FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

7/23/2019 FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

http://slidepdf.com/reader/full/funkcija-direktne-proporcionalnosti 1/32

Funkcije



• Što su funkcije?

• Što je domena, a što kodomenafunkcije?

• Koje simboličke zapise koristimo pri

zapisivanju funkcija? ...

U potrazi za odgovorima,U potrazi za odgovorima,krenimo s primjerimakrenimo s primjerima

iz svakodnevnog ivota...iz svakodnevnog ivota...



!rimjer ".#!rim

jer ".# Kad smo bili maliKad smo bili malise zove koji dan u tjednu,se zove koji dan u tjednu,

".". dandan ponedjeljakponedjeljak,,$o moemo i ovako zapisati#$o moemo i ovako zapisati#"" →→ ponedjeljakponedjeljak

%.%. dandan utorakutorak,, itd.itd.

i kad su nas učili kakoi kad su nas učili kako

%% →→ utorakutorak

&& →→ srijedasrijeda'' →→ četvrtakčetvrtak

(( →→ petakpetak

)) →→ subotasubota** →→ nedjeljanedjelja

&.&. je je srijedasrijeda

+oemo rei da je+oemo rei da je

svakom broju od " do *svakom broju od " do *pridruen po jedan dan.pridruen po jedan dan.

$ime je zadana$ime je zadana -UK/012-UK/012

kojakoja svakom broju od " do *svakom broju od " do *pridruujepridruuje točno jednu riječtočno jednu riječ..

rekli su nam da je#rekli su nam da je#

3a početak zapamtimo da3a početak zapamtimo dafunkcijafunkcija44nečemu

pridruuje nešto5nečemu pridruuje nešto5..



!rimjer %.#!rim

jer %.# U jednoj školi ima ) viši6 razreda#U jednoj školi ima ) viši6 razreda#

(.a(.a →→ %"%"(.b(.b →→ "7"7).). →→ %)%)

*.*. →→ %(%(8.a8.a →→ "*"*8.b8.b →→ "8"8

+oemo rei da je svakom+oemo rei da je svakomrazredu od (.a do 8.brazredu od (.a do 8.b

pridruen broj učenika.pridruen broj učenika.

$ime je zadana$ime je zadana -UK/012-UK/012 kojakoja svakom razredu od (.a do 8.bsvakom razredu od (.a do 8.bpridruujepridruuje točno jedan brojtočno jedan broj..

3a svaki razred moemo3a svaki razred moemoizbrojati koliko učenikaizbrojati koliko učenika

ima u njemu.ima u njemu.

9akle, i u ovom primjeru9akle, i u ovom primjerufunkcijafunkcija

44nečemu pridruuje nešto5nečemu pridruuje nešto5..



Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svakaUočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka:ratimo se na ". primjer#:ratimo se na ". primjer#

"" →→ ponedjeljakponedjeljak%% →→ utorakutorak&& →→ srijedasrijeda

'' →→ četvrtakčetvrtak

(( →→ petakpetak)) →→ subotasubota

** →→ nedjeljanedjelja

funkcija ;funkcija ;

Kao prvo, ovdje imamo brojeveKao prvo, ovdje imamo brojevekojima nešto pridruujemo;kojima nešto pridruujemo;

<ni čine<ni čine DOMENUDOMENU ..9akle, u9akle, u domenidomeni su objektisu objekti

kojima nešto pridruujemo.kojima nešto pridruujemo.

adalje, imamo objekteadalje, imamo objektekoje pridruujemo;koje pridruujemo;

<ni čine<ni čine KODOMENUKODOMENU ..9akle, u9akle, u kodomenikodomeni su objektisu objekti

koje pridruujemo.koje pridruujemo.

DOMENADOMENA KODOMENAKODOMENA



Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svakaUočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka:ratimo se na ". primjer#:ratimo se na ". primjer#

"" →→ ponedjeljakponedjeljak%% →→ utorakutorak&& →→ srijedasrijeda

'' →→ četvrtakčetvrtak

(( →→ petakpetak)) →→ subotasubota

** →→ nedjeljanedjelja

funkcija ;funkcija ;

DOMENADOMENA KODOMENAKODOMENA0 tree, imamo0 tree, imamo pravilopravilo po kojem pridruujemo;po kojem pridruujemo;

$o nam$o nam

pravilopravilo

npr. kaenpr. kae

a ne npr.a ne npr. četvrtakčetvrtak..

PRAVILOPRAVILO

PRIDRUŽIVANJAPRIDRUŽIVANJA

=vaka se funkcija=vaka se funkcijasastoji od#sastoji od#- domenedomene- kokodomenedomene

- pravilapravilapridruživanapridruživana

da brojuda broju

"" pridruujemo bašpridruujemo baš

ponedjeljakponedjeljak

,,



Uočimo te pojmove i u %. primjeru#Uočimo te pojmove i u %. primjeru#

Što je ovdje domena?Što je ovdje domena?9omenu9omenu čine razredi (.a, (.b, )., ... 8.b .čine razredi (.a, (.b, )., ... 8.b .

→→

→→

→→

→→

→→

→→

(.a(.a %"%"

(.b(.b "7"7).). %)%)*.*. %(%(

8.a8.a "*"*

8.b8.b "8"8

!reciznije,!reciznije, domena je skupdomena je skup>> (.a, (.b, )., *., 8.a, 8.b(.a, (.b, )., *., 8.a, 8.b . .

Što je kodomena?Što je kodomena?KodomenuKodomenu čine brojevi %", "7, %)...čine brojevi %", "7, %)...!reciznije,!reciznije, kodomena je skupkodomena je skup>> %", "7, %), %(, "*, "8%", "7, %), %(, "*, "8 . .

!o kojem!o kojem pravilupravilu se vrši pridruivanje?se vrši pridruivanje?=vakom razredu pridruuje se broj=vakom razredu pridruuje se brojučenika tog razreda.učenika tog razreda.



3apamtimo što vrijedi3apamtimo što vrijedi

za svaku funkciju#za svaku funkciju#-unkcija-unkcija

svakomsvakom elementu domeneelementu domene

pridruujepridruuje

točno jedantočno jedan element kodomene.element kodomene.



b@b@

0mamo li i ovdje funkciju?0mamo li i ovdje funkciju? emamo.emamo.

3ašto?3ašto?3ato što 9ugom =elu i /rikvenici3ato što 9ugom =elu i /rikveniciništa nije pridrueno,ništa nije pridrueno,

3agreb3agreb →→ 3A3A

:aradin:aradin →→ :B:BCijekaCijeka →→ C0C0<sijek<sijek →→ <=<==plit=plit →→ =$ =$

9ugo =elo9ugo =elo →→

DD/rikvenica/rikvenica →→ DD

a funkcija bia funkcija bisvakomesvakome iz lijevog stupca trebalaiz lijevog stupca trebalapridruitipridruiti točno jedantočno jedan objekt izobjekt izdesnog.desnog.

3adatak %.#3adatak %.# !rovjerimo jesmo li s6vatili#!rovjerimo jesmo li s6vatili#

+oeš li uočiti po kojem+oeš li uočiti po kojem pravilupravilu sese

ovdje vrše pridruivanja?ovdje vrše pridruivanja?Aradovima iz lijevog stupcaAradovima iz lijevog stupcapridruene su odgovarajue kraticepridruene su odgovarajue kraticesa registarski6 tablica.sa registarski6 tablica.



d@d@ "" →→ nedovoljannedovoljan

%% →→ dovoljandovoljan&& →→ dobardobar'' →→ vrlo dobarvrlo dobar(( →→ odličanodličan

1e li time zadana funkcija?1e li time zadana funkcija?

1e.1e.

Što je ovdje domena?Što je ovdje domena?9omena je skup9omena je skup >> ", %, &, ', (", %, &, ', ( . .

Što je ovdje kodomena?Što je ovdje kodomena?Kodomena je skupKodomena je skup

!o kojem!o kojem pravilupravilu se ovdje vršese ovdje vrše

pridruivanja?pridruivanja?=vakom broju od " do ( pridruen je=vakom broju od " do ( pridruen jenaziv ocjene koju predstavlja taj broj.naziv ocjene koju predstavlja taj broj.

>> nedovoljan, dovoljan,nedovoljan, dovoljan,

!o čemu to znamo?!o čemu to znamo?!o tome što je!o tome što je svakomsvakom broju iz lijevogbroju iz lijevogstupca pridruenstupca pridruen točno jedantočno jedan naziv iznaziv iz

desnog.desnog.

dobar, vrlo dobar, odličandobar, vrlo dobar, odličan . .

3adatak %.#3adatak %.# !rovjerimo jesmo li s6vatili#!rovjerimo jesmo li s6vatili#



adam se da nakon ovi6 primjeraadam se da nakon ovi6 primjera

moeš razumjeti rečenicu#moeš razumjeti rečenicu#-unkcija iz skupa 9 u skup K-unkcija iz skupa 9 u skup K

svakom elementu skupa 9svakom elementu skupa 9

pridruujepridruujetočno jedan element skupa K.točno jedan element skupa K.

je pravilo po kojem se je pravilo po kojem se

=kup 9 nazivamo=kup 9 nazivamo domenadomena..=kup K nazivamo=kup K nazivamo kodomenakodomena..

!repiši sve sa ove!repiši sve sa ovestranice u biljenicu;stranice u biljenicu;



2li matematičari kao matematičari...2li matematičari kao matematičari......oni vole...oni vole brojevimabro jevima pridruivatipridruivati brojevebro jeve......

!a krenimo na primjere s brojevima...!a krenimo na primjere s brojevima...



1e li time zadana funkcija?1e li time zadana funkcija?

1e.1e.3ašto?3ašto?1er je svakom broju iz lijevog stupca1er je svakom broju iz lijevog stupcapridruen točno jedan broj iz desnog stupca.pridruen točno jedan broj iz desnog stupca.

+oeš li uočiti po kojem+oeš li uočiti po kojem pravilupravilu se ovdjese ovdje

vrše pridruivanja?vrše pridruivanja?=vakom broju iz lijevog stupca pridruen je=vakom broju iz lijevog stupca pridruen jedva puta vei Etj. dvostruki@ broj.dva puta vei Etj. dvostruki@ broj.

!rimjer '.#!rim jer '.#

"" →→

%% →→(( →→

88 →→

"F"F →→

%%

''"F"F")")%F%F

"'"' →→

%8%8

Što je ovdje domena?Što je ovdje domena?9omena je skup9omena je skup >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' . .

Što je ovdje kodomena?Što je ovdje kodomena?

Kodomena je skupKodomena je skup >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8 ..



UpoznajmoUpoznajmo simboličke zapisesimboličke zapisekoje koristimo kod funkcija,koje koristimo kod funkcija,a koji nama koji nam

olakšavaju zapisivanje ;olakšavaju zapisivanje ;


"" →→

%% →→(( →→

88 →→

"F"F →→

%%

''"F"F")")%F%F

"'"' →→

%8%8




"" →→

%% →→(( →→

88 →→

"F"F →→

%%

''"F"F")")%F%F

"'"' →→ %8%8

2ko bismo eljeli opisati2ko bismo eljeli opisati pravilopravilo pridruivanjapridruivanja

<va funkcija svakom broju pridruuje dva<va funkcija svakom broju pridruuje dvaputa vei broj.puta vei broj.

ove funkcije,ove funkcije, rekli bismo#rekli bismo#

Gvo kako to krae moemo zapisati#Gvo kako to krae moemo zapisati#

f EH@ I %JHf EH@ I %JH

<bjasnimo taj zapis;<bjasnimo taj zapis;ff je ime funkcije je ime funkcije0me funkcije moe biti0me funkcije moe biti

bilo koje slovo.bilo koje slovo.+i emo najčeše koristiti+i emo najčeše koristiti

slovaslova ff,, gg,, 66..

HH u zagradiu zagradipredstavlja bilo koji brojpredstavlja bilo koji brojkojemkojem nešto pridruujemonešto pridruujemo

Ebilo koji broj iz domene@Ebilo koji broj iz domene@

izrazizraz %JH%JH nakon znakanakon znaka IIgovori nam što se pridruujegovori nam što se pridruuje

onom brojuonom broju HH iz zagradeiz zagradeU ovom primjeru pridruujemoU ovom primjeru pridruujemo

mumu %JH%JH , tj. % puta vei broj., tj. % puta vei broj.




"" →→

%% →→(( →→

88 →→

"F"F →→

%%

''"F"F")")%F%F

"'"' →→ %8%8

2ko bismo eljeli opisati2ko bismo eljeli opisati pravilopravilo pridruivanjapridruivanja

<va funkcija svakom broju pridruuje dva<va funkcija svakom broju pridruuje dvaputa vei broj.puta vei broj.

ove funkcije,ove funkcije, rekli bismo#rekli bismo#

<vaj zapis čitamo#<vaj zapis čitamo# ef od iks jednako je dva puta Hef od iks jednako je dva puta H

9akle,9akle, fEH@fEH@ čitamo#čitamo# f od Hf od H


Gvo kako to krae moemo zapisati#Gvo kako to krae moemo zapisati#




"" →→

%% →→(( →→

88 →→

"F"F →→

%%

''"F"F")")%F%F

"'"' →→ %8%8

U zapisuU zapisu fEH@ I %JHfEH@ I %JH

f #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→ >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

:jerojatno i sam nasluuješ:jerojatno i sam nasluuješkoji dio zapisa što govori...koji dio zapisa što govori...ime funkcijeime funkcije

domenadomena

ne piše što je domena,ne piše što je domena,a što kodomena funkcije.a što kodomena funkcije.

kodomenakodomena

+atematičari su i za to smislili kratki zapis#+atematičari su i za to smislili kratki zapis#




"" →→

%% →→(( →→

88 →→

"F"F →→

%%

''"F"F")")%F%F

"'"' →→ %8%8

f #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→ >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

Litamo#Litamo#-unkcija-unkcija ff ide saide sa skupaskupa ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' uu skupskup %, ', "F, "), %F, %8 .%, ', "F, "), %F, %8 .

U zapisuU zapisu fEH@ I %JHfEH@ I %JH ne piše što je domena,ne piše što je domena,a što kodomena funkcije.a što kodomena funkcije.

+atematičari su i za to smislili kratki zapis#+atematičari su i za to smislili kratki zapis#




9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#

f #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→ >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8

funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana


U prvom retku piše namU prvom retku piše nam domenadomena i kodomena.i kodomena.ime funkcije,ime funkcije,

U drugom retku pišeU drugom retku piše pravilo pridruivanja.pravilo pridruivanja.





f #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→ >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8



=jeaš li se kako čitamo ta dva retka?=jeaš li se kako čitamo ta dva retka?

-unkcija f ide sa skupa ", %, (, 8, "F, "' u skup %, ', "F,-unkcija f ide sa skupa ", %, (, 8, "F, "' u skup %, ', "F,"), %F, %8."), %F, %8.f od H jednako je %JH .f od H jednako je %JH .





f #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→ >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8



Što ta funkcija pridruuje brojuŠto ta funkcija pridruuje broju (( ??

(( →→ "F"F$o moemo i ovako zapisati#$o moemo i ovako zapisati#f E(@ I "Ff E(@ I "F ii to čitamo#to čitamo# f od ( jednako je "F .f od ( jednako je "F .

9opunimo#9opunimo#

f E"@ If E"@ I

%%

f E%@ If E%@ I ''f E8@ If E8@ I ")")f E"F@ If E"F@ I %F%Ff E"'@ If E"'@ I %8%8

Kako to čitamo?Kako to čitamo?f od " jednako je %f od " jednako je %Što to znači?Što to znači?$o znači da ova funkcija broju "$o znači da ova funkcija broju "pridruuje broj % .pridruuje broj % .

Esjeti se pravila pridruivanja...@Esjeti se pravila pridruivanja...@

Esjeti se što ova funkcija pridruuje broju "...@Esjeti se što ova funkcija pridruuje broju "...@




9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana


Cazjasnimo još jedan detalj u vezi kodomene#Cazjasnimo još jedan detalj u vezi kodomene#U kodomeni su brojevi koje pridruujemo brojevima iz domene,U kodomeni su brojevi koje pridruujemo brojevima iz domene,ali u njoj smiju biti i brojevi koji ničemu nisu pridrueni.ali u njoj smiju biti i brojevi koji ničemu nisu pridrueni.9akle, kodomenu moemo zadati i šire.9akle, kodomenu moemo zadati i šire.

$ako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. &* i "FF$ako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. &* i "FF

i time ne bismo učinili ništa pogrešno.i time ne bismo učinili ništa pogrešno.

f #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→ >> %, ', "F, "), %F, %8%, ', "F, "), %F, %8, &*, "FF, &*, "FF

2 moemo dodati i sve preostale prirodne brojeve,2 moemo dodati i sve preostale prirodne brojeve,pa time dobivamo skup .pa time dobivamo skup .




9akle,9akle, s ova dva retka#s ova dva retka#funkcija je u potpunosti zadanafunkcija je u potpunosti zadana

f EH@ I %JHf EH@ I %JHf #f # >> ", %, (, 8, "F, "'", %, (, 8, "F, "' →→

3ašto3ašto nene pišemo u vitičastojpišemo u vitičastojzagradi?zagradi?

:itičastu zagradu koristimo kad:itičastu zagradu koristimo kad nabrajamonabra jamo elemente skupa,elemente skupa,npr.npr. >> ", %, &, ', (...", %, &, ', (... . .

o, ako imamo oznaku za cijeli skup Enpr.o, ako imamo oznaku za cijeli skup Enpr. ,, 33,, MM...@,...@,

nju pišemo bez vitičaste zagrade.nju pišemo bez vitičaste zagrade.



0staknimo0staknimo još jednom# još jednom#

9omenu9omenu nene moemomoemozadati šire;zadati šire;

U njoj suU njoj su točno oni brojevitočno oni bro jevikojima nešto pridruujemo.kojima nešto pridruujemo.

9<+G29<+G2 K<9<+G2K<9<+G2

KodomenuKodomenu moemomoemozadati šire;zadati šire;

U njoj su oni brojeviU njoj su oni brojevikoje pridruujemoko je pridruujemo,,

a mogu biti i još nekia mogu biti i još nekiEkoji nisu ničemuEkoji nisu nič[email protected]@.



FUNKCIJA DIREKTNE

PROPORCIONALNOSTI



Formula za obim kvadrata

O=4a

Ako izvršimo zam!"u#

O=y i a=x

Naša $ormula iz%l!day= 4x



Formula za obim !d"ako&tra"i'"o%

trou%la O=3a

Ako izvršimo zam!"u#

O=y i a=x

Naša $ormula iz%l!day= 3x



Da li ! ovim $ormulama d!$i"i&a"a

$u"k(ia))) S!timo &! d!$i"i(i! $u"k(i!**

FUNKCIJA ! &vako pravilo, propis ili dogovor +o kom! svakom elementu jednog &ku+a+ridru,u!mo ta'"o jedan elemenat drugog &ku+a-

."a'i od%ovor ! DA***



Prim!r

U $ormuli za obim !d"ako&tra"i'"o%trou%la odr!diditi +ravilo +ridru,iva"a*

/

01234

0

369

11!

Pravilo +ridru,iva"a izra,!"o !$ormulom y= 3xIma z"a'!"! +ridru,i "3 puta ve#i$

5 6

7ta ! DO8ENA

5 9 DO8ENA

7ta ! kodom!"a

:9 KODO8ENA



Na!d"o&tav"ia $ormula za ovakv!

$u"k(i! !; :< k =

k9 KOEFICIJENT PROPORCIONALNOSTI

k ∈ R

% i & DIREKTNO PROPORCIONALNE >ELI?INE

'O()*A(A+*- +)D. ()/--. 'O()*A(A ) - D2A



@ra$i'ki +rikaz $u"k(i! dir!kt"!

+ro+or(io"al"o&ti .adr,imo &! oš malo "a "aš!m +rim!ru obima

!d"ako&tra"i'"o% trou%la*

Formula ! :< 2= Da bi "a(rtali %ra$ $u"k(i! moramo "aBi

ur!d!"! +arov!*

= / 0 1 2 3

:<2= / 2 01

6<2= ili $=<2=5</ imamo $/<2 / /5<0 imamo $0<2 0 25<1 imamo $1<2 1



@ra$i'ki to iz%l!da ovako

Prvo (rtamo KOORDINATNI SISTE8

0 1 2 3 4 G H

01

234

:4

4

4

4

4

4

4

4

G

/ =

Odredjujemo polo5aj taaka uravni70,0871,387,687x,y8

Documents

FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI