2. Seminar_ Primjena Krivuljnih Integrala

5/16/2018 2. Seminar_ Primjena Krivuljnih Integrala - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/2-seminar-primjena-krivuljnih-integrala 1/18

1

2. SEMINAR:

PRIMJENA KRIVULJNIH INTEGRALA

PRVE I DRUGE VRSTE

Martin Šutalo

VII-7580



2

Primjena dvostrukih i trostrukihintegrala

Promatranje dvostrukog i trostrukog integrala kao volumena tijela omeĎenog zadanom plohom, daje

samo geometrijsko značenje tih integrala.

Sada ćemo navesti mnogobrojne primjene višestrukih integrala.



3

a) Površina ravnih likova

Pokazali smo da površinu ravnih likova možemo računati i pomoću dvostrukog integrala, jer je dS =dx dy površina elementa ravna lika, pa je površina ravna lika:

Ako je zadaniravnilikomeĎen s dvijekrivulje, isplati seračunatinjegovupovršinupomoćudvostrukogintegrala, jer se u tom

slučajujednostavnijeodreĎujugraniceintegracije. Pokažimo to naprimjerima.

Primjer:

l. Odredi površinu lika omeĎenog parabolom y2= 4x + 4 i pravcem y = 2-x.

Ncrtajmo zadani lik prethodno izračunavši sjecišta A(O, 2) i B(8, -6) parabole i pravca, a takoĎer vrh

V(0,-1) zadane parabole y2= 4(x + 1). Element tražene površine uzmemo u smjeru osi X, pa napisavši

jednadžbe parabole i pravca u obliku

i x= 2-y

računamo prema slici i formuli:



4

b) Masa ravnih likova

Predočimo si, da je zadani ravni lik jednoliko pokriven nekom homogenom materijom. U tom je

slučaju

Ako je materija, koja jednoliko pokriva lik, nehomogena, gustoća se mijenja

od točke do točke, ona je funkcija od x i y, tj:

Označimo li s dm površinsku masu elementa lika u nekoj njegovoj točki T ( x, y) (diferencijal mase), a s dS površinu toga lika (vidi sL 128), bit će gustoća u toj točki T(x, y):

Čitavu masu lika dobijemo integrirajući po površini lika: Masa nehomogena ravna lika:

Pnmjer:

1. Odredi masu pravokutnika gustoće μ= xy, kojemu su stranice b i h

Ako je lik homogen, tj. μ = konst., formula prima oblik:



5

tj. ako je ravan lik homogen, a gustoća μ = l, masa lika numrički je jednaka njegovoj površini. U tom slučaju odreĎivanje mase ravna lika svodi se na računanje njegove površine.



6

c) Statički momenti i koordinate težišta ravnih likova

Statički moment M ravna lika, za koji pretpostavljamo da je homogen gustoće μ = l, obzirom

na neku os jednak je umnošku površine S toga lika i udaljenosti njegova težišta od dotične osi, tj:

Znamo takoĎer, da podijelivši statički moment lika s površinom S lika dobijemo koordinate težištatoga lika : .

U mnogim slučajevima odreĎivanje statičkih momenata i koordinata težišta ravnih likova vrši se

jednostavnije pomoću dvostrukih integrala. Taj prijelaz na dvostruke integrale možemo lako izvršiti,ako se sjetimo da je dS= dxdy

Formule (a) i (b) primaju tada oblik:

Primjer:

1. Odredi statičke momente ·pravokutnika osnovke b i visine h obzirom na njegove stranice



7

d) Momenti tromosti (inercije) ravnih likova:

Sve te momente već znamo računati pomoću običnih jednostrukih integrala, ali se jednostavnije

računaju, kao ćemo vidjeti, pomoću dvostrukih integrale. Postoji još jedan moment, koji ne možemoizračunati pomoću jednostrukih integrala, to je centrifugalni moment ili moment devijacije obzirom na

osi X i Y:

Dok su svi momenti tromostii uvijek pozitivne veličine (x'>O, y'>O i p'>O), centrifugalni moment lika

je negativan za one njegove dijelove, koji leže u II.i IV. kvadrantu, jer u tim kvadrantima x i y imaju

različite predznake, pa jex . y <O. Prema tome je I xy = O, ako je jedna od osi X i Y, ili obje, os

simetrijezadanog lika. To su tzv. glavne osi tromosti.Uz dS= dx dy primaju navedeni izrazi za

momente tromosti ravna lika oblik: Aksijalni momenti tromosti:

Polarni moment tromosti obzirom na ishodište koordinatnog sustava :

Kako je ρ = x2+ y

2, dobijemo za polarni moment tromosti obzirom na formule izraz:

Time smo izvršili prijelaz na dvostruke integrale, jer se ti izrazi, kako smo već rekli, u mnogim

slučajevima jednostavnije računaju pomoću dvostrukih ·integrala. Dobijemo formule za momentetromosti u polarnim koordinatama.

Primjer:

1. Izračunaj momente tromosti i centrifugalni moment kruga polumjera .



8



9

e) Komplanacija (određivanjepovršine) ploha

Komplanarnirati neku zadanu plohu znači odreditivrijednost njene· površine. Neka jeploha zadana jednadžbom z =f(x;y); gdje je f(x, y) neprekinuta

funkcija s neprekinutim parcijalnim derivacijama,

pri, čemu pretpostavljamo, dapravci usporedni sosi Z probadaju plohu samo u jednoj točki pa je

z= z(x, y) jednoznačna funkcija.

Tražimo površinu S te plohe i to onog njenog

dijela, kojemu odgovara područje ravnine XY,

gdje je ρ projekcija S na ravninu XY .

U nekoj točki T(x; y, z) plohe uzmimo element površine dS te plohe. Kako je clement dS beskonačnomali dio plohe; on se podudara s tangentnom ravninom na plohu· u točki T pa je ravan.

Jasno je, da je tražena površina S plohe:

pričemu integriramo po površini S zadane plohe. To je najjednostavniji slučaj tzv. plošnih integrala, tj.integrala po

površini zadane plohe. Da taj plošni integral pretvorimo u poznati nam dvostruki, izrazimo površinudS elementa plohe s njenom projekcijom u ravnini XY. Neka je Nr normala na plohu u točki T, a γkut, što ga ta normala zatvara

s paralelom s osi +Z (slika 139a). ·Tada prema slici 139b imamo:



10

To je formula za komplanaciju plohe z =f(x, y).

Kako se vrijednost S površine plohe obično uzima po apsolutnoj vrijednosti ispred drugog korijena

uzimamo predznak +.

Ako je jednadžba plohe zadana u implicitnom obliku, p i gračunamo prema (92a i b).

Kadšto nije moguće izračunati površinu S plohe po formuli (131), tj. projicirajućiplohu na ravninu

XY. Npr. pravci paralelni s osi Z probadaju plohu· u dvima točkama ili se ploha projicira u ravninu

XY kao krivulja. U tom slučaju dijelimo plohu u dijelove ili projiciramo je u koordinatneravnine YZ

odnosno XZ.U posljednjem slučaju treba jednadžbu plohe napisati u obliku

x = x(y, z), odnosno y =y(x, z)

na način prikazan pri izvodu formule (130a),za cosy izraziti i ostale kosinuse smjera normale na plohu

pomoću parcijalnih derivacija funkcija x(y, z) i y(x, z),uzevši u obzir, da u tom slučaju jednadžbanormalena plohu glasi

gdje su α i β kutovi što ih plošna normala zatvara s osi +X, odnosno.s osi +Y . Projekcija elementa

površine dS zadane plohe glasi:



11

Primjer:

1. Izračunaj površinu onog dijela kugle polumjera a, koja leži unutar valjka polumjera a/2.



12

f) Masa i kordinatetežištaploha

ZnajućiizračunatipovršinuS zadaneplohez= f(x, y},

možemolakopostavitiformuluzaodreĎivanjemaseteplohe, ako jeplohapokrivenanekommaterijom, bilohomogenomilinehomogenom.

Pretpostavimo,.da je masazadaneplohez =f( x, y), koja je definirana u

području o ravnineXY, nehomogena. To zna.či, da se njenagustoća mijenjaodtočke do točke, ona je, dakle, funkcija od x i y:

= (x, y)ImamoslučajposvesličanodreĎivanjumaseravnihlikova.Uvrštenjeformule (130a)' u (123a) dm= (x,y) ·dS

dajeizrazzadiferencijalmasenehomogeneteškeplohez=(x, y):

dm= ( x, y) √ dx dy

aodatle je:

masanehomogeneplohe gustoće Ako je plohahomqgena, gustoca =konst., pa stavimo ispred znaka integrala, dok je za =1. m = S.

Primjer

1. IzračunajmasuoktantakuglineplohepolumjeraR, ako je gustoća = xy. Kako je zakuglu

dobijemo

Ili nakonprijelazanapolarnekordinate

Riješivšiposebno i to neodreĎenodrugi integral pomoćusupstitucije p= Rsintdobijemo

Zakoordinatetežištaplohelakomožemonapisatiformule, ako se sjetimoonoga,štosmoreklizakoordinatetežištaravnih, likova i homogenihroutacionihtijela.Znamoveć, da se

koordinatetežištalikadobijutako, da se njegovistatičkimomentipodijele s površinom,odnosnomasomlika.Kako se plohaz= (x, y) nalazi u prostoru, statički semomentiploheneračunajuobziromnakoordinatneosi, većobziromnasve trikoordinatneravnineXY, XZ i YZ, pa premaslici 139 koordinatetežištanehomogeneplohez =

f(x, y)gustoćex, y), a definirane u područjuravnineXY glase:

Tu je m masaplohe, a MxoyMxozMzoystatič:kimomentiploheobziromnakoordinatneravnine.

Uzevši u obzir, da je tatičkimoment materijalnetočke(elementaplohe)

obziromnanekuravninujednakumnoškumasetetočkei njeneudaljenostiodravnine, dobijemo



13

To sukoordinatetežištanehomogeneplohegustoće.( X, y).

Ako je plohahomogena, = konst., gornje se formule primaju jednostavniji oblik, jer se

krati.

Primjer

Izračunajkoordinatetežištaplohehomogenepolukugle gustoće= konst. (z≥0).Budućida kuglinaplohanastajerotacijompolukružnice · okoosiz, težište

teploheležinaosiZ, pa je

Uzevši u obzir da je √ i da je prema prijašnjem primjeru

dobivamoprematrećojformulisustava

anakonprijelazanapolarnekordinateimamokonačno



14

g) Masa i koordinate težišta tijela



15

Primjer:

1. Izračunaj koordinate težišta homogenog tijela omeĎenog s



16

h) Momentitromosti (inercije) tijela

Znamoveć, da se pod aksijalnimmomentomtromostiili,

inercijematerijalnetočkeobziromnazadanuosrotacijerazumijeumnožakmasem tetočkei

kvadratanjeneudaljenostiodosirotacije. Slično se definirajumomentitromosti Obziromnatočku-polarnimomentitromosti, i obziromnaravninu-planarnimomentitromosti:

Prema tome uzmemo li u nekojtočkiT(.x, y, z)trodimenzionalnognehomogenogtijelagustoće= ( x, y, z) element toga tijelamasedm,

tadaćemomentitromostizataj element glasiti:

Aksijalni moment tromostiobziromnaosX:A kako je l

2=x

2+y

2 bit će

Analognodobijemomomentetromostina y i z:

Da dobijemoaksijalnemomentetromostizačitavotijelomoramointegriratipovolumenu V tijela:

To suaksijalnimomentitromostihomogenogtijelaobziromnakoordinatneosi.

Na istinačindobijemopremaslici 141 polarni moment tromostio bziromnaishodište Okoordinatnogsustava:

I planarnemomentetromostiobziromnakoordinatneravnine:



17



18

Documents

2. Seminar_ Primjena Krivuljnih Integrala