Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred22.pdf · Kartezijevom (Kartezijevom) koordinatnom sustavu u prostoru. Koordinatne osisu brojevni pravci

Uvod Ravnine u prostoru Mrezne ravnine Pravci u prostoru Reciprocni prostor i reciprocna resetka

Analiticka geometrija prostora

Franka Miriam Bruckler


U analitickog geometriji u ravnini se pomocu koordinata (uredenihparova realnih brojeva) proucavaju tocke ravnine i njihovi skupovi:pravci, krivulje drugog reda, . . . U trodimenzionalnom prostorupojavljuju se i dvodimenzionalni podskupovi — plohe. Najvaznijeplohe u prostoru zovu se ravnine. Objekti u prostoru opisuju sejednom ili vise jednadzbi s tri nepoznanice, koje predstavljajukoordinate tocaka pojedinog promatranog objekta. Tri osnovnevrste objekata koje cemo promatrati su tocke, pravci i ravnine.Da bismo se mogli baviti analitickom geometrijom prostora,potrebno je prvo odabrati koordinatni sustav. Ako je kao baza

odabrana desna ortonormirana baza {−→i ,−→j ,−→k } govorimo o

Kartezijevom (Kartezijevom) koordinatnom sustavu u prostoru.Koordinatne osi su brojevni pravci kroz ishodiste kojima se smjeroviredom podudaraju sa smjerovima vektora odabrane baze.Koordinatne ravnine su ravnine odredene s po dvije koordinatne osi.


Kristalografska baza

U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi uprostoru. Karakteristika kristalnih struktura je njihova periodicnostkoja se ocituje u tome da je moguce odabrati cetverostranu prizmu(jedinicnu celiju) cijim translacijama u smjerovima njenih bridovadobivamo citav kristal. Nesto preciznije, neka je jedinicna celija

cetverostrana prizma razapeta vektorima {−→a ,−→b ,−→c } (te vektore

zovemo kristalografskom bazom). Odaberimo ih tako da imajuzajednicki pocetak kojeg cemo uzeti kao ishodiste koordinatnogsustava. Duljine tih vektora (parametre kristalne resetke) a, b i cuzimamo kao jedinice duljine na koordinatnim osima. Odgovarajucikoordinatni sustav zove se kristalografski koordinatni sustav, sosima koje zovemo a-os, b-os i c-os. Tocke jedinicne celije u tomsustavu imaju koordinate unutar intervala [0, 1〉. Kutovi medu

vektorima baze oznacavaju se s α = ∠(−→b ,−→c ), β = ∠(−→a ,−→c ),

γ = ∠(−→a ,−→b ).


Koordinatne operacije s vektorima

−→v = [x , y , z ], −→w = [x ′, y ′, z ′], −→u = [x ′′, y ′′, z ′′] Obzirom na bilokakvu bazu:

−→v +−→w = [x + x ′, y + y ′, z + z ′], α−→v = [αx , αy , αz ],

Obzirom na ortonormiranu bazu:

−→v · −→w = xx ′ + yy ′ + zz ′, |−→v | =√

x2 + y 2 + z2,

−→v ×−→w = [yz ′ − y ′z , x ′z − xz ′, xy ′ − x ′y ],

(−→v ,−→w ,−→u ) = −x ′′y ′z + x ′y ′′z + x ′′yz ′ − xy ′′z ′ − x ′yz ′′ + xy ′z ′′.


Udaljenost dviju tocaka i poloviste duzine

Ako promatramo pojedinacne tocke, najcesce nas zanimaju njihovemedusobne udaljenosti. Za dvije tocke T (x , y , z) i T ′(x ′y ′, z ′)njihova udaljenost jednaka je duljini vektora−−→TT ′ =

−−→OT ′ −

−→OT = [x ′ − x , y ′ − y , z ′ − z ], a ona je prema

prethodnom jednaka

√−−→TT ′ ·

−−→TT ′. Ako je odabrana baza

ortonormirana slijedi formula za udaljenost dvije tocke u prostoru:

d(T ,T ′) =√

(x ′ − x)2 + (y ′ − y)2 + (z ′ − z)2.

Poloviste duzine TT ′ dano je koordinatama(x+x ′

2 , y+y ′

2 , z+z ′

2

). Ta

formula vrijedi i ako odabrani koordinatni sustav nije Kartezijev.

Zadatak

Kako biste u opcem kristalografskom sustavu izracunali udaljenostdviju tocaka?


Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .

. . . u ravnini?

. . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0?

z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0?

x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?

x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?

Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!

Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?


Svaka linearna jednadzba s tri nepoznanice opisuje neku ravninu uprostoru kao sto svaka linearna jednadzba s dvije nepoznaniceopisuje neki pravac u ravnini. Linearna jednadzba

Ax + By + Cz + D = 0

koja povezuje tri prostorne koordinate je opca jednadzba ravnine: udanoj ravnini su tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.

Ako je koordinatni sustav Kartezijev, vektor normale te ravnine jevektor s koordinatama [A,B,C ] (ili bilo koji njemu kolinearanvektor koji nije nulvektor).


Svaka linearna jednadzba s tri nepoznanice opisuje neku ravninu uprostoru kao sto svaka linearna jednadzba s dvije nepoznaniceopisuje neki pravac u ravnini. Linearna jednadzba

Ax + By + Cz + D = 0

koja povezuje tri prostorne koordinate je opca jednadzba ravnine: udanoj ravnini su tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.Ako je koordinatni sustav Kartezijev, vektor normale te ravnine jevektor s koordinatama [A,B,C ] (ili bilo koji njemu kolinearanvektor koji nije nulvektor).


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste?

A tocka (1, 8, 2)? Koje su koordinate vektora normaleove ravnine ako je koordinatni sustav Kartezijev?

Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?

U Kartezijevom koordinatnom sustavu ravninu mozemo zadativektorom normale (dakle, smjerom okomitim na nju) i jednomtockom. Ako znamo da je tocka (x0, y0, z0) u ravnini i da joj jevektor normale −→n = [A,B,C ], jednadzba ravnine je

A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?

Koje su koordinate vektora normaleove ravnine ako je koordinatni sustav Kartezijev?

Zadatak



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)? Koje su koordinate vektora normaleove ravnine ako je koordinatni sustav Kartezijev?

Zadatak



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste?

O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?


A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata?

O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?


A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom?

Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?


A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Zadatak


Zadatak



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.


Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?

Ravnina zadana trima tockama Ti = (xi , yi , zi ), i = 1, 2, 3 imajednadzbu ∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Kako biste mogli izvesti tu jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?


Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?Ravnina zadana trima tockama Ti = (xi , yi , zi ), i = 1, 2, 3 imajednadzbu ∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Kako biste mogli izvesti tu jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?


Paralelnost i okomitost ravnina

Dvije ravnine u prostoru su paralelne tocno ako su im vektorinormala paralelni (tj. imaju proporcionalne koordinate), a okomiteako su im vektori normala okomiti (tj. skalarni produkt im je nula).Ako su jednadzbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 iA′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0, uvjet paralelnosti ravnina mozemoformulom zapisati kao

A : A′ = B : B ′ = C : C ′.

Ekvivalentno: ravnine su paralelne ako je −→n ×−→n′ =

−→0 , gdje su −→n

i−→n′ njihove normale.

Uvjet okomitosti ravnina mozemo zapisati kao −→n ·−→n′ = 0, odnosno

koordinatno (ako je sustav Kartezijev)

AA′ + BB ′ + CC ′ = 0.


Kut izmedu ravnina

Kut izmedu ravnina definira se kao kut njihovih normala, tj.

cosϕ =−→n ·−→n′

|−→n | · |−→n′ |.

Pritom se bira ϕ ∈ [0, π〉.

Primjer

Kut izmedu ravnina x − y − z = 0 i x − y-ravnine z = 0, uz uvjetda je odabrani koordinatni sustav Kartezijev, dan je s

cosϕ =1 · 0− 1 · 0− 1 · 1√

12 + (−1)2 + (−1)2 ·√

0 + 0 + 12=−1√

3,

te je ϕ ≈ 125, 264◦.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Segmentni oblik jednadzbe ravnine

Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine gdje se izkoeficijenata direktno vide probodista koordinatnih osi (odsjecci) iravnine. To je oblik

x

m+

y

n+

z

p= 1,

a brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.

Ravnina na slici desno ima segmentni oblik

x2 + y

3 + z4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati

i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12. Segmentnioblik jednadzbe se u matematici ne koristi akoje ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osiniti kad prolazi kroz O, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.




x

m+

y

n+

z

p= 1,


Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y


i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12.

Segmentnioblik jednadzbe se u matematici ne koristi akoje ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osiniti kad prolazi kroz O, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.




x

m+

y

n+

z

p= 1,


Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y


i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12. Segmentnioblik jednadzbe se u matematici ne koristi akoje ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osiniti kad prolazi kroz O, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.


(Kristalna) resetka se sastoji od svih tocaka prostora koje u(kristalografskom) koordinatnom sustavu imaju cjelobrojnekoordinate. Postoji sedam osnovnih tipova kristalnih resetki, a kojisu poznati pod nazivom kristalni sustavi.U kristalografiji od zanimanja su samo odredene, tzv. mrezneravnine: ravnine koje prolaze kroz, medusobno relativno bliske,tocke resetke (kroz 3 i stoga beskonacno mnogo) tocaka resetke.Pritom se medusobno paralelne mrezne ravnine smatrajuekvivalentnim. Konkretan makroskopski kristal je poliedar omedenplohama (stranama poliedra) cije ravnine pripadaju pojedinomskupu medusobno ekvivalentnih mreznih ravnina.


Promotrimo prvo dvodimenzionalnianalog kristalne resetke odreden bazom

{−→a ,−→b }. Na slici su ucrtana dva od

mogucih smjerova mreznih pravaca.

Kad bismo neku tocku resetke prozvali ishodistem, vidimo dazadani smjer pravaca ima jednadzbe u segmentnom obliku

x

mλ+

y

nλ= 1

gdje su m, n, λ ∈ Z (uz fiksirane m i n za razlicite λ dobivamorazlicite, ali medusobno paralelne, mrezne pravce). Analogno, uprostoru ce odabrani smjer ravnina u kristalnoj resetki biti opisanjednadzbama segmentnog oblika

x

mλ+

y

nλ+

z

pλ= 1

s m, n, p, λ ∈ Z. Oprez: λm, λn i λp nisu stvarne udaljenosti odishodista do sjecista koordinatnih osi s ravninama, nego samorelativne (stvarne udaljenosti se dobiju kao

λma, λnb i λpc).


Promotrimo prvo dvodimenzionalnianalog kristalne resetke odreden bazom

{−→a ,−→b }. Na slici su ucrtana dva od

mogucih smjerova mreznih pravaca.

Kad bismo neku tocku resetke prozvali ishodistem, vidimo dazadani smjer pravaca ima jednadzbe u segmentnom obliku

x

mλ+

y

nλ= 1

gdje su m, n, λ ∈ Z (uz fiksirane m i n za razlicite λ dobivamorazlicite, ali medusobno paralelne, mrezne pravce). Analogno, uprostoru ce odabrani smjer ravnina u kristalnoj resetki biti opisanjednadzbama segmentnog oblika

x

mλ+

y

nλ+

z

pλ= 1

s m, n, p, λ ∈ Z. Oprez: λm, λn i λp nisu stvarne udaljenosti odishodista do sjecista koordinatnih osi s ravninama, nego samorelativne (stvarne udaljenosti se dobiju kao λma, λnb i λpc).


Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve medusobnoparalelne mrezne ravnine jednog smjera. Nacelno, ta se trojka mozeodabrati proizvoljno, no uobicajena konvencija je da se (m, n, p) sebira tako da su m, n i p relativno prosti cijeli brojevi1. Ti brojevizovu se Weissovi parametri plohe na kristalu, tocnije smjera njenihmreznih ravnina. Kaze se da ploha ima Weissove parametre

ma : nb : pc.

U slucaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi,dogovorno se pripadni Weissov parametar oznacava s ∞.

Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre

∞a :∞b : pc.Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre ma : nb :∞c.

1Ili pak racionalni brojevi takvi da je n = 1.



ma : nb : pc.


Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc.

Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre

ma : nb :∞c.




ma : nb : pc.


Primjer

Ploha paralelna s −→a i−→b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc.

Ploha paralelna sa −→c ima Weissove parametre ma : nb :∞c.



Drugi nacin opisa smjera mreznih ravnina su Millerovi indeksi(hkl). Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pc te ako je vnajmanji zajednicki visekratnik od m, n i p, onda je

h =v

m, k =

v

n, l =

v

p.

Ako je neki od Weissovih parametara ∞, on se ne uzima u obzir zaracunanje v , a odgovarajuci Millerov indeks je po definiciji jednak0. Geometrijski, za kubicni sustav Millerovi indeksi predstavljajukoordinate vektora normale na dani smjer ravnina, s tim da nisuproizvoljno odabrane.


Primjer

Promotrimo ravninu s jednadzbom x15 + y

10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su

15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer

Recimo da jedna ravnina danog smjera sijece koordinatne osiredom u tockama na udaljenostima 2a, b, 3c od ishodista. Pripadnisegmentni oblik jednadzbe te ravnine je

x

2+

y

1+

z

3= 1.

Millerovi indeksi tog smjera su (362).


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga

3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su

(463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Primjer


10 + z20 = 1. Njeni

odsjecci na kristalografskim osima su 15, 10, 20. Weissoviparametri njenog smjera su stoga 3a : 2b : 4c. Millerovi indeksinjenog smjera su (463).

Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.

Millerovi indeksi tog smjera su

(362).


Primjer


10 + z20 = 1. Njeni


Primjer


x

2+

y

1+

z

3= 1.



Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)?

A Millerovi indeksi(010)?

Zgodno je uociti: sto je neki Millerov indeks veci u odnosu nadruga dva indeksa (dakle, odgovarajuci odsjecak na pripadnoj osi jemanji), ravnina je bliza paralelnosti koordinatnoj ravnini na koju seodnose ta dva druga indeksa. Negativni Weissovi parametri iMillerovi indeksi oznacavaju se znakom minus iznad parametraodnosno indeksa. Tako primjerice ravnina 2x − y = 3 imaWeissove parametre 1a : 2b :∞c, a Millerove indekse (210).

Napomena

Ravnine poput x + y − z = 1 i x−2 + y

−2 + z2 = 1 su doduse

paralelne, ali se kod oznacavanja putem Weissovih parametara iMillerovih indeksa razlikuju. Tako ce prva od njih imati Milleroveindekse (111), a druga (111).


Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A Millerovi indeksi(010)?


Napomena





Zadatak

Kakve ravnine opisuju Millerovi indeksi (110)? A Millerovi indeksi(010)?


Napomena





Razmak susjednih mreznih ravnina (ortogonalni sustavi)

dhkl = d(O,N);

δ, φ i ϕ: kutovi ON premakoordinatnim osima;

cos δ =dhkl

a/h,

cosφ =dhkl

b/k,

cosϕ =dhkl

c/l;

cos2 δ + cos2 φ+ cos2 ϕ = 1;

1

d2hkl

=h2

a2+

k2

b2+

l2

c2


Zadatak

Nadite opcu jednadzbu (230) mrezne ravnine najblize ishodistukoja sve tri osi sijece u tockama resetke!

Zadatak

Ako je u kristalografskom koordinatnom sustavu jednadzba mrezneravnine 2x − y = 5, izrazite njen smjer Millerovim indeksima.

Zadatak

Spoj Rb3TlF6 kristalizira u tetagonskom sustavu (a = b = 651pm, c = 934 pm, α = β = γ = 90◦). Neka mrezna ravnina jeparalelna a-osi, b os sijece na udaljenosti od 1302 pm, a c os naudaljenosti od 2802 pm od ishodista. Odredite Millerove indeksesmjera te ravnine.

Zadatak

Neka je tetragonska jedinicna celija zadana parametrima a = 4,820A, c = 6,288 A. Koliki je razmak ravnina (211)?


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak

(a) Odredite Millerove indekse mrezne ravnine koja ima jednadzbu15x − 6z = 60. Ako je to mrezna ravnina nekog rompskogkristala s duljinama (medusobno okomitih) bridova jedinicnecelije a = 5,89 A, b = 8,22 A, c = 7,98 A, koliki je razmakdviju susjednih mreznih ravnina koje imaju isti smjer kao iravnina 15x − 6z = 60?

(b) Ako je poznato da su valna duljina λ zracenja, kut θ podkojim se opaza refleks i razmak susjednih ravnina tog smjerapovezani Braggovim zakonom λ = 2dhkl sin θ (kutevi θ suizmedu 0◦ i 90◦). Koja je maksimalna valna duljina zracenjaza koju je moguc refleks na smjeru mreznih ravnina iz zadatka(a)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi?

y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?

Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?

Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Pravci u prostoru

Pravac u prostoru odreden je svojim smjerom (tj. bilo kojim njemuparalelnim vektorom smjera) i jednom tockom. Alternativno,pravac mozemo zadati kao presjek dvije neparalelne ravnine.Parametarske jednadzbe pravca s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ]koji prolazi tockom (x0, y0, z0) su oblika

x = x0 + ut,

y = y0 + vt,

z = z0 + wt,

t ∈ R.

Umjesto tockom i vektorom smjera, pravac moze biti zadan i sdvije tocke. U tom slucaju mu je vektor smjera vektor koji spaja tedvije tocke, a bilo koju od njih uzmemo kao (x0, y0, z0).


Skraceni zapis parametarskih jednadzbi pravca, koji bismo dobilitako da iz svake od tri jednadzbe izrazimo parametar t i onda ihizjednacimo zove se kanonski oblik jednadzbe pravca u prostoru:

x − x0

u=

y − y0

v=

z − z0

w.

Radi se o vrlo preglednom obliku jednadzbe pravca, no kad god jepotrebno rjesavati neke probleme vezane za pravac, potrebno jeprvo taj oblik prevesti u parametarski oblik. Takoder, kako je tajoblik samo skraceni zapis parametarskog oblika, moguce je da nekiod u, v i w budu nula jer izraze u formuli ne treba shvacati kaopravo dijeljenje brojeva.


Pravac moze biti zadan i kao presjek dvije ravnine prostora, tj.sustavom

Ax + By + Cz + D = 0,

A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0.

Iz tog oblika parametarski oblik mozemo dobiti rjesavanjemsustava te dvije jednadzbe. Ako je pravac presjek dvije ravnine cijejednadzbe su dane u Kartezijevim koordinatama, njegov vektorsmjera je okomit na normale tih ravnina te vektor smjera pravcazadanog gornjim sustavom mozemo dobiti kao

−→s = [A,B,C ]× [A′,B ′,C ′].


Paralelnost i mimosmjernost pravaca

Pravci u prostoru mogu se ne sjeci bez da su paralelni. Uvjetparalelnosti pravaca je kolinearnost, tj. proporcionalnost njihovih

vektora smjera: ako su −→s = [u, v ,w ] i−→s ′ = [u′, v ′,w ′] vektori

smjera dva pravca, oni su paralelni ako je u : u′ = v : v ′ = w : w ′.

Ekvivalentno, ti pravci su paralelni ako je −→s ×−→s ′ =

−→0 . Pravci u

prostoru koji se ne sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni(mimosmjerni) pravci.

Zadatak

Odredite sjeciste pravaca x0 = y+1

2 = z−32 i x−1

1 = y−21 = z−3

1 .

Zadatak

Kako rjesavanjem sustava odredenog jednadzbama dvaju pravacamozemo zakljuciti u kakvom su medusobnom polozaju ti pravci?


Opcenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektorasmjera. Posebno, uvjet okomitosti pravaca je

−→s ·−→s ′ = 0,

odnosno koordinatno (u slucaju Kks-a)

uu′ + vv ′ + ww ′ = 0.

Zadatak

Kako iz kanonskog oblika jednadzbi pravca vidimo je li on paralelanosi aplikata?


Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom

Pravac s vektorom smjera −→s je okomit na ravninu s vektoromnormale −→n ako su ti vektori paralelni, a pravac je paralelan ravniniako mu je vektor smjera okomit na njezin vektor normale. Stogaimamo uvjet okomitosti pravca na ravninu

−→s ×−→n =−→0

(odnosno, koordinate od −→s i −→n su proporcionalne), a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je

−→s · −→n = 0

(tj. u Kartezijevom koordinatnom sustavu uA + vB + wC = 0).

Zadatak

Odredite uvjet paralelnosti oceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.


Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.Opcenito, presjek objekata u prostoru pomocu analitickegeometrije odredujemo rjesavanjem sustava jednadzbi tih objekata;rjesenja tog sustava su koordinate tocaka presjeka.

Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?Udaljenost tocke do ravnine definira se kao udaljenost tocke donjene ortogonalne projekcije na ravninu, tj. do sjecista ravnine spravcom okomitim na ravninu koji prolazi kroz zadanu tocku. Akoje koordinatni sustav Kartezijev, vrijedi:

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2


Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.Opcenito, presjek objekata u prostoru pomocu analitickegeometrije odredujemo rjesavanjem sustava jednadzbi tih objekata;rjesenja tog sustava su koordinate tocaka presjeka.Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?

Udaljenost tocke do ravnine definira se kao udaljenost tocke donjene ortogonalne projekcije na ravninu, tj. do sjecista ravnine spravcom okomitim na ravninu koji prolazi kroz zadanu tocku. Akoje koordinatni sustav Kartezijev, vrijedi:

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2


Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.Opcenito, presjek objekata u prostoru pomocu analitickegeometrije odredujemo rjesavanjem sustava jednadzbi tih objekata;rjesenja tog sustava su koordinate tocaka presjeka.Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?Udaljenost tocke do ravnine definira se kao udaljenost tocke donjene ortogonalne projekcije na ravninu, tj. do sjecista ravnine spravcom okomitim na ravninu koji prolazi kroz zadanu tocku. Akoje koordinatni sustav Kartezijev, vrijedi:

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2


Reciprocni prostor i reciprocna resetka

Kristalna resetka cesto se zove i direktna resetka, a prostor R3 kadmu tocke interpretiramo kao pozicije atoma u kristalu i opisujemokoordinatama obzirom na kristalografsku bazu zovemo direktniprostor. Kako je nemoguce kristalnu strukturu direktno opaziti, onjoj zakljucujemo pomocu difrakcije. Difrakcija na smjeru mreznihravnina (hkl) kao rezultat (nakon odgovarajuce obrade snimljenihpodataka) daje uredenu trojku (h, k , l) kao tocku prostora R3, cijekoordinate su izrazene obzirom na drugu bazu prostora. Ta bazamora biti takva da njeni vektori budu okomiti na koordinatneravnine direktnog prostora; kako biste ih mogli definirati?


Matematicka formulacija problema

Za danu bazu prostora {−→a ,−→b ,−→c } potrebno je odrediti njenu

dualnu (”reciprocnu”) bazu {−→a ∗,

−→b∗,−→c ∗} prostora koja ima

sljedeca svojstva:

Svaki vektor nove baze okomit je na dva vektora polazne bazekoji su oznaceni razlicitim slovom nego taj vektor (uocite dato automatski garantira da cemo ponovno dobiti bazu!);

Iznos svakog vektora nove baze reciprocan je medumreznomrazmaku

Kako bismo mogli dobiti vektore koji zadovoljavaju prvi uvjet?

−→a ∗ = x−→b ×−→c ,

−→b ∗ = y−→c ×−→a ,−→c ∗ = z−→a ×

−→b .

Koliki trebaju biti x , y i z tako da bude zadovoljen i drugi uvjet?


Matematicka formulacija problema

Za danu bazu prostora {−→a ,−→b ,−→c } potrebno je odrediti njenu

dualnu (”reciprocnu”) bazu {−→a ∗,

−→b∗,−→c ∗} prostora koja ima

sljedeca svojstva:

Svaki vektor nove baze okomit je na dva vektora polazne bazekoji su oznaceni razlicitim slovom nego taj vektor (uocite dato automatski garantira da cemo ponovno dobiti bazu!);

Iznos svakog vektora nove baze reciprocan je medumreznomrazmaku

Kako bismo mogli dobiti vektore koji zadovoljavaju prvi uvjet?

−→a ∗ = x−→b ×−→c ,

−→b ∗ = y−→c ×−→a ,−→c ∗ = z−→a ×

−→b .

Koliki trebaju biti x , y i z tako da bude zadovoljen i drugi uvjet?


|−→a ∗| = |x | · |−→b ×−→c | =

1

d100⇒

1

x= ±d100|

−→b ×−→c | = ±V .

Definicija

Za odabranu (kristalografsku) bazu {−→a ,−→b ,−→c }, pripadna baza

reciprocnog prostora definira se s

−→a ∗ =1

V

−→b ×−→c ,

−→b ∗ =

1

V−→c ×−→a ,−→c ∗ =

1

V−→a ×

−→b .

Reciprocna resetka je resetka obzirom na koordinatni sustav

odreden bazom {−→a ∗,−→b∗,−→c ∗} i istim ishodistem kao i polazna,

direktna, resetka. Prostor R3 s koordinatnim sustavom odredenimbazom {−→a ∗,

−→b∗,−→c ∗} se zove reciprocni prostor.


|−→a ∗| = |x | · |−→b ×−→c | =

1

d100⇒

1

x= ±d100|

−→b ×−→c | = ±V .

Definicija

Za odabranu (kristalografsku) bazu {−→a ,−→b ,−→c }, pripadna baza

reciprocnog prostora definira se s

−→a ∗ =1

V

−→b ×−→c ,

−→b ∗ =

1

V−→c ×−→a ,−→c ∗ =

1

V−→a ×

−→b .

Reciprocna resetka je resetka obzirom na koordinatni sustav

odreden bazom {−→a ∗,−→b∗,−→c ∗} i istim ishodistem kao i polazna,

direktna, resetka. Prostor R3 s koordinatnim sustavom odredenimbazom {−→a ∗,

−→b∗,−→c ∗} se zove reciprocni prostor.


Zadatak

Koliko iznosi −→a ∗ ·−→b ?

A−→b ∗ ·−→b ?

Vektori −→a ∗,−→b∗, −→c ∗ imaju sljedeca svojstva:

−→a ∗ · −→a =−→b ∗ ·−→b = −→c ∗ · −→c = 1,

−→a ∗ ·−→b = −→a ∗ · −→c =

−→b ∗ · −→a =

−→b ∗ · −→c = −→c ∗ · −→a = −→c ∗ ·

−→b = 0.

Zadatak

Ako je kristalografska baza ortogonalna, kakva je odgovarajucabaza reciprocnog prostora?

Reciprocna resetka direktne resetke nekog kristalnog sustava jeresetka istog kristalnog sustava. Reciprocna baza reciprocne bazeje polazna baza.


Zadatak

Koliko iznosi −→a ∗ ·−→b ? A

−→b ∗ ·−→b ?


−→a ∗ · −→a =−→b ∗ ·−→b = −→c ∗ · −→c = 1,

−→a ∗ ·−→b = −→a ∗ · −→c =

−→b ∗ · −→a =

−→b ∗ · −→c = −→c ∗ · −→a = −→c ∗ ·

−→b = 0.

Zadatak




Zadatak


−→b ∗ ·−→b ?


−→a ∗ · −→a =−→b ∗ ·−→b = −→c ∗ · −→c = 1,

−→a ∗ ·−→b = −→a ∗ · −→c =

−→b ∗ · −→a =

−→b ∗ · −→c = −→c ∗ · −→a = −→c ∗ ·

−→b = 0.

Zadatak




Zadatak


−→b ∗ ·−→b ?


−→a ∗ · −→a =−→b ∗ ·−→b = −→c ∗ · −→c = 1,

−→a ∗ ·−→b = −→a ∗ · −→c =

−→b ∗ · −→a =

−→b ∗ · −→c = −→c ∗ · −→a = −→c ∗ ·

−→b = 0.

Zadatak




Podsjetimo se:

|−→a ∗| =1

d100, |−→b ∗| =

1

d010, |−→c ∗| =

1

d001.

Jedinice duljine u reciprocnom prostoru su reciprocne jedinicama udirektnom prostoru.Volumen jedinicne celije reciprocnog prostora iznosi

V ∗ =1

V.


Primjer

Promotrimo dvodimenzionalni analog direktne i reciprocne

resetkea. Direktna resetka odredena je vektorima −→a i−→b koji

zatvaraju kut γ.

Razmak d100 izmedu dvije (100) ravnine (tj. dvije susjedne mrezne

ravnine paralelne vektorima−→b i −→c ) jednak je visini paralelograma

(jedinicne celije) okomite na−→b . Razmak d010 dvije (010) ravnine

jednak je visini paralelograma (jedinicne celije) okomite na −→a .

aMozemo zamisliti i da se radi o resetki monoklinskog sustava gledanoj

”odozgo” tj. uzduz c-osi.


Primjer (Nastavak)

Pripadnu bazu reciprocnog prostora cine −→a ∗ i−→b ∗. Pritom je −→a ∗

okomit na (100) ravnine i ima duljinu 1/d100, a−→b ∗ okomit na

(010) ravnine i ima duljinu 1/d010.

Uzmimo dva vektora iz direktne resetke: −→r 1 = [u1, v1,w1] i−→r 2 = [u2, v2,w2].

−→r 1 ×−→r 2 == (u1−→a + v1

−→b + w1

−→c )× (u2−→a + v2

−→b + w2

−→c ) =

= V (v1w2 − v2w1)−→a ∗ + . . .


Dobijemo:

[u1, v1,w1]× [u2, v2,w2] = V

∣∣∣∣∣∣−→a ∗

−→b ∗ −→c ∗

u1 v1 w1

u2 v2 w2

∣∣∣∣∣∣Vidimo da se radi o vektoru reciprocne resetke, a zbog prethodnonavedenog svojstva vrijedi i obrnuto: Vektorski produkt dva vektorareciprocne resetke je vektor direktne resetke.

Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi

−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .

Napomenimo jos jednom: tocke reciprocne resetkereprezentiraju smjerove mreznih ravnina u direktnoj resetki,tj. ravnina (hkl) direktnog prostora je u reciprocnom prostoru

reprezentirana tockom s radij-vektorom h−→a ∗ + k−→b ∗ + l−→c ∗.


Dobijemo:

[u1, v1,w1]× [u2, v2,w2] = V

∣∣∣∣∣∣−→a ∗

−→b ∗ −→c ∗

u1 v1 w1

u2 v2 w2

∣∣∣∣∣∣Vidimo da se radi o vektoru reciprocne resetke, a zbog prethodnonavedenog svojstva vrijedi i obrnuto: Vektorski produkt dva vektorareciprocne resetke je vektor direktne resetke.Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi

−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .




Dobijemo:

[u1, v1,w1]× [u2, v2,w2] = V

∣∣∣∣∣∣−→a ∗

−→b ∗ −→c ∗

u1 v1 w1

u2 v2 w2

∣∣∣∣∣∣Vidimo da se radi o vektoru reciprocne resetke, a zbog prethodnonavedenog svojstva vrijedi i obrnuto: Vektorski produkt dva vektorareciprocne resetke je vektor direktne resetke.Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi

−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .




Normale na ravnine

Neka je T (h, k , l) tocka reciprocne resetke, a −→r ∗ njezinradij-vektor. Mrezna ravnina smjera (hkl) najbliza ishodistu ukristalografskom koordinatnom sustavu ima jednadzbuhx + ky + lz = 1. Sjecista A, B, C te ravnine s koordinatnim osimaimaju redom koordinate (1/h, 0, 0), (0, 1/k, 0), (0, 0, 1/l).

Stoga je−→AB =

−→OB −

−→OA = [−1/h, 1/k, 0] i

−→AC = [−1/h, 0, 1/l ]. Slijedi :

−→AB · −→r ∗ =

−→AC · −→r ∗ = 0.

Dakle, −→r ∗ je okomit na dva pravca ravnine xh + y

k + zl = 1.

Drugim rijecima: −→r ∗ je normala za smjer (hkl).U svakom koordinatnom sustavu vektor normale −→n naravninu Ax + By + Cz + D = 0 je vektor

−→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.


Normale na ravnine

Neka je T (h, k , l) tocka reciprocne resetke, a −→r ∗ njezinradij-vektor. Mrezna ravnina smjera (hkl) najbliza ishodistu ukristalografskom koordinatnom sustavu ima jednadzbuhx + ky + lz = 1. Sjecista A, B, C te ravnine s koordinatnim osimaimaju redom koordinate (1/h, 0, 0), (0, 1/k, 0), (0, 0, 1/l). Stoga je−→AB =

−→OB −

−→OA = [−1/h, 1/k, 0] i

−→AC = [−1/h, 0, 1/l ]. Slijedi :

−→AB · −→r ∗ =

−→AC · −→r ∗ = 0.


k + zl = 1.


−→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.


Normale na ravnine

Neka je T (h, k , l) tocka reciprocne resetke, a −→r ∗ njezinradij-vektor. Mrezna ravnina smjera (hkl) najbliza ishodistu ukristalografskom koordinatnom sustavu ima jednadzbuhx + ky + lz = 1. Sjecista A, B, C te ravnine s koordinatnim osimaimaju redom koordinate (1/h, 0, 0), (0, 1/k, 0), (0, 0, 1/l). Stoga je−→AB =

−→OB −

−→OA = [−1/h, 1/k, 0] i

−→AC = [−1/h, 0, 1/l ]. Slijedi :

−→AB · −→r ∗ =

−→AC · −→r ∗ = 0.


k + zl = 1.


−→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.


Temeljni zakon reciprocne resetke

Oznacimo sad s Nhkl stvarnu2 duljinu vektora −→r ∗.Udaljenost ravnine hx + ky + lz = 1 do ishodista je dhkl , a ona je

jednaka duljini ortogonalne projekcije−→OA na −→r ∗, koja iznosi

−→OA·−→r ∗Nhkl

= 1Nhkl

(vidi gradivo o skalarnom produktu). Dakle:

dhklNhkl = 1.

Posljednja jednakost zove se temeljnim zakonom reciprocne resetke.

Zadatak

Neki kristal rompskog sustava ima parametre jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. Duljina radij-vektoratocke koja u reciprocnoj resetki ima koordinate (1, 0, 2) je

N102 = 1d102

= . . .

2Misli se: duljinu izrazenu u reciprocnoj jedinici duljine onoj jedinici kojukoristimo u direktnom prostoru.


Temeljni zakon reciprocne resetke

Oznacimo sad s Nhkl stvarnu2 duljinu vektora −→r ∗.Udaljenost ravnine hx + ky + lz = 1 do ishodista je dhkl , a ona je

jednaka duljini ortogonalne projekcije−→OA na −→r ∗, koja iznosi

−→OA·−→r ∗Nhkl

= 1Nhkl

(vidi gradivo o skalarnom produktu). Dakle:

dhklNhkl = 1.

Posljednja jednakost zove se temeljnim zakonom reciprocne resetke.

Zadatak

Neki kristal rompskog sustava ima parametre jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. Duljina radij-vektoratocke koja u reciprocnoj resetki ima koordinate (1, 0, 2) jeN102 = 1

d102= . . .

2Misli se: duljinu izrazenu u reciprocnoj jedinici duljine onoj jedinici kojukoristimo u direktnom prostoru.


Zadatak

Ako je kristalografska baza opisana u Kks-u kao−→a = 0,5

−→i + 0,8

−→j ,−→b = 0,3

−→j + 0,9

−→k ,

−→c = 0,1−→i − 0,5

−→j + 0.4

−→k (jedinica duljine je A), odredite

volumen jedinicne celije u reciprocnom prostoru.

Zadatak

Neki kristal rompskog sustava ima parametre jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. Odredite duljinuradij-vektora tocke koja u reciprocnoj resetki ima koordinate(1, 0, 2).


Zadatak

Ako je kristalografska baza opisana u Kks-u kao−→a = 0,5

−→i + 0,8

−→j ,−→b = 0,3

−→j + 0,9

−→k ,

−→c = 0,1−→i − 0,5

−→j + 0.4

−→k (jedinica duljine je A), odredite

volumen jedinicne celije u reciprocnom prostoru.

Zadatak

Neki kristal rompskog sustava ima parametre jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. Odredite duljinuradij-vektora tocke koja u reciprocnoj resetki ima koordinate(1, 0, 2).


Zadatak

Koji kut s b-osi proizvoljnog kristalografskog koordinatnog sustavazatvara vektor normale na ravninu smjera (123)? Koliko iznosi tajkut ako se radi o rompskom sustavu?

Zadatak

Za neki kristal rompskog sustava temeljem Braggova zakonautvrdeno je da razmak susjednih (111) ravnina iznosi d111 = 654pm. Ako je duljina prvog vektora kristalografske baze a = 820 pm,odredite razmak izmedu susjednih (211) ravnina! Napisitejednadzbu (211) mrezne ravnine (obzirom na kristalografskikoordinatni sustav) koja je najbliza ishodistu (a da ne prolazi krozishodiste).


Zadatak

Koji kut s b-osi proizvoljnog kristalografskog koordinatnog sustavazatvara vektor normale na ravninu smjera (123)? Koliko iznosi tajkut ako se radi o rompskom sustavu?

Zadatak

Za neki kristal rompskog sustava temeljem Braggova zakonautvrdeno je da razmak susjednih (111) ravnina iznosi d111 = 654pm. Ako je duljina prvog vektora kristalografske baze a = 820 pm,odredite razmak izmedu susjednih (211) ravnina! Napisitejednadzbu (211) mrezne ravnine (obzirom na kristalografskikoordinatni sustav) koja je najbliza ishodistu (a da ne prolazi krozishodiste).


Zadatak

Je li na kubicnom kristalu moguce opaziti refleks na nekom smjerumreznih ravnina pod kutem za koji vrijedi 2a sin θ = λ

√7? Zasto?

Srebro kristalizira u kubicnom sustavu, duljina brida jedinicne celijekristala srebra je 4,07 A, a pri difrakciji su koristene Cu(Kα) zrakevalne duljine 154,0 pm. Pod kojim kutem (u stupnjevima) ce seopaziti refleks na (211) ravninama kristala srebra? Kolika je duljinaradij-vektora odgovarajuce tocke u reciprocnom prostoru?

Zadatak

Dana je kristalografska baza. Duljine vektora su a = 100 pm,b = 200 pm i c = 250 pm. Vektore duljine 100 pm smatramojedinicnima. Kutovi medu vektorima su α = γ = 90◦ i β = 60◦. Uostatku zadatka podrazumijevamo da su sve koordinate daneobzirom na tu bazu. Za sve odgovore, na dodatnom papirunavedite argumente odnosno racune.


Jesu li vektori [2,−1, 3] i [0, 1, 4] kolinearni?

Nisu jer imkoordinate nisu proporcionalne.

Jesu li okomiti?Skalarni umnozak im iznosi 81 (kvadratnihjedinica), dakle nisu.

Kut izmedu ta dva vektora iznosi

arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.

(−→a ,−→b ,−→c )je volumen jedinicne celije, a on je prema zadanim

parametrima jednak 2 · (1 · 2,5 · sin 60◦) kubnih jedinica, tj.4,33 · 106 pm3.

Koordinate jedinicnog vektora koji ima isti smjer i orijentacijukao vektor [0, 1, 4] su [0; 0,0981; 0,392].

d010je, obzirom da se radi o monoklinskoj bazi, jednak b, tj.200 pm.

Jednadzba mrezne ravnine smjera (201) koja je najblizaishodistu je2x − z = 1.


Jesu li vektori [2,−1, 3] i [0, 1, 4] kolinearni?Nisu jer imkoordinate nisu proporcionalne.

Jesu li okomiti?

Skalarni umnozak im iznosi 81 (kvadratnihjedinica), dakle nisu.


arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.










arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.










arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.

(−→a ,−→b ,−→c )

je volumen jedinicne celije, a on je prema zadanimparametrima jednak 2 · (1 · 2,5 · sin 60◦) kubnih jedinica, tj.4,33 · 106 pm3.








arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.



Koordinate jedinicnog vektora koji ima isti smjer i orijentacijukao vektor [0, 1, 4] su

[0; 0,0981; 0,392].







arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.




d010

je, obzirom da se radi o monoklinskoj bazi, jednak b, tj.200 pm.






arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.





Jednadzba mrezne ravnine smjera (201) koja je najblizaishodistu je

2x − z = 1.





arccosφ =81

|[2,−1, 3]| · |[0, 1, 4]|= 26,8◦.







d201

je, uzevsi u obzir da se radi o ravninama paralelnima sb-osi te da ona najbliza ishodistu os a sijece s odsjeckom 1 (utocki A), a os c s odsjeckom −2 (u tocki C ), jednak visinitrokuta OAC povucenoj iz O, tj.

d201 =2P4OAC

|AC | =√

3

|−→AC |

= 0,311 jedinica, tj. 311 pm.

U reciprocnom prostoru duljina vektora [2, 0, 1] je, prematemeljnom zakonu reciprocne resetke, jednaka1/d201 = 0,0321 pm−1.Weissovi parametri ravnine koja kristalografske osi sijeceredom na udaljenostima 200 pm, 600 pm i 750 pm odishodista (sva sjecista su na pozitivnim dijelovima osi)su2a : 3b : 3c .Vektor normale te ravnine s a-osi zatvara kut od23,2◦(napomena: ovaj dio zadatka je zahtjevan za ravninu izzadnjeg potpitanja jer nije paralelna nijednoj od osi te jekomplicirano odrediti duljinu normale, tj. reciprocnu vrijednostrazmaka ravnina tog smjera!).


d201je, uzevsi u obzir da se radi o ravninama paralelnima sb-osi te da ona najbliza ishodistu os a sijece s odsjeckom 1 (utocki A), a os c s odsjeckom −2 (u tocki C ), jednak visinitrokuta OAC povucenoj iz O, tj.

d201 =2P4OAC

|AC | =√

3

|−→AC |


U reciprocnom prostoru duljina vektora [2, 0, 1] je, prematemeljnom zakonu reciprocne resetke, jednaka1/d201 = 0,0321 pm−1.Weissovi parametri ravnine koja kristalografske osi sijeceredom na udaljenostima 200 pm, 600 pm i 750 pm odishodista (sva sjecista su na pozitivnim dijelovima osi)su

2a : 3b : 3c .Vektor normale te ravnine s a-osi zatvara kut od23,2◦(napomena: ovaj dio zadatka je zahtjevan za ravninu izzadnjeg potpitanja jer nije paralelna nijednoj od osi te jekomplicirano odrediti duljinu normale, tj. reciprocnu vrijednostrazmaka ravnina tog smjera!).



d201 =2P4OAC

|AC | =√

3

|−→AC |


U reciprocnom prostoru duljina vektora [2, 0, 1] je, prematemeljnom zakonu reciprocne resetke, jednaka1/d201 = 0,0321 pm−1.Weissovi parametri ravnine koja kristalografske osi sijeceredom na udaljenostima 200 pm, 600 pm i 750 pm odishodista (sva sjecista su na pozitivnim dijelovima osi)su2a : 3b : 3c .Vektor normale te ravnine s a-osi zatvara kut od23,2◦

(napomena: ovaj dio zadatka je zahtjevan za ravninu izzadnjeg potpitanja jer nije paralelna nijednoj od osi te jekomplicirano odrediti duljinu normale, tj. reciprocnu vrijednostrazmaka ravnina tog smjera!).



d201 =2P4OAC

|AC | =√

3

|−→AC |


U reciprocnom prostoru duljina vektora [2, 0, 1] je, prematemeljnom zakonu reciprocne resetke, jednaka1/d201 = 0,0321 pm−1.Weissovi parametri ravnine koja kristalografske osi sijeceredom na udaljenostima 200 pm, 600 pm i 750 pm odishodista (sva sjecista su na pozitivnim dijelovima osi)su2a : 3b : 3c .Vektor normale te ravnine s a-osi zatvara kut od23,2◦(napomena: ovaj dio zadatka je zahtjevan za ravninu izzadnjeg potpitanja jer nije paralelna nijednoj od osi te jekomplicirano odrediti duljinu normale, tj. reciprocnu vrijednostrazmaka ravnina tog smjera!).

Documents

Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/pred22.pdf · Kartezijevom (Kartezijevom) koordinatnom sustavu u prostoru. Koordinatne osisu brojevni pravci