima koje sadrže je na: dijagrame, kartograme i piktograme.

Dijagrami, ovi statistički grafikonu konstruišu se uz pomoć geometrijskih pojmova (tačka, linija, slike i likovi iz planimetrije, tela iz sterometrije). Prema grupama ovih geometrijskih pojmova koji se koriste za izradu grafikona, dijagrame delimo na:tačkaste (stigmogrami); linijski (poligoni); površinski (histogrami) i prostorni (stereogrami).

Kartogrami su grafikoni na geografskim kartama i prikazuju geografske serije. Na slikovit čin ilustruju statističke podatke.

Piktogrami ( sama reč potiče od latinske reči pictur što znači slika ili crtež) na popularan i slikovit način prikazuju pojave. Slike ili figure su srzmerne veličini pojave koja se prikazuje. Oni dobro informišu o obimu, strukturi i promeni posmatranih pojava ali nisu dovoljno precizni.

LINIJSKI DIJAGRAMI

Linijskim dijagramima moguće je prikazivati sve statističke serije. Koriste se kod serije podataka koji prate pojavu u vremenu, pa se nazivaju hronogramima. Na jednom dijagramu moguće prikazati dve ili više vremenskih serija. za konstrukciju linijskih dijagrama uglavnom se koristi Dekartov pravougli i polarni koordinatni sistem, i to njegov prvi kvadrant jer pojave koje se prikazuju grafički su po pravilu pozitivne.

PRIMER: Prikazati na osnovu tabele 1. linijskim dijagramom frekvenciju, rastuću i opadajuću kumulantu.

Prikaz frekvencije na bazi tabele br.1

0

2

4

6

8

10

12

14

9 12 16 20 24 28 32 klase

fre

kve

nc

ija


16


Prikaz rastuće kumulante (tabela 1.)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

9 12 16 20 24 28 32 klase

fre

kve

nci

ja

Prikaz opadajuće kumulante (tabela 1.)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

9 12 16 20 24 28 klase

fre

kve

nci

ja

Linijski dijagram sa aritmetičkom skalom na ordinati zove se aritmetički dijagram, a linijski dijagram sa logaritamskom skalom na ordinati zove se polulogaritamski dijagram najčešće se koristi, omogućava prikazivanje više vremenskih serija čiji su podaci dati u različitim jedinicama mere. Pogodna je za praćenje i za upoređivanje vremenskih serija.PRIMER: Godišnja proizvodnja u jednoj fabrici u 3 pogona u periodu od 1995. do 2002. bila je:

Godišnja prozvodnja u pogonima A, B i C u periodu 1995 – 2002.Godine 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

A 680 720 780 810 920 860 790 840B 1400 1350 1210 1280 1410 1520 1580 1650C 2100 2300 2280 2400 2350 2510 2450 2200

Date podatke prikazati pomoću polulogaritamskog dijagrama.

Radna tabelaGodina Pogon A Pogon B Pogon C log Y1 log Y2 log Y3


17


Y1 Y2 Y31995 680 1400 2100 2,83251 3,14612 3,322211996 720 1350 2300 2,85733 3,13033 3,361731997 780 1210 2280 2,89209 3,08278 3,357931998 810 1280 2400 2,90848 3,10721 3,380211999 920 1410 2350 2,96378 3,14922 3,371062000 860 1520 2510 2,93449 3,18184 3,399672001 790 1580 2450 2,89762 3,19865 3,38916

20002 840 1650 2200 2,92427 3,21748 3,34242

Grafički prikaz proizvodnje u pogonima A,B i C za period od 1995 do 2002 god.

2.502.602.702.802.903.003.103.203.303.403.50

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

pogon A

pogon B

pogon C

POVRŠINSKI DIJAGRAMI

Dve ili više pojava koje se prate mogu se prikazati pomoću pravougaonika (histograma), kvadrata, krugova, itd. Kod pravougaonika za osnovicu se uzima jedinična vrednost a površina pravougaonika određena je samo njegovom visinom. Širina stubaca kao i rastojanje između njih određuje se proizvoljno ali u jednom grafikonu moraju biti jednaki. Za prikazivanje veličine ili nivoa pojave po modalitatima ili po nivoima jednog obeležja koriste se jednostavni stubići.

Ako se na X- osu nanesu vrednosti obeležja, onda se dobija niz spojenih pravougaonika, tzv. histogram frkvencija. Histogram je grafički prikaz distribucije frekvencija. On omogućava upoređivanje frekvencija pojedinih delova statističkog skupa. Površina pojedinačnog prvougaonika je proporcionalna frkvenciji odgovarajućeg grupnog intervala, a ukupna površina svih pravougaonika histograma daje ukupnu frekvenciju.

PRIMER: Mesečna potrošnja mesa u kg. po domaćinstvima u jednom regionu bila je:

Raspored domaćinstava prema msečnoj potrošnji mesa


18


Potrošnja mesa (kg) Xi 2 - 5 5 - 8 8 - 11 11 - 14 14 - 17 17 - 20

Broj domaćinstava

ƒi 3 4 10 6 4 2

Nacrtati histogram frekvencija i poligon frekvencija:

Histogram frekvencija

0

2

4

6

8

10

12

Poligon frekvencija

0

2

4

6

8

10

12

1

U površinske dijagrame spadaju i kvadrati. Površina kvadrata (P=a2) predstavlja obim posmatrane pojave. Za grafičko prikazivanje potrebno je da odredimo stranicu a kvadrata i jedinica mere (mm,cm,itd.) mora biti ista za sve kvadrate, jer se upoređivanje dve ili više pojava.

PRIMER: U četiri preduzeća broj zaposlenih bio je 576, 729, 324, i 400. Prikazati grafički (kvadartima) i pravougaonicima sa procentualnom razmerom.


19


Broj zaposlenih u 4 preduzećaPreduzeće I II III IVZaposleni 576 729 324 400

Stranice kvadrata izračunavaju se po obrascu:

a1=24

a2=27

a3=18

a4=20

a1=24 a2=27 a3=18 a4=20

Procentualna razmera:

I preduzeće 576/2029•100% = 28,39%II preduzeće 729/2029•100% = 35,92%III preduzeće 324/2029•100% = 15,97%IV prduzeće 400/2029•100% =19,72%

28.39% 35.97% 15.97% 19.72%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

0


20


KRUŽNI DIJAGRAMI

Površinski dijagrami, krugovi predstavljaju način grafičkog prikazivanja u kome pomoću krugova vršimo upoređivanje dveju ili više statističkih masovnih pojava. U praksi se najviše koriste krugovi strukture. Oni služe da prikažemo strukturu neke pojave po satavnim elementima.

Ako želimo da u jednom krugu prikažemo strukturu neke pojave, onda obim kruga predstavlja celu posmatranu pojavu, tj. 100% veličine pojave.Svaki od tih procenata odgovara delu obima kružne frekvencije od 3,6 stepeni, jer je ukupan obim kruga jednak 360 stepeni.

PRIMER: Raspored radnika u jednom preduzeću prema školskoj spremi bio je. U strukturi kruga prikazati raspored radnika na bazi date tabele.

Školska sprema (X) Visoka Viša Srednja Niža Ukupno

Broj zaposlenih f 25 52 105 110 292

REŠENJE: Date frekvencije iskazati u procentima. Za to se koristi obrazac:

Visoka sprema •100% =8,56%

Viša sprema •100% = 17,81%

Srednja sprema •100% = 35,96%

Niža sprema •100% =37,67%

Ukupno =100%

Date frekvencije iskazati u stepene. Koristi se obrazac:

Stepen= 360ْ

Visoka sprema •360ْ =31 ْ


21


Viša sprema •360ْ = 64 ْ

Srednja sprema •360= 129 ْ

Niža sprema •360= 136 ْ

Školska sprema u strukturi kruga

35.96%

17.81%8.56%

37.67%


22


3. OBRADA I ANALIZA PODATAKA I REZULTATA

Dinamičku analizu pojave predstavlja ispitivanje promena u jednom skupu tokom vremena. Istraživanje statističkog skupa polazi od pojedinačnih vrednosti obeležja a zaključci o celom skupu ne mogu se izvoditi izolovanim posmatranjem tih podataka. Zato se serija podataka zamenjuje malim brojem novih veličina. Te veličine treba da što bolje informišu o posmatranom skupu i pruže najvažnije informacije o rasporedu vrednosti posmatranog obeležja skupa.

Da bi se dobili što precizniji podaci o statističkim serijama koristi se:- srednje vrednosti ili mere centralne tendencije- mere vrijacije ili disperzije- mere asimetrije i spljoštenosti

Ovi parametri informišu o vrijaciji, lokaciji i drugim karakteristikam posmatrane statističke serije. U zavisnosti od toga da li je predmet posmatranja uzorak ili statistički skup dobijaju se parametri uzorka ili parametri skupa.

MERE CENTRALNE TENDENCIJE

Mere centralne tendencije ili srednje vrednosti daju informacije o tome kako su raspoređene vrednosti obeležja posmatranog skupa. Kako nose zajedničke karakteristike svih vrednosti statističkog skupa zovu se reprezentativne.

Srednje vrednosti se dele na dve osnovne grupe:- izračunate srednje vrednosti- pozicione srednje vrednosti

Izračunate srednje vrednosti se računskim putem dobijaju iz podataka serije. U izračunate srednje vrednosti spadaju:

- aritmetička sredina- harmonijska sredinageometrijska sredina

Pozicione srednje vrednosti se određuju pozicijom koju zauzimaju u datoj seriji podataka. U pozicione srednje vrednosti spadaju:

- modus ili mod- medijana

Srednje vrednosti nalazi primenu u svim oblastima statističke analize.


23


3.1.1. ARITMETIČKA SREDINA ( )

Aritmetička sredina se najčešće javlja u primeni. Neophodan uslovza pravilnu primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje ta homogenosti zavisi od prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg želimo da dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja.

Prvi način odnosi se na izraćunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se svaki podatak javlja samo po jedanput.

Drugi način izračunava aritmetičke sredine primenjuje se kod sređenih serija (serije distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci( modaliteti) javljaju u nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veličina frekvencije svakog modaliteta. Svaki modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetička sredina naziva ponderisana(vagana) aritmetička sredina.

PROSTA ARITMETIČKA SREDINA

Prosta aritmetička sredina ( ) dobija dobija se kada se saberu sve vrednosti članova jedne serije pa taj zbir podeli brojem članova e serije.

Ako imamo neku seriju čije su vrednosti članova te serije označeni sa: x1, x2 , x3, x4, ........... xi

prosta aritmetička sredina ( )biće jednaka:

= ili

=

Izražena je u istim mernim jedinicama kao i podaci čiji je prezent.PRIMER: U toku jedne nedelje dnevni ulozi na štednju (u hiljadama)

u jednoj banci bili su:

Dani Ulozi u hiljadamaPonedeljak 15 X1

Utorak 10 X2

Sreda 14 X3

Četvrtak 11 X4

Petak 18 X5

Subota 9 X6

Koliki je bio prosečni ulog u toj nedelji?


24


=

=

= 12,83

Prosečan ulog u posmatranoj nedelji bio je 12,83 (hiljada)

PONDERISANA ARITMETIČKA SREDINA

Aritmetička sredina grupisanih podataka dobija se tako što se vrednosti obeležja prvo pomnože odgovarajućom frekvencijom (x1f1, x2f2, x3f3,...xifi) zatim se dobijeni proizvodi saberu i podele zbirom frkvencija (f1,f2,f3,...fi). Množenjem pojedinačne vrednosti obeležja sa odgovarajućom frekvencijom zove se ponderisanje vrednosti. Ponder je značaj ili važnost što znači veća frekvencija, veći značaj jači uticaj na aritmetičku sredinu. Važnost se ne menja ako se ponderi proporcionalno povećavaju ili menjaju. Algebarski uzraz za aritmetičku sredinu glasi:

=

ili

=

Aritmetička sredina je osetljiva na ekstremne vrednosti a veoma je upotrebljiva ako se pojava ponaša linearno.Najvažnije osobine aritmetičke sredine su:

1. Zbir odstupanja pojedinačnih obeležja od aritmetičke sredine jednak je nuli.(od svake individualne vrednosti obeležja oduzima se vrednost aritmetičke sredine).

Za negrupisane podatke: Σ( xi- )=0Za grupisane podatke: Σfi( xi- )=0

2. Aritmetička sredina se uvek nalazi između najmanje i največe vrednosti obeležja.

Xmin < < Xmax


25


3. Ako su vrednosti obeležja međusobno jednake, onda je aritmetička sredina jednaka tim vrednostima:

X1=X2=X3=........=Xn

=X1=X2=...........Xn

4. Zbir kvadrata odstupanja podataka od aritmetičke sredine jeste linijski.

∑(xi- )2=min

PRIMER: U januarskom ispitnom roku 55 studenata dobilo je sledeće ocene: iz statistike:

Ocene 5 6 7 8 9 10Broj studenata 14 18 7 5 8 3

Izračunati prosečnu ocenu iz statistike:

Radna tabelaocene (xi) broj studenata (fi) grupni proizvod (fixi)

5 (x1) 14 (f1) 70 (x1f1)6 (x2) 18 (f2) 108 (x2f2)7 (x3) 7 (f3) 49 (x3f3)8 (x4) 5 (f4) 40 (x4f4)9 (x5) 8 (f5) 72 (x5f5)10 (x6) 3 (f6) 30 (x6f6)

∑ Σfi=55 ∑fixi=2536

=

=6,71

Prosečna ocena iz statistike u januarskom ispitnom roku bila je 6,71.


26


PRIMER:Na kolokvijumu iz statistike 76 studenata osvojili su sledeći broj bodova:Broj bodova

0 -10 11 - 21 22 - 32 33 - 43 44 - 54 55 - 65

Broj studenata

3 16 18 20 11 8

Izračunati prosečan broj bodova:

RADNA TABELABroj bodova (xi) Broj studenata (fi) Razredna

sredina(xi) (fixi)

0 – 10 3 5 1511- 21 16 16 25622 -32 18 27 48633 - 43 20 38 76044 - 54 11 49 53955 - 65 8 60 480

∑ ∑fi=76 / ∑xi•fi=3536

=

= 33,37

Prosečan broj osvojenih bodova bio je 33,37

HARMONIJSKA SREDINA (H)

Harmonijska sredina upotrebljava se u onim slučajevima kada numerička vrednost obeležja i obim pojave stoje u obrnutoj srazmeri i kada su vrednosti obeležja za koje treba izračunati sredinu izražene u vidu recipročnih odnosa. Taj odnos reciprociteta sastoji se u tome što se vrednost tih obeležja smanjuje kada se pojava povećava i obrnuto,vrednost njihova se povećava kada pojava opada.

Harmonijska sredina je recipročna aritmetička sredina recipročnih vrednosti podataka.


27


PROSTA HARMONIJSKA SREDINA

Ako su nam date vrednosti obeležja x1, x2, x3, ......xi a broj elemenata označimo sa n, onda će prosta harmonijska sredina biti.

H=

ili

H=

PRIMER: Sedam radnika proizvodi istu vrstu proizvoda i za jedinicu tog proizvoda utroše sledeće radno vreme:

I Radnik

II Radnik

III Radnik

IV Radnik

V Radnik

VI Radnik

VII Radnik

12 min 16 min 19 min 23 min 18 min 26 min 20 minIzračunati prosečno radno vreme za izradu proizvoda:

RADNA TABELARadnici Utrošeno vreme Količina proizvoda

I 12 (x1) 1II 16 (x2) 1III 19 (x3) 1IV 23 (x4) 1V 18 (x5) 1VI 26 (x6) 1VII 20 (x7) 1

H=

H=

H=

H = 18,18 prosečno radno vreme potrbno za izradu proizvoda je 18,18 minuta.

PONDERISANA HARMONIJSKA SREDINA


28


Kada imamo seriju čiji podaci pokazuju recipročne odnose ali njihove frekvencije nisu iste (jednake) onda upotrebljavamo ponderisanu harmonijsku sredinu.

Obrazac za izračunavanje ponderisane harmonijske sredine glasi.

H=

H=

PRIMER 2. U jednom preduzeću 30 radnika izradi jedan proizvod za sledeće vreme u minutima: 23,28, 38 i 43. Izračunati srednje vreme izrade tog proizvoda.RADNA TABELA

Vreme izrade (xi) Broj radnika (fi) fi/xi

23 5 0,21728 7 0,2534 9 0,26438 4 0,10543 5 o,116

∑ ∑fi =30 ∑= fi/xi =0,952

H=

H= 31,512Srednje vreme izrade proizvoda je 31,512 minuta.

3.1.3. GEOMETRIJSKA SREDINA ( G )

Kada imamo seriju podataka koji pokazuju neke karakteristike geometrijske progresije ili kada imamo seriju relativnih pokazatelja kao što su razni koeficijenti, onda po pravilu primenjujemo metod geometrijske sredine.


29


Geometrijska sredina se dobija N- ti koren proizvoda svih vrednosti obeležja koji su pozitivne i različite od nule.

GEOMETRIJSKA SREDINA IZ PROSTIH SERIJA

Za negrupisane podatke za prostu seriju geometri x1, x2, x3,.....xn

geometrijska sredina se računa sledećim obrascem:G= ili

G=

Primenom logaritamskog računa dobija se logaritamski oblik geometrijske sredine:

logG= ili

logG=

Iz logaritamskog oblika antilogaritmovanjem dobija se vrednost geometrijske sredine.

PRIMER 1. Data je serija podataka : 5,8,6,13,9. Izračunati geometrijsku sredinu.

G=

logG=

G=

G=7,767

GEOMETRIJSKA SREDINA IZ SERIJE DISTRIBUCIJA FREKVENCIJE

Za grupisane podatke imamo:X: x1, x2 , x3,........... xi


30


f: f1, f2 , f3,..........fi

dobija se obrazac:

G=

Primenom logaritamskog računa dobija se:

log G=

log G=

Antilogaritmovanjem dobijamo vrednost geometrijske sredine.Zbog složenosti izračunavanja geometrijske sredine njena primena i

upotreba u statističkim istraživanjima je ograničena.Ona omogućuje praćenje dinamike, srednjeg tempa razvoja, prirodnog priraštaja stanovništva, izračunavanje stope rasta na bazi lančanih indeksa i drugo.

Kada se radi o aritmetičkoj harmonijskaoj i geometrijskoj sredini važi sledeće pravilo: Geometrijska sredina je manja ili jednaka aritmetičkoj sredini,a veća ili jednala harmonijskoj sredini.

PRIMER2: Isplaćene stipendije za studente prve godine na jednom fakultetu tokom 2003. godine bile su:

Stipendije u hilj. din.(xi) 3 4 5 6Broj studenata (fi) 23 18 9 7

Izračunati geometrijsku sredinu.

RADNA TABELAStipendije u hilj. (xi)

Broj studenata (fi) logxi filogxi

3 23 0,47712 10,973764 18 0,60205 10,8369


31


5 9 0,69897 6,290736 7 0,77815 5,44705∑ ∑fi=57 / 33,54844

log G =

log G=

log G=0,58856G=

G=3,877 Prosečna stipendija bila je 3,877 dinara

PRIMER3: Raspored radnika prema radnom stažu u jednoj fabrici u 2003.godini bio je:

Godine staža (xi)

5 -10 10 - 15 15- 20 20 - 25 25- 30 30- 35

Broj zaposlenih (fi)

15 20 35 18 11 5

Izračunati geometrijsku sredinu.

Godine staža (xi) Broj zaposlenih (fi)

xi logxi filogxi

5-10 15 7,5 0,87506 13,1259210-15 20 12,5 1,09691 21,9382015-20 35 17,5 1,24303 43,5063320-25 18 22,5 1,35218 24,3392825-30 11 27,5 1,43933 15,8326530-35 5 32,5 1,51188 7,55941

Σ Σfi=104 / / Σ=126,30179

log G=

log G= =1,21440

G=


32


G=16,38Prosečan radni staž u fabrici bio je 16,38 godina.

POZICIONE SREDNJE VREDNOSTI

Naziv pozicione srednje vrednosti dobile su zato što se one uglavnom ne izračunavaju kao sredine, nego se određuje njihova pozicija, mesto u datoj seriji. One se nalaze, po pravilu, na onom mestu koje zauzima bilo dominantan (najznačajniji), bilo centralni (središnji) polođaj u seriji.

Pre nego što se pristupi iznalaženju srednjih brojeva brojeva, potrebno je da datu seriju sredimo po veličini modaliteta. U grupu srednjih brojeva spadaju: modus (Mo) i medijana (Me):

3.1.4. MODUS (Mo)To je onaj podatak (modalitet) koji se najčešće javlja tj. koji ima najveću frekvenciju. To je, dakle podatak koji zauzima dominantan položaj i koji na poligonu frekvencija ima najveću ordinatu. Zbog toga se modus često naziva još i dominanta ili normala. To je na primer, najčešća cena, najčešća visina,itd.Zbog toga kažemo da se modus kao srednja vrednost koristi najčešće kada se radi o proceni stanja ili karakteristika neke pojave.

U praksi se može tražiti modus kod neintervalnih serija ili kod intervalnih serija.

Izračunavanje modusa kod neintervalnih serija

PRIMER1:Iz sledeće serije podataka odrediti Mo. 14,19,19,19,24,27,32.Broj koji se najčešće pojavljuje je 19.Znači Mo =19.PRIMER2: Iz sledeće serije podataka odrediti modus.5, 7, 7, 7, 7, 9, 10, 15, 15, 15, 15, 19, 20.U ovom slučaju broj 7 i broj 15 se najčešće pojavljuje pa tako imamo dva modusa.

Mo=7 i Mo=15

IZRAČUNAVANJE MODUSA KOD INTERVALNIH SERIJA

Kada imamo intervalnu seriju, tada ćemo imati jasno određen broj intervala (razred,klasu) sa najvećom frekvencijom a vrednost modusa naći će se u okviru tog intervala. Za izračunavanje modusa u ovakvom slučaju koristi se obrazac koji glasi:


33


Mo=

x – donja granica modalnog intervala K – veličina modalnog intervala f1 – frekvencija prethodnog intervalaf2 – frekvencija modalnog intervala f3 – frekvencija narednog intervala

PRIMER3: Dat je raspored za domaćinstva prema mesečnoj potrošnji jednog pehrambenog artiklaPotrošnja u kg. ( xi)

4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 – 12 12 - 14 14 – 16

Broj domaćinstava (fi) 8 15 27 21 19 6 Odrediti modus.

Mo=

x=8 f1=15k=2 f2=27 f3=21

Mo=

Mo= 9,333Najčešća potrošnja prehrambenog proizvoda po domačinstvu je 9,333 kg.

3.1.5. MEDIJANA (Me)

Medijana je takva poziciona srednja vrednost koja se u sriji nalazi na središnjoj poziciji ukupnog broja frkvencija (slučajeva). To je najveća vrednost modaliteta posmatranog obeležja u nekoj seriji, njena vrednost ne mora da se podudara sa veličinama (vrednostima) modaliteta koji su navedeni u seriji, nego ona predstavlja najvišu (maksimalnu) veličinu posmatranog obležja za prvih 50% svih frekvencija ili slučajeva. Na taj način medijana polovi ukupan broj frekvencija i izražava graničnu vrednost modaliteta obeležja za prvu polovinu serije. Određivanje i izračunavanje medijane vrši se u serijama koje su prethodno sređene po veličini modaliteta, zato se vrednost medijane uvek nalazi oko sredine raspona intervala varijacije između minimalne i maksimalne vrednosti modaliteta. Medijana se koristi za analizu statističkih serija po segmentima (delovima) a psebno u komparativnoj analizi istorodnih pojava.

Medijana se izračunava iz prostih serija ali se to najčešče vrši kod serija distribucije frekvencija.


34


IZRAČUNAVANJE MEDIJANE KOD PROSTIH SERIJA

Kod prostih serija,kada se svaki modalitet javlja samo po jedanput, medijana će zauzimati mestosredišnjeg modaliteta, odnosno medijana će biti upravo onaj modalitet koji se nalazi na središnjoj poziciji.

Kod svih prostih serija mesto medijane se nalazi po obascu:

Mora se voditi računa da li to prosta serija ima neparan ili paran broj podataka pomoću ovog obrasca neposredno nalazimo mesto i vrednost medijane.PRIMER1: Izračunaj medijanu iz sledeće serije: 15, 25, 27, 31,36.Serija ima n=5

mesto Me =

to znači da se Me nalazi na trećem mestu u seriji Me = 27

PRIMER2: Izračunaj medijanu za sledeće serije: 14, 26, 28, 33, 37, 38.Serija ima paran broj podataka (n=6) pa se medijana nalazi između dva sedišnja podatka.

Mesto Me =

Medijana se nalzi na sredini između trećeg i četvrtog mesta u seriji. Prostom aritmetičkom sredinom izračunavamo medijanu

Me=

Me= 30,5

IZRAČUNAVANJE MEDIJANE KOD SERIJA DIISTRIBUCIJE FREKVENCIJA

Za iznalaženje mesta (pozicije) medijane u serij distribucije frekvencije, broj članova serije označava se sa ∑fi, pa se pozicija

medijane iznalazi po obrascu:


35


Da bi se lakše odrdila pozicija medijane prema ovom obrascu, koristimo kolonu rastuće kumulante pazeći pritom da serija ima paran ili neparan broj podataka.

PRIMER3: Iz sledeće serije koja pokazuje broj članova domaćinstva i broj domaćinstva izračunaj medijanu.Brojčlanova domaćinstva (xi)

Broj domaćinstva fi Kumulanta

1 10 102 16 263 24 504 34 846 29 1138 13 126∑ ∑fi=126 /

Mesto Me= =

Mesto Me =63,5 Me=4 U proseku jedno domaćinstvo ima četiri člana.Za iznalaženje ( izračunavanje) medijane iz intervalnih serija, bez obzira da li su ti intervali ili razredi jednaki ili ne, vrednost medijane nalazi se negde između donje i gornje granice središnjeg(medijalnog) intervala, pa tu vrednost treba precizno i tačno izračunati. U zavisnosti od toga da li serija ima paran il neparan broj podataka primeniće se odgovarajući obrazac i pritom će se koristiti rastuća kumulanta.

IZRAĆUNAVANJE Me IZ INTERVALNIH SERIJA BROJEM PODATAKA

Izračunavanje Me iz intervalnih serija koje imaju neparan broj podataka (∑fi neparan broj) po obrascu:

Me=

x1 – donja granica medijalnog inetrvalax2 – gornja granica medijalnog intervalaW2 – zbirna frekvencija medijalnog intervala(iz kumulante)W1 – zbirna frekvencija prethodnog intervala

PRIMER4: Prinos raži na 69 parcela iznosio je:


36


Prinos u t (xi) Broj parcela (fi) Kumulanta3 – 4,1 8 8

4,1 – 5,2 12 205,2 – 6,3 16 366,3 – 7,4 22 587,4 – 8,5 11 69

∑ ∑fi=69 /Medijanski interval odredićemo kao poluzbir frekvencija:

a to odgovara intervalu (5,2 – 6,3)x1=5,2 ;x2=6,3; W1=20 ; W2=36

Me =

Me=

Me=5,2+0,0687•14,5Me=5,2+0,996Me=6,196

IZRAČUNAVANJE Me IZ INTERVALNIH SERIJA SA PARNIM BROJEM PODATAKA

Za izračunavanje Me iz intervalnih serija koje imaju paran broj podataka (∑fi paran broj) primeniće se nešto izmenjen osnovni obrazac koji glasi:

Me=

PRIMER5:U jednoj banci u jednom mesecu 50 radnika primilo je sledeće zarade:

Zarade Xi Broj radnika fi Kumulanta51 – 52 20 2052 – 53 15 3553 – 54 7 4254 – 55 5 4755 – 56 3 50

∑ ∑fi=50 /Medijanski interval određuje se iz:


37


a to odgovara intervalu (52 – 53) elementi su:x1=52; x2=53; W1=20; W2=35; ∑fi+1=51

Me=

Me=

Me=52+0,066•5,5Me=52+0,363Me=52,363

POLOŽAJ , Me i Mo U SERIJI (GRAFIČKI)

Da bismo jasnije prikazali položaj i mesto nekih srednjih vrednosti u seriji grafički, uzećemo kao primer tri osnovan oblika serije distribucije frekvencije prema simetričnosti njihovih podataka i to:

1. Kod normalne distribucije podudaraju se , Me i Mo; tj. =Me=Mo, što se grafički prikazuje kao zajednička ordinata.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&str47

2. Kod serije distribucije sa levom asimetrijom

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6666str47

3. Kod serije distribucije sa desnom asimetrijom.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& str 48

Kod ova dva poslednja primera vidimo da se pozicija Me i u odnosu na Mo uvek raspoređene suprotno od smera asimetrije.Ovo se može grafički prikazati samo u slučaju kada postoji samo jedan Mo u seriji.

MERE VARIJABILITETA

Za merenje i izražavanje varijacije obeležja kao specifičnog oblika kretanja, koriste se posebne statističke jedinice. Te jedinice su specifične ne samo po svojoj nameni nego i po svojim osobinama. Najznačajnija karakteristika je da su one promenljive, varijabilne veličine i da izražavaju mere varijacije ma kako obeležje bilo izraženo.


38


Mere varijabiliteta obeležja pojava vezane su za pojam i primenu srednjih vrednosti, uglavnom za aritmetičku sredinu. Kada govorimo o variajbilitetu obeležja i merama za izražavanje tog varijabiliteta onda tu podrazumevamo posmatranje varijabiliteta u odnosu na jednu određenu veličinu,reprezentativnu veličinu, tj. srednju vrednost koja izražava centralnu tendenciju pojave,odnosno nekog stanja u toj pojavi.

Unutrašnji raspored podataka u seriji može se izražavati kroz njihova mežusobna odstojanja odnosno kroz sličnost, jednakost ili različitost njihovih međusobih odstojanja, ali isto tako kroz njihova odstojanja od srednje vrednosti. Ukupnost ovih karakteristika naziva se varijabilitet što predstavlja važnu i značajnu osobinu po kojoj vršimo analizu pojedinih serija ili njihova upoređivanja.

U mere varijabiliteta spadaju sledeći parametri:- Razmak varijacije- Kvartilna devijacija- Varijansa i standardna devijacija- Koeficijen varijacije- Srednja devijacija

3.2.1. RAZMAK VARIJACIJE

Razmak varijacije je najjednostavnija mera varijabiliteta. To je razmak između najveće i najmanje vrednosti obeležja X na posmatranom statističkom skupu.

Ako označimo sa Xmax najveću vrednost obeležja X, a sa Xmin

njegovu najmanju vrednost na statističkom skupu. Razmak varijacije jednak je:

R=Xmax – Xmin

sa R označili smo razmak varijacije.Da bi tačno odredili razmak varijacije moramo pored raspodele znati

najmanju vrednost obeležja X u prvom intervalu i najveću vrednost obeležja u poslednjem intervalu. Ako ove vrednosti nisu poznate ne možemo ni odrediti razmak varijacije.Razmak variajcije je pogodna mera varijabiliteta za ona obeležja kod kojih se najveća i najmanja vrednost ne razlikuju mnogo od ostalih vrednosti obeležja X.

Najveću primenu razmak varijacije ima u kontroli kvaliteta u industrijskoj proizvodnji.

3.2.2. KVARTILNA DEVIJACIJA

Ako se serija podataka koja je rangirana po veličini podeli u četiri jednaka dela, vrednost obeležja,koje ih dele mazivaju se kvartilima: prvi kvartil Q1, drugi Q2 (ili medijana) i treći Q3. Obrasci za kvartile su:


39


Q1=

x1 – donja granica kvartilnog razreda

– mesto kvartila iz kumulanta

∑f1 – frekvencija iznad mesta kvatila iz kumulante

– frekvencija kvartilnog razreda

i – veličina kvartilnog razreda

Q3 =

Prvi kvartil (Q1) je vrednost obeležja od koje 25% elemenata skupa uređenih po veličini ima manju ili jednaku vrednost tog obeležja. Treći kvartil (Q3) se definiše kao ona vrednost obeležja od koje 75% elemenata skupa ima manju ili jednaku vrednost.Donji (Q1) i gornji (Q3) kvartil dele ceo statistički skup na tri dela. Jedna četvrtina elemenata su oni elementi kod kojih je X<X0,25, druga četvrtina su elementi kod kojih je X>X0,75 a preostalih 50% elemenata ima vrednost obeležja X koja je X 0,25<X<X0,75.

Formula za izračunavanje kvartilne devijacije:

Q=

Kvartile ćemo najlakše izračunati ako koristimo kumulantom frekvencije (rastućom). Mesto kvartila naći ćemo u koloni rastuće kumulante i to:

Mesto Q1 po formuli:

mesto Q3 po formuli:

Kvartili su veoma značajni u statističkim istraživanjima jer informišu o rasporedu frekvencija posmatranog obeležja.

PRIMER1. Anketirana je populacija od 50 članova o visini i dobijeni su sledeći odgovori:Visina xi

150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 210-220

Broj članova fi

2 5 7 13 15 6 2


40


Visina (xi) Broj (fi) Kumulanta rastuća150-160 2 2160-170 5 7170-180 7 14180-190 13 27190-200 15 42200-210 6 48210-220 2 50

∑ 50 /

Ovde je ∑fi= 50

mesto Q1=

Kvartilni razred za prvi kvartil je:Q1:(170-180)

Q1=

x1=170 fQ3=7∑f1=7 i=10

Q1=

Q1=170+0,785•10

Q1=177,85

mesto Q3=

Kvartilni razredza trći kvartil je Q3:(190-200)

Q3=

x1=190 fQ3=15∑f1=27 i=10

Q3=

Q3=190+0,8333•10Q3=198,33

Q=


41


Q=

Q=10,24Kvartilna devijacija za visinu populacije je Q=10,24.

3.2.3. VARIJANSA I STANDARDNA DEVIJCIJA

Varijansa ili fluktoacija (δ2) predstavlja srednje (prosečno) kvadratno odstupanje podataka u seriji, od aritmetičke sredine te serije. Ovo je, kvadratna veličina izražena prema aritmetičkoj sredini i njena vrednost se kreće od nule do +∞.

0≤δ2≤= +∞Varijansa se može uzračunati kod prostih srerija i kod serija distribucije frekvencija.Varijansa kod prostih serija se izračunava po obrascu: δ2=∑(xi- )2 /n

PRIMER2.Promet u jednoj prodavnici tokom jedne sedmice kretao se:

Dani Ponedeljak Utorak Sreda Četvrtak Petak Subota NedeljaPromet u hilj.

(xi)

12 18 9 11 21 20 24

Izračunati varijansu:

IZRADA

RADNA TABELADani Promet u hilj. xi xi- (xi- )2

Ponedeljak 12 -4,4 19,36Utorak 18 1,6 2,56Sreda 9 -7,4 54,76Četvrtak 11 -5,4 29,16Petak 21 4,6 21,16Subota 20 3,6 12,96Nedelja 24 7,6 57,76∑ 115 / 197,72

= prodečan promet


42


δ2=

Varijansa kod serija distribucije frekvencije izračunava se po

obrascu: δ2=

Ovde treba zapaziti da se svako odstupanje pojedinih modaliteta od aritmetičke sredine mora pomnožiti sa njegovom odgovarajućom frekvencijom, jer se svako odstupanje ustvari javlja više puta.

PRIMER3: Vreme izrade jednog proizvoda u min. i broj radnika bio je:Vreme izrade xi

10-14 14-18 18-22 22-26 26-30 30-34

Broj radnika fi

6 9 15 11 6 3

Izračunati varijansu:

Vreme izrade xi

Broj radnika fi

Razredna sredina

(xi·fi) (xi-X) (xi-X)2 fi·(xi-X)2

10-14 6 12 72 -8,88 78,85 473,1214-18 9 16 144 -4,88 23,81 214,3318-22 15 20 300 -0,88 0,77 11,6222-26 11 24 264 3,12 9,73 107,0826-30 6 28 168 7,12 50,69 304,1630-34 3 32 96 11,12 123,65 370,96

∑ 50 / 1044 / / 1481,27

= prosečno vreme izrade

δ2= vreme izrade

STANDARDNA DEVIJACIJA

Linearni oblik varijanse naziva se standardna devijacija. To je kvadratni koren iz varijanse. Tu meru varijacije takođe izračunavamo i kod prostih serija i kod serija distribucije frekvencija.

STANDARDNA DEVIJACIJA KOD PROSTIH SERIJA (δ)

Izračunava se po obrascu:


43


δ=

Iz prethodnog primera varijansa je: δ2=28,24 a standrdna devijacija biće:

δ= 5,31 promet

STANDARDNA DEVIJACIJA IZ SERIJA DISTRIBUCIJE FREKVENCIJA

Izračunava se po obrascu :

δ=

Iz prethodnog primera varijansa je δ2=29,62; pa standardna devijacija biće:

δ= =5,44 vreme izrade

Od svih mera varijabiliteta najznačajnija je standardna devijacija. NJen naziv potiče od toga što ona predstavlja neku standardnu prihvaćenu meru u statističkoj analizi, pa će se ona javiti u reprezentativnoj analizi i kod raznih testiranja sudova i rezultata pod nazivo ¨Standardne greške¨ koja nije ništa drugo nego standardna devijacija,tj. mera varijabiliteta kod uzoraka.

3.2.4. KOEFICIJENT VARIJACIJE

Koeficijent varijacije spada u grupu statističkih invarijanti.One ne zavise od jedinice mera u kojima su dati podaci opsmatranoj pojavi, pa zbog toga kažemo da invarijante nemaju svoju dimenziju mere, odnosno nultu dimenziju. Kao takve, statističke invarijante predstavljaju značajne statističke instrumente za kvantitativnu i kvalitativnu analizu masovnih pojava.

Koeficijent varijacije (Kv) predstavlja količnik između standardne devijacije i aritmetičke sredine jedne iste pojave. Izražava se kao prost količnik (koeficijent) ili kao procentni broj. Obrazac po kome se izračunava koeficijent variajcije glasi:

Kv= ili kao procentni izraz: Kv=

Kod posmatranih serija gde je koeficijent varijacije veći ta serija ima i veći varijabilitet.

PRIMER3: Broj prodatih komada jednog artikla tokom sedam dana bio je: 16,15,16,21,21,13,20,20,11. a broj kupaca tokom tih sedam dana bio je: 10,23,16,14,18,22,17.Kod koje od navedenih serija bio veći varijabilitet?


44


IZRADA:

RADNA TABELA:Komadi xi xi - 1 (xi - 1)2 Broj

kupaca xi(xi - 2) (xi- 2)2

16 0 0 10 -7,14 50,9715 -1 1 23 5,86 34,3416 0 0 16 -1,14 1,2921 5 25 14 -3,14 9,8513 -3 9 18 0,86 0,7420 4 16 22 4,86 23,6211 -5 25 17 -0,14 0,02

∑ / 76 120 / 120,83

1= = =16 prosečan broj prodatih komada

δ1=

Kv1= Kv1= =0,205 ili Kv1=0,205•100=20,59%

2= prosečan broj kupaca

δ2=

Kv2= Kv2= ili Kv2=0,242•100=24,21%

Varijabilitet je veći kod druge pojave zato što je Kv1< Kv2

20,59%<24,21%

3.2.5. SREDNJA DEVIJACIJA (SD)

Za preciznije merenje varijabiliteta treba obuhvatiti sve vrdnosti obeležja. Takav parametar je srednja devijacija ili srednje apsolutno odstupanje. Definiše se na odstupanjima pojedinih vrednosti X od sreddnje vrednosti (obično je to aritmetička sredina).


45


Srednja devijacija dobija se kada se zbir apsolutnih odstupanja vrednosti obeležja od aritmetičke sredine, bez obzira na predznak, podeli sa brojem elemenata u seriji. Svaki element serije zavisno od svoje veličine utiče na ovu meru disperzije.

Srednja devijacija za negrupisane podatke (prosta serija podataka) izračunava se po obrascu:

SD=

Za grupisane podatke (serija distribucije frekvencije)

SD=

PRIMER4: Broj povreda radnika u jednom pogonu za prvih šest meseci bila je:

Meseci I II III IV V VIBroj

povreda6 5 3 2 4 1

IZRADA:

Meseci xi Broj povreda xi- |xi- |I 6 2,5 2,5II 5 1,5 1,5III 3 -0,5 0,5IV 2 -1,5 1,5V 4 0,5 0,5VI 1 -2,5 2,5

n=6 ∑=21 / 9,0

= SD=

SD=

Za grupisane podatke:PRIMER: Broj bodova na testu znanja i broj ispitanika bio je:

Broj bodova (xi)

1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Broj ispitanika(fi)

3 3 2 5 6 11

Izračunati srednju devijaciju:


46


IZRADA:Broj bodova

(xi)Broj

ispitanika (fi)Razredna

sredina (xi)xi·fi xi -X (xi -X)

1-5 3 3 9 -16,8 16,86-10 3 8 24 -11,8 11,811-15 2 13 26 -6,8 6,816-20 5 18 90 -1,8 1,821-25 6 23 138 3,2 3,226-30 15 28 308 8,2 8,2

/ 30 / 595 / 48,6

= prosečni broj osvojenih bodova.

SD=

MERE ASIMETRIJE I SPLJOŠTENOSTI

Podaci o vrednostima numeričkog obeležja svih jedinica posmatranog statističkog skupa retko su kad raspoređeni simetrično i pravilno oko svojih srednjih vrednosti. Pravilnost i simetričnost odraz su postojanja ravnotaže u okviru posmatrane pojave. Ravnoteža u nekoj pojavi je stanje trenutka,a stalne promene su dominantne sa svojim zakonitostima. Mere varijacije ne pokazuju smer varijacije u odnosu na aritmetičku sredinu,kaoni oblik rasporeda frekvencija. Tu informaciju omogućavaju mere asimetrije i spljoštenosti.

Raspored je simetričan kad frekvencije vrednosti obeležja ravnomerno opadajuili rastu počev od aritmetičke sredine, a asimetričan, kad elementi skupa pokazuju tendenciju grupisanja oko vrednosti obeležjaiznad iliispod srednje vrednosti. U zavisnosti od odnosa frekvencije srednjih vrednosti i frekvencije ostalih vrednosti obeležja raspored je više ili manje spljošten.

Za određivanje merenja u statistici koriste se odstupanja vednosti obeležja od aritmetičke sredine skupa na određeni stepen, takozvani centralni momenat rasporeda ( M ). Za merenje asimetrije koristi se treći centralni moment koji za negrupisane podatke glasi:

M3=

za grupisane podatke:

M3=


47


Za merenje spljoštanosti četvrti centralni momenat za negrupisne podatke:

M4=

za grupisane podatke:

M4=

3.3.1. KOEFICIJENT ASIMETRIJE ( )

Koeficijent asimetrije obeležava se sa i predstavlja količnik iz

trećeg centralnog momenta i standardne devijacije na treći stepen

=

Ovo je relativna mera asimetrije koja omogućava upoređivanje asimetrije različitih distribucija.

Ako je : =0 serija je simetrična

>0 serija ima levu (pozitivnu)asimetriju

<0 serija ima desnu (negativnu)asimetriju

Grafički prikaz koeficijenta asimetrije

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&str63

3.3.2. KOEFICIJENT SPLJOŠTENOSTI ( )

Spljoštenost se meri koeficijentom koji predstavlja količnik

četvrtog centralnog momenta i standardne devijacije na četvrti stepen, a računa se po obrascu:


48


=

Kako se može videti može da ima samo pozitivne vrednosti.

Ako je: = 3 distribucija je normalne visine

> 3 distribucija je izduženog oblika

< 3 distribucija je spljoštenog oblika

Merama spljoštenosti prikazuje se homogenost tj.tendencija vrednosti u odnosu na aritmetičku sredinu.

Grafički prikaz koeficijenta spljoštenosti:&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&str 64

4. INDEKSNI BROJEVI

4.1. VREMENSKE SERIJE I NJIHOVA UPOREDIVOST

Pomoću vremenskih serija prate se društvene pojavea posebno ekonomske koje se tokom vremena više ili manje menjaju. Te vremenske serije predstavljaju nizove podataka o veličini posmatranih pojava u sukcesivnim vremenskim intervalima. Kako se varijacije posmatraju u funkciji vremena to se sa statističkog prelazi na dinamički aspekt posmatranja.

Vremenske serije se posmatraju kao empirijske funkcije koje izražavaju zavisnost pojave od vremena,pa se vreme uzima kao nezavisna promenljiva a veličina pojave čije se kretanje prati kao zavisna promenljiva ili funkcija. Zato originalnim podacima možemo vremenske serijeprilagoditi jednom obliku matematičke funkcije koja u konkretnom slučaju izražava zakon razvitka te pojave.

U zavisnosti od cilja istrživanja i prirode pojave, faktor vreme koje se obuhvata može se posmatrati u dužim vremenskim ili kraćim vremenskim jedinicama i to po godinama, decenijama, ili danima, nedeljama, mesecima, tromesečjima i polugodištima.Za pojave koje su relativno stabilne i čija se struktzra relativno sporo menja( stanovništvo, nacionalni dohodak) koriste se godišnji intervali kao vremenske jedinice. Za pojave koje su dinamičnije (izvoz ,uvoz, cene) uzimaju se vremenske jedinice kao mesečni ili tromesečni (kvaratalni) intervali.


49


Da bi se došlo do ispravnih zaključaka o dinamici posmatranih pojava i faktora koji ih opredeljuju, vremenske serije moraju da budu homgene-sastavljene od uporednih podataka. Znači, da ista pojava mora da bude definisana i merena na isti način za sve vreme njenog posmatranja. Mogu se upoređivati samo podaci koji se odnose na iste vremenske jedinice.

U izvesnim slučajevima neuporedivi podaci mogu se pregrupisati –preračunati u serije uporedivih podataka. Podaci malih grupa ili malih teritorijalnih jdinica mogu se sabiranjem grupisati u veće tekuće cene preračunati u stalne i sl. Ukoliko to nije moguće komparacija nedovoljno uporedivih podataka ne mož se vr+iti bez odgovarajućih ograničenja uz veći ili manji rizik u donošenju pogrešnih zaključaka.

4.2. INDIVIDUALNI INDEKSI

Pod pojmom indeksa podrazumevamo ralativne brojeve pomoću kojih upređujemo nivoe(podatke) dveju ili više istorodnih pojava. Taj odnos se izražava u obliku procentnog broja, pa su indeksi procentni izrazi odnosa dveju ili više istorodnih veličina. Ove istorodne velišine moraju biti sve izražene istim jednakim statističkim ili mernim jedinicama. Veličina koja se upoređuje nalazi se u brojitelju izraza i naziva se veličina upoređenja, a veličina s kojom se uporađuje u imenitelju izraza i označava bazu upoređenja,a veličina s kojom se upoređuje u imenitelju izraza i označava bazu upoređenja. Obeležićemo sa Ii indeksni broj, sa Yi nivo pojave u posmatranom periodu a sa Yo nivo pojave u baznom periodu.

Ii=

Ovaj se odnos množi sa 100 što znači da se izržava u procentima. To znači da bazna veličina predstavlja 100 procenata a konkretna vrednost indeksa pokazuje viši ili niži nivo veličine upoređenja u odnosu na bazu. Jedan procenat indeksa predstavlja indeksni poen.

Individualnim indeksima izražava se dinamika pojave prikazane u jednoj statističkoj seriji. U zavisnosti da je baza stalna ili promenljiva individualni indeksi se dele na:

- Bazne indekse- Lančane indekseBazni indeksi (Bi) se koriste pri ispitivanju neke pojave u odnosu na

jednu stalnu veličinu. Kod izračunavanja ovih indeksa svaki član vremenske serije stavlja se u odnos sa stalnom bazom i dobijeni količnik pomnoži sa 100. Ako su članovi vremenske serije 1,2,3,...,i,...,n i njima


50


pripadajuće veličine pojave Y1, Y2,Y3,...,Yi,...Yn, tada će, ako za bazu uzmemo veličinu pojave iz prvog perioda Y1, bazni indeks biće

Bi= i= 1,2,3,...,n

Vremenske serije relativnih brojeva sa stalnom bazom omogućuju ne samo jasnije upoređenje nivoa posmatrane pojave u različitim vremenskim intervalima,nego i lakše poređenje razvojnih tendencija više pojava, naročito kad njihove merne jedinice nisu iste.

Lančani indeksi (Li) izražavaju relativne promene posmatrane pojave između člana serije čiji indeks računamo i člana serije koji mu neposredno prethodi. Obrazac glasi:

Li= i= 1,2,3...,n

Serija lančanih indeksa bitno se razlikuje od serije baznih indeksa jer ona pokazuje relativnu promenu nekog određenog perioda uvek u odnosu na prethodni period. Ona ne predstavlja kontinuirani niz međusobno povezanih veličina. Svaki lančani indeks je samostalna veličina koja izražava porast ili pad pojave u odnosu na prethodni član koji predstavlj bazu.

PRIMER:Proizvodnja jedne vrste belog vina u periodu od 1992. god. do 2001. god. u hektolitrima.Godine (x) 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001Proizvodnja (yi)

320 425 450 512 480 570 605 645 750 739

a) Izračunati bazne indekse sa bazom u 1992. godini.b) Izračunati lančane indekse.

IZRADA:a)

Godine Proizvodnja u he (yi)

Bazni indeksi u % (baza 1992=100%)

Bi

1992 320 Bi=Y1:Y1 =(320/320) ·100 100,001993 425 B2=Y2:Y1 =(425/320) ·100 131,811994 450 B3=Y3:Y1 =(450/320) ·100 140,621995 512 B4=Y4:Y1 =(512/320) ·100 160,001996 480 B5=Y5:Y1 =(480/320) ·100 150,001997 570 B6=Y6:Y1 =(570/320) ·100 178,121998 605 B7=Y7:Y1 =(605/320) ·100 189,06


51


1999 645 B8=Y8:Y1 =(645/320) ·100 201,562000 750 B9=Y9:Y1 =(750/320) ·100 234,372001 739 B10=Y10:Y1 =(739/320) ·100 230,93

b)Godine Proizvodnja u he

YiLančani indeksi Li(%)

1992 320 L1-nema indeksa /1993 425 L2=Y2:Y1 =(425/320) ·100 132,811994 450 L3=Y3:Y2 =(450/425) ·100 105,881995 512 L4=Y4:Y3 =(512/450) ·100 113,771996 480 L5=Y5:Y4 =(480/512) ·100 93,371997 570 L6=Y6:Y5 =(570/480) ·100 118,751998 605 L7=Y7:Y6 =(605/570) ·100 106,141999 645 L8=Y8:Y7 =(645/605) ·100 106,612000 750 L9=Y9:Y8 =(750/645) ·100 116,272001 739 L10=Y10:Y9 =(739/750) ·100 98,53

Baznii lančani indeksi imaju veliki značaj za istrživanje i proučavanje masovnih pojava. U njihovom izračunavanju posebno je potrebno obratiti pažnju na izbor baznog perioda. To će zavisiti od sledećih elemenata:

1. Prirode masovne pojave koju istražujemo2. Od cilja koji želimo postići3. Od mogućnosti primene raznih vidova upoređenja

Postoje neki osnovni principi kojih treba da se pridržavamo pri odrđivanju baze kod izračunavanja indeksa. To treba pre svega da bude onaj podatak (period) u kome pojava pokazuje normalno stanje, tj. relativno mirovanje. Treba izbegavati one podatke koji se odnose na periode sa većim oscilacijama i odstupanju u pozitivnom ili negativnom smislu. Kada se radi o lančanim indeksima ovo pravilo ne važi zbog promenljivosti baze.

4.3. AGREGATNI (GRUPNI) INDEKSI

Pomoću indeksa izračunavamo međusobni odnos dveju veličina koje mogu biti proste i složene, u zavisnosti od toga da li su sastavljene od jednog ili više elemenata. Prosti indeksi izražavaju međusobne odnose prostih pojava, dok složeni indeksi predstavljaju međusobne odnose složenih veličina ili pojava, ako su te pojave sastavljene od istorodnih elemenata. Te složene veličine mogu međutim, biti sastavljene od više raznorodnih elemenata i nazivamo ih agregati. U ovakvim slučajevima izračunavamo agregatne ili grupne indekse. U složenim veličinama


52


pojedini sastavni elementi predstavljaju pondere a međusobno su komplementarni tj. dopunjavaju se do celine pojave. Tako se neposredno nemerljivi elementi kompleksnih pojava (komadi, metri, kilogrami i sl.) koji se ne mogu sabirati svode na zajednički imenitelj. Ponderi se određuju prema važnosti vremenskih serija u strukturi skupa ili njegovog reprezentativnog dela. Mogu se uzeti iz baznog ili tekućeg perioda.

Grupni indeksi se dele na :1. Indeks fizičkog obima 2. Indeks cena3. Indeks vrednosi

Indeks fizičkog obima često se naziva indeks količina i kvantum indeks. Predstavlja sintetički izraz promena u fizičkom obimu proizvodnje,prodaje uvoza, izvoza i sl. Računa se metodom agregata i metodom srednjih vrednosti sa ponderima baznog i tekućeg perioda.Oznake su:P-cena; Q-količina, O-bazni period; 1-tekući period; IQ-grupni indeks fizičkog obima ; iQ- individualni indeks fizičkog obima.Metod agregata: Laspaerov indeks fizičkog obima

Pašeov indeks fizičkog obima

PRIMER: U jednoj fabrici proizvedena je bela tehnika u komadima po cenama u 1999. i 2000 godini.

Vrsta proizvoda

Količine Cene

1999(Qo) 2000.(Q1) 1999(Po) 2000(P1)Šporeti 4600 5400 15 17

Frižideri 2700 3500 19 20Veš mašine 1200 2600 14 16

Izračunati Laspareov Pašeov indeks fizičkog obima proizvodnje (baza 1999. god.), metodom agregata.


53


IZRADA:

Laspaerov:

Proizvedene količine šporeta, frižidera i veš mašina u 2000.god u odnosu na 1999. god. porasla je za 34,13%.

Pašeov:

Iq = 134,35%

Proizvedene količine šporeta, frižidera i veš mašina u 2000.godini u odnosu na 1999. god je veća za 34,35%.

METOD SREDNJIH VREDNOSTI

Kod ovog metoda uključuje se:

Individualni indeks količine:

Laspaerov:


54


Pašeov:

Izračunati Laspaerov i Pašeov indeks količine po metodu srednjih vrednosti.

Laspaerov:

Iq =134,13%

Lasperov ideks količine po metodi agregata i srednjih vrednosti je indentičan 134,13%

Prešeov:

Pašeov indeks količine po metodi agregata i srednjih vrednosti je ondentična iznosi 134,35%.

2. INDEKS CENA

Indeksi cena su takvi sintetički, agregatni izrazi međusobnih odnosa pomoću kojih upoređujemo cene mase raznorodnoh proizvoda u jednom


55


periodu prema cenama istih tih proizvoda u nekom ranijem periodu. Izračunavaju se metodom agregata i metodom srednjih vrednosti.

Metod agregata:

Laspaerov indeks cena

Ip=

Pašeov indeks cena

Ip=

Metod srednjih vrednosti : Uključuje se u individualni indeks cena:

ip=

Laspaerov indeks cena:

Ip=

Pašeov indeks cena:

Ip=

PRIMER: Jedna trgovina na malo imala je sledeći promet:Artikal Jedinica

mere2000(Baza) 2001

količina (Qo) cene(Po) količina (Q1) cene (P1)


56


meso kg 2900 460 1300 510sir kg 490 210 650 280

voće kg 3200 28 2900 35jaja komada 1100 8 1000 7

Izračunati indeks cena metodom agregata i metodom srednjih vrednosti. Laspaerov o Pašeov (baza 2000. god)

IZRADA:Metod agregata:

Laspaerov: Ip=

Ip = 113,06Promet (mesa, sira,voća i jaja) u 2001 bio je veći za 13,06% u

odnosu na 2000.god.

Pašeov: Ip=

Ip = 115,75%Promet (mesa,sira, voća i jaja) u 2001. godini bio je veći za 15,75%

u odnosu na 2000. godinu.

Metod srednjih vrednosti


57


Laspareov Ip=

Ip = 113,06%Laspaerov indeks cena metodom agrgata i srednjih vrednosti je isti

113,06%

Pašeov: Ip=

Ip = 115,75%Pašeov indeks cena metodom agregata i srednjih vrednosti je isti

115,75%.

3. INDEKS VREDNOSTI

Indeks vrednosti se obračunava u fiktičkim cenama. Pruža informaciju o promenama vrednosnog volumena kompleksne pojave. Izračunava se metodom agregata:


58


PRIMER: U jednoj fabrici proizvedeno je keksa u 2001. godini i 2002. god po cenama:

Vrsta keksa Proizvedeno (Q) Cena (P)2001 2002. 2001. 2002.

Mlečni 150 190 25 28sa kokosom 90 110 16 19sa čokoladom 210 290 32 41Izračunati indeks vrednosti proizvedenog keksa (baza 2001.god.)

IZRADA:

Iv = 162,05%Vrednost proizvedenog keksa sa mlekom, kokosom i čokoladom u 2002. god. je veća za 62,05% u odnosu na 2001. god.

4.4. OBUHVATNOST I PRIMENA INDEKSNIH BROJEVA

Grupni indeksi se mogu izračunavati na svim pojedinačnim proizvodima (uslugama) koje indeks predstavlja ili samo na jednom reprezentativnom delu. Tako na primer kod grupnih indeksa cena i grupnih kvantum indeksa u spoljnoj trgovini nema potrbe da se u račun uzimaju svi proizvodi, već se odabiraju određeni za koje se smatra da adekvatno raprezentuju kretanja u izvozu odnosno uvozu. Pod uticajem različitih faktora može doći do povećanja značaja određenih proizvoda koji nisu prvobitno uzeti u račun, a samim tim i do smanjenja obuhvatnosti indeksa (odnos između reprezentativnih proizvoda i ukupne vrednosti celog skupa). Zato se mora izvršiti korekcija tako što se dobijeni indeks za odgovarajuću godinu pomnoži faktorom korekcije. To je kada se procenat obuhvatnosti u baznom periodu stavi u odnos sa procentom obuhvatnosti u posmatranom periodu. Ovde se polazi od pretpostavke da se prosečne cene posmatranog agregata menjaju se


59


približno na isti način kao prosečne cene proizvoda koji se uzimaju kao reprezentativni.

Za pravilnu interpretaciju indeksnih brojeva neophodno je voditi računa o njihovom osnovnom svojstvu da prikazuju samo relativne promene, koje koje ne daju nikakvu informaciju o veličini same pojave. To znači da prikazuju porast (pad) posmatranih pojava u odnosu na bazni period, a ne i isti nivo tih pojava.

Indeksni brojevi nalaze u ekonomskim istraživanjima veoma široku primenu. Upotrebljavaju se za istraživanje relativnih varijacija proizvodnje, prometa, izvoza, uvoza, cena, produkivnosti rada, troškova života i drugih privrednih pojava.

Statistička služba Srbije i Crne Gore prati i objavljuje sve indekse važne za istraživanje dinamike ekonomskih pojava.

5. ANALIZA VEMENSKIH SERIJA

5.1 TREND KOMPONENTA

Od svih statističkih metoda dinamičke analize masovnih pojava metod trenda je najkompleksniji, pa se može reći i da je to najznačajniji metod analize vremenskih serija. Naziv trend potiče iz engleskog jezika i u nešto pojednostavljenom prevodu znači ¨nešto što se kreće¨ U statističkoj teoriji i dinamičkoj analizi trend označava karakterističnu zakonomernu liniju kretanja neke pojave u vremenu kao niz prosečnih teorijskih tačaka i vrednosti kroz koje bi posmatrana pojava prolazila po svojoj prirodi, da nije bilo slučajnih i regularnih varijacija u njenom toku.To je linija ili putanja centralne tendencije u toku i razvoju pojava u vremenu ili razultanta opštih i posebnih uticaja koji su dejstvovali na posmatranu pojavu usmeravajući vrstu i oblik njenog kretanja.

Za trend se može reći da nam izražava prosečno srednje stanje u svakom od posmatranih perioda, pa je zbog te osobine trend u stvari dinamička srednja vrednost. U brojčanom smislu to je jedna nova serija ispravljenih teorijskih podataka o posmatranoj pojavi. Kada te nove teorijske podatke unesemo između originalnih podataka serije, vršimo operaciju interpolaciju trenda. Za razliku od ovoga,kad na bazi tih novih, ispravljenih podataka i matematičke funkcije pomoću kojih smo te podatke izračunali vršimo izračunavanje budućih kretanja posmatrane pojave izvan vremenskog raspona u kome je data serija originalnih podataka, kažemo da je to ekstrapolacija trenda. Prema tome, pod pojmom ekstraolacija podrazumevamo svako procenjivane nivoa posmatrane pojave izvan vremenskog raspona u kome je data serija osnovnih podataka,bilo da je to procenjivanje za buduće ili prošlo vreme.


60


Na osnovu operacije ekstrapolacije trenda vršimo, procenjivanje, predviđanje prognozu kretanja pojave za one periode za koje najčešće nemamo originalnih podataka. To se vrši najčešće za neki budući period, pa se odatle i najznačajnija karakteristika trenda kao metoda za procenu budućih kretanja. Međutim, takvu procenu budućih kretanja doneli smo na baziposmatranja i analize kretanja pojave u jednom određenom vremenskom rasponu u kme su na to kretanje delovali mnogi posredni i neposredni faktori. Naša procena i prognoza budućih kretanja zasniva s na pretpostavci da će svi relevantni faktori koji su uslovljavali kretanje do danas, delovali i daljeu istom smeru i približnom intezitetu. Ak se među tim uslovima i faktorima budu desile značajne promene njihovog dejstva po smeru i intezitetu,kretanje i razvoj posmatrane pojave imaće drugačiji oblik od onoga koga smo predvideli. Ova napomena značajna je naročitou onim slučajevima kada metodom trenda donosimo dugoročne prognoze kretanja i razvoja pojava.

Kada govorimo o trendu kao naučnom metodu dinamičke analize ipredviđanja budućih kretanja i razvoja pojava, potrebno je da obratimo pažnju na nekoliko osnovnih principa a to su:

1. Kada se metod trenda može primenjivati2. Koliko nam je podataka (perioda)potrebno da bi se mogao

primeniti metod trenda.3. Kako ćemo se opredeliti za izbor matematičke funkcije koja će

nam predstavljati trend.4. Za koji raspon vremena u budućnosti možemo vršiti

ekstrapolaciju trenda.

1. Primena metoda trenda, može se teorijski koristiti u svakom slučaju kada nam je data ma kakva vremenska serija podataka, bez obzira u kojim su vremenskim jedinicama snimani ti vremenski podaci. Međutim, praksa je pokazala da je metod trenda najpodesniji za dinamićku analizu onih vremenskih serija koje su date u jednogodišnjim vremenskim periodima. Metod trenda će imati realnog značaja, isto tako, ako se posmatrana pojava kratala i razvijala prvenstveno kao dugoročna često beskonačana, pokazujući pri tome svoja karakteristična kretanja koja je moguće prostim posmatranjem približnije definisati. Najzad, primena metoda trenda ima smisla ako je njegova ekstrapolacija, dakle prognoza zasnovana na realnoj pretpostavci i saznanju da će posmatrana pojava materijalmog i duhovnog sveta, tj. da se njeno postojanje neće bitno menjati u pozitivnom ili negativnom smislu.2. Broj podataka, ili perioda koji su nam neophodni da bi se primenio metod trenda je onoliko podataka koliko je dovoljno da bi se moglo zaključiti o vrsti ili obliku kratanja koje pojava ispoljava tokom dužeg perioda posmatranja.


61


3. Izbor funkcije trenda koju ćemo vrstu trenda primeniti zavisiće od posmatrane pojave, pa će to biti linearna ili krivolinijska funkcija, ili će se raditi o takvoj pojavi za koju se ne može izvršiti procena vrste i oblika u njenom kretanju i razvoju. Ta ocena vrste i oblika kretanja posmatrane pojave izvodi se pomoću dijagrama rasturanja. To je u stvari, grafički prikaz date vremenske serije i koja bi, prema tome,bila najprikladnija matematička funkcija za izražavanje ispoljenog oblika kretanja. Ta funkcija, prava ili kriva, treba da bude tako odabrana da se najbolje prilagođava rasporedu podataka na grafikonu; kako bi se realno izražavala centralnu tendenciju toga kretanja i razvoja i kako bi se što realnije mogla vršiti kao najverovatnije buduće kratanje i razvoj posmatrane pojave.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4. Dužina perioda predviđanja, budućih kretanja posmatrane pojave zavisi uglavnom od pravilnosti vrste i oblika kretanja koje je pojavi ispoljavala u dosadašnjem toku. Što je duži period u kome se pojava kretala istim ili sličnim tokom to je duži period za koji možemo vršiti predviđanje. Ono može biti najviše za dvostruko kraći od perioda posmatranja obuhvaćenog u vremenskoj seriji.

5.1.1. LINEARNI TREND

Za izražavanje centralne tendencije kretanja i razvoja koje se ispoljava kod posmatranih pojava u nekom pravolinijskom smeru, primenjuje se linearna (pravolinijska) matematička funkcija, koja u opštem eksplicitnom izrazu glasi:

ŷ=a+bxOvde se kao neyzavisna promenljiva uzima i posmatra vreme, označava se sa X, dok je kao njegova funkcija sa oznakom Y izražena vrednost trenda za svaki period ili vremensku jedinicu. Parametri a i b predstavljaju veličine koje trba da se izračunaju za svaki konkretni slučaj kao karakteristični elementi koji određuju položaj i nagib linije trenda. Parametar a pokazuje vrednost trenda u ishodištu (tj. kada je X=0), dok parametar b kao koeficijent pravca pokazuje stalnu veličinu porasta ili opadanja trenda od jednog perioda do drugog.


62


Linija trenda polazi između originalnih osnovnih podataka posmatrane serije, prilagođavajućise najvećoj mogućoj meri njihovom kretanju. Ovaj uslov koji mora da ispunjava i zadovoljava linija trenda sastoji se u tome da zbir odstojanja originalnih podataka od linije trenda mora da bude jednak nuli, tj.

∑=(yi-ŷ)=0Značajno je napomenuti da ovaj uslov ispunjava samo jedna, tačno određena prava, koja prolazi između originalnih podataka od linije trenda jeste minimum, tj. taj zbir kvadratnih odstupanja originalnih podataka od linije trenda manji je od zbira kvadratnih odstupanja originalnih podataka. U tome se sastoji princip najmanjih kvadrata, pa se ybog toga i metod trenda često naziva ¨Metod najmanjih kvadrata¨. Upravo po ovoj osobini, linija trenda se najbolje prilagođava rasporedu i kretanju originalnih podataka i izražava centralnu tendenciju razvoja pojave.Druga osobina trenda glasi:

∑=(yi-ŷ)2=minPomoću ovog izraza dolazimo do sistema normalnih jednačina iz kojih izračunavamo parametre a i b osnovne analitičke funkcije trenda, koje zadovoljavaju uslov najmanjih kvadrata:I ∑yi= na+b∑xiII ∑xiyi=a∑xi+b∑xi2

Rešavanjem ovog sitema pogodbenim metodom, dobićemo vrednost za parametre a i b, što će nam poslužiti da izračunamo vrednost trenda za svaki pojedini period.

Isto tako parametri a i b mogu da se izračunaju i pomoću obrasca:

Za izračunavanje trenda potrebne su tri faze koje su nedeljive i to: analitičko određivanje funkcije trenda; računsko izračunavanje elemenata i vrednosti trenda i grafičko prikazivanje rezultata.

PRIMER1: Proizvodnja benzina u hiljadama tona u periodu 1990-1996 god iznosila je:godine 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996proizvodnja (yi) 52 63 50 73 48 82 91

a) Prikazati originalne podatke na grafikon

b) Izračunati jednačinu linearnog trendac) Izračunati trend za svaku godinud) Izvršiti interpolaciju trendae) Izračunati ekstrapolaciju poizvodnje za 2005. god.

RADNA TABELA


63


Godine Proizvodnja Yi Xi Xi2 Xi•Yi Y

1990 52 -3 9 -156 49,191991 63 -2 4 -126 54,651992 50 -1 1 -50 60,111993 73 0 0 0 65,571994 48 1 1 48 71,031995 82 2 4 164 76,491996 91 3 9 273 81,95n=7 ∑Yi=459 ∑Xi=0 28 153

b) ŷ=a+bx

ŷ=65,57+5,46x

c) ŷ1990=65,57+5,46(-3)=49,19ŷ1991=65,57+5,46(-2)=54,65ŷ1992=65,57+5,46(-1)=60,11ŷ1993=65,57+5,46(0) =65,57ŷ1994=65,57+5,46(1) =71,03

ŷ1995=65,57+5,46(2) =76,49 ŷ1996=65,57+5,46(3) =81,95

d) ŷ2005=65,57+5,46(12)=131,09Očekivana proizvodnja u 2005.god biće 131,90 tona benzina.


64


Grafički prikaz proizvodnje i trenda

0

20

40

60

80

100

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

proizvodnja trend

KRIVOLINIJSKI ILI NELINEARNI TRENDOVI

Kada nam dijagram rasturanja pokaže da se kretanje posmatrane pojave ne odvija pravolinijski, onda metod pravolinijskog trenda neće biti podesan za izražavanje centralne tendencije toka i razvoja te pojave. U takvim slučajevima treba da odaberemo neku od krivolinijskih funkcija. Najčešće su to parabplična ili eksponencijalna funkcija.

5.1.2. PARABOLIČNI (KVADRATNI) TREND

Kada nam je data serija podataka čiji dijagram rasturanja ukazuje da se radi o takvom krivolinijskom kretanju koje je slično manje ili više otvorenoj paraboli, odnosno češće jednom kraku parabole, onda koristimo metod krivolinijskog paraboličnog trenda koji će nam najrealnije izražavati celokupnu tendenciju razvoja i kretanja posmatrane pojave.

Jednačina paraboličnog trenda glasi:ŷ=a=bx+cx2

Ovde imamo tri parametra a, b, c, pa za njihovo izračunavanje koristimo sistem od tri jednačine:I ∑yi=na+c∑xi2

II ∑xiyi=b∑xi2

III ∑xi2yi=a∑xi2+c∑xi4

Iz izračunate jednačine paraboličnog trenda možemo da zaklučimo o kakvoj se paraboli radi, gde joj je teme, odnosno da li ima maksimum ili minmum, da li je rastuća li opadajuća. Pre svega, napomenućem da ako je predznak uz X2 pozitivan, trend je rastućeg smera a ako je predznak negativan, trend je opadajućeg smera.Otvorenost krive parabole u našem slučaju nagib onog dela kraka parabole koji nam predstavlja trend,


65


zavisiće od veličine koeficijenta uz X2. Šta je taj koeficijent veći to je parabola više spljoštana a što je taj keficijent bliži nuli, kraci su ispruženiji.(kada je koeficijent jednak nuli, parabola postaje prava linija).

PRIMER2:Proizvodnja štofa u jednoj fabrici bila je po godinama u hiljadama metara:Godine 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000Proizvodnja 250 300 320 340 400 380 410a) Izračunati jednačinu paraboličnog trendab) Izračunati trend za svaku godinuc) Prikaži originalne podatke na grafiku i izvrši interpolaciju trendad) Izvrši ekstrpolaciju trenda za 2005. god.

2.RADNA TABELAGodine Proizvodnja Xi Xi2 Xi4 XiYi Xi2Y Y

1994 250 -3 9 81 -750 2250 252,61995 300 -2 4 16 -600 1200 291,71996 320 -1 1 1 -320 320 327,91997 340 0 0 0 0 0 353,21998 400 1 1 1 400 400 376,31999 380 2 4 16 1520 1520 394,22000 410 3 9 81 3690 3690 406,8n=7 2400 0 28 196 9380 9380 /

a) ŷ=a+bx+cx2

I ∑yi= na+c∑xi2

II ∑xiyi=b∑xi2

III ∑ xi2yi= a∑xi2+c∑xi4

2400=7a+28c 7a+28c=2400 2400=7a+28c/(-4) 720=28b 7a=2400-28(-2,6) 9380=28a+196c 9380=28a+196c 7a=2472,8 -9600=-28a-112c b=720/28 a=2472,8/7 9380=28a+196c b=25,7 a=353,2 -220=840

c=-220/84 c=-2,6 ŷ=353,2+25,7x-2,6x2

b) ŷ1994 =353,2+25,7(-3)-2,6(-3)2 =252,6 ŷ1995 =353,2+25,7(-2)-2,6(-2)2 =291,7 ŷ1996 =353,2+25,7(-1)-2,6(-1)2 =324,9 ŷ1997 =353,2+25,7(0)-2,6(0)2 =353,2 ŷ1998 =353,2+25,7(1)-2,6(1)2 =376,3 ŷ1999 =353,2+25,7(2)-2,6(2)2 =394,2


66


ŷ2000 =353,2+25,7(3)-2,6(3)2 =406,8

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

e) ŷ2005 = 353,2+25,7(8)-2,6(8)2=392,4Očekivana proizvodnja štofa u 2005. godini biće 392,4 hiljada metara.

5.1.3. EKSPONENCIJALNI TREND

Eksponencijalni trend pripada grupi krivolinijskih (nelinearnih) funkcija i koristi se u onimslučajevima kada serija podataka pokazuje karakteristik geometrijske progresije. Opšti oblik eksponencijalne funkcije glasi:

ŷ=a·bx

Kod ove funkcije nezavisno promenljiva X nalazi se u eksponentu, dok su parametri a i b. Rešavanjem ove funkcije, kao metod izračunavanja eksponencijalnog trnda vrši se pomoću logaritmovanja odnosno antilogaritmovanja. log ŷ=log a+xlog bZa iračunavanje parametra a i b koristimo sledeće formule:

PRIMER:Proizvodnja jedne vrste mesa iznosila je u hiljadama tona u periodu od 1995. do 2001.god.

Godine 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001Proizvodnja Yi

1258 965 786 630 510 402 380

a) Izračunati jednačinueksponencijalnog trenda za svaku godinu.b) Izračunati trend za svaku godinuc) Grafički prikazati originalne podatke i izvršiti interpolaciju trendad) Izvršiti ekstrapolaciju trenda za 2005. godinu.

RADNA TABELAGodine Proizvodnja

YiXi logYi Xi2 XilogYi logY Y


67


1995 1258 -3 3,09968 9 9,29904 3,07882 11991996 965 -2 2,98453 4 5,96906 2,98924 9751997 786 -1 2,89542 1 -

2,895422,89966 796

1998 630 0 2,79934 0 0 2,81008 6461999 510 1 2,70757 2 2,70757 2,72050 5252000 402 2 2,60423 4 5,20846 2,63092 4272001 380 3 2,57978 9 7,73934 2,54134 348n=7 4931 0 19,67055 28 -

2,50815

a) ŷ=a·bx

log ŷ=log a+xlog b

log ŷ=2,81008-0,08957xŷ=645,77·1,229x

b)log ŷ 1995 =2,81008-0,089578(-3)=3,07882 ŷ 1995 = =1199 log ŷ 1996 =2,81008-0,89578(-2)=2,98924 ŷ 1996 = =975log ŷ 1997 =2,81008-0,08957(-1)=2,89966 ŷ 1997 = =796log ŷ 1998 =2,81008-0,08957(0)=2,81008 ŷ 1998 = =646log ŷ 1999 =2,81008-0,08957(1)=2,70757 ŷ 1999 = =525log ŷ 2000 =2,81008-0,08957(2)=2,72050 ŷ 2000 = =427log ŷ 2001 =2,81008-0,08957(3)=2,54134 ŷ 2001 = =348

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

d) log ŷ 2005 =2,81008-0,089588(7)=2,18302ŷ 2005 = ŷ 2005 =152

Očekivana proizvodnja mesa u 2005. god je 152 hiljade tona.

5.2. STANDARDNA GREŠKA KOD TRENDA


68


Kad smo u dilemi koji trend treba uzeti za analizu posmatrane statističke serije pomoći će nam standardna greška trenda. Ona predstavljaprosečnu meru odstupanja podataka posmatrane pojave od linije trenda. Pošto su ta linearna odstupanja uvek jednaka nuli tj.∑(yi-ŷ)=0, ova se odstupanja kvadriraju i tako se dobijaju pozitivne vrednosti.Standardna greška obeležava se sa Sg i izračunava se po obrascu:

S ŷ=

Kod onog trenda, kod koga je standardna greška najmanja, taj tend najbolje izražava centralnu tendenciju kretanja posmatrane pojave.

6. REGRESIONA ANALIZA

Regresiona analiza kao skup naučno razrađenih statističkih metoda za istraživanje odnosa među pojavama, nastala je na višem stepenu razvoja statističke teorije. Karakterističke regresione analize, kao naučnog metoda istarživanja i složene analize su u tome što je statistička teorija sve svoje rezultate i sudove nastojala da iskaže nekim kvantitativnim pokazateljima, brojem ali je pri tome izgrađivala specifičan sistem tih kvantitativnih pokazatelja koji nisu kruti brojevi i koji ne daju samo jednu stranu kvantitativnih sadržaja koje odražavaju.

Od prvih etapa posmatranja pa preko sreađivanja i grupisanja, statističko istraživanje je, izraženo u najjednostavnijem obliku, teklo u smeru posmatranja karakteristika i zakonitosti koje vladaju u pojedinačnim pojavama.

S obzirom da se statistička analiza uopšte odvija u sferu stohastičkih pojava i procesa, statistika ima za cilj da u naučnom istraživanju zakonitosti varijacija obeležja pojedinačnih pojava kao i u zakonitostima varijacija odnosa među pojavama, istražuje i definiše tu zakonitost kao centralnu nit, funkciju, oko koje se dešavaju varijacije.

Regresiona analiza dobila je naziv i svoje osnovne sadržinske definicije početkom XX veka. Etimološki potiče od latinske reči regresio, što znači uzvrat, uzvraćanje. Prvi put nalazimo kod Galtona poznatog engleskog prirodnjaka, neodarvinista, koji se služio statističkom analizom u istarživanju naslednih osobina. On je uveo termin regresija i regresiona


69


analiza, da bi bliže definisao karakter statističke analize kojom se služimo.

U okviru i pod pojmom regresione analize obuhvataju se tri osnovna područja istraživanja odnosa među pojavama. To su:

1. Kovarijacija2. Regresija3. KorelacijaRegresiona analiza kao celovit skup odgovarajućih metoda

naučnog istraživanja međusobnih odnosa, treba da nam omogući da ustanovimo ili procenimo:

Da li između dve ili više posmatranih pojava postoji neka zakonomerna veza karakteristična za njihovu egzistenciju uopšte, ili se neki oblik veze javlja pod uticajem slučajnih negrupisanih faktora;

Ako postoji neki oblik zakonitosti veza između posmatranih pojava, u kom stepenu je to izraženo. Tačnije, statistika treba da iznađe način da pri tome to kvantitativno iztraživanje bude što realniji izraz kvalitativnih odnosa posmatranih pojava.

Međusobne veze posmatranih pojava mogu da ispoljavaju jače ili slabije odnose u oba smera:

1. Istosmerno (bilo u pozitivnom, bilo u negativnom smeru);2. Suprotnosmerno, kada varijacijama kod jedne pojave

odgovaraju suprotnosmerne varijacije kod druge pojave a to sve može imati različite oblike.

Istražujući odnose među pojavama, dolazimo do zaključka i sudova o tome na kome se stepenu nalaze ti odnosi u drugačijoj skali raspona između potpune nezavisnosti kao jedne i funkcionalne zavisnosti kao druge krajnje tačke teorijskih mogužnosti postojanja njihovih međusobnih veza.

OSNOVNI OBLICI POVEZANOSTI POJAVA

Područje ispoljavanja međusobnih veza i odnosa različitih pojava jeste područje:

1. STOHASTIČKE VEZE, ovaj oblik međusonih veza uglavnom proističe iz postojanja stalnih uslova faktora i uzroka koji uslovljavaju i opredeljuju njihov intezitet i smer. Kvantitativno iztraživanje i iztraživanje stohastčke povezanosti ima za cilj da se izrazi stepen ili mera te povezanosti, dok nam kvantitativno istraživanje ima za cilj da ustanovimo da li jedna pojva uslovljava drugu.

2. FUNKCIONALNA POVEZANOST, to je najviši oblik povezanosti i odnosa među pojavama. I dok se stohastička povezanost


70


najčešće ispoljava kod društvenih i privrednih pojava, dotle se funkcionalna povezanost najčešće ispoljava kod prirodnih pojava. Ovo je isovremeno i najčešći oblik povezanosti pojava, pa je zbog toga najjednostavnije za kvantitativno iztraživanje i praćenje a uz to i za kvalitativno definisanje. Matematički izraz te povezanosti iskazuje se određenim oblicima funkcija, kada promenama jedne veličine odgovaraju tačno određene promene druge veličine pri čemu se ta uzajamna zavisnost promena ispoljava u oba smera varijabilnosti. Međutim, iako se ovde radi o jasno određenim odnosima varijabiliteta, ovaj oblik povezanosti ne treba shvatiti samo kao kvantitativne odnose, jer svaki oblik funkcionalne povezanosi krije i izražava pored kvantitativnih i neke kvalitativne odnose. To nam govori da je u iztraživanju međusobnih odnosa i veza neophodnovoditi računa da su kvalitativna i kvantitivna analiza nedeljiva celovitost naučnog iztrživanja, jer samo na taj način ustanovljavamo ili procenjujemo ne samo meru nego i karakter suštinu tih odnosa.

3. EMPIRISKA POVEZANOST, ustanovljavanje ove povezanosti vrši se iskustvom, empirijom, posmatranjem, eksperimentom i drugim savremenim oblicima simuliranog dovođenja u neposredni odnos i vezu uzroke i posledice. Ovaj oblik povezanosti čini osnovni sadržaj mnogih nauka i prvu fazu naučnog iztraživnja. Iz ovih iztraživanja se dalje razvijaju iztraživanja funkcionalne i stohastičke povezanosti, koje su omogućile uopštavanje do tada dobijenih rezultata.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

6.1. REGRESIJA-POJAM I ZNAČENJE

Prelazeći na posmatranje i istraživanje međusobnih odnosa i veza dveju ili više istovremeno postojećih pojava, statističku analizu proširujemo na posmatranje i istraživanje dvodimenzioniranihi višedimenzioniranih pojava čije se istovremene varijacije obeležja mrđusobno povezuju odnosom jačeg ili slabijeg inteziteta. Na ovaj načinu postavljanju ove statističke anlize polazimo od pretpostavke da između tih pojavapostoji neki oblik funkcionalne povezanosti, odnosno da se stohastička povezanost koja je opšta karakteristika pojava u društvu i privredi, ovde približava funkcionalnoj povezanosti. Kada u sttistici primenjujemoi kristimo pojam i metod funkcije, onda to činimo zbog toga da tim egzaktnim putem u kvantitatvnom izrazu prikažemo onu centralnu nit oko kojese dešavaju različite varijacije u okviru istovremeno posmatranih pojava, koje pri tome ispstavljaju određen stepen uzajamne


71


povezanosti koja se kreće oko funkcionalnih odnosa. U statistici pod pojmom regresije podrazumeva se:

1. Prosečan zakonmeran kvantitaivni odnos između dve posmatrane pojave pojave izveden na osnovu rasporeda i veličine parova njihovih podataka.

2. Matematička funkcija (prava ili kriva linija) koja izražava taj prosečan zakonomeran odnos dveju pojava.

Regresija se izračunava kao metod statističke analize kada imamo dve statističke serije koje izražavaju podatke o nekom istorodnom obeležju različitih pojava ili o različitim obelžjima jedne iste pojave.

U analizi dvodimenzionalnih rasporda na početku se opredeljujemo za određivanjkekoja od posmatranih pojava ili obeležja je nezavisno promenljiva veličina a koja je zavisno promenljiva ili funkcija , čije se vrednosti izvode iz veličina nezavisno promenljive. Cilj istraživanja i analize najčešće nas opredeljuje u tom izboru ali pritom mora voditi računa o tome da sličan funkcinalan odnos treba da postoji i u obrnutom smeru, dakleda se može izražavati smer funkcionalne povezanosti u obliku analitičke funkcije y=f(x) a isto tako i u obliku x=φ(y).

Na osnovu ovoga možemo da kažemo da se pod pojmom regresije u statističkoj analizi podrazumeva jednačna regresije kojom se u obliku statističke funkcije povezuju varijacije dveju pojava preko njihovog prosečnog odnosa. Ovaj prosečni odnos izražava se jednačinom matematičke funkcije koja se odgovarajućim računskim postupcima izražava iz parova podataka zadatih serija.

Da bi se dobile dovoljne prethodne informacije o rasporedu ovih parova podataka o posmatranim pojavama, kao i da bi se uočilo da li i u kojoj meripostoji neka karakteristična zakonitost njihovog rasporeda po smeru i obliku, služimo se metodom grafičkog prikaza (dijagram rasturanja) iz čega uočavamo oblik, smer pa i stepen međusobne saglasnosti podataka i varijacija posmatrnih pojava. Oba ova metoda prethodnog ustanovljavanja oblika i smera rasporeda parova podataka, poslužićenam prvo za orijentaciju i izbor oblika regresije funkcje,a zatim za procenu smera i stepena povezanosti među pojavama u obliku stepena korelacije.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Iz ovog dijagrama zaključujemo:

1. Primer- zapaža se visok stepen saglasnosti istosmernog pravolinijskog kretanja varijacija obeležja posmatranih pojava, pozitivan smer kretanja.

2. Primer- zapaža se istosmerno ali negativno pravolinijsko kretanje varijacija obeležja posmatranih pojava, ali je stepen njihove


72


saglasnosti u ovom slučaju mnogo slabiji što se pokazuje većim rasipanjem tačaka.

3. Primer- pokazuje dosta visok stepen saglasnosti varijacija i distribucije parova podataka u obliku krive linije(parabole). U ovom slučaju stepen saglasnostzi odnosno raspored na dijagramu rasturanja može biti jači ili slabiji.

4. Primer- prikazuje takav raspored tačaka (parova podataka) koji ne pokazuje mogućnosti za primenu bilo koje vrste funkcije, pa kažemo da se tu radi o odsustvu saglasnosti i zakonomerne povezanosti posmatranih pojava.

Regresija se deli na:1. linearnu2. nelinearnu ili krivolinijsku.

6.1.1. LINEARNA REGRESIJA

Pod pretpostavkom da smo iz dijagrama rasturanja i tabele sa dvostrukim ulazom zaključili da se rasipanje i raspored parova podataka o posmatranim pojavama kreću pravolinijskom smeru i obliku, opredelićemo se za izbor linearne funkcije kojućemo kristiti za izražavanje linearne regresije. To će bitiona srednja linija koja prolazi između parova podataka posmatranih serija kao neka vrsta rezultante ukupnih uzajamnih varijacija obe posmatrane pojave. Linearna funkcija ove regresije glasi:

yc=a+bxRazlika između ovog metoda izračunavanja linearne regresije i

linearnog trenda je u tome što smo kod trenda imali jednu serju podataka(vremenska serija) čije smo kretanje pratili kroz nezavisnu promenljivu veličinu X. Kod regresije međuti, date su nam dve serije podataka koje izražavaju veličine dva različita obeležja kod jedne iste pojave. Jednu od tih pojava(serija) uzimamo i određujemo kao nezavisnu promenljivu veličinu X, a drugu nezavisnu promenljivu veličinuY, koja ujedno predstavlja funkciju nezavisno promenljive veličine X. Zadatak se sastoji u tome da kao rezultat dobijemo procenjenu vrednost funkcije Y za svaku promenu veličine X.

Što se tiče parametara a i b koji se javljaju u analitičkom izrazu linearne funkcije izračunavamo ih iz sistema normalnih jednačina:


73


I ∑y= na+b∑xII ∑xy=a∑x+b∑x2

Izračunavanjem parametara a i b dobijaju se elementi za interpolaciju linije regresije između datih tačaka na grafikonu, kao i ekstrapolaciju za veličine izvan serije prikazane osnovnim grafikonom. Postupak izračunavanja linearne regresije odvija se sledećim rasporedom:

1. Određujemo koja će od ove serije biti označena kao funkcija a koja kao nezavisna promenljiva;

2. Crtamo dijagram rasturanja da bismo sagledali ili procenili o kom se obliku veza među pojavama radi, odnosno da bismo se odlučili koju vrstu matematičke funkcije ćemo odabrati za izražavanje regresije;

3. Izračunavamo elemente i analitički izraz funkcije regresije, odnosno sve njene elemente;

4. Najyad nacrtamo preciyan grafikon pojava i linije regresije, tj. interpolaciju funkcije regresije.

Jednačina regresije izražava prosečnu meru varijacija zavisno promenjljive veličine Y kao funkcije promena koje su se dešavale u okviru nezavisno promenjljive veličine X . Ta jednačina određuje ne samomeru variranja za date vrednosti, što znači da na osnovu te jednačine možemo da procenjujemo veličinu funkcije Y za ma koju vrednosti nezavisno promenjlive X. Ovo je jedna od najznačajnijih osobina jednačine regresije, odnosno iznalaženje regresije uopšte.

6.1.2. STANDARDNA GREŠKA REGRESIJE

Ona predstavlja stepen prilagođenosti linije regresije originalnim podacima funkcije Y.

Izračunava se po obrascu:

Standardna greška regresije služi kao metod testiranja pri izboru vrste funkcije kojom izražavamo regresiju. To je slučaj kada nam prema dijagramu rasturanja originalnih podataka nije potpuno jasno kakav oblik kretanja bi najbolje odgovaralo tom rasturanju podataka,odnosno koju matematičku funkciju bi trebalo primeniti da bi što realnije izračunala linija regresije. Ako postoji dilema,potrebno je izračunati sve vrste regresije(linearna ili krivolinijska) za koje smatramo da bi mogle da se primene u konkretnom primeru pa između njih odabrati onu čija je


74


standardna greška regresije najmanja, jer samo tako možemo da postignemo željeni stepen naučnosti analize.

6.2. KORELACIJA – POJAM I ZNAČENJE

Korelacija je deo regresione analize. U posmatranju uzajamnih odnosa i povezanosti dve iliviše pojava, naučna analiza se najčešće usmerava na iznalaženje i izražavanje stepena (jačine) i smera njihove međusobne veze i odnosa.Kao i u mnogim drugim analitičkim metodama, i ovde se odmah postavlja zadatak da se ti odnosi i međusobna povezanost izrazi nekim podesnim kvantitativnim pokazateljem, brojem koji će iskazivati ne samo kvantitativno stepan i jačinu te veze, nego kojiće izražavati i sadržinsku kvalitativnu stranu tih odnosa. Kod istrživanja korelacije, posmatrane pojavesu jednako značajne pa zbog toga ne govorimoo tome koliko je među tim pojavama izražena njihova međusobna zavisnost u smislu izražavanja te zavisnosti u jednom smeru, tj. kada posmaramo zavisnost jedne pojave od druge, bez uzimanja obzir i takvog posmatranja u obrnutom smeru.

Istraživanjem korelacije bave se mnoge nauke,jer se kod mnogih nauka javlja neophodna potreba da se razni aspekti naučnog istraživanja uopšte odvijaju i zasnivaju na iznalaženju i definisnju složenih međusobnih veza i uticaja različitih pojava, uzroka i posledicau njihovom punom povezivanju i uzajamnosti. Korelacina analiza vezana je za oblast stohastičkog procesa pa svi njeni rezultati, zaključci i sudovi moraju se tako shvatiti.

Statističko definisanje pojma korelacije ne svodi se na izražavanje uzročne povezanosti među pojavama, nego se korelacijom ukazuje da ima među posmatranim pojavama ispoljavanja uzročne povezanosti.

6.2.1. KOEFICIJENT KORELACIJE

Brojčani statistički pokazatelj kojim se izražava korelacijau statističkoj analizi naziva se koeficijent korelacije. Izračunava se po

obrascu:

Ovaj koeficijent se kreće u zoni pozitivnih(istosmerna veza) i negativnih(suprotno smerna veza) varijacija obeležja.Skala jačine korelacionih veza:


75


1. Za vrednost r od 0 do ± 0,25 postoji izvestan slab stepen uzajamnosti, ali to obično zanemerujemo;

2. Za vrednost r od ± 0,25 do ± 0,50 postoji uzajamnost sa kojom treba računati;

3. Za vrednost r od ± 0,50 do ± 0,75 postoji visok stepen uzajamnosti;4. Za vrednost r od ± 0,75 do ± 1 postoji visok stepen uzajamnosti;5. Za vrednost r = ± 1 kažemo da postoji povezanost i uzajamnost

između posmatranih pojava i obeležja koju tumačimo funkcionalnom vezom.

Vrednost koeficijenta korelacije može se izražavati u procentima množeći sa 100.PRIMER1: Primanja po članu domaćinstva i potrošnja povrća po domaćinstvu bila je :Primanja u 105 din(xi)

25 26 28 26 29 31 33

potrošnja povrća (Yi)

6 5 8 7 8 9 8

a) Prikazati ove podatke u dijagramu rasturanja, utvrditi da li postoji korelaciona veza i kakva je po jačini i smeru, pri čemu za zavisno promenljivu (Yi) uzeti potrošnju povrća po domaćinstvu, a za nezavisno promenljivu (Xi) primanja po članu domaćinstva;

b) Izračinati jednačinu linearne regresijec) Izračunati standardnu grešku;d) Odrediti očekivanu potrošnju za 38·105

e) Izračunati koeficijent korelacije.

IZRADA

RADNA TABELA –za izračunavanje linearne regresijePotrošnja(Yi) Primanja(Xi

)Yi2 Xi2 Yi*Xi Yc (Yi-

Yc)(Yi-Yc)2

6 25 36 625 150 6.11 -0,11 0,01215 26 25 676 130 6.47 -1,47 2,16098 28 64 784 224 7,18 0,82 0,67247 26 49 676 182 6,47 0,53 0,2809


76


8 29 64 841 232 7,54 0,46 0,21169 31 81 961 279 8,25 0,75 0,56258 33 64 1089 264 8,97 -0,97 0,9409

51 198 383 5652 1461 / / 4,8413

a) DIJAGRAM RASTURANJA

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Iz dijagrama rasturanja uočavamo da izmedju potrosnje povrća I primanja

postoji pozitivna korelaciona veza (tačke se grupišu od donjeg levog ugla

ka gornjem desnom uglu), sto znači da sa porastom primanja u proseku se

povećava potrošnja povrća. Sto se tice jačine korelacione veze može se

reci da je ona jaka jer se tačke grupisu oko zamišljene prave linije

interpolirane između tačaka u dijagramu rasturanja.

b) yc=a+bx

I ∑yi= na+b∑xiII ∑xiyi=a∑xi+b∑xi2

I 51=7·a+198b/·(198)

II 1461=198a+5652b · (-7)

10098=1386a+39204b

-10227=-1386a-39564b

-129= -360b

b= - 129/-360

b=0,358

51= 7a+198·0,358

7a=51-70,884

7a=-19,884

a=-19,884/7


77


a=-2,840

Jednačina linearne regresije glasi: Yc= - 2,840+0,358xi

Yc1=-2,840+0,358(25)=6,11

Yc2=-2,840+0,358(26)=6,47

Yc3=-2,840+0,358(28)=7,18

Yc4-2,840+0,358(26)=6,47

Yc5=-2,840+0,358(29)=7,54

Yc6=-2,840+0,358(31)=8,25

Yc6=-2,840+0,358(33)=8,97

c) Standardna greška regresije je

Sy=0,832

Srednja mera odstupanja potrošnje povrća od linearne regresije iznosi

0,832 kg.

d) Yc=-2,840+0,358X

Yc=-2,840+0,358(38)Yc=10,764

Očekivana potrošnja povrća za primanje od 38*105din. je 10,764 kg.

e) Koeficijent korelacije:

RADNA TABELAYi Xi (Yi-Y) (Yi-Y)2 (Xi- ) (Xi- )2 (Xi- )·(Yi-Y)

6 25 -1,28 1,6384 -3,28 10,7584 4,19845 26 -2,28 5,1984 -2,28 5,1984 5,1984


78


8 28 0,72 0,5184 -0,28 0,0784 -0,20167 26 -0,28 0,0784 -2,28 5,1984 5,19848 29 0,72 0,5184 0,72 0,5184 0,51849 31 1,72 2,9584 2,72 7,3984 4,67848 33 0,72 0,5184 4,72 22,2784 3,3984

51 198 / 11,4288 / 51,4288 22,9888

= =7,28 prosečna potrošnja povrća je 7,28 kg.

= =28,28 prosečna primanja su 28,28 ·105din.

r=

r=0,9482·100

r=94,82%

Korelaciona veza između potrošnje povrća i primanja u 7 domaćinstava je

94,82% (pozitivna i jaka).


79



80

Documents

KVANTITATIVNE METODE (STATISTIKA) SKRIPTA - Seminarski, Diplomski, Maturski Radovi, Ppt