Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 1 Modeliranje konstrukcija Ivica Koar
Sveuilite u Rijeci Graevinski fakultet Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
2 Uvod u modeliranje 1 VRSTE MODELA KONSTRUKCIJA Dvije glavne grupe
modela su materijalni modeli i matematiki modeli, pri emu svaki ima
svoje dobre i loe strane, kao i specifinosti o kojima treba voditi
rauna. Ovdje e biti rije samo o matematikim modelima. 2 PRINCIPI
IZRADE MODELA Kod izrade modela ne moemo se rukovoditi principom
geometrijske slinosti. Na pr. elimo modelirati gredu koja je u
stvarnosti: L=10m b=0.50m h=1.0m dakle, I=0.042m4 progib takve
grede je =500E/P Ukoliko nainimo 10 puta manji model L=1.0m b=0.05m
h=0.1m dakle, I=4.2E6m4 progib takve grede je =5000E/P, dakle 10
puta vei. Vidimo da slunost vrijedi kod linearno elastinih
problema. Pretpostavimo sada da raunamo nosivost AB grede istih
dimenzija i presjeka, uz MB 30 (fB=20.5 Mpa), GA 240/360 (02=240
Mpa) zatitni sloj 2cm i 1% armature Aa=50cm2. Za deformaciju
a=10ppm i b=1.5ppm nosivost je Nu=381.11 kN (vlak) i Mu=946,2 kNm.
Greda kojoj su sve dimenzije smanjene 2 puta (i zatitni sloj), a
armatura je ostakla 1% (Aa=12.5cm2) nosivost je 8 puta manja
Nu=95.28 kN (vlak) i Mu=118.27 kNm. Greda kojoj su sve dimenzije
smanjene 4 puta (i zatitni sloj), a armatura je ostakla 1%
(Aa=3.125cm2) nosivost je 64 puta manja Nu=23.30 kN (vlak) i
Mu=15.02 kNm. Greda kojoj su sve dimenzije smanjene 10 puta (i
zatitni sloj), a armatura je ostakla 1% (Aa=0.5cm2) nosivost je
1000 puta manja Nu=3.81 kN (vlak) i Mu=0.95 kNm. Isto vrijedi ako
pretpostavimo da je naa greda od armiranog betona i raunamo joj
nosivost jer se po naim (i skoro svim drugim) propisima za AB ne
uzima u obzir veliina konstrukcije (size effect), tj. nosivost AB
konstrukcije je linearno zavisna o njenoj veliini. 3 MODELIRANJE
KAMENIH, ZEMLJANIH I KONSTRUKCIJA OD OPEKE Ovaj tip konstrukcija se
najee javlja kod sanacije povijesnih graevina. Karakterizira ih
ponaanje koje nije elastino, te se u pravilu trebaju koristiti
metode nelinearne analize, u prvom redu zbog male ili nikakve vlane
vrstoe. Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica
Koar Modeliranje konstrukcija 3 Primjer nelinearnog modeliranja AB
grede (program MASA : Koar & Obolt) Slike: Dijagram sila-pomak,
naprezanja u betonu, naprezanja u armaturi. Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
4 Modeliranje tapnih konstrukcija programom OKVIRW (Ivica Koar)
broj cvorova konstrukcije broj stapova konstrukcije broj razlicitih
tipova presjeka/materijala stapova konstrukcije broj slucajeva
opterecenja koja zelimo zasebno racunati (i koje po zavrsenom
proracunu mozemo kombinirati po zelji; Podaci o presjecima E =
modul elasticnosti materijala G = modul smika materijala A =
povrsina poprecnog presjeka stapa I = moment inercije poprecnog
presjeka stapa ar = korekcioni faktor za uticaj smika na presjek
gama = specificna tezina materijala stapa u [kN/m3] alfa =
koeficijent termicke ekspanzije materijala h = visina poprecnog
presjeka stapa PODACI O GEOMETRIJI Tipovi cvorova POMAK U SMJERU
OSI 'X', POMAK U SMJERU OSI 'Y', ROTACIJA. Na pr.: TIP...........0,
0, 0 - pomaci u svim smjerovima sprijeceni TIP...........0, 1, 1 -
pomak "X" sprijecen, os "Y" i rotacija slobodni TIP...........0, 0,
1 - pomaci "X" i "Y" sprijeceni, rotacija slobodna TIP...........1,
1, 0 - pomaci "X" i "Y" slobodni, rotacija sprijecena Tipovi
stapova tip (1) upeto obostrano tip (4) zglob obostrano tip (2)
zglob lijevo tip (3) zglob desno Spoj stapova u cvorove Kraj
konzolnog nosaca se smatra upet u pomicni cvor! A/ Svi stapovi
medjusobno upeti; oslonac prema tipu sprijecenog pomaka: Graevinski
fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 5 oslonac kontinuiranog nosaca B/ Svi stapovi zglobno
vezani; oslonac na rotaciju upet, dva pomaka prema stvarnom stanju
C/ Kombinacija, tj. barem dva stapa su medjusobno kruto vezana;
oslonac oznacavamo kao sto je navedeno prema tipu pomaka koji je
sprijecen: PODACI O OPTERECENJIMA broj opterecenja, na cvorove i na
stapove TIP 1).JEDNOLIKO OPTERECENJE: Graevinski fakultet Sveuilita
u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 6 TIP
2).DVA TROKUTA: TIP 3).DVA TROKUTA + TRAPEZ: TIP 4).TRAPEZNO
OPTERECENJE: TIP 5).KONCENTRIRANO OPTERECENJE: Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
7 TIP 6).DEFORMACIJE KRAJEVA STAPA - izduzenje (skracenje) stap -
zaokret lijevog cvora - zaokret desnog cvora TIP 7).TEMPERATURNA
PROMJENA - jednolika promjena temperature cijelog stapa -
diferencijalna promjena temperature po visini stapa (razlika u
temperaturi s donje i gornje strane stapa - gore i dole u odnosu na
polozaj lokalne osi X) TIP 8).VLASTITA TEZINA - tretira se kao
jednoliko opterecenje u smjeru -Y - intenzitet opterecenja je
-gama*A (podaci iz PRESJEKa) Prikaz mogucih orjentacija globalnih i
lokalnih osi stapa : -cvor "i" je uvijek lijevi cvor (cvor "j" je
desni cvor); X,Y= globalne osi, x,y= lokalne osi Graevinski
fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 8 slika 1.4.1 slika 1.4.2 slika 1.4.3 slika 1.4.4
Prikaz primjera jednolikog opterecenja Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
9 OPCENITO O REZULTATIMA izabrati opciju PRORACUN, zatim izlazni
meni: Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 10 P - PO OPTERECENJIMA K - KOMBINACIJE C
- CRTEZ E - KRAJ =============== I Primjer Crtez konstrukcije iz
primjera i osnovni podaci: slika 5.1.1 Broj cvorova = 18 Broj
stapova = 25 Broj presjeka= 2 Broj opterec.= 4 Opterecenja su: 1.
vlastita tezina 2. korisno opterecenje 3. vjetar na stapove 1 do 5
4. temperaturno opterecenje na stapove 11 do 15 Rezultati:
Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 11 Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci
Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 12 Graevinski
fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 13 Stabilnost tapnih konstrukcija esto se teorija
stabilnosti tapnih konstrukcija naziva teorija II reda, to je
preuzeto iz njemakog jezika, ali predstavlja ui pojam. Najopenitiji
pojam je 'geometrijska nelinearnost' koji nam govori da jednadbe
ravnotee postavljamo na deformiranom tijelu ije smo pomake opisali
bez pojednostavljenja (bez pretpostavke da su neke veliine 'male').
Budui da je geometrijski nelinearna teorija tapova dosta sloena, mi
emo se zadrati na pojmovima stabilnosti, tj. Na odreivanju kritine
sile pritisnutog tapa i na odreivanju promjene reznih sila grede od
utjecaja uzdune sile (teorija II reda). Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
14 Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 15 Primjeri izraun greda (stupova) po
teoriji II reda Vidi FRaK 18/19 od prosinca 1986. IZVIJANJE STAPOVA
duzina = 10.000 broj cvorova = 19 modul elast. = 3.000E+07 Rubni
uvjeti gornji rub : zglob donji rub : zglob ================= I 1=
0.10000000 K 1= 0.000 P 1= 0.000 Q 1= 500.000 I 2= 0.10000000 K 2=
0.000 P 2= 0.000 Q 2= 500.000 I 3= 0.10000000 K 3= 0.000 P 3= 0.000
Q 3= 500.000 I 4= 0.10000000 K 4= 0.000 P 4= 0.000 Q 4= 500.000 I
5= 0.10000000 K 5= 0.000 P 5= 0.000 Q 5= 500.000 I 6= 0.10000000 K
6= 0.000 P 6= 0.000 Q 6= 500.000 I 7= 0.10000000 K 7= 0.000 P 7=
0.000 Q 7= 500.000 I 8= 0.10000000 K 8= 0.000 P 8= 0.000 Q 8=
500.000 I 9= 0.10000000 K 9= 0.000 P 9= 0.000 Q 9= 500.000 I10=
0.10000000 K10= 0.000 P10= 0.000 Q10= 500.000 I11= 0.10000000 K11=
0.000 P11= 0.000 Q11= 500.000 I12= 0.10000000 K12= 0.000 P12= 0.000
Q12= 500.000 I13= 0.10000000 K13= 0.000 P13= 0.000 Q13= 500.000
I14= 0.10000000 K14= 0.000 P14= 0.000 Q14= 500.000 I15= 0.10000000
K15= 0.000 P15= 0.000 Q15= 500.000 I16= 0.10000000 K16= 0.000 P16=
0.000 Q16= 500.000 I17= 0.10000000 K17= 0.000 P17= 0.000 Q17=
500.000 I18= 0.10000000 K18= 0.000 P18= 0.000 Q18= 500.000 I19=
0.10000000 K19= 0.000 P19= 0.000 Q19= 500.000 Rezultati : gore : M
= 0.000 Q = 4750.000 N = 0.000 y 1= 6.93 M 1= 2375.000 Q 1=
4250.000 N 1= 0.000 y 2= 13.66 M 2= 4500.000 Q 2= 3750.000 N 2=
0.000 y 3= 20.01 M 3= 6375.000 Q 3= 3250.000 N 3= 0.000 y 4= 25.83
M 4= 8000.000 Q 4= 2750.000 N 4= 0.000 y 5= 30.99 M 5= 9375.000 Q
5= 2250.000 N 5= 0.000 y 6= 35.36 M 6= 10500.000 Q 6= 1750.000 N 6=
0.000 y 7= 38.86 M 7= 11375.000 Q 7= 1250.000 N 7= 0.000 y 8= 41.42
M 8= 12000.000 Q 8= 750.000 N 8= 0.000 y 9= 42.97 M 9= 12375.000 Q
9= 250.000 N 9= 0.000 y10= 43.49 M10= 12500.000 Q10= -250.000 N10=
0.000 y11= 42.97 M11= 12375.000 Q11= -750.000 N11= 0.000 y12= 41.42
M12= 12000.000 Q12= -1250.000 N12= 0.000 y13= 38.86 M13= 11375.000
Q13= -1750.000 N13= 0.000 y14= 35.36 M14= 10500.000 Q14= -2250.000
N14= 0.000 y15= 30.99 M15= 9375.000 Q15= -2750.000 N15= 0.000 y16=
25.83 M16= 8000.000 Q16= -3250.000 N16= 0.000 y17= 20.01 M17=
6375.000 Q17= -3750.000 N17= 0.000 y18= 13.66 M18= 4500.000 Q18=
-4250.000 N18= 0.000 y19= 6.93 M19= 2375.000 Q19= -4750.000 N19=
0.000 dole : M = 0.000 Q = -4750.000 Graevinski fakultet Sveuilita
u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 16 Uzduzno
opterecen stap ================= Rezultati : gore : M = 0.000 Q =
5046.944 N = 20000.000 y 1= 7.42 M 1= 2523.472 Q 1= 4538.533 N 1=
20000.000 y 2= 14.64 M 2= 4792.739 Q 2= 4022.557 N 2= 20000.000 y
3= 21.45 M 3= 6804.017 Q 3= 3499.877 N 3= 20000.000 y 4= 27.70 M 4=
8553.956 Q 4= 2971.364 N 4= 20000.000 y 5= 33.23 M 5= 10039.638 Q
5= 2437.898 N 5= 20000.000 y 6= 37.93 M 6= 11258.587 Q 6= 1900.370
N 6= 20000.000 y 7= 41.69 M 7= 12208.772 Q 7= 1359.674 N 7=
20000.000 y 8= 44.43 M 8= 12888.609 Q 8= 816.712 N 8= 20000.000 y
9= 46.10 M 9= 13296.965 Q 9= 272.389 N 9= 20000.000 y10= 46.66 M10=
13433.159 Q10= -272.389 N10= 20000.000 y11= 46.10 M11= 13296.965
Q11= -816.712 N11= 20000.000 y12= 44.43 M12= 12888.609 Q12=
-1359.674 N12= 20000.000 y13= 41.69 M13= 12208.772 Q13= -1900.370
N13= 20000.000 y14= 37.93 M14= 11258.587 Q14= -2437.898 N14=
20000.000 y15= 33.23 M15= 10039.638 Q15= -2971.364 N15= 20000.000
y16= 27.70 M16= 8553.956 Q16= -3499.877 N16= 20000.000 y17= 21.45
M17= 6804.017 Q17= -4022.557 N17= 20000.000 y18= 14.64 M18=
4792.739 Q18= -4538.533 N18= 20000.000 y19= 7.42 M19= 2523.472 Q19=
-5046.944 N19= 20000.000 dole : M = 0.000 Q = -5046.944 Graevinski
fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 17 Uzduzno opterecen stap ================= Rezultati
: gore : M = 0.000 Q = 6834.893 N = 100000.000 y 1= 10.42 M 1=
3417.447 Q 1= 6277.936 N 1= 100000.000 y 2= 20.56 M 2= 6556.414 Q
2= 5668.662 N 2= 100000.000 y 3= 30.16 M 3= 9390.745 Q 3= 5012.150
N 3= 100000.000 y 4= 38.97 M 4= 11896.820 Q 4= 4313.869 N 4=
100000.000 y 5= 46.79 M 5= 14053.755 Q 5= 3579.640 N 5= 100000.000
y 6= 53.44 M 6= 15843.575 Q 6= 2815.580 N 6= 100000.000 y 7= 58.76
M 7= 17251.365 Q 7= 2028.058 N 7= 100000.000 y 8= 62.65 M 8=
18265.394 Q 8= 1223.634 N 8= 100000.000 y 9= 65.02 M 9= 18877.211 Q
9= 409.014 N 9= 100000.000 y10= 65.82 M10= 19081.718 Q10= -409.014
N10= 100000.000 y11= 65.02 M11= 18877.211 Q11= -1223.635 N11=
100000.000 y12= 62.65 M12= 18265.394 Q12= -2028.058 N12= 100000.000
y13= 58.76 M13= 17251.365 Q13= -2815.580 N13= 100000.000 y14= 53.44
M14= 15843.575 Q14= -3579.640 N14= 100000.000 y15= 46.79 M15=
14053.755 Q15= -4313.869 N15= 100000.000 y16= 38.97 M16= 11896.820
Q16= -5012.150 N16= 100000.000 y17= 30.16 M17= 9390.745 Q17=
-5668.662 N17= 100000.000 y18= 20.56 M18= 6556.414 Q18= -6277.936
N18= 100000.000 y19= 10.42 M19= 3417.447 Q19= -6834.893 N19=
100000.000 dole : M = 0.000 Q = -6834.893 Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
18 Uzduzno opterecen stap ================= Rezultati : gore : M =
0.000 Q = 13246.306 N = 200000.000 y 1= 21.24 M 1= 6623.153 Q 1=
12525.534 N 1= 200000.000 y 2= 41.93 M 2= 12885.920 Q 2= 11596.003
N 2= 200000.000 y 3= 61.54 M 3= 18683.921 Q 3= 10473.206 N 3=
200000.000 y 4= 79.60 M 4= 23920.524 Q 4= 9175.855 N 4= 200000.000
y 5= 95.67 M 5= 28508.452 Q 5= 7725.573 N 5= 200000.000 y 6= 109.36
M 6= 32371.239 Q 6= 6146.532 N 6= 200000.000 y 7= 120.35 M 7=
35444.505 Q 7= 4465.049 N 7= 200000.000 y 8= 128.39 M 8= 37677.029
Q 8= 2709.148 N 8= 200000.000 y 9= 133.28 M 9= 39031.603 Q 9=
908.094 N 9= 200000.000 y10= 134.93 M10= 39485.650 Q10= -908.094
N10= 200000.000 y11= 133.28 M11= 39031.603 Q11= -2709.148 N11=
200000.000 y12= 128.39 M12= 37677.029 Q12= -4465.049 N12=
200000.000 y13= 120.35 M13= 35444.504 Q13= -6146.532 N13=
200000.000 y14= 109.36 M14= 32371.238 Q14= -7725.573 N14=
200000.000 y15= 95.67 M15= 28508.452 Q15= -9175.855 N15= 200000.000
y16= 79.60 M16= 23920.524 Q16= -10473.206 N16= 200000.000 y17=
61.54 M17= 18683.921 Q17= -11596.003 N17= 200000.000 y18= 41.93
M18= 12885.920 Q18= -12525.534 N18= 200000.000 y19= 21.24 M19=
6623.153 Q19= -13246.306 N19= 200000.000 dole : M = 0.000 Q =
-13246.306 Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica
Koar Modeliranje konstrukcija 19 Uzduzno opterecen stap
================= Rezultati : gore : M = 0.000 Q =-263063.402 N =
300000.000 y 1= -446.36 M 1=-131531.701 Q 1=-256986.817 N 1=
300000.000 y 2= -881.75 M 2=-260025.110 Q 2=-244485.562 N 2=
300000.000 y 3= -1295.48 M 3=-382267.891 Q 3=-225872.167 N 3=
300000.000 y 4= -1677.35 M 4=-495203.974 Q 4=-201611.969 N 4=
300000.000 y 5= -2017.95 M 5=-596009.959 Q 5=-172311.470 N 5=
300000.000 y 6= -2308.89 M 6=-682165.694 Q 6=-138703.185 N 6=
300000.000 y 7= -2542.97 M 7=-751517.286 Q 7=-101627.322 N 7=
300000.000 y 8= -2714.44 M 8=-802330.947 Q 8= -62010.774 N 8=
300000.000 y 9= -2819.04 M 9=-833336.334 Q 9= -20843.957 N 9=
300000.000 y10= -2854.19 M10=-843758.312 Q10= 20843.958 N10=
300000.000 y11= -2819.04 M11=-833336.333 Q11= 62010.775 N11=
300000.000 y12= -2714.44 M12=-802330.946 Q12= 101627.322 N12=
300000.000 y13= -2542.97 M13=-751517.285 Q13= 138703.186 N13=
300000.000 y14= -2308.89 M14=-682165.692 Q14= 172311.470 N14=
300000.000 y15= -2017.95 M15=-596009.957 Q15= 201611.968 N15=
300000.000 y16= -1677.35 M16=-495203.973 Q16= 225872.167 N16=
300000.000 y17= -1295.48 M17=-382267.890 Q17= 244485.561 N17=
300000.000 y18= -881.75 M18=-260025.109 Q18= 256986.816 N18=
300000.000 y19= -446.36 M19=-131531.701 Q19= 263063.402 N19=
300000.000 dole : M = 0.000 Q = 263063.402 Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
20 Uzduzno opterecen stap ================= Rezultati : gore : M =
0.000 Q = 4261.086 N = -40000.000 y 1= 6.11 M 1= 2130.543 Q 1=
3775.290 N 1= -40000.000 y 2= 12.05 M 2= 4018.188 Q 2= 3302.078 N
2= -40000.000 y 3= 17.64 M 3= 5669.227 Q 3= 2839.873 N 3=
-40000.000 y 4= 22.77 M 4= 7089.163 Q 4= 2387.134 N 4= -40000.000 y
5= 27.31 M 5= 8282.730 Q 5= 1942.352 N 5= -40000.000 y 6= 31.15 M
6= 9253.906 Q 6= 1504.045 N 6= -40000.000 y 7= 34.23 M 7= 10005.928
Q 7= 1070.751 N 7= -40000.000 y 8= 36.47 M 8= 10541.304 Q 8=
641.026 N 8= -40000.000 y 9= 37.83 M 9= 10861.817 Q 9= 213.438 N 9=
-40000.000 y10= 38.29 M10= 10968.536 Q10= -213.438 N10= -40000.000
y11= 37.83 M11= 10861.817 Q11= -641.026 N11= -40000.000 y12= 36.47
M12= 10541.304 Q12= -1070.751 N12= -40000.000 y13= 34.23 M13=
10005.928 Q13= -1504.045 N13= -40000.000 y14= 31.15 M14= 9253.906
Q14= -1942.352 N14= -40000.000 y15= 27.31 M15= 8282.730 Q15=
-2387.134 N15= -40000.000 y16= 22.77 M16= 7089.163 Q16= -2839.873
N16= -40000.000 y17= 17.64 M17= 5669.227 Q17= -3302.078 N17=
-40000.000 y18= 12.05 M18= 4018.188 Q18= -3775.290 N18= -40000.000
y19= 6.11 M19= 2130.543 Q19= -4261.086 N19= -40000.000 dole : M =
0.000 Q = -4261.086 Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci
Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 21 Uzduzno
opterecen stap ================= Rezultati : gore : M = 0.000 Q =
2360.185 N =-400000.000 y 1= 2.99 M 1= 1180.092 Q 1= 1938.857 N
1=-400000.000 y 2= 5.88 M 2= 2149.521 Q 2= 1582.159 N 2=-400000.000
y 3= 8.59 M 3= 2940.601 Q 3= 1278.199 N 3=-400000.000 y 4= 11.05 M
4= 3579.700 Q 4= 1016.846 N 4=-400000.000 y 5= 13.22 M 5= 4088.123
Q 5= 789.387 N 5=-400000.000 y 6= 15.04 M 6= 4482.816 Q 6= 588.242
N 6=-400000.000 y 7= 16.50 M 7= 4776.937 Q 7= 406.704 N
7=-400000.000 y 8= 17.55 M 8= 4980.289 Q 8= 238.723 N 8=-400000.000
y 9= 18.19 M 9= 5099.651 Q 9= 78.700 N 9=-400000.000 y10= 18.40
M10= 5139.001 Q10= -78.700 N10=-400000.000 y11= 18.19 M11= 5099.651
Q11= -238.723 N11=-400000.000 y12= 17.55 M12= 4980.289 Q12=
-406.704 N12=-400000.000 y13= 16.50 M13= 4776.937 Q13= -588.242
N13=-400000.000 y14= 15.04 M14= 4482.816 Q14= -789.387
N14=-400000.000 y15= 13.22 M15= 4088.123 Q15= -1016.846
N15=-400000.000 y16= 11.05 M16= 3579.700 Q16= -1278.199
N16=-400000.000 y17= 8.59 M17= 2940.601 Q17= -1582.159
N17=-400000.000 y18= 5.88 M18= 2149.521 Q18= -1938.857
N18=-400000.000 y19= 2.99 M19= 1180.092 Q19= -2360.185
N19=-400000.000 dole : M = 0.000 Q = -2360.185 Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
22 Objekti na tlu Ivica Koar travanj 1999 Primjer analize potpornog
zida ULAZNI PODACI: PODACI O TLU: sr kut unutrasnjeg trenja = 18.00
---- kut nagiba tla = 10.00 specificna tezina tla = 14.0 kN/m3 tlo
PODACI O GEOMETRIJI: h visina zida = 1.00 m a sirina stope =
0.50 m unutrasnji istak = 0.20 m zid t sirina vrha zida = 0.20 m 12
prosirenje zida = 0.10 m b debljina temelja = 0.20 m REZULTATI:
Horizontalna komponenta sile Sx = 4.28 kN Vertikalna komponenta
sile Sy = 0.75 kN Vertikalna rezultanta sile Ry = 9.79 kN
Stabilizirajuci moment Ms = 2.79 kNm Moment prevrtanja Mr = 1.48
kNm Koefic.sigurn. prevrtanja r = 1.89 Koefic.sigurn. klizanja s =
0.74 Naprezanje tla 1 = 0.00 kN/m Naprezanje tla 2 = 48.77 kN/m
Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 23 POTPORNI ZID ============ ULAZNI
PODACI: PODACI O TLU: sr kut unutrasnjeg trenja = 18.00 ---- kut
nagiba tla = 10.00 specificna tezina tla = 14.0 kN/m3 tlo PODACI O
GEOMETRIJI: h visina zida = 1.00 m a sirina stope = 0.60 m
unutrasnji istak = 0.20 m zid t sirina vrha zida = 0.20 m 12
prosirenje zida = 0.10 m b debljina temelja = 0.20 m REZULTATI:
Horizontalna komponenta sile Sx = 4.28 kN Vertikalna komponenta
sile Sy = 0.75 kN Vertikalna rezultanta sile Ry = 10.29 kN
Stabilizirajuci moment Ms = 3.87 kNm Moment prevrtanja Mr = 1.48
kNm Koefic.sigurn. prevrtanja r = 2.62 Koefic.sigurn. klizanja s =
0.78 Naprezanje tla 1 = 5.53 kN/m2 Naprezanje tla 2 = 28.77 kN/m2
Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 24 Primjer analize dvoosno optereenog
temelja ULAZNI PODACI TEMELJA: Mx = 288.00 kNm 4 3 3 My = 192.00
kNm N = 1600.00 kN My 4 > 2 sd B = 2.00 m e2 Mx D = 3.00 m Y T =
0.00 m >X 1 D sb = 0.00 m e1 sd = 0.00 m e1 = 0.00 m sb e2 =
0.00 m TLOCRT Nuk = 1600.00 kN 1 TEMELJA 2 EX = 0.18 m EY = 0.12 m
B REZULTATI : slucaj 1 (0.138E+01 0.658E+00) iskoristenost =
100.00% Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica
Koar Modeliranje konstrukcija 25 ULAZNI PODACI TEMELJA: Mx = 288.00
kNm 4 3 3 My = 1192.00 kNm N = 1600.00 kN My 4 > 2 sd B = 2.00 m
e2 Mx D = 3.00 m Y T = 0.00 m >X 1 D sb = 0.00 m e1 sd = 0.00 m
e1 = 0.00 m sb e2 = 0.00 m TLOCRT Nuk = 1600.00 kN 1 TEMELJA 2 EX =
0.18 m EY = 0.75 m B REZULTATI : slucaj 3 (0.434E+00 0.109E+01)
iskoristenost = 71.92% PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 1 GREDA
NA ELASTINOJ PODLOZI Greda na elastinoj podlozi esto se javlja kao
inenjerski problem za ije se rjeavanje obino utroi mnogo vremena i
truda. Stoga je vrlo praktino imati program na raunalu. Ja u u ovom
lanku dati prikaz najosnovnije teorije potrebne za razumijevanje
jednog takvog raunarskog programa, a dat u i gotov program u
BASIC-u s rjeenim primjerima. No, prvo malo teorije: Diferencijalna
jednadba grede na elastinoj podlozi je, kao to je poznato: x k qdxy
dEIdxd =||.|\|2222 Mi emo razmatrati samo gredu konstantnog
poprenog presjeka, pa je tada: x k qdxy dEI =44 Rjeenja te jednadbe
su rjeenja naeg problema, jer kad dobijemo progibe, lako nalazimo
rezne sile budui da vrijede relacije: 22dxy dEI M = 33dxy dEI Q =
Rjeavanju te jednadbe je mogue pristupiti na vie naina, a ja u
ovdje prikazati dva najuobiajnija. Prvi nain je da se
diferencijalna jednadba rijei matematikim metodama, tako da se
dobije rjeenje u obliku funkcije: y = f (P,x) tj. progib je
funkcija optereenja i poloaja toke na gredi. Takva je rjeenja mogue
nai za najee tipove optereenja i tada je lako programirati
rjeavajui algoritam na raunalu. Rezne sile se, takoer, lako nau
matematikim metodama prema navedenim formulama. Ovdje u prikazati
rjeenje te jednadbe za sluaj grede optereene koncentriranom silom
na bilo kojem mjestu. Rubni uvjeti za rjeenje diferencijalne
jednadbe su uzeti za slobodne krajeve grede jer je to najopenitiji
sluaj; sve je druge sluajeve mogue dobiti simulacijom na gredi
slobodnih krajeva (kao to u pokazati na primjeru). Dakle,
diferencijalna jednadba je linearna nehomogena dif. jedn. 4. reda
koju rjeavamo tako da prvo naemo homogeno rjeenje, a zatim
partikularno za zadani sluaj optereenja. Konano je rjeenje zbroj ta
dva rjeenja. Dif. jedn. piemo kao (suvremenija notacija): D4y + 4
a4 y = q(x)/EI Gdje je: a = (K/4EI)1/4 K koeficijent podloge. esto
se taj koeficijent izraava kao koeficijent posteljice (K0) i tada
je: K = K0 b, b irina grede. PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 2
Rjeenje homogene dif. jedn. je: yh = A ef cosf + B ef sinf + C e-f
cosf + D e-f sinf gdje je f = a x. Konstante moemo i drugaije
pisati: A = C1 + C2 C4 B = C1 C2 + C4 C = C2 + C3 + C4 D = C2 C3 +
C4 Tada je: Yh = C1(ef + e-f)cosf + C2(ef + e-f)sinf + C2(ef -
e-f)cosf + C3(ef - e-f)sinf + C4(ef + e-f)sinf - C4(ef - e-f)cosf.
Uz uvoenje: C1=C1/2 , C2=C2/4 , C3=C3/4 , C4=C4/8 i (ef -
e-f)/2=sh(f) , (ef + e-f)/2=ch(f); yh= C1 chfcosf + C2
(chfsinf+shfcosf)/2 + C3 shfsinf/2 + C4 (chfsinf - shfcosf)/4.
Uvedimo ovdje pojam Krylov-ih funkcija koje glase: Y1= chf cosf
Y2=(chf sinf+shf cosf)/2 Y3= shfsinf/2 Y4= (chf sinf shf cosf)/4.
Te je funkcije lako derivirati i integrirati, to bitno olakava
posao oko izvoenja rezultata. Pokaimo derivacije Krylov-ih funkcija
tablino: Yk Yk` Yk`` Yk``` Yk```` Y1 -4y4 -4Y3 -4Y2 -4Y1 Y2 Y1 -4Y4
-4Y3 -4Y2 Y3 Y2 Y1 -4Y4 -4Y3 Y4 Y3 Y2 Y1 -4Y4 to je lako
provjeriti. Sada je homogeno rjeenje: yh = C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 +
C4Y4. Partikularno rjeenje dobivamo prema prijedlogu Krylov-a: yp=
10) ( ) ( 44dt t q t f YK y= yh + yp, a iz rubnih uvjeta odreujemo
vrijednost konstanti C1, C2, C3 i C4. Za koncentriranu silu imamo:
yp= ) ( 44c f YKa P , za 0 < f < g yp= 0, za g < f < 1.
Rubni uvjeti: f = 0 _ _ M = 0, Q = 0 Iz toga slijedi C3 = 0, C4 = 0
f = 1 M = 0, Q = 0 tj. PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 3 0= -4
C1 Y3 - 4 C2Y4 + )) ( (22f ydfdp 0= -4 C1 Y2 - 4 C2Y3 + )) ( (33f
ydfdp )) ( (22f ydfdp= ) ( 24g f YKa P )) ( (33f ydfdp= ) ( 14g f
YKa P Iz pretpostavljenih jednadbi, nakon rjeavanja, dobivamo: C1 =
Y4(l) Y2(1) - ) 1 ( 3 ) 1 ( 3) 1 ( 4 ) 1 ( 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 Y YY g
Y Y g YKa P C2 = Y4(l) Y2(1) - ) 1 ( 3 ) 1 ( 3) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 (
3 ) 1 ( 1 Y YY g Y Y g YKa P Rjeenje za interval 0 < f < g.
y= C1 Y1(f) + C2 Y2(f) +yp(f), gdje su C1 i C2 navedene konstante,
a Y1, Y2, Y3 i Y4 navedene Krylove funkcije. Jo nam preostaje
izraunati vrijednosti reznih sila. To postiemo koritenjem navedenih
formula (derivacije funkcije za progib). Postupak je vrlo slian te
se na njemu neemo due zadravati. Pogledajmo na primjeru kako
izgleda primjena raunarskog programa baziranog na navedenim
teoretskim rjeenjima. Iako smo izveli teoretska rjeenja samo za
optereenje koncentriranom silom, mogue je simulirati sva ostala
optereenja na nain za praksu zadovoljavajui. Stoga je i razvijen
program koji prima samo koncentrirano optereenje (moment = par
sila, jednoliko podjeljeno optereenje = nekoliko sila jedna do
druge). Buduu da u praki imamo esto nekoliko sluajeva optereenja
jednog te istog nosaa, to je u programu predvieno automatsko
traenje anvelope momenata i poprenih sila od zadanih optereenja. Na
ulazu je potrebno zadati toke za koje nas interesiraju podaci. To
je mogue uiniti na dva naina: a) podjeliti nosa na n jednakih
dijelova b) podjeliti odreeni interval na m jednakih dijelova. Tako
smo u mogunosti detaljnije ispitati interesantnije dijelove nosaa
(obino oko sila) bez da dobijemo mnotvo nepotrebnih podataka ( u
sluaju da je mogu upis samo kao pod tokom a). Program za zadane
toke ispisuje progib, kut zaokreta, moment i poprenu silu. PRIMJER:
Imamo 3 sluaja optereenja, npr. kamion u sredini i na rubu nosaa
(karakteristini sluajevi koji se javljaju pri prelasku kamiona
preko grede. (vidi primjer!) Ukoliko elimo promijeniti rubne uvjete
to moemo lako simulirati; napr. neka je greda oslonjena na
rubovima, ovako: PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 4 Simulacija
izgleda ovako: Veliine sila R1 i R2 moemo nai po metodi sila (uvjet
kompatibilnosti deformacija). Znamo da progib na krajevima mora
biti nula, dakle, uz ove usvojene oznake: y11 progib od jedinine
sile na kraju (1) y22 progib od jedinine sile na kraju (2) Napomene
vezane uz primjer: - sve veliine su u kompatibilnim mjernim
jedinicama (tj. progib je u m) - veliine uz oznake "A1", "A2" itd.,
su vrijednosti ispod same sile (jer u programu kojim je primjer
rijeen sile ne moraju biti tono na mjestu gdje je greda podijeljena
) - anvelopa se automatski rauna i za toke ispod sila - oznake
"YG", "YD" i sl. se odnose na gornji ("G") i donji ("D") dio nosaa;
to se moe vidjeti i po predznaku, ali je ovako praktinije (posebna
anvelopa za gornji, a posebna za donji dio nosaa) UKUPNO 3
OPTEREENJA S MAX. 2 SILA U JEDNOM OPT. DUINA NOSAA = 6 m IRINA NOAA
= 1 m EI = 67500 kN KOEFICIJENT PODLOGE = 42000 kN/m2 BROJ PODJELA
NOSAA = 4 LAMBDA = 0.628016974 OPT 1 OPT2 OPT3 P1=100 kN P1=200 kN
P1=100 kN A1=1.5 m A1=0 m A1=6 m P2=200 kN A2=3 m POSEBNO I
ANVELOPA OPTEREENJE 1 TOKA PROGIB KUT Z. MOMENT POPRENA SILA X0=0
Y0=4E-04 T0=9E-04 M0=0 Q0=0 X1=1.5 Y1=1.7E-03 T1=7E-04 M1=39.8
Q1=66.81 X2=3 Y2=2E-03 T2=-3E-04 M2=80.23 Q2=91.15 X3=4.5 Y3=9E-04
T3=-9E-04 M3=-1.26 Q3=-12.47 X4=6 Y4=-5E-04 T4=-9E-04 M4=0 Q4=0 A 1
Y=1.7E-03 T=7E-04 M=39.8 Q=56.81 A 2 Y=2E-03 T=-3E-04 M=80.23
Q=91.15 OPTEREENJE 2 TOKA PROGIB KUT Z. MOMENT POPRENA SILA X0=0
Y0=6E-03 T0=-3.8E-03 M0=0 Q0=0 X1=1.5 Y1=1.4E-03 T1=-2.1E-03
M1=-100.31 Q1=17.23 X2=3 Y2=-3E-04 T2=-4E-04 M2=-46.26 Q2=37.73
X3=4.5 Y3=-4E-04 T3=2E-04 M3=-7.69 Q3=13.33 X4=6 Y4=-1E-04 T4=2E-04
M4=0 Q4=0 A 1 Y=6E-03 T=-3.8E-03 M=0 Q=0 A 2 Y=6E-03 T=-3.8E-03 M=0
Q=0 PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 5 OPTEREENJE 3 TOKA PROGIB
KUT Z. MOMENT POPRENA SILA X0=0 Y0=0 T0=-1E-04 M0=0 Q0=0 X1=1.5
Y1=-2E-04 T1=-1E-04 M1=-3.84 Q1=-6.66 X2=3 Y2=-1E-04 T2=2E-04
M2=-23.13 Q2=-18.87 X3=4.5 Y3=7E-04 T3=1E-03 M3=-50.16 Q3=-8.62
X4=6 Y4=3E-03 T4=1.9E-03 M4=0 Q4=100 A 1 Y=3E-03 T=1.9E-03 M=0
Q=100 A 2 Y=0 T=-1E-04 M=0 Q=0 ANVELOPA TOKA PROGIB KUT Z. MOMENT
POPRENA SILA X0=0 YG0=0 TG0=-3.8E-03 MG0=0 QG0=0 YD0=6E-03
TD0=9E-04 MD0=0 QD0=0 X1=1.5 YG1=-2E-04 TG1=-2.1E-03 MG1=-100.31
QG1=66.81 YD1=1.7E-03 TD1=7E-0.4 MD1=39.8 QD1=-6.66 X2=3 YG2=-3E-04
TG2=-4E-04 MG2=-46.26 QG2=91.15 YD2=2E-03 TD2=2E-04 MD2=80.23
QD2=-18.87 X3=4.5 YG3=-4E-04 TG3=-9E-04 MG3=-50.16 QG3=13.33
YD3=9E-04 TD3=1E-03 MD3=0 QD3=-12.47 X4=6 YG4=-5E-04 TG4=-9E-04
MG4=0 QG4=100 YD4=3E-O3 TD4=1.9E-03 MD4=0 QD4=0 A 1 YG=0
TG=-3.8E-03 MG=0 QG=100 YD=0.01 TD=1.9E-03 MD=39.8 QD=0 A 2 YG=0
TG=-3.8E-03 MG=0 QG=91.15 YD=0.01 TD=0 MD=80.23 QD=0 y12=y21 progib
od jedinine sile koja djeluje na suprotnom kraju nosaa y1v , y2v
progibi od optereenja na kraju (1), odnosno (2) nosaa. Formula:
y11R1 + y12R2 + y1v = y21R1 + y22R2 + y2v = U konkretnom sluaju
rjeenje moemo nai tako da rezultatima prvog optereenja zbrojimo one
od drugog i treeg, pomnoene odgovarajuim koeficijentima (R1/P3 i
R2/P4). Tako su rezultati za sluaj grede zglobno oslonjene na
krajevima: : TOKA PROGIB MOMENT POPR. SILA PROGIB 0 0 0 0 U cm 1
0.08 12.32 26.48 2 0.16 44.45 64.90 3 0.20 38.09 21.40 4 0.21 78.08
85.77 5 0.16 15.57 -55.99 6 0.10 -9.26 -14.94 7 0.05 -10.25 -8.09 8
0 0 0 PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 6 Ovdje moemo primijetiti
jedan nedostatak metode, a to je pojava vlanog naprezanja u tlu.
Naime, vlana sila daje iste rezultate kao i jednako velika tlana,
samo suprotnog predznaka, to ne odgovara realnom stanju. S druge
strane to omoguuje primjenu principa superpozicije i primjenu
metode sila za rjeavanje sloenih uvjeta oslanjanja (kao u navedenom
primjeru), takoer i simulaciju svih vrsta optereenja koncentriranim
silama. Stoga treba kontrolirati progibe grede, pa ako je prevelik
dio grede izdignut (sluaj vlaka), rezultate treba primiti s
rezervom i izvriti kontrolu odabranog statikog sustava. To je,
ukratko, prikaz prve metode (tonije i openito, praktinije). U
prilogu je dano rjeenje jednog zadatka programom u BASIC-u koji
koristi tu metodu. Druga metoda rjeavanja problema razlikuje se u
nainu rjeavanja diferencijalne jednadbe; za to se koristi metoda
konanih razlika. Ovdje je izloen kratki prikaz te metoda (koja ima
veliku primjenu u graevinarstvu i drugdje). Greda se podijeli na
odreeni broj konanih dijelova i na njihovim spojevima se
postavljaju uvjeti kompatibilnosti. Osnovna ideja je prikazivanje
derivacije kao konane razlike malih veliina: ) (112 / |.|\|i il iy
yh dxdy , gdje je "h" duljina intervala. Isto: ) (112 /i il iy yh
dxdy |.|\|++. Druga je derivacija: il i l iidxdydxdyh dxy d((|.|\|
|.|\|||.|\| + 2 / 2 /221 ( )1 12 2221 + + ||.|\|i i iiy y yh dxy d
Na slian nain moemo dobiti i formule za derivacije vieg reda. Greku
koju pritome inimo moemo odrediti tako da funkciju razvijemo u
Taylor-ov red: ( ) ...! 62! 4221) 6 (4) 4 (21 12 22i i i i iiyhyhy
y yh dxy d + ||.|\| + Greka za drugu derivaciju je(usporediti
izraze): ..360 12) 6 (4) 4 (22 =i iyhyhe Na slian nain moemo
odrediti greke i za vie derivacije. Pri tome je bitno uoiti da je
greka obrnuto proporcionalna veliini intervala "h", tj. to je gue
podjela grede to je greka manja. Pogledajmo sada kako izgleda
predmetna diferencijalna jednadba: D4y + 4 a4 y = q(x)/EI Uz
konstantan EI jednadba glasi: ( ) EI q y a y y y y yhi i i i i i i/
4 4 6 4142 1 1 24 = + + + + + Poradi jednostavnijeg pisanja uvodi
se oznake: B = 6 + 4 a4 h4 T = Q h4 / EI, Q = qi h, odnosno Q = qi
h/2 za rubne toke. (Q odgovara koncentriranoj sili u voru "i").
Jednadba zapisana matrino glasi: A Y Q = PRIJEPIS: LANAK, FRAK 6
RUJAN 1983 7 ili [ ]iiiiiiTyyyyyB =((((((( ++21121 4 4 1 Ta
jednadba vrijedi za sve unutranje toke osim za prve dvije i zadnje
dvije. Ako se uzmu u obzir rubni uvjeti za x = 0 i x = L, slijedi M
= 0 i Q =0. Tako su diferencijalne jednadbe za krajnje (rubne) toke
grade: (((((( 211 2 22nnnyyyB ili nTyyy=((((210 ili T0 . Za prve
dvije unutranje toke (prva i pretposljednja) dobiva se: [ ] 132101
4 1 2 TyyyyB =((((( i [ ] 13211 4 1 2 =((((( nnnnnTyyyyB Moe se
uoiti da je vrlo jednostavno sloiti matricu ijim se rjeavanjem
dobiva progibe grede: (((((((((((((((((((((((((
nnnTTTTTTTBBBBBBB123210...222 1 0 0 0 ... ... 02 1 4 1 0 0 ... ...
0 1 4 4 1 0 ... ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ...0 ... ... 1
4 4 1 00 ... ... 0 1 4 4 10 ... ... ... 0 1 4 1 20 ... ... ... 0 0
1 2 22 Uz ovako napisane jednadbe matrica je simetrina, to se moe
iskoristiti za utedu memorije raunala. Rezne sile je jednostavno
izraunati po formulama: ) 2 ( 1 12 22+ + = =i i i iy y yhEIdxy dEI
M ) 2 2 (22 1 1 23 33+ + = =i i i i iy y y yhEIdxy dEI Q Mogua je i
drugaija formulacija za poprenu silu: ) 3 3 ( 1 1 13 + + + =i i i i
iy y y yhEIQ ili ) 3 3 ( 1 1 23 + + + =i i i i iy y y yhEIQ (za
lijevi i desni kraj respektivno). Vidljivo je da je prva iznesena
formulacija zapravo aritmetika sredina dviju posljednjih. PRIJEPIS:
LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 8 No, sve su tri formule razvijene polazei
direktno od diferencijalne jednadbe grede na elastinoj podlozi bez
uzimanja u obzir utjecaja horizontalne sile. Kako bi se ista uzela
u obzir potrebne su neke izmjene u formulama: ) (11 1 i i i iM MhV
= + + + uz uzimanje u obzir uzdunih sila: 2 / ) (11 i i iDiP M MhV
+ = + 2 / ) (11 1 1 + + + + =i i iLiP M MhV 2DiLiiV VQ += 22) (12)
(11 1ii iii iiPM MhPM MhQ+ + + = + , tj 2) (211 1ii i iPM MhQ + =
+. 2) 2 2 (212 1 1 22ii i i i i i iPy y y y y yhEIhQ + + + = + + 2)
2 2 (22 1 1 23ii i i i iPy y y yhEIQ + + = + + To je konana formula
za poprenu silu koja e biti primijenjena za sve toke grede osim za
drugu i pretposljednju, jer za njih nisu definirane sve toke iji
progib treba poznavati za primjenu predmetne formule. Za te toke
primjenjivati e se formule: 2) 3 3 (2 1 13ii i i i iPy y y yhEIQ +
+ + = + + , odnosno 2) 3 3 ( 1 1 23ii i i i iPy y y yhEIQ + + + = +
Rezultati po ovoj metodi bitno ovise o broju toaka (gustoi) na koje
je podijeljena greda, o emu treba voditi rauna. Svakako je potrebno
gusto raunati progibe, dok se momente i poprene sile kasnije moe
raunati i rjee (koristei samo neke od izraunatih progiba). Primjer
koji je rijeen matematikim metodama rijeiti e se metodom konanih
razlika (isti primjer radi kontrole!). Greda je podijeljena na osam
toaka: P1 = 100 kN, EI = 67500 kNm2 P2 = 200 kN, K = 42000 kN/m2
TOKA PROGIB MOMENT POPR. SILA 0 0.04 0 0 1 0.11 4.91 40.47 2 0.17
35.26 67.19 3 0.20 30.70 25.76 4 0.21 73.91 90.57 5 0.15 16.56
-52.10 6 0.09 -4.25 -14.15 7 0.02 -4.66 -0.55 8 -0.04 0 0 PRIJEPIS:
LANAK, FRAK 6 RUJAN 1983 9 Da bismo vidjeli utjecaj gustoe toaka na
rezultat, rijeimo isti primjer s podjelom na 16 toaka. TOKA PROGIB
MOMENT POPR. SILA 0 0.04 0 0 1 0.07 1.17 14.72 2 0.11 6.69 23.18 3
0.14 18.55 42.64 4 0.17 38.67 66.91 5 0.19 31.23 -4.97 6 0.20 34.94
25.86 7 0.21 50.63 58.32 8 0.21 78.69 0.91 9 0.19 43.88 -78.22 10
0.16 20.02 -51.35 11 0.12 5.37 -29.44 12 0.09 -2.06 -12.91 13 0.05
-4.31 -1.81 14 0.02 -3.41 3.97 15 -0.01 -1.33 5.54 16 -0.05 0 0
Vidimo da su odstupanja u primjeru s osam toaka primjetna, a ve sa
esnaest toaka su odstupanja zanemarivo mala. Radi mogunosti tonije
usporedbe dani su toni progibi grede u cm na etiri decimale (izraun
po ranije navedenoj tonoj metodi pomou ve spomenutog programa).
OPTEREENJE 1 TOKA TOKA PROGIB KUT Z. MOMENT POPRENA SILA P1=100
X0=0 Y0=0.0389 T0=9E-04 M0=0 Q0=0 A1=1.5 X1=0.75 Y1=0.1072 T1=9E-04
M1=7.3 Q1=23.06 P2=200 X2=1.5 Y2=0.1677 T2=7E-04 M2=39.8 Q2=66.81
A2=3 X3=2.25 Y3=0.2028 T3=3E-04 M3=36.38 Q3=25.90 X4=3 Y4=0.2041
T4=-3E-04 M4=80.23 Q4=91.15 PROGIB U cm X5=3.75 Y5=0.1562 T5=-8E-04
M5=21.22 Q5=-51.08 X6=4.5 Y6=0.088 T6=-9E-04 M6=-1.26 Q6=-12.47
X7=5.25 Y7=0.0194 T7=-9E-04 M7=-2.95 Q7=4.37 X8=6 Y8=-0.047
T8=-9E-04 M8=0 Q8=0 U prilogu je i program za proraun grede na
elastinoj podlozi po metodi konanih razlika. Program je pregledan,
izraen je po izloenoj teoriji i vrlo dobro ilustriran REM naredbama
radi lakeg razumijevanja. Te se naredbe mogu izostaviti prilikom
upisivanja programa pa e program biti znatno krai. Za rjeavanje
sustava linearnih jednadbi koji se javlja pri uporabi metode
konanih razlika koriten je GAUSS-ov sustav eliminacije, ali bez
mogunosti zamjene redaka ( dakle, bez kontrole pojave '0' na
dijagonali) budui je matrica koja se javlja kod ovakvih problema
uvijek pozitivno definirana. Ako se '0' ipak javi na dijagonali,
znai da problem nije dobro postavljen i program e na ekranu
ispisati 'singularno' i zaustaviti se uz poruku ''division by zero
error in...'' ili ekvivalentno. Mogue je primjenjivati i druge
algoritme za rjeavanje sustava linearnih jednadbi ali je ovaj
najjednostavniji, vrlo brz i efikasan za dani sluaj. Utedu memorije
je mogue ostvariti tako da se iskoristi simetrinost matrice, kao i
to to su prisutni samo elementi uz dijagonalu (ostali su '0'), ali
je tada program za rjeavanje sustava linearnih jednadbi puno
sloeniji. Takoer, 16-ak do 20-ak toaka podjele na nosau je skoro
uvijek potpuno dovoljno za tonost potrebnu u praksi, a i matrica
takve veliine zahtjeva manje memorije. Tako je ovaj program sasvim
upotrebljiv za praksu i moe se bez daljnjega koristiti. Jedino
treba biti oprezan prilikom simulacije optereenja momentom parom
sila; tada je potreban vei broj podjela za postizanje
zadovoljavajue tonosti (no taj je sluaj optereenja greda na
elastinoj podlozi u praksi relativno rijedak). Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
26 Primjeri analize grede na elastinoj podlozi (vidi FRaK, br.6,
rujan 1983, p. 33-39.) Jednoliko optereenje (5.0 kN/m, ukupno
5.0*20m=100 kN) Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc.
Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 27 Koncentrirano optereenje (P
u v.11 = 100 kN) meko tlo (Etla=1.E+4) Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
28 srednje tlo (Etla=1.E+6) Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci
Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 29 tvrdo tlo
(Etla=1.E+8) Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc.
Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 30 srednje tlo (Etla=1.E+6)
nelinearna analiza (nema vlanih tapova) Temperaturno optereenje
Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 1 Temperaturno optereenje
konstrukcija Pod temperaturnim optereenjem konstrukcija
podrazumijevamo naprezanja izazvana djelovanjem temperature. Ta se
naprezanja razlikuju ovisno o kunstitutivnom modelu materijala i
nainu oslanjanja konstrukcije. U ovom tekstu razmatrat emo ponaanje
linearno elastinih materijala u raznim uvjetima oslanjanja. Za
Hook-ove materijale vrijedi termo-elastini zakon ponaanja, tj.
deformacija usljed temperature linearno je proporcionalna
temperaturi: = koeficijent proporcionalnosti svojstvo je koje se
naziva termiki koeficijent materijala i moe imati izotropnu ili
ortotropnu raspodjelu unutar materijala. Naprezanje u
termoelastinom materijalu se odreuje prema = D( - T) Bitno je uoiti
da se termika deformacija tretira kao rezidualna deformacija i u
sluaju kad su rubni uvjeti takvi da ne mijenjaju raspodjelu
deformacija, naprezanje je jednako nuli. Drugim rijeima, kod
statiki odreenih tapnih sustava nema naprezanja uslijed promjene
temperature konstrukcije. Kod sustava koji nisu tapni (2D i 3D
elastine konstrukcije) mogu se javiti naprezanja neovisno o nainu
oslanjanja. Primjetimo da bez obzira na naprezanja, uvijek imamo
deformaciju od promjene temperature, a time i pomake (openito,
pomaci termoelastinog tijela su =VT TdV ). Takoer, trebamo obratiti
panju na poloaj dijagrama momenata kod statiki neodreenih tapnih
sistema. U pravilu je dijagram momenata na suprotnoj strani od one
na kojoj ga intutitivno oekujemo, dakle, ne na strani gdje su se
vlakanca u tapu rastegnula uslijed temperature, nego na onoj gdje
je manja temperatura. To objanjavamo time da se vlakanca rasteu na
strani vee temperature i taj se dio tapa izbouje, ali rubni uvjeti
taj dio tapa 'vraaju' i time rastegnuta vlakanca pritiu, a
pritisnuta rasteu, pa je dijagram momenata na strani gdje rubni
uvjeti rasteu vlakanca (dakle, rubni uvjeti, a ne temperatura
diktiraju poloaj dijagrama monenata). Vidimo da raspodjela
temperature bitno utie na raspored deformacija, pa je odreivanje
temperature unutar konstrukcije takoer vaan zadatak. Kod tapnih
sisteam jednostavno pretpostavimo jednoliku raspodjelu po visini
presjeka, a kod sloenijih raunamo raspodjelu temperature unutar 2D
ili 3D tijela, uz uzimanje (temperaturnih) rubnih uvjeta u obzir.
Praktino je za tapne sisteme raditi s dva parametra temperature:
jednolika temperatura (jednoliko rasporeena po visini presjeka) i
diferencijalna temperatura (linearno rasporeena po visini presjeka
s time da je u neutralnoj osi nula). Postoji veza izmeu jednolike
Tjd i diferencijalne Tdf temperature i temperature na gornjoj Tg i
donjoj Td strani tapa: Tjd = (Tg - Td)/2 Tdf = Tg Td Tg = Tjd +
Tdf/2 Td = Tjd Tdf/2 Neki raunalni programi upotrebljavaju jednu, a
neki drugu notaciju. Slijede neki primjeri izrauna tapnih
konsturkcija programom OKVIRW i nekiprimjeri 2D konstrukcija kod
kojih je raspodjela temperature izraunata programom CSTBART i
naprezanja (za tu raspodjelu temperature) izraunata programom
CSTBAR. Temperaturno optereenje Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
2 Temperaturni pomaci proste grede. Slika prikazuje prostu gredu
optereenu diferencijalnim temperaturnim optereenjem. Vidimo da su
deformacije prisutne, ali naprezanja nema! Na sljedeoj slici ista
greda je ukljetena s desne strane i time je postala statiki
neodreena. Vidimo da su se pojavile rezne sile usljed djelovanja
temperature! Na slici vidimo okvir optereen diferencijalnom
temperaturom, izvana je za 20 C vea temperatura nego unutar okvira.
Dijagram momenata je s unutranje strane! Kod temperaturenog
optereenja treba paziti na poloaj reznih sila (momenata) jer je, na
prvi pogled, s 'krive' strane. To se moe objasniti time da vea
temperatura rastee vanjska vlakanca grede, ali rubni uvjeti (koji
zapravo sprijeavaju slobodne pomake) djeluju suprotno: pritiu
vlakanca koja temperatura iri (i obratno). diferencijalna
temperatura 20 C, toplije izvana. Temperaturno optereenje Ivica
Koar Modeliranje konstrukcija 3 deformacije proste grede (od
temperature) Temperaturno optereenje Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 4 primjer izlaza iz programa CSTBART i CSTBAR: mrea
elemenata, raspored temperature unutar zida, deformacije usljed
djelovanja temperature. Za istu geometriju problema (mreu konanih
elemenata) program CSTBART kao optereenje uzima temperaturu na
pojedinim dijelovima konstrukcije, te rauna raspodjelu temperature
za zadane rubne uvjete (stacionarno rjeenje Poissonove
diferencijalne jednadbe za Dirichletove rubne uvjete). Izlazni
podatak programa su i deformacije slobodnog tijela uslijed
temperature (kao da nema mehanikih rubnih uvjeta). Program CSTBAR
kao optereenje uzima slobodne temperaturne deformacije (iz programa
CSTBART) i rauna naprezanja za zadane mehanike rubne uvjete.
Rezultat su stvarne (za zadane rubne uvjete) deformacije i
naprezanja. Temperaturno optereenje Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 5 Na slikama dolje vidimo glavna naprezanja u zidu za
zadanu temperaturu. na taj nain moemo odrediti naprezanja u
konstrukciji od uticaja neke vanjske temperature. Mogua su i
poopenja problema s uzimanjem u obzir toplotnog fluksa u vremenu
kroz upliv konvekcije i radijacije na raspodjelu temperature (u tom
sluaju traimo nestacionarno rjeenje Poissonove diferencijalne
jednadbe za proizvoljne rubne uvjete). Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
31 Modeliranje ravninskih konstrukcija Veza naprezanja i
deformacija Komponente deformacija dvodimenzionalne linearne
teorije elastinosti xux= , yvy= , xyuyvx= + Veza izmeu naprezanja i
deformacija ( )z y x xE = 1 ( )z y x yE + = 1 ( )z y x zE + = 1 (
)xy xyE += 1 2 ravninsko stanje naprezanja ( ) xyxyxyxyE EE EE`) =
+(((((((`)1 101 100 02 12 22 2 ravninsko stanje deformacija ( )( )(
) ( )( )( )( )( )( )( )( ))`(((((((+ + + + +=)`xyyxxyyxEE EE E 1 20
002 1 1 12 1 102 1 1 2 1 1 1 veza naprezanja i pomaka vorova
konanog elementa s DBd = Odreivanje reznih sila iz naprezanja Rezne
sile se odreuju po principu ravnotee: Graevinski fakultet Sveuilita
u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 32 dA PA=
Na temelju tog principa mogu se dimenzionirati AB konstruktivni
elementi na slom aaPA= Granina stanja pomaka (progiba) i
deformacija (pukotina) ne mogu se odrediti iz linearno elastinih
modela materijala koje koristimo u ovim konanim elementima. Ti se
parametri odreuju iz propisa za AB. Primjer Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
33 Modeliranje ploastih konstrukcija Savijanje tanke ploe po
Kirchhoffovoj teoriji (biharmonijskom parc.dif.jed.) 4442 2442wxwx
ywyqD+ + = 0 0.5 10.500.51g1 yj( )yj0 0.5 10.500.51g2 yj( )yj
Poveanjem broja lanova reda raste tonost prikaza optereenja: g1 x (
)150nsin n vLb|\ |.sin n dLb|\ |. sin n xLb|\ |.n=:= g2 x (
)1500nsin n vLb|\ |.sin n dLb|\ |. sin n xLb|\ |.n=:= Slobodno
oslonjena ploca, prema Navier-ovom opcem rjesenju Ivica Kozar, GF
Rijeka studeni 1999. Opterecenje ploce unutar pravokutnika
dimenzija 2c*2d Krutost ploce K dimenzije ploce: La 1. := Lb 1. :=
KE h312 1 2( ):= dimenzije opterecenja: c 0.2 := d 0.2 := polozaj
opterecenja: u 0.5 := v 0.5 := K 1000 :=intenzitet opterecenja: p
1. :=Broj clanova reda igra vaznu ulogu u tocnosti rjesenja
(opcenito, konvergencija je spora)!opterecenje razvijeno u
dvostruki Fourier-ov red kao neparna funkcija koordinata x i y: j 0
50 .. :=A m n , ( ) 16 p 2m n sin m uLa|\ |. sin m cLa|\ |. sin n
vLb|\ |. sin n dLb|\ |. := yjLb j 50:= prikaz ujecaja broja clanova
reda na tocnost: g1 x ( )110nsin n vLb|\ |.sin n dLb|\ |. sin n
xLb|\ |.n=:= g2 x ( )125nsin n vLb|\ |.sin n dLb|\ |. sin n xLb|\
|.n=:= xiLa i 30:= i 0 30 .. := Graevinski fakultet Sveuilita u
Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 34 0 0.5
10.500.51g1 yj( )yj0 0.5 101g2 yj( )yj Isti postupak moemo
primijeniti i za optereenje u ravnini, samo takvi izrauni su
dugotrajni: p x y , ( )110m 110nA m n , ( ) sin m xLa|\ |. sin n
yLb|\ |.|\ |.==:= gri j ,p xiyj,( ):=gr i napokon s 50 lanova reda
p x y , ( )125m 125nA m n , ( ) sin m xLa|\ |. sin n yLb|\ |.|\
|.==:= gri j ,p xiyj,( ):= grGraevinski fakultet Sveuilita u Rijeci
Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 35 p x y , ( )150m
150nA m n , ( ) sin m xLa|\ |. sin n yLb|\ |.|\ |.==:= gri j ,p
xiyj,( ):=13 minutagr Rjeenje progiba ploe je takoer razvoj u red:
Rjesenje:w x y , ( ) 1K 4 110m 110nA m n , ( )m2La2n2Lb2+sin m
xLa|\ |. sin n yLb|\ |.|\||.== :=gri j ,w xiyj,( ):=grw 0.5 0.5 , (
) 3.493 106 = Na svu sreu, kao to moemo vidjeti na slijedeoj slici
za 25 lanova reda, rjeenje za progib je puno manje ovisno o broju
lanova reda! Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc.
Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 36 w x y , ( ) 1K 4 125m 125nA
m n , ( )m2La2n2Lb2+sin m xLa|\ |. sin n yLb|\ |.|\||.== :=gri j ,w
xiyj,( ):=4 minutegrw 0.5 0.5 , ( ) 3.512 106 = Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
37 Za rjeavanje koristimo MKE. Plocasti elementi: kvadraticni
izoparametarski "serendipity" elementi, 8 cvorova, reducirana
numericka integracija (4 Gauss-ove tocke), Mindlin-ovoj teoriji
ploca Pozitivni predznaci broj cvorova konstrukcije broj stapova
konstrukcije broj elemenata konstrukcije broj razlicitih tipova
presjeka/materijala stapova konstrukcije broj razlicitih tipova
presjeka/materijala elemenata konstrukcije broj slucajeva
opterecenja koja zelimo zasebno racunati Podaci o presjecima E =
modul elasticnosti materijala G = modul smika materijala J = moment
torzije stapa I = moment inercije poprecnog presjeka stapa ar =
korekcioni faktor za uticaj smika na presjek gama = specificna
tezina materijala stapa u [kN/m3] alfa = koeficijent termicke
ekspanzije materijala h = visina poprecnog presjeka stapa Podaci o
presjeku i materijalu za elemente su : E = modul elasticnosti
materijala ni = Poisson-ov koeficijent "mi" d = debljina plocastog
elementa opt1 = intenzitet jednolikog opterecenja na plocasti
element za slucaj opterecenja 1. opt2 = intenzitet jednolikog
opterecenja na plocasti element za slucaj opterecenja 2. opt3 =
intenzitet jednolikog opterecenja na plocasti element za slucaj
opterecenja 3. opt4 = intenzitet jednolikog opterecenja na plocasti
element za slucaj opterecenja 4. opt5 = intenzitet jednolikog
opterecenja na plocasti element za slucaj opterecenja 5. PODACI O
GEOMETRIJI Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica
Koar Modeliranje konstrukcija 38 Tipovi cvorova POMAK Z, ROTACIJA U
SMIJERU OSI X, ROTACIJA U SMIJERU OSI "Y". Tipovi stapova tip (1)
upeto obostrano tip (4) zglob obostrano tip (2) zglob lijevo tip
(3) zglob desno PODACI O OPTERECENJIMA broj opterecenja, na
cvorove, na stapove i na elemente opterecenja na stapove ista
opterecenja na elemente: jednoliko OPCENITO O REZULTATIMA Za svaki
ELEMENT konstrukcije i za svaku Gauss-ovu tocku: M1 - max. glavni
moment u Gauss-ovoj tocki M2 - min. glavni moment u Gauss-ovoj
tocki kut - kut glavnih osi prema osi X Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
39 Mx - moment u smijeru osi X u Gauss-ovoj tocki My - moment u
smijeru osi Y u Gauss-ovoj tocki Mxy - posmicni moment u Gauss-ovoj
tocki Qx - posmicna sila u smijeru osi X u Gauss-ovoj tocki Qy -
posmicna sila u smijeru osi Y u Gauss-ovoj tocki Primjer Crtez
konstrukcije iz primjera i osnovni podaci: SIFRA:proba2 UCITAJ
PODATKE S DISKA (1=DA):1 (=da) IME ZAPISA: UPETA OKRUGLA PLOCA BROJ
CVOROVA :49 BROJ STAPOVA : 0 BROJ ELEMENATA:12 BROJ PRESJEKA : 1
BROJ OPTEREC. : 1 Rezultati: Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci
Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 40 Graevinski
fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje
konstrukcija 41 Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc.
Ivica Koar Modeliranje konstrukcija 42 Analiza zgrada optereenih
horizontalnom silom Ivica KozarGF RijekaANALIZA POSMICNIH
ZIDOVAORIGIN 1 E 10000 := GE2.3:= h 1 :=u Iu aru , ( ) 12E Iu h2G
aru := v Iv arv , ( ) 12E Iv h2G arv :=S11Iu Iv , , aru , arv ,(
)E12 cos ( )2Iv 4 v Iv arv , ( ) +sin( )2Iu 4 u Iu aru , ( ) ++|\
|.h3:=S33J ( ) GJh :=S22Iu Iv , , aru , arv ,( )E12 sin( )2Iv 4 v
Iv arv , ( ) +cos ( )2Iu 4 u Iu aru , ( ) ++|\ |.h3:=S12Iu Iv , ,
aru , arv ,( )E12 sin( ) cos ( )Iv4 v Iv arv , ( ) +Iu4 u Iv aru ,
( ) ++|\ |.h3:=lokalna matrica krutosti:matrica transformacijeSi Iu
Iv , , J , aru , arv ,( )S11Iu Iv , , aru , arv ,( )S12Iu Iv , ,
aru , arv ,( )0S12Iu Iv , , aru , arv ,( )S22Iu Iv , , aru , arv ,(
)000S33J ( )|\||.:=Ci x y , ( ) 100010y x1|\|.:= Primjer: 8.000
8.0004.400 4.800.8001.6001.600 Pxdebljina svih zidova h=b/10,
svisina svih zidova h=bI10.80.8312:= I10.03413 =I21101.6312:=
I20.03413 =I3 1.6 110|\ |.312:= I30.00013 = Graevinski fakultet
Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar Modeliranje konstrukcija
43 Primjer:zid 1:Iuz0.034130.03420.0342|\|.:=
Ivz0.034130.000130.00013|\|.:= Jz0.05120.000530.00053|\|.:=
aruz0.160.1330.133|\|.:= arvz0.160.1330.133|\|.:=zid 2:zid
3:Iuz10.034 =S1 1 , 1 := S11 Iuz1Ivz1, 0 , aruz1, arvz1, ( )
414.223 =S11 1 1 , 0 , 1 , 1 , ( ) 3.797 103 = Si Iuz1Ivz1, 0 ,
Jz1, aruz1, arvz1, ( )414.22000414.22000222.61|\|.=SG1Ci 0 0 , (
)TSi Iuz1Ivz1, 0 , Jz1, aruz1, arvz1, ( ) Ci 0 0 , ( ) :=
SG1414.223000414.223000222.609|\|.=Si Iuz2Ivz2, 0 , Jz2, aruz2,
arvz2, ( )3.87000369.820002.3|\|.= SG2Ci 4.4 0.8 , ( )TSi Iuz2Ivz2,
0 , Jz2, aruz2, arvz2, ( ) Ci 4.4 0.8 , ( ) :=
SG23.87403.0990369.8251.627 1033.0991.627 1037.165 103|\||.=Si
Iuz3Ivz3, 0 , Jz3, aruz3, arvz3, ( )3.87000369.820002.3|\|.=SG3Ci
9.2 0 , ( )TSi Iuz3Ivz3, 0 , Jz3, aruz3, arvz3, ( ) Ci 9.2 0 , ( )
:= SG33.874000369.8253.402 10303.402 1033.13 104|\||.=SG SG1SG2+
SG3+ :=SG421.9703.101153.875029.623.15029.6238691.49|\|.=
Graevinski fakultet Sveuilita u Rijeci Prof.dr.sc. Ivica Koar
Modeliranje konstrukcija 44 vanjske sile:F01 1.2 |\|.:=vektor
pomaka:D SG 1 F := D 1.384 106 1.688 103 1.884 104 |\||.=sile koje
otpadaju na pojedini zid:F1Si Iuz1Ivz1, 0 , Jz1, aruz1, arvz1, ( )
Ci 0 0 , ( ) D := F15.731 104 0.699 0.042|\|.=F2Si Iuz2Ivz2, 0 ,
Jz2, aruz2, arvz2, ( ) Ci 4.4 0.8 , ( ) D := F25.785 104 0.318
4.341 104 |\||.=F3Si Iuz3Ivz3, 0 , Jz3, aruz3, arvz3, ( ) Ci 9.2 0
, ( ) D := F35.36 106 0.0174.341 104 |\||.= Modeliranje
konstrukcija Ivica Koar Lananica 1 LANANICA Lananice (uad ili
lanci) mogu prenositi samo vlane sile koje u svakoj toki lananice
imaju smjer tangente. Lananice ne mogu prenositi niti momente
savijanja, niti poprene sile. Deformacije od uzdune sile su male i
u statikoj analizi se zanemaruju. Ako su optereenja znatno vea od
vlastite teine lananice, ista se zanemaruje. Pri tom je oblik ueta
najee pravac. Ue ne moe preuzimati tlane sile. q Slika 1. U sluaju
prikazanom na Slici 1. za potrebe rauna ue se moe zamijeniti tapom
(budui da nema tlane sile). FoLoL Slika 2. U sluaju prikazanom na
Slici 2. ue se takoer moe zamijeniti tapovima jer je vlastita teina
ueta zanemariva i prisutne su samo vlane sile. Kad se valstita
teina ueta uzima u obzir (iana, prednapeta uad) oblik ueta nije
pravac ve lananica. Modeliranje konstrukcija Ivica Koar Lananica 2
Ue pod djelovanjem vlastite teine U vertikalnom uetu vlastita teina
izaziva promjenjivu uzdunu silu; u svakoj toki mora uzduna sila
biti u ravnotei s preostalim dijelom ueta koji visi ispod. C z A g
dz A g Fdz A g dFS S SS S+ = = = Slika 3. Konstanta integracije
odreuje se iz uvjeta da je uzduna sila na dnu jednaka nuli . Kada
na dnu djeluje sila F0, tada je FS=F0 za z=0 te slijedi C= F0. Za
ue objeeno u dvije toke vrijedi : yxdsABdsqpFFF +dFSVF +dFSVSH
SHSVSH Slika 4. zdzFSF+dFSpgA dzSSdzModeliranje konstrukcija Ivica
Koar Lananica 3 Na element djeluje rezultanta vlastite teine (po
jedinici duine q=gAs) te zbog toga imamo razliite uzdune i poprene
sile na oba kraja diferencijalnog elementa. . 0 0 const F dF HSH SH
= = = Horizontalna komponenta vlane sile u uetu optereenom samo
vlastitom teinom je konstantna. dx y dy dx dsds q dF VSV + = + = =
= 2 2 2' 10 Dvije komponente su meusobno zavisne : y tgFFSHSV = =
Koristei tu meuzavisnost i injenicu da je FSH=const. dobije se
diferencijalna jednadba 2. reda : SHSH SHSVSH SHSVFqyyyFqdxdsdsds
qF dxdsdsdFF FFy= + + = = =||.|\|= 22111 1 Ako se izvri
supstitucija y'=z i integrira jednadba,te se vrati y' i jo jednom
integrira dobije se : 2cosh2 1x xSHSHe echC C xFqqFy+=+||.|\|+ =
Potrebno je odrediti dvije konstante integracije. Konstante FSH,
C1, C2 odreuju se iz uvjeta na kraju A i leaju B ueta i uvjeta da
je duina (nepromjenjiva) ueta jednaka y(x). Modeliranje
konstrukcija Ivica Koar Lananica 4 PRIMJER 1 Za zadano ue odrediti
: a) funkciju oblika ueta b) horizontalnu silu c) najveu silu u
uetu ako je zadano : L, xB, yB i q (teina po m duine). Slika 5.
Rubni uvjeti daju : ((||.|\|+ = = = = +||.|\|+ = = =1 11 2 2 1) (0
0 ) 0 (chC C xFqchqFy y x x ychCqFC C C xFqchqFx ySHSHB B BSHSHSH
Duljina ueta od A do B je : ||.|\|+ = ||.|\|+ = ||.|\|+ = ||.|\|+ +
= + = = = = =1 10 10 12021 1C xFqshFqC xFqshqFydx C xFqch dx C
xFqsh dx y LSH SH SHSHXx SHXx SHXx xB B BA Ovo je nelinearni sustav
od 3 jednadbe s tri nepoznanice i to FSH, C1 i C2. Koristei se
izrazima |.|\| +|.|\| = |.|\| |.|\| += = 2 222 2212 2 ch sh sh shsh
sh ch chsh ch dobije se : BSHBxFqLyath C |.|\|=1 te nakon
uvrtavanja C1 i sreivanja : 2 2222 0 L yFx qshqFBSHB SH +((||.|\| =
Iz ove jednadbe numeriki moemo izraunati FSH, a zatim i C1 i C2.
Jednostavnije je raditi ako se posljednja jednadba podijeli s L2.
yxABxByBModeliranje konstrukcija Ivica Koar Lananica 5 Nove,
bezdimenzionalne nepoznanice su : LCC CL qFFSHSH22 1; ; == SHF je
horizontalna sila rasporeena na cijelu teinu ueta. Novi parametri
su : LxxBB = i LyyBB = Nova jednadba je : SH BSHBSHF yFxsh F =
+(((||.|\| 0 1222 numeriki SHBBFxy ath C =21 1 2chC F CSH = Rjeenja
za neke parametre su : Bx By SHF 1C 2C 0,5 0 0,1148 -2,1773 -0,5130
0,8 0,2 0,3555 -0,9224 -0,5178 0,98 0 1,4046 -0,3489 -1,4909 Iz
izraza L q F FSH SH = dobije se vertikalna komponenta : ||.|\|+ = =
= 1C xFqsh F y F tg F FSHSH SH SH SV Sila u uetu na bilo kojem
mjestu je : ||.|\|+ =||.|\|+ + = + = 1 12 2 21 C xFqch F C xFqsh F
F F FSHSHSHSH SV SH S Najvea ukupna sila u uetu je na najviem
osloncu (gdje je najvei nagib krivulje). Kod ueta s vrlo malim
progibom moe horizontalna sila biti vea od ukupne teine ueta. Oblik
ueta je kosinus hiperbolna krivulja. Modeliranje konstrukcija Ivica
Koar Lananica 6 dspFSVFSHF +dFSV SVF +dFSH SHq0Ue pod konstantnim
linijskim optereenjem Raun se pojednostavljuje kad je optereenje
ueta konstantno linijsko optereenje (i vlastita teina se tako moe
priblino uzeti u obzir) za plitku uad. Optereenje s puno gustih
sila se moe simulirati na isti nain. qyx Slika 6. Razlika u odnosu
na prethodno razmatranje je u tome da se linijsko optereenje mnoi s
dx aumjesto s ds : . 0 const F dFSH SH = = Slika 7. Horizontalna
komponenta sile u uetu je konstantna za jednoliko linijsko
optereenje ueta.Suma vertikalnih sila daje : 2 12 01010 000211C x C
xFqdx C xFqyC xFqdxFqyFqdxdFFyFFy tgdx q dFSH SHSH SHSHSVSH SHSVSV+
+ = ||.|\|+ =+ = = = = = = = Modeliranje konstrukcija Ivica Koar
Lananica 7 Linija oblika je kvadratna parabola : 2 12 021C x C
xFqySH+ + = Tri nepoznanice FSH, C1 i C2 odreuju se iz rubnih
uvjeta. Rubni uvjeti za yxABxByB Slika 8. su : ( )( )SHBBBB BSHB B
BFx qxyC C x C xFqy y x x yC x y = + + = = == = =2 20 0 001 2 1202
Uvjet duine ueta daje : ||.|\|+ + = + = =B BxSHxdx C xFqdx y ds
L0210021 1 Rjeenje je : |.|\| + + (((||.|\|+ +||.|\|+ +||.|\|+ =
121 1010210100 1212ashC C CqFC xFqash C xFqC xFqqFLSHBSHBSHBSHSH
Kad se uvrsti vrijednost za C1 dobije se nelinearna jednadba za FSH
: ( )SHBBBSHBBBSHFx qxyBFx qxyAashB B B ashA A AqFL =+ = + + +
=2;21 120 02 20 Jednadba se rjeava numeriki i iz FSH se rauna C1
itd. Sile u uetu su : 2102 2101 ||.|\|+ + = + =||.|\|+ = = =C xFqF
F F FC xFqF y F tg F FSHSH SV SH SSHSH SH SH SV Raunanje FSH iz
zadane duine L je najtei, no i najvaniji zadatak. Modeliranje
konstrukcija Ivica Koar Lananica 8 PRIMJER 2 Za ue s plitkim
progibom fmax i osloncima na istoj visini, izraunaj ovisnost
maksimalne sile u uetu o strelici fmax. Jednostavniji rubni uvjeti
olakavaju rjeenje! Slika 9. Iz rubnih uvjeta ( ) 0 0 = = x y i ( )
0 = =Bx x y dobije se : ( )( )SHBBFx qC x x yC x y = = == = =200 0
0012 Oblik linije je : ( ) x x xFqyBSH =2 02 Najvei progib je u
sredini ueta, te se iz tog uvjeta rauna horizontalna komponenta
sile : max2020max2020max max8 84 2 2 4 2 2fx qFFx qfxFq xxxFqf
fxyBSHSHBBSHBBBSHB= =||.|\| =||.|\| = = |.|\| Najvea sila u uetu
moe biti puno vea od teine ueta. Neka je teina ueta Bx q 0, tada je
: 16812max20max+ =fxx qFBBS odnosno : maxfxB 100 50 20 10 ( )BSx
qF0max 12,5 6,27 2,55 1,35 Ue prenosi optereenje samo kao uzdunu
silu, te je stoga vrlo dobro iskoritena nosivost, puno bolje nego
kod samih nosaa, to je bilo poznato jo u srednjem vijeku.
yxxBqfmax0Modeliranje konstrukcija Ivica Koar Lananica 9 PRIMJER 3
Odrediti optimalni oblik nosaa lunog mosta za jednoliko optereenje
i zadane poloaje oslonaa ako je zadano : q0, xB, yB
