Dekodiranje grupe M12vmikulic/seminar/6_2_2009Svob.pdf · 2 r - sposobnost ispravljanja primljene rijeˇci koda Elementi grupe permutacija, za koju je poznata minimalna udaljenost,

Uvod Mathieva grupa M12 Terminologija Rijeci na udaljenosti 4 ili manje Rijeci na vecim udaljenostima

Dekodiranje grupe M12

Andrea Svob ([email protected])

Odjel za matematikuSveuciliste u Rijeci

6.veljace 2009.


• R.F.Bailey, J.N.Bray, Decoding the Mathieu group M12,Advances in Mathematics Communications, Volume 1, No.4,2007, 477-487


“Error-correcting“ kodovi

Teorija kodova bavi se proucavanjem tocnosti podataka.Kriptografija se bavi proucavanjem tajnosti podataka.

uredaj za kodiranje→ odasiljac→ kanal→ prijemnik → dekodiranje

Teorija kodova se bavi pojmovima: odasiljac i dekodiranje

Zelimo poslati ispravnu poruku kroz bucan kanal, kod kojeg mozedoci do interferencije. Ukoliko primljena poruka sadrzi greske,zelimo ju dekodirati tako da otkrijemo originalnu poruku. Ako sumoguce pogreske dovoljno razlicite, tada je postupak moguc.Pitanje: Sto znaci da su pogreske dovoljno razlicite?

Osnovna ideja: Koristenje permutacijske grupe kao koda, gdje surijeci koda elementi te permutacijske grupe.


Definicija“Error-correcting“ kod je skup C, znakova ili simbola koji senazivaju rijeci koda, a izabrani su iz nekog skupa F, kojegnazivamo skup alfabeta.

DefinicijaNeka je x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ F . Broj

d(x , y) = |i |1 ≤ i ≤ n, xi 6= yi|

se naziva Hammingova udaljenost.

DefinicijaMinimalna udaljenost rijeci koda C je

d(C ) = min d(x , y), x , y ∈ C , x 6= y .


Vrijedi: Neka je poslana rijec koda g i neka je primljena rijec kodaw . Tada, ako w sadrzi najvise r gresaka, postoji jedinstveni najblizisusjed u C . Primljenu rijec w mozemo uspjesno dekodirati.

r =

⌊d(C )− 1

2

⌋r - sposobnost ispravljanja primljene rijeci koda

Elementi grupe permutacija, za koju je poznata minimalnaudaljenost, mogu predstavljati poslane rijeci koda. Opcenito, nijejednostavno koristiti bilo koje permutacijske grupe.


Permutacijska grupa

DefinicijaOznacimo sa S(Ω) skup svih bijekcija na skupu Ω. Skup S sobzirom na kompoziciju preslikavanja tvori grupu. Za konacanskup Ω, bijekcije na skupu Ω se nazivaju permutacije skupa Ω.

DefinicijaGrupa svih permutacija skupa Ω zove se simetricna grupa ioznacava Sn, n = |Ω|.Podgrupa grupe Sn naziva se permutacijskagrupa.

Broj svih permutacija skupa Ω: |Sn| = n!

Korolar (Cayleyev teorem)Svaka konacna grupa je izomorfna nekoj permutacijskoj grupi.


Djelovanje grupe na skup

DefinicijaGrupa G djeluje na skup Ω ako postoji preslikavanjef : G × Ω → Ω takvo da vrijedi

1. f (g1, f (g2, x)) = f (g1g2, x), ∀x ∈ Ω, ∀g1, g2 ∈ G,

2. f (1, x) = x , ∀x ∈ Ω.

Slika djelovanja elementa g ∈ G na element x ∈ Ω oznacava seg .x.

Skup Gx = g ∈ G | g .x = x ≤ G naziva se stabilizatorelementa x za djelovanje grupe G .


Na skupu Ω na kojeg djeluje grupa G moze se definirati relacija

x ∼ y ⇔ (∃g ∈ G )t.d.jeg .x = y .

Relacija ∼ je relacija ekvivalencije na skupu Ω.

Klasa ekvivalencije elementa x s obzirom na relaciju ∼,G .x = g .x | g ∈ G, naziva se orbita elementa x za djelovanjegrupe G .


DefinicijaGrupa G djeluje tranzitivno na skup Ω ako postoji element x ∈ Ωtakav da je G .x = Ω. Odnosno, cijeli skup Ω je jedna orbita.

DefinicijaGrupa G je k-tranzitivna ako za svake dvije k-torke razlicitihelemenata iz Ω, postoji element g ∈ Ω takav da jednu preslikava udrugu tj. (a1, . . . , ak) i (b1, . . . , bk) ∈ Ω, ∃g ∈ G t.d. g .ai = bi ,∀i = 1, ..., k

DefinicijaGrupa G je strogo k-tranzitivna ako je element g (iz gornjedefinicije) jedinstven.


Vrijedi: Ako je u permutaciji poznato k mjesta, tada jepermutacija jedinstveno odredena i vrijedi sljedeca Propozicija.

PropozicijaNeke je G strogo k- tranzitivna permutacijska grupa stupnja n.Tada je minimalna udaljenost grupe G jednaka

n − k + 1.


Mathieve grupe

• 5 jednostavnih konacnih grupa koje je pronasao francuskimatematicar Emile Leonard Mathieu, u razdoblju izmedu1861. i 1873.

• Oznacavamo ih simbolima M11,M12,M22,M23,M24 ipromatramo kao pemutacijske grupe koje djeluju naskupovima od 11, 12, 22, 23, 24 elemenata

• Postoji 26 sporadicnih jednostavnih grupa i Mathieve grupe sujedne od njih

• Nakon pronalaska Mathieovih grupa - 1965. pronalazak grupeJ1, Jankove grupe reda 175560

• M24; 5-tranzitivna grupa, M23; 4-tranzitivna grupa, M22;3-tranzitivna grupa, M12; strogo 5-tranzitivna grupa, M11;strogo 4-tranzitivna grupa

• Mathieve grupe se najjednostavnije definiraju kao: Grupeautomorfizama Steinerovog sustava


Mathieva grupa M12

• Mathieva grupa M12 je strogo 5-tranzitivna grupa, stupnja 12,reda 95040

• Generirana je permutacijama: (1 2)(3 4)(5 6)(7 8)(9 10)(1112) i (1 3 2)(4 7 5)(8 9 11)

• Minimalna udaljenost: 12− 5 + 1 = 8


Steinerov sustav

DefinicijaIncidencijska struktura D je uredena trojka (P,B, I), gdje su P iB neprazni disjunktni skupovi i I ⊆ P × B. Elementi skupa P senazivaju tocke, elementi skupa B blokovi, a relacija I relacijaincidencije.

Broj blokova koji su incidentni s tockom P naziva se stupanjtocke P i broj tocaka koje su incidentne s blokom x naziva sestupanj bloka x .


Za incidencijsku strukturu u kojoj je svaka od v tocaka stupnja r isvaki od b blokova stupnja k vrijedi vr = bk.

DefinicijaNeka je D = (P,B, I) incidencijska struktura. StrukturuD = (P,B, I ‘), gdje je I ‘ = P × B − I naziva sekomplementarna struktura strukture D.


DefinicijaKonacna incidencijska struktura D = (P,B, I) je t − (v , k, λ)dizajn ako vrijedi sljedece:

1. |P| = v,

2. svaki element skupa B incidentan je s tocno k elemenataskupa P,

3. svakih t elemenata skupa P incidentno je s tocno λ elemenataskupa B.

t-dizajn s parametrom λ=1 naziva se Steinerov sustav te vrijedizapis: S(t, k, v)Steinerov sustav trojki =⇒ za t = 2, k = 3


DefinicijaNeka su D = (P,B, I) i D′ = (P ′,B′, I ′) incidencijske strukture.Bijektivno preslikavanje f : P × B → P ′ × B′ je izomorfizam iz Dna D′ ako vrijedi:

1. f preslikava P na P ′ i B na B′

2. (P, x) ∈ I ⇒ (f (P), f (x)) ∈ I ′, ∀P ∈ P i ∀x ∈ BAko je D′ = D, onda se preslikavanje f naziva automorfizam.Skup svih automorfizama je grupa s obzirom na kompozicijufunkcija i naziva se puna grupa automorfizama strukture D.


Grupe automorfizama Steinerovog sustava:

• S(4, 5, 11) → M11

• S(5, 6, 12) → M12, S(5, 6, 12) = W12 - mali Wittov dizajn

• S(3, 6, 22) → M22

• S(4, 7, 23) → M23

• S(5, 8, 24) → M24, S(5, 8, 24) = W24 - veliki Wittov dizajn


Algoritam za dekodiranje - UBB

primljena rijec w sadrzi r gresaka ⇒ sadrzi n − r ispravnihsimbola

Osnovni problem: Ne mozemo tocno odrediti u kojim se pozicijamanalaze greske.Rjesenje: Trazimo skup baza.


DefinicijaNeka grupa G djeluje na konacnom skupu Ω. Baza grupe G uovako opisanom djelovanju je niz tocaka (x1, . . . , xb) ∈ Ω takvih davrijedi:G(x1,...,xb) = 〈1〉. Odnosno, stabilizator ovog niza tocaka jejedinicni element.

DefinicijaSkup U k-podskupova od Ω zove se(n, k, r)-otkrivajuci(uncovering) dizajn, ako ima svojstvo: Za svakir -podskup R ∈ Ω postoji skup S ∈ Ω t.d. je R ∩ S = φ

Problem → trazenje najmanjeg moguceg otkrivajuceg dizajna zazadani skup parametara


DefinicijaPokrivajuci(covering) (n,m, r) dizajn je komplement otkrivajucegdizajna; m = n − k

Problem → trazenje skupa od m-podskupova iz skupa Ω t.d. je∀r -podskup iz Ω(r < m) sadrzan u barem jednom m-skupu.


Ovakav postupak dekodiranja naziva se otkrivanje pomocu bazaili “uncovering-by-bases“, UBB

• Pronalazak skupa ovakvih baza nije jednostavan, nokoristenjem strogo k-tranzitivnih grupa, postupak sepojednostavljuje

• Za strogo k-tranzitivne grupe vrijedi: Bilo koja k-torkaelemenata tvori bazu

• Trazimo skup od k- podskupova od 1, . . . , n takvih da zabilo koji r -skup gresaka vrijedi da je razlicit od barem jednogk-skupa

• k-skupovi ⇒ komplementi blokova od (n, n − k, r)pokrivajuceg dizajna

• Skup od svih k-podskupova iz 1, . . . , n formira otkrivajucubazu


Dokazano je:

• Za ostale grupe (one koje nisu strogo k-tranzitivne) algoritamje vrlo kompliciran

• UBB zaista postoji

Algoritam:

1. START

2. Biranje 1.baze u UBB

3. Identificiranje odgovarajuceg elementa grupe

4. dH (g ,w) ≤ r

5. STOP

6. U slucaju dH(g ,w) > r vracamo se i biramo 2.bazu


PrimjerZa strogo 5-tranzitivnu grupu M12 imamo:n = 12, k = 5, r = 3.Potreban je (12, 5, 3)-otkrivajuci dizajn.

1 2 3 4 51 2 6 11 121 3 7 8 91 4 6 7 101 5 8 9 112 4 8 9 122 5 7 10 113 4 7 11 123 5 6 10 123 6 8 9 116 7 8 9 10


Pretpostavimo da smo poslali rijec g , a primili rijec w .g=(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12),w=(6 2 1 4 6 6 7 8 9 10 11 12)w sadrzi greske na pozicijama 1,3 i 5.Pustimo algoritam kroz okrivajuci dizajn i dobivamo rjesenje:

• error (repeated symbol)


• (6 3 1 4 12 2 7 8 9 5 10 11), na udaljenosti 6 od w -odobijeno



• (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12), na udaljenosti 3 od w -prihvaceno


Ispravno, neispravno i neodredeno dekodiranje

• Poslana rijec→ permutacija g , g ∈ G

• Primljena rijec→Hammingova rijec w , w ∈ Hn

• Hammingova udaljenost, i = d(g ,w)=broj gresaka u rijeci w

Vrijedi: Rijec koja sadrzi i gresaka moze se uspjesno dekodirati akopostoji jedinstveni element g ∈ G na udaljenosti i od w , a nepostoji niti jedan element g na udaljenosti manjoj od i .

Rijec w dekodirati ce se ispravno ako vrijedi:

d(w ,G ) = d(w , g) = i ,

te ako vrijedi h ∈ G t.d. d(w , h) = i ⇒ h = g , pri cemu je:d(w ,G ) = mind(w , g) : g ∈ G


Vjerojatnost da ce se rijec na udaljenosti i od g dekodirati ispravno:

P(G , g , i) =a

b,

gdje je:

• a-broj rijeci na udaljenosti i od g koje se dekodiraju ispravno

• b-broj rijeci na udaljenosti i od g

NapomenaBroj rijeci na udaljenosti i od g jednak je broju (n− 1)i

(ni

)6= f (g).

Broj rijeci na udaljenosti i od g ne ovisi o g te stoga umjestoP(G , g , i) mozemo pisati P(G , i)

Ako G ima minimalnu udaljenost d te ako vrijedi i ≤ bd−12 c sve

rijeci na udaljenosti i od g ce se dekodirati ispravno i vrijedi,P(G , i) = 1


Rijec w na udaljenosti i od g dekodirati ce se neispravno akovrijedi:

d(w ,G ) < d(w , g) = i

Rijec w na udaljenosti i od g dekodirati ce se neodredeno akovrijedi:

d(w ,G ) = d(w , g) = i

te postoji h ∈ G/g takav da je d(h,w) = i


Oznacimo:

• Q(G , i)- vjerojatnost da ce se rijec na udaljenosti i dekodiratineodredeno

• R(G , i)- vjerojatnost da ce se rijec na udaljenosti i dekodiratineispravno

Vrijedi:P(G , i) + Q(G , i) + R(G , i) = 1

Rijec je:

• ZELENA: id dekodira ispravno

• ZUTA: id dekodira neodredeno

• CRVENA: id dekodira neispravno


Rijeci na udaljenosti 4

Vrijedi: Za d(w ,M12) ≤ 3, postoji jedinstveno odredena rijec koda⇒ za i ≤ 3,P(M12, i) = 1,Q(M12, i) = R(M12, i) = 0

• poslana je rijec g ∈ M12, primljena je rijec w ∈ H12 sa 4gresaka

• Minimalna udaljenost grupe M12 jednaka je 8 pa postojielement iz M12 na udaljenosti 8 od g

• g nije jedinstveno odreden kao rijec koda na udaljenosti 4 odw

Zanima nas: Koliko rijeci sa 4 greske nemaju jedinstvenoodredenog najblizeg susjeda?


LemaAko se w nalazi na udaljenosti 4 od dviju rijeci koda g , h, tadavrijedi:

d(g , h) = 8

Dokaz: primjenom nejednakosti trokuta

LemaNeka je g ∈ M12. Tada postoji tocno 7

(124

)elementa h ∈ M12 koji

zadovoljavaju jednakost: d(g , h) = 8


LemaZa g , h ∈ M12 koji zadovoljavaju d(g , h) = 8, postoji tocno

(84

)rijeci w koje zadovoljavaju: d(g ,w) = d(h,w) = 4

LemaNeka g , h,w zadovoljavaju uvjete gornje Leme. Tada postoji josnajvise jedna rijec koda k ∈ M12 koja zadovoljava: d(k,w) = 4


LemaNeka su w ∈ H12, g , h, k ∈ M12 medusobno razliciti te neka vrijedi:d(g ,w) = d(h,w) = d(k,w) = 4,g = id i h fiksira 1,2,3,4. Brojuredene k-torke elemenata w , g , h, k jednak je 18.

Ako imamo rijec sa 4 greske moze se dogoditi:


Osnovni teorem

TeoremVjerojatnost da ce se rijec koja sadrzi 4 greske jedinstvenodekodirati: P(M12, 4) = 14160

14641∼= 0.967147

Dokaz:

• NSOMP: g ∈ M12 je fiksan, g = id , g i h se slazu u prve 4pozicije

• ni=broj parova (g ,w) takvih da: d(g ,w) = 4

• postoji tocno i rijeci koda h, h 6= g , d(h,w) = 4

• i = 1, 2, 3


Vrijedi:

n1 + n2 + n3 =

(12

4

)114

n2 + 2n3 = 7

(12

4

)(8

4

)2n3 =

(12

4

)18

• n2 + n3 =broj konfiguracija koje se nece dekodirati jedinstveno

• Q(M12, 4) = n2+n3n1+n2+n3

= 48114641

∼= 0.032853

• P(M12, 4) ∼= 0.967147

Q.E.D.


Rijeci na udaljenosti 5,6 i 7

• poslana rijec g=(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12)

• primljena rijec w=(4 1 2 3 6 6 7 8 9 10 11 12)

• d(g ,w) = 5

• h= (4 1 2 3 6 7 8 5 9 10 11 12)

• d(h,w) = 3

• neispravno dekodiranje


Pretpostavke: Poslana rijec je id , greske se pojavljuju na prvih 5, 6ili 7 pozicija. Pomocu programskog paketa GAP, koristeci UBB (zadobivanje najblizih susjeda) odredene su boje rijeci:


TeoremNe postoje zelene rijeci na udaljenosti 7 od id .

Dokaz:

• d(w , id) = 7, |w | ≥ 5.

• Postoje razliciti 5-podskupovi i1, i2, i3, i4, i5 ij1, j2, j3, j4, j5 ∈ Ω t.d. w ima razlicite simbole upravo napozicijama: i1...i5 i j1...j5

• g , h ∈ M12, slazu se s w na pozicijama i1...i5 i j1...j5

• g 6= h, w sigurno nije ZELENA

• g = h, w i h se slazu na najmanje 6 pozicija → w je CRVENA

Q.E.D.


Rijeci na udaljenosti vecoj od 8

• w -primljena rijec, w ∈ H12

• |w |- broj pozicija u kojima se w i g ne razlikuju,1 ≤ |w | ≤ 12, d(w ,S12) = 12− |w |

• |w | ≥ 5, w se razlikuje na pozicijama i1 < i2 < i3 < i4 < i5

• M12- strogo 5-tranzitivna ⇒ ∃!g ∈ M12 koji odgovara sa w utim pozicijama

• d(w ,M12) ≤ 7


Sto se dogada kada je |w | = m,m ≤ 5?

• promatramo pozicije i1 < ... < im te m-tranzitivnost od M12

• d(w ,M12) ≤ 12−m = d(w ,S12) ≤ d(w ,M12),⇒ d(w ,M12) = 12−m

• m ≤ 4, stabilizator m-tocaka nije trivijalan pa element iz M12

koji se slaze sa w nije jedinstven

Zakljucak: Za i ≤ 8 ne postoje zelene rijeci od M12. Rijec w jezuta ⇐⇒ |w | = 12− i


Zakljucak



Generatori grupe M12

Documents

Dekodiranje grupe M12vmikulic/seminar/6_2_2009Svob.pdf · 2 r - sposobnost ispravljanja primljene rijeˇci koda Elementi grupe permutacija, za koju je poznata minimalna udaljenost,