Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan8.pdf · 2017-11-14 · Limesi i asimptote Neprekidnost i derivabilnost Prava de nicija derivacije Kako smo "

Limesi i asimptote Neprekidnost i derivabilnost

Limesi i neprekidnost

Franka Miriam Bruckler


Uvod u limese

Sto je mnozina tvari bliza 1 molu, to je njena masa bliza njenojmolarnoj masi: lim

n1 mol→1

m = M.

Tijekom kemijske reakcija koncentracija svakog njezinog produktanece neograniceno rasti, nego ce se s vremenom sve visepriblizavati nekoj ravnoteznoj vrijednosti: Sto je vrijeme vece (bezogranicenja!), to ce c biti blizi c∞. Pisemo:

limt→∞

c = c∞.

Sto je volumen idealnog plina blizi nuli, to je tlak veci. Mozemo liograniciti koliko velik tlak mozemo dobiti smanjivanjem volumena,uz pretpostavku da mozemo volumen uciniti proizvoljno malim?Dakle, sto je V blizi 0 (i naravno, pozitivan je), to p postaje(neoganiceno!) veci. Pisemo:

limV→0+

nRT

V= +∞.


Uvod u limese


n1 mol→1

m = M.


limt→∞

c = c∞.


limV→0+

nRT

V= +∞.


Uvod u limese


n1 mol→1

m = M.


limt→∞

c = c∞.

Sto je volumen idealnog plina blizi nuli, to je tlak

veci. Mozemo liograniciti koliko velik tlak mozemo dobiti smanjivanjem volumena,uz pretpostavku da mozemo volumen uciniti proizvoljno malim?Dakle, sto je V blizi 0 (i naravno, pozitivan je), to p postaje(neoganiceno!) veci. Pisemo:

limV→0+

nRT

V= +∞.


Uvod u limese


n1 mol→1

m = M.


limt→∞

c = c∞.

Sto je volumen idealnog plina blizi nuli, to je tlak veci. Mozemo liograniciti koliko velik tlak mozemo dobiti smanjivanjem volumena,uz pretpostavku da mozemo volumen uciniti proizvoljno malim?

Dakle, sto je V blizi 0 (i naravno, pozitivan je), to p postaje(neoganiceno!) veci. Pisemo:

limV→0+

nRT

V= +∞.


Uvod u limese


n1 mol→1

m = M.


limt→∞

c = c∞.


limV→0+

nRT

V= +∞.


Prava definicija derivacije

Kako smo”definirali” derivaciju funkcije f u nekoj tocki c njezine

domene?

Sekanta je pravac koji prolazi dvjema tockama krivulje.Kako glase koordinate dviju tocaka na grafu, od kojih jedna imaapscisu c , a druga x? Koji je koeficijent smjera te sekante?

k =f (x)− f (c)

x − c.

Sto je drugo sjeciste sekante s krivuljom blize tocki u kojoj trazimotangentu, to ce sekanta biti bliza tome da

”postane” tangenta,

odnosno koeficijent k smjera sekante bit ce to blizi koeficijentuf ′(c) smjera tangente sto je druga tocka bliza prvoj (sto je x blizic). Pisemo:

limx→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c).




domene? Sekanta je pravac koji prolazi dvjema tockama krivulje.Kako glase koordinate dviju tocaka na grafu, od kojih jedna imaapscisu c , a druga x?

Koji je koeficijent smjera te sekante?

k =f (x)− f (c)

x − c.




limx→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c).




domene? Sekanta je pravac koji prolazi dvjema tockama krivulje.Kako glase koordinate dviju tocaka na grafu, od kojih jedna imaapscisu c , a druga x? Koji je koeficijent smjera te sekante?

k =f (x)− f (c)

x − c.




limx→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c).




domene? Sekanta je pravac koji prolazi dvjema tockama krivulje.Kako glase koordinate dviju tocaka na grafu, od kojih jedna imaapscisu c , a druga x? Koji je koeficijent smjera te sekante?

k =f (x)− f (c)

x − c.




limx→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c).


Smisao simbola limesa

Sto je x blizi c (u domeni), to je f (x) blizi L (kodomeni).


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;

(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;

(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;

(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;

(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;

(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.

Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Zadatak

Kako bi mogao izgledati graf funkcije f (u Kks-u) sa sljedecimsvojstvima:(1) sto je varijabla bliza 1, to je vrijednost funkcije bliza 3;(2) sto je varijabla manja (negativnija), to je vrijednost funkcijebliza −2;(3) sto je varijabla bliza −1, to je vrijednost manja i postajeneograniceno mala;(4) sto je varijabla bliza 0 i pritom negativna, to je vrijednostfunkcije bliza 0, a sto je varijabla bliza 0 i pritom pozitivna, to jevrijednost funkcije bliza 1;(5) sto je varijabla bliza 2, to je vrijednost funkcije bliza 0, alifunkcija nije definirana u 2;(6) sto je varijabla bliza −2, to je vrijednost funkcije bliza 1,funkcija je definirana u −2 i vrijednost funkcije u −2 je 0.Predlozite oznake gornjih svojstava pomocu simbola lim.


Jos jedan zadatak

Sto biste rekli o limx→c

f (x) ako za c = −4, c = 0, c = 2, c = 7 ako

je graf funkcije f prikazan donjom slikom:


Zadatak

Kako biste racunski provjerili iznos limx→0

xx?

Limes limx→c

f (x) opisuje ponasanje funkcije f u blizini c . Pritom c

moze biti

realan broj (u kojem slucaju f ne mora biti definirana u c , alimora biti definirana na nekoj uniji intervala oblika〈a, c〉 ∪ 〈c , b〉) ili

c = ±∞, pod cime se misli da varijabla x postaje proizvoljnovelika, odnosno mala (naravno, uz uvjet da je f definirana zasve takve varijable).

Par pitanja

Ima li smisla govoriti o limx→0

f (x) kad je domena od f jednaka

[1, 2]? A ako je domena 〈−1, 0〉 ∪ 〈0, 5〉? A ima li smisla govoriti olim

x→−∞ln x?


Zadatak


xx?

Limes limx→c


moze biti



Par pitanja




x→−∞ln x?


Zadatak


xx?

Limes limx→c


moze biti



Par pitanja



[1, 2]?

A ako je domena 〈−1, 0〉 ∪ 〈0, 5〉? A ima li smisla govoriti olim

x→−∞ln x?


Zadatak


xx?

Limes limx→c


moze biti



Par pitanja



[1, 2]? A ako je domena 〈−1, 0〉 ∪ 〈0, 5〉?

A ima li smisla govoriti olim

x→−∞ln x?


Zadatak


xx?

Limes limx→c


moze biti



Par pitanja




x→−∞ln x?


Limesi funkcija u konacnosti (c ∈ R)

Neka je c ∈ R i f definirana na nekom intervalu oko c , osimmozda u samoj tocki c .

Neformalna definicija limesa 1

Ako postoji realan broj L sa svojstvom:”Sto je x blizi c , bez da je

pritom x = c , to je f (x) blizi L”, kazemo da limes limx→c

f (x) postoji

i pisemo limx→c

f (x) = L.

Za c ∈ R, jednostrani limesi limx→c+

f (x) i limx→c−

f (x) definiraju se

analogno, samo se ogranicavamo na to da je x veci odnosno manjiod c . (Obostrani) limes lim

x→cf (x) postoji toco ako postoje oba

jednostrana limesa limx→c+

f (x) i limx→c−

f (x) i jednaki su (i onda i

obostrani limes ima istu tu vrijednost).







f (x) postoji

i pisemo limx→c

f (x) = L.


f (x) i limx→c−

f (x) definiraju se

analogno, samo se ogranicavamo na to da je x veci odnosno manjiod c .

(Obostrani) limes limx→c

f (x) postoji toco ako postoje oba


f (x) i limx→c−









f (x) postoji

i pisemo limx→c

f (x) = L.


f (x) i limx→c−

f (x) definiraju se

analogno, samo se ogranicavamo na to da je x veci odnosno manjiod c . (Obostrani) limes lim

x→cf (x) postoji toco ako postoje oba


f (x) i limx→c−




Primjer

f (x) =

ex , x > 0x2, −1 < x ≤ 0x + 2, x ≤ −1

limx→0−

f (x) = limx→0

x2 = 0;

limx→0+

f (x) = limx→0

ex = 1.

Sto zakljucujemo o limx→0

f (x)?

limx→−1−

f (x) = limx→−1

(x + 2) = 1;

limx→−1+

f (x) = limx→−1

x2 = 1.

Sto zakljucujemo o limx→−1

f (x)?


Primjer

f (x) =

ex , x > 0x2, −1 < x ≤ 0x + 2, x ≤ −1

limx→0−

f (x) = limx→0

x2 = 0;

limx→0+

f (x) = limx→0

ex = 1.


f (x)?

limx→−1−

f (x) = limx→−1

(x + 2) = 1;

limx→−1+

f (x) = limx→−1

x2 = 1.


f (x)?


Primjer

f (x) =

ex , x > 0x2, −1 < x ≤ 0x + 2, x ≤ −1

limx→0−

f (x) = limx→0

x2 = 0;

limx→0+

f (x) = limx→0

ex = 1.


f (x)?

limx→−1−

f (x) = limx→−1

(x + 2) = 1;

limx→−1+

f (x) = limx→−1

x2 = 1.


f (x)?


Limesi funkcija u beskonacnosti (c = ±∞)

Neka domena funkcije f ukljucuje neki interval tipa 〈a,+∞〉.


Ako postoji realan broj L sa svojstvom:”sto je x veci, pri cemu

nema ogranicenja na povecanje x , to je f (x) blizi L”, kazemo dalimes lim

x→+∞f (x) postoji i pisemo lim

x→+∞f (x) = L.

Kako biste definirali limx→−∞

f (x) = L?

Limesi i horizontalne asimptote

Ako postoji limx→+∞

f (x), onda funkcija f ima horizontalnu

asimptotu (desno), i to je pravac y = L (ako je L = limx→+∞

f (x)).

Ako postoji limx→−∞


asimptotu (lijevo), i to je pravac y = L (ako je L = limx→−∞

f (x)).


Limesi funkcija u beskonacnosti (c = ±∞)

Neka domena funkcije f ukljucuje neki interval tipa 〈a,+∞〉.


Ako postoji realan broj L sa svojstvom:”sto je x veci, pri cemu

nema ogranicenja na povecanje x , to je f (x) blizi L”, kazemo dalimes lim

x→+∞f (x) postoji i pisemo lim

x→+∞f (x) = L.

Kako biste definirali limx→−∞

f (x) = L?

Limesi i horizontalne asimptote

Ako postoji limx→+∞


asimptotu (desno), i to je pravac y = L (ako je L = limx→+∞

f (x)).

Ako postoji limx→−∞


asimptotu (lijevo), i to je pravac y = L (ako je L = limx→−∞

f (x)).


Kose asimptote

Pravac y = kx + l je kosa asimptota za funkciju y = f (x), ako zajako velike (ili jako male) vrijednost varijable vrijedi f (x) ≈ kx + l .Preciznije:Pravac y = kx + l je kosa asimptota desno za funkciju y = f (x)ako vrijedi

k = limx→+∞

f (x)

xi l = lim

x→+∞(f (x)− kx).

Analogno, pravac y = kx + l je kosa asimptota lijevo za funkcijuy = f (x) ako vrijedi

k = limx→−∞

f (x)

xi l = lim

x→−∞(f (x)− kx).

Ima li kose asimptote ako se moze izracunati k , a ne i l? A akoima horizontalne asimptote? Ima li funkcija zadana formulomf (x) = x2e−x + x kosu asimptotu?


Kose asimptote


k = limx→+∞

f (x)

xi l = lim

x→+∞(f (x)− kx).


k = limx→−∞

f (x)

xi l = lim

x→−∞(f (x)− kx).

Ima li kose asimptote ako se moze izracunati k , a ne i l?

A akoima horizontalne asimptote? Ima li funkcija zadana formulomf (x) = x2e−x + x kosu asimptotu?


Kose asimptote


k = limx→+∞

f (x)

xi l = lim

x→+∞(f (x)− kx).


k = limx→−∞

f (x)

xi l = lim

x→−∞(f (x)− kx).

Ima li kose asimptote ako se moze izracunati k , a ne i l? A akoima horizontalne asimptote?

Ima li funkcija zadana formulomf (x) = x2e−x + x kosu asimptotu?


Kose asimptote


k = limx→+∞

f (x)

xi l = lim

x→+∞(f (x)− kx).


k = limx→−∞

f (x)

xi l = lim

x→−∞(f (x)− kx).

Ima li kose asimptote ako se moze izracunati k , a ne i l? A akoima horizontalne asimptote? Ima li funkcija zadana formulomf (x) = x2e−x + x kosu asimptotu?


Svojstva limesa

Ako postoje limx→c

f (x) i limx→c

g(x), gdje je c ∈ R, c = +∞ ili

c = −∞, onda postoje i limesi limx→c

(f (x)± g(x)) i

limx→c

(f (x) · g(x)) te vrijedi:

limx→c

(f (x)± g(x)) = limx→c

f (x)± limx→c

g(x),

limx→c

(f (x) · g(x)) = limx→c

f (x) · limx→c

g(x).

Nadalje, ako je limx→c g(x) 6= 0, postoji i limx→c

f (x)

g(x)i jednak je

limx→c f (x)

limx→c g(x).


Svojstva limesa

Ako postoje limx→c

f (x) i limx→c

g(x), gdje je c ∈ R, c = +∞ ili

c = −∞, onda postoje i limesi limx→c

(f (x)± g(x)) i

limx→c

(f (x) · g(x)) te vrijedi:

limx→c

(f (x)± g(x)) = limx→c

f (x)± limx→c

g(x),

limx→c

(f (x) · g(x)) = limx→c

f (x) · limx→c

g(x).

Nadalje, ako je limx→c g(x) 6= 0, postoji i limx→c

f (x)

g(x)i jednak je

limx→c f (x)

limx→c g(x).


Beskonacni limesi funkcija

U svim slucajevima kad ne postoji realan broj L takav da jelimx→c

f (x) = L (c ∈ R ili c = ±∞), kazemo da limes limx→c

f (x) ne

postoji. Npr. limx→±∞ sin x ne postoji, kao ni limx→0 cos 1x .

Ipak,u nekim slucajevima pisemo lim

x→cf (x) = ±∞:

Ako sto je x blizi c vrijednosti f (x) postaju sve vece(neograniceno!!!), pisemo lim

x→cf (x) = +∞. Ako sto je x blizi c

vrijednosti f (x) postaju sve manje (neograniceno!!!), pisemolimx→c

f (x) = −∞. Analogno se definiraju jednostrani beskonacni

limesi.

Limesi i vertikalne asimptote

Funkcija f ima vertikalnu asimptotu x = c (c ∈ R) ako je barjedan od limesa lim

x→c+f (x) i lim

x→c−f (x) beskonacan.





f (x) ne

postoji. Npr. limx→±∞ sin x ne postoji, kao ni limx→0 cos 1x . Ipak,

u nekim slucajevima pisemo limx→c

f (x) = ±∞:





limesi.



x→c+f (x) i lim






f (x) ne

postoji. Npr. limx→±∞ sin x ne postoji, kao ni limx→0 cos 1x . Ipak,

u nekim slucajevima pisemo limx→c

f (x) = ±∞:





limesi.



x→c+f (x) i lim



Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞

p(x)? (p je polinom)

limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c

g(x) = 0, onda je limx→c

f (x)

g(x)= ±∞.

Kratko: a0 =∞ (za a 6= 0). Ovo ne znaci da je sad dozvoljeno

dijeljenje s nulom; oznaka a0 znaci da se broj blizu a dijeli brojem

koji je blizu 0, ali nije jednak 0. Koliko iznosi limx→c

1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.




1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.




1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.




1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.




1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.




1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.



koji je blizu 0, ali nije jednak 0.

Koliko iznosi limx→c

1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Koliko iznosi:

limx→±∞

C ?

limx→±∞


limx→±∞

1

xa? (a > 0)

limx→+∞

ax (a > 0, a 6= 1)

limx→0+

a

xn? (n ∈ N, a > 0)

limx→0+

loga x? (a > 0, a 6= 1)

Ako je limx→c

f (x) = a 6= 0 i limx→c


f (x)

g(x)= ±∞.




1

sin2 xako je

c = π/2? A ako je c = 0?


Ako je limx→c

f (x) = a 6= ±∞ i limx→c

g(x) = ±∞, onda je

limx→c

f (x)

g(x)= 0. Kratko: a

∞ = 0 (za a ∈ R). I ovo ne znaci da je ∞

broj s kojim mozemo dijeliti, vec oznaka a∞ znaci da broj blizu a

dijelimo jako velikim ili jako malim brojem.

Koliko iznosi limx→c

1

exako je c = e? A ako je c = +∞?

limx→0

x2 + x

x= lim

x→0(x + 1) = 1

limx→1

x − 1

x2 − 1= lim

x→1

1

x + 1=

1

2

Vidimo dakle da limesi tipa 00 mogu davati razlicite konacne

rezultate. Takve tipove limesa zovemo neodredenim izrazima.Osim 0

0 u neodredene izraze spadaju i ∞∞ , 00, 1∞, 0∞, +∞−∞.


Ako je limx→c

f (x) = a 6= ±∞ i limx→c


limx→c

f (x)

g(x)= 0. Kratko: a



dijelimo jako velikim ili jako malim brojem. Koliko iznosi limx→c

1


limx→0

x2 + x

x= lim

x→0(x + 1) = 1

limx→1

x − 1

x2 − 1= lim

x→1

1

x + 1=

1

2





Ako je limx→c

f (x) = a 6= ±∞ i limx→c


limx→c

f (x)

g(x)= 0. Kratko: a




1


limx→0

x2 + x

x= lim

x→0(x + 1) = 1

limx→1

x − 1

x2 − 1= lim

x→1

1

x + 1=

1

2





Ako je limx→c

f (x) = a 6= ±∞ i limx→c


limx→c

f (x)

g(x)= 0. Kratko: a




1


limx→0

x2 + x

x= lim

x→0(x + 1) = 1

limx→1

x − 1

x2 − 1= lim

x→1

1

x + 1=

1

2





Ako je limx→c

f (x) = a 6= ±∞ i limx→c


limx→c

f (x)

g(x)= 0. Kratko: a




1


limx→0

x2 + x

x= lim

x→0(x + 1) = 1

limx→1

x − 1

x2 − 1= lim

x→1

1

x + 1=

1

2





Limesi racionalnih funkcija

Limes racionalne funkcije u beskonacnosti racunamo tako dabrojnik i nazivnik podijelimo najvecom potencijom varijable, tekoristimo cinjenicu da je

limx→±∞

x−n = 0

za n ∈ N (i svojstva limesa). Koliko iznosi limes racionalne funkcijeako je stupanj brojnika manji/jednak/veci od stupnja nazivnika?

Limes racionalne funkcije u c ∈ R jednak je vrijednosti funkcije u cako je c u domeni (zasto?), a inace maksimalno skratimo faktor(x − c) (zasto pod limesom limx→c to smijemo?) i koristecisvojstva limesa zakljucimo o iznosu limesa. Koliko iznosi limesracionalne funkcije u c ∈ R ako nakon skracivanja u nazivniku visenema faktora (x − c)? A ako ga u brojniku nema, ali je ostao unazivniku? Kad dakle racionalna funkcija ima vertikalnu asimptotux = c?




limx→±∞

x−n = 0

za n ∈ N (i svojstva limesa). Koliko iznosi limes racionalne funkcijeako je stupanj brojnika manji/jednak/veci od stupnja nazivnika?Limes racionalne funkcije u c ∈ R jednak je vrijednosti funkcije u cako je c u domeni (zasto?), a inace maksimalno skratimo faktor(x − c) (zasto pod limesom limx→c to smijemo?) i koristecisvojstva limesa zakljucimo o iznosu limesa. Koliko iznosi limesracionalne funkcije u c ∈ R ako nakon skracivanja u nazivniku visenema faktora (x − c)?

A ako ga u brojniku nema, ali je ostao unazivniku? Kad dakle racionalna funkcija ima vertikalnu asimptotux = c?




limx→±∞

x−n = 0

za n ∈ N (i svojstva limesa). Koliko iznosi limes racionalne funkcijeako je stupanj brojnika manji/jednak/veci od stupnja nazivnika?Limes racionalne funkcije u c ∈ R jednak je vrijednosti funkcije u cako je c u domeni (zasto?), a inace maksimalno skratimo faktor(x − c) (zasto pod limesom limx→c to smijemo?) i koristecisvojstva limesa zakljucimo o iznosu limesa. Koliko iznosi limesracionalne funkcije u c ∈ R ako nakon skracivanja u nazivniku visenema faktora (x − c)? A ako ga u brojniku nema, ali je ostao unazivniku?

Kad dakle racionalna funkcija ima vertikalnu asimptotux = c?




limx→±∞

x−n = 0

za n ∈ N (i svojstva limesa). Koliko iznosi limes racionalne funkcijeako je stupanj brojnika manji/jednak/veci od stupnja nazivnika?Limes racionalne funkcije u c ∈ R jednak je vrijednosti funkcije u cako je c u domeni (zasto?), a inace maksimalno skratimo faktor(x − c) (zasto pod limesom limx→c to smijemo?) i koristecisvojstva limesa zakljucimo o iznosu limesa. Koliko iznosi limesracionalne funkcije u c ∈ R ako nakon skracivanja u nazivniku visenema faktora (x − c)? A ako ga u brojniku nema, ali je ostao unazivniku? Kad dakle racionalna funkcija ima vertikalnu asimptotux = c?


L’Hopital-Bernoullijevo pravilo

Za neki c ∈ R ili c = ±∞, neka su limx→c

f (x) i limx→c

g(x) ili oba

jednaka 0 ili oba beskonacna.

Ako postoji limx→c

f ′(x)

g ′(x)ili ako je jednak ±∞, te ako je g ′(x) 6= 0 za

x-eve iz nekog intervala oko c , onda vrijedi

limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g ′(x).

Primjerice: limx→1

2 ln x

x − 1= lim

x→1

2x

1= 2.

No, oprez: limx→±∞

x + sin x

x=

= limx→±∞

(1 + cos x). Posljednji limes ne postoji, a

limx→±∞

x + sin x

x= 1! Je li tocno: lim

x→1

x2

x − 5= lim

x→1

2x

1= 2?




f (x) i limx→c

g(x) ili oba



f ′(x)



limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g ′(x).


2 ln x

x − 1= lim

x→1

2x

1= 2. No, oprez: lim

x→±∞

x + sin x

x=

= limx→±∞


limx→±∞

x + sin x


x→1

x2

x − 5= lim

x→1

2x

1= 2?




f (x) i limx→c

g(x) ili oba



f ′(x)



limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g ′(x).


2 ln x

x − 1= lim

x→1

2x


x→±∞

x + sin x

x=

= limx→±∞


limx→±∞

x + sin x

x= 1!

Je li tocno: limx→1

x2

x − 5= lim

x→1

2x

1= 2?




f (x) i limx→c

g(x) ili oba



f ′(x)



limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g ′(x).


2 ln x

x − 1= lim

x→1

2x


x→±∞

x + sin x

x=

= limx→±∞


limx→±∞

x + sin x


x→1

x2

x − 5= lim

x→1

2x

1= 2?


Zadatak

Molarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnogvolumena opisan je formulom

CV ,m =5

2R + R

(hν

kT

)2 ehν/(kT )(ehν/(kT ) − 1

)2 .Procijenite njegov iznos za vrlo niske temperature!

limT→(0K)+

CV ,m =?

x =hν

kT⇒

limT→(0K)+

CV ,m =5

2R + lim

x→+∞

Rx2ex

(ex − 1)2= . . . =

5

2R.


Zadatak

Molarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnogvolumena opisan je formulom

CV ,m =5

2R + R

(hν

kT

)2 ehν/(kT )(ehν/(kT ) − 1

)2 .Procijenite njegov iznos za vrlo niske temperature!

limT→(0K)+

CV ,m =?

x =hν

kT⇒

limT→(0K)+

CV ,m =5

2R + lim

x→+∞

Rx2ex

(ex − 1)2= . . . =

5

2R.


”Teorem o sendvicu”

Ako za x-eve iz nekog intervala oko c vrijedi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i ako jelimx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L, onda je i limx→c

g(x) = L.

Primjer

−1 ≤ sin x ≤ 1 pa je za sve x > 0 −1

x≤ sin x

x≤ 1

x. Po teoremu o

sendvicu slijedi: limx→+∞

sin x

x= 0.

Tri vazna limesa

limx→0

sin x

x= 1, lim

x→0

ex − 1

x= 1, lim

x→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Vazno

Eksponencijalne funkcije s bazom vecom od 1 rastu brze od svih

polinoma: limx→+∞

xn

ax= 0 za n ∈ N0 i a > 1.


”Teorem o sendvicu”

Ako za x-eve iz nekog intervala oko c vrijedi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i ako jelimx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L, onda je i limx→c

g(x) = L.

Primjer

−1 ≤ sin x ≤ 1 pa je za sve x > 0 −1

x≤ sin x

x≤ 1

x. Po teoremu o

sendvicu slijedi: limx→+∞

sin x

x= 0.

Tri vazna limesa

limx→0

sin x

x= 1, lim

x→0

ex − 1

x= 1, lim

x→±∞

(1 +

1

x

)x

= e.

Vazno

Eksponencijalne funkcije s bazom vecom od 1 rastu brze od svih

polinoma: limx→+∞

xn

ax= 0 za n ∈ N0 i a > 1.


Neprekidnost funkcija

Koliko iznosi:

limx→c

f (x)? (f je polinom, eksponencijalna funkcija, ili pak neka od

funkcija sin, cos, sh, ch, th, c ∈ R)

limx→c

f (x)? (f je racionalna funkcija definirana u c)

limx→c

loga x? ((a > 0, a 6= 1, c > 0)

limx→c

tg x? (c nije neparni visekratnik od π/2)

Sve elementarne funkcije imaju svojstvo

limx→c

f (x) = f (c)

za sve elemente c iz njihove domene (i ne samo one, npr. limx→c|x | = |c |).

Sto nam to svojstvo govori o grafu funkcije? Funkcija koja ima gornjesvojstvo za neku tocku c svoje domene zove se neprekidnom u c , afunkcija koja je neprekidna u svim tockama svoje domene zove seneprekidnom funkcijom.



Koliko iznosi:

limx→c



limx→c


limx→c

loga x? ((a > 0, a 6= 1, c > 0)

limx→c



limx→c

f (x) = f (c)





Koliko iznosi:

limx→c



limx→c


limx→c

loga x? ((a > 0, a 6= 1, c > 0)

limx→c



limx→c

f (x) = f (c)





Koliko iznosi:

limx→c



limx→c


limx→c

loga x? ((a > 0, a 6= 1, c > 0)

limx→c



limx→c

f (x) = f (c)





Koliko iznosi:

limx→c



limx→c


limx→c

loga x? ((a > 0, a 6= 1, c > 0)

limx→c



limx→c

f (x) = f (c)


Sto nam to svojstvo govori o grafu funkcije?

Funkcija koja ima gornjesvojstvo za neku tocku c svoje domene zove se neprekidnom u c , afunkcija koja je neprekidna u svim tockama svoje domene zove seneprekidnom funkcijom.



Koliko iznosi:

limx→c



limx→c


limx→c

loga x? ((a > 0, a 6= 1, c > 0)

limx→c



limx→c

f (x) = f (c)




Ako je domena neprekidne funkcije interval, sto nam to govori onjezinom grafu?

Ima li funkcija reciprocne vrijednosti prekid u 0?Ako je c element domene funkcije f , ali nije zadovoljeno gornjesvojstvo, kazemo da f ima prekid u c i c zovemo tockom prekidafunkcije. Koji mogu biti uzroci prekida funkcije? Nacrtajte graffunkcije kojoj su −2, 0 i 5 tocke prekida (i nema drugih prekida)!Odredite tocke prekida funkcije ciji graf je prikazan dolje.


Ako je domena neprekidne funkcije interval, sto nam to govori onjezinom grafu? Ima li funkcija reciprocne vrijednosti prekid u 0?

Ako je c element domene funkcije f , ali nije zadovoljeno gornjesvojstvo, kazemo da f ima prekid u c i c zovemo tockom prekidafunkcije. Koji mogu biti uzroci prekida funkcije? Nacrtajte graffunkcije kojoj su −2, 0 i 5 tocke prekida (i nema drugih prekida)!Odredite tocke prekida funkcije ciji graf je prikazan dolje.


Ako je domena neprekidne funkcije interval, sto nam to govori onjezinom grafu? Ima li funkcija reciprocne vrijednosti prekid u 0?Ako je c element domene funkcije f , ali nije zadovoljeno gornjesvojstvo, kazemo da f ima prekid u c i c zovemo tockom prekidafunkcije. Koji mogu biti uzroci prekida funkcije?

Nacrtajte graffunkcije kojoj su −2, 0 i 5 tocke prekida (i nema drugih prekida)!Odredite tocke prekida funkcije ciji graf je prikazan dolje.


Ako je domena neprekidne funkcije interval, sto nam to govori onjezinom grafu? Ima li funkcija reciprocne vrijednosti prekid u 0?Ako je c element domene funkcije f , ali nije zadovoljeno gornjesvojstvo, kazemo da f ima prekid u c i c zovemo tockom prekidafunkcije. Koji mogu biti uzroci prekida funkcije? Nacrtajte graffunkcije kojoj su −2, 0 i 5 tocke prekida (i nema drugih prekida)!

Odredite tocke prekida funkcije ciji graf je prikazan dolje.


Ako je domena neprekidne funkcije interval, sto nam to govori onjezinom grafu? Ima li funkcija reciprocne vrijednosti prekid u 0?Ako je c element domene funkcije f , ali nije zadovoljeno gornjesvojstvo, kazemo da f ima prekid u c i c zovemo tockom prekidafunkcije. Koji mogu biti uzroci prekida funkcije? Nacrtajte graffunkcije kojoj su −2, 0 i 5 tocke prekida (i nema drugih prekida)!Odredite tocke prekida funkcije ciji graf je prikazan dolje.


Posljedica svojstava limesa je da se neprekidne funkcije”pristojno”

ponasaju kad ih kombiniramo: Ako su funkcije f i g neprekidne utocki c, onda su i njihov zbroj, razlika i produkt funkcije neprekidneu c . Ako je uz to i g(c) 6= 0, onda je i kvocijent f /g takoderfunkcija neprekidna u tocki c . Ako je funkcija f neprekidna u tockic i funkcija g neprekidna u tocki f (c), onda je i kompozicija g ◦ fneprekidna u c .Jedno vazno svojstvo neprekidnih funkcija cija domena je segmentvec smo spominjali. Sjecate li se koje?

Bolzano-Weierstrass-ov teorem

Ako je f : [a, b]→ R neprekidna i nije konstantna funkcija, onda jeslika te funkcije segment.

Iliti: neprekidna funkcija kojoj je domena segment postize svojglobalni minimum i maksimum kao i sve meduvrijednosti, a jedinemoguce tocke promjene predznaka takve funkcije su njene nultocke.


Posljedica svojstava limesa je da se neprekidne funkcije”pristojno”

ponasaju kad ih kombiniramo: Ako su funkcije f i g neprekidne utocki c, onda su i njihov zbroj, razlika i produkt funkcije neprekidneu c . Ako je uz to i g(c) 6= 0, onda je i kvocijent f /g takoderfunkcija neprekidna u tocki c . Ako je funkcija f neprekidna u tockic i funkcija g neprekidna u tocki f (c), onda je i kompozicija g ◦ fneprekidna u c .Jedno vazno svojstvo neprekidnih funkcija cija domena je segmentvec smo spominjali. Sjecate li se koje?

Bolzano-Weierstrass-ov teorem

Ako je f : [a, b]→ R neprekidna i nije konstantna funkcija, onda jeslika te funkcije segment.

Iliti: neprekidna funkcija kojoj je domena segment postize svojglobalni minimum i maksimum kao i sve meduvrijednosti, a jedinemoguce tocke promjene predznaka takve funkcije su njene nultocke.


Kad ne postoji derivacija f ′(c)? Mozete li to argumentiratipomocu njene prave definicije?

U zatvorenim rubovima domene funkcije ne mozemo trazitiobostrani, nego samo jednostrane limese, pa nema smisladefinirati derivaciju u zatvorenim rubovima intervala koji cinedomenu.

Limes limx→c

f (x)− f (c)

x − cje beskonacan. U Kks-u to znaci da je

u tocki s apscisom c tangenta na graf od f vertikalna.

Ako funkcija ima prekid u tocki c , onda je limx→c

f (x) 6= f (c) pa

brojnik u limesu limx→c

f (x)− f (c)

x − cnema limes 0, dok nazivnik

ima limes nula te je limes beskonacan ili neodreden.

Limes limx→c

f (x)− f (c)

x − cne postoji jer se limes slijeva i limes

zdesna ne podudaraju. Geometrijski se radi o”spici” na grafu.


Kad ne postoji derivacija f ′(c)? Mozete li to argumentiratipomocu njene prave definicije?

U zatvorenim rubovima domene funkcije ne mozemo trazitiobostrani, nego samo jednostrane limese, pa nema smisladefinirati derivaciju u zatvorenim rubovima intervala koji cinedomenu.

Limes limx→c

f (x)− f (c)

x − cje beskonacan. U Kks-u to znaci da je

u tocki s apscisom c tangenta na graf od f vertikalna.

Ako funkcija ima prekid u tocki c , onda je limx→c

f (x) 6= f (c) pa

brojnik u limesu limx→c

f (x)− f (c)

x − cnema limes 0, dok nazivnik

ima limes nula te je limes beskonacan ili neodreden.

Limes limx→c

f (x)− f (c)

x − cne postoji jer se limes slijeva i limes

zdesna ne podudaraju. Geometrijski se radi o”spici” na grafu.


Teorem

Ako funkcija ima derivaciju u nekoj tocki, onda je i neprekidna utoj tocki.

Obrat ne mora vrijediti, tj. postoje neprekidne funkcije koje nemajuderivaciju u nekoj tocki. Najjednostavniji primjer je funkcijaapsolutne vrijednosti.Napomena. Vecina funkcija koje susrecemo u primjenama su nesamo neprekidne, nego i derivabilne, stovise: i njihove derivacije suneprekidne funkcije. Takve funkcije zovemo glatkim funkcijama (ili:funkcijama klase C 1).


Izvedimo formulu za derivaciju konstantne funkcije i svojstvohomogenosti derivacija iz definicije derivacije:

f (x) = C ⇒ f ′(c) = limx→c

f (x)− f (c)

x − c= lim

x→c

0

x − c= 0;

Ako je f derivabilna u c , te ako je g definirana s g(x) = Cf (x),onda je

g ′(c) = limx→c

g(x)− g(c)

x − c= lim

x→c

Cf (x)− Cf (c)

x − c

= C limx→c

f (x)− f (c)

x − c= Cf ′(c)


Izvedimo formulu za derivaciju konstantne funkcije i svojstvohomogenosti derivacija iz definicije derivacije:

f (x) = C ⇒ f ′(c) = limx→c

f (x)− f (c)

x − c= lim

x→c

0

x − c= 0;

Ako je f derivabilna u c , te ako je g definirana s g(x) = Cf (x),onda je

g ′(c) = limx→c

g(x)− g(c)

x − c= lim

x→c

Cf (x)− Cf (c)

x − c

= C limx→c

f (x)− f (c)

x − c= Cf ′(c)


Lagrangeov teorem srednje vrijednosti

Ako je funkcija f derivabilna na I i neprekidna na a, b ∈ I , a < b,onda postoji c ∈ 〈a, b〉 takav da je f ′(c) = f (b)−f (a)

b−a .

Geometrijski gledano: za proizvoljnu sekantu grafa derivabilnefunkcije postoji tocka grafa (izmedu tocaka koje odreduju sekantu)takva da je tangenta u toj tocki paralelna toj sekanti.

Fizikalno gledano: za svaku velicinu ovisnu o vremenu postojitrenutak u kojem je trenutna brzina promjene te velicine jednakaprosjecnoj brzini tokom cijelog promatranog vremenskog intervala.

Zadatak

Pokazite da polinom p(x) = 4x5 + x3 + 7x − 2 ima samo jednurealnu nultocku!


Lagrangeov teorem srednje vrijednosti

Ako je funkcija f derivabilna na I i neprekidna na a, b ∈ I , a < b,onda postoji c ∈ 〈a, b〉 takav da je f ′(c) = f (b)−f (a)

b−a .

Geometrijski gledano: za proizvoljnu sekantu grafa derivabilnefunkcije postoji tocka grafa (izmedu tocaka koje odreduju sekantu)takva da je tangenta u toj tocki paralelna toj sekanti.

Fizikalno gledano: za svaku velicinu ovisnu o vremenu postojitrenutak u kojem je trenutna brzina promjene te velicine jednakaprosjecnoj brzini tokom cijelog promatranog vremenskog intervala.

Zadatak

Pokazite da polinom p(x) = 4x5 + x3 + 7x − 2 ima samo jednurealnu nultocku!

Documents

Franka Miriam Bruckler - PMFprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan8.pdf · 2017-11-14 · Limesi i asimptote Neprekidnost i derivabilnost Prava de nicija derivacije Kako smo "