Upload
truongxuyen
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
1
Wykład 8: Bryła sztywna cz.1
Dr inż. Zbigniew Szklarski
Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
2
Środek masy/ środek ciężkości
Jak opisać dowolny ruch ciała?
Którego punktu ciała?
Zawsze można wybrać taki punkt ciała,
który porusza się tak jakby poruszał
się pojedynczy punkt materialny pod działaniem tych
samych sił zewnętrznych – ŚRODEK MASY ciała.
Dla układu punktów materialnych:
m1 m2
x
0 x1 x x2 21
2211
mm
xmxmx
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
3
Dla mas punktowych
i
i
i
ii
m
xm
x
i
i
i
ii
m
ym
y
i
i
i
ii
m
zm
z
Ciągły rozkład mas
xdm
Mdm
xdm
m
xmx
i
ii
mi
1lim
0
ydm
Mdm
ydm
m
ymy
i
ii
mi
1lim
0
zdm
Mdm
zdm
m
zmz
i
ii
mi
1lim
0
wektor położenia środka masy
i
iis rmM
zkyjxir 1ˆˆˆ
M
zdmydmxdmrs
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
4
Przykłady
Cienki, jednorodny słup o masie M i długości L leżący poziomo postawiono pionowo. Obliczyć wykonaną pracę.
Kopiec Piłsudskiego usypany w latach 30-tych ub. wieku
ma kształt stożka o wysokości 35 m i średnicy podstawy
110m. Obliczyć pracę jaka została wykonana podczas
sypania kopca. Przyjąć średnią gęstość 1700 kg/m3.
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
5
Ruch środka masy
i
iinnS amamamaM
...11
dtvmvmvmvM
i
iinnS
...11
dtrmrmrmrM
i
iinnS
...11
i
inS FFFaM
...1
zews FaM
Ruch środka masy odbywa się pod wpływem
wektorowej sumy wszystkich sił działających
na układ - również sił wewnętrznych.
Jednak z III zasady dynamiki
siły wewnętrzne się równoważą
i
iis rmM
r 1
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
6
Środek masy układu porusza się tak, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne na nią działały.
Pęd środka masy
zewss F
dt
VdM
dt
pd
ss VMp
00 dt
pdF s
zew
constps
Zasada zachowania pędu
Przykład: Siedzący na dziobie canoe o masie m i długości L wioślarz o masie M wstał i przeszedł z szybkością Vw na jego drugi koniec. Oblicz z jaką szybkością i o ile przesunęło się canoe.
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
7
Podstawowe pojęcia ruchu obrotowego punktu materialnego i bryły sztywnej
Odpowiednikiem pędu w ruchu postępowym jest moment pędu
w ruchu obrotowym
r
V
prL
Skoro pr
to L = r·mV
rV
Skoro r
oraz L
to V = r oraz L = r2m
W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wielkość zwiążemy z przyspieszeniem kątowym w ruchu obrotowym ?
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
8
Powód ruchu obrotowego bryły - moment siły
Jeżeli zmienia się moment pędu układu constprL
to 0dt
Ld
dt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld
0
0
Frvmv
Ostatecznie: FrM
Frdt
Ld
Zasada zachowania momentu pędu:
Jeżeli constL
to 0 zewMdt
Ld
M
r
nF
M
F
tF
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
9
FrM
tFr
to M = rFt
ra
oraz r
to M = r2m
IM
0 tnt FrFFrM
Moment siły w tym ruchu nadaje siła styczna.
Jeżeli działa siła styczna Ft
I
Jeżeli działa dowolnie skierowana siła F to
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
10
Moment bezwładności
Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego:
222
2
1
2
1 iiiiki rmvmE
m1
r1
m2 r2
m3 r3
222233
222
211
2
1
2
1
I
i
iik rmrmrmrmE
Moment bezwładności zależy od: -wyboru osi obrotu -kształtu ciała -rozmieszczenia masy ciała
222
2
1
2
1
IrmE
i
iik
Dla ciągłego rozkładu mas dmrI 2
Energia układu punktów materialnych
obracających się z taką samą
22 mkgrmI
i
ii
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
11
Przykład
Obliczyć moment bezwładności prostokąta o wymiarach
a x b i gęstości powierzchniowej , względem:
a) podstawy a jako osi,
b) względem osi prostopadłej do boku a, przechodzącej przez środek prostokąta,
c) względem osi prostopadłej do powierzchni prostokąta i przechodzącej przez jeden z jego wierzchołków.
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
12
Tensor momentu bezwładności
i i i
iiiiiii VrmVmrL
ii rV
więc i
iii
i
i rrmLL
z rachunku wektorowego wiadomo:
BACCABCBA
więc
iiiiii rrrrrr
zatem i
iiii rrrmL
2
prL
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
13
ale ziyixii zyxr
Zatem i
ziyixiiii zyxrrmL
2
Składowe wektora :
i i i i
iiziiiyiixiixx zxmyxmxmrmL 22
i i i i
iiziiiyiiixiizz zmyzmxzmrmL 22
i i i i
iiziiyiiixiiyy zymymxymrmL 22
i
iiii rrrmL
2
L
i
iiixx xrmI 22
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
14
Porządkując np. Lx
i
iiizi
iiiyi
iiixx zxmyxmxrmL 22
gdzie:
skoro 2222
iiii zyxr
i
iiixx zymI 22 i
iiixy yxmI i
iiixz zxmI
więc
zxzyxyxxxx IIIL
Można więc zapisać Lx jako:
Dla pozostałych składowych postępujemy analogicznie
xz
I
xx
I
xyI
i i i i
iiziiiyiixiix zxmyxmxmrm 22
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
15
i
iii rrmL
2
zxzyxyxxxx IIIL
zyzyyyxyxy IIIL
Można więc równanie wektorowe
zastąpić przez układ trzech równań:
zzzyzyxzxz IIIL
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
III
III
III
L
L
L
IL~
W ogólnym przypadku wektor L nie ma kierunku prędkości
kątowej , co jest przyczyną skomplikowanego zachowania
się wirującego ciała sztywnego.
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
16
Własności tensora momentu bezwładności
Symetryczny: Ixy = Iyx
Można go zdiagonalizować
do postaci:
Suma jest izotropowa, czyli
względem osi układu:
Gdy ciało ma symetrię
osiową np. względem osi OZ to Ixy = 0
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
III
III
III
I
zz
yy
xx
I
I
I
00
00
00
różne od zera są tylko wartości osi głównej
i
iizzyyxx rmIII 22
jest niezależna od orientacji ciała
V
zzyyxx dVrrdmrIII 22 22
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
17
V
xx dVxrI 22
V
yy dVyrI 22
V
zz dVzrI 22
dla ciągłego rozkładu mas
V
xy dVyxI
V
xz dVzxI
itd..
elementy diagonalne elementy pozadiagonalne
UWAGA!!! Moment bezwładności jest addytywny !!!
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
18
Interpretacja elementów tensora momentu bezwładności
N
n
nz
N
n
nnzz r)y (xI
1
2n
1
22n mm
kwadrat odległości od osi OZ
x
y
z
yn
xn rnz
Elementy diagonalne mają
klasyczną interpretację
N
1nnnnyz zymI
y
z
Iyz=0
Elementy pozadiago-
nalne pojawiają się gdy
pojawia się asymetria
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
19
Twierdzenie Steinera (o osiach równoległych)
Gdy obrót bryły o masie M następuje wokół osi Z przechodzącej przez środek masy to
Jeżeli bryła zacznie się obracać wokół osi Z’, równoległej do Z i oddalonej od niej o odległość a to
20' MaII z
z z’
a
ω
śm 0II z
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
20
Ruch postępowy
(stały kierunek)
Ruch obrotowy
(stała oś obrotu)
położenie x (m) położenie
kątowe (rad)
prędkość liniowa
v (m/s)
prędkość kątowa ω (rad/s)
przyspieszenie liniowe a (m/s2)
przyspieszenie kątowe ε (rad/s2)
masa m (kg) moment bezwładności I (kg·m2)
Porównanie podstawowych wielkości
fizycznych i wzorów
dt
dxv
dt
d
dt
dva
dt
d
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
21
siła
F (N)
moment siły
(N m)
pęd
p (kg m/s)
moment pędu
L (kg m2s)
energia kinetyczna Ek (J)
energia kinetyczna Ek (J)
uogólniona zasada dynamiki
uogólniona
zasada dynamiki dt
dpF
aF
m
IM M
vp
m
IL
dt
dM
L
2k v
2
mE 2
k2
IE
Porównanie podstawowych wielkości
fizycznych i wzorów cd.
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
22
Przykłady obliczeń tensora momentu bezwładności
Dyskretny rozkład masy
2
22
22
1200
062
026
ma
mama
mama
I
Rozważyć układ czterech mas m(a,a), 2m(a,-a), m(-a,-a) oraz 2m(-a,a),
rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu. Wzajemne odległości
między masami nie ulegają zmianie. (a) Znaleźć tensor momentu
bezwładności tego układu mas.
Odp.: a)
..22 i
iiixx xrmI
i
iiixy yxmI i
iiixz zxmI
a
-a
i
iiyy xmI 2 i
iiii
iiizz yxmzrmI 2222 ..
yxI zyyzzx III 0
x
y
? ?
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
23
(b) Znaleźć wektor momentu pędu tego układu mas podczas obrotu z prędkością kątową =i i sprawdzić czy jest on równoległy do wektora prędkości kątowej.
b)
ji ˆ2ˆ6 22 mama
0
0
000
02
3
2
1
02
1
2
3
~ 22
22
mama
mama
IL
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
24
Liniowy rozkład masy
Cienki jednorodny pręt o długości l i gęstości liniowej
obraca się wokół osi OZ
constdy
dm
dmrII zzxx
2oraz
yyI
883
1
3
332
2
2
2
32 ll
l
mydyyI
l
l
l
l
zz
czyli 128
2
3
23 mll
l
mI zz
X
Y
Z
dm
r
0
Jeżeli przesuniemy oś obrotu na koniec pręta, to I’= ?
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
25
R
Cienki jednorodny dysk o promieniu R i gęstości
powierzchniowej
Powierzchniowy rozkład masy
dr
X Y
Z
ds
dm
yyxx II
dmrI zz
2
pozostałe momenty bezwładności obliczymy korzystając z własności ciała o symetrii osiowej - własności tensora momentu bezwładności:
dm= ·ds = · 2 ·r·dr
R
zz
mRR
R
mdrrI
0
24
2
3
2422
więc
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
26
i i i
iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmxrmIII 222222
2222
iiii zyrx
Wiadomo, że
i i i
iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmzymIII 222222
a więc
VV
zzyyxx dVrdmrIII 22 22
gdzie
i
ii
i
iiiiiii rmzryrzym 2222222 2
iiii zyxr
Dla ciągłego rozkładu masy:
R
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
27
yyxx II
S
zzxx dSrdmrII 22 222
22
22 mR
mRI xx
4
2mRII yyxx
Dla rozważanego dysku
otrzymujemy więc
a więc
stąd
X Y
Z
2
2mRI zz
R
mRR
R
mdrr
0
24
2
3
42222
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
28
Lub obliczając inaczej: dmxrII yyxx22
skoro
a x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y a więc r2= 2x2 x2 = ½ r2
S
yyxx
R
R
mrdr
rdS
rrII
42
22
4
2
222
4
2mRII yyxx
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
29
Powłoka kulista (sfera)
Z
R
Y
X
Gęstość powierzchniowa powłoki o promieniu R
wynosi ds
dm
Skoro jest symetria kulista to:
zzyyxx III dmrI xx223
22
3
2
3
2mRdmrI xx
x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y= z r2= 3x2
3
22 r
x czyli
22
22
3
2
3
2
3mRdmrdm
rrIII zzyyxx
Lub inaczej:
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
30
Objętościowy rozkład masy
• Kula o promieniu R i gęstości objętościowej
r
dm
dr
R
M MRI sfery2
3
2
dmrdI 2
3
2 dII
dVrdmrI 22
3
2
3
2
drrdV 24
25
3
5
0
4
5
2
3
415
8
15
8
3
8MRR
R
MRdrrI
R
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
31
• Symetria cylindryczna
walec o promieniu podstawy R, wysokości H i masie M
2
22
22
2
100
012
1
4
10
0012
1
4
1
MR
MHMR
MHMR
Iw
X
Y
Z
X
Y
Z
000
012
10
0012
1
2
2
ML
ML
I p
cienki pręt o długości L i masie M
Przykład:
Dwie masy punktowe m1 = 200 g i m2 = 300 g są umieszczone na końcach
sztywnego, nieważkiego pręta o długości r = 50 cm. Pręt umieszczony jest
pod kątem =200 względem osi OX, a środek masy tego układu ciał znajduje
się w środku układu współrzędnych XY. Pręt wiruje z częstotliwością f =
2 Hz, a osią obrotu jest oś OY. Obliczyć składowe wektora momentu
pędu oraz podać jego kierunek.
x1 y2
y1 x2
m1
m2
Y
X
Plan:
• środek masy
• składowe tensora
• składowe momentu pędu
• tg
Środek masy:
Składowe tensora:
i
iism rmm
r1
m1
m2
r1
r2
r
mrrr 2,012
mmm
rmr 3,0
5,0
5,03,0
21
21
mrx 28,0cos11
mrx 19,0cos22
mry 1,0sin11
mry 07,0sin22
22
222
21
211 xrmxrmI xx
20036,00012,00024,0036,004,03,0078,009,02,0 mkgI xx
222
222
21
211 0265,00105,0016,0 mkgyrmyrmI yy
0222111 zxmzxmzzI
222111 yxmyxmII yxxy
20096,0004,00056,0 mkg
310
000
05,266,9
06,96,3
I
x1
Składowe momentu pędu:
tg
0,4105,26,4106,910
0
4
0
000
05,266,9
06,96,3333
IL
76,26,9
5,26
yy
xy
x
y
I
I
L
Ltg o08,70
m1
m2
L
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
35
Toczenie bez poślizgu
Toczenie bez poślizgu jest specyficznym rodzajem ruchu
bryły sztywnej, będącym złożeniem ruchu postępowego
środka masy i ruchu obrotowego wokół środka masy.
Przyczyną toczenia jest występowanie tarcia statycznego.
2R
śm
2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
36
ωR
ωR
śm
vśm
vśm
vśm
2vśm
v = 0
vśm
ruch obrotowy
wokół osi
przechodzącej
przez środek
masy
ruch postępowy toczenie bez
poślizgu jako
złożenie ruchów Rvśm
Raśm
ωR