RGGF Geodezija

2

5. MJERENJE GEOMETRIJSKIH VELIČINA

5.1 Mjerenje uglova

U geodeziji i rudarskim mjerenjima mjere se ravninski uglovi i to:

- u horizontalnoj ravni – horizontalni uglovi

- u vertikalnoj ravni vertikalni i zenitni uglovi (visinski uglovi)

Horizontalni ugao se mjeri u ravni horizontalnog kruga. Vrh horizontalnog ugla nalazi se u vertikali

kroz stajališnu tačku instrumenta. Krakovi horizontalnog ugla su ortogonalne projekcije prostornih pravaca kroz

stajališnu i ciljnu tačku na horizontalnu ravan, odnosno ravan limba.

U vertikalnoj ravni razikuju se vertikalni i zenitni uglovi. Vertikalni ugao je ugao u vertikalnoj ravni

koga zatvara pravac sa horizontalom. Zenitni ugao je ugao u u vertikalnoj ravni koga zatvara pravac sa

vertikalom kroz stajališnu tačku. (sl.5.1).

Slika 5.1.

Princip mjerenja horizontalnih uglova prikazan je na slici 5.2. Prostorni pravci između kojih se mjeri

ugao, projiciraju se vertikalnim ravninama na hprizontalnu ravan tjemene tačke ugla u kojoj se nalazi kružno

mjerilo (uglomjer). Horizontalne projekcije prostornih pravaca predstavljaju krakove mjerenog ugla, kojima

odgovara očitanja na kružnom mjerilu. Razlika očitanja predstavlja horizontalni ugao.

Osnovni instrument koji se koristi kod mjerenja uglova je teodolit. Za odredjivanje fiksnih uglova

(pravog ugla, odnosno okomice) na terenu, koriste se ogledala i prizme.

B' ZB

A

B

C

B

C

C'

= OB – O

A

= J2 – J

1

= J1 – J

2

+ = 360o

RGGF Geodezija

3

5.1.1 Teodolit

Osnovni instrument za mjerenja uglova je teodolit. Teodoliti su, uglavnom, konstruisani tako da služe za

mjerenje i horizontalnih i vertikalnih uglova. Razlikuju se prema tačnosti i prema konstrukciji. Tačnost teodolita

ocjenjuje se prema srednjoj greški, odnosno standardnom odstupanju pravca opažanog u dva položaja durbina.

Prema konstrukciji dijele se na :

- mehaničke,

- optičke,

- elektronske ili digitalne

Mehanički teodoliti su starije konstrukcije teodolita. Kod ovih instrumenata krugovi su od metala, a

očitanje je lupom ili jednostavnijim mikroskopom. U ovu grupu spada i rudarski ili viseći teodolit koji se koristio

za dopunska mjerenja u jami.

U prvoj polovini 20. vijeka u teodolite se počinju ugradjivati stakleni krugovi, što omogućuje složeniju

gradju mikroskopa za očitanje podjele, kao i primjenu tačnijih optičkih mikrometara. Ovim se stvara mogućnost

izrade teodolita veće tačnosti. Zbog većeg učešća optičkih elemenata u gradji, dobivaju naziv optički teodoliti.

Na slici 5.3a prikazan je Zeiss-ov optički teodolit, a na 5.3b optički sistem za očitanje krugova. Posljednjih

decenija izradjuju se teodoliti sa posebnom gradjom krugova, koja omogućuje digitalno očitanje pomoću

elektronskih sistema. Danas su uglavnom u upotrebi digitalni (elektronski) teodoliti. U ove teodolite ugradjeni su

elektronski sklopovi koji omogućuju automatsko očitanje krugova i registraciju podataka mjerenja. Na slici 5.3c

prikazan je elektronski teodolit Topcon DT-200.

5.1.1.1. Gradja teodolita

U osnovi teodolit se sastoji iz dvije cjeline:

- donji dio koji je u toku mjerenja nepomičan

- gornji dio - alhidada, koji se u procesu mjerenja okreće oko vertikalne ose instrumenta.

Donji i gornji dio povezani su u jednu cjelinu sistemom vertikalne osovine teodolita. Sistem vertikalne

osovine mora osigurati stabilnost instrumenta i pravilno okretanje pokretnog dijela, što zahtijeva visok kvalitet

izrade ovog mehaničkog dijela instrumenta. Geometrijska osa ovog sistema mora prolaziti kroz centar

horizontalnog kruga (limba) i naziva se obrtna (vertikalna) osa instrumenta ili alhidadna osa .

Donji dio teodolita u osnovi čine podnožni vijci (vijci za horizontiranje) koji su obično na podnožnoj

ploči. Teodolitse tokom mjerenja, ušvršćen na glavu stativa centralnim vijkom. Kod većine teodolita donji dio

teodolita ima tri podnožna vijka za horizontiranje instrumenta. Kod teodolita manje tačnosti uz podnožni dio

čvrsto je vezan i horizontalni krug. Kod teodolita za tačnija mjerenja horizontalni krug se može zasebno okretati.

U tom slučaju horizontalni krug na svom nosaču čini zasebnu cjelinu (srednji dio teodolita) i može se okretati

oko vertikalne ose nezavisno od gornjeg dijela.

Gornji dio teodolita naziva se i alhidada i okreće se iznad donjeg (i srednjeg) dijela oko vertikalne

(alhidadne) ose. Učvršćenje alhidade u odredjenom položaju vrši se kočnicom alhidade. Okretanje alhidade u

horizontalnoj ravni, za male iznose, vrši se pomoću vijka za fino pomjeranje alhidade.

Na gornjem dijelu se nalaze:

Slika 5.3.

a) b)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1.Kočnica durbina

2. Prsten za fokusiranje durbina

3. Bubanj optičkog mikrometra

4. Preklopnik za dovodjenje slike

5. Okular mikroskopa

6. Cijevna libela

7. Dozna libela 8. Vijak libele uz vertikalni krug

9. Vijak za fino pomjeranje durbina

10. Vijak za okretanje limba

(repeticioni uredjaj) 11. Kočnica alhidade

12. Vijak za fino pomjeranje alhidade

13. Optički visak

c)

RGGF Geodezija

4

- durbin, koji služi za viziranje,

- vertikalni krug koji služi za mjerenje vertikalnih uglova,

- kočnice i vijci za fino pomjeranje,

- libele za horizontiranje instrumenta,

- sprave za očitanje krugova

Horizontalni krug

Horizontalni krug ima oblik kružne ploče ili prstena na kome je nanesena podjela. Horizontalni krug,

odnosno njegov graduirani dio, naziva se limb. Vertikalna

(alhidadna) osa teodolita je okomita na horizontalni krug.

Horizontiranjem instrumenta alhidadna osa se postavlja u

vertikalan položaj, čime se horizontalni krug dovodi u horizontalu,

pa se mjereni uglovi nalaze u horizontalnoj ravni.

Krugovi kod mehaničkih teodolita su od metala (mjedi, bronze), a

kod optičkih od stakla. Promjer krugova je 50 - 120 mm, Kružna

podjela je u stepenima ili gonima. Veličina intervala podjele, ili

vrijednost jednog podioka zavisi od tačnosti teodolita i sistema

očitanja. Kreće se od 1o do 5' ili, za podjelu u gonima, od 1 do 0.1

gon. Kod elektronskih teodolita krugovi su posebne izrade koja

omogućuje očitanje pomoću elektronskih sistema.

Na slici 5.5a prikazana je podjela krugova kod mehaničkih, odnosno optičkih teodolita. Na slici 5.8

prikazana je podjela krugova kod elektronskih tepdolita (inkrementalni-a, kodirani b i c).

Libele

Za horizontiranje teodolita služe libele na alhidadi. Obično se postavlja po jedna dozna i jedna cijevna

libela.

Dozna libela (kružna libela) izradjena je od zatvorene cilindrične posude kojoj je gornja unutarnja

ploha brušena u obliku kugline kalote. Posuda je ispunjena tečnošću (alkohol ili eter) sa ostavljenim zračnim

mjehurom, koji će uvijek zauzimati najviši položaj u posudi. Posuda se nalazi u metalnom kućištu. Marka libele

označena je sa jednim ili više koncentričnih kružnica. Os libele prolazi markom libele i centrom zakrivljenja

unutarnje brušene plohe. Tjeme libele je tačka na unutarnjoj plohi posude kroz koju prolazi osa libele (sl.5.6a).

Libela vrhuni kada se središte mjehura nalazi u tjemenu libele. Tada je osa libele u prostoru vertikalna, a

tangentna ravnina u tjemenu horizontalna, pa je i podloga na kojoj se nalazi libela horizontalna. Osjetljivost

doznih libela je manja. Koriste se za grubo horizontiranje.

Cijevna libela je zatvorena staklena cijev, kojoj je unutarnja strana stjenke izbrušena u obliku kružnog

luka, odnosno bačve. Ispunjena je takodje tečnošću sa ostavljenim zračnim mjehurom. Na vanjskoj strani cijevi

nanesena je podjela, sa veličinom podioka od 2 mm koji se naziva pars (sl.5.6b). Srednja tačka podjele naziva se

marka libele. Tjeme libele je tačka na unutarnjoj brušenoj strani libele kroz koju prolazi spojnica marke libele i

centra zakrivljenja plohe cijevi.Tangenta u tjemenoj tački libele naziva se glavnom tangentom ili osom libele.

Tangenta na sredini mjehura u prostoru je horizontalna. Kada mjehur libele padne u marku libele, libela vrhuni

(sl.5.6b). Osjetljivost ili podatak libele izražava se centralnim uglom koji odgovara dužini jednog parsa. Što je

manja veličina ugla veća je osjetljivost. Osjetljivost alhidadnih libela je od 7'' do 120''. Cijevne libele na

alhidadi koriste se za fino horizontiranje teodolita i kod novijih teodolita nalaze se na donjem dijelu alhidade,

paralelno sa obrtnom osom durbina. Pored libela na alhidadi, kod nekih teodolita ugradjene su libele za

horizontiranje indeksa vertikalnog kruga. Neke starije konstrukcije teodolita imaju libele na durbinu, tako da se

mogu koristiti i za nivelanje.

Sl.5.5

a) b)

c)

a) Glavna tangenta M

C

R ''

Pars

libele

b)

Slika 5.6

RGGF Geodezija

5

Durbin

Durbin je optički sistem koji služi za povećanje vidnog ugla, odnosno lika predmeta, a kod geodetskih

instrumenata služe za viziranje. Durbin teodolita može se okretati oko horizontalne ose, koja se naziva obrtna osa

durbina. U odredjenom položaju durbin se može učvrstiti pomoću kočnice durbina. Pomjeranje durbina u

vertikalnoj ravni za male iznose vrši se vijkom za fino pomjeranje durbina. Osnovni dijelovi durbina su okular i

objektiv koji su smješteni u metalnoj cijevi. U durbinu, izmedju objektiva i okulara, u ravnini slike objektiva

nalazi se staklena pločica sa urezanim nitnim križem (končanica) koja omogućuje viziranje. Vizurna os durbina

odredjena je pravcem koji prolazi presjekom glavnih niti nitnog križa i glavnom tačkom objektiva. Objektiv je

optički elemenat kojim se predmet preslikava u ravninu nitnog križa. Da bi se otklonile ili smanjile greške

preslikavanja (hromatska i sferna aberacija) objektiv se sastavlja iz dva ili više sočiva. Žarišna daljina objektiva

je relativno velika ( oko 25 cm).

Okular je takodje kombinacija dva ili više sočiva sa relativno malom žarišnom daljinom (5 do 15 mm).

Budući da objektiv u ravnini slike stvara umanjenu, obrnutu i realnu sliku predmeta, okular služi kao lupa sa

kojom se ta slika pri posmatranju povećava. Prije samog mjerenja mora se izoštriti slika nitnog križa okretanjem

prstena okulara (dioptriranje). Slika koju formira objektiv za okular je posmatrani predmet. Noviji tipovi

geodetskih instrumenata imaju durbine koji formiraju uspravne slike predmeta.

Da bi se slika predmeta i nitni križ jasno vidjeli, treba da leže u istoj ravnini. Budući da se daljina

predmeta kod viziranja mijenja, mijenjat će se i položaj slike, pa durbin treba fokusirati. U durbinima su

ugradjena dodatna sočiva izmedju objektiva i nitnog križa, čijim pomjeranjem se izoštrava slika. Za fokusiranje

služi prsten na samom durbinu. Na sl. 5.13 prikazano je formiranje slike u durbinu.

Paralaksa nitnog križa je greška durbina koja nastaje kada slika predmeta ne pada u ravninu nitnog križa. Uklanja se

pomjeranjem okularne cijevi pomoću prstena na okularnoj cijevi. Ugradjeni nitni križ služi za viziranje. Presjek niti

nitnog križa, pomjeranjem durbina, dovodi se do poklapanja sa odabranom tačkom posmatranog predmeta.

Na sl.5.8 prikazani su neki oblici nitnog križa koji se koriste kod teodolita.

Kada je durbin fokusiran za vrlo daleke objekte (optička beskonačnost) nalazi se nitni križ u fokusnoj

ravnini objektiva. Spojnica presjeka niti nitnog križa i glavne tačke objektiva naziva se vizura ili kolimaciona os

durbina. Vizurna osa i optička osa objektiva su identične ako se presjek niti nalazi u optičkoj osi. Ako se presjek

niti nalazi izvan optičke ose pa se nitni križ kod fokusiranja pomiče, geodetska vizurna linija predstavljena je

geometrijskim mjestom tačaka u koje objektiv preslikava presjek

niti.

Sprave za očitanje limba

Način očitanja podjele zavisi od tipa teodolita. Kod

starijih konstrukcija manje tačnosti koristio se nonijus sa lupom i

tačnost očitanja je relativno mala. Kod optičkih teodolita koristi se

mikroskop. Po konstrukciji mikroskop je sličan durbinu. U ravnini

slike mikroskopa (gdje se stvara uvećana , obrnuta i realna slika

podjele limba) nalazi se indeks za očitanje. U ravninu slike mikroskopa posebnim optičkim sistemima

preslikava se i podjela vertikalnog kruga, tako da se istovremeno u vidnom polju vide slike podjele i horizontalnog i

vertikalnog kruga. Kod nekih teodolita posebnim preklopnikom u vidno polje durbina dovodi se slika podjele samo jednog

kruga. Uvećanje mikroskopa, zavisno od tipa teodolita, je od 10x pa čak do 80x.

Zavisno od tačnosti razlikuju se mikroskopi.

Slika 5.8

b)

24 23

Očitanje: 230 29'

a)

Očitanje: 540 30'

55 54

0 20

Slika 5.9

F2

f2

Ok Ob

f1 F1

Slika 5.7

RGGF Geodezija

6

Mikroskop sa crticom je najjednostavniji način očitanja. U ravnini slike objektiva ugradjena je pločica sa jednom

crticom, koja treba da bude paralelna sa crticama podjele limba. U vidnom polju mikroskopa vidi se podjela limba i indeksna

crtica. Na preslikanoj podjeli limba očitava se položaj indeksne crtice (sl.5.9a).

Kod mikroskopa sa skalom, u ravnini slike objektiva ugradjena je skala, čija veličina je jednaka

najmanjem podioku limba. Broj podioka skale upisan je na skali. Prilikom očitanja odredjuje se položaj crtice

podjele limba na skali. Očitanje je jednako vrijednosti podjele limba koja odgovara crtici preslikanoj na skalu

plus broj podioka skale od 0 do crtice podjele limba (sl.5.9b). Kod teodolita veće tačnosti koriste se mikroskopi sa optičkim mikrometrom.

Kod elektronskih teodolita za očitanje koriste se posebni elektronski sistemi. Zavisno od načina izrade

limba postoji kodirani i inkrementalni način očitanja.

Kod kodiranog načina limb nema klasičnu podjelu, nego je kodiran. Svakom položaju alhidade

odgovara drugačiji binarno kodiran izlazni signal. Izlazni signal slijedom impulsa omogućuje digitalno očitanje

limba, kao i automatsku registraciju mjerenog ugla na memorijsku jedinicu. Digitalno očitana vrijednost

prikazuje se na pokazivaču savremenih instrumenata kao broj formiran od svijetlećih segmenata. Slijed impulsa

može se postići električnim, magnetnim ili optičkim detektorima. Na slici 5.10a prikazana je shema detekcije

svjetlosnim signalima. Na staklenom limbu u više koncentričnih pruga, nanesena su svjetlosno propusna i

nepropusna polja različite dužine. Iznad koncentričnih pruga nalazi se po jedna luminiscentna dioda kao izvor

svjetlosti. Ispod limba se nalaze jednako rasporedjene fotodiode koje primaju svjetlosne signale koji prolaze kroz

propusna polja pojedinih pruga. Svjetlosni signal se pretvara u električni, koji se zatim dekodira i prikazuje na

pokazivaču u obliku decimalnog broja. Cijelim postupkom upravljaju mikroprocesori.

Kod inkrementalnog postupka limbovi su

podijeljeni na kontinuiran niz radijalnih polja jednake

veličine. Ova polja predstavljaju binarne elemente za

elektronske logičke sklopove koji se koriste pri detekciji.

Kod optičke detekcije naizmjenično su nanesena svijetla

i tamna polja iste veličine. Broj polja se kreće do 200 na

jedan mm.

Prilikom okretanja alhidade fotodioda prima

svjetlosni signal od luminiscentnih dioda koji zavisi od

broja, odnosno rasporeda svijetlih i tamnih polja. Svjetlosni signal se pretvara u periodični električni signal, koji

se može upotrijebiti za elektronski brojač. Izlazni signal brojača je binarni i može se preko odgovarajućeg

sistema registrovati u memoriju, ili dekodiran prikazati na pokazivaču u obliku decimalnog broja. Kod ovih

limbova svaki početni položaj je nulti, a tek okretanje alhidade daje impulse preko kojih se odredjuje ugao

zaokreta. Na slici 5.10b je dat princip optičke detekcije inkrementalnih limbova.

Vertikalni krug teodolita

Za mjerenje vertikalnih uglova ugradjeni su vertikalni ili visinski krugovi sa indeksima za očitanje.

Vertikalni krug je vezan uz nosač durbina, a obrtna osa durbina prolazi kroz centar kruga, odnosno centar podjele

(sl.5.11). Pri okretanju durbina, obično se okreće vertikalni krug, dok indeksi miruju. Kada je teodolit

horizontiran, vertikalni krug se nalazi u vertikalnoj ravni. Vertikalni krugovi se izradjuju od istih materijala kao i

horizontalni, ali su obično manjeg promjera. Podjela vertikalnog kruga kod novijih teodolita je kontinuirana od

0-360o ili 0 - 400 gona, sa očitanjem 0 ili 90 pri horizontalnom položaju vizurne ose. Pri očitanju indeks mora

biti stabilan, odnosno nalaziti se tačno u horizontalnoj ili vertikalnoj ravni

kroz centar podjeljenja (zavisno da li se mjere vertikalni ili zenitni uglovi).

Stabilnost indeksa ostvaruje se posebnom libelom (visinska ili libela

vertikalnog kruga) koja je povezana sa indeksima. Prije svakog očitanja

vertikalnog kruga mora se provjeriti da li ova libela vrhuni.

Novije konstrukcije umjesto libele imaju ugradjene posebne

kompenzatore za automatsku stabilizaciju indeksa. Kompenzatori mogu biti

sa tekućinama i sa njihajućim optičkim elementima. Kod kompenzatora sa

tekućinama, koje se nalaze u staklenim posudama, tekućina ima ulogu

panparalelne ploče ili optičkog klina. Na sl.5.12 prikazan je princip djelovanja

kompenzatora sa tekućinom. Optički sistem mikroskopa preslikava podjelu

vertikalnog kruga u ravninu ispred okulara, gdje se nalazi indeks za očitanje, ili

drugim riječima, indeks za očitanje optičkim sistemom se projicira u ravninu podjele

vertikalnog kruga. Kada je obrtna osa instrumenta stvarno vertikalna, površina tekućine je horizontalna, i objektiv projicira

indeks po vertikali na podjelu limba na 90o, a vizurna osa je u horizontalnoj ravni (sl.5.12a).

Slika 5.10

b) a)

Slika 5.11

RGGF Geodezija

7

Slika 5.13

Ako je vertikalna osa instrumenta nagnuta za neki ugao, vizurna osa će se nagnuti za isti ugao prema horizontali. Tekućina u

posudici stvara optički klin, koji djeluje kao kompenzator, pa se indeks preslikava u ispravan položaj (sl.5.12b). Udaljenost

kompenzatora od vertikalnog kruga zavisi od indeksa loma za tekućinu i poluprečnika vertikalnog kruga (dr/(n-1)).

5.1.2 Ispitivanje i rektifikacija teodolita

Da bi se teodolitom mogla vršiti mjerenja, teodolit treba da ispunjava

odredjene uslove. Ti uslovi su:

1. Vertikalna (alhidadna) osa A-A treba da je okomita na osu alhidadne

libele L-L

2. Vizurna osa K-K durbina treba da je okomita na obrtnu osu durbina

H-H

3. Obrtna osa durbina treba da je okomita na vertikalnu osu (da je

horizontalna)

4. Kod mjerenja vertikalnih uglova da se, pri horizontalnoj vizuri, nula

indeksa za očitanje vertikalnog kruga poklapa sa 0o, odnosno 90

o podjele

vertikalnog limba.

Ovi uslovi nisu nikada u potpunosti ispunjeni i postojaće uvijek odredjeni uticaj

na tačnost mjerenja. Uslovi okomitosti pojedinih osa su konstrukcione prirode i

kontrolišu se povremeno tokom korištenja instrumeta. Prvi uslov je radni uslov i

mora biti ispunjen pri svakom postavljanu instrumenta.

1. Neispunjavanje prvog uslova znači da vertikalna osa ne prolazi tjemenom tačkom mjerenog ugla,

tako da će prouzrokovati stanovitu grešku kod odredjivanja ugla. Za ispitivanje i ispunjavanje prvog uslova služi

alhidadna libela. Postavljanje vertikalne ose u vertikalan položaj vrši se pomoću cijevne libele. Da bi se to moglo

postići potrebno je da glavna tangenta libele bude okomita na vertikalnu osu. Kada se instrument postavi i grubo

horizontira (pomoću dozne libele), okrene se alhidada tako da cijevna libela bude u pravcu dva podnožna vijka

(sl.5.20.). Okretanjem podnožnih vijaka I i II dovede se mjehur libele do vrhunjenja. Podnožni vijci se okreću u

suprotnim pravcima da se podloga prije horizontira. Zatim se okrene alhidada za 180o, (položaj P2). Ako libela

vrhuni, osa libele je upravna na vertikalnu osovinu. Ako se pojavi

odstupanje mjehura od marke libele, vrši se popravka. Polovina

odstupanja mjehura otkloni se korekcionim vijkom na samoj libeli,

a druga polovina podnožnim zavrtnjima P1 i P2. Nakon toga okrene

se alhidada za 90o, to jest u pravcu trećeg podnožnog zavrtnja (P3),

i okretanjem trećeg vijka dovede se libela do vrhunjenja. Ako je

ispunjen prvi uslov, pri daljem okretanju alhidade libela će uvijek

vrhuniti, što znači da je vertikalna osa teodolita u prostoru stvarno

vertikalna.

2. Neispunjavanje ovog uslova znači da vizurna osa, pri okretanju durbina oko svoje ose, ne opisuje

vertikalnu ravan, nego konus. Pri samoj izradi instrumenta ovaj uslov uglavnom neće biti apsolutno zadovoljen.

Ovo otstupanje kao konstrukciona karakteristika instrumenta naziva se kolimaciona greška. Ispitivanje ovog

uslova najjednostavnije je pomoću dvostruke kolimacione greške (sl.5.21.). Nakon postavljanja i horizontiranja

instrumenta, u prvom položaju durbina, navizira se neka dobro vidljiva tačka, koja treba da se nalazi približno u

horizontu teodolita. Očita se položaj indeksa na horizontalnom limbu (a1). Zatim se durbin okrene u drugi

položaj i navizira ista tačka. Ponovo se očita položaj indeksa na horizontalnom limbu (a2). Ako je vizurna osa

P3

P1 P2 L1 P1 P2

P3

L2

Slika 5.20.

z1 K

Ob J

J'

z

180

0 0 K

z2

K

d

Ob

J'

J z

0 180

0

r

K

Slika 5.12.

b) a)

RGGF Geodezija

8

okomita na obrtnu osu durbina, razlika očitanja limba u prvom i drugom položaju durbina jednaka je 180o. U

slučaju da se pojavi razlika, predstavljat će dvostruku kolimacionu grešku: 2c=a1-(a2-180o).

Kolimaciona greška teodolita iz rezultata mjerenja eliminiše se mjerenjem uglova u dva položaja durbina.

3. Nehorizontalnost obrtne ose durbina znači da vizurna osa, pri

obrtanju durbina oko njegove ose, ne opisuje vertikalnu, nego nagnutu

ravninu. Sa povećanjem nagiba vizure povećava se njeno odstupanje od

vertikalne ravni, pa time i greška mjerenog ugla. Ispitivanje ovog uslova

može se izvesti tako, da se navizira jedna tačka na nekom vertikalnom

pravcu (rub zida ili vertikalnog stuba) i dizanjem durbina prati položaj

vertikalne niti nitnog križa prema tom pravcu. Ako vertikalna nit tokom

podizanja durbina ne odstupi od pravca uslov je zadovoljen. Kao

vertikalni pravac koristi se i nit viska obješenog relativno blizu ispred

instrumenta. Tačnije ispitivanje može se izvesti projiciranjem neke visoke

tačke na horizontalnu letvu (sl.5.22).

U prvom položaju durbina, pri zakočenoj alhidadi, navizira se neka visoka tačka, tj vizura je pod

velikim vertikalnim uglom, i projicira se na horizontalno postavljenu letvu. Na letvi se očita položaj projicirane

tačke o1. Okrene se durbin u drugi položaj, ponovo projicira ista tačka na letvu i očita položaj o2. Ako očitanja o1

i o2 nisu ista , uslov nije ispunjen.

Elektronski teodoliti imaju mogućnost ispitivanja ispravnosti funkcija pojedinih svojih dijelova.

Informacije o neispravnosti, odnosno ne ispunjavanju pojedinih uslova prikazaju se na pokazivaču instrumenta.

Takodje postoji mogućnost odredjivanja greške ugla zbog neispunjavanja pojedinih uslova, kao i računanja

korekcije mjeremog ugla.

5.1.3 Pribor uz teodolit

Da bi se teodolit mogao koristiti za mjerenje uglova, uz njega dolazi

stativ i pribor za centrisanje.

Stativ se nalazi u kompletu svakog teodolita i služi za postavljanje

teodolita iznad (ispod) stabilizirane tačke. Sastoji se od tri nogare koje su

zglobno vezane za glavu stativa. Glava stativa je metalna ploča sa otvorom u

sredini, gdje se nalazi centralni vijak, kojim se učvršćuje teodolit za stativ. Na

donjoj strani centralnog vijka nalazi se kukica za vješanje viska. Noge stativa se

izradjuju od drveta. Mogu biti stalne ili promjenjive dužine (na izvlačenje). Na

donjem dijelu noge su okovane metalnim šiljcima radi lakšeg i stabilnijeg

postavljanja stativa. Na slici 5.23 prikazan je izgled stativa.

Za centrisanje teodolita služi visak. Visak može biti: obični, kruti ili

optički.

Obični visak je izradjen od metala u obliku konusa ili konus-cilindra

težine od 1.5 do 10 N. Nasuprot vrhu viska izbušena je rupica kroz koju se

provlači nit za vješanje viska (sl.5.24a). Visak se vješa o kukicu centralnog

zavrtnja. Vrh slobodno visećeg viska i tačka njegovog vješanja odredjuju pravac vertikale. Ako se vrh viska

nalazi tačno iznad (ispod) obilježene tačke, kod horizontiranog teodolita, vertikalna osa teodolita prolazit će kroz

obilježenu tačku, to jest teodolit je centrisan.

Optički visak (sl.5.24b) je mali slomljeni durbin povećanja 2 do 4 puta. Može biti konstrukcijski čvrsto

vezan za teodolit, ili kao poseban dio pribora uz teodolit. Konstruisan je tako da mu se kolimaciona os nalazi u

pravcu vertikalne ose teodolita. U ravnini slike objektiva nalazi se pločica sa markicom. Markica je najčešće u

obliku kružuća. Objektiv preslikava dio terena u ravninu markice. Kada slika obilježene tačke padne u centar

markice, teodolit je centrisan.

1

K

I

2

S a

1

T

K

I

1

2

S a

2 T 2c

2c

0 0

Slika 5.21.

Slika 5.22.

T' o2

o1

T2'

T1'

T

S

Slika 5.23

RGGF Geodezija

9

Uz teodolite veće tačnosti dolazi i pribor za prisilno centrisanje. Pribor se sastoji od markica za signalizaciju (sl.

5.25), stativa, podnožja istog kao kod teodolita i optičkog viska. Ovaj pribor se koristi kod mjerenja uglova sa

većom tačnošću. Markice su napravljene tako da se mogu postavljati na podnožni dio koji se centriše i

horizontira pomoću optičkog viska (ili postavljati na podnožni dio gdje se nalazio teodolit). Markice su pločice,

pravougaonog ili kružnog oblika, često sa ugradjenom lampom za osvjetljenje markice. Centar markice, kada je

markica horizontirana, nalazi se tačno u vertikali kroz centar podnožja, što omogućuje veću tačnost pri

signalizaciji tačaka.

Za opažanje strmih vizura koriste se okularne prizme.

5.1.4 Mjerenje horizontalnih uglova

Horizontalni ugao odredjen je ortogonalnim projekcijama prostornih pravaca na ravan horizontalnog kruga.

Mjerenje horizontalnih uglova svodi se na opažanje pravaca. Vertikalna ravnina u kojoj se nalaze

opažani pravci, odredjena je vertikalnom osom teodolita i vertikalnom osom signala na opažanoj tački. Opažani

pravac u toj ravnini, projiciran na ravninu horizontalnog kruga, predstavlja krak horizontalnog ugla. Očitanjem

položaja indeksa na podjeli horizontalnog kruga dobije se uglovna vrijednost opažanog pravca. Ugao izmedju

dva pravca dobije se iz razlike očitanja opažanih pravaca.

Mjerenje uglova sadrži sljedeće radne operacije:

- signalizacije tačaka na opažanim pravcima

- postavljanje teodolita

- viziranje signalisanih tačaka i očitanje horizontalnog kruga.

Signalizacija tačaka

Prije samog mjerenja uglova potrebno je signalisati tačke na pravcima koji predstavljaju krakove

mjerenih uglova. Pod signalizacijom se podrazumijeva obilježavanje tačke u procesu mjerenja. Tačka se

signališe tako da je signal jasno uočljiv prilikom viziranja, i da je definisan pravac vertikale kroz centar

obilježene tačke.

Za signalizaciju trigonometrijskih tačaka koriste se piramide, čija veličina i način izrade zavise od

udaljenosti tačaka (sl.5.26a). Za signalizaciju poligonih tačaka najčešće se koriste trasirke postavljene u metalne

tronošce (sl.5.26b). Za postavljanje trasirki u vertikalan položaj koriste se viskovi ili već postojeći vertikalni

pravci u blizini trasirke (napr. ivice vertikalnih objekata).

Kod mjerenja veće tačnosti za signalizaciju se koriste signalne markice (sl.5.26c), odnosno pribor za prisilno

centrisanje.

Slika 5.25 Slika 5.24.

a) b)

a) b) c)

Slika 5.26.

RGGF Geodezija

10

Postavljanje teodolita

Teodolit se postavlja iznad ili ispod stabilizirane tačke koja predstavlja tjeme mjerenog ugla. Za

postavljanje teodolita na tačku služi stativ. Stativ se postavlja tako da je ploča glave stativa približno

horizontalna, centralni vijak u sredini otvora, a vrh viska da je iznad centra obilježene tačke. Kod jamskih

mjerenja, kada su tačke stabilizirane u stropu, visak se vješa na tačku, a stativ se postavlja tako da je sredina

glave stativa ispod viska. Noge stativa se učvrste u podlogu, a nakon toga se teodolit blago učvrsti na glavu

pomoću centralnog vijka. Vertikalna osa teodolita treba da prolazi kroz centar obilježene tačke na terenu, to jest

teodolit se centriše. Osnovni uslov pri mjerenju je da vertikalna osa teodolita u prostoru bude vertikalna.

Dovodjenje vertikalne ose teodolita u vertikalan položaj vrši se pomoću alhidadnih libela, a sam postupak se

zove horizontiranje. Centrisanje i horizontiranje teodolita su medjusobno povezane radnje. Pomoću podnožnih

vijaka navrhuni se dozna libela. Time je izvršeno grubo horizontiranje. Nakon toga se, okretanjem alhidade,

cijevna libela postavi u pravcu dva podnožna vijka i istovremenim okretanjem podnožnih vijaka u suprotnom

smislu dovede do vrhunjena. Zatim se okrene alhidada tako, da cijevna libela dodje u pravcu trećeg podnožnog

vijka. Okretanjem trećeg podnožnog vijka vrhuni se libela. Pod uslovom da je libelina os okomita na vertikalnu

os, libela će vrhuniti u bilo kom položaju alhidade, što znači da je teodolit horizontiran. Nakon toga se provjeri

da li je vrh viska tačno iznad centra stajališne tačke. Ako nije, pomjera se teodolit po glavi stativa dok vrh viska

ne dodje iznad centra tačke. Ako je tačka u stropu, teodolit se pomjera po glavi stativa da markica na durbinu

dodje ispod vrha viska. Ako pri tome dodje do odstupanja mjehura libele, ponovi se postupak horizontiranja.

Kod centrisanja pomoću optičkog viska; postavi se instrument približno iznad tačke. Pomoću podnožnih vijaka

izvrši se centrisanje (dovede se do poklapanja slika centra tačke i markica optičkog viska). Nakon toga vrši se

grubo horizontiranje produženjem ili skraćivanjem nogu stativa. Provjeri se da li je došlo do odstupanja markice

viska od centra tačke. Ako se javilo odstupanje, pomjeranjem teodolita po glavi stativa, ponovno se teodolit

centriše, a zatim horizontira. Postupak se ponavlja dok se ne izvrši tačno centrisanje i horizontiranje. Kada se

tačke nalaze u stropu, koriste se posebni optički viskovi kod kojih je kolimaciona osa slomljena prema gore

(posmatra se teren iznad viska). Teodolit se izvadi iz podnožnog dijela, u koji se učvrsti optički visak. Izvrši se

centrisanje i horizontiranje podnožnog dijela pomoću optičkog viska na opisani način, a nakon toga se postavi

teodolit na mjesto optičkog viska.

Sekundni teodoliti, koji imaju kompenzatore visoke osjetljivosti, mogu se horizontirati sa većom

tačnošću pomoću kompenzatora nego libelama. Teodolit se prvo grubo horizontira pomoću dozne libele. Okrene

se alhidada tako da je durbin usmjeren preko jednog podnožnog vijka. U tom položaju zakoči se instrument i

očita vertikalni krug. Zatim se okrene alhidada, uz zakočen durbin, za 1800 i ponovo očita vertikalni krug. Ako

postoji razlika očitanja vertikalnog kruga, polovina te razlike korigovat će se okretanjem podnožnog vijka preko

koga je usmjeren durbin. Okrene se alhidada za 900 i sa druga dva podnožna vijka namjesti isto očitanje na

vertikalnom krugu. Postupak se ponovi. Vertikalna osa je u prostoru vertikalna ako je očitanje vertikalnog kruga,

uz zakočen durbin, isto za svaki položaj alhidade.

Kod elektronskih teodolita horizontiranje se može obaviti digitalnim očitanjem nagiba vertikalne ose u

dva karakteristična pravca u pravcu vizurne ravni i okomito na pravac vizurne ravni, tj. u pravcu obrtne ose

durbina (dvoosni kompenzatori).

Viziranje i očitanje

Pod viziranjem se podrazumijeva dovodjenje slike posmatrane tačke (signala) u presjek niti nitnog križa

(sl.5.27). Pomoću grubog vizira, koji se nalazi na durbinu ili pored durbina, izvrši se grubo viziranje, tako da se

slika signala dovede u vidno polje durbina. Zakoči se alhidada i

durbin. Izoštri se slika predmeta okretanjem prstena na durbinu i

poništi končanična paralaksa okretanjem okulara. Kod mjerenja

horizontalnih uglova, vijkom za fino pomjeranje alhidade dovede

se do poklapanja slika signala tačke i vertikalna nit nitnog križa.

Nakon finog viziranja vrši se očitanje horizontalnog limba.

Prilikom viziranja alhidadu treba okretati u smjeru kazaljke na satu.

Takodje kod finog viziranja, vijkom za fino pomjeranje alhidade,

alhidada se pomjera u istom smjeru. Time je završeno opažanje

pravca u jednom položaju durbina. Otkoči se alhidada i durbin i

cijeli se postupak ponovi za slijedeću tačku, odnosno pravac. Kod

digitalnih teodolita vrijednosti opažanih pravaca, odnosno mjerenih

uglova očitavaju se automatski i prikazuju na pokazivaču teodolita. Digitalni teodoliti uglavnom imaju i

memorijske jedinice, odnosno registratore, tako da se vrijednosti mjerenih veličina memorišu, što isključuje ručni

upis rezultata mjerenja.

Sl.5.27

RGGF Geodezija

11

Girusna metoda mjerenja uglova

Za postizanje veće tačnosti pri mjerenju, uglovi se mjere u više ponavljanja. Girusna metoda mjerenja horizontalnih uglova je

opažanje pravaca u više ponavljanja, tako da se pri svakom ponovljenom opažanju očitanje na limbu pomjeri za odredjeni iznos, čime se

uklanjaju eventualne greške podjele limba. Pomak limba za svaki girus dobije se kada se pun krug podijeli sa brojem girusa. Uglovi se

odredjuju kao razlike opažanih pravaca iz dva položaja durbina. Za početni pravac pri opažanju odabere se pravac na kome je s ignalisana

tačka dobro vidljiva. Dovede se očitanje horizontalnog kruga približno na 0o, sa otkočenim horizontalnim krugom okrene se instrument i

grubo navizira početni pravac. Zakoči se horizontalni krug i alhidada, izvrši fino viziranje i očita horizontalni krug. Otkoči se alhidada,

okrene se instrument, u smjeru kazaljke na satu, grubo navizira tačka sljedećeg pravca i zakoči alhidada. Izvrši se fino viziranje i očita

horizontalni krug. Na isti način, u smjeru kazaljke na satu, izvrši se opažanje svih pravaca. Na kraju se vizira početni pravac i provjeri

očitanje sa početka opažanja. Time je završen prvi polugirus. Okrene se durbin u drugi položaj, navizira i očita početni pravac. Nakon toga

opažaju se svi pravci obrnutim smjerom. Na kraju se vizira početna tačka i provjeri očitanje kruga. Time je završen drugi polugirus,

odnosno opažanje u jednom girusu.

Za opažanja u drugom girusu, pomjeri se očitanje na limbu za odredjeni iznos.

Postupak se ponovi kao i kod prvog girusa, sa istim redosljedom opažanja u prvom i drugom položaju durbina. Za opažanje svakog

sljedećeg girusa pomjera se očitanje limba za utvrdjeni iznos.

ZAPISNIK MJERENJA HORIZONTALNIH UGLOVA Stanica

Datum

Girus

Čas

Viz.

tačka

I Položaj

durbina

II Položaj

durbina

Sredina

iz I i II

Redukovana

sredina

Dvostr.

kolimac.

greška

2c = II - I

Proba

o ' '' o ' '' o ' '' o ' '' ' '' ' ''

1 2 3 4 5 6 7 8

10 11 0 04 12 180 04 20 0 04 16 0 00 00 + 8 41 40 17 04 23.4. 14 23 43 26 203 43 32 23 43 29 23 39 13 + 6 42 16 24 54

1.girus 15 80 35 02 260 35 12 80 35 07 80 30 51 + 10 83 56 41 58 16 208 19 00 28 19 12 208 19 06 208 14 50 + 12 41 58 11 (0 04 12) (180 04 52)

41 40 42 16 41 58 24 54

Tačnost mjerenja horizontalnih uglova

Na tačnost mjerenja utiču greške samog instrumenta kao i greške izazvane uticajem radne sredine i

samog postupka mjerenja.

Instrumentalne greške nastaju u samom instrumentu, zbog grešaka pri izradi instrumenta i karakteristika

su svakog instrumenta. U ovu grupu grešaka ubrajaju se greške nastale zbog netačnog medjusobnog položaja

pojedinih osa u instrumentu, netačnosti podjele limba, ekscentričnosti horizontalnog kruga u odnosu na alhidadnu

osu.

Za karakteristike instrumenta vezana je i tačnost viziranja i očitanja. Tačnost viziranja zavisi kako od tačnosti

samog instrumenta tako i od samog opažača. Tačnost očitanja zavisi od najmanjeg podioka koji se može direktno

očitati. Na tačnost mjerenja horizontalnih uglova, pored instrumentalnih grešaka, najveći uticaj imaju greške

centrisanja instrumenta i signala.

Netačno centrisanje instrumenta iznad stajališne tačke znači da centar horizontalnog kruga nije u

vertikali kroz centar tačke. Znači da je tjeme T' izmjerenog ugla pomjereno za veličinu e od centra tačke T

(sl.5.28).

Razlika izmedju izmjerenog i stvarnog ugla dobit će se ako se u tački T povuku paralele sa krakovima

izmjerenog ugla:

= -' = 1 + 2.

Uglovi 1 i 2 mogu se odrediti iz trouglova TT'A i TT'B:

2 d2

2 1

d1 z1

2

' 1 2

T

T '

1

A '

A z2 B'

e 1

B

Sl.5.28

RGGF Geodezija

12

11

1 sind

esin 2

12 sin

d

esin

Za male veličine ugla = sin = tg , pa se gornji izrazi za uglove 1 i 2 mogu pisati u obliku:

11

1

sind

''e''

2

22

sin

d

''e''

može napisati u obliku:

2

2

1

1

d

sin

d

sin''e

Greška je slučajnog karaktera, uglovi 1 i 2 mogu imati vrijednost od 0 do '.

Greška je direktno proporcionalna veličini ekscentriciteta e i obrnuto proporcionalna dužini vizure d. Kod kratkih

vizura greška centrisanja instrumenta imat će znatan uticaj na tačnost mjerenog ugla.

Greška centrisanja signala imat će isti uticaj na tačnost mjerenja ugla. Najveća greška ugla nastupit će

kada je ekscentricitet signala z okomit na pravac vizure. Tada je greška ugla:

d

''z

5.1.5 Mjerenje vertikalnih uglova

Vertikalni (visinski) uglovi su uglovi u vertikalnoj ravni

postavljenoj kroz pravac. Ovu ravninu pri mjerenju odredjuje vizurna osa

pri okretanju durbina oko njegove horizontallne ose. U vertikalnoj ravni

razlikujemo vertikalni i zenitni ugao. Jedan krak vertikalnog ugla odredjuje

pravac vizure, dok je drugi krak presječnica te ravnine i horizontalne.

Zenitni ugao je ugao izmedju pravca i vertikale kroz stajališnu tačku. Zbir

visinskog i zenitnog ugla je 90o (100

g) (sl.5.29). Veličina ugla očitava se na

vertikalnom krugu. Kod većine teodolita vertikalni krug je čvrsto vezan za

durbin i okreće se skupa sa durbinom. Obrtna osa durbina prolazi centrom

vertikalnog kruga. Podjela vertikalnog kruga je uglavnom kontinuirana od 0

do 360o (400

g). Krug je učvršćen uz teodolit tako da se pravac 0

o-180

o ili

90o-270

o podjele poklapa sa pravcem vizurne ose, mada zbog nesavršenosti

izvedbe može odstiupati za manji iznos. Indeks za očitanje vertikalnog kruga čvrsto je vezan za alhidadu. Kod

mjerenja vertikalnih uglova teodolit mora da zadovolji iste uslove kao i kod mjerenja horizontalnih uglova. Pored

toga indeks vertikalnog kruga treba da je u horizontalnoj (vertikalnoj) ravni kroz centar vertikalnog kruga. Kod

starijih konstrukcija teodolita index vertikalnog kruga u ispravan položaj dovodi se pomoću libele vertikalnog

kruga. Ako teodolit umjesto libele ima kompenzator, indeksi se u ispravan položaj dovode automatski; dovoljno

je instrument grubo horizontirati pomoću dozne libele. Prilikom viziranja treba voditi računa da je opažana tačka

pravca visinski jasno definisana. Nakon grubog viziranja, dovede se tačka u blizinu horizontalne niti i navrhuni

se libela indeksa. Vijkom za fino pomjeranje durbina, dovede se horizontalna nit nitnog križa tačno na tačku i

očita vertikalni krug. Mjerenje ugla u drugom položaju durbina je na isti način. Noviji teodoliti uglavnom su

predvidjeni za mjerenje zenitnih uglova i imaju kontinuiranu podjelu u smjeru kazaljke na satu. Kod ovih

teodolita zbir očitanja u prvom i drugom položaju treba da iznosi 360o (400 gona). Zbog greške indeksa

vertikalnog kruga, odnosno nepoklapanja pravca 90-270 sa vizurnom osom ovaj uslov neće biti u potpunosti

zadovoljen. Ovo odstupanje može se eliminisati mjerenjem vertikalnog ugla u dva položaja durbina.

Prema slici 5.30 očitanja u prvom i drugom položaju su:

o1 = z +

o2 = 360 - z +

Razlika očitanja je:

o1 - o2 = 2z – 360 2z = o1 - o2 +360 ( 2z =KL-KD+360)

Horizontala

z2

-2

+1

z1

T2

T1

Slika 5.29

z + = 90o (100

g)

RGGF Geodezija

13

Odavde je:

Za tačnija mjerenja vertikalni, odnosno zenitni uglovi takodje se mjere u više girusa.

U zapisniku je dat primjer mjerenja zenitnih uglova. ZAPISNIK MJERENJA VERTIKALNIH UGLOVA

Stajalište

datum

sat

Vizurna

tačka

I Položaj

durbina

K. L.

II Položaj

durbina

K. D.

2(H. V.) =

K.L.+ K.D.

Dvostruki

zenitni ugao

2z=K.L.-K.D.

zenitni

ugao

z

Primjedba

12 15 81o 21' 52'' 278o 38'04'' 359o 59' 56'' 162o 43' 48'' 81o 21' 54''

12 20 93o 12' 44'' 266o 47'10'' 359o 59' 54'' 186o 25' 34'' 93o 12' 47''

Vertikalni uglovi su:

15 = 90o – 81

o 21' 54'' = 8

o 38' 06''

20 = 90o – 93

o 12' 47'' = - 3

o 12' 47''

Pitanja i zadaci

1. Izmjeren je ugao: = 24o 12’ 40’’. Izraziti ugao u radijanima i gonima.

2. Sračunati dužinu luka na kružnici, poluprečnika R = 52,4 m, za centralni ugao = 25o 24'.

3. Koliki je vertikalni ugao pravca, ako je nagib pravca 5%.

4. Nagib kosine je 1:8. Navedite ugao nagiba kosine u stepenima o = ?

5. Izmjeren je zenitni ugao za pravac AB Z = 105o 24'. Odrediti vertikalni ugao istog pravca = ?

6. Opišite osnovnu gradju teodolita

7. Navedite najvažnije komponente mjernog durbina.

8. Šta se podrazumijeva pod pojmom postavljanje teodolita

9. Šta se podrazumijeva pod pojmom centrisanje teodolita, koji pribor se koristi

10. Šta se podrazumijeva pod pojmom horizontiranje teodolita, koji pribor je potreban

11. Šta je zenitni a šta vertikalni ugao

12. Objasnite princip mjerenja horizontalnih uglova

13. Šta je kolimaciona ili vizurna osa instrumenta

14. Šta je kolimaciona greška i kako se eliminiše

15. Za šta služe dozna i cijevna libela, i koje su najvažnije razlike izmedju njih?

Sl.5.30

z

Horizontala

T

o1 z 0

90

180

270

I

K

T

o2

z 0

90

180 270

I

z K

2

ooz 21

RGGF Geodezija

14

5.2. MJERENJE DUŽINA

Mjerenje dužina podrazumijeva odredjivanje rastojanja izmedju dvije tačke.

Prema korištenom priboru i instrumentima mjerenje dužina može biti:

- mehaničkim priborom - mehaničko mjerenje dužina,

- optičkim daljinomjerima - optičko mjerenje dužina,

- elektronskim daljinomjerima - elektronsko mjerenje dužina.

Dužine se mjere izmedju tačaka na fizičkoj površini zemlje, tako da se rijetko dešava da se tačke nalaze

na istoj nadmorskoj visini, odnosno mjerena dužina uglavnom nije horizontalna. Za izradu planova i karata

potrebno je poznavati horizontalno rastojanje izmedju tačaka. Zbog toga je potrebno, iz podataka mjerenja

odredti horizontalno rastojanje izmedju krajnjih tačaka mjerene dužine, ili mjerenu dužinu raducirati na horizont.

5.2.1. Redukcija koso mjerene dužine na horizont

Bez obzira kojom metodom, odnosno kojim priborom su mjerene dužine, potrebno je odrediti njihovu

horizontalnu projekciju. Da bi se mogla odrediti horizontalna

projekcija koso mjerene dužine mora se izmjeriti i visinska

razlika izmedju krajnjih tačaka mjerene dužine, ili vertikalni ugao

koji mjerena dužina zatvara sa horizontalom (sl.5.31).

Sl.5.31

Ako je mjeren vertikalni ugao tada se horizontalna dužina računa prema izrazu:

d = Dcos =Dsinz

Ako je mjerena visinska razlika vertikalni ugao se može sračunati prema izrazu:

D

hsin

5.2.2 Svodjenje mjerene dužine na nivo plohu mora

Ako se mjere veće dužine u cilju odredjivanja koordinata u Gauss-Krüer-ovom koordinatnom sistemu

tada se uzima u obzir i popravka za svodjenje na nultu nivo plohu. Prema sl.5.32 je:

R

d

HR

d

a

0

aHR

Rdd

0

d = d-do

R

Hd

HR

Hdd a

a

a

gdje je: H - nadmorska visina na kojoj je mjerena dužina

R - poluprečnik zemljine kugle

Primjer: Dužina d = 250.160 m, mjerena je na terenu nadmorske visine

H = 1350 m. Sračunati popravku dužine za svodjenje na nultu nivo plohu .

d5 = 250.1601350/(6370103) = 0.053 m

Popravljena vrijednost dužine dp = 250.160-0.053 = 250.107 m.

d a

B

D hAB

A B'

d Hab

B

o

B’

A

Ao

Ha

d

o

R

Nivo ploha

mora

B D

Nivo ploha

tačke A

Sl.5.32

RGGF Geodezija

15

5.2.3 Mjerenje dužina mehaničkim priborom

Kao pribor za mjerenje dužina koriste se pantljike, žice i letve. Mjerenje se izvodi tako da se po pravcu

mjerene dužine prenosi mjerni elemenat konstantne dužine. Terenski uslovi uslovljavaju mogućnost direktnog

mjerenja dužina na ovaj način.

Mjerne pantljike Mjerne pantljike obično se izradjuju od čelika. Dužine su 10, 20, 25, 30 ili 50 m, širine 10 -20 mm, i

debljine 0.2 do 0.4 mm. Razlikuju se ručne (sl.6.3a) i poljske (sl.6.3b) pantljike. Uz poljske ili terenske pantljike

kao pribor dolaze posebni metalni klinovi - brojači (sl.6.3c). Kod mjerenja većih dužina klinovi -brojači služe za

obilježavanje krajeva cijelih pantljika. Na pantljikama je obično označena njihova tačna dužina pri odredjenoj

temperaturi (najčešće 20oC) i sili zatezanja (50 - 150N).

Dužine pantljika, koje se koriste za tačnija mjerenja, moraju se povremeno provjeriti, to jest

komparisati. Komparisanje se izvodi u posebnim laboratorijama, gdje se stvarna dužina pantljike utvrdjuje

pomoću komparatera. U novije vrijeme za odredjivanje tačne dužine pantljike koriste se laserski interferometri.

a) b) c)

Slika 5.33

Za precizna mjerenja dužina korištene su invarske pantljike i žice. Odredjenim postupkom mjerenja

ovim priborom mogla se postići velika tačnost mjerenja dužina. Invarske žice odredjene dužine sa dodatnim

priborom ranije su se koristile za mjerenje dužine operacione baze u triangulacionim mrežama (bazisna

mjerenja).

Prilikom mjerenja, krajnje tačke mjerene dužine obilježe se trasirkama. Početak pantljike se postavi

iznad početne tačke mjerene dužine i pantljika se zateže po terenu u pravcu dužine. Osnovno kod mjerenja

dužina je da se pantljika mora nalaziti u pravcu koji odredjuju krajnje tačke mjerene dužine. Ako je mjerena

dužina kraća od dužine pantljike, a teren ravan, tada se početak pantljike postavlja na obilježenu početnu tačku

dužine, pantljika zateže do krajnje tačke i očita se položaj krajnje tačke na pantljici (sl.5.34a). Prije očitanja

provjeri se da se pantljika ne lomi ni u vertikalnoj ni u horizontalnoj ravni.

Ako je teren nagnut mjeri se kosa dužina D i visinska razlika (h) izmedju krajnjih tačaka dužine. Mjerena kosa

dužina reducira se na horizont, tj. odredjuje se njena horizontalna projekcija. Kada je teren izmedju krajnjih

tačaka mjerene dužine neravan, obilježe se na pravcu sve prelomne tačke (sl.5.34b.). Mjere se kose dužine i

visinske razlike izmedju susjednih prelomnih tačaka. Iz ovih elemenata odredjuju se horizontalne projekcije

pojedinih segmenata dužine. Ukupno horizontalno rastojanje izmedju tačaka A i B jednako je sumi svih

reduciranih segmenata dužine. Za svako mjerenje dužina vodi se zapisnik u koji se unose rezultati mjerenja, sa

ucrtanim poprečnim profilom mjerene dužine i označenim prelomima i izdizanjima pantljike.

0.5

m a

b 33

34

h

d

D 22

21

d2 d

D1 D2

d1

D3

d3

h2 h1

b a

22

23 h3 b) a)

Sl5.34

RGGF Geodezija

16

5.2.4 Mjerenje dužina optičkim daljinomjerima - optičko mjerenje dužina

Mjerenje dužina optičkim putem zasniva se na rješavanju trougla u kome je poznata (ili mjerena) jedna

dužina i dva ugla. Ovakav trougao naziva se

daljinomjerni ili paralaktički trougao.

Poznata stranica naziva se baza

paralaktičkog trougla, a njoj nasuprotni ugao

u trouglu paralaktički ugao (sl.5.37).

Paralaktički trougao je ili pravougli ili

istostrani, tako da se optičko mjerenje

dužina svodi na mjerenje ili baze ili paralaktičkog ugla. Za optičko mjerenje dužina koriste se optički

daljinomjeri. Rad sa ovim daljinomjerima je dosta jednostavan, ali je domet relativno mali (100 do 200m).

Takodje, sa povećanjem dužine smanjuje se tačnost. Uz ove instrumente kao neophodan pribor dolazi

daljinomjerna letva. Najjednostavniji tip optičkog daljinomjera sa bazom na cilju je Rajhenbahov daljinomjer. U

praksi se uglavnom više ne koriste optički daljinomjeri za mjerenje dužina. Rajhenbahov daljinomjer ima

ograničenu primjenu kod nivelanja za odredjivanje udaljenosti letve od nivelira. Rajhenbahov daljinomjer je teodolit ili nivelir sa končanicom koja ima tri horizontalne niti. Gornja i donja nit

končanice nalazi se na jednakom rastojanju od središnje niti končanice. Zrake, koje prolaze kroz gornju i donju nit nitnog

križa paralelno osi durbina, nakon prolaza kroz objektiv durbina, sijeku se u prednjem žarištu objektiva durbina, formirajući

paralaktički ugao. Budući da su razmak niti i žarišna daljina konstantne veličine za durbin i paralaktički ugao je konstantna

veličina. Na vertikalno postavljenoj letvi na cilju rastojanje izmedju preslikanih niti odredjivat će veličinu baze. Princip

odredivanja dužine ovim daljinomjerom prikazan je na slici 538a. Na sl.5.38b prikazano je vidno polje durbina sa slikom

daljinomjerne letve.

a) b)

Slika 5.38.

Prema slici 8.8 dužina koja se odredjuje je:

D = d + f + e

Iz sličnosti trougla DFG i D'F'G' je:

n :b = f :d,

Odakle je:

d =b f / n

pa je dužina:

D = d + f + e = f

nb f e

Pošto su f, n, e konstantne veličine, označava se:

f / n = K

i f + e = k

Konačni izraz za dužinu:

D = Kb + k

K - multiplikaciona konstanta, najčešće K = 100.

k - adiciona konstanta, kod većine instrumenata durbin je izradjen tako da je k =0.

D

d G

D

F

f e

n b

G'

D'

Očitanje:

gornja nit 1,565

donja nit 1,335

odsječak na letvi:

b = d - g = 0,223 m

1

1

3

4

5

C S

b

D

S C

b D

Slika 5.37.

RGGF Geodezija

17

5.2.5 Mjerenje dužina elektronskim daljinomjerima

- Elektronsko mjerenje dužina

5.2.5.1 Osnove mjerenja

Za elektronsko mjerenje dužina koriste se elektromagnetni talasi kao nosioci informacija izmedju

krajnjih tačaka mjerene dužine. Mjerenje dužina se zasniva na mjerenju vremena, koje je potrebno da

elektromagnetni talas predje mjerenu dužinu u oba smjera.

Za mjerenje se koriste elektronski daljinomjeri, koji se postavljaju na jednu krajnju tačku mjerene dužine, dok se

na drugu tačku mjerene dužine postavlja reflector (prizma). Elekromagnetni talas odaslat od daljinomjera

reflektuje se od prizme ka daljinomjeru i kroz prijemnik biva detektovan (sl. 5.39).

Uz pretpostavku da je brzina prostiranja elektromagnetnih talasa c konstantna, izraz za računanje dužine je:

2D = ct ili d = ct/2 = K t

gdje je: t - vrijeme koje je potrebno da elektromagnetni signal predje dvostruku dužinu.

Zbog velike brzine širenja elektromagnetnih talasa, vrijeme koje je potrebno da bi talas prešao dvostruki

put mjerene dužine je relativno malo, pa je osnovni problem kod ovakvog mjerenja dužina, mjerenje vremena sa

dovoljnom tačnošću.

Elektromagnetno zračenje obuhvata talasno područje od 10-15

do 10 4 m. Od toga je za mjerenje dužina

značajno područje vidljive svjetlosti i infracrveno zračenje talasnih dužina od 0,4 do 13 m i područje radio

talasa sa talasnim dužinama od 0,8 do 10 cm. Ova područja elektromagnetnih talasa pogodna su za mjerenje

dužina, budući da atmosferski uslovi nemaju bitan uticaj na pravilnost njihovog širenja.

Za mjerenje dužina u geodeziji uglavnom se koriste instrumenti koji koriste talase iz područja vidljive i

infracrvene svjetlosti, pa se ovakav način mjerenja dužina naziva elektrooptičko mjerenje dužina, a instrumenti

elektrooptički daljinomjeri. Prilikom mjerenja potrebno je znati tačnu brzinu širenja elektromagnetnih talasa u

vazduhu. Brzina elektromagnetnih talasa u vazduhu (c) zavisi od parametara atmosfere i odredjuje se preko

indeksa loma (n):

n = c0 /c, odnosno c = c0 /n.

gdje je:

c0 - brzina elektromagnetnih talasa u vakuumu

Indeks loma zraka odredjuje se mjerenjem tri osnovna meteorološka parametra: temperature, vlažnosti i pritiska

vazduha.

5.2.5.2 Elektrooptički daljinomjeri

Za mjerenje dužina u geodeziji uglavnom se koriste instrumenti koji koriste talase iz područja vidljive i

infracrvene svjetlosti, pa se ovakav način mjerenja dužina naziva elektrooptičko mjerenje dužina, a instrumenti

elektrooptički daljinomjeri. Kod ovih instrumenata kao reflektor služi prizma, dok sam daljinomjer ima optičke

sisteme za usmjeravanje signala ka cilju i prijem reflektovanog signala ( slika)

Pri izradi, daljinomjeri se baždare na odredjene atmosferske uslove-referentnu atmosferu. Na osnovu

izmjerenih atmosferskih parametara prilikom mjerenja, računa se korekcija indeksa loma, odnosno dužine. Kod

novijih konstrukcija postoji program u računaru daljinomjera za računanje ove korekcije.

D

Elektromag. talasi

odašiljač

prijemnik

reflektor

Sl.5.39

RGGF Geodezija

18

Mjerenje dužina izvodi se pomoću moduliranih talasa. Modulacijom talasa postiže se prenos mjernog

signala, sa frekvencijama podesnim za dalju tehničku obradu, posredstvom osnovnog talasa, sa frekvencijama

podesnim za prolaz kroz radnu sredinu. Modulacija se ostvaruje periodičnom promjenom jednog od tri osnovna

parametra harmonijskih oscilacija: amplitude, frekvencije ili faze. Kod elektrooptičkih daljinomjera uglavnom se

koristi amplitudna ili frekventna modulacija.

Prema načinu mjerenja vremenskog intervala, za koje signal predje dvostruku dužinu, razlikuju se

impulsni i fazni daljinomjeri.

Impulsni način mjerenja vremena. Kod impulsnih daljinomjera direktno se mjeri vrijeme za koje

signal prelazi mjerenu dužinu. Odašiljač u vrlo kratkom vremenskom intervalu odašilja signal (impuls) ka

reflektoru, koji ga vraća prema prijemniku. Impulsi su modulirani visokofrekventnom osnovnom talasu. Dužina

se može odrediti preko jednog impulsa, no zbog povećanja tačnosti emituje se niz impulsa sa vremenskim

razmakom većim od vremena putovanja signala do reflektora i nazad. Nakon pojačanja impuls dolazi do mjerača

vremenskog intervala. Početni (usporedni) i mjerni impuls prelaze u prijemniku isti put. Reflektovani mjerni

impuls preko prijemnika vodi se do mjerača vremenskog intervala kao stop signal. Kod starijih konstrukcija za

mjerenje vremenskog intervala koristile su se katodne cijevi. Vremenski razmak na ekranu izmedju odaslanog i

primljenog signala bio je mjera za put signala. Kod novijih instrumenata koriste se elektronski brojači. Dio

energije lasera odvaja se kao startni impuls i unutarnjim putem vodi do fotoprijemnika kojim se signal pretvara u

električni impuls i vodi do vremenskog brojača. Mjerni signal, od reflektora usmjeren ka prijemniku, takodje se

vodi do fotoprijemnika i do vremenskog brojača kao stop signal. Shema mjerenja dužina impulsnim

daljinomjerima prikazana je na sl.5.40

Fazni način mjerenja dužine. Vremenski interval putovanja talasa odredjuje se posredno, na osnovu

mjerenja fazne razlike odaslanog i primljenog signala. Shema mjerenja dužina impulsnim daljinomjerima

prikazana je na sl.5.41. Za dvostruku dužinu predjenog puta razlika faze početnog i reflektovanog signala će biti:

D2

2

odnosno

22 D

Ukupna fazna razlika jednaka je sumi faznih promjena za cijeli broj perioda na prijedjenom putu (') i ostatku od

nepune periode ()

' ,

gdje je: ...,,' 642

impu

ls

D

odašiljač

prijemnik

Mjerač vremena

reflektor

Sl.5.40

reflektor

D

odašiljač

prijemnik

Mjerač faze

Sl.5.41

odašiljač

prijemnik

Referentni signal prizma

Mjerni signal

Optika odašiljača

RGGF Geodezija

19

Uvrštenjem u jednačinu (8.4) dobije se:

222

'D

Fazna razlika se mjeri unutar jedne periode ( 2), pa ako se broj cijelih perioda označi sa N, a

ostatak N

2, proizilazi:

,NND 2

odnosno

)NN(D

2

Povezanost ove formule sa opštom formulom elektronskog mjerenja dužine dobit će se ako se ukupno

vrijeme putovanja talasa izrazi preko broja perioda:

t=NT+NT )NN(cTctD 2

Pošto je cT , bit će:

)NN(D

2

Veličina nf

cm

22

0

naziva se mjernom jedinicom i predstavlja polovinu talasne dužine

modulacijskog talasa.

gdje je:

- talasna dužina

f- frekvencija

n- indeks loma zraka

Mjerenjem fazne razlike odredjuje se veličina 2

N , to jest ostatak dužine u rasponu do polovine

talasne dužine modulacijskog talasa. Znači daljinomjerom se jednoznačno odredjuje dužina unutar mjerne

jedinice. Za mjerenje većih dužina talasne dužine bi trebale biti veće, odnosno mjerna frekvencija niža, što

znatno smanjuje tačnost mjerenja. Zbog toga se prilikom mjerenja koristi veći broj frekvencija, a za tkz. fino

mjerenje se koristi najviša frekvencija koja se naziva osnovnom mjernom frekvencijom. Mjerenjem upravlja

procesor, a izmjerena dužina se prikazuje na pokazivaču.

Elektrooptičkim daljinomjerima se mjeri dužina emisijom vidljive ili nevidljive (infracrvene) svjetlosti,

zbog čega je potrebno optičko dogledanje krajnjih tačaka mjerene dužine. Za reflekciju svjetlosnog signala na

krajnjoj tački mjerene dužine postavljaju se pasivni reflektori (optičke prizme) (sl.5.42). Kod optičkih prizmi,

nije potrebna velika tačnost orjentacije. Kod mjerenja

kraćih rastojanja (do 100 m) kao reflektori se mogu

koristiti i refleksne folije (sl.5.42b). Sam instrument

predstavlja elektronsko optički sklop sa izvorom

zračenja. Kao izvor zračenja kod prvih konstrukcija

služile su svjetlosne cijevi, a zatim luminiscentne

diode. Razvojem tehnologije sve se više koriste laseri

kao izvori svjetlosnih zračenja. Modulirani svjetlosni

talasi se optičkim sistemom usmjeravaju ka reflektoru

na cilju. Optika predajnika je u stvari objektiv sastavljen od sočiva i ogledala veće optičke jačine. Reflektovani

talasi se preko optike prijemnika vode do fotodetektora ili fotoprijemnika, gdje se pretvara u električni signal.

Optika prijemnika je ista ili slična optici predajnika. Daljinomjer je snabdjeven izvorom energije. To su najčešće

nikl-kadmijum akumulatori, odnosno baterije.

Elektrooptički daljinomjeri razlikuju se ne samo prema konstrukciji i tačnosti, nego i prema dosegu.

Metode satelitske geodezije uveliko potiskuju elektrooptičke daljinomjere većeg dometa.

U inženjerskoj praksi uglavnom se koriste daljinomjeri kratkog i srednjeg dometa do rastojanja max. 5 km.

Slika 5.42

a) b)

RGGF Geodezija

20

Srednja greška (standardno odstupanje) mjerenja dužine ovim daljinomjerima kreće se od (1mm +

1ppm) do (1cm + 5ppm).

Prvi elektrooptički daljinomjeri bili su koncipirani kao samostalni mjerni instrumenti.

Elektronski tahimetar - totalna stanica su sledeće konstrukcije u kojima je elektrooptički daljinomjer

neposredno integriran u teodolit. Totalne stanice (Total Station) novijih konstrukcija su u velikom stepenu

automatizovani mjerni instrumenti. Ugradjeni mikroprocesori upravljaju cjelokupnim mjernim procesom. Kod

ovih konstrukcija elektronskih tahimetara optika predajno-prijemnog uredjaja ugradjena je u durbin teodolita.

Automatski se reguliše jačina signala, izvodi mjerenje, uzimaju u obzir korekcije. Rezultat mjerenja pokazuje se

digitalno na displeju, a može se i automatski registrovati na memorijsku jedinicu daljinomjernog računara.

Može se dobiti horizontalna dužina i visinska razlika prikazana na displeju ili automatski registrovati.

Laserskim impulsnim daljinomjerima može se mjeriti dužina bez reflektora na cilju. Sve su više u

upotrebi totalne stanice sa impulsnim daljinomjerima, kojima se mogu mjeriti rastojanja, do par stotina metara,

bez prizme. Doseg zavisi od refleksne sposobnosti površine na kojoj se nalazi ciljna tačka, odnosno na koju se

usmjerava mjerni signal. Površine pod nagibom kao i mokre i tamne površine imaju malu moć refleksije pa je i

mjerni domet manji kad se tačka nalazi na ovakvim površinama. Kod ovih instrumenata postoji dodatni laser,

koji olakšava viziranje tačke, kada se vrši mjerenja rastojanja bez korištenja prizme. Posebni tipovi totalnih

stanica su instrumenti sa servo motorima, koji omogućuju automatsku rotaciju alhidade i durbina, čime su

stvoreni uslovi i za automatsko viziranje ciljne tačke, odnosno za praćenje promjene položaja prizme.

Postupak mjerenja. Mjerenje počinje postavljanjem instrumenta iznad (ispod) jedne krajnje tačke

mjerene dužine. Samo postavljanje instrumenta (centrisanje i horizontiranje) izvodi se na već opisani način.

Reflektor se centriše iznad krajnje tačke mjerene dužine i usmjeri u pravcu instrumenta. Nakon viziranja

instrumenta, samo mjerenje se svodi na uključenje instrumenta preko prekidača. Mjerenje teče automatski.

Rezultat mjerenja prikazuje se na ekranu i može se registrovati. U upustvu za rukovanje dati su podaci specifični

za instrument. To se prije svega odnosi na popravke za meteorološke uticaje i adicionu konstantu.

Za podizanje mjerne preciznosti mogu se ponovljena mjerenja jednostavno provesti i sračunati srednju

vrijednost kao i standardno odstupanje. Mjerennje zenitnog ugla omogućuje dobijanje horizontalnog rastojanja

i visinske razlike. ‘Tracking funkcija’

omogućuje kod radova iskoličenja mjerenje

dužine kod pokretnog reflektora.

Kada se mjere veće dužine (u cilju

odredjivanja koordinata novopostavljenih

tačaka) takodje se uz popravke za

atmosferske uslove, odredjuju i popravke za

svodjenje na nultu nivosku površinu .

Na slici 5.43a prikazan je elektrooptički

daljinomjer kao dodatni modul teodolitu.

Na sl.5.43b prikazana je totalna stanica,

kod koje je optika predajno-prijemnog

uredjaja integrisana u durbinu (totalna

stanica POWER firme SOKKIA).

5.2.6 Ručni laserski daljinomjer

Za mjerenje kraćih dužina koriste se ručni laserski daljinomjeri

(sl. 5.44). Ručni laserski daljinomjer je uredjaj malih dimenzija i male

težine, te stoga pogodan za korištenje kako na otvorenom, tako i u

zatvorenom prostoru. Domet mjerenja je do 30 m, mada se izradjuju

uredjaji i sa većim dometom. Uz ručni daljinomjer nudi se i stalak sa

adapterom za postavljanje daljinomjera na stalak.

Tačnost mjerenja dužina je reda nekoliko milimetara. U

daljinomjer je integrisan kalkulator sa proširenim mogućnostima

računanja, tako da se iz podataka mjerenja vrlo jednostavno mogu

sračunati površine ili zapremine. Uz korištenje pitagorine teoreme

moguće je odredjvanje rastojanja nepristupačnih tačaka. Ima mogućnost

memorisanja nekoliko stotina mjernih vrijednosti. Takodje postoji mogućnost prenosa podataka na PC.

a)

Slika 5.43.

b)

Sl. 5.44

RGGF Geodezija

21

)(tg

)(tg

ba

ba

2

2

5.2.7. Posredno odredjivanje dužina

Kada izmedju krajnjih tačaka mjerene dužine postoje prepreke (postojeći objekti, konfiguracija terena, i

sl.) zbog kojih se dužina ne može direktno izmjeriti, dužina se odredjuje posredno. Izvan mjerene dužine obilježi

se privremena tačka sa koje su vidljive krajnje tačke mjerene dužine. U tako formiranom trouglu mjeri se

dovoljan broj elemenata iz kojih se može odrediti tražena dužina. Ako se krajnje tačke mjerene dužine ne

dogledaju, u tom slučaju mjere se stranice u pomoćnom trouglu od pomoćne tačke (P) do krajnjih tačaka tražene

dužine i njima zahvaćen ugao () (sl.5.45). Dužina se računa po tangensnoj teoremi prema sledećem izrazu:

Iz uslova sume uglova u trouglu može se odrediti poluzbir uglova i :

( +)/2 = 90 - /2

pa se iz gornjeg izraza može odrediti i nepozbata polurazlika uglova i :

Nakon odredjivanja uglova i , tražena strana u trouglu može se sračunati po sinusnoj teoremi:

Za kontrolu suma projekcija mjerenih strana na odredjivanu stranu treba da bude jednaka računatoj strani:

d = p + q, p = bcos, q = acos

Pitanja i zadaci

1. Izmjerena je kosa dužina D = 354,26 m. Mjerena dužina sa horizontalom zatvara ugao = 12o 30’. Kolika je

horizontalna projekcija dužine D. 2. Izmjereno je koso rastojanje D = 454,26 m, izmedju tačaka A i B. Visinska razlika izmedju tačaka A i B je:

h = 69.42 m. Sračunati horizontalnu projekciju duži AB. Odrediti nagib duži AB u procentima.

3. Izmjerena je dužina d = 1250,57 m na nadmorskoj visina Hs = 1400m. Sračunati popravku za redukciju

na nivo plohu mora.

4. Mjerena je dužina D = 200 m čeličnim pantljikama (termički koeficijent istezanja =1210-6

) pri

temperaturi –5oC. Izračunajte sistematsku grešku koja< pri tome nastaje, ako je pantljika baždarena pri

temperaturi od 20oC.

5. U pomoćnom trouglu izmjerene su strane a i b i njima zahvaćen ugao (sl.5.45). Sračunati dužinu treće

strane u trouglu (strana d). a = 87,53 m, b = 67,84 m, = 91o 34’00’’.

6. Koje uticaje treba uzeti u obzir kod mjerenja dužina čeličnim pantljikama ?

7. Na koji način se može odrediti rastojanje između tačaka koje se ne dogledaju

8. Objasnite princip mjerenja dužina Rajhenbah-ovim daljinomjerom.

9. Na kom principu se zasniva mjerenje dužina elektrooptičkim daljinomjerima?

10. Koji dio EM spektra se koristi kod elektronskog mjerenja dužina?

11. Koja je razlika izmedju faznih i impulsnih daljinomjera?

12. Objasnite uz pomoć skice posredno određivanje dužine (pomoću tangensne teoreme)

13. Šta se podrazumijeva pod 'redukcijom koso mjerene dužine na horizont'.

14. Šta se podrazumijeva pod pojmom 'redukcija mjerene dužine na nivo plohu mora'.

sinsin

bsin

sin

ad

)(tgba

ba)(tg

22

q p

A

a b

B

P

d

Slika 5.45

RGGF Geodezija

22

5.3. ODREDJIVANJE VISINA

- NIVELMAN

Postupak odredjivanja visina tačaka jedne površine u odnosu na drugu, uključujući teorijske, mjerne i

računske radove, instrumente i njihovo ispitivanje, naziva se nivelman.

Pod pojmom visine neke tačke podrazumijeva se vertikalno rastojanje te tačke od usvojene referentne površine.

U primjenjenoj geodeziji i rudarskim mjerenjima referentna površina je površina geoida, odnosno srednja

površina mirnog mora zamišljena i ispod kopnenog dijela Zemlje. Vertikalna udaljenost tačke od ove površine

naziva se nadmorska ili apsolutna visina tačke. Udaljenost tačke na fizičkoj površini Zemlje od površine

referentnog elipsoida naziva se elipsoidna visina. Razlika između elipsoidne i nadmorske visine naziva se

geoidna visina (undulacija geoida) (sl.5.46). Za potpunu predstavu terena potrebno je na karti i planu prikazati i

visinske odnose na terenu. Prikaz visina na planu/karti je izohipsama i kotama. Izohipse su zatvorene krive

linije, koje spajaju tačke istih visina. Nadmorska visina pojedinih tačaka prikazanih na planu ili karti daje se kao

brojna vrijednost i naziva se kota.

Vertikalna rastojanja pojedinih tačaka od nivo-plohe, postavljene kroz proizvoljno odabranu tačku,

nazivaju se relativnim visinama. Razlika visina dvije tačke naziva se visinska razlika.

Apsolutne visine pojedinih tačaka odredjuju se mjerenjem visinskih razlika između tih tačaka početne

tačke - normalni reper. Apsolutna visina normalnog repera odredjuje se u odnosu na srednji nivo mirnog mora

(nulta nivoska površ). Srednji nivo mirnog mora određuje se dužim opažanjem nivoa mora pomoću mareografa.

Kao osnova za određivanje visina na terenu se trajno stabiliziraju tačke za koje se određuju apsolutne

visine mjerenjem visinskih razlika polazeći od normalnog repera. Na terenu stabilizirane tačke, čije su apsolutne

visine odredjene nazivaju se reperi. Skup svih repera čini »nivelmanskumrežu«

Normalni reper, za područje bivše Jugoslavije, nalazio se na molu Sartorio u Trstu. Nadmorska visina

normalnog repera određena je u odnosu na srednji nivo Jadranskog mora za jednogodišnji period u 1875.godini.

Od 1961. god. kao normalni reper usvojen je reper u blizini Maglaja, koji je posebno stabiliziran.

Apsolutna visina ovog repera odredjena je nivelanjem od mareografa koji se nalaze na jadranskoj obali (Kopar,

Rovinj, Bakar, Split luka, Split na Marjanu, Dubrobnik i Bar).

Visine koje se koriste na području BiH su određene u odnosu na Normalni reper u Trstu (Nivelman

visoke tačnosti I – NVT I).

Na Simpoziju EUREF-e uVaršavi 1994 godine uspostavljen je jedinstveni vertikalni datum za Evropu

koji se odnosi na mareograf u Amsterdamu. Sa teritorije Bosne i Hercegovine, 17 čvornih repera, preračunato je

u jedinstvenu Evropsku mrežu nivelmana visoke tačnosti. Radne kote NVT I, koje su u upotrebi, su više od kota

evropskih (Amsterdama) za 0,6289m.

h = H+N

B

Hb

Ha

A

Nivo ploha mora

H

Slika 5.46

h – elipsoidna visina

H – nadmorska visina

N– geoidna visina

geoid elipsoid

Fizička površina Zemlje

RGGF Geodezija

23

N lz

h

lp

B

A N

A B Slika5.47

5.3.1 Metode odredjivanja visina

Za odredjivanje visine neke tačke potrebno je na terenu izmjeriti visinsku razliku izmedju tačke sa

poznatom visinom odredjivane tačke. Za mjerenje visinskih razlika, zavisno od zahtjeva tačnosti i svrhe

mjerenja, razvijene su različite vrste mjernih instrumenata (uredjaja).

Postoji više načina, a time i instrumenata, koji se koriste za odredjivanje visinske razlike izmedju

tačaka, pa shodno tome i postoji i više vrsta nivelmana:

- geometrijski nivelman

- trigonometrijski

- barometrijski

- hidrostatski

Pod geometrijskim nivelmanom podrazumijeva se odredjivanje visinskih razlika izmedju tačaka na

fizičkoj pobvršini Zemlje pomoću horizontalne vizure. Za ostvarivanje horizontalne vizure u procesu mjerenja

služi instrument koji se naziva nivelir. Sam postupak mjerenja visinskuh razlika na terenu naziva se nivelanje.

Trigonometrijsko odredjivanje visina ili trigonometrijski nivelman je metod odredjivanja visinskih

razlika na osnovu mjerenog vertikalnog ugla i rastojanja tačaka za koje se odredjuje visinska razlika.

Barometrijsko odredjivanje visinskih razlika zasniva se na mjerenju pritiska vazduha. Za mjerenje se

koriste barometri. Budući da vazdušni pritisak zavisi ne samo od nadmorske visine, nego i od teperature i

vlažnosti vazduha kao i geografske širine, tačnost odredjivanja visina ovim metodom je relativno mala.

Hidrostatsko odredjivanje visina vrši se pomoću hidrostatskih vaga. Princip odredjivanja visinskih

razlika zasniva se na zakonu o spojenim posudama. Ovaj metod se može koristiti kada su visinske razlike

izmedju tačaka male. Zavisno od vrste hidrostatske vage može se ostvarati visoka tačnost odredjivanja visina.

U inženjerskoj geodeziji i rudarskim mjerenjima visinske razlike uglavnom se odredjuju pomoću

horizontalne vizure ili trigonometrijskim putem. Zbog visoke tačnosti, koja se može postići pri relativno

jednostavnom terenskom radu, najviše se koristi odredjivanje visinskih razlika geometrijskim nivelmanom.

Primjena ovog metoda ograničena je prvenstneno nagibom terena. U slučju većeg nagiba terena koristi se

trigonometrijsko mjerenje visina.

U slučaju da se tačke čije visine odredjujemo nalaze u istoj vertikali, visinska razlika se može direktno

mjeriti pomoću linearnog mjerila. U rudnicima sa podzemnom eksploatacijom, visinske razlike izmedju

pojedinih horizonata u oknu, odnosno dubina vertikalnog okna, mjeri se direktno pomoću pantljika, žica ili

daljinomjerima.

Pored nabrojanih konvencionalnih metoda mjerenja visina, sve više je prisutno trodimenzionalno

odredjivanje tačke kroz tahimetriju, fotogrametriju i salelitske metode. Ove metode su posebno obradjene.

5.3.2 Geometrijski nivelman

Odredjivanje visinana osnovu mjerenja visinskih razlika pomoću horizontalne vizure naziva se

geometrijski nivelman (ili nivelman). Prema svrsi mjerenja nivelman se dijeli na generalni i detaljni.

Princip geometrijskog nivelmana Princip odredjivanja visinske razlike

pomoću horizontalne vizure prikazan je na slici

5.47. Na tačkama, čija se visinska razlika

odredjuje, verikalno se postave letve. Nula

podjele letve postavlja se na visinski definisanu

tačku. Instrument kojim se ostvaruje

horizontalna vizura je nivelir. Vizura nivelira,

pri obrtanju durbina oko vertikalne ose, opisuje

horizontalnu ravninu. Ova horizontalna ravnina

siječe vertikalno postavljenu letvu u tački A na

visini lz , a u tački B na visini lp.

Razlika ovih odsječaka predstavlja vertikalno

rastojanje tačaka, odnosno njihovu visinsku

razliku h:

h = lz – lp

Ako je poznata visina tačke A, tada je visina tačke B: HB = HA + h

RGGF Geodezija

24

5.3.2.1. Nivelir

Instrument za odredjivanje visinskih razlika horizontalnom vizurom je nivelir. Osnovni dio nivelira je

durbin sa uredjajem za horizontiranje vizurne osi, koji se može okretati oko vertikalne ose instrumenta. U osnovi

niveliri se, kao i teodoliti, sastoje od dva osnovna dijela:

- Donji dio se sastoji od tronošca sa podnožnim vijcima. Centralnim vijkom učvrsti se za stativ i tokom

mjerenja je nepokretan. Podnožni vijci služe za horizontiranje instrumenta.

- Gornji dio čini durbin sa sistemom za horizontiranje. Preko vertikalne osovine vezan je za donji dio i

može se okretati u horizontalnoj ravni. U odredjenom položaju može se zakočiti pomoću posebnog vijka.

Zakočen instrument se može za male iznose okretati u horizontalnoj ravni pomoću vijka za fino pomjeranje. Neki

niveliri imaju i horizontalan krug, čija je tačnost očitanja mala.

Zavisno od načina na koji se vizurna os durbina postavlja u horizontalan položaj, niveliri se dijele na:

- Nivelire sa libelom

- Nivelire sa automatskim horizontiranjem vizure.

Niveliri sa libelom. Kod ovih nivelira vizura se dovodi u horizontalan položaj pomoću cijevne libele

koja je vezana za durbin (sl.5.48a). Niveliri povećane tačnosti imaju i elevacioni vijak kojim se durbin sa libelom

može za male iznose pomjerati u vertikalnoj ravni. Elevacioni vijak služi za vrhunjenje libele durbina, prije

očitanja letve. Kod nekih preciznih nivelira posebnim optičkim sistemom mjehur libele preslikava se u vidno

polje durbina, što olakšava samo mjerenje. Za grubo horizontiranje nivelira služi dozna libela koja je ugradjena

na gornjem ili donjem dijelu instrumenta.

Durbini kod ovih nivelira su istih karakteristika kao i durbini teodolita. Precizni niveliri sa optičkim

mikrometrom imaju končanice posebog oblika (sl.5.48b). Kod ovih nivelira, pomoću vijka optičkog mikrometra,

horizontalna nit končanice dovede se na najbližu crticu podjele letve, a pomak do cijelog podioka čita se na skali

mikrometra. Ako je horizontalna nit u obliku klina, crtica podjele se dovede u simetralu klina.

Kod nivelira manje tačnosti, veličine manje od podioka letve se procjenjuju.

Slika 5.48

Niveliri sa automatskim horizontiranjem vizure. Niveliri imaju ugradjene posebne uredjaje-

kompenzatore koji omogućuju da, u području njihovog djelovanja, vizura kojom se očitava letva bude uvijek

horizontalna. Kompenzatori su optički ili optičko mehanički elementi koji djeluju pod uticajem sile teže.

Nakon postavljanja instrumenta na stativ, dovoljno je instrument grubo horizontirati doznom libelom. Time je

instrument doveden u radno područje kompenzatora, odnosno vizura se automatski postavlja u horizontalan

položaj. Smirivanje oscilacija kompenzatora je pomoću ugradjenih prigušivača. Za vrlo kratko vrijeme vizura je

mirna i horizontalna. Gotovo svi niveliri sa kompenzatorom imaju uspravnu sliku.

Princip djelovanja kompenzatora prikazan je na slici 5.49 Objektiv durbina Ob preslikava letvu u ravninu slike S, gdje se nalazi nitni križ. Pri horizontalnoj vizuri, slika (L')

tačke L letve, koja se nalazi u pravcu vizure, pašće u središte nitnog križa N (sl.5.49a). Ako je vizura nagnuta prema

horizontali za ugao , slika (L') tačke L letve koja se nalazi na horizontali kroz optički centar objektiva neće pasti u središte

nitnog križa. Kompenzatori djeluju tako da se slika tačke L koja se nalazi na horizontali kroz optički centar objektiva preslika

u horizontalnu nit nitnog križa. To se može postići na dva načina. Jedan način je, da se na konstantnom rastojanju od nitnog

križa postavi optički elemenat ili optički sistem, koji lomi horizontalnu zraku za ugao , tako da slika (L'') tačke L padne u

središte nitnog križa (sl.5.49b).

Drugi tip konstrukcije kompenzatora omogućuje automatsko pomjeranje nitnog križa u pravac horizontale

(sl.5.49c). Radno područje kompenzatora je od 5' do 30'. Znači, da kompenzator djeluje pri nagibu durbina koji ne prelazi

navedene vrijednosti. Horizontiranje durbina u ovim granicama vrši se pomoću dozne libele nivelira.

Elektronski (digitalni) niveliri. U poslednje vrijeme sve prisutniji su elektronski niveliri. To su niveliri

kod kojih, pored sistema automatskog horizontiranja, postoji sistem za automatsko očitanje letve i rastojanja do

letve. Uz ove nivelire koriste se kodirane letve. Rezultati mjerenja mogu se automatski registrovati.

A

A

K K

L L a)

b)

RGGF Geodezija

25

Očitanje letve je digitalnom obradom slike kodirane letve, s tim da je oko opažača zamijenjeno

fotodiodama. Fotodiode u durbinu nivelira pretvaraju sliku kodirane letve u električni signal. Kao rezultat obrade

ovog signala pomoću mikroprocesora, dobija se očitanje letve (za horizontalnu vizurnu liniju) i rastojanje od

letve do nivelira.

Osnovne karakteristike kao i način mjerenja sa digitalnim nivelirom, objasnit će se na digitalnom

niveliru NA 2000 (3000) firme Leica (sl.5.50c ) koji je noviji tip digitalnog nivelira i prisutan je u geodetskoj

praksi na našim prostorima. Ovaj nivelir po mehaničkoj i optičkoj gradji ne razlikuje se od optičkih nivelira sa

automatskim horizontiranjem, pa se sa ovim nivelirima mogu mjeriti visinske razlike korištenjem i letava sa

cantimetarskom podjelom. Prilikom rada sa kodiranom letvom, nakon viziranja i fokusiranja, koje se izvodi na

isti način kao i kod klasičnih nivelira, mjerenje se startuje pritiskom mjernog dugmeta. Nakon par sekundi na

ekranu (lijevo od okulara) pojavljuje se očitanje letve. Očitanje letve je na stoti dio milimetra. Rastojanje do

letve se pokaže nakon pritiska na tipku DSP (tastatura desno od okulara). Podaci mjerenja mogu se memorisati.

U nivelir je instalisano nekoliko mjernih programa. Prije samog mjerenja jednostavno se pozove odgovarajući

program. Ovaj nivelir spada u grupu preciznih nivelira. Srednja greška za 1 km dvostrukog nivelanja, kod

digitalnog očitanja, iznosi 1.5 mm, odnosno 0.4 mm, a srednja greška odredjivanja rastojanja 0.1 m. Mjerni

doseg, kod elektronskog očitanja je od 1.8 do 100 m. Kodirane letve uz ovaj nivelir mogu biti različite dužine.

Niveliri sa laserskim okularom. Laserski okulari su takve konstrukcije da omogućuju projekciju nitnog

križa pomoću laserske svjetlosti. Izvor laserske svjetlosti je obično posebna jedinica povezana sa okularom

optičkim kablom. Kod ovih nivelira laserskim zrakom projektuje se nitni križ na odabrane površine. Koriste se u

gradjevinarsvu i industriji, pa time i u rudarstvu.

Na slici 5.50a prikazan je stariji tip nivelira sa libelom, na slici 5.50b noviji tip nivelira sa

kompenzatorom, a na slici 5.50.c digitalni nivelir.

Ispitivanje i rektifikacija nivelira

Da bi se visinske razlike mogle tačno odrediti, osnovni uslov je da kolimaciona osa durbina nivelira

bude u prostoru horizontalna.

Način ispitivanja je različit za nivelire sa libelama i sa kompenzatorima.

Za nivelire sa libelama uslovi koji moraju biti ispunjeni su:

1. da je kolimaciona osa durbina okomita na vertikalnu (obrtnu) osu nivelira

S

K

b a

L'

f

Ob

N

L

S f

L'

Ob

N

L

Ob

b a

K

L''

L'

f

N

L

S

Slika 5.49

c)

b) a)

Slika 5.50

a) b) c)

RGGF Geodezija

26

2. da je kolimaciona osa durbina paralelna sa glavnom tangentom nivelacione libele, odnosno da je

horizontalna kad libela vrhuni.

3. da je horizontalna nit nitnog križa u prostoru horizontalna.

Okomitost kolimacione i obrtne ose ispituje se na sljedeći način: Okrene se alhidada tako, da durbin

bude u pravcu dva podnožna vijka. Pomoću ta dva podnožna vijka dovede se libela durbina do vrhunjenja.

Nakon toga se okrene alhidada za 180o (sl.5.51). Ako se pojavi

odstupanje mjehura od marke libele, znači da uslov nije zadovoljen.

Pola odstupanja se popravi korekcionim vijcima libele, a pola

podnožnim vijcima.

Kod ispitivanja drugog uslova odaberu se na približno

horizontalnom terenu dvije tačke na rastojanju do 100 m.

Nivelanjem iz sredine odredi se njihova visinska razlika. Ako se

nivelir postavi tačno na sredini rastojanja izmedju tačaka, tačna

visinska razlika se može odrediti i nerektifikovanim nivelirom (sl

5.52.). Prema slici 10.7a. visinska razlika izmedju tačaka A i B je:

ab llh

Ako vizurna osa nije paralelna sa libelinom (ako u prostoru nije horizontalna), u slučaju da se nivelir nalazi u

sredini, pogrešno očitanje zbog te nehorizontalnosti bit će isto na obadvije letve (a = b), odnosno očitanja će

biti la' i lb'. Visinska razlika odredjena preko očitanih letvi bit će:

)bl()al(llh ba'b

'as

Kako je a = b = , bit će:

hllh bas

Nakon toga se nivelir postavi na kraćem rastojanju (do 5 m) od tačke A ili B da bi se mogao očitati odsječak na

letvi (nivelanje s kraja). Horizontira se nivelir i ponovo očitaju odsječci na letvama la'' i lb''. Budući da je nivelir

relativno blizu jednoj tački (A, sl.5.52b), nehorizontalnost vizurne ose neće imati uticaja na očitanje letve (la'') na

toj tački. Nehorizontalnost vizure iskazat će se u očitanju udaljenije letve (lb'') kao veličina 2. Visinska razlika u

ovom slučaju je: ''b

''a

's llh

Ako se vrijednost hs' razlikuje od h, pravo očitanje na letvi B dobit će se iz izraza:

lb = la'' - h

P3

P1 P2 L1 P1 P2

P3

L2

Slika 5.51

Slika 5.52

b

lb' lb

a N

h

la

A

B

la'

A

lb

2

la''

h

N

lb''

B

a)

b)

RGGF Geodezija

27

Treći uslov se ispituje tako da se horizontalnom niti nitnog križa navizira neka tačka na letvi, a zatim

vijkom za fino pomjeranje okreće alhidada u horizontalnoj ravni. Ako pri tom tačka ne odstupa od horizontalne

niti, ovaj uslov je zadovoljen.

Kod nivelira sa automatskim horizontiranjem, pod pretpostavkom da je funkcija kompenzatora ispravna,

vizura se automatski postavlja u horizontalni položaj u radnom području kompenzatora. Ispravnost funkcije

kompenzatora ispituje se na sljedeći način:

Nivelir se postavi na stativ sa jednim podnožnim vijkom u pravcu letve i horizontira. Navizira se letva i

posmatra slika letve uz lagano okretanje podnožnog vijka. Ako je funkcija kompenzatora ispravna, slika letve u

vidnom polju durbina bit će nepomična, do granice radnog područja kompenzatora, kada se trenutno pomiče.

Nakon toga se vijak okreće u suprotnom smjeru do granice radnog područja. Na granici (dok letva još miruje)

očita se letva. Ako se pojavi razlika očitanja na početku i kraju ispitivanja, kompenzator ne djeluje ispravno.

5.3.2.3. Pribor uz nivelire

Prilikom nivelanja, kao neophodan pribor uz nivelire, koriste se nivelmanske letve i stativi. Kod

generalnog nivelmana koriste se još i papuče.

Nivelmanske letve su dio pribora neophodan za nivelanje. Obično uz nivelir dolaze dvije letve istih

karakteristika. Letve mogu biti drvene ili metalne, dužine 3 do 4 m, širine 8 do 10 cm. Izradjuju se najčešće iz

jednog dijela (krute) ili, za manju tačnost nivelanja, iz dva ili čak tri dijela radi lakšeg prenosa. Krajevi letve su

zaštićeni metalnim okovima. Donja metalna površina letve je nula podjele letve. Podjela je nanesena na čeonoj

plohi i može biti polucentimetarska ili centimetarska. Metri i decimetri su označeni brojevima, a centimetri su

označeni naizmjenično obojenim poljima (sl.5.53b).

Letve uz nivelire veće tačnosti su posebne izrade. Podjela je obično polucentimetarska i nanesena na

invarsku traku, koja je pričvršćena na letvu. Na traci su nanesene dvije podjele, koje su pomjerene za konstantan

iznos koji se naziva konstanta letve. Uz digitalne nivelire koriste se kodirane letve (sl.5.53c). Letve se postavljaju

u vertikalan položaj pomoću dozne libele osjetljivosti do 20', koja je pričvršćena uz letvu na visini oko 1 m.

Za nivelanje u jami koriste se letve manje dužine tako da su prilagodjene uslovima rada u jami (sl.5.53c).

Nivelmanske papuče. Za postavljanje nivelmanskih letvi na medjutačkama koriste se papuče (sl.5.53d).

Nivelmanske papuče se izradjuju od liveog gvoždja. Na gornjoj površini papuče izliven je reper na koji se

postavlja letva.

Stativi nivelira. Prilikom odredjivanja visinskih razlika nivelir se postavlja na stativ isto kao i teodolit.

Stativi na koje se postavljaju niveliri u osnovi su isti kao i stativi teodolita. Jedina razlika je u tome što se niveliri

ne centrišu iznad tačke, pa nema potrebe pomjeranja instrumenta po glavi stativa. Nakon postavljanja nivelira na

stativ, izvrši se horizontiranje pomoću podnožnih vijaka, a zatim centralnim vijkom čvrsto veže uz stativ.

Prilikom nivelanja, stativ se postavlja tako da su dvije noge stativa u pravcu nivelanja.

5.3.2.4 Generalni nivelman

Prema namjeni, odnosno vrsti tačaka za koje se odredjuju visine, geometrijski nivelman se dijeli na

generalni i detaljni.

Pod generalnim nivelmanom podrazumijeva se odredjivanje visina stalnih tačaka-repera, koje služe za

detaljno visinsko snimanje i obilježavanje. Prema tačnosti generalni nivelman se dijeli na:

Slika 5.53.

b)

c)

d)

a)

RGGF Geodezija

28

- Precizni nivelman visoke tačnosti

- precizni nivelman

- tehnički nivelman povećane tačnosti

- tehnički nivelman

Reperi moraju biti stabilizirani u čvstim objektima odnosno terenu. Više repera medjusobno povezanih

nivelanjem nazivase nivelmanski vlak. Rastojanje izmedju dva susjedna repera naziva se nivelmanska strana.

Mjerenja visinske razike izmedju dva repera kod generalnog nivelmana vrši se uvijek nivelanjem iz sredine. Pri

mjerenju visinskih razlika nivelir se postavi tako, da se mogu očitati letve na tačkama, čija se visinska razlika

odredjuje. Nivelir se postavlja na stativ, koji mora biti čvrsto postavljen na tlu i pričvrsti se centralnim vijkom za

glavu stativa. Prilikom nivelanja, stativ se postavlja tako, da su dvije noge stativa u pravcu nivelanja. Nakon

postavljanja nivelir se horizontira pomoću libele. Kod nivelira sa kompenzatorom, dovoljno je navrhuniti doznu

libelu. Kod nivelira sa libelom na durbinu, prije svakog očitanja letve treba navrhuniti libelu durbina. Za tačnije

odredjivanje visinskih razlika nivelir se postavlja tačno na sredinu izmedju tačaka, čija se visina odredjuje

(nivelanje iz sredine). Na taj način se eliminiše uticaj zemljine zakrivljenosti na rezultat mjerenja (sl.5.54).

Ovakav način nivelanja koristi se kada je potrebna veća tačnost odredjivanja visinskih razlika.

Rastojanje od letve do nivelira može se odrediti optički, budući da su končanice nivelira izradjene sa tri

horizontalne niti. Dužina vizure pri nivelanju ne treba da prelazi 100 m.

Kod odredjivanja visinskih razlika, često se tačke, čije se visinske razlike odredjuju, ne dogledaju ili se

nalaze na većoj udaljenosti. U tom slučaju odredjivanje visinskih razlika vrši se postupnim odredjivanjem

visinskih razlika (h1, h2, ... hn) izmedju susjednih tačaka (sl.5.54). Nivelanje počinje od poznatog repera. Na

odabranom rastojanju od početnog repera postavi se nivelir. Pomoću daljinomjernih niti očita se odsječak na

letvi, postavljenoj na početni reper. Zatim se durbin okrene u smjeru nivelanja. Na približno istom rastojanju, u

smjeru nivelanja, postavi se druga letva i pomjera u pravcu, dok odsječak izmedju daljinomjernih niti ne bude

jednak prethodnom očitanju na početnom reperu. Time je odredjena prva vezna tačka (1) na koju se postavi

letva. Na veznim tačkama letva se postavlja na papuču. Zatim se očita srednjim koncem položaj vizure na

početnoj letvi (lz1) i na narednoj (lp1). Nivelir se zatim premješta ispred vezne tačke, dok letva na veznoj tački (1)

ostaje, a letva sa početnog repera premješta na drugu veznu tačku (2), i postupak se ponavlja sve do drugog

repera. Visinska razlika izmedju repera bit će jednaka sumi svih visinskih razlika odredjenih izmedju veznih

tačaka:

H = h1 + h2 + ...hn =h

hi = lzi - lpi

lp3 lz3

lz2 lp1 lz1

H 1

h3

2 B h2

A

h1

lp2

Pravac nivelanja

Slika 5.55.

H= la - lb = (la'+a)-(lb'+b) = la' - lb'

Pravi horizont

a b

Prividni horizont

lb'

N

H

la'

A

B

la lb

Nivi ploha A

Nivi ploha B

Slika 5.54.

RGGF Geodezija

29

Kod odredjivanja visina stalnih tačaka-repera, visinska razlika se odredjuje iz dva nezavisna nivelanja

naprijed i nazad, a za visinsku razliku uzima se artimetička sredina.

Visinske razlike, dobijene iz dva nezavisna mjerenja, ne smiju se razlikovati za iznos veći od

dozvoljenog odstupanja.

Izravnanje nivelmanskog vlaka i računanje visina repera.

Kada na odredjenom području treba postaviti nove repere kao osnovu za visinski premjer odnosno

obilježavanje, tada se visine tih repera odredjuju nivelanjem u nivelmaskim vlakovima oslonjenim na postojeće

repere sa poznatim visinama. Nivelmaski vlak koji počinje od repera sa ponatom visinom i završava se na

drugom reperu sa poznatom visinom naziva se umetnuti nivelmanski vlak (sl.5.56). Nivelmanski vlak koji

počinje i završava na istom reperu naziva se zatvoreni nivelmanski vlak.

Nakon završetka mjerenja vrši se računanje definitivnih visinskih razlika i visina repera.

Ako se radi o nivelmanskom vlaku umetnutom izmedju dva repera sa poznatim visinama (sl.10.11), tada suma

svih visinskih razkika izmedju ta dva repera treba da je jednaka razlici visina datih repera A i B:

h = HB – HA

Zbog grešaka mjerenja suma svih mjerenih visinskih razlika može se razlikovati od visinske razlike datih repera.

fh = Hb - Ha - h

Ako su ova odstupanja nisu veća od dozvoljenih, tada se odredjuju popravke mjerenih visinskih razlika, odnosno

vrši se izravnanje umetnutog nivelmanskog vlaka.

Popravke mjerenih visinskih razlika odredjuju se proporcionalno dužinama nivelmaskih strana prema

izrazu:

d - suma dužina nivelmanskih strana

Za kontrolu mora biti zadovoljena jednakost:

vh = fh

Sa ovako računatim popravkama računaju se definitivne visinske razlike:

h1 = h1’ + vh1

h2 = h2’ + vh2

…………………

hn = hn’ + vhn

ih

h dd

fv

i

R1 d1

dn d2

RA R2 Rn

RB

Rn hn

R2

h1 R

1

HB- HA

RB

h2

RA

Sl.5.56

RGGF Geodezija

30

i nadmorske visine:

H1 = HA + h1

H2 = H1 + h2

…………………

Hn = Hn-1 + hn-1

Za kontrolu

HB = Hn + hn

Kod zatvorenog nivelmanskog vlaka, koji polazi i završava se na istom datom reperu (HB = HA), suma

svih visinskih razlika treba da je jednaka nuli, odnosno ukupno odstupanje odredjuje se prema izrazu:

fh = 0 - h

Računanje popravaka visinskih razlika, definitivnih visinskih razlika kao i visina vrši se na isti način kao

u predhodnom slučaju.

Dozvoljena odstupanja kod generalnog nivelmana. Dozvoljena odstupanja u nivelmanskim vlakovima

zavise od reda nivelmanske mreže i kategorije terena po kom se vrši nivelanje. Teren je kategorisan u dvije

kategorije i to:

- kategorija - povoljan teren

- kategorija – nepovoljan teren

Povoljan teren za nivelanje je horizontalan ili blago nagnut teren sa čvrstom podlogom. Nepovoljan teren je

mekan, močvaran teren ili teren sa većim nagibom.

Za tehnički nivelman dozvoljena odstupanja odredjuju se prema sledećim izrazima:

Umetnuti vlak ili dvostruko

nivelan

Zatvoreni vlak

Povoljan teren H = 16(D+0.06D2)

1/2 (mm) H = 32(D+0.06D

2)

1/2 (mm)

Nepovoljan teren H = 24(D+0.06D2)

1/2 H = 40(D+0.06D

2)

1/2

Primjer računanja visina repera u umetnutom nivelmaskom vlaku.

Mjerene su visinske razlike u nivelmanskom vlaku umetnutom između repera R24 i R32. rezultati nivelanja dati

su u nastavku (nivelmanski obrazac br.1). Visine datih repera su: HR24 =227,526, HR32 =231,480.

Sračunati definitivne visine repera R46 i R47.

Nivelmanski obrazac br.1

Stanica

Vizura

Od

sto

jan

je

u m

etri

ma

Čitanje

na letvi

Visinska

razlika

Nadmorska

visina

vizure

Nadmorska

visina

S i t u a c i j a

1 R24 62 2320 a 61 1734 0,586

2 a 43 2734 R46 43 0621 2,113

3 R46 38 1376 R47 37 1232 0,144

4 R47 56 2305 b 55 2428 -0,123

5 b 65 1934 c 66 2205 -0.271

6 c 38 2352 R32 38 0856 1496 z 13021 3945 = h p 9076 3945 = z-p

h24-46 = 2,699

d24-46 = 209 m

R47

R46

R24

h46-47 = 0,144

d46-47 = 75 m

h47-32 = 1,102

d24-46 = 318 m

R32

a

b

c

RGGF Geodezija

31

Računanje definitivnih visina repera (R46 i R47) u nivelmanskom vlaku umetnutom izmedju repera R24 i R32 (nivelmanski obrazac br.3)

Nivelmaski obrazac br. 3

Broj

vlaka

Rn

Od

akle

je

uze

to

Visinske

razlike

h’n

Ras

toja

nje

rep

era

S u

km

Popravka

n2n

nn

fv

ss

fv

Definitivne

visinske

razlike

hn=

h’n + vn

Nadmorske

visine

Hn =

Hn-1 +hn

Rn

Primjedba

1 R24

N.1

2,

699

0,21

+ 3

2,

702

227, 526 R24

R46

230,

228

R46

N.1

0,

144

0,07

+ 1

0,

145

R47

230,

373

R47

N.1

1,

102

0,32

+ 5

1,

107

R32

231,

480

R32 h=

Hb-Ha

3,

3,

945

954

0,60 9

f h = + 9 mm, h = 16(d + 0,06d2)

1/2

5.3.2.5 Detaljni nivelman

Detaljni nivelman je odredjivanje visina detaljnih tačaka terena, polazeći od repera generalnog

nivelmana kao osnove za snimanje. Pod detaljnim tačkama podrazumijevaju se sve karakteristične tačke

prirodnih ili vještačkih objekata koji se predstavljaju na topografskim podlogama. Za svaku detaljnu tačku

potrebno je, prije ili nakon nivelanja, odrediti i položaj u horizontalnoj ravni. Kod detaljnog nivelmana takodje

nivelanje počinje i završava na poznatim (dati) reperima, a preko veznih tačaka. Nakon očitanja letve na

početnom reperu, letva se postavlja na sve detaljne tačke terena, koje su vidljive sa tokog stajališta, i vrši

očitanje odsječka na letvi. Poslednje očitanje je na veznu tačku, a takodje, za kontrolu, se ponovo očita letva na

početnom reperu. Nakon toga instrument se premješta na sledeće stajalište i prvo vrši čiatnje letve na veznoj

tački, a zatim na detaljnim tačkama. Za kontrolu se obično nivela i par detaljnih tačaka koje su nivelane sa

predhodnog stajališta. Pošto se sa jednog stajališta nivelira nivela veći broj tačaka, koje su na različitom

rastojanju od datog repera mogu se javiti znatnije greške u odredjivanju visina ako vizura nije horizontalna.

Dužina vizure ka detaljnim tačkama ne treba da prelazi 120 m. Uz detaljni nivelman vodi se skica na kojoj su

označene nivelane tačke sa istim brojevima kao u zapisniku. Zavisno od vrste i rasporeda tačaka, čije se visine

odredjuju, detaljni nivelman se dijeli na plošni i linijski.

Plošni ili nivelman površina je odredjivanje visina karakterističnih tačaka neke povšine. Plošni

nivelman se dijeli na:

- nivelman rasutih tačaka

- nivelman pomoću mreže pravougaonika

- nivelman po usmjerenim profilima

Nivelman rasutih tačaka koristi se obično u području gdje izvršeno snimanje ortogonalnom metodom,

znači za tačke čiji položaj u horizontalnoj ravni je odredjen.

Nivelman pomoću mreže pravougaonika primjejuje se uglavnom na ravnom, neizgradjenom terenu gdje

nije izvršeno snimanje detalja u horizontalnoj ravni. Kod ovog snimanja razvija se na terenu mreža pravilnih

figura, najčešće kvadrata. Dužina stranice figure zavisi od terenskih uslova i potrebne tačnosti. Tjemene tačke

figure se obilježe obično drvenim kolićim, a svako tjeme dobija svoj broj. Samo nivelanje se izvodi na već

opisani način.

Linijski detaljni nivelman. Linijski detaljni nivelman je odredjivanje visina karakterističnih tačaka po

odredjenim pravcima (linijama) u cilju dobijanja profila terena (sl.5.57.). Primjenjuje uglavnom kod

saobraćajnica, odnosno linijskih objekata.

Presječe li se površina terena sa okomitom površinom (ili ravninom) i nacrta presječna linija dobije se

linijski profil. Takav profil daje nam informacije o obliku terena duž odredjene linije koja prolazi po površini

Zemlje. Linijski profili najčešće se snimaju za gradnju saobraćajnica, pri čemu je osa saobraćajnice na terenu već

obilježena. Linijski profil duž ose saobraćajnice naziva se uzdužni profil. Uzdužni profili skupa sa poprečnim

profilima čine podogu za konačno projektovanje gradjevina i dalje radove tehničkog premjera. Presječna linija

RGGF Geodezija

32

predstavlja nepravilnu zakrivljenu liniju, na kojoj pojedine tačke moraju biti tako izabrane, da njihove

pravolinijske spojnice što je moguće više budu prilagodjene toku površine terena. Dakle utvrdjuju se prije svega

takve tačke, u kojima se mijenja nagib terena. One se takodje označavaju kao prelomne tačke. Položaj ovih

tačaka kao i visine utvrdjuje se mjerenjem. Za to su potrebna i položajna i visinska mjerenja.

Kod snimanja uzdužnog profila trase objekta, predhodno se vrši obilježavanje tačaka za snimanje.

Obilježavaju se počatak, sredina, kraj krivine, tačke gdje se trasa siječe sa postojećim objektima, sve prelomne

tačke, kao i tačke na odredjenom konstantnom rastojanju. Ove tačke se obilježavaju na terenu najčešćedrvenim

koljem. Za sve ove tačke mjeri se rastojanje od početne tačke trase (stacionaža) i upisuju se na drvene table koje

se postavljaju pored svake obilježene tačke.

Kod ovakvih objekata nivelaju se uzdužni profili duž trase objekta i poprečni profili po tačno

definisanim prvcima. Nivelanje uzdužnih i poprečnih profila može se izvesti istovremeno ako to dozvoljavaju

terenske prilike.

U jamskim mjerenjima nivelanje se vrši duž osa jamskih prostorija za dobijanje podloga za postavljanje

transportnih uredjaja.

Računanje kota tačaka kod detaljnog nivelmana. Visine detaljnih tačaka, za razliku od generalnog

nivelman, računaju se preko tkz. visine vizure (visine horizonta). Prije nego se sračunaju kote detaljnih tačaka

potrebno je uporediti izmjerenu visinsku razliku izmedju početne i završne date tačke, na koje je oslonjen

detaljni nivelman, sa razlikom visina tih tačaka. Ako je odstupanje mjerene od date visinske razlike u

dozvoljenim granicama mogu se sračunati kote detaljnih tačaka.

Kod detaljnog nivelmana sa jednog stajališta nivelira vrši očitanje letve na većem broju detaljnih

tačaka. To faktički znači da se mjeri udaljenost većeg broja detaljnih tačaka od iste horizontalne ravnine. Shodno

tome, za svako stajalište odredi se visina vizure (visina početnog repera + očitanje letve na tom reperu) a zatim se

oduzimanjem, od te visine, očitanja letava za pojedine tačke dobijaju visine tih tačaka (sl.5.57).

Prema slici, visina vizure H.V je:

H.V = HA + lA

A visine detaljnih tačaka bit će:

H1 = H.V - l1

H2 = H.V – l2 … ……………… . . . .

Hn = H.V – ln

0+

133,1

ln

l9

l5 l7 1A

1v2

1v1

v1

H B

Hn

H2

H1

H A

RB

l4

RA

11 12 13

0+

00

0+

40

0+

20

0+

60

0+

80

0+

100

0+

120

0+

140

0+

06,7

0+

17,2

0+

33,1

0+

44,6

0+

56,1

0+

64,2

0+

74,9

0+

95,4

0+

107,7

0+

115,0

0+

133,1

l6

l8

0+

00

0+

40

0+

20

0+

60=

v1

0+

80

0+

100

0+

120

0+

140

0+

06,7

0+

17,2

0+

33,1

0+

44,6

0+

56,1

0+

64,2

0+

74,9

0+

95,4

0+

107,7

0+

115,0

S2 S1

Sl5.57

RGGF Geodezija

33

Za kontrolu treba da je: H = nH.V -l

Sl. 5.58

5.3.3 Trigonometrijsko odredjivanje visina

Odredjivanje visinskih razlika tačaka na bazi mjerenog vertikalnog ugla i rastojanja naziva se

trigonometrijsko mjerenje visina ili trigonometrijski nivelman. Primjenjuje se za odredjivanje visinskih razlika i

visina tačaka kada terenski uslovi nisu podesni za geometrijski nivelman. Naročito se primjenjuje u brdovitom

terenu i prelazu preko vodenih tokova i površina. Takodje se koristi kod odredjivanja visina tačaka u rudarskim

prostorijama većeg nagiba.

Kod odredjivanja visinske razlike izmedju dvije tačke, pored mjerenja vertikalnog/zenitnog ugla i rastojanja,

mjeri se visina instrumenta i visina signala.

Prema slici 5.59 visinska razlika izmedju tačaka A i B bit će:

lihH

gdje je:

i - visina instrumenta (vertikalno rastojanje od tačke A do prekreta durbina)

l - visina signala (vertikalno rastojanje od tačke B do tačke na signalu na koju je vizirano horizontalnim

koncem kod mjerenja vertikalnog ugla)

h - visinska razlika izmedju prekreta durbina i tačke na koju je vizirano pri mjerenju vertikalnog,

odnosno zenitnog ugla

Ako je mjerena kosa dužina D, h je:

zcosDsinDh

Ako je poznato horizontalno rastojanje d:

ctgzdtgdh

Kada su poznate koordinate tačaka čija se visinska razlika odredjuje, horizontalno rastojanje se računa iz

koordinata tih tačaka. Budući da su pri računanju koordinata tačaka sve dužine reducirane na nivo-plohu mora, to

rastojanje d, sračunato iz pravouglih koordinata, neće predstavljati stvarno horizontalno rastojanje izmedju tih

Nulti nivo

H

.V

Hb

Hn

H2

H1

HA

n 5

4 3

2

1

ln

Vezna b

lb

Visina

vizure

l4

RA

11 12 13

1A

1

RA

Vezna b 2 3 4 5 n

B

A

H

h

l

i

d

D

z

Slika 5.59

RGGF Geodezija

34

tačaka. Stvarno horizontalno rastojanje će se dobiti, ako se sračunatoj veličini doda popravka za svodjenje na

nultu površinu:

dR

hdd s'

Kod odredjivanja visinskih razlika tačaka na većem rastojanju (trigonometrijskih tačaka) ova popravka

se uzima u obzir. Takodje se uzima u obzir uticaj zakrivljenosti Zemlje (sl. 5.60). Budući da se vertikalni ugao

mjeri od prividnog horizonta, to se kod računanja visinske razlike mora uzeti u obzir uticaj zakrivljenosti Zemlje,

odnosno razlika izmedju stvarnog i prividnog horizonta, koja iznosi:

R2

dk

2

Prema tome će biti:

ktgdh ' = kctgzdh '

Takodje treba uzeti u obzir i uticaj vertikalne refrakcije. Zbog različite gustine vazduha vizura izmedju dvije

tačke neće prolaziti po pravcu, nego će imati oblik refrakcione krive (sl.5.60). Ako se pretpostavi da se gustina

vazdušnih slojeva pravilno smjenjuje, refrakciona kriva će biti kružnica okrenute konkavnom stranom prema

zemlji. Odnos poluprečnika Zemlje i poluprečnika refrakcione kružnice predstavlja koeficijent refrakcije c, čija

srednja vrijednost iznosi cr=0.13. Poluprečnik refrakcione kružnice je R' = R/cr, pa se uticaj refrakcije računa

prema izrazu, analogno uticaju zakrivljenosti Zemlje:

R2

dc

R2

dk

2r

'

2

1

Sl.5.60

Uzimajući u obzir sve ove uticaje, konačni izraz za računanje visinske razlike bit će:

liR2

d)c1(tg)

R

hdd(H

2

rs

Visina tačke B je:

HHH AB

Ako se mjere vertikalni uglovi na obje tačke, čija se visinska razlika odredjuje, visinska razlika se

računa kao srednja vrijednost visinske razlike odredjene sa obje tačke.

H A H B k

h A

B

D

d Stajaliste

R

R

H A

z

pravi horizont prividni horizont

R

H

A

R

z

A

Stajaliste d

H A

D h

H B k

B k c vizurna osa

nagib durbina

RGGF Geodezija

35

5.3.3.1 Odredjivanje visina nepristupačnih tačaka.

U slučaju da treba odrediti visinu nepristupačne tačke (T) do koje se ne može direktno izmjeriti

udaljenost, visina se odredjuje iz pomoćnog trougla (sl.5.61).

U blizini tačke T postave se dvije tačke (A i B) čije se visine mogu odrediti i izmjeri horizontalno

rastojanje izmedju tih tačaka. Sa tačaka A i B se izmjere vertikalni uglovi na tačku T (a, b) i horizontalni

uglovi izmedju pravca AB i pravca na tačku T (a b).

Iz horizontalnog trougla ABT sračunaju se rastojanja od tačaka A i B do projekcije tačke T:

)sin(

sindTB,

)sin(

sindTA

ba

a

ba

b

Iz mjerenih vertikalnih uglova i sračunatih horizontalnih rastojanja sračunaju se visinske razlike:

bb

aa

tgTBh

tgTAh

Visina tačke T je:

H H h

H H h

t a a

t b b

1

2

Za definitivnu vrijednost visine tačke T uzima se srednja vrijednost:

HH H

tt t1 2

2

Ovom metodom se takodje može odrediti visina nekog vertikalnog objekta, ili visinska razlika dvije

nepristupačne tačke na objektu.

Na sl. sl. 5.62 prikazano je rješenje ovog zadatka. Ako se izmjere vertikalni uglovi pravaca na tačke

čiju visinsku razliku odredjujemo i horizontalno rastojanje do objekta može se sračunti tražena visinska razlika,

odnosno visina objekta, prema izrazu:

H = hg - hd,

gdje je:

hg = dtg g

hd = dtg d

T'

B

b

a

d

A R

a

R

hb

ha

T

B A

b

Slika 5.61

H

d

d

g

hd

hg

A

Slika 5.62

RGGF Geodezija

36

.

Pitanja i zadaci

1. Šta je nadmorska visina ?

2. Kako se nazivaju stalne tačke sa poznatom visinom ?

3. Koje metode odredjivanja visina znate ?

4. Šta je nivelman a šta nivelir ?

5. Objasnite princip odredjivanja visinskih razlika geometrijskim nivelmanom.

6. Šta je 'automatski nivelir'?

7. Šta je generalni, a šta detaljni nivelman ?

8. Objasnite trigonometrijsko odredjivanje visina. Koje veličine se mjere kod ove metode ?

9. Koje metode mjerenja visinskih razlika poznajete i koji instrumenti i pribor se koristi

10. Na koji način utiče zakrivljenost Zemljine površine na tačnost trigonometr. odredjivanja visina ?

11. Odrediti visinu vertikalnog stuba, ako je mjeren vertikalni ugao:

Na gornju tačku stiba: g = 18o 30’ 40’

Na donju tačku stiba: d = - 4o 10’ 40’

Horizontalno rastojanje stajališta instrumenta do stuba iznosi d = 93,56 m.

Odrediti visinsku razliku izmedju stajališne tačke instrumenta i podnožja stuba, ako je visina

instrumenta i = 1,58 m.

RGGF Geodezija

37

6. ODREDJIVANJE PRAVOUGLIH KOORDINATA TAČAKA

Za mnoge tehničke radove potrebno je postaviti nove tačke, budući da postojeća mreža tačaka nije

dovoljna za rješavanje konkretnih tehničkih zadataka. Za izradu topografskih podloga koristi se pravougli

koordinatni sistem, znači za tačke koje će biti osnova premjera odredjuju se pravougle ravninske koordinate. Kod

odredjivanja koordinata novopostavljenih tačaka, polazi se od već postojećih, stalnih, tačaka sa poznatim

koordinatama. Mjerenjem se povezuju novopostavljene sa postojećim tačkama tako, da se na osnovu izmjerenih

veličina mogu sračunati koordinate nove tačke. Zavisno od elemenata koji se mjere, koordinate nepoznate tačaka

mogu se odrediti:

- na osnovu samo uglovnih opažanja - presjecanjem pravaca (sl.6.1a i b)

- na osnovu mjerenja samo dužina - linearni ili lučni presjek (sl.6.1c)

- na osnovu mjerenja uglova i dužina – polarnih koordinata (sl.6.1d)

Ako se istovremeno odredjuju koordinate za više tačaka, tada se govori o postavljanju mreže. Kada se

koordinate odredijuju na bazi samo uglovnih mjerenja takva mreža naziva se trigonometrijska ili triangulaciona

mreža. Tačke povezane samo mjerenim dužinama čine trilateracionu mrežu, dok tačke povezane mjerenim i

dužinama i uglovima (polarne koordinate) čine poligone vlakove odnosno poligonu mrežu.

Kada se kod odredjivanja koordinata tačaka mjeri veći broj elemenata od neophodnih (prekobrojna

mjerenja) tada se definitivne koordinate novopostavljenih tačaka odredjuju izravnanjem po metodi najmanjih

kvadrata.

Određivanje pravouglih koordinata tačaka uključuje rješavanje prvog i drugog geodetskog zadatka.

6.2 Računanje pravouglih koordinata tačaka iz polarnih koordinata

- prvi geodetski zadatak-

Ravninske pravougle koordinate (y,x) novopostavljene tačke odredjuju se na bazi mjerenih veličina iz

kojih se mogu sračunati koordinatne razlike izmedju postojećih poznatih i odredjivane tačke (sl.6.2). Terenskim

mjerenjima najćešće se dobijaju relativne polarne koordinate novoodredjivanih tačaka, tj. mjeri se horizontalno

rastojanje od poznate do nepoznate tačke i horizontalni ugao izmedju poznatog i pravca ka odredjivanoj tački. Iz

mjerenog horizontalnog ugla može se sračunati ugao izmedju ose x i pravca ka nepoznatoj tački. Znači, u tom

slučaju treba iz polarnih koordinata sračunati pravougle kordinate. Ovaj zadatak se u literature često označava

kao prvi geodetski zadatak.

Koordinatne razlike izmedju poznate i nepoznate tačke bit će:

Koordinate nove tačke su:

x

y

A

B

x

y

d a

b

Slika 6.2

p

aaa

b

a

cosdx

sindy

xxx

yyy

ab

ab

Slika 6.1

B

P

A

b

B

a

P

A

B

P

A

C A

B

P a) b) d) c)

RGGF Geodezija

38

6.3 Računanje smjernih uglova i rastojanja iz pravouglih koordinata tačaka

- drugi geodetski zadatak-

Osnovni pravac koordinatnog sistema u Gaus-Krigerovoj projekciji je pravac x ose, koji se na dodirnom

meridijanu poklapa sa pravcem geografskog sjevera. Ugao koji neki pravac zatvara sa pozitivnim smjerom ose x

naziva se direkcioni ili smjerni ugao i označava se ab (sl.6.2). Ovaj ugao ponekad se naziva i nagib (starija

literatura). Može se sračunati iz koordinata dvije tačke na pravcu. Smjerni (direkcioni) ugao pravca ka

odredjivanoj tački odredjuje se na bazi uglovnih mjerenja izmedju poznatog i pravca ka odredjivanoj tački.

Smjerni ugao koristi se za orjentaciju u koordinatnom sistemu i računa od pozitivnog smjera ose x u

pravcu kazaljke na satu. Označava se grčkim slovom sa indeksima ab. Donji indeks označava tjemenu tačku

ugla, a gornji tačku na pravcu. Zavisno od medjusobnog položaja tačaka pravca u koordinatnom sistemu, smjerni

ugao pravca može imati sve vrijednosti od 0 do 360o. U pravouglom ravninskom koordinatnom sistemu, dužina

izmedju dvije tačke sa koordinatnim razlikama tih tačaka, formira pravougli trougao (sl.6.2). Iz poznatih razlika

koordinata može se sračunati ugao izmedju pravca dužine i pravca ose x kao i rastojanje izmedju tačaka.

Prema slici 6.2 je

ab

abba

xx

yy

x

ytg

)x

y(arctgb

a

Dužina, prema sl. 7.2 je:

ba

ba

b,acos

x

sin

yd

Iz slike je vidljivo da je direkcioni ugao

ba = a

b 180o.

Predznak koordinatnih razlika odredjuje kvadrant kroz koji prolazi pravac.

Na sl.6.3 prikazano je odredjivanje smjernog ugla u različitim kvadrantima

U drugom kvadrantu,geometrijski gledano prema slici, smjerni ugao je:

ab = 180-

tgab = tg(180 - ) = -tg =

y

x

y y

x x

b a

b a

Budući da je koordinatna razlika po x negativna, ugao , računat iz koordinatnih razlika, bit će

negativan, pa se može pisati:

ab

-y

B

ab

A

B

d -x

A

B

d

y

x

-y

ab

d

A

x

A

B y

-x

ab

Slika 6.3

RGGF Geodezija

39

ab = 180 +

U trećem kvadrantu, katete diferencijalnog trougla su negativne, ugao , u tjemenoj tački A trougla, bit

će pozitivan, pa je smjerni ugao:

ab = 180 +

tgab = tg (180 +) = tg =

y

x

y y

x x

b a

b a

U četvrtom kvadrantu koordinatna razlika po y je negativna, a po x pozitivna. Ugao , u tjemenoj tački

A, izmedju pravca ose x i dužine AB bit će negativan, pa je smjerni ugao:

ab = 360

o +

Uopšte se može primijetiti, da ako je koordinatna razlika po x (II i III kvadrant) negativna, uglu , kojeg

u tjemenoj tački A diferencijalnog trougla odredjuju dužina i osa x, dodaje se 180o. Ako je pak koordinatna

razlika u pravcu x pozitivna dodaje se 360o.

Kod klasične obrade podataka, smjerni uglovi računaju se u posebnim obrascima (trigonometrijski

obrazac br.8).

Primjer: Sračunati smjerni ugao za pravce date tačkama: T10-T12 , T10-T13 , T10-T14 , T10-T15 , kao i rastojanja

izmedju tačaka na datim pravcima

Koordinate datih tačaka su:

Tačka y x

T10 68 382.56 21 391.17

T12 69 521.08 22 288.42

T13 69 444.30 20 308.65

T14 67 220.64 20 146.44

T15 67 370.50 22 124.04

RAČUNANJE SMJERNIH UGLOVA

Tb

Ta

yb

ya

y = yb - ya

xb

xa

x = xb - xa

tgab = y/x

ab

d = y/sinab

= x/cosab

d

T12 69 521.08 22 288.42

T10 68 382.56 21 391.17

1 138.52 897.25 1.268899

510 45' 32'' 1 449.58

T13 69 444.30 20 308.65

T10 68 382.56 21 391.17

1 061.74 -1 082.52 -0.980804

1350 33' 19'' 1 516.29

T14 67 220.64 20 146.44

T10 68 382.56 21 391.17

-1 161.92 -1 244.73 0.933471

2230 01' 45 1 702.76

T15 67 370.50 22 124.04

T10 68 382.56 21 391.17

-1 012.06 732.87 -1.380954

3050 54' 35'' 1 249.54

6.4 Odredjivanje koordinata tačaka presjecanjem pravaca

Odredjivanje koordinata novih tačaka na bazi mjerenja samo uglova, odnosno opažanjem pravaca,

naziva se presjecanjem. Metod se sastoji u tome da se sa tačaka, čije su koordinate poznate, mjere uglovi izmedju

poznatih i pravca ka odredjivanoj tački, ili sa nepoznate tačke uglovi izmedju pravaca ka poznatim tačkama.

Mjerenjem se u stvari odredjuju pravci ka nepoznatoj tački, a presjek tih pravaca odredjuje položaj tačke.

RGGF Geodezija

40

Za odredjivanje položaja nove tačke dovoljno je izmjeriti dva ugla. Da bi se mogle sračunati koordinate

tačke presjeka pravaca, treba na poznatim tačkama izvršiti orjentaciju pravaca, to jest odrediti smjerne uglove

pravaca prema nepoznatoj tački.

Ako se na poznatoj tački A (sl.6.4) izvrši opažanje pravca prema poznatoj tački B, a zatim prema

nepoznatoj P, odredjen je ugao izmedju poznatog i pravca ka nepoznatoj tački (). Budući da su koordinate

tačaka A i B poznate, poznat je i položaj pravca odredjenog tim tačkama, u koordinatnom sistenu. Smjerni ugao

pravca AB, računa se iz koordinata tačaka A i B.

Ugao koji pravac prema tački P zatvara sa x osom je:

ba

Orjentacija pravaca prema nepoznatoj tački vrši se opažanjem više

poznatih pravaca, odnosno tačaka.

6.4.1. Odredjivanje približnih koordinata tačaka presjecanjem naprijed

Presjecanje naprijed je način odredjivanja koordinata na osnovu opažanja pravaca sa poznatih na

nepoznatu tačku (presjecanje vanjskih pravaca). Odredjivanje približnih koordinata vrši se na osnovu

neophodnog broja mjerenja, tj. presjecanjem naprijed samo sa dvije poznate tačke.

U poznatim tačkama A i B izmjere se uglovi a i b, izmedju pravaca na poznatu i odredjivanu tačku (sl.6.5).

Prvo se sračunaju smjerni ugao strane AB i dužina d iz koordinata datih tačaka.

ab

abba

xx

yytg

ab

abb

axx

yytgarc

0180 ba

ab

ba

ab

ba

ab

cos

xx

sin

yyd

Dužine stranica trougla mogu se odrediti po sinusnoj teoremi:

msin

d

sin

d

sin

d

a

b

b

a

pa je:

ba sinmd ab sinmd

Kako je:

ba

ab

ba

ab

cos

xx

sin

yyd

to je:

sincos

xx

sinsin

yym

ba

ab

ba

ab

ap A

y

x

da

db a

b

B

P

xa

ya

xb

ybp

d

a

b

b

ba

Slika 6.5

y

ab

A

X

A

B

P

Slika 6.4

RGGF Geodezija

41

Prema slici smjerni uglovi su:

ap

ab

a

bp

ba

b

Ako se prirast koordinata izmedju datih i nove tačke označe:

aa

aa

xxx

yyy

bb

bb

xxx

yyy

,

računat će se prema izrazima:

paaa

paaa

cosdx

sindy

y d

x d

b b bp

b b bp

sin

cos

Konačni izrazi za računanje prirasta koordinata su:

aba

aba

cossinmx

sinsinmy

bab

bab

cossinmx

sinsinmy

Koordinate nove tačke su:

bbaa

bbaa

xxxxx

yyyyy

Drugi način rješavanja ovog zadatka je računanje koordinata presječne tačke pravaca.

Sa dvije poznate tačke A i B izvrše se mjerenja (na poznate i nepoznatu tačku) i odrede orjentisani smjerni uglovi

a i b pravaca ka novoj tački (sl.6.6). Pravci su analitički zadani tačkom i koeficijentom pravca. Njihove

jednačine će biti:

bbb

aaa

tg)xx(yy

tg)xx(yy

Oduzimanjem ovih jednačina dobije se:

bbaaab tg)xx(tg)xx(yy

Rješavanjem jednačine po x, dobije se:

ba

aabbab

tgtg

tgxtgxyyx

Da bi se izbjeglo računanje sa velikim brojevima, od gornje jednačine se oduzima vrijednost koordinate

x tačke A, odnosno B, tako da će se računati razlike koordinata poznatih i odredjivane tačke.

Tako će biti:

ba

aababb

ba

bababa

tgtg

tg)xx(yyxx

tgtg

tg)xx(yyxx

A

B b

a

P

x

y Slika 6.6.

RGGF Geodezija

42

bbbb

aaaa

tgxyyy

tgxyyy

Tačnost odredjivanja položaja tačke presjecanjem naprijed, zavisi od oblika trougla i grešaka mjerenja

uglova, odnosno grešaka orjentacije pravaca.

Uticaj greške orjentacije pravca na položajnu grešku

odredjivane tačke vidi se na sl.6.7. Sa slike se vidi da je

položajna greška to manja što je ugao bliži 90o, odnosno sin

bliži jedinici. Takodje greška je veća što je veće rastojanje

izmedju tačaka. Zbog ovoga se, kod presijecanja naprijed, prije

svega mora voditi računa o rasporedu tačaka u trouglu.

za

1 mp1 mp

Primjer:

Presijecanjem naprijed sračunati koordinate tačke 112, ako su odredjeni orjentisani pravci sa tačaka 116 i 188

Koordinate datih tačaka :

Tačka y x orjentisani pravci

116 98 475,85 95 470,88 116 = 3250 39' 24''

188 96 852,53 95 238,64 188 = 260 00' 51''

Računanje približnih koordinata presijecanjem naprijed A = (Yb - Ya) - (Xb - Xa) tgb

B = (Yb - Ya) - (Xb - Xa) tga

Yo = Ya + Ya = Yb + Yb

Xo = Xa + Xa = Xb + Xb

Ta ...116 Ya 98 475. 85 Xa 95 470. 88

Tb ...188 Yb 96 852. 53 Xb 95 238. 64

Yb - Ya - 1 623. 30 Xb - Xa - 232. 24

a 325 39 24 Xa tga = Ya 880. 82 A/C=DXa 1 289. 13

b 26 00 51 Xb tgb = Yb 742. 49 B/C=DXb 1 521 36

Yo 97 595. 02 Xo 96 760 01

tga - 0.683263 -(Xb - Xa) tgb 113. 34 A - 1 509. 96

tgb 0.488039 Yb - Ya - 1 623. 53 B - 1 781. 98

C=tga-tgb -1.171302 -(Xb - Xa) tga - 158. 68

6.4.3. Odredjivanje koordinata tačaka lučnim presjekom

Za odredjivanje koordinata tačaka lučnim (linearnim) presjekom mjere se dužine (da i db) od dvije

poznate tačke (A i B) do nepoznate tačke (P), (sl.6.8). Iz koordinata datih tačaka računaju se smjerni ugao i

rastojanje:

ab

abba

xx

yytg

ba

ab

ba

ab

cos

xx

sin

yyd

Prema kosinusnoj teoremi računaju se uglovi ( i ) u trouglu:

dd

dddcos

a

ba

2

222

y

x

P'1

P1 1

mp mp1

A

B

d

a

b

a

ma

P

P'

Slika 6.7

ap

bp

ab

db da

d B

A

P

ba

Slika 6.8

RGGF Geodezija

43

dd

dddcos

b

ab

2

222

Smjerni uglovi pravaca od poznatih ka odredjivanoj tački su:

ap

ab

bp

ba (6.31)

Ako je redoslijed tačaka obrnut (idući od tačke A, u smjeru kazaljke na satu, dolazi tačka B, pa P)

mijenjat će se predznak za uglove i .

Koordinate tačke P bit će: paaap sindyy , p

aaap cosdxx

Za kontrolu računa se: pbbbp sindyy ,

pbbbp cosdxx

Budući da se koordinate tačaka računaju preko mjerenih dužina, to treba izvršiti popravku mjerenih

dužina za kartografsku projekciju. Ako se izmjeri rastojanje izmedju datih tačaka (dm) i sračuna rastojanje tih

tačaka iz njihovih koordinata (dr), može se odrediti faktor korekcije. Odnos računate i mjerene dužine daje faktor

korekcije, odnosno modul djelimične razmjere za dati položaj u koordinatnom sistemu.

Sa ovim faktorom se pomnože mjerene dužine i sa tako popravljenim dužinama računaju koordinate odredjivane

tačke:

paaap sindqyy , p

aaap cosdqxx

ili,

pbbbp sindqyy , p

bbbp cosdqxx

6.4.4. Odredjivanje koordinata slobodno izabranog stajališta

Metod slobodne stajališne tačke se primjenjuje kod snimanja sa elektronskim tahimetrom. U tom slučaju

instrument se može postaviti i na tačku čije koordinate nisu poznate. Uslov, da se mogu sračunati koordinate

stajališne tačke je da se sa stajališne tačke mogu opažati

najmanje dvije poznate tačke. Iz opažanih pravaca i mjerenih

rastojanja do, najmanje, dvije tačke mogu se sračunati

koordinate stajališne tačke.

Računanje koordinata stajališne tačke slijedi kroz

transformaciju koordinata. Stajališna tačka se usvaja kao

koordinatni početak lokalnog koordinatnog sistema, a pravac ka

jednoj poznatoj tački kao osa x’. Sa stajališne tačke instrumenta

mjeri se ugao izmedju pravaca na tačke A i B i rastojanja do

tačaka A i B (sl.6.9).

Koordinate tačaka A i B u lokalnom koordinatnom sistemu su:

AAAd'x0'y

BBBBBB'cosd'x'sind'y

Na ovaj način dobijene su koordinate dvije tačke u

obadva koordinatna sistema, što pruža mogućnost odredjivanja

parametara za transformaciju iz lokalnog u korisnički

koordinatni sistem.

Ugao zaokretanja lokalnog sistema je:

xS

yS

'B

'AB

AB

yA yB

dB

A

X

Y

S

y'B

x'B

X'

dA

B

Y'

xB

xA

Slika 6.9

RGGF Geodezija

44

= AB - ’A

B,

)xx

yy(arctg

AB

ABB

A

, )

'x'x

'y'y(arctg'

AB

ABB

A

Nakon odredjivanja ugla , koordinate stajališne tačke (S) mogu se transformisati iz lokalnog u

korisnički koordinatni sistem.

Prema slici 7.13 koordinate tačke S su:

YS = yA - dAsin

XS = xA - dAcos

Transformacija koordinata u ravni

Vrlo često različite teme ili obilježja istog područja daje se u različitim koordinatnim sistemima, zavisno

kojom metodom su prikupljeni podaci. Da bi se mogle analizirati prostorne ili vremenske relacije prikazanih

objekata/područja, podaci se moraju prikazati u istom koordinatnom sistemu, odnosno biti opisani istim tipom

koordinata. U tom cilju vrši se transformacija koordinata. Pod transformacijom koordinata podrazumijeva se

preračunavanje koordinata tačaka iz jednog u drugi koordinatni sistem. Ako su u pitanju ravninski pravougli

koordinatni sistema tada je najčešće korišten metod transformaije Helmertova transformacija (4-parametarska

transformacija). Helmertova transformacija podrazumijeva:

- translaciju ravnine a time i koordinatnog početka,

- rotaciju sistema i

- promjenu mjerila

To znači da se napr. kvadrat preslikava u kvadrat koji može biti pomjeren, zarotiran i promijenjene veličine .

Za određivanje parametara transformacije potrebno je minimalno dvije tačke čije su koordinate poznate u oba

sistema. Na osnovu koordinata dviju tačaka poznatih u obadva sistema mogu se se sastaviti četiri jednačine iz

kojih se mogu sračunati parametri transformacije (translacija ishodišta, rotacija sistema i promjena mjerila). Ako

postoji više poznatih tačaka postoji mogućnost ocjena kvaliteta transformacije (transformacijski parametri se

određuju po metodi najmanjih kvadrata).

6.5 Odredjivanje koordinata tačaka u poligonskom vlaku

Postavljanjem poligonih vlakova pogušćuje se mreža postojećih tačaka. Više povezanih poligonih

vlakova, na odredjenom području, čine poligonu mrežu. Svaki vlak u poligonoj mreži ima svoj broj, a takodje

poligone tačke označavaju se brojevima. Poligone tačke čine osnovu za detaljno snimanje terena, kao i za

obilježavanje u horizontalnoj ravni.

Za odredjivanje koordinata poligonih tačaka mjere se uglovi (prelomni i vezni) i dužine. Ovim

mjerenjima poligone tačke se povezuju u poligone vlakove. Poligoni vlakovi vežu se na poznate, već postojeće

tačke (sl.6.9). U tački sa poznatim koordinatama (A) izmjeri se ugao (vezni ugao) izmedju pravca na poznatu

tačku (B) i pravca ka prvoj poligonoj tački (1) i dužina (d1) do prve tačke u vlaku. Ovim mjerenim elementima

poligona tačka je povezana sa poznatim tačkama, odnosno odredjen je njen položaj u odnosu na datu tačku i dati

y = y’cos + x’sin + ty

x = x’cos - y’sin + tx

ty

tx

y

X

Y

O’

y‘

x'

X'

T

Y'

x

ty

tx

y

X

Y

O’

y‘

x'

X'

T

Y'

x

RGGF Geodezija

45

pravac. Dalje se mjere uglovi (prelomni uglovi) u svakoj poligonoj tački izmedju pravaca na prethodnu i sljedeću

poligonu tačku i dužine do sljedeće tačke u poligonom vlaku. Time su izmjereni elementi za odredjivanje

položaja, odnosno koordinata svake tačke u vlaku.

6.5.1 Podjela poligonske mreže

Da bi se mogle računati koordinate tačaka poligonog vlaka u geodetskom koordinatnom sistemu,

poligoni vlakovi se moraju povezati na već postojeće, po koordinatama poznate tačke. Zavisno od povezivanja

na poznate elemente, poligoni vlakovi mogu biti:

- Umetnuti poligoni vlak izmedju dvije poznate tačke i dva pravca (sl.6.10). Mjerenja u ovom vlaku

počinju i završavaju na poznatim tačkama (P, Z) i poznatim pravcima. Kod ovih vlakova moguća je računska

kontrola i uglovnih i dužinskih mjerenja.

- Umetnuti poligoni vlak izmedju

dvije poznate tačke, bez povezivanja na

poznate pravce. Kod ovakvog vlaka postoji

mogućnost računske kontrole samo

dužinskih mjerenja

- Poligoni vlak koji polazi od

poznate tačke i poznatog pravca, a

završava se na poznatom pravcu. U ovom

slučaju postoji mogućnost računske

kontrole samo uglovnih mjerenja

- Zatvoreni poligoni vlak koji polazi i završava se na istoj tački i istom pravcu (sl.6.11). Računska

kontrola moguća je iz uslova zatvorenog poligona.

- Slijepi poligoni vlak, koji polazi od poznate tačke i poznatog pravca, a završava se poligonom tačkom

(sl.6.12). Ne postoji mogućnost računske kontrole rezultata mjerenja.

Zavisno na koje se tačke povezuju, poligoni vlakovi na površini dijele se na redove. Poligoni vlak

umetnut izmedju trigonometrijskih tačaka naziva se glavni poligoni vlak, odnosno vlak prvog reda. Vlakovi

umetnuti izmjedju već odredjenih poligonih tačaka nazivaju se sporedni ili dopunski vlakovi. Poligoni vlakovi na

površini postavljaju se tako da budu što ispruženiji. Dužine strana su 200 do 300 m. Treba nastojati da nema

velikih razlika u dužini pojedinih strana poligonog vlaka. Prilikom izbora mjesta stabilizacije poligonih tačaka

vodi se računa da je mjesto podesno za postavljanje instrumenta, kao i da je obezbijedjeno dogledanje sa

susjednim tačkama.

Oblik poligonog vlaka bit će uslovljen terenskim uslovima i namjenom.

n

3

B

2

2 v 1 3

1 d1 d2 A d3

Slika 6.9

Z

Pv p

1 2

z z

p

Zv

P 1

2

x

y

Slika 6.10

1

p

v p

1

2 3 4

Tp

2

3 4

Tv

x

y

p

p

Tv

Tp 1 2

1

x

y Slika 6.12 Slika 6.11

RGGF Geodezija

46

6.5.2 Računanje koordinata poligonih tačaka

U poligonim vlakovima mjere se dužine poligonih strana, vezni i prelomni uglovi. Mjerenjem ugla

izmedju pravaca ka poznatoj i nepoznatoj tački, može se odrediti smjerni ugao pravca ka novoj tački. Uz

izmjerenu dužinu do nove tačke, to je dovoljan broj elemenata za računanje koordinata nove tačke. Koordinate

poligonih tačaka računaju se redom od poznate tačke, tako da svaka računata tačka, za sljedeću poligonu tačku,

predstavlja poznatu tačku.

Za umetnuti ili zatvoreni vlak, iz uslova datih direkcionih uglova i koordinata, postoji mogućnost

kontrole mjerenih uglova i dužina. Ako se pojave odstupanja, izmedju datih i računatih veličina, u dozvoljenim

granicama, vrši se izravnanje mjerenih veličina, odnosno odredjuju se popravke mjerenih veličina. Preko

popravljenih mjerenih veličina računaju se najvjerovatnije vrijednosti koordinata poligonih tačaka.

Izravnanje poligonog vlaka može se izvesti po približnoj (prostoj) i strogoj metodi izravnanja. Kod

približne metode popravke za uglove dobiju se kada se ukupno uglovno odstupanje podijeli sa brojem mjerenih

uglova. Mjerenim uglovima se dodaju izračunate popravke za uglove tako da se dobiju popravljeni uglovi.

Smjerni uglovi se računaju preko popravljenih uglova. Popravke za koordinatne razlike odredjuju se

proporcionalno dužini iz koje su računate koordinatne razlike.

Računanje smjernih uglova poligonih strana

Da bi se mogle računati koordinate poligonih tačaka, potrebno je odrediti smjerne uglove poligonih

strana. Ovi uglovi se računaju iz početnog smjernog ugla i mjerenih prelomnih (i veznih) uglova u vlaku.

Mjerenje uglova počinje na poznatoj tački, od pravca čiji je smjerni ugao poznat, ili se računa iz koordinata

tačaka na tom pravcu. Prema sl.6.13. u početnoj tački P mjeri se ugao (v) izmedju pravca na poznatu tačku Pv i

pravca na prvu poligonu tačku (1). Smjerni ugao (p1) prve poligone strane bit će:

Smjerni ugao početnog pravca računa se iz koordinata tačaka P i Pv :

pvp

pvp

pxx

yytg

Zavisno od medjusobnog položaja tačaka P, Pv i 1, kod računanja smjernog ugla poligone strane, dodaje se ili

oduzima 180o (sl.6.14)

Pv 1

v

p1

p

p

1800-v

P

p

p

p1

P 1800

Pv

1

x 1

2 p

1 Pv

p

z 2n

P

y

Z 1 2

Z v

d1 d2

zv 2 1 v

d3

Slika 6.13.

Slika 6.14

o

vpp 1801

RGGF Geodezija

47

Uopšte važi:

dodaje se 180o ako je: < 180

o,

oduzima se 180o ako je: > 180

o.

Smjerni ugao sljedeće poligone strane računa se na isti način:

o

1vpo

11p

21 1802180

Opšti izraz za računanje smjernog ugla bilo koje poligone strane je:

on

1pn

1n 180n

Završni smjerni ugao je:

opz 180n

Računanje uglovnih odstupanja i popravki za uglove

Za umetnuti poligoni vlak, završni direkcioni ugao je poznat, odnosno računa se iz koordinata završne

(Z) i završne vezne tačke (Zv). Razlika izmedju datog završnog direkcionog ugla i završnog direkcionog ugla

računatog preko mjerenih uglova daje uglovno odstupanje u poligonom vlaku f:

)180n(f opz

Za zatvoreni poligoni vlak uglovno odstupanje se može odrediti preko sume uglova u zatvorenom

poligonu. Zbir mjerenih veznih uglova u zatvorenom poligonu, treba da je jednak teoretskom zbiru uglova u

poligonu. Razlika ovih zbirova daje uglovno odstupanje u zatvorenom poligonom vlaku. Ako su mjereni

unutarnji uglovi u poligonu f je:

)2(nf

Za vanjske uglove poligona je:

)2(nf

Ako je uglovno odstupanje (f) u dozvoljenim granicama, izračunat će se popravke mjerenih uglova. Za

prostu metodu izravnanja popravke uglova se računaju prema izrazu:

n

fv

gdje je:

n - broj mjerenih uglova.

Izračunata uglovna popravka dodaje se svim mjerenim uglovima, i sa tako popravljenim mjerenim

uglovima računaju se direkcioni uglovi poligonih strana.

Računanje priraštaja koordinata

Koordinatne razlike (prirast koordinata) od početne do prve poligone tačke računaju se iz dužine i

direkcionog ugla poligone strane (sl.7.21).

1

11

1

11

p

'

p

'

cosdx

sindy

RGGF Geodezija

48

Na isti način se računaju koordinatne razlike za slijedeće poligone tačke. Opšti izraz za računanje koordinatnih

razlika je:

n

nn

'

n

n

nn

'

n

cosdx

sindy

1

1

Za umetnuti poligoni vlak zbir računatih koordinatnih razlika treba da je jednak razlici koordinata

završne i početne tačke (sl.6.15).

x)xx(

y)yy(

pz

pz

Ako ovaj uslov nije ispunjen, postoji linearno odstupanje u pravcu koordinatnih osa koje se računa

prema izrazima:

x)xx(f

y)yy(f

pzx

pzy

Za zatvoreni poligoni vlak zbir koordinatnih razlika treba da je jednak nuli, odnosno linearna odstupanja

po osama su:

xxf

yyf

x

y

0

0

Ukupno linearno odstupanje je:

22

xyd fff

Ako je linearno odstupanje u granicama dozvoljenih, raspodjelit će se kao popravke na računate

koordinatne razlike. Za prostu metodu izravnanja popravke za koordinatne razlike računaju se prema izrazima:

ix

xi

i

y

yi

dd

fv

dd

fv

gdje je d - suma svih poligonih strana.

Za kontrolu mora biti: vy = 0 vx = 0

Prethodno izračunatim koordinatnim razlikama yi i xi dodaju se popravke, tako da se dobiju

popravljene koordinatne razlike:

xn

n

nnn

yn

n

nnn

vcosdx

vsindy

1

1

1 d1 x1

P xp

xz

x

y yz yp

x3 d3

x2

z

2z

d2 1

2 a

1

p Pv

2 Zv

Z

y1

y2

xz-xp

yz-yp

y3

Slika 6.15

RGGF Geodezija

49

Sa popravljenim koordinatnim razlikama računaju se konačne koordinate poligonih tačaka:

Koordinate prve tačke u poligonom vlaku računaju se prema izrazima:

y1 = yp + y1

x1 = xp + x1

Koordinate ostalih tačaka u poligonom vlaku računaju se na isti način, usvajajući prethodno računatu

poligonu tačku kao datu. Opšti izraz za računanje koordinata poligonih tačaka je:

yn = yn-1 + yn

xn = xn-1 + xn

6.5.3 Dozvoljena odstupanja u poligonim vlakovima

Dozvoljena uglovna i linearna odstupanja u poligonim vlakovima zavise prije svega od svrhe mjerenja

koja će se vezati na poligone tačke. Za poligone vlakove, koji se postavljaju kao osnova topografskog snimanja,

dozvoljena odstupanja su data Pravilnikom za državni premjer, zavisno od razreda zemljišta na kome se izvodi

snimanje.

Prema metodu mjerenja i tipu vlaka dozvoljena uglovna odstupanja iznose:

fmax = 20'' n do 60'' n

gdje je: n - broj mjerenih uglova u poligonom vlaku

Dozvoljena linearna odstupanja, zavisno od načina mjerenja i kategorije terena kreću se u granicama:

fd = 0.007 d do 0.012 d

gdje je: d - dužina vlaka (m).

Primjer: Izračunati koordinate poligonih tačaka o 51, o 52, o 53, umetnutih izmedju dvije date tačke o19 i o28 (sl.9.20).

Dato je:

- Koordinate datih tačaka

Tačka y x

18 63 340.91 35 651.35

19 63 100.25 35 101.82

28 63 877.27 35 283.82

29 64 093.42 35 013.70

- Mjereni prelomni i vezni uglovi - Mjerene dužine

19 = 38o 20' 25'' d19-51 = 223.56 m

51 = 171o 46' 30'' d51-52 = 214.27 m

52 = 239o 46' 44'' d52-53 = 246.08 m

53 = 141o 22' 18'' d53-28 = 187.74 m

28 = 246o 24' 16''

Početni i završni direkcioni ugao (1819 i 28

29) računaju se iz koordinata datih tačaka:

tgy y

x x18

19 19 18

19 18

63100 25 63340 91

3510182 3565135

240 66

549 530 437938

. .

. .

.

.. , 18

19= 203o 39' 02''

800219011270

15216

82352837035013

27638774264093

2829

28292928 .

.

.

..

..

xx

yytg

, 28

29= 141o 19' 57''

RGGF Geodezija

50

Računanje koordinata poligonih tačaka dato je u obrascu: Broj

tačke

Tn

Prelomni i

vezni uglovi

n

Smjerni

uglovi

n=n-1 +

1800

Dužina

strane

dn(m)

Yn'=dnsinn Xn

'=dncosn Popravljene koordinatne razlike

Yn Xn

Definitivne koordinate

0 ' '' 0 ' '' Yn=Yn-1+Yn xn=Xn-1+Xn 1 2 3 4 5 6 7 8

18 203 39 02 203 39 02

19 38 20 25 -2 -3 63 100,25 35 101,82

+8 61 59 35 233, 56 197, 38 104, 98 197,36 104,95

51 171 46 30 -1 -3 63 297,61 35 206,77

+8 53 46 13 214, 27 172, 84 126, 64 172,83 126,61

52 239 46 44 -2 -3 63 470,44 35 333,38

+9 113 33 05 246, 08 225, 58 - 98, 33 225,56 - 98,36

53 141 22 18 -1 -3 63 696,00 35 235,02

+9 74 55 32 187, 74 181, 28 48, 83 181,27 48,80

28 246 24 16 63 877,27 35 283,82

141 19 57

29 871, 65

ima

1041

19

15 ima

treba 777,

777,

02

08

182,

182,

12

00

treba 1041 19 57 fy = 0, 06 fx = -0, 12

f = 42

18

19

51

52

53

28

29

63 0

00

63 5

00

64 0

00

35 000

35 500

19

51

52

53

28

+8