Devre & Sistem AnaliziDevre & Sistem AnaliziProjesiProjesi

Proje adı : Verilmiş Bir Transfer FonksiyonunaProje adı : Verilmiş Bir Transfer Fonksiyonuna

Karşı Düşen Devrenin Elde EdilmesiKarşı Düşen Devrenin Elde Edilmesi

Öğretim Üyesi : Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap Öğretim Üyesi : Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap ŞengörŞengör

Asistan : Müh. Özkan KarabacakAsistan : Müh. Özkan Karabacak

Sorumlu öğrenciler : Mehmet Fatih IlgınSorumlu öğrenciler : Mehmet Fatih Ilgın

Hüseyin AltınHüseyin Altın

Malik KuranMalik Kuran

Enes CesurEnes Cesur

AMAÇAMAÇ

Bir kapılı LC, RC ve RL Bir kapılı LC, RC ve RL devrelerinin sentezi devrelerinin sentezi

Devre Sentezine Devre Sentezine Genel Bir BakışGenel Bir Bakış

Verilmiş bir transfer fonksiyonuna Verilmiş bir transfer fonksiyonuna karşı düşen devrenin bulunması karşı düşen devrenin bulunması devre sentezidir. Sentez sonucunda devre sentezidir. Sentez sonucunda devre biçimi ve devre elemanlarının devre biçimi ve devre elemanlarının değerleri elde edilir.değerleri elde edilir.

Temel Tanımların Temel Tanımların VerilmesiVerilmesi• Pasif DevrePasif Devre

• Aktif DevreAktif Devre

• Transfer FonksiyonuTransfer Fonksiyonu

• Empedans FonksiyonuEmpedans Fonksiyonu Z(s) Z(s)

• Admitans FonksiyonuAdmitans Fonksiyonu Y(s) Y(s)

• İç Kritik Frekansİç Kritik Frekans

• Pozitif Reel FonksiyonlarPozitif Reel Fonksiyonlar

• Foster ve Cauer DevreleriFoster ve Cauer Devreleri

• F(s) fonksiyonunun sağ yarı s-F(s) fonksiyonunun sağ yarı s-düzleminde kutbunun bulunmaması,düzleminde kutbunun bulunmaması,

• F(s) fonksiyonunun jw ekseninde F(s) fonksiyonunun jw ekseninde kutupları bulunuyorsa bu kutupların kutupları bulunuyorsa bu kutupların katsız ; bu kutuplardaki rezüdilerin de katsız ; bu kutuplardaki rezüdilerin de reel ve pozitif olması.reel ve pozitif olması.

• Tüm ω değerleri için (0 ≤ ω ≤ ∞) Tüm ω değerleri için (0 ≤ ω ≤ ∞) Re{F(j ω)} ≥ 0 koşullarının Re{F(j ω)} ≥ 0 koşullarının sağlanması sağlanması

Foster ve Cauer DevreleriFoster ve Cauer Devreleri

Verilen bir rasyonel fonksiyonu Verilen bir rasyonel fonksiyonu devre elemanlarına karşı devre elemanlarına karşı düşecek şekilde basit ifadeler düşecek şekilde basit ifadeler ile elde edilmesinde Foster ve ile elde edilmesinde Foster ve Cauer devrelerinden Cauer devrelerinden yararlanılır.yararlanılır.

1-KAPILI LC-DEVRELERİNİN 1-KAPILI LC-DEVRELERİNİN SENTEZİSENTEZİ• Reaktans Fonksiyonları: Reaktans Fonksiyonları: Bir reaktans F(s) fonksiyonu LC-türü bir giriş fonksiyonu;Bir reaktans F(s) fonksiyonu LC-türü bir giriş fonksiyonu;

• 1 ) Tüm sıfır ve kutuplar jw-ekseninde ve katsızdır; s=0 ve s=∞’da bir 1 ) Tüm sıfır ve kutuplar jw-ekseninde ve katsızdır; s=0 ve s=∞’da bir kutup ya da bir sıfır bulunur.kutup ya da bir sıfır bulunur.

• 2 ) 2 ) FFLC(s)=P(s)/Q(s) ,LC(s)=P(s)/Q(s) ,PP0(s)=m , 0(s)=m , QQ0(s)=n olmak üzere , |m-n|=1’dir.0(s)=n olmak üzere , |m-n|=1’dir.• 3 ) 3 ) FFLC(s) tek fonksiyondur.LC(s) tek fonksiyondur.• 4 ) 4 ) XX(w) reel fonksiyon olmak üzere (w) reel fonksiyon olmak üzere FFLC(jw)=jLC(jw)=jXX(w)(w)• 5 )5 ) dX dX(w)/(w)/dwdw >0 koşulu geçerlidir. ( >0 koşulu geçerlidir. (XX(w) artan bir fonksiyondur.) Bunun (w) artan bir fonksiyondur.) Bunun

sonucunda da bu türden bir fonksiyonun bir sıfırından sonra bir kutup, bir sonucunda da bu türden bir fonksiyonun bir sıfırından sonra bir kutup, bir kutbundan sonra bir sıfır geleceği söylenebilir. Yani sıfır ve kutuplar jw-kutbundan sonra bir sıfır geleceği söylenebilir. Yani sıfır ve kutuplar jw-ekseninde sıralı olacaklardır.ekseninde sıralı olacaklardır.

22

0 2)(

i

iLC

ws

sk

s

ksksF

• Bu özelliklere uygun olarak karşımıza;Bu özelliklere uygun olarak karşımıza;

• 0<w1<w2<w3…. 0<w1<w2<w3….

veyaveya

• 0<w2<w1<w4<w3…….. 0<w2<w1<w4<w3……..

)...)((

)...)(()(

24

222

2

23

221

2

wswss

wswsKsF

Foster ve Cauer Devrelerinin Foster ve Cauer Devrelerinin GerçekleştirilmesiGerçekleştirilmesi Basit kesirlere açılım Basit kesirlere açılım

F(s) = k∞s + (k0/s) + ∑( 2kis / (s2+ F(s) = k∞s + (k0/s) + ∑( 2kis / (s2+ ωi2)) ;ωi2)) ;

Giriş empedans fonksiyonu iseGiriş empedans fonksiyonu ise

• Foster I DevreleriFoster I Devreleri

Giriş admitans fonksiyonu iseGiriş admitans fonksiyonu ise

• Foster II DevreleriFoster II Devreleri

Foster I Devresi

Foster II Devresi

Cauer DevreleriCauer Devreleri

Cauer I devreleri için sürekli kesirlere Cauer I devreleri için sürekli kesirlere açılım;açılım;

...)(

1)(

1)(

1)()(

43

2

1

sksk

sksksF

Cauer DevreleriCauer Devreleri

Cauer II devreleri için sürekli kesirlere Cauer II devreleri için sürekli kesirlere açılım;açılım;

...

1

11

)(

4

3

2

1

s

ks

ks

ks

ksF

Cauer I Devresi Cauer II Devresi

• Cauer I tipi devre ele alınan Cauer I tipi devre ele alınan fonksiyonun pay ve payda fonksiyonun pay ve payda polinomlarının en yüksek dereceli polinomlarının en yüksek dereceli terimden en küçük dereceli terime terimden en küçük dereceli terime doğru, Cauer II tipi devre de en küçük doğru, Cauer II tipi devre de en küçük dereceli terimden en yüksek dereceli dereceli terimden en yüksek dereceli terime doğru yazılması ile elde edilen terime doğru yazılması ile elde edilen sürekli kesirlere açılımlara ilişkin sürekli kesirlere açılımlara ilişkin devrelerdir. Bir başka deyişle, sırasıyla devrelerdir. Bir başka deyişle, sırasıyla kki i s ve ks ve kii/s biçimli terimlerden oluşan /s biçimli terimlerden oluşan sürekli kesirlere ilişkindirler.sürekli kesirlere ilişkindirler.

Bir Kapılı RC ve RL Bir Kapılı RC ve RL Devrelerinin SenteziDevrelerinin Sentezi

• LC devresinin çevre empedans matrisindeki LC devresinin çevre empedans matrisindeki terimler Zterimler ZLCLC (s) = L (s) = Lijij s + (1 /C s + (1 /C ij ij s) biçiminde s) biçiminde

• RC devresinin çevre empedans matrisindeki RC devresinin çevre empedans matrisindeki terimler Zterimler ZRCRC (s) = R (s) = Rijij + (1 /C + (1 /C ijij s ) biçiminde s ) biçiminde

• RL devresinin çevre empedans matrisindeki RL devresinin çevre empedans matrisindeki terimler Zterimler ZRLRL (s) = L (s) = Lijij s + R s + Rijij biçiminde olur biçiminde olur

RC Türü Giriş Empedans Fonksiyonlarının RC Türü Giriş Empedans Fonksiyonlarının ÖzellikleriÖzellikleri ( RL türü giriş admitans fonksiyonlarının ( RL türü giriş admitans fonksiyonlarının özellikleri )özellikleri )

• ZZLCLC(s) fonksiyonuna ilişkin basit kesirlere açılım , (s) fonksiyonuna ilişkin basit kesirlere açılım , ZZLCLC(s)= k(s)= k∞∞s + (k0 / s) + ∑ [(2ki’s) / ( s2 + ω2 ) ] s + (k0 / s) + ∑ [(2ki’s) / ( s2 + ω2 ) ] biçimindendi. biçimindendi.

• Bu açılıma Cauer dönüşümü uygulanacak olursa, 2ki’= ki Bu açılıma Cauer dönüşümü uygulanacak olursa, 2ki’= ki ve ωi2 = σi olmak üzere , ve ωi2 = σi olmak üzere , ZZRCRC(s)= k∞ + (k0 / s) + ∑ [k(s)= k∞ + (k0 / s) + ∑ [ki i / ( s + σi ) ] / ( s + σi ) ] açılımı elde edilebilir., RC türü giriş empedans fonksiyonları açılımı elde edilebilir., RC türü giriş empedans fonksiyonları şu özellikleri sağlayan fonsiyonlar olacaktır :şu özellikleri sağlayan fonsiyonlar olacaktır :

• Sıfır ve kutuplar -σ ekseninde sıralıdır.Sıfır ve kutuplar -σ ekseninde sıralıdır.• ZZRCRC(∞) < Z(∞) < ZRCRC(0)(0)• Sıfıra yakın kritik frekans bir kutup, sonsuza yakın kritik Sıfıra yakın kritik frekans bir kutup, sonsuza yakın kritik

frekans bir sıfırdır.(bu kutup s=∞’da bulunabilir).frekans bir sıfırdır.(bu kutup s=∞’da bulunabilir).• Kutuplardaki rezüdiler pozitiftir. Kutuplardaki rezüdiler pozitiftir.

RC Türü Giriş Admitans Fonksiyonlarının ÖzellikleriRC Türü Giriş Admitans Fonksiyonlarının Özellikleri(RL türü giriş empedans fonksiyonlarının (RL türü giriş empedans fonksiyonlarının ÖzellikleriÖzellikleri))

• Cauer dönüşümlerinden yararlanılarak YCauer dönüşümlerinden yararlanılarak YRCRC(s) Z(s) ZRLRL(s) (s) fonksiyonuna ilişkin bir açılım , fonksiyonuna ilişkin bir açılım ,

kk∞∞ , k , k00 ve k ve kii ≤ 0 olmak üzere , ≤ 0 olmak üzere ,YYRCRC(s)= k(s)= k∞∞s + ks + k00 + ∑ [(k + ∑ [(kiis) / ( s + σ )]s) / ( s + σ )]

biçiminde elde edilebilir . RC türü giriş admitans biçiminde elde edilebilir . RC türü giriş admitans fonksiyonları şu özellikleri sağlamaktadır:fonksiyonları şu özellikleri sağlamaktadır:

• sıfır ve kutuplar -σ ekseninde ve sıralıdır.sıfır ve kutuplar -σ ekseninde ve sıralıdır.• YYRCRC(∞) > Y(∞) > YRCRC(0) (0) • sıfıra yakın kritik frekans bir sıfır , sonsuza yakın kritik sıfıra yakın kritik frekans bir sıfır , sonsuza yakın kritik

frekans bir kutuptur. (sıfır s=0’da kutup da s=∞’da frekans bir kutuptur. (sıfır s=0’da kutup da s=∞’da bulunabilir).bulunabilir).

• s= -σ kutbundaki rezüdi negatiftir (-ks= -σ kutbundaki rezüdi negatiftir (-kiiσσii < 0) < 0)• YYRCRC(s) / s fonksiyonunun kutuplarındaki rezüdiler pozitiftir. (s) / s fonksiyonunun kutuplarındaki rezüdiler pozitiftir.

Cauer Dönüşümleri Tablosu

Giriş Empedans Giriş Empedans FonksiyonlarıFonksiyonları

ZZLCLC(s)= k(s)= k∞∞s + (ks + (k00 / s) + ∑ [(2k / s) + ∑ [(2kii’s)/(s2 + ’s)/(s2 + ω2)] ω2)]

ZZRCRC(s)= k(s)= k∞∞ + (k + (k00 / s) + ∑ [k / s) + ∑ [kii / ( s + σ / ( s + σii ) ] ) ]

ZZRLRL(s)= k(s)= k∞∞s + ks + k0 0 + ∑ [(k + ∑ [(kiis) / ( s + σ )]s) / ( s + σ )]

UYGULAMAUYGULAMA

• Örnek 1: Örnek 1:

fonksiyonunu Foster ve Cauer türü fonksiyonunu Foster ve Cauer türü birer devre ile gerçekleyiniz.birer devre ile gerçekleyiniz.

)3)(1(

)2()(

ss

sssY

Açılımından yararlanarak,

Y(s) = s (s+2)/((s+1)(s+3))

eşitliği elde edilir. Bu açılıma karşılık düşen Foster II türüdevre şekildeki gibidir.

3

2/1

1

2/1

)3)(1(

)2()(

ssss

s

s

sY

C 2

1 / 6

R 2

2

R 1

2

C 1

1 / 2

s = -1 de ve s = -3 de tek katlı sıfırı s = 0 da ve s s = -1 de ve s = -3 de tek katlı sıfırı s = 0 da ve s = -2de tek katlı kutbu vardır. Dolayısıyla devrede = -2de tek katlı kutbu vardır. Dolayısıyla devrede de 4 tane eleman bulunacaktır.de 4 tane eleman bulunacaktır.

fonksiyonununfonksiyonunun

biçimindeki açılımından da Cauer I devresine biçimindeki açılımından da Cauer I devresine geçilir .geçilir .

)2(

)3)(1()(

ss

sssZ

s

s

6

11

4

1

2

11

1

C 2

1 / 6

R 2

4

R 1

1

C 1

1 / 2

• Örnek 2:Örnek 2:

fonksiyonunu gerçekleştiren iki devre fonksiyonunu gerçekleştiren iki devre eldeelde

ediniz.ediniz.

ss

ssssZ

69

204246)(

2

23

açılımına karşılık düşen,

devresi ile,

3/2

3/4

3

10

3

2)(

ss

ssZ

C 1

3 / 4

R 1

2

L 1

2 / 3

C 2

3 / 1 0

Açılımına karşılık düşen,

devresi seri ve basamaklı türden birer devre olarak eldeedilmiş olur.

s

sssZ

35

31

72

)42(

1

14

31

3

2)(

2

C 2

3 / 3 5

L 1

2 / 3

R 1

4 2 2 / 7 2

C 1

3 / 1 4

Bizi sabırla dinlediğiniz için teşekkür ederiz.