Embed Size (px)
Citation preview
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Integrala improprie
1 Integrala improprie de speta întâiDefinitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
2 Integrala improprie de speta douaDefinitia integralei improprii de speta douaCriterii de convergenta
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Definitia integralei improprii de speta întâi
Fie f : [a,+∞)→ R, a ∈ R.
Definitia
f se numeste integrabila pe [a,+∞) daca1. f este integrabila pe intervalul [a,b], ∀b ∈ R
2. exista si este finita limita limb→+∞
∫ b
af (x)dx. Vom nota∫ +∞
af (x)dx = lim
b→+∞
∫ b
af (x)dx . (1)
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul comparatiei
Teorema
Fie integralele∫ +∞
af (x)dx si
∫ +∞
ag(x)dx.
1. Presupunem ca sunt îndeplinite conditiile
∫ +∞
ag(x)dx este convergenta (2)
| f (x) |≤ g(x), x ≥ x1, x1 ∈ R (3)
atunci rezulta ca integrala∫ +∞
af (x)dx este absolut convergenta.
2. Daca ∫ +∞
af (x)dx este divergenta (4)
0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ≥ x2, x2 ∈ R (5)
rezulta ca integrala∫ +∞
ag(x)dx este divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul cu limita
Teorema1. Daca
limx→+∞
| f (x) | xα < +∞ si α > 1 (6)
atunci∫ +∞
af (x)dx este absolut convergenta.
2. Dacalim
x→+∞f (x)xα > 0 si α ≤ 1 (7)
atunci∫ +∞
af (x)dx este divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista
k > 0 astfel ca |∫ b
af (x)dx | ≤ k ,∀b > a
g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista
k > 0 astfel ca |∫ b
af (x)dx | ≤ k ,∀b > a
g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista
k > 0 astfel ca |∫ b
af (x)dx | ≤ k ,∀b > a
g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista
k > 0 astfel ca |∫ b
af (x)dx | ≤ k ,∀b > a
g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista
k > 0 astfel ca |∫ b
af (x)dx | ≤ k ,∀b > a
g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe orice interval [a,b] si exista
k > 0 astfel ca |∫ b
af (x)dx | ≤ k ,∀b > a
g(x)→ 0 pentru x →∞ monoton
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)
g(x) monotona si marginita pe [a,∞)
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)
g(x) monotona si marginita pe [a,∞)
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)
g(x) monotona si marginita pe [a,∞)
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)
g(x) monotona si marginita pe [a,∞)
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)
g(x) monotona si marginita pe [a,∞)
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie integrala∫ +∞
af (x)g(x)dx.
Dacaf este integrabila Riemann pe [a,∞)
g(x) monotona si marginita pe [a,∞)
atunci∫ +∞
af (x)g(x)dx este convergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Studiati convergenta urmatoarelor integrale, iar daca esteposibil calculati limita.
1.∫ +∞
a
dx1 + x2 2.
∫ +∞
−∞
dx1 + x2 3.
∫ +∞
a
arctan x1 + x2 dx
4.∫ +∞
a
dxx ln x
,a ≥ 1 5.∫ ∞−∞
dxx2 + 4x + 9
6.∫ ∞
1
√x
(1 + x)2 dx 7.∫ +∞
a
dxx√
x2 + 1
8.∫ +∞
a
dx(x2 + a2)n 9.
∫ +∞
1
dxx√
x2 − 1
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
Studiati convergenta urmatoarelor integrale
1.∫ +∞
0
cos x1 + x2 dx 2.
∫ +∞
−∞e−x2
dx 3.∫ +∞
0
dx1 + x4
4.∫ +∞
1
dxx√
1 + x25.
∫ +∞
0
arctan xx
dx
6.∫ +∞
1
dx
2x + (x2 + 1)13 + 5
7.∫ +∞
0
xdx
(x5 + 1)12
8.∫ +∞
0
dxx2 +
3√
x4 + 19.
∫ +∞
0
x52
1 + x2 dx
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprie de speta întâiCriterii de convergenta
10.∫ +∞
c
dx√x(x − a)(x − b)
, b < a < c
11.∫ +∞
0(e−
a2
x2 − e−b2
x2 )dx
12.∫ +∞
0xµe−axdx , µ > o,a > 0
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta
Definitia integralei improprii de speta a doua
Fie f : [a,b)→ R, a,b ∈ R o functie nemarginita în b.
Definitia
Functia f se numeste integrabila pe [a,b), daca1. f este integrabila pe orice interval [a,b − ε], ∀ε > 0
2. exista si este finita limita limε→0
∫ b−ε
af (x)dx . Vom nota∫ b
af (x)dx = lim
ε→0
∫ b−ε
af (x)dx . (8)
Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b
a f (x)dx < +∞iar în caz contrar, divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta
Definitia integralei improprii de speta a doua
Fie f : [a,b)→ R, a,b ∈ R o functie nemarginita în b.
Definitia
Functia f se numeste integrabila pe [a,b), daca1. f este integrabila pe orice interval [a,b − ε], ∀ε > 0
2. exista si este finita limita limε→0
∫ b−ε
af (x)dx . Vom nota∫ b
af (x)dx = lim
ε→0
∫ b−ε
af (x)dx . (8)
Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b
a f (x)dx < +∞iar în caz contrar, divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta
Definitia integralei improprii de speta a doua
Fie f : [a,b)→ R, a,b ∈ R o functie nemarginita în b.
Definitia
Functia f se numeste integrabila pe [a,b), daca1. f este integrabila pe orice interval [a,b − ε], ∀ε > 0
2. exista si este finita limita limε→0
∫ b−ε
af (x)dx . Vom nota∫ b
af (x)dx = lim
ε→0
∫ b−ε
af (x)dx . (8)
Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b
a f (x)dx < +∞iar în caz contrar, divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta
Criteriu de comparatie
Teorema
Fie integralele∫ b
a f (x) si∫ b
a g(x)dx. Daca
∫ +∞
ag(x)dx este convergenta (9)
| f (x) |≤ g(x), x ∈ [c1, b), c1 ≥ a (10)
rezulta ca∫ b
af (x)dx este absolut convergenta.
Daca ∫ b
af (x)dx este divergenta (11)
0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈ [c2, b), c2 ≥ a (12)
rezulta∫ b
ag(x)dx este divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta
Criteriul cu limita
Teorema1. Daca
limx→b,x<b
| f (x) | (b − x)α < +∞ si α < 1 (13)
atunci∫ b
af (x)dx este absolut convergenta.
2. Dacalim
x→b,x<bf (x)(b − x)α > 0 si α ≥ 1 (14)
atunci∫ b
af (x)dx este divergenta.
Integrala improprie
Integrala improprie de speta întâiIntegrala improprie de speta doua
Definitia integralei improprii de speta a douaCriterii de convergenta
Studiati convergenta urmatoarelor integrale
1.∫ 3
0
dx(x − 1)2 2.
∫ 1
0
dx√1− x2
3.∫ 1
0
xdx√1− x4
4.∫ 1
0
dx√x
5.∫ 1
2
0
dxx ln x
6.∫ 2
−1
dx√| x |
7.∫ 2
1
dxln x
8.∫ 1
−1
dx3√
1− x29.
∫ 1
0
arcsin x√1− x2
dx
10.∫ b
a
xdx√(x − a)(x − b)
11.∫ ∞
0
x ln x(1− x2)2 dx
Integrala improprie
