Upload
others
View
13
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Uvod u diferencijalni racun
Franka Miriam Bruckler
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Problem tangente
Ako je zadana neka krivulja i odabrana tocka na njoj, kakokonstruirati tangentu na tu krivulju u toj tocki? I sto je to uopcetangenta?
Tangenta je pravac koji se od svih pravaca koji prolazekroz diraliste najbolje priljubljuje uz krivulju oko diralista.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Problem tangente
Ako je zadana neka krivulja i odabrana tocka na njoj, kakokonstruirati tangentu na tu krivulju u toj tocki? I sto je to uopcetangenta? Tangenta je pravac
koji se od svih pravaca koji prolazekroz diraliste najbolje priljubljuje uz krivulju oko diralista.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Problem tangente
Ako je zadana neka krivulja i odabrana tocka na njoj, kakokonstruirati tangentu na tu krivulju u toj tocki? I sto je to uopcetangenta? Tangenta je pravac koji se od svih pravaca koji prolazekroz diraliste najbolje priljubljuje uz krivulju oko diralista.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Problem brzine
U razlicitim trenutcima biljezene su udaljenosti tocke koja se gibapo pravcu od njene pocetne pozicije:
t/s 0 10 20 30 40 50 60
d/cm 0 5 7 12 17 18 20
Slijedi da su (prosjecne) brzine u pojedinim vremenskim intervalima
t/s 0 10 20 30 40 50 60
v/(cm/s) 0 1/2 1/5 1/2 2/5 1/10 3/10
v(20 s) =?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Problem brzine
U razlicitim trenutcima biljezene su udaljenosti tocke koja se gibapo pravcu od njene pocetne pozicije:
t/s 0 10 20 30 40 50 60
d/cm 0 5 7 12 17 18 20
Slijedi da su (prosjecne) brzine u pojedinim vremenskim intervalima
t/s 0 10 20 30 40 50 60
v/(cm/s) 0 1/2 1/5 1/2 2/5 1/10 3/10
v(20 s) =?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Kolika je pocetna brzina reakcije?
C4H9Cl(aq) + H2O(l) −−→ C4H9OH(aq) + HCl(aq)
c = c(C4H9Cl)
Trenutna brzina reakcije = koeficijent smjera tangente na grafovisnosti c o t, podijeljen sa stehiometrijskim koeficijentom−0,905−1
50−0 ·mol/L
s = 1,9 · 10−3 mol L−1 s−1
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Sto je zajednicko prethodnim problemima?
Imamo razlicite realne funkcije jedne varijable, ali u svimslucajevima gledamo neprecizirano malu (blisku nuli) promjenunezavisne varijable u odnosu na neku njenu zadanu (fiksiranu)vrijednost i efekt te promjene na zavisnu varijablu.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Sto je zajednicko prethodnim problemima?Imamo razlicite realne funkcije jedne varijable, ali u svimslucajevima gledamo neprecizirano malu (blisku nuli) promjenunezavisne varijable u odnosu na neku njenu zadanu (fiksiranu)vrijednost i efekt te promjene na zavisnu varijablu.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije:Derivacija f ′(c)
”je” procjena relativne promjene funkcije f
ako je promjena varijable (∆x) priblizno jednaka nuli:
f ′(c) ≈ ∆f
∆x.
Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj tocki njenedomene?
Za mali razmak ∆x omjer ∆f∆x nece biti bitno razlicit od
koeficijenta smjera tangente povucene na graf funkcije f utocki s apscisom c ⇒ Derivacija kao koeficijent smjeratangente: f ′(c) je koeficijent smjera tangente na graf funkcijef (prikazan u Kks-u) povucene u tocki s apscisom c . Kakva jeveza derivacije i rasta ili pada funkcije? Koja je jednadzbatangente na graf funkcije u zadanoj tocki grafa?
Derivacija kao trenutna brzina: Derivacija f ′(c) funkcije cija jenezavisna varijabla vrijeme je trenutna brzina promjenezavisne varijable u trenutku c .
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije:Derivacija f ′(c)
”je” procjena relativne promjene funkcije f
ako je promjena varijable (∆x) priblizno jednaka nuli:
f ′(c) ≈ ∆f
∆x.
Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj tocki njenedomene?
Za mali razmak ∆x omjer ∆f∆x nece biti bitno razlicit od
koeficijenta smjera tangente povucene na graf funkcije f utocki s apscisom c ⇒ Derivacija kao koeficijent smjeratangente: f ′(c) je koeficijent smjera tangente na graf funkcijef (prikazan u Kks-u) povucene u tocki s apscisom c . Kakva jeveza derivacije i rasta ili pada funkcije? Koja je jednadzbatangente na graf funkcije u zadanoj tocki grafa?
Derivacija kao trenutna brzina: Derivacija f ′(c) funkcije cija jenezavisna varijabla vrijeme je trenutna brzina promjenezavisne varijable u trenutku c .
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije:Derivacija f ′(c)
”je” procjena relativne promjene funkcije f
ako je promjena varijable (∆x) priblizno jednaka nuli:
f ′(c) ≈ ∆f
∆x.
Koliko iznosi derivacija afine funkcije u zadanoj tocki njenedomene?
Za mali razmak ∆x omjer ∆f∆x nece biti bitno razlicit od
koeficijenta smjera tangente povucene na graf funkcije f utocki s apscisom c ⇒ Derivacija kao koeficijent smjeratangente: f ′(c) je koeficijent smjera tangente na graf funkcijef (prikazan u Kks-u) povucene u tocki s apscisom c . Kakva jeveza derivacije i rasta ili pada funkcije? Koja je jednadzbatangente na graf funkcije u zadanoj tocki grafa?
Derivacija kao trenutna brzina: Derivacija f ′(c) funkcije cija jenezavisna varijabla vrijeme je trenutna brzina promjenezavisne varijable u trenutku c .
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ukoliko bismo na neki nacin uspjeli odrediti f ′(c)-ove za svemoguce c , derivaciju bismo mogli shvatiti shvatiti kao novufunkciju f ′ : I → R (c 7→ f ′(c), c ∈ I ).Ako (skalarna) velicina f ovisi o vremenu i ako smo nasli njezinuderivaciju (kao funkciju), te ju ponovno deriviramo, sto mozemozakljuciti iz te druge derivacije?
Deriviranjem funkcije f ′ dobivamo drugu derivaciju f ′′,deriviranjem druge derivacije trecu derivaciju itd. Oznake za prvu,drugu i trecu derivaciju su redom f ′, f ′′, f ′′′. Daljnje derivacije(n-ta za n > 3) u pravilu se oznacavaju s f (n).
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ukoliko bismo na neki nacin uspjeli odrediti f ′(c)-ove za svemoguce c , derivaciju bismo mogli shvatiti shvatiti kao novufunkciju f ′ : I → R (c 7→ f ′(c), c ∈ I ).Ako (skalarna) velicina f ovisi o vremenu i ako smo nasli njezinuderivaciju (kao funkciju), te ju ponovno deriviramo, sto mozemozakljuciti iz te druge derivacije?Deriviranjem funkcije f ′ dobivamo drugu derivaciju f ′′,deriviranjem druge derivacije trecu derivaciju itd. Oznake za prvu,drugu i trecu derivaciju su redom f ′, f ′′, f ′′′. Daljnje derivacije(n-ta za n > 3) u pravilu se oznacavaju s f (n).
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Tablica derivacija
f (x) f ′(x)
C 0xn n xn−1
ax ax ln aloga x
1x ln a
sin x cos xcos x − sin xtg x 1
cos2 xctg x − 1
sin2 x
f (x) f ′(x)
arcsin x 1√1−x2
arccos x − 1√1−x2
arctg x 11+x2
arcctg x − 11+x2
sh x ch xch x sh x
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x
1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2√
2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x 1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3
− 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2√
2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x 1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3 − 3x−4 −√x
x−1/2/2 (x 6= 0) −x√
2√
2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x 1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2
√2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x 1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2√
2x√
2−1 0
ex
ex 1
ln x 1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2√
2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x
1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2√
2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x 1/x −ln 2
0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
f (x) f ′(x) koef. smjera tangente u (0, f (0))
x 1 11x3 − 3x−4 −√x x−1/2/2 (x 6= 0) −
x√
2√
2x√
2−1 0
ex ex 1
ln x 1/x −ln 2 0 0
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x .
Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?
A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)?
Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?
Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?
Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ?
A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine?
A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Ako je f : R→ R, f (x) = x2, vidjeli smo da je f ′(c) = 2c za svakic ∈ R. Dakle je f ′ : R→ R dana formulom f ′(x) = 2x . Temeljemproizvoljno odabrane medu danim
”definicijama” derivacije
argumentirajte zasto je f ′′(x) = 2 za sve x . Sto mozete reci o f ′′′?A o f ′(0)? Postoji li tangenta na graf funkcije f u tocki s apscisom0? Koji je koeficijent smjera te tangente?Ako je derivacija jednaka 0 onaa) ne postoji,b) postoji.Je li a) ili b) tocno? Zasto?Kako geometrijski interpretirati podatak da je f ′(c) = 0 za neki ciz domene od f ? A u kontekstu derivacije kao brzine? A ukontekstu derivacije kao relativne promjene?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Za koje c ∈ R je f ′(c) = 0 ako sljedeca slika prikazuje graf funkcijef ? Na kojim intervalima je f ′(x) < 0?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Sto biste rekli o f ′(−5/2), f ′(−2), f ′(0) i f ′(1) za funkciju f ciji jegraf prikazan sljedecom slikom? Argumentirajte!
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Uzmimo funkciju treceg korijena. Kako izgleda njen graf? Sto jenjena prirodna domena?
Izracunajte derivaciju te funkcije. Stoprimjecujete?Ako je c element domene funkcije f , onda f ′(c) ne postoji usljedecim slucajevima:
U c graf ima”spicu”;
U c se graf razdvaja;
U c je tangenta vertikalna;
c je rub nekog od disjunktnih intervala koji u uniji cinedomenu.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Uzmimo funkciju treceg korijena. Kako izgleda njen graf? Sto jenjena prirodna domena? Izracunajte derivaciju te funkcije. Stoprimjecujete?
Ako je c element domene funkcije f , onda f ′(c) ne postoji usljedecim slucajevima:
U c graf ima”spicu”;
U c se graf razdvaja;
U c je tangenta vertikalna;
c je rub nekog od disjunktnih intervala koji u uniji cinedomenu.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Uzmimo funkciju treceg korijena. Kako izgleda njen graf? Sto jenjena prirodna domena? Izracunajte derivaciju te funkcije. Stoprimjecujete?Ako je c element domene funkcije f , onda f ′(c) ne postoji usljedecim slucajevima:
U c graf ima”spicu”;
U c se graf razdvaja;
U c je tangenta vertikalna;
c je rub nekog od disjunktnih intervala koji u uniji cinedomenu.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Homogenost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = 3x i g(x) = −2 · 3x . Usporediteprocjene f ′(c) i g ′(c) za nekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = 3− 2x? A koliko je g ′(x) zag(x) = 30− 20x?
Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom? Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Homogenost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = 3x i g(x) = −2 · 3x . Usporediteprocjene f ′(c) i g ′(c) za nekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = 3− 2x? A koliko je g ′(x) zag(x) = 30− 20x?
Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom? Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Homogenost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = 3x i g(x) = −2 · 3x . Usporediteprocjene f ′(c) i g ′(c) za nekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = 3− 2x? A koliko je g ′(x) zag(x) = 30− 20x?
Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom?
Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Homogenost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = 3x i g(x) = −2 · 3x . Usporediteprocjene f ′(c) i g ′(c) za nekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = 3− 2x? A koliko je g ′(x) zag(x) = 30− 20x?
Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom? Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?
Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Homogenost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = 3x i g(x) = −2 · 3x . Usporediteprocjene f ′(c) i g ′(c) za nekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = 3− 2x? A koliko je g ′(x) zag(x) = 30− 20x?
Kakav je odnos izmedu derivacije funkcije i funkcije dobivenenjezinim mnozenjem s konstantom? Ovisi li to o tocki domene ukojoj trazimo derivaciju?Homogenost deriviranja: (Cf (x))′ = Cf ′(x).Slijedi li iz toga da je (x · ex)′ = x · (ex)′ = x · ex? Zasto?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Aditivnost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = x2, g(x) = x3,h(x) = f (x) + g(x). Usporedite procjene f ′(c) i g ′(c) zanekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x ,b(x) = 1− x?
Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja? Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).
Linearnost deriviranja je zajednicko ime za aditivnost i homogenostderiviranja.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Aditivnost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = x2, g(x) = x3,h(x) = f (x) + g(x). Usporedite procjene f ′(c) i g ′(c) zanekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x ,b(x) = 1− x?
Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja? Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).
Linearnost deriviranja je zajednicko ime za aditivnost i homogenostderiviranja.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Aditivnost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = x2, g(x) = x3,h(x) = f (x) + g(x). Usporedite procjene f ′(c) i g ′(c) zanekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x ,b(x) = 1− x?
Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja?
Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).
Linearnost deriviranja je zajednicko ime za aditivnost i homogenostderiviranja.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Aditivnost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = x2, g(x) = x3,h(x) = f (x) + g(x). Usporedite procjene f ′(c) i g ′(c) zanekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x ,b(x) = 1− x?
Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja? Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?
Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).
Linearnost deriviranja je zajednicko ime za aditivnost i homogenostderiviranja.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Aditivnost deriviranja
U istom koordinatnom sustavu skicirajte grafove funkcijazadanih formulama f (x) = x2, g(x) = x3,h(x) = f (x) + g(x). Usporedite procjene f ′(c) i g ′(c) zanekoliko razlicitih c .
Koliko iznosi f ′(x) ako je f (x) = a(x) + b(x), a(x) = 2x ,b(x) = 1− x?
Kakav je odnos izmedu derivacija dviju funkcija i derivacije njihovazbroja? Ovisi li to o tocki domene u kojoj trazimo derivaciju?Aditivnost deriviranja: (f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x).
Linearnost deriviranja je zajednicko ime za aditivnost i homogenostderiviranja.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Komentirajte sljedeci zadatak i njegovo predlozeno rjesenje:Derivirajte f (x) = x5 − π sin x +
√5.
f (x) = x5 − π sin x +√
5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√
5)′ =5x4 − π cos x + 1√
5.
Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Komentirajte sljedeci zadatak i njegovo predlozeno rjesenje:Derivirajte f (x) = x5 − π sin x +
√5.
f (x) = x5 − π sin x +√
5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√
5)′ =5x4 − π cos x + 1√
5.
Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?
Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Komentirajte sljedeci zadatak i njegovo predlozeno rjesenje:Derivirajte f (x) = x5 − π sin x +
√5.
f (x) = x5 − π sin x +√
5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√
5)′ =5x4 − π cos x + 1√
5.
Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?
Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Komentirajte sljedeci zadatak i njegovo predlozeno rjesenje:Derivirajte f (x) = x5 − π sin x +
√5.
f (x) = x5 − π sin x +√
5 = (x5)′ − π(sin x)′ + (√
5)′ =5x4 − π cos x + 1√
5.
Sto biste rekli o 4. derivaciji polinoma stupnja 1? 2? 3? 4? 5?Mozete li donijeti kakav zakljucak o visim derivacijama polinoma?Kako biste utvrdili je li istinita sljedeca tvrdnja: Derivacija razlikefunkcija jednaka je razlici njihovih derivacija.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija produkta i kvocijenta funkcija
Derivirajte x2, x3 i x2x3.
Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi
(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),
a za derivaciju kvocijenta funkcija(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g2(x).
Zadatak
Izvedite formule za derivacije funkcija tangens i kotangens!
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija produkta i kvocijenta funkcija
Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija?
Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi
(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),
a za derivaciju kvocijenta funkcija(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g2(x).
Zadatak
Izvedite formule za derivacije funkcija tangens i kotangens!
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija produkta i kvocijenta funkcija
Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.
Formula za derivaciju produkta funkcija glasi
(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),
a za derivaciju kvocijenta funkcija(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g2(x).
Zadatak
Izvedite formule za derivacije funkcija tangens i kotangens!
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija produkta i kvocijenta funkcija
Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi
(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),
a za derivaciju kvocijenta funkcija(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g2(x).
Zadatak
Izvedite formule za derivacije funkcija tangens i kotangens!
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Derivacija produkta i kvocijenta funkcija
Derivirajte x2, x3 i x2x3.Je li istinita tvrdnja: Derivacija produktafunkcija jednaka je produktu njihovih derivacija? Osmislite primjerkojim se vidi da derivacija kvocijenta funkcija opcenito nije jednakakvocijentu derivacija.Formula za derivaciju produkta funkcija glasi
(f (x) · g(x))′ = f (x)g ′(x) + f ′(x)g(x),
a za derivaciju kvocijenta funkcija(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g2(x).
Zadatak
Izvedite formule za derivacije funkcija tangens i kotangens!
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna?
Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Je li funkcija zadana formulom a(x) = (ex)3 eksponencijalna? Skojom bazom?
a(x) =(e3)x
Derivirajte ju!
a′(x) =(e3)x · ln e3 = 3
(e3)x
= 3e3x .
Derivirajte funkciju zadanu formulom b(x) = (sin x)2 = sin x · sin xkoristeci pravilo za derivaciju produkta:
b′(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin(2x).
Derivirajte funkciju zadanu formulom c(x) = ln x3!
c ′(x) = (3 ln x)′ =3
x.
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Lancano pravilo
Opisite funkcije zadane formulama a(x) = (ex)3,b(x) = (sin x)2 = sin x · sin x , c(x) = ln x3 i d(x) = (cos x)π kaokompozicije po dviju funkcija!
Opcenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x), gdje je y = f (x). To se pravilo cestopise u obliku
(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).
Zadatak
Odredite derivaciju od Λm po c ako je 1Λm
= 1Λ◦
m+ cΛm
K(Λ◦m)2 , tj.
Λm =
√1 + 4c − 1
2c/Λ◦m.
Koja je jedinica te derivacije?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Lancano pravilo
Opisite funkcije zadane formulama a(x) = (ex)3,b(x) = (sin x)2 = sin x · sin x , c(x) = ln x3 i d(x) = (cos x)π kaokompozicije po dviju funkcija!Opcenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x), gdje je y = f (x). To se pravilo cestopise u obliku
(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).
Zadatak
Odredite derivaciju od Λm po c ako je 1Λm
= 1Λ◦
m+ cΛm
K(Λ◦m)2 , tj.
Λm =
√1 + 4c − 1
2c/Λ◦m.
Koja je jedinica te derivacije?
Sto je derivacija? Kad ne postoji derivacija? Osnovna svojstva derivacija
Lancano pravilo
Opisite funkcije zadane formulama a(x) = (ex)3,b(x) = (sin x)2 = sin x · sin x , c(x) = ln x3 i d(x) = (cos x)π kaokompozicije po dviju funkcija!Opcenito, pravilo za deriviranje kompozicije funkcija glasi(g ◦ f )′(x) = g ′(y) · f ′(x), gdje je y = f (x). To se pravilo cestopise u obliku
(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).
Zadatak
Odredite derivaciju od Λm po c ako je 1Λm
= 1Λ◦
m+ cΛm
K(Λ◦m)2 , tj.
Λm =
√1 + 4c − 1
2c/Λ◦m.
Koja je jedinica te derivacije?