Embed Size (px)
Citation preview
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica 19 1000 Ljubljana
Gradivo za pripravo na tekmovanje iz finančne matematike in statistike za gimnazijce predstavljeno na
Strokovnem srečanju in občnem zboru DMFA,
Bled, 15. - 16. 11. 2013 Avtorji: Tomaž Košir, Klara Pugelj,
Aleš Toman
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev v elektronski obliki, natis in uporabo gradiva v tem dokumentu izključno za potrebe dijakov in njihovih učiteljev pri pripravah na tekmovanje iz znanj finančne matematike in statistike. Vsakršno drugačno reprodu-ciranje ali distribuiranje gradiva v tem dokumentu, vključno s tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.
Strokovno srecanje in 65. obcni zbor DMFA Slovenije
Predstavitev tekmovanja iz financne matematike
Tomaž Košir, Klara Pugelj, Aleš Toman
Strokovno srecanje in 65. obcni zbor DMFA Slovenije
Predstavitev tekmovanja iz financne matematike
Obresti in obveznice
Aleš Toman
Tipi obrestovanja
cas
P
0
N
T
N = P · A(0, T )
P = N · D(0, T )
 P je sedanja vrednost zneska N .
 N je prihodnja vrednost zneska P.
 A(0, T ) obrestovalni faktor
 D(0, T ) diskontni faktor
Tip obrestovanja: obrestna mera R, cas T 7→ A(0, T ), D(0, T )
Navadno obrestovanje
 Obrestuje se samo zacetna glavnica.
A(0, T ) = 1+ R · T ; T ∈ R
D(0, t) = (1+ R · T )−1; T ∈ R
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
 kratkorocni vrednostni papirji, medbancna posojila
Diskretno (obrestno) obrestovanje
 Pripis obresti glavnici k-krat na leto.
A(0, hk) =
�
1+ Rk
�h; h ∈ N A(0, h
2) =
�
1+ R2
�h
D(0, hk) =
�
1+ Rk
�−h; h ∈ N D(0, h
2) =
�
1+ R2
�−h
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
 bancni racun, krediti, depoziti
Zvezno (obrestno) obrestovanje
 Neprestano pripisovanje obresti glavnici.
A(0, T ) = eY ·T = (1+ R)T ; T ∈ R
D(0, t) = e−Y ·T = (1+ R)−T ; T ∈ R
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
 izvedeni financni instrumenti
Casovna struktura obrestnih mer
Obrestna krivulja ali krivulja donosnosti
 obrestna mera kot funkcija casa do dospetja: T 7→ R(0, T )
http://www.euribor-ebf.eu/euribor-org/euribor-rates.html
Podatki za 11.11.2013
1w 2w 3w 1m 2m · · · 11m 12mEuribor 0.081 0.088 0.095 0.109 0.115 · · · 0.508 0.542
Kredit
 G glavnica
 a anuiteta
 R (nominalna) obrestna mera, diskretno obrestovanje
 r = Rk
obdobna obrestna mera
obdobja
G
0
a
1
a
2
a
3
· · ·a
n− 1
a
n
Kredit
obdobja
G
0
a
1
a
2
a
3
· · ·a
n− 1
a
n
 Nacelo ekvivalence glavnic v casu 0
G =a
1+ r+ · · ·+
a
(1+ r)n=
a
(1+ r)·1− ( 1
1+r)n
1− 11+r
= a ·(1+ r)n− 1
r(1+ r)n
a = G ·r(1+ r)n
(1+ r)n− 1
Kredit z narašcajocimi anuitetami
Podjetje pri delu uporablja stroj, ki ga želi zamenjati z novejšim inenergijsko bolj ucinkovitim. Nov stroj stane 100 000 EUR, podjetježeli zanj najeti 5-letni kredit s polletnimi anuitetami. Nominalnaobrestna mera za kredit znaša 6%.
Podjetje banko prosi za dve razlicni ponudbi.
a) V prvi ponudbi podjetje ves cas placuje konstantne anuitete.Dolocite anuiteto opisanega kredita.
b) Z novim strojem bodo povecali proizvodnjo in prihodke, zatobodo v prihodnosti zmožni odplacevati višje anuitete.
V drugi ponudbi je vsaka anuiteta za 2% višja od predhodne.Dolocite višino prve in zadnje anuitete.
Rešitev a)
 G = 100 000 EUR
 r = 0.062= 0.03
 n= 10 polletij
a = G ·r(1+ r)n
(1+ r)n− 1= 11 723.05 EUR
Rešitev b)
 s = 0.02 rast anuitet
 x = (1+ s) faktor rasti anuitet
obdobja
G
0
a
1
ax
2
ax2
3
· · ·
ax8
9
ax9
10
 Nacelo ekvivalence glavnic v casu 0
G =a
1+ r+
a(1+ s)(1+ r)2
+a(1+ s)2
(1+ r)3+ · · ·+
a(1+ s)9
(1+ r)10
Rešitev b)
G =a
1+ r+
a(1+ s)(1+ r)2
+a(1+ s)2
(1+ r)3+ · · ·+
a(1+ s)9
(1+ r)10 =
=a
1+ r·�
1+1+ s
1+ r+�1+ s
1+ r
�2
+ · · ·+�1+ s
1+ r
�9�
=
=a
1+ r·1−
�
1+s1+r
�10
1− 1+s1+r
= a ·(1+ r)10− (1+ s)10
(r − s)(1+ r)10
a = G ·(r − s)(1+ r)10
(1+ r)10− (1+ s)10 = 10 758.05 EUR
Zadnja anuiteta je a(1+ s)9 = 12 856.86 EUR.
Obveznice
Obveznica je vrednostni papir, s katerim se izdajatelj obveže,da vam bo ob dolocenem casu izplacal vnaprej znan znesek.
Brezkuponska obveznica
cas
P
0
N
2
Kuponska obveznica
cas
P
0
C
1
C
2
C
3
C
4
N + C
5
 N nominalna vrednost
 T dospetje
 C kupon
 t i kuponski datumi
 P cena
Zakladne menice
http://www.mf.gov.si/si/delovna_podrocja/vrednostni_papirji
cas
P
0
N
T
P = N · D(0, T )
P = N ·�
1+ T · R(0, T )�−1
Slovenija, 10.9.2013
 T = 14
 N = 100 P = 99.876
 T = 12
 N = 100 P = 99.272
Zakladne menice
http://www.mf.gov.si/si/delovna_podrocja/vrednostni_papirji
cas
P
0
N
T
P = N · D(0, T )
P = N ·�
1+ T · R(0, T )�−1
Slovenija, 10.9.2013
 T = 14
R(0, 14) = 0.50%
 N = 100 P = 99.876
 T = 12
R(0, 12) = 1.47%
 N = 100 P = 99.272
Kuponske obveznice
http://www.mtsindices.com/european-bond-spreads
Kuponske obveznice
 t = 0 (danes)
 T = 1056
(9.9.2024)
 N = 100 EUR
 C = 4.625 EUR
 P = 89.0863 EUR
cas
P
0
C
56
C
156
C
256
· · · C
956
N + C
1056
Donosnost do dospetja
cas
P
0
C
56
C
156
C
256
· · · C
956
N + C
956
Konstantna obrestna mera R(0, T )≡ R
P =C
(1+ R)56
+ · · ·+C
(1+ R)956
+C + N
(1+ R)1056
89.0863=4.625
(1+ R)56
+ · · ·+4.625
(1+ R)956
+104.625
(1+ R)1056
R= 6.1313%
Kuponske obveznice
Republika Slovenija želi danes izdati 5-letne kuponske obveznice znominalnimi vrednostmi 1000 EUR in letnimi kuponi po 5% kupon-ski obrestni meri.
Znane so naslednje obrestne mere pri zveznem obrestovanju.
t 1 2 3 4 5R(0, t) 3.15% 3.45% 4.10% 4.70% 5.20%
a) Dolocite ceno ene obveznice (apoen).
b) Koliko obveznic mora Slovenija izdati, ce želi danes z njimi zbratimilijardo EUR?
c) Koliko obresti bo vsako leto placala Slovenija?
Rešitev
 T = 5
 N = 1000 EUR
 C = 0.05 · 1000= 50 EUR
cas
P
0
C
1
C
2
C
3
C
4
N + C
5
P =C
1+ R(0, 1)+
C�
1+ R(0,2)�2+· · ·+
C�
1+ R(0,4)�4+
C + N�
1+ R(0, 5)�5
Rešitev
P =50
1.0315+
50
1.03452 +50
1.04103 +50
1.04704 +1050
1.05205
= 996.04 EUR
Slovenija mora izdati1 000 000 000
996.04= 1 003 980 obveznic.
Zato bo vsako leto za obresti namenila 50 199 000 EUR.
