Embed Size (px)
Citation preview
Nepravi integrali i primjene integrala
Franka Miriam Bruckler
() 16. prosinca 2014. 1 / 40
Nepravi integrali
∫ 3
0
dx
x − 1= ln |x − 1||30 = ln 2− ln 1 = ln 2.
Preduvjet definicije odredenog integrala je ogranicenost funkcije naintervalu integriranja!
() 16. prosinca 2014. 2 / 40
Nepravi integrali
∫ 3
0
dx
x − 1= ln |x − 1||30 = ln 2− ln 1 = ln 2.
Preduvjet definicije odredenog integrala je ogranicenost funkcije naintervalu integriranja!
() 16. prosinca 2014. 2 / 40
Nepravi integrali
∫ 3
0
dx
x − 1=∞?!
Neograniceno = beskonacno?
Ako je povrsina necega opisiva kao P(x) = 2 + 11−x za rastuci x > 0, onda
ona ne postaje beskonacno velika iako s rastucim x i ona raste.
Nepravi integrali . . .
. . . su integrali koji podsjecaju na odredene (Riemannove) integrale jer suim definirane granice integriranja, ali je funkcija na intervalu integriranjaneogranicena ili je pak interval integriranja neogranicen. U primjenama sucesci potonji.
() 16. prosinca 2014. 3 / 40
Nepravi integrali
∫ 3
0
dx
x − 1=∞?!
Neograniceno = beskonacno?
Ako je povrsina necega opisiva kao P(x) = 2 + 11−x za rastuci x > 0, onda
ona ne postaje beskonacno velika iako s rastucim x i ona raste.
Nepravi integrali . . .
. . . su integrali koji podsjecaju na odredene (Riemannove) integrale jer suim definirane granice integriranja, ali je funkcija na intervalu integriranjaneogranicena ili je pak interval integriranja neogranicen. U primjenama sucesci potonji.
() 16. prosinca 2014. 3 / 40
Nepravi integrali
Primjeri nepravih integrala∫ 3
0
dx
x − 1,
∫ 1
0ln x dx ,
∫ π
π/2tg x dx ,
∫ +∞
0
dx
x2,
∫ 5
−∞
dx
1 + x2,
∫ +∞
−∞e−x
2dx .
∫ +∞
1f (x) dx =?
() 16. prosinca 2014. 4 / 40
Nepravi integrali
Primjeri nepravih integrala∫ 3
0
dx
x − 1,
∫ 1
0ln x dx ,
∫ π
π/2tg x dx ,
∫ +∞
0
dx
x2,
∫ 5
−∞
dx
1 + x2,
∫ +∞
−∞e−x
2dx .
∫ +∞
1f (x) dx =?
() 16. prosinca 2014. 4 / 40
Nepravi integrali
Nepravi integrali s neogranicenim podrucjem integriranja
∫ b
−∞f (x) dx = lim
R→+∞
∫ a
−Rf (x) dx ,
∫ +∞
af (x) dx = lim
R→+∞
∫ R
af (x) dx ,∫ +∞
−∞f (x) dx =
∫ c
−∞f (x) dx +
∫ +∞
cf (x) dx ,
s tim da je odabir c u zadnjem slucaju proizvoljan.Ukoliko navedeni limesi postoje, kazemo da pojedini od nepravih integralakonvergira, a u suprotnom da divergira.
() 16. prosinca 2014. 5 / 40
Nepravi integrali
Primjer
∫ +∞
1
dx
x= lim
R→+∞
∫ R
1
dx
x= lim
R→+∞ln x |R1 = lim
R→+∞lnR = +∞.
Dakle, integral∫ +∞
1dxx divergira.
Integrali tipa∫ +∞
1dxxa . . .
. . . konvergiraju za a > 1 i divergiraju za a ≤ 1.
Za a 6= 1:
limR→+∞
∫ R
1
dx
xa= lim
R→+∞
R−a+1 − 1
−a + 1→
1a−1 , a > 1
+∞, a < 1
() 16. prosinca 2014. 6 / 40
Nepravi integrali
Integrali tipa∫ +∞−∞ . . .
. . . racunaju se tako da se”razbiju” u nekoj tocki c ; najcesce: c = 0.
Ako je funkcija f parna ili neparna i ako nepravi integral∫ +∞
0 f (x) dxkonvergira, mozemo primijeniti pravila za takve funkcije iz odredenihintegrala.
Primjer ∫ +∞
−∞
dx
1 + x2=
∫ 0
−∞
dx
1 + x2+
∫ +∞
0
dx
1 + x2∫ +∞
0
dx
1 + x2=
∫ +∞
0
dx
1 + x2= lim
R→+∞
∫ R
0
dx
1 + x2=
= limR→+∞
arctg (R) =π
2⇒∫ +∞
−∞
dx
1 + x2= 2 · π
2= π.
() 16. prosinca 2014. 7 / 40
Nepravi integrali
Kakva treba biti podintegralna funkcija . . .
. . . da bi bilo sanse da njen integral od 0 do +∞ konvergira?
Za konvergenciju integrala∫∞
0 f (x) dx nuzno je (ali ne i dovoljno) da jelimx→∞ f (x) = 0, tj. da je x-os HA podintegralne funkcije f .
() 16. prosinca 2014. 8 / 40
Nepravi integrali
Kakva treba biti podintegralna funkcija . . .
. . . da bi bilo sanse da njen integral od 0 do +∞ konvergira?
Za konvergenciju integrala∫∞
0 f (x) dx nuzno je (ali ne i dovoljno) da jelimx→∞ f (x) = 0, tj. da je x-os HA podintegralne funkcije f .
() 16. prosinca 2014. 8 / 40
Nepravi integrali
Gama-funkcija
Sto su faktorijeli?
0! = 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120;6! = 720; . . .
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n · (n − 1)!, n ∈ N
Interpretacija faktorijela
n! je broj nacina da poredamo n predmeta: 3 predmeta se mogu poredatina 6 nacina.
No, pojavila se potreba n u n! poopciti na realan broj . . .
() 16. prosinca 2014. 9 / 40
Nepravi integrali
Gama-funkcija
Sto su faktorijeli? 0! = 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120;6! = 720; . . .
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n · (n − 1)!, n ∈ N
Interpretacija faktorijela
n! je broj nacina da poredamo n predmeta: 3 predmeta se mogu poredatina 6 nacina.
No, pojavila se potreba n u n! poopciti na realan broj . . .() 16. prosinca 2014. 9 / 40
Nepravi integrali
Γ : R \ (−N)→ R, Γ(x) =
∫ +∞
0tx−1e−t dt.
Za prirodne brojeve n . . .
je Γ(n) =
∫ +∞
0tn−1e−t dt = (n − 1)!. Supstitucijom dobivamo korisnu
formulu ∫ +∞
0xne−ax dx =
n!
an+1, n ∈ N.
() 16. prosinca 2014. 10 / 40
Nepravi integrali
Neelementarni integrali
Postoje integrali koji imaju konkretne vrijednosti, ali se odgovarajucaantiderivacija ne moze zapisati jednom formulom (nije elementarnafunkcija). Najpoznatiji takav je
erf x =2√π
∫ x
0exp(−t2) dt
i cesto se pojavljuje u vjerojatnosti i statistici. Posebno se cesto pojavljujenjegova varijanta s x =∞:∫ +∞
0e−ax
2dx =
1
2
√π
a.
() 16. prosinca 2014. 11 / 40
Nepravi integrali
Nepravi integrali s neogranicenom podintegralnomfunkcijom
Integrali oblika∫ ba f (x) dx gdje je limx→a+ f (x) = ±∞ definirani su putem
limesa: ∫ b
af (x) dx = lim
ε→0+
∫ b
a+εf (x) dx .
Integrali oblika∫ ba f (x) dx gdje je limx→b− f (x) = ±∞ definirani su putem
limesa: ∫ b
af (x) dx = lim
ε→0+
∫ b−ε
af (x) dx .
Integrali oblika∫ ba f (x) dx gdje je limx→c± f (x) = ±∞ za neki c ∈ 〈a, b〉
definirani su s ∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx .
Ukoliko navedeni limesi postoje, kazemo da pojedini od nepravih integralakonvergira, a u suprotnom da divergira.
() 16. prosinca 2014. 12 / 40
Nepravi integrali
Primjer
∫ 1
0
dx
x= lim
ε→0+
∫ 1
0+ε
dx
x= lim
ε→0+(ln 1− ln ε) = +∞.
() 16. prosinca 2014. 13 / 40
Nepravi integrali
Integrali tipa∫ 1
0dxxa . . .
. . . konvergiraju za a < 1 i divergiraju za a ≥ 1.
Za a 6= 1:
limR→+∞
∫ 1
ε
dx
xa= lim
R→+∞
1− ε−a+1
−a + 1→
11−a , a < 1
+∞, a > 1
() 16. prosinca 2014. 14 / 40
Primjene integrala
Teorem srednje vrijednosti za integrale
Prva i osnovna primjena (odredenih) integrala je racunanje povrsina likova,oplosja i volumena tijela i duljina krivulja. O tome cete vise saznati navjezbama.Posebno cesto se integrali koriste i za racunanje prosjecne vrijednostifunkcije zadane na intervalu.
Teorem srednje vrijednosti za integrale
Ako je f neprekidna na [a, b] i m je njena minimalna, a M maksimalnavrijednost na tom intervalu, onda je
(b − a)m ≤∫ b
af (x) dx ≤ (b − a)M,
odnosno postoji ordinata c ∈ [m,M] takva da je∫ ba f (x) dx = c · (b − a).
() 16. prosinca 2014. 15 / 40
Primjene integrala
Spomenut broj c naziva se prosjecnom (srednjom) vrijednosti neprekidnefunkcije f na intervalu [a, b], oznacava s f i vrijedi
f =1
b − a
∫ b
af (x) dx .
Kako b − a predstavlja raspon varijable, mozemo reci da∫ b
af (x) dx predstavlja
ukupni iznos (”zbroj svih vrijednosti”) neprekidne funkcije f na [a, b].
Ako funkcija ima konacno mnogo prekida unutar [a, b], pomocu integrala mozemo
racunati prosjecne vrijednosti na podintervalima na kojima je funkcija neprekidna,
a onda prosjecnu vrijednost na cijelom intervalu dobiti kao njihov prosjek.() 16. prosinca 2014. 16 / 40
Primjene integrala
Kolika je prosjecna temperatura patke . . .
. . . tijekom pecenja?Vidjeli smo: u svakom trenutku t tijekom pecenja temperatura patke je
ϑ(t) = 200C− 198Ce−ktmin−1,
gdje je k =(− 1
30 ln 9299
)min−1 ≈ 0,00244438min−1. Patka je pecena
nakon T = min−1
k ln 198200−80 ≈ 204,868 min. Dakle, trazimo
θ =1
T − 0
∫ T
0θ(t) dt =
1
T·(
200C · T +1
k198C(e−kT min−1 − 1)
)=
= 200C +120C− 198C
ln 198120
≈ 44,2C.
() 16. prosinca 2014. 17 / 40
Primjene integrala
Koliko prosjecno traje dan . . .
. . . tijekom zime? Trajanje dana se moze priblizno opisati formulom
D(t) = 12 h + 4 h · sin2πt
365 dana,
gdje kao trenutak t = 0 uzimamo trenutak proljetnog ekvinocija, tj.trenutak pocetak proljeca. Uzmemo li da je onda zima zadnja cetvrtinagodine, tj. od dana 274 do dana 365, dobivamo da je prosjecno trajanjedana tijekom zime
D =1
365− 274
∫ 365
274
(12 + 4 sin
2πt
365
)dt =
=1
91·(
12t − 4365
2π· cos
2πt
365
)∣∣∣∣365
274
≈ 9 h 27 min
dan
Uocite: jedinica za prosjecnu vrijednost funkcije je jedinica funkcijepodijeljena s jedinicom nezavisne varijable.
() 16. prosinca 2014. 18 / 40
Primjene integrala
Kolika je prosjecna gustoca . . .
. . . nehomogenog stapa i gdje mu je centar mase? Uzmimo da je duljina stapa L ida je ovisnost mase opisiva kao neprekidna funkcija udaljenosti od jednog kraja:m(x), 0 ≤ x ≤ L (dakle, pretpostavljamo da je masa uniformno rasporedena duzstapa, tj. da ∆m/∆x ne ovisi o duljini dijela ∆x). Tada je ovisnost gustoce opoziciji opisiva kao ρ(x) = m′(x). Ukupna je masa stapa u tom slucaju
M =
∫ L
0
ρ(x) dx ,
prosjecna gustoca je
ρ =M
L=
1
L
∫ L
0ρ(x) dx
,
a poziciju X centra mase dobijemo iz uvjeta
MX =
∫ L
0
xρ(x) dx .
Posljednji je naime integral infinitezimalna verzija sume∑
mixi .
() 16. prosinca 2014. 19 / 40
Primjene integrala
U fizikalnim i fizikalnokemijskim primjenama cesto se pojavljuju neodredeniintegrali uz pocetni uvjet, tj. odredeni integrali s varijabilnom gornjomgranicom. Posebno ceste su situacije kad znamo funkciju v = F ′(t) brzinepromjene neke funkcije F vremena t (brzinu predenog puta, brzinureakcije, brzinu radioaktivnog raspada, . . . ) i pocetni iznos fF (0) funkcijeciju promjenu promatramo (pocetnu poziciju, pocetnu koncentraciju,pocetni broj atoma radioaktivnog elementa, . . . ). Takvi zadaci se u pravilurjesavaju integriranjem funkcije brzine, a konstanta integriranja se odredujeiz pocetnog uvjeta, odnosno koristenjem Newton-Leibnizove formule:
v =dF
dt⇒ F (T ) = F (0) +
∫ T
0v(t) dt.
Lagani primjer
Ako tijelo mase m pada slobodno s pozicije 0, onda je do trenutka Tpreslo put duljine
s =
∫ T
0gt dt =
g
2T 2.
() 16. prosinca 2014. 20 / 40
Primjene integrala
Malo kemijske kinetike
Za reakciju stehiometrije A + B −−→ P vrijedi: koncentracija c bilo kojegsudionika reakcije (ciji stehiometrijski koeficijent je ν i pocetna koncentracija c0)je dana s c = c0 + νx , gdje je x pomocna velicina povezana s brzinom reakcije:
v =1
ν· dc
dt=
dx
dt.
Ako je gornja reakcija drugog reda, i to prvog obzirom na svaki od dva reaktanta,onda po definiciji vrijedi
dx
dt= kcAcB,
gdje je k koeficijent brzine reakcije. Oznacimo s a i b pocetne koncentracije od Ai B. Kako su stehiometrijski koeficijenti oba reaktanta u ovoj reakciji jednaki −1,slijedi cA = a− x i cB = b − x pa imamo
dx
dt= k(a− x)(b − x).
() 16. prosinca 2014. 21 / 40
Primjene integrala
Zadnju jednadzbu mozemo zapisati i ovako:
dt
dx=
1
k(a− x)(b − x)
i cega integriranjem po x od 0 do x(T ) za odabrano trajanje reakcije Tdobivamo
0− T =1
k(b − a)
∫ x(T )
0
(1
a− x− 1
b − x
)dx =
1
k(b − a)ln
b − x
a− x
odnosno1
b − aln
a− x
b − x= kT
Uvrstavanjem a− x = cA i b − x = cB dobivamo integrirani oblik zakonabrzine reakcije
1
a− bln
bcAacB
= kt.
() 16. prosinca 2014. 22 / 40
Primjene integrala
Rad
Postoje razlicite vrste rada, a sve su za neprekidne procese definiraneputem integrala.
Mehanicki rad uslijed djelovanja sile iznosa F (x) za pomak x od
pozicije a do pozicije b definiran je s w =
∫ b
aF (x) dx ;
Volumni rad w = −∫ V2
V1
p(V ) dV (za reverzibilnu promjenu
volumena od V1 do V2; ovdje je p(V ) tlak pri volumenu V );
Kemijski rad w =
∫ n2
n1
µ(n) dn (za promjenu mnozine od n1 do n2;
ovdje je µ(n) kemijski potencijal promatrane komponente kad joj jemnozina n);
Elektricni rad w =
∫ b
a
keq1q2
r2dr (rad izvrsen za pomicanje naboja q1
od udaljenosti r = a do udaljenosti r = b u odnosu na naboj q2;ke = 8,99 · 109 Nm2 C−2 je Coulombova konstanta).
() 16. prosinca 2014. 23 / 40
Primjene integrala
O mehanickom radu
w = ∆T
Po 2. Newtonovom zakonu vrijedi F = mv = mx te je
w =
∫ b
aF (x) dx = m
∫ b
a
dv
dtdx = ( dx = v dt) =
= m
∫ b
a
dv
dtv dt = m
∫ vb
va
v dv =m(v2
b − v2a )
2= ∆T .
w = −∆V
Ako F (neprekidno) ovisi samo o poziciji tijela x , onda mora postojatiantiderivacija od F , tj. funkcija pozicije −V takva da je −V ′(x) = F (x)za sve x i tu antiderivaciju zovemo potencijalnom energijom tijela. U tomje slucaju
w =
∫ b
aF (x) dx = Va − Vb = −∆V .
() 16. prosinca 2014. 24 / 40
Primjene integrala
Opcenito, sile za koje pripadni rad ne ovisi o putu, nego samo o pocetnoj ikonacnoj poziciji (dakle, one koje imaju antiderivaciju −V i ako se pocetna ikonacna pozicija podudaraju, rad je 0), zovemo konzerativnim silama. Medukonzervativne sile spadaju konstantna sila (V (x) = −Fx + C ) i sila elasticne
opruge F (x) = −kx (V (x) = kx2
2 + C ). Za takve sile kombinacija prethodna dvaprimjera daje
∆T = −∆V ,
tj. zakon ocuvanja energije. Uocimo da se ne moze definirati apsolutna ljestvicaza potencijalnu energiju!
Elektrostatski potencijal
Rad potreban da se dva naboja iz beskonacnosti dovedu na razmak x (izvrsenkontra unutarnje sile) jednak je radu potrebnom da se takvi naboji razdvoje spocetnog razmaka R:
w = w =
∫ ∞R
keq1q2
r2dr = lim
X→∞
(−keq1q2
X+
keq1q2
R
)=
keq1q2
R.
To vrijedi za svaki R ≥ 0 te je posljednjim izrazom definiran elektrostatskipotencijal za dva naboja na razmaku R.
() 16. prosinca 2014. 25 / 40
Primjene integrala
Opcenito, sile za koje pripadni rad ne ovisi o putu, nego samo o pocetnoj ikonacnoj poziciji (dakle, one koje imaju antiderivaciju −V i ako se pocetna ikonacna pozicija podudaraju, rad je 0), zovemo konzerativnim silama. Medukonzervativne sile spadaju konstantna sila (V (x) = −Fx + C ) i sila elasticne
opruge F (x) = −kx (V (x) = kx2
2 + C ). Za takve sile kombinacija prethodna dvaprimjera daje
∆T = −∆V ,
tj. zakon ocuvanja energije. Uocimo da se ne moze definirati apsolutna ljestvicaza potencijalnu energiju!
Elektrostatski potencijal
Rad potreban da se dva naboja iz beskonacnosti dovedu na razmak x (izvrsenkontra unutarnje sile) jednak je radu potrebnom da se takvi naboji razdvoje spocetnog razmaka R:
w = w =
∫ ∞R
keq1q2
r2dr = lim
X→∞
(−keq1q2
X+
keq1q2
R
)=
keq1q2
R.
To vrijedi za svaki R ≥ 0 te je posljednjim izrazom definiran elektrostatskipotencijal za dva naboja na razmaku R.
() 16. prosinca 2014. 25 / 40
Primjene integrala
O volumnom radu pri reverzibilnoj ekspanziji/kompresiji
Idealni plin uz konstantnu temperaturu i mnozinu
w = −∫ V2
V1
p(V ) dV = −nRT∫ V2
V1
dV
V= nRT ln
V1
V2.
Ako se recimo nekom idealnom plinu pri izotermnoj ekspanziji volumenpovecao se osam puta, w = −nRT ln 8.
Reverzibilna ekspanzija/kompresija moze se zamisliti kao niz ireverzibilnihekspanzija/kompresija, kod kojih su promjene volumena infinitezimalnomale. Kako se kod ireverzibilne promjene volumena izvrseni rad dobiva kaoumnozak konacnog tlaka i iznosa promjene volumena, formula zareverzibilnu ekspanziju/kompresiju moze se shvatiti kao specijalni slucajdefinicije odredenog integrala.
() 16. prosinca 2014. 26 / 40
Primjene integrala
Pitanje
U kojem slucaju ce volumni rad iznositi w = p∆V ?
() 16. prosinca 2014. 27 / 40
Primjene integrala
Primjene u (kemijskoj) termodinamici
Odredeni integrali se koriste i za odredivanje promjena iznosatermodinamickih funkcija stanja (entalpije, entropije, . . . ). Funkcije stanjasu funkcije cije promjene tijekom bilo kojeg procesa ovise samo opocetnom i konacnom stanju, a ne i o samom procesu, tj. medustanjima.Primjerice, promjena entalpije H se za izobarne procese racuna kao
∆H =
∫ T2
T1
Cp(T ) dT ,
a veza izmedu promjene entalpije i unutrasnje energije za izobarne procesedana je s
∆H = ∆U + p∆V
(∆V je razlika konacnog i pocetnog volumena).
() 16. prosinca 2014. 28 / 40
Primjene integrala
Jedno izobarno zagrijavanje
Odredimo ∆H i ∆U ako se 1,00 mol dusika izobarno (pri tlaku p = 1,00atm) zagrije od 25C do 100 C, uz pretpostavku da se pritom N2 ponasakao idealan plin i da za to zagrijavanje molarni toplinski kapacitetCp,m =
Cp
n moze aproksimirati funkcijom
Cp,m(T ) = a + bT +c
T 2.
Pritom empirijski parametri a, b, c ne ovise o T i za dusik iznosea = 28,58 J K−1 mol−1, b = 3,77 · 10−3 J K−2 mol−1 ic = −0,50 · 105 J K mol−1.Imamo
Cp(T ) = n · Cp,m(T ) = na + nbT +nc
T 2,
∆H =
∫ T2
T1
Cp,m(T ) dT = na(T2 − T1) + nb(T 22 − T 2
1 )− nc
(1
T2− 1
T1
)
() 16. prosinca 2014. 29 / 40
Primjene integrala
Nakon uvrstavanja poznatih podataka dobijemo ∆H = 2,2 · 103 J, dakle jeu opisanom procesu entalpija porasla: promatrani proces je endoterman.Kako je pV = nRT , slijedi da je pri izobarnoj promjeni (uz konstantnumnozinu) p∆V = nR∆T i stoga je
∆U = ∆H − p∆V = ∆H − nR∆T
te zbog ∆T = 75,0 K dobivamo ∆U = 1,6 · 103 J.
() 16. prosinca 2014. 30 / 40
Primjene integrala
Osnove vjerojatnosti — neprekidni slucaj
Pod slucajnim pokusom podrazumijevamo svaku aktivnost ciji ishod nije moguceunaprijed predvidjeti. Skup svih mogucih ishoda nekog slucajnog pokusa zove sevjerojatnosni prostor, a njegovi elementi zovu se elementarni dogadaji.Podskupovi vjerojatnosnog prostora zovu se dogadaji i oznacavaju velikim slovimalatinske abecede. Primjerice, dogadaj
”pri bacanju kocke pao je prost broj” moze
se shvatiti kao podskup A = 2, 3, 5 od Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vjerojatnost je funkcija koja svakom dogadaju A pridruzuje njegovu vjerojatnostp(A) ∈ R, pri cemu mora vrijediti:
1 Vjerojatnost nikojeg dogadaja ne moze biti negativna: p(A) ≥ 0 za sve A.
2 Sigurno ce se desiti neki ishod iz vjerojatnosnog prostora: p(Ω) = 1.
3 Ako se dogadaji A1, A2, . . . , medusobno iskljucuju (nemaju zajednickihelemenata), vjerojatnost da se dogodi neki od njih jednaka je zbroju njihovihvjerojatnosti: p(A1 ∪A2 ∪ . . .) = p(A1) + p(A2) + . . . ako Ai ∩Aj = ∅ za sveparove indeksa i , j .
Iz navedenih svojstava slijedi da su vjerojatnosti uvijek brojevi izmedu 0 i 1.
() 16. prosinca 2014. 31 / 40
Primjene integrala
Primijetimo da se za svaki dogadaj A (”dogodilo se A”) on i njegov
suprotni dogadj Ac = Ω \ A (”nije se dogodio A”) medusobno iskljucuju.
Stoga je p(A) + p(Ac) = p(Ω) = 1, te vrijedi sljedeca formula zavjerojatnost suprotnog dogadaja:
p(Ac) = 1− p(A).
Slucajna varijabla je varijabla koja na slucajan, nepredvidljiv, nacinpoprima vrijednosti iz odredenog skupa brojeva; malo preciznije, slucajnavarijabla je funkcija koja svakom mogucem ishodu (elementarnomdogadaju) pridruzuje realan broj (obicno neko svojstvo rezultata pokusa).Pisemo X : Ω→ R. Ako X moze poprimiti samo konacno ili prebrojivomnogo vrijednosti, govorimo o diskretnoj slucajnoj varijabli, a inace okontinuiranoj (neprekidnoj).
Primjer
X koja ishodu bacanja novcica (pismo ili glava) pridruzuje 0 ili 1 jediskretna slucajna varijabla. Y koja slucajno odabranom studentupridruzuje njegovu visinu je kontinuirana slucajna varijabla.
() 16. prosinca 2014. 32 / 40
Primjene integrala
Funkcija koja opisuje vjerojatnost da slucajna varijabla nece poprimitivrijednosti vece od x , tj.
F (x) = p(X ≤ x), x ∈ R
zove se funkcija razdiobe slucajne varijable X . Ocigledno F mozepoprimati vrijednosti samo izmedu 0 i 1 i mora biti rastuca.U slucaju kontinutiranih slucajnih varijabli koje mogu poprimiti vrijednostiu intervalu I ⊆ R (obicno: I = R ili I = R+) u pravilu postoji funkcijaϕ : I → R takva da vrijedi
F (x) =
∫t≤x
ϕ(t)dt.
Takvu funkciju ϕ nazivamo funkcijom gustoce vjerojatnosti slucajnevarijable X . Ako ona postoji, vidimo da je vjerojatnost da X poprimivrijednosti u [a, b] ⊆ I jednaka
p(a ≤ X ≤ b) = p(X ≤ b)− p(X ≤ a) =
∫ b
aϕ(x)dx .
() 16. prosinca 2014. 33 / 40
Primjene integrala
Posebno, vjerojatnost p(X = a) = 0 za sve vrijednosti a i∫∞−∞ f (x)dx = 1
(posljednji se uvjet zove normiranost funkcije gustoce). Ocekivanje(ocekivana ili prosjecna vrijednost) slucajne varijable X se u opisanomslucaju definira kao
〈X 〉 =
∫ ∞−∞
xϕ(x)dx .
Za jedinicni raspon x ± 1/2 vjerojatnost da kontinuirana slucajna varijablapostize vrijednosti u tom rasponu (p(x − 1/2 ≤ X ≤ x + 1/2)) mozemougrubo procijeniti s ϕ(x) (ali opcenito f (x) 6= P(X = x) = 0).Primijetimo i da kod kontinuiranih slucajnih varijabli imamop(X ≤ b) = p(X < b), p(X ≥ a) = p(X > a),
p(a ≤ X ≤ b) = p(X ≤ b)− p(X ≤ a) = F (b)− F (a),
p(X ≥ a) = 1− p(X ≤ a) = 1− F (a).
() 16. prosinca 2014. 34 / 40
Primjene integrala
Posebno, vjerojatnost p(X = a) = 0 za sve vrijednosti a i∫∞−∞ f (x)dx = 1
(posljednji se uvjet zove normiranost funkcije gustoce). Ocekivanje(ocekivana ili prosjecna vrijednost) slucajne varijable X se u opisanomslucaju definira kao
〈X 〉 =
∫ ∞−∞
xϕ(x)dx .
Za jedinicni raspon x ± 1/2 vjerojatnost da kontinuirana slucajna varijablapostize vrijednosti u tom rasponu (p(x − 1/2 ≤ X ≤ x + 1/2)) mozemougrubo procijeniti s ϕ(x) (ali opcenito f (x) 6= P(X = x) = 0).Primijetimo i da kod kontinuiranih slucajnih varijabli imamop(X ≤ b) = p(X < b), p(X ≥ a) = p(X > a),
p(a ≤ X ≤ b) = p(X ≤ b)− p(X ≤ a) = F (b)− F (a),
p(X ≥ a) = 1− p(X ≤ a) = 1− F (a).
() 16. prosinca 2014. 34 / 40
Primjene integrala
Osnove kvantne teorije
U kvantnoj teoriji se elektroni u atomu i molekuli opisuju se valnimfunkcijama koje zovemo orbitalama, a koje indirektno opisuju vjerojatnostnalazenja elektrona u nekoj tocki prostora. Valne funkcije su u opcemslucaju kompleksne funkcije, no ako je valna funkcija ψ : D → C, onda jeuvijek funkcija ψ∗ψ realna. Prema Bornovoj interpretaciji valne funkcije,funkcija
ϕ = |ψ|2
je funkcija gustoce vjerojatnosti za nalazenje elektrona u prostoru (i ovisi otri prostorne varijable). Cesto se koristi i radijalna gustoca vjerojatnosti
φ(r) = 4πr2|ψ|2
koja opisuje vjerojatnost da elektron bude na nekoj udaljenosti r od jezgre.U kontekstu valnih funkcija cesto je pitanje i njihove ortogonalnosti: dvijerealne funkcije f i g definirane na istom intervalu I su ortogonalne ako je∫
If (x)g(x) dx = 0.
() 16. prosinca 2014. 35 / 40
Primjene integrala
Prosjecni polumjer vodikove 1s orbitale
1s orbitala vodikova atoma je valna funkcija ψ1,0,0 =1√a3
0π· e−r/a0 , gdje
je a0 = 52,9pm Bohrov radijus. Stoga je
ϕ1,0,0 = ψ21,0,0 =
1
a30π· e−2r/a0 .
Ovdje je r ∈ I = [0,+∞〉.Zelimo odrediti 〈r〉 pa nam treba radijalna funkcija gustoce
φ1,0,0(r) = 4r2πψ21,0,0(r) =
4
a30
r2e−2r/a0
pa je
〈r〉 =
∫ +∞
0rφ(r) dr =
4
a30
∫ +∞
0r3e−2r/a0 dr .
() 16. prosinca 2014. 36 / 40
Primjene integrala
Koristeci formulu∫ +∞
0 xne−ax dx = n!an+1 dobivamo
〈r〉 =4
a30
· 3!
(2/a0)4=
3
2a0.
Uocite: prosjecna tj. ocekivana udaljenost elektrona od jezgre je 32
Bohrova radijusa, dok je udaljenost za koju je ψ21,0,0 maksimalna
(”najvjerojatnija” udaljenost) jednaka Bohrovom radijusu. Dakle:
ocekivani rezultat ne mora biti isto sto i najvjerojatniji rezultat (nije svakadistribucija vjerojatnosti normalna). No, kako r moze poprimiti bilo kojuvrijednost u intervalu I , prema vec spomenutom je vjerojatnost da 1selektron nademo tocno na nekoj udaljenosti od jezgre, pa bila to i
”najvjerojatnija” udaljenost a0 ili ocekivana 3
2a0, jednaka je nuli. Jedinenenul vjerojatnosti koje mozemo odrediti u slucaju da je vjerojatnostopisana na nekom intervalu definiranom i neprekidnom funkcijom gustoce,su vjerojatnosti da rezultat bude unutar nekog intervala. Primjerice,vjerojatnost da ce nas elektron biti na udaljenosti izmedu a0 i 3
2a0 jednakje povrsini ispod grafa od φ1,0,0 i izmedu navedenih apscisa (iznosi∫ 3a0/2a0
φ1,0,0(r) dr = (10e − 17)/(2e3) ≈ 25,3%.
() 16. prosinca 2014. 37 / 40
Primjene integrala
Radijalna gustoca vjerojatnosti za 1s (plavo) i 2s (crveno) orbitalujednoelektronskog atoma.
() 16. prosinca 2014. 38 / 40
Primjene integrala
Konstanta normiranja 2s orbitale vodikova atoma
2s orbitala za vodikov atom je valna funkcija ψ2,0,0(r) = N
(2− r
a0
)e−r/(2a0).
Koliko iznosi N?Opet kao funkciju gustoce uzimamo radijalnu gustocu vjerojatnosti:
φ2,0,0(r) = 4N2πr2
(2− r
a0
)2
e−r/a0 ,
a zahtjev normiranja za ovu funkciju glasi∫ +∞
0φ2,0,0(r) dr = 1. Racunanje
integrala na lijevoj strani gornje jednakosti daje∫ +∞
0
φ2,0,0(r) dr = 4N2π
∫ +∞
0
r2
(2− r
a0
)2
e−r/a0 dr = 32N2a30π
sto treba biti jednako 1, dakle je konstanta normiranja
N =
√1
32πa30
=1
4√
2πa30
.
() 16. prosinca 2014. 39 / 40
Primjene integrala
Cestica u jednodimenzionalnoj kutiji . . .
. . . je cestica koja se moze gibati samo unutar segmenta [0, a]. Pripadne valnefunkcije dane su (za razlicite kvantne brojeve n ∈ N0) formulom
ψn(x) = A sinnπx
a, 0 ≤ x ≤ a.
Odredite konstantu normiranja A, pokazite da su valne funkcije cestice ujednodimenzionalnoj kutiji za razlicite kvantne brojeve ortonormirane (normirane imedusobno ortogonalne), odredite ocekivanu vrijednost 〈x〉 polozaja cestice ivjerojatnost P da se cestica nade u srednjoj trecini kutije!
Prvih pet funkcija gustoce vjerojatnosti za cesticu u jednodimenzionalnoj kutiji.
() 16. prosinca 2014. 40 / 40
