Upload
nikolavres
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
1/27
1
02.05.2016. 1
Oblikovanje pomou raunala
Katedra za konstruiranje i razvoj proizvodaFakultet strojarstva i brodogradnje
MODELIRANJE KRUTIM TIJELIMA
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 2
SadrajModeliranje uporabom geometrijskih objekata.Geometrijski modeli krutih tijela.Dekompozicijski modeli.Konstruktivni modeli krutih tijela.Rubni prikaz.
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
2/27
2
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 3
to je dobro: brzi algoritmi za prikaz i kreiranje,manja kompleksnost baze crtea, bolja mogunost razmjene podataka sa drugim CAD programskim aplikacijama,
to su problemi:mogunost neispravnog modela,mogunost kreiranja nekompletnih modelaograniena uporabivost
Modeliranje uporabom geometrijskih objekata
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 4
Modeliranje uporabom geometrijskih objekata
(a) (b) (c)
Wireframe ambiguity:Is this object (a), (b) or (c) ?
(a) (b) (c)
Wireframe ambiguity:Is this object (a), (b) or (c) ?
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
3/27
3
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 5
Modeliranje uporabom geometrijskih objekata
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 6
Geometrijski modeli krutih tijelaRaunalni modeli krutih tijela moraju zadovoljiti sljedee karakteristike u E3 prostoru:
krutost konfiguracija apstraktnog tijela mora biti neovisna o lokaciji i orijentacijitijela u prostoru,
homogena trodimenzionalnost tijelo mora imati svoju unutranjost, a oploje tijela nesmije imati viseih bridova ili ploha,
konanost tijelo mora zauzimati konaan dio prostora,
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
4/27
4
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 7
Geometrijski modeli krutih tijela
Raunalni modeli krutih tijela moraju zadovoljiti sljedee karakteristike u E3 prostoru:zatvorenost pod osnovnim transformacijama i nekim Boolean operacijama osnovnetransformacije (translacija i/ili rotacija) ili operacije dodavanja i oduzimanja kada se primjene na tijelo moraju rezultirati takoer tijelom,
konanost opisa model tijela u 3D prostoru mora se moi opisati konanim brojem pojmova,
odreenost oploja oploje tijela mora jednoznano definirati prostor unutar tijela(volumen).
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 8
Geometrijski modeli krutih tijela
Godina Program Razvoj
1972 PAP,PADL-I,PADL2 University of Rochester
1973 Buil-I, Build-II Cambridge
1973 TIPS-I Hokkaido University
1975 GLIDE-I Carnegie Mellon University
1975 Euler Ops Winged Edge, B-Rep Stanford University
1981 Romulus Evan i Sutherland, prvi komercijalni
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
5/27
5
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 9
Geometrijski modeli krutih tijela
Neki od vanijih aspekata izrade modela uporabom krutih tijela su osiguravanje integriteta tekompleksnost modela.
Sheme prikaza modela krutih tijela mogu se podijeliti u tri kategorije:dekompozicijski modeli (decomposition models),konstruktivni modeli (constructive models),rubnim prikazom (boundary representation).
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 10
Dekompozicijski modeliDekompozicijski modeli (decomposition model) predstavljaju skup ili kolekciju jednostavnih modela povezanih operacijom lijepljenja. Elementi koji tvore model seenumeriraju nekom od metoda. Podruje primjene je u prikazima vezanim za simulacije,video igre, renderiranje volumena, animacije te 3D prikaze generirane na osnovudigitalnih snimaka (GIS). Naini dekompozicije elemenata:
podjela s jednakim korakom (Brute force),dijeljenje na etvrtine (Quadtrees) 2D,dijeljenje na osmine (Octrees) 3D,volumske elije (Voxels).
Voxel VOlumen piXel ELement
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
6/27
6
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 11
Dekompozicijski modeli
Osobine dekompozicijskih modela:omoguuju aproksimativni (priblian) prikaz. Rezolucija tj. kvaliteta prikaza(aproksimacije) ovisi o veliini elije, prikaz se mijenja u sluaju promjene poloaja,isti skup elija moe opisivati nekoliko objekata (shema prikaza je jednoznanasamo u sluaju fiksne rezolucije), jednostavna uporaba Boolean operatora kod elija.
Octree primjer.
= vanjtina= unutranost= unutranjost
Svaki blok ima materijala, nema materijala ili je definiran kao manji blok.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 12
Dekompozicijski modeli
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
7/27
7
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 13
Dekompozicijski modeli
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 14
Dekompozicijski modeli
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
8/27
8
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 15
Dekompozicijski modeli
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 16
Dekompozicijski modeli
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
9/27
9
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 17
Konstruktivni modeli krutih tijela
Konstruktivni modeli tijela (constructive solid models) kreiraju se kaokombinacija geometrijskih primitiva i Boolean operacija. Izdvajaju se dva pristupa:
modeli kreirani uporabom poluprostora (half-space models),CSG modeli (constructive solid geometry).
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 18
Konstruktivni modeli krutih tijela - poluprostori
model kreiranuporabom
poluprostora
ax+by+cz+d>0
x2+y 2-r2>0 H1: x 2+y 2-
r2>0
H2: z>0
H3: z-h
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
10/27
10
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 19
Konstruktivni modeli krutih tijela -poluprostori
Modeli kreirani uporabom poluprostora - kreiraju se kombinacijom jednostavnih poluprostornih osnovnih oblika.
Poluprostorni primitivi se kreiraju dijeljenjem prostora u dva dijela tvorei dva poluprostora koja oba mogu biti beskonana ili jedan konaan, a drugi beskonaan.
U najveem broju sluajeva poluprostorni primitivi se kreiraju dijeljenjem prostorauporabom ravninskih povrina te odabira orijentacije koja pripada tijelu. Npr. kockase moe prikazati kao presjek est poluprostora pri emu je svaki definiran na tajnain da je pozitivna strana ravninske povrine ukljuena u kocku.
Poluprostorni modeli se kreiraju kombinacijominstanci poluprostornih primitiva i Boolean operatora.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 20
Konstruktivni modeli krutih tijela - poluprostori
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
11/27
11
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 21
Konstruktivni modeli krutih tijela - poluprostori
model poluprostorni prikaz
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 22
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSG
CSG prikaz je ureeni binarni graf (stablo) iji meuvorovi oznaavaju osnovne operatorei pomake, a krajnji vorovi ili osnovne oblike ili pomake. Neki algoritmi dozvoljavaju ponavljanje istih struktura pa su grafovi cikliki.
CSG stablo se sastoji od:opisa regulariziranih Boolean operatora ili transformacija,opisa primitiva.
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
12/27
12
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 23
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSG
Operatori su regularizirani Boolean operatori (unija, presjek i razlika).
A
B A B A B
Regularizirani
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 24
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSGUnija
Presjek
Razlika
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
13/27
13
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 25
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSG
Osnovni
geometrijski oblici
Boolean operacijana osnovnim
oblicima
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 26
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSG
-
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
14/27
14
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 27
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSG
Proces nastanka modela
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 28
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSGOsobine CSG prikaza:
mogunosti ovise o klasama dostupnih poluprostora te o dostupnomosnovnim oblicima,CSG stablo osigurava ispravnost modela te omoguuje kontrolu istih,CSG stablo opisuje jednoznaan ali ne jedinstven prikaz modela jedan odrazloga je i taj to se model moe kreirati kombinacijom razliitihosnovnih oblika, budui da je skup Boolean operatora sastavni dio CSG stabla, unija dvarazliita CSG stabla kreirat e novo ispravno CSG stablo,u veini sluajeva za prikaz CSG modela koristi se rubni prikaz (B-Rep).
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
15/27
15
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 29
Konstruktivni modeli krutih tijela - CSG
Prednosti: jednostavno kreiranje modela krutih tijela (minimalan brojkoraka),nain zapisa rezultira saetoj baza podataka manji zahtjevaza prostorom pohrane podataka,moe se pretvoriti u rubni prikaz.
Nedostatci:dozvoljeni su samo boolean operatori, iz tog razloga jenemogue kreirati neobine oblike,zahtjeva veliku koliinu procesorskogvremena za pripremu prikaza.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 30
Rubni prikazRubni prikaz (boundary representation) temelji se na pogledu na kruto tijelo pomou ploha. Modelirani objekt se potpuno definira i prikazuje preko povezanih ploha.Plohe (facet), toke i bridovi se oznauju te tvore stablo (graf), a rubovi stablaopisuju relacije izmeu njih.Geometrijski podaci su pridrueni vorovima stabla.
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
16/27
16
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 31
Rubni prikazDanas najraireniji nain za prikaz 3D modela, glavni elementi su topologija igeometrija. Elementi topologije su plohe, bridovi i vrhovi.
Objekt
TopologijaTopologija GeometrijaGeometrija
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 32
Rubni prikaz
ljuskaljuska
plohaploha
petljapetlja
bridbrid
vrhvrh
povrinapovrina
krivuljakrivulja
tokatoka
TOPOLOGIJA GEOMETRIJA
OBJEKT
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
17/27
17
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 33
Rubni prikaz
povrinaploha
krivulja
bridvrh
toka
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 34
Rubni prikaz
Povrina mora biti ograenazatvorenim lancem bridova.
Ista geometrija (opisuje gdjese objekti nalaze u prostoru)razliita topologija (opisujekako su objekti spojeni).
Ista topologija razliitageometrija.
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
18/27
18
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 35
Rubni prikaz
Topoloke relacije na osnovu kreiranog stabla:kruto tijelo se sastoji od skupa faceta.
svaka ploha obrubljen je skupom bridova.skup bridova je ureen skup tako da tvori zatvorenu petlju (neophodno da bise moglo razluiti unutranjost od vanjtine), bridove dijele susjedne plohe koje se sijeku na bridu, bridovi su ogranieni susjednim vrhovima,vrhove dijele susjedni bridovi koji se sijeku u njima.
Tri ili vie bridova moraju sesastajati u vrhu.
Ploha mora biti ograenazatvorenim lancem bridova.
Brid je uvijek dio dvije petljesusjednih ploha.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda* http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 36
Rubni prikaz
Ispravan model Neispravan model
Pomak toke
Ispravnost B-rep prikaza odreuje se Euler-Poincare jednadbom.v e + (f l) = 2(s g) + r [openito]v e + (f l) = 2 [jednostavna geometrija]
v broj vrhova g broj provrtae broj bridova r broj prstenovaf broj ploha s broj ljuski (ili viestrukost)l broj petlji
Euler-PoincareEuler-Poincare 2
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
19/27
19
02.05.2016. Katedraza konstruiranje irazvoj proizvoda* http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 37
Rubni prikaz
V-E+F=8-12+6=2 V-E+F=10-15+7=2 V-E+F=2-3+3=2
02.05.2016. Katedraza konstruiranje irazvoj proizvoda* http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 38
Rubni prikaz
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
20/27
20
02.05.2016. Katedraza konstruiranje irazvoj proizvoda* http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 39
Rubni prikaz
Euler-Poincare formula opisuje pet dimenzionalnu mreu u estdimenzionalnom prostoru definiranom pomou est topolokih parametara.
Euler-Poincare formula opisuje pet dimenzionalnu mreu u estdimenzionalnom prostoru definiranom pomou est topolokih parametara.
Toke u ovoj mrei, za pozitivne cjelobrojne vrijednosti parametara predstavljaju Euler-ove objekte.
Operacije transformacije Euler-ovih objekata koji predstavljaju jedanvor u drugi objekt u bilo kojem susjednom voru nazivaju se Euler-ove operacije.
Postoje 99 Euler-ovih operacija, koriste se za izvoenje transformacijaizmeu susjednih vorova u Euler-ovom prostoru.
Toke u ovoj mrei, za pozitivne cjelobrojne vrijednosti parametara predstavljaju Euler-ove objekte.
Operacije transformacije Euler-ovih objekata koji predstavljaju jedanvor u drugi objekt u bilo kojem susjednom voru nazivaju se Euler-ove operacije.
Postoje 99 Euler-ovih operacija, koriste se za izvoenje transformacijaizmeu susjednih vorova u Euler-ovom prostoru.
Gledano s praktine strane Euler-ove operacije tvore skup jednostavnihgradivnih elemenata pomou koji se mogu tvoriti kompleksnijeoperacije. Velika prednost ovog pristupa je u osiguravanju topolokeispravnosti modela.
Gledano s praktine strane Euler-ove operacije tvore skup jednostavnihgradivnih elemenata pomou koji se mogu tvoriti kompleksnijeoperacije. Velika prednost ovog pristupa je u osiguravanju topolokeispravnosti modela.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda* http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 40
Rubni prikaz
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
21/27
21
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 41
Rubni prikaz
u matrinom zapisu
koeficijenti Euler-Poincareformule
q = p A q vektor koji predstavlja broje elemenata u Eulerovom objektu p vektor koji predstavlja koliko puta se pojedini operatori primjenjuje
qA-1 = p A A-1 = p
za kocku definiranog topolokog vektora:(v, e, f, l, g, s)(8, 12, 6, 0, 0, 1)
vektor koji definira broj primjena svakog primitivnog elementa:(7, 5, 1, 0, 0, 0)
sedam MEV (Make and Edge and Vertex) operacije,
pet MFE (Make a Face and Edge) operacije, jedna MBFV (Make Body, Face and Vertex) operacija.
Skup Euler-ovih operatora opisanih prema Braid-u koji tvore osnovni skupijom kombinacijom je mogue kreirati imijenjati topologiju Euler-ovih objekata.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 42
Rubni prikaz
Izrada kocke pomou Euler-ovihoperacija.
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
22/27
22
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 43
Rubni prikaz
Izdvajaju se dva pristupa:opis vrhova modela,opis bridova modela.
Elementirubnog prikaza:geometrija koordinate vrhova,topologija opisuje relacije izmeu razliitih objekata.
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 44
Rubni prikazPrimjer rubnog prikaza temeljenog na opisu vrhova modela. Pojedini vrhovi se pridruuju povrinama. Vrhovi pojedinih povrina prikazuju se u nepromjenjivomredu. Geometrijske informacije o povrinama se ne zapisuju eksplicitno ve putemkoordinata vrhova i njihovog odnosa prema povrinama.
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
23/27
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
24/27
24
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 47
Rubni prikaz
ObjectObject
ShellShell
FaceFace EdgeEdge VertexVertexSurfaceSurface
elink elink
LoopLoop
CurveCurve PointPoint
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 48
Rubni prikaz
Prednosti: povijesno popularna nain kreiranja modela blisko povezan saizradom tehnike dokumentacije, prikladan alat za modeliranje oblika trupa zrakoplova ivanjskih povrina modela koje je teko izraditi uporabom primitiva,relativno je jednostavno pretvoriti rubni prikaz u iani modelzbog slinosti zapisa,u aplikacijama rubni prikaz je pouzdan i konkurentan CSGmodelima.
Nedostatci:zahtijeva veliku koliinu memorijskog prostora jer pohranjujeeksplicitni zapis definicije rubnog prikaza modela,znatno je opirniji od CSG zapisa,nije pogodan za CAM aplikacije (faceti).
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
25/27
25
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 49
Prikazi u CAD aplikacijama
model podataka
CAD aplikacija
operacije za modeliranje
topoloke i geometrijskefunkcije
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 50
Prikazi u CAD aplikacijama
Aplikacija Proizvoa Prikaz Ulaz
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
26/27
26
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 51
Prikazi u CAD aplikacijama
B-RepB-Rep
CSGCSG
prostornonumeriranjeprostornonumeriranje
B-RepB-Rep CSGCSGprostornonumeriranjeprostornonumeriranje sweepingsweeping
priblina konverzija tona konverzija
Pretvorba izmeu prikaza modela
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 52
Rubni prikaz
7/25/2019 07 OPR-Modeliranje v6
27/27
02.05.2016. Katedra za konstruiranje i razvoj proizvoda * http://www.cadlab.fsb.hr * Oblikovanje pomou raunala 53
Literatura i URL linkoviJ. J. Shah, M. Mantyla, Parametric and Feature-Based CAD/CAM, John Wiley & Sons Inc., New York,1995.I. Zeid, CAD/CAM Theory and Practice, MCGraw-Hill, Inc., New York, 1991.Stroud, I.A.: Boundary Representation Modelling Techniques. Springer, Heidelberg (2006)Braid, I.C., Hillyard, R.C., Stroud, I.A.: Stepwise constructionof polyhedra in geometric modelling, (1978). In: Brodlie, K.W. (ed.)
Mathematical Methods in Computer Graphics and Design. Academic Press, London (1980)Mntyl, M.: A note on the modeling space of euler operators. Comput. Vis. Graph. Imag. Process. 26, 4560 (1984)Mntyl, M.: An introduction to solid modeling. Computer Science Press, Maryland, ISBN 0-88175-108-1 (1988)Luo, Y.: Solid modelling for regular objects renewed theory, data structure and Euler operators. Ph.D. Dissertation, Computer andAutomation Institute (1991) 14. Giblin, P.J.: Graphs, Surfaces and Homology. Chapman and Hall, London, ISBN 0 412 21440 7 (1977)Fjllstrm, P.-O.: Integration of Free-Form Surfaces and Solid Modelling. Ph.D. Dissertation, Department of Manufacturing Systems, PS-Lab, IVF/KTH, Stockholm, Sweden (1985)Braid, I.C.: Notes on a geometric modeller. CAD Group Document 101, Cambridge University Computer Laboratory (1979)Chiyokura, H., Kimura, F.: Design of solids with free-form surfaces. Comput. Graph. ( SIGGRAPH 83 Proc.) 17, 289298 (1983)http://www.geocities.com/Athenas/42004/graphics.htmhttp://www.ipf.tuwien.ac.at/fr/Buildings/diss/node5.htmlhttp://www.fourmilab.ch/autofile/www/tableofcontents2_117.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/CADhttp://cadd.web.cern.ch/cadd/cad_geant_int/thesis/node3.htmlhttp://www.autodesk.comhttp://www.ptc.comhttp://www.catia.comhttp://www.unigraphics.comhttp://www.solidworks.com