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Apostila Aprovar Ano04 Fascículo18 Mat Fis

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Matemtica Funes trigonomtricas

A macaxeira fonte de alim para milhares de famlias de entao e gerao de renda ribeirinhos na Amaznia

Matemtica Operaes com arcos Fsica Equilbrio de corpos Fsica Hidrosttica

pg. 02 pg. 04

pg. 06 pg. 08 pg. 10

Portugus Concordncia nominal I

adrados tros qu uanabara il me 210 m a Baa da G e ,9km obre eri, 13m equilbrio s Nit o e Rio Ponte reto e asfalt de conc

Simulado do Aprovar no dia 28 de abrilCaro estudante, Chegamos ao nmero 18 e nos aproximamos da marca de 2 milhes de apostilas distribudas. Se voc est includo entre os mais de 30 mil finalistas do Ensino Mdio da rede pblica de ensino, no esquea de retirar a apostila do Aprovar na sua escola, seja na capital, seja no interior. Todas as edies do primeiro e segundo mdulos do projeto esto nas secretarias. As apostilas tambm esto disponveis na internet, nos endereos www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br. Acompanhar as aulas a partir da apostila importante, pois ela serve de apoio para as aulas que so veiculadas de segunda a sbado, pela televiso (TV Cultura, Amazonsat e RBN)e pelo rdio (Rio Mar, Seis Irmos do So Raimundo, Panorama de Itacoatiara, Difusora de Itacoatiara, Comunitria Pedra Pintada de Itacoatiara, Santo Antnio de Borba, Estao Rural de Tef, Independncia de Maus, Rdio Cultura). Simulado A data do primeiro Simulado do Aprovar j est definida. Ser no 28 de abril, em 13 escolas estaduais da capital e em todos os municpios do interior. Durante a prova, sero explorados os contedos das disciplinas referentes aos dois primeiros mdulos: Lngua Portuguesa, Literatura Brasileira, Histria e Geografia. A entrada gratuita e voc ainda confere o seu desempenho logo aps o teste. As respostas e comentrios dos professores sero exibidos em teles instalados nos locais de prova. Definitivamente incorporado vida estudantil do Amazonas, o Aprovar segue com timos ndices no vestibular da UEA. Nos ltimos trs anos, aproximadamente 2 mil alunos aprovados no concurso afirmaram ter estudado pelo Aprovar. Em 2006, por exemplo, das 3.709 vagas oferecidas, 600 foram preenchidas por alunos que estudaram pelo Aprovar, o que representa um ndice de aprovao de 16%. Na primeira etapa, o ndice de aprovao foi de 19%. Dos 8.815 estudantes que informaram ter estudado pelo Aprovar, 1.729 foram classificados para a segunda etapa. Em 2007, voc pode fazer parte desta estatstica. Ainda temos uma longa jornada at o vestibular. Portanto, hora de estudar. Retire a apostila em sua escola, ou no PAC mais prximo de sua casa. Voc ainda pode consultar e imprimir nmeros anteriores pela internet (www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br). Vamos em frente!

MatemticaProfessor CLCIO

Funes trigonomtricas1. Introduo Funes trigonomtricas na circunferncia trigonomtrica Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitrio. Escolhemos tambm um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA, e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido antihorrio, de 90 ou /2 radianos.

O domnio da funo seno IR e a imagem o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma funo de perodo P=2. Agora, queremos descobrir como o grfico de uma funo seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k, quando comparado ao grfico de y=sen x, a partir das transformaes sofridas pelo grfico dessa funo. Funo co-seno Consideremos a funo f(x)=cosx. Cada ponto do grfico da forma (x, cosx), pois a ordenada sempre igual ao cosseno da abscissa, que um nmero real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. unidades de medida de comprimento. O grfico dessa funo o seguinte:

Dado um nmero real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no crculo unitrio, de tal modo que o comprimento do arco AP x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP x radianos. Tambm podemos dizer que o arco AP e, portanto, o ngulo central AP tem (180 x). Definimos as funes seno, cosseno e tangente do nmero real x da seguinte maneira: cos x: a abscissa de P sen x: a ordenada de P senx tgx = , se cosx 0 cosx Desse modo, dado um nmero x real, fica determinado, na circunferncia trigonomtrica, o ponto: P=P(x)=(cos x, sen x). Como conseqncia das definies de sen x, cos x e tg x, temos que: P(0)= A =(1,0) e, portanto, cos 0 = 1, sen 0 = 0, tg 0 = 0. P(/2)= (0,1) e, portanto, cos /2 = 0, sen /2=1, enquanto tg /2 no existe, pois cos /2= 0. Propriedades: i) sen(/2 + x)=cos x e cos(/2 + x)=senx; ii) sen( x)=sen x e cos( x)=cosx; iii) sen( + x)=sen x e cos( + x)=cosx; iv) sen(2 x)=sen x e cos(2 x)=cosx; v) sen(2 + x)=sen x e cos(2 + x)=cosx. Funo Seno Consideremos a funo f(x)=sen x. Cada ponto do grfico da forma (x, senx), pois a ordenada sempre igual ao seno da abscissa, que um nmero real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. unidade de medida de comprimento O grfico dessa funo o seguinte:

O domnio da funo co-seno IR e a imagem o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma funo limitada e peridica de perodo P=2. Agora, queremos descobrir como o grfico de uma funo co-seno mais geral, y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao grfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo grfico dessa funo. Consideremos a funo f(x)= cos x. Cada ponto do grfico da forma (x, cos x), pois a ordenada sempre igual ao cosseno da abscissa, que um nmero real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos. unidades de medida de comprimento. O grfico dessa funo o seguinte:

O domnio da funo co-seno IR e a imagem o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma funo limitada e peridica de perodo P=2. Agora, queremos descobrir como o grfico de uma funo co-seno mais geral, y=a.cos(bx+m)+k, quando comparado ao grfico de y= cos x, a partir das sofridas pelo grfico dessa funo.

Aplicaes(UFMG) Calcular o valor da expresso 9 13 sen + sen 4 2 Soluo:

2. Equaes Trigonomtricas Introduo Equao trigonomtrica elementar, qualquer equao da forma senx = sena, cosx = cosa e tgx = tga, onde x um arco trigonomtrico incgnita a ser determinado e a um arco trigonomtrico qualquer.

2

Via de regra, qualquer equao trigonomtrica no elementar, pode ser transformada numa equao elementar, por meio do uso das relaes trigonomtricas usuais. Nota: os arcos a e a + k.2 onde k um nmero inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um nmero inteiro de voltas, ou seja: a + k.2 a = k.2 Observao: 2=360= uma volta completa. Para a soluo das equaes trigonomtricas elementares, vamos estabelecer as relaes fundamentais a seguir: Arcos de mesmo seno J sabemos que sen( a) = sena. Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonomtrico, as solues gerais da igualdade acima sero da forma: x = ( a) + k.2 ou x = a + k.2. x = + 2k. a ou x = a + k.2 x = (2k + 1) a ou x = 2k + a Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo senx = sena, ser x = (2k + 1) a ou x = 2k + a. Exemplo: Seja a equao elementar sen x = 0,5. Como 0,5 = sen 30 = sen/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima: senx = sen /6, de onde conclui-se: x = (2k + 1). /6 ou x = 2k +/6, com k inteiro, que representa a soluo genrica da equao dada. Fazendo k variar no conjunto dos nmeros inteiros, obteremos as solues particulares da equao. Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituio na soluo genrica encontrada acima, x = /6 ou x = /6; fazendo k = 1, obteremos x = 17/6 ou x = 13/6, e assim sucessivamente. Observe que a equao dada, possui um nmero infinito de solues em IR. Poderemos escrever o conjunto soluo da equao dada na forma geral: S = {x|xR; x =(2k + 1) /6 ou x = 2k + /6, k Z} Poderemos tambm listar os elementos do conjunto soluo: S = { ..., /6, /6, 17/6, 13/6, ... } Arcos de mesmo co-seno J sabemos que cos (-a) = cos a. Poderemos escrever para as solues gerais da igualdade acima: x = (a) + 2k ou x = a + 2k, sendo k um nmero inteiro. Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo cosx = cosa, ser dada por: x = 2k + a ou x = 2k a, sendo k um inteiro.

Exemplos: 1) sen x >1/2 e sen x+tgx 2 so inequaes trigonomtricas. 2) ( sen 30) . (x 1) > 0 Resolver uma inequao como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos nmeros s, sendo s elementos do domnio de f e de g, tais que f(s) < g(s). O conjunto S chamado de conjunto soluo da inequao e todo elemento de S uma soluo da inequao. Assim, na inequao sen x >1/2, os nmeros 0, /4, /2 so algumas de suas solues e os nmeros 5/4 e 3/2 no o so. Resoluo de inequao trigonomtrica Quase todas as inequaes trigonomtricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequaes fundamentais. Vamos conhec-las, a seguir, por meio de exemplos. 1. caso : senx < sena (senx sena)2 2

Desafio Matemt ico01. Calcule o valor de sen 7/2:a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e) 3

02. Foram feitos os grficos das funes f(x) = sen4x e g(x)= x/100, para x no intervalo [0, 2[. Determine o nmero de pontos comuns aos dois grficos.a) 6 d) 7 b) 4 e) 8 c) 9

03. Calcule o valor da expresso: sen 330 + sen(450) . tg120.cotg(210)a) 1/2 d) 1/3 b) 1/2 e) 1 c) 1/3

04. Sendo x um ngulo do primeiro quadrante e tgx = 3, calcule senx.Por exemplo, ao resolvermos a inequao senx < sen/6 ou senx < 1/2 encontramos, inicialmente, 0 x /6 ou 5/6 b.

cos (180) = cos 180 = 1, etc. Se considerarmos a funo y = cosx, como cos(x ) = cosx , diremos ento que a funo cosseno uma funo par. Reveja o captulo de funes. Para finalizar, tente simplificar a seguinte expresso: y = cos(x 90) cos(x - 270). Resposta: 2senx Vimos a deduo da frmula do co-seno da diferena de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais frmulas da adio e subtrao de arcos sem as dedues, lembrando que essas dedues seriam similares quela desenvolvida para cos(a b), com certas peculiaridade

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