Click here to load reader

FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

  • View
    231

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    1/32

    Funkcije

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    2/32

    to su funkcije?

    to je domena, a to kodomenafunkcije?

    Koje simbolike zapise koristimo pri

    zapisivanju funkcija? ...

    U potrazi za odgovorima,U potrazi za odgovorima,krenimo s primjerimakrenimo s primjerima

    iz svakodnevnog ivota...iz svakodnevnog ivota...

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    3/32

    !rimjer ".#!rim

    jer ".# Kad smo bili maliKad smo bili malise zove koji dan u tjednu,se zove koji dan u tjednu,

    ".".dandan ponedjeljakponedjeljak,,$o moemo i ovako zapisati#$o moemo i ovako zapisati#"" ponedjeljakponedjeljak

    %.%.dandan utorakutorak,, itd.itd.

    i kad su nas uili kakoi kad su nas uili kako

    %% utorakutorak

    && srijedasrijeda'' etvrtaketvrtak

    (( petakpetak

    )) subotasubota** nedjeljanedjelja

    &.&.jeje srijedasrijeda

    +oemo rei da je+oemo rei da je

    svakom broju od " do *svakom broju od " do *pridruen po jedan dan.pridruen po jedan dan.

    $ime je zadana$ime je zadana -UK/012-UK/012

    kojakojasvakom broju od " do *svakom broju od " do *pridruujepridruujetono jednu rijetono jednu rije..

    rekli su nam da je#rekli su nam da je#

    3a poetak zapamtimo da3a poetak zapamtimo dafunkcijafunkcija44neemu

    pridruuje neto5neemu pridruuje neto5..

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    4/32

    !rimjer %.#!rim

    jer %.# U jednoj koli ima ) vii6 razreda#U jednoj koli ima ) vii6 razreda#

    (.a(.a %"%"(.b(.b "7"7).). %)%)

    *.*. %(%(8.a8.a "*"*8.b8.b "8"8

    +oemo rei da je svakom+oemo rei da je svakomrazredu od (.a do 8.brazredu od (.a do 8.b

    pridruen broj uenika.pridruen broj uenika.

    $ime je zadana$ime je zadana -UK/012-UK/012kojakojasvakom razredu od (.a do 8.bsvakom razredu od (.a do 8.bpridruujepridruujetono jedan brojtono jedan broj..

    3a svaki razred moemo3a svaki razred moemoizbrojati koliko uenikaizbrojati koliko uenika

    ima u njemu.ima u njemu.

    9akle, i u ovom primjeru9akle, i u ovom primjerufunkcijafunkcija

    44neemu pridruuje neto5neemu pridruuje neto5..

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    5/32

    Uoimo kroz prole primjere od ega se sastoji svakaUoimo kroz prole primjere od ega se sastoji svaka:ratimo se na ". primjer#:ratimo se na ". primjer#

    "" ponedjeljakponedjeljak%% utorakutorak&& srijedasrijeda

    '' etvrtaketvrtak

    (( petakpetak)) subotasubota

    ** nedjeljanedjelja

    funkcija ;funkcija ;

    Kao prvo, ovdje imamo brojeveKao prvo, ovdje imamo brojevekojima neto pridruujemo;kojima neto pridruujemo;

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    6/32

    Uoimo kroz prole primjere od ega se sastoji svakaUoimo kroz prole primjere od ega se sastoji svaka:ratimo se na ". primjer#:ratimo se na ". primjer#

    "" ponedjeljakponedjeljak%% utorakutorak&& srijedasrijeda

    '' etvrtaketvrtak

    (( petakpetak)) subotasubota

    ** nedjeljanedjelja

    funkcija ;funkcija ;

    DOMENADOMENA KODOMENAKODOMENA0 tree, imamo0 tree, imamo pravilopravilopo kojem pridruujemo;po kojem pridruujemo;

    $o nam$o nam

    pravilopravilo

    npr. kaenpr. kae

    a ne npr.a ne npr. etvrtaketvrtak..

    PRAVILOPRAVILO

    PRIDRUIVANJAPRIDRUIVANJA

    =vaka se funkcija=vaka se funkcijasastoji od#sastoji od#- domenedomene- kokodomenedomene

    - pravilapravilapridruivanapridruivana

    da brojuda broju

    ""pridruujemo bapridruujemo ba

    ponedjeljakponedjeljak

    ,,

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    7/32

    Uoimo te pojmove i u %. primjeru#Uoimo te pojmove i u %. primjeru#

    to je ovdje domena?to je ovdje domena?9omenu9omenuine razredi (.a, (.b, )., ... 8.b .ine razredi (.a, (.b, )., ... 8.b .

    (.a(.a %"%"

    (.b(.b "7"7).). %)%)*.*. %(%(

    8.a8.a "*"*

    8.b8.b "8"8

    !reciznije,!reciznije, domena je skupdomena je skup>>(.a, (.b, )., *., 8.a, 8.b(.a, (.b, )., *., 8.a, 8.b ..

    to je kodomena?to je kodomena?KodomenuKodomenuine brojevi %", "7, %)...ine brojevi %", "7, %)...!reciznije,!reciznije, kodomena je skupkodomena je skup>>%", "7, %), %(, "*, "8%", "7, %), %(, "*, "8 ..

    !o kojem!o kojem pravilupraviluse vri pridruivanje?se vri pridruivanje?=vakom razredu pridruuje se broj=vakom razredu pridruuje se brojuenika tog razreda.uenika tog razreda.

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    8/32

    3apamtimo to vrijedi3apamtimo to vrijedi

    za svaku funkciju#za svaku funkciju#-unkcija-unkcija

    svakomsvakomelementu domeneelementu domene

    pridruujepridruuje

    tono jedantonojedanelement kodomene.element kodomene.

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    9/32

    [email protected]@

    0mamo li i ovdje funkciju?0mamo li i ovdje funkciju?emamo.emamo.

    3ato?3ato?3ato to 9ugom =elu i /rikvenici3ato to 9ugom =elu i /rikvenicinita nije pridrueno,nita nije pridrueno,

    3agreb3agreb 3A3A

    :aradin:aradin :B:BCijekaCijeka C0C0

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    10/32

    [email protected]@ "" nedovoljannedovoljan

    %% dovoljandovoljan&& dobardobar'' vrlo dobarvrlo dobar(( odlianodlian

    1e li time zadana funkcija?1e li time zadana funkcija?

    1e.1e.

    to je ovdje domena?to je ovdje domena?9omena je skup9omena je skup >>", %, &, ', (", %, &, ', ( ..

    to je ovdje kodomena?to je ovdje kodomena?Kodomena je skupKodomena je skup

    !o kojem!o kojem pravilupraviluse ovdje vrese ovdje vre

    pridruivanja?pridruivanja?=vakom broju od " do ( pridruen je=vakom broju od " do ( pridruen jenaziv ocjene koju predstavlja taj broj.naziv ocjene koju predstavlja taj broj.

    >>nedovoljan, dovoljan,nedovoljan, dovoljan,

    !o emu to znamo?!o emu to znamo?!o tome to je!o tome to je svakomsvakombroju iz lijevogbroju iz lijevogstupca pridruenstupca pridruen tono jedantonojedannaziv iznaziv iz

    desnog.desnog.

    dobar, vrlo dobar, odliandobar, vrlo dobar, odlian ..

    3adatak %.#3adatak %.# !rovjerimo jesmo li s6vatili#!rovjerimo jesmo li s6vatili#

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    11/32

    adam se da nakon ovi6 primjeraadam se da nakon ovi6 primjera

    moe razumjeti reenicu#moe razumjeti reenicu#-unkcija iz skupa 9 u skup K-unkcija iz skupa 9 u skup K

    svakom elementu skupa 9svakom elementu skupa 9

    pridruujepridruujetono jedan element skupa K.tono jedan element skupa K.

    je pravilo po kojem seje pravilo po kojem se

    =kup 9 nazivamo=kup 9 nazivamo domenadomena..=kup K nazivamo=kup K nazivamo kodomenakodomena..

    !repii sve sa ove!repii sve sa ovestranice u biljenicu;stranice u biljenicu;

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    12/32

    2li matematiari kao matematiari...2li matematiari kao matematiari......oni vole...oni vole brojevimabrojevimapridruivatipridruivati brojevebrojeve......

    !a krenimo na primjere s brojevima...!a krenimo na primjere s brojevima...

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    13/32

    1e li time zadana funkcija?1e li time zadana funkcija?

    1e.1e.3ato?3ato?1er je svakom broju iz lijevog stupca1er je svakom broju iz lijevog stupcapridruen tono jedan broj iz desnog stupca.pridruen tono jedan broj iz desnog stupca.

    +oe li uoiti po kojem+oe li uoiti po kojem pravilupraviluse ovdjese ovdje

    vre pridruivanja?vre pridruivanja?=vakom broju iz lijevog stupca pridruen je=vakom broju iz lijevog stupca pridruen jedva puta vei Etj. [email protected] broj.dva puta vei Etj. [email protected] broj.

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    ""

    %% (( 88 "F"F

    %%

    ''"F"F")")%F%F

    "'"' %8%8

    to je ovdje domena?to je ovdje domena?9omena je skup9omena je skup >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' ..

    to je ovdje kodomena?to je ovdje kodomena?

    Kodomena je skupKodomena je skup >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8 ..

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    14/32

    UpoznajmoUpoznajmo simbolike zapisesimbolike zapisekoje koristimo kod funkcija,koje koristimo kod funkcija,a koji nama koji nam

    olakavaju zapisivanje ;olakavaju zapisivanje ;

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    ""

    %% (( 88 "F"F

    %%

    ''"F"F")")%F%F

    "'"' %8%8

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    15/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    ""

    %% (( 88 "F"F

    %%

    ''"F"F")")%F%F

    "'"' %8%8

    2ko bismo eljeli opisati2ko bismo eljeli opisati pravilopravilopridruivanjapridruivanja

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    16/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    ""

    %% (( 88 "F"F

    %%

    ''"F"F")")%F%F

    "'"' %8%8

    2ko bismo eljeli opisati2ko bismo eljeli opisati pravilopravilopridruivanjapridruivanja

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    17/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    ""

    %% (( 88 "F"F

    %%

    ''"F"F")")%F%F

    "'"' %8%8

    U zapisuU zapisu [email protected] I %[email protected] I %JH

    f #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

    :jerojatno i sam nasluuje:jerojatno i sam nasluujekoji dio zapisa to govori...koji dio zapisa to govori...ime funkcijeime funkcije

    domenadomena

    ne pie to je domena,ne pie to je domena,a to kodomena funkcije.a to kodomena funkcije.

    kodomenakodomena

    +atematiari su i za to smislili kratki zapis#+atematiari su i za to smislili kratki zapis#

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    18/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    ""

    %% (( 88 "F"F

    %%

    ''"F"F")")%F%F

    "'"' %8%8

    f #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

    Litamo#Litamo#-unkcija-unkcija ff ide saide sa skupaskupa ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' uu skupskup %, ', "F, "), %F, %8 .%, ', "F, "), %F, %8 .

    U zapisuU zapisu [email protected] I %[email protected] I %JH ne pie to je domena,ne pie to je domena,a to kodomena funkcije.a to kodomena funkcije.

    +atematiari su i za to smislili kratki zapis#+atematiari su i za to smislili kratki zapis#

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    19/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#

    f #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

    funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana

    f [email protected] I %JHf [email protected] I %JH

    U prvom retku pie namU prvom retku pie nam domenadomena i kodomena.i kodomena.ime funkcije,ime funkcije,

    U drugom retku pieU drugom retku pie pravilo pridruivanja.pravilo pridruivanja.

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    20/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#

    f #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

    funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana

    f [email protected] I %JHf [email protected] I %JH

    =jea li se kako itamo ta dva retka?=jea li se kako itamo ta dva retka?

    -unkcija f ide sa skupa ", %, (, 8, "F, "' u skup %, ', "F,-unkcija f ide sa skupa ", %, (, 8, "F, "' u skup %, ', "F,"), %F, %8."), %F, %8.f od H jednako je %JH .f od H jednako je %JH .

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    21/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#

    f #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

    funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana

    f [email protected] I %JHf [email protected] I %JH

    to ta funkcija pridruuje brojuto ta funkcija pridruuje broju ((??

    (( "F"F$o moemo i ovako zapisati#$o moemo i ovako zapisati#f E(@ I "Ff E(@ I "F iito itamo#to itamo# f od ( jednako je "F .f od ( jednako je "F .

    9opunimo#9opunimo#

    f E"@ If E"@ I

    %%

    f E%@ If E%@ I ''f [email protected] If [email protected] I ")")f E"[email protected] If E"[email protected] I %F%Ff E"'@ If E"'@ I %8%8

    Kako to itamo?Kako to itamo?f od " jednako je %f od " jednako je %to to znai?to to znai?$o znai da ova funkcija broju "$o znai da ova funkcija broju "pridruuje broj % .pridruuje broj % .

    Esjeti se pravila [email protected] se pravila [email protected]

    Esjeti se to ova funkcija pridruuje broju "[email protected] se to ova funkcija pridruuje broju "[email protected]

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    22/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana

    f [email protected] I %JHf [email protected] I %JH

    Cazjasnimo jo jedan detalj u vezi kodomene#Cazjasnimo jo jedan detalj u vezi kodomene#U kodomeni su brojevi koje pridruujemo brojevima iz domene,U kodomeni su brojevi koje pridruujemo brojevima iz domene,ali u njoj smiju biti i brojevi koji niemu nisu pridrueni.ali u njoj smiju biti i brojevi koji niemu nisu pridrueni.9akle, kodomenu moemo zadati i ire.9akle, kodomenu moemo zadati i ire.

    $ako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. &* i "FF$ako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. &* i "FF

    i time ne bismo uinili nita pogreno.i time ne bismo uinili nita pogreno.

    f #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' >>%, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8, &*, "FF, &*, "FF

    2 moemo dodati i sve preostale prirodne brojeve,2 moemo dodati i sve preostale prirodne brojeve,pa time dobivamo skup .pa time dobivamo skup .

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    23/32

    !rimjer '.#!rimjer '.#

    9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana

    f [email protected] I %JHf [email protected] I %JHf #f # >>", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "'

    3ato3ato nenepiemo u vitiastojpiemo u vitiastojzagradi?zagradi?

    :itiastu zagradu koristimo kad:itiastu zagradu koristimo kad nabrajamonabrajamoelemente skupa,elemente skupa,npr.npr. >>", %, &, ', (...", %, &, ', (... ..

    o, ako imamo oznaku za cijeli skup Enpr.o, ako imamo oznaku za cijeli skup Enpr. ,, 33,, [email protected],[email protected],

    nju piemo bez vitiaste zagrade.nju piemo bez vitiaste zagrade.

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    24/32

    0staknimo0staknimojo jednom#jo jednom#

    9omenu9omenu nenemoemomoemozadati ire;zadati ire;

    U njoj suU njoj su tono oni brojevitono oni brojevikojima neto pridruujemo.kojima neto pridruujemo.

    9

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    25/32

    FUNKCIJA DIREKTNE

    PROPORCIONALNOSTI

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    26/32

    Formula za obim kvadrata

    O=4a

    Ako izvrimo zam!"u#

    O=y i a=x

    Naa $ormula iz%l!day= 4x

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    27/32

    Formula za obim !d"ako&tra"i'"o%

    trou%la O=3a

    Ako izvrimo zam!"u#

    O=y i a=x

    Naa $ormula iz%l!day= 3x

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    28/32

    Da li ! ovim $ormulama d!$i"i&a"a

    $u"k(ia))) S!timo &! d!$i"i(i! $u"k(i!**

    FUNKCIJA! &vako pravilo, propis ili dogovor+o kom! svakom elementujednog&ku+a+ridru,u!mo ta'"ojedan elemenat drugog&ku+a-

    ."a'i od%ovor ! DA***

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    29/32

    Prim!r

    U $ormuli za obim !d"ako&tra"i'"o%trou%la odr!diditi +ravilo +ridru,iva"a*

    /

    01234

    0

    369

    11!

    Pravilo +ridru,iva"a izra,!"o !$ormulom y= 3xIma z"a'!"! +ridru,i "3 puta ve#i$

    5 6

    7ta ! DO8ENA

    5 9 DO8ENA

    7ta ! kodom!"a

    :9 KODO8ENA

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    30/32

    Na!d"o&tav"ia $ormula za ovakv!

    $u"k(i! !; :ELI?INE

    'O()*A(A+*- +)D. ()/--. 'O()*A(A ) - D2A

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    31/32

    @ra$i'ki +rikaz $u"k(i! dir!kt"!

    +ro+or(io"al"o&ti .adr,imo &! o malo "a "a!m +rim!ru obima

    !d"ako&tra"i'"o% trou%la*

    Formula ! :< 2= Da bi "a(rtali %ra$ $u"k(i! moramo "aBi

    ur!d!"! +arov!*

    = / 0 1 2 3

    :

  • 7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

    32/32

    @ra$i'ki to iz%l!da ovako

    Prvo (rtamo KOORDINATNI SISTE8

    0 1 2 3 4 G H

    01

    234

    :4

    4

    4

    4

    4

    4

    4

    4

    G

    / =

    Odredjujemo polo5aj taaka uravni70,0871,387,687x,y8