12
Para alguns, é a sorte que faz a bola parar ; para a ciência, trata - se de um evento de probabilidades Pesca em área de proteção ambiental no rio Jutaí : uso raciional dos recursos ajuda a preservar espécies Matemática – Probabilidade pg. 02 Matemática – Geometria de posição pg. 04 Física – Eletrostática pg. 06 Física – Campo eletrostático ou campo elétrico pg. 08 Português – Concordância Nominal II pg. 10

Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

Para alguns, é a sorte

que faz a bola parar;

para a ciência, trata-se

de um evento de

probabilidades

Pesca em área de proteção ambiental no rio Jutaí: usoraciional dos recursos ajuda a preservar espécies

•• Matemática – Probabilidade pg. 02

•• Matemática – Geometria deposição

pg. 04•• Física – Eletrostática

pg. 06•• Física – Campo eletrostático ou

campo elétricopg. 08

•• Português – ConcordânciaNominal II

pg. 10

Page 2: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

ProbabilidadeA história da teoria das probabilidades teve iníciocom os jogos de cartas, dados e de roleta. Esseé o motivo da grande existência de exemplos dejogos de azar no estudo das probabilidades. Ateoria das probabilidades permite que se calculea chance de ocorrência de um número em umexperimento aleatório.

Experimento aleatório

É aquele experimento que quando repetido emiguais condições, podem fornecer resultadosdiferentes, ou seja, são resultados explicados aoacaso. Quando se fala de tempo e possibilidadesde ganho na loteria, a abordagem envolvecálculo de experimento aleatório.

Espaço amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveisde um experimento aleatório. A letra qu erepresenta o espaço amostral é S.

AplicaçãoLançando uma moeda e um dado, simultanea-mente, sendo S o espaço amostral, constituídopelos 12 elementos:

S={K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1,R2, R3, R4, R5, R6}a)Escreva, explicitamente,

os seguintes eventos:A={caras e m númeropar aparece}, B={umnúmero primoaparecem}, C={coroas e um número ímparaparecem}.

b) Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem;b) B e C ocorrem;c) somente B ocorre.

c) Quais dos eventos A,B e C são mutuamenteexclusivos?

Re solução:1. Para obter A, escolhemos os elementos de S

constituídos de um K e um número par:A={K2, K4, K6};Para obter B, escolhemos os pontos de Sconstituídos de números primos:B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}Para obter C, escolhemos os pontos de Sconstituídos de um R e um número ímpar:C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5}(c) Escolhemos os elementos de B que nãoestão em A ou C; B ∩ Ac ∩ Cc = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porqueA ∩ C = ∅∅

Conceito de probabilidade

Se num fenômeno aleatório as possibilidadessão igualmente prováveis, então a probabilidadede ocorrer um evento A é:

n.° de casos favoráveisP(A) = ––––––––––––––––––––––

n.° de casos possíveis

AplicaçãoNo lançamento de um dado, um número podeocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igual-mente prováveis, portanto, P =3/6= 1/2 = 50%.Dizemos que um espaço amostral S (finito) éequiprovável quando seus eventos elementarestêm probabilidades iguais de ocorrência.Propriedades Importantes:1. Se A e A’ são eventos complementares,

então:P( A ) + P( A’) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre umnúmero entre 0(probabilidade de eventoimpossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, énecessário que já exista alguma informaçãosobre o evento que se deseja observar. Nessecaso, o espaço amostral modifica-se e o eventotem a sua probabilidade de ocorrência alterada.Fórmula de Probabilidade Condicional:p(A/B) = p(A∩B)/p(B) ou p(A∩B) = p(A/B).p(B),em que p(A/B) a probabilidade condicional deocorrer A, tendo ocorrido B.

AplicaçãoUma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, umade cada vez e sem reposição, qual será aprobabilidade de a primeira ser vermelha e asegunda ser azul?

Resolução:Seja o espaço amostral S=30 bolas, econsiderarmos os seguintes eventos:A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29Assim:P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventosindependentes quando a probabilidade deocorrer um deles não depende do fato de osoutros terem ou não terem ocorrido.Fórmula da probabilidade dos eventosindependentes:P(E1 e E2 e E3 e ...e En

-1 e En) =P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

AplicaçãoUma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada veze repondo a sorteada na urna, qual será aprobabilidade de a primeira ser vermelha e asegunda ser azul?Resolução:Como os eventos são independentes, aprobabilidade de sair vermelha na primeiraretirada e azul na segunda retirada é igual aoproduto das probabilidades de cada condição,ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, aprobabilidade de sair vermelha na primeiraretirada é 10/30 e a de sair azul na segundaretirada 20/30. Daí, usando a regra do produto,temos: 10/30.20/30=2/9.Observe que na segunda retirada foramconsideradas todas as bolas, pois houvereposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fatode sair bola vermelha na primeira retirada nãoinfluenciou a segunda retirada, já que ela foireposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união deeventos:

2

Além de consolidar sua presença nosmunicípios com a implantação de novosnúcleos e aumentar a oferta de vagas parao interior via vestibular, a Universidade doEstado do Amazonas avança também napós-graduação.A Coordenação de Aperfeiçoamento dePessoal de Nível Superior do Ministério daEducação (Capes) aprovou a realização demais um curso de Doutorado para a UEA: ode Engenharia Elétrica, com ênfase emComputação. O curso, no formato Dinter -Doutorado Interinstitucional, em parceriacom a Universidade Federal de Pernambuco(UFPE), tem início previsto para o segundosemestre deste ano.A UEA já oferece outros dois cursos deDoutorado: em Doenças Tropicais e Infec-ciosas – o primeiro na área de Medicina doAmazonas – e o Doutorado em Clima eAmbiente, com início no primeiro semestredeste ano em associação com o InstitutoNacional de Pesquisas da Amazônia (Inpa) eintegrante do Programa de Pós-Graduaçãoem Clima e Ambiente, inédito no Brasil. Paraoferecer cursos fora de sede, a UEA estabe-lece parcerias com instituições consolidadas.Com menos de seis anos de criação, ainstituição já criou 52 cursos em nível dePós-Graduação: além do doutorado emDoenças Tropicais e Infecciosas e oDoutorado em Clima e Ambiente, já foramoferecidos sete mestrados e 44 especializa-ções. Ainda este ano a Pró-Reitoria de Pós-Graduação da UEA está aguardando aaprovação final da Capes para outros novedoutorados e dez mestrados interinstitu-cionais, resultado do trabalho em conjuntocom as Unidades Acadêmicas e com oCentro de Estudos do Trópico Úmido daUEA.Entre os mestrados oferecidos estão o deDoenças Tropicais e Infecciosas; DireitoAmbiental; Biotecnologia e RecursosNaturais da Amazônia; Ensino de Ciências;Administração Pública (UEA/FGV); Enge-nharia Eletétrica/Comunicação (UEA/UFPA)e Engenharia Elétrica/Automação (UEA/UFCG).A turma especial do Doutorado emEngenharia Elétrica terá 15 vagas. Dessetotal, dez serão destinados à formação dequadros da própria UEA e as outras cincovagas, para servidores da PrefeituraMunicipal de Manaus. O objetivo é qualificar,em médio prazo, mão-de-obra para atuar noPólo Industrial de Manaus, pois a partir daqualificação dos professores daUniversidade já será possível o oferecimentode novos cursos de mestrados nesta áreado conhecimento.

Capes aprova maisum curso dedoutorado para aUEA

Matemática Professor CLÍCIO

Page 3: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 e E2)De fato, se existirem elementos comuns a E1 eE2, estes eventos estarão computados nocálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam consi-derados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).Fórmula de probabilidade de ocorrer a união deeventos mutuamente exclusivos:P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2)+ ... + P(En)

Aplicações01. Se dois dados, azul e branco, foremlançados, qual a probabilidade de sair 5 no azule 3 no branco?

Resolução:Considerando os eventos:A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6Sendo S o espaço amostral de todos ospossíveis resultados, temos:n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

02. Se retirarmos aleatoriamente uma carta debaralho com 52 cartas, qual a probabilidade deser um 8 ou um rei?

Sendo S o espaço amostral de todos osresultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.Considere os eventos:A: sair 8 e P(A) = 4/52B: sair um rei e P(B) = 4/52Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 =2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta nãopode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando issoocorre, dizemos que os eventos A e B são mutua-mente exclusivos.

02. Uma moeda é viciada, de forma que as carassão três vezes mais prováveis de aparecer doque as coroas. Determine a probabilidade denum lançamento sair coroa.

Solução:Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enun-ciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

03. Três estudantes A, B e C estão em umacompetição de natação. A e B têm as mesmaschances de vencer e, cada um, tem duas vezesmais chances de vencer do que C.

Pede-se calcular aprobabilidades deA ou C vencer.

Solução:Sejam p(A), p(B) e p(C) as probabilidadesindividuais de A, B, C vencerem. Pelos dados doenunciado, temos:p(A) = p(B) = 2.p(C).Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade

de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a1. (evento certo).Assim, substituindo, vem:k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) =2/10 = 1/5.A probabilidade de A ou C vencer será a somadessas probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 = 3/5.

04. Um dado é viciado, de modo que cadanúmero par tem duas vezes mais chances deaparecer num lançamento que qualquer númeroímpar. Determine a probabilidade de numlançamento aparecer um número primo.Solução:Pelo enunciado, podemos escrever:p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).Seja p(2) = k. Poderemos escrever:p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ouseja: a soma das probabilidades dos eventoselementares é igual a 1.Então, substituindo, vem:k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.Assim, temos:p(2) = p(4) = p(6) = 2/9p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.O evento “sair número primo” corresponde a sairo 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

05. Um cartão é retirado aleatoriamente de umconjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50.Determine a probabilidade do cartão retirado serde um número primo.Solução:Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto15 números primos.Temos, portanto, 15 chances de escolher umnúmero primo num total de 50 possibilidades.Portanto a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

06. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhosazuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso,qual é a probabilidade de ambas terem os olhosazuis?

Solução:Existem C10,2 possibilidades de se escolher duaspessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidadesde escolher duas alunas de olhos azuis entre astrês. Logo, a probabilidade procurada será iguala:P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 =3/45 = 1/15.Comentários sobre o cálculo de Cn,p.Como já sabemos da Análise combinatória,Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.Na prática, entretanto, podemos recorrer aoseguinte expediente: Cn,p possui sempre pfatores no numerador a partir de n, decrescendouma unidade a cada fator e p fatores nodenominador a partir de p, decrescendo umaunidade a cada fator.Exemplos:C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.

3

01. (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolasbrancas e 5 bolas pretas. Duas bolasescolhidas ao acaso são sacadasdessa urna, sucessivamente e semreposição. A probabilidade de queambas sejam brancas vale:a) 1/6 b) 2/9c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81

02. (Fatec) Considere todos os númerosde cinco algarismos distintos obtidospela permutação dos algarismos 4, 5,6, 7 e 8. Escolhendo-se um dessesnúmeros, ao acaso, a probabilidadedele ser um número ímpar é:a) 1 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/4 e) 1/5

03. (FEI) Uma caixa contém 3 bolasverdes, 4 bolas amarelas e 2 bolaspretas. Duas bolas são retiradas aoacaso e sem reposição. Aprobabilidade de ambas serem damesma cor é:a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/4

04. (Fei) Em uma pesquisa realizada emuma Faculdade foram feitas duasperguntas aos alunos. Cento e vinteresponderam “sim” a ambas; 300responderam “sim” à primeira; 250responderam “sim” à segunda e 200responderam “não” a ambas. Se umaluno for escolhido ao acaso, qual é aprobabilidade de ele ter respondido“não” à primeira pergunta?a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25

05. (Fuvest) Escolhem-se ao acaso trêsvértices distintos de um cubo. Aprobabilidade de que estes vérticespertençam a uma mesma face é:a) 3/14 b) 2/7 c) 5/14 d) 3/7 e) 13/18

06. (Fuvest–GV) No jogo da sena seisnúmeros distintos são sorteadosdentre os números 1, 2,....., 50. Aprobabilidade de que, numa extração,os seis números sorteados sejamímpares vale aproximadamente:a) 50% b) 1% c) 25%d) 10% e) 5%

07. (Mackenzie) Num grupo de 12 profes-sores, somente 5 são de matemática.Escolhidos ao acaso 3 professores dogrupo, a probabilidade de no máximoum deles ser de matemática é:a) 3/11. b) 5/11. c) 7/11.d) 8/11. e) 9/11.

08. (Puccamp) O número de fichas decerta urna é igual ao número deanagramas da palavra VESTIBULAR.Se em cada ficha escrevermos apenasum dos anagramas, a probabilidadede sortearmos uma ficha dessa urna eno anagrama marcado as vogaisestarem juntas éa) 1/5040 b) 1/1260 c) 1/60d) 1/30 e) 1/15

DesafioMatemático

Page 4: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

Geometria de posiçãoA Geometria espacial (euclidiana) funciona comouma ampliação da Geometria plana (euclidiana)e trata dos métodos apropriados para o estudode objetos espaciais assim como a relação entreesses elementos. Os objetos primitivos do pontode vista espacial, são: pontos, retas, segmentosde retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.Os principais tipos de cálculos que podemosrealizar são: comprimentos de curvas, áreas desuperfícies e volumes de regiões sólidas.Tomaremos ponto e reta como conceitosprimitivos, os quais serão aceitos sem definição.Conceitos primitivosSão conceitos primitivos (e, portanto, aceitossem definição) na Geometria espacial osconceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente,usamos a seguinte notação:a)pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.

• Ab)retas: letras minúsculas do nosso alfabeto.

c) planos: letras minúsculas do alfabeto grego.

Observação: Espaço é o conjunto de todos ospontos.Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

P ∈ rQ ∈ s ∩ rs ⊂ α e r ⊂ aAxiomasAxiomas ou postulados (P) são proposiçõesaceitas como verdadeiras sem demonstração eque servem de base para o desenvolvimento deuma teoria.Temos como axioma fundamental: existeminfinitos pontos, retas e planos.Postulados sobre pontos e retasP1. A reta é infinita, ou seja, contém infinitos

pontos.

P2. Por um ponto podem ser traçadas infinitasretas.

Observe que os eixos seencontram no centro da rodagigante, dando a idéia de feixede retas.

P3. Por dois pontos distintos passa uma únicareta.

P4. Um ponto qualquer de uma reta divide-a emduas semi-retas.

Observe que as faixasde uma rodovia dão aidéia de uma reta

PlanoUm plano é um subconjunto do espaço R3 detal modo que quaisquer dois pontos desseconjunto podem ser ligados por um segmentode reta inteiramente contido no conjunto. Um plano no espaço R3 pode ser determinadopor qualquer uma das situações: a)Três pontos não colineares (não pertencentes

à mesma reta). b)Um ponto e uma reta que não contém o

ponto. c) Um ponto e um segmento de reta que não

contém o ponto. d)Duas retas paralelas que não se sobrepõem; e)Dois segmentos de reta paralelos que não se

sobrepõe. f) Duas retas concorrentes. g)Dois segmentos de reta concorrentes.Planos e retasUm plano é um subconjunto do espaço R3 detal modo que quaisquer dois pontos desseconjunto podem ser ligados por um segmentode reta inteiramente contido no conjunto.Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3

podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.Retas paralelas: Duas retas são paralelas seelas não possuem interseção e estão em ummesmo plano.

Retas concorrentes: duas retas sãoconcorrentes se elas têm um ponto em comum.As retas perpendiculares são retas concorrentesque formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: duas retas são ditas reversasquando uma não há interseção entre elas: nãosão paralelas. Isto significa que elas estão emplanos diferentes. Pode-se pensar de uma reta rdesenhada no chão de uma casa e uma reta s,não paralela a r, desenhada no teto dessamesma casa

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralelaa um plano no espaço R3 se existe uma reta sinteiramente contida no plano que é paralela àreta dada.

4

DesafioMatemático01. (ITA) – Consideremos um plano a e

uma reta r que encontra esse planonum ponto P, e que não éperpendicular a a. Assinale qual dasafirmações é a verdadeira.a) Existem infinitas retas de a

perpendiculares a r pelo ponto P. b) Existe uma e somente uma reta de a

perpendicular a r por P .c) Não existe reta de a, perpendicular a r,

por P .d) Existem duas retas de a perpendiculares

a r passando por P .e) Nenhuma das afirmações acima é

verdadeira .

02. (EESCUSP) – O lugar geométrico dospontos médios dos segmentos queunem pontos de duas retas reversas é:a) uma elipse; b) uma hipérbole; c) uma esfera; d) uma reta; e) um plano.

03. (EEUM)– Se a e b são dois planosperpendiculares, r a sua interseção e suma reta paralela a a, então:a) a reta s é paralela ao plano b;b) a reta s é perpendicular ao plano b;c) a reta s é paralela à reta r;d) a reta s intercepta o plano b;e) nada se pode concluir.

04. (EESCUSP)– Uma só das seguintesafirmações é exata. Qual?a) Um plano paralelo a uma reta de um

outro plano é paralelo a este;b) Um plano perpendicular a uma reta de

um plano é perpendicular a este plano;c) Um plano paralelo a duas retas de um

plano é paralelo ao plano;d) Dois planos paralelos à mesma reta são

paralelos;e) Um plano paralelo à três retas de um

mesmo plano é paralelo a este plano.

05. (UFBA) Sendo α e β dois planos e r1 er2 duas retas, tais que α // β , r1 ⊥ α er2 // β , então r1 e r2 podem ser:a) Paralelas a α.b) Perpendiculares a β.c) Coincidentes.d) Oblíquas.e) Ortogonais.

06. (UF–PE) Assinale a alternativa correta,considerando r, s e t como sendo retasno espaço .a) Se r e s são ambas perpendiculares a t,

então r e s são paralelas.b) Se r é perpendicular a s e s é perpendi-

cular a t, então r é perpendicular a t.c) Se r é perpendicular a s e s é perpendi-

cular a t, então r e t são paralelas.d) Se r é perpendicular a s e β é um plano

que contém s, então r é perpendicular a βe) Se r e t são perpendiculares a s no

mesmo ponto, então existe um plano quecontém r e t e é perpendicular a s.

Matemática Professor CLÍCIO

Page 5: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

Reta perpendicular a um plano: uma reta éperpendicular a um plano no espaço R3, se elaintersecta o plano em um ponto P e todosegmento de reta contido no plano que tem Pcomo uma de suas extremidades éperpendicular à reta.Posições entre planos1. Planos concorrentes no espaço R3 são planos

cuja interseção é uma reta.2. Planos paralelos no espaço R3 são planos

que não têm interseção.3. Diedro: Quando dois planos são

concorrentes, dizemos que tais planosformam um diedro.

4. Ângulo diedral: É ângulo formado por doisplanos concorrentes. Para obter o ângulodiedral, basta tomar o ângulo formado porquaisquer duas retas perpendiculares aosplanos concorrentes.

5. Planos normais são aqueles cujo ângulodiedral é um ângulo reto (90 graus).

PoliedrosSão sólidos do espaço de 3 dimensões cujafronteira é a reunião de partes de planos.

Relação de EulerEm qualquer poliedro convexo, é válida arelação:V – A + F = 2

V = n.° de vértices;A = n.° de arestas;F = n.° de faces.

Soma dos ângulos das faces: SS = (V – 2). 360Poliedros de PlatãoDe um poliedro de Platão, exige-se que:

a) Todas as faces sejam polígonos, regulares ounão, mas com o mesmos número de lados;

b)Todos os bicos sejam formados com omesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão? Só existem cinco tipos de poliedros de Platão,regulares ou não, que são:1. Tetraedro

4. Hexaedro

2. Octaedro

5. Dodecaedro

3. Icosaedro

Observação – Na tentativa de construirpoliedros regulares, verificamos, na prática, quenão é possível fazê-lo nem com hexágonos,nem com polígonos que tenham mais do queseis lados. Resumo:

Aplicações01. O número de faces de um poliedro convexode 20 arestas é igual ao número de vértices.Determine o número de faces do poliedro.Solução:Sabemos que sendo dado um poliedro de Vvértices, F faces e A arestas, vale a célebrerelação de Euler:V + F = A + 2É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo,fica:F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e daí conclui-seque F = 11. Portanto o poliedro possui 11 faces.

02. Um poliedro convexo possui 10 faces, sendoalgumas quadrangulares e outras triangulares.Ache o número de faces de cada tipo, sabendoque a soma dos ângulos das suas faces é 2520°.Solução:Sendo x faces quadrangulares e y facestriangulares, teremos:x + y = 10Sabemos que a soma dos ângulos internos detodas as faces de um poliedro convexo é dadapor:S = (V – 2) . 360°, onde V é o número devértices. Logo,2520° = (V – 2) .360° ⇒ V – 2 = 7 ⇒ V = 9Sabemos também pelo Teorema de Euler, que:V + F = A + 2onde V é o número de vértices, A o número dearestas e F o número de faces.Teremos então: 9 + 10 = A + 2, então A = 17 Outra relação conhecida para os poliedros é: n .F= 2 . A, onde n é o número de arestas em cadaface. No presente caso, n . F = 4x + 3y já que são 4faces quadrangulares e 3 faces triangulares.Logo, 4x + 3y = 2 . A = 2.17 = 34Já sabemos que a soma dos ângulos internos deum triângulo vale 180° e a soma dos ângulosinternos de um quadrilátero vale 360°. Logo,como são x quadriláteros e y triângulos, vem:x . 360 + y . 180 = 2520

Simplificando, vem:

Resolvendo osistema acima, vem:y = 14 – 2x4 x + 3 (14 – 2x) = 344x + 42 – 6x= 34–2x= –8Daí tiramos x = 4 e, portanto y = 6.São então 4 faces quadrangulares e 6 facestriangulares.

5

DesafioMatemático

01. (UFPA) Assinalar a única proposiçãoerrada entre as seguintes:a) duas retas do espaço, paralelas a uma

terceira, são paralelas entre si;b) um plano perpendicular a dois planos

incidentes é perpendicular à retainterseção deles;

c) uma reta ortogonal a duas retas de umplano é ortogonal ao plano;

d) um plano perpendicular a uma reta deum outro plano é perpendicular a esteplano;

e) dois planos perpendiculares à mesmareta são paralelos.

02. (UEA) Se um ponto é eqüidistante detrês outros, então:a) os quatro são coplanares;b) estão sobre uma circunferência;c) estão sobre uma esfera;d) são vértices de um tetraedro;e) nenhuma das afirmações anteriores é

verdadeira.

03. (IME) A única proposição certa é:a) Se três retas tem um ponto comum, elas

são coplanares.b) Dois planos perpendiculares a um

terceiro plano, são paralelos entre si.c) Se dois planos são paralelos a uma

mesma reta, então são paralelos entre si.d) Um plano perpendicular a um de dois

planos que se interceptam, deve inter-ceptar o outro.

e) A interseção de dois planos perpendicu-lares a um terceiro plano é uma retaperpendicular a este ou o conjunto vazio.

04. (FGV) Duas retas no espaço, perpendi-culares a uma terceira:a) são paralelas;b) são perpendiculares;c) podem ser perpendiculares;d) são coplanares;e) são reversas.

05. (U.MACK) Considere as afirmações:I. Se uma reta é paralela a dois planos,

então estes planos são paralelos.II. se dois planos são paralelos, toda

reta de um é paralela a uma reta dooutro.

III. Se duas retas são reversas, entãoexiste uma única perpendicularcomum a elas.

Então:a) Todas são verdadeiras.b) Somente a II é verdadeira.c) Somente a III é verdadeira.d) Somente a I é verdadeirae) Somente II e III são verdadeiras.

06. (U.MACK) Um poliedro convexo tem 15faces. De dois de seus vértices partem5 arestas, de quatro outros partem 4arestas e dos restantes partem 3arestas. O número de arestas dopoliedro é:a) 75 b) 53 c) 31d) 45 e) 25

Page 6: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

EletrostáticaNesta aula, discutiremos os efeitos produzidospor cargas elétricas em repouso, emdeterminado referencial.Carga ElétricaNo estudo da Dinâmica, vimos que a propriedadefísica denominada massa faz que dois corpostroquem forças de campo gravitacional e que taisforças são sempre de atração.Na Eletrostática, apresentaremos um outro tipode força de interação entre os corpos, derivadade uma propriedade física denominada cargaelétrica. É a força de campo eletrostático ou,simplesmente, força de campo elétrico. Essaforça pode ser de atração ou de repulsão, o queimplica a existência de duas espécies de cargaselétricas: uma positiva outra negativa. Ambas sãomanifestações contrárias da mesma propriedadefísica.Unidade de carga elétricaNo SI, a unidade de medida da carga elétrica éo coulomb, cujo símbolo é C.Carga elétrica elementarExperiências revelaram que a carga elétricaapresenta-se na natureza com valores múltiplosinteiros de uma carga denominada cargaelétrica elementar, simbolizada por e, cujo valoré: e = 1,6 . 10–19CToda partícula dotada de carga elétrica é umportador de carga elétrica. É o caso do elétron(carga negativa) e do próton (carga positiva).Por convenção:qelétron = – e = –1,6 . 10–19Cqpróton = + e = +1,6 . 10–19CO nêutron é uma partícula não-dotada de cargaelétrica, ou seja:qnêutron = 0Além do próton e do elétron, existem partículaselementares dotadas de carga elétrica, como opósitron e o píon, por exemplo, que têm carga +e.Qualquer átomo é um corpo eletricamenteneutro. Perdendo ou ganhando elétrons, ele setorna um corpo eletrizado denominado íon(positivo ou negativo).Carga elétrica de um corpo eletrizado equantização da carga elétricaQuando a soma das cargas elétrica de todos osportadores de carga existentes num corpo éigual a zero, dizemos que ele está eletricamenteneutro. Eletrizar esse corpo significa tornar essasoma diferente de zero.Quando eletrizamos um corpo, alteramos a suaquantidade de elétrons, mas não a de prótons(os núcleos atômicos, onde estão os prótons, sópodem ser alterados em situações especiais,como, por exemplo, ao serem bombardeadospor partículas dotadas de altas energias emaceleradores de partículas).Para eletrizar um corpo negativamente devem-se fornecer elétrons a ele; nesse caso, ele ficarácom excesso de elétrons. Para eletrizá-lopositivamente, devem-se retirar elétrons dele, oque o deixará com elétrons em falta. Esse déficitde elétrons equivale a um excesso de prótons.Em qualquer caso, a carga elétrica Q adquiridapelo corpo é sempre um múltiplo inteiro dacarga elementar e:Q = n . e (n = 1, 2, 3, ...)Pelo fato de Q ser um múltiplo inteiro de e,dizemos que a carga elétrica é quantizada.

AplicaçãoUm átomo tem o número de prótons igual aonúmero de elétrons. Um íon de alumínio Al3+ é umátomo de alumínio que perdeu três elétrons. Qualé a carga elétrica Q desse íon? (e=1,6.10-19C)Solução:Se o átomo perdeu 3 elétrons, ficou eletrizado

positivamente, com carga equivalente a umexcesso de 3 prótons (n = 3):Q = n . e = +3 . 1,6 . 10-19

Q = 4,8 . 10-19CAtração e RepulsãoVerifica-se experimentalmente que:– Corpos eletrizados com cargas de mesmo

sinal se repelem.– Corpos eletrizados com cargas de sinais

opostos se atraem.Condutores e IsolantesCondutor elétrico é um corpo que possuigrande quantidade de portadores de cargaelétrica facilmente movimentáveis, como:– elétrons livres (nos metais e na grafite);– íons positivos e negativos (nas soluções

eletrolíticas);íons e elétrons livres (nos gases ionizados).Isolante elétrico é um corpo que, ao contrário docondutor, não possui quantidade significativa deportadores de carga elétrica facilmentemovimentáveis (vidro, plásticos, mica,porcelana, seda, etc.).Condutores eletrizados em equilíbrioeletrostáticoQuando se eletriza um condutor, os portadoresmóveis de carga se distribuem através dele,buscando a situação mais estável possível, que,uma vez atingida, interrompe o fluxo deportadores de uma região para outra. Dizemosentão que o condutor atingiu o equilíbrioeletrostático.Sistema eletricamente isoladoÉ um conjunto de corpos que podem trocarcargas entre si, mas não com outros corposexternos ao sistema.Princípio da Conservação da Cargas ElétricasNum sistema físico eletricamente isolado, asoma algébrica das cargas elétricas de todos oscorpos é sempre constante.Processos de Eletrização1. Eletrização por atrito de materiais diferentesOs corpos atritados eletrizam-se com cargas demesmo valor absoluto e sinais opostos. Issoocorre porque um corpo captura elétrons dooutro. A seda, por exemplo, tem maior afinidadepor elétrons que o vidro. Assim, quando se atritaum tecido de seda num bastão de vidro, ambosinicialmente neutros, a seda fica negativa e ovidro positivo.2. Eletrização por contato de condutoresSe A estiver eletrizado positivamente, uma certaquantidade de elétrons livres de B passará paraA, diminuindo o excesso de carga positiva de Ae eletrizando B positivamente.

Se A estiver eletrizado negativamente, uma certaquantidade de elétrons livres de A passará paraB. com isso, A ficará menos negativo e B seráeletrizado negativamente.

De acordo com o Princípio da Conservação daCarga Elétrica, as cargas finais (Q’A e Q’B) einiciais (QA e QB) dos condutores são tais que:Q’A + Q’B = QA + QB = QANo caso de condutores geometricamenteidênticos, temos, por simetria:Q’A = Q’B → Q’A = Q’B = QA/2

3. Eletrização por induçãoConsideremos um bastão eletrizadopositivamente, que cria, nos pontos A e B,potenciais diferentes: em A maior do que em B.

Se um objeto metálico neutro e isolado ocupar a

6

FísicaProfessor CARLOS Jennings

01. (UFRJ) Três pequenas esferas metálicasidênticas, A, B e C, estão suspensas,por fios isolantes, a três suportes. Paratestar se elas estão carregadas,realizam-se três experimentos duranteos quais se verifica com elas interagemeletricamente, duas a duas:Experimento 1: As esferas A e C, aoserem aproximadas, atraem-seeletricamente, como ilustra a figura 1:Experimento 2: As esferas B e C, aoserem aproximadas, também se atraemeletricamente, como ilustra a figura 2:Experimento 3: As esferas A e B, aoserem aproximadas, também se atraemeletricamente, como ilustra a figura 3:

Formulam-se três hipóteses:I. As três esferas estão carregadas.II. Apenas duas esferas estão

carregadas com cargas de mesmosinal.

III Apenas duas esferas estãocarregadas, mas com cargas desinais contrários.

Analisando o resultados dos trêsexperimentos, indique a hipótese correta.

02. (Unesp) Considere uma ampla regiãodo espaço onde exista um campoelétrico uniforme e constante. Emquaisquer pontos desse espaço, comoos pontos I e II, o valor desse campo é→E (Figura 1). Em seguida uma pequenaesfera de material isolante e sem cargaé introduzida nessa região, ficando oponto II no centro da esfera e o ponto Ià sua esquerda. O campo elétricoinduzirá cargas na superfície da esfera(Figura 2).

a) O que ocorrerá com a intensidade docampo elétrico nos pontos I e II?

b) Justifique sua resposta.

03. (Cesgranrio) Uma pequena esfera deisopor, aluminizada, suspensa por umfio de nylon, é atraída por um penteplástico negativamente carregado.Pode-se afirmar que a carga elétrica daesfera é:a) apenas negativa; b) apenas nula;c) apenas positiva; d) negativa, ou então nula;e) positiva, ou então nula.

DesafioFísico

Page 7: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

região entre A e B, elétrons livres do metalpassarão a se deslocar para a esquerda.

À medida que se acumulam elétrons naextremidade esquerda do condutor, o potencialelétrico em A vai diminuindo. Ao mesmo tempovai-se acumulando carga positiva naextremidade direita do condutor e, assim, opotencial em B vai aumentando. Quando ospotenciais em A e B se igualam, o condutoratinge o equilíbrio eletrostático.Se, em seguida, qualquer ponto do condutor forligado à Terra (potencial nulo), elétrons livresmarcharão da Terra até ele, porque cargasnegativas buscam potenciais mais altos. Essamarcha de elétrons cessará quando o potencialdo condutor reduzir-se a zero, igualando-se aoda Terra.

Desse modo, o condutor que estava neutro,eletriza-se negativamente graças à induçãoeletrostática do bastão. Mantida a ligação àTerra, se o bastão for afastado do condutor, estevoltará à neutralidade elétrica. Porém, se aligação a Terra for cortada antes de se afastar obastão, o condutor permanecerá eletrizadonegativamente.Se o bastão estivesse eletrizado negativamente,o condutor, antes de ser ligado à Terra, estarianum potencial negativo, menor, portanto, que oda Terra. Se qualquer ponto do condutor fosseligado à Terra, elétrons dele marchariam para aTerra e ele ficaria eletrizado positivamente porindução.

LEI DE COULOMB

Consideremos duas partículas em repouso,eletrizadas com cargas Q e q e separadas poruma distância d.

Essas partículas interagem com forçaseletrostáticas (ou elétricas) que formam um paração-reação. Sendo K uma constante deproporcionalidade que depende do meio emque as partículas estão imersas, a Lei deCoulomb é expressa por:

K.|Q|.|q|Fe = ––––––––––

d2

No vácuo, a constante eletrostática do meiovale:K0 = 9,0 . 109N.m2/C2.

Aplicações1. Em cada vértice de um triângulo eqüilátero foifixada uma partícula eletrizada com a cargapositiva q. Sendo K a constante eletrostática domeio, determine a intensidade R da forçaeletrostática resultante em cada partícula.Solução:

2. Duas bolinhas, A e B, eletrizadas com cargaspositivas Q e 4Q, respectivamente, estão fixasdentro de uma canaleta isolante e lisa, e separa-das uma da outra por uma distância l = 120cm,como mostra a figura:

Uma terceira bolinha C, eletrizada com carga q,encontra-se em equilíbrio dentro da canaleta, auma distância x da bolinha A. Calcule adistância x.Solução:a) Como a bolinha C está em equilíbrio, aresultante entre FAC e FBC é nula:

Então:120 – x––––––– = 2 ⇒ x = 40cm ou

x120 – x––––––– = –2 ⇒ x = –120cm

x

Exercícios01. (FEI) Qual das afirmativas está correta?

a) Somente corpos carregadospositivamente atraem corpos neutros.

b) Somente corpos carregadosnegativamente atraem corpos neutros.

c) Um corpo carregado pode atrair ourepelir um corpo neutro.

d) Se um corpo A eletrizado positivamenteatrai um outro corpo B, podemos afirmarque B está carregado negativamente.

e) Um corpo neutro pode ser atraído porum corpo eletrizado.

02. (Fuvest 90) Uma esfera condutora A,de peso P, eletrizada positivamente, épresa por um fio isolante que passapor uma roldana. A esfera A seaproxima, com velocidade constante,de uma esfera B, idêntica à anterior,mas neutra e isolada. A esfera A tocaem B e, em seguida, é puxada paracima, com velocidade tambémconstante. Quando A passa pelo pontoM a atração no fio é T1 na descida eT2 na subida. Podemos afirmar que:

a) T1 < T2 < Pb) T1 < P < T2c) T2 < T1 < Pd) T2 < P < T1e) P < T1 < T2

7

01. (Unicamp) Cada uma das figuras aseguir representa duas bolas metálicasde massas iguais, em repouso, suspen-sas por fios isolantes. As bolas podemestar carregadas eletricamente. O sinalda carga está indicado em cada umadelas. A ausência de sinal indica que abola está descarregada. O ângulo dofio com a vertical depende do peso dabola e da força elétrica devido à bolavizinha. Indique em cada caso se afigura está certa ou errada.

02. (Unirio) Três esferas metálicas iguaisestão carregadas eletricamente elocalizadas no vácuo. Inicialmente, asesferas A e B possuem, cada umadelas, carga +Q, enquanto a esfera Ctem carga –Q. Considerando assituações ilustradas, determine:

a) a carga final da esfera C, admitindoque as três esferas são colocadassimultaneamente em contato e aseguir afastadas;

b) o módulo da força elétrica entre asesferas A e C, sabendo queprimeiramente essas duas esferassão encostadas, como mostra afigura I, e, em seguida, elas sãoafastadas por uma distância D,conforme a figura II.

03. (Cesgranrio) Na figura a seguir, umbastão carregado positivamente éaproximado de uma pequena esferametálica (M) que pende na extremi-dade de um fio de seda. Observa-seque a esfera se afasta do bastão.Nesta situação, pode-se afirmar que aesfera possui uma carga elétrica total:

a) negativa. b) positiva. c) nula.d) positiva ou nula. e) negativa ou nula.

DesafioFísico

Page 8: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

Campo eletrostático oucampo elétrico

Vetor Campo Elétrico

Em Dinâmica, vimos que um corpo, por termassa, cria no espaço uma região deinfluências denominada campo gravitacional,que lhe permite trocar forças de campogravitacional com outras massas.Considere, agora, um corpo em repouso,eletrizado com carga Q. Por ter carga elétrica,esse corpo também cria no espaço uma regiãode influências, denominada campo eletrostáticoou campo elétrico, que lhe possibilita trocarforças com outras cargas.

Esse campo será representado, em cada pontodo espaço, pelo vetor campo elétrico

→E . No SI,

o vetor →E, num ponto qualquer, informa a

direção, o sentido e a intensidade, em newtons,da força elétrica atuante numa carga de +1C,hipoteticamente colocada nesse ponto, sendo oN/C a sua unidade. Conseqüentemente, o vetor→E criado por uma carga Q positiva tem sentido“saindo” dela, e o vetor

→E criado por uma carga

Q negativa tem sentido “chegando” a ela.

Se uma carga q for colocada num pontoqualquer do campo criado por Q, ela ficarásubmetida a uma força eletrostática dada por:→Fe = q .

→E

Se q > 0 →→Fe tem a mesma direção e o

mesmo sentido de →E.

Se q < 0 →→Fe tem a mesma direção, mas

sentido oposto ao de →E.

Campo elétrico criado por vários corposeletrizados

Considere vários corpos eletrizados com cargasQ1, Q2, Q3, ... , Qn criando, num ponto P, osvetores E1, E2, E3, ..., Em, respectivamente. Ovetor campo elétrico total no ponto P (

→Ep) é

dado pela adição vetorial:→Ep =

→E1 +

→E2 +

→E3 + ... +

→En

Aplicação

Uma partícula de massa m e carga q éabandonada numa região, submetendo-seexclusivamente a dois campos: o gravitacional eo elétrico. Sendo g = 10N/kg e E = 10000N/C,determine o módulo da aceleração da partícula,nos seguintes casos:

Solução:

Em todos os casos, atua na partícula um pesode intensidade P dado por:P = m.g = 2 . 10-3 . 10 = 2 . 10-2Na) Como q > 0, atua na partícula uma força

elétrica no mesmo sentido do campo elétrico:→Fe = |q|.

→E = 2.10–7.10000 = 2.10–3N

Como R = m . a, temos:P – Fe = m . a2 . 10 –2 – 2 .10-3 = 2 . 10-3 . aa = 9m/s2

b) Como q > 0, →Fe tem o sentido de

→E:

→Fe = |q|.

→E = 2.10–6.10000 = 2.10–2N

Como P = 2 . 10-2N, a força resultante é nula e apartícula fica em equilíbrio:a = 0c) Como q < 0,

→Fe tem sentido oposto ao de

→E :

→Fe = |q|.

→E = 2.10–6.10000 = 2.10–2N

Novamente, a partícula fica em equilíbrio:a = 0

Campo elétrico criado por uma partículaeletrizada

A figura mostra o vetor →E criado por uma

partícula eletrizada com carga Q, num ponto Psituado a uma distância d da partícula.Em relação à carga de prova q colocada em P,a intensidade de

→E vale:

Fe = |q|.EK.|Q|.|q|––––––––– = |q|.E

d2

K.|Q|E = ––––––

d2

Linhas de força de um campo elétrico

Em cada ponto de uma linha de força, o vetorcampo elétrico tem direção tangente à linha e osentido dela.

A intensidade de →E é tanto maior quanto mais

concentradas estão as linhas de força. A partirda figura acima, temos: EA > EB.

1. Campo de uma carga puntiforme

8

01. (Desafio) Duas bolinhas metálicasidênticas estão no vácuo, suspensaspor fios isolantes de seda, emequilíbrio, como mostra a figura. Cadabolinha está eletrizada com carga Q =24 . 10-8C. Sendo l = 20cm ocomprimento de cada fio, e de 37° oângulo formado por eles com avertical, calcule o peso de cadabolinha.

Dados: K=9,0.109 (Sl); sen37°=0,60;cos37°=0,80.

02. Duas cargas, q1= 6 .10-6C e q2=4.10-

6C, estão separadas por uma distânciade 1m, no vácuo. Sendo a constanteeletrostática do vácuo igual a 9 .109N.m2 /C2, podemos afirmar que o móduloda força de repulsão entre essascargas, em N, é de, aproximadamente:

a) 0,2b) 0,3c) 0,4d) 0,5e) 0,6

03. Qual é o sentido e a intensidade dovetor campo elétrico no ponto P devidoà partícula eletrizada com carga Q nosseguintes casos? (K = 9 . 109N.m2/C2)

04. (Cesgranrio) Três cargas de mesmomódulo são depositadas em trêsvértices diferentes de um quadrado. Afigura indica essa situação.

O vetor campo elétrico resultante noponto M, que é vértice livre doquadrado, é corretamenterepresentado pela opção:

FísicaProfessor CARLOS JenningsDesafio

Físico

Page 9: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

2. Campo de duas cargas puntiformes demesmo módulo e sinais opostos

3. Campo de duas cargas puntiformes demesmo módulo e sinais iguais

Importante:As linhas de força “saem” de um corpo eletrizadopositivamente, e “chegam” a um corpo eletrizadonegativamente.Linhas de força não se cruzam (se o cruzamentoocorresse, teríamos nesse ponto duas orientaçõesdistintas para o vetor

→E, o que é absurdo).

4. Campo eletrostático uniforme

O vetor →E tem mesma intensidade, mesma

direção e mesmo sentido em todos os pontos.Assim, suas linhas de força são representadaspor segmentos de reta paralelos entre si,igualmente espaçados e igualmente orientados.

Este é o tipo de campo existente entre duasplacas planas e paralelas, uniformementeeletrizadas com cargas de sinais contrários,desde que não tomemos pontos próximos desuas extremidades.

AplicaçãoEm cada situação esquematizada a seguir,temos partículas eletrizadas com carga demódulo Q, e cada uma delas cria no ponto P umcampo de intensidade N/C. Em cadacaso, trace o vetor campo elétrico resultante noponto P e determine a sua intensidade.

Solução:a)

E2p = E2 + E2 = 2E2

b)

EP = 10N/C

POTENCIAL ELETROSTÁTICO OU POTENCIALELÉTRICO

É a capacidade que um corpo eletrizado tem derealizar trabalho, ou seja, de atrair ou repeliroutras cargas elétricas. Para obter o potencialelétrico de um ponto, coloca-se nele uma cargade prova q e mede-se a energia potencialadquirida por ela. Essa energia potencial éproporcional ao valor de q. Portanto, oquociente entre a energia potencial e a carga éconstante. Esse quociente chama-se potencialelétrico do ponto:

EpV = ––––q

V é o potencial elétrico, Ep a energia potencial eq a carga. A unidade no S.I. é J/C = V (volt).Então, quando se fala que o potencial elétricode um ponto L é VL = 10V, entende-se que esseponto consegue dotar de 10J de energia cadaunidade de carga de 1C. Se a carga elétrica for3C, por exemplo, ela será dotada de umaenergia de 30J, obedecendo à proporção.

Para calcular o potencial elétrico devido a umacarga puntiforme usa-se a fórmula:

K.QV = ––––

dNo S.I., d em metros , K é a constante dielétricado meio, e Q a carga geradora.Como o potencial é uma quantidade linear, opotencial gerado por várias cargas é a somaalgébrica (usa-se o sinal) dos potenciaisgerados por cada uma delas como seestivessem sozinhas:

K.Q1 K.Q2 K.Q3 K.Q4VL = ––––– + ––––– + ––––– + –––––d1 d2 d3 d4

O potencial elétrico tem o sinal da carga que ogerou:Q > 0 → V > 0Q < 0 → V < 0

AplicaçãoA figura representa duas partículas eletrizadascom cargas Q1 = 6µC e Q2 = 2µC e um pontoP distante d1 = 6m e d2 = 3m das cargas Q1 eQ2, respectivamente (K = 9 . 109 N.m2/C2).a) Determine o potencial elétrico no ponto P.b)Calcule a energia potencial elétrica adquirida

por uma carga de prova q = 2µC, colocadaem P.

c) Repita o item anterior considerando q = –2µC.

Solução:a) Potencial criado pela carga Q1:

K.Q1 9.109 . 6.10–6

V1 = ––––– = –––––––––––– ⇒ V1= 9.103Vd1 6

Potencial criado pela carga Q2:K.Q2 9.109 . 6.10–6

V2 = ––––– = –––––––––––– ⇒ V2= 6.103V d2 3

Potencial total em P:V = V1 + V2 = 9.103 + 6.103 ⇒ V= 1,5.104Vb) Epe= q.V = 2.10–6.1,5.104 ⇒ Epe = +3.10–2 Jc) Epe= q.V = (2.10–6).1,5.104 ⇒ Epe = –3.10–2 J

9

01. (UFMS) Na figura, o campo elétrico éuniforme e tem módulo igual a 20N/C:

Se d = 4,25m, determine a diferença depotencial, em volts, entre as superfíciesequipotenciais assinaladas.

02. Uma partícula carregada, tendo massam e carga q > 0, penetra numa regiãoentre duas placas metálicas paralelascom uma velocidade vo, cuja direção éperpendicular às placas.

Os potenciais das placas de esquerda eda direita, separadas pela distância d,são, respectivamente, V > 0 e 0 volt.Quando a partícula atravessa a regiãoentre as placas sob a ação exclusiva daforça elétrica, sua energia cinética sofreuma variação de:

1a) –––– mv2

o2V

b) +q ––––dV

c) – q ––––d

d) +qVe) – qV

03. (Unifor-CE) Entre duas placas paralelashorizontais e uniformemente eletrizadascom cargas de sinais opostos, existe umcampo elétrico uniforme de intensidadeE = 5,0 . 104 N/C . Uma partícula demassa m=2,0 . 10–3 kg e cargaq = 2,0 . 10–7 C é abandonada em umponto desse campo.

Sendo a aceleração da gravidade nolocal igual a g =10 m/s2, a acaleraçãoque a aprtícula adquire, em m/s2, vale:a) 2,5 b) 5,0 c) 7,5d) 10 e) 15

DesafioFísico

Page 10: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

10

Concordância Nominal II

1. ADJETIVO E SUBSTANTIVOINDICANDO CORES

a) Cor expressa por adjetivo – Quando acor é expressa por um adjetivo (verde,amarelo, azul, vermelho, branco, claro,escuro, etc.), tem-se a concordância nor-mal.

Exemplos:

1. Tinha uma coleção de belas gravatasazuis.

2. Sempre adorei as flores brancas.3. As roupas vermelhas caem-lhe bem.

b) Cor expressa por substantivo – Quandoa cor é expressa por um substantivo (aba-cate, anil, canário, cinza, gelo, laranja,limão, musgo, neve, ocre, ouro, pastel,rosa, rubi, sangue, violeta, etc.), osubstantivo usado para exprimir cor ficainvariável, (masculino singular) quer empalavra simples, quer em composta.

Observação – Se o substantivo virar adje-tivo (cinza = cinzento; rosa = róseo; la-ranja = alaranjado; carne = encarnado),a concordância passa a ser normal.

Veja construçoes certas e erradas:

1. Tinha uma coleção de gravatas cinzas.(errado)

2. Tinha uma coleção de gravatas cinza.(certo)

3. Tinha uma coleção de gravatas cinzen-tas. (certo)

4. Em noites de boêmia, só usava cami-sas rosas. (errado)

5. Em noites de boêmia, só usava cami-sas rosa. (certo)

6. Em noites de boêmia, só usava cami-sas róseas. (certo)

7. Compramos três blusas abóboras.(errado)

8. Compramos três blusas abóbora.(certo)

9. Compramos três blusas vinho. (certo)

2. ADJETIVOS COMPOSTOS

a) Cor + substantivo = Composto invariá-vel. Veja uma lista:

amarelo-ouro branco-geloamarelo-canário branco-neveamarelo-ocre vermelho-rubiverde-cana verde-águaverde-oliva vermelho-sangueverde-musgo verde-musgoverde-abacate azul-turquesa

b) Adjetivo + adjetivo = Só a segunda pa-lavra pode variar. A primeira tem de ficarno masculino singular. Incluem-se aquios adjetivos pátrios. Quando estão justa-postos, o primeiro fica na sua forma eru-dita e reduzida.

Veja uma lista de adjetivos pátrios redu-zidos:

Portugal luso-brasileiroJapão nipo-brasileiro

China sino-brasileiroAlemanha teuto-brasileiroFrança franco-brasileiroItália ítalo-brasileiroPenínsula Ibérica ibero-americanoÁfrica afro-brasileiroEspanha hispano-americanoÍndia indo-europeuItália ítalo-brasileiro

c) Compostos especiais – Os adjetivos com-postos seguintes são invariáveis:

Azul-marinho, azul-celeste, cor-de-rosa,furta-cor.

Veja construçoes certas e erradas:

1. Na reunião, debateram-se pesquisasparaguaias-brasileiras. (errado)

2. Na reunião, debateram-se pesquisasparaguaio-brasileiras. (certo)

3. As relações lusas-brasileiras ficaramestremecidas após a Indepedência.(errado)

4. As relações luso-brasileiras ficaramestremecidas após a Indepedência.(certo)

5. Questionamos aqui os conteúdos lin-güísticos-sociológicos. (errado)

6. Questionamos aqui os conteúdos lin-güístico-sociológicos. (certo)

7. Firmaram vários acordos nipo-brasi-leiros de proteção ambiental. (certo)

8. As blusas cores-de-rosa são meio fe-mininas. (errado)

3. TAL QUALa) Tal – É pronome; significa semelhante,

análogo, este, aquele. Deve sempre con-cordar com o substantivo a que se refere.Plural: tais.

b) Tal qual – A expressão tal qual, quandoestabelece comparação entre dois seres,tem dupla concordância: o vocábulo talconcorda com o substantivo anterior, equal concorda com o substantivo poste-rior.

b) Tal e qual – Quando o sentido é de “exata-mente o mesmo”, pode-se usar, indiferen-temente, “tal qual” ou “tal e qual”.

Veja construçoes certas e erradas:

1. O filho era tal qual o pai. (certo)2. O filho era tal quais os pais. (certo)3. Os filhos eram tais quais os pais.

(certo)4. Os filhos eram tal qual os pais.

(errado)5. Na família, predominava o lema: tal pai,

tais filhos. (certo)

4. POSSÍVELa) O mais, o menos... – Possível fica inva-

riável quando faz parte de expressão su-perlativa com a partícula o: o mais, o me-nos, o maior, o menor, o melhor, o pior.

b) Quanto possível – A expressão quantopossível é invariável.

Veja construçoes certas e erradas:

1. Gosto de roupas as mais exóticas pos-síveis. (certo)

2. Gosto de roupas o mais exóticas pos-sível. (certo)

3. Traga cervejas tão geladas quanto pos-síveis. (errado)

4. Traga cervejas tão geladas quantopossível. (certo)

5. As informações obtidas sobre a moçasão as melhores possível. (errado)

PortuguêsProfessor João BATISTA Gomes

ADJETIVOS ADVERBIALIZADOS

Adjetivos adverbializados – São adjetivos usa-dos no lugar de advérbios. Nesse caso, não po-dem variar. Na análise sintática, exercem a fun-ção de adjuntos adverbiais.

Advérbio em “-mente” – Geralmente, equivalema um advérbio em “-mente”.

Veja a relação dos principais adjetivos que setransformam em advérbios (derivação imprópria).

Alto Ninguém pode dormir porque eles riem alto a noite inteira.

Áspero Quando interrogados, responderam áspero. Baixo No hospital, a ordem é para que to-dos falem baixo.Barato Em Manaus, carros importados cus-

tavam barato.Bonito Todos gostaram da apresentação;

vocês fizeram bonito.Caro Estão vendendo caro estes lotes.Certo Vocês decidiram certo; estão de pa-

rabéns.Claro Para mim, não há dúvidas. Vocês

deixaram tudo muito claro.Confuso Eles redigem tudo muito confuso.Demasiado Elas comem demasiado.Diferente Todos aqui são esquisitos, fazem as coisas diferente. Difícil Falando assim, eles acham que fa-

lam difícil.Direito Eles são honestos; agem direito.Disparado Eles ganharam disparado. Doce Aqui, vocês falam tudo doce, meio

cantado.Duro Devemos agir duro com esses pre-

sos.Errado Escreveram errado estas palavras.Escondido Agiram escondido, mas o crime veioà tona.Fácil Eles ganham dinheiro no jogo, por

isso gastam fácil.Falso As testemunhas juraram falso.Feio Eles constroem feio, sem senso de perfeição.Fino Eles falam fino, parecem afemina-

dos.Forte Elas batem forte, mas os filhos nemchoram.Frio Diante disso, todos suaram frio.Fundo Essas injustiças falaram fundo den-

tro de mim.Gostoso Falam tudo que lhes vem à mente e riem gostoso.Grosso Os patrões falaram grosso, e os âni-

mos esfriaram.Igual Tratava igual a todos os filhos. Leve Tocaram leve o rosto da moça, semintenção de agredir.Ligeiro Agiram ligeiro, e o incêndio foi con-trolado.Macio Na família, todos falam macio por

influência do avô.

Dificuldades da língua

Page 11: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

6. As informações obtidas sobre a moçasão as melhores possíveis. (certo)

7. Aqui trabalhamos com pessoas o maiscapacitadas possíveis. (errado)

8. Aqui trabalhamos com pessoas o maiscapacitadas possível. (certo)

5. MONSTRO

a) Substantivo – O vocábulo monstro, usadocomo substantivo (aspecto espantoso, quecausa pasmo ou assombro) é variável: omonstro, os monstros.

b) Adjetivo – Quando usado como adjetivo(monstro = enorme, muito grande), é in-variável; constitui derivação imprópria: co-mícios monstro, manifestação monstro.

c) Monstrengo ou mostrengo? – Para nome-ar “pessoa disforme, malproporcionadae/ou muito feia”, a norma culta aconselhamostrengo.

Veja construçoes certas e erradas:

1. Houve uma passeata monstra na Ave-nida Eduardo Ribeiro. (errado)

2. Houve uma passeata monstro na Ave-nida Eduardo Ribeiro. (certo)

3. Na época das “Diretas já”, os estudan-tes fizeram manifestações monstrasem todo o Brasil. (errado)

4. Na época das “Diretas já”, os estudan-tes fizeram manifestações monstro emtodo o Brasil. (certo)

5. Comícios monstros marcaram a elei-ção de Tancredo Neves para a Presi-dência da República. (errado)

6. Comícios monstro marcaram a elei-ção de Tancredo Neves para a Presi-dência da República. (certo)

7. Pelas crueldades praticadas contra osjudeus, muitos alemães foram conside-rados monstros. (certo)

8. Com essa fantasia, você parece ummonstrengo. (errado)

9. Com essa fantasia, você parece ummostrengo. (certo)

6. PSEUDO

Pseudo significa falso; é um radical grego(pseudés) que entra na formação de inúme-ras palavras de nossa língua. É palavra inva-riável e provoca hífen diante de vogais, h, re s.

Veja construçoes certas e erradas:

1. Com o advento do Modernismo, muitosautores tentaram impingir ao público umapseuda-arte. (errado)

2. Com o advento do Modernismo, muitosautores tentaram impingir ao público umapseudo-arte. (certo)

3. As pseudas-revoluções atrasam qualquerpaís. (errado)

4. As pseudo-revoluções atrasam qualquerpaís. (certo)

5. Na sociedade moderna, muitos têm apseudamania de riqueza. (errado)

6. Na sociedade moderna, muitos têm apseudomania de riqueza. (certo)

7. NACIONALIDADE

É comum, no preenchimento de fichas ouformulários, deparar-se com a dúvida dianteda palavra nacionalidade: brasileira ou bra-sileiro?

Concordância com o sexo – Pessoa do sexomasculino deve anotar brasileiro; do sexo

feminino, brasileira. O argumento é simples:não se pode fazer a concordância com o ter-mo nacionalidade, mas, sim, com o sexo dapessoa que está preenchendo a ficha ou oformulário.

8. É BOM, É PROIBIDO, É NECESSÁRIO

a) Sujeito determinado por adjunto adno-minal – Se o núcleo do sujeito vier deter-minado por um adjunto adnominal (artigo,pronome, numeral), o adjetivo predicativo(bom, necessário, permitido, proibido)concorda com o núcleo do sujeito (normal-mente feminino; quando masculino, nãooferece dificuldade de concordãncia).

b) Sujeito sem determinação – Se o núcleodo sujeito vier sem determinação, ou seja,sem adjunto adnominal, o adjetivo predi-cativo (bom, necessário, permitido, proi-bido) fica no masculino.

Veja construçoes certas e erradas:

1. Não é permitido a permanência de me-nores aqui. (errado)

2. Não é permitida a permanência de me-nores aqui. (certo)

3. Não é permitido permanência de me-nores aqui. (certo)

4. Nenhuma cerveja é bom para o fígado.(errado)

5. Nenhuma cerveja é boa para o fígado.(certo)

6. É necessário, para trabalhar com al-coólatras, muita paciência. (errado)

7. É necessária, para trabalhar com al-coólatras, muita paciência. (certo)

8. Toda entrada de menor, neste carna-val, será proibida. (certo)

9. PROVA DOS NOVES

O nome dos números, quando substantiva-dos, variam normalmente. Por isso, a expres-são correta é “prova dos noves”.

Veja construções certas e erradas:

1. Havia, no bloco de notas fiscais, dois onze.(errado)

2. Havia, no bloco de notas fiscais, dois on-zes. (certo)

3. Faça três quatro aí, que eu quero ver!(errado)

4. Dos dois dezoitos que você desenhou, sóum foi aproveitado. (certo)

5. Este é o procedimento correto para se tirara prova dos noves. (certo)

10. HAJA VISTA

a) Vista – A construção correta em qualquersituação é “haja vista” (nunca “haja visto”).Significa “vejam-se”, “veja” ou “olhe-separa”.

b) Hajam – A palavra vista é invariável; o ha-ja pode ir para o plural (facultativo), desdeque a expressão que venha depois estejano plural.

Veja construçoes certas e erradas:

1. As aulas podem ser adiadas, haja vistoos problemas de reforma. (errado)

2. As aulas podem ser adiadas, haja vistaos problemas de reforma. (certo)

3. As aulas podem ser adiadas, hajamvista os problemas de reforma.(certo)

11

Caiu no vestibular01. (FGV) Assinale a alternativa em que

NÃO ocorra erro de concordância ver-bal ou nominal.

a) Elas mesmo decidiram resolver o pro-blema que afligia a todos.

b) Quando ela disse “obrigado”, todosaplaudiram.

c) Os coordenadores do projeto decidiramficar só.

d) Ganharam bastantes elogios da direto-ria.

e) Havia pedido emprestado cinco paresde meia.

02. (FGV) O primeiro elemento do adjetivocomposto não corresponde ao nomeentre parênteses em:

a) anglo-germânico (Inglaterra).b) hispano-americano (Espanha).c) franco-marroquino (França).d) sino-napolitano (Sião).e) nipo-brasileiro (Japão).

03. (FGV) A alternativa correta quanto àconcordância nominal é:

a) A empregada mesmo viu tudo.b) Já fiz isso bastante vezes.c) Passado a crise, voltaram.d) As frutas chegaram meio estragadas.e) Eles têm argumentos bastantes para

não aderir à greve.

04. (FGV) Assinale a alternativa cuja con-cordância NÃO está de acordo comos padrões cultos:

a) Ela está meio cansada.b) Eles estão meio cansados.c) Eles estão meios cansados.d) Ele está meio cansado.e) Ele chegou ao meio dia e meia.

05. (FGV) A concordância deixa de seguira norma padrão, na frase:

a) Registram-se, hoje, nas famílias maispobres, taxas de natalidade maioresque a média brasileira.

b) O número de pobres cresce mais doque as possibilidades de geração deriqueza.

c) As condições de pobreza são perpetua-das, num ciclo vicioso, pois não existempostos de trabalho suficientes.

d) Muitos empregados foram beneficiadoscom as mudanças nas relações traba-lhistas, melhorando as condições devida.

e) Com isso, cresceu as diferenças regio-nais entre o Sudeste e o Nordeste, re-gião sujeita a um clima inóspito.

Desafio gramatical

Page 12: Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

ALVARENGA, Beatriz et al. Curso deFísica. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.

ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso deFísica. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.

BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:Moderna, 1996.

BONJORNO, José et al. Física 3: de olhono vestibular. São Paulo: FTD, 1993.

CARRON, Wilson et al. As Faces daFísica. São Paulo: Moderna, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto e aplicações. São Paulo: Ática,2000.

GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.São Paulo: FTD, 1995.

Grupo de Reelaboração do Ensino deFísica (GREF). Física 3: eletromagne-tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.

PARANÁ, Djalma Nunes. Física. SérieNovo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:Ática, 2002.

RAMALHO Jr., Francisco et alii. OsFundamentos da Física. 8.a ed. SãoPaulo: Moderna, 2003.

TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)01. D; 02. B; 03. D;04. C;05. E;06. D;07. D;08. C;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)01. C; 02. E; 03. B;04. E;05. D;06. E;

DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)01. A; 02. A; 03. B;04. B;05. B;06. C;07. A;

DESAFIO FÍSICO (p. 6)01. C; 02. C; 03. D;04. A;05. D;06. B;07. B;

DESAFIO FÍSICO (p. 7)01. A;02. B;03. B;04. A;

DESAFIO FÍSICO (p. 8)01. C;02. D; 03. 995Hz;04. C;05. B;

DESAFIO FÍSICO (p. 9)01. a) 100dB; 200Hz a 10000Hz;

b) 10–7W/m2

02. D; DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)

01. C;02. C;03. B;04. A;

Governador

Eduardo Braga

Vice-Governador

Omar Aziz

Reitor

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-Reitor

Carlos Eduardo Gonçalves

Pró-Reitor de Planejamento e Administração

Antônio Dias Couto

Pró-Reitor de Extensão e

Assuntos Comunitários

Ademar R. M. Teixeira

Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa

Walmir Albuquerque

Coordenadora Geral

Munira Zacarias

Coordenador de Professores

João Batista Gomes

Coordenador de Ensino

Carlos Jennings

Coordenadora de Comunicação

Liliane Maia

Coordenador de Logística e Distribuição

Raymundo Wanderley Lasmar

Produção

Aline Susana Canto Pantoja

Renato Moraes

Projeto Gráfico – Jobast

Alberto Ribeiro

Antônio Carlos

Aurelino Bentes

Heimar de Oliveira

Mateus Borja

Paulo Alexandre

Rafael Degelo

Tony Otani

Editoração Eletrônica

Horácio Martins

Encarte referente ao curso pré-vestibularAprovar da Universidade do Estado doAmazonas. Não pode ser vendido.

Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, ébase para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:

• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:• Amazon Sat (21h30 às 22h)• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José • Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa

(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° • Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto

(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)

www.uea.edu.br e www.linguativa.com.brEndereço para correspondência: Projeto Aprovar - Reitoria da UEA - Av. Djalma Batista,

3578 - Flores. CEP 69050-010. Manaus-AM