Curs 13

Integrala Riemann (integrala definita)

13.1 Definitia integralei definite (Riemann)

Fie [a, b] un interval ınchis si marginit din R. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] unsistem de puncte

∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Multimea diviziunilor intervalului [a, b] o vom nota D[a, b]. Norma diviziunii ∆ se noteaza‖∆‖ si este cea mai mare dintre lungimile intervalelor [xi−1, xi ], i = 1, n.

‖∆‖ = max1≤i≤n

(xi − xi−1).

Un sistem de n puncte {ξ1, ξ2, . . . , ξn}, ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, n se numeste sistem depuncte intermediare asociat diviziunii ∆.

Definitia 13.1.1 Fie f : [a, b]→ R. Numarul real

σ∆(f, ξi) =n∑

i=1

f(ξi) · (xi − xi−1) (13.1)

se numeste suma Riemann asociata functiei f , diviziunii ∆ si sistemului de puncte inter-mediare (ξi)

ni=1.

Definitia 13.1.2 Functia f : [a, b]→ R se numeste integrabila Riemann (integrabila)pe intervalul [a, b] daca exista un numar real If cu urmatoarea proprietate:∀ε > 0, ∃ηε > 0 astfel ca pentru orice diviziune ∆ ∈ D[a, b] cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare (ξi)

ni=1 are loc

|σ∆(f, ξi)− If | < ε. (13.2)

Numarul If asociat functiei integrabile f : [a, b] → R este unic determinat, se numesteintegrala definita (sau integrala Riemann) a functiei f si se noteaza

If =

∫ b

a

f(x) dx.

Multimea functiilor integrabile pe [a, b] o vom nota R([a, b]).Prin definitie ∫ a

a

f(x)dx = 0,

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx.

1

2 CURS 13. INTEGRALA RIEMANN (INTEGRALA DEFINITA)

Interpretarea geometrica a integralei Riemann

Daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] atunci suma Riemann reprezinta suma ariilor dreptunghiurilorde baza xi− xi−1 si ınaltime f(ξi), astfel ıncat σ∆(f, ξi) aproximeaza aria multimii din plan,numita subgraficul functiei f

Df = {(x, y); x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}.

Suma Riemann cu partitie echidistanta, pentru integrala5/2∫0

12

(−x3 + 3x2 − 2x+ 2

)dx

Observatia 13.1.3 Integrala definita a unei functii este un numar real, spre deosebire deintegrala nedefinita care este o multime de functii (multimea primitivelor).

Teorema 13.1.4 Fie f, g : [a, b] → R, f ∈ R([a, b]) si g(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b] \ A,A ⊂ [a, b], multime finita. Atunci g ∈ R([a, b]) si∫ b

a

g(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

Aceasta teorema ne spune ca daca se modifica valorile unei functii integrabile ıntr-omultime finita de puncte atunci functia nou obtinuta este integrabila si mai mult, integralelecelor doua functii coincid.

Teorema 13.1.5 Functia f : [a, b]→ R este integrabila daca si numai daca are loc urmatoareaproprietate: exista I ∈ R astfel ıncat oricare ar fi (∆n)n un sir de diviziuni ale intervalului[a, b], ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn}, cu lim

n→∞‖∆n‖ = 0 si pentru orice sistem de puncte intermedi-

are (ξni )kni=1, ξni ∈ [xni−1, x

ni ], sirul sumelor Riemann (σ∆n(f, ξni ))n converge la I.∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

σ∆n(f, ξni ).

13.2 Proprietati ale integralei definite

Teorema 13.2.1 Fie f, g : [a, b]→ R integrabile pe intervalul [a, b] si λ ∈ R atunci f + g siλf sunt integrabile pe [a, b] si au loc∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx,

∫ b

a

λf(x) dx = λ

∫ b

a

f(x) dx.

13.2. PROPRIETATI ALE INTEGRALEI DEFINITE 3

Teorema 13.2.2 Fie f : [a, b]→ R integrabila cu f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]. Atunci∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.

Corolarul 13.2.3 1◦ Daca f, g : [a, b] → R sunt functii integrabile si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈[a, b] atunci are loc ∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx. (13.3)

2◦ Daca f : [a, b]→ R este o functie integrabila si m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b] atunci

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a). (13.4)

Teorema 13.2.4 (de marginire a functiilor integrabile) Daca f ∈ R [a, b] , atunci feste marginita pe [a, b] .

Observatia 13.2.5 Ca o consecinta directa a teoremei de mai sus, putem afirma ca daca ofunctie reala este nemarginita pe un interval compact, atunci ea nu este integrabila Riemannpe acel compact.

Observatia 13.2.6 Reciproca acestei teoreme nu este adevarata, adica exista functii marginitepe un interval [a, b] care nu sunt integrabile Riemann pe [a, b] . Un contraexemplu este urmatorul.

Exercitiul 13.1 Functia f : [a, b]→ R data de

f (x) =

{1, x ∈ [a, b] ∩Q0, x ∈ [a, b] \Q,

este marginita pe [a, b] de 0 si de 1, dar nu este integrabila Riemann pe [a, b] . Ea se numestefunctia lui Dirichlet. Intr-adevar, fie ∆ ∈ D [a, b] , ∆ : a = x0 < x1 < ... < xn = b. Fiecareinterval [xi−1, xi] contine atat numere rationale cat si numere irationale. Fie ξ = (ξi)i=1,n

∈ P (∆) .Daca prin reducere la absurd f ar fi integrabila pe [a, b] , atunci suma Riemann ar trebui

sa aiba aceeasi limita, indiferent cum alegem punctele intermediare ξi. Daca alegem ξi ∈[xi−1, xi] \Q, atunci f (ξi) = 0 si deci S (f,∆, ξ) = 0. Daca ξi ∈ [xi−1, xi]∩Q, atunci f (ξi) = 1si deci S (f,∆, ξ) = b − a. Am ajuns astfel la o contradictie, deci afirmatia de mai sus estejustificata.

Teorema 13.2.7 (Teorema de medie) Daca f : [a, b] → R este continua, atunci existac ∈ [a, b] astfel ıncat

1

b− a

∫ b

a

f(x) dx = f(c). (13.5)

Demonstratie. Functia f , fiind continua pe intervalul compact (marginit si ınchis) [a, b], estemarginita si ısi atinge marginile. Deci exista u, v ∈ [a, b], m,M ∈ R astfel ıncat

f(u) = m = infx∈[a,b]

f(x) si f(v) = M = supx∈[a,b]

f(x).

Deoarece m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b], folosind (13.4), obtinem

f(u) = m ≤ 1

b− a

∫ b

af(x) dx ≤M = f(v).

4 CURS 13. INTEGRALA RIEMANN (INTEGRALA DEFINITA)

Cum f este continua pe [a, b], f are proprietatea lui Darboux pe [a, b], deci exista c ∈ [a, b] astfelıncat

f(c) =1

b− a

∫ b

af(x) dx. �

Observatia 13.2.8 Daca f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] si scriem relatia (13.5) sub forma

f(c)(b− a) =

∫ b

a

f(x) dx

deducem ca exista c ∈ [a, b] astfel ıncat subgraficul functiei f are aceeasi arie cu dreptunghiulde baza b− a si ınaltime f(c).

Propozitia 13.2.9 1. Daca f : [a, b]→ R este continua, atunci are loc inegalitatea∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx.

2. Daca f : [a, b]→ R este continua si pozitiva, iar [ c, d ] ⊂ [a, b], atunci∫ d

c

f(x)dx ≤∫ b

a

f(x)dx.

3. Daca f : [a, b]→ R este continua, pozitiva si neidentic nula pe (a, b), a < b, atunci∫ b

a

f(x)dx > 0.

Teorema 13.2.10 (de aditivitate a integralei ın raport cu intervalul) Fie f : [a, b]→R si c ∈ (a, b) dat. Daca f ∈ R [a, c] si f ∈ R [c, b] , atunci f ∈ R [a, b] si∫ b

a

f (x) dx =

∫ c

a

f (x) dx+

∫ b

c

f (x) dx. (7)

Exercitiul 13.2 Fie

f : [1, 3]→ R, f (x) =

{ex, x ∈ [1, 2]2x+ 1, x ∈ [2, 3] .

Sa se arate ca f ∈ R [1, 3] si sa se calculeze∫ 3

1f (x) dx.

Rezolvare. Notam f1 (x) = ex, x ∈ [1, 2] si f2 (x) = 2x + 1, x ∈ [2, 3] . Deoarecef1 ∈ R [1, 2] si f2 ∈ R [2, 3] , rezulta ca f ∈ R [1, 3] si∫ 3

1

f (x) dx =

∫ 2

1

exdx+

∫ 3

2

(2x+ 1)dx = e2 − e+ 6.

Teorema 13.2.11 (inegalitatea lui Schwarz-Cauchy-Buniakowski) Daca f, g ∈ R [a, b] ,atunci (∫ b

a

f (x) g (x) dx

)2

≤(∫ b

a

f 2 (x) dx

)(∫ b

a

g2 (x) dx

).

13.3. CLASE DE FUNCTII INTEGRABILE 5

13.3 Clase de functii integrabile

Teorema 13.3.1 (Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue) Fie f :[a, b]→ R. Daca f ∈ R [a, b] , atunci functia F : [a, b]→ R data de

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt, ∀x ∈ [a, b] (13.6)

este continua pe [a, b] . Daca f este continua pe [a, b] , atunci functia F este o primitiva afunctiei f , care se anuleaza ın punctul a.

Demonstratie. Fie x0 ∈ [a, b] arbitrar fixat. Vom demonstra ca F este derivabila ın x0 siF ′(x0) = f(x0). Avem

F (x)− F (x0) =

∫ x

af(t)dt−

∫ x0

af(t)dt =

∫ x

x0

f(t)dt.

Din teorema de medie aplicata functiei

∫ x

x0

f(t)dt rezulta ca exista ξx ın intervalul de extremitati

x0, x, astfel ca ∫ x

x0

f(t) dt = f(ξx)(x− x0).

Cum f ∈ R [a, b] , ea este marginita, deci rezulta ca limx→x0 F (x) = F (x0), adica F este

continua.

Daca f este continua pe [a, b] , deducem

limx→x0

F (x)− F (x0)

x− x0= lim

x→x0

f(ξx) = f(x0).

Daca x0 = a sau x0 = b se considera limitele laterale la dreapta si respectiv, la stanga. Cum x0 afost ales arbitrar, rezulta ca F ′ = f , deci F este primitiva pentru f . Avem evident si

F (a) =

∫ a

af(t)dt = 0. �

Teorema 13.3.2 (de integrabilitate a functiilor monotone) Presupunem ca f : [a, b]→R este o functie monotona pe [a, b] . Atunci f ∈ R [a, b] .

Definitia 13.3.3 Functia f : [a, b] → R se numeste monotona pe portiuni pe [a, b] dacaintervalul [a, b] se poate scrie ca o reuniune finita de intervale [a, c1] , [c1, c2] , ...,[cp, b] astfelıncat, pe fiecare dintre ele f este monotona (nu neaparat de acelasi fel).

Teorema 13.3.4 (de integrabilitate a functiilor monotone pe portiuni) Daca functiaf : [a, b]→ R este monotona pe portiuni pe [a, b] , atunci f ∈ R [a, b] .

Observatia 13.3.5 Am vazut ca o functie continua este integrabila Riemann. Reciproca nueste adevarata. De exemplu, functia f : [−1, 1] → R data de f (x) = x pentru x ∈ [−1, 0]si f (x) = 2x+ 1 pentru x ∈ (0, 1] nu este continua, dar este integrabila Riemann pe [−1, 1]conform Teoremei 5.

Ne punem atunci ıntrebarea: cate puncte de discontinuitate poate avea o functie inte-grabila? Introducem cateva notiuni auxiliare.

6 CURS 13. INTEGRALA RIEMANN (INTEGRALA DEFINITA)

Definitia 13.3.6 O multime E ⊂ R are masura Lebesgue nula daca ∀ε > 0 exista o familie

finita sau numarabila de intervale (ai, bi) , astfel ıncat E ⊂ ∪i (ai, bi) si∑i

(bi − ai) < ε.

Dam cateva exemple de multimi de masura Lebesgue nula:1) orice multime finita;2) orice multime numarabila (care se poate pune ın corespondenta bijectiva cu N);3) multimea lui Cantor (care are masura Lebesgue zero, dar este o multime nenumarabila):

Impartim intervalul [0, 1] ın trei parti egale si ınlaturam intervalul din mijloc, [1/3, 2/3] .Cele doua intervale ramase, [0, 1/3] si [2/3, 1], se ımpart fiecare ın cate trei subintervale egale,dupa care eliminam din nou intervalele din mijloc, adica [1/9, 2/9] , respectiv [7/9, 8/9] . Con-tinuam aceasta operatie, adica ınlaturam mereu intervalele din mijloc dupa ce am ımpartitfiecare interval ramas ın trei parti egale. Lungimea reuniunii intervalelor eliminate este

1

3+

2

32+

4

33+ ... = 1.

De aici rezulta ca multimea C (numita multimea lui Cantor), care ramane dupa ınlaturareatuturor acestor intervale, este de masura Lebesgue nula.

Definitia 13.3.7 Functia f : [a, b] → R se numeste functie continua aproape peste tot (siscriem ”continua a.p.t”.) daca multimea D a punctelor sale de discontinuitate are masuraLegesgue zero.

Teorema 13.3.8 (Teorema lui Lebesgue) O functie f : [a, b] → R este integrabila Rie-mann pe [a, b] daca si numai daca f este marginita si continua aproape peste tot.

Vom ilustra importanta acestei teoreme prin cateva exemple remarcabile.

Exemplul 13.3.9 (Functia lui Riemann) Functia f : [0, 1]→ R, data de

f (x) =

{1/q, daca x = p/q ∈ Q ∩ (0, 1]0, ın rest (ın 0 si ın x ∈ [0, 1] \Q)

este evident marginita. Vom demonstra ca ea este continua ın punctele irationale ale interva-lului [0, 1] . Intr-adevar, fie x0 ∈ [0, 1] \Q fixat si (xn) un sir din [0, 1] convergent la x0. Daca(xn) este sir de numere irationale, atunci f (xn) = 0 este evident convergent la f (x0) = 0.Daca (xn) este sir de numere rationale xn = pn/qn, atunci aratam ca qn →∞. Presupunemprin reducere la absurd ca sirul de numere naturale (qn) nu tinde la∞. Atunci el are un subsirmarginit (qnk

). Dar acest lucru nu este posibil decat daca (qnk) are la randul lui un subsir

constant(qnkl

). Atunci acest subsir are limita un numar natural q. Subsirul corespunzator(

pnkl

)fie tinde la +∞, fie are un subsir marginit. In primul caz xnkl

= pnkl/qnkl

→∞, ceea

ce contrazice ipoteza xn → x0. In cel de-al doilea caz, facand un rationament pentru pnkl

similar cu cel pentru qn, se ajunge la concluzia ca sirul(pnkl

)admite un subsir convergent

la un numar natural p. Atunci subsirul corespunzator al lui (xn) converge la p/q ∈ Q, acestlucru fiind din nou ın contradictie cu ipoteza xn → x0 ∈ [0, 1] \Q. Asadar am dovedit ca

13.4. METODE DE CALCUL 7

sirul qn → ∞. Atunci f (xn) = 1/qn → 0. Cum f (x0) = 0, obtinem continuitatea functieif ın orice punct x0 irational din [0, 1] . Deci multimea D a punctelor de discontinuitate alelui f este inclusa ın Q, adica este cel mult numarabila. Asadar D este de masura Lebesguezero. Conform Teoremei lui Lebesgue, rezulta ca f este integrabila Riemann pe [0, 1] .

Exemplul 13.3.10 (Functia lui Cantor) Fie C multimea lui Cantor definita mai sus.Construim functia f : [0, 1] → R astfel: pe fiecare subinterval din mijloc pe care l-amınlaturat ıi dam lui f o valoare constanta. De exemplu pe intervalul [1/3, 2/3] luam f (x) =1/2; pe [1/9, 2/9] definim f (x) = 1/4 si pe [7/9, 8/9] luam f (x) = 3/4 etc. Pe fiecare astfelde subinterval f este constanta, deci continua. Doar ın punctele de schimbare a formei (adicape multimea C de masura Lebesgue zero), functia f poate fi discontinua. Fiind si marginita,f este integrabila Riemann pe [0, 1] .

13.4 Metode de calcul

Teorema 13.4.1 (Formula lui Leibniz-Newton) Fie f : [a, b]→ R o functie integrabilasi care admite primitive. Atunci pentru orice primitiva F are loc∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a). (13.7)

Demonstratie. Vom folosi notatia ∫ b

af(x)dx = F (x)| ba

si vom citi ”F (x) luat ıntre a si b”.Consideram un sir arbitrar de diviziuni ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn} si aplicam pe intervalul [xni−1, x

ni ]

teorema lui Lagrange functiei derivabile F . Exista atunci un punct intermediar ξni ∈ (xni−1, xni ) astfel

caF (xni )− F (xni−1) = F ′(ξni )(xni − xni−1) = f(ξni )(xni − xni−1).

Atunci sirul sumelor Riemann atasat este

σ∆n(f, ξni ) =

kn∑i=1

f(ξni )(xni − xni−1) =

n∑i=1

(F (xni )− F (xni−1)

)= F (b)− F (a)

si trecand la limita obtinem afirmatia. �

Observatia 13.4.2 Exista functii integrabile care nu admit primitive. De exemplufunctia

g : [0, 1]→ R, g(x) =

1, x 6= 1

2

0, x =1

2

este integrabila pe [0, 1] (g se obtine din functia f : [0, 1] → R, f(x) = 1, prin modificarea

valorilor ıntr-un singur punct x =1

2) si

∫ 1

0

g(x) dx =

∫ 1

0

1 · dx = 1

dar g nu are primitive deoarece nu are proprietatea lui Darboux pe [0, 1].

8 CURS 13. INTEGRALA RIEMANN (INTEGRALA DEFINITA)

Observatia 13.4.3 Exista functii care admit primitive pe un interval dar nusunt integrabile pe acel interval. De exemplu functia

f : [−1, 1]→ R, f(x) =

2x sin

1

x2− 2

xcos

1

x2, x 6= 0

0, x = 0

admite primitive. Se arata usor ca F : [−1, 1]→ R definita prin

F (x) =

x2 sin

1

x2, x 6= 0

0, x = 0

este derivabila si F ′ = f , deci este primitiva pentru f . Pe de alta parte functia f estenemarginita pe [−1, 1], deci nu poate fi integrabila.

Teorema 13.4.4 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] → R sunt functiiderivabile cu derivate continue, atunci∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)| ba −∫ b

a

f ′(x)g(x) dx. (13.8)

Demonstratie. Din formula de derivare a produsului

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

deducem ca fg este o primitiva a functiei f ′g + fg′. Aplicand Formula Leibniz-Newton (13.7)obtinem

f(x)g(x)| ba = (fg)(b)− (fg)(a) =

∫ b

a(fg)′(x)dx =∫ b

a[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx =

∫ b

af ′(x)g(x)dx+

∫ b

af(x)g′(x)dx

de unde deducem imediat afirmatia teoremei. �

Teorema 13.4.5 (Formula de schimbare de variabila) Fie ϕ : [a, b] → [c, d] o functiederivabila, cu derivata continua pe [a, b] si fie f : [c, d] → R o functie continua. Atunci areloc formula ∫ b

a

f(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x) dx. (13.9)

Demonstratie. Functia f fiind continua, admite primitive. Fie F o primitiva a lui f , deci

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [c, d]. (13.10)

Formula Leibniz-Newton (13.7) ne conduce la∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x)dx = F (ϕ(b))− F (ϕ(a)). (13.11)

Folosind formula de derivare a functiilor compuse si (13.2.9) gasim

(F ◦ ϕ)′(t) = F ′(ϕ(t)) · ϕ′(t) = (f ◦ ϕ)(t) · ϕ′(t), ∀t ∈ [a, b].

Formula Leibniz-Newton (13.7) si (13.3.1) ne conduce la∫ b

a(f ◦ ϕ)(t)ϕ′(t) = (F ◦ ϕ)(b)− (F ◦ ϕ)(a) =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x)dx. �

De aici deducem urmatoarea observatie, utila ın aplicatii.

13.5. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE 9

Observatia 13.4.6 Fie a > 0 si fie f : [−a, a]→ R o functie continua.Daca f este functie para (f(−x) = f(x), ∀ x ∈ [−a, a]) atunci∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx.

Daca f este functie impara (f(−x) = −f(x), ∀x ∈ [−a, a]) atunci∫ a

−af(x)dx = 0.

13.5 Aplicatii ale integralei definite

Teorema 13.5.1 Daca f : [a, b]→ R+ este continua atunci multimea plana

Df ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}

numita subgraficul functiei f , are arie si

aria(Df ) =

∫ b

a

f(x)dx. (13.12)

Corolarul 13.5.2 Daca f, g : [a, b] → R sunt continue si f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b], atuncimultimea plana cuprinsa ıntre graficele functiilor f si g si dreptele x = a, x = b, adicamultimea

Df,g ={

(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], f(x) ≤ y ≤ g(x)},

are arie si

aria(Df,g) =

∫ b

a

[g(x)− f(x)]dx. (13.13)

Teorema 13.5.3 Daca f : [a, b]→ R+ este continua atunci corpul de rotatie determinat def , adica multimea

Vf ={

(x, y, z) ∈ R3 | x ∈ [a, b],√y2 + z2 ≤ f(x)

}are volum dat de formula

vol(Vf ) = π

∫ b

a

f 2(x)dx. (13.14)

Teorema 13.5.4 Daca f : [a, b]→ R+ este o functie derivabila cu derivata continua atuncigraficul lui f are lungime finita data de

`f =

∫ b

a

√1 + (f ′)2dx. (13.15)