21
UNIVERZITET U ZENICI FILOZOFSKI FAKULTET ODSJEK MATEMATIKA I INFORMATIKA Dejan Milić PRIMJENA ODREĐENOG INTEGRALA Seminarski rad Mentor: Prof. dr Željko Škuljević

Primjena određenog integrala

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Primjena određenog integrala

Citation preview

UNIVERZITET U ZENICIFILOZOFSKI FAKULTETODSJEK MATEMATIKA I INFORMATIKA

Dejan Mili

PRIMJENA ODREENOG INTEGRALA

Seminarski rad

Mentor: Prof. dr eljko kuljevi

Zenica, maj 2015.

Sadraj:

Uvod3Neodreeni integrali4Metoda zamjene5Metoda parcijalne integracije6Integracija racionalnih funkcija7Integracija trigonometrijskih funkcija8Odreeni integrali9Primjena odreenog integrala11Izraunavanje povrina11Duljina luka krive13Zapremina obrtnih tijela15Zakljuak17Summary18Literatura19

Uvod

Jedan od problema u nastavi matematike je neupuenost uenika u stvarnu primjenu materije koja se obrauje na satu. Smatram da bi profesori trebali pri svakoj lekciji objasniti i dati primjere u kojima e uenici uvidjeti gdje se injenice koje oni ue na satu koriste u praksi. Svim profesorima matematike i ljudima koji se bave njome je jasno da se ona koristi u mnotvu drugih nauka i disciplina ali to nije tako oigledno uenicima i zbog toga im moramo naglasiti vanost pojedinih lekcija tj. njihovu primjenu. U ovom seminarskom radu u pokuati objasniti kako se integralni raun moe iskoristiti za izraunavanja koja se mogu prenijeti na neke praktine probleme.Seminarski rad moe biti koristan za uenike etvrtog razreda srednje kole kao i studentima koji obrauju integralni raun.Prvo emo se podsjetiti neodreenih integrala i metoda za rjeavanje istih koje e nam trebati za primjenu a zatim emo prei na odreene integrale i vidjeti kako ih moemo iskoristiti.

Neodreeni integrali

U ovom poglavlju neemo se baviti teoretskom pristupu integrala nego emo samo pokazati kako se rjeavaju neodreeni integrali razliitim metodama[footnoteRef:1] koje emo koristiti kasnije kod primjene odreenog integrala.Pokazat emo primjere za nekoliko standardnih metoda, a to su metode: [1: Usp. M. Mileti, Metodika zbirka zadataka, neodreeni integrali, Jessa komerc, Beograd 1997]

Metoda zamjene Metoda parcijalne integracije Integracija racionalnih funkcija Integracija trigonometrijskih funkcija

Metoda zamjene

Primjer 1.

Bilo bi komplikovano ovaj integral[footnoteRef:2] raspisivati i integraliti lan po lan.Zato emo uvesti jednostavnu smjenu: [2: Ibid, str. 10.]

Vratimo se na poetni integral:

Primjer 2.

Smjena:

Primjer 3.

Smjena:

Metoda parcijalne integracijePrimjer 1.

Prisjetimo se obrasca iz kojeg slijedi ova metoda:

Sada trebamo izabrati i To emo uraditi na sljedei nain:

Primjer 2.

Integracija racionalnih funkcija

Primjer 1. Rijei integral[footnoteRef:3] [3: B. Daki, Matematika 4, zbirka zadataka za 4. razred gimnazije, Element, Zagreb, 1996, 137. str.]

Izjednaavamo koeficijente uz iste stepene:

Rjeenje ovog sustava je:

Primjer 2.

Smjena:

Integracija trigonometrijskih funkcija

Primjer 1:

Primjer 2:

Odreeni integrali

U ovom poglavlju emo uraditi nekoliko jednostavnih primjera odreenog integrala koji e nas pripremiti za naredno poglavlje u kojem emo vidjeti njihovu primjenu. Odreene integrale rjeavamo kao i neodreene samo to emo pri kraju zadatka primjeniti Newton-Leibnitzovu formulu:

Pri emu vrijedi da je F primitivna funkcija od f.

Primjer 1:

Primjer 2:

Primjena odreenog integrala

Izraunavanje povrina

Ako je kriva zadata u obliku , povrinu omeenu tom krivom i pravcima tada je:

Analogno vai za krivu datu sa Ako je povr omeena dvjema krivim i pravama tada je:

Ako je kriva zadata parametarski:

Povrina je:

Ako je kriva data u polarnom obliku:

Povrina je:

Primjer 1. Izraunati povrinu lika ogranienog krivim:

Trebamo prvo rijeiti sistem jednaina datih jednainama krivih da bi dobili presjene toke i odredili granice integracije.

Odavde slijedi da je Sada moemo raunati povrinu:

Primjer 2. Izraunati povrinu lika ogranienog krivim linijama:

Rijeimo prvo sistem jednaina:Dobijamo da je:

Duljina luka krive

Imamo sljedee tri formule[footnoteRef:4] za duljinu luka krive: [4: M. Mileti, Metodika zbirka zadataka, neodreeni integrali, Jessa komerc, Beograd 1997]

I. Ako je jednaina krive zadata u pravouglim koordinatama:

II. Ako je jednaina krive zadata u parametarskom obliku:

III. Ako je jednaina krive zadata u polarnom obliku:

Primjer 1. Izraunaj duljinu luka krive od take do

Smjena:

Primjer 2. Izraunati duljinu luka astroide:

Zapremina obrtnih tijela

Imamo sljedee tri formule[footnoteRef:5] za zapreminu obrtnih tijela: [5: Ibid, str. 183.]

I. Ako je kriva zadata u pravokutnim koordinatama: ili II. Ako je kriva zadata parametrijski i ako se rotira oko x ose:

III. Ako je kriva zadata u polarnom obliku i ako se kriva rotira oko x ose:

Primjer 1. Odrediti zapreminu lika ogranienog parabolom i pravom , ako rotira oko x ose.Primjer 2 . Odrediti zapreminu rotacionog tijela ako se rotira lik ogranien sa , oko x ose.

Primjer 3. Odrediti zapreminu rotacionog tijela ako se rotirakardioida oko polarne ose.

Zakljuak

Kroz ovaj rad pokazao sam kako primijeniti jednostavni integralni raun na nekim zadacima koji se mogu prenijeti na probleme iz stvarnog ivota. Uspjeli smo iskoristiti znanje iz neodreenih integrala da rijeimo odreene, a onda odreene da rijeimo neke geometrijske probleme na vrlo jednostavan nain, pratei formule i istu logiku. Smatram da uenicima treba uvijek objasniti kako primijeniti ono to se radi u nastavi i mislim da sam ja ovim radom napravio mali korak naprijed kada je primjena matematike u pitanju. Iako se ova oblast radi kratko u srednjim kolama i ne ba opirno, nuno je da uenik zna da ti zadaci, kao i svi ostali, imaju svoju ulogu u stvarnom ivotu i da nisu samo apstraktni znakovi povezani odreenim logikim pravilima. Takoer smatram da bi svaku nastavnu oblast iz matematike trebalo pribliiti uenicima i dati im do znanja kako se ta znanja mogu praktino primijeniti.

Summary

Through this work, I showed how to apply simple calculus on some tasks that can be transferred to real-world problems. We were able to use the knowledge of indefinite integrals to solve definite integrals, and then use them to solve some geometric problems in a very simple way, following the formula and pure logic. I believe that students should always know how to apply what they are doing in class and I think that I made a small step forward when it comes to applying mathematics. Although the students in high schools does not explore this area too widely, it is necessary that the student knows that these tasks, as all other, have a role to play in real life and that they are not just abstract symbols linked with certain logical rules. I also think that each teaching field in mathematics should be explained better to the students and we should let them know how this knowledge can be applied in practice.

Literatura

1. Mio Mileti: Metodika zbirka zadataka neodreeni integrali, Beograd 1997.2. Daki, Elezovi: Zbirka zadataka za 4. Razred gimnazije, Zagreb 1996.3. Demidovi i saradnici: Zadaci i rijeeni primjeri iz vie matematike, Zagreb 1978.4. David A. Santos: The Elements of Infinitesimal Calculus, Boston 2008.5. Gilbert Strang: Calculus, Massachutes Institute of Tehnology, Wellesley-Cambridge Press Box 82-279 Wellesley MA 021816. http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/node39.html