Wykład 11: Elektrostatyka - AGH University of Science and …layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/11-Elektrostat-18.pdf · 2019. 3. 15. · Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji

Wykład 11: Elektrostatyka

dr inż. Zbigniew Szklarski

[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

mailto:[email protected]://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika

2

Kwantyzacja ładunku

Każdy inny ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego |Q|= Ne

Każdy elektron ma masę = me i ładunek = -e

Każdy proton ma masę = mp iładunek = e

e=1,602·10-19 C Ładunek elementarny


3

Zasada zachowania ładunku

Całkowity ładunek układu odosobnionego, tzn. algebraiczna suma dodatnich i ujemnych ładunków występujących w dowolnej chwili, nie może ulegać zmianie.

Qcałk=const Qcałk= Qe + Qp

= -2 e +2 e

= 0


4

Przykłady zasady zachowania ładunku

Rozpad promieniotwórczy jądra uranu

HeThU2389242

234 +→

Emisja cząstki αLiczba atomowa Z=92

oznacza 92 protony w

jądrze i ładunek 92e

92e=90e+2eZ zasady zachowania ładunku

90


5

Proces anihilacji elektronu e- i antycząstki -pozytonu e+

Proces kreacji pary

→+ +− ee

Emisja dwóch kwantów promieniowania elektromagnetycznego

+− +→ eeγ

γγ+


6

Empiryczne prawo Coulomba (1736-1806)

F = -F1,2 2,1

III zasada dynamiki

1785 – waga skręceń

2

212

oNm

C1085.8ε gdzie

πε4

1k −==

o

2

21

r

qqkF =


7

Zasada superpozycji

oś xqL q0 qR

xFFF ˆx

)q(qkq2

RL00

−=+= LR

=i

icał FF

FR FL

Ładunki qL, q0 i qR są tego samego znaku


8

Natężenie pola elektrycznego

q

rE ˆ2r

kq=

ładunek próbny q0 >0

Natężenie pola ładunku punktowego

r

E

==i

i

i

i rEE ˆ2ir

kq

Natężenie pola pochodzące od wielu ładunków punktowych(rozkład dyskretny)

0q

FE

=q0


9

Linie pola elektrostatycznego

Pole ładunku punktowego-

symetria sferycznaDwa jednoimienne ładunki punktowe


10

Dipol elektryczny - dwa różnoimienne ładunki w bardzo małej odległości

moment dipolowy

odległość między ładunkami


11

Ciągły rozkład ładunku

Dla ładunków dyskretnych

pole wypadkowe E jest

sumą wektorów natężenia

Ei czyli:

Dla ładunku, dq, natężenie

pola elektrycznego w punkcie

P dane jest zgodnie z prawem

Coulomba jak dla ładunku punktowego

Dla ciągłego rozkładu ładunku pole wypadkowe jest całką:

=i

iEE

==Q

rEE ˆr

kdqd

2

rE ˆd2r

kdq=


12

Przykłady

1) Dwa ładunki +Q oraz -2Q wytwarzają w punkcie P wypadkowe pole elektryczne. Oblicz i narysuj wektor tego pola.

2) Potencjał pola elektrycznego w punkcie A jest równy zero. a) Oblicz wartość i znak ładunku q3 jeżeli q2 = 2q1 = 4 C;b) Oblicz wartość natężenia pola w punkcie A.

A q1 q2 q3

• • • d d d


13

W zależności od rozkładu ładunku rozróżniamy:

gęstość liniową ładunku λ,

gęstość powierzchniową ładunku σ,

gęstość objętościową ładunku ρ

dx

dqλ =

dS

dq=

dV

dq=ρ

Dla ciągłego rozkładu ładunku, w zależności od rodzaju gęstości ładunku, pole wypadkowe może być całką liniową, powierzchniową lub objętościową:

==V

rEE ˆr

dVρkd

2

+ + + + + + + + +x

+

++

++

++

+

+

++

+

+

++

++ +


14

Przykład

Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w punkcie P na osi liniowego rozkładu ładunku

xE ˆ)x(x

kdqd

2o−

=x

λdxdq =

xE ˆ)x(x

kd

2o−

=dx

x

Wypadkowe natężenie pola jest sumą pól pochodzących od ładunków elementarnych dq:

−==

L

0

2o

xx)(x

λdxkdEE

L)(xx

Lkλ

oo −=


15

Strumień pola (elektrycznego) -przypomnienie

Dla dowolnej powierzchni

AEE

=

AEE

=

W prawie Gaussa występuje strumień przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą

AEE

d=


16

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez

dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do

całkowitego ładunku zawartego wewnątrz tej powierzchni.

→→

==

S

EdSE

qq

00

Właściwości powierzchni Gaussa:

Powierzchnia Gaussa jest tworem hipotetycznym, matematyczną

konstrukcją myślową,

Jest dowolną powierzchnią zamkniętą, lecz w praktyce powinna mieć kształt związany w symetrią pola,

Powierzchnię Gaussa należy tak poprowadzić aby punkt, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego leżał na tej powierzchni.


17

Od prawa Gaussa do prawa Coulomba

Ładunek punktowy otaczamy powierzchnią Gaussa – sferą o promieniu r ponieważ

AE

dE = == EdAdAcosθE

dA = ˆ n dAE IIcos 0 = 1

ˆ n

E = const na powierzchni sfery oraz

Obliczamy całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa

)πrE(4dAEΦ 2E ==


18

Korzystamy z prawa Gaussa

Porównujemy z obliczonym strumieniem

oE

ε

q=

o

2

ε

q)πr(4 =E

2orπε4

q(r) = E

Skoro0q

FE =

2

0

04

1)(

r

qqrF

=więc


19

Liniowy rozkład ładunku

rhEπ2E =

Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię Gaussa

ooE

ε

λh

ε

Q==

Całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa

Wartość wektora natężenia pola elektrycznego

r

1

πε2

λE

o

=

symetria cylindryczna

>

E

r

λh=Q

zatem


20

Powierzchniowy rozkład ładunków

Całkowity strumień przez

powierzchnię Gaussa

Z prawa Gaussa

Wartość wektora natężenia

pola

ES2E

=

ooE

ε

σS

ε

Q==

o2ε

σ=E


21

Pole elektryczne sferycznego rozkładu ładunków

Erπ4 2E =

Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa będącą sferę o promieniu r wynosi:

oE

ε

Q=Z prawa Gaussa:

Ładunek całkowity Q jest rozłożony tylko na powierzchni sfery o promieniu R

r>R2

o rπε4

QE =

Pole na zewnątrz pustej powłoki sferycznej jest takie jakby cały ładunek był skupiony w środku kuli

Ze względu na rozkład ładunku rozważmy dwa przypadki:


22

r


23

Zastosowania prawa Gaussa

Prawo Gaussa stosujemy do obliczania natężenia pola elektrycznego gdy znamy rozkład ładunku lub do znajdowania rozkładu ładunku gdy znamy pole.

Prawo Gaussa możemy stosować zawsze ale sens ma to tylko w tym przypadku gdy pole elektryczne wykazuje symetrię (sferyczną, cylindryczną).

Aby skutecznie skorzystać z prawa Gaussa trzeba coś wiedzieć o polu elektrycznym na wybranej powierzchni Gaussa.


24

W praktyce zastosowanie prawa Gaussa jest ograniczone do konkretnych przypadków -symetrii:

a) pole (jednorodne) od naładowanej nieskończonej płaszczyzny (powierzchniowy rozkład ładunku)

b) pole (o symetrii cylindrycznej) od nieskończenie długiego pręta (liniowy rozkład ładunku) lub walca (powierzchniowy rozkład ładunku – walec przewodzący, objętościowy rozkład ładunku -walec nie przewodzący)

c) pole (o symetrii sferycznej) od naładowanej kuli lub powierzchni sferycznej


25

Przykłady zadań z zastosowania prawa Gaussa.

Kula z dielektryka o promieniu R naładowana jest z gęstością ładunku zmieniającą się wraz z odległością od środka, opisaną zależnością . Wyznaczyć rozkład natężenia pola E.

Nieskończony metalowy walec o promieniu R, jednorodnie naładowano z gęstością + i otoczono innym współosiowym, cienkim metalowym walcem o promieniu 2R i takiej gęstości powierzchniowej ładunku -, że pole elektryczne na zewnątrz tych walców wynosi zero. ◼ Obliczyć rozkład pola w funkcji odległości od osi

walców;◼ Narysować wykres E(r);◼ Określić gęstość - Odp. - =½ +

−=R

r1max


26

Pole elektryczne przewodnika

Na powierzchni metalicznej (przewodzącej) cały ładunek gromadzi się na zewnątrz (wewnątrz pole E=0).

Istnieje tylko składowa prostopadła do powierzchni a składowa styczna równa się zeru (gdyby istniała składowastyczna to: po powierzchni płynąłby prąd wywołany ruchem elektronów).

00

==

S

qE


27

Dygresja matematyczna - operatory

Operator przyporządkowuje np. polu skalarnemu odpowiednie pole wektorowe

gdzie

ppg EEF −=−= grad

zyx

kji

+

+

= ˆˆˆ

Gradient funkcji skalarnej to pole wektorowe wskazujące kierunki

najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w

poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej

wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu.


28

Dywergencja (źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem.

V

d

limdiv0V

→

=AE

E

jest w granicy nieskończenie małej objętości V, strumieniem wychodzącym ze źródła i określa jego wydajność

V

EE

=div


29

Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe , tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego.

Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F po konturze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka krzywoliniowa:

dl

=C

ld

F

ld

Krzywa C ogranicza pewną powierzchnię zamkniętą rozpiętą na tej krzywej.

to element drogi całkowania - ma kierunek styczny do krzywej C w danym punkcie.

Jeżeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy.

Jeżeli F jest siłą zachowawczą to Γ=0.


30

Rotacja pola

dl

=C

l

dF

+=21

ddd

CCC

lll

FFF

Prowadząc krzywą B tworzymy dwa

zamknięte kontury C1 i C2 takie, że:

i

C

a a

l

i

i

→=

d

limˆ)(0

F

nFrot

definicja operatora rotacji


31

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe.

Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

rotacja wektora F:

zyx FFF

zyx

kji

FFrot

==

ˆˆˆ


32

Przykład:

Zbadać wirowość pola elektrostatycznego oraz pola

magnetycznego przewodnika.Przewodnik z prądem i

C

sd

E

0Brot

0=Erot

=C

lE 0d

C

ldB 0

Pole magnetyczne jest polem wirowym. To określa prawo Ampère’a.


33

Zadanie

Trzy z przedstawionych

pól wektorowych mają

znikającą dywergencję w

przedstawionym obszarze.

Dwa z nich mają znikającą

rotację.

Proszę ocenić, które z pól

mają omawiane własności?

a), b), d)

c), d)

a) b)

e)

d)c)

Przykłady z rachunku operatorowego

Mając zdefiniowane:

- pole skalarne

- pole wektorowe

- wektory: oraz

oblicz:

a)

b)

c)

d)

e)Wydział Informatyki, Elektroniki i

Telekomunikacji - Elektronika34

),,( zyx

),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( 321 zyxVkzyxVjzyxVizyxV ++=

kzjyixr ˆˆˆ ++=

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

2rgrad

( )rA

graddiv

Arotdiv

( )


35

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

=S V

dVdivd EAE

=V o

dVε

ρd

S

AE

Z prawa Gaussa w postaci całkowej:

Porównując wyrażenia podcałkowe:

oε

ρdiv == EE

=S

wew

oε

QdAE

gdzie =V

ρdVQwew

umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót


36

Potencjał pola

Wektor natężenia pola – istnieje zawsze

Potencjał (skalar) – istnieje tylko dla pól zachowawczych (potencjalnych)

oq

FΕ

=

o

p

q

EV =


37

Wielkości charakteryzujące:

oddziaływanie pomiędzy ładunkami punktowymi

pole

elektrostatyczne

siła

energia potencjalna Ep

natężenie

potencjał V

oq

FΕ

=Ε

o

p

q

EV =

F

rF ˆr

qq

πε4

12

21

o

=

r

qq

πε4

1E

21

o

p =


38

Związek potencjału z natężeniem pola

Dla dowolnej siły zachowawczej, zmiana energii potencjalnej

dEp dana jest wzorem:

lElF

dddEp oq−=−=

praca dW

Z definicji potencjału:

o

p

q

dEdV = lE

ddV −=

Vgrad−=E

więc

𝑉1 − 𝑉2 = −න

1

2

𝐸°𝑑Ԧ𝑙


39

Różnica potencjałów ΔV między dwoma punktami jest równa

wziętej z przeciwnym znakiem pracy W wykonanej przez siłę

elektrostatyczną, przy przesunięciu jednostkowego ładunku z

jednego punktu do drugiego.

Różnicę potencjałów nazywamy napięciem U=ΔV

Jednostki: C

JVU === 1

q

EV

o

p

m

VE =

𝑉1 − 𝑉2 = −න

1

2

𝐸°𝑑Ԧ𝑙 ∆𝑉 = 𝑉1 − 𝑉2 = −𝑊

𝑞0


40

Potencjał pola jednorodnego

Potencjał wyższy Va

Potencjał niższy Vb

Va>Vb

d

a b

𝑊𝐹𝑐 = න

𝑎

𝑏

𝐹𝑐 ∙ 𝑑𝑟 =න

𝑎

𝑏

𝑞𝐸 ∙ 𝑑𝑟 𝑞𝑉𝑏 − 𝑞𝑉𝑎 = න

𝑎

𝑏

𝑞𝐸 ∙ 𝑑𝑟 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = −න

𝑎

𝑏

𝐸𝑑𝑟


41

Potencjał pola ładunku punktowego

−=−=−R R

EdrdVV P sE

Przesuwamy ładunek próbny qo z punktu P do nieskończoności

cosθdsEd =sE

2

o r

q

πε4

1E =Przyjmujemy V∞=0 i

r

q

πε4

1V(r)

o=zatem


42

Potencjał ciągłego rozkładu ładunków

Dla naładowanej ładunkiem powierzchniowym Q powłoki sferycznej, gdy r < R jest: E = 0, czyli potencjał V jest wielkością stałą, niezależną od r.

Dla r>R, V zanika z odległością r jak 1/r

Zadanie: Pokazać, że potencjał dla powłoki sferycznej wykazuje taką zależność V(r) jak na powyższym wykresie

PRZYKŁAD:


Uproszczony model atomu zakłada, punktowe jądro o ładunku +Q, które jest

otoczone w odległości R powłoką elektronową będąca sferą naładowaną

ładunkiem –Q.

A) Narysuj zależność E(r) i uzasadnij obliczeniami;

B) Oblicz rozkład potencjału w funkcji odległości od

jądra atomu.


44

Potencjał dipola

Potencjał wytwarzany przez dipol w dowolnym punkcie P:

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑘𝑄

𝑟+ 𝑘

−𝑄

𝑟 + ∆𝑟=

𝑄

4𝜋𝜀0

1

𝑟−

1

𝑟 + ∆𝑟

=𝑄

4𝜋𝜀0

∆𝑟

𝑟 𝑟 + ∆𝑟∆𝑟 ≈ 𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟 ≫ ∆𝑟 ∆𝑟

𝑄 ∙ 𝑙 = 𝑝

𝑉 =𝑄

4𝜋𝜀0

𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟2

𝑉 =1

4𝜋𝜀0

𝑝

𝑟2

w mianowniku do zaniedbania

𝑟 ≫ 𝑙

Zakładamy:

Moment dipolowy: stąd


45

Przykład

Określic składowe pola elektrycznego 𝐸𝑥oraz 𝐸𝑦 wytwarzanego przez dipol w

dowolnym punkcie P(x,y), w płaszczyźnie

dipola. Założyć, że 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 Τ12 ≫ 𝑙

Rozwiązanie:

𝑉 =1

4𝜋𝜀0

𝑝 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟2=

1

4𝜋𝜀0

𝑝 ∙ 𝑥

𝑥2 + 𝑦2 ൗ32

𝑐𝑜𝑠𝜃 = Τ𝑥 𝑟 = 𝑥/ 𝑥2 + 𝑦2 ൗ

12

𝐸𝑥 =𝜕𝑉

𝜕𝑥=

𝑝

4𝜋𝜀0

𝑦2 − 2𝑥2

𝑥2 + 𝑦2 ൗ52

𝐸𝑦 = −𝜕𝑉

𝜕𝑦=

𝑝

4𝜋𝜀0

3𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 ൗ52


46

Pojemność

Jednostką pojemności jest 1F (farad). W praktyce używamy μF, pF, nF

Analogia między kondensatorem mającym ładunek q i sztywnym zbiornikiem o objętości V,zawierającym n moli gazu doskonałego:

VCq =

ΔV

QC =

pRT

nV

=

Przy ustalonej temperaturze T, pojemność kondensatora C pełni podobną funkcję jak objętość zbiornika.

= F

V

C


47

Kondensator


48

Zadanie

Okładki kondensatora płaskiego o powierzchni Sznajdują się w położeniach x = 0 i x = d i naładowane są odpowiednio z gęstościami powierzchniowymi ładunku + i -. Efekty brzegowe są do zaniedbania.

▪ Korzystając z prawa Gaussa oblicz wypadkowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kondensatora (rysunek!) oraz narysuj wykres E(x).

▪ Korzystając ze związku między natężeniem pola E a potencjałem V oblicz różnicę potencjałów między okładkami oraz wyprowadź wzór na pojemność tego kondensatora.

▪ Oblicz energię tego kondensatora przy zadanej gęstości powierzchniowej ładunku.

Powierzchnia Gaussa


49

dEV 0 =d

εεC o

0

o0 SCdE

SE==

Dla pola jednorodnego pokazaliśmy, że

ΔVC

q=Soo εEq = z definicji

Energia kondensatora, gęstość energii

Energia naładowania = energii rozładowania kondensatora

Objętość kondensatora Vobj= S·d

Gęstość energii

=

3

20

2 m

JE

V

W

obj

n

=== nWC

qdq

C

qdqUW

2

2

nWqU

=2 22

20SdEqEdWn

==

Natężenie pola między okładkami –

obliczamy z prawa Gaussa:

Sooo

ε

q

ε

σE == Soo εEq =


50

Przykłady

Jaka musiałaby być powierzchnia okładki kondensatora płaskiego, aby, przy odległości okładek d=1 mm, uzyskać pojemność C=1 F?

Udowodnić, że pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża się wzorem

Kondensator kulisty, którego okładki są współśrodkowymi sferami naładowano ładunkiem Q. Jeżeli nastąpi przesunięcie wewnętrznej sfery (przy chwiejnej równowadze mogą zadziałać siły elektryczne) – zaburzenie współ-środkowości, to czy pojemność kondensatora wzrośnie czy zmaleje ?

( )12o

RRln

Lπε2C =

S=113 mln m2


51

Powłoka sferycznego balonika została naładowana z jednorodną gęstością powierzchniową ładunku . Do wnętrza tego balonika wprowadzono punktowy pyłek o ładunku q – tego samego znaku co powłoka. Czy spowoduje to zmianę średnicy balonu ? Oto rozumowania dwóch studentów:

◼ Jednoimienne ładunki się odpychają, a zatem dowolny element powłoki będzie odpychany od ładunku q co doprowadzi do wzrostu średnicy balonu.

◼ Równomiernie naładowana powłoka sferyczna nie wytwarza w swoim wnętrzu pola, co oznacza brak oddziaływania pomiędzy powłoką i ładunkiem q. A zatem średnica balonu się nie zmieni się.

Który student ma rację?


52

Dielektryki

Dielektryki – ładunki nie mogą się swobodnieprzemieszczać ale możliwe są przesunięciaładunków w skali mikroskopowej.

HRW t.3

dielektryki

piezoelektryki

ferroelektryki


53

+ + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + +

q

q’

q – ładunek swobodny

q’ – indukowany ładunek polaryzacyjny

- bez dielektryka (𝑉0)

- z dielektrykiem (V)

0C

Cdiel=

EdE0

E

𝐸0 =𝑉0𝑑

𝐸 =𝑉

𝑑=𝑉0 ∙ 𝜀0𝜀 ∙ 𝑑

𝐸 = 𝐸0𝜀0𝜀= 𝐸0 − 𝐸𝑑

𝐸𝑑 = 𝐸0𝜀 − 𝜀0𝜀

𝐸0 =𝜎

𝜀0

𝜎𝑑 =𝑞′

𝑆

𝐸𝑑 =𝜎𝑑𝜀0

𝜎𝑑𝜀0

=𝜎

𝜀0

𝜀 − 𝜀0𝜀

𝑞′ = 𝑞𝜀 − 𝜀0𝜀

zatem gdzie natomiast

gdzie

stąd i ostatecznie

d


54

Dla każdego dielektryka możnazdefiniować tzw. wektor polaryzacji:

zwrot wektora: od ładunku ujemnego do dodatniego ładunku indukowanego - jak w każdym dipolu.

Płytka dielektryka ma moment dipolowyo wartości q’ d

p

+ + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + +

+q

- q’

+q’

-q

D0E

𝐷 = 𝜀0𝐸 + P

P =𝑞′ ∙ 𝑑

𝑆 ∙ 𝑑=𝑞′

𝑆= 𝜎𝑑P =

Ԧ𝑝

𝑆 ∙ 𝑑

Prawo Gaussa dla obszaru: ׯP°𝑑𝑆 = P ∙ 𝑆 = 𝑞′

ර𝐸°𝑑𝑆 =𝑞 − 𝑞′

𝜀0=

𝑞

𝜀0−1

𝜀0රP°𝑑𝑆 ර 𝜀0𝐸 + P °𝑑𝑆 = 𝑞lub inaczej

Aby powiązać wektory 𝐸oraz P wprowadzamy wektor indukcji 𝐷

P


55

A więc

- łączy ładunki polaryzacyjne

- dotyczy wszystkich ładunków

- łączy ładunki swobodne (jest taki sam dla próżni i dielektryka)

P

DE

0

CTT

A

−=

gdzie A – stała Curie-Weissa. E

D

TTC

P

ferro- -para

elektryk

EP 0=

histereza ferroelektryka →

Zdolność polaryzacji dielektryka pod wpływem pola elektrycznego określa podatność dielektryczna :

= 𝜀𝑑 − 1


56

Przykłady:

Po naładowaniu płaskiego kondensatora zawierającego dielektryk, odłączono go od źródła, a następnie wysu-nięto dielektryk. Określ i uzasadnij jak zmieni się:

◼ Pojemność kondensatora jego ładunek

◼ Natężenie pola oraz napięcie między okładkami

◼ Energia kondensatora

Do próżniowego, płaskiego kondensatora dołączonego do źródła napięcia wsunięto dielektryk. Jak wówczas zmienią się powyższe parametry kondensatora?


57

Połączenia kondensatorów

Równoległe

UUUVV ba ===− 21

UC

Q

C

Q

C

Q===

2

2

1

1

UCCUCUCQQQ )( 212121 +=+=+=

C = C1 + C2

Pojemność kondensatora zastępczego


58

Szeregowe

2121

C

Q

C

QUUU +=+=

21

111

CCC+=

Pojemność kondensatora zastępczego


59

Zadanie:

Dwa kondensatory o pojemności C każdy – jeden próżniowy,

a drugi zawierający dielektryk o stałej r połączono równolegle

i naładowano do napięcia U. Następnie, po odłączeniu od

źródła napięcia, z jednego kondensatora wyjęto dielektryk i

wprowadzono do kondensatora próżniowego. Obliczyć

wykonaną przy tym pracę.


60

Podsumowanie

Elektrostatyka opisuje pola statyczne utworzone przez ładunki elektryczne w spoczynku.

Pole elektrostatyczne jest zachowawcze (potencjalne). Pole to jest charakteryzowane przez wektor natężenia pola i potencjał.

Wartość natężenia pola pochodzącego od konkretnych rozkładów ładunku obliczamy bądź z zasady superpozycji i prawa Coulomba bądź z prawa Gaussa.

Kondensator jest urządzeniem, w którym magazynowana jest potencjalna energia elektrostatyczna. Gęstość energii zmagazynowanej jest proporcjonalna do kwadratu pola E.

Prawo Gaussa w postaci całkowej lub różniczkowej stanowi jedno z równań Maxwella.

Wzory różniczkowe podsumowanie

Funkcja skalarna:

Funkcja wektorowa:

Dla pola elektrostatycznego:


61

zyx

kji

+

+

= ˆˆˆ

),,( zyx

),,( zyxW

=

dgra WdivW

= WrotW

=

Vgrad−=E

oε

ρdiv =E

0rot =E

Documents

Wykład 11: Elektrostatyka - AGH University of Science and …layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/11-Elektrostat-18.pdf · 2019. 3. 15. · Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji