Navedi neki primjer multidimenzionalne optimizacije u mašinstvu ?2. Matematička definicija više-dimenzionalnog optimizacijskog problema ?

3. Hesse matrica ?Optimizacioni uslov drugog redaZa dva puta kontinualno diferencijabilnu moguće je razdvajanje kritičnih tačaka po tipu na osnovu simetrične Hese matrice

Determinanta |H|:• |H| > 0 i ∂2f/∂x2 > 0, onda f(x,y) ima lokalni minimum• |H| > 0 i ∂2f/∂x2 < 0, onda f(x,y) ima lokalni maksimum• |H| < 0, f(x,y) ima prevojnu (sedlastu) tačku,

4. Algoritmi direktnog pretraživanja ?ALGORITMI:Direktne metode pretraživanja: Potrebna je samo informaciju o funkciji f(x) Pretraga po zlatnom presjeku Fibonačijev metod Sukcesivna parabolična aproksimacija

Gradijentne metode: informaciju o funkciji i gradijentu (izvodu) funkcije f'(x)• Gradijentni (steepest descent, Cauchy)• Konjugovani gradijenti• Newton-ov metod

5. Metoda sukcesivne paraboličke aproksimacije ?

Funkcija kriterija f(x) je aproksimirana na nekom intervalu polinomom stepena 2 ili 3.Minimum aproksimacijskog polinoma (lako se odredi) se usvaja za minimum f(x). Kvadratna polinomska aproksimacija Kubna polinomska aproksimacija

Konstruiše se kvadratni polinom za tri vrijednosti funkcije. Minimum polinoma uzima se kaoaproksimacija minimuma funkcije. Novom tačkom zamenjuje se jedna od tri prethodne tačkei proces se nastavlja dok ne postigne željena konvergira

6. Metoda najstrmijeg pada – opis postupka ?Dat je pravac (negativan gradijent) najstrmijeg spusta. Potrebno je odrediti ''dužinu puta'' (αk) u tom pravcu. Određivanje optimalne vrijednosti svodi se na jednodimenzionalni

optimizacijski zadatak koji se može rešavati nekim od postupaka jednodimenzionalne optimizacije.

Proces se iterativno ponavlja počevši od inicijalne tačke x0. Zahtijevaju se informacije o funkciji i njenom gradijentu (izvodu) funkcije f'(x) koju treba minimizirati.Metod najstrmijeg pada je pouzdan: obezbjeđuje sigurno napredovanje ka rešenju ukoliko jegradijent različit od nule.Nedostataci: računanje gradijenta… iterativno rješenje ide „cik-cak“ sa sporim napredovanjem ka stvarnom rješenju. brzina konvergencije je linearna (mala) problem određivanja αk

7. Newton-ova metoda, grafički prikaz, prednosti i nedostaci ?

ekstrem se traži na osnovu „nule“ izvodne fukcijeKod metode Njutna funkcija f' se aproksimira linearnom aproksimacijom koja predstavljatangentu funkcije f' u odgovarajućoj tački.

Brzina konvergencije metode Njutna za jednostruki korjen je kvadratna, r=2.Potrebno je imati početnu vrijednost blisku korjenu

1. Navedi nekoliko primjera optimizacionih problema u mašinstvu ?

2. Minimiziranje vremena reakcije SAU3. Minimiziranje sopstvene težine nosača4. Minimiziranje površine plašta posuda5. Minimiziranje aerodinamičkog otpora (optimalni oblik)6. Maksimalna pouzdanost elementa (sklopa, mašine)7. Minimiziranje amplitude vibracija8. Minimiziranje troškova proizvodnje9. Maksimiziranje dobiti

10. Minimiziranje gubitaka energije11. Minimiziranje potrošnje goriva za zadatu snagu12. Optimizacija putanje robotske ruke

2. Navedi nekoliko software-a pogodnih za optimizacijske probleme ?

Matlab, Maplem Mathematica, MatCad, Ansys, Abaqus

3. Optimizacija, definicia problema, projektne varijable, ciljna funkcija ?

S obzirom na projektne promjenjive (design variables, konstrukcione varijable), optimizacijski problem može biti: kontinualnog tipa (kontinualne vrijednosti Xi), diskretnog tipa (diskretne, binarne, cjelobrojne)Projektne (optimizacijske) varijable:Izbor varijabli mora biti takav da iste mogu opisati sve konfiguracije elemenata, konstrukcije, modela sistema kao i karakteristike komponenata. Izbor nije jednoznačan. Prostor (sveukupnost) projektnih varijabli se opisuje sa vektorom u „n“-dimenzionalnom„design space-u“ (konstrukcijski prostor, domena)

Veličina poprečnog presjeka, moment inercije, dužina, prečnik i sl., debljina stijenki, dužinečlanova,karakteristike materijala,broj obrtaja, radijus zakrivljenosti...

Promjena konstruktivnih (projektnih) varijabli mora da omogući: Promjenu veličine, oblika i karakteristika elementa

Promjenu topologije tj. mogućeg rasporeda komponenata, povezanost, spajanje ilirazdvajanje, broj i položaj oslonaca... Primjenu raznih materijala (vrsta materijala kao projektna varijabla)

4. Tok (faze) procesa optimizacije ?

5. Optimizacioni uslovi, prvi i drugi, definicije ?

6. Osnovne metode numeričke optimizacije ?

Laplace-ova transformacija: sredstvo (postupak) za rješavanje sistema linearnih ODJDefinicija: Ako je f-ja f(t) neprekidna na intervalu (0,∞) i ako postoje konstante T, a i M takve da je

tada postoji

Laplasova transformacija prevodi funkciju realne promjenjive f(t) u f-ju kompleksne promjenjive F(s)

Osobine Laplace-ove transformacije:

1. Linearnost L[af(t)] = aF(s);

2. L[c1f(t) + c2g(t)] = c1F(s) + c2G(s) (superpozicija)

3. Diferenciranje

4. Integracija

Osnovni koraci u primjeni Laplace-ove transformacije na ODJ:

Prevedi diferencijalnu jednačinu iz vremenske u kompleksnu domenu pomoću tablica transformacije Prevedi ulaznu f-ju iz vremenske u kompleksnu domenu pomoću tablica transformacije Riješi algebarsku jednačinu i odredi izlaznu f-ju (rješenje) Prevedi rješenje u jednostavniju (tabličnu) formu (faktorizacija) Pomoću tablica inverzne transformacije odredi f-ju rješenja

PRENOSNA FUNKCIJA:

Definicija: F-ja W(s) se naziva prenosnom funkcijom sistema ako je ona količnik Laplace-ovih transformacija Xi(s) i Xu(s) izlazne i ulazne veličine pri svim početnim uslovima jednakim nuli. Ako je matematski model sistema dat kao sistem lineranih jednačina oblika:

onda prenosna f-ja sistema ima oblik:

**************************************************************************************Blok dijagram: šematski prikaz komponenti sistema (i veza među njima) koji opisuje tok signala u sistemu od ulaza (pobuda) do izlaza (odziv). To je grafički prikaz složenih tehničkih sistema sa veliki broj komponenti i veza.

Prikaz blokova: ODJ (matematski model), rješenje u vremenskom domenu ili prenosna f-ja

Različite vrste sistema čije komponente imaju iste matematičke modele imaju iste i blokdijagrame što omogućava jednostavnije i opštije modeliranje i simulaciju. Blok pretvara ulazni u izlazni signal.

Osnovne komponente blok dijagrama (grafički simboli)Blok dijagram ne prikazuje fizičku strukturu sistema, stvarni raspored komponenti, energetske izvore I energetske tokove kao ni tokove materijala kroz sistem.

Simulink Aplikacija unutar MATLAB-a za vizualno modeliranje i dizajn dinamičkih sistema Zasnovan na blok dijagramima Analogno modeliranje Biblioteka gotovih komponenti Drag-and-drop- princip

Osnovni elementi: Izvori signala Prijemnici signala Blokovi matematskih operacija Veze

1. Objasni pojam dimenzionalna homogenost ?

Da bi se u modelu mogle izvoditi osnovne matematičke operacije svi članovi (monomi) moraju imati iste fizičke dimenzije što se obuhvata izrazom dimenziona homogenost. (npr. F=ma)

2. Objasni princip modeliranja pomoću dimenzinalne analize ?

Dimenziona analiza je metoda modeliranja fizičkih procesa bazirana na utvrđivanju odnosa između dimenzija osnovnih fizičkih veličina koje učestvuju u procesu. Na dimenzije fizičkih veličina primjenjuju se standardne algebarske operacije.

Primjenjuje se za složene procese kod kojih je teško postaviti matematički model. Jednostavna i efikasna metoda primjenjiva na široku klasu problema.

Osnovni cilj je da se odredi relacija koja povezuje bezdimenzionalne varijable koja je ekvivalentna sa relacijom koja opisuje fizički proces ali ima manje nepoznatih veličina.Analiza dimenzijske homogenosti u jednačinama modela pruža korisne informacije i omogućava dublji uvid u sam model. Nedostatak je nemogućnost određivanja konstanti proporcionalnosti.

3. Buckingamova teorema ?

Buckingamova ili _ – π teorema: Neka odgovarajući fizički zakon (dimenzionalno homogen,nezavisan od dimenzija) opisuje odnos između nekoliko fizičkih veličina xi,

Moguće je postaviti njemu ekvivalentan zakon (funkciju, relaciju) koja opisuje isti proces u koji ulaze bezdimenzionalni koeficijenti i. (Vashy i Buckingham).π

Svaka od xi u modelu može se prikazati kao izraz sastavljen od fundamentalnih veličinapri čemu su L1, L2, L3 ... Ln, n ≤ m. Od dimenzijskih eksponenata se formira dimenziona matrica n x m:

Ako je „r“ rang dimenzijske matrice, onda postoji m-r nezavisnih bezdimenzionalnih veličina πi(x1,x2...xm), i=1,2..m-r od kojih se može formirati ekvivalenti model

1. Navedi neki primjer multidimenzionalne optimizacije u mašinstvu ?

Čvrsta tijela A i B su povezana pomoću tri linearno elastične opruge sa konstantama krutosti k1, k2 i k3. Kada nema eksterne sile F, sistem je u ravnoteži i opruge su u nenapregnutom stanju. Odredi ravnotežni statički položaj ukoliko na sistem djeluje sila P. Rješenje: Prema principu minimuma potencijalne energije, u ravnotežnom položaju je potencijalna energija elastičnog sistema minimalna.

Geneticki algoritam ,princip sema ?

Stohastički algoritam, strategija po ugledu na proces prirodne selekcije (evolucija) Za složene modele za koje ne postoje specijalizovani, klasični algoritmi. Holland, sredina 60-tih... Ciljna funkcija ne mora biti niti neprekidna niti diferencijabilna Ne garantuje pronalaženje globalnog ekstrema (stohastički)

Puno računanja sa puno tačaka, spora konvergencija, jednostavna implementacija, RNG Potrebno više puta pokrenuti proceduru sa različitim inicijalnim vrijednostima da bi se pronašao globalni ekstrem

1-Osnovni algoritmi uslovne optimizacije ?

Svaki upravljački zadatak u kome je funkcija cilja Q(x) ili skup ograničenja L definisan nelinearnim jednačinama ili nejednačinama, predstavlja zadatak nelinearnog programiranja. Optimalno rješenje nelinearnog optimizacionog problema izračunava se nekom od raspoloživih metoda, koja je najadekvatnija za nalaženje konkretnog rješenja.Za razliku od zadataka linearnog programiranja, zadaci nelinearnog programiranjase ne mogu rješavati primjenom nekog univerzalnog metoda. Postoji više metoda optimizacije pomoću kojih se mogu rješavati neki zadaci nelinearnog programiranja. Svi ti metodi su specijalizovani za različite tipove zadataka nelinearnog programiranja, koji se formalno razlikuju po obliku matematičkog modela, tj. po obliku i dimenzijama funkcije cilja i skupa ograničenja.

Kod optimizacije sa ograničenjima mogu se posmatrati samo dopustiva rešenja (ona koja zadovoljavaju sva ograničenja).

Osnovni algoritmi:

Metod Lagranževih množilaca (multiplikatora)

Metod penalty (kaznene) funkcije

Metod barijere

2-Metoda Lagranževih množilaca ?

Vrlo se često koristi pri rješavanju onih optimizacionih zadataka kod kojih matematski model optimizacije sadrži i određen broj jednačina ograničenja. Osnovno obilježje ove metode sastoji se u tome što se, sa uvođenjem skupa neodređenih množitelja i , i 1,2,..,m , prevodi matematski model optimizacije sa ograničenjima tipa jednačina ili nejednačina u model bez ograničenja.

-Metoda kazenih funkcija ?

Metoda kaznenih funkcija predstavlja odgovarajuću grupu algoritama za rješavanje optimizacionih problema. Suština metoda kaznenih funkcija jeste da se opšti zadatak uslovnog nelinearnog programiranja svede na bezuslovni problem ili na niz bezuslovnih problema.