Elektrostatyka (I)wykład 16

• wstęp elektryczność i magnetyzm– zmierzamy do równań Maxwella

• prawo Kulomba• pole elektryczne: natężenie pola, potencjał• prawo Gaussa (I prawo Maxwella)• pojemność elektryczna – kondensator• ładunek elementarny – doświadczenie Millikana• pole elektryczne w dielektrykach: polaryzacja i wektor przesunięcia

Ładunek elektryczny• wielkość addytywna

• dwa znaki ładunku

• większość ładunku w przyrodzie jest skompensowana (przyciągnie się ładunków o przeciwnych znakach)

• kulomb [C]= [A s] jednostka19

18

1 1.602 10

1 6.242 10

e C

C e

1 kulomb

• niewiele gdy mierzony przepływem prądu

• bardzo dużo gdy nie skompensowany Q=1C

q=1Cr=1m

F=9 109 N

Zjawiska elektryczne

• elektryzowanie się ciał• wyładowania elektryczne• prądy elektryczne

– praca serca– system nerwowy– współczesna energetyka– elektronika

• atom, cząsteczka, chemia

Elektryczność i magnetyzmrównania Maxwella (w próżni)dynamiczny związek pola elektrycznego i magnetycznego

0

0 0 0

0

0 0 0

0

0

div div

rot rotdt t

Qd d

d dd d dl d

dt dt

E B

B EE B j

E S B S

E l B S B I E S

elektrostatyka

Elektryzowanie się ciałwykorzystujemy odpychanie się ładunków

jednoimiennych

• pocieranie

• indukcja elektrostatyczna

• transport ładunku wraz z naładowanymi cząstkami– atmosfera– generator Van der Graaffa

Prawo Kulomba

20

1

4

Qq

rr

rF

Q

qr

F

20

1

4

Q

q rr

F rE

Siła pomiędzy ładunkami

Natężenie pola w punkciewywołane obecnością ładunku, Q.

212

0 28.85187817... 10

C

N m

Ładunek próbny:nie wytwarza pola dla siebie

Dodawanie sił,dodawanie wektorów pola elektrycznegodziałającego na ładunek próbny

ii

F F

Q1

qF1

Siła wypadkowa jest wektorową sumą sił

Natężenie pola w punkciejest sumą pół od poszczególnych ładunków

Q2

F2 F

ii

E E

Wektor pola E jest addytywny

Q1

E1

Natężenie pola w punkciejest sumą pól od poszczególnych ładunków

Q2

E2 E

ii

E E

Pole elektryczne• wokół ładunku• w środku kwadratu• w środku kuli• pole dipola elektrycznego

Dodawanie sił,pole dipola elektrycznego

Q-

F-

Q+

F+

F

d

3

0

24

1rdQ

xEx

3

041

rdQ

xEx

{dQ} – moment dipolowy

Strumień polaPrawo Gaussa

Q

E

Strumień pola E pola

nie zależyod sposobu całkowania

20

1

4

Q

q rr

F rE SE dd E

dS

dSE·dS.= E·dS

Całkowity strumień przez zamkniętą powierzchnięwyznacza całkowity ładunek wewnątrz powierzchni

0

24

QErE

QE 0

Korzystamy zprawa Gaussa

QE 0

• jednorodnie naładowana kula gęstość ładunku, Q/V• powierzchnia kulista powierzchniowa gęstość ładunku, Q/S

• płaszczyzna, kondensator

• długi drut ładunek na jednostkę długości, Q/L

0 1 2 3

E( r) =Q/40r2

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

E( r) =r/300

E

rE

02

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa-Greena

Dywergencja polaw punkcie = źródło pola

S

V

dVdivd ESEdz

dEdy

dE

dxdE

div zyx EE

V

SV

dVdVdivdQ

00

ESE

0Ediv

0Q

dS

SE

Prawo Gaussa - postać różniczkowa

Prawo Gaussa - postać całkowa

pdEdWd rF

Pole elektryczne przy powierzchni metalu

• wewnątrz metalu E=0;

• pole prostopadłe do powierzchni;

• może istnieć przypowierzchniowa gęstość ładunku

• wiatr elektronowy przy ostrzach– duża gęstość, silne pole

E

Siła i praca (energia potencjalna)gradient (potencjału)

siła jest specyficzną pochodną potencjału po położeniu

pdEdWd rF

zyxdEdzFdyFdxFd pzyx ,, rF

rr

rF dd

dEdWd p

dz

zyxdEF

dy

zyxdEF

dx

zyxdEF p

zp

yp

x

,,,,,,

zyxEzyxEd

zyxdEpp

p ,,,,,,

gradr

F

dzd

dyd

dxd

,,grad operator

Natężenie i potencjał pola elektrycznego

dVd rE

dz

zyxdVE

dyzyxdV

Edx

zyxdVE zyx

,,,,,,

zyxVzyxVd

zyxdV,,,,

,, gradr

E

dzd

dyd

dxd

,,grad

q

EV

qpF

ECoulomb

JoulVolt

Rozkład potencjału wokół ładunku punktowego

drdV

rQ

rE 204

1

rQ

rV04

1

zyxV ,,E

0 1 2 3

E( r) =Q/40r2

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

0 1 2 3

V( r) =Q/40rPo

ten

cja

ł po

la (

V=

J/C

)

Odległość (m)

Energia oddziaływania

r

qQrQVrqVE qQQq

041

Rozkład potencjału wokół ładunków - potencjał jest wielkością addytywną

- suma energii oddziaływań z ładunkiem próbnym

q

EV p

q Q1

Q4

Q3

Q2

Q5 i

Qi

i

iiqQq ii

Vqr

QqEE

041

i

QiVV rr

Potencjał pochodzący od:• dwu ładunków• dipola elektrycznego• powierzchni kulistej

Rozkład potencjału kondensator płaski: całkowanie pola elektrycznego.

Q+ Q-

-1 0 1 2

E( r) =0E( r) =0

E( r) =/0

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

V( r) =0

V( r) =V0

V( r) =x /0

Po

ten

cja

ł (V

)Odległość (m)

E

200 QVES

QddEdV p

Rozkład potencjału (całkujemy natężenie) naładowana kula powierzchnia kulista

0 1 2 3

V( r) =V0- r2/6

V( r) =Q/40rP

ote

ncj

ał p

ola

(V

=J/

C)

Odległość (m)

0 1 2 3

E( r) =Q/40r2

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

E( r) =r/30

Jeśli skończona grubość warstwy ładunkowejto ciągła zmiana pola E.Ładujmy ciało od środka!

Rozkład potencjału w metalu

0 1 2 3

V( r) =V0- r2/6

V( r) =Q/40rP

ote

ncj

ał p

ola

(V

=J/

C)

Odległość (m)

0 1 2 3

E( r) =Q/40r2

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

E( r) =r/30

stała wartość potencjału;pole elektryczne znika w objętości;ładunek tylko przy powierzchni;pole elektryczne prostopadłe do powierzchni.

Elektryzowanie ciał – jeszcze raz

• pocieranie o wełnę

• elektryzowanie przez indukcję

• metal w polu elektrycznym

• Van der Graaff

Równanie Poissona

zyxVzyxV ,,,, gradE

dzd

dyd

dxd

,,grad

0 EEdiv Prawo Gaussa - postać różniczkowa

Równanie Poissona0

VVVgraddiv

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dzd

dyd

dxd

dzd

dyd

dxd

div grad

dzdE

dy

dE

dx

dEdiv zyx EE

laplasjan (operator Laplace’a)

dywergencja gradient

Rozwiązanie równania Poissonanaładowana warstwa - jednostki

-1 0 1 2

( x) =0( x) =0

0

Gę

sto

ść ła

du

nku

(C

/m3)

Odległość (m)

EE 0

Warstwa o grubości d=10 nm,koncentracji domieszek n=1018 cm-3

emecmne 3618318 101010

Ce 1910602.11

37

193618

/10602.110602.11010

mCCm

212

0 28.85187817... 10

C

N m

Z prawa Gaussa pole zewnętrzne

CN

mNCmmCd

E 52212

937

0

109/1085.82

1010/10602.12

mV

CmJ

CmNm

CN

E 5555 109109109109

CJ

VNmJ

Rozwiązanie równania Poissonanaładowana warstwa

00

2

0

00

0

2VxE

xxV

ExxE

dxdE

xV

x

x

E

-1 0 1 2

E( r) ==-0d/2

E( r) ==0d/2

E( x) ==x/0

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

V( x) =-dx/20+

+V0

V( x) =+dx/20+

+V0V( x) =

-x2/20+

+dx/20

Po

ten

cja

ł (V

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

( x) =0( x) =0

0

Gę

sto

ść ła

du

nku

(C

/m3)

Odległość (m)

EE 0

00

0

0

VxExVExE

dxdE

x

x

E

Rozwiązanie równania Poissonanaładowana warstwa podwójna

00

2

0

00

0

2VxE

xxV

ExxE

dxdE

xV

x

x

E

-1 0 1 2

E( r) =0

E(r)

=-5

0x/ 0

E( r) =0

E(x)

=x/ 0

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

V(x)

=-(

x-1)

2 /2

0

V( x) =const

V( x) =0

V(x)

=5(

x-x 0)

2 /2

0

Po

ten

cja

ł (V

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

-50

( x) =0( x) =0

0

Gę

sto

ść ła

du

nku

(C

/m3)

Odległość (m)

E=0E=0 0

00

0

0

VxExVExE

dxdE

x

x

E

Wielkość ładunku elementarnegodoświadczenie Millikana

19

18

1 1.602 10

1 6.242 10

e C

C e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

E

F=mg

F=eE

dobieramy pole Etak aby prędkość v=0

Ładunek kwarków• -1/3 lub +2/3 e• nie ma dowodu ist. swobodnych kwarków

Odchylanie wiązki elektronowejOscyloskop, wyznaczanie ładunku

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

Ev

F=eE Czy ładunek zależy od prędkości?• nie ma dowodu doświadczalnego;• nie, bo atomy obojętneŁadunek i prawo Gaussasą niezmiennikamitransformacji Lorentza

Energia pola elektrycznego kondensator płaski

Q+ Q-

-1 0 1 2

E( r) =0E( r) =0

E( r) =/0

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

V( r) =0

V( r) =V0

V( r) =x /0

Po

ten

cja

ł (V

)

Odległość (m)

E=2

0

00

0

QUE

SQ

E

EdU

p

VESEdQU

Ep2

00

21

22

dVEdEp2

021

Energię elektrostatycznąmożna wyznaczyć całkując

całe pole elektryczne(Uwaga na stałą addytywną,

np. ładunek punktowy. Problem znika gdy Qtot=0)

Gęstość energii jest proporcjonalna dokwadratu natężenia pola

Dielektryki

Q+ Q-

E0=

Ed =p

+++++++++

---------

Polaryzacja ośrodka (pojawienie się uporządkowanych dipoli) jest równoważne pojawieniu się ładunku powierzchniowego

+-

+-

+-+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-+-

+-

+-+-

obszar neutralny,nie daje przyczynku do

strumienia pola elektrycznego

+

Podatność (stała) dielektryczna

Q+ Q-

E0=

Ed =p

+++++++++

---------

Pole pierwotne, E0, wyznaczone jest gęstością ładunku na okładkach kondensatora.

Pole wywołane polaryzacją ośrodka, Ep: • wyznaczone jest gęstością ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka.• jest skierowane przeciwnie do pola pierwotnego.

po

o

pEE

E

0

0

Stała dielektryczna (podatność dielektryczna) jest własnością materiału.

Podatność dielektryczna ciał

Q+ Q-

E0=

Ed =p

+++++++++

---------

po

o

pEE

E

0

0

powietrze 1.0006olej 2.0 – 2.4papier 1-8 – 2.6szkło 5.0 – 16diament 12alkohol etylowy 26woda 81tytanian baru 1 000 – 10 000

Rozkład potencjału kondensator płaski z dielektrykiem

Q+ Q-

-1 0 1 2

E=0Ep( r) =p/0

E=0

E0( r) =0/0

Na

tęże

nie

po

la (

N/C

)

Odległość (m)

-1 0 1 2

V=V0/V=0

V0

V( r) =x /0

Po

ten

cja

ł (V

)Odległość (m)

E

Q+ Q-

E0=

Ed =p

+++++++++

---------

-1 0 1 2

( x) =0( x) =0

Gę

sto

ść ła

du

nku

(C

/m3)

Odległość (m)

Zmniejszona różnica potencjałów przy tej samej gęstości ładunku!!!

Pojemność elektryczna kondensator płaski z dielektrykiem

Q+ Q-

-1 0 1 2

V=V0/V=0

V0

V( r) =x /0

Po

ten

cja

ł (V

)

Odległość (m)

E

Q+ Q-

E0=

Ed =p

+++++++++

---------

VQ

C

dEESE

dEES

dEEQ

Cppp

0

00

0

0

0

VoltCoulomb

Farad

dS

C 0

Pojemność kondensatora z dielektrykiem jest razy większa.

Łączenie kondensatorówRównoległe:

ii

ii

ii

ii

ii

i

CU

CU

UQ

C

UCQ

CUQQ

UU

i i

i i

ii

i iii

i

CQC

Q

QU

C

CQ

U

CQUU

QQ

11

1

1

i

iCC

Szeregowo:

i iCC

11

Q1

Q2

Q3C3

C2

C1

UU

U1 U2 U3

C1 C2 C3

Łączenie kondensatorów

321

21123 C

CC

CCC

21

2112

2112

111CC

CCC

CCC C1 C2

C3

UCC

CCQ

U

UCC

CCQ

U

UCC

CCUCQQQUCQ

UUUUU

21

1

2

22

21

2

1

11

21

2112211233

213

Pojemność elektryczna kula w ośrodku dielektrycznym

RVQ

C 04

0 1 2 3

V( r) =V0- r2/6

V( r) =Q/40r

Po

ten

cja

ł po

la (

V=

J/C

)

Odległość (m)

Mechanizm polaryzacji dielektryków +-

+-

+-+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-+-

+-

+-+-+

moment dipolowy może być indukowany polem

elektrycznym

+E0=

E0 +

- -

-

pole polaryzacji może pochodzić od uporządkowania

istniejących dipoli. +--

OH 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

=50-10 000polaryzacja indukowana

Po

lary

zacj

a d

iele

ktry

czn

a

Pole elektryczne (kV/m)

polaryzacja orientacyjna

=2-10

+

Wektor przesunięcia (indukcji), D.

Q+ Q-

E0=

Ep =p

+++++++++

---------

00

00

p

pEEE

Dwie szkoły:1. Jak dotychczas uwzględniamy wszystkie

ładunki, również te powierzchniowe, indukowane w dielektryku.• musimy znać ładunek

powierzchniowy• strumień pola E wyznacza Q0-Qp

2. Wprowadzamy wektor D i odpowiadający mu strumień D by móc wyznaczać prawdziwe, a nie indukowane ładunki

po

o

pEEE

0

0

ED 0

00000

0000

EEE

EEE

EED pp

p

Prawo Gaussa dla dielektryków.

Q+ Q-

E0=

Ep =p

+++++++++

---------

po

o

pEEE

0

0

ED 0

00000

0000

EEE

EEE

EED pp

p

QdSD Strumień wektora przesunięcia (indukcji elektrycznej) wyznacza

wartość ładunku swobodnego (bez ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka)

212

0 28.85187817... 10

C

N m

mV

CN

EmC

D 2

Wektor polaryzacji, P.

Q+ Q-

E0=

Ep =p

+++++++++

---------

ED 0

QdSD

Wektor polaryzacji – przyczynek do wektora

przesunięcia pochodzący od polaryzacji dielektryka.

p

pp

E

EEE

00

00

00

PED 0

Przyczynek do wektora przesunięcia pochodzący od wszystkich ładunków.

Wektor przesunięcia pochodzi od ładunków

swobodnych.

Tylko ładunki swobodne

Wektor polaryzacji, P.

Q+ Q-

E0=

Ep =p

+++++++++

---------

Wektor polaryzacji – przyczynek do wektora

przesunięcia pochodzący od polaryzacji dielektryka.

mV

CN

EmQ

DP 2

pE 00

PED 0

V

p

V

P

VQd

dSQd

P ii

totp

Wektor polaryzacji – moment dipolowy na jednostkę objętości

Energia pola elektrycznego uogólnienie dla dielektryka

Q+ Q-

E=2

0

00

0

QUE

SQ

E

EdU

p

VESEd

Ep2

021

2

dVEdEp2

021

20

00

0

QUE

SQ

E

EdU

p

VESEd

Ep2

021

2

EDdVdEp 021

Siła Lorentza

q q F E v×Bsiła elektrostatyczna,pole elektryczne, E,

od innych ładunków elektrycznych

pole magnetyczne, B,od poruszających się ładunków elektrycznych,

czyli od prądów elektrycznych

poruszający się ładunek

Elektrostatykanauka o ładunkach w spoczynku

Warunki brzegowe na granicy dielektryka.

0E0Ep =p

+++++++++

---------

ED 0

QdSDSkładowa prostopadła

wektora D jest ciągła (bo nie ma ładunków

swobodnych) PED 0

Składowa styczna wektora E jest ciągła, bo całka

okrężna znika (praca) Znika poza ośrodkiem

Ep

D0

P

Dp

Warunki brzegowe na granicy dielektryka. ED 0

Składowa prostopadła wektora D jest ciągła

PED 0Składowa styczna wektora

E jest ciągła. Znika poza ośrodkiem

00

000

00

000

00

00

yyydy

dy

dy

xxxdx

dx

dx

dd

EDEEED

EDDDED

EDED

00

000

00

00

yyydy

xx

oxd

x

EDED

EDD

E

0E0Ep =p

+++++++++

---------

Ep

D0

P

Dp